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VIBRAZIONI

MECCANICHE

Sistemi vibranti ad un grado di libertà

Oscillazioni forzate

Sistemi vibranti 1 g.d.l. - Oscillazioni forzate 2 / 29

Now you want to analyze the dynamic behavior of a

vibrating system such as the one previously studied

also subject to an external forcing F (t) function of time.

k

, ,x x xm g

r

Elementary forced oscillator

(t)F

- linear systems

- superposition of effects


Generic function:

k

, ,x x xm g

r


(t)F

00

t(t) cosi i

i

F F n

00 01 02 2

0

(t) cos t cos 2 t

cos tn n

F F F F

F n

it can be represented by the Fourier series:

( , ) (t)F define in

simpler:

We analyze the system shown

schematically in the figure, excited by a

harmonic forcing:0(t) cos tF F



The equation of dynamic equilibrium of the system,

always starting from the condition of static

equilibrium, it results::

0 cos tF k x r x mx

2 02 cos tF

x x xm

0 cos tmx r x k x F

and dividing all the members for the mass m:

where: km

2

rm

or:

k x

, ,x x x

m x

r x

(t) cos t0F F



k x

, ,x x x

m x

r x

0(t) cos tF F

(t) (t) (t)g px x x

(t) cos tpx H



Both the shift scheme xp that the forcing F(t) F (t) can

be represented in the plane of the Gauss-Argand

(r,i), as vectors of amplitude H e F0, , rotating with

equal angular velocity and phase shifted between

them by an angle equal to ψ.

i

r

cos tH

0 cos tF

t

0F

H

The integral xp satisfies the equation of motion for the

particular values of H e ψ:

0

2 22

FH

k m r

2

rtg

k m



2 221 2

sxH

a a h

2

2

1

a htg

a

Introducing the following reports:

a

c

rh

r 0

s

Fx

k

i

r

cos tH

0 cos tF

t

0F

H



0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

a

h = 0,1

h = 0,3

h = 0,6

h = 0,8

s

H

x

fattore di amplificaziones

H

x


Oscillatore elementare forzato

0

1,57

3,14

0 1 2 3 4

a

ψ

h = 0,1

h = 0,3

h = 0,6

h = 0,8

Dall’analisi dei predetti diagrammi si nota come questi si possano dividere in tre

zone fondamentali, alle quali corrispondono comportamenti della massa diversi

tra di loro:



0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

a

h = 0,1 h = 0,3 h = 0,6 h = 0,8

s

H

x

0

1,57

3,14

0 1 2 3 4

a

ψ

h = 0,1 h = 0,3 h = 0,6 h = 0,8



1) a 1 , pF x

0F

HF

px

til ‘fattore di amplificazione’

è prossimo all’unità 1

s

H

x

l’angolo di fase tende a zero 0

Cioè l’ampiezza della vibrazione forzata è

quasi uguale allo spostamento che si

avrebbe se una forzante di ampiezza F0

fosse applicata staticamente (il sistema si

comporta come se il collegamento fosse

infinitamente rigido);

t

0F

H

i

r



i

rt

0F

H

Lo spostamento risulta quasi in fase con

la forzante aumentando il ritardo

all’aumentare dello smorzamento del

sistema.

Per il valore h = 0 (oscillatore non smor-

zato) forzante e spostamento risultano

perfettamente in fase ( = 0).

1) a 1 , pF x

0F

HF

px

t



i

r

t

0F

H

La pulsazione della forzante esterna

eguaglia quella propria del sistema si dice

che questo ultimo si trova in condizione di

‘risonanza’.

2) a 1 , pF x

0F F

pxt

La forzante, anche se di modulo non

elevato, provoca nel sistema oscillazioni

rilevanti che aumentano al diminuire dello

smorzamento (teoricamente per h = 0 il

fattore di amplificazione tende all’infinito); è

una condizione di funzionamento dannosa

per il sistema e, quindi, da evitare.


i

r


t

0F

H

L’angolo di fase vale sempre /2 per

qualsiasi valore dello smorzamento.

Quindi ad un massimo della forzante

corrisponde uno spostamento nullo, e

viceversa.

Lo spostamento viene definito in

‘quadratura’ con la forzante.

2) a 1 , pF x

0F F

pxt



i

rt

0F

H

Gli spostamenti indotti sono sempre

minori di quelli provocati nel caso

statico e tendono a zero per pulsazione

della forzante tendente all’infinito;

l’angolo di fase, all’aumentare di a, si

approssima a tanto più quanto più è

piccolo lo smorzamento (lo spostame-

nto viene detto in ‘controfase’ rispetto

alla forzante)

3) a 1 , pF x

0F

H

F px

t



i

rt

0F

HH

2H

(t) cos tpx H

(t) sen t

cos t

pv x H

H

2

2

(t) cos t

cos t

pa x H

H

nel piano (r,i) sono rappresentati sempre da vettori rotanti con velocità angolare

, il primo in anticipo di /2 rispetto allo spostamento, il secondo, invece, in

opposizione di fase.

Consideriamo l’integrale particolare e facciamone le derivate:


i

rt

0F

kH

rH

2mH

0F

eF

vFiF

t

Oscillatore elementare forzatoAnalizziamo l’equilibrio dinamico del sistema considerando i vettori rotanti nel

piano di Gauss.

(t)i v eF F F F

2

iF mH

vF rH

eF k H

I moduli dei vettori sono:

dove il primo vettore è diretto in verso opposto all’accelerazione, e, pertanto,

concorde con lo spostamento; il secondo è diretto in verso opposto alla velocità;

il terzo opposto allo spostamento.

HH

2H


i

rt

0F

kH

rH

2mH0F

eF

vFiF

t


2 22 2

0k H m H r H F

Per l'equilibrio dei vettori rotanti si ha:

0

2 22

FH

k m r



1) a 1

i

r

t

0F

0F

eF

vFiF

t

Essendo l'ampiezza della forza d’inerzia e di quella elastica funzioni di , esse

risulteranno di minima intensità: pertanto, la forzante esterna è quasi

esclusivamente equilibrata dalla forza elastica, che si oppone anche alla forza

d'inerzia.

Per qualsiasi valore

di h l’angolo risulta

sempre prossimo a

zero.

vFeF

iF

HH



2) a 1

i

r

Essendo = /2, la

forzante esterna viene

totalmente equilibrata

dalla forza viscosa,

qualunque sia il valore

dello smorzamento del

sistema.

La forza elastica e quella d’inerzia si equilibrano tra di loro.

t

0F

0F

eF

vF

iFt

vF

iF

H H

eF



3) a 1

i

rt

0F0F

eF

vF

iF

t

vF

iF

H

H

eF

l’angolo di fase risulta

sempre prossimo a ; il

valore di è grande e,

pertanto, la forza

d’inerzia, dipendendo da

2, assume intensità

elevate;

essa è quasi in opposizione di fase con la forzante e provvede ad equilibrarla,

insieme con la forza elastica che agisce pressoché in concordanza con la

forzante.


Esempio

L'insorgere di forzanti variabili periodicamente è facilmente riscontrabile nel caso

di presenza di macchine alternative (motori combustione interna, pompe o

compressori alternativi) o di rotori (motori o generatori elettrici, turbine, pompe o

compressori fluidodinamici).

Nel primo caso la forza eccitatrice può essere identificata con la forza d'inerzia

generata dalle masse dotate di moto alternativo: nel secondo caso è la non

perfetta bilanciatura dinamica del rotore a generare una forza d'inerzia rotante,

la cui componente verticale risulta una forza pulsante.


M

, ,x x x

2k

r

2k

Esempio

Consideriamo lo schema

riportato nella figura, dove la

macchina, non equilibrata,

viene schematizzata con la sua

massa M, soggetta all'azione di

una massa eccentrica m

rotante, intorno allo stesso

asse O, con un'eccentricità e

ed alla medesima velocità

angolare del rotore.

m te

O


Esempio

2

kx r x

Lo spostamento verticale della

massa m vale:

sen tmx x e

dove x rappresenta il moto della

massa supportata elasticamente.

Se M rappresenta la massa totale

del sistema, comprensiva di m,

l'equazione del moto del sistema è:

2

2sen t

dk x r x M m x m x e

dt

2

kx

M m x 2 sen tm x e

2 sen tk x r x M m x m x e

M

m te

, ,x x x

O


Esempio

M

m te

, ,x x x

2

kx r x 2

kx

M m x 2 sen tm x e

2 sen tM x r x k x m e

risulta, cioè, un'equazione formalme-

nte analoga a quella del moto

ricavata per l’oscillatore elementare

forzato da una forzante armonica,

con ampiezza:

tale equazione ammette soluzioni dello stesso tipo di quelle già ricavate.

2

0F m e


2

2 22

m eH

k m r

2

rtg

k m

Esempio

in termini adimensionali:

2

2 221 2

mea

MH

a a h

2

2

1

a htg

a


Esempio

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

a

h = 0,1 h = 0,3 h = 0,6 h = 0,8

M H

me

il che permette di riportare il termine in funzione del rapporto a,M H

me

per vari valori di h.


Esempio

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

a

h = 0,1 h = 0,3 h = 0,6 h = 0,8

M H

me

per bassi regimi di rotazione della macchina, a 1, l'ampiezza della forza

eccitatrice me2 è molto piccola e tutte le curve partono dal valore zero.

Per a=1 si ha:1

2

M H

me h

è proprio la presenza dello

smorzatore a limitare il

picco della curva

Per a 1 1M H

me

la massa (M - m) ha un'ampiezza di oscillazione H = me/M sfasata, rispetto alla

posizione di m, di 180°.

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