VECTORI

O

A

VECTORI

Definiie: Un vector este un segment de dreapt orientat.

Caracteristicile unui vector:

- dreapta suport ( ) sau direcia vectorului;

- punctul de aplicaie (O);

- sensul vectorului ( de la O ctre A );

- valoarea numeric sau modulul vectorului dat de lungimea segmentului exprimat n uniti de msur. Modulul vectorului se noteaz sau simplu

VECTORI ALUNECTORI

VECTORI LIBERI

CLASIFICAREA VECTORILOR

1. Vector legat punctul lui de aplicaie este fixat pe dreapta suport;

2. Vector alunector punctul lui de aplicaie poate aluneca pe

dreapta suport;

3. Vector liber punctul lui de aplicaie poate fi luat oriunde n

spaiu, suportul lui rmnnd paralel cu aceeai

dreapt.

EGALITATEA VECTORILOR

Doi vectori sunt considerai egali dac au dreptele suport

paralele, acelai sens i module egale.

COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR

DEFINIIE: Operaia de adunare a doi vectori, numit i compunerea lor, are drept rezultat un vector numit suma lor.

REGULA PARALELOGRAMULUI

REGULA TRIUNGHIULUI

REGULA POLIGONULUI

CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETILE DE COMUTATIVITATE I

ASOCIATIVITATE

SCDEREA VECTORILOR

Observaie: scderea vectorilor nu este comutativ

NMULIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR

O

O

O

O

Prin nmulirea unui vector cu un scalar se obine tot un vector ce are:

- Aceeai direcie cu direcia vectorului iniial;

- Acelai sens cu sensul vectorului iniial dac scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniial dac scalarul este negativ;

- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniial i scalar.

PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.

Observaie:

Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.

Produsul scalar prezint proprietatea de comutativitate:

PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

Rezultatul produsului vectorial a doi vectori este tot un vector ce are caracteristicile:

Direcia perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori;

- Sensul dat de regula burghiului: se pune burghiul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori i de rotete pentru a suprapune primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de naintare al burghiului este i sensul vectorului produs vectorial;

- Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.

Observaie:

Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.

Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate.

uniti

VERSORUL UNUI VECTOR

Versorul (vectorul unitar) al unui vector

are direcia i sensul

vectorului

, iar modulul egal cu unitatea.

VERSORII AXELOR DE COORDONATE

O

x

y

z

VALOAREA NUMERIC A SUMEI DE DOI VECTORI

CAZURI PARTICULARE

1. Vectori paraleli i de acelai sens:

VALOAREA NUMERIC A DIFERENEI DE DOI VECTORI

COMPONENTA I PROIECIA UNUI VECTOR PE O AX

O

x

A

B

M

i este un vector

i este un numr real

reprezint proiecia vectorului

pe axa Ox

O

x

A

B

M

i este un vector

i este un numr real

reprezint proiecia vectorului

pe axa Ox

O

y

x

z

DESCOMPUNEREA UNUI VECTOR

D

a

r

OA

a

r

a

a

r

b

r

a

a

r

b

r

1

a

r

2

a

r

3

a

r

12

a

r

23

a

r

s

r

23

1

3

12

3

2

1

a

a

a

a

a

a

a

s

r

r

r

r

r

r

r

r

+

=

+

=

+

+

=

b

r

a

b

a

c

r

r

r

-

=

a

b

d

r

r

r

-

=

c

d

r

r

-

=

0;

k

a

k

b

>

=

;

r

r

b

r

a

b

r

r

0;

k

a

k

b