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  • 8/16/2019 Vector Es Vector Es

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    Cap. 1VECTORES

    Vectores colineales

    De igual sentido:

    θ = 0º

    Módulo de :

    De sentidos contrarios:

    θ = 180º

    Módulo de :

    Vectores ortogonales: θ = 90º

    Módulo de :

    Dirección de :

    Vectores concurrentes:

    Módulo de :

    Dirección de :

    Componentes rectangulares deun vector.-

    Un vector en función de losvectores unitarios:

    jV iV V V V V y x y x ;

    Modulo:

    22

    y x V V V

    Dirección:

    x

    y

    V

    V tg

    Producto escalar de vectores:

    B A

    El producto esca lar de dosvec tores es una cant idadescalar

    Producto vectorial de vectores:

    B A

    Módulo:

    El producto vec tor ia l de dos vec tores esuna cant idad vec tor ia l .

    Área de un parelelogramo y triángulo.- Unade las aplicaciones del producto vectorial, es elcálculo del área del paralelogramo que seforma.

    Area A h ABsen

    EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN

    OPERACIONES CON VECTORESProcura no usar calculadora, practica el manejo de las funciones trigonométricas de ángulos notables (Pag. 190)

    R

    R A B

    R

    R A B

    R

    2 2 R A B

    R

    adyacentecat opuestocat

    .

    .tan

    tan B

    A

    O M

    N

    R

    2 2 2 cos R A B A B

    R

    B sen sen

    R

    OX

    Y

    cos x

    A A

    y A Asen

    B cos

    cos. B A B A

    = x

    sen B AC

    A

    B

    A x B

    Área paralelogramo

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    1. Determine el módulo de la resultante de dos vectorescuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulode 53º.

    2 2R 15 7 2 15 7 cos53º 20

    a) 32 b) 28 c) 20 d) 40

    2. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre unvalor mínimo de 4 unidades y un valor máximo de 16unidades. Determine el módulo de la resultante cuandolos vectores formen 60°.

    1ra. Condición: A – B = 4

    2da. Condición: A + B = 16

    Resolviendo da: A = 10 ; B = 6

    3ra. Condición:

    2 2R 10 6 2 10 6 cos60º 100 36 60

    R 196 14

    a) 14 b) 7 c) 10 d) 12

    3. De acuerdo a la figura la componente del vector A sobreel eje “Y” es igual:

    y3

    A A sen 6 sen 60º 6 5.2 u2

    a) 6 u. b) 4.8 u. c) 3 u. d) 5.2 u.

    4. De acuerdo a la figura la componente del vector A sobreel eje “X” es igual:

    x

    1 A A cos 6 cos 60º 6 3 u

    2

    a) 6 u. b) 4.8 u. c) 3 u. d) 5.2 u.

    5. En la figura mostrada, determine le módulo del vectorresultante.

    Aplicando la regla del paralelogramo:

    2 2R 50 30 2 50 30 cos60º 3400 1500

    R 4900 70

    a) 20 b) 70 c) 80 d) 100

    6. En la figura mostrada, determine el módulo del vectorresultante.

    R

    53º

    A = 15

    B = 7

    Y

    X

    u A 6

    60º

    Y

    X

    u A 6

    60º

    Y

    X

    u A 6

    60º

    Y

    X

    u A 6

    60º

    y50u

    30u170°

    40°

    x

    R

    30 u

    170º60º

    130º

    50 u

    O1

    O2

    A=5

    B=3

    85° 25°

    R

    A = 560º

    B = 3

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    2 2R 5 3 2 5 3 cos60º 34 15

    R 49 7

    a) 14 b) 7 c) 13 d) 12

    7. Dados los vectores A = 50 u y B = 30 u, determine elvalor de su resultante, cuando los vectores, formen entresí, un ángulo de 60º.

    2 2R 50 30 2 50 30 cos60º 3400 1500

    R 4900 70

    a) 40 u b) 80 u c) 20 u d) 70 u

    8. Dos vectores de módulos A = 10, y B = 20 forman 60ºentre sí. ¿Cuál es el módulo del vector diferencia?

    2 2R 10 20 2 10 20 cos120º

    R 100 400 400 ( 0.5) 500 200 300

    R 100 3 10 3 10 1.73 17.3

    a) 26.4 b) 30.5 c) 17.3 d) 40.2

    9. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo móduloes 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichosvectores?

    Para la resta de vectores se cumple:

    2 2 2R A B 2 A B cos

    2 2 220 15 7 2 15 7 cos

    400 225 49 210 cos

    126 3cos 37º

    210 5

    a) 127º b) 53º c) 37º d) 45º

    10. Dos fuerzas de valores consecutivos interactúan sobre uncuerpo formando un ángulo de 60º entre sí, dando porresultante . Calcule el módulo de la menor de lasfuerzas.

    2 2 2R (x 1) x 2.(x 1).x.cos 60º

    2 2 2 2 1( 61) x 2x 1 x 2.(x x)2

    2 261 3x 3x 1 x x 20 0

    (x 5)(x 4) 0

    1

    2

    x 4

    x 5

    a) 2 b) 6 c) 4 d) 5

    11. En la figura el módulo de los vectores son A = 10 y B =

    12. Si la medida del ángulo es = 60°, determine elmódulo del vector diferencia D.

    Aplicamos el teorema de los cosenos:

    2 2D A B 2 A B cos

    2 2D 10 12 2 10 12 cos 60º 244 120 D 144 12

    a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

    R

    A = 50

    60º

    B = 30

    B

    R

    – A

    60º

    A

    120º

    61

    x

    R =

    60º

    61

    x+1

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    12. En la figura el módulo de los vectores son a = 5 y b = 6.Determine el módulo del vector: a – b

    2 2R 5 6 2 5 6 cos127º

    3R 25 36 60 ( cos53º ) 61 60

    5

    R 61 36 25 5

    a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

    13. En la figura mostrada el módulo de los vectores son A =50 y B = 14. Determine el módulo del vector: A – B.

    2 2R 50 14 2 50 14 cos106º

    7

    R 2500 196 1400 ( cos74º ) 2696 1400 25

    R 2696 392 2304 48

    a) 24 b) 48 c) 36 d) 64

    14. La figura muestra dos vectores uno de módulo 60unidades y el otro de módulo variable. Determine laresultante mínima que se puede conseguir.

    Se traza la resultante perpendicular al vector B, paracumplir la condición de mínimo:

    Rsen 37º R 60 sen37º

    60

    3R 60 sen37º 60 365

    a) 12 b) 24 c) 36 d) 48

    15. Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vectorresultante.

    Componentes rectangulares:

    x

    4R 3 5 cos37º 3 5 1

    5

    y3

    R 4 5 sen37º 4 5 75

    Vector resultante:

    2 2 2 2x 2R R R ( 1) 7 50

    R 25 2 5 2

    a) 5 3 b) 5 2 c) 3 5 d) 3 2

    O1 O2

    83° 30°

    ab

    aR

    – b

    b127º

    R

    B A

    106º

    - B

    R

    37º

    3 u37º

    4 u5 u

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    16. Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vectorresultante.

    Triángulo notable, para las funciones trigonométricas:

    Componentes rectangulares:

    x

    6 2R 3 2 6 sen 75º 3 2 6

    4

    x 3 3 3 2 3 6 3R 3 2 6 2 2 62 2 2 2

    y6 2

    R 3 2 6 cos 75º 3 2 64

    x 3 3 3 2 3 6 3R 3 2 6 2 2 62 2 2 2 Vector resultante:

    2 29 9

    R 2 6 2 64 4

    3 3R 16 4 6

    2 2

    a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

    17. Se muestra tres vectores, donde A = 5, B = 3 y C = 8.Determine el módulo del vector resultante.

    Componentes rectangulares:

    x1 6 5 16 5

    R 3 5 cos 60º 8 3 5 82 2 2

    y3 5

    R 5 sen 60º 5 32 2

    Vector resultante:

    2 2

    2 2

    x 2

    5 5 25 75R R R 3

    2 2 4 4

    100 10R 5

    4 2

    a) 0 b) 5 c) 10 d) 12

    18. La máxima resultante de dos vectores es 8 u y es 7 ucuando forman 60º. Calcule la mínima resultante quepodría obtenerse entre los vectores.

    Máxima resultante:

    R 8 A B A 8 B (1)

    Resultante cuando forman 60º:

    2 2 2R 49 A B 2 A B cos60º (2)

    Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):

    2 249 (8 B) B 2 (8 B) B 0.5

    2 2 249 64 16B B B 8B B

    2B 8B 15 0 (B 5)(B 3) 0

    Los vectores son:

    B 3 u ; A 5 u

    Resultante mínima: R A B 5 3 2

    a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u

    19. Calcular el módulo de la diferencia; de los vectoresmostrados, si se sabe que A = 16, y B = 12.

    2 2R 16 12 400 20

    a) 15 b) 21 c) 18 d) 20

    B

    R

    – B

    90º

    A

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    20. Se muestra una cuadricula donde el lado de cadacuadrado es 3 u. Determine el módulo del vectorresultante.

    A 2 3 i 3 j

    B 3 j C 3 i 3 j

    R A B C 3 i 3 3 j

    2 2

    R 3 3 3 3 27 30

    a) 2 u b) 3 u c) 15 d) 30

    21. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.

    a 3 i 2 j

    b 4 i 2 j

    c 3 i j

    R a b c 4 i 3 j 2 2R 4 3 25 5

    a) 0 b) 3 c) 5 d) 6

    22. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.

    A 4 j

    B 4 i 2 j

    C 4 i

    R A B C 8 i 6 j

    2 2

    R 8 6 100 10

    a) 13 b) 14 c) 15 d) 10

    23. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.

    A 3 i j

    B 2 i 2 j

    C i 2 j

    R A B C 0 i j

    2R 1 1

    a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

    24. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.

    a) 1 b) 2

    c) 3 d) 4

    a 3 i 2 j

    b i 2 j

    c 2 i 2 j

    d 2 i 2 j

    R a b c d 2 i 0 j

    2 2R 2 0 4 2

    25. El la figura mostrada determine el módulo del vectorresultante.

    a) 5 b) 7

    c) 8 d) 0

    Componentes rectangulares:

    x

    3R 10 cos 53º 6 10 6 6 6 0

    5

    A

    B

    C

    A

    B

    C

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    yR 20 25 2 30

    Módulo del vector resultante:

    2 2 2 2

    x 2R R R 40 30 50

    31. En la figura mostrada, determine el módulo del vectorresultante.

    a) 20 m

    b) 70 m

    c) 80 m

    d) 100 m

    2 2R 50 30 2 50 30 cos60º

    R 2500 900 1500 4900 70

    32. Determine el módulo de la resultante del siguiente sistemade vectores:

    a) 12 N

    b) 6 N

    c) 18 N

    d) 10 N

    Componentes rectangulares:

    x4

    R 10 20 cos 37º 10 20 65

    y3

    R 4 24 20 sen 37º 20 20 85

    Módulo del vector resultante:

    2 2 2 2

    x 2R R R 6 8 10

    33. Conociendo el vector: ji A 86

    Hallar el módulo del vector: A5

    1

    1 1 6 8 A 6 i 8 j i j5 5 5 5

    Módulo:

    2 26 8 36 64 100

    R 25 5 25 25

    a) 5 b) 4 c) 6 d) 2

    34. Conociendo el vector: ji A 129

    Hallar el módulo del vector: A5

    2

    2 2 18 24 A 9 i 12 j i j5 5 5 5

    Módulo:

    2 218 24 324 576 900R 65 5 25 25

    a) 5 b) 4 c) 6 d) 12

    Para tomar en cuenta: La distancia recorrida no es igual aldesplazamiento efectuado, no confundir.

    A = 50 m

    60º

    R

    B = 30 m

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    1. Hallar el vector resultante (ABCD: paralelogramo)

    Solución: M N P 0

    Quedando solamente S

    a) S b) N c) S 2 d) S

    2. Hallar la resultante.

    Solución:

    1R A B C F

    2R D E F

    Entonces:

    T 1 2R R R F F F F 3 F

    a) F b) F 2 c) F 3 d) F 2

    3. Determine el módulo de la resultante:

    Completando los vectores:

    R 3cos 30º R b cos30º 2 3 3 u

    b 2

    a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u

    4. Hallar x en términos de a y b (G: baricentro)

    Completando un paralelogramo se cumple las siguientescondiciones:

    Siendo G el baricentro:

    1MG MQ MQ 3 GM

    3 (1)

    Reemplazando ec. (1):

    QS 2 QM 2 3 GM 6 GM

    QS QSGM x

    6 6

    QS 6 x (2)

    Sumando los vectores: QS a b

    Reemplazando la ec. (2):

    a b6 x a b x

    6

    a)3

    2 ba b)6

    2 ba c)6

    ba d)3

    ba

    A D

    B C

    A

    B

    C

    D E

    F

    30º

    R a

    P R

    Q

    G

    M

    a b

    x

    P

    S

    R

    Q

    G

    M

    a b

    x

    ANÁLISIS VECTORIAL

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    5. Exprese x en función de los vectores A y B (O:centro de la circunferencia)

    A B 1x x A B2 2 2

    a)2

    B A b)2

    2 B A c)2

    A B d)3

    )(2 B A

    6. Determinar el módulo de la resultante:

    a 4 i 2 j b 3 i 2 j

    c 3 i 2 j

    Vector: R a b c 4 i 2 j

    Módulo: 2 2R 4 2 20 2 5

    a) 5 b) 52 c) 3 d) 32

    7. Calcular el módulo de la resultante: u A 2

    Módulo de B:

    A A 2sen 30º B 4 u

    B sen30º 1/ 2

    Completando vectores y otros datos:

    2 2R 4 2 2 4 2 cos 60º 16 4 8 28

    R 4 7 2 7

    a) 7 b) 72 c) 5 d) 52

    8. Determinar el vector resultante:

    A 2 i 3 j ; B i 3 j ; C i 2 j

    Resultante: R a b c 0 i 4 j 4 j

    a) 2 i b) – 2 i c) 4 j d) – 4 i

    9. Sabiendo que: ua 5 y ub 6 Determine el módulo de la diferencia entre vectores:

    Completando los vectores:

    A

    2B

    2

    1 u a

    c

    b

    1 u

    30º B

    A

    30º B

    A

    60º

    R

    B

    C

    1 u A

    1 u

    83º

    b

    a

    150º

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    2 2R 5 6 2 5 6 cos127º 25 36 60 ( cos53º )

    3R 61 60 61 36 25 5 u

    5

    a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 11 u

    10. Determine la dirección de la resultante:

    Calcular las componentes rectangulares del vector resultante:

    x4

    V 10 cos37º 5 10 5 3 u5

    y3

    V 10 sen37º 3 10 3 3 u

    5

    La dirección de R:

    y

    x

    V 3tg 1 45º

    V 3

    a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º

    11. Hallar el vector resultante:

    Trazamos el vector X:

    d a X (1) b c X (2)

    Reemplazando ec. (2) en (1):

    d a b c a b c d 0

    Sumando 2d a los dos miembros:

    a b c d 2d 2d

    R a b c d 2d

    a) c2 b) b2 c) Cero d) d2

    12. Hallar el vector resultante:

    Trazamos el vector X:

    b X a (1) d X c (2)

    Resolviendo las ec. (1) y (2):

    b d a c a b c d 0

    Sumando 2b y 2c a los dos miembros:

    a b c d 2b 2c 2b 2c

    R a b c d 2(b c)

    a) c2 b) b2 c) c d) )cb(2

    83º

    b

    a

    150º

    b

    127º

    150º

    R

    5 u

    X

    10 u

    3 u

    Y

    37º

    X

    a b

    c

    d R 2 d

    X

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    13. Hallar el módulo de la resultante:

    a) 3 b) 2 c) 4 d) 5

    14. Hallar el módulo de la resultante:

    Se traza el vector de color azul que es la resultante del

    conjunto superior e inferior; por tanto: R = 5 + 5 = 10 cm

    a) 5 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 10 cm

    15. Hallar el módulo de la resultante:

    1R AB BC AC

    T 1R R AC 2 AC

    El módulo de la resultante:

    TR 2 7 cm 14 cm

    a) 16 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 14 cm

    16. Determinar el vector resultante del sistema de vectoresen función del vector :

    Sumando de dos en dos:

    1R B C A

    2R E D A

    Resultante total:

    T 1 2R R R A A A A 3 A

    a) 2A b) 3A c) 0.5A d) 5A

    17. Determinar la magnitud del vector resultante si cadacuadrado tiene de lado 10 m.

    A 20 j

    B 10 i

    C 10 i 10 j

    D 10 i 20 j

    Resultante: R 10 i 10 j

    Módulo:

    2 2R 10 ( 10) 200 100 2 10 2

    a) 210 m b) 10 3 m

    c) 5 2 m d) 10 m

    18. Hallar el resultante:

    Sumando de dos en dos:

    a AB d

    c AB b

    Combinando las ecuaciones anteriores:a b c d a b c d

    Falta sumar a estos, los vectores “b” y “d”:

    a b c d 2c 2d 2(c d)

    a) d b) dc

    c) dc2 d) )dc(2

    R = 2 + 2 = 4 u

    3 cm

    A

    6 cm

    7 cm

    B

    C

    A

    A

    B

    C

    D

    A B

    C D