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8/16/2019 Vector Es Vector Es
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Cap. 1VECTORES
Vectores colineales
De igual sentido:
θ = 0º
Módulo de :
De sentidos contrarios:
θ = 180º
Módulo de :
Vectores ortogonales: θ = 90º
Módulo de :
Dirección de :
Vectores concurrentes:
Módulo de :
Dirección de :
Componentes rectangulares deun vector.-
Un vector en función de losvectores unitarios:
jV iV V V V V y x y x ;
Modulo:
22
y x V V V
Dirección:
x
y
V
V tg
Producto escalar de vectores:
B A
El producto esca lar de dosvec tores es una cant idadescalar
Producto vectorial de vectores:
B A
Módulo:
El producto vec tor ia l de dos vec tores esuna cant idad vec tor ia l .
Área de un parelelogramo y triángulo.- Unade las aplicaciones del producto vectorial, es elcálculo del área del paralelogramo que seforma.
Area A h ABsen
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
OPERACIONES CON VECTORESProcura no usar calculadora, practica el manejo de las funciones trigonométricas de ángulos notables (Pag. 190)
R
R A B
R
R A B
R
2 2 R A B
R
adyacentecat opuestocat
.
.tan
tan B
A
O M
N
R
2 2 2 cos R A B A B
R
B sen sen
R
OX
Y
cos x
A A
y A Asen
B cos
cos. B A B A
= x
sen B AC
A
B
A x B
Área paralelogramo
-
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1. Determine el módulo de la resultante de dos vectorescuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulode 53º.
2 2R 15 7 2 15 7 cos53º 20
a) 32 b) 28 c) 20 d) 40
2. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre unvalor mínimo de 4 unidades y un valor máximo de 16unidades. Determine el módulo de la resultante cuandolos vectores formen 60°.
1ra. Condición: A – B = 4
2da. Condición: A + B = 16
Resolviendo da: A = 10 ; B = 6
3ra. Condición:
2 2R 10 6 2 10 6 cos60º 100 36 60
R 196 14
a) 14 b) 7 c) 10 d) 12
3. De acuerdo a la figura la componente del vector A sobreel eje “Y” es igual:
y3
A A sen 6 sen 60º 6 5.2 u2
a) 6 u. b) 4.8 u. c) 3 u. d) 5.2 u.
4. De acuerdo a la figura la componente del vector A sobreel eje “X” es igual:
x
1 A A cos 6 cos 60º 6 3 u
2
a) 6 u. b) 4.8 u. c) 3 u. d) 5.2 u.
5. En la figura mostrada, determine le módulo del vectorresultante.
Aplicando la regla del paralelogramo:
2 2R 50 30 2 50 30 cos60º 3400 1500
R 4900 70
a) 20 b) 70 c) 80 d) 100
6. En la figura mostrada, determine el módulo del vectorresultante.
R
53º
A = 15
B = 7
Y
X
u A 6
60º
Y
X
u A 6
60º
Y
X
u A 6
60º
Y
X
u A 6
60º
y50u
30u170°
40°
x
R
30 u
170º60º
130º
50 u
O1
O2
A=5
B=3
85° 25°
R
A = 560º
B = 3
-
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2 2R 5 3 2 5 3 cos60º 34 15
R 49 7
a) 14 b) 7 c) 13 d) 12
7. Dados los vectores A = 50 u y B = 30 u, determine elvalor de su resultante, cuando los vectores, formen entresí, un ángulo de 60º.
2 2R 50 30 2 50 30 cos60º 3400 1500
R 4900 70
a) 40 u b) 80 u c) 20 u d) 70 u
8. Dos vectores de módulos A = 10, y B = 20 forman 60ºentre sí. ¿Cuál es el módulo del vector diferencia?
2 2R 10 20 2 10 20 cos120º
R 100 400 400 ( 0.5) 500 200 300
R 100 3 10 3 10 1.73 17.3
a) 26.4 b) 30.5 c) 17.3 d) 40.2
9. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo móduloes 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dichosvectores?
Para la resta de vectores se cumple:
2 2 2R A B 2 A B cos
2 2 220 15 7 2 15 7 cos
400 225 49 210 cos
126 3cos 37º
210 5
a) 127º b) 53º c) 37º d) 45º
10. Dos fuerzas de valores consecutivos interactúan sobre uncuerpo formando un ángulo de 60º entre sí, dando porresultante . Calcule el módulo de la menor de lasfuerzas.
2 2 2R (x 1) x 2.(x 1).x.cos 60º
2 2 2 2 1( 61) x 2x 1 x 2.(x x)2
2 261 3x 3x 1 x x 20 0
(x 5)(x 4) 0
1
2
x 4
x 5
a) 2 b) 6 c) 4 d) 5
11. En la figura el módulo de los vectores son A = 10 y B =
12. Si la medida del ángulo es = 60°, determine elmódulo del vector diferencia D.
Aplicamos el teorema de los cosenos:
2 2D A B 2 A B cos
2 2D 10 12 2 10 12 cos 60º 244 120 D 144 12
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
R
A = 50
60º
B = 30
B
R
– A
60º
A
120º
61
x
R =
60º
61
x+1
-
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12. En la figura el módulo de los vectores son a = 5 y b = 6.Determine el módulo del vector: a – b
2 2R 5 6 2 5 6 cos127º
3R 25 36 60 ( cos53º ) 61 60
5
R 61 36 25 5
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
13. En la figura mostrada el módulo de los vectores son A =50 y B = 14. Determine el módulo del vector: A – B.
2 2R 50 14 2 50 14 cos106º
7
R 2500 196 1400 ( cos74º ) 2696 1400 25
R 2696 392 2304 48
a) 24 b) 48 c) 36 d) 64
14. La figura muestra dos vectores uno de módulo 60unidades y el otro de módulo variable. Determine laresultante mínima que se puede conseguir.
Se traza la resultante perpendicular al vector B, paracumplir la condición de mínimo:
Rsen 37º R 60 sen37º
60
3R 60 sen37º 60 365
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48
15. Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vectorresultante.
Componentes rectangulares:
x
4R 3 5 cos37º 3 5 1
5
y3
R 4 5 sen37º 4 5 75
Vector resultante:
2 2 2 2x 2R R R ( 1) 7 50
R 25 2 5 2
a) 5 3 b) 5 2 c) 3 5 d) 3 2
O1 O2
83° 30°
ab
aR
– b
b127º
R
B A
106º
- B
R
37º
3 u37º
4 u5 u
-
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16. Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vectorresultante.
Triángulo notable, para las funciones trigonométricas:
Componentes rectangulares:
x
6 2R 3 2 6 sen 75º 3 2 6
4
x 3 3 3 2 3 6 3R 3 2 6 2 2 62 2 2 2
y6 2
R 3 2 6 cos 75º 3 2 64
x 3 3 3 2 3 6 3R 3 2 6 2 2 62 2 2 2 Vector resultante:
2 29 9
R 2 6 2 64 4
3 3R 16 4 6
2 2
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
17. Se muestra tres vectores, donde A = 5, B = 3 y C = 8.Determine el módulo del vector resultante.
Componentes rectangulares:
x1 6 5 16 5
R 3 5 cos 60º 8 3 5 82 2 2
y3 5
R 5 sen 60º 5 32 2
Vector resultante:
2 2
2 2
x 2
5 5 25 75R R R 3
2 2 4 4
100 10R 5
4 2
a) 0 b) 5 c) 10 d) 12
18. La máxima resultante de dos vectores es 8 u y es 7 ucuando forman 60º. Calcule la mínima resultante quepodría obtenerse entre los vectores.
Máxima resultante:
R 8 A B A 8 B (1)
Resultante cuando forman 60º:
2 2 2R 49 A B 2 A B cos60º (2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):
2 249 (8 B) B 2 (8 B) B 0.5
2 2 249 64 16B B B 8B B
2B 8B 15 0 (B 5)(B 3) 0
Los vectores son:
B 3 u ; A 5 u
Resultante mínima: R A B 5 3 2
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u
19. Calcular el módulo de la diferencia; de los vectoresmostrados, si se sabe que A = 16, y B = 12.
2 2R 16 12 400 20
a) 15 b) 21 c) 18 d) 20
B
R
– B
90º
A
-
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20. Se muestra una cuadricula donde el lado de cadacuadrado es 3 u. Determine el módulo del vectorresultante.
A 2 3 i 3 j
B 3 j C 3 i 3 j
R A B C 3 i 3 3 j
2 2
R 3 3 3 3 27 30
a) 2 u b) 3 u c) 15 d) 30
21. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.
a 3 i 2 j
b 4 i 2 j
c 3 i j
R a b c 4 i 3 j 2 2R 4 3 25 5
a) 0 b) 3 c) 5 d) 6
22. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.
A 4 j
B 4 i 2 j
C 4 i
R A B C 8 i 6 j
2 2
R 8 6 100 10
a) 13 b) 14 c) 15 d) 10
23. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.
A 3 i j
B 2 i 2 j
C i 2 j
R A B C 0 i j
2R 1 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
24. En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo delvector resultante.
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
a 3 i 2 j
b i 2 j
c 2 i 2 j
d 2 i 2 j
R a b c d 2 i 0 j
2 2R 2 0 4 2
25. El la figura mostrada determine el módulo del vectorresultante.
a) 5 b) 7
c) 8 d) 0
Componentes rectangulares:
x
3R 10 cos 53º 6 10 6 6 6 0
5
A
B
C
A
B
C
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yR 20 25 2 30
Módulo del vector resultante:
2 2 2 2
x 2R R R 40 30 50
31. En la figura mostrada, determine el módulo del vectorresultante.
a) 20 m
b) 70 m
c) 80 m
d) 100 m
2 2R 50 30 2 50 30 cos60º
R 2500 900 1500 4900 70
32. Determine el módulo de la resultante del siguiente sistemade vectores:
a) 12 N
b) 6 N
c) 18 N
d) 10 N
Componentes rectangulares:
x4
R 10 20 cos 37º 10 20 65
y3
R 4 24 20 sen 37º 20 20 85
Módulo del vector resultante:
2 2 2 2
x 2R R R 6 8 10
33. Conociendo el vector: ji A 86
Hallar el módulo del vector: A5
1
1 1 6 8 A 6 i 8 j i j5 5 5 5
Módulo:
2 26 8 36 64 100
R 25 5 25 25
a) 5 b) 4 c) 6 d) 2
34. Conociendo el vector: ji A 129
Hallar el módulo del vector: A5
2
2 2 18 24 A 9 i 12 j i j5 5 5 5
Módulo:
2 218 24 324 576 900R 65 5 25 25
a) 5 b) 4 c) 6 d) 12
Para tomar en cuenta: La distancia recorrida no es igual aldesplazamiento efectuado, no confundir.
A = 50 m
60º
R
B = 30 m
-
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1. Hallar el vector resultante (ABCD: paralelogramo)
Solución: M N P 0
Quedando solamente S
a) S b) N c) S 2 d) S
2. Hallar la resultante.
Solución:
1R A B C F
2R D E F
Entonces:
T 1 2R R R F F F F 3 F
a) F b) F 2 c) F 3 d) F 2
3. Determine el módulo de la resultante:
Completando los vectores:
R 3cos 30º R b cos30º 2 3 3 u
b 2
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u
4. Hallar x en términos de a y b (G: baricentro)
Completando un paralelogramo se cumple las siguientescondiciones:
Siendo G el baricentro:
1MG MQ MQ 3 GM
3 (1)
Reemplazando ec. (1):
QS 2 QM 2 3 GM 6 GM
QS QSGM x
6 6
QS 6 x (2)
Sumando los vectores: QS a b
Reemplazando la ec. (2):
a b6 x a b x
6
a)3
2 ba b)6
2 ba c)6
ba d)3
ba
A D
B C
A
B
C
D E
F
30º
R a
P R
Q
G
M
a b
x
P
S
R
Q
G
M
a b
x
ANÁLISIS VECTORIAL
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5. Exprese x en función de los vectores A y B (O:centro de la circunferencia)
A B 1x x A B2 2 2
a)2
B A b)2
2 B A c)2
A B d)3
)(2 B A
6. Determinar el módulo de la resultante:
a 4 i 2 j b 3 i 2 j
c 3 i 2 j
Vector: R a b c 4 i 2 j
Módulo: 2 2R 4 2 20 2 5
a) 5 b) 52 c) 3 d) 32
7. Calcular el módulo de la resultante: u A 2
Módulo de B:
A A 2sen 30º B 4 u
B sen30º 1/ 2
Completando vectores y otros datos:
2 2R 4 2 2 4 2 cos 60º 16 4 8 28
R 4 7 2 7
a) 7 b) 72 c) 5 d) 52
8. Determinar el vector resultante:
A 2 i 3 j ; B i 3 j ; C i 2 j
Resultante: R a b c 0 i 4 j 4 j
a) 2 i b) – 2 i c) 4 j d) – 4 i
9. Sabiendo que: ua 5 y ub 6 Determine el módulo de la diferencia entre vectores:
Completando los vectores:
A
2B
2
1 u a
c
b
1 u
30º B
A
30º B
A
60º
R
B
C
1 u A
1 u
83º
b
a
150º
-
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2 2R 5 6 2 5 6 cos127º 25 36 60 ( cos53º )
3R 61 60 61 36 25 5 u
5
a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 11 u
10. Determine la dirección de la resultante:
Calcular las componentes rectangulares del vector resultante:
x4
V 10 cos37º 5 10 5 3 u5
y3
V 10 sen37º 3 10 3 3 u
5
La dirección de R:
y
x
V 3tg 1 45º
V 3
a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º
11. Hallar el vector resultante:
Trazamos el vector X:
d a X (1) b c X (2)
Reemplazando ec. (2) en (1):
d a b c a b c d 0
Sumando 2d a los dos miembros:
a b c d 2d 2d
R a b c d 2d
a) c2 b) b2 c) Cero d) d2
12. Hallar el vector resultante:
Trazamos el vector X:
b X a (1) d X c (2)
Resolviendo las ec. (1) y (2):
b d a c a b c d 0
Sumando 2b y 2c a los dos miembros:
a b c d 2b 2c 2b 2c
R a b c d 2(b c)
a) c2 b) b2 c) c d) )cb(2
83º
b
a
150º
b
127º
150º
R
5 u
X
10 u
3 u
Y
37º
X
a b
c
d R 2 d
X
-
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13. Hallar el módulo de la resultante:
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5
14. Hallar el módulo de la resultante:
Se traza el vector de color azul que es la resultante del
conjunto superior e inferior; por tanto: R = 5 + 5 = 10 cm
a) 5 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 10 cm
15. Hallar el módulo de la resultante:
1R AB BC AC
T 1R R AC 2 AC
El módulo de la resultante:
TR 2 7 cm 14 cm
a) 16 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 14 cm
16. Determinar el vector resultante del sistema de vectoresen función del vector :
Sumando de dos en dos:
1R B C A
2R E D A
Resultante total:
T 1 2R R R A A A A 3 A
a) 2A b) 3A c) 0.5A d) 5A
17. Determinar la magnitud del vector resultante si cadacuadrado tiene de lado 10 m.
A 20 j
B 10 i
C 10 i 10 j
D 10 i 20 j
Resultante: R 10 i 10 j
Módulo:
2 2R 10 ( 10) 200 100 2 10 2
a) 210 m b) 10 3 m
c) 5 2 m d) 10 m
18. Hallar el resultante:
Sumando de dos en dos:
a AB d
c AB b
Combinando las ecuaciones anteriores:a b c d a b c d
Falta sumar a estos, los vectores “b” y “d”:
a b c d 2c 2d 2(c d)
a) d b) dc
c) dc2 d) )dc(2
R = 2 + 2 = 4 u
3 cm
A
6 cm
7 cm
B
C
A
A
B
C
D
A B
C D