Variables Aleatoires

8/19/2019 Variables Aleatoires

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Définitions Covariance Corŕelation Meilleur prédicteur linéaire

Chapitre 5

Couple de variables aléatoires

Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la finance

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Définitions1 On appelle couple de variables aléatoires (discrètes)

l’application:

Ω → R

ω → (X (ω),Y (ω))

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La distribution d’un couple de v.a. est définie parles ensembles X (Ω) et Y (Ω)∀x i ∈ X (Ω) et y j ∈ Y (Ω), la probabilité p ij del’évenement [(X = x i ) ∩ (Y = y j )]

3 De la loi conjointe, on tire les lois marginales

P(X = x i ) =

y j ∈Y (Ω)

P [(X = x i ) ∩ (Y = y j )] =

y j ∈Y (Ω)

p ij = p i •

P(Y = y j ) =

x i ∈X (Ω)P [(X = x i ) ∩ (Y = y j )] =

x i ∈X (Ω)p ij = p • j


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Exemple

Si X et Y prennent un nb fini de valeurs, on repŕesente

graphiquement la loi conjointe dans un tableau.Exemple : On tire 3 cartes d’un jeu de 32. Soit X le nombre decœurs et Y le nombre de brelan (3 cartes de même ”type”).X (Ω) = {0, 1, 2, 3} ; Y (Ω) = {0, 1} ; C 332 = 4960 tirages possibles

Cardinaux :

Y X 0 1 2 3

0 C 324 − 8 C 18 C

224 − 24 C

28 C

124 C

38

1 8 24 0 0

Distribution de probabilités :

Y X 0 1 2 3

0 p 00 = 252620 p 10 =

273620 p 20 =

84620 p 30 =

7620 p •0 =

616620

1 p 01 = 1620 p 11 =

3620 p 21 = 0 p 31 = 0 p •1 =

4620

p 0• = 253620 p 1• =

276620 p 2• =

84620 p 3• =

7620 p •• = 1


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Indépendance

Définition

Deux v.a. X et Y sont dites indépendantes si: ∀x i ∈ X (Ω) et∀y j ∈ Y (Ω), on a P [(X = x i ) ∩ (Y = y j )] = P(X = x i )P(Y = y j )

Dans l’exemple, on remarqueP

[(X = 3) ∩ (Y = 1)] = 0 = P

(X = 3)P

(Y = 1),donc X et Y ne sont pas indépendants

Généralisation

n v.a. X 1, ...,X n sont dites indépendantes si:∀x

1 ∈ X

1(Ω),..., ∀x

n ∈ X

n(Ω), on a

P [(X 1 = x 1) ∩ ... ∩ (X n = x n)] = P(X 1 = x 1)...P(X n = x n)

Typiquement, si on répête une même expérience plusieurs fois dans

les mêmes conditions, et que X i se réfère à la i ème expérience, on a

indépendance des X i Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la finance

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Covariance

Obejctif : Étudier le ”lien” entre deux v.a.

Définition

Soient X et Y deux v.a. On appelle covariance X et Y le réélσXY = cov(XY ) = E [(X − E(X )) (Y − E(Y ))]

Propriétés1 cov(X ,Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y )2 cov(X ,Y ) =cov(Y ,X ) (symétrie)3 cov(X ,X ) = σ2X =Var(X )4

cov(aX + bY ,Z ) = acov(X ,Z ) + b cov(Y ,Z )5 Var(X + Y ) =Var(X ) + 2cov(X ,Y )+Var(Y )6 Si X et Y sont indépendants alors cov(X ,Y ) = 0

(cov(X ,Y ) = 0 n’implique pas nécessairement X et Y indpts)

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| cov(X ,Y ) |≤ σx σy (égalité ssi Y = aX + b )Renaud Bourlès - École Centrale Marseille Mathématiques pour la finance

D´fi i i C i C ĺ i M ill ´di li ´ i

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Exemple

On a deux bôıtes A et B et 2 billes 1 et 2. Chaque bille estplacée au hasard dans une des deux bôıtes.

Soit X =nb de billes dans la boite A ; Y=nb de bôıtes vides.On a X (Ω) = {0, 1, 2} et Y (Ω) = {0, 1}

4 cas équiprobables


D´fi iti C i C ĺ ti M ill ´di t li ´ i

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Y X 0 1 20 0 1/2 0 1/21 1/4 0 1/4 1/2

1/4 1/2 1/4 1

E(X ) = 0x 1/4 + 1x 1/2 + 2x 1/4 = 1 ;E(Y ) = 0x 1/2 + 1x 1/2 = 1/2E(XY ) =?, XY (Ω) = {0, 1, 2}P(XY = 0) = 3/4, P(XY = 1) = 0, P(XY = 2) = 1/4

⇒ E

(XY

) = 2/4 = 1/2⇒ cov(X ,Y ) = 1x 1/2 − 1/2 = 0

On a cov(X ,Y ) = 0, or X et Y ne sont pas indépendants, par ex

P(X = 1 ∩ Y = 1) = 0 = P(X = 1)P(Y = 1) = 1/2x 1/2 = 1/4



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Definitions Covariance Correlation Meilleur predicteur lineaire

Corŕelation

Définition

Soient X et Y des v.a. de moyennes finies et de variances nonnulles. Le coefficient de correlation de X et Y est alors

ρX ,Y = cov(X ,Y )

σX σY

Propriété : D’après la propríeté 7 de la covariance :

−1 ≤ ρX ,Y ≤ 1

Par ailleurs | ρX ,Y |= 1 ssi Y = aX + b avec a > 0 si ρ = 1 eta


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Vocabulaire

ρX ,Y = 0 ⇒ X et Y sont ”non corréĺes”

indépendants ⇒ non corrélés (la réciproque n’est pas vraie)

ρX ,Y > 0 ⇒ X et Y sont positivement corrélés

ρX ,Y = 1 ⇒ X et Y sont parfaitement positivement corrélés

ρX ,Y


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Meilleur prédicteur linéaire

Le coefficient de corrélation est souvent présenté commeune mesure de la relation linéaire entre deux variables

On a vu précédemment qu’une correlation parfaite

correspond à une relation linéaire (parfaite)Qu’en est-il pour les correlations ”imparfaites”?

Supposons que l’on veuille approximer une variable aléatoire Y par une fonction linéaire de X (autre v.a.) : α + β X .

Comment choisir au mieux α et β ? (on parlera alors demeilleur prédicteur linéaire)



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L’erreur de l’approximation s’écrit

= Y − α− β X

et est appelée la variable aléatoire résiduelle.

L’idée est de choisir α et β de façon à minimiser E(2),l’erreur quadratique moyenne. On noteMSE (Mean Squared Error) = E(2) = E [(Y − α− β X )2]

On a déjà vu que si ρX ,Y = ±1, l’apprimation peut-être faitede manière exacte, i.e. avec E(2) = 0.

Dans le cas général, l’erreur quadratique moyenne peut s’écrire:

MSE = E(Y 2)−2αE(Y )−2β E(XY )+β 2E(X 2)+2αβ E(X )+α2



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p

La valeur minimum de cette expression (si elle existe) estobtenue en égalisant les dérivées partielles (par rapport à α età β ) à 0. On obtient alors

β E(X 2) + αE(X ) = E(XY )β E(X ) + α = E(Y )

C’est-à-dire β =

σXY σ2x

α = E(Y ) − β E(X )

Remarque : alors E() = 0



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p

Pour résumer, on a

DefinitionSoient X et Y deux v.a. Soit l’équation Y = α + β X + où αet β sont des constantes et une v.a. définie par = Y − α− β X .

Alors Y est approximée par la relation linéaire α + β X avec comme variable aléatoire résiduelle. Le meilleur prédicteurlinéaire de Y par X est l’appliquation linéaire α + β X quiminimise l’erreur quadratique moyenne E(2).

Le coefficient β est appelé le beta de Y par rapport à X et ladroite y = α + β X est appelée droite de régression.



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Théroème

Le meilleur prédicteur linéaire de Y par X est donné par :

σXY σ2X

X + E(Y ) − σXY σ2X

E(X )

Alors, l’erreur quadratique moyenne minimum est égale à

E(2) = σ2Y (1 − ρ2X ,Y )

On peut donc définir les propriétés suivantes du coefficient decorrelation

ρX ,Y = ±1 ssi il existe une relation linéaire en X et Y Plus ρX ,Y est proche de ±1, plus l’erreur quadratiquemoyenne (MSE) est faible quand on utilise le meilleurprédicteur linéaire



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Si ρX ,Y est positif, le meilleur prédicteur linéaire a unepente positive. Ainsi, quand X augmente (resp. diminue),le meilleur prédicteur linéaire de Y augmente (resp.diminue) aussi

Si ρX ,Y est négatif, le meilleur prédicteur linéaire a unepente négative. Ainsi, quand X augmente, le meilleurprédicteur linéaire de Y diminue et vice-versa.

Attention : Une forte correlation n’implique pas de relationcausale. Le fait qu’une variable Y prenne des valeurs quipeuvent être approximées linéairement par les valeurs d’uneautre v.a. X, ne signifie pas qu’une évolution de X cause uneévolution de Y (ex : augmentation des ventes d’ordinateur etd’automobile dans les années 90)





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Application - Modèle de marché

Soit une action S. En utilisant le meilleur prédicteur linéaire, onveut approximer le rendement hebdomadaire de S (R S ) par unefonction linéaire du rendement hebdomadaire du marché (R M ).

Le meilleur prédicteur linéaire donne

R S = αS + β S R M +

avec

β S = cov (R S ,R M )σ2M

et αS = E(R S ) − β E(R M )

β S est le beta de l’action S et correspond à la pente de larégression linéaire de R S sur R M





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Deux titres différents peuvent avoir le même beta

β S = 1 : les variations du titre suivent l’évolution du marché

β S > 1 : le titre amplifie les fluctuations du marché (titrevolatil)

β S


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Calcul du risque du titre

Var (R S ) = Var (αS + β S R M + ) = Var (β S R M + )

= Var (β S R M ) + Var () + 2β S cov (R M , )

Or,cov (R M , ) = cov (R M ,R S − αS − β S R M )

= cov (R M ,R S ) − β S cov (R M ,R M ) = 0

par définition de β S .Ainsi,

Var (R S ) = β 2S Var (R M ) + Var () = β

2S σ

2M + σ

2



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Le risque d’un titre peut donc être décomposé en :

un risque systématique : β 2S σ2M dépendant de l’́etat

global (macroscopique) du marché (taux d’intérêt, offrede monnaie, guerre,...) et proportionnel à β S (effetamplificateur)

un risque spécifique : σ2

qui affecte uniquement le titreconsidéŕe et est indépendant des phénomènesmacroscopiques. Ex : mauvaise gestion de l’entreprise,incendie qui détruit son usine ou invention technologiquequi rend obsolète la gamme de produits

D’après la théorie économique, un portefeuille diversifié (cf.

TD) permet de supprimer le risque spécifique. Seul le risquesystématique devrait donc être pris en compte pour évaluer lerendement d’un titre. Le beta d’un titre est alors lacaractéristique principale de l’analyse de son rendement.

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