Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare...

58
Reparti‚ tia unei variabile discrete Opera‚ tii cu variabile aleatoare discrete Func‚ tia de reparti‚ tie Momentele variabilelor discrete Func‚ tia caracteristic a Variabile aleatoare discrete Variabile aleatoare discrete

Transcript of Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare...

Page 1: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Variabile aleatoare discrete

Variabile aleatoare discrete

Page 2: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Variabile aleatoare discrete

1 Repartitia unei variabile discrete

2 Operatii cu variabile aleatoare discrete

3 Functia de repartitie

4 Momentele variabilelor discreteMediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

5 Functia caracteristica

Variabile aleatoare discrete

Page 3: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Repartitia unei variabile discrete

Variabile aleatoare discrete

Page 4: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Definitie

Definitia 1.1

Fie (E ,K,P) un câmp de probabilitate finit sau cel multnumarabil. O functie

X : E → {x1, x2, . . . xn, . . .}, xi ∈ R, i ≥ 1,

care ia un numar finit sau cel mult numarabil de valori reale senumeste variabila aleatoare discreta.

xi sunt valorile pe care le poate lua v.a. discreta X .

Variabile aleatoare discrete

Page 5: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Notam

pi = P{X = xi} = P{ e ∈ E | X (e) = xi }, i = 1,2, . . . (1.1)

probabilitatea cu care variabila considerata ia valoarea xi .Tabelul

X :

(xipi

), i = 1,2, . . . (1.2)

se numeste repartitia variabilei X.

Variabile aleatoare discrete

Page 6: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Evenimentele {X = xi}, i = 1,2, . . . formeaza un sistem completde evenimente. Au loc

0 ≤ pi ≤ 1 si∞∑i=1

pi = 1 (1.3)

Exemplul 1.1

Doua aparate de acelasi tip functioneaza independent unul de celalaltsi se pot defecta cu probabilitatea 1− p ∈ (0,1). Sa analizamnumarul de aparate ce functioneaza la un moment dat si cu ceprobabilitate acestea functioneaza.

Variabile aleatoare discrete

Page 7: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Evenimentele {X = xi}, i = 1,2, . . . formeaza un sistem completde evenimente. Au loc

0 ≤ pi ≤ 1 si∞∑i=1

pi = 1 (1.3)

Exemplul 1.1

Doua aparate de acelasi tip functioneaza independent unul de celalaltsi se pot defecta cu probabilitatea 1− p ∈ (0,1). Sa analizamnumarul de aparate ce functioneaza la un moment dat si cu ceprobabilitate acestea functioneaza.

Variabile aleatoare discrete

Page 8: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Operatii cu variabile aleatoare discrete

Variabile aleatoare discrete

Page 9: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Fie variabilele

X :

(xipi

), i = 1,2, . . . si Y :

(yjqj

), j = 1,2, . . . .

Notam

pij = P{X = xi ,Y = yj}, i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.1)

Propozitia 2.1

Au loc urmatoarele formule:

pi =∑j∈N

pij qj =∑i∈N

pij∑i∈N,j∈N

pij = 1(2.2)

Variabile aleatoare discrete

Page 10: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Fie variabilele

X :

(xipi

), i = 1,2, . . . si Y :

(yjqj

), j = 1,2, . . . .

Notam

pij = P{X = xi ,Y = yj}, i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.1)

Propozitia 2.1

Au loc urmatoarele formule:

pi =∑j∈N

pij qj =∑i∈N

pij∑i∈N,j∈N

pij = 1(2.2)

Variabile aleatoare discrete

Page 11: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Variabile independente

Definitia 2.1

Variabilele aleatoare

X :

(xipi

), i = 1,2, . . . si Y :

(yjqi

), j = 1,2, . . . se numesc

independente, daca

pij = pi · qj , ∀i = 1,2, . . . , ∀j = 1,2, . . . . (2.3)

adicaP{X = xi ,Y = yj} = P{X = xi} · P{Y = yj}. (2.4)

Variabile aleatoare discrete

Page 12: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Suma variabilelor discrete

Suma variabilelor X si Y are repartitia:

X + Y :

(xi + yj

pij

), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.5)

Suma X + α, α ∈ R are repartitia:

X + α :

(xi + α

pi

), i = 1,2, . . . . (2.6)

Variabile aleatoare discrete

Page 13: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Suma variabilelor discrete

Suma variabilelor X si Y are repartitia:

X + Y :

(xi + yj

pij

), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.5)

Suma X + α, α ∈ R are repartitia:

X + α :

(xi + α

pi

), i = 1,2, . . . . (2.6)

Variabile aleatoare discrete

Page 14: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Produsul variabilelor discrete

Produsul variabilelor X si Y are repartitia:

X · Y :

(xi · yj

pij

), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.7)

Produsul αX , α ∈ R are repartitia:

αX :

(αxipi

), i = 1,2, . . . . (2.8)

Variabile aleatoare discrete

Page 15: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Produsul variabilelor discrete

Produsul variabilelor X si Y are repartitia:

X · Y :

(xi · yj

pij

), i = 1,2, . . . , j = 1,2, . . . . (2.7)

Produsul αX , α ∈ R are repartitia:

αX :

(αxipi

), i = 1,2, . . . . (2.8)

Variabile aleatoare discrete

Page 16: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Puterea X r , r ∈ N are repartitia:

X r :

(x r

ipi

), i = 1,2, . . . . (2.9)

Variabile aleatoare discrete

Page 17: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Exemplul 2.1

Se dau variabilele aleatoare independente:

X :

(0 1 2

0,2 0.4 0,4

), Y :

(1 2

0,6 0,4

)

Determinati repartitiile variabilelor X + Y , X · Y , 2 + X , X 2, 3Y .

X+Y :

(1 2 3 4

0,12 0,32 0,4 0,16

), 2+X :

(2 3 4

0,2 0,4 0,4

),

XY :

(0 1 2 4

0,2 0,24 0,4 0,6

), X 2 :

(0 1 4

0,2 0,4 0,4

)

3Y :

(3 6

0,6 0,4

).Variabile aleatoare discrete

Page 18: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Exemplul 2.2

Ce distributie are suma variabilelor independente:

X :

−1 0 1

p2 53

p13

, Y :

−1 0 1 2

q2 85

q16

130

?

Dar produsul lor?

p2 +53

p +13

= 1 si p ∈ [0,3/5] ⇒ p =13

q2 +85

q +16

+1

30= 1 si q ∈ [0,5/8] ⇒ q =

25

Variabile aleatoare discrete

Page 19: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Exemplul 2.2

Ce distributie are suma variabilelor independente:

X :

−1 0 1

p2 53

p13

, Y :

−1 0 1 2

q2 85

q16

130

?

Dar produsul lor?

p2 +53

p +13

= 1 si p ∈ [0,3/5] ⇒ p =13

q2 +85

q +16

+1

30= 1 si q ∈ [0,5/8] ⇒ q =

25

Variabile aleatoare discrete

Page 20: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

X + Y :

(−2 −1 0 1 2 3

4225

36225

5771350

209675

227

190

),

X · Y :

(−2 −1 0 1 2

1270

971350

189225

11150

190

).

Variabile aleatoare discrete

Page 21: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete

Variabile aleatoare discrete

Page 22: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Functia de repartitie

Definitia 3.1

Fie X o variabila aleatoare discreta. Functia

F : R→ [0,1], F (x) = P{X ≤ x}, ∀ x ∈ R (3.1)

se numeste functia de repartitie a variabilei X .

{X ≤ x} = {e ∈ E ; X (e) ≤ x}

Variabile aleatoare discrete

Page 23: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Daca variabila X are un numar finit de valori,

X :

(x1 x2 . . . xnp1 p2 . . . pn

),

atunci expresia functiei de repartitie este

F (x) =

0, x < x1p1, x1 ≤ x < x2. . .i−1∑j=1

pj , xi−1 ≤ x < xi

. . .1 x ≥ xn.

(3.2)

Variabile aleatoare discrete

Page 24: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Observatia 3.1

Functia de repartitie este continua la dreapta, iar saltul ei într-un punctde discontinuitate xi este probabilitatea evenimentului"X ia valoarea xi"

pi = P{X = xi} = F (xi )− F (xi − 0).

Variabile aleatoare discrete

Page 25: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Functia de repartitie poate fi scrisa sub forma

F (x) =∞∑i=1

piσ(x − xi ), ∀ x ∈ R, (3.3)

unde σ este functia unitate a lui Heaviside:

σ(x) =

{0, x < 01, x ≥ 0.

(3.4)

Variabile aleatoare discrete

Page 26: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Derivata în sensul distributiilor a functiei de repartitie F este

f (x) =∞∑i=1

δ(x − xi )(F (xi )− F (xi − 0)) =∞∑i=1

δ(x − xi )pi , (3.5)

unde δ(x − xi ) este distributia Dirac calculata în xi .Functia f se numeste densitate de probabilitate siconsiderarea ei în cazul discret asigura tratarea unitara cusituatia variabilelor aleatoare de tip continuu.

Variabile aleatoare discrete

Page 27: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Exemplul 3.1

Determinati functia de repartitie a variabilei:

X :

(1 2 3 4 5 6

0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1

).

F (x) =

0 x < 10,1 1 ≤ x < 20,3 2 ≤ x < 30,6 3 ≤ x < 40,7 4 ≤ x < 50,9 5 ≤ x < 61 6 ≤ x

Variabile aleatoare discrete

Page 28: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Exemplul 3.1

Determinati functia de repartitie a variabilei:

X :

(1 2 3 4 5 6

0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1

).

F (x) =

0 x < 10,1 1 ≤ x < 20,3 2 ≤ x < 30,6 3 ≤ x < 40,7 4 ≤ x < 50,9 5 ≤ x < 61 6 ≤ x

Variabile aleatoare discrete

Page 29: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

F (x) = 0,1σ(x − 1) + 0,2σ(x − 2) + 0,3σ(x − 3) + 0,1σ(x − 4)+

+0,2σ(x − 5) + 0,1σ(x − 6).

f (x) = 0,1δ(x − 1) + 0,2δ(x − 2) + 0,3δ(x − 3) + 0,1δ(x − 4)+

+0,2δ(x − 5) + 0,1δ(x − 6).

Variabile aleatoare discrete

Page 30: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Momente (caracteristici numerice)

ale variabilelor aleatoare discrete

Variabile aleatoare discrete

Page 31: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

O v.a. poate fi caracterizata prin functia sa de repartitie.În multe situatii aceasta din urma nu este cunoscuta si se puneproblema introducerii unor alti parametri (caracteristicinumerice) care sa permita caracterizarea variabilei aleatoarerespective.� valoarea medie (sau speranta matematica), dispersia (sauvarianta), momentele initiale si momentele centrate dediferite ordine.

Definitiile urmatoare au fost date pentru cazul în care variabilaX are o infinitate numarabila de valori, de aceea pentruexistenta valorilor caracteristice de mai jos vom presupune caseriilor corespunzatoare sunt convergente. În cazul în care oserie este divergenta vom spune ca variabila X nu posedarespectiva caracteristica numerica.

Variabile aleatoare discrete

Page 32: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Momentul initial de ordinul r . Media

Momentul initial de ordinul r , r ∈ N∗ este

mr = M[X r ] =∞∑i=1

x ri pi . (4.1)

Media sau speranta este

M[X ] = m1 = m =∞∑i=1

xipi . (4.2)

Variabile aleatoare discrete

Page 33: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Momentul initial de ordinul r . Media

Momentul initial de ordinul r , r ∈ N∗ este

mr = M[X r ] =∞∑i=1

x ri pi . (4.1)

Media sau speranta este

M[X ] = m1 = m =∞∑i=1

xipi . (4.2)

Variabile aleatoare discrete

Page 34: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Proprietati ale mediei

1. Valoarea medie a unei constante este egala cu constantarespectiva:

M[λ] = λ.

2. Valoarea medie a unei variabile aleatoare care admitemedie este cuprinsa între cea mai mica si cea mai maredintre valorile posibile ale variabilei aleatoare. Dacaa = inf

ixi si b = sup

ixi atunci

a ≤ M[X ] ≤ b.

Variabile aleatoare discrete

Page 35: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

3. Daca X ,Y sunt variabile aleatoare discrete care admitmedie atunci

M[X + Y ] = M[X ] + M[Y ].

4. Daca X admite medie atunci

M[λ + X ] = λ + M[X ], λ ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 36: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

5. Daca X ,Y sunt variabile aleatoare discrete independentesi admit medie atunci

M[X · Y ] = M[X ] ·M[Y ]

6. Daca X admite medie atunci

M[λX ] = λM[X ], λ ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 37: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Exemplul 4.1

Urmatoarea variabila aleatoare nu admite medie:

X :

n1

n(n + 1)

n∈N∗

∞∑n=1

1n(n + 1)

= 1 deci X =v.a.

∞∑n=1

nn(n + 1)

este divergenta, deci nu exista media variabilei X .

Variabile aleatoare discrete

Page 38: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Momentul central de ordinul r . Dispersia

Momentul central de ordinul r , r ∈ N∗ este

µr = M[(X −m)r ] =∞∑i=1

(xi −m)r pi ; m = M[X ]. (4.3)

Dispersia sau varianta, este momentul centrat de ordin 2,adica

D2[X ] = µ2 =∞∑i=1

(xi −m)2pi . (4.4)

Variabile aleatoare discrete

Page 39: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Propozitia 4.1

Daca variabila aleatoare X are medie si dispersie, atunci areloc

D2[X ] = M[X 2]− (M[X ])2. (4.5)

Variabile aleatoare discrete

Page 40: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Proprietati ale dispersiei

1. Dispersia unei constante este nula

D2[λ] = 0

2. Daca X admite dispersie atunci

D2[λX ] = λ2D2[X ], λ ∈ R.

3. Daca variabilele aleatoare X si Y sunt independente,atunci

D2[X ± Y ] = D2[X ] + D2[Y ].

4. Daca X admite dispersie atunci

D2[λ + X ] = D2[X ], λ ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 41: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Mai general, daca variabilele aleatoare X1,X2, . . . ,Xk suntindependente si λi ∈ R, i = 1, k atunci are loc

D2

k∑i=1

λiXi

=k∑

i=1

λ2i D2[Xi ].

Variabile aleatoare discrete

Page 42: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Dispersia unei variabile aleatoare X este, într-un anume sens,cea mai buna valoare care caracterizeaza împrastierea valorilorx1, x2, . . . , xn adica media M[X ] este punctul cel mai potrivit fatade care trebuie sa masuram devierile acestor valori.

Propozitia 4.2

Daca

X :

(x1 x2 . . . xnp1 p2 . . . pn

)iar m este media sa, atunci

D2[X ] =∑i≥1

pi (xi −m)2 ≤∑i≥1

pi (xi − x)2, ∀x ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 43: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Dispersia unei variabile aleatoare X este, într-un anume sens,cea mai buna valoare care caracterizeaza împrastierea valorilorx1, x2, . . . , xn adica media M[X ] este punctul cel mai potrivit fatade care trebuie sa masuram devierile acestor valori.

Propozitia 4.2

Daca

X :

(x1 x2 . . . xnp1 p2 . . . pn

)iar m este media sa, atunci

D2[X ] =∑i≥1

pi (xi −m)2 ≤∑i≥1

pi (xi − x)2, ∀x ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 44: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Abaterea medie patratica

Abaterea medie patratica este definita prin relatia

σ = D[X ] =√

D2[X ]. (4.6)

Proprietati ale abaterii medii patratice.1. D[λ] = 0, λ ∈ R.2. D[λ + X ] = D[X ], λ ∈ R.3. D[λX ] =| λ | D[X ], λ ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 45: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Abaterea medie patratica

Abaterea medie patratica este definita prin relatia

σ = D[X ] =√

D2[X ]. (4.6)

Proprietati ale abaterii medii patratice.1. D[λ] = 0, λ ∈ R.2. D[λ + X ] = D[X ], λ ∈ R.3. D[λX ] =| λ | D[X ], λ ∈ R.

Variabile aleatoare discrete

Page 46: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Covarianta

Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:

Cov[X ,Y ] = M[(X −M[X ]) · (Y −M[Y ])] (4.7)

În cazul în care Cov(X ,Y ) = 0 se spune ca X si Y suntnecorelate.

Propozitia 4.3

Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie. Atunci:1. Cov[X ,Y ] = M[XY ]−M[X ] ·M[Y ].2. daca X si Y sunt independente, atunci X si Y sunt

necorelate. Reciproca nu este adevarata.

Variabile aleatoare discrete

Page 47: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Covarianta

Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:

Cov[X ,Y ] = M[(X −M[X ]) · (Y −M[Y ])] (4.7)

În cazul în care Cov(X ,Y ) = 0 se spune ca X si Y suntnecorelate.

Propozitia 4.3

Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie. Atunci:1. Cov[X ,Y ] = M[XY ]−M[X ] ·M[Y ].2. daca X si Y sunt independente, atunci X si Y sunt

necorelate. Reciproca nu este adevarata.

Variabile aleatoare discrete

Page 48: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Covarianta

Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:

Cov[X ,Y ] = M[(X −M[X ]) · (Y −M[Y ])] (4.7)

În cazul în care Cov(X ,Y ) = 0 se spune ca X si Y suntnecorelate.

Propozitia 4.3

Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie. Atunci:1. Cov[X ,Y ] = M[XY ]−M[X ] ·M[Y ].2. daca X si Y sunt independente, atunci X si Y sunt

necorelate. Reciproca nu este adevarata.

Variabile aleatoare discrete

Page 49: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Propozitia 4.4Fie X si Y doua variabile aleatoare care admit medie sidispersie. Atunci:

D2[X ± Y ] = D2[X ] + D2[Y ]± 2Cov [X ,Y ]. (4.8)

Variabile aleatoare discrete

Page 50: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Inegalitatea lui Cebâsev

Teorema 4.1

Fie X o variabila aleatoare care admite medie si dispersie finite.Atunci, pentru orice ε > 0, are loc inegalitatea

P{| X −m |< ε} ≥ 1− D2[X ]ε2 , m = M[X ]. (4.9)

Variabile aleatoare discrete

Page 51: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Daca luam ε = kσ în inegalitatea (4.9) obtinem

P({|X −m| < kσ}) ≥ 1− 1k2 . (4.10)

Relatia (4.10) este echivalenta cu

P({m − kσ < X < m + kσ}) ≥ 1− 1k2 .

Pentru k = 3 obtinem

P({m − 3σ < X < m + 3σ}) ≥ 1− 19

=89

= 0.88889. Deci, cu oprobabilitate cuprinsa între 0.88889 si 1, orice variabila ia valoricuprinse în intervalul (m − 3σ,m + 3σ).

Variabile aleatoare discrete

Page 52: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Daca luam ε = kσ în inegalitatea (4.9) obtinem

P({|X −m| < kσ}) ≥ 1− 1k2 . (4.10)

Relatia (4.10) este echivalenta cu

P({m − kσ < X < m + kσ}) ≥ 1− 1k2 .

Pentru k = 3 obtinem

P({m − 3σ < X < m + 3σ}) ≥ 1− 19

=89

= 0.88889. Deci, cu oprobabilitate cuprinsa între 0.88889 si 1, orice variabila ia valoricuprinse în intervalul (m − 3σ,m + 3σ).

Variabile aleatoare discrete

Page 53: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Exemplul 4.2

Numarul clientilor care viziteaza un showroom sâmbata dimineataeste o variabila aleatoare cu media m = 18 si abaterea σ = 2,5. Cu ceprobabilitate putem presupune ca numarul vizitatorilor va fi cuprinsîntre 8 si 28 de clienti.

Deoarece 8 < X < 28⇒ −10 < X − 18 < 10⇒ ε = 10 sifolosind relatia (4.9) obtinem:

P({| X − 18 |< 10}) ≥ 0.9375

deci probabilitatea ca numarul vizitatorilor sa fie cuprins între 8si 28 de clienti este de cel putin 0.9375.

Variabile aleatoare discrete

Page 54: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

MediaDispersiaInegalitatea lui Cebâsev

Exemplul 4.2

Numarul clientilor care viziteaza un showroom sâmbata dimineataeste o variabila aleatoare cu media m = 18 si abaterea σ = 2,5. Cu ceprobabilitate putem presupune ca numarul vizitatorilor va fi cuprinsîntre 8 si 28 de clienti.

Deoarece 8 < X < 28⇒ −10 < X − 18 < 10⇒ ε = 10 sifolosind relatia (4.9) obtinem:

P({| X − 18 |< 10}) ≥ 0.9375

deci probabilitatea ca numarul vizitatorilor sa fie cuprins între 8si 28 de clienti este de cel putin 0.9375.

Variabile aleatoare discrete

Page 55: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Functia caracteristica a unei v.a. discrete

Variabile aleatoare discrete

Page 56: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Functia caracteristica a variabilei aleatoare X este functia

ϕ : R→ C

definita prin relatia

ϕ(t) =∞∑i=1

ejtxi pi , ∀ t ∈ R. (5.1)

Variabile aleatoare discrete

Page 57: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Daca variabilele X si Y sunt independente, atunci

ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t). (5.2)

Variabile aleatoare discrete

Page 58: Variabile aleatoare discretemath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare discrete.pdfReparti¸tia unei variabile discrete Opera¸tii cu variabile aleatoare discrete

Repartitia unei variabile discreteOperatii cu variabile aleatoare discrete

Functia de repartitieMomentele variabilelor discrete

Functia caracteristica

Momentele initiale ale variabilei aleatoare X se obtin cu ajutorulfunctiei caracteristice, dupa formula:

M[X r ] = mr =ϕ(r )(0)

j r. (5.3)

M[X ] =ϕ′(0)

j= −jϕ′(0). (5.4)

M[X 2] = m2 = −ϕ′′(0). (5.5)

D2[X ] = M[X 2]− (M[X ])2 =(ϕ′(0)

)2 − ϕ′′(0). (5.6)

Variabile aleatoare discrete