VAR modeli 110

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.

VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI

II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA

Ekonomskog fakulteta Univerziteta u Beogradu

Zorica Mladenović

Literatura

•Ključne reference

•Enders (2004), Applied Econometric Time Series, Wiley.

• Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.

•Lutkepohl (2005), New Introduction to Multiple Time Series

Analysis , Springer.

•Juselius (2006), The Cointegrated VAR Model, Oxford University Press.

•Pomoćna referenca

•Mladenović i Nojković (2008), Analiza vremenskih serija:

primeri iz srpske privrede, EF, Beograd.



Neophodni termini analizeNeophodni termini analize

•Vremenska serija

•Stacionarnost

•Beli šum

•Autoregresioni modeli (AR) i

modeli pokretnih proseka (MA)

•Linearni proces

•Operator docnje L

•Vektorska vremenska serija

UvodUvod

•Cilj ekonometrijske analize:

•ocena strukturnih odnosa u ekonomiji

•Strukturni odnosi se uobičajeno modeliraju prema:

• Sistemu simultanih jednačina

• VAR modelu

•Postoje dva tipa VAR modela:

•Standardni (klasični) VAR model

•Strukturni VAR model

•Podela odgovara distinkciji na redukovanu i strukturnu formu sistema simultanih jednačina.



Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela

(standardni model)(standardni model)

( ) ×=

=

×−

×−

×−

ostalo

matrica onakovarijaci

nn parametara matrice

modela greska slucajna1,n šum, beli vektorski

1,n serija, vremenska vektorska

,0

,nn,ts,'aaE

,...,,

a

Y

st

p21

t

t

Ω

ΦΦΦ

Ovo je VAR model reda p, a dimenzije n.

tptp2t21t1t aY...YYY ++++= −−− ΦΦΦ

Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela

(standardni model)(standardni model): svojstva: svojstva

•Dinamički odnosi su u potpunosti zastupljeni (promenljiva je funkcija sopstvenih i pomaknutih vrednosti ostalih promenljivih u sistemu).

•Ne postoji apriorna podela na endogene i egzogene promenljive.

•Ne postavljaju se ograničenja na parametre modela (izuzev ograničenja o njihovoj linearnosti).



Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela: : osnovno ograniosnovno ograničenječenje

•Opterećenost modela parametrima

•Često je neophodno uvesti određene pretpostavke o parametrima modela:

p21 ΦΦΦΩ ,...,,,

PPooččeetaktak

Sims(1980) “Macroeconomics and Reality” Econometrica, 48

Uopštenje jednodimenzione analize na vektorsku vremensku seriju

...

dohodak V stopa, kamatna novca, ponuda

2211

t

tptpttt

t

t

t

t

tt

aYYYcY

V

X

Z

Y

XZ

+Φ++Φ+Φ+=

=

===

−−−

≠

=Ω==

τ

ττ

t

taaEaE tt

0)'(0)(

iΦ su matrice)1(

333231

232221

131211

1

=Φ

φφφ

φφφ

φφφ

Jedna od jednačina sistema

tpt

p

pt

p

pt

p

tttt

aVXZ

VXZcZ

1

)(

13

)(

12

)(

11

113)1(

112)1(

111)1(

1 ...

+++

+++++=

−−−

−−−

φφφ

φφφ

Svaka jednačina ima isti broj parametara



Strukturni Strukturni VAR(1)VAR(1)

t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt

t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 xt

y b b x y x

x b b y y x

− −

− −

= − + γ + γ + ε

= − + γ + γ + ε

• Slučajne greške modela (strukturni šokovi) εyt i εxt su procesi beli šum sa standardnim devijacijama redom σy and σx i korelacijom 0.

• Promenljive y i x su endogene.

• Šok εyt utiče na y direktno a na x indirektno.• Model ima 10 parametara za ocenjivanje.

Neka je dat strukturni VAR dimenzije 2: Yt=(yt, xt)’, reda 1:

Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modelamodela

• Strukturni VAR model nije u redukovanoj formi.• Podsećanje: u redukovanoj formi y i x su funkcije isključivo od

prethodnih vrednosti y i x.• Da bi se iz strukturne dobila redukovana forma VAR model

zapisujemo u matričnom obliku:

10 112 11 12

20 121 21 22

0 1 1

1

1

t t yt

t t xt

t t t

y b yb

x b xb

BY Y

εγ γ

εγ γ

ε

−

−

−

= + +

= Γ + Γ +



Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modela IImodela II

• Množenje sa B-1 omogućava dobijanje standardnog VAR(1)modela:

• Došli smo do redukovane forme koja je spremna za ocenjivanje.

0 1 1

1 1 1

0 1 1

0 1 1

t t t

t t t

t t t

BY Y

Y B B Y B

Y Y a

ε

ε

−

− − −

−

−

= Γ + Γ +

= Γ + Γ +

= Φ + Φ +

Teme:Teme:

1. Uslov stabilnosti VAR modela

2. Ocene parametara modela

3. Određivanje reda VAR modela

4. Uzročnost

5. Funkcija impulsnog odziva

6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja

7. Strukturni VAR model



TemTemaa::




4. Uzročnost




Uslov stabilnostiUslov stabilnosti sistemasistema

Uslov stacionarnosti Uslov stacionarnosti YYtt

≠

==−−−−

+=

+=−−−−

+=−−−− −−−

ji0

ji1]L....LL

ij

L)L(

acY)L(

acY)L...LLI(

acY...YYY

ijp)p(

ij2)2(

ij)1(

ij

tt

ttp

p2

21

tptp2t21t1t

δφφφδ

Φ

Φ

Φ

ΦΦΦ

ΦΦΦ

ij[

je (L) odElement

docnjeoperatoru po polinom matricninxn je

VAR(p) za je stabilan ako su svih pxn korena (rešenja) donje jednačine strogo veći od jedan po modulu:

tY

c)...I(

.0x...xxI

1p21n

pp

221n

−−−−−=

=−−−−

ΦΦΦµ

ΦΦΦ



Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti IIII

( )

( )

( ) ∑−

=−

−

−

−

++++++=

++++=

++++=++==

++==

++=

+=−

1t

0iit

i10

t1

1t1

211nt

2110211n

210112112

1011

t1t1t

t1t1t

aYc...IYt

aaYcI

aaYccaYcY,2t

aYcY,1t

aYcY

acYY

ΦΦΦΦΦ

ΦΦΦ

ΦΦΦ

Φ

Φ

Φ

M

Članovi kompletno su određeni sa tYY ,...,1 .,...,1,0 taaY

Uslov stabilnosti IIUslov stabilnosti IIII

( ) ∑=

−−−+

−

Φ+Φ+Φ++Φ+Φ+=

+=Φ−

+=

j

iit

i

jt

jj

nt

ttt

aYcIY

acYY

jt

011

1

11

2

11

11

...

1 je Neka

Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, tada je niz absolutno sumirajući. To znači da beskonačna suma konvergira ka:

Dodatno, element konvergira ka nuli dovoljno brzo, što znači da se može ignorisati.

1Φ

,...,,iΦi 101 =

∑∝

= 0i

i1Φ

∞→Φ −−+

jY jtj

,11

1

( ) .j,I...I 11n

j1

211n ∞→−→

++++ −ΦΦΦΦ



Uslov stabilnosti IUslov stabilnosti IVV

( )( )

( ) ,...3,2,1t,c...I,aY

ac...IY

acYY

211n

0iit

i1t

0iit

i1

I

211nt

t1t1t

11n

=+++=+=

++++=

+=−

∑∞

=−

∑∞

=−

−

−

−

ΦΦµΦµ

ΦΦΦ

Φ

Φ

444 3444 21

Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, proces iskazan kroz VAR(1) model je precizno definisan kao stohastički.

Zaključak: uslov stabilnosti Karakteristične vrednosti matrice po modulu su strogo manje od 1.

1Φ

1Φ

U tom slučaju postoji odgovarajuća vektorska reprezentacija pokretnih sredina beskonačnog reda

Ovo je fundamentalna reprezentacija za analizu reakcije vremenske serije na uticaj slučajnog šoka.

)(MA ∞

...]LLI[)L(

a)L(...aaaY

221n

t2t21t1tt

21

1

+++=

+=++++= −−

ΨΨΨ

ΨµΨΨµ

ΦΦ

Uslov stabilnostiUslov stabilnosti VV



Uslov stabilnosti VUslov stabilnosti VII

Matrična algebra: svih n karakterističnih vrednosti kvadratne matrice su strogo manje od jedan ako i samo ako je ispunjen uslov:

1Φ

444 3444 21

44 344 21

jedan. od manja strogosu modulu po jednacine, resenja Inverzna

jedan. od vecastrogomodulu posu ,,..., jednacine, Resenja

:znaci To

svako za

,,...,gg

1n

xx

1n

1n

n1

n1

x

1g,0gI

noAlternativ

0xI

1x0xI

==−

=−

≤≠−

Φ

Φ

Φ

Zapisujemo model u formi odstupanja od srednje vrednosti

tptp2t21t1t a)Y(...)Y()Y(Y +µ−Φ++µ−Φ+µ−Φ=µ− −−−

Grupišemo članove kao:

( )npnp

'tt1tt

1np

t

t

npnpn

n

n

p1p21

1np1pt

1t

t

t

0......0

0......0

0...0

H,,0

t,HuuE,uF

0

0

a

u

0I...00

00...I0

00...0I

...

F

Y

Y

Y

×

−

××

−

×+−

−

= =

=+=

=

=

−

−

−

=

Ωτ

ηη

ΦΦΦΦ

µ

µ

µ

η

τ ostalo

MMMMM

M

STABILAN PROCES:SVE KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI MATRICE F SU MANJE OD JEDAN PO MODULU

Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti

VAR(pVAR(p)) VAR(1)VAR(1)



Uslov stabilnosti: primer 1Uslov stabilnosti: primer 1

( )( ) stabilan. je proces dati 1 od vecastrogomodulu po resenja svasu Kako

4858.15,1525.2,2003.04.010.5x-1

:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost

3.012.00

3.01.011.0

005.01

3.02.00

3.01.01.0

005.0

100

010

001

odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam

3.02.00

3.01.01.0

005.0

:1 reda a 3, dimenzije VARdat je Neka

3212

1

−===⇒=−−

−−

−−−

−

=

−

+

+= −

xxxxx

xx

xxx

x

x

aYY ttt µ

Primer 1: grafički prikaz

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

X

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

Y

-4

-2

0

2

4

50 100 150 200 250 300

Z



Uslov stabilnosti: primer 2Uslov stabilnosti: primer 2

( )

stabilan. je model :jedan od vecastrogomodulu posu resenja triSva

i od Moduo i

:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost

odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam

:2 reda a 2, dimenzije VARdat je Neka

.545.526.455.3:xx,1

i26.455.3x,i26.455.3x,3.1x0x025.0x21.0x1

x025.0

00x

5.04.0

1.05.0

10

01

aY025.0

00Y

5.04.0

1.05.0Y

2232

32132

2

t2t1tt

=+−=

−=+==⇒=−+−

−

−

+

+

+= −−µ

Primer 2: grafički prikaz

-2

0

2

4

6

8

10

50 100 150 200 250 300

X

-4

-2

0

2

4

6

50 100 150 200 250 300

Y



Primer 3: nestabilan VARoba rešenja: jedan

-200

0

200

400

600

800

50 100 150 200 250 300

X

-4

0

4

8

12

16

20

24

50 100 150 200 250 300

Y

( ) .1xx0x10x11.0

01

10

01det

aY11.0

01Y

212

t1tt

==⇒=−⇒=

−

+

+= −

:nulom sa amoizjednacavtu Determinan

µ

TemTemaa::




4. Uzročnost






Ocena parametara Ocena parametara VARVAR modelamodela

Metod obiMetod običčnih najmanjih kvadrata nih najmanjih kvadrata

Metod maksimalne verodostojnostiMetod maksimalne verodostojnosti

( )

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

1T

1t

'tXtX

T

1t

'tXtYˆ

ta

1)1nptX

1ntY

1)1np'ptY...1tY1tX

tYnTY,...,1Y,0Y,...,1-pYpT

?nn,

)1npn,p21c

,Ω0:Nt,ataptYpΦ...2tY2Φ1tY1ΦctY

)1npn

−

∑=

∑=

=

+

×+

=

×

×+−−=

++

×

+×=

+−++−+−+=

+×

'A :ocenaONK

(

A'

:formi nojkondenzovau VAR

( vektor :je Neka

clanova od svaki za : vrednosti Poznato

matrica onaKovarijaci

( ... A' :nagiba parametara Matrica

,ONK kvadrata,najmanjih obicnih metoda Primena

(

Ω

ΦΦΦ

( )

( )[ ] [ ]

( ) ( )

( ) ( )

∑=

−−

∑=

−−

+−−∑=

−−

−−−+−−

+−−=

+−−−

−+−=

−−−+−=

=

+=

==

++++

=

T

1tt

1t

1

T

1ttt

1tt

1

1p1tt

T

1t

ttt

'pt1ttp21

ptp2t21t11p1tt

1p1tt

T

1t

,,...,,c

1p1,011T,T

a'a2

1log

2

T)2log(

2

Tn

XY'XY2

1log

2

T)2log(

2

Tn

parametri;Y,...,YYflogparametril

aX'AY

Y...Y1X,c'A

,Y...YYcN:Y,...,YY

parametri;Y,...,YYf

parametri;Y,...,YYY,...,YYf

p1

ΩΩπ

ΩΩπ

ΦΦΦ

ΩΦΦΦ

Π

ΩΦΦ

A'A'

:jnosti verodostofunkcije Log.

:formi nojkondenzovau VAR

...

:uzorka jnosti verodostoFunkcija

:MMV (uslovni), jnosti verodostomaksimalne Metod

48476



Odnos dva metoda: ocene su identične

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0'aX)ˆ(tr'aX)'ˆ(tr

X)'ˆ('atrX)'ˆ('a

:Napomena

X)'ˆ('a2X)'ˆ()ˆ('Xa'a

X)'ˆ(a'X)'ˆ(a

XX'ˆX'ˆY'XX'ˆX'ˆY

XY'XY

XXXYˆ

ttt

1t

tt

1

tt

1t

tt

1t

t t tt

1tt

1tt

1t

T

1ttt

1tt

T

1ttttt

1tttt

T

1ttt

1tt

1T

1t

'tt

T

1t

'tt

=

−=

−=

=

−=−

−

−+−−+=

=−+−+=

=−+−−+−=

−−

=

∑−

∑−

∑−

∑−

∑ ∑ ∑−−−

∑=

−

∑=

−

∑=

−

−

∑=

∑=

AAAA

AAAA

nulijednak iskalar jeelement poslednji

AAAAAA

AAAA

A'AAA'AA

A'A'

: vrednostminimizira koja Ocena :MMV

A :ONK

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩ

Ω

Ω

Ω

( ) ( )

A.A zarednost najmanju v ima izraz Gornji

definitna. pozitivno takodjeje matrica definitna pozitivno je Kako

AAAA

AA

1-

=

→

−−+

=

−−

∑ ∑−−

∑=

−

ˆ

X)'ˆ()ˆ('Xa'amin

X'Y'X'Ymin

t tt

1tt

1t

T

1ttt

1tt

ΩΩ

ΩΩ

Ω

Ocena kovarijacione matrice Ω izvedena za dato A

∑=

∑=

−

∑=

−−

=⇒=−⇒=∂

∂

−+−=

T

1t

T

1ttttt1

T

1tt

1t

1

'aaT

1ˆ0'aa2

1'ˆ

2

T0

)ˆ,(

a'a2

1log

2

T)2log(

2

Tn)ˆ,(

ΩΩΩ

Ω

ΩΩπΩ

A

izraz. gornji amaksimizir

kojamatricu definitnu pozitivno simetricnu naci :Cilj

A

l

l



Ocena kovarijacione matrice

T

.ji,n,...,1j,i,aaT

1ˆ

ˆ

Ti

.n,...,1i,aT

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ...ˆ

ˆ...ˆˆ

'aaT

1ˆ

T

1tjtitij

T

1t

2itii

T

1t

nn

n222

n11211

tt

uzorka obimompodeljen jednacine dve svake iz reziduala proizvodaZbir

:dijagonale glavne van matrice onekovarijaci Elementi

uzorka obimom podeljena jednacine iz kvadrata suma Rezidualna

:dijagonali glavnoj na matrice onekovarijaci Elementi

2

2

2

2

≠==

==

==

∑=

∑=

∑=

σ

Ω

σ

Ω

σ

σσ

σσσ

ΩMO

TemTemaa::




4. Uzročnost






OdreOdređđivanje reda VAR modelaivanje reda VAR modela

1. Testiranje značajnosti parametara

• Test količnika verodostojnosti• Direktna provera značajnosti pojedinih parametara

2. Informacioni kriterijumi

TestTest kolikoliččnika verodostojnosti nika verodostojnosti

Maksimum funkcije verodostojnosti za dobijene ocene

[ ] [ ]

2

Tnˆlog2

T)2log(

2

Tn)ˆ,ˆ(

2

TnTItr

2

1ˆTˆtr2

1

'aaˆtr2

1aˆ'atr

2

1aˆ'a

2

1

aˆ'a2

1ˆlog2

T)2log(

2

Tn)ˆ,ˆ(

1

n1

T

1ttt

1T

1tt

1t

T

1tt

1t

T

1tt

1t

1

−+−=

===

=

=

=

−+−=

−

−

∑=

−∑=

−∑=

−

∑=

−−

ΩπΩ

ΩΩ

ΩΩΩ

ΩΩπΩ

A

A

l

l

1pp;pp

)p(VAR:H

)p(VAR:H

0101

11

00

+= od veceje

Postavljamo sledeće hipoteze



2

Tnˆlog2

T)2log(

2

Tnl,ˆ,ˆ

p:H

2

Tnˆlog2

T)2log(

2

Tnl,ˆ,ˆ

p:H

11

*11

11

10

*o0

o0

−+−=

−+−=

−

−

ΩπΩ

ΩπΩ

A

: reda VAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako

A

: reda VAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako

1

0

)pp(nbrojm:LR

ˆlogˆlogTˆlogˆlogT

)(2H

Hlog2LR

0122

m

101

01

1

*01

*

1

0

−=≡

−=−=

−=−=

−−

aogranicenj

) verod.(f.

) verod.(f.

:jnosti verodostokolicnikaTest

χ

ΩΩΩΩ

ll

modelu. VAR celomu ukupno

jednacini svakoju ukupno

upromenljivsvaku na aogranicenj :jednacini svakoj U

)pp(n

)pp(n

pp

012

01

01

−

−

−

TestTest kolikoliččnika verodostojnosti II nika verodostojnosti II

( ) ( )

hipoteza. nulta odbacuje

put prvi po se kojoju fazom zavrsava se Testiranje 3.

itd. docnje, 3H docnje, 2H

docnje, 4H docnje, 3H :primer Na

unazad lnosekvencija sprovodi se Testiranje 2

vrednostiapriorne od se Polazi 1.

:TESTIRANJA ALGORITAM

jednacini svakoju parametara broj

: Simsa jaModifikaci

:jnosti verodostokolicnikaTest

10

10

::

::

.

p

np1k

ˆlogˆlogkTLR

ˆlogˆlogTLR

ˆlogˆlogTˆlogˆlogT)(2LR

1

1

10

10

101

01

1*

01*

+=

−−=

−−=

−=−=−= −−

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩΩll

TestTest kolikoliččnika verodostojnosti IIInika verodostojnosti III



Test značajnosti pojedinih parametara

•U slučaju kada je VAR model stabilan, a slučajna komponenta vektorski proces beli šum sa višedimenzionom normalnom raspodelom metodom ONK dobijaju se nepristrasne i konzistentne ocene parametara koje su normalno raspodeljene.

•Moguće je primeniti standardnu teoriju statističkog zaključivanja.

•Možemo koristiti standardnu t i F statistiku.

InformaInformacioni kriterijumi u cioni kriterijumi u VARVAR modelu modelu

• Kao i kod jednodimenzionog AR modela, i kod višedimenzionog VAR modela, funkcija informacionog kriterijuma (IC) se koristi za izbor optimalnog broja docnji.

• Optimalan broj docnji jeste ona vrednost p kojom se minimizira funkcija IC(p)

• Akaikeov, Švarcov i Hana-Kvinov

•Primena ima smisla jedino ako su reziduali VAR modela neautokorelisani sa aproksimativno normalnom raspodelom.

( )( )

( )( )T

np2

n

ln2ˆlnHQC

T

np2

nˆlnSC

T

np2

n

2ˆlnAIC

+

+=

+

+=

+

+=

Tln

Tln

sistema parametara brojukupan

Ω

Ω

Ω

48476

VAR modeli 110

Documents

Transcript of VAR modeli 110