Proceedings of the 1st Iberic Conference on Theoretical and Experimental Mechanics and Materials /

11th National Congress on Experimental Mechanics. Porto/Portugal 4-7 November 2018.

Ed. J.F. Silva Gomes. INEGI/FEUP (2018); ISBN: 978-989-20-8771-9; pp. 97-108.

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PAPER REF: 7372

VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE UN MODELO MATEMÁTICO PARA LA DETERMINACIÓN DE LA FUERZA Y POTENCIA REQUERIDA EN LA COMPRESIÓN DE TALLOS DE CAÑA PANELERA

Alexander Díaz1(*), Gabriel Calle1, Ciro Iglesias2

1Facultad de Ingenieria Mecanica, Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, 2Facultad de Mecanizacion Agricola, Universidad Agraria de la Habana, Cuba (*)

Email: alexdiaza@utp.edu.co

RESUMEN

El presente trabajo reporta los resultados de la validación experimental de un modelo

matemático para la determinación de la fuerza y potencia requerida en compresión de los

tallos de caña panelera por medio de rodillos cilíndricos con fines de extracción de su jugo

para la producción de panela. Dicho modelo involucra las propiedades físico-mecánicas de los

tallos de caña y los parámetros geométricos y cinemáticos de los cilindros. Para su validación

experimental se utiliza una maqueta diseñada, construida e instrumentada para tal fin, la cual

permite la variación de sus parámetros geométricos y cinemáticos. Se reportan los resultados

experimentales en función de la variedad de la caña de azúcar, la separación de los rodillos y

su velocidad angular. Se comparan los resultados experimentales con los resultados

obtenidos en el modelo teórico, obteniéndose coeficientes de determinación superiores al 0,95

Palabras-clave: Extracción de jugo, compresión con rodillos, rodillos cilíndricos, panela.

INTRODUCCIÓN

Se conoce como panela al producto de cualquier forma o presentación proveniente de la

evaporación del jugo de caña de azúcar (Saccharum officinarum L.) sin centrifugar, que

mantiene sus elementos constitutivos como sacarosa, glucosa, fructosa y minerales y que no

proviene de la reconstitución de sus elementos (azúcares) [1]. Esta es usada como

edulcorante y alimento en países como Colombia, India, Brasil, Perú, Ecuador y Filipinas,

entre otros.

La industria panelera se caracteriza por poseer procesos artesanales en la mayoría de las

fábricas de los países productores [2]. El sistema empleado para la extracción de jugo en la

industria panelera en Colombia es la compresión, la que se realiza en molinos de rodillos

cilíndricos, cuya producción carece totalmente de procedimientos de cálculo de base

científica. En la literatura no se conocen expresiones analíticas, experimentales y/o empíricas

para la determinación de la fuerza y potencia requerida en el proceso [3].

En este trabajo se realiza la determinación teórica de la fuerza y potencia requerida en la

compresión de los tallos de caña de panelera por medio de rodillos cilíndricos utilizando un

modelo que considera las particularidades del proceso [4,5,6], se realiza la comprobación

experimental en una maqueta diseñada y construida para tal fin [7].

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METODOLOGÍA

Fundamento teórico

En el proceso de compresión del tallo de caña panelera por medio de rodillos cilíndricos, este

es agarrado por los cilindros debido a la fuerza de fricción generada entre el tallo y la

superficie de los cilindros, ocasionando la rotura de la corteza y la fibra.

Condiciones de agarre de los tallos de caña en los molinos paneleros

Las condiciones de agarre de cuerpos por medio de cilindros están ampliamente referidas

(Krasnichenko, 1961; Turbin, 1967; Melnikov, 1978; Silveira, 1988 ) y son independientes de

la naturaleza del material. Su análisis se basa en las siguientes consideraciones: �- diámetro de los cilíndricos, m; d- diámetro del tallo de caña, m; �- separación entre los cilindros, m; �- velocidad angular de los cilindros, s��; - coeficiente de fricción entre la caña y el material de los cilindros.

De manera empírica en el proceso tecnológico de extracción de jugo para la producción de

panela, los tallos de caña son cortados de forma oblicua con ángulo de corte , con el fin de facilitar el agarre de los tallos de caña por el par de rodillos cilíndricos, Figura 1.

Fig. 1 - Condiciones de agarre de los tallos de caña con corte oblicuo.

Al entrar en contacto el tallo de caña con los rodillos cilíndricos se genera la fuerza normal

( ��) y la fuerza de fricción (� ), las cuales se relacionan a través del coeficiente de fricción entre ambos materiales ( � � ��⁄ ) dicho contacto define el ángulo de agarre (� � �� � ) el cual depende del ángulo de corte oblicuo del tallo de caña (). Del análisis físico, matemático y trigonométrico del esquema de la Figura 1, se obtiene la

Ecuación 1, la cual relaciona el diámetro (�) y separación de los cilindros (�) y el coeficiente de fricción (). El cumplimiento de dicha condicion garantiza que los tallos de caña sean succionados por los cilindros.

2� � � ��1 � � � 1��1� Dicha relación es independiente del diámetro del tallo (�). Bases teóricas del proceso de compresión de tallos de caña por medio de rodillos cilíndricos

El análisis teórico de la compresión de los tallos de caña se soporta en la dinámica de

compresión de los tallos de caña [6], base fundamental en el desarrollo teórico-experimental de este trabajo.

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Dinámica de compresión de los tallos de caña

La Figura 2 muestra la dependencia entre la fuerza ��, kN� y la deformación �∆�,mm� en la compresión del tallo de caña y las etapas que lo caracterizan.

En la respuesta de los tallos a ser deformados y fracturados se identifican las siguientes etapas

siguientes en su orden:

• Etapa de deformación elástica I: comprendido por el tramo OA (deformación elástica I)

se caracteriza por la elasticidad de la corteza y la oposición de esta a ser fracturada.

• Etapa fractura continua: superado el punto �#� la corteza se fractura iniciando una etapa de fractura sucesiva, debido a la rotura de los enlaces de las fibras, ocasionando

inestabilidad en la fuerza aplicada (tramo #$). • Etapa de deformación elástica II: Alcanzado el punto $ la caña adquiere nuevamente la capacidad de oponerse a ser deformada, la fuerza crece linealmente con respecto a la

deformación (tramo $% ) • Etapa de deformación plástica: superado el punto % la relación fuerza (�) deformación (∆�) deja de ser lineal y la fuerza crece rápidamente a medida que la caña es deformada (tramo %�), la presión al interior de la caña se incrementa y el jugo es separado y extraído de la fibra.

La identificación y análisis de las etapas descritas revelan que en las primeras tres etapas la

relación fuerza-deformación es dominada por un comportamiento aleatorio ocasionado por la

fractura continua del tallo lo que dificulta su modelación, el requerimiento energético es

15…25 % de la energía total consumida en el proceso y no se evidencia variación volumétrica

ni extracción de jugo.

Fig. 2 - Gráfico de la dinámica de compresión, fuerza (F) vs (∆�).

Fundamentación teórica de la etapa de deformación plástica de los tallos de caña

La deformación sufrida por el tallo de caña, en las tres etapas iniciales de la compresión,

transforman su geometría circular de diámetro ���, en una geometría aproximadamente rectangular de altura �&� y ancho �'�, la longitud�(� del tallo permanece constante, Figura 3. A partir de estas consideraciones se definen los coeficientes de compresión �)*� y expansión �)+�, que relacionan el diámetro ��� con altura �&� y ancho �'�mediante las Ecuaciones 2 y 3 respectivamente.

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(a)

(1)

(b)

Fig. 3 - Determinación de los valores iniciales de H y ' de los tallos de caña: (a) Vista frontal; (b) Vista lateral.

Dichos coeficientes se determinan experimentalmente al inicio de la etapa de deformación

plástica.

)* � *, �2�

)+ � +,�3�

Analizando el proceso de compresión al inicio de la etapa de deformación plástica, se

considera una muestra de caña de dimensiones iniciales: altura �&�, ancho �'�, longitud�(� y volumen inicial �./�. Al comprimir dicha muestra con una fuerza ���, se ocasiona un acortamiento en altura �∆��y un alargamiento en su ancho �∆'�, su longitud �(� paralela a la dirección de la fibra no sufre deformación, Figura 4.

Las deformaciones unitarias en altura �01� y ancho �0+� se determinan con las ecuaciones 4 y 5 respectivamente.

01 � ∆�& �4�

0+ � ∆'' �5�

Fig. 4 - Esquema de compresión de la muestra de caña.

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Las deformaciones en altura �∆�� y en ancho �∆'�, implican una variación volumétrica �∆V� de la muestra de caña debida al cambio de masa por la extracción del jugo, razón por la que la

generalización de los resultados se expresa en términos de la relación entre la presión �5� y la deformación volumétrica unitaria �06�.

5 � �( ∙ ' ∙ �∆'' � 1�

� �( ∙ ' ∙ �8 ∙ 01 � 1� ,MPa�6�

06 � 01 � 8 ∙ 01 ∙ �1 � 01��7� donde: �8� es el coeficiente de deformación transversal y es igual a valor de la relación entre la deformación unitaria en ancho �0+� y la deformación unitaria en altura �01�.

8 � ∆' '⁄∆� &⁄ � 0+

01 �8� La dependencia de la presión �5� en función de la deformación volumétrica unitaria �06� en la etapa de deformación plástica se muestra en la Figura 5.

Fig. 5 - Gráfico �5�vs�06� en la etapa de deformación plástica. La relación �5�vs�06� la describe la ecuación empírica:

5 � ABC∙DE , MPa�9� donde: �G� es el coeficiente endurecimiento y�A,MPa� el coeficiente de resistencia. Determinación teórica de la fuerza y potencia requerida en la compresión de

los tallos de caña

Con el objeto de obtener las relaciones geométricas requeridas en el análisis teórico de la

compresión de los tallos de caña, se adopta el esquema de contacto entre los tallos de caña al

paso por los cilindros y se define un punto (H) ubicado en la superficie de contacto de la caña y el cilindro como se aprecia en la Figura 6, donde: '- ancho inicial de contacto del tallo de caña, m; '/- ancho del tallo en un punto de contacto (o), m;∆1- deformación en altura del tallo de caña al paso por los cilindros, m; ∆+- deformación en ancho del tallo al paso por los cilindros, m;I- ángulo de contacto en el punto (H), rad;IL- ángulo de alimentación del tallo de caña, rad.

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Realizado el análisis geométrico y el tratamiento matemático correspondiente al paso del tallo

de caña entre los rodillos cilíndricos se obtienen las Ecuaciones 10, 11 y 12 para la

determinación de los valores de la deformación en altura (∆1), deformación en ancho (∆+) y el ancho del tallo de caña ('/) en el punto O.

∆� � )1 ∙ � � � � � � � ∙ senI ,m�10� ∆' � 8 ∙ )+)1 ∙ ∆�,m�11�

'/ � ' ∙ P8� ∙ ∆�)1 � 1Q ,m�12�

(a)

(b)

Fig. 6 - Fuerzas generadas al paso de la caña entre los rodillos cilíndricos:

(a) Vista lateral; b) Vista superior.

La acción de la presión unitaria 5 � ABCDE, sobre el diferencial de área �# � '/ ∙ � 2⁄ ∙ �I, genera una fuerza elemental ��� � 5 ∙ '/ ∙ � 2⁄ ∙ �I y una fuerza elemental de fricción �� � ∙ ���. La fuerza normal resultante ���� se determina con la Ecuación 13, y su línea de acción definida por el ángulo (I�) se determina con la Ecuación 14.

�� � A ∙ �2 ∙ R BCSTUV WXYZU[WXY\ Z] ∙ �^ �_ senI��I� �`

Za, kN�13�

I� � �� ∙ arcsen P�c∙d�∙ef ∙ g BCSTUV WXYZU[ WXY\ Z] ∙ �^ �_ senI� ∙ sen 2I �Ih

\Za Q , rad �14�

Los términos constantes J,T,B,Z,U,W, dependen de las propiedades físico-mecánicas de la

los tallos de caña, el diámetro de la caña ��� y diámetro de los cilindros ���. Determinada la fuerza normal ����, el ángulo de la línea de acción �I�� y conocido el coeficiente de fricción dinámico (i), se obtienen las expresiones para determinar la fuerza de compresión (�).

� � �� ∙ �senI� � i cos I��; kN�15� El momento torsor y la potencia requerida para la compresión de los tallos de caña por medio

de un par de cilíndricos, se determinan con las Ecuaciones 16 y 17 respectivamente.

k � 2 ∙ P� ∙ �2Q � i ∙ �� ∙ �, Nm�16�

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lm � k ∙ �,W�17�

La potencia teórica determinada con la Ecuación 17 solo tiene en cuenta la etapa de

deformación plástica, la potencia empleada durante todo el proceso de compresión de tallo de

caña considerando las cuatro etapas de deformación se determina con la Ecuación 18.

lo � �1,15…1,25� ∙ lm,W�18�

PRUEBAS Y RESULTADOS

Validación experimental del modelo teórico

Determinación teórica de la fuerza de compresión y potencia consumida

Las Ecuaciones 13 y 14, para la determinación de la fuerza normal ���� y el ángulo de la línea de acción de la fuerza �I��, son integrales que no tienen solución por los métodos analíticos, razón por la que se desarrolló una rutina de integración numérica en el programa

computacional Matlab R2011a. En la cual se utilizó la función quad, que realiza la evaluación

numérica de la integral por las cuadraturas adaptativas de Simpson, con un error de 1 × 10�r. Como parámetros de entrada se requieren el diámetro del tallo de caña, el diámetro del

cilindro, los parámetros de ajuste de la maqueta experimental y las propiedades físico-

mecánicas de los tallos de caña.

El diámetro del tallo de caña y los parámetros de ajuste de la maqueta experimental se

combinan en ocho variantes de cálculo teórico, que son las mismas variantes experimentales,

dichas variantes se muestran en la Tabla 1, El diámetro (�) medio de los cilindros es de 0,184 m

Tabla 1 - Variantes de cálculo teóricas y experimentales.

Variante �,m �,m �, s�� V 1 0,030 0,001 1,33

V2 0,030 0,005 1,33

V3 0,030 0,001 2,74

V4 0,030 0,005 2,74

V5 0,039 0,001 1,33

V6 0,039 0,005 1,33

V7 0,039 0,001 2,74

V8 0,039 0,005 2,74

Los valores medios de las propiedades físico-mecánicas de los tallos de caña de la muestra

(M), involucrados en el cálculo de la potencia requerida en el proceso de extracción de su

jugo por medio de rodillos cilíndricos para las tres variedades investigadas se resumen en la

Tabla 2 [5].

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Tabla 2 - Propiedades físico-mecánicas de las variedades POJ 28-78.

Propiedades

físico-mecánicas

Variedad de caña

POJ 28-78

Coeficiente de compresión �st� 0,52

Coeficiente de expansión �su� 1,16

Coeficiente de ensanchamiento lateral �v� 0,41

Coeficiente de resistencia �w�, MPa 1,03

Coeficiente de endurecimiento �x� 2,52

Coeficiente de fricción dinámico �yz� 0,25

Determinación experimental de la fuerza de compresión y potencia consumida

La validación experimental del modelo teórico se realizó en una maqueta experimental

diseñada y construida para tal fin Figura 7. La cual permite la variación de los parámetros de

trabajo: velocidad angular de los cilindros �, s�� y separación entre los cilindros �,mm. La maqueta consta con un dispositivo �6� para la determinación de la velocidad angular de los cilindros, una celda de carga �7� para la determinación de la fuerza de reacción del motorreductor y un par de celdas de carga �4� para la determinación de las reacciones en los apoyos del cilindro conducido (fuerza de compresión).

Fig. 7 - Representación esquemática de la maqueta experimental

1. Cilindro conducido; 2. Cilindro conductor; 3. Tornillo de regulación de la distancia h; 4. Celda de carga

fuerza de compresión; 5. Motorreductor; 6. Dispositivo para la medición de la velocidad angular; 7. Celda de

carga fuerza de reacción del motorreductor.

El acondicionamiento y amplificación de la señal eléctrica de las celdas de carga se efectúa

con una tarjeta National Instruments SC2046-SG. La adquisición de las señales se realiza en

dos osciloscopios: Fluke 196 C y 124. Como fuente motriz se utiliza un motorreductor

trifásico de tornillo sin fin y rueda de 3,7 kW y relación transmisión (80:1) (5), alimentado

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eléctricamente a través de variador de frecuencia Siemens Micromaster 440, que permite la

modificación de la velocidad angular de los cilindros (1) y (2). La transmisión de movimiento

entre los cilindros se realiza mediante un par de engranajes cilíndricos de dientes rectos (8)

que permiten la variación de la distancia entre ejes. Los aspectos constructivos y la

instrumentación de la maqueta experimental se aprecian en la Figura 8.

Fig. 8- Maqueta experimental (MAC1)

1. Cilindro conducido; 2. Cilindro conductor; 3. Tornillo de regulación de la distancia h; 4. Celda de

carga fuerza de compresión; 5. Motorreductor; 6. Sensor inductivo; 7. Celda de carga fuerza de reacción

del motorreductor; 8. Engranajes cilíndricos; 9. apoyos deslizantes.

Para la investigación en la maqueta experimental se obtienen muestras de caña de 40 cm de

longitud, asegurando que en cada tramo de caña estén presentes segmentos de nudo y

entrenudo. Los tallos de caña se cortan de manera diagonal con un ángulo �{ | }~°�, atendiendo las prácticas empíricas de los productores de panela, lo cual asegura que todos los

tallos de caña sean atrapados por los cilindros, Figura 9.

Fig. 9 - Corte diagonal de los tallos de caña.

La Figura10 muestra la introducción del tallo de caña a través de los cilindros de la maqueta

experimental.

Fig. 10 - Introducción de tallo de caña en la maqueta experimental.

Track-A: Experimental Techniques and Instrumentation

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Resultados obtenidos

La Figura 11, corresponde a la señal eléctrica de la celda de carga utilizada en la medición de

la fuerza de reacción del motorreductor, al paso del tallo de caña a través de los cilindros de la

maqueta experimental. Dicha señal presenta un primer punto de inflexión con un valor

máximo de la señal que indica el paso del segmento de nudo entre los cilindros,

posteriormente la señal decrece a medida que el segmento de nudo sale de la zona de

compresión, hasta alcanzar el siguiente punto de inflexión con un valor mínimo, indicando

que en la zona de compresión solo hay segmento de entrenudo, dicho comportamiento se

repite a medida que el tallo es comprimido por el par de cilindros.

Fig. 11 - Pantalla de captura de datos de la celda de carga para la medición de la reacción del motorreductor.

La Tabla 3 muestra los resultados teóricos y experimentales de la fuerza de compresión

obtenidos con el modelo matemático y la maqueta experimental.

Tabla 3 - Valores de las fuerzas de compresión teórica y experimental.

Variante Fuerza de

compresión teórica, � Fuerza de compresión

experimental, � Error,%

V 1 9 175,57 8 129,82 -12,86

V2 3 913,61 3 493,42 -12,03

V3 9 175,57 9 544,94 3,87

V4 3 913,61 3 598,90 -8,74

V5 14 370,96 12 875,94 -11,61

V6 7 373,68 6 658,50 -10,74

V7 14 370,96 11 296,74 -27,21

V8 7 373,68 5 890,56 -25,18

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El coeficiente de determinación entre los resultados teóricos y los resultados experimentales

para la determinación de la fuerza de compresión de los tallos de caña, arrojan un valor de

0,95. Dicho valor es satisfactorio y confirma el alto grado de adecuación del modelo.

La Tabla 4 muestra los resultados teóricos y experimentales de potencia obtenidos con el

modelo matemático y la maqueta experimental.

Tabla 4 - Valores de la potencia teórica y experimental.

Variante Potencia teórica, � Potencia experimental, � Error,%

V 1 683,87 718,31 5,04

V2 291,70 309,58 6,13

V3 1 408,78 1 473,89 4,62

V4 600,96 651,07 8,34

V5 1 069,66 1 029,92 -3,71

V6 548,41 533,02 -2,81

V7 2 202,15 2 190,92 -0,51

V8 1 129,85 1 065,97 -5,65

El coeficiente de determinación entre los resultados teóricos y los resultados experimentales

para la determinación de la potencia requerida en la compresión de los tallos de caña, arrojan

un valor de 0,99. Dicho valor es satisfactorio y confirma el alto grado de adecuación del

modelo.

CONCLUSIONES

Se desarrolló el modelo matemático para la determinación teórica de la fuerza y potencia

requerida en el proceso de compresión de los tallos de caña por medio de rodillos cilíndricos,

el cual fue validado en una maqueta experimental diseñada y construida para tal fin. Se

comprobó la alta adecuación del modelo matemático obteniéndose coeficientes de

determinación de 0,95 y 0,99 en la valoración de la fuerza y potencia respectivamente.

REFERENCIAS

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desarrollo tecnológico para la cadena productiva de la panela y su agroindustria en Colombia,

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Agropecuarias, vol. 21, p. 53-57, 2012.

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[5]-A. Díaz, C. Iglesias, Determinación de las propiedades físico-mecánicas de la caña de

azúcar como objeto de la extracción de su jugo para la producción de panela, Revista Ciencias

Técnicas Agropecuarias, vol. 23, p. 18-22, 2014.

[6]-A. Díaz, C. Iglesias, Dinámica de extracción de jugo a compresión de la caña de azúcar

para la producción de panela, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, vol.2, p 81-85, 2012.

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estatal de literatura de construcción de máquinas, vol. 2, Moscú, 1961.

[9]-B. Turbin, Maquinaria Agrícola teoría y cálculo tecnológico, Mashinostoenye, Segunda

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Leningrado, 1978.

[11]-R. Silveira, Teoría y cálculo de máquinas agrícolas, Pueblo y Educación, La Habana

Cuba,1988.