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Revista Brasileira de Fsica, Vol. 9, NP 2, 1979

Escoamento de Fluidos No Newtonianos em SistemasParticulndos*

A. SILVA 'TELLES

CNPq

G. MASSARANI

EQe COPPEIUFRJ

Recebido em 5 de Maio de 1978

A const i tu t i ve equat ion descr ib ing the so l id - f l u i d i n t e r a c t i on

i n the f low of non-newtonian f luids through porous media and f l u i di zed

beds has been experimental l y es ta bl ished. The re sul t is a general iz at ion

o f the Forchheimer qua dra tic equation, which i s v a l i d f o r a l a rge c lass

o f f l u i d s .

A equao consti t u t iva para o termo de interao sl ido- f l u i d o

no escoamento de f l uidos no-newtonianos esta belec ida experimenta lmen

t e em meios porosos f i x o s e f luidizados. Obtm-se uma genera l izao da

forma qu ad r ti ca de Forchheimer, vlid a para uma c la ss e ampla de f lu id os .

1. INTRODUAO

A importncia do escoamento de fluidos no newtonianos em meios

porosos es t relacionada com as tcnicas de recuperao t e r c i r i a de pe-

t r l e o e com o processamento de solues po l imricas, po l imeros fun didos,

emulses e suspenses na indstria qumica e farmacutica.

* Trabalho apresentado no V? Encontro sobre Escoamento em Meios Porosos,

Rio de Janeiro, outubro de 1978.

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No escoamento le nt o at r av s de meios con st i t u do s de pa r t c u -

la s r el at iva me nt e grandes, a pre vis o queda de presso-vazo te m s i d o

f e i t a de modo s a t i s f a t r i o por meio da analogia cap i l a r1- ' . Nest e mode-

lo , a formulao pode ser est abe lec ida at ravs de caminhos d i fe re nt es a

p a r t i r da equao de Rabinowi tsch , res ul ta nd o equaes que recaem na f o r-

ma cl s si ca de Darcy, no caso de f l u i d o s newtonianos.

As s iuaes

que fogem a e s t e co nt ex to so cons idera das de um

modo genrico como "anormal idades" . O pr i mei r o destes casos oco r re no es-

coamento em meios de permeabi 1i dade reduz ida quando se v e r i f i c a provave l-

mente a adsoro das longas molculas pol imr icas na matr iz p o r o s a g - 1 2 . ~

anormal idade se faz s e n t i r ta nt o mais in tensamente quanto menor a vel o-

cida de de perc ola o do f l u i d o . No se conhece aind a uma formulao quelev e em conta os e f e i t o s de adsoro; neste sent id o, ta lv ez fosse pr o-

ve i toso segu i r as tra di es do est udo do escoamento de f l u i d o s pol are s a-

t ravs dea r g i l a s 1 3 ,

j que os dois casos se assemelham globalmente.

A segunda anormal idade" se r e f e r e ao escoamento a a1 tas vazes

em meios porosos, quando os chamados e f e i t o s in e r c i a i s se fazem s e n t i r .

Neste caso, o modelo c a p i l a r - extenso para f l u i d o s no newtonianos da

equao de Ergun - conduz a est imat ivas s a t i ~ f a t r i a s l ~ ' ~ ~ .

A t e r c ei r a anorma idade" a t r i buida aos e f ei to s de tenses

normais do f lu id o , genericamente assoc iada v i sc oe la st ic id ad e. Na ver -

dade, nem se pode a f i r m a r com segur ana se alguma e xpe ri nc i a mencionada

na l i t e r a tu r a comprove a ex i s t nc i a de t a i s e f e i t o s . Exem p li f icando , as

anormal idades ver i f icadas por Dauben e~ e n z i e ~

para op o l i x i d o

dee t i l e -

no PolyoxWSR301

no so con fir mad as, mesmo em con di es mai s des fa vo r -

vei s , pelas exper i nc ias de Massarani e ~ h ir i o t 8 . Do mesmo modo, s e r i a

impossvel estende r as concluses de Mars hal l e ~ e t z n e r ' ~e d e W i s s l er l

para os resu l tados de S iskov ic e t a2. .

Dent ro de st e quadro um t a n t o quanto desconexo, procuramos no

pres ent e t ra b al h o ap re se nt ar uma form ula o mais ampla para o escoamen-

t o de f l u i d o s n o-newto niano s em meios p oro sos . O pon to de pa r t i da a

equao do movimento do f l u i d o t a l como ob t i da da Teo r ia de Mis tur os ene-

l a procuramos, a t ravs da an1 is e dimens io na l , uma forma co ns t i t u t i v a do

termo de it e r a o

f l u i do-matri porosa.

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Cons ideramos

o f l u i d o como sendo um " f l u i do s i mp l es de ~ o 1

e o escoamento n o meio poro so como sendo v i scom t r ico, o que eq ui va le es-

senc ia lmente a adotar o modelo capi lar .

A an1 i se apresentada por s l a t t e r y 2 \ em 1967, assemelha-se

nossa em seu p l ano ge r a l , d i f e r i nd o s ubs tanci a lm ente , no en tan to , n a f o r -

ma do tr ata me nt o e no gra u de ge ne rali z a o

dos resul tados.

As l e i s bsi ca s de conservao, que formam o nc le o d a t e o r i a

do t ra nsp or t e em mis tur as, foram estabe lec ida s por ~ r u e s d e l 1 e, mais

tarde, general i zadas por Kel Com base ne sta s equaes e na ex pre s-

so do crescimento da e n t r o p i a na forma da desigualdade de Claus i um-De-

hem, di ve rs os aut ore s desenvolveram uma t e o r i a de mi st ur as capaz de des-

c r ev e r fenmenos desde a d i f us o molec ular e as reaes qumicas, a t e o

escoamento em meiosp o r o s o s 2 3 > 2 4 .

Dentro da 1inha de id ia s dest es aut ores , as equaes de con-

t i nu i dade e do movimento do f l u i d o podem ser e s c r i t a s do modo:

= - grad p + d i v - m p g2 )

Nestas equaes E a porosida de do meio, e p so res pe ct ivamente a

presso e a densidade do f l u id o , a fo r a do campo ex te r i or , av a r i -

vel tempo, q a ve l o ci d ad e s u p e r f i c i a l do f l u i d o r e l a t i v a a uma r e f e r e n -

-c i a l f i x o ma t r i z porosa, T a t ens o pec u l i a r do f l u i d o na m i s t u r a e r-

-

a f o r a e x e r c i d a pe l o f l u i d o s ob re a m a t r i z por os a, ex c l u i ndo o empuxo

que compe o termo de campo externo.

Como nossa anlise l i m i t a d a aos sistemas em que a m a t r i z po-

rosa indeformvel , as equaes bsicas da fase s1 i d a no tem maio r im-

por tnc ia e sero om i t i das .

Formularemos, em segu ida, hi p te se s co ns ti t u t ivas que, apesar

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de sua simpl ic idade, parecem compatveis com os re su l tados conhecidos

mesmo em condies de escoamento a c e ~ e r a d o * ~ :suporemos que a tenso e

a f o r a res i s t iva sejam, para wn dado sistema f tu ido -matriz porosa,

funo da velocidade superf ic ial q ,

As funes G e f no so inteiramente a rb it ra r ia s, po is devem

sat i s fazer

segunda l e i da termodinmica e ao p r i n c i p i o da invarianas

mudanas de referencial . No caso de mat r i z porosa i so t rp ica , resul ta que

estas funes devem ser i so t rp icas e, po rta nto , devem t e r a segu inteforma, segundo teoremas de representao bem conhecidos:

O conhecimento atual sobre a tenso bastante escasso.Si1-

va Te1 les e ~e r nande s ~ve rif ica ra m atravs de um nmero l i mi ta da de ex-

perincias que a, praticamente n ul o para f l u i d os newtonianos, podendo,

no entanto, a t i n g i r valores si g ni f i ca t i vo s no caso de solues no-new-

tonianas. Fazemos no ta r, no en tanto, que nas ap l icaes mais importanteso escoamento

uniformeq

uniforme) ou mu it o se aproxima desta condi--o resultando das eqs. (2) e 3 ) para matrizes porosas homogneas a e-

quao

que no envolve o termo da tenso.

Este resultado constitui a forma da equao do movimento em-

pregada indZscmm2nudcnnente, nem sempre de modo correto, na literaturade

meios porosos. Evidencia claramen te a impo rtnci a da determi nao da e-

quao cons t i tu t iva para a fora res is t ivam.

Em re lao ao escoamento de f l u i do s newton ianos " inertes"

matr i porosa, um nmero subs tanc ia l de ex pe ri nci as re a l i adas desde o

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tr ab al ho p ione i ro de Darcy, em 1856, in di ca que a forma quadrt ica de

Forchheimer se ve r i f i c a corretamente2',

onde a viscosidade do f l u id o, a permeabil idade e um f a t o r adimen-

s io nal ambos dependendo somente das propriedades geomt ricas da mat r i z

porosa. A forma in ea r da eq.(8),

co n st i t ui a famosa l e i de Darcy, v l i da

t e le nt o em meios porosos.

3)

para o escoamento suficientemen-

Passemos, em seguida, ao escopo p r i n c i pa l do tr ab al ho que o

estabelecimento da equao co ns ti tu ti va de para f l u i d o s no newtonia-

nos. Vamos ad m i t i r que o f l u i d o pertena2

classe ampla dos f luidos sim-

ples de No1 e suponhamos que o escoamento no meio poroso seja visco -

t r i c o l g , o que equivale a adotar o modelo capilar.

No escoamento vi scom t ri co a tenso nos f l u i d o s simples de-

terminada por trs funes materiais ~ ( 1 ), (1) e 2(A),

onde a t a-

xa de distenso. A pr im ei ra determina as tenses cis alh an tes e as duas

l imas as tenses normais,

E possvel demonstrar que

e, assim, se estas funes possui rem tr s derivadas cont inuas na origem,

so v1 idas as equaes:

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A base do modelo capilar proposto reside na suposio de que

as propriedades mecnicas de fluido que determinan a funo material f,

eq. 4 ) , sejam suas trs funes viscomtricas. Mais expl ici tamente su-

poremos para a eq. 6) que

onde d. so parmetros geomtricos da matriz porosa com dimenses de can-

primento e A um valor caracterist co da taxa de distenso a ser deter-

minado. Sendo A uma grandeza cinemtica & icito supor que dependa ape-

nas da geometria e da velocidade

Oteorema fundamental da anlise dimensional permite escre-

ver para as eqs. (1 2) e (1 3 :

onde or d z / d o

i = I . . n. Sendo

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resulta das eqs. 101, 11) e 15)

e da eq. 9)

Este

imo resultado corrobora o conhecimento comum de que a

permeabilidade depende exclusivamente da morfologia da ma t r i z porosa,

quando o f l u i d o in er te em rela o mat riz .

Tomando a permeabilidade como um dos parmetros geomtricos,

que caracterizam a matriz porosa, obtemos das eqs. (14) e 15)

onde @i = di/ , i = I,... n

Finalmente, em ana

. e R fator geomtrico.

l og i a forma quad r ti ca de Forchheimer, eq.

8), e em concordncia com es ta mesma forma na reduo para f l u i dos new-tonianos, re su lt a da eq. 18)

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sendo c, e c2 fatores geomtricos.

Este re su lt ad o, in se ri do na equao do movimento, eq . ( 7 ,permite estabelecer a relao presso e velocidade no escoamento de f l u i -

do simples de No11 atravs de matriz indeformvel. Leva em conta, numa

mesma expresso, os denominados efeitos i ne rc i a i s, atravs do nmero de

Reynolds

e os ef e i t os de tenses normais, at ravs dos nmeros de Deborah

Fazemos notar ainda que o mesmo re su lt ad o con s t i t u i uma gene-

ra li za o daqueles ob tid os por div ersos autores para o escoamento s u f i -

cientemente lento1- e para o escoamento a vazes d i f e re ,

no entanto, no va lo r do expoente do nmero de Deborah em relao ao re-

sul tado de weissler17: segundo es te aut or, teramos ~ e na eq.(20). Po-

de-se v e r i f i c a r tambm que a formulao proposta no leva em conta e f e i -

tos de in terao f s ico-qumica ent re o f l u i do e a super f c ie da ma t r iz

porosa.

A u t i izao da eq. (20) na pre vi s o das var ive is de escoa-

mento impl ic a no conhecimento pr v io das t r s funes ma te ri ai s1)

,

u,(X) e u2(h) e dos cinco fatores geomtricos k, Q c, cl e c2.

Quanto 5s funes mat er ia is , as duas pr im ei ra s podem ser es-tabelec idas experimentalmente atravs de tcnic as bem conhecidas2'; a de-

terminao da terceira & complexa e duvidosaz9. Estima-se que o, assuma,

para uma dada taxa de distenso, valores uma ordem de grandeza maio r e s

que0 2

Entre os fatores geomtricos, k e c podem ser determinados a-

tr av s de experi nc ias simples conduzidas com f l u i d os newtonianos, ou

mesmo estimadas por meio de correlaes clssicas como as de Kozeny-Car-man para a permeabilidade

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e a de Ergun ou, de modo mais pre ci so , at ra v s da eq. 24), para o fator

C 27 ,

onde D uma dimenso c a r a c t e r i s t ica da matr iz porosa def inida at ravs

da super f c i e especi f ica a da part cu la,v

e

a tor tuosidade, cuj o val or

de aproximadamente 2,s.

De out ro lado, os fa ro re s Q, cl e c2 s podem ser determinados

atravs de experincias com fluidos no-newtonianos,

que a eq. 20)

mostra que estes so e1 iminados da formulao quando tratamos de fluidos

newtonianos. Analisando o modelo capilar proposto por Christopher e Mid-

dleman2 possivelmente o mais bem sucedido para descrever o es coa me nt o

len to em meios porosos, chega-se concluso que

s ig ni fi ca nd o que para meios gra nular es, quando a porosidade da ordem

de 0,4, o valor de Q deve se aproximar de0 9.

No dispomos de qua lquer

indicao sobre a forma dos coeficientes cl e c2.

3. ANLISE EXPERIMENTAL E CONCLUSES

A va idade da fo rmulao proposta pode ser anal isada atravs

de medidas de vazo e queda de presso no escoamento de fluidos no-new-

ton ianos ern s i stemas part iculados. A an1ise requer tambm o conhecimen-

t o pr v io das propriedades da ma tr iz porosa e das fu n e sm a t e r i a i do

f l u i d o .

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O- ESCOAMENTO LENTO [ exps l a 14

0 - ESCOAMENTO ALTAS VAZOES exps 15 a 21

.- ESCOAMENTO LEITO F L U I D I Z A D O [ ex ps 2 2 e 2 3

L

10

GRADIENTE

F I G I - E S COAMENTO DE FLUI DOS N A O N EWT ON I ANO S E M S I S T EMAS P AR T I CUL AD O SC O M P A R A A O

E N T R E O S G R A D I E N T E S D E P R E S S O T E RI CO e q . 2 0 )

E E X P E R I M E N T A L .

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vl(continuao)

Concentrao

ExperinciaPoros idade

Meio Porosoc ( )

Permeabilidade Fator c

kcm2 eq .24)

Nmero de Reynolds

Re (eq. 21 )Pol metro

sol. aquosa

( )

Areia arti-ficialmenteconsolidada

Areia arti-ficialmenteconsolidada

Na troso250 H

Natrosol250 H

Areia arti-ficialmenteconsol idada

Areia arti-ficialmenteconsol idada

Natrosol250 H

Pol yoxWSR - 301

~ r e i aarti-ficialmenteconsolidada

Areia arti-ficialmenteconsol idada

V istanex4,2

(em x i eno)

4,2

(em xi leno)

NM-L 100

4)

V is tanexNM-L 100

1 )

- Hidroximetil celulose, produto da Hoechst do Brasil Qumica Farmecutica S.A.(2) - Polixido de etileno, produto da Union Carbide do Brasil(3) - Hidroxietil celulose, produto da Hercules Incorporated4)

- Pol i-iso-buti leno, produto da Comrcio e Indstria I retama

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a

h

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Vi

,

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LI)

m

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1

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