Urc .. 1nik

Dr. Zdimir 0.1,\ TUTINOV\C

"'V'':ctuenti '?"0f. dr. Leo BUDIN ',of. dr. Gabro SMIUANIC :rof.

"i I

:", j; i

I~

. : . , !

~~~~~~, . ~ .. ~ '-:---~., .. ,.''" . ......-..::-: . .----- .. '-- '~~f-'-_"'J""'~"'~~_,.l-_';""";""--l-.;_. __ _

'.1: '.

-i"

,.i ..... , .. , f

I I

,

Ii. , i ~ 'il

I ! j

'C

Predgovor ,...:' :. , .'. .'.j. Neke \~ai.'nije oznakei sil1lboli . ! '. , :1- i .'

":i, :

1. Uy~dlli pojmovi i ,'. " " 1. L Analcigno i digit nIno piikazivanjc pod 1,2 .. Predocavailjc i prijcllosbinarnih veii,i 1.3. Impulsnc pojnve' u renlnim digitalnim

S)~ Opc.~ ko~figt~racija digitalnog ._. PovlJesnl pregled .. ,' .... ./ Literatura. ':,o '.' . . . . I ' .. ' fi';" .'

2, Brojevnl sus(lIvll kodovi .: ,., ' . I"~, 2,1. Poiicioni br6jevni sustnvi.: '.,

'. 2,2, Usooredba btojevnih sustava i ,,';, i3. Su~tnvi binarhog niza , : , " .,' , VI. Binarni kodovi ,'"",',., ... 2.5, Bin'arha kocllrani dekaasidk6d6vi'.).: i6, KodoYi's'rhitiimalnompromJenom;; . 2,7,"Znakov'ni kddovi ,,',">:';''')'';';; ;,." ';!;','

. ,.2,?/.'K?d~Y.i'zaiotkriVa~Jd.iispriivljallje:i..,'. VR'WO,,,", :'Ju~~r~~~ra; '!i":"iJ' .t;;~:;l ,.::.: ....

3. Loglckl sklopov! I Booleova algebra ." 3,1. Logika sudoya " ." , 3,2. Logicki sklo~ovi I i ILl ... :L'l, ElektHcnckur:iktcristikc:diodnill S 3A. 3.5,

],6,

],7,

3,8.

Invertin .' .ii., .. , .l. :, ", 13uo!:!ova algcbril ,.,; .; :. : Dvoclana iii dvovrijcdilOsila 13oo1cova

\\:I\ll~~vi d;j':i~r,a(lli.(.:;l): r:~~\):, BooiCovc funkCijc . ."" Vrijednost je funkCije i(54), standardnih oblika (56), ,Logick pisnnje slalldardne tablice funkcija (59); Kondenziranje tablice Dualna funkcija(61). Bre) funkcija Funkcije dvijllvurijabli OSIli>Vl1

Prctvurunje fUllkcije u NI oblik (i3). I'r~I\,;lr,,"je fUllkcijc" NILI.oblik 76):, Neke kompleksne funkcije (n) i Pozitivna i negativna logik:l. Mjcsol'it:l ILllika 7l} Litcralura . . .... 1". ~n

I Osnovna Syojstva ..... " . '.' .. .' . 1 ... .' ... , .... ".' '.: ... :.

.Prolzvodne tehnologl)C (85), Vrstc 1l1tcgflf:lllih ~klopova (kluSlflk (2(,4) . iJ J

i

25lJ

:V.:' . , .

i ':.

. , '. ij,.Jdl;'

t i

i

, i

i: r I

f

l t

I I

I

::,~.~,~::::~"O"'" b,,,' Obn:do~j podataka, koj! se ~.rikazu~u IlUmeri~kf,' obicno u bmarnom kodu. RazvoJ d1lJta!nc elektromkc !IJesno je poveza~ s razvojem digitalnih racunala i 0 njemu t zajamllo ovisan. Digitalna se eiektrolJ!Ka' stoga bavi, principima funkcionlranja i aClnima izvedbc digit1l1nih cieklronickih; sklopova i sustava. Digita~i su sllstavi anus u najsiroj upotrebi u vrlo razlicit~im: podrucjima, kao Slo su automatizacija, r, botika, mjerna !ehnika, radio i teieko~u-f nikacije, zabavna clcktronika i drugo. EI 'ktronicko digitalno racunalo; iIi kompju-: ter, takocler je digitalni sllstav. Svoj ~kSP!OZivl1i rast II proslosti i, sildasnjo:sti: di~il,:!na ele~~rol1~ka upra.vo J za~lli.va n'l n~zvoju r.acU!;arstva s?vacc~?g kaoskpi~! pnnclpa, naCli1a !zvodcllja ! prlll1Jcnc lracunarSk!l! tJ., kompJutersKlh metoda.: I: sllslava. .... ! i

Knjiga obuhvaea IlU cjclovit nacin kO!,lplcksnu problcmatiku osnova logickog !: elektrickog projektiranja digitalnih ski oRo va i sustava. Promatraju se istovremeno : i logicki i elektricki aspekti, S\O omogucujc cjclovitiji i kompleksniji uvid u probJeme analize i sintczc sustava. I.. . ... i

SadrZaj obuhvaea sustinske konccpcije, teoriju i modernu mikroelektronicku implementaciju.osnovnih digitalri'ih sklopova i sustava. Izlozeni su bitni pojmovi na podrucju brojevnih suslava i kodova. frezentirana je dvoznacnalogicka algebra i njena aplikacija u specificnim postJpcima analize i projektiranja logickih sklopova i sustava. Kombinacijskim skl?povima pristupa se sa stajalista njihove algoritamske funkcije i modularne implelnentacije. Sustavno su prikazane metodc. analize i sinleze sekvencijskih sustaval, zatim a!goritimi i sklopovidigitalne; . aritmetike. Ie rainovfsni memorijski pfincipi, sklopovi i sustavi. Posebnoise obraduju problemi vezani uz elektronicRu implementaciju digitalnihracunarskih . sustava, i to kroz'analizu sllvfcmenih in!ekriranih elektronickih sklopova, generiia-nje, oblikovanje i prijenos signala te pon'lsanje slozenih digitalnihmreza.Posebno poglav!je p~svee~no je razmat:anju .~()U?danoS.~ldigitalnih sustava, prOblem. u sve vece vaznosll u suvremenoJ tehmckoj praksl. .: ..:'

Knjiga moze posluziti l! prV()m r('(illJ kno'udzbenik sludentima Ilaslave iz eicklronike i raClillarS[v

x ! Sadriaj '9.3. D'k b' 'h b . d' I ; . ,n az marm roJcvu s pre znaKom .... , ........... 1 ; 266

'!

Komplementi brojeva (267), B'li komplement (268), (B-l)j kOiTI~lement (268) .

9.4. Zbrajanje dvaju brojeva ............... !. Paralelno zbrajanje binarnih brojeva (269), Serijsko zbrajanje binarhih bro. jeva (269) , Paralelno zbrajanje dviju dckadskib znamenaka u BdD-kodu (271)

9.S. Odbijanje , . , , . , .. , .. , .... _ ......... , . , !. Neposredno odbijanje dviju binarnih znamenaka (275), Odbijanje pomocu komplementa (277)

9.6, Zbrajanjc i odbijanje brojeva s predznakom 9.7. Mnoienje ... , , _ .. , . 9,8, Dijeljenje i druge operacijc

Literatura.. ,_,,_-.... , .

lO.-Memorije '.,......,.. -10,1. Osnovne koncepcije, karakteristike i klasifikacija , ' . , .

;.\.

10.2, Statitke poluvodicke memorijc , ......... , .... ,. i . : .. Princip (292). Bipolarne eelije (294), MOSFET celije(297), OrgJnizadija cipa (298), Vremenski dijagram (303). Karakteristike s~vremenih hatickih

269

275

279 202 205 286

287 287 292

_ . m~mo~lja (305); O.:ganizacija memorijske jedinice (306) "I:! oJ;' 10.3, Dmam!cke memoflJe .. , ... ,., ... ,.; ..... ,.......; '.' f. 307

.' Jednotranzistorsk~ memorijska ceiija (307), Organizacija cipa (308)"Kar~k-. teristikesuvr~menih dinamickih memorija (310), Organizacijamethorijske

, .. ;jedinice,,(311)I.I':". . . '. . ..... : ,;.: . : ';1.:.,: L 10.4. Feritne memorije , .. , .. , , .. , , ... : .. ;. :.' I, . : ... 311

Feritna jezgra kao memorijska celija (311), 20 fedtna memorija-(j13),.3D . .. /:'.. feritna memorija (314).. '. . . ..' J .. \. I ." .... '. . "..." ".,. .' .. t I , .. ';'~.(> 10.5., Permanentne memorije , .......... ' ... '.' ' '.' .. "',~;.~. ,

i. ,,!}.~~ Neprogramirljive permanentne memorije (ROM), CUil) , , I>r6gr~lillrJjivi l:.;i~r~~Hi.. .,RRF1.U'~9), ;(317),~~!i~ivi programirljivi RO~ (EP~9?Ji,.~~);.:f3~e~-Ii ;~"J;~'J'_tnC.a.'lZbnslV1 p~ogran11rlJlv! ROM (EEPROM) (.n9) , Svojstva suvrememh '., ::-i.!i'~;> permanentnih,.,memorija (320) , '. ",,d',' '06 C' k '1' '. te .. ., ;:, ;"H.;:\;;;~ A ;; If. Uill'lIJU ~'memonJe ... , ... , .. , .. , . ,.". ,'. '. ,

: : i':'>~' Nabojne menibrije (322), Mell10rije s magnetskim mjehuricima (324), POini i! \.. canje mjellurita (325), Generiranje mjehurica (327), Detekcija i anihiliranje

mjehuriea (328), Organizacija cipa (329) 10.7. Elektromehanicke memorije .... , ...... " .. " .. 1

Metode zapisa na magnetsku povr~inu (331), Magnetske trake (33~), Mag-netsld disk (335); Opticki diskovi (338) ,

10.8. 1 !ijl:rurhij~ IlIl:l1lorija ........ ~ Liter~tura ............... ) .----.

11, Ge!leriranj~, oblikovanje I prijenos signala 1 L 1. Prijenos i oblikovanje signala ....

CR mrde (343), Prijenosna lihija (345), Ogranicivaci (349) 11.2. Smetnje ... , ..... - ... , ....... , ........ , 1 .. , .. 11.3. Schmittov okidni sklop .. _ .. , .......... , , . , " .. '. ,

Osnovni sklop (353), Schmiltov okidni sklop s difcrencijainim POr'aCUlbm (356) , '

316

320

330

.i.~') 341

343 343

351 353

I -\1

.~

1 I

I I I

J

i 'i

Sadr2.:::.u:!..i _______________ .L.. ___________ ---.:......:X:.,::1 ,

11. 4. ~SO~~O:~~~~;Op 'n~o~~s;abil~~g' n;uiiiL);a;o;a '(358)', M~~o~t~b[!i' s 'k~~~a;a~ i 3i8 . (orom (361), Monostabil s logickim sklopovima (362), Viseokidni monostabil .! (362), Generiranje impulsa dvopoldiajnom mehanickom sklopkom (363) .:

:[ 1.5. Generatori pravokutnih impulsa i ... , ... " , ... ' .. , ...... 364 Osn'ovni sklop astabilnog iTIulliviGratora (364), Astabil sa Schmittovim okidnim sklopom (365), Astabi!i J logickim sklopovima (367), Astabi! s kristalom (368), Pretvarac sinusoidd u pravokutni val (368)

I 11.6. Generatod pilastog napona .".[.

LiteraturE .. , . , ........ 1 .... .

I d ., . d' . I I k I .. 12. Alia ogno- !gltUl!IU! Iglta no ana ogna 'qnvcrZiJ:! 12.1. Opec karakteristikc ........ j ..

369 372

373 373

12.2. DigitaJnoanalogni ~~nv:rtori , '. 'I . : ' .... : ...... : . ' ...... 375 DA konvcrtor stezmsklm otponn13 (,375), DA Konvertor s IJestVlcastom mrdom OIP.O:U (378), DA k~nvert9r s brojilom (380)

12.3. Anulogno-dlgltall11 konverton ... 1 380 Amplitudno-vremenski (Wilkinsondv) konvertor (380). Brojeci AD kQnver-tor (382), Kontinuirano brojeCi ~D konvertor (383), AD !convertor sa ~~~~::::~~m. a:r.o~S~!l~a~ij:o~ ?8:)'1 ~a~a.lc~n~ ~~ .k~n.v~r~o~ ~3~6: ..... 388

13. Pouzdanosl d~gltalnih skl~pova '; .. j , .' . , .. , .. '.' ...... : .. ; . 389 13.1. Kvarovl, pogreske I pouzdanos! 1 .... '; .. ,. ; ..... ',' .. ;..... .389

Vainost (389), Kvarovi i pogreSke ~389), Definicija pouzdanosti(391) . f .. 13.2. Ekspcrimentalne i teoretske funkcile pouidanosti' .. '. :',.>: . ':; . , .. ,392, :

Eksperimen talno. odredivanj e pouzdanosti.(3n), KontiilUirani model (393),; . i .. Sf(odnje vrijeme do kvara (MW) 1(395},Ek~ponencijaln~ raspodj!?! .. a k. va. T.t. rova(396), Odredivanj~ modeh iz Fksperimentalnih pod~taka.(396):, ;.;, i.

13.3. Pouzdanost komponenata digitalniH sustava .. , .... : '. ,; ... ,'.:":' ". ~:3~8 Model pouzdanostiintegrira~ih sklc!pova (398) ...... '" .', ';,""" ,.; . , ... ,~ .. !

134 ' p' 'd' . ',' ',~: ". ", ~-;,,"" j '.. . .,;:":'t' !.oIt.i.~. \.l~1:JtH\!.;;; ! ... ' ~ 1.99 . i ouz anostsustava' ... ;; ,', .. l .. .~ ,',' .. > ','\.~:;:

il! ! i , :.' I .11, '

': :2~----__________________ ~ __________________ ~~ ______ ~'.~Utyo,d~n~'IPiOJ~Il~10\': 'j , k; k: . . I: . I.! OJ' i . Napon u sadrzava kontinuiranu mf?rn:ac!jU 0 .t~ o~er ,ontmUl:a.~OJ rrllern .: velicini. Informaciia 0 ponasanju kontlnUirane vehclne maze se dobltll takIJ cia se . u jednakim vreme'nskim razmacima uzimaju lizord an:plituoe napo~~lu (sl. 1.2/;

-

Moze se dokazati Shannonov teorem uzoraka [SHANNON 49J kOJ! kazel d;~ c_ informacija bili POtpuDO sacuvana ako se uzorci uzimaju u diskretnlm fnteryahma At taka da bud(!At ;;;Tf(2jg) , gdje je Is gornja granicna frekvencija speftra yalnog i obUka iz kojeg se uzimaju uzorci. :

. . I

I I-

.' I

_

',' . :r:,:' , , SI. 1.1. A"'ogno~"k",,, p,ik~ kn""""',,,,, H",,, po~,ocu uzomkall" i I' I I < :~~ ~.

l:in!'()it~J.i\rij,e.~. ana19$~~ryk~o~Je: J~. ~?~.~~~~ p V,eh~l~l napoh~; ~ ,~~,;;~m: ;':T;n,ut~~ 1':;'ii~1-~~~.#lfu;~.p!itUdi~~.orka k?ja Je! Sarna ko.ntmulrano pr~mJenIJl,ra. YFl~c\nia, lJ. i . :: :;Illc:~epopnffi1t1 sve vnJednostlunutar nekog mtervala. I:.; I: . I '. . I .' ...... ; '~;.:,O., vak .. av disla'e.trio ... ". a. nalogni pri. kaz .moz. e biti i fe.ZUltat mj~.renj. ay~~!~Wp~ ~.!,~Ja Je ,I, ~fLi:ve6. posvojojprirodi diskretna,kao sto. je npr. nukleamo; zracenJe. IAmplItuda i~,;Hl.'rui~H:itp9~ inlP\ll~a iz.~etekto.r~ zrace?ja predst~ylj~t c~ analo~~ipri~~e~ergije I .;:.i-!.~~f,tlR:,.;f,!f:; c~!JwF.e /~Zm,~k,l~~ed~, :l~pu!sa bltl. )slUcaJ na V~~IJ~,?:~a:i:"J;,~~I~.?u . sa i" :'~:~~~W~~;~~~O,I? ~~rod?m Izvora zra~enJa. . ..' " ;;,,f: i L.

t:',:;n.lgl}~}~.PIt,kUf,'l?odat,ka zasm~a se. na upotrebl dlsfretmh.slg.n~f1}~_.p"lkaz :,;:broJeva'lSlmboltr. Akupodatak llIJe pnmarno dan u bro1canom obhku, :ond~ treba . izvrliti pretyorbu iz anaiognoga u digitalni obiik. Analogno-digitalnal prcfvorba

postiie se procesom kvantizacije. Na 51. 1.3a podatak je prikazaIi analogno amplitudom impulsa. Ako tu amplitudu, koja je u primjeru m~ slici ne~to v~ca 00 5 izmjerimo pomocu kvanla vclicinc 1, !aua CC!l10 uobiti kao rezultat pel i~pulsa. Ukoliko se amplituda impuIsa ne moze cjelobrojno podijelit( velicinom hanta, dolazi do pogrcSkc. D:I hi t:l jlugrdka bila sto Illanja, nastoji se ~potrijebiti sto manja mjerna jedinica. Taj je proces u nacelu isti kao i svaki d~ugi mjerni proces. i .

Kao rezultat takve pretvorbe dobili sma odredeni broj impulsa koji je digitaim prikaz ulaznog analognog podatka. Takav je prikaz brojeva jedna~ !p.rastarom nacinu prikazivanja pomocu kamencica iIi zareza na stapu, gdje cinjemca i da se radi 0 elektricnim impulsima, a ne kamenCiCima, DC mijenja nista u suStihi. qbrada brojeva prikazanih na taj naein bila bi, medulim, vrlo neprikladna i sRora,i pa sc zato ani uvijek pretvaraju u drugi oblik u nekom pozicijskorn brojevnoF SUr!avu,

... ,F." ,.~ ... ,

i i

..

I: , '

_,~I __ L

....

'\ I

i . 1.1. Arialogno i digiblrio prikazivanje pod.taka

U digitalnim je su~tavima"n';fr~(:See UUpOl eol bina~ni .. pa je .on i primjeru na slid 1.36. Vise 0 bln~r.nom ~ust ~u govor~ s: u tockl 1.2 ,

Prikazivanje podataka na dlgltalan na ',m obav!!~, :c~ se ~c:mocu clcktricnihsignala; Ij. impulsa, pri CCIllU mfonnaclJll .mJe saarz~!:a impulsa, vee u njegovoj prisut!1oSli iii ?epri utnostL,I?ig}talna obr~da Do'data}~a':!Di!!c:;':;!!;""i' ce zato mnogo manic podlozna smetnjama a fad dlgltalnog pouzdaniji od analognoga.Ko.~ ~:lalog?~g le~trontcko~ sustava obavljat ce se pomocu operaCljSKlh pOJaca a, p~ ce! mal~ . kojih dolazi pod utjecajem temperature iii starenja elemenata', rezultilta. Kod digita!nog' stlstava (oenos je odredena brojem kojima prikazujemo pddatke imoze bili, nekim praktienim gra?icama:" odabrana. .

u

c) b) Sl, 1.3. phncip ana!ogno-digitalrie.pre~'lorbe procesom kvantizacije:

a) podatak sadrZun u ampllt\l

4 I I Uv,~dni p()jmovi

1.2. . i i Predocavanie i prijenos binarnih veliCiina oJ. .: I !

! i Za prikazivanje digitalnih podataka moze se upotrijebiti bilo kaka\1 bro'jevni

sustav. Da bi se on uspjesno rcalizirao u nekom tehniekom sustavu, u ovom sJucaiu eJektronickom, potrebno je na prikladan nacin prikazati znamenke.ISvaka ;e znamenka mora realizlrati s nekim posebnim fiziekim stanjem. Zu pouz9un fad ta se stanja moraju m06 jasno prepuz.navati i dovoljno medusobno razliko:vati.Ako bismo zeljeli napraviti digitalni suSlav u nama dobro pozna tome dekadskolll sustavu, trebali bismo konstruirati elektronicki sklop s dese! razlicitih ~tanja. To je kompliciran i skup pothvat. Lako se i jcdnostavno mcc1utim mogu realizirati ova razlieita stanja. Binarni sustav je stoga osnova svih digitalnih eiektroniekin sustava.

Postoje dvije blnarne znamcnke: 0 i 1 (!lula i jcdinica). One se fizleki mO'-!\l predoeiti na razliCite nacine. Na sl. 1.4 prikazane su neke mogucnosti. Mehanieka sKlopka (prekidac) ima dva moguca stanja: otvoreni i zatvoreni kontakt.: Mozemo im po volji pridijeliti znacenja 0 j 1. Na slici l.4b prikazan je drugl primjer, papirnata traka na kojoj rupe predstavljaju 1, a nedostatak rupa predstavlja O. Znaeenje 0 i 1 moze se pridijeiiti po volji i pozitivnim i negativnim impulfima, bo na sl. l.4c. Takav nacin osigurava vrlo pouzdano prepoznavanje kod prijt)nosa niza impuisa, ali ne osigurava tako veliku brzinu prijenosa kao prethodni sustrlv, a oeito ce i sklopovi za generiranje i detekciju biti kompliciraniji. I

l r

a) b)

I

"I I

l D D 0 lOtt

!

c) d) SI. 1...1. Prt:doc,IV:1 Ii,.! hi!wmil\ \'dil'jn(i:

a) mciJanickom sklopkom b) bu~cnom I raklll11 c) puzitiv1il!!l i n":~;'.dl\HiHi iillpul::;jm~1 d) nizolll impulsa

Za.realizaciju pomocu elektronickih sk!opova najprikladnije je znaednje 0 i 1 pridijeiiti naponskim razinama tako ua npr. 0 V odgovara binarnoj 0, i a + 5 V binarnoj 1 (sl. l.4d). Pritom i gomja j donja razina mogu u sirokim g~anicama varirati. a da to ne utjcee na binarno znacenje koje InU je pridijeljeno. ;

,) I

,I " .1 '1

I I

'.'

I I

'j

I I

j .2. Prcdoc

-6 Uvodni pojmovi

razmak, jer se inace ne bi moglo delcktirali stalljc bez impulsa. To sc moze postiei tako da razm~~jzJTledu biJoya koji se salju uvijek budc jednak. Da bi takav sustav funkcionirao, na prijemnoj bi strani morao bili urcdaj za mjerenje vremena.

.-

1. iij cc

o 2. rijce

,---..-'--

o ! n informacijski I I impulsi ~~----~~LJ ____ ~i-~

u!

lonnnn n I I I l S1.1.6. Scrijski prijcnos binJlIliiJ podatab

I I 1 I

1 1 1

4- 0 I I I

I

'I i I I I

-'I : 1 1 I 1 1 lint 1 ! I I I

" 1/

o 1

D

no o

o 1

DO non n I I

.1. bit

2, bit

/Iti bit

takt

sinkronizacijski impulsi (laktni impulsi)

SI. 1.7. Paralclni prije!los grupa biil~!rfllil podiltaka

i . .1. i:llpubllc pojavc u rcalnim Jigitainim sust~lvi!l1;~, 7

BlldllCi da II jed nom sllstavll ima puno lakJih prijcnlnih mjesta, mjercnje vrcmcna obavlja sc pomocu tzv. sata (eng!. clock), koji je zapravo generator impulsa stalne frckvencije, [ZV, sinkronizacijskih illlplilsa, odilosno taktnih impulsa. Taktni impulsi slllzc za sinkronizaciju i n

8

defini;a vrijcme trajanja T, kao v:ijem~ i:ll1cdu srcdinc 'na pr~dnjem i st~lzlljcfJ1 rubu lmpulsa, U ~~vremenIm e!ektromcklm skJopovima la su vremena dpicn'Q U

, nanosekundn~m ,Ill ponekad mikrosekundnom podrucju. Mnogi ce skI ~oviisI pravno funkclOntral!, samo ako pobudni impulsi imaju vremena porast Ii ph'da

!spod odredene grantee, I ! ::

rrideaini} . ,

J ' pravokutm Impuls rea nt .

a)

ul If-

0,91-

, I O,5~ i O,l~

b) c) 51. 1.8. Razni obtid eiektricnih impulsa:

a) pravokutni . b) ~iijasti c) piiasti d) zvonoliki impuls

T

~--~.---+,------------~~--P-----l-LJ --+-.!4.-

SL 1.9. l1pican pravokutni impuls

. II

, Ili,',l Ii. l!i;

I:

d)

" ,

kU rodo,"nom "~n ~;.gi"lnih ,u,,~~, ;mpol,; ~lijede jed'n " d"g;m n ;,,;1 1 (k;t' ,~vd gen~,.atora ta"tal III promJenlJlV!m razmaclma. Ucestalos( inlpulsa jest ~OSje-I~an b~oj !mpu!~a u sekund~, ~ ucestalostbita jest broj bita u sekundi, pril ~erriu lopcemto te dVIJe ucestaiostl, lako povezane, nisu iSle. ! ! ; i ' P~isu.tan je sialan trend povecanja frekvencije s kojom rade uredaji, i t~ kao : :p,0S!Jedlca po:rebe ~~. se U odredenom vremenu obavi sto vise operacija. Uzrok je ill povecavanJu koliCme podataka, ali i u potrebi (npr. u upravljanju :brzim , ,

i . ,

I '/ 1 l ,

;j , I

1.4, Ope" kOllfiguradj;\ digilalllllg S\l~tava

procesima) da sc rezultat. postize,lJ, krd em vremenu. Povecanje r,r 'p,nJPnr, zahtijeva smanjenjc vrcmcna trajanja tC'1rl mena porasta i pad a , jeno je ta vremena povczivati s poj mom b tine impulsa. Tako ce kratkim vrcmcnom, porasla nazivali brzim ,)1 a on, a,jS dU,gaCkim, s,pO,.rim. brzine je naravno ovdjc kao i u drugi podrucjima relativno I vremenom. Danasjc npr. za vrijcme pora. a mikrosekunda pojam ~"~','N"

Za 'obavljanje odredcnc funkcije sluze d ektronicki skiopovi (~l~ ~la u~aze) d07od~ ~ignali u ob!ik.~dckt iF~.ih iinpuls~, dok se na J'WJYl'}

10 UVOdlli pojmovi

3. Aritmeticko-logicka jedinica obavlja aritmeticke i logicke operacije i donosi odiuke u skladu s programom.

aritmeticko Jogicka jedinica -, ,

I I

-',! I -n izlaz !

I '---""I--I I J I

I _____ -1

Si. LI0. Funkcionalna shcma kompjutera (opca konfiguracija digitalnog sustava)

. Kontrolna jedinica generira odgovarajuce elektricne (bin arne) signaie koji . upravljaju: radom svih ostalih jedinica. U sastavukontrolne jedinice il:alazi se 'i generatoftakta. ". . . " .... , '. . .. :' .

iIzl:iznajedinicapreuzima podatke iz me~orije i salje ih korisniku (covjeku iii nekom drugom tehnickom procesu, odnosno ureclaju). Izlazna jedinica moze biti pisac (stampac), zaslon katodne cijevi, crtac i s1.

Za obavljanje jednostavnijih zadataka digitalni sustav moze biti -i bez nekih dijelova. Npr. digitalni sat neee imati uobicajene ulazne jCi:linice ni memorije. Sastojat ee se U osnovi od generatora takta, djelitelja frekvencije i digitalnog pokazivaca vremena',Qigjtalni uredaji usli su danas u najsiru upotrebu u svim

. !judskim djelitli.ostima zahvaljujuCi u prvom redu kompjuterima kao univerzalnim strojevima za obradu podataka. Danas se takvi sustavi, veeeg iii manjeg stupnja sioienosti, upotrebljavaju za rjesavanje najveeeg broja problema u automatizaciji proizvodnje, u rnjernim uredajima, nalaze sc u kucanskim aparatima i zabavnoJ elektronici. Zapocela je proizvodnja digitalnih optickih diskova kao zamjcna za gramofonske pioce. Digitalne telefonske centrale vee su u velikom broju zamijenile centrale s mehanickim relejima. a uvoeli se vee i komplctno eligitaln

! \

2.

sustavi i ko

2.1. Pozicioni broj evni ~ustavi I

Prikazivanje brojeva na danasnji m:cin nlzultat je duge evalucije.: Babilanci pisali brojeve u pozicionom su~t~vu s bazom 60. '-'

I

J -! ,1 j'

I

, J

---I

14 Brojevni sustavi i kodovi

Neki od sustava koji su imali iIi joil imaju odredenu prakticnu vrijednost l?rik:azani su u tablici 2.l.

., Za znamenke je najprikladnije upotrijebiti poznate nam tzv. arapske znamenke za dekadski sustav. Za sustave koji imaju vise znamenaka uobicajeno je upotreb-ljavati velika slova onim redom koiim slijedc u abecedi. Ne postoji opeeprihvaceni standard za takvo oznacavanje za ~"e brojevne suslave. Za heksadekadski sustav sti ipak znamenke prikazane u tablid gotovo beziznimno prihvacene u praksi.

Pretvorba iii konverzija cijelog broja prikazanog u dckadskom sustavu u broj prikazan u drugim pozicionim sustavima moze se lako provesti sukcesivnim dijeljenjem bazom toga brojevnog sustava. Na primjeru koji slijedi primijenjen je algoritam (po stupak) za konverziju broja 18 u brojevc u nekim drugim sustavima. 1. Pretvor~~l~dek~gu binarni sustav:

;:18 = 9 ostatak 0 najmanja znacajna 2/

1

""m,,,k,} ~1

o

o

1 pajznacajnija znamenka 1.:,,0 o

vrijedi: 1810= 100102,

I

'!/ 1 0

-.---:

I i

\

I ,:: . 'j' f'l ".' , ,

i 1

16 Brojevni sustavi i kodovi

Tab!ica 2.2.

I

o 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24

25 26 27 28 29

Decimalni ekvivalenti potencija broja 2

2"

1 2 4 8

16

32 64

128 256 512

1024 2048 4096 8192

16384 32768 65536

131072 262144 524288

1048576 2097152 4194304 8388608

16777216

33554432 67108864

134217728 268453456 536870912

2 -n

1,0 0,5 0,25 0,125 0,0625

0,03125 0,015625 0,0078125 0,0039062S 0,001953125

0,000 9765625 0,000 488 28125 0,000244140 625 0,000122070 312 5 0,000 061035 15625 0,000 030 517 578125 0,000 015 258 789 062 5 0,00000762939453125 0,000 003814697265625 I) 0000019073486328125

0,000000 95367431640625 0,000000476837158203125 0,000 000 238 418 579101562 5 0,000 000 119209289550 781251 0,000 000 059604644775390 02S

0,000 000 029 802 322 387 695 3d 5 0.000000014901 16] 193847(i5~25 0,000 000 007 450 580 596 923 828 125 ! 0,000 000 003 725 290 298 461 91 ~, 062 5 0,000 000 001862645149230 957103125

30 1073741 824 0,000000000 931 322574615 478is15 625 31 2147483648 0,000000 000 465661287307739;2578125 32 4 9

'-__ -"-____ 2_4_9_6_7_2_96_-'---_0_,0_0_0000 000 232830643653869 1,628 906 ~5 J

i I

''..1

:ot' ~ 1 .

'I .{ i

~ ~!

2.2. Usporcdba brojevnih sustava

2.2. Usporedba broje1nih sustava i

Izvedene konverzije broja 18 mozemo prlkazati U tablici: I

Tablica 2.3. Prikaz broja 18 i.I raznl brojevnim sustavima

\

" 1\' Baza sustava B I

2 3 8

10 16 18

>18

Broj 18 10

10010 200 22 18 12 10 I

i .,

I I I ,

, i 1z tablice je vidljjvo da se broj 18 u sus~avu s bazom 18 pise kao 10, sto ustvari

znati: jcdna osnovna grupa od B = 18 jedinica i nista vise. U binarnom sustavn je takoder 102 = 1 X 2 + 0 X 1 = 210 , I . 'i

Broj 18 u sustavu s bazom vecom od 18 pise se sumo s jednim simbolom, u tabHCi je to slovo 1.. I . i

Iz tabtice 2.3 ocito je da se spovecanjeIT,l. baze sustava smanjuje broj znamel1alia kojima iska~ujeillo broj. T~j 4e za~ij~.c~kl v~jediti opcenito za hilo ko~i.broj:. :

Na temeljU toga mogio bl se. zaklJucltl da ce sustavl s vecom bazom bltlopcemto efi.kasniji za obavljanje racunll!1ja. Taj bi zakljucak bio ipak isuviSe ishitren jer (reba uzeti u obzir i potpuno suprotne ekekte do kojih dolazi s povecanjem B. Povecava se u prvom redu broj znamenak~. S povecanjem broja znamenaka raste i tablica mnozenja. Sve te efekte treba prpmatrati kroz njihov utjecaj na prik!ad-nost slistava za covjekovu upotrebu. Tu Je vrlo vazan element vrijeme potrebno za lICClljC le odrZa~anje ztl

Ii j, F I.

(

c 1 -

.):+::. ;1 !I

r I . 18 B,ojevni sustavi i kodovi ! Prikladnost nekogsustava za covjekovu upotrebu ne znaci da i9 on isto tako

pogodan i za prirnjenu u urec1ajirna za racunanje. Kao sto je vee istak71Uto, u prvorn pogiavlju, da bi se prikazala neka znamenka elektronickim skloporni, potrebno je da on irna onoliko razliCitih diskretnih stanja koliko irnai znarnenaka, tako da se svakom stanju moze pridijeliti znacenje jedne znamenke. Za prikat neicog broja sa n brojnin mjesta u sustavu s bazom B treba dakle n skiopova od kojih svaki ima B diskretnih stanja, kao sto je prikazano na 51.2.1. .

n brojnih mjesta . i Bn., Bn-2 BI BO . " I

Jrtl, _ :: I : II : I;!=:~ B ~;:~~;:~~h I lH~ ~. I ~II ~ 10 '''OJ, I : : l~ St. u, "'mdp p,"~ bwi' ,omo'" ",k,ro.,,",, '"op, I

CJ1~;,: .~,Ako je:svakodiskretnos~aI1jepovezano s jednorn zaruljicom, ondh ce z~ svaki i:;hf:>pOjedinacni broj kojiseprikazuje: svijetliti jedna od zanl1jica .1Jsvi\kdj vertikalnoj f;'~;';:'\:';;'grupi/,dakle ukupno' niariiljiea'. Ovailustracija poiTiClcu'zaruljich' nije sarno

; i, Y'hipotetskenaravi, ta se metoda za ocitavanje broja prirnjenjivala jo!s do: sredine r--r, i... sezdesetihgciruna-. -~. . ..... '[ ~~1r ": :U~.ti1~::::":N~P~~i~,pr~~

20 Brojev:ni suslavi i kodovi

2.3. Sustavi binarnog niza S.U.Sla~j ~.:a~ama 2,. ~, 8, 16 .i~d., tj. ~u~(avi kojima su baze clanovi binarnog niza (Il! tOC?IJ~ nl~a POZIClOfllh vnJedm;;;t~ bmarnog sustava odnosno niza cjeJobrojnih po:~n~lJa bro;a ,~!' mogu :e I.a~o medusobno pretvarati. U tablici 2j4 prikazano je pnrh L6-bro)e\,. lrprva cetm sustava, a fadi usporedbe prikazan' Je i dekadsk; sustav. -, '

!... .j. "

.'

\ I

!

\

\ I ,

i 20 Brojc~ni sJstal'i i kodovi

2.3. Sustavi binarnog niza I i j-,

. I S.u.sta~l ~. ba~ama 2,. ~, 8: 16 !~d., tj. ~us(avi Kojima su baze clano~i biria mog niza (Ill toc~.IJe O!~a pozlclOmh vnJednG~tl blnarnog sustava odnosno njza cje.lobrojnih pot~nclJa bro,Ja 2~, mogu :e j.a~o meclusobno ~retvarati. U tablici 2.4 prikazano je prvlh 16-bfDJeva trprva cetm sustava, a fad! usporedbe prikazan jei dekadski sustav. :

Tablica 2.4. Brojevj u sustavima s bazama to, 2, 4, 8 i 16

Baza sustava

10 2 4 8 16 00 0000 00 00 0 01 0001 01 01 1 02 0010 02 02 ,2 03 0011 03 03 :3 04 0100 10 04 14 05 0101 11 05 iSimboli i elementi abeccde riaziva; . a.Abecede rnogu:biti:razhCit;!: :'7:" . s up dekadskih znamenaka, slova, matelaticki shnboIi itd.,ili sveto zajedriolh l::r',

v~li.~!nL~eced~l52itLielimo -prikazatLbfuaminLl

~.,

1 l!

-, l '

I,

22 BrOje~rii su~tavi i kod~\Ci . Znamenke nekog brojevnog sustava mogu se prikaza~i kodom. kkO i,se primje-

rice dekadske znamenke zele prikazati binarnim brojevima, onda sci nek'i dekadski broj (npr. 17) moze u tom kodu prikazati kao: I '

17JO';~ ~ \ 1 7 i

Znak'; znaci odgovara odnosno prikazano je sa. Broj 17 mozelse i pretvoriti odnosno~verti!1!lL u,.binarni sllstav,kao sto je pokazano u tdcki 2.1, pa j~ 1710 = 100012, Treba stoga razlucivati pojmovelgldiranje i konver~a broj~a.

2.5. Binarno kodirani dekadski kodovi

Kad digitalni sustav obavlja neko racunanje, obicno su na ulazu i izlazu dekadski brojevi. Za Ijude koji se sJuze uredajem to je mnogo prikladnije bego prikaz u

,! binarnom sustavu. BuduCi da se interno upotrebJjava binarni sustav 'mogu se ~: dekadski brojevi pretvoriti u binarne, obaviti racunanjei rezultat pohov~o pretvo-" riti u dekadski sustav. Taj seprincip cesto upotreblj~va.Moguc je m~dutim i drugi

" pristup: Dekadske znamenke moguse prikaZatibinarniinkodom i na 'tai nacin ;JUn."'O"" . ", : .. 1.< .... '.. ~:''''T '....1 ;,. ~

. . ..... .. , I ' obavitb'sa: ;tako;',binarnq ;kodir~nim :,dek~dskjm !odnosno " . '.' broJevima, Ii rezultat ce pritome takoder bid u dekadskom ~ustavu.

, ObiiVljanje operacijaje u kodiranom 'prikazu kompiiCiranije pa st~ga ~ skuplje. VeCina ureclaja danas upotrebijava konverziju kad se radi 0 raCUnaI1ju, dok sc za obiadu diugih podataka rnoraju, naravno, upotrebljavati ~odovi. Kotlovi b prikaz znarnenaka zovu se i l.l!!.rneQ.~kLkodOJLL, . :,' :., I '.

;;,~Abece'd~i(bja se 'sastojiodde'kadskih:znamenaka ima'deset znakdva. Potrebna subaremcetiri bita da se prikaze deset e!emenata. Broj kombiriaJija od 4 bita jednak je 16,. p~ c~ dakle ~ kombinacija .ostati neiskonsteno. i

Takvlh 4-bltmh kodova Ima dakle, uz upotrebu jednadzbe (2.11):) 16' '

, .' -' =" 9..X 10lL- 6! .:::.k,

Binarno kodirani dekadski sustavi mogu se podijeliti na dvije velikc grupc: ~_zin~K~ .. k()dove i netezinske kodove.

Tezinski kodovi su oni kod kojih pozicij~ bita u nim ima s~lLllumecicku __ vrijednost~eZin~"..kao.sto_je-..tn...slucaj..Lkod p~h brojevnih sustava. Za

razl~~u od. pozici?nih sustava takve tezine nisu u medusobnom odnosu i mogu biti pozltlvne 1 negatJVne. 1ma 17 tezinskih kodova kod kojih su sve tdine pozitivne i oko 70 kod kojih su neke teiine i negativne, i

Netezinski kodovi su onda SVI' ostall' na .l.-o;ir. se ne mozve ... 't' . .. _ pnmlJ,em 1 gornp

definicija. '

2.5. Binarno kodirani dekadski kodovi 23

Kod 8421 dobiva se tako da se dek.~ds limznamenka~a.p~idij~liodgovaiaj~~~ b

. rnl' broj' kOj'j bi se dobio konverzlJom Takav kod, KO]l Je pnkazan.u .ta,bllC:1 IDa . '." I 2.5, nazi va se i pri\odni binarno kodinira~i ~eka;tskik6d, odnos~o, ledno~tavmJe" binarno kodirani dekadski (u engleskom J zlku cesto se upotreb!Java kratlca BCq == Binary Coded Decimal): . ,I ~e"5I'm(,))l I

,

Tablica 2.5. I

Dekadska znamenka

o 1 2 3 4 5 6 7' 8 9

10 11 12 .J3' 14' 15 .

Kod I 8421 I 0001 0001 0010 I 0011

0100 t 0101 0110

01111' ,1000 1001

' ,1100 ~ ,.1101

'1110 1111

k6d

neupotrijebljene kombinacPe'"

'."':""', J.",/"j ',',';

, \

I

i I

~~i~ \ , ... .... :." j

Dekadske znamenke dakle direktno odgLaraju brojevima u binarn~~'s~sta~u\ odakle i nazivprirodni. Primjer prikaza lbroja 17 u tocki 2.4 izveden je u ked\.( 8421. I drugaCije pridruzivanje rezultirat ce binarnim kodnim rijecima; Ipak; za svaki takav kod postoji poseban naziv, iakb svi zajedno spadaju u klasu binarniii ' kouova. Kod tciinskih sustava, kakav jc i LLl s";.a, uobicajello je da se u naziv~ koda navedu tezine pojedinih mjesta, racuhajuCi slijeva nadesno. '

Kod 2.nI (tabl. 2.6) upotrebljava prVihjl zadnjih pd kounih rijcci iz niza .. (l.U 16 brojeva binarnoga brojevnog sustava.

Ispravnost tezina pojedinog mjesta u ko u lako se kontrolira za svaku znamen" ku. Tako je npr. znamellka 5, cija je kodna rijec 1011, jednaku:5 = == 1 x 2 + 0 x 4 +1 x 2 + 1 xL'

,

24 13roj~vni 5us!avi i kodovi

Tablica 2.6. Kod 2421

!

Dekadski ekvivalenti 1 Dekadske znamenke Kt)d i brojeva binarnog I koda 2421 brojevnog sustava

0 0 0000 , 1 1 0001 f 2 2 0010 kad I 3 3 0011 4 4 0100

5 0101 neupotrijcbljcllc 6 0110

-'--7 --'- kombinacijc J () 1 I 1 --------7---------------- J ------------------------- -------------------------

8 I 1000 9 1001 10 1010

11 5 1011 12 I 6 1100 i 13 7 1101 ked 14 I 8 1110 i 15 . I 9 11111

Ovaj kod ima jos jednovazno svojstvo. Ako se u nekoj kodno] rije~l pretvori o u 1 i obrnuto, dobiva se komplement odgovarajuce dekadske zna~enke, i to tzv. deveti komplement koji je definiran bo razlika do najvece zname:nke. Mogue je takoder komplement prema bazi brojevnog sustava. Pretvaranje jedinice u nulu, a nule u jedinicu takoder je operacija kOrilplementiranja, ali u bin~rnom sustavu. Najveca znamenka tu je 1 i ako se od nje odbije 1, dobit ce se 0, ~ ako se odbije 0, rezultat ce biti 1. SlijedeCi ovdje reeeno, moze se ta provjbritiza svuku znamenku posebno upotrebom tablice 2.6, Ako se uzme npr. kodna rijcc 0011, kojoj odgovara znamenka 3, i obavi komplementiranje svakog bita posebno, dobit ce se kodna riiee 1100. koia odgovara znamenci 6, a ona je kompJen\ent znalllcllkc 3,

Kodovi koji imaju to svojstvo zovu se samokomplementirajuci kodovi. Neke se racunskc operacije, npr. odbijanje, moguefikasDOizvesti ~p~trebom komplcmcn-tao Ako se LElk Lomplement maze dobiti jednostavnim komplementiranjcrn svih bita, [0 jako pojednostavnJuje postupak jer se komplementiranje bila izvodi vrlo jednosl

~, I'

26

2.6. Kodovi s minimalnom prOffiJenOffi

Brojevni sustavi i kodovi

I

j , Grayev k6d (tab!. 2.9) spada u klasu kodova s minimalnom prornjenom gdje se susjedne~.~~e~iL~Jazlikuju sarno za jedan bit. K6d je .n.et~zins~i._

Tabiica 2.9.

.",,'{.,,' : "i - !" : : -: ~ -j ~. :"1 :'

Grayev k6d

Dekadska znamenka

a 1 2 3 4 5 6 7-8 9

10 11 12

13 14 15. I

Grayev k6d

OOGO bQ01 qou OOH! 91JO 0111 0101 O!QQ

~: ;

".;

-1100'" .. -...... 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

.

28 Urojcini suslavi i kodovi :

I ~ ~ .~- ~-- I 18-bitni I Znak 6-bitni 7-bitni , interni kod I I ASCII-kod EB:CDIC-kod , I I S 110010 I 1010011 1~1O 0010 , T 110011 I 1010100 UIO 0011 I U 110100 I 1010101 1~1O 0100 I V 110 101 1010110 I . 1~1O 0101 , W 110110 , 1010111 11100110 I I I x 110 III I 1011000 1110 0111 i y 111000 I 1011001 I IpO 1000 I Z 111001 I 1011010 I 1pO 1001 I I I I 0 000 000 all 0000 11110000 I 1 000 001

I

011 0001 Ii 11 0001

I 2 000 010 0110010 1111 0010 3 000 011 011 0011 1111 0011

I 4 000100 all 0100 1111 0100

I 5 000 101 all 0101 I li11 0101 6 000 110 all 0110 !ill 0110 7 000 111 011 0111 I 1111 0111 !

I 8 001000 I 0111000 I 11111000 I , 9 001001 I 0111001 I 11111001 praznina 110 000 I I 010 0000 I 0100 0000

(--~-1 ,---011 011 I 010 1110 I 0100 1011 , 111100 I 010 1000 I 0100 1101 I I + I 010000 I 010 1011 of 00 1110 I

. 101100 I 0101010 Oi011100 ) 011100 010 1001 0~011l01 - 100000 I 0101101 OlJlO 0000 I 110001 I 0101111 01110 0001 , 111011 I 010 1100 0110 1011 = 001011 I 0111101 01111110

1

, U t~b!ici s~ pri~.azani sar::o najvazniji znakovi tih kodova. Interni i6-bitni k6d se u OVOJ l.ll :[,0 sitcnJm vanpmama upotreblJava u najvecem brojl1 kompjutera. Sedr~lO?!tr:l ASCII-~od (American Standard Code For Information: Interchange) u pnmJem s.e redoVito dop~njuje jos jednim bitom, tzv. paritetnim :bitom (vise 0 tome ~ toc~! 2.8), pa postaJe zapravo 8-bitni kod. Zhog te cinjenice da se s 8 hita, dakle ~e.dmn: okteto~, mogu prikazati prakticki svi potrebni znakcivi, postula je ta kohcma l~formaCl]e nekom vrstom standardne osnovne jedinice (engleski: Byte). Drug\ poznati k6d prikazan u tablici jest EBCDIC (Extended BCD Interchange Code).

8 Kodo"j za otkrivanjc j j'pru"ijulljc pogrdaka ,~29 ~. . -;omocu zna~ovnog koda, n1ogU"c; je p~ikazati sve sto i normalnim pismom ria papiru, npr. u lflternom koau: I

100110 110101 010001 100U1~) 100110 011011 o V A K! 0

i 2.8. ~~~~;~ Z,\. otkrivtnje 1 ispravljanje PQ-

I ' Pri obradi iii prijenosu informacije prik~zane u bilo k~kvu obliku moze nas:

I , Brojevpi sustavi i kodovi 30

. Detek~ija jednostruke p{)greske s paritetnim', bitom jednostavnl ',. " ~p~t~eblJavana metoda. Parit~ll1L.biLse...dQdaje.:.s.".' lokaliziratina njihoVucpresjecistu Ci .. . ~P,c.u''pace.:.s .~. ~.QJP.9,~Ip~g!,~ska 'i .. je prouzrokovao pogresku moze' m Je. ~a taj .n,acID poznat konkretan bit koji :1, moCice se s'amo detektira;i l' e r ce se on~.1 I~~rav!t!. Dv?struka pogrekl ka u.' retku .,,'

,......--.

. J

I \ I I

l

32 BrojevL susl'avi i kodovi

I pog,TeSke. Iz.is~.I1e .ta.bJi~~2r

, I'f

I 34 Broje,vni sustavi i kodovi

'p Isp!tn~tbr~j ~d.i.bita moze prikazati progresku na !!kupQQ.(2'~1) bit- ozicj'a ~,:r ~ ISpl,n?J taohCl nema O. Buduei da se ukupna kodna riJ'ec 5a-t," d Pk J. >-1 lspltmh blta, mora biti: ~ )10, 7na ovmh 1\

~~z+i+l. I Odavde slijedi i kao funkcija od z (tab!. 2.15), , I; v Ov~ anal.i~a ~okazuje ?~ je prijenos ~. mogucnosti kotekcije jedhost~uke pogre-~ke. e~lka~mJl.:a ;ec,u ~olJc.mu mformaclJe. Ako se prenosi npr. jed~n ohet, tfebat ce JOS ,~O Yo VIse Ispltmh bIta, a ako se prenose 64 bita, bit ce dodta jds priblizno 11 % VIse, I'

--- .--_. I

[BARNA i PORAT73j' B A P D ' j. Wiley, 1973, . am a , ., orat, I., Integrated Circuits in Digital Electr~nics, New York,

[DEEi\;i i dr. 74J; Deem W Muchow K Ze' ' . I V A, Reston PUb!i~hin'~ Co., 1974." ppa A,. D'glwl Computer Circuits and C~"ccpis. Resloll.

!ERCEGOVAC i LANG 1985J: Ercegovac M Lan ~ D" .1 Algorithms, New York, J. Wiley, 1985'" g. I., Igltal Systems and MaralwarelFirmware

[,\!AI'.:o 79J' Mano Iv! D"tal L' . 1979 ~' "~'"-' ogle and Compu!er Design, Englewood ,Cliffs, NJ, Pr ntice.Halllnc .! "

[McCLUSKEY 86J' McCluske E Lo' D' . i 1986. . y, ., glc eslgn Pnnciples, Englewood Cliffs, NJ, Prcntice'Hall Inc., lNASHELSKY 77J Nashelsky L Y t d' . . '

. 977 . , ., An fO uchon to Digital Computer Techno.ogy New;York J "V'l I . , , . , ley, [PHISTER 58J' Phister M T I D' rD" ' [TAUB 82 . T~ub ' ','" ~';!!.lca . cSlgn o. Igllal Computers, New York, J. Wiley, 1958. ITOCCT 71j. Tocci~' ~lg~;l.~;r~u!ts and MIcroprocessors, New York, McGrawHill, 1982,

- , .. , gila ystcms, Englewood Cliffs. NJ. PrenticeHali Inc,. 1977.

.. : ~-;

3. poglavlje gicki sklopovij

ooleova algepra ~< '.:',,' '. I

3.1. Logika sudova ': I t< I ,

Mogucnost odrede~ih di italnih sklo ova ;,u}bavliill!uaCtllLSke oR,eracijei obra~; -(jUJU podatke zasniva se na njihovoj spognQstLoha:iLljanja.je.dnoMe~~j;j~iR=! operaCija.MatelllaUcKu analizu logike prvi . e proveo eng!eski matematicar George i

-Boole-(Dz&dz Bu!) 1847. godine pa se i lalgebra za analizu logike, tzv. logicd ' algebra, zove po njemu. OpCi interes za tU granu matematike pojavio se

,.t

\ I

36 'e''''; ""C'; ; "0' ",'" "' g' ''" , .. ' J

(3.2) , A! B=f A, B if su tzv. logicke varijable, a izraz (3.2) sarno jc skraceni: oblik pis

I j. 38 Logitki sklopovi i Booleova algebra

f= NE (svijctli zaruljica) Kombinacijska tablica prikazana je u tablici 3.3.

Tablica 3.3. Kombinacijska tablica logicke negacije: .

a}T= tocno, 1- = netocno; b) 1 = tocno, 0 = netocn6

A

T 1-

a)

f 1-T

A I f 1 o I ~

b)

Ako logicki sud oznaCimo sa A i ako je tacno da zaruljica sVij'et!i, ouda nijc tocno da.ona- NE-&vijetli; i obrnuto, ako nije tocno da zaruljica svijetli, onda jc tacna da ona NE svijet!i. Ta se funkcija naziva i logicka funkcija NE. Buduet da svaka logicka varijabla ima samo dva moguca stanja, 0 i 1, to znacida je negacija 1 jednaka 0 L obmuto, a toje jednako operaciji komplementiranja u binarnom sustavu (viditoc!cu2.5). To'se moze shvatiti i kao inverzija' l.linarne varijable. ',Ta se Jogicka:funkciia ~$_~2s,j ,k,omRicm,cnt: 9dno.sno ir!'y'erzii~ i.pise,-se

nasljedece naCine: .

3.2. Logicki sklopovi I i ILl

L;Qgickfu..Edje';riiO~.,::;~.!.:~alizirati pomocu digitalnilHJektr6iiickih skiopova.Na. slid 3.1 prikazano je kako -se' fOfftkIi:sk!op-iii~'kratc;T'skiop rd.ozerealizirati -. pomocu dva prekidaca odnosno sk!opke. To mogu biti obicne sklopke upravljane rukom iii elektricki upravljani kontakti releja. Mehanicki kontakti imaju mcc1utirn niz nedostat

40 Logicki sklopovi i 13ooleova algebra

pretpostavljene ideaine diode nece nimalo utjecati na izlaz. Ako su, medutirn, oba ulaza na visokoj razini, obje ce diode biti iskljucene, a na izlazu ce se pojaviti napon i~!l()j Uo,J.i, __ visoka razina.

-U1J--r----r=_V __ ~v.;...'"'I i I I

N I N I

f Uo--r---T---- v I I I I

1 N I N I N a) b)

N = niska razina N=O V = visoka razina V= 1

A B f A B f N N N 0 0 0 N V N =- 0 1 0 V N N 1 0 0 V V V 1 1 1

c) d) SI. 3.3. Diodni I-sklop:

a) izvedba b) ovisnost izlaza 0 uiuzima c) tablica ulazllo-izlaznih razina d) tablica logickih kombinacija

Sve te kombinacije ulazno-izlaznih signala koje su prikazane nai 51. 3.3b mogu se pregledno prikazati tablicom na 51. 3.3c. Da bi ta tablica pdstala tablicom logickih kombinacija, potrebno je svakorn od dva moguca stanja pridijeliti neko logicko znaeenje. Ako se niskoj razini pridijeli znacenje logicke 0, avisokoj znacenje logicke 1, dobiva se tablica kombinacija na 51. 3:3d. Logit.lce se funkcije_

prik.azllj~i.gr.aJi_~KL pa se u tu svrhu za osnovne funk'cije upotrebljavaju odredeni standardni sirnboli. Na 51. 3.4 prikazan je I-sklop na dva nacina. Slika a) prikazuje

-.t . ~

I

3.2. LogiCki sklopovi I i III 41

. bol s karakteristicnim Oblikomociab~anirn da predstavlja tu i sarno tu logicku ~::kcjju. Druge osnovne funkcije irnat cd takoder svoj pojedinacni si.mbol. Nd .sl.i~i b) prikazan je simbol preporuc~n od I Medu~arodne ~Iektr?te~mcke ~o:,nlslJe (IEC), koji predstavlja nesluzbem medunarodn.l 5.tandard. ~?lIk sl:nbo1a J~ cetv~rokut iii kvadrat za svaku funkciju, .. al 0 k?J0,l ~e JU~kCIJI :adl, oznaceno Je kvalificirajucim simbolom. Za I-funkcIJ~ kvahflclraJucl slmboi Je &.

:I N 8) 01 N

[I J N

I A-f"&l AB'~'l--f=AB I I t-f=AB

--L-J B-1 I a)

~I ...

N

V

n i I

I I

II b)

SI. 3.4. Graficki!SimbOli za l-sklop: a) karakteristicni simbol b) lEe s~andard

I I

, f

a) I I i

V V

I I I I r I

V I n I I N 1 ~ I V i I

I I

if b)

~~

A

N N V N

B

N V N N

c)

za: N = 0 V=l

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

d)

f N V V V

f 0 1 1

SI. 3.5. Diodni ILl-sklop: 0) izvedba b) ulazno-izlazna funkcija c) tablica ulazno-izlaznih razina d) kombinacijska tablica

l ,;

, I i "L,

" L I

. "'-"-::t'- I 42 I

. Logicki sklopovi Ii Booleova algebra

I-sklop moze imati i vise u!aza; tada se jednostavno paralelno dbd ,. : d' d ., ulazu ~klo~a ?a si. 3:~, Izlaz c~ biti na visokoj razini sarno kad sJ s~~u t'~o ;~~~ druga i treca ltd, vanpbla na vlsokoj razini. : " J P

Diodni ILl-sklop prikazan je na sl. 3.Sa. Uz pretpostavku j'dea' !n.!h d" d . I . , . 1 .., .'. I 10 a lZ azm ce signa OVISltl 0 ulazu na nacln pnkazan na si;ci 3 Sb Ak b' ! "

7" b' .( d' d .... " " u 0 su 0 au aza na illskoJ ra~ml, 0 Je ICe 10 e bltl lsk!Jucene a na izlazu ce b;ti napon 0 t" . k . Ako jedan od napona poraste, pripadna Ce dioda prov~sti ana iZlalL ~iS a ra~tn.a: ulazni napon. tj. visoka razina. Druga je d. ioda Pri tom~ iskIJ'ucena' Ae ske POj3vbltl ulazna nap . k' .. . . 0 su 0 a

, ona na VISO OJ razml voda ce ob:e diode . I " ! na visoko' razini S ' b':' . J . '. a lZ a~llI ce n:apon opel bltl

. J... ve Korn lllaclJe ulazno-!zlaZlllh razma pnkazane'su I 3 5 Tab!lc~ IOglC~lh kombin~cija ?a 51: ~.5d dobit ce se ako se nisk~j ~azi~~ s ;idi':e~i zna.cenje .loglcke .0, a vlsokoj razml znacenje logicke 1. Izlaz iz ;sklo ~ bit) ce akt~va?, (J '. u .stanju 1, ako su iIi jedan iIi drugi iii oba ulaza u stanju 1 I tva' sklo

. moz~ lI~atl Vl~~ u,l:za, tj. viSe paralelno spojenih dioda, a izlaz ce biti U s~an'u i ; ako .Je. Jled~~~\~!se ul~~a u stanju 1. Standardna oznaka (kvalifi&aju~i Sim~ol)

za o.:aJ. ~glC 1 ~ op ~OJI prepo~~cuje n;:c je zato ;::: 1. Na sl. 3,7 prikazahi su ncki grafIckJ simboI! za ILl-sklop kO)1 su u Siroj upotrebi. .

u-:!;:-.~. AI 1L;~ . '. i B .. I i

1,---:S-._' >--........J(T' ~ ~ i

51. 3.6. Izvedba ILl-sklopa pomocu prekidaca Ca) odnosno tranzistora (~)

a) hl SI. 3.7. Graficki simboli za ILl-sklop: .

a) karakteristicni simbol b) me standard e) takoder cesce upotrebljavani simbol

Logicki ILl-sklop moze se izvcsti i na druge nacine Na sl 3 6 P 'J. a) 'z db ' . . " flKazana Je pod

! ve a pomocu prekldaca, a pod b) su mehanicke skio k I .... tranz1sto S" " - p e zamlJenJcne

. fim

... >

1:'

44 Logicki sklopovj i Booieol'a algebra

slijedit ce pobudu s neklm kasnj "ljem. Kasnjcnjc ce biti jednako vrcmcnu potrebnom5!.~ izl~E~_valni oblik naraste od niske razine do pocetka dopllstenog podrucjavisoke razine. Moze se smatrati da je to kasnjenje priblizno jcdnako vremenll porasta If izlaznog napona. Na slican nacin analizira se i diodni ILI-sklop.

Na sl. 3.8c prikazana je druga vrsta prijelazne pojave koja nastllpa kad sc uiazni naponi mijenjaju protufaZIlo, tj. kada jedan ide iz niske u visoku f-\j~in'y~Jj;ru.LaznLsigna1,-pa.--se 2:~~~_~n:.~~~~:.irl~e~toL. ", i

Ista se logicka funkcija moze obaviti i pgmocu prekidaca, kao sto je pokazano na si. 3.10. Kad je varijabla A u stanjll l,f prekidac je otvoren i na izlazu je 0.' Prekidac je ukljucen kad je A u stanju 0, a )-Ia izlazu ce biti signal 1, koji je staino prisutan na lijevoj strani prekidaca. I -

Graficki simholi za invertor prikazani s~ na s1. 3.11. OpCi simbol za logicku; negacijll jc hug (obicno ma!cn) koji sc ,rri~lanja iii na izlaz prethodnog ili nauiaz:

,:" i ,

J

.j

~-.l iIr

n.I'r '";;....;.

lOr

, - ,

, ~ __ J

"

,I

!~ .. 1H~---' ,

46 Logicki sklopOi i BooJcova algebra

sljedeceg sklopa. Karakteristicni simbol na sl. 3.11b je i naprav~jen ina taj -:: , da je na izlaz pojacala dodana oznaka negacije. Invertor na s1. 3.9a tranzistorska . ~e,sk.~p~?,L~,!m)ogc~~y;,.g!;

:ll

48

.7ii \~,

Logicki skiopovi i Doolcovu algebra ~ ~ A.3. Operatori su komutativni (zakon komutacijc):

a) A + B == B + A b) AB==BA

Lako je uocljivo da ovaj aksiom vrijedi opcenito za bilo kojibroj varijabla. AA. Operatori su distributivni jedan preko drugoga (zakon distribucijc):

a) A (B + C) = AB + A C b) A + B C = (A + B) . (A + C)

Drugi i cetvrti b) aksiorn ne vrijede U obicnoj algebri.

:A~ . :\1. tt' ..

.~.

'I 1~ '1~1 ;1 ii

U posljednjem aksiomu sadrZana je hijerarhija operatora. Aka nema zagrada'i prvo se izvrsava operacija " a and a . +, kao i u obicnoj algebri, Zagrade S0 takoder i upotrebljavajuna uobicajeni man za odredivanje prioriteta dperacija i ako ih ima ~ vise rjesavaju se iznutra prema van, Takodcr je uobieajeno !da se, kad ne moze .~ doCi do zabune, ispusta znak puta j umjesto A, B piSe jednostavno AB. 1z drugog :~ aksioma takoder proizlazi da aperacija komplementiranja pnhthocli operacijama " i + I .... ~ ,J'~o31Q...$.~....Q!2.~~~.o~ a~~i?~.~):~t ~)ihov~ d~al~a~tr~~t1J.~a,.SY~ki teQrem im~ naime dva dijela, a i b, Na temelju toga moze se pcistavltl metateprem (teorern 0':.;1

3.5. BooIeo"" algellr"

.Dokaz: A + A = (A + A)1 =(A +A)(A + if) =A +A-if == A + 0 ==.4

'1'.3. Zakon involucije: A == A

A.1 A.2 A.4 A.2 A.1

49

Prema aksiomu /\.2 sdKi (ian skupaLS ima svoj komplement i moze se doblzati (vidi npr. [DIETMEYER 78]) da je Ol~ jedinstven, tj. da svaki Clan skupa Sima sarno jedan komplemcnt. Komplement komplementa mora dakle biti clan od kojeg se pocelo. !

T.4. a) A+.AB=A+B b) A- (if + B) == A, B

Dokaz: A + AB = (A + A) (A + B) = 1 (A + B) =A+B

. T.S. Zakori asocijacije:

AA A.2 A.1

t~oremima) 0 dU,alnost,i koji g!as~: ",?-~o se zamijeni?~a 1 (ill 9brn~to) i + sa:. (il! ;:~ oornutQ)., onda,JZakslOma .a) slIJeih akslOm 5), oano,]l'iOlJb'tatm;:-Irtoga slIJedl--"t a) (A + B) + C==A + (B + C)

Claie-t-svi-teoremr1ZVeoemnaternefjutako-'post'avlj enih'aktiOfi1:a:] ak oder imati ~ ! svojstvo dualnosti i da ce bili dovoljno izvesti jedan dio teore/na, a drugi ce se dio . b) (A B) C == A . (B C) I \ bez izvoda moGi napisati kao dualni leorem. .... ~ I :

.. . Dokaz je toga teorema dosta dug i moze se naCi npr. u [PHISTER 581. Zakon . . i~'Yrijedi i za po volji velik bro] varijabli.1 ! 1z aksioma se maze izvesti odredeni broj teorerna ad kojih ',ce ovdje biti izlozeni)~. I "~~:in'~v:;~, 11' T:; ~',:o~g;~; ,,'on I

. b) AB=A+B I b) AO=O I O . I' I tako da se najprije dokaz.e da t jc Dobz: A + 1 = (A + 1)1

= (A + 1) . (A + A) =A+lA =A+A =1

l'rimjl:ll(! aksiOIl1C1: A, J A.2 A.4 A.l A.2

Primjenom teorema 0 dualnosti slijedi teo rem Tl b. T.2, Zakon idempotencije:

a) A +A =A b)A.4=A

va) vr 0 V"Z111 [eorCIlI 1l1OZc' Sc' dok::lzati (A + B) + (AB) == 1 i (A + B) V1B) = 0.:

, I

P:ko se (A + B) proll\~i[i'~l k~l0 jcdlla 'iarijabla, a (AB) kao druga, onda se vidi da Je zadovo!jen aksiom A.2 i da su te dvije varijable jedna drugoj kornplement. Ove dvije leme (pomocni teoremi) mogu se dokazati na sljedeCi nacin.

! U: (A + B) + All = (,.\ -;. .in) + B A.3., T.5

= (A + lJ) + B = A + eli + B) =.4..j. j =1

T.4 T.S A.2 T.l

50 Logicki sk!opovi i Booleova algebra

L.2: (A+B)AB=A!.LB+_BAB =OB+OA =0+0 =0

T.7. Zakonapsorpcije: a) A +AB=A b) A (A + B) = A

Dokaz: A +AB.=Al +AB =A (1 + B) =A( =A

T.8. Zakon simplifikacije: a) AB+AB=A b) (A + B) . (A + B) == A

Dokaz: AB + AB == A (B + B) ==A'l

- ---------;:; A ." T.9. Gel1eraliZii-aniDe Morganov zakon:

a)A+B+C+=ABC b)AB:C,..~A+B+ c+ ...

I A.4: A.2 T.l T.2

A.I AA T.1 Al

A.4 A.2 A.1

\

Dokaz: A+B+C=A+X =A'~ ==A(B+ C) =A(BC) =A'B'C

supstitucija: X == B + C T.6 supstitucija za X T.6 . T.5

Na isti nacin moze se teorem prosiriti na po volji velik broj v~rijabli. i

Dvoclana iIi dvovrijednosna Booleova aIgebr~ Na. temelju izlozenih aksioma.l..t.em=aJllogu.s~_konstruirati rhlic{teBooleove 'aJgebre~' piem:a~~toh1e~;kako'.'se .. aheJ:Wl~p_...:_N ~Jj~dnostavpij aii e dvoclana (CiVl:ivnJe nosna Booleova algebra u kojoj skup Sirna sarno dva clana:

I S=Sz={O,l} Il' Ako se u aksiom A.I i teorem T.l, za vrijednost varijable uv.ste redom 0 iI,

slijede tablice iz kojih je vidljivo znacenje operatora + 1 za sve moguce kombinacije 0 ii, a iz A.I, A.2 i T.3 siijede kornplementi. i

~-. .~----------------

-;./ ,.i., .

-.;,t . :1; .

::-.i;

f: t i'

u dVQclanoj oolcovoj algcbri

B A+B A B AB

0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 t< .L

Usporedba s tablicama 3.1 i 3.2 te s na siikama 3.3 i 3.5 pokazuje da + odgovara logickoj i, a operacija . logickoj I-operaciji.

toga su od pocetka i upotreblja iste oznake. Oznake za operatore iste su kao i u obicn6j algebri, sto nije razloga. Tablica operacije . odgovara mnozenju u binarnom sustavu, a tablica je + u prva je hi reda jednaka zbroju u binarnom sustavu. treba as e.dnostL., .. Oil nemaju numericka vee se + B) i A . B zovu iogic~a suma-nogicKiproQ . v u vidi se da su operatbd zatvoreAi

'. '. s obzirom na skup S, kao stoie uvodno postulirano, te da je zadov~ljen zakoh :;/>~ komutacije. Ako se konstruiraju tablice nadja za zakondisti-ibu'cije;moze . se takoder dokazati (metodom potpune indukcije) cia je Iijevastraria jedria~a

ana Booleova algebr~p~s~bno .. interesant~a\ap;1~j~~J:~digif~~Jj . elektronici, a i opcenito, pa ce se u daljn razmatranju, ukoliko se posebno fie .. istakne drugaCije, pod Booleovom a1 odnosno iogickom algebrom smatrati

. . '-'~(iniLltQ9kQ"'y~. . Cinjenica da se Booleovom algebrom korektno opisati ponasanje logickih

sklopova ujedno je dokaz ''-''''''''qu pocetI1ih aksioma,: jer' dokazuje da primjeria na reaJan sustav ne dovodi do

ruge Booleove algebre.V

Jos jedan algebarski sustav koji je LV1HIU1UV. ide~ti3;?rls)3.'?91~o:'5?n:"~~g~_~.f?-~)est ~Jge.!?i~::s~_~P_~~:~~~iip Cine svi L~_niverzalnog skupa U: -

s= {A, B, C, ... }. Umjesto opera lOra T l' opera tori su ~ . skupova koju predstavlja skup ?ito ga

dva j u skupova An B jest skup sto ga oba skupa.

Aksiomi odnosno postulati obliku:

P.I: a) AUv)=A b)AnU=A

i n. Operator U naziva se unija dvaju svi elementi obajuskupova. Presjek

sarno ani elernenti koji su zajednicki u mogu se onda napisati u sljedeeem

j

1 1

\ !

\ i \;---

l

52

Neutralni element u operaciji unije Jest prazan skup 0, a ncutralni clement u presJeku Jest univerzalan skup U.

P.2: a) AUA=U b) AnA=0

P.3: a) AUB=:BUA b) AnB==BnA

P.4: a) An(BUC)=(AnB)U(AnB) b) AU(BnC)=(AUB)n(AUC) i

Ako se prazan skup oznaCi s 0, a univerzalni skup sa 1 te 6peratori sa + i . onda su postulati P.I do P.4 i vizua!no potpuno jednaki aksiorhima A.I do A.4.'

.. Od~nosi izmedu s~upova. ~ogu se vrlo. prikladno prikazati! pomocu Vennov3 d~Jag.ama.~Neka unlverzalm SKUp bude pnkazan svim tockama lmlltar cctverokuta kao na sl. .1.12.

U~1_4, I~ rasl .. 1 un ==;1 + [I Ann == AB

a) 1" Sl. 3.12. Vennov; dijagrami:

a) invcrzija (A) b) funkcija lU (A U B = A + B) c) funkcija I (A n B=AB)

AB I /

I .. /Q) 1 ~

c)

I~B ~ ~ ~

:,) ,.1' C b) SI. 3.13. Zak?n distribucije prib"m Vennovim dijagramom:

B) IIJeva srrana aksioma A. ~" b) desna strana aksioma A. 4"

Na sl " 12a prikaz"n Je po't I t P ') {. f" . . '. . ~. a sua ._a . .)ra.mma povrSll1a UnutEif k;-Ul~a prc:ds!av-IJ~.I)OdSkup A, a sva oSUlia povrsina podskup A. Na s!ikama b) i c) prikaz:11l1 SLI u~llJa ~"~resj,e,k s~upova A I B .. Usporedujuci sliku c) i

i

54 Li"

,

\ \ I .. ;,. I i \

I \ !

~~ 56 Logickl ,klopovi i Doolcova algclJr;!. ,f.1 1 6 Doolcovc rullk:-':cl.l'ij,:.., ____ -:::-___ + ______________ -,,_5_7 vrijednost 0, a kompiementiranc akQ_jc ~1j,~~~ vrijedn.?~J.,.takav sc sumaclan ':11; :":'::':---k fl" kao-'pridruJ"ivanje koji u sebi sadrzava sve nezavisne varijable zovesta'.fJdar9ni~uma:clan odnosno'ii' . Logic'a un (elja standardna .sumu . .i oznacava sa S,, gdJc ... i.I,l.dck,sIjillLi~toEnaiellje'kao'i u f C i. 'k"

,v . I ;1'... t,'lbliC2 kombinaciJ' a od II nczavisnih varijabli sadril we moguce omoma-prethodnom sllic~tandardna sc suma naziva jos i makstcfm, a oznacava se sa .' I'otpuna I . l " ,., ' .. d osti Oil koje tc varijablc mogu poprimiti. Ako je varijabla }>prisutna, M i , U tablici 3.5 ispisane su sve standardne sume dviju 'logick'i'h varijabli A i B. [#."c')e vrlje n , . d" v' k .. , S ,,~t " 'r'I"ena J:e vriJ' ednost 1, pa sc .problem mozie svestl na _ utvr ,Ivan. J.e nacma.na OJ I:,' e Logicka funkcija izrazena pomocu standardnih suma jest drugi standardni oblik;zy, J . . '. Ak ." .,: . d' I'C~ kao i sve grupe jCdlnlCa manJe od 11 moze smjestJt! na n mJesta. 0 Booleove funkcije i maze se opcenito pisati: "'" ..:~ n Ie tn a, .,. '. i ' ~eJ numeriraju pozicije, onda one cine sk~p od n clanova od kOJeg~ se mobg.u pr.~yltl

1-- 'IT-I(l),. + 1:'/.). J b' aCI'J'e od n n - 1 11 - 2 itd. sve do hula elemenata. Suma sVlh kom macIJa: - (3 .8) i~ kom tn "~, ,

Tamo gdje je vrijednost funkcije V; je~~~)aka 0, clan ce V; otpasti jer je (prerna A, 1) jl ,t K~, gdje je K;' = (/,~), daje rjesenje hroblema. Na praznim mjestima nema je-5; + 0 = S;, a ondje gdje je Vi = 1, vrijedi (prema T,I) 1 + S = 1, pa se, u skladu 5 i ~ dinice, dakle na njih treba srnjestiti T =:-'0. N pr. tli jedinice mogu se .. ra~p~:e.diti A.I, moze u logickom produktu cijeli taj clan takoder iSPU5titi.:~ tako da se dobijc jedna komblnaClja .5 .rr! ,Jedmlce,. tn ~.ombln,~clle 5 .dVl.J~. Jedl~l:e,

lednakost dvaju standardnih oblika Ako se usporede funkcije koje smo dobili jednom i drugom metodom, na prvi pogled izgleda da se fadi 0 dvije razlicite funkcije. Da tome nije tako, moze sc pokazati na dva naCina. Maze se u prvom redu prikladnim suptitucijamd pomocu powatih aksioma i teorema jedan oblik svesti na drugi, npr.:

1:;;(/1+ B) -(It + B) = A,1 + AB +AB + BB == 0 + AB + AB + ==AB+AB=AB+AB.

A.4 ' A.I i

A.1; A.3'

'~ tri kombinacije 5 jednolll JedlnlCO~edna komp~f)-.E:s.Ultpez.,UeJlne.Je.duw;;~~.d.ukf~_. __ _ ~~ t;kupno 8 razlicitih kombinacija, vasnije i j~dnostavnije m~ze se zad~t.ak post~~:t: :~ kao rrazenje !lacina na koji se mogu ad d,vaju elemenata 0 I 1 J:aprav!tl SVI ~.aZ!lCI~ ;~ nizovi od ta dva ,el~menta.~ iIi slog od !l et~me.nata urede!lU~O!l~e ,ou

: . ,:.:.:.:.:", ~,,~,. [~c:':.::~C}!1J.::,'!:.~.~9Edg~~e.!lka~a..r.dazliku J e;,p.o,~rasPtoorrekdalL ~l:~~VJ'~' p.~:: ~ '~ se ;;lOg nazlvil-..9E5~lto 1 l.!E,~~20r:.3~ 0 . nosno 1Cr~e. n.,:,,~~,....l~. 1 "'" broj ,':lanova, onda npr. trojka, cetvofEa lta-:ua se nacme SVI slog?:l od!l clan~:a, ;;;~ postupa se na sljedeCi nacin. Prvo mjest6 u nizu moze se popumtl na dva nacl~~ j! .... ;~ ~ ';!i :'2~:~,:n~j~~~:',:;~;;,:,~:,;":::~" d,kle d" m j ,," " mogu pOP;3n~~

Drugi naCin utyrdivanja jednakosti dviju logickih funkcija prikazanih Booieovim ';~i;.,---j~;-.'.:,~oJJ.iveni slogovi mogu se S~5trh~i i !l.~itn!m..bin~m ~roieYima1 paje izrazima razlicita oblika sastoji s~ u tome da se konstruiraju tablice kombiilacjja'4~~,-10zese i opcenito pokazati cia suqva.s!andardna oblika_Je.dnc Boolc.oYe_t~ "'iScstruko, tj, mogu se u jednom slogu i ponavljati, takv! se sIogovi ZOYU jos i funkcije medusobnojednaka i primjena jedneiii,druge.me'tode.:ovisiuglavDomo :;~~ varija::ije s ponavljanjem. ~. : oS515nofsklonosti. osim U nekim ekstremnim slucajevima gdje jc jedna metoda ~ Nizovi se opcenito oznacavaju taka d~ se element! stave u zagradc, pa se Slog prakticnija od druge. Ako je npr. logicka funkcija zadana tako da je vrlo mali broj ~ od G bita oznacava npr.: ' vrijednosri jednak Iluii, ocigiedno ce druga metoda biti prakticnija. Kao ilustracija mozc posluziti tablica lLIfunkcijc na s1. 3.5. Iz nje primjenom drugc llJetodc neposredno izlazi: f=A + B, Primjcna metode standardnih prodllkal3 daje: 1 = AB + A B + A B, sto se moze svesti na poznati oblik na ovaj nacin:

I==AB +AB +AB =A (B + B) +.4B =A +'1B =A+B.

A.4 A.2; A.1

T.4

Ukoliko je funkcija zadana tako da je vrlo mali braj vrijednosti jednak jedan, bit ce prakticnija prva metoda.

Ipak, ako se izuzmu ekstremni slucajevi, praksa pokazuje d,i se prva mctoda vise upotrebljava.

CO, 1,1, LU, I),

Aka ne maze doci do zabune, a to je k:esto u digitalnoj tehnici, moze se pisati jcJllustavnijc (OllIOl) iii, bez zc;grada, isamo 011101. B~duCi .Ja se siogovi bit~ mogu smatrati i binarnim brojevima, u pigitalnom ureaaju gd)c nerr:a, zare~a ill zagraJa mora se uvijek unaprijed odrepiti 0 temu se radl. .Slog. ~lta .. ~oze sc smatrati jednorednom iIi, ako je pisan okomito, jednostupcanom matricom pa sc Z'110 naZil'3 i bitvcktor iii samo vektor. yektor koji se sastoji ad tl bita npr. (al> (/" {/,' tly ':;'{I~)-oznatav~rs'e-skraccrm:;-~i. ... "

i ;.

:1

.ji .... ~.

58 Logicki sklopovi i Booleova algebra

J1apf-avi_Kartezijev-produkt-skup.

f' ~ ~. 17"

~. " ~ t. i

~ i

~ ,

,t.v.

J~ 60 Ne""nd;'d~O "d", funk,ij" 0 obi ik" pcod" k'" ',:~::':::":'::'"' ,:::::':: ::::,:jl~.' ~:;::::'j'::"k" Hi j ,dno" fm!k,ij' 0 b" ob,;" "' ""ij,b'" B'ko j e'A ~6: [iti na standardni obli~ tehni~o~ koja je dualna onoj u pre.thodnon~primjer~, .~ .... 'j C == 0, jer je u sed mom retku iSlo ta;ko. U sestom retku su za vrijednost funkcije Variiable koje..."KdQ.L'lJ}L~"'p1.lJEc!ln9!:!!..sll.ma-clanu treb.a dod,at! kao X X, sto nece \~ 'znacajne sarno varijable B i C, jer ce ~a stanje 01 tih varijabli y bili uvijek 1, buduCi ~~J)itiYIjj~d~_?~_t .. c~~_~J~~j~ ;': ... ~=O (A.2).'~a-t~kodobive~e cl~nove ~re?a~~ . da je taj uvjet ispunjen i u drugom retku. Drugi i treCi redak sazele tablice primijeniti drugl dJO zakona dlstnbucIJe. Postupak Je'pnkazan u slJedecem pnmJe- ':r~l; kombinacij:=, je~u on~a. 1 x 0 j x 01. ~o~ posljednja dva retka funkcija je 0 bez ru: "!J, obzira na L, tJ. znacaJna su samo stallJ a 11 varijab!i A j B koje su okruzene

- r~lii crtkanom linijom. Posljednji redak sd onda moze pisati llx. f = (A + C) Q3 + C) _ _ l 1z kondenzirane tablice mogu se di~ektno pisati )sondenziraiJi Pfodl1ktniclillw.Y.L. : \0:+ :~b+:B ~1~1{ ~~ ~n) 7(/8 + C) + A I [( B + lC) + AI) 1 j ~i:~~;i~~nk::j,~'; ~:~;!;Zd.~~~::~'';;~~.~;:,~v~~;;~';~nfi~~

- - - - "j(ondenzirane tab lice neposredno proi~lazi: y =..4 + Be. = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) " :,.' .. i .... m Ovakav sazeti naCin prikazivanja taBlice kombinacija ocito je za prakticne svrhe = So + S2 + 51 + S5' ; li} . I

. m vrlo p;ikladan.. I Moze se, kao i u prethodnom primjeru, postupiti na drugi :nacin kOllstruiranjem"i I

tablice kombinacija. I I Kondenziranj e lablice kombinaci j a1 ;:::~:::::,:~:,~C~~:~,~~l~: :~:~Uuhkcija~iaj '"

t:& WeditostiY:.9!TIElementa..me 'yriis:dDQ$riiaiadarie~Ako je funkcija 'za-testo se tabIica kombinaciia moze kondenzirati, odnosno sazeti, jer neke varijable p~ dana u standardnom obliku izrazom q.7) iIi (3.R). tada jc komplemcnt fl.Hlkcije: u odredenim slogovima, de utje~~U}il_.Y.rijf9Q.osUunkcije,p.a.pr~maJorllUJ1.'?guU~ 1 ; I . ,_. _ i-I poprimiti bilo koju vrijednos~~"Ako se razmotri funkcija y zadana tabtico!TI 3.7\-;;~ j c ~~-.,' () ,,'~ ~ f= :2:: vjPj,

..... flofio;,'nlll'lapisana--utabIICCi .. s, moze se uoCiti da je za prva cetiri sloga vrijednost~~B i . ,) ,~O (3.13) ! funkcije jednaka 1, bez obzira na vrijednost varijabli B i Cuz uvjet da je A '" ().!t~ odllosno: U t~bli.d s~ato-um!~sto vrije?n~sti ~ar~jabli l! i C.moze stav~ti x .kao oz~aka da~l na tome mJestu vanJabla maze Imatl bilo kOJll vnJednost. Na taJ sc nacm prva :itl. cetiri reda mogu kondenzirati u jedan, kao oSlo je prikazano u tablici 3.8. U.~!l"

nesaZ~.toj tabl~ci prve su cetiri .v~jednosti varijable A koje su odlucne za V[ijednost'~.:J'Iff~ ... funkcIJe okruzene crtkanom hnlJom. c; ~

i ( ..j: fI

~;" . Tablica 3,8,~.

Kondenziranje tablice 3. 7 f~

A B C Y ,- -.

'0 ' 0 0 1 I ' 0 ,'0 I 1 1 '0 i 1 0 1 , ,

, 1 ~D_, 1 1 r - 1 r--'

i' 1, 0 ~Q_: 0 . '-;- r: - - .. -,

1 ---- 1 ,0 l'

~;y L(;-O' 0 , I ; 1 1: 1 0

~ I r -> )

-->

--+

1 ........ J

ABC

o x x

x 0 x 0 1

I x

y ==.4 + BC

o

o

Kondenziiani C1anovi P k i Sk

S'I=11+C Pk2:=: BC Su =.A + B

.J

f.-I 1= n (Vj+ SJ ,0 (3.14)

Npr. komplement funkcije f= Po + promijene iz 1 u 0 i obratno, jest

P3 iz tablice 3.6, ako se vrijednosti v

/= P2 + P4 + Ps + P6 + P7 iii izrazeno u obliku produkta standardhih suma:

i,

Ako je funkcija zadana Booleovim izrazom, njen se kompiement orcenito moze doh'ii j tnf;o dJ

.j'"

::ji'

f==f(A,B,C, .. " +" - ,0,1), tad a je dualna funkcija: fD=f(A,B,C, ... , " +, - ,1,0).

. -- .~-'-

':'j funkcija.: .' ..... . . . Neka je npr.:

. f=AB+CD, 'f~:'=(A+B)(C+D)=AC+ CB+AD +BD, '~[f5]6':=:f~{A+ C)(C+B)(A+PHB + D).~ i .. ' .... ~~=L,,~c!,:::, "niii:i~~tilt~tmoze dobi~i;'Li~isestrukom :pri~j~no~ zaiJO'n~ :distr{b;~'cije. ',' "'C;;":"i'':':';';O~': Usporedbom izraza za dualnu funkciju i za generalizirani De ~organov teorem

slijedi da se taj teorem moze napisati i ovako: !

,:

:;

lCA,B,c, ... ) = fD(A,B,C, ... ). (3.17) Kompleme..!:l.Li.lmk\ii moie se.dakle,dobiti tako da se najpdje zamij~E~';'s'y"e .'

varijable .sY9jim .ko'mplementillla;,a zabm seK211~h l.ura dualniiTtinkciya:-rre'doslijed---oP&'iiciJa"nTje'prifOiil'oltanlffi"ozeSnf1ijprije'napraviti'dualri~tftink'clja~"a zatim komplementirati varijable.

Ako se taj postupak primijeni na prethodni primjer, dobiva s~: .- --~----

[(A,B, C) = iLBC + ABC + ABC, 1(/1,73,C) =ABC+ABC+A73C, 1 = fD (A., H, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + ff + C). I

Ovakav je postupak opcenito prikladniji od direktne primjent teorema u prije prikazanom obliku. I

i !

:Morganova

broj funkCijaod '., . Br~j funkcija naglo raste~a n, kao sto I vidi iz tabiice 3.9: - . Tabhca 3,9.

. ~, 11 varijabii ':":'

64 Logicki sklopqvi i Bookova algebr;j

"; 7 .). . Funkcije dvijn varijabli Svih 16 funkcija dviju varijabli prikazano je u tablici3.11:

Tablica 3.11.

AB - -j~

flO o 1 1 0 1 1

o 0

! ~ I ~ I 0 i 1

o o 1 o

Tablicni prikaz funkcija dviju varijabH

o o 1 1

A

010

1 \ 1 o 0 Oil

,

o 1 1 o

o 1 1 1

1 o 1 1

1 1 o o

1 I 1 1 1

1 o

o

1 1 1 1

'.' c,

~ ...' (-\ ::i; Iz tablice se lako mogu napisati Boolcovi izrazi, a prikladno ih je svesti na sto .~~ "

~:~: jednostavniji oblik, sa sto manje clanova i varijabli u njima. Funkcije 10 i IlS ~sito ,,:,!~~,'",.,,' su uvijek jednake 0 odnosno 1. Do istog se rezuttata moze doCi i aka se napisu c' odgovarajuCi izrazi i podvrgnu odredenim transformacijama upatrebom izlozenih ji aksioma i t~orema. U ~?liku sume st~ndardnih produk~ta izravno Slije?e, fun, kCij~,"I:~,','" fl, h, /" [6 i 19"a U obuku standardl1lh suma, takoder lZravno,lh, III 1 In. Iako 1,'", -~lijede jednostavno kao produktni, odnosno sum'ii::clah';'u'obi'cajeno;~j . je da se te .funkci~yrikazuju :- obli~ st~ ga dobivaju primjen9m De ~.organO\~aij teorema, tJ. Is = AB '= A + B I fl4 = A + B = AB. Nakon te tran~formaclJe lako, Je:A* uoCiti da)e prva ~Unk~iJ,'a, jednaka ~omplementll IL~, tj. da j.~ ona jedny~ka NE-IL~,,~.d 5to se sazeto nazlva !.1..IL~glesb: NOR). Druga Je funkClJa ouda O(;ltO NE-I, tj'~;1. saieto NI (engleski: NAND). Cbje su te funkcije posebno vazne u digitalnoj :::~" elektfuillcll" 0 njima ce jos biti dosta rijeCi. . ~~

Funkcija f) = AB + AB ncpo.:redno s~ svodi pomocu :.8 na A (B.:t- B) = A.'tm Pmnjenom [stog teorema funkcIJa /s SVOdl se na B, a funkclJe flli 1 fl2 na B odnosno l~

X '~ Ll)gicki izrazi za svib 16 funKciFI

Neke ad funkciJa, fo, /3, f, i fij, sa stallovisla nnpJemcnlacije u digirail:Gm sustavu predstavljaju trivifafn-e slucB A+B

AtB AGB B B:>A B A:>B AtB

, 1 IskljllCivo ILl -\ \Y\ ILI-funkcija 0 0 ~ (disjunkcija)y ji- -'it,;

: NIL! I Ek ' I l. : viva enC,IJa _--._ " Komplement ' Implikacij* .. '

(' komplemef1t

implikacij~ NI i jedan

ili A ili B, ali ne oboje iii A iii B iii oboje

NE-ILI

NE-B Ako B, ondaA

AkoA,ondaB NE-I Binarna konstanta

\'1(:dusubnu "1 dualul: ('unkdj

'1

'.5Y~~;'~:7j~ihibi(:Ij a je definirana sa AB i moze. se realizirati jednim (si. 3.14). Ako je ulaz B u stanju 1; on prijeci,

varijabie A.

.A---f\ B~Ajj

a)

S1. 3.14. Inhibicija: a) karakteristicni simbal b) tablica kombinacija c) IEC simbal

&

c)

Impiikacija je definirana sa A + B (ili B + A), i ako je komplementirana varijabla u stanju 1, onda ona implicira (podrazumijeva) drugu varijablu. Ako je dakle B = 1, onda je A + B = A + 0 = A. Dualna je funkcija (A + 13)D = AB, dakle inhibicija. Komplementarna funkcija AB takoder je dakle funkcija inhibicije, samos permutiranim-ulazLrna. ,

,' ... ISkljuCivo ILI.funkcija ,vee je razmatrana na pocetku ciana 3.6 iidefinirana je sa '4B+AB:Iz ovogizraza slijedi da ee se direktno moti realizirati sa dva invcrtora; . .~gY~i!~skl~pa:i-jednim)LI-sklopom (s1. 3.15); .Oznaka kod preporucenogIEC':"",'~'o "111,",-0",,;

. 'siinb~l~~ = 1) znaCi ~_ll: ce izlaz biti u stanju 1 ako je jedan (i ~amo. jedan) od' Ulazlllh slgnala u stanJu 1.' .

n JJ c)

a)

11 d)

l"'

AB+AB=MBB

b) SI. 3.15. IskljuCivo ILl: i

a) shema reaJizacije sa sklopovill1a I, III i NE b) tablica kombinacija I c) lEe simboI , d) cesto upotrebljavani simbol e) simbo! karakteristicnog oblika

e)

67

Ek 'valcndja je takva funkciia koja je u tanju 1 ,iko su joj obje ulazne varijilbi~ v~~: f= AB + AB. Na sl. 3.16 prikaz n je IE~ simbol .. i tablica k~;:-~inacij~. VVIVnlvw",a je i dualna i komplementar a funkclJa funkcIJe ISKLJDdVO ILl!.

:A--.!D' = . B AlOE:

A B A8 =AB+AB

o 0 o 1 1 Ci

t< 1 1

1 o o 1

I ., ,

Sl. 3.16. Ekvjvalencija: II' a) IEe simbol b) tablica.stanja

.'; ,I a) . c):' [

NILI-funkdja sastavljena je: ad ILI-funkcije kojoj je izlaz komplementiranpk odatle i karakteristicni simbol (sl. 3.17). I .

:D-A+B ~; I~+B~A!B n-a) i ~ Ilg d).

,U=l. c) I Si. 3.17. NIU-funkcija: I a) karakteristicni simbel

I b) IEe simbol

. - . b)' -. c) tablica kombinacija .. ,

I d) !;li

\

I I

I

r:! ;;~ .~!f..

::.6.::.8 ___________________ --::L:.::O.gl:.:.:;Ckl sklopoVi 1 [JODleD'" ,dgc~ ~I Osnovne funkcije "I:~ U prethodnoJ anaitzi pokazano je da se svaka logicka funkciJa moze pnkazati u '~' kanonskom iIi skracenom obltku upotrebom triju operacija: logickc;>g zbE-~L~, l mnozenia i komplementiranja. Taj odabir, iako ucinjen s puno razloga, nije i .,1i Jeaino_~nQguCi, Kao osnov.~l!II!E~9J~",,!ili_Plir:Djtiyn~l.k.ojjf!!.?,~~_ prLkazu j !:l_,~ye .i:~1

-9stale, moze se upotrii~_~~~~lt

~ !

70

nJlh mogu sve.i Za 'sve mogu smatrati i INHIBICIJA i IMPLIKACIJA. , Pos~bno su vaine u digitalnoj elektronici funkcije NI i . koje, na temelju

danaSnje i danas sagledive tehnologije, predstavljaju i . najbolja rjesenja , . za realizaciju logickih sklopova. .

3.8.: Funkcije vise varijabli

ne to Je utvrdeno ""~".'Hl'UHJ elektricnim shemama na s1. 3.3 i 3.5 ocigiedno je dar se broj teoretski) po volji povecati.

Funkcija ISKLJUCIVO ILl ispunjava te kriterije: A.EB-B~lH&~(A EB B) EB C = AEB (B EB C). I ':z~'.~i{YaFii~l~:~nkcija ISKUUCIVO ILl jest: , '1

'. '. ",.i,;,! 'I ....: . I . ;.~:";'. i'J(A.B,C)=AEBBEBC=ABC+ABC+ABC+ABd:'. , .' (3: ... :~i;:~::;"':n-~: .. :; .. L: :_ .. :"-.: ... " .: .. '" .. ;,.L.~T-:.L ~-.'~,:~_i:'.,

. : Tablka kornbinacija, zajedno s razliCitim simbolima, prikazaj1a je na sl, 3.20 .. Za vise varijabli treba definiciju funkcije nesto promijeniti. Ka'o sto se vidi i iz H~a.~,~~e!J~n,~cija ima vrijednost, 1 samo onda kad je na njenu !!!~zu neparal1_QIQj

'~'o' :': 1 1 o 1 o o

1 1 1

a)

b)

~-4L./

d)

, 1"11-lEt) . -ill.

r

Ie)

ml0.~.D2 .. ' ' I ' : I;: . : , ~) ,

! SI. 3.20. Sklop ISKUUCIVO ILl s vise ulaza:

.. -- ,---,

a) tablica kombinacija b) i c) cdee upotrebljavani simboli d) karakteristicni simbol c) lEe standard

To naravno vrijedi za bilo koji broj varijabli, pa i za dvije, iako it"? ,:r::.~::::":'-::-:sa:-:mo za dvije varijable nije ocito Zato naziv i simbol funkcije ISKLJU7

ILl nema kodvise varijabli pravog pravdanja, iako se zbog tradicije i dalje upotrebljava. . I.'

as!. 3.20 pod b) i e) prikazani su novi ~imboH za tu funkciju. Oznaka 2k+ 1

.j~

,;i~ _7_2 _______________ -'--. -;-c.'7f:. ~; Logicki SkIOPO .. vi i. 1.3.0~leova al~eb"l::~*-..

U.L--- :x""'~_I~ IxDl!, );,,~/~~

obicilo so erta ovako: X" ! --'

I I ! x, +" ~. x., = x, ~. ". + x" : I I

X,+ X"=X,x:,,);.',, SI. 3.22. Osnovne funkcije NE. IU iI" VI"e varij'';'li ,zl'celene pomocu funkcija Nl iii NIL! ,

Yis~ varijabli

[ J= (AB)(ABC) = (A B) -+ (ABC) = AB[ ~ ABC. ; 1 clruga se, algebarska metoda bazira na primjeni De Morganova teorema kojega f sc rrimicrion;~f;inkciFl dc)voc1ii.i()hiikf prikladan za izvodenje sarno pomocu !. NJsklopova. Npr.:

. Il-

'( /'= A + Be = A + Be", (if)(Bc). f

I Pos!upak sc moze sumirati na sljedcCillacin: 1. Funkciju prikazati pomoclJ sume P ... clanova. 2. Dva puta komplementirati funkciju; Time se funkcija ne mijenja. 3. Prirnijeniti De Morganov teorem (A + B = .4B) na izraz ispod unutrasnje

negacije.

.~., .; . t ;

.1: ; '

c--------------~ a)

r------~--------, I I-sklop ! I J

;-1t-1----'!--D--(2--h r-----ILI-~Go~-----l

t L--_______________ J LLf7\, __ ~---------------,. i ~ I I I I I I I

! I

c-------.i c)

, I I J I I L---___ ~_~ ______ J

SI. 3.23. PrctvaranJc Joglckog sklopa sa sklopovlma I ILl I ,NE u -kloD " ,s NI~~klopovima

melodom SupSlltuciJc: a) sktop sa ,klopol'il"" I. III i N[ b) sklorovi I. ILl i NE sllps!ilUirani Oci!,!oV'lrJiu(O!ll kOJ'lh'111'IC,';OI" Nli ,.1"1) ...

) '" 'I.'. . . ~ J . " ') ,I ~:>t, ( Il(}\.! C, '()naCfl! sklop nal.:Oll pt)niS(i.l\anp dV~:1 1~)~i6:;i "1('1,;\ I r:icn:l prct~0rha mc!Od(ln~ 5UPSiitt:cije u logicku shcmu s o !-5"!(\1I0\ i!l1:~

1" : .. ! 1,:"

:(q ,~it "',til .~.~ 76 Logicki sklopovi l !3001cov~ algebra '~"':t

Umjesto 2, 3, 14, to'::ke iz gornjeg postupka moze se, bez algebarskih pretvorbi, ~il jednostavno postupiti ovako: '~I"

2a, svaki P-clan prikazati pomocu NI-sklopa, To se odnosi i na siucaj kada se ~" clan sastoji sarno od jedne varijable, pa se NI-sklop reducira na invertor, ~E'

3a, izlaze iz NI-Clanova dovesti na ulaz drugostepenog NI-clana, ,!/! Iz logicke funkcije zadane kao sume P-clanova proizlazi dvorazinska !OgiCka:t

shema odnosTIo shema u dvije razine. Prvu razinu Cine I-sklopovi, a drugu ':~ ILl-sklop, Na isti nacin moze sc metoda supstitucije primijeniti i ako je funkcija ~ zadana kao produkt S-Clanova, Iz logicke funkcije zadane kao produkta S-clanova "; slijedit ce takoeler dvorazinska logicka shema. Ako funkcija nije zadana u takvu :;; ~ obiiku, rezultat ce bit! viserazinska logicka shema. Metoda supscitucije moze 5e '~ primijeniti i kad re~ultirajuca shema nije .dvorazinska, Nek~l je npr. zadana 'iJ.' funkcija: f= CAB + C)D, Slika 3,25 prikazl1je tu funkcijll izvedenu s osnovnim :~

sku~om I, ILl i N,E te pril~jenu metode supstitueije za njeml trans[ormaciju U ,;G loglcku-shemu-s-'Nt-skiopoVml

78 Logicki sk!opovi i "Doo!covNeke se funkcije medutim nalaze u svakoj tablici. Vee je pokazano da su to:;f~ R N = N = 1 funkcije I, ILI, NI i NILI, neparna funkcija i identitet. Posebllo su illlercsantne i:&;~'--. V = 1 V == 0 sire primjenljive funkcije kod: kojih je njihova vrijednost povezana s nekom ;U':>" . . definiranom karakteristikorr:. sloga ~!aznih v~rija?li. FunkC.ija N~. ima npr. vrij~d:)31~:_;i~Ci(;j: .... .,' I A B I f A B f. nost Osamo ako su sve vanJable Ulaznog sloga Jednake 1, a vnJednost 1 u SVlm !':1'l~h'""?"1'c.'" ' ostalim slucajevima. Neparna funkcija ima vrijednost 1 onda kad ulazlli slog ima/!J~ I neparan broj jedinica, itd. . ..... ';~~~;

olJ pridijeiiti i obrnuta znacenja. Ako se logicko znacenje 1 pridijcli nizem, negativnijem naponu, dobit rc se tzv. llcgativna logika. Na,temelju takva prid vanja iz tabtice elektricnih ulazno/izlaznih razina slijedi dit,ektno tablica K"ml'''n.~ cija pod e). Iako nije napisana uobicajenim redoslijedoln, vidi se vee ua pogled da je to tablica logicke funkcije IU, a ne funkci)e I, kao Slo je bib prethodnom slucaju. '

Ovakav rezultat nije nikakvo izneuaoenje jer je on posljc9ica principa uuaW,U~I.L ~~im~_~t~~~ifikO!1:1~ig~~lja.za pozitivnu logiku izv'tiii

~!lElli .. i ~;;ltlW;'"

'"-1.

"1.]:.::> " .

~:~njtl i ,. 1;"iJ;i.: ~l~ ~lhmif!j11~/ . ;W"lll'ri thc .. "t~;,.: , ~w:mlr~~1!: t ~: i'; : :;1;' :":

j1~;~~i'

82

Konccpcija se mjeSovite logikc mOle izrazlti i oa oeSto dru6a{:iji nacin. Logicka razioa 1 pridjeljuje sc ak(ivnoj elcktricnoj razini. Logicki I-sklop na sl. 3.31 ima. dakle na ulazu aktivnc negativnije [azine, a na izlazu je aklivna POZili"fl .,,: .. '. '

b) .; ',. ,.~~} '.~.-"~ .,Sl. 3.32. Logickl sklopovi s kontrolnim ulazlIna za omogucavanjc:

",,:,',rr; a) pozitivna raxilla aktivna' ::," ': b) i cJ negalivna je razina aktivna

. Kontro!ni uId u razmatranim primjerima obicni su u!azi kao i ulni na Kojima se pojavljuju varijable A i B, samo sto im je unaprijed pridijeljena kontrolna funkcija. Medutim, u slozenirn logickirn 5klopovirna najcesce nijc poznata unutra-snja konstrukcija, pa je potrcbnQ lOeno znati koja je razina kontrolnog ulaza aktivna,

. ~ Neb pak'autori, npr. [WINKEL i PROSSER 80]. zasnivaju metodc rfojcktira-

nja logickih sklopova na koncepciji mjesovite logike. Ipak, veCina autora konze-kv~ntno,upotrebljava jednu Vfstu logike, obicnopozitivnu, po~ebno za izlaganjc osnovnih zami5,li i sklopova. Pri prakticnom projek'tiranju porlckad ce ipak biti korisno upotrijebiti i mijesane owake za oznacavanje aktivno5ti pojedinih varijabli u sustavu. '

i.

i.

'i~.>~ ,';~'L :~, ,~,,'(

"i.II:~. :~" :i t~. ~I >~f: :;~i

't~ 'II ~~J n

i 4. poglavlje , I

Integrirani logicki sklopovi

Proiektiranje Jogickih skttlpova i njih~va kasnija svojstva u upotrebi ovise 0 tehnologiji. tj. 0 nacinu na koji je l~apravljen srvarni elektronicki sklop, U danasnje se doba digitaini sklopovi go;tovo iskljuCivo proizvodc kao integrirani sklopovi na siliciju. ,/

/

4.1. Osnovna svojstva . / " 1;i ~i :::;::d~:p~:~:"O~~'~:::n::k~ ,Jlopovi pco'md,cl n' kom,d"" ;ilidj, .,;~~11; tipicne povrsine od 1 do 100 mm2, Takay komadic silieija iii cip (engL chip) debeo

'fin je oko 0,25 m~.. .. I 1" " k ,i I '[' ,. bl'k' d l'k' .. ""'I~ . ;. Kao osnovm matenJa S UZI mono nsta S1 lelJa U 0 1 U IZ uzella va J a pro-:!~'::::,::~jera 10--15 em i duljine oko 50 em. U \silicij se dodaju odredeni dodaci, tako da

:'~f! .; se dobiju poluvodicka svojstva, obicllO p-tipa, MOllokristal se fde u tanke plocice '~~i~ okrugloga oblika i debljille oko 0,25 min, Povrsina se plocice dije!i.u Cipove (sl.

...... ::::.: ... _:_ ~,:.;p; .. :,: ... '~~.; , ..... ~~~'ft

86 87'

debljine [ipicno izmedu 5 i 25 fLm. Epitaksijalni fast je takavi proces u kojernu . ( . r' k ..) / 1:-' koji se naparuje raste u istoj kristalnoj 5trukturi kao i Ipodloga. U p tegriranih sklopova k aSlIl "aclja {/!.; it: naparivanja epitaksijalnog sloja dodaju se primjese tako da epitaksijalni sloj i.'I .. I'i';. n-tipa i sluzi kao kolektor bipolarnog tranzistora. Procesom Ioksidacije povrsi . 1ma i integriranih sklopova 5 >fi"i;. i;~:::'::;;. se sloj silicija pretvara u SiOl koji jc .izolalor. Na taj se 51hj nanos! fot to, sto ce biti razmatrano kasnije-i:}'!/.ii{ "I .. : .. :' ... :.!! .. ':.:. ... : ... , ..... ' .. ,.:: ... !,: . ,.' ' . " ........ ernvlzija na kojv se projicira slika otvora koje treba napraviti u izoliranom 51 osnovna podjela zasniva se na tranzistora koji je upotrijebljen+'\kq;~!':"i';: ... Proizvodnja fotografskih maski je kompliciran proces 'i obieno se oko 500 p izvcden s bipolarnim tranzistori 'r: ~nda i.c bi?olarni in;egrira.ni sklop; a'~; ';: . ,. poveeana slika dobiva kao rezultat projckliranja pomocu kompjutcra (eng. ',:'"',, ("~!'1;'.i"'t..,;'t;", .' . veden s MOSFET, onda JCMO.:H12~~gnram sklop. U novlJe se doba !: Pvter Aided-Design). Fin6ca geometrijske strukture kOla se moze 1J0stiCi ovis!' l' Je lZ BiMOS.integrirani skiopo~( -uTkOjima su upotrijebijene obje yrste

t tt I i valnoj duijini svjetla. Elektronski snopovi imaju manju valnu duijinu od vidl 'trunzistora na istom ClpU. . i . .. . : svjctla pa se njima postizu i rezolucije od 1 fJ.m. Nakon zavrsnogafotolito\ora . '.'" . " broJ' integrirallih sklopova prolz~odl sc za obavlJanJc poznatlh, standar-

"",' NaJVCCI . . .'. _ -;x postupka jedan se dio povrsine pokriva zastitnim sIoJ'em, a drub"i ostaJc slobod ".',.":"'" d' 'talnih funkciJa. T3kvl sc sklopovl~prOJzvode kao potrosna roba za trzde . dnlll 19l ..' '" f k" .. 1 sto omo~ucuje da se procesom kemijskog jetkanja (kiisiranja) odstrani SiOl i 1 .' .:"'k"k ill moze lako i brzo nabavltl Za SpccI]3JnC ,un 'Clje proJerellraJu se 1

omoguc1

da se u procesu difuzije iIi ionske implantacijc epitaksij al11i sIo; prozrn ., i 'SO:~:l skl~povi za odrcdcn~ korisnike' (~ng1. custom ?esign). Ta~vi su sklopo:,i dodacima.koji mu mijcnjaju vodljivost, npr. ponovo u p-poluvodic. d l~roccs~: r~r3vno skuplji, ali buduCi da obic1o zamJcnJuJu raa veceg broJa standardlllh mctaIlzacIJ.~ nan.osi sc sIoj, obicno alurninija, koji povezuje odrcc1cn;] podrtlcja.' ~'f~Iopova, ukupna proizvodna cijcna ipa~ je najccsce niza. Potrek za. tak~,j~ KombtnaClJom tlh tehnolosklh postupaka proizvode se bipoiami i MOS-tranzistorl" bnim sklopovima rastu, pa Je razv1Jcl1a kJasa sklopova kOJe prolzvoaacl

" . pose . . . k' b T . te .. o_(porl1l~....9J.()de se proizvode najceSce kao tral1zistori kojima su spoJ'eni baza .:c riJ'cd procesiraju samo djciomicno, a digitalna funkcIJa kOJu CC S 'IOp 0 av ~atl kolc].;:(or. Drugi moguci (ipovi dioda imaju Josije karakteristike [MILLMAN :::.unat~z~c sc U zavrsnim proizvodnim stupnjdvima u skiadu sa zahtjevima korisnika EL J . pOS I . GRAB 87 . Kapacitct se u bipolarnoj tehl1o[ogiji obicnoizvodi kilo rc ' ..... gi:semi-custom design). .. . :.. .. v 'r' poiarizirana barijcra, a u MOS-tchnologiji se uptrebljava npc sloj tankog filrn~ '. : '. 'v 10 ekih fllnkclJa II tntcgnramm skIopSlVlma oRleno se \'rQI, el-

.. '. .dielektrikom.izmedu filrna i pod!oge, Induktivitet sene mozc'izvesti u tehnolooi' R;sr(]opova. Osnovni skupI,.ILI i NE:nije .,L.:.>\;;{:I.in.t~g~~anih.sklopova. Nakon;sto.sezavrseoperacije, ploeicaise izrcze U cl to t~lrlogickih funkcija.'Razlogjeu ;~" ":;!:"'svaki;Clp'montira U kuCiste izalemi na vanjske izvode. di~U-pas~\41i.,.tj..-St0.....nc...J.2siguraYaiu elektricno ". UObica)ena su dvoredna kuciS!a (engL dual-in-line package) bo na 51. 4.1b. . e ........ Brojnozl~a. sekr~e.od.8do 40 j ovisi 0 funkciji koju sklop obavlja. Vcliciria:.

!: ,

88

P?:.odic~ .integriranih .. sklopova skup je integriranih sklQPova koji obav! razltclte dlgltalne funkclje, ali se za' njihovu realizaciju up~)(febljava uvi;'Ck ul1lverzalm sklop izveden tehnoloski na isti nucio. ! J',.; ( {('~

U~ip201a~::.Naponska podrucja i- .. . .

Kao sto je prikazano na sl. l.5, visokc (Uv ) i niskc (UN) napbnskc razine moraju. biti unutar odrcdenog podrueja da bi sc osiguralo ispravno 16>gieko fUllkcioniranje --sklopa. M~dJltim,izrlOsi su tih napona razliCiti u pojedinim cvorovima a mijenjaju se i vremenskipod utjecajem promjena napona napajanja, tem re, starenja elemenata i drugih uzroka_ Za siguran rad sklopa vazno je '. _S~~~~~i~,~':.~~:~~_~~).()_Clr_l;cja razlikuju, fla izlazuiYl~zu ~~()P.~l. U prakticnoj' pnmJeIll rest Je slucaJ da Je na lzlazu sklopa prikljueen jedan iii vise istovrsnih' sklopova. . J Z .. minimalni iznosi n~~ na visokoj Ta~!!JU_l1l(l_~simalni iz.!2.2&.}]l!PQna._.,,~,".,.v

- fuv - ulazna struja koja teee u sklOp na visokoj razini :., fUN - ulazna struja koja tece u skldp na lliskoj razini

89

isti se nacin dcfiniraju i izlaznc stru)c f lv i liN' Smjer struje u stvarnom sklopu .!";.'.::"IUU.ev pritom biti i drugaciji. i

:):(3ranice smetnji i p~ijenosna 'ikarakteristika .':,~~.r!l:!:':iV~ill_i:i;l1_eIW9nr:_.LYre~enski ogranieene..promjene...napQUa.JJ..a_ : uJazu, izlazu i unutar salnog_sklgp~$..mer:nje mogu biti dovedene preko induktivne

i!lkapa'citivne veze, kao i preko zajednicke impedancije u krugu napajarija . (galvanska povrarna veza). lzvori sme~nji mogu biti unutarnjeg iIi vanjskog . karaktera. Vanjske. smetnje mogu biti lnducirane naglimpromjenama.struje j U

JQmsk19pq;':.refleksij:om--sigl!?t~=~~~Qt.l_~~o.q~l!!J1~.?.a.Ylffi~.t9.-k.a---- . :x:.:;.:--=-_, .. ___ l,iflij~_),djelovanjem=-sfiuTnih~~iljaka--do .. .kojih_._dolazi, .. u_ trenucima -r~t vanJ~J.L.E~F~~j.2;L~U.!S:lopa:.ni..unajg~!:~E2_~~tu~~~"~9E!l .. '

. granlCe. Za odredem dlgitalni sklap definiraju se stoga, kilo sto je prjk'az-a----~I.l'~ s[T2, 'sljedeti naponi: I

stanja u izlaznim stupnjevima hekih vrsta integriranih.sklopoya._ .. ;...- . se smetrijasuperponira na postojecu naponsku rannu, moze se dogoditi da

UIVmin - minimalnl izlazni napon na visokoj razini U1Nma> - maksimalni iziazni napon nn niskoj razini UUVmin - minimalni ulazni napon nn visokoj razini

UUNmax - maksimalni ulaZlli napon na niskoj razinl

a)

f Ui! ~nagi,p-l VIVmln --- . I I I I I I I I

, I, nagib-l : ' / U,Nmal----L-:~~ I I I I -L,.'

UUNUloU [jUVlllln--;;:-

b) SL 4.2. Granice smctnji:

a) na dijagramu izlaznih i ulaznih nupona b) na :,rijenosnoj karaktcristici

iznos . I e' -na izlazu sklopa smetnja smanji liznos visoke naponske razine, onda, za '!",,"~o"",n fad, ukupni tako dobiveni napon jos uvijek mora biti u dopustenom !;;"\'P':;;1'::-~ visokog napona na ulazu sljede~ega isto takva sklopa. SHena je situacija

niskoj razini. Maksimalno mogu61 napon smetnje, tZv. graniea smetnje, .... ' .. se razlikuje za visoku i nisku rcizinu. 1z slike 4.2a olilOjeKohke mogu

smetnje, a da taj uvjet bude zadovoljen. (4.1) (4.2)

Naroni Uc;sv i UGS"I ll

-,

90

izlazni je napon malo OVlsan 0 promjeni ulaznog napona (Q9'.L,,:~:.e,., o:.'J"'..J."'_:~:::::X;:,:"v' 1). Nakon tocke u kojoj je pojacanje po iznosujednako 1 (nag~b je tangente izlazni se napon brzo mijenja, karakteristika je strma i pojacanje veliko, sve sljedeceg koljena na karakteristici gdje je pojacanje opet po liznosu jednako Nakon toga opet slijedi polozeni dio karakteristike., Njezinstrt?i dio ' zabranjeno podmcje.. .1, -~ -r ,/---":'.:'::":::.1.

ldealna pnJenosna karakteristika digitalnog sklopa imala i ok.o'miti jednog logickog stanja na izlazu u drugo. Napon kod kojega e taj skok zove se napon praga i oznacava sa VT Kod realnog se sklQpa n~ definicije ne bi mogao uvijek lako odrediti prag, pa ~e UT defiriira ~ao napon su umni-iizla:.mi-naponi jednaki. . .1 Ii , 1z prijenosne karakteristike jasno se vide granicni uiazni i iklazr\inaponi koj odreduju granice smetnji na niskoj i visokoj razini.

Ako je signal smetnje vrlo kratak, bdi od trajanja prij pojava u sklopu amplituda smetnje moze biti i veca od granice istosmjerne . na toj razini Maksimalno dopusteni iznos napona smetnje naziva se " smetnje. Pri tome je potrebno takoder navesti koliko je :'=:~::'::::'::::::":d:'::o~:'p~"u':::s"-'Vt""e~n~o~

trajail}e. La ilustraciju pojave izmjenicne smetnje moze . 10gicki ILlsklop: . na s1. 4.3. Izlaz je prikazan kao zavisni izvor s unutanijim otporom R~ . ., na uklfpni ~ni rasiEI!:LJ.;.CiP1lc;i1.eJpremamasi..P.xetpostavljerio jei .. jedno,eta~nosti, da je napon smetnje pravokutni impuls amplitude Us i tfajan .~ ;;'.:

92

se uzima iz izlaznog cvora iii se u nj dovodi. Faktor granapja (NR) pokazuje, kollko se maksllualno moze opteretiti odredeni logicki sklor pa se zovc i ' opteYecenja~---

Disipacija elektricne snage Intcgrirani sklop disipira odnosno trosi u radu odredenu koliCinu elcktricn ...' e

cnerglJe propor~lOnalno snazi J, Snaga P je jednaka umnosku napona napajanja I str~Je, a sastoJl sc od .dvIJe komponente: statieke i dinamicke disipaeije snage. StruJa, medutlm, opeemto nije uvijek iSla i ovisi 0 logickom stanju sklopa, pa ce se statieka disipacija sastojati od disipacije kad je na izlazu niska odnosno viso razin,a. ~~o ~e n~r: na ulazu invcrtora visoka razina, kroz tranzistor cc teei struja I diSl?a~l;a ce bl:l znatno veea nego ako je tranzistor iskljuccn i njime teee',

pr~ktJckl zanemam:a reverzna stmj~ zasieenja. Obicn~ se pretpostavlja da jc sklop . toko:n. rada ~OI~Vl~~ ;remena u Jednom, a poIovlcu u drugom sranju pa se prosJccna statlcki dlslplrana snaga uzima kao prosjek snage 'pri visokoj j niskoi

. raZll11. .

Po,:,.eeanje s~age, osim sto je sarno po sebi nepovoljno ako se sklap napaja iz bat