1ARIJMHTIKH ANALUSHKAI EFARMOGESDHMHTRIOS NOUTSOSANAPLHRWTHS KAJHGHTHSTMHMATOS MAJHMATKWN

Iw�nnina 2002

2

Perieqìmena1 SFALMATA 71.1 Sf�lmata apokop  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sf�lmata stroggÔleush . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 POLUWNUMIKH PAREMBOLH 152.1 Parembol  kat� Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Peperasmène Diaforè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Parembol  me Peperasmène Diaforè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 ARIJMHTIKH OLOKLHRWSH 253.1 Kanìna Trapez�ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Kanìna Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWN 374.1 Mèjodo Diqotìmhsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Genik  Epanalhptik  Mèjodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Mèjodo Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Mèjodo Tèmnousa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWN 495.1 Basik  Jewr�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Mèjodo Apaloif  tou Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.1 Mèjodo Apaloif  tou Gauss me merik  od ghsh . . . . . . . . 595.3 Epanalhptikè Mèjodoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.1 Mèjodo Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 Mèjodo Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 JEWRIA PROSEGGISHS 736.1 El�qista Tetr�gwna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1.1 SÔsthma twn Kanonik¸n Exis¸sewn . . . . . . . . . . . . . . . . 743

4 PERIEQ�OMENA7 ARIJMHTIKH EPILUSH DIAFORIKWN EXISWSEWN 777.1 Mèjodo Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Peplegmènh Mèjodo Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3 Mèjodoi Runge Cutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

EISAGWGHH Epist mh th Arijmhtik  An�lush èqei ti r�ze th sthn arqaiìthta all� anaptÔ-qjhke kur�w kat� ton prohgoÔmeno ai¸na. Th ragda�a an�ptux  th thn e�de met� to1950 kai  tan sunufasmènh me thn an�ptuxh twn Hlektronik¸n Upologist¸n kai th Epist mh th Plhroforik  . Stìqo th Arijmhtik  An�lush e�nai h an�ptuxh mejì-dwn gia th lÔsh majhmatik¸n problhm�twn me th qr sh HlektronikoÔ Upologist . Taprobl mata pou proèrqontai apì th fÔsh kai thn Teqnolog�a, akìmh kai apì jewrhtikè epist me , montelopoioÔntai apì di�forou kl�dou twn majhmatik¸n kai metatrèpontaise majhmatik� probl mata. Gia par�deigma to prìblhma th prìgnwsh tou kairoÔ meta-trèpetai sto majhmatikì prìblhma enì sust mato diaforik¸n exis¸sewn, H met�doshth jermìthta se ulik� mèsa, kaj¸ kai oi talant¸sei twn swm�twn metatrèpontaise diaforikè exis¸sei me merikè parag¸gou . Oi lÔsei aut¸n twn problhm�twn, sepolÔ l�ge peript¸sei e�nai analutikè , sti perissìtere twn peript¸sewn den èqou-me analutik  èkfrash twn lÔsewn kai gia thn antimet¸pish tou fusikoÔ probl mato ,apaite�tai h arijmhtik  prosèggish th lÔsh sta shme�a pou ma endiafèroun. H epi-st mh th Arijmhtik  An�lush èrqetai na kalÔyei to kenì kai na epino sei mejìdou prosèggish th lÔsh . E�nai gnwstì ìti o Hlektronikì Upologist  ektele� mìnoti tèsseri pr�xei th arijmhtik  . Epomènw oi arijmhtikè mèjodoi bas�zontai mìnosti tèsseri pr�xei th arijmhtik  . Me apl� lìgia ja mporoÔsame na poÔme ìti hArijmhtik  An�lush e�nai h epist mh pou epilÔei apl�   dÔskola majhmatik� probl -mata metatrèpont� ta se mia allhlouq�a twn tess�rwn pr�xewn th arijmhtik  . Hallhlouq�a aut  twn pr�xewn e�nai gnwst  me thn orolog�a algìrijmo . Genikìte-ra, algìrijmo e�nai mia peperasmènh allhlouq�a apl¸n energei¸n. Sthn per�ptwsh twnarijmhtik¸n algìrijmwn, oi pio aplè enèrgeie e�nai oi tèsseri pr�xei th arijmhtik  .'Ena algìrijmo gia na e�nai qr simo , ja prèpei na qarakthr�zetai apì dÔo stoi-qe�a, na e�nai apotelesmatikì kai axiìpisto . Apotelesmatikì shma�nei ìti japrèpei na lÔnei to prìblhma se qrìno pou ta apotelèsmata ja e�nai qr sima. Gia pa-r�deigma, èna algìrijmo pou ja èlune to sÔsthma twn diaforik¸n exis¸sewn gia thnprìgnwsh tou aurianoÔ kairoÔ, an qreiazìtan qrìno mia ebdom�da se èna sÔgqronoupologist , den ja  tan kajìlou apotelesmatikì . To prìblhma tou qrìnou ektèle-sh enì algor�jmou, belti¸netai suneq¸ me th suneq  belt�wsh th taqÔthta twnupologist¸n. 'Omw , ìso kai na auxhje� h upologistik  taqÔthta, p�nta ja up�rqounmh apotelesmatiko� algìrijmoi gia meg�la kai polÔploka probl mata, h de epinìhsh an-5

6 PERIEQ�OMENAt�stoiqwn apotelesmatik¸n, apotele� ped�o èreuna gia thn Arijmhtik  An�lush. 'Enaakìmh stoiqe�o th apotelesmatikìthta apotele� kai h apaitoÔmenh qwrhtikìthta semn mh. H almat¸dh ìmw an�ptuxh sthn teqnolog�a kataskeu  thn oloklhrwmènwnkuklwm�twn kai th qr sh th bohjhtik  mn mh , èluse se meg�lo bajmì to prì-blhma th qwrhtikìthta . Akìmh, h an�ptuxh th teqnolog�a sthn kateÔjunsh twnpar�llhlwn Upologist¸n, e�qe sa sunèpeia thn melèth kai an�ptuxh apì thn pleur�th Arijmhtik  An�lush , par�llhlwn algor�jmwn, ìpou kat� thn �dia qronik  stigm ekteloÔntai par�llhla k�poie diadikas�e ep�lush tou probl mato se diaforetikoÔ epexergastè , me apotèlesma th meg�lh exoikonìmhsh qrìnou.Me ton ìro axiìpisto ennooÔme ìti ta apotelèsmata pou ja p�roume, ja prèpeina antapokr�nontai sthn pragmatikìthta kai na mhn e�nai entel¸ lanjasmèna. 'Etsi kialli¸ den pa�rnoume ta akrib  apotelèsamta, afoÔ h apomnhmìneush twn arijm¸n stonupologist  kai oi pr�xei g�nontai me peperasmèno pl jo yhf�wn. To jèma e�nai, oiprosegg�sei pou pa�rnoume na e�nai arket� kont� sth lÔsh   alli¸ ta sf�lmata nakuma�nontai se epijumht� ep�peda. Up�rqoun probl mata pou apì th fÔsh tou e�naiastaj , e�nai ta legìmena probl mata me kak  kat�stash (ill conditioned), dhlad  mi-krè diatar�xei sta dedomèna tou probl mato , epifèroun meg�lh apìklish sth lÔsh.Sti peript¸sei autè jèlei meg�lh prosoq , na qrhsimopoihjoÔn ìso to dunatìn eu-staje� algìrijmoi ¸ste na èqoume th mikrìterh dunat  apìklish. Akìmh ìmw kai seprobl mata eustaj  up�rqoun algìrijmoi pou diaqeir�zontai ta arqik� sf�lmata   tasf�lmata twn endi�meswn pr�xewn me trìpo pou ta k�noun na megal¸noun, me sunèpeiata apotelèsmata na e�nai anaxiìpista. Epìmeno, loipìn, e�nai èna meg�lo mèro th jew-r�a th Arijmhtik  An�lush , na afier¸netai sthn an�ptuxh kai kataskeu  mejìdwn,algìrijmwn, pou ja perior�zoun kat� to dunatìn ta sf�lmata sta telik� apotelèsmata,ètsi ¸ste ta apotelèsmata aut� na g�nontai apodekt�. E�nai diplì loipìn o rìlo th epist mh th Arijmhtik  An�lush : Na epinoe� arijmhtikè mejìdou pou ja proseg-g�zoun ìso to dunatìn kalÔtera to arqikì majhmatikì prìblhma kai na kataskeu�zeiapotelesmatikoÔ kai axiìpistou algor�jmou .Epimèrou kl�doi th Arijmhtik  An�lush e�nai h Jewr�a Prosèggish , h Arijmh-tik  Olokl rwsh, h Arijmhtik  ep�lush Diaforik¸n Exis¸sewn, h Arijmhtik  ep�lushGrammik¸n Susthm�twn, o upologismì twn Idiotim¸n kai Idiodianusm�twn Pin�kwn kaih Jewr�a Beltistopo�hsh . Sti paroÔse shmei¸sei ja asqolhjoÔme se eisagwgikìep�pedo me Kef�laia pou proèrqontai apì tou parap�nw kl�dou . H kateÔjunsh twnshmei¸sewn, kaj¸ kai tou maj mato , ja e�nai perissìtero pro thn pleur� th kata-nìhsh twn algor�jmwn kai th ulopo�hsh aut¸n ston upologist  kai ligìtero pro thn pleur� th jewrhtik  melèth twn mejìdwn. 'Opou qrei�zetai k�poia basik  jewr�aja d�netai sta epimèrou kef�laia ìso to dunatìn pio apl�. Oi algìrijmoi ja d�nontaise morf  yeudok¸dika, eleÔjera sthn Ellhnik  gl¸ssa kai ja e�nai anex�rthtoi apìth qrhsimopoioÔmenh gl¸ssa programmatismoÔ.

Kef�laio 1SFALMATA'Opw anafèrjhke kai sthn Eisagwg , ta sf�lmata pa�zoun spouda�o rìlo stou upo-logismoÔ . Up�rqoun diafìrwn eid¸n sf�lmata:E�nai ta peiramatik�   ergasthriak� sf�lmata. Aut� prokÔptoun kat� ti metr sei diafìrwn posot twn sto ergast rio apì k�poia ìrgana   apì metr sei apost�sewn  �llwn megej¸n me k�poia ìrgana akribe�a . Ta sf�lmata aut� ofe�lontai sta ìrganatwn metr sewn kai e�nai gnwst  ek twn protèrwn h mègisth apìklish, sÔmfwna me ti prodiagrafè twn org�nwn.E�nai ta statistik�   stoqastik� sf�lmata. Aut� parousi�zontai se probl mataìpou upeisèrqetai h ènnoia th prìbleyh   th stoqastik  ekt�mhsh . E�nai kai e-d¸ gnwst  ek twn protèrwn h mègisth apìklish pou exart�tai apì to mègejo toude�gmato . Oi dÔo autè kathgor�e an koun se �lle epist me kai den ja e�nai staendiafèront� ma .Ta sf�lmata pou emp�ptoun sto ped�o th Arijmhtik  An�lush e�nai eke�na pouèqoun na k�noun me prosèggish kai me arijmhtikoÔ upologismoÔ . Qwr�zontai se dÔokathgor�e , sta sf�lmata apokop  kai sta sf�lmata sroggÔleush .1.1 Sf�lmata apokop  Ta sf�lmata apokop  proèrqontai apì to gegonì ìti prosegg�zoume to arqikì prì-blhma me èna ant�stoiqo arijmhtikì to opo�o kai lÔnoume me mia arijmhtik  mèjodo.Sun jw èqoume na lÔsoume èna suneqè prìblhma, gia par�deigma mia diaforik  ex�-swsh, kai to prosegg�zoume me èna diakritì prìblhma. H prosèggish aut  ja metafèreito sf�lma sth lÔsh tou probl mato . Se �lle peript¸sei , gia ton upologismì mia posìthta , èqoume na upolog�soume tou �peirou ìrou mia seir� . Ant� autoÔ u-polog�zoume èna peperasmèno pl jo autoÔ, kai apokìptoume ìlou tou upìloipou .To �jroisma ìlwn twn apokoptìmenwn ìrwn apotele� kai to sf�lma apokop  . Autì e�nai kai o lìgo pou onom�sthke sf�lma apokop  . Akìmh, pollè forè gia th lÔ-sh k�poiwn problhm�twn, apaite�tai h eÔresh tou or�ou mia akolouj�a . Ant� autoÔupolog�zoume èna peperasmèno pl jo ìrwn kai prosegg�zoume to ìrio. An g�nei ma-7

8 KEF�ALAIO 1. SFALMATAjhmatik  an�lush se ìla ta parap�nw probl mata, ja doÔme ìti kat� thn prosèggish,ousiastik� apokìptontai k�poioi ìroi apì thn akrib  lÔsh. Prin p�roume thn apìfashna qrhsimopoi soume k�poia arijmhtik  mèjodo ja prèpei na gnwr�zoume ta ìria staopo�a kuma�netai to sf�lma apokop  kai an aut� br�skontai se epijumht� ep�peda, thqrhsimopoioÔme alli¸ ta apotelèsmata ja e�nai anaxiìpista. A doÔme ìmw ta sf�l-mata apokop  mèsa apì k�poia parade�gmata.Par�deigma 1:Upojètoume ìti èqoume mia sun�rthsh f orismènh, suneq  kai paragwg�simh sto di�-sthma (a, b). 'Estw ìti jèloume na broÔme thn par�gwgo th sun�rthsh sto shme�ox0 ∈ (a, b) kai ìti e�nai dÔskolo na thn paragwg�soume analutik�. E�nai gnwstì ìti

f ′(x0) = limx→0

f(x) − f(x0)

x − x0

.Epeid  e�nai dÔskolo na broÔme autì to ìrio, ìtan h sun�rthsh e�nai polÔplokh, to pro-segg�zoume, jewr¸nta èna shme�o x1 ∈ (a, b) kont� sto x0, me to phl�ko peperasmènwndiafor¸n w ex  :f ′(x0) ≈

f(x1) − f(x0)

x1 − x0

.A prospaj soume t¸ra na broÔme mia èkfrash tou sf�lmato apokop  me stìqo naektim soume ta ìria sta opo�a kuma�netai. Gia na to petÔqoume jewroÔme to an�ptugmaTaylor me trei ìrou :

f(x1) = f(x0) + (x1 − x0)f′(x0) + (x1 − x0)

2f ′′(x̂), x̂ ∈ (x0, x1).LÔnoume aut n w pro f ′(x0) kai br�skoumef ′(x0) =

f(x1) − f(x0)

x1 − x0

− (x1 − x0)f′′(x̂).Sumbol�zoume me (f ′(x0))

∗ thn proseggistik  tim  th parag¸gou kai or�zoume w sf�l-ma apokop  ǫ, th diafor� ǫ = (f ′(x0))∗ − f ′(x0). Tìte,

ǫ = (f ′(x0))∗ − f ′(x0) = (x1 − x0)f

′′(x̂).Apì thn teleuta�a sqèsh sumpera�noume ìti to sf�lma exart�tai apì thn tim  th deu-tèra parag¸gou se èna shme�o kai apì to pìso kont� e�nai to x1 sto x0. An èqoumek�poia plhrofor�a gia èna �nw fr�gma th |f ′′| sto di�sthma (a, b), mporoÔme na e-pilèxoume kat�llhlo x1 ¸ste to sf�lma na br�sketai se epijumht� pla�sia. Me thnparap�nw an�lush k�name ekt�mhsh tou sf�lmato apokop  se èna aplì prìblhma.Olìklhro kl�do th Arijmhtik  An�lush asqole�tai me thn ekt�mhsh sfalm�twn,qrhsimopoi¸nta baji� jewr�a, kur�w sta probl mata th arijmhtik  ep�lush diafo-rik¸n kai oloklhrwtik¸n exis¸sewn. Sti paroÔse shmei¸sei ja k�noume lìgo gia

1.2. SF�ALMATA STROGG�ULEUSHS 9ta ep�peda pou kuma�nontai ta sf�lmata apokop  sta epimèrou kef�laia, qwr� na ma apasqole� idia�tera o trìpo th ekt�mhsh .Par�deigma 2:Gia ton upologismì k�poia tim  th sun�rthsh ex qrhsimopoioÔme th seir�ex =

∞∑

i=0

xi

i!.E�nai gnwstì ìti h akolouj�a twn ep� mèrou ajroism�twn, sugkl�nei me meg�lh taqÔ-thta. Epeid  de mporoÔme na upolog�soume to �jroisma ape�rwn ìrwn, prosegg�zoumethn posìthta aut  ajro�zonta tou n + 1 pr¸tou ìrou . Tìte to sf�lma apokop  ja e�nai

ǫ =n∑

i=0

xi

i!− ex = −

∞∑

i=n+1

xi

i!.Par�deigma 3:Gia thn eÔresh th tetragwnik  r�za tou jetikoÔ arijmoÔ a, qrhsimopoie�tai o algì-rijmo twn Newton-Raphson, o opo�o par�gei mia akolouj�a {xn}, apì ton anadromikìtÔpo

xn+1 =1

2

(xn +

a

xn

), n = 0, 1, 2, · · · ,me x0 auja�reth arqik  stajer�. ApodeiknÔetai ìti h akolouj�a aut  sugkl�nei gr gorasthn √

a, jewrhtik� ìmw qrei�zontai na lhfjoÔn �peiroi ìroi gia na breje� akrib¸ .Sthn pr�xh thn prosegg�zoume me k�poion ìro th akolouj�a , èstw ton xk. Tìte tosf�lma apokop  ja e�naiǫ = xk −

√a .Ed¸ de fa�nontai kajar� poioi e�nai oi ìroi pou apokìphkan, oÔte to pw mpore� naektimhje� autì to sf�lma, ìmw up�rqei jewr�a pou upolog�zei fr�gmata tou sf�lmato ,me thn opo�a de ja asqolhjoÔme.1.2 Sf�lmata stroggÔleush Ta sf�lmata aut� ofe�lontai sto gegonì ìti oi arijmo� apomnhmoneÔontai ston upo-logist  stroggulemènoi se peperasmèno arijmì yhf�wn. Autì g�netai gia ta arqik�dedomèna tou probl mato all� kai gia ìlou tou arijmoÔ pou proèrqontai apì k�jeendi�mesh pr�xh. A doÔme ìmw pr¸ta to pw apojhkeÔontai oi arijmo� sth mn mh.Oi arijmo� apl  akr�beia qrhsimopoioÔn 4 bytes gia thn apoj keus  tou sth mn -mh. K�je byte apotele�tai apì 8 bits, ìpou se k�je bit apojhkeÔetai mia apì ti duokatast�sei , pern�ei   den pern�ei reÔma pou antistoiqe� sta duo yhf�a tou duadikoÔ

10 KEF�ALAIO 1. SFALMATAsust mato 1 kai 0, ant�stoiqa. Sta tr�a pr¸ta bytes apojhkeÔontai ta yhf�a tou a-rijmoÔ sto duadikì sÔsthma w èna akèraio arijmì qwr� tele�a. E�nai to legìmenoklasmatikì mèro tou arijmoÔ. 'Ena bit to katanal¸nei gia to prìshmo tou arijmoÔ,apomènoun 23 diajèsima gia to klasmatikì mèro . O mègisto arijmì pou qwr�ei jae�nai o 223 − 1, pou an metatrape� sto dekadikì sÔsthma, e�nai se t�xh megèjou èna eptay fio arijmì . Sto tètarto byte apojhkeÔetai to legìmeno ekjetikì mèro , dh-lad  o ekjèth dÔnamh tou 2 me to prìshmì tou. O arijmì pou kataqwre�tai telik�,br�sketai an jèsoume thn tele�a prin apì to pr¸to yhf�o kai pollaplasi�soume me thdÔnamh tou dÔo pou ma epib�lei to ekjetikì mèro . Ousiastik� to ekjetikì mèro meta-fèrei thn tele�a tìse jèsei dexi� an e�nai jetikì   arister� an e�nai arnhtikì. Epeid e�maste sunhjismènoi na ergazìmaste sto dekadikì sÔsthma, ja jewroÔme apì t¸ra kaisto ex  ìti to klasmatikì mèro apotele�tai apì ènan eptay fio arijmì kai to ekjetikìmèro apì ton ekjèth dÔnamh tou 10. ApodeiknÔetai ìti den apèqoume polÔ apì thnpragmatikìthta an k�noume aut  th je¸rhsh. Gia par�deigma, an d¸soume ton arijmìπ me 8 yhf�a, dhlad  ton 3.1415926, ja ton strogguleÔei se 7, ja apomnhmoneÔsei stoklasmatikì mèro ton 3141593 kai sto ekjetikì to 1. Ousiastik� ton apoj keuse sthmorf  0.3141593 × 101. D�noume ed¸ èna akìmh par�deigma dÔo diaforetik¸n arijm¸npou èqoun ta �dia yhf�a. Oi arijmo� 135.129235 kai 0.0000135129235 ja apomnhmoneu-toÔn sth morf  0.1351292 × 103 kai 0.1351292 × 10−4, ant�stoiqa. ParathroÔme ed¸ìti èqoume akrib¸ to �dio klasmatikì mèro , en¸ oi arijmo� apèqoun kat� polÔ. Tayhf�a tou klasmatikoÔ mèrou lègontai shmantik� yhf�a. Me ton trìpo autì th kata-q¸rhsh , o megalÔtero apìluta arijmì pou mpore� na apojhkeute� e�nai th t�xh tou1038 kai o mikrìtero apìluta, th t�xh tou 10−44. MegalÔteroi arijmo� de qwr�nekai an prokÔyoun apì ti pr�xei èqoume to fainìmeno th uperekqe�lish (overflow)kai den mpore� na luje� to prìblhma. An prokÔyoun apìluta mikrìteroi, ìpou èqoumeto fainìmeno th upoekqe�lish (unterflow), strogguleÔontai sto 0 kai suneq�zetai hdiadikas�a.Apì thn parap�nw an�lush prokÔptei ìti to sÔnolo twn pragmatik¸n arijm¸n pouèqei �peira stoiqe�a kai e�nai puknì, prosegg�zetai apì èna peperasmèno sÔnolo arij-m¸n, aut¸n pou mporoÔn na apojhkeutoÔn. To sÔnolo autì lègetai sÔnolo kinht  upodiastol  kai h arijmhtik  pou prokÔptei, arijmhtik  kinht  upodiastol  . Sthnarijmhtik  kinht  upodiastol  den isqÔoun ìle oi idiìthte ìpw sthn arijmhtik  twnpragmatik¸n arijm¸n, gia to lìgo ìti to apotèlesma mia pr�xh br�sketai pollè forè met� apì stroggÔleush. Autì ja to doÔme me k�poia parade�gmata, afoÔ upojèsoumegia aploÔsteush ìti èqoÔme ènan upologist  pou douleÔei me akr�beia tri¸n dekadik¸nyhf�wn:1)Den isqÔei h epimeristik  idiìthta tou pollaplasiasmoÔ w pro thn prìsjesh:

3.21 × (5.32 + 8.54) = 3.21 × 13.8|6 ≈ 3.21 × 13.9 = 44.6|19 ≈ 44.6

3.21 × 5.32 + 3.21 × 8.54 = 17.0|772 + 27.4|134 ≈ 17.1 + 27.4 = 44.5

1.2. SF�ALMATA STROGG�ULEUSHS 112)Den isqÔei h prosetairistik  idiìthta:(3.24 + 5.46) + 6.37 = 8.70 + 6.37 = 15.0|7 ≈ 15.1

3.24 + (5.46 + 6.37) = 3.24 + 11.8|3 ≈ 3.24 + 11.8 = 15.0

(1.11 × 2.22) × 3.33 = 2.46|42 × 3.33 ≈ 2.46 × 3.33 = 8.19|18 ≈ 8.19

1.11 × (2.22 × 3.33) = 1.11 × 7.39|26 ≈ 1.11 × 7.39 = 8.20|29 ≈ 8.20ParathroÔme sta parap�nw parade�gmata ìti, all�zonta th seir� twn pr�xewn, èqoumediaforetik� apotelèsmata ta opo�a diafèroun kat� polÔ l�go. 'Otan ìmw èqoume naektelèsoume pr�xei me perissìterou arijmoÔ , ta apotelèsmata mpore� na e�nai entel¸ diaforetik�. Akìmh, an duo arijmo� diafèroun kat� t�xh megèjou , tìte mia prìsjesh  afa�resh ja d¸sei ton apìluta megalÔtero arijmì, san na mhn ègine kajìlou h pr�xh,ìpw fa�netai sto par�deigma :32.4 + 0.00123 = 32.4|0123 ≈ 32.4.Mèlhm� ma epomènw kat� thn epilog  twn algor�jmwn ja e�nai p�nta h seir� twnpr�xewn all� kai h seir� twn arijm¸n. Autì ja to doÔme se k�poie efarmogè poud�nontai w parade�gmata:Par�deigma 4:Gia ton prosèggish th tim  e−12.5 qrhsimopoioÔme to peperasmèno �jroisma

e−12.5 =n∑

i=0

(−12.5)i

i!.Upolog�same to �jroisma autì gia n = 34 kai to apotèlesma me akr�beia 5 shmantik¸nyhf�wn  tan 0.162916×10−2, en¸ h akrib  tim  se tìsa yhf�a e�nai 0.372665×10−5. Hakolouj�a twn epimèrou ajroism�twn th seir� th ex sugkl�nei me meg�lh taqÔthtakai ja èprepe na ma d¸sei thn akrib  tim  se 34 epanal yei . To entel¸ esfalmènoapotèlesma ofe�letai apokleistik� sta sf�lmata stroggÔleush . Gia na katano soumeto giat�, d�noume me th seir� merikoÔ apì tou pr¸tou ìrou tou ajro�smato :

1, −12.5, 78.125, −325.5208, 1017.252, −2543.131, 5298.19, −9461.053, 14782.89, · · · .Auto� oi ìroi suneq�zoun na megal¸noun apìluta èw ton 13o ìro kai met� mikra�noun.En¸ to telikì apotèlesma e�nai polÔ mikrì, up�rqoun polÔ meg�loi apìluta prosjetèoime enallassìmena prìshma, pou allhloanairoÔntai. Ta 7 shmantik� yhf�a twn apìlutamegalÔterwn arijm¸n, arq�zoun apì thn 5η akèraia jèsh kai katal goun sth deÔterhdekadik  jèsh. 'Etsi, to mègisto sf�lma stroggÔleush ja e�nai th t�xh tou 10−2,to opo�o metabib�zetai se ìlo to �jroisma kai èqoume autì to apotèlesma. Autì tofainìmeno lègetai katastrofik  akÔrwsh shmantik¸n yhf�wn kai jèlei prosoq  diìti

12 KEF�ALAIO 1. SFALMATAemfan�zetai suqn�. P¸ ja to antimetwp�soume; Upolog�zoume me thn �dia seir� kaime n = 34, to e12.5 pou apotele�tai mìno apì jetikoÔ ìrou kai sth sunèqeia me m�adia�resh br�skoume thn e−12.5 = 1e12.5 , pou d�nei thn akrib  tim  se 6 shmantik� yhf�a.Par�deigma 5:E�nai gnwstì jewrhtik�, ìti h armonik  seir� apeir�zetai:

∞∑

i=1

1

i= ∞.'Omw , se arijmhtik  kinht  upodiastol  , h akolouj�a merik¸n ajroism�twn fa�netaina sugkl�nei. Pragmatik�, upolog�same to ∑n

i=11ime n = 107 kai br kame 15.4037, to�dio akrib¸ br kame kai gia n = 108, pou shma�nei ìti ep lje sÔgklish. Autì sumba�neidiìti ta shmantik� yhf�a twn ìrwn apì 107 kai pèra, arq�zoun apì thn èbdomh dekadik jèsh kai pèra, en¸ ta shmantik� yhf�a tou merikoÔ ajro�smato fj�noun èw kai thnpèmpth dekadik  jèsh. 'Etsi, apì èna shme�o kai pèra to merikì �jroisma paramèneistajerì. Sth sunèqeia k�name to ex  pe�rama, gia n = 108 kai n = 109 upolog�sameto merikì �jroisma apì to tèlo pro thn arq , dhlad  ∑n

i=11

n+1−ikai br kame thn�dia tim  18.8079. ParathroÔme ed¸ ìti an all�xoume th seir� twn pr�xewn, br�skou-me entel¸ diaforetikì apotèlesma. Sth deÔterh per�ptwsh prostèjhkan perissìteroiìroi kai èqoume megalÔtero apotèlesma. Autì sumba�nei diìti se èna �jroisma poll¸njetik¸n ìrwn, ta merik� ajro�smata megal¸noun kai to ped�o twn shmantik¸n yhf�wnproqwr�ei pro ta arister�   paramènei to �dio. An prosjèsoume apì to megalÔteropro to mikrìtero, tìte to men ped�o shmantik¸n yhf�wn twn merik¸n ajroism�twn te�neipro ta arister�, to de ped�o tou ìrou pou prost�jetai, te�nei pro ta dexi�, afoÔ su-neq¸ mikra�nei. 'Etsi, sqetik� gr gora ta duo ped�a den èqoun koin� shmantik� yhf�ame sunèpeia na mh g�netai prìsjesh. An ìmw prosjèsoume apì to mikrìtero pro tomegalÔtero tìte kai ta duo ped�a te�noun pro ta arister�, me sunèpeia na èqoume koin�shmantik� yhf�a gia megalÔtero di�sthma. Sto parìn par�deigma ì,ti kai na k�noumepotè de ja plhsi�soume thn akrib  tim , afoÔ aut  e�nai �peiro. 'Omw , to fainìmeno pouparathr same ma did�skei ìti, an èqoume na prosjèsoume polloÔ arijmoÔ , ja prèpeina xekin�me apì ton apìluta mikrìtero pro ton apìluta megalÔtero. Se peript¸sei ajroism�twn peperasmènwn ìrwn   sugklinous¸n seir¸n, h taktik  aut  ja ma d¸seiperissìtero akrib  apotelèsmata.Anex�rthta apì to an e�nai sf�lma apokop    stroggÔleush , èqoume or�sei w sf�lma th diafor�

ǫ = x∗ − x, (1.1)ìpou x h akrib  tim  mia posìthta kai x∗ h ant�stoiqh proseggistik . Sti peris-sìtere forè ma endiafèrei to pìso kont� sto x e�nai to x∗ kai ìqi apì poia pleur�tou x br�sketai. 'Etsi or�zoume w apìluto sf�lma thn apìluth tim  tou sf�lmato

1.2. SF�ALMATA STROGG�ULEUSHS 13|ǫ|. Akìmh, pollè forè de ma endiafèrei autì kaj' eautì to mègejo tou sf�lmato ,all� to mègejì tou se sqèsh me thn akrib  tim . Or�zoume loipìn to sqetikì sf�lmapou e�nai to phl�ko tou sf�lmato dia thn akrib  tim 

δ =ǫ

x=

x∗ − x

x≈ ǫ

x∗ . (1.2)Kat' analog�a or�zoume to apìluto sqetikì sf�lma w thn apìluth tim  |δ|.Sthn arijmhtik  kinht  upodiastol  , to apìluto sf�lma stroggÔleush kuma�netaian�loga me to mègejo tou arijmoÔ, h de mikrìterh dunat  tim  e�nai eke�nh pou an mi-krÔnei l�go akìmh ja strogguleute� sto mhdèn. MporoÔme na broÔme mia prosèggishaut  th el�qisth tim  ulopoi¸nta ston upologist  ton ex  algìrijmo: D�noumemia arqik  tim  sto |ǫ| kai sth sunèqeia to upodiplasi�zoume suneq¸ . K�pote autìja g�nei mhdèn, opìte h amèsw prohgoÔmenh tim  tou e�nai èna polÔ mikrì arijmì pou mpore� na jewrhje� w h el�qisth tim  tou |ǫ| th mhqan  . D�noume autìn tonalgìrijmo se morf  yeudok¸dika:Algìrijmo eÔresh tou ǫ mhqan  ǫ = 1efìson ǫ > 0

ǫold = ǫ

ǫ = ǫ2tèlo �efìson�

ǫold e�nai mia prosèggish tou ǫ mhqan  Tèlo Algor�jmou.Ant�jeta me to apìluto sf�lma, to apìluto sqetikì sf�lma kuma�netai p�nta sta�dia ep�peda kai e�nai th t�xh tou 10−7 gia apl  akr�beia, ìso kai h t�xh twn shmanti-k¸n yhf�wn. Autì sumba�nei diìti to phl�ko x∗

xja e�nai kont� sth mon�da kai ja diafèreiapì aut n apì thn èbdomh dekadik  jèsh kai pèra, afoÔ ta pr¸ta 7 dekadik� yhf�a tou

x∗ kai x e�nai akrib¸ ta �dia. Afair¸nta th mon�da, èqoume to parap�nw sf�lma.'Ena ant�stoiqo algìrijmo eÔresh mia prosèggish tou sqetikoÔ sf�lmato δ th mhqan  , prokÔptei apì to gegonì ìti, o δ e�nai èna arijmì pou an prosteje� sthmon�da d�nei p�li mon�da. 'Etsi, ìpw kai ston prohgoÔmeno algìrijmo, d�noume arqik tim  sto δ kai to upodiplasi�zoume suneq¸ . K�je for� elègqoume to 1+ δ, mìli g�nei1 eke�no to δ e�nai mia prosèggish tou δ th mhqan  . O algìrijmo se yeudok¸dika e�nai:Algìrijmo eÔresh tou δ mhqan 

δ = 1efìson 1 + δ > 1

δ = δ2tèlo �efìson�

14 KEF�ALAIO 1. SFALMATAδ e�nai mia prosèggish tou δ mhqan  Tèlo Algor�jmou.A shmeiwje� ed¸ ìti, to apìluto sf�lma   to apìluto sqetikì sf�lma, ja a-poteloÔn krit ria sÔgklish twn mejìdwn pou ja exet�soume sta epìmena kef�laia.Sun jw den apaitoÔme na ft�soume se sÔgklish tou epipèdou th mhqan  , all� eme� prokajor�zoume to an¸tato epijumhtì sf�lma. 'Etsi, qrhsimopoioÔme ta krit ria

|ǫ| ≤ 1

210−k   |δ| ≤ 1

210−k,an jèloume akr�beia k dekadik¸n yhf�wn   akr�beia k shmantik¸n yhf�wn, ant�stoiqa.

ASKHSEIS1) Na breje� to sf�lma apokop  , kat� ton upologismì th gewmetrik  seir� ∑∞

i=112i , an ant� aut  upolog�soume to merikì �jroisma ∑10

i=112i .2) Na upologiste� to �jroisma

0.99 + 0.11 + 0.044 + 0.044 + 0.012me th seir� pou d�netai, an jewr soume ìti o upologist  k�nei pr�xei me tr�a shmantik�yhf�a. Sth sunèqeia na breje� to �dio �jroisma k�nonta kat�llhlh anadi�taxh. Poiae�nai ta sf�lmata stroggÔleush kai sti duo peript¸sei 3) Na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja ulopoie� to par�deigma 4.4) Na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja ulopoie� to par�deigma 5.5) Na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja br�skei to ǫ th mhqan  , sÔmfwname ton algìrijmo.6) Na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja br�skei to δ th mhqan  , sÔmfwname ton algìrijmo.7) Na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja br�skei to megalÔtero akèraio arijmìpou qwr�ei sth mn mh tou upologist .Upìdeixh: Jewr ste mia arqik  tim  kai prosjèste suneq¸ th mon�da, èw ìtou to�jroisma de ja metab�lletai.

Kef�laio 2POLUWNUMIKH PAREMBOLHTo prìblhma th Parembol  , ent�ssetai sto genikìtero prìblhma th Jewr�a Pro-sèggish . Se poll� fusik� fainìmena   se probl mata pou proèrqontai apì ti jetikè epist me kai thn teqnolog�a, eke�no pou èqoume sth di�jes  ma gia th melèth tou ,e�nai mia seir� apì metr sei pou l fjhkan apì k�poia ìrgana ergasthr�ou. Ousia-stik�, an jel soume na qrhsimopoi soume majhmatik  orolog�a, èqoume sth di�jes ma èna sÔnolo tim¸n mia �gnwsth sun�rthsh pou antistoiqoÔn se k�poie timè th anex�rthth metablht  . E�nai dhlad  gnwst  h sun�rthsh se èna sÔnolo shme�wn kaiìqi se ìlo to ped�o orismoÔ th . Stìqo th Jewr�a Prosèggish e�nai h prosarmog mia sun�rthsh , orismènh se ìlo to ped�o, ¸ste na perigr�fei kat� ton kalÔtero du-natì trìpo to fainìmeno   to prìblhma. H lÔsh sto prìblhma prosèggish , den e�naimonos manth. Up�rqoun �peire sunart sei pou mporoÔn na jewrhjoÔn w lÔsei .Upeisèrqetai ed¸ o par�gonta th epilog  , ìpou ek twn protèrwn apaitoÔme h su-n�rthsh na e�nai k�poia eidik  morf  kai h epilog  g�netai upì thn pro�pìjesh ìti hapìklis  th apì ti timè sta shme�a pou gnwr�zoume, e�nai h mikrìterh dunat . Se pro-bl mata ìpou gnwr�zoume th morf  th sun�rthsh apì �llh jewr�a, apaitoÔme tètoiana e�nai kai h prosèggis  ma kai èqoume apl¸ na prosdior�soume k�poie paramètrou .Gia par�deigma, an èqoume prìblhma di�spash pur nwn, apaitoÔme na e�nai ekjetik  hsun�rthsh, en¸ an èqoume prìblhma talant¸sewn, apaitoÔme na e�nai trigwnometrik .Sti peript¸sei pou den gnwr�zoume th morf , thn epilègoume ¸ste na e�nai apl  kaina ma dieukolÔnei sthn peraitèrw melèth. Oi aploÔstere morfè sunart sewn e�nai oipoluwnumikè , oi trigwnometrikè , oi ekjetikè kai oi rhtè .To prìblhma th Parembol  e�nai mia eidik  per�ptwsh tou probl mato th Pro-sèggish , ìpou apaitoÔme h sun�rthsh na plhre�tai me akr�beia, sto sÔnolo tim¸n pouèqoume sth di�jes  ma . H Poluwnumik  Parembol  e�nai profan¸ h Parembol  meepilegìmenh morf  sun�rthsh , to polu¸numo pou e�nai kai h pio apl  morf . Stopar¸n Kef�laio ja asqolhjoÔme me thn Poluwnumik  Parembol  en¸ se epìmeno Ke-f�laio me èna e�do Poluwnumik  Prosèggish . Ja topojet soume t¸ra majhmatik�to prìblhma kai ja prospaj soume na to lÔsoume.15

16 KEF�ALAIO 2. POLUWNUMIKH PAREMBOLHJewroÔme to sÔnolo n + 1 shme�wn( xi , f(xi) ) , i = 0(1)n, (2.1)ìpou xi e�nai oi timè th anex�rthth metablht  kai f(xi) oi ant�stoiqe timè th su-n�rthsh , gia suntom�a ja ti sumbol�zoume kai me fi. Jèloume na broÔme èna polu¸numo

p(x) pou ja taut�zetai me th sun�rthsh, sta shme�a xi:p(xi) = fi , i = 0(1)n. (2.2)Autì to prìblhma èqei �peire lÔsei . Pragmatik�, an jewr sw ìti to polu¸numo p(x)e�nai lÔsh, tìte kai to polu¸numo

q(x) = p(x) + r(x)n∏

i=0

(x − xi), (2.3)e�nai ep�sh mia lÔsh afoÔ o deÔtero ìro sto deÔtero mèlo , mhden�zetai gia ìle ti timè xi, i = 0(1)n kai gia opoiad pote epilog  tou poluwnÔmou r(x). Ja èqoume dhlad q(xi) = p(xi) = fi , i = 0(1)n.H pio apl  lÔsh mèsa apì ti �peire , ja e�nai eke�nh pou èqei to mikrìtero bajmì.Gia aut  th lÔsh ja y�qnoume kai autì to polu¸numo ja to onom�zoume Polu¸numoParembol  .Ja apode�xoume ed¸ ìti up�rqei monadikì tètoio polu¸numo pou e�nai to polÔ n baj-moÔ. H apìdeixh ja g�nei me thn ei �topon apagwg :Upojètoume ìti up�rqoun duo tètoia polu¸numa, to pn(x) kai to qn(x). Tìte, to po-lu¸numo rn(x) = pn(x)−qn(x) ja e�nai ep�sh to polÔ n bajmoÔ kai ja èqei toul�qiston

n + 1 r�ze , ta shme�a xi, i = 0(1)n, afoÔ rn(xi) = pn(xi) − qn(xi) = fi − fi = 0. Denmpore� ìmw èna polu¸numo to polÔ n bajmoÔ na èqei n + 1 r�ze , opìte katal xame se�topo. Apomènei na apode�xoume ìti up�rqei toul�qiston èna to opo�o, sÔmfwna me taparap�nw, ja e�nai kai monadikì. Autì ja apodeiqte� sugqrìnw me thn prosp�jei� ma na broÔme autì to polu¸numo. Up�rqoun di�fore mèjodoi gia ton upologismì tou po-luwnÔmou parembol  . Ja asqolhjoÔme me duo apì autè , th mèjodo parembol  kat�Lagrange kai th mèjodo twn Peperasmènwn Diafor¸n, ìtan prìkeitai gia isapèqontashme�a.2.1 Polu¸numo Parembol  kat� LagrangeJewroÔme ed¸ ìti to polu¸numo parembol  ja e�nai èna grammikì sunduasmì twntim¸n th sun�rthsh fi me suntelestè ta polu¸numa n bajmoÔ Li(x):

pn(x) =n∑

i=0

Li(x)fi. (2.4)

2.1. PAREMBOL�H KAT�A LAGRANGE 17Gia thn eÔresh tou poluwnÔmou parembol  , arke� na upolog�soume ta polu¸numa Li(x),gia ìle ti timè twn i = 1(1)n. Epeid  pn(xj) = fj , lìgw tou ìti e�nai polu¸numoparembol  , ja èqoume kaipn(xj) =

n∑

i=0

Li(xj)fi = fj. (2.5)Autì shma�nei ìti ìla ta Li(xj) ja prèpei na mhden�zontai ektì apì to Lj(xj) pouja isoÔtai me th mon�da. Epomènw to polu¸numo Li(x) ja èqei r�ze ta n shme�axj , j = 1(1)n, j 6= i. Epeid  e�nai n bajmoÔ ja gr�fetai sth morf 

Li(x) = cn∏

j=0,j 6=i

(x − xj), (2.6)ìpou c e�nai stajerì arijmì . Ton c ja ton prosdior�soume apì thn apa�thsh Li(xi) = 1.An antikatast soume sthn (2.6), ìpou x to xi kai exis¸soume me th mon�da, br�skoumeìtic =

1∏n

j=0,j 6=i(xi − xj).Prosdior�same ètsi ìla ta Li(x) kai an antikatast soume sthn (2.4) ja p�roume tontÔpo parembol  kat� Lagrange:

pn(x) =n∑

i=0

∏nj=0,j 6=i(x − xj)

∏nj=0,j 6=i(xi − xj)

fi. (2.7)D�noume ed¸ dÔo parade�gmata:Par�deigma 1:H sun�rthsh f e�nai gnwst  se tr�a shme�a, ìpw fa�netai apì ton p�naka tim¸nxi −1 1 2fi 3 1 3

.Na prosarmoste� polu¸numo parembol  sti parap�nw timè .To polu¸numo parembol  ja e�nai to polÔ deÔterou bajmoÔ afoÔ èqoume tr�a shme�a.Antikajist¸nta ston tÔpo (2.7) ja èqoume:p2(x) = (x−1)(x−2)

(−1−1)(−1−2)3 + (x+1)(x−2)

(1+1)(1−2)1 + (x+1)(x−1)

(2+1)(2−1)3

= x2−3x+26

3 + x2−x−2−2

1 + x2−1)3

3

= x2 − x + 1.Par�deigma 2:H sun�rthsh f e�nai gnwst  se tèssera shme�a, ìpw fa�netai apì ton p�naka tim¸nxi −1 0 1 2fi −3 −1 1 3

.

18 KEF�ALAIO 2. POLUWNUMIKH PAREMBOLHNa prosarmoste� polu¸numo parembol  sti parap�nw timè .H �dia diadikas�a d�neip3(x) = x(x−1)(x−2)

(−1)(−1−1)(−1−2)(−3) + (x+1)(x−1)(x−2)

1(−1)(−2)(−1) + (x+1)x(x−2)

(1+1)1(1−2)1 + (x+1)x(x−1)

(2+1)2(2−1)3

= x3−3x2+2x−6

(−3) + x3−2x2−x+22

(−1) + x3−x2−2x−2

1 + x3−x)6

3

= 2x − 1.ParathroÔme ed¸ ìti en¸ y�qname to polu¸numo parembol  mèsa apì to sÔnolo twnpoluwnÔmwn tr�tou bajmoÔ, ma proèkuye polu¸numo pr¸tou bajmoÔ. JewroÔme ìtikai ìla ta polu¸numa mikrìterou bajmoÔ an koun sto sÔnolo autì. Fa�netai se autìto par�deigma giat� lème polu¸numo to polÔ n bajmoÔ.2.2 Peperasmène Diaforè H jewr�a twn Peperasmènwn Diafor¸n apotele� meg�lo Kef�laio gia thn Arijmhtik An�lush. QrhsimeÔei sthn Parembol  all� kur�w sthn arijmhtik  ep�lush Diaforik¸nExis¸sewn. De ja anaptÔxoume ed¸ th jewr�a aut , diìti qrhsimopoie� dÔskola majh-matik� ergale�a kai mia tètoia an�ptuxh ja  tan èxw apì tou stìqou twn shmei¸sewn.Apl� ja d¸soume merikè basikè ènnoie , ¸ste na katal xoume ston tÔpo parembol  .JewroÔme ìti èqoume èna sÔnolo n + 1 shme�wn (xi, fi), i = 0(1)n, ìpou ta xi e�naidiatetagmèna kai isapèqonta me b ma h = xi+1 − xi > 0.Or�zoume w peperasmènh diafor� pr¸th t�xh th diafor� twn diadoqik¸n tim¸n th sun�rthsh :∆fi = fi+1 − fi . (2.8)W peperasmènh diafor� k t�xh , or�zoume th diafor� twn diadoqik¸n tim¸n twn diafo-r¸n k − 1 t�xh :

∆kfi = ∆k−1fi+1 − ∆k−1fi . (2.9)SÔmfwna me ton orismì oi peperasmène diaforè opoiasd pote t�xh , apoteloÔn gram-mikì sunduasmì twn tim¸n th sun�rthsh kai mporoÔn na brejoÔn anadromik� ìpw :∆2fi = ∆fi+1 − ∆fi = (fi+2 − fi+1) − (fi+1 − fi) = fi+2 − 2fi+1 + fi ,

∆3fi = ∆2fi+1−∆2fi = (fi+3−2fi+2+fi+1)−(fi+2−2fi+1+fi) = fi+3−3fi+2+3fi+1−fi .Oi peperasmène diaforè d�nontai sqhmatik� me ton parak�tw p�naka:

2.2. PEPERASM�ENES DIAFOR�ES 19x0 f0

∆f0

x1 f1 ∆2f0

∆f1 ∆3f0

x2 f2 ∆2f1. . .

∆f2... ∆nf0

x3 f3...... ∆3fn−3... ... ∆2fn−2

∆fn−1

xn fnD�noume ed¸ ton p�naka diafor¸n tou parade�gmato 2, ìpou ta xi e�nai isapèqonta:xi fi ∆fi ∆2fi ∆3fi

−1 −32

0 −1 02 0

1 1 02

2 3ParathroÔme ed¸ ìti oi diaforè deÔterh kai tr�th t�xh e�nai mhdèn. Autì èqei sqèsh,ìpw ja doÔme parak�tw, me to gegonì ìti to polu¸numo parembol  sto par�deigma2, brèjhke pr¸tou bajmoÔ.Ja epiqeir soume t¸ra na d¸soume ton algìrijmo kataskeu  tou p�naka diafor¸n.Prin ìmw ja prèpei na doÔme to pw ja apojhkeÔsoume ton p�naka autìn ston Upologi-st . ParathroÔme ìti o p�naka èqei trigwnik  morf , epomènw mpore� na apojhkeute�sto k�tw trigwnikì mèro enì (n + 1) × (n + 1) p�naka A w ex  :A =

f0

f1 ∆f0

f2 ∆f1 ∆2f0

f3 ∆f2 ∆2f1 ∆3f0... ... ... ... . . .fn ∆fn−1 ∆2fn−2 ∆3fn−3 · · · ∆nf0

. (2.10)Sthn pr¸th st lh tou p�naka apojhkeÔoume ti timè fi th sun�rthsh , sth deÔterh ti peperasmène diaforè pr¸th t�xh , k.o.k. aneba�nonta kai apì mia t�xh proqwr¸nta

20 KEF�ALAIO 2. POLUWNUMIKH PAREMBOLHapì st lh se st lh kai xekin¸nta p�nta apì th diag¸nia jèsh. 'Etsi, oi timè twnstoiqe�wn tou p�naka A, antistoiqoÔn me peperasmène diaforè w ex  :ai1 = fi−1, i = 1(1)n + 1,aij = ∆j−1fi−j , j = 2(1)n + 1, i = j(1)n + 1

. (2.11)Sth sunèqeia e�maste se jèsh na d¸soume ton algìrijmo.Algìrijmo eÔresh tou p�naka peperasmènwn diafor¸nDedomèna: ai1 = fi−1, i = 1(1)n + 1Gia j = 2(1)n + 1Gia i = j(1)n + 1

aij = ai,j−1 − ai−1,j−1tèlo �Gia�tèlo �Gia�Apotelèsmata: aij = ∆j−1fi−j, j = 2(1)n + 1, i = j(1)n + 1Tèlo Algor�jmou.2.3 Parembol  me Peperasmène Diaforè Jemeli¸netai ed¸ mia Jewr�a Telest¸n, apì thn opo�a prokÔptoun k�poioi tÔpoi parem-bol  . H jewr�a aut  e�nai sqetik� dÔskolh sthn katanìhs  th kai de ja asqolhjoÔmem' aut n. Ja prospaj soume ìmw na kataskeu�soume ènan tÔpo parembol  mèsa apìk�poie sqèsei pou isqÔoun metaxÔ twn tim¸n th sun�rthsh kai twn peperasmènwndiafor¸n.H tim  th sun�rthsh fk d�netai apì ton tÔpo:fk = f0 +

(k1

)

∆f0 +

(k2

)

∆2f0 +

(k3

)

∆3f0 + · · · +(

kk

)

∆kf0, (2.12)ìpou (ki

)

=k!

i!(k − i)!=

k(k − 1)(k − 2) · · · (k − i + 1)

i!, (2.13)e�nai oi sunduasmo� twn k pragm�twn an� i.O tÔpo (2.12) apodeiknÔetai epagwgik� qrhsimopoi¸nta idiìthte twn sunduasm¸n.De ja d¸soume ed¸ thn pl rh epagwgik  apìdeixh, apl� ja de�xoume thn isqÔ toutÔpou gia mikrè timè tou k. Gia k = 0 e�nai profan  . Gia k = 1 èqoume:

f0 +

(11

)

∆f0 = f0 + (f1 − f0) = f1,en¸ gia k = 2 èqoume:f0 +

(21

)

∆f0 +

(22

)

∆2f0 = f0 + 2(f1 − f0) + (f2 − 2f1 + f0) = f2.

2.3. PAREMBOL�H ME PEPERASM�ENES DIAFOR�ES 21ParathroÔme ìti an jèsoume i > k sth sqèsh (2.13), ja ma d¸sei mhdèn afoÔ stonarijmht  ja parousiast  o par�gonta k − k. Epomènw mporoÔme na epekte�noume tontÔpo (2.12) prosjètonta kai tou mhdenikoÔ ìrou gia i > k èw kai k = n. Tìteautì ja g�nei:fk = f0 +

(k1

)

∆f0 +

(k2

)

∆2f0 + · · ·+(

kk

)

∆kf0 + · · ·+(

kn

)

∆nf0. (2.14)ParathroÔme ep�sh ìti to deÔtero mèlo th sqèsh aut  e�nai polu¸numo n bajmoÔw pro k. To polu¸numo autì d�nei gia ti di�fore timè tou k = 0(1)n, ti timè th sun�rthsh fk. SÔmfwna me ton orismì tou poluwnÔmou parembol  , autì to polu¸numoja e�nai polu¸numo parembol  , arke� na jèsoume k�poia suneq  metablht  θ sth jèshk ston �nw de�kth twn sunduasm¸n. Or�zoume kat' autìn ton trìpo to polu¸numoparembol  :

pn(θ) = f0 +

(θ1

)

∆f0 +

(θ2

)

∆2f0 +

(θ3

)

∆3f0 + · · ·+(

θn

)

∆nf0, (2.15)ìpou oi sunduasmo� ( θi

), me θ pragmatik  metablht , or�zontai sÔmfwna me ton deÔ-tero tÔpo th (2.13), dhlad (

θi

)

=θ(θ − 1)(θ − 2) · · · (θ − i + 1)

i!. (2.16)Br kame to polu¸numo parembol  all� w pro mia metablht  θ ìpou gia ti akèraie timè k = 0(1)n, d�nei ti timè fk. Eme� ìmw jèloume gia ti timè xk, k = 0(1)n, nad�nei ti timè fk. Apomènei loipìn na broÔme to metasqhmatismì pou ja ma d�nei to θ sesqèsh me to x, ¸ste gia ti timè tou x = xk na d�nei θ = k. Autì e�nai èna grammikì metasqhmatismì , br�sketai polÔ eÔkola kai e�nai o

θ =x − x0

h. (2.17)Telik�, an ston tÔpo parembol  (2.15), pou d�netai w pro θ, antikatast soume sÔm-fwna me thn (2.17), èqoume to polu¸numo parembol  w pro x. A doÔme t¸ra mèsaapì parade�gmata, ton upologismì tou poluwnÔmou parembol  .Par�deigma 3:Na prosarmoste� polu¸numo parembol  sti timè tou p�naka tou parade�gmato 2.SÔmfwna me to metasqhmatismì (2.17) ja èqoume:

θ =x − x0

h= x + 1.

22 KEF�ALAIO 2. POLUWNUMIKH PAREMBOLHTo polu¸numo parembol  ja e�nai to polÔ tr�tou bajmoÔ kai ja d�netai apìp3(θ) = f0 +

(θ1

)

∆f0 +

(θ2

)

∆2f0 +

(θ3

)

∆3f0

= −3 + θ2 + θ(θ−1)2

0 + θ(θ−1)(θ−2)6

0= −3 + 2(x + 1) = 2x − 1.Blèpoume ìti èqoume to �dio polu¸numo parembol  me eke�no tou parade�gmato 2, pou tan kai to anamenìmeno afoÔ to polu¸numo parembol  or�zetai monadik�. Sto par�-deigma autì fa�netai kajar� ìti e�nai pr¸tou bajmoÔ epeid  tuqa�nei oi deÔtere kai oitr�te diaforè na e�nai mhdenikè . Me �lla lìgia o bajmì tou poluwnÔmou kajor�zetaiapì to poia e�nai h megalÔterh t�xh , mh mhdenik  diafor�.E�maste se jèsh na d¸soume ton algìrijmo kataskeu  tou poluwnÔmou parembo-l  . ParathroÔme ìti ston tÔpo qrhsimopoioÔntai oi diaforè pou br�skontai sthn arq tou p�naka, autè dhlad  pou èqoun de�kth mhdèn. Prèpei na shmei¸soume ed¸ ìti gia tolìgo autì o tÔpo p re to ìnoma w tÔpo parembol  twn pro ta emprì diafor¸n,epeid  proqwroÔme pro ta emprì ston p�naka diafor¸n, apì p�nw arister� pro tak�tw dexi�. Up�rqoun kai �lloi tÔpoi parembol  pou qrhsimopoioÔn diaforè apì �l-la shme�a tou p�naka diafor¸n kai oi opo�oi prokÔptoun apì th jewr�a telest¸n, eme� ìmw den ja asqolhjoÔme me autoÔ .Epanerqìmenoi ston algìrijmo, parathroÔme ìti mìno oi timè twn diagwn�wn ston p�-naka (2.10) ma e�nai apara�thte . Gia thn oikonom�a q¸rou, ja prèpei na doÔme m pw e�nai dunatìn na apojhkeutoÔn mìno autè . ParathroÔme ìti met� thn kataskeu  th deÔterh st lh tou p�naka, den ma qrei�zontai oi timè th sun�rthsh . Epomènw oi pr¸te diaforè mporoÔn na topojethjoÔn sti jèsei twn tim¸n apì th deÔterhjèsh kai k�tw en¸ sthn pr¸th ja paramènei h f0. Sth sunèqeia oi deÔtere diaforè topojetoÔntai apì thn tr�th jèsh kai k�tw k.o.k. ApojhkeÔoume kat' autìn ton trìpo,ti diaforè pou qrei�zontai, sto di�nusma pou arqik� e�qame ti timè , ant� se p�naka.Autì mpore� na g�nei k�je for� pou br�skoume k�poia diafor�, arke� na xekin soume apìto tèlo tou p�naka. Br�skoume th diafor� fn − fn−1 kai thn apojhkeÔoume sth jèsh

fn pou de qrei�zetai plèon.O algìrijmo pou ja kataskeu�soume ja èqei w stìqo thn eÔresh th tim  tou poluw-nÔmou parembol  se èna dojèn shme�o x. Ja br�skei pr¸ta to θ = x−x0

h, sth sunèqeiaja upolog�zei tou ìrou tou ajro�smato (2.15) kai telik� to �jroisma. ParathroÔmeìti o èna sunduasmì diafèrei apì ton prohgoÔmeno kat� ton par�gonta θ−i+1

i, dhlad 

(θi

)

=

(θ

i − 1

)θ − i + 1

i.Epomènw , gia oikonom�a qrìnou, oi sunduasmo� upolog�zontai anadromik� en¸ sugqrì-nw k�je ìro pou br�sketai prost�jetai sto �jroisma. Aut� ìmw fa�nontai kalÔtera

2.3. PAREMBOL�H ME PEPERASM�ENES DIAFOR�ES 23ston algìrijmo pou akolouje�.Algìrijmo eÔresh tim  tou poluwnÔmou parembol  Dedomèna: xi, fi, i = 0(1)n, xGia j = 1(1)nGia i = n(−1)j

fi = fi − fi−1tèlo �Gia�tèlo �Gia�h = x1 − x0

θ = x−x0

h

s = f0

t = 1Gia i = 1(1)n

t = t θ−i+1i

s = s + t fitèlo �Gia�Apotelèsmata: H tim  tou poluwnÔmou parembol  e�nai pn(x) = sTèlo Algor�jmou. ASKHSEIS1) Na prosarmoste� polu¸numo to polÔ tr�tou bajmoÔ ston parak�tw p�naka tim¸nxi −1 0 1 3fi −4 −1 0 20

,qrhsimopoi¸nta parembol  kat� Lagrange.2) H apìstash enì armonikoÔ talantwt  apì to shme�o isorrop�a , d�netai apì thsun�rthsh f(t) = sin π2t. Na prosomoiwje� to prìblhma me polu¸numo to polÔ tet�rtoubajmoÔ k�nonta parembol  stou qrìnou t = 0, 1, 2, 3 kai 4.3) ApodeiknÔetai ìti to �jroisma 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2, d�netai apì mia sun�rthshpou e�nai polu¸numo tr�tou bajmoÔ w pro n. Na breje� to polu¸numo autì qrhsimo-poi¸nta parembol .4) Na grafe� algìrijmo gia thn eÔresh th tim  tou poluwnÔmou parembol  kat�

Lagrange, sth doje�sa tim  x, me shme�a parembol  ( xi , f(xi) ) , i = 0(1)n. Sthsunèqeia na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja ulopoie� ton algìrijmo.

24 KEF�ALAIO 2. POLUWNUMIKH PAREMBOLH5) Na g�nei prìgramma ston upologist  pou ja ulopoie� ton algìrijmo parembol  me peperasmène diaforè .

Kef�laio 3ARIJMHTIKH OLOKLHRWSHH Arijmhtik  Olokl rwsh e�nai basikì kef�laio th Arijmhtik  An�lush . Se poll�probl mata apaite�tai h eÔresh to orismènou oloklhr¸mato v =

∫ b

af(x)dx. (3.1)Se pollè peript¸sei den up�rqei analutik  èkfrash tou oloklhr¸mato th f(x),all� kai ìtan up�rqei, sti perissìtere twn peript¸sewn aut  e�nai tìso polÔplokh,pou praktik� den exuphrete� h eÔres  th . Eke�no pou endiafèrei sthn pr�xh, e�nai h ap'euje�a eÔresh th arijmhtik  tim  tou orismènou oloklhr¸mato kai ìqi h analutik tou èkfrash.H Arijmhtik  Olokl rwsh apotele� mia eidik  per�ptwsh th Arijmhtik  Ep�lush Diaforik¸n Exis¸sewn, afoÔ h eÔresh tou orismènou oloklhr¸mato isoduname� me thlÔsh th diaforik  ex�swsh :

y′(x) = f(x), (3.2)me arqik  sunj khy(a) = 0. (3.3)To parap�nw prìblhma e�nai èna prìblhma arqik¸n tim¸n, me th diaforik  ex�swsh sthnpio apl  th morf . Tìte to orismèno olokl rwma d�netai apì thn tim  th sun�rthsh

y sto shme�o b:y(b) =

∫ b

af(x)dx. (3.4)Ja mporoÔse epomènw , to prìblhma th Arijmhtik  Olokl rwsh na entaqje� stogenikìtero prìblhma th Arijmhtik  Ep�lush Diaforik¸n Exis¸sewn kai na mhn e-xet�zetai xeqwrist�. 'Omw , e�nai p�ra pollè oi efarmogè pou katal goun se upolo-gismì oloklhrwm�twn, gegonì pou èkane tou ereunhtè na exet�zoun xeqwrist� toprìblhma th olokl rwsh . Bèbaia pollè apì ti mejìdou Arijmhtik  Olokl rwsh ent�ssontai se mejìdou Arijmhtik  Ep�lush Diaforik¸n Exis¸sewn.Sto parìn kef�laio ja exet�soume merikè apì ti pio basikè kai pio aplè mejìdou .25

26 KEF�ALAIO 3. ARIJMHTIKH OLOKLHRWSH

D

A B

C

E

a b

f(a)

f(b) a+b ___

2 f( )

y=f(x)

x

y

F G

Sq ma 3.1: Kanìna Trapez�ou3.1 Mèjodo   Kanìna tou Trapez�ouH mèjodo tou Trapez�ou bas�zetai sto gegonì ìti, an parast soume grafik� th su-n�rthsh f(x) se kartesianè suntetagmène , to orismèno olokl rwma e�nai to embadìpou perikle�etai apì ton �xona twn x thn kampÔlh y = f(x) kai ti k�jete pro ton�xona twn x euje�e x = a kai x = b, ìpw fa�netai sto sq ma 3.1. Ant� autoÔ, h mèjo-do tou Trapez�ou prosegg�zei thn tim  tou oloklhr¸mato upolog�zonta to embadìtou trapez�ou (ABCD). 'Etsi èqoume∫ b

af(x)dx ≈ h

2(f(a) + f(b)), (3.5)ìpou h = b−a e�nai to m ko tou diast mato olokl rwsh . To embadì pou perikle�etaiapì thn kampÔlh y = f(x) kai thn euje�a (CD) ja e�nai to sf�lma apokop  .Sth sunèqeia ja epiqeir soume na ektim soume to sf�lma apokop  . 'Estw ìti z = a+b

2

3.1. KAN�ONAS TRAPEZ�IOU 27e�nai to mèso tou diast mato olokl rwsh kai x ∈ [a, b] e�nai èna tuqa�o shme�o tou�diou diast mato . An anaptÔxoume kat� Taylor th sun�rthsh f(x) sto z ja èqoumef(x) = f(z) + (x − z)f ′(z)) +

(x − z)2

2f ′′(z)) +

(x − z)3

6f (3)(z)) + · · · . (3.6)Oloklhr¸noume sth sunèqeia ta duo mèlh th sqèsh aut 

∫ ba f(x)dx =

∫ ba dxf(z) +

∫ ba (x − z)dxf ′(z) +

∫ ba

(x−z)2

2dxf ′′(z)

+∫ ba

(x−z)3

6dxf (3)(z) +

∫ ba

(x−z)4

24dxf (4)(z) + · · ·

= (x − z)|baf(z) + (x−z)2

2|baf ′(z) + (x−z)3

6|baf ′′(z)

+ (x−z)4

24|baf (3)(z) + (x−z)5

120|baf (4)(z) + · · ·

= hf(z) + h3

24f ′′(z) + h5

1920f (4)(z) · · · .

(3.7)Ja prospaj soume t¸ra na ekfr�soume me an�ptugma seir� Taylor sto �dio shme�okai ton tÔpo tou trapez�ou. Jètonta x = a kai x = b ant�stoiqa sthn (3.6) laba�noumef(a) = f(z) − h

2f ′(z) + h2

8f ′′(z) − h3

48f (3)(z) + h4

384f (4)(z) + · · ·

f(b) = f(z) + h2f ′(z) + h2

8f ′′(z) + h3

48f (3)(z) + h4

384f (4)(z) + · · · . (3.8)Prosjètonta autè kat� mèlh kai pollaplasi�zonta me h

2pa�rnoume

h

2(f(a) + f(b)) = hf(z) +

h3

8f ′′(z) +

h5

384f (4)(z) · · · . (3.9)Afair¸nta sth sunèqeia kat� mèlh apì thn apì thn (3.9) thn (3.7) èqoume mia èkfrashtou sf�lmato apokop 

ǫ =h

2(f(a) + f(b)) −

∫ b

af(x)dx =

h3

12f ′′(z) +

h5

480f (4)(z) · · · . (3.10)ParathroÔme ed¸ ìti to sf�lma apokop  exart�tai apì ti parag¸gou deÔterh t�xh kai pèra kai apì ti tr�te dun�mei kai �nw tou diast mato h. An upojèsoume ìti to he�nai arket� mikrì, tìte mporoÔme na jewr soume ìlou tou �llou ìrou th seir� amelhtèou kai na prosegg�soume to sf�lma apokop  me ton pr¸to ìro. Tìte qrhsi-mopoioÔme to sumbolismì gia to sf�lma apokop  O(h3f ′′)   an h deÔterh par�gwgo th f e�nai fragmènh mporoÔme na to lème kai O(h3). O sumbolismì autì de de�qneiakrib¸ thn èkfrash tou sf�lmato all� thn t�xh megèjou autoÔ. Sti perissìtere twn peript¸sewn, autì endiafèrei kai ìqi h akrib  èkfras  tou. Sunep¸ an èqoumepolÔ mikrì h   polÔ mikr  deÔterh par�gwgo, ja èqoume kai polÔ mikrì sf�lma. Anh sun�rthsh e�nai polu¸numo pr¸tou bajmoÔ tìte h deÔterh par�gwgo ja e�nai mh-dèn, epomènw kai to sf�lma mhdèn. Autì exhge�tai kai apì to sq ma 3.1, h kampÔlh

y = f(x) ja  tan euje�a kai sunep¸ to embadì ja sunèpipte me to embadì tou trapez�ou.To gegonì ìti to sf�lma mei¸netai dunamik� an mikrÔnoume to di�sthma, ma k�neina odhghjoÔme sto kìyimo tou arqikoÔ diast mato se mikrìtera upodiast mata, na

28 KEF�ALAIO 3. ARIJMHTIKH OLOKLHRWSHefarmìsoume ton tÔpo tou trapez�ou se k�je èna apì aut� kai met� na ajro�soume.H idèa aut  par�gei to legìmeno Genikeumèno Kanìna tou Trapez�ou. Qwr�zoume todi�sthma se n upodiast mata, pa�rnonta ta shme�a xi = x0 + ih, i = 1(1)n me x0 =

a, xn = b kai h = b−an. Tìte to olokl rwma mpore� na grafe� w

∫ b

af(x)dx =

n−1∑

i=0

∫ xi+1

xi

f(x)dx ≈n−1∑

i=0

h

2(fi + fi+1) = h(

f0

2+ f1 + f2 + · · ·+ fn

2), (3.11)ìpou sumbol�same me fi = f(xi), i = 0(1)n. Or�zoume me ǫi, i = 1(1)n ta sf�lmataapokop  se k�je èna apì ta upodiast mata kai jewroÔme amelhtèou tou upìloipou ìrou th seir� (3.10) apì to deÔtero kai pèra. Tìte to sunolikì sf�lma ja d�netaiw

ǫ =n∑

i=1

ǫi ≈h3

12

n∑

i=1

f ′′(zi), (3.12)ìpou zi, i = 1(1)n e�nai ta mèsa twn diasthm�twn [xi−1, xi], i = 1(1)n ant�stoiqa. Lìgwth sunèqeia th sun�rthsh f ′′ sto di�sthma [a, b], ja up�rqei shme�o x̂ ∈ [a, b] tètoio¸ste ∑ni=1 f ′′(zi) = nf ′′(x̂). Tìte h (3.12) g�netai

ǫ ≈ h3

12nf ′′(x̂) =

h2

12(b − a)f ′′(x̂) =

(b − a)3

12n2f ′′(x̂). (3.13)H teleuta�a sqèsh ma lèei ìti an h f ′′ e�nai fragmènh sto di�sthma [a, b], to olikì sf�l-ma apokop  exart�tai apì to h2   apì to 1

n2 , e�nai dhlad  O(h2)   O( 1n2 ). H teleuta�asqèsh e�nai polÔ qr simh diìti an gnwr�zoume k�poio fr�gma gia thn f ′′, mporoÔme napro�polog�soume ton arijmì n twn diasthm�twn ¸ste na èqoume thn epijumht  akr�beia.Sto sq ma 3.1 fa�netai kajar� h belt�wsh pou èqoume sthn prosèggish tou oloklh-r¸mato an kìyoume to di�sthma se dÔo upodiast mata. Upolog�zoume to embadì tousq mato (ABCED) pou e�nai polÔ pio kont� sthn tim  tou oloklhr¸mato .Me b�sh ton Genikeumèno Kanìna tou Trapez�ou, ja prèpei na epino soume èna su-sthmatikì trìpo qwrismoÔ tou diast mato ¸ste na kataskeu�soume ton algìrijmoupologismoÔ tou oloklhr¸mato . Eke�no pou g�netai sthn pr�xh, e�nai na xekin�me thnprosèggish tou oloklhr¸mato me ton aplì tÔpo, sth sunèqeia na qwr�zoume sth mè-sh, me epanalhptik  diadikas�a, ta upodiast mata kai na prosegg�zoume diadoqik� toolokl rwma me ton genikeumèno tÔpo. Thn pr¸th for� ja èqoume èna upodi�sthma, thdeÔterh 2, thn tr�th 4 k.o.k., thn kst  for� ja èqoume 2k−1 upodiast mata. H diadika-s�a ja termatiste� ìtan dÔo diadoqikè prosegg�sei apèqoun metaxÔ tou ligìtero apìto epijumhtì sf�lma ǫ. Apì ton genikeumèno kanìna (3.11) parathroÔme ìti to kìsto tou algor�jmou sun�statai ston upologismì twn tim¸n th sun�rthsh sta n+1 shme�akai thn �jrois  tou . Jèlei prosoq  kat� thn kataskeu  tou algor�jmou me epanalh-ptik  diadikas�a, na mhn upolog�zei pollè forè th sun�rthsh sta �dia shme�a. Autìepitugq�netai an krat�me k�je for� se mia jèsh mn mh to �jroisma twn tim¸n th su-n�rthsh kai sthn epìmenh epan�lhyh upolog�soume mìno ta nèa endi�mesa shme�a kai

3.1. KAN�ONAS TRAPEZ�IOU 29ta prosjèsoume s' autì. 'Etsi, en¸ upolog�zoume diadoqik� ìle ti endi�mese proseg-g�sei , to kìsto den epibarÔnetai kajìlou, e�nai to �dio san na upolog�zame mìno thnteleuta�a for� ton genikeumèno kanìna. K�je for� prèpei na èqoume diajèsime ti duoteleuta�e prosegg�sei , ¸ste na g�netai o èlegqo gia ton termatismì th diadikas�a .SÔmfwna me ti parathr sei autè d�noume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo.Algìrijmo Arijmhtik  Olokl rwsh tou Trapez�ouDedomèna: �kra olokl rwsh a, b, h sun�rthsh f(x), x ∈ [a, b] kai to sf�lma ǫ.h = b − a

s = 12(f(a) + f(b))

Vold = hs

h = h2

n = 2

s = s + f(a + h)

V = hsEfìson |V − Vold| > ǫ

Vold = V

h = h2

n = 2nGia i = 1(2)n − 1

s = s + f(a + ih)tèlo �Gia�V = hstèlo �Efìson�Apotelèsmata: H tim  tou Oloklhr¸mato e�nai h VTèlo Algor�jmou.Ja d¸soume ed¸ èna aplì par�deigma gia na doÔme pw douleÔei o algìrijmo .Par�deigma 1:Na g�noun trei epanal yei tou algor�jmou tou Kanìna tou Trapez�ou gia thn prosèg-gish tou oloklhr¸mato ∫ 1

0 x3dx.To olokl rwma autì lÔnetai polÔ eÔkola analutik� kai h tim  tou e�nai 0.25, epilè-qthke gia kajar� ekpaideutikoÔ lìgou . A doÔme ìmw ta b mata tou algor�jmou.b ma 1: n = 1, h = 1, s = 12(f(0) + f(1)) = 0.5, v = hs = 0.5b ma 2: n = 2, h = 1

2, s = 0.5 + f(1

2) = 5

8= 0.625, v = hs = 0.3125b ma 3: n = 4, h = 1

4, s = 0.625 + f(1

4) + f(3

4) = 17

16= 1.0625, v = hs = 0.265625ParathroÔme loipìn ìti me gr goro rujmì, oi prosegg�sei plhsi�zoun thn akrib  tim 

30 KEF�ALAIO 3. ARIJMHTIKH OLOKLHRWSH0.25.Sqoli�zonta ton trìpo paragwg  tou aploÔ Kanìna tou Trapez�ou, ja mporoÔsena �pe� k�poio ìti autì e�nai perissìtero empeirikì par� majhmatikì . Autì diìtiekmetaleut kame to gegonì ìti to olokl rwma antistoiqe� se embadì, apì eke� kai me-t� o tÔpo proèkuye exet�zonta k�poio sq ma. A doÔme ìmw t¸ra me ti antistoiqe�autì, qrhsimopoi¸nta perissìtero majhmatikoÔ ìrou . Prosegg�same thn kampÔlhy = f(x) me mia euje�a pou tèmnei thn kampÔlh sta �kra tou diast mato a kai b. Aut h euje�a antistoiqe� me èna polu¸numo to polÔ pr¸tou bajmoÔ pou pa�rnei ti �die timè me th sun�rthsh sta �kra tou diast mato . Autì ìmw e�nai to polu¸numo parembol  p1(x) sta shme�a aut�. Epomènw , prosegg�same th sun�rthsh me to polu¸numo parem-bol  to polÔ pr¸tou bajmoÔ kai sth sunèqeia, ant� aut  , oloklhr¸same to polu¸numoparembol  . Qrhsimopoi¸nta ton tÔpo parembol  twn pro ta emprì diafor¸n autìja e�nai to: p1(x) = f(a) +

(θ1

)

∆f(a), me θ = x−ah. Oloklhr¸nonta èqoume:

∫ ba f(x)dx ≈ ∫ b

a p1(x)dx = h∫ 10 [f(a) + θ(f(b) − f(a))]dθ

= h[θf(a) + θ2

2(f(b) − f(a))]10 = hf(a) + h

2(f(b) − f(a))

= h2(f(a) + f(b)),

(3.14)ìpou kat� thn olokl rwsh ègine allag  metablht  apì x se θ, opìte tèjhke hdθ sthjèsh tou dx, kaj¸ kai 0 kai 1 sta �kra olokl rwsh . Apode�xame loipìn kai me dia-foretikì trìpo ton Kanìna tou Trapez�ou. H apìdeixh aut  ma odhge� sth skèyh nakataskeu�soume kai �llou tÔpou olokl rwsh , basizìmenoi se diaforetikoÔ bajmoÔpolu¸numa k�je for�.'Ena tètoio tÔpo par�getai an prosegg�soume to ∫ ba f(x)dx me to olokl rwma toupoluwnÔmou parembol  mhdenikoÔ bajmoÔ pou e�nai ∫ ba f(a)dx = hf(a). Autì o tÔ-po e�nai mikrìterh akr�beia , kat� t�xh megèjou , apì ton ant�stoiqo tou Trapez�ou.An ìmw sth jèsh th stajer  tim  f(a), p�roume thn f sto mèso z = a+b

2toudiast mato ja èqoume ton legìmeno Kanìna tou Parallhlogr�mmou :

∫ b

af(x)dx ≈ hf(

a + b

2). (3.15)To ìnoma Kanìna tou Parallhlogr�mmou pro lje apì to gegonì ìti ant� tou upo-logismoÔ tou embadoÔ pou parist�nei to olokl rwma sto Sq ma 3.1, upolog�zoume toembadì tou parallhlogr�mmou (ABFG ).An akolouj soume parìmoia pore�a me eke�nh gia ton ekt�mhsh tou sf�lmato apokop  ston Kanìna tou Trapez�ou, katal goume sto sumpèrasma ìti h akr�beia tou Kanìnatou Parallhlogr�mmou (3.15) e�nai th �dia t�xh megèjou me eke�nh tou Kanìna touTrapez�ou.MporoÔme ed¸ na akolouj soume thn �dia taktik  epanalhptik  diqotìmhsh tou dia-st mato , ìpw kai ston Kanìna tou Trapez�ou, kai na kataskeu�soume ènan ant�stoiqo

3.2. KAN�ONAS SIMPSON 31algìrijmo, th �dia t�xh akr�beia . O ant�stoiqo Genikeumèno Kanìna tou Paral-lhlogr�mmou ja e�nai:∫ b

af(x)dx ≈ h(f(z0) + f(z1) + f(z2) + · · ·+ f(zn−1)), (3.16)ìpou zi e�nai to mèso tou upodiast mato [xi, xi+1] me xi = x0 + ih, i = 1(1)n, x0 =

a, xn = b kai h = b−an. To meionèkthma ston algìrijmo tou Kanìna tou Parallhlo-gr�mmou e�nai ìti se k�je upodiplasiasmì twn diasthm�twn, ta mèsa twn eujugr�mmwntmhm�twn e�nai ìla nèa shme�a kai to �jroisma upolog�zetai apì thn arq . Ta mèsatwn diasthm�twn tou prohgoÔmenou b mato , g�nontai t¸ra �kra kai den mpa�noun sto�jroisma. 'Etsi to kìsto tou algor�jmou e�nai per�pou dipl�sio apì eke�no tou Kanìnatou Trapez�ou.3.2 Mèjodo   Kanìna tou SimpsonO Kanìna arijmhtik  olokl rwsh tou Simpson prokÔptei efarmìzonta thn takti-k  pou anafèrjhke sthn prohgoÔmenh par�grafo. Prosegg�zoume th sun�rthsh me topolu¸numo parembol  to polÔ deutèrou bajmoÔ kai sth sunèqeia, ant� aut  , oloklh-r¸noume to polu¸numo parembol  . Qrhsimopoi¸nta ton tÔpo parembol  twn pro ta emprì diafor¸n autì ja e�nai to: p2(x) = f(a) +

(θ1

)

∆f(a) +

(θ2

)

∆2f(a),me θ = x−ah

kai h = b−a2. An oloklhr¸soume akolouj¸nta ta b mata th (3.14), jaèqoume:

∫ ba f(x)dx ≈ ∫ b

a p2(x)dx = h∫ 20 [f(a) + θ∆f(a) + θ(θ−1)

2∆2f(a)]dθ

= h[θf(a) + θ2

2(f(z) − f(a)) + ( θ3

6− θ2

4)(f(b) − 2f(z) + f(a))]20

= h(2f(a) + 2(f(z) − f(a)) + 13(f(b) − 2f(z) + f(a))

= h3(f(a) + 4f(z) + f(b)),

(3.17)ìpou z = a+b2. Kat� thn allag  metablht  sthn olokl rwsh, epeid  x = a + θh, jaèqoume θ = 0 gia x = a kai θ = 2 gia x = b, opìte ta �kra olokl rwsh èginan 0 kai 2ant�stoiqa.Gia thn ekt�mhsh tou sf�lmato apokop  ston Kanìna tou Simpson akoloujoÔmethn �dia akrib¸ taktik  pou akolouj same sthn per�ptwsh tou Kanìna tou Trapez�ou.IsqÔoun kai ed¸ oi tÔpoi twn anaptugm�twn Taylor (3.6) kai (3.8), kaj¸ kai o tÔpo touanaptÔgmato tou oloklhr¸mato (3.7), me th mình diafor� ìti eke� jèsame h = b − aen¸ ed¸ èqoume h = b−a

2, epomènw prèpei na tou tropopoi soume jètonta 2h sthjèsh tou h. Prosjètoume kat� mèlh me b�ro h

3tou tropopoihmènou tÔpou (3.8),sth sunèqeia afairoÔme ton tropopoihmèno (3.7) kai katal goume sthn èkfrash tousf�lmato apokop 

ǫ =h

3(f(a) + 4f(z) + f(b)) −

∫ b

af(x)dx =

h5

90f (4)(z) · · · . (3.18)

32 KEF�ALAIO 3. ARIJMHTIKH OLOKLHRWSHParathroÔme ed¸ ìti to sf�lma apokop  exart�tai apì ti parag¸gou tètarth t�xh kai pèra kai apì ti pèmpte dun�mei kai �nw tou diast mato h, e�nai dhlad  O(h5f (4))  O(h5). E�nai epomènw o Kanìna tou Simpson kat� duo t�xei megèjou akribèstero apì ton Kanìna tou Trapèz�ou. Akìmh prèpei na parathr soume to ex  : AfoÔ tosf�lma exart�tai apì tètarte parag¸gou kai �nw, autì ja e�nai mhdèn an h sun�rths ma e�nai polu¸numo tr�tou bajmoÔ. Epomènw o tÔpo ja e�nai akrib  gia ìla tapolu¸numa tr�tou bajmoÔ. O Kanìna tou Simpson par�qjhke oloklhr¸nonta topolu¸numo parembol  to polÔ deutèrou bajmoÔ, epomènw to anamenìmeno ja  tanna e�nai akrib  gia ìla ta polu¸numa deutèrou bajmoÔ. Ed¸ ìmw èqoume akr�beiamia t�xh parap�nw, k�ti pou de sumba�nei ston kanìna tou Trapez�ou. Ax�zei naanaferje� ed¸ ìti to �dio sumba�nei gia ìlou tou tÔpou olokl rwsh pou par�gontaiapì polu¸numa parembol  �rtiou bajmoÔ.A doÔme ed¸ ti g�netai an efarmìsoume ton Kanìna tou Simpson sto par�deigma 1,dhlad  sto olokl rwma ∫ 1

0 x3dx. To h ed¸ ja e�nai 12, opìte

h

3(f(0) + 4f(

1

2) + f(1)) =

1

6(03 + 4

1

23+ 13) = 0.25pou e�nai h akrib  tim  tou oloklhr¸mato , sunep¸ epibebai¸netai h parap�nw para-t rhsh.Qrhsimopoi¸nta thn �dia akrib¸ idèa th gen�keush tou Kanìna tou Trapez�ou,e�maste ètoimoi na kataskeu�soume ton Genikeumèno Kanìna tou Simpson. Qwr�zoumekai ed¸ to di�sthma se n upodiast mata, pa�rnonta ta shme�a xi = x0 + ih, i = 1(1)nme x0 = a, xn = b kai h = b−a

n. To n prèpei na e�nai �rtio ¸ste na mporoÔn na lhftoÔnan� zeÔgh ta upodiast mata kat� thn olokl rwsh. Tìte o Genikeumèno Kanìna tou

Simpson e�nai∫ b

af(x)dx ≈

n2−1∑

i=0

h

3(f2i + 4f2i+1 + f2(i+1)) =

h

3(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + · · ·+ fn). (3.19)H ekt�mhsh tou sunolikoÔ sf�lmato apokop  g�netai kai ed¸ me ton �dio trìpo. Or�-zoume me ǫi, i = 1(1)n ta sf�lmata apokop  se k�je èna apì ta zeÔgh upodiasthm�twnkai jewroÔme amelhtèou tou upìloipou ìrou th seir� (3.18) apì to deÔtero kaipèra, opìte èqoume

ǫ =

n2∑

i=1

ǫi ≈h5

90

n2∑

i=1

f (4)(x2i−1). (3.20)Lìgw th sunèqeia th sun�rthsh f (4) sto di�sthma [a, b], ja up�rqei shme�o x̂ ∈ [a, b]tètoio ¸ste ∑n2

i=1 f (4)(x2i−1) = n2f (4)(x̂). Tìte h (3.20) g�netai

ǫ ≈ h5

90

n

2f (4)(x̂) =

h4

180(b − a)f (4)(x̂) =

(b − a)5

180n4f (4)(x̂). (3.21)Autì shma�nei ìti an h f (4) e�nai fragmènh sto di�sthma [a, b], to olikì sf�lma apokop 

O(h4)   O( 1n4 ). Me �lla lìgia an upodiplasi�soume to h   isodÔnama diplasi�soume

3.2. KAN�ONAS SIMPSON 33to n, to sunolikì sf�lma diaire�tai dia tou 24 = 16.Apomènei na kataskeu�soume ènan apotelesmatikì algìrijmo, me b�sh ton Genikeumè-no Kanìna tou Simpson. 'Opw kai sthn per�ptwsh tou algor�jmou tou Kanìna touTrapez�ou ja akolouj soume thn �dia taktik  tou diadoqikoÔ upodiplasiasmoÔ twn u-podiasthm�twn. Xekin�me me ton aplì tÔpo, ìpou h = b−a2

  n = 2 kai qwr�zoumesuneq¸ sth mèsh ta upodiast mata. H diadikas�a ja termatiste� ìtan dÔo diadoqikè prosegg�sei apèqoun metaxÔ tou ligìtero apì to epijumhtì sf�lma ǫ. Eke�no pou japrèpei na prosèxoume e�nai ìti, ìpw kai ston algìrijmo tou Trapez�ou, o upologismì th sun�rthsh se ìla ta shme�a se k�poio b ma, na axiopoihje� kai sto epìmeno b ma,qwr� na upolog�zoume xan� sta �dia shme�a. ParathroÔme ston genikeumèno tÔpo (3.19)ìti oi timè th f me perittì de�kth èqoun suntelest  4 en¸ eke�ne me �rtio de�kthèqoun suntelest  2 ektì apì thn pr¸th kai thn teleuta�a pou èqoun suntelest  1.Ep�sh parathroÔme ìti ta shme�a me perittì de�kth e�nai ta nèa shme�a pou proèkuyanmet� ton teleuta�o diaqwrismì kai ìla ta �lla e�nai ta palaiìtera. Epomènw ja prèpeina kratoÔme k�je for� dÔo ajro�smata to s1 gia ta to �jroisma twn fi sta palaiìterashme�a kai to s2 gia to ant�stoiqo �jroisma sta nèa shme�a. To olokl rwma tìte jad�netai apì th sqèsh h3(2s1 + 4s2). Sto epìmeno b ma ta nèa shme�a autoÔ tou b mato ja g�noun palai�, opìte to s2 ja prosteje� sto s1 gia na apotelèsei to �jroisma autì,to nèo s1. To nèo s2 ja dhmiourghje� apì thn arq  ajro�zonta ti timè th sun�r-thsh mìno sta nèa shme�a. 'Etsi o algìrijmo ja èqei to �dio kìsto me eke�non toualgor�jmou tou Trapez�ou, gia thn �dia tim  tou n. An l�boume upìyh th megalÔterht�xh akr�beia tou algor�jmou tou Simpson, autì ja ektele� ligìtere epanal yei gia mia dedomènh akr�beia. Epomènw to kìsto tou algor�jmou tou Simpson, ja e�naisunolik� mikrìtero apì eke�no tou algor�jmou tou Trapez�ou. E�maste ètoimoi loipìnmet� kai apì autè ti parathr sei , na d¸soume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo.Algìrijmo Arijmhtik  Olokl rwsh tou SimpsonDedomèna: �kra olokl rwsh a, b, h sun�rthsh f(x), x ∈ [a, b] kai to sf�lma ǫ.

h = b−a2

s1 = 12(f(a) + f(b))

s2 = f(a + h)

Vold = 13h(2s1 + 4s2)

h = h2

n = 4

s1 = s1 + s2

s2 = f(a + h) + f(a + 3h)

V = 13h(2s1 + 4s2)Efìson |V − Vold| > ǫ

Vold = V

h = h2

34 KEF�ALAIO 3. ARIJMHTIKH OLOKLHRWSHn = 2n

s1 = s1 + s2

s2 = 0Gia i = 1(2)n − 1

s2 = s2 + f(a + ih)tèlo �Gia�V = 1

3h(2s1 + 4s2)tèlo �Efìson�Apotelèsmata: H tim  tou Oloklhr¸mato e�nai h VTèlo Algor�jmou.Me thn �dia teqnik , oloklhr¸nonta to polu¸numo parembol  , mporoÔme na kata-skeu�soume ìsou tÔpou arijmhtik  olokl rwsh epijumoÔme, aneb�zonta suneq¸ thn t�xh akr�beia . O epìmeno tÔpo pou par�getai apì thn olokl rwsh tou poluw-nÔmou parembol  to polÔ tr�tou bajmoÔ, e�nai o legìmeno Kanìna twn tri¸n ogdìwntou Simpson:∫ b

af(x)dx ≈ 3h

8(f(a) + 3f(a + h) + 3f(a + 2h) + f(b)), (3.22), ìpou h = b−a

3. Me thn �dia teqnik  mporoÔme na ektim soume kai to sf�lma apoko-p  pou, ìpw apodeiknÔetai, e�nai th �dia t�xh me eke�no tou Kanìna tou Simpson,dhlad  O(h5). Me thn �dia ep�sh teqnik  mporoÔme na kataskeu�soume ton ant�stoi-qo genikeumèno Kanìna kai na katal xoume ston ant�stoiqo algìrijmo. 'Omw , de jaasqolhjoÔme perissìtero ed¸ me th mèjodo aut .Up�rqoun kai �lle teqnikè paragwg  tÔpwn arijmhtik  olokl rwsh , pèra apìautè pou bas�zontai sthn parembol . H jewr�a ìmw pou apaite�tai, xefeÔgei apì tou skopoÔ twn Shmei¸sewn aut¸n kai de ja asqolhjoÔme me autè .ASKHSEIS1) Na g�noun trei epanal yei twn algor�jmwn tou Kanìna tou Trapez�ou kai touKanìna tou Simpson gia thn prosèggish tou oloklhr¸mato ∫ 1

0 (1+x+x2 +x3 +x4)dx.2) Na ulopoihjoÔn oi algìrijmoi tou Kanìna tou Trapez�ou kai tou Kanìna touSimpson gia thn prosèggish tou oloklhr¸mato ∫ 1

0 ex2

dx, me akr�beia 5 dekadik¸n yh-f�wn.3) Na ulopoihjoÔn oi algìrijmoi tou Kanìna tou Trapez�ou kai tou Kanìna touSimpson gia thn prosèggish tou arijmoÔ π, me akr�beia 5 dekadik¸n yhf�wn. D�netai

3.2. KAN�ONAS SIMPSON 35ìti π =∫ 10

41+x2 dx kai π =

∫ 1−1 2

√1 − x2dx. Na breje� kai h tim  tou n, gia thn opo�ae�qame sÔgklish, sthn k�je per�ptwsh.

36 KEF�ALAIO 3. ARIJMHTIKH OLOKLHRWSH

Kef�laio 4ARIJMHTIKH EPILUSHEXISWSEWNH eÔresh twn riz¸n mia ex�swsh sunant�tai suqn� se probl mata pou proèrqontaiapì ti epist me kai thn teqnolog�a. To genikìtero prìblhma, tou opo�ou merik  pe-r�ptwsh e�nai oi exis¸sei me ènan �gnwsto, e�nai h ep�lush mh grammik¸n susthm�twn.To prìblhma autì e�nai polÔ pio dÔskolo kai de ja asqolhjoÔme ed¸. Ja asqolhjoÔmemìno me thn ep�lush mh grammik¸n exis¸sewn kai se epìmeno kef�laio me ta grammik�sust mata.Pollè forè oi exis¸sei pou parousi�zontai sta probl mata e�nai polÔploke kai e�naidÔskolo na broÔme analutikè ekfr�sei twn lÔsewn. Akìmh kai ìtan e�nai aplè kaikomyè , se polÔ l�ge peript¸sei èqoume plhrofor�e gia analutikè ekfr�sei twn lÔ-sewn. Oi poluwnumikè exis¸sei e�nai oi pio aplè morfè exis¸sewn. 'Omw , mìno giapolu¸numa mèqri kai tètartou bajmoÔ gnwr�zoume analutikoÔ tÔpou , gia polu¸numamegalÔterou bajmoÔ, mìno se polÔ eidikè peript¸sei èqoume plhrofor�e . Apotele�loipìn epitaktik  an�gkh na brejoÔn oi lÔsei me arijmhtikè mejìdou . Apì arqaiot�-twn qrìnwn oi Majhmatiko� asqoloÔntan me thn prosèggish k�poiwn arijm¸n, ìpw oitetragwnikè kai oi kubikè r�ze , pou ousiastik� e�nai lÔsei k�poiwn exis¸sewn kaikatèlhgan kur�w se gewmetrikè mejìdou .To majhmatikì prìblhma pou ja ma apasqol sei e�nai h prosèggish twn riz¸n th ex�swsh f(x) = 0 , x ∈ IR. (4.1)H eÔresh twn riz¸n sto migadikì ep�pedo e�nai akìmh pio dÔskolo prìblhma. Pollè apì ti mejìdou pou ja anaptÔxoume epekte�nontai, all� lìgw th duskol�a , de jaasqolhjoÔme. 'Ena pr¸to prìblhma pou ja prèpei na antimetwp�soume, e�nai o entopi-smì kai h apomìnwsh twn riz¸n. Gia na efarmìsoume k�poia arijmhtik  mèjodo prèpei,gia k�je r�za, na broÔme kai èna di�sthma sto opo�o mìno aut  an kei. O entopismì den e�nai kajìlou eÔkolh doulei�, den up�rqei sugkekrimènh suntag  pou ja entop�zeikai ja apomon¸nei ti r�ze . Kur�w g�netai mèsa apì th melèth th sumperifor� th 37

38 KEF�ALAIO 4. ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWN

x

y

a+b 2

f(b)

f(a) a

b x 0 = x 1 Sq ma 4.1: Mèjodo Diqotìmhsh sun�rthsh f kai twn parag¸gwn th . To kuriìtero ergale�o entopismoÔ twn riz¸ne�nai to gnwstì Je¸rhma tou Bolzano, pou lèei ìti: An h sun�rthsh f e�nai suneq  sto di�sthma [a, b], de mhden�zetai se upodi�sthma autoÔ kai isqÔei ìti f(a)f(b) < 0,tìte sto di�sthma [a, b] up�rqei perittì arijmì riz¸n. 'Opw ja doÔme, h mèjodo th epìmenh paragr�fou, bohj�ei polÔ ston entopismì twn riz¸n. Sthn an�lush pouja akolouj sei, ja jewroÔme ìti ègine o entopismì kai ìti stìqo ma ja e�nai hprosèggish th monadik  r�za se èna di�sthma [a, b].4.1 Mèjodo th Diqotìmhsh H mèjodo th Diqotìmhsh lègetai kai mèjodo tou Bolzano epeid  akrib¸ sthr�zetaisto Je¸rhma tou Bolzano.JewroÔme ìti sto di�sthma [a, b] h f e�nai suneq  kai up�rqei mia kai monadik  r�za perit-t  pollaplìthta , h ξ. SÔmfwna me to je¸rhma tou Bolzano ja èqoume f(a)f(b) < 0.Sth sunèqeia jewroÔme to mèso tou diast mato a+b

2kai upolog�zoume thn f sto shme�-o autì. An�loga me to prìshmo th f(a+b

2) kai sÔmfwna me to je¸rhma tou Bolzano,perior�zoume th r�za ξ sto èna apì ta duo upodiast mata, ìpw fa�netai kai sto Sq ma4.1. Autì g�netai epanalhptik� me susthmatikì trìpo w ex  : Sumbol�zoume me α0 = akai β0 = b kai par�goume duo akolouj�e ti {αk} kai {βk}, k = 1, 2, · · ·, ¸ste h r�za ξna an kei p�nta sto di�sthma [αk, βk]. JewroÔme xk = αk+βk

2, to mèso tou diast mato

[αk, βk]. An f(xk) = 0, tìte brèjhke akrib¸ h r�za ξ = xk. An ìqi, to nèo di�sthmapou ja perièqei th r�za ja e�nai to [αk+1, βk+1] meαk+1 =

{αk, an f(αk)f(xk) < 0xk, alli¸ , βk+1 =

{xk, an f(αk)f(xk) < 0βk, alli¸ . (4.2)

4.1. M�EJODOS DIQOT�OMHSHS 39Fa�netai kajar� ìti h akolouj�a {αk} e�nai aÔxousa en¸ h {βk} fj�nousa. Oi duo autè akolouj�e sugkl�noun sth r�za ξ, h pr¸th apì k�tw kai h deÔterh apì p�nw. K�jefor� to di�sthma pou perièqei th r�za upodiplasi�zetai kai ìtan g�nei arkoÔntw mikrì,sÔmfwna kai me thn epijumht  akr�beia, stamat�ei h diadikas�a. H prosèggish th r�za ja e�nai to mèso tou diast mato   èna apì ta �kra.E�maste ètoimoi na d¸soume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo th Mejìdou th Diqotìmhsh , mìno pou de qrei�zetai ed¸ na sumbol�soume me {αk} kai {βk} ta �kratwn diasthm�twn all� me a to k�tw �kro kai b to �nw.Algìrijmo Mejìdou Diqotìmhsh Dedomèna: �kra diast mato a, b, h sun�rthsh f kai to sf�lma ǫ.x = a+b

2Efìson f(x) 6= 0 kai b − a > ǫAn f(a)f(x) < 0

b = xAlli¸ a = xTèlo �An�

x = a+b2tèlo �Efìson�Apotèlesma: H lÔsh th ex�swsh e�nai h tim  xTèlo Algor�jmou.ParathroÔme ed¸ ìti se k�je epan�lhyh to m ko tou diast mato upodiplasi�zetai,epomènw kat� thn n epan�lhyh to m ko ja e�nai

βn − αn =β0 − α0

2n. (4.3)Gia na epèljei sÔgklish, jèloume autì to di�sthma na g�nei mikrìtero apì to sf�lma ǫ,epomènw ja prèpei na isqÔei

β0 − α0

2n≤ ǫ ⇔ 2n ≥ β0 − α0

ǫ. (4.4)An logarijm�soume me b�sh to 2 ta duo mèlh aut  pa�rnoume

n ≥ log2

β0 − α0

ǫ. (4.5)H teleuta�a sqèsh apotele� mia ek twn protèrwn ekt�mhsh twn epanal yewn th mejìdouth diqotìmhsh afoÔ sto deÔtero mèlo ìle oi posìthte e�nai gnwstè . H el�qisthdunat  tim  tou n e�nai o amèsw megalÔtero akèraio arijmì th posìthta tou deu-tèrou mèlou . H ek twn protèrwn ekt�mhsh twn epanal yewn e�nai èna pleonèkthma th

40 KEF�ALAIO 4. ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWNmejìdou diqotìmhsh pou sp�nia sunant�tai se arijmhtikè mejìdou . Parìla aut� hmèjodo th diqotìmhsh e�nai apì ti pio argè mejìdou gia thn prosèggish riz¸n,e�nai ìmw kai h pio s�gourh mèjodo sqetik� me th sÔgklish. To gegonì autì k�nei thmèjodo aut  qr simh sto na sunduaste� me k�poia �llh pio taqe�a mèjodo. Efarmìzoumeth mèjodo diqotìmhsh arqik�, èw ìtou ft�soume se di�sthma ìpou ja exasfal�zetaih sÔgklish mia pio taqe�a mejìdou. A doÔme ìmw èna par�deigma efarmog  th mejìdou.Par�deigma 1:Na g�noun trei epanal yei tou algor�jmou th mejìdou th diqotìmhsh gia thn pro-sèggish th tr�th r�za tou pènte ( 3√

5).O arijmì 3√

5 e�nai h monadik  pragmatik  r�za th ex�swsh f(x) ≡ x3 − 5 = 0kai br�sketai sto di�sthma [1, 2]. A doÔme ìmw ta b mata tou algor�jmou.

1 : x = 1.5 f(a) = −4 f(x) = −1.625 f(a)f(x) > 0 a = 1.5 b = 22 : x = 1.75 f(a) = −1.625 f(x) = 0.359375 f(a)f(x) < 0 a = 1.5 b = 1.753 : x = 1.625 f(a) = −1.625 f(x) = −0.70898 f(a)f(x) > 0 a = 1.625 b = 1.75H prosèggish th r�za ja e�nai a+b

2= 1.6875. A shmeiwje� ìti h 3

√5 me akr�beia 7shmantik¸n yhf�wn e�nai 1.709976.4.2 Genik  Epanalhptik  Mèjodo H Genik  Epanalhptik  Mèjodo den apotele� sugkekrimènh mèjodo all� mia kathgor�aepanalhptik¸n mejìdwn   kalÔtera apotele� trìpo kataskeu  epanalhptik¸n mejìdwn.JewroÔme ìti sto di�sthma [a, b] up�rqei monadik  r�za th ex�swsh (4.1), thn opo�akai jèloume na prosegg�soume. Kataskeu�zoume mia anadi�taxh th ex�swsh (4.1) sthmorf 

x = g(x), (4.6)¸ste na èqei thn �dia monadik  r�za sto en lìgw di�sthma. Me b�sh aut  mporoÔme nakataskeu�soume thn epanalhptik  mèjodoxk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, · · · , x0 ∈ [a, b]. (4.7)H mèjodo aut  par�gei thn akolouj�a {xk}, k = 0, 1, 2, · · · me x0 ∈ [a, b], auja�retharqik  prosèggish. An upojèsoume ìti h akolouj�a aut  sugkl�nei kai p�roume ìria staduo mèlh th (4.7), tìte to ìrio autì ja plhro� thn (4.6), pou shma�nei ìti ja sugkl�nei

4.2. GENIK�H EPANALHPTIK�H M�EJODOS 41sth monadik  r�za ξ.Apomènei na broÔme sunj ke gia ti opo�e mia tètoia mèjodo sugkl�nei. Gia na topetÔqoume ja melet soume th sumperifor� twn sfalm�twn. Apì ti sqèsei (4.7) kai(4.6), an afairèsoume kat� mèlh jètonta th r�za ξ sth jèsh tou x sthn (4.6), pa�rnoumeǫk+1 = xk+1 − ξ = g(xk) − g(ξ). (4.8)Gia na sugkl�nei h mèjodo ja prèpei

|ǫk+1| = |xk+1 − ξ| = |g(xk) − g(ξ)| < λ|xk − ξ| = λ|ǫk|, 0 < λ < 1. (4.9)H teleuta�a sqèsh apotele� sunj kh sÔgklish gia th sun�rthsh g, ìmw de gnwr�zoumeto xk, oÔte to ξ gia na mporèsoume na apofanjoÔme. An ìmw h sqèsh aut  �sque, ìqimìno gia ta xk kai ξ, all� gia k�je zeÔgo shme�wn x, y ∈ [a, b], ja e�qame exasfal�seith sÔgklish. Katal xame epomènw , me autìn ton sullogismì, sth sunj kh sÔgklish gia th sun�rthsh g pou diatup¸netai me thn parak�tw prìtash.Prìtash 1:An up�rqei jetikì arijmì λ < 1 tètoio ¸ste|g(x) − g(y)| ≤ λ|x − y|, ∀x, y ∈ [a, b], (4.10)tìte h epanalhptik  mèjodo (4.7) pou par�getai apì thn g, sugkl�nei sth monadik  r�za

ξ ∈ [a, b] th ex�swsh (4.6) gia kat�llhlh epilog  tou x0 ∈ [a, b].H sunj kh (4.10) e�nai gnwst  w Sunj kh Lipschitz kai ìtan λ < 1, ìpw sthnprokeimènh per�ptwsh, lègetai ìti h sun�rthsh g e�nai Sustol .H epilog  th arqik  prosèggish x0 ja prèpei na e�nai tètoia ¸ste ìle oi epanal yei na br�skontai mèsa sto di�sthma [a, b]. Alli¸ , an k�poia bgei èxw, lìgw tou ìti denèqoume plhrofor�e gia to an h g e�nai sustol , e�nai dunatìn na ft�soume se apìklish.An ìmw epilèxoume to x0 na an kei sto mikrìtero apì ta upodiast mata [a, ξ] kai [ξ, b]  sto summetrikì tou, to x1 epeid  br�sketai pio kont� sth r�za ξ ja br�sketai anagka-stik� mèsa sto di�sthma [a, b]. Autì ja sumba�nei kai gia ìle ti epìmene epanal yei .De gnwr�zoume th r�za ξ gia na epilèxoume to mikrìtero upodi�sthma, mporoÔme ìmw na epilèxoume to kontinìtero �kro pro th r�za efarmìzonta to je¸rhma tou Bolzanosto mèso tou diast mato a+b2

kai se èna �kro. 'Etsi, an p�roume w x0 to kontinìteroautì �kro, exasfal�zoume th sÔgklish.Se pollè peript¸sei h sun�rthsh f kai kat� sunèpeia kai h g e�nai polÔploke sunart sei kai e�nai dÔskolo na elegqje� to an h g e�nai sustol    ìqi. Sti peript¸sei autè katafeÔgoume se �lle sunj ke , �sw asjenèstere . An jewr soume ìti up�rqeih par�gwgo th g kai e�nai suneq  sto (a, b), tìte mporoÔme na efarmìsoume to

42 KEF�ALAIO 4. ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWNje¸rhma mèsh tim  tou diaforikoÔ logismoÔ (g(x)− g(y) = g′(z)(x− y)) sthn (4.10)kai na p�roume|g′(z)| ≤ λ (4.11)gia k�poio z metaxÔ twn x kai y. Ant�strofa, an jewr soume ìti h sunj kh (4.11)isqÔei gia ìla ta z ∈ (a, b) tìte ja exasfal�zetai kai h isqÔ th (4.10). H nèa aut sunj kh sÔgklish diatup¸netai sthn epìmenh prìtash.Prìtash 2:An up�rqei jetikì arijmì λ < 1 tètoio ¸ste

|g′(x)| ≤ λ, ∀x ∈ (a, b), (4.12)tìte h epanalhptik  mèjodo (4.7) pou par�getai apì thn g, sugkl�nei sth monadik  r�zaξ ∈ [a, b] th ex�swsh (4.6) gia kat�llhlh epilog  tou x0 ∈ [a, b].H sunj kh aut  e�nai asjenèsterh epeid  apaite�tai h Ôparxh kai sunèqeia th pr¸th parag¸gou, en¸ sth sunj kh th Prìtash 1 apaite�tai mìno h sunèqeia th sun�rthsh g.Se pollè peript¸sei sthn pr�xh elègqoume th sunj kh aut  mìno gia thn tim  th r�za ξ. An

|g′(ξ)| ≤ λ < 1, (4.13)tìte lìgw th sunèqeia th g′, ja up�rqei perioq  th ξ gia thn opo�a ja isqÔei kai hPrìtash 2. H anaz thsh t¸ra th perioq  g�netai efarmìzonta b mata th mejìdouth diqotìmhsh mèqri thn isqÔ th sunj kh . Fa�netai ed¸ h qrhsimìthta th mejìdouth diqotìmhsh ìpw anafèrjhke kai sthn prohgoÔmenh par�grafo. Met� apì thnparap�nw an�lush d�noume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo th Genik  Epanalh-ptik  Mejìdou.Algìrijmo Genik  Epanalhptik  MejìdouDedomèna: �kra diast mato a, b, oi sunart sei f , g (x = g(x)) kai to sf�lma ǫ.An f(a)f(a+b2

) < 0

xold = aAlli¸ xold = bTèlo �An�

x = g(xold)Efìson f(x) 6= 0 kai |x − xold| > ǫ

xold = x

x = g(xold)tèlo �Efìson�

4.3. M�EJODOS NEWTON RAPHSON 43Apotèlesma: H lÔsh th ex�swsh prosegg�zetai apì thn xTèlo Algor�jmou.D�noume ed¸ èna par�deigma efarmog  tou algor�jmou gia thn �dia ex�swsh touparade�gmato 1.Par�deigma 2:Gia thn eÔresh th ( 3√

5) prote�nontai duo enallaktikè anadiat�xei i)g(x) = x3 +x−5kai ii)g(x) = x + 12(1 − x3

5). Na exetastoÔn w pro th sÔgklish sto di�sthma [1,2℄ oiant�stoiqoi algìrijmoi kai na g�noun trei epanal yei se per�ptwsh sÔgklish .E�nai profanè ìti kai sti dÔo peript¸sei èqoume anadiat�xei th x3 − 5 = 0.

i)|g′(x)| = |3x2 + 1| > 1, ∀x ∈ [1, 2], epomènw o ant�stoiqo algìrijmo de sugkl�nei.ii)|g′(x)| = |1 − 3x2

10| ≤ 0.7 < 1, ∀x ∈ [1, 2], epomènw o ant�stoiqo algìrijmo sugkl�nei.Pa�rnoume w x0 = 2, to pio kontinì �kro sth r�za kai èqoume ti epanal yei :1 : x1 = 2 + 1

2(1 − 23

5) = 1.7

2 : x2 = 1.7 + 12(1 − 1.73

5) = 1.7087

3 : x3 = 1.7087 + 12(1 − 1.70873

5) = 1.709818H prosèggish th r�za ja e�nai h 1.709818 pou sump�ptei me thn akrib  tim  sta 4shmantik� yhf�a. ParathroÔme ed¸ ìti h mèjodo aut  e�nai saf¸ taqÔterh apì thmèjodo diqotìmhsh .4.3 Mèjodo twn Newton RaphsonH mèjodo twn Newton Raphson e�nai merik  per�ptwsh th genik  epanalhptik  mejìdou. H sun�rthsh g proèrqetai apì mia sugkekrimènh anadi�taxh th ex�swsh (4.1) w ex  :

g(x) = x − f(x)

f ′(x). (4.14)E�nai profanè ìti aut  proèrqetai apì anadi�taxh th (4.1) pou den alloi¸nei th r�zath , arke� na upojèsoume ìti h f e�nai paragwg�simh sto di�sthma [a, b] kai ìti h f ′ denmhden�zetai oÔte apeir�zetai s� autì. H paragìmenh tìte epanalhptik  mèjodo ja e�naih

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk), k = 0, 1, 2, · · · , x0 ∈ [a, b]. (4.15)

44 KEF�ALAIO 4. ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWN

x

y

x 0 x 1 x 2 A B

C

Sq ma 4.2: Mèjodo Newton RaphsonGia na melet soume th sÔgklish th mejìdou aut  , ja prèpei na upojèsoume ìtiup�rqei kai h deÔterh par�gwgo th f sto [a, b], opìte mporoÔme na paragwg�soumethn g, h opo�a d�nei:g′(x) = 1 − (f ′(x))2 − f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2=

f(x)f ′′(x)

(f ′(x))2. (4.16)ParathroÔme ed¸ ìti an jèsoume th r�za ξ sthn (4.16) ja èqoume

g′(ξ) =f(ξ)f ′′(ξ)

(f ′(ξ))2= 0. (4.17)H teleuta�a sqèsh ma lèei ìti h g′(ξ) ìqi mìno e�nai mikrìterh th mon�da all� e�naikai mhdèn. To gegonì autì prosd�dei, ìpw ja doÔme, meg�lh taqÔthta sth mèjodo

Newton Raphson. Gia th melèth tou sf�lmato jewroÔme thn (4.8) kai anaptÔssoumekat� Taylor thn g(xk) sto shme�o ξ èw kai th deÔterh par�gwgo, opìte èqoumeǫk+1 = g(xk) − g(ξ) = (xk − ξ)g′(ξ) +

(xk − ξ)2

2g′′(x̂) =

ǫ2k

2g′′(x̂), (4.18)ìpou to x̂ br�sketai sto di�sthma metaxÔ th r�za ξ kai tou xk. ApodeiknÔetai ed¸ìti an h g′′ e�nai fragmènh sto di�sthma [a, b], to sf�lma kat� thn k + 1 epan�lhyhe�nai an�logo me to tetr�gwno tou sf�lmato sthn k epan�lhyh, gegonì pou kaji-st� th mèjodo polÔ dunamik  w pro thn taqÔthta sÔgklish . H taqÔthta sÔgklish sthn per�ptwsh aut  lègetai tetragwnik  en¸ sti peript¸sei pou to sf�lma se mia

4.3. M�EJODOS NEWTON RAPHSON 45epan�lhyh e�nai an�logo me to sf�lma th prohgoÔmenh , lègetai grammik . Ax�zei nashmei¸soume ed¸ ìti an h r�za ξ e�nai pollapl  tìte aut  ja e�nai kai r�za th f ′. Miaant�stoiqh an�lush apodeiknÔei tìte ìti g′(ξ) 6= 0 en¸ |g′(ξ)| ≤ λ < 1, pou shma�nei ìtih mèjodo sugkl�nei all� h sÔgklish e�nai grammik .A doÔme t¸ra th gewmetrik  ermhne�a th mejìdou Newton Raphson. 'Opw fa�netaisto sq ma 4.2, to x1 e�nai to shme�o tom  th efaptomènh sthn kampÔlh y = f(x) sto(x0, f(x0), me ton �xona twn x. Pragmatik� autì prokÔptei apì th melèth tou trig¸nouABC w ex  :

x1 − x0 = −(AB) = −(BC)(BC)(AB)

= − (BC)

tan ˆ(BAC)= − f(x0)

f ′(x0), (4.19)pou d�nei thn pr¸th epan�lhyh th mejìdou twn Newton Raphson. 'Etsi me suneqe� efaptìmene sthn kampÔlh katal goume sth r�za ξ ìpw fa�netai sto sq ma.Prèpei na anafèroume ed¸ ìti de qrei�zetai na d¸soume eidikì algìrijmo, efarmì-zoume eke�non th genik  epanalhptik  jètonta to sugkekrimèno tÔpo th g. Prèpeina parathr soume akìmh ìti se poll� probl mata, h mèjodo aut  en¸ e�nai taqÔtath,e�nai eua�sjhth w pro to di�sthma sÔgklish , dhlad  e�nai sqetik� mikrì autì to di�-sthma kai gia ton entopismì tou qrei�zetai h sumbol  �llwn mejìdwn kai kur�w th diqotìmhsh . D�noume ed¸ to �dio par�deigma me th mèjodo twn Newton Raphson.Par�deigma 3:Na g�noun trei epanal yei tou algor�jmou th mejìdou Newton Raphson gia thn pro-sèggish th tr�th r�za tou pènte ( 3

√5).H ex�swsh e�nai f(x) ≡ x3 − 5 = 0 en¸ h par�gwgì th f e�nai f ′(x) = 3x2. Hsun�rthsh g th epanalhptik  mejìdou ja e�nai

g(x) = x − f(x)

f ′(x)=

2

3x +

5

3x2.H par�gwgo th g ja e�nai

g′(x) =2

3− 10

3x3.Gia th sun�rthsh aut  kai gia to di�sthma [1, 2] den isqÔei h sunj kh sÔgklish (4.12).An efarmìsoume mia for� th mèjodo diqotìmhsh , sÔmfwna me to par�deigma 1, pa�r-noume w di�sthma to [1.5, 2]. Gia to di�sthma autì, eÔkola diapist¸noume ìti isqÔei hsunj kh sÔgklish (4.12). Laba�noume sth sunèqeia w x0 to pio kontinì �kro sth r�zapou e�nai to 1.5 kai èqoume ti epanal yei :

1 : x1 = 231.5 + 5

3×1.52 = 1.740741

2 : x2 = 231.740741 + 5

3×1.7407412 = 1.710516

3 : x3 = 231.710516 + 5

3×1.7105162 = 1.709976

46 KEF�ALAIO 4. ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWN

x

y

x 0 x 1 x 2

x 3 Sq ma 4.3: Mèjodo Tèmnousa H prosèggish th r�za ja e�nai h 1.709976 pou sump�ptei me thn akrib  tim  sta 7shmantik� yhf�a. ParathroÔme ed¸ ìti èqoume ter�stia diafor� metaxÔ twn taqut twnsÔgklish twn mejìdwn diqotìmhsh kai Newton Raphson.4.4 Mèjodo Tèmnousa H mèjodo th Tèmnousa bas�zetai sthn poluwnumik  parembol  pr¸tou bajmoÔ. Giaton upologismì tou xk+1 qrei�zontai duo prohgoÔmene epanal yei h xk kai h xk−1.Sta shme�a aut� paremb�loume mia euje�a pou h tom  th me ton �xona twn x d�nei toxk+1 ìpw fa�netai sto sq ma 4.3. To xk+1 epomènw e�nai h lÔsh th prwtob�jmia ex�swsh

fk +x − xk

xk−1 − xk

(fk−1 − fk) = 0, (4.20)ìpou gia aplìthta sumbol�zoume me fj thn tim  f(xj). H lÔsh aut  d�neixk+1 = xk −

fk

(fk−1 − fk)/(xk−1 − xk), (4.21)pou gia ìla ta k = 1, 2, · · · kai x0, x1 ∈ [a, b] d�nei ton epanalhptikì tÔpo th mejìdouth Tèmnousa . Lègetai mèjodo Tèmnousa epeid  oi euje�e tèmnoun thn kampÔlh en¸sthn Newton Raphson ef�ptontai s� aut n.MporoÔme na parathr soume ed¸ ìti to kl�sma ston paronomast  (fk−1−fk)/(xk−1−

xk) e�nai mia diairhmènh diafor� pou to ìriì th gia xk−1 te�nonto sto xk d�nei thnf ′(xk). Autì shma�nei ìti h mèjodo aut  te�nei sth Newton Raphson ìtan ta shme�ae�nai polÔ kont�. Ax�zei na shmeiwje� ìti ston tÔpo (4.21), den g�nontai �lle pr�xei

4.4. M�EJODOS T�EMNOUSAS 47gia aploÔsteush all� upolog�zetai pr¸ta to kl�sma ston paronomast . Autì g�netaigia apofug  th allo�wsh tou apotelèsmato apì sf�lmata stroggÔleush , epeid  oiìroi autoÔ tou kl�smato suneq¸ mikra�noun, e�nai ìmw metaxÔ tou th �dia t�xh megèjou .ApodeiknÔetai ed¸ ìti upì orismène pro�pojèsei h mèjodo sugkl�nei taqèw sth r�za,den e�nai ìmw taqÔterh th Newton Raphson. H jewr�a pou to apodeiknÔei e�nai arket�pio dÔskolh kai den ja asqolhjoÔme ed¸. D�noume ed¸ ton algìrijmo th mejìdou th Tèmnousa se morf  yeudok¸dika.Algìrijmo Mejìdou Tèmnousa Dedomèna: �kra diast mato a, b, h sun�rthsh f kai to sf�lma ǫ.Epilog  twn arqik¸n tim¸n xold kai x (p.q. xold = b kai x = a+b2)

d = f(xold)−f(x)xold−x

xnew = x − f(x)dEfìson f(xnew) 6= 0 kai |x − xnew| > ǫ

xold = x

x = xnew

d = f(xold)−f(x)xold−x

xnew = x − f(x)dtèlo �Efìson�Apotèlesma: H lÔsh th ex�swsh prosegg�zetai apì thn xnewTèlo Algor�jmou.Par�deigma 4:Na g�noun trei epanal yei tou algor�jmou th mejìdou th Tèmnousa gia thn pro-sèggish th tr�th r�za tou pènte ( 3

√5).H ex�swsh e�nai f(x) ≡ x3 − 5 = 0. Laba�noume w x0 = 2, to �nw �kro toudiast mato [1, 2] kai w x1 = 1.5, to mèso tou diast mato kai èqoume ti epanal yei :

1 : x2 = 1.5 − −1.625(3+1.625)/(2−1.5)

= 1.675676

2 : x3 = 1.675676 − −0.2948862(−1.625+0.2948862)/(1.5−1.675676)

= 1.714623

3 : x4 = 1.714623 − 0.040875(−0.2948862−0.040875)/(1.675676−1.714623)

= 1.709882H prosèggish th r�za ja e�nai h 1.709882 pou sump�ptei me thn akrib  tim  sta 4 sh-mantik� yhf�a. ParathroÔme ed¸ ìti h mèjodo th Tèmnousa e�nai polÔ taqÔterh apìth mèjodo th Diqotìmhsh all� arket� bradÔterh apì th mèjodo twn Newton Raphson.

48 KEF�ALAIO 4. ARIJMHTIKH EPILUSH EXISWSEWNASKHSEIS1) Na g�noun trei epanal yei twn algor�jmwn th mejìdou diqotìmhsh , th me-jìdou Newton Raphson kai th mejìdou th tèmnousa gia thn prosèggish th tetra-gwnik  r�za tou 2 sto di�sthma [1, 2].2) Na ulopoihjoÔn oi algìrijmoi ìlwn twn mejìdwn ìpw prot�jhkan sta parade�g-mata gia thn eÔresh th 3√

5, me akr�beia 6 dekadik¸n yhf�wn.3) Gia thn eÔresh th monadik  r�za th ex�swsh sin x = 0 sto di�sthma [3, 4]prote�nontai oi anadiat�xei i)g(x) = x+sinx kai ii)g(x) = x−sinx. Na elegqjoÔn w pro th sÔgklish oi ant�stoiqoi algìrijmoi. Na ulopoihje� o algìrijmo pou sugkl�neigia thn prosèggish tou arijmoÔ π me akr�beia 6 dekadik¸n yhf�wn.

Kef�laio 5ARIJMHTIKH EPILUSHGRAMMIKWN SUSTHMATWNH Arijmhtik  ep�lush Grammik¸n Susthm�twn e�nai to spoudaiìtero kef�laio th A-rijmhtik  Grammik  'Algebra pou apotele� ènan apì tou shmantikìterou kl�dou th Arijmhtik  An�lush . 'Eqei ektimhje� ìti to 70% twn problhm�twn th Epist mh kai th Teqnolog�a pou katal goun gia ep�lush ston Hlektronikì Upologist  e�naigrammik� sust mata. E�nai logikì na sumba�nei k�ti tètoio diìti ektì apì ta probl ma-ta pou e�nai apì th fÔsh tou grammik�, ta aploÔstera montèla gia thn perigraf  twndiafìrwn fainomènwn e�nai ta grammik�. 'Opw e�nai gnwstì, èna fainìmeno, sto opo�oup�rqoun metabolè fusik¸n posot twn, perigr�fetai sun jw sta majhmatik� apì miadiaforik  ex�swsh. Gia thn ep�lus  th ston Upologist  apaite�tai prohgoumènw hdiakritopo�hs  th . To apotèlesma th diakritopo�hsh e�nai èna grammikì sÔsthma anh diaforik  ex�swsh e�nai grammik . Akìmh kai mh grammik� probl mata lÔnontai diath prosèggis  twn apì grammik� sust mata.Oi arijmhtikè mèjodoi gia thn ep�lush grammik¸n susthm�twn qwr�zontai se trei kathgor�e sti 'Amese sti Epanalhptikè kai sti mejìdou Beltistopo�hsh (Miktè   Ubridikè ). Sto parìn kef�laio ja asqolhjoÔme me k�poie klasikè mejìdou apìti duo pr¸te kathgor�e . Arqik� ìmw ja d¸soume k�poia basik  jewr�a pou japerilamb�nei mia seir� apì idiìthte kai orismoÔ sqetik� me ta dianÔsmata kai tou p�nake .5.1 Basik  Jewr�aTo prìblhma pou èqoume na epilÔsoume e�nai to grammikì sÔsthma n exis¸sewn me nagn¸stou :a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2... ... ... ...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

. (5.1)49

50 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNTo sÔsthma autì se sqèsh metaxÔ dianusm�twn kai pin�kwn gr�fetai

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... . . . ...an1 an2 · · · ann

x1

x2...xn

=

b1

b2...bn

(5.2) 

Ax = b, (5.3)ìpou onam�same me A ton n×n p�naka twn suntelest¸n twn agn¸stwn, me x to ndi�statodi�nusma twn agn¸stwn kai me b to ndi�stato stajerì di�nusma tou deÔterou mèlou .Sth sqèsh (5.2) oi agkÔle mporoÔn na antikatastajoÔn me parenjèsei . Sumbol�-zoume me IRn to q¸ro twn ndi�statwn pragmatik¸n dianusm�twn, me ICn to q¸ro twnndi�statwn migadik¸n dianusm�twn, me IRn,n to q¸ro twn n × n pragmatik¸n pin�kwnkai me ICn,n to q¸ro twn n×n migadik¸n pin�kwn. Ja asqolhjoÔme ed¸ mìno me pragma-tik� sust mata, ìmw oi mèjodoi pou ja anaptuqjoÔn mporoÔn k�llista na doulèyounkai gia migadik� sust mata. Me ton ìro di�nusma x ennooÔme to di�nusma st lh ìpw fa�netai sthn (5.2). To ant�stoiqo di�nusma gramm  sumbol�zetai me xT = [x1 x2 · · · xn]kai onom�zetai an�strofo tou x. Diab�zetai kai x-an�strofo.O ant�stoiqo sumbolismì gia ènan p�naka e�nai o AT pou onom�zetai an�strofo touA   A-an�strofo kai e�nai o p�naka pou èqei w st le ti ant�stoiqe grammè touA. D�noume sth sunèqeia k�poiou orismoÔ posot twn pou sqet�zontai me dianÔsmata  p�nake kai e�nai qr simoi.Or�zoume w Eukle�deio Eswterikì Ginìmeno duo dianusm�twn x, y ∈ IRn thn posì-thta

(x, y) = xT y =n∑

i=1

xiyi.E�nai fanerì ìti (y, x) = (x, y).Or�zoume w Nìrma   St�jmh (Norm ) enì pragmatikoÔ dianÔsmato x k�je apei-kìnish pou ikanopoie� ti parak�tw trei idiìthte :i) ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ IRn me ||x|| = 0 ann x = 0

ii) ||cx|| = |c| ||x||, ∀ c ∈ IR kai ∀ x ∈ IRn

iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ IRn.H epinìhsh twn norm¸n dhmiourg jhke apì thn an�gkh na metr soume to mègejo twndianusm�twn kai na sugkr�noume duo dianÔsmata w pro to mègejo . To mègejo enì pragmatikoÔ arijmoÔ d�netai apì thn apìluth tim  tou en¸ enì migadikoÔ apì to mètrotou. E�nai profanè ìti oi trei parap�nw idiìthte isqÔoun kai gia thn apìluth tim pragmatikoÔ kai gia to mètro migadikoÔ .

5.1. BASIK�H JEWR�IA 51Sthn Arijmhtik  An�lush qrhsimopoioÔntai kur�w oi parak�tw trei nìrme :||x||1 =

∑ni=1 |xi| ( nìrma 1)

||x||2 = (∑n

i=1 |xi|2)1

2 ( = (x, x)1

2 ) ( nìrma 2   Eukle�deia nìrma)||x||∞ = maxi=1(1)n |xi|, ( nìrma �peiro)ApodeiknÔetai ìti oi trei autè nìrme ikanopoioÔn ti trei parap�nw idiìthte .Orismì : Duo dianÔsmata x, y ∈ IRn lègontai orjog¸nia ann (x, y) = xT y = 0.Orismì : M�a akolouj�a dianusm�twn x(0), x(1), x(2), · · · ∈ IRn (  {x(k)}∞k=0) sug-kl�nei sto di�nusma x ∈ IRn   èqei ìrio to di�nusma x kai gr�foume x

(k)k→∞ → x  

limk→∞ x(k) = x ann x(k)i k→∞ → xi, ∀ i = 1(1)n.Me b�sh tou orismoÔ th akolouj�a d�noume thn parak�tw prìtash.Prìtash 1Mia akolouj�a pragmatik¸n dianusm�twn {x(k)}∞k=0sugkl�nei sto di�nusma x ann hakolouj�a ||xk − x|| sugkl�nei sto mhdèn, gia opoiad pote nìrma.x

(k)k→∞ → x ⇐⇒ lim

k→∞||x(k) − x|| = 0.Or�zoume ed¸ to ginìmeno duo pin�kwn:To ginìmeno dÔo pin�kwn A ∈ IRm,n kai B ∈ IRn,p or�zetai w C := AB ∈ IRm,p, ìpou

cij =∑n

k=1 aikbkj, i = 1(1)m, j = 1(1)p. A shmeiwje� ìti den isqÔei h antimetajetik idiìthta, E�nai dhlad  genik� AB 6= BA.Upenjum�zetai pw an to ginìmeno AB or�zetai isqÔoun oi sqèsei (AB)T = BT AT .O monadia�o   tautotikì n × n p�naka ja sumbol�zetai me I, e�nai o p�naka memon�de sth diag¸nio kai mhdèn opoud pote alloÔ, isqÔei de: AI = IA = A gia opoion-d pote n × n p�naka A.'Opw e�nai gnwstì o ant�strofo dojènto p�naka A den or�zetai p�ntote. Genik�,gia dojènta A ∈ IRn,n an up�rqei p�naka X ∈ IRn,n tètoio ¸ste XA = AX = I tìteo X lègetai ant�strofo , e�nai monadikì kai sumbol�zetai me A−1. Den èqoun, loipìn,ìloi oi p�nake ant�strofo. An ìmw oi A, B ∈ IRn,n e�nai antistrèyimoi tìte mpore�eÔkola na apodeiqte� ìti isqÔoun ta parak�tw:(A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T , kai (AB)−1 = B−1A−1.Sth sunèqeia d�netai mia prìtash pou sqet�zetai me thn Ôparxh lÔsh enì grammikoÔsust mato .

52 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNPrìtash 2An A ∈ IRn,n, tìte oi parak�tw prot�sei e�nai isodÔname i) Up�rqei o A−1

ii) Ta dianÔsmata st le tou A e�nai grammik� anex�rthtaiii) To �dio isqÔei kai gia ta dianÔsmata grammè tou A

iv) H or�zousa tou A e�nai mh mhdenik  (det(A) 6= 0)v) To omogenè grammikì sÔsthma Ax = 0 èqei th monadik  lÔsh x = 0

vi) To grammikì sÔsthma Ax = b èqei th monadik  lÔsh x = A−1b.Ja onom�zoume omalì èna tètoio grammikì sÔsthma.Orismì : Or�zoume w idiotim  enì p�naka A ∈ IRn,n thn posìthta λ ∈ CI kai w ant�stoiqo idiodi�nusma èna di�nusma x ∈ ICn \ {0}, gia ta opo�a isqÔei h sqèshAx = λx .Apì th sqèsh aut  prokÔptei, an metaferjoÔn ìla sto pr¸to mèlo , ìti to idiodi�nusmae�nai h mh mhdenik  lÔsh tou omogenoÔ sust mato (A − λI)x = 0. Profan¸ , an xe�nai èna idiodi�nusma, tìte kai c · x e�nai ep�sh idiodi�nusma gia ìla ta c ∈ CI. Gia naup�rqei tètoia lÔsh ja prèpei det(A − λI) = 0, epomènw oi idiotimè ja e�nai ìle oilÔsei th ex�swsh det(A−λI) = 0. Epeid  h or�zousa det(A−λI) e�nai polu¸numo nbajmoÔ w pro λ, ja up�rqoun akrib¸ n idiotimè gia k�je p�naka A oi λi, i = 1(1)n.Autè ja e�nai pragmatikè   zeÔgh suzug¸n migadik¸n arijm¸n.Ja sumbol�zoume me

σ(A) := {λ1, λ2, · · · , λn}to sÔnolo ìlwn twn idiotim¸n tou A kai ja to onom�zoune f�sma tou A kai meρ(A) := max

i=1(1)n|λi|to mètro th megalÔterh kat� mètro idiotim  kai ja thn onom�zoume fasmatik  akt�natou A.Gia ti an�gke th sÔgkrish twn pin�kwn metaxÔ twn kai th melèth sÔgklish twnakolouji¸n pin�kwn, epino jhkan kai gia tou p�nake oi nìrme pin�kwn pou or�zontaime parapl sio trìpo me autìn twn dianusm�twn. Qarakthr�zontai apì trei idiìthte ant�stoiqe twn dianusm�twn kai apì mia tètarth pou anafèretai ston pollaplasiasmìpin�kwn. Sugkekrimèna èqoume:Orismì : Or�zoume w nìrma enì p�naka A kai sumbol�zoume me ||A|| thn apeikìnishgia thn opo�a isqÔoun oi parak�tw idiìthte :

i) ||A|| ≥ 0, ∀ A ∈ IRn,n, ||A|| = 0 ann A = 0

ii) ||cA|| = |c| ||A||, ∀ c ∈ IR kai ∀ A ∈ IRn,n

5.1. BASIK�H JEWR�IA 53iii) ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||, ∀ A, B ∈ IRn,n

iv) ||AB|| ≤ ||A||||B||, ∀ A, B ∈ IRn,nOi perissìtero qrhsimopoioÔmene nìrme pin�kwn e�nai autè pou par�gontai apì ti dianusmatikè nìrme me ton akìloujo trìpo:Gia èna dojènta A ∈ IRn,n kai ∀ x ∈ ICn \ {0} jewroÔme to sÔnolo twn phl�kwn ||Ax||||x|| .ApodeiknÔetai ìti h apeikìnish

||A|| := supx∈ICn\{0}

||Ax||||x|| , (5.4)or�zei mia nìrma p�naka h opo�a kale�tai fusik  nìrma.Apì ton orismì prokÔptei ìti ∀ x ∈ ICn \ {0},

||Ax||||x|| ≤ ||A|| ⇐⇒ ||Ax|| ≤ ||A||||x||. (5.5)'Ena isodÔnamo orismì gia th nìrma p�naka A e�nai o akìloujo :

||A|| := maxx∈ICn, ||x||=1

||Ax||, (5.6)'Opw kai sti nìrme dianusm�twn ètsi kai sti nìrme pin�kwn, autè pou qrhsimo-poioÔntai sun jw e�nai h nìrma 1, h nìrma 2 kai h nìrma �peiro gia p�nake . Me b�shtou parap�nw orismoÔ gia fusikè nìrme p�naka, apodeiknÔetai ìti oi nìrme autè d�nontai apì tou tÔpou :||A||1 = maxj=1(1)n

∑ni=1 |aij | (nìrma 1)

||A||2 = ρ1

2 (AT A) (fasmatik  nìrma)||A||∞ = maxi=1(1)n

∑nj=1 |aij| (nìrma �peiro) . (5.7)'Opw kai sta dianÔsmata mporoÔme na or�soume ti akolouj�e pin�kwn kai th sÔg-klish aut¸n w ex  :Orismì : M�a akolouj�a pin�kwn A(0), A(1), A(2), · · · ∈ IRn,n, (  {A(k)}∞k=0) sug-kl�nei ston p�naka A ∈ IRn   èqei ìrio ton p�naka A kai gr�foume A

(k)k→∞ → A  

limk→∞ A(k) = A ann limk→∞ a(k)ij = aij, ∀i, j = 1(1)n.IsqÔei kai ed¸ ant�stoiqh prìtash gia th sÔgklish pin�kwn.Prìtash 3Mia akolouj�a {A(k)}∞k=0 pragmatik¸n pin�kwn sugkl�nei ston p�naka A ann h ako-louj�a ||A(k) − A|| sugkl�nei sto mhdèn, gia opoiad pote fusik  nìrma.

limk→∞

A(k) = A ⇐⇒ limk→∞

||A(k) − A|| = 0.Tèlo ja d¸soume ed¸ duo qr sime prot�sei gia fusikè nìrme pin�kwn:

54 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNPrìtash 4K�je fusik  nìrma tou monadia�ou p�naka e�nai �sh me mon�da (||I|| = 1.)Aut  apodeiknÔetai eÔkola me b�sh ton orismì th fusik  nìrma .Prìtash 5Gia k�je fusik  nìrma kai gia k�je p�naka A isqÔei h sqèsh:ρ(A) ≤ ||A||. (5.8)Apìdeixh: 'Estw λ mia idiotim  tou A kai x ant�stoiqo idiodi�nusma. Ja èqoume:

Ax = λx =⇒ ||Ax|| = |λ|||x||,isqÔei ep�sh h anisìthta ||Ax|| ≤ ||A||||x||, opìte prokÔptei amèsw ìti ||A||||x|| ≥|λ|||x||. Diair¸nta kai ta dÔo mèlh th teleuta�a sqèsh dia ||x|| èqoume |λ| ≤ ||A||.Autì isqÔei gia ìle ti idiotimè tou A, �ra kai gia eke�nh pou d�nei th fasmatik  akt�na,pou apodeiknÔei thn (5.8).5.2 Mèjodo Apaloif  tou GaussJewroÔme èna pragmatikì omalì grammikì sÔsthma (5.1). Apì th Grammik  'Algebragnwr�zoume ìti oi tÔpoi tou Cramer d�noun th lÔsh tou apì ti ekfr�sei :

xi =det(Ai)

det(A), i = 1(1)n, (5.9)ìpou Ai e�nai o �dio p�naka me ton A me th mình diafor� ìti h i sth seir� st lhtou èqei antikatastaje� apì to di�nusma b. H mèjodo Cramer e�nai entel¸ anapo-telesmatik  diìti apaitoÔntai oi upologismo� n + 1 orizous¸n pou apoteloÔntai apì

n! ìrou h k�je mia. 'Eqei ektimhje� ìti èna Upologist  pou ektele� 106 pollapla-siasmoÔ /deuterìlepto ja apaitoÔse 3 × 105 ai¸ne gia th lÔsh enì sust mato 20exis¸sewn me 20 agn¸stou !Akìmh e�nai gnwstì ìti h lÔsh tou sust mato d�netai apì th sqèsh x = A−1b. E-pomènw , br�skonta ton ant�strofo tou A ja e�qame kai th lÔsh tou sust mato . Oant�strofo ìmw tou A e�nai o p�naka X gia ton opo�o isqÔei h sqèsh AX = I. An x(i)e�nai ta dianÔsmata-st le tou �gnwstou p�naka X kai e(i), ta ant�stoiqa dianÔsmata-st le tou I, tìte ja �sque Ax(i) = e(i), i = 1(1)n, kai epomènw to prìblhma an�getaisth lÔsh n grammik¸n susthm�twn'Egine loipìn epitaktik  an�gkh h epinìhsh apotelesmatik¸n mejìdwn gia thn ep�lu-sh tou sust mato (5.1). Oi �mese mèjodoi sun�stantai sto ìti br�skoun akrib¸ thlÔsh an oi pr�xei g�noun me akrib  arijmhtik . 'Omw , ìpw ja doÔme parak�tw, p�ntaupeisèrqontai sf�lmata stroggÔleush pou alloi¸noun telik� ta apotelèsmata.Apì th Grammik  'Algebra e�nai gnwstì ìti an:

5.2. M�EJODOS APALOIF�HS TOU GAUSS 551. Pollaplasi�soume mia ex�swsh tou sust mato ep� ènan arijmì λ ∈ IR \ {0}2. Enall�xoume th seir� dÔo exis¸sewn3. Antikatast soume mia ex�swsh tou me to �jroisma aut  kai mia �llh polla-plasiasmènh ep� ènan arijmì λ ∈ IR \ {0}prokÔptei sÔsthmaA′x = b′ (5.10)isodÔnamo me to arqikì (5.1).H klasik  mèjodo apaloif  tou Gauss apotele� thn kÔria �mesh mèjodo h o-po�a sun�statai se m�a susthmatik  efarmog  twn parap�nw idiot twn twn grammik¸nsusthm�twn ¸ste to arqikì sÔsthma na metatrèpetai sto (5.10), ìpou o A′ e�nai �nwtrigwnikì p�naka . Dhlad  sto sÔsthma

a′11 a′

12 · · · · · · a′1n. . .

a′kk · · · a′

kn. . .a′

nn

x1...xk...xn

=

b′1...b′k...b′n

. (5.11)Gia thn eÔresh twn agn¸stwn proqwroÔme apì to tèlo pro thn arq . Apì thn te-leuta�a ex�swsh br�skoume to xn = b′n/a′nn, antikajistoÔme autì sthn proteleuta�a kailÔnoume w pro xn−1 k.o.k., opìte h lÔsh ja d�netai apì ti ekfr�sei

xk = (b′k −n∑

j=k+1

a′kjxj)/a

′kk, k = n(−1)1. (5.12)H diadikas�a metatrop  tou sust matos(5.2) sto (5.11) kale�tai apaloif  en¸ aut th eÔresh twn xk apì ti (5.12) pro ta p�sw antikat�stash.Shme�wsh: Profan¸ oi tÔpoi (5.12) isqÔoun an a′

kk 6= 0 gia ìla ta k. An gia k�poiok, a′

kk = 0 tìte an h ant�stoiqh ex�swsh e�nai th morf  0 = 0 to ant�stoiqo xk or�zetaiauja�reta kai to sÔsthma èqei �peire lÔsei . An èstw kai m�a apì ti exis¸sei autè den ikanopoie� th 0 = 0 tìte to sÔsthma den èqei lÔsh.K�tw apì orismène pro�pojèsei gia ton p�naka A apodeiknÔetai ìti h diadikas�aapaloif  proqwr�ei qwr� na qreiaste� na all�xoume th seir� twn exis¸sewn. Upojè-toume ìti plhroÔntai autè oi pro�pojèsei gia na perigr�youme th mèjodo.Jètoume A(1) = A, b(1) = b kai jewroÔme ìti a(1)11 6= 0. Br�skoume sth sunèqeia tou arijmoÔ mj1 = a

(1)j1 /a

(1)11 , j = 2(1)n, pou kaloÔntai pollaplasiastè . To stoiqe�o a

(1)11 ,pou emfan�zetai stou paronomastè , ja kale�tai odhgì kai h ant�stoiqh gramm  odhgì gramm . Pollaplasi�zoume ta stoiqe�a th pr¸th gramm  ep� ton pollaplasiast 

56 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNmj1 kai afairoÔme ta ginìmena pou br�skoume apì ta ant�stoiqa stoiqe�a th j sth seir�gramm  . 'Etsi ta nèa stoiqe�a th j sth seir� gramm  ja e�nai a(2)

jl = a(1)jl −mjla

(1)1l , l =

1(1)n. To �dio g�netai kai me to di�nusma b opìte to j sth seir� stoiqe�o tou g�netai b(2)j =

b(1)j −mjlb

(1)1 . E�nai fanerì apì ton orismì twn pollaplasiast¸n ìti a(2)

j1 = 0, j = 2(1)n.Me th diadikas�a pou mìli ektelèsame, apale�yame ìla ta stoiqe�a th pr¸th st lh pou e�nai k�tw apì th diag¸nio kai katal xame sto isodÔnamo sÔsthma A(2)x = b(2) meA(2) =

a(1)11 a

(1)12 · · · a

(1)1n

a(2)22 · · · a

(2)2n... . . . ...

a(2)n2 · · · a(2)

nn

. (5.13)Upojètoume ìti h diadikas�a aut  apaloif  èqei ekteleste� me an�logo trìpo k − 1forè kai briskìmaste sthn arq  th efarmog  th gia k-ost  for�, opìte èqoumekatal xei sto isodÔnamo sÔsthma A(k)x = b(k) me

A(k) =

a(1)11 a

(1)12 · · · a

(1)1k · · · a

(1)1n

a(2)22 · · · a

(2)2k · · · a

(2)2n. . .

a(k)kk · · · a

(k)kn

a(k)k+1,k · · · a

(k)k+1,n

a(k)nk · · · a(k)

nn

. (5.14)Upojètoume ìti a(k)

kk 6= 0 Sth sunèqeia or�zoume tou pollaplasiastè mjk = a(k)jk /a

(k)kk , j =

k +1(1)n, pollaplasi�zoume ta stoiqe�a th k sth seir� gramm  ep� mjk kai ta ginìme-na afairoÔme apì ta ant�stoiqa stoiqe�a th j sth seir� gramm  . Ta prokÔptonta nèastoiqe�a d�nontai apì ti sqèsei a(k+1)jl = a

(k)jl − mjka

(k)kl , j = k + 1(1)n, l = k + 1(1)n,en¸ èqoume apale�yei ìla ta stoiqe�a th k + 1 st lh pou e�nai k�tw apì th diag¸nio.Ta stoiqe�a tou b g�nontai b

(k+1)j = b

(k)j − mjkb

(k)k .Ektel¸nta thn �dia diadikas�a, met� apì ta n − 1 b mata th apaloif  ja prokÔyei o�nw trigwnikì p�naka U = A(n) = A′.Oi pro�pojèsei pou jèsame gia na g�nei h apaloif  mèqri tèlou , qwr� allagè gram-m¸n, e�nai ìti ta stoiqe�a a

(k)kk pou emfan�zontai stou paronomastè e�nai mh mhdenik�.Se ant�jeth per�ptwsh prèpei na g�noun allagè gramm¸n, k�ti pou ja antimetwp�soumesthn epìmenh par�grafo.K�tw apì autè th pro�pojèsei kai sÔmfwna me th diadikas�a pou perigr�fthked�netai se morf  yeudok¸dika o klasikì algìrijmo apaloif  tou Gauss .

5.2. M�EJODOS APALOIF�HS TOU GAUSS 57Algìrijmo Apaloif  tou Gauss qwr� od ghshDedomèna: H di�stash n, o p�naka A kai to di�nusma bGia k = 1(1)n − 1 (b mata apaloif  )Gia j = k + 1(1)n

mjk = ajk/akkGia l = k + 1(1)n

ajl = ajl − mjkaklTèlo �Gia�bj = bj − mjkbkTèlo �Gia�Tèlo �Gia�Gia k = n(−1)1 (Pro ta p�sw antikat�stash)

sk = bkGia j = k + 1(1)n

sk = sk − akjxjTèlo �Gia�xk = sk/akkTèlo �Gia�Apotèlesma: H lÔsh tou sust mato e�nai to di�nusma xTèlo Algor�jmou.Profan¸ ston algìrijmo de qrhsimopoi same tou �nw de�kte sta stoiqe�a, k�tipou anagkast kame na k�noume gia thn kalÔterh perigraf  th diadikas�a , all� sti �die jèsei tou p�naka A kai tou dianÔsmato b anajètoume k�je for� ti nèe timè .Akìmh prèpei na parathr soume ìti, gia oikonom�a q¸rou, tou pollaplasiastè mjkmporoÔme na tou apojhkeÔsoume sti jèsei ajk afoÔ autè èqoun g�nei mhdèn kat� thnapaloif . 'Etsi, h telik  morf  tou p�naka A pou ja prokÔyei me thn ektèlesh toualgor�jmou, ja èqei ton p�naka U sto �nw trigwnikì mèro kai tou pollaplasiastè sto austhr� k�tw trigwnikì mèro .Ja prospaj soume na upolog�soume to kìsto tou algor�jmou Apaloif  tou Gauss:Gia thn eÔresh ìlwn twn pollaplasiast¸n mjk = a

(k)jk /a

(k)kk , j = k+1(1)n, k = 1(1)n−1apaitoÔntai ∑n−1

k=1(n − k) =∑n−1

k=1 k = n(n − 1)/2 diairèsei .Gia thn eÔresh ìlwn twn stoiqe�wn tou p�naka A kat� th diadikas�a th apaloif  a

(k+1)jl = a

(k)jl − mjka

(k)kl , j, l = k + 1(1)n, k = 1(1)n − 1, apaitoÔntai ∑n−1

k=1(n − k)2 =∑n−1

k=1 k2 = n(n − 1)(2n − 1)/6 pollaplasiasmo� kai �lle tìse afairèsei .Gia thn eÔresh ìlwn twn stoiqe�wn tou dianÔsmato b kat� th diadikas�a th apaloif  b(k+1)j = b

(k)j − mjkb

(k)k , j = k + 1(1)n, k = 1(1)n − 1 apaitoÔntai ∑n−1

k=1(n − k) =∑n−1

k=1 k = n(n − 1)/2 pollaplasiasmo� kai �lle tìse afairèsei .

58 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNTèlo gia ton upologismì th lÔsh x kat� th diadikas�a th pro ta p�sw antikat�-stash apaitoÔntai ∑nk=1(n− k) =

∑n−1k=1 k = n(n− 1)/2 pollaplasiasmo�, �lle tìse prosjèsei kai n diairèsei .To kìsto loipìn tou algor�jmou sun�statai kur�w ston upologismì twn stoiqe�wntou A kat� thn apaloif  kai e�nai O(13n3).D�noume ed¸ èna par�deigma:Par�deigma 1:Na luje� to grammikì sÔsthma

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

x1

x2

x3

=

101

me th mèjodo apaloif  tou Gauss .Gr�foume ta stoiqe�a tou p�naka A(1) = A upogramm�zonta to odhgì stoiqe�o,d�pla ta stoiqe�a tou b(1) = b kai mprost� apì thn k�je ex�swsh upolog�zoume tou pollaplasiastè ¸ste na g�nei to pr¸to b ma apaloif  :mj1 A(1) b(1)

−12

0

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

101Kat� to deÔtero b ma apaloif  ja èqoume:

mj2 A(2) b(2)

−23

2 −1 032

−1

−1 2

112

1Telik� pa�rnoume to �nw trigwnikì sÔsthma:A(3) b(3)

2 −1 032

−143

11243Kat� thn pro ta p�sw antikat�stash pa�rnoume:

x3 =4343

= 1, x2 =12

+ 1 × 132

= 1, x1 =1 + 1 × 1 − 0 × 1

2= 1,pou e�nai h akrib  lÔsh tou sust mato .

5.2. M�EJODOS APALOIF�HS TOU GAUSS 59Shmei¸noume ed¸ ìti apodeiknÔetai, efarmìzonta jewr�a pin�kwn, ìti kat� thn dia-dikas�a apaloif  tou Gauss ousiastik� g�netai paragontopo�hsh tou p�naka A th morf  :A = LU, (5.15)ìpou o p�naka L e�nai o k�tw trigwnikì p�naka me tou pollaplasiastè sti ant�-stoiqe jèsei kai mon�de sth diag¸nio:

L =

1m21 1m31 m32 1m41 m42 m43 1... ... ... ... . . .

mn−1,1 mn−1,2 mn−1,3 mn−1,4 · · · 1mn1 mn2 mn3 mn4 · · · mn,n−1 1

(5.16)SÔmfwna me thn paragontopo�hsh (5.15) to sÔsthma Ax = b g�netai LUx = b kai anjèsoume me Ux = y tìte to arqikì sÔsthma (5.1) isoduname� me th lÔsh diadoqik� twnsusthm�twn

Ly = b , Ux = y. (5.17)To pr¸to e�nai k�tw trigwnikì sÔsthma kai lÔnetai me pro ta emprì antikat�stashen¸ to deÔtero �nw trigwnikì kai lÔnetai me pro ta p�sw antikat�stash.H paragontopo�hsh (5.15) bohj�ei polÔ ìtan èqoume na lÔsoume poll� sust mata maton �dio p�naka A kai diaforetik� deÔtera mèlh. K�noume sthn arq  thn paragontopo�hshme kìsto O(13n3) kai sth sunèqeia lÔnoume diadoqik� ta sust mata me pro ta emprì kai pro ta p�sw antikat�stash. To epiplèon kìsto gia k�je sÔsthma e�nai O(n2) pouden epibarÔnei to sunolikì kìsto . Gia thn eÔresh tou antistrìfou A−1, èqoume nalÔsoume ta n grammik� sust mataAx(i) = e(i), i = 1(1)n, opìte to sunolikì kìsto g�netai O(4

3n3).5.2.1 Mèjodo Apaloif  tou Gauss me merik  od ghshSthn prohgoÔmenh par�grafo upojèsame ìti ta stoiqe�a a

(k)kk e�nai mh mhdenik�. Seant�jeth per�ptwsh e�maste anagkasmènoi na k�noume allagè exis¸sewn. Ja doÔmesunolik� ed¸ to prìblhma twn enallag¸n exis¸sewn afoÔ pr¸ta k�noume mia stoi-qei¸dh an�lush th sumperifor� twn sfalm�twn stroggÔleush kat� ta st�dia th apaloif  .Upojètoume ìti ta stoiqe�a ajl, j, l = 1(1)n, tou p�naka A = A(1), apojhkeÔontaistroggulemèna w ajl, èqoume dhlad  sf�lmata e

(1)jl . 'Estw ìti ta sf�lmata aut� èqounapìluto �nw fr�gma e, dhlad  |e(1)

jl | ≤ e. A upojèsoume akìmh ìti stou pollapla-siastè den eisqwroÔn sf�lmata kai br�skontai akrib¸ . Tìte, met� to pr¸to b ma th

60 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNapaloif  ta nèa stoiqe�a tou p�naka A(2), ja e�naia

(2)jl = a

(1)jl − mj1a

(1)1l , j, l = 2(1)n.'Eqonta upìyh ìti oi ant�stoiqe akribe� sqèsei th apaloif  e�nai oi

a(2)jl = a

(1)jl − mj1a

(1)1l , j, l = 2(1)n,èqoume amèsw me afa�resh kat� mèlh twn dÔo parap�nw sqèsewn ìti ta sf�lmata stanèa upologizìmena stoiqe�a tou p�naka A(2) ja d�nontai apì ti

e(2)jl = a

(2)jl − a

(2)jl = e

(1)j1 − mj1e

(1)1l , j, l = 2(1)n.Pa�rnoume apìlute timè sti parap�nw isìthte kai br�skoume fr�gmata twn sfalm�-twn

|e(2)jl | ≤ |e(1)

j1 | + |mj1||e(1)1l | ≤ (1 + |mj1|)e, j, l = 2(1)n.ParathroÔme ed¸ ìti to apìluto mègejo twn pollaplasiast¸n pa�zei shmantikì rìlosth met�dosh twn sfalm�twn apì b ma se b ma. 'Oso mikrì g�nei o pollaplasiast  tìso mikrìterh ja e�nai h epib�runsh se sf�lmata apì b ma se b ma. Epilègoume loipìn,mèsa apì th dunatìthta enallag  gramm¸n, to mègisto dunatì odhgì stoiqe�o ¸stena èqoume ton el�qisto dunatì pollaplasiast . ProkÔptoun kat� autìn ton trìpo oiakìlouje duo strathgikè od ghsh :Merik  Od ghsh: Sthn arq  tou k-ostoÔ b mato th apaloif  jewroÔme w odhgìstoiqe�o to mègisto apìluta stoiqe�o apì ta a

(k)jk , j = k(1)n. An autì br�sketai sthn

l sth seir� gramm , jewroÔme aut n w odhgì gramm  ant� th k kai suneq�zoume thnapaloif .Olik  Od ghsh: Sthn arq  tou k-ostoÔ b mato th apaloif  jewroÔme w odhgìstoiqe�o to mègisto apìluta stoiqe�o apì ta a(k)jl , j, l = k(1)n. ParathroÔme dhla-d  ìti sthn olik  od ghsh den all�zoume ousiastik� mìno grammè all� kai st le .All�zoume dhlad  kai th seir� twn agn¸stwn.H merik  od ghsh apaite� gia thn eÔresh tou apìluta megalÔterou stoiqe�ou pr�xei th t�xh O(n2) en¸ aut  th olik  pr�xei th t�xh O(n3). Apì thn �poyh toukìstou h merik  od ghsh pleonekte� ènanti th olik  . Apì thn �llh pleur� h olik fa�netai na e�nai akribèsterh ki asfalèsterh th merik  . Up�rqoun sust mata poukam�a apì ti duo den e�nai axiìpiste . Sti perissìtere efarmogè protim�tai h merik od ghsh, w oikonomikìterh, kai m� aut  ja asqolhjoÔme.Ton�zetai ìti de qrei�zetai sthn pragmatikìthta na enall�ssoume ti ant�stoiqe grammè . Arke� na g�netai katagraf  twn ant�stoiqwn enallag¸n tou . Gia to skopìautì ja qrhsimopoihje� bohjhtikì di�nusma, èstw to i, pou ja katagr�fei ti enal-lagè . Gia par�deigma sto ik stoiqe�o, ja èqei katagrafe� o akèraio pou ja dhl¸neith seir� th ex�swsh pou  tan odhgì kat� to k st�dio th apaloif  . K�je for�

5.2. M�EJODOS APALOIF�HS TOU GAUSS 61pou e�nai na all�xoun jèsh h k kai h l gramm , ja enall�ssoun timè mìno ta stoiqe�aik kai il. H diadikas�a th apaloif  kaj¸ kai th pro ta p�sw antikat�stash jaakolouje� th seir� tou dianÔsmato i kai ìqi th fusik  seir�. Profan¸ sthn arq prèpei na anateje� h fusik  seir� sta stoiqe�a tou i, iT = [1 2 3 · · · n].Sth sunèqeia ja d¸soume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo th apaloif  touGauss me merik  od ghsh.Algìrijmo Apaloif  tou Gauss me merik  od ghshDedomèna: H di�stash n, o p�naka A kai to di�nusma bGia k = 1(1)n

ik = kTèlo �Gia�Gia k = 1(1)n − 1 (b mata apaloif  )max = |aikk|; l = kGia j = k + 1(1)nAn |aijk| > max

max = |aijk|; l = j (shme�wsh th jèsh tou megalÔterou stoiqe�ou)Tèlo �An�Tèlo �Gia�c = il; il = ik; ik = c (allag  twn deikt¸n il me ton ik)Gia j = k + 1(1)n

mijk = aijk/aikkGia l = k + 1(1)n

aij l = aij l − mijkaiklTèlo �Gia�bij = bij − mijkbikTèlo �Gia�Tèlo �Gia�Gia k = n(−1)1 (Pro ta p�sw antikat�stash)

sk = bikGia j = k + 1(1)n

sk = sk − aikjxjTèlo �Gia�xk = sk/aikkTèlo �Gia�Apotèlesma: H lÔsh tou sust mato e�nai to di�nusma xTèlo Algor�jmou.

62 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNPar�deigma 2:Na luje� to grammikì sÔsthma

2 1 34 1 11 1 1

x1

x2

x3

=

1396

me th mèjodo apaloif  tou Gauss me merik  od ghsh.'Opw kai sto prohgoÔmeno par�deigma gr�foume ta stoiqe�a tou p�naka A(1) = Aupogramm�zonta to odhgì stoiqe�o, d�pla ta stoiqe�a tou b(1) = b kai mprost� apì thnk�je ex�swsh upolog�zoume tou pollaplasiastè . Epiplèon sto tèlo ja d�noume k�jefor� kai to di�nusma i pou ja katagr�fei th seir� twn exis¸sewn. 'Etsi kat� thn pr¸thepan�lhyh ja èqoume:mj1 A(1) b(1) i

12

14

2 1 34 1 11 1 1

1396

213Brèjhke h deÔterh w odhgì ex�swsh opìte ègine enallag  tim¸n i1 = 2 kai i2 = 1.Kat� to deÔtero b ma apaloif  ja èqoume:

mj2 A(2) b(2) i23

0.5 2.54 1 1

0.75 0.75

8.59

3.75

231Brèjhke h tr�th w odhgì ex�swsh opìte ègine enallag  tim¸n i2 = 3 kai i3 = 2. Totelikì sÔsthma ja e�nai:

A(3) b(3) i2

4 1 10.75 0.75

69

3.75

231Kat� thn pro ta p�sw antikat�stash akoloujoÔme th seir� pou epit�ssei to di�nusmade�kth i. LÔnoume thn i3 pou e�nai h pr¸th, suneq�zoume me thn i2 pou e�nai h tr�th kaitelei¸noume me thn i1pou e�nai h deÔterh. Telik� èqoume:

x3 =6

2= 3, x2 =

3.75 − 0.75 × 3

0.75= 2, x1 =

9 − 1 × 2 − 1 × 3

4= 1,pou e�nai h akrib  lÔsh tou sust mato .

5.3. EPANALHPTIK�ES M�EJODOI 635.3 Epanalhptikè MèjodoiOi �mese mèjodoi en¸ kataskeu�sthkan gia na epilÔoun me akr�beia to sÔsthma, sthnpr�xh apode�qthke ìti, lìgw twn sfalm�twn stroggÔleush tou upologist , prosegg�-zoun th lÔsh. Se orismène m�lista peript¸sei h suss¸reush twn sfalm�twn dhmiour-ge� anexèlegkte katast�sei , me sunèpeia na d�noun mh axiìpisth lÔsh. To gegonì autì ma odhge� sth skèyh ìti afoÔ den e�nai dunatìn na breje� h akrib  lÔsh �sw ja tan dunatìn na qrhsimopoihje� mèjodo h opo�a ja anazht�, ant� th akriboÔ lÔsh ,mia polÔ kal  prosèggis  th . P�nw sth logik  aut  èqoun protaje� kat� kairoÔ ,arq  genomènh apì ta tèlh tou 19ou ai¸na, di�fore mèjodoi oi opo�e an koun sthnkathgor�a twn epanalhptik¸n mejìdwn. Sthn pr�xh apodeiknÔontai p�ra polÔ apote-lesmatikè kai axiìpiste idia�tera ìtan o p�naka twn suntelest¸n twn agn¸stwn tousust mato e�nai meg�lo kai araiì . Ja lème ìti èna p�naka e�nai araiì , ìtan topl jo twn mh mhdenik¸n stoiqe�wn e�nai grammik  sun�rthsh th di�stash n kai hkatanom  twn dièpetai apì k�poiou kanìne . Gia par�deigma èna tridiag¸nio p�naka èqei mìno 3n−2 mh mhdenik� stoiqe�a ta opo�a ekte�nontai kat� m ko twn tri¸n kentri-k¸n diagwn�wn. Teleuta�a, oi epanalhptikè mèjodoi èqoun g�nei polÔ dhmofile� diìtie�nai katallhlìtere gia thn ep�lush problhm�twn ìtan qrhsimopoie�tai Upologist  Par�llhlh Arqitektonik  .H basik  idèa mia klasik  epanalhptik  mejìdou e�nai h ex  . Xekin�me katarq napì m�a auja�reth prosèggish th lÔsh , èstw x(0), kai me b�sh k�poion epanalhptikìalgìrijmo kataskeÔazomai diadoqik� tou ìrou mia akolouj�a {x(k)}∞k=0, h opo�a, k�-tw apì orismène pro�pojèsei , sugkl�nei sth lÔsh tou sust mato . Pio sugkekrimèna,èstw to pragmatikì sÔsthmaAx = b. (5.18)JewroÔme mia di�spash tou p�naka A

A = M − N (5.19)me tou periorismoÔ :a) O p�naka M na e�nai antistrèyimo , kaib) 'Ena grammikì sÔsthma me p�naka suntelest¸n agn¸stwn ton M na lÔnetai me polÔligìtere pr�xei apì èna �llo me p�naka ton A.AntikajistoÔme thn (5.19) sthn (5.18) kai anadiat�ssonta èqoumeMx = Nx + b. (5.20)An pollaplasi�soume aut n apì arister� me ton ant�strofo tou M , g�netai isodÔnamhme th

x = Tx + c, ìpou T := M−1N, c := M−1b. (5.21)H nèa ex�swsh (5.21), lègetai ex�swsh stajeroÔ shme�ou, e�nai isodÔnamh me to arqikìsÔsthma (5.18) kai ma odhge� sthn idèa th kataskeu  tou anadromikoÔ tÔpoux(k+1) = Tx(k) + c, k = 0, 1, 2, · · · , me x(0) ∈ IRn opoiod pote. (5.22)

64 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNAut  h sqèsh or�zei mia epanalhptik  mèjodo   ènan epanalhptikì algìrijmo. O p�na-ka T e�nai gnwstì w epanalhptikì p�naka .O epanalhptik  mèjodo (5.22) par�gei akolouj�a dianusm�twn {x(k)}∞k=0, h opo�a, k�twapì orismène pro�pojèsei , sugkl�nei sth lÔsh x = A−1b tou (5.18). EÔkola mpore�na apodeiqte�, pa�rnonta ìria sta duo mèlh, ìti an h mèjodo (5.22) par�gei akolouj�asugkl�nousa aut  ja sugkl�nei sth lÔsh x = A−1b. H anagka�a kai ikan  sunj kh giath sÔgklish th akolouj�a {x(k)}∞k=0 d�netai sthn parak�tw prìtash.Prìtash 6:Anagka�a kai ikan  sunj kh gia th sÔgklish twn paragìmenwn apì ton algìrijmo (5.22)dianusm�twn sth lÔsh x = A−1b tou sust mato (5.18) e�nai hρ(T ) < 1. (5.23)Apìdeixh:Katarq n eis�goume to di�nusma-sf�lma sthn k epan�lhyh or�zonta

e(k) = x(k) − x. (5.24)Afair¸nta kat� mèlh th sqèsh (5.21) apì thn (5.22) kai qrhsimopoi¸nta thn (5.24)pa�rnoume thn anadromik  sqèsh pou isqÔei gia ta sf�lmatae(k+1) = Te(k), k = 0, 1, 2, · · · , e(0) ∈ IRn. (5.25)Me apl  epagwg  br�skoume ìtie(k) = T ke(0), k = 0, 1, 2, · · · , e(0) ∈ IRn. (5.26)Efìson epizhtoÔme na èqoume sÔgklish, lim x

(k)k→∞ = A−1b, gia opoiod pote x(0), japrèpei isodÔnama, lim e

(k)k→∞ = 0 gia opoiod pote e(0). Epeid  to e(0) e�nai stajerì mhmhdenikì di�nusma, gia na sugkl�nei aut  h akolouj�a ja prèpei anagkastik� h ako-louj�a dun�mewn tou T , (T k) na sugkl�nei sto mhdenikì p�naka. ApodeiknÔetai apì thjewr�a th Grammik  'Algebra , ìti anagka�a kai ikan  sunj kh gia th sÔgklish th akolouj�a aut  (lim T kk→∞ = 0) e�nai h ρ(T ) < 1. ApodeiknÔetai ep�sh ìti ìso mikrì-terh e�nai h fasmatik  akt�na, tìso taqÔtera sugkl�nei h mèjodo . Gia th mètrhsh aut  th taqÔthta èqei jespiste� o ìro Asumptwtik  TaqÔthta SÔgklish pou or�zetaiapì th sqèsh

R(T ) = − log(ρ(T )). (5.27)Apìrroia th prìtash aut  e�nai h epìmenh prìtashPrìtash 7:Mia ikan  sunj kh gia th sÔgklish tou algìrijmou (5.22) sth lÔsh tou sust mato (5.18) e�nai h||T || < 1, (5.28)

5.3. EPANALHPTIK�ES M�EJODOI 65gia mia opoiad pote fusik  nìrma.Apìdeixh:H apìdeixh e�nai profan  afoÔ lìgw th gnwst  sqèsh ρ(T ) ≤ ||T ||, pou e�dame sthpar�grafo th basik  jewr�a , isqÔei h prohgoÔmenh Prìtash.Prèpei na toniste� ed¸ ìti h prìtash aut  den e�nai anagka�a, dhlad  an broÔme gia miafusik  nìrma na isqÔei ||T || ≥ 1, autì de shma�nei ìti h mèjodo apokl�nei, apl¸ denèqoume kanèna sumpèrasma.Met� thn an�lush pou prohg jhke to sumpèrasma sto opo�o katal gei kane� s� ì,tiafor� thn epilog  tou p�naka M sthn (5.19) e�nai ìti pèra apì tou dÔo periorismoÔ pou prèpei na plhroÔntai prèpei akìmh o M na epilègetai ètsi ¸ste afenì ρ(T ) ≡ρ(M−1N) < 1 kai afetèrou h ρ(T ) na e�nai ìso to dunatìn mikrìterh. Oi parathr sei autè , sqetik� me thn epilog  tou M kajistoÔn �sw fanerì ìti aut  den e�nai p�ntatìso eÔkolh. Sth sunèqeia ja asqolhjoÔme me klasikè peript¸sei epilog  tou M .5.3.1 Mèjodo JacobiOi klasikè epanalhptikè mèjodoi bas�zontai sth di�spash tou p�naka A twn suntele-st¸n twn agn¸stwn

A = D − L − U, (5.29)ìpou D = diag(A), dhlad , diag¸nio p�naka me diag¸nia stoiqe�a ta ant�stoiqa touA, L austhr� k�tw trigwnikì kai U austhr� �nw trigwnikì . 'Opw e�nai fanerì hdi�spash (5.29) or�zetai monos manta.Sth mèjodo tou Jacobi o p�naka M or�zetai w to diag¸nio mèro tou A (M = D).S� ì,ti afor� thn ikanopo�hsh twn duo basik¸n periorism¸n pou aforoÔn ston p�na-ka M diapist¸noume ta akìlouja. O M e�nai antistrèyimo ann det(M) = det(D) =

a11a22 · · ·ann 6= 0. Epomènw h mèjodo Jacobi mpore� na oriste� ann aii 6= 0, i = 1(1)n.Akìmh e�nai profanè ìti èna grammikì sÔsthma me p�naka suntelest¸n agn¸stwnM = D gia na luje� apaite� mìno n diairèsei en¸ èna sÔsthma me p�naka suntelest¸nagn¸stwn A apaite� O(n3) pr�xei me th mèjodo apaloif  Gauss . 'Ara ikanopoie�taikai o deÔtero periorismì . S' ì,ti afor� th sÔgklish th mejìdou ta p�nta exart¸ntaiapì to an ρ(T ) = ρ(M−1N) = ρ(D−1(L + U)) < 1, opìte h mèjodo sugkl�nei alli¸ de sugkl�nei.Se morf  pin�kwn h mèjodo tou Jacobi e�nai h akìloujh

x(k+1) = D−1(L + U)x(k) + D−1b, k = 0, 1, 2, · · · , me x(0) ∈ IRn opoiod pote. (5.30)Gia thn eÔresh twn sunistws¸n tou nèou dianÔsmato x(k+1) sthn k epan�lhyh polla-plasi�zoume ta mèlh th (5.30) apì ta arister� ep� D, opìte prokÔpteiDx(k+1) = (L + U)x(k) + b.

66 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNAn t¸ra ektelèsoume ti pr�xei kai sta dÔo mèlh kai exis¸soume ti i sth seir� suni-st¸se twn dianusm�twn twn dÔo mel¸n kai lÔsoume w pro x(k+1)i pa�rnoume amèsw ìti

x(k+1)i = (bi −

n∑

j=1, j 6=i

aijx(k)j )/aii, i = 1(1)n. (5.31)Aut  h anadromik  sqèsh ma d�nei ousiastik� kai ton algìrijmo th mejìdou Jacobi.Apì thn (5.31) èqoume ìti to kìsto tou algor�jmou gia ton upologismì mia sunist¸sa e�nai O(n) epomènw gia thn ektèlesh mia epan�lhyh to kìsto ja e�nai O(n2). Anupojèsoume ìti ja qreiastoÔn m epanal yei gia na epèljei sÔgklish, to telikì kìsto tou algor�jmou ja e�nai O(mn2). Sthn per�ptwsh pou to m e�nai th t�xh tou n, tìte hmèjodo de ja e�nai taqÔterh apì mia �mesh mèjodo. Sti perissìtere ìmw peript¸sei o arijmì twn epanal yewn e�nai anex�rthto tou n kai e�nai kat� polÔ mikrìtero apìautìn. Tìte h epanalhptik  mèjodo e�nai apotelesmatik . Eke�no pou apomènei e�naina apofas�soume poio ja e�nai to krit rio termatismoÔ th diadikas�a .K�noume thn paradoq  ed¸, ìpw kai sto kef�laio th Arijmhtik  Ep�lush Exi-s¸sewn, na jewroÔme w sf�lma th diafor� twn duo teleuta�wn epanal yewn. 'Etsi,ta sunhjismèna krit ria termatismoÔ th diadikas�a e�nai

||x(k+1) − x(k)|| ≤ ǫ kai ||x(k+1) − x(k)||||x(k+1)|| ≤ η,gia opoiad pote nìrma, ìpou ǫ kai η e�nai mikro� jetiko� arijmo�. To pr¸to krit riopa�zei to rìlo tou apìlutou sf�lmato , en¸ to deÔtero pa�zei to rìlo tou apìlutousqetikoÔ sf�lmato . Sugkekrimèna, an zht�me prosèggish th lÔsh me m dekadik�yhf�a jewroÔme to pr¸to krit rio me th nìrma �peiro kai ǫ = 0.5×10−m, en¸ an zht�meprosèggish th lÔsh me m shmantik� yhf�a jewroÔme to deÔtero krit rio me th nìrma�peiro kai η = 0.5 × 10−m.D�noume sth sunèqeia ton algìrijmo se morf  yeudok¸dika jewr¸nta to pr¸to kri-t rio w krit rio termatismoÔ.Algìrijmo Epanalhptik  mejìdou JacobiDedomèna: H di�stash n, o p�naka A, to di�nusma b kai to sf�lma ǫGia i = 1(1)n

yi = 0Tèlo �Gia�d = 1Efìson d > ǫGia i = 1(1)n

s = biGia j = 1(1)i − 1

s = s − aijyjTèlo �Gia�

5.3. EPANALHPTIK�ES M�EJODOI 67Gia j = i + 1(1)n

s = s − aijyjTèlo �Gia�xi = s/aiiTèlo �Gia�

d = 0Gia i = 1(1)nAn |xi − yi| > d

d = |xi − yi|Tèlo �An�yi = xiTèlo �Gia�Tèlo �Efìson�Apotèlesma: H lÔsh tou sust mato prosegg�zetai apì to di�nusma xTèlo Algor�jmou.D�noume ed¸ èna par�deigma efarmog  th mejìdou.Par�deigma 3:Na exetaste� w pro th sÔgklish h mèjodo Jacobi gia th lÔsh tou grammikoÔ sust -mato

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

x1

x2

x3

=

101

.Se per�ptwsh sÔgklish na g�noun trei epanal yei me x(0) to mhdenikì di�nusma.O epanalhptikì p�naka e�naiT = D−1(L + U) =

12

0 00 1

20

0 0 12

0 1 01 0 10 1 0

=

0 1

20

12

0 12

0 12

0

.ParathroÔme ìti den plhroÔtai h ikan  sunj kh gia kam�a apì ti nìrme 1 kai �peiro,diìti ||T ||1 = ||T ||∞ = 1, opìte ja prèpei na broÔme th fasmatik  akt�na. Oi idiotimè tou T d�nontai apì thn ex�swsh det(T − λI) = 0, dhlad det(T − λI) = det

−λ 1

20

12

−λ 12

0 12

−λ

= −λ3 +1

2λ = 0.Oi r�ze aut  e�nai λ1 = 0, λ2 =

√2

2kai λ3 = −

√2

2. Oi duo teleuta�e d�noun thfasmatik  akt�na ρ(T ) =

√2

2< 1, pou shma�nei ìti h mèjodo sugkl�nei.

68 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWND�noume sth sunèqeia ti trei epanal yei . H anadromik  sqèsh (5.31), gia to par�-deigm� ma , g�netaix

(k+1)1 = (1 + x

(k)2 )/2

x(k+1)2 = (x

(k)1 + x

(k)3 )/2

x(k+1)3 = (1 + x

(k)2 )/2

, k = 0, 1, · · · .Xekin¸nta me x(0) = 0, oi trei pr¸te epanal yei d�noun:x(1) =

12

012

, x(2) =

(1 + 0)/2(1

2+ 1

2)/2

(1 + 0)/2

=

121212

, x(3) =

(1 + 1

2)/2

(12

+ 12)/2

(1 + 12)/2

=

341234

.ParathroÔme ìti oi ìroi th akolouj�a kateujÔnontai pro th lÔsh x = [1 1 1]T .5.3.2 Mèjodo Gauss-SeidelSthn per�ptwsh th mejìdou twn Gauss-Seidel kai me b�sh p�nta th di�spash (5.29)epilègetai M = D−L. Gia na up�rqei h mèjodo ja prèpei na up�rqei o ant�strofo touD−L, pou e�nai k�tw trigwnikì p�naka . Autì e�nai antistrèyimo ann det(D−L) 6=0, pou isoduname� me aii 6= 0 i = 1(1)n, ìpw akrib¸ kai sth mèjodo tou Jabobi.Akìmh, èna sÔsthma me p�naka suntelest¸n agn¸stwn D−L, lÔnetai me pro ta emprì antikatast�sei me kìsto O(n2) kai epomènw e�nai oikonomikìtero apì èna sÔsthmame p�naka suntelest¸n A. Ikanopoie�tai loipìn kai o deÔtero periorismì . H mèjodo twn Gauss-Seidel d�netai epomènw apì thn anadromik  sqèshx(k+1) = (D−L)−1Ux(k) +(D−L)−1b, k = 0, 1, · · · , me x(0) ∈ IRnopoiod pote. (5.32)Gia th sÔgklish th mejìdou ja prèpei ρ((D − L)−1U) < 1. Gia thn eÔresh analuti-k¸n ekfr�sewn gia ti sunist¸se tou nèou dianÔsmato ergazìmaste ìpw kai prin.Pollaplasi�zoume apì ta arister� ta mèlh th (5.32) ep� D − L kai pa�rnoume

(D − L)x(k+1) = Ux(k) + b.Sth sunèqeia metafèronta to Lx(k+1) sto deÔtero mèlo èqoumeDx(k+1) = Lx(k+1) + Ux(k) + b.Tèlo , exis¸noume ti i sth seir� sunist¸se twn dÔo mel¸n kai lÔnoume w pro x

(k+1)i ,opìte èqoume

x(k+1)i = (bi −

i−1∑

j=1

aijx(k+1)j −

n∑

j=i+1

aijx(k)j )/aii, i = 1(1)n. (5.33)

5.3. EPANALHPTIK�ES M�EJODOI 69ParathroÔme ed¸ ìti to kìsto th mejìdou an� epan�lhyh e�nai akrib¸ to �dio me eke�-no th mejìdou Jacobi , epomènw isqÔoun akrib¸ ta �dia sqìlia. K�nonta kai ed¸ ti �die jewr sei , sqetik� me to krit rio termatismoÔ th diadikas�a , ìpw akrib¸ sthmèjodo Jacobi, d�noume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo th mejìdou Gauss-Seidel.Algìrijmo Epanalhptik  mejìdou Gauss-SeidelDedomèna: H di�stash n, o p�naka A, to di�nusma b kai to sf�lma ǫGia i = 1(1)n

xi = 0Tèlo �Gia�d = 1Efìson d > ǫ

d = 0Gia i = 1(1)n

s = biGia j = 1(1)i − 1

s = s − aijxjTèlo �Gia�Gia j = i + 1(1)n

s = s − aijxjTèlo �Gia�s = s/aiiAn |s − xi| > d

d = |s − xi|Tèlo �An�xi = sTèlo �Gia�Tèlo �Efìson�Apotèlesma: H lÔsh tou sust mato prosegg�zetai apì to di�nusma xTèlo Algor�jmou.D�noume ed¸ èna par�deigma efarmog  th mejìdou.Par�deigma 4:Na exetaste� w pro th sÔgklish h mèjodo Gauss-Seidel gia th lÔsh tou grammikoÔsust mato

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

x1

x2

x3

=

101

.

70 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNSe per�ptwsh sÔgklish na g�noun trei epanal yei me x(0) to mhdenikì di�nusma kaina g�nei sÔgkrish me th mèjodo Jacobi (Par�deigma 3).O epanalhptikì p�naka e�nai T = (D − L)−1U . Gia thn eÔresh tou (D − L)−1lÔnoume me pro ta emprì antikatast�sei ta tr�a sust mata, me p�naka suntelest¸nagn¸stwn ton (D − L) kai deÔtera mèlh ti st le tou monadia�ou p�naka I, dhlad :(D − L)X = I ⇐⇒

2 0 0−1 2 00 −1 2

X =

1 0 00 1 00 0 1

.LÔnonta pa�rnoume(D − L)−1 =

12

0 014

12

018

14

12

.Sth sunèqeia br�skoume ton epanalhptikì p�nakaT = (D − L)−1U =

12

0 014

12

018

14

12

0 1 00 0 10 0 0

=

0 1

20

0 14

12

0 18

14

.ParathroÔme ìti ||T ||1 = 12+ 1

4+ 1

8= 7

8< 1 kai ||T ||∞ = 1

2+ 1

4= 3

4< 1, plhroÔtai dhlad h ikan  sunj kh sÔgklish kai gia ti duo nìrme , epomènw h mèjodo sugkl�nei. Gialìgou sÔgkrish th mejìdou me th mèjodo Jacobi ja broÔme kai th fasmatik  akt�na.Oi idiotimè tou T d�nontai apì thn ex�swsh det(T − λI) = 0, dhlad 

det(T −λI) = det

−λ 1

20

0 14− λ 1

2

0 18

14− λ

= −λ[(1

4−λ)(

1

4−λ)− 1

2

1

8] = −λ3 +

1

2λ2 = 0.Oi r�ze aut  e�nai λ1 = λ2 = 0 kai λ3 = 1

2. H teleuta�a d�nei th fasmatik  akt�na

ρ(T ) = 12

< 1.D�noume sth sunèqeia ti trei epanal yei . H anadromik  sqèsh (5.33), gia to par�-deigm� ma , g�netaix

(k+1)1 = (1 + x

(k)2 )/2

x(k+1)2 = (x

(k+1)1 + x

(k)3 )/2

x(k+1)3 = (1 + x

(k+1)2 )/2

, k = 0, 1, · · · .Xekin¸nta me x(0) = 0, oi trei pr¸te epanal yei d�noun:x(1) =

(1 + 0)/2 = 1

2

(12

+ 0)/2 = 14

(1 + 14)/2 = 5

8

, x(2) =

(1 + 1

4)/2 = 5

8

(58

+ 58)/2 = 5

8

(1 + 58)/2 = 13

16

, x(3) =

(1 + 5

8)/2 = 13

16

(1316

+ 1316

)/2 = 1316

(1 + 1316

)/2 = 2932

.

5.3. EPANALHPTIK�ES M�EJODOI 71ParathroÔme ed¸ ìti oi ìroi th akolouj�a kateujÔnontai me megalÔterh taqÔthtapro th lÔsh x = [1 1 1]T . Autì exhge�tai apì to gegonì ìti h fasmatik  akt�na e�naimikrìterh eke�nh tou Jacobi, sugkekrimèna isqÔei ρ(TGS) = 12

= (√

22

)2 = (ρ(TJ ))2. Anaut  thn isìthta antikatast soume sthn (5.27) ja p�roume th sqèsh pou sugkr�nei th taqÔthte sÔgklish twn duo mejìdwn: R(TGS) = 2R(TJ). Dhlad  h Gauss-Seidelsugkl�nei me dipl�sia taqÔthta ènanti th Jacobi.An parathr sei kane� prosektik� ti mejìdou twn Jacobi kai Gauss-Seidel ja ide�ìti èqoun p�ra pollè omoiìthte kai sugqrìnw k�poie shmantikè diaforè . Idia�tera,autì mpore� na fane�, an h (5.31) grafte� ètsi ¸ste to �jroisma mèsa sthn parènjeshna diaspaste� se dÔo ajro�smatax

(k+1)i = (bi −

i−1∑

j=1

aijx(k)j −

n∑

j=i+1

aijx(k)j )/aii, i = 1(1)n, (5.34)tìte mpore� na diapistwje� to ex  . Gia thn eÔresh th sunist¸sa x

(k+1)i th nè-a epan�lhyh sth mèjodo tou Jacobi qrhsimopoioÔntai ìle oi �lle sunist¸se th prohgoÔmenh epan�lhyh en¸ sth mèjodo twn Gauss-Seidel qrhsimopoioÔntai ìle oi e-pìmene sunist¸se th prohgoÔmenh epan�lhyh kai ìle oi prohgoÔmene sunist¸se th trèqousa epan�lhyh . Gia to lìgo autìn ston algìrijmo Jacobi qrhsimopoi sameto di�nusma y gia thn apoj keush th prohgoÔmenh epan�lhyh kai to di�nusma x giathn trèqousa epan�lhyh. Prèpei na apojhkeutoÔn anagkastik� duo dianÔsmata, diìtiqrei�zontai ìle oi sunist¸se th prohgoÔmenh epan�lhyh èw ìtou oloklhrwje� oupologismì th trèqousa . Ant�jeta ston algìrijmo Gauss-Seidel qrhsimopoi samemìno to di�nusma x. K�je for� pou upolog�zetai mia sunist¸sa, apojhkeÔetai sthnant�stoiqh jèsh katarg¸nta thn prohgoÔmenh pou de qrei�zetai plèon. Gia thn eÔreshth nìrma th diafor� ¸ste na g�nei o èlegqo termatismoÔ, k�noume tou upologi-smoÔ gia k�je sunist¸sa akrib¸ prin thn kat�rghsh th prohgoÔmenh . Praktik�,sthn Gauss-Seidel qrhsimopoioÔntai ìle oi pio prìsfate diajèsime plhrofor�e . Toteleuta�o stoiqe�o �sw k�nei th mèjodo twn Gauss-Seidel elkustikìterh apì aut ntou Jacobi giat� fa�netai na pleonekte� sthn per�ptwsh sÔgklish . Pragmatik� èqeiparathrhje� ìti, se arketè kathgor�e problhm�twn pou proèrqontai kur�w apì dia-kritopo�hsh diaforik¸n exis¸sewn, h Gauss-Seidel uperèqei saf¸ th Jacobi. Autììmw den e�nai p�ntote alhjè . Up�rqoun peript¸sei ìpou h mèjodo tou Jacobi sug-kl�nei en¸ h mèjodo twn Gauss-Seidel apokl�nei! Akìmh, an èqoume sth di�jes  ma ènan Upologist  me par�llhlh arqitektonik , sth men mèjodo tou Jacobi e�nai dunatìnìle oi sunist¸se th nèa epan�lhyh na brejoÔn se èna qronikì b ma apì ìle ti prohgoÔmenh epan�lhyh en¸ sth mèjodo twn Gauss-Seidel autì den e�nai dunatìn.Ap� ì,ti mpore� na diapist¸sei kane� apì tou tÔpou (5.33) gia na breje� h sunist¸sa

x(k+1)2 ja prèpei na èqei breje� prohgoumènw h sunist¸sa x

(k+1)1 , gia na breje� h suni-st¸sa x

(k+1)3 ja prèpei na èqoun breje� prohgoumènw oi sunist¸se x

(k+1)2 kai x

(k+1)1

72 KEF�ALAIO 5. ARIJMHTIKH EPILUSH GRAMMIKWN SUSTHMATWNk.o.k. Ara, den e�nai dunatìn na brejoÔn ìle oi sunist¸se th nèa epan�lhyh seèna qronikì b ma, ìpw sthn per�ptwsh th mejìdou tou Jacobi. H mèjodo Jacobi e�naipl rw parallhl simh mèjodo en¸ h mèjodo Gauss-Seidel e�nai kajar� akoloujiak mèjodo . ASKHSEIS1) Na luje� to grammikì sÔsthma 3 1.5 11.5 1 0.751 0.75 0.6

x1

x2

x3

=

1

0.250.1

me thmèjodo apaloif  tou Gauss .2) Na luje� to grammikì sÔsthma 2 1 1 12 1 −1 14 2 2 −11 1 1 1

x1

x2

x3

q4

=

5374

me th mèjodoapaloif  tou Gauss me merik  od ghsh.3) Na ulopoihjoÔn oi algìrijmoi twn mejìdwn Gauss kai Gauss me merik  od ghshgia th lÔsh tou n × n pragmatikoÔ sust mato Ax = b.4) Na exetastoÔn w pro th sÔgklish oi mèjodoi Jacobi kai Gauss-Seidel gia thlÔsh tou grammikoÔ sust mato 2 0 −1−1 2 00 −1 2

x1

x2

x3

=

101

. Se per�ptwshsÔgklish na g�noun trei epanal yei me x(0) to mhdenikì di�nusma kai na g�nei sÔgkri-sh twn duo mejìdwn w pro thn taqÔthta sÔgklish .5) Na ulopoihjoÔn oi algìrijmoi twn mejìdwn Jacobi kai Gauss-Seidel gia th lÔshtou n × n pragmatikoÔ sust mato Ax = b me akr�beia 6 dekadik¸n yhf�wn. Na g�neiefarmog  ìtan o A e�nai tridiag¸nio me stoiqe�a 2 sthn kÔria diag¸nio kai −1 sti par�pleure diag¸niou , gia n = 10 kai n = 20.6) Na exetastoÔn w pro th sÔgklish oi mèjodoi Jacobi kai Gauss-Seidel gia thlÔsh tou sust mato 2 1 11 2 11 1 2

x1

x2

x3

=

1−21

. Se per�ptwsh sÔgklish , naulopoihje� o ant�stoiqo algìrijmo me akr�beia 6 dekadik¸n yhf�wn.

Kef�laio 6JEWRIA PROSEGGISHS6.1 Grammikì Prìblhma Elaq�stwn Tetrag¸nwnPoll� probl mata th Epist mh kai th Teqnolog�a apaitoÔn taktikè prosomo�wsh gia thn anaparagwg  fusik¸n fainomènwn se sunj ke Ergasthr�ou. Sta perissìteraapì aut� prote�netai èna majhmatikì prìtupo pou sun jw e�nai grammikì e�te gia thnperigraf  tou fainomènou e�te gia mia pr¸th prosèggish sthn katanìhs  tou. Gia thnkalÔterh dunat  katanìhsh tou fainomènou, to pl jo twn diexagìmenwn peiram�twnkai ant�stoiqwn metr sewn e�nai sun jw kat� polÔ megalÔtero apì ton arijmì twnzhtoÔmenwn agn¸stwn. ProkÔptei ètsi èna grammikì sÔsthma me perissìtere exis¸-sei apì ton arijmì twn agn¸stwn. H majhmatik  diatÔpwsh tou probl mato e�nai hakìloujh:Na breje� di�nusma x ∈ IRm pou ikanopoie� kat� ton kalÔtero dunatìn trìpo to gram-mikì sÔsthma

Ax = b, me A ∈ IRn,m, b ∈ IRn kai m ≤ n. (6.1)An upoteje� ìti oi pr¸te m exis¸sei tou (6.1) èqoun monos manta orismènh lÔsh tìtee�nai m�llon ap�jano sth genik  per�ptwsh (m < n) h lÔsh aut  na epalhjeÔei kai ti upìloipe (n − m) exis¸sei tou (6.1). 'Etsi odhgoÔmaste sto na anazhtoÔme eke�noto x gia to opo�o to di�nusma-sf�lma r = b − Ax e�nai ìso to dunatìn �mikrìtero�.Me �lla lìgia epizhtoÔme thn elaqistopo�hsh mia nìrma tou r. H epilog  mia apìti trei gnwstè nìrme , d�nei kai mia olìklhrh jewr�a gia thn antimet¸pish tou pro-bl mato . Ja asqolhjoÔme ed¸ me thn antimet¸pish tou probl mato qrhsimopoi¸nta thn Eukle�deia nìrma, epeid  kai pio eÔkolh e�nai h paragìmenh jewr�a all� kai epeid sunhj�zetai h nìrma aut  gia to lìgo ìti antistoiqe� se apìstash. To prìblhma th elaqistopo�hsh th ||r||2, e�nai isodÔnamo me eke�no th elaqistopo�hsh th ||r||22, kaidiatup¸netai majhmatik� w min

x∈IRm||r||22 ≡ min

x∈IRm||b − Ax||22 = min

x∈IRm

n∑

i=1

bi −m∑

j=1

aijxj

2

. (6.2)73

74 KEF�ALAIO 6. JEWRIA PROSEGGISHSTo prìblhma autì, gia eunìhtou lìgou , e�nai gnwstì w prìblhma twn elaq�stwntetrag¸nwn.Efarmog  tou probl mato autoÔ apotele� to prìblhma th poluwnumik  prosèg-gish pou diatup¸netai w ex  :Na proseggiste� h sun�rthsh f(x) me polu¸numo m − 1 bajmoÔ ìtan aut  d�netaiapì to sÔnolo twn n shme�wn(xi, fi), i = 1(1)n. (6.3)'Estw ìti p(x) = α0 + α1x + a2x

2 + · · ·+ αm−1xm−1 e�nai to zhtoÔmeno polu¸numo.Prèpei na prosdior�soume ta αi ètsi ¸ste to polu¸numo na pern�ei ìso g�netai pio kont�sta shme�a pou or�zoun th sun�rthsh. Me �lla lìgia, an qrhsimopoi soume Eukle�deianìrma, prèpei na elaqistopoi soume th ||r||2, ìpou r ∈ IRn me ri = fi−p(xi). Autì ìmw e�nai èna prìblhma elaq�stwn tetrag¸nwn me p�naka suntelest¸n agn¸stwn ton n×mp�naka 1 x1 x2

1 · · · xm−11

1 x2 x22 · · · xm−1

2... ... ... ...1 xn x2

n · · · xm−1n

, me agn¸stou to di�nusma α = (α0α1 · · ·αm−1)

T kaideÔtera mèlh to di�nusma f = (f1f2 · · · fm−1)T .6.1.1 SÔsthma twn Kanonik¸n Exis¸sewnGia thn elaqistopo�hsh th èkfrash

f(x) := ||r||22 =n∑

i=1

bi −m∑

j=1

aijxj

2 (6.4)ja prèpei pr¸ta na brejoÔn ta kr�sima shme�a th f(x) mhden�zonta thn ant�stoiqhkl�sh. Dhlad 

∇f(x) =

[∂f(x)

∂x1

∂f(x)

∂x2

· · · ∂f(x)

∂xm

]T

= 0. (6.5)H anagka�a sunj kh (6.5) e�nai isodÔnamh me to sÔnolo twn exis¸sewn∂f(x)

∂xk=

n∑

i=1

2

bi −m∑

j=1

aijxj

(−aik) = 0, k = 1(1)m.Oi parap�nw exis¸sei gr�fontai isodÔnama w n∑

i=1

aik

m∑

j=1

aijxj

=n∑

i=1

aikbi, k = 1(1)m. (6.6)

6.1. EL�AQISTA TETR�AGWNA 75EÔkola apodeiknÔetai ìti to sÔsthma autì twn exis¸sewn e�nai isodÔnamo me to grammikìsÔsthmaAT Ax = AT b. (6.7)To grammikì sÔsthma (6.7) twn m exis¸sewn me tou m agn¸stou e�nai gnwstì kaiw sÔsthma twn kanonik¸n exis¸sewn.ApodeiknÔetai ìti an oi st le tou p�naka A e�nai grammik� anex�rthte , to sÔsthma(6.7) twn kanonik¸n exis¸sewn èqei monadik  lÔsh en¸ an den e�nai, èqei �peire lÔsei .Ja asqolhjoÔme ed¸ mìno me thn per�ptwsh th monadik  lÔsh . ApodeiknÔetai ep�sh ìti h lÔsh tou sust mato twn kanonik¸n exis¸sewn lÔnei to prìblhma (6.2), dhlad elaqistopoie� thn Eukle�deia nìrma tou dianÔsmato sf�lma.MporoÔme t¸ra na d¸soume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo lÔsh tou pro-bl mato Elaq�stwn tetrag¸nwn me to sÔsthma twn kanonik¸n exis¸sewn.Algìrijmo Elaq�stwn Tetrag¸nwn-SÔsthma Kanonik¸n Exis¸-sewnDedomèna: H diast�sei n kai m, o p�naka A ∈ IRn,m kai to di�nusma b ∈ IRnGia i = 1(1)mGia j = 1(1)m

cij = 0Gia k = 1(1)n

cij = cij + akiakjTèlo �Gia�Tèlo �Gia�zi = 0Gia k = 1(1)n

zi = zi + akibkTèlo �Gia�Tèlo �Gia�LÔsh tou grammikoÔ sust mato Cx = z me opoiad pote mèjodo (mèjodo Gauss)Apotèlesma: H lÔsh tou probl mato elaq�stwn tetrag¸nwn e�nai to di�nusma xTèlo Algor�jmou.Apì ton algìrijmo fa�netai ìti to kìsto th mejìdou qarakthr�zetai apì to ginì-meno pin�kwn AT A kai e�nai O(m2n). To kìsto th lÔsh tou sust mato e�nai O(m3

3)kai e�nai kat� t�xh megèjou mikrìtero afoÔ to n e�nai polÔ megalÔtero tou m. D�noumeed¸ èna par�deigma:Par�deigma 1:Na luje� to grammikì prìblhma elaq�stwn tetrag¸nwn minx∈IR3 ||b − Ax||2 ìpou A =

76 KEF�ALAIO 6. JEWRIA PROSEGGISHS

1 1 11 −1 11 1 11 −1 0

kai b =

1001

.Upolog�zoume to ginìmeno AT A:AT A =

1 1 1 11 −1 1 −11 1 1 0

1 1 11 −1 11 1 11 −1 0

=

4 0 30 4 13 1 3

kai to ginìmeno AT b:AT b =

1 1 1 11 −1 1 −11 1 1 0

1001

=

201

.Sth sunèqeia an lÔsoume me th mèjodo apaloif  tou Gauss to grammikì sÔsthma

4 0 30 4 13 1 3

x1

x2

x3

=

201

,ja broÔme x = [1.25 0.25 − 1]T .Prèpei na shmei¸soume ed¸ ìti h mèjodo pou anaptÔqjhke, e�nai h pio apl  w pro th jewr�a, ìmw e�nai astaj  gia meg�la probl mata. Dhlad , ta sf�lmatastroggÔleush mpore� na dhmiourg soun anexèlegkte katast�sei me apotèlesma thmh axiìpisth lÔsh. Gia thn �rsh autoÔ tou meionekt mato èqei epinohje� h QR mèjodo pou bas�zetai sth jewr�a twn Orjog¸niwn pin�kwn kai e�nai pio eustaj  mèjodo . Deja asqolhjoÔme ìmw ed¸ diìti gia thn katanìhs  th apaite�tai pio baji� jewr�a.ASKHSEIS1) Na luje� to grammikì prìblhma elaq�stwn tetrag¸nwn minx∈IR3 ||b−Ax||2 ìpouA =

3 0 44 0 30 4 30 3 4

kai b =

−111−1

.2) Na proseggiste�, me th mèjodo elaq�stwn tetrag¸nwn, h sun�rthsh f me polu¸-numo deutèrou bajmoÔ. H f d�netai apì ton p�naka tim¸n: xi −1 0 1 2fi −1 0 1 8

.3) Na ulopoihje� o algìrijmo tou sust mato twn kanonik¸n exis¸sewn gia thlÔsh tou grammikoÔ probl mato elaq�stwn tetrag¸nwn.

Kef�laio 7ARIJMHTIKH EPILUSHDIAFORIKWN EXISWSEWNH Arijmhtik  Ep�lush Diaforik¸n Exis¸sewn e�nai èna apì ta spoudaiìtera kef�laiath Arijmhtik  An�lush , afoÔ ta majhmatik� montèla pou perigr�foun fusik� fai-nìmena e�nai kur�w diaforikè exis¸sei . E�nai sugqrìnw kai apì ta pio dÔskolakef�laia, epeid  h melèth th sÔgklish twn mejìdwn kai th eust�jeia twn lÔsewn,apaite� gn¸sh dÔskolwn majhmatik¸n ergale�wn. Mia mikr  kathgor�a problhm�twn lÔ-netai analutik�, sti perissìtere twn peript¸sewn den èqoume trìpo eÔresh th lÔsh se kleist  morf  kai katafeÔgoume anagkastik� se arijmhtik  ep�lush. Oi diaforikè exis¸sei qwr�zontai se duo meg�le kathgor�e , sti Sun jei Diaforikè Exis¸sei kai sti Diaforikè Exis¸sei me Merikè Parag¸gou . An kai ta perissìtera montè-la pou perigr�foun fusik� probl mata an koun sth deÔterh kathgor�a, eme� ed¸ jaasqolhjoÔme me apl� probl mata th pr¸th kathgor�a epeid  h antimet¸pish twnproblhm�twn th deÔterh kathgor�a e�nai arket� pio dÔskolh kai polÔplokh. Dia-tup¸nontai di�fora probl mata sun jwn diaforik¸n exis¸sewn. Eme� ed¸ ja asqo-lhjoÔme me to pio aplì, to legìmeno prìblhma arqik¸n tim¸n pou diatup¸netai w ex  :Prìblhma Arqik¸n Tim¸n:Na breje� h sun�rthsh y, suneq  kai paragwg�simh sto di�sthma [a, b], pou plhro� thdiaforik  ex�swshy′(t) = f(t, y), (7.1)me arqik  sunj kh

y(a) = y0, (7.2)ìpou t ∈ [a, b] e�nai h anex�rthth metablht .Prèpei na sqoli�soume ed¸ ìti sunhj�zetai sth bibliograf�a h qr sh tou gr�mmato tkai ìqi tou x gia thn anex�rthth metablht , epeid  sta perissìtera fusik� probl mataaut  taut�zetai me to qrìno. H sun�rthsh f e�nai sun�rthsh duo metablht¸n th tkai th zhtoÔmenh sun�rthsh y. 'Oso apl  e�nai h morf  th f tìso perissìtere 77

78 KEF�ALAIO 7. ARIJMHTIKH EPILUSH DIAFORIKWN EXISWSEWNplhrofor�e èqoume gia th lÔsh th . An h f e�nai anex�rthth th y tìte to prìblhmaan�getai sthn eÔresh enì oloklhr¸mato , ìpw anafèrame kai sto kef�laio th arij-mhtik  olokl rwsh . An h sun�rthsh f e�nai polu¸numo pr¸tou bajmoÔ w pro ytìte h diaforik  ex�swsh lègetai grammik  kai up�rqei kleistì tÔpo pou d�nei th lÔsh.Autì de shma�nei ìti xepernoÔme to prìblhma th arijmhtik  prosèggish th lÔsh ,diìti ston tÔpo autìn apaite�tai o upologismì oloklhrwm�twn pou den e�nai s�gouroìti d�nontai analutik�. Sthn per�ptwsh pou h f e�nai mh grammik  sun�rthsh w pro y,ta pr�gmata duskoleÔoun. 'Oqi mìno den èqoume analutikoÔ tÔpou , all� se pollè peript¸sei den èqoume kai plhrofor�e gia thn Ôparxh lÔsewn   gia th monadikìthtath lÔsh . E�nai gnwstì ìti h diaforik  ex�swsh (7.1) d�nei mia monoparametrik  oiko-gèneia lÔsewn. H arqik  sunj kh (7.2) e�nai eke�nh pou entop�zei th sugkekrimènh lÔshpou pern�ei apì to arqikì shme�o.H parap�nw diaforik  ex�swsh lègetai ex�swsh pr¸th t�xh epeid  sth sqèsh (7.1)upeisèrqontai mìno h anex�rthth metablht  t h sun�rthsh y kai h pr¸th par�gwgì th y′. Mia diaforik  ex�swsh k t�xh ja èqei th morf 

y(k)(t) = f(t, y, y′, y′′, · · · , y(k−1)). (7.3)Aut  me kat�llhlo metasqhmatismì, metatrèpetai se sÔsthma diaforik¸n exis¸sewnpr¸th t�xh . Oi mèjodoi pou ja ma apasqol soun, mporoÔn na epektajoÔn kai giasust mata diaforik¸n exis¸sewn, ìmw h melèth gia th sÔgklish kai eust�jeia e�naiperissìtero polÔplokh kai de ja asqolhjoÔme.Oi arijmhtikè mèjodoi pou èqoun epinohje� èqoun èna koinì qarakthristikì. Ba-s�zontai sth diamèrish tou diast mato [a, b] jewr¸nta to sÔnolo twn diatetagmènwnshme�wn {ti, i = 0(1)n}. Ta b mata th diamèrish ja e�nai hi = ti − ti−1, i = 1(1)n.Ja melet soume ed¸ thn per�ptwsh th omoiìmorfh diamèrish , ìpou ta b mata e�nai�sa metaxÔ twn, dhlad  h = ti − ti−1 = tn−t0n

= b−an

, i = 1(1)n, gia lìgou aplìthta .Sti perissìtere mejìdou h �dia an�lush pou anaptÔssetai gia omoiìmorfh diamèrish,anaptÔssetai kai gia mh omoiìmorfh. Ant� na y�qnoume gia th sun�rthsh y, orismènhsto [a, b], prospajoÔme na prosegg�soume ti timè aut  y(ti) me ti timè yi, i = 1(1)nme k�poia arijmhtik  mèjodo.Oi mèjodoi pou anaptÔqjhkan qwr�zontai se duo meg�le kathgor�e . sti Monobhma-tikè Mejìdou kai sti Polubhmatikè Mejìdou .Oi monobhmatikè mèjodoi sun�stantai sto gegonì ìti gia thn eÔresh th tim  yi+1qrhsimopoie�tai mìno h prohgoÔmenh tim  yi. Sti polubhmatikè mejìdou gia thn eÔ-resh th yi+1 qrhsimopoioÔntai perissìtere apì m�a prohgoÔmene timè . Epeid  oipolÔbhmatikè mèjodoi qrhsimopoioÔn perissìtere prohgoÔmene plhrofor�e gia thnan�deixh th nèa tim  , g�netai fanerì ìti autè ja e�nai pio apotelesmatikè . Ja me-let soume ìmw mìno monobhmatikè mejìdou epeid  h jewr�a gia thn paraskeu  tou e�nai pio eÔkolh. Ex� �llou, algorijmik� den diafèroun, par� mìno sto gegonì ìti

7.1. M�EJODOS EULER 79qrhsimopoioÔntai perissìtere prohgoÔmene plhrofor�e .Oi monobhmatikè mèjodoi qwr�zontai se duo kathgor�e , sti Mejìdou Seir¸n Taylorkai sti Mejìdou Runge-Kutta. Thn pio apl  per�ptwsh apotele� h Mèjodo tou Euler.7.1 Mèjodo tou EulerH Mèjodo tou Euler prokÔptei apì to an�ptugma th seir� Taylor , an stamat soumesto deÔtero ìro. To an�ptugma Taylor th y(ti+1) sto shme�o ti e�nai:y(ti+1) = y(ti) + hy′(ti) +

h2

2y′′(t̂i), t̂i ∈ (ti, ti+1). (7.4)JewroÔme ti proseggistikè timè yi kai yi+1 sti jèsei y(ti) kai y(ti+1) ant�stoiqakai pa�rnoume tou duo ìrou , opìte èqoume thn proseggistik  mèjodo tou Euler:

yi+1 = yi + hy′i = yi + hf(ti, yi). (7.5)W arqik  sunj kh èqoume thn (7.2). Gia thn prosèggish loipìn tou y(b) xekin�meapì to y0 = y(a) kai efarmìzoume epanalhptik� th mèjodo tou Euler (7.5) n forè .Sugqrìnw br�skoume kai ti endi�mese timè yi pou e�nai prosegg�sei twn tim¸n th sun�rthsh sta shme�a th diamèrish (y(ti)).H melèth tou sf�lmato apokop  den e�nai apl  upìjesh. Diakr�noume duo eid¸nsf�lmata apokop  , pou onom�zontai kai sf�lmata diakritopo�hsh , to topikì sf�l-ma apokop  kai to olikì sf�lma apokop  . Topikì sf�lma lème to sf�lma pouofe�letai mìno se èna b ma efarmog  th mejìdou, jewr¸nta w akrib  thn proh-goÔmenh tim , a poÔme thn yi. To sf�lma autì sÔmfwna me th sqèsh (7.4) ja e�nai

−h2

2y′′(t̂i), t̂i ∈ (ti, ti+1) kai an h sun�rthsh y′′ e�nai fragmènh sto di�sthma (ti, ti+1),tìte ja exart�tai apì to h2. Epomènw to topikì sf�lma apokop  e�nai O(h2). Olikìsf�lma e�nai h diafor� th telik  proseggistik  tim  me�on thn akrib  tim , qwr� na l�boume upìyh ta sf�lmata stroggÔleush pou upeisèrqontai. Autì den e�nai to�jroisma ìlwn twn topik¸n sfalm�twn diìti prohgoÔmena topik� sf�lmata upeisèr-qontai sta epìmena b mata kai ta ephre�zoun. De ja stajoÔme ed¸ sthn ekt�mhshtou sf�lmato autoÔ diìti e�nai arket� per�plokh diadikas�a, apl� anafèroume ìti oidiaforikè exis¸sei pou èqoun to olikì tou sf�lma mikrìtero apì to �jroisma twntopik¸n, lègontai eustaje� en¸ oi �lle astaje� . Sthn per�ptwsh pou h f e�nai ane-x�rthth tou y tìte to prìblhma arqik¸n tim¸n an�getai se olokl rwma, kai ta topik�sf�lmata k�poiou b mato den upeisèrqontai se epìmena b mata. Autì shma�nei ìti toolikì sf�lma isoÔtai me to �jroisma twn topik¸n. JewroÔme t¸ra ìti to olikì sf�lmae�nai ti �dia t�xei megèjou me to �jroisma twn topik¸n. Tìte to olikì sf�lma jae�nai O(nh2) kai epeid  n = b−a

h, autì ja e�nai O(h). Gia to lìgo autì h mèjodo Euleronom�zetai mèjodo pr¸th t�xh . Genik�, t�xh mia mejìdou ja onom�zoume ton ekjèth

80 KEF�ALAIO 7. ARIJMHTIKH EPILUSH DIAFORIKWN EXISWSEWNtou h sthn èkfrash tou olikoÔ sf�lmato .H mèjodo tou Euler epomènw sugkl�nei sthn akrib  tim  ìtan to h sugkl�nei sto mhdèn.Autì ìmw de sumba�nei sthn pr�xh diìti up�rqei kai ta sf�lma stroggÔleush pou e�naiantistrìfw an�logo tou h. Mikra�nonta to h, mikra�nei to olikì sf�lma apokop  kai megal¸nei to sf�lma stroggÔleush . Sto shme�o pou aut� g�noun per�pou �sa, jaèqoume to legìmeno bèltisto h. Autì ìmw den e�nai ek twn protèrwn upolog�simo.Sthn pr�xh akoloujoÔme thn �dia taktik  pou akolouj same kai sthn arijmhtik olokl rwsh. Upodiplasi�zoume to b ma diakritopo�hsh kai pa�rnoume k�je for� mianèa diamèrish me dipl�sia shme�a. Gia ton termatismì th diadikas�a elègqoume an hapìluth diafor� twn duo teleuta�wn prosegg�sewn e�nai mikrìterh apì èna epijumhtìsf�lma ǫ. Eke�no pou èqoume na parathr soume ed¸ e�nai ìti de mporoÔme na k�noumethn oikonom�a pou k�name sthn arijmhtik  olokl rwsh upolog�zonta mia mìno for�to k�je shme�o. Autì diìti, epeid  h f exart�tai kai apì thn y, gia ton upologismìth f(ti, yi) ja èqoume k�je for� kai diaforetik  tim  tou yi. 'Eqoume epomènw nak�noume dipl�sio arijmì upologism¸n th sun�rthsh f apì eke�non pou ja e�qame seènan ant�stoiqo algìrijmo arijmhtik  olokl rwsh . Akìmh prèpei na parathr soumeìti en¸ o algìrijmo mia mejìdou arijmhtik  olokl rwsh mpore� k�llista na ulopoi-hje� apì par�llhlo upologist , upolog�zonta par�llhla ta epimèrou oloklhr¸matase upodiast mata, o algìrijmo th mejìdou tou Euler e�nai kajar� akoloujiakì .Met� kai apì autè ti parathr sei , e�maste ètoimoi na d¸soume se morf  yeudok¸dikaton algìrijmo th mejìdou tou Euler.Algìrijmo th Mejìdou tou EulerDedomèna: ta �kra a kai b, h sun�rthsh f(t, y), h arqik  tim  y0 kai to sf�lma ǫ.h = b − a

Vold = y0 + hf(a, y0)

h = h2

n = 2

y1 = y0 + hf(a, y0)

V = y1 + hf(a + h, y1)Efìson |V − Vold| > ǫ

Vold = V

h = h2

n = 2nGia i = 0(1)n − 1

yi+1 = yi + hf(a + ih, yi)tèlo �Gia�V = yntèlo �Efìson�

7.2. PEPLEGM�ENH M�EJODOS EULER 81Apotelèsmata: Oi prosegg�sei th y sta shme�a th diamèrish e�nai ta yi, i = 1(1)nTèlo Algor�jmou.Ja d¸soume ed¸ èna aplì par�deigma.Par�deigma 1:Na luje� to prìblhma arqik¸n tim¸n:y′ = y, sto[0, 1], me y(0) = 1,me th mèjodo tou Euler pa�rnonta h = 0.25.E�nai gnwstì ìti h parap�nw diaforik  ex�swsh èqei w genik  lÔsh thn y = Cet.Jètonta thn arqik  sunj kh, pa�rnoume y = et. Ousiastik�, lÔnonta to parap�nwprìblhma, prospajoÔme na prosegg�soume ton arijmì e = 2.7182818. H epanalhptik sqèsh th mejìdou tou Euler e�nai:

yi+1 = yi + hf(ti, yi) = yi + 0.25yi = 1.25yi.'Eqoume na ektelèsoume 4 b mata th mejìdou tou Euler:1 : y1 = 1.25y0 = 1.25 × 1 = 1.252 : y2 = 1.25y1 = 1.25 × 1.25 = 1.56253 : y3 = 1.25y2 = 1.25 × 1.5625 = 1.9531254 : y4 = 1.25y3 = 1.25 × 1.953125 = 2.4414062Prosegg�zoume loipìn ton e me to 2.4414062 kai èqoume w sf�lma to ǫ = −0.2768756.ParathroÔme ìti autì e�nai pragmatik� th t�xh tou h = 0.25.7.2 Peplegmènh Mèjodo tou EulerMia �llh kathgor�a mejìdwn gia thn arijmhtik  ep�lush diaforik¸n exis¸sewn e�nai oiPeplegmène Mèjodoi. To idia�tero qarakthristikì tou e�nai ìti de d�nontai apì miaapl  anadromik  sqèsh all� h zhtoÔmenh tim  yi+1 emfan�zetai kai sto deÔtero mèlo mèsa apì thn f , gia to lìgo autì lègontai kai peplegmène . Gia thn eÔresh aut  th tim  apaite�tai se k�je b ma h lÔsh mia ex�swsh . Gia to lìgo ìti èqoume na lÔ-soume mia ex�swsh ant� tou upologismoÔ mia sun�rthsh , oi mèjodoi autè kost�zounperissìtero. 'Omw antimetwp�zoun pio apotelesmatik�, w pro th sÔgklish, k�poie kathgor�e diaforik¸n exis¸sewn.Meg�lo endiafèron èqei o sunduasmì twn peplegmènwn kai mh mejìdwn. Eidik� sepolubhmatikè mejìdou , g�netai o ex  sunduasmì . Efarmìzetai sthn arq  mia apl mèjodo ìpou qrhsimopoi¸nta prohgoÔmene timè br�skei thn yi+1. Sth sunèqeia èr-qetai mia peplegmènh mèjodo gia na thn prosegg�sei kalÔtera. Autè lègontai mèjodoi

82 KEF�ALAIO 7. ARIJMHTIKH EPILUSH DIAFORIKWN EXISWSEWNPrìbleyh - Diìrjwsh .H Peplegmènh Mèjodo tou Euler d�netai apì th sqèshyi+1 = yi + hf(ti+1, yi+1), (7.6)me arqik  sunj kh thn (7.2). H diafor� me thn apl  mèjodo tou Euler br�sketai stoìti th sun�rthsh f thn pa�rnoume sto shme�o pou jèloume na upolog�soume. ProkÔpteikai aut  apì to an�ptugma th seir� Taylor , an stamat soume sto deÔtero ìro. Hdiafor� br�sketai sto ìti pa�rnoume to an�ptugma Taylor th y(ti) sto shme�o ti+1opìte èqoume:

y(ti) = y(ti+1) − hy′(ti+1) +h2

2y′′(t̂i), t̂i ∈ (ti, ti+1).Aut  isoduname� me thn

y(ti+1) = y(ti) + hy′(ti+1) −h2

2y′′(t̂i), t̂i ∈ (ti, ti+1). (7.7)JewroÔme t¸ra ti proseggistikè timè yi kai yi+1 sti jèsei y(ti) kai y(ti+1) ant�-stoiqa, pa�rnoume tou duo ìrou kai katal goume sthn peplegmènh mèjodo tou Eu-

ler (7.6). Apì ti sqèsei (7.6) kai (7.7) prokÔptei ìti to topikì sf�lma ja e�naih2

2y′′(t̂i), t̂i ∈ (ti, ti+1). Apì ed¸ kai pèra isqÔei ìlh h jewr�a, ìpw parousi�sthkesthn prohgoÔmenh par�grafo, gia ta topik� kai olik� sf�lmata kai de qrei�zetai napoÔme t�pote perissìtero. Apl� epanalamb�noume to sumpèrasma ìti kai ed¸ to topikìsf�lma apokop  e�nai O(h2) en¸ to olikì O(h).De qrei�zetai ep�sh na d¸soume se morf  yeudok¸dika ton algìrijmo th pepleg-mènh mejìdou tou Euler afoÔ e�nai akrib¸ o �dio me eke�non th prohgoÔmenh pa-ragr�fou. H diafor� br�sketai sto ìti sti jèsei pou up�rqei h anadromik  sqèsh,prèpei na gr�youme LÔsh th ex�swsh kai na topojet soume thn ant�stoiqh sqèshth peplegmènh mejìdou. Ja d¸soume apl¸ ed¸ to �dio par�deigma gia na doÔme pw leitourge�.Par�deigma 2:Na luje� to prìblhma arqik¸n tim¸n:

y′ = y, sto [0, 1], me y(0) = 1,me thn peplegmènh mèjodo tou Euler pa�rnonta h = 0.25.H epanalhptik  sqèsh th peplegmènh mejìdou tou Euler e�nai:yi+1 = yi + hf(ti+1, yi+1) = yi + 0.25yi+1 ⇐⇒ yi+1 =

yi

0.75.

7.3. M�EJODOI RUNGE CUTTA 83'Eqoume na ektelèsoume 4 b mata th peplegmènh mejìdou tou Euler:1 : y1 = y0

0.75= 1

0.75= 1.3333333

2 : y2 = y1

0.75= 1.3333333

0.75= 1.7777778

3 : y3 = y2

0.75= 1.7777778

0.75= 2.3703704

4 : y4 = y3

0.75= 2.3703704

0.75= 3.1604938Prosegg�zoume kai ed¸ ton e me to 3.1604938 kai èqoume w sf�lma to ǫ = 0.442212.ParathroÔme ìti autì e�nai megalÔtero apìluta apì eke�no th mejìdou tou Euler, e�naiìmw th �dia t�xh tou h = 0.25.7.3 Mèjodoi Runge CuttaOi mèjodoi Runge Kutta prosegg�zoun ti mejìdou seir� Taylor ¸ste na èqoun thn�dia t�xh akr�beia me autè , qwr� ìmw na èqoume upologismoÔ parag¸gwn th su-n�rthsh f . 'Eqoume mìno diadoqikoÔ upologismoÔ th sun�rthsh f se diaforetik�shme�a pou epilègontai me èna susthmatikì trìpo.Ja perigr�youme ed¸ ton trìpo kataskeu  mia mejìdou deÔterh t�xh : Aut  jae�nai th morf 

yi+1 = yi + γ0k0 + γ1k1, (7.8)mek0 = hf(ti, yi). (7.9)kai

k1 = hf(ti + βh, yi + αk0). (7.10)'Eqoume na prosdior�soume tèsseri paramètrou ti γ0, γ1, α kai β. Pa�rnoume th seir�Taylor me tre� ìrou :

yi+1 = yi + hy′i + h2

2y′′

i = yi + hf(ti, yi) + h2

2(f(ti, yi))

′

= yi + hf(ti, yi) + h2

2(fyi

(ti, yi)y′i + fti(ti, yi))

= yi + hf(ti, yi) + h2

2(fyi

(ti, yi)f(ti, yi) + fti(ti, yi))

, (7.11)ìpou me fyikai fti sumbol�zoume th merik  par�gwgo w pro yi kai ti ant�stoiqa.Pa�rnoume t¸ra th sqèsh (7.8) afoÔ antikatast soume sÔmfwna me ti (7.9) kai (7.10):

yi+1 = yi + γ0hf(ti, yi) + γ1hf(ti + βh, yi + αhf(ti, yi)). (7.12)AnaptÔssoume sth sunèqeia kat� Taylor ton teleuta�o ìro th (7.12) pa�rnonta mìnotou ìrou mèqri kai ti pr¸te merikè parag¸gou :f(ti + βh, yi + αhf(ti, yi)) ≈ f(ti, yi) + βhfti(ti, yi)) + αhf(ti, yi)fyi

(ti, yi). (7.13)

84 KEF�ALAIO 7. ARIJMHTIKH EPILUSH DIAFORIKWN EXISWSEWNAntikajist¸nta sthn (7.12) pa�rnoumeyi+1 ≈ yi + (γ0 + γ1)hf(ti, yi) + γ0βh2fti(ti, yi)) + γ1αh2fyi

(ti, yi)). (7.14)ParathroÔme ìti oi ìroi pou parale�yame sto an�ptugma Taylor (7.11) kaj¸ kai eke�noisto teleuta�o an�ptugma (7.14) e�nai t�xh apì h3 kai p�nw. Gia na prosegg�zei hmèjodo Runge Kutta th seir� Taylor, ja prèpei na taut�zontai oi duo parap�nw sqèsei (7.11) kai (7.14). H apa�thsh aut  d�nei to sÔsthma :γ0 + γ1 = 1

γ1β = 12

γ1α = 12

(7.15)Autì e�nai sÔsthma tri¸n exis¸sewn me trei agn¸stou , epomènw d�nei mia monopara-metrik  oikogèneia lÔsewn. An krat soume to α w par�metro, èqoume th lÔsh γ1 = 12α,

γ0 = 1 − 12α

kai β = α. An epilèxoume α = 12tìte pa�rnoume th mèjodo pou d�netai apìth sqèsh:

yi+1 = yi + hf(ti +h

2, yi +

h

2f(ti, yi)), (7.16)en¸ an epilèxoume α = 1 tìte pa�rnoume th mèjodo:

yi+1 = yi +h

2(f(ti, yi) + f(ti + h, yi + hf(ti, yi))). (7.17)Sthn parap�nw oikogèneia mejìdwn to topikì sf�lma apokop  ja e�nai O(h3) epomènw to olikì sf�lma ja e�nai O(h2).Me thn �dia diadikas�a ìpw parap�nw mporoÔme na kataskeu�soume pollè mejì-dou Runge Kutta epilègonta thn t�xh tou . Bèbaia ta pr�gmata ja periplèkontaiìso aneb�zoume thn t�xh, afoÔ ja anagkazìmaste na pa�rnoume anaptÔgmata Taylorme perissìterou ìrou . De ja asqolhjoÔme perissìtero me ton trìpo paragwg  me-jìdwn Runge Kutta, apl¸ ja d¸soume th gnwst  w Klasik  Mèjodo Runge Kuttatètarth t�xh :

yi+1 = yi +1

6(k0 + 2k1 + 2k2 + k3),ìpou

k0 = hf(ti, yi),

k1 = hf(ti +h

2, yi +

1

2k0),

k2 = hf(ti +h

2, yi +

1

2k1),

k3 = hf(ti + h, yi + k2).De ja d¸soume kai ed¸ ton algìrijmo k�poia apì autè ti mejìdou diìti de diafè-rei ousiastik� apì eke�non th mejìdou tou Euler. H diafor� br�sketai sto ìti se k�je

7.3. M�EJODOI RUNGE CUTTA 85epan�lhyh upolog�zoume perissìtere forè diadoqik� th sun�rthsh f se diaforetik�shme�a en¸ sth mèjodo tou Euler thn upolog�zoume mia for�. Sthn Klasik  mèjodoRunge Kutta tètarth t�xh k�noume tèsseri upologismoÔ an� epan�lhyh, en¸ sti mejìdou deÔterh t�xh (7.16) kai (7.17) èqoume duo upologismoÔ an� epan�lhyh.'Oso proqwroÔme se mejìdou an¸terh t�xh ja èqoume ìfelo w pro thn taqÔthtasÔgklish en¸ to kìsto twn pr�xewn an� epan�lhyh ja aux�nei. D�noume kai ed¸ to�dio par�deigma gia ti mejìdou deÔterh t�xh .Par�deigma 3:Na luje� to prìblhma arqik¸n tim¸n:

y′ = y, sto[0, 1], me y(0) = 1,me ti mejìdou Runge Kutta deÔterh t�xh (7.16) kai (7.17) pa�rnonta h = 0.25.H epanalhptik  sqèsh th mejìdou Runge Kutta deÔterh t�xh (7.16) e�nai:yi+1 = yi + hf(ti + h

2, yi + h

2f(ti, yi)) = yi + h(yi + h

2yi)

= (1 + h + h2

2)yi = 1.28125yi'Eqoume na ektelèsoume 4 b mata th mejìdou :

1 : y1 = 1.28125y0 = 1.28125 × 1 = 1.281252 : y2 = 1.28125y1 = 1.28125 × 1.28125 = 1.64160153 : y3 = 1.28125y2 = 1.28125 × 1.6416015 = 2.10330194 y4 = 1.28125y3 = 1.28125 × 2.1033019 = 2.6948555O arijmì e prosegg�zetai apì ton 2.6948555 kai èqoume w sf�lma to ǫ = 0.0234263.ParathroÔme ìti èqoume polÔ kalÔterh prosèggish apì eke�ne twn mejìdwn tou Eulerkai ìti to sf�lma e�nai pragmatik� th t�xh tou h2 = 0.0625.H epanalhptik  sqèsh th mejìdou Runge Kutta deÔterh t�xh (7.17) e�nai:

yi+1 = yi + h2(f(ti, yi) + f(ti + h, yi + hf(ti, yi))) = yi + h

2(yi + yi + hyi)

= (1 + h + h2

2)yi = 1.28125yi.ParathroÔme ed¸ ìti èqoume akrib¸ ton �dio tÔpo, opìte oi duo mèjodoi taut�zontaigia th sugkekrimènh diaforik  ex�swsh.

86 KEF�ALAIO 7. ARIJMHTIKH EPILUSH DIAFORIKWN EXISWSEWNASKHSEIS1) Na luje� to prìblhma arqik¸n tim¸n:y′ = y, sto[0, 1], me y(0) = 1,ulopoi¸nta tou algor�jmou twn mejìdwn tou Euler, th peplegmènh tou Euler,

Runge Kutta deÔterh t�xh (7.16) kai (7.17) kai th Klasik  mejìdou Runge Kuttatètarth t�xh , me akr�beia 5 dekadik¸n yhf�wn. Na g�nei sÔgkrish w pro thn taqÔ-thta sÔgklish .2) Na luje� to prìblhma arqik¸n tim¸n:y′ = −y, sto[0, 1], me y(0) = 1,ulopoi¸nta tou algor�jmou twn mejìdwn th �skhsh 1, me akr�beia 5 dekadik¸nyhf�wn. Na g�nei sÔgkrish w pro thn taqÔthta sÔgklish .3) Na luje� to prìblhma arqik¸n tim¸n:y′ =

y

t, sto[1, 2], me y(1) = 1,me ìle ti mejìdou th �skhsh 1 kai me h = 1 kai h = 0.5.4) Na efarmostoÔn ìle oi mèjodoi pou anafèrjhkan, gia thn paragwg  tÔpwnarijmhtik  olokl rwsh ìtan h sun�rthsh f e�nai anex�rthth th y. Poioi gnwsto�tÔpoi par�gontai;

Bibliograf�a[1℄ G. D. Akr�bh , B. A. Dougal  , Eisagwg  sthn Arijmhtik  An�lush, Panepisth-miakè Ekdìsei Kr th , Hr�kleio 1997.[2℄ G. D. Akr�bh , B. A. Dougal  , Arijmhtikè Mèjodoi gia Diaforikè Exis¸sei ,Iw�nnina-Aj na 1997.[3℄ S. D. Conte, C. De Boor, Elementary Numerical Analysis - An Algorithmic ap-

proach, McGraw-Hill, 3nd Edition, New York, 1980.[4℄ S. D. Gal�nh , Shmei¸sei Arijmhtik  Grammik  'Algebra , Panepist mio Iw-ann�nwn, Iw�nnina 1993.[5℄ A. K. Gègio , Arijmhtikè Mèjodoi, Tìmo 1, Panepist mio Iwann�nwn, Iw�nnina1986.[6℄ A. K. Gègio , Arijmhtikè Mèjodoi, Tìmo 2, Panepist mio Iwann�nwn, Iw�nnina1987.[7℄ J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, 1996.[8℄ B. Dougal  , Arijmhtik  LÔsh Grammik¸n Susthm�twn ston Upologist , Hr�-kleio 1986.[9℄ B. Dougal  , D. NoÔtso , A. Qatzhd mo , Shmei¸sei Arijmhtik  Grammik  'Algebra , Aj na-Iw�nnina-Hr�kleio 2000.[10℄ G. E. Forsythe, M. A. Malcolm, C. B. Moler, Computer methods for mathematical

computations, Prentice-Hall, Englwood Cliffs, N.J. 1977. (Ellhnik  met�frash: G.D. Akr�bh , B. A. Dougal  , Arijmhtikè mèjodoi kai progr�mmata gia majhmati-koÔ upologismoÔ , b' èkdosh, Panepisthmiakè Ekdìsei Kr th , Hr�kleio 1994).[11℄ G. Golub, C. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University

Press, 3nd Edition, Baltimore and London, 1996.[12℄ M. T. Heath, Sientific Computing: An Introductory Survey, McGraw-Hill Com-

panies, 1997 87

88 BIBLIOGRAF�IA[13℄ H. A. Lupit�kh , Majhmatik� Upologism¸n - Upologistikè Mèjodoi Arijmhtik  An�lush , Oikonomikì Panepist mio Ajhn¸n, Aj na 1991.[14℄ A. Mpakìpoulo , I. Qrusobèrgh , Eisagwg  sthn Arijmhtik  An�lush, Aj na1988.[15℄ J. M. Ortega, Numerical Analysis, a second course, Academic Press, New York,1972. (AnatÔpwsh: SIAM, Philadelphia 1990)[16℄ G. S. Papagewrg�ou, Q. Gr. Ts�toura , Arijmhtik  An�lush me efarmogè seMatlab kai Mathmatica, Ekdìsei Shme¸n, Aj na 1997.[17℄ W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes

in Fortran 77: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press,

Second Edition, New York 1996.[18℄ G. W. Stewart, Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, Philadelphia 1996.[19℄ R. S. Varga, Matrix Iterative Analysis, 2nd Edition, Springer, Berlin, 2000.[20℄ A. Qatzhd mo , Eisagwg  sthn Arijmhtik  An�lush, Panepist mio Iwann�nwn, b'èkdosh, Iw�nnina 1980.[21℄ A. Qatzhd mo , Arijmhtik  An�lush I, Panepist mio Iwann�nwn, b' èkdosh, Iw�n-nina 1981.[22℄ A. Qatzhd mo , Arijmhtik  An�lush II, Panepist mio Iwann�nwn, Iw�nnina 1979.[23℄ H. QoÔsth , Arijmhtikè Mèjodoi, Programmatismì kai An�lush, Jessalon�kh1985.[24℄ D. M. Young, Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, New

York, 1971.[25℄ A. Yim�rnh, Stoiqe�a Arijmhtik  An�lush , Panepist mio Iwann�nwn, Iw�nnina1993.