Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Matematica

MTM131 - Geometria Analıtica e Calculo Vetorial

Professora: Monique Rafaella Anunciacao de Oliveira

Lista de Exercıcios 2

1. Determine as equacoes das seguintes elipses:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Respostas: (a)x2

9+y2

4= 1; (b)

x2

25+y2

9= 1; (c)

x2

4+y2

13= 1; (d)

(x− 4)2

16+y2

9= 1; (e)

(x− 4)2

5+

(y − 4)2

1= 1;

(f)(x+ 6)2

9+

(y − 5)2

16= 1

2. O ponto C(3, 2) e o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria sao paralelos

aos eixos coordenados, escreva a equacao da elipse.

Resposta:(x− 3)2

9+

(y − 2)2

4= 1

3. As metades do eixo maior e da distancia focal de uma elipse medem, respectivamente, 10 cm e 6 cm, e seu centro

e o ponto (4,−2). Se o eixo menor e paralelo ao eixo coordenado Ox, escreva a equacao reduzida dessa elipse.

Resposta:(x− 4)2

64+

(y + 2)2

100= 1

4. Calcule a distancia focal e a excentricidade da elipse (λ) 25x2 + 169y2 = 4225.

Respostas: distancia focal = 24; excentricidade: e =12

13

5. Determine a equacao da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P (1, 1) e tem um foco F1

(−√

6

2, 0

).

Resposta:x2

3+y2

32

= 1

6. Construa o grafico da conica cuja equacao e 25x2 + 16y2 = 400 e obtenha as coordenadas dos focos.

Resposta: F1(0,−3) e F2(0, 3)

7. Determine os focos da conica de equacao(x− 1)2

25+

(y − 1)2

9= 4.

Resposta: F1(−7, 1) e F2(9, 1)

8. Qual e a equacao do conjunto dos pontos P (x, y) cuja soma das distancias a F1(0,−6) e F2(0, 10) e 34?

Resposta:x2

225+

(y − 2)2

289= 1

9. Determine as equacoes das seguintes hiperboles:

(a) (b)

(c)

(d)

Respostas: (a)x2

4− y2

5= 1; (b)

y2

4− x2

12= 1; (c)

(x− 3)2

1− y2

8= 1; (d)

(x− 4)2

1− (y − 3)2

3= 1

10. Obtenha a distancia focal da hiperbole cuja equacao ex2

36− y2

64= 1.

Resposta: 20

11. Calcule a excentricidade da hiperbole cuja equacao e 9x2 − 25y2 = 1.

Resposta: e =

√34

5

12. Construa os graficos das conicas (λ)x2 − y2 = 1 e (λ′) y2 − x2 = 1. Sao coincidentes?

Resposta: Nao

13. Determine as coordenadas dos focos da hiperbole cuja equacao e 9y2 − 16x2 = 144.

Resposta: F1(0,−5) e F2(0, 5)

14. Obtenha os focos da conica cuja equacao e(x− 1)2

7− (y − 1)2

2= 1.

Resposta: F1(−2, 1) e F2(4, 1)

15. Determine a equacao da hiperbole que tem as seguintes propriedades:

(a) seu centro e a origem; (b) um de seus focos e F1(0,−2); (c) um de seus pontos e P (1,√

3).

Resposta:y2

2− x2

2= 1

16. Determine as equacoes das seguintes parabolas:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Respostas: (a) y2 = 8x; (b) x2 = 12y; (c) x2 = −8y; (d) (y − 3)2 = 4(x− 3); (e) (x− 3)2 = 4(y − 2);

(f) (x− 1)2 = −8(y − 2)

17. Ache as coordenadas do foco F e a equacao da diretriz da parabola y2 = −8x.

Respostas: F (−2, 0) e (d)x = 2

2

18. Determine o foco e o vertice da parabola (λ) (y − 3)2 = 8(x− 1).

Respostas: F (3, 3) e V (1, 3)

19. Ache a equacao da diretriz da parabola representada pela equacao y = (x− 3)2.

Resposta: (d) y = −1

4

20. Obtenha a equacao da parabola cuja diretriz e (d)x = 0 e cujo foco e F (2, 2).

Resposta: (y − 2)2 = 4(x− 1)

21. Qual e a equacao do conjunto dos pontos P (x, y) que sao equidistantes da reta (d) y = 5 e do ponto F (0, 0).

Resposta: x2 = −10y + 25

22. Dada a parabola de equacao x = y2 − 6y + 8, determine as coordenadas do vertice.

Resposta: V (−1, 3)

23. Caracterize a conica representada por cada uma das equacoes abaixo:

(a) 3x2 + 2y2 − 12x− 4y + 8 = 0.

(b) 2y = x2 + 2x+ 7.

(c) 4x2 − 3y2 + 6y − 15 = 0.

(d) x = y2 + y + 1.

(e) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0.

(f) 9x2 − 4y2 − 18x− 8y − 20 = 0.

Respostas: (a) Elipse com centro O(2, 1), a =√

3, b =√

2; (b) Parabola com vertice V (−1, 3) e parametro p = 1;

(c) Hiperbole com centro O(0, 1), a =√

3, b = 2; (d) Parabola com vertice V

(3

4,−1

2

)e parametro p =

1

2;

(e) Elipse com centro O(1, 2), a = 3, b = 2; (f) Hiperbole com centro O(1,−1), a =5

3, b =

5

2

24. Uma conica tem equacao x2 + 2y2− 4x+ 2 = 0. Caracterize a conica, determine seus focos e sua excentricidade.

Resposta: Elipse com centro O(2, 0), a =√

2, b = 1, focos F1(1, 0) e F2(3, 0), excentricidade e =1√2

25. Obtenha uma reta t paralela a reta y = x e tangente a parabola (λ) y = x2−x+3. Ache o ponto T de tangencia.

Respostas: (t)x− y + 2 = 0;T (1, 3)

26. Obtenha uma reta t perpendicular a reta (r)x+ 2y + 1 = 0 e tangente a hiperbole (λ) 5x2 − y2 = 1.

Resposta: Nao existe

27. Determine a equacao reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hiperbole 9x2−16y2 = −144

e cuja excentricidade e o inverso da excentricidade da hiperbole dada.

Resposta:x2

62516

+y2

25= 1

28. Mostre que, se os pontos A 6= B, entao os segmentos orientados (A,B) e (B,A) sao de mesmo comprimento,

mesma direcao e de sentido contrario.

29. Prove que:

(a) Se (A,B) ∼ (P,Q) e (C,D) ∼ (P,Q) entao (A,B) ∼ (C,D).

(b) Se (A,B) ∼ (C,D) entao (B,A) ∼ (D,C).

(c) Se (A,B) ∼ (C,D) entao (C,A) ∼ (D,B).

30. Prove que:

(a) Se−−→AB =

−−→CD entao

−→AC =

−−→BD. (b) Se

−−→BC =

−→AE entao

−−→EC =

−−→AB.

31. Prove que ~u = −~u se, e somente se, ~u = ~0.

32. Mostre que:

(a) Se ~u 6= ~0, entao ||~u|| > 0.

(b) ||−~u|| = ||~u||.

33. Verifique se e verdadeira ou falsa cada afirmacao e justifique sua resposta.

3

(a) (A,B) ∈−−→AB.

(b) (A,B) ∼ (C,D) se, e so se,−−→AB =

−−→CD.

(c) Se AB ‖ CD, entao−−→AB ‖

−−→CD.

(d) Se−−→AB =

−−→CD, entao A = C e B = D.

(e) Se−−→AB =

−−→CD, entao (A,C) ∼ (B,D).

(f) Se−−→AB =

−−→CD, entao AC ∩BD = ∅.

(g) Se∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣−−→CD∣∣∣∣∣∣, entao−−→AB =

−−→CD.

(h) Se−−→AB =

−−→CD, entao

∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣−−→CD∣∣∣∣∣∣.

(i) Se (A,B) ∼ (C,D), entao∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣−−→CD∣∣∣∣∣∣.Respostas: (a) V; (b) V; (c) V; (d) F; (e) V; (f) F; (g) F; (h) V; (i) V

34. Vale a igualdade ||~u+ ~v|| = ||~u|| + ||~v|| para quaisquer vetores ~u e ~v? Justifique sua resposta. E quanto a

||~u− ~v|| = ||~u|| − ||~v||?Respostas: Nao. Nao.

35. Prove que, se−−→AB +

−→AC =

−−→BC, entao A = B.

36. Mostre que o oposto de ~u+ ~v e −~u− ~v.

37. Na figura abaixo, ABCDEFGH representa um paralelepıpedo. Sendo ~u =−−→AB,~v =

−−→AD e ~w =

−→AE, exprima

−−→HB e

−−→DF em funcao de ~u,~v, ~w.

Respostas:−−→HB = ~u− ~v − ~w;

−−→DF = ~u− ~v + ~w

38. Determine a soma dos vetores indicados na figura.

(a) (b) (c) (d)

Respostas: (a)−−→AD; (b) ~0; (c)

−−→AD; (d)

−→AC

39. No paralelepıpedo da figura abaixo, determine o vetor ~x:

(a) ~x =−−→GH −

−−→HE −

−−→FE +

−→AE +

−−→AB.

(b) ~x =−−→HD −

−−→CF +

−−→DG+

−−→BC +

−→AF −

−−→BE.

(c) ~x =−−→AB +

−−→HG+

−→AC +

−−→DF +

−−→CE +

−−→BD.

Respostas: (a) ~x =−→AG; (b) ~x =

−−→HD; (c) ~x = 2

−→AF

40. Calcule a soma dos seis vetores que tem por representantes segmentos orientados com origem em cada um dos

vertices, e extremidade no centro de um mesmo hexagono regular.

Resposta: ~0

4

41. Quais sao a origem e a extremidade de um representante do vetor−−→BC +

−−→GH −

−→FA−

−−→GC +

−−→FB?

Resposta: A e H

42. Na figura abaixo, sejam ~u =−−→AB,~v =

−−→AH, ~w =

−→AC. Obtenha representantes dos vetores ~x e ~y tais que

~u+ ~v + ~x = ~0 e ~u+ ~v + ~w + ~y = ~0.

Respostas: ~x =−→GA; ~y =

−→FA

43. Mostre que, se ~v e um vetor nao-nulo, entao ~v e seu versor sao paralelos, de mesmo sentido, e que o versor de ~v

e unitario (isto e, tem norma 1).

44. Sendo ~u,~v e ~w representados na figura abaixo, represente ~x = 2~u− ~v + 5~w/4 por uma flecha de origem O.

Resposta:

45. O hexagono ABCDEF e regular, de centro O. Prove que−−→AB +

−→AC +

−−→AD +

−→AE +

−→AF = 6

−→AO.

46. Resolva os sistemas nas incognitas ~x e ~y:

(a)

{~x+ 2~y = ~u

3~x− ~y = 2~u+ ~v(b)

{~x+ ~y = ~u− 2~v

~x− ~y = 3~u

Respostas: (a) ~x = 5~u/7 + 2~v/7; ~y = ~u/7− ~v/7; (b) ~x = 2~u− ~v; ~y = −~u− ~v

47. Suponha que ~u = λ~v. Prove que:

(a) se ~v 6= ~0, entao |λ| = ||~u|| / ||~v||;

(b) se ~u e ~v sao de mesmo sentido, entao ~u =||~u||||~v||

~v; se sao de sentido contrario, ~u = −||~u||||~v||

~v.

48. Prove que, se P = A− ~u, entao−−→AB + ~u =

−−→PB, qualquer que seja B.

49. Determine a relacao entre ~u e ~v, sabendo que, para um dado ponto A, (A+ ~u) + ~v = A.

Resposta: ~u = −~v

50. Dados os pontos A,B e C, determine X, sabendo que (A+−−→AB) +

−−→CX = C +

−−→CB.

Resposta: C = X

51. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.

(a) Se (~u,~v, ~w) e LD, entao (~u,~v) e LD.

(b) Se (~u,~v) e LI, entao (~u,~v, ~w) e LI.

5

(c) Se ~u,~v e ~w nao sao nulos e se (~u,~v, ~w) e LD, entao (2~u,−~v) e LD.

(d) Se (~u,~v, ~w) e LI, entao (~u,~v) e LD.

(e) Se (~u,~v, ~w) e LD, entao (~u,~v) tanto pode ser LD como LI.

(f) Se (~u,~v) e LI, entao (~u,~v, ~w) tanto pode ser LD como LI.

Respostas: (a) F; (b) F; (c) F; (d) F; (e) V; (f) V

52. Prove que (~a,~b,~c) e LD, quaisquer que sejam ~u,~v e ~w.

(a) ~a = 2~u+ 4~v + ~w, ~b = −~u+ ~v/2 + 3~w/4, ~c = ~v + ~w/2.

(b) ~a = ~u+ 2~v − ~w, ~b = 2~u− 3~v + ~w, ~c = 7~v − 3~w.

(c) ~a = ~u− 2~v + ~w, ~b = 2~u+ ~v + 3~w, ~c = ~u+ 8~v + 3~w.

53. Prove:

(a) (~u,~v) e LI se, e so se, (~u+ ~v, ~u− ~v) e LI.

(b) (~u,~v, ~w) e LI se, e so se, (~u+ ~v + ~w, ~u− ~v, 3~v) e LI.

54. Determine a e b, sabendo que (~u,~v) e LI e que (a− 1)~u+ b~v = b~u− (a+ b)~v.

Resposta: a =2

3, b = −1

3

55. No trapezio ABCD da figura abaixo, o comprimento de AB e o dobro do comprimento de de CD. Exprima−−→AX

como combinacao linear de−−→AD,

−−→AB.

Resposta:−−→AX = 2

−−→AD/3 +

−−→AB/3

56. Seja E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base. Sabendo que (x, y, x− y)E = (x2, y2, x+ y)E , calcule x2 + y2 − x.

Resposta: x2 + y2 − x = 0

57. Sendo ~u = (1,−1, 3)E , ~v = (2, 1, 3)E , ~w = (−1,−1, 4)E , determine a tripla de coordenadas de:

(a) ~u+ ~v. (b) ~u− 2~v. (c) ~u+ 2~v − 3~w.

Respostas: (a) (3, 0, 6)E ; (b) (−3,−3,−3)E ; (c) (8, 4,−3)E

58. Escreva ~t = (4, 0, 13)E como combinacao linear de ~u = (1,−1, 3)E , ~v = (2, 1, 3)E , ~w = (−1,−1, 4)E .

Resposta: ~t = ~u+ 2~v + ~w

59. ~u = (1,−1, 3)E pode ser escrito como combinacao linear de ~v = (−1, 1, 0)E , ~w = (2, 3, 1/3)E?

Resposta: Nao

60. Verifique se ~u e ~v sao LI ou LD.

(a) ~u = (0, 1, 0)E , ~v = (1, 0, 1)E .

(b) ~u = (0, 11, 1)E , ~v = (0,−22,−2)E .

(c) ~u = (0, 1, 1)E , ~v = (0, 3, 1)E .

(d) ~u = (1,−3, 14)E , ~v = (1/14,−3/14, 1)E .

Respostas: (a) LI; (b) LD; (c) LI; (d) LD

61. Verifique se ~u,~v e ~w sao LI ou LD.

6

(a) ~u = (1, 0, 0)E , ~v = (200, 2, 1)E , ~w = (300, 1, 2)E . (b) ~u = (1, 2, 1)E , ~v = (1,−1,−7)E , ~w = (4, 5,−4)E .

Respostas: (a) LI; (b) LD

62. Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD.

(a) ~u = (m, 1,m)E , ~v = (1,m, 1)E .

(b) ~u = (m, 1,m+ 1)E , ~v = (1, 2,m)E , ~w = (1, 1, 1)E .

(c) ~u = (m, 1,m+ 1)E , ~v = (0, 1,m)E , ~w = (0,m, 2m)E .

Respostas: (a) m = −1 ou m = 1; (b) Nao existe; (c) m = 0 ou m = 2

63. Verifique se (~f1, ~f2, ~f3) e base, sabendo que ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = ~e1 + ~e2, ~f3 = ~e3, e que (~e1, ~e2, ~e3) e base.

Resposta: Nao

64. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~u = ~e1 +~e2, ~v = ~e1 +~e2 +~e3, ~w = a~e1 + b~e2 + c~e3. Determine uma relacao entre

a, b e c para que (~u,~v, ~w) seja base.

Resposta: a 6= b

65. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~u = (1, 2,−1)E , ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = m~e1 + 2m~e2 − ~e3, ~f3 = 4~e2 + 3~e3.

(a) Para que valores de m a tripla F = (~f1, ~f2, ~f3) e base?

(b) Nas condicoes do item (a), calcule m para que ~u = (0, 1, 0)F .

Respostas: (a) m 6= −4

7; (b) m = 1

66. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~f1 = ~e1 −+~e2, ~f2 = m~e1 + ~e3, ~f3 = −~e1 − ~e2 − ~e3.

(a) Para que valores de m a tripla F = (~f1, ~f2, ~f3) e base?

(b) Nas condicoes do item (a), calcule a e b de modo que os vetores ~u = (1, 1, 1)E e ~v = (2, a, b)F sejam LD.

Respostas: (a) m 6= 2; (b) Nao existem

67. Seja E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base ortonormal. Calcule ||~u||, nos casos:

(a) ~u = (1, 1, 1)E . (b) ~u = 3~e1 + 4~e3. (c) ~u = −4~e1 + 2~e2 − ~e3.

Respostas: (a) ||~u|| =√

3; (b) ||~u|| = 5; (c) ||~u|| =√

21

68. No paralelepıpedo retangulo da figura abaixo, HG,BC e CG medem, respectivamente, 3, 1 e 2.

(a) Explique por que (−−→AB,

−→AE,−−→AD) e base e verifique se e ortonormal.

(b) Explique por que, em relacao a base do item (a),−→AG = (1, 1, 1).

(c) O comprimento da diagonal AG e d =√

14 ou d =√

3?

Respostas: (a) Nao; (c) d =√

14

69. Determine a, b e c, sabendo que (1, 1, 2)E = (2, 1, 0)F e que a matriz de mudanca da base F para a base E e −1 0 a

2 1 b

1 0 c

.Resposta: a =

3

2, b = −1, c = −1

2

7

70. Escreva a matriz de mudanca da base E = (~e1, ~e2, ~e3) para a base F = (~f1, ~f2, ~f3) e exprima o vetor ~u =

−4~f1 + ~f2 − ~f3 em funcao de ~e1, ~e2, ~e3, sabendo que ~f1 = (−3, 1, 1)E , ~f2 = (1,−2, 1)E e ~f3 = (1, 2, 0)E .

Resposta: MEF =

−3 1 1

1 −2 2

1 1 0

; ~u = 12~e1 − 8~e2 − 3~e3

71. Se E = (~u,~v, ~w) e base, que condicoes deve satisfazer m para que F = (~u+~v,m~v− ~w, ~u+m~w) seja base? Escreva

a matriz de mudanca de E para F .

Resposta: m 6= −1 e m 6= 1; MEF =

1 0 1

1 m 0

0 −1 m

72. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3), F = (~f1, ~f2, ~f3) e G = (~g1, ~g2, ~g3) bases tais que

2~e1 =√

3~f1 − ~f3 ~g1 = ~e1 + ~e2 + ~e3

2~e2 = ~f1 +√

3~f3 ~g2 = ~e1 + ~e2

~e3 = ~f2 ~g3 = ~e1

Escreva as matrizes de mudanca de base MFE ,MEG e MFG.

Respostas: MFE =

√

3/2 1/2 0

0 0 1

−1/2√

3/2 0

; MEG =

1 1 1

1 1 0

1 0 0

; MFG =

(√

3 + 1)/2 (√

3 + 1)/2√

3/2

1 0 0

(√

3− 1)/2 (√

3− 1)/2 −1/2

8