UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Física...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Instituto de Física “Gleb Wataghin”

EDWIN GERMAN PINILLA PACHON

Guiamento óptico de átomos através de feixes não difrativos do

tipo “Frozen Waves”

Atom optical guiding along non-diffracting beams of type “Frozen Waves"

Campinas

2016

EDWIN GERMAN PINILLA PACHON

Guiamento óptico de átomos através de feixes não difrativos do

tipo “Frozen Waves”

Atom optical guiding along non-diffracting beams of type “Frozen Waves"

Tese apresentada ao

Instituto de Física Gleb Wataghin da

Universidade Estadual de Campinas como parte

dos requisitos exigidos para a obtencão

do título de Doutor em Ciências.

Thesis presented to the

Physics Institute Gleb Wataghin of

the University of Campinas in partial fulfillment

of the requirements for the degree of

Doctor of Sciences.

Orientador: Prof. Dr. Michel Zamboni Rached

Coorientador: Prof. Dr. Guillermo Gerardo Cabrera Oyarzún

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À REDAÇÃO FINAL DA TESE

DEFENDIDA PELO ALUNO EDWIN GERMAN PINILLA PACHON E

ORIENTADA PELO PROF. DR. MICHEL ZAMBONI RACHED.

Campinas

2016

Agência(s) de fomento e n(s) de processo(s): CNPq, 141977/2013-2

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Física Gleb WataghinLucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Pinilla Pachon, Edwin German, 1981-P655g Guiamento óptico de atomos através de feixes não difrativos do tipo “Frozen

Waves” / Edwin German Pinilla Pachon. - Campinas, SP : [s.n.], 2016.

Orientador: Michel Zamboni Rached.Coorientador: Guillermo Gerardo Cabrera Oyarzún.Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física

Gleb Wataghin.

1. Difração. 2. Campo óptico não difrativo. 3. Método Frozen Waves. 4.Método Frozen Waves estendido. 5. Guiamento óptico de átomos. 6. Potencialde dipolo óptico. I. Rached, Michel Zamboni,1973-. II. Cabrera Oyarzún,Guillermo Gerardo,1948-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto deFísica Gleb Wataghin. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Atom optical guiding along non-diffracting beams of type “Fro-zen Waves"Palavras-chave em inglês:DiffractionNon-diffracting optical fieldFrozen Waves methodExtended Frozen Waves methodAtom optical guidingOptical dipole potentialÁrea de concentração: FísicaTitulação: Doutor em CiênciasBanca examinadora:Michel Zamboni Rached [Orientador]Antonio Vidiella BarrancoLuiz Carlos KretlyLeonardo André AmbrosioErasmo RecamiData de defesa: 06-12-2016Programa de Pós-Graduação: Física

Dedicatória

A meu pai German, minha Mai Oliva, minhas irmãs Bety, Elvia, Yuly, Ana, e aos pequenos

Isabella e Nikolai, dedico este documento.

Agradecimentos

A meu orientador, Michel, e meu coorientador, Guillermo, agradeço a infinita ajuda du-

rante todo o doutorado, nas explicações, tanto na parte teórica como na parte experimental

do meu projeto.

Um continente apenas aflorado pelo homem oferecia-se a homens cujaavidez já não os deixava se contentar com o seu. Tudo seria questionadode novo por esse segundo pecado: Deus, a moral, as leis. Tudo seria, deforma tão simultânea quanto contraditória, verificado de fato, revogadode direito. Verificados, o Éden da Bíblia, a Idade de Ouro dos antigos, aFonte da Juventude, a Atlântida, as Hespérides, as Pastorais e as IlhasAfortunadas; mas também sujeitos à dúvida pelo espetáculo de umahumanidade mais pura e mais feliz (que decerto não o era de fato mas queum secreto remorso já apresentava como se fosse), a revelação, a salvação,os costumes e o direito. Nunca a humanidade conhecera provação tãodilacerante, e nunca mais conhecerá outra igual, a não ser que um dia,a milhões de quilômetros do nosso, outro globo se revele, habitado porseres pensantes. Nós ainda sabemos que essas distâncias são teoricamentetransponíveis, ao passo que os primeiros navegantes temiam enfrentar onada.

Claude Lévi-Strauss, Tristes Trópicos.

Resumo

Nesta tese, propõe-se um novo método para realizar guiamento de átomos neutros

resfriados. Este método envolve o uso da pressão de radiação por ressonância para efetuar

o guiamento dos átomos através de um campo óptico (feixe) oco. Particularmente, usa-se

a força de dipolo óptico e um tipo específico de campo óptico não difrativo, chamado

de “Frozen Wave” (FW ), na versão tradicional e estendida, para estudar o guiamento

atômico.

Os campos ópticos FW ’s, que são uma solução exata da equação de onda, surgem como

uma resposta aos problemas relacionados com a difração e com a impossibilidade de fazer

qualquer tipo de modelamento (ou localização) longitudinal e transversal de intensidade,

dos campos ópticos tradicionais usados no guiamento de átomos, como por exemplo, nos

campos Laguerre-Gauss e Bessel.

Assim, planejam-se algumas soluções mediante os métodos tradicional e estendido que

permitem criar estruturas de luz (localizadas) resistentes à difração e nas quais o padrão de

intensidade longitudinal e transversal (restringido) pode ser modelado a priori. De acordo

com isso, o estudo teórico do método tradicional e da generalização das FW ’s foi realizado

junto com sua comprovação experimental e foram calculados os respectivos potenciais de

dipolo óptico junto com a profundidade de penetração dos átomos na barreira de potencial

para cada campo óptico.

Nos resultados conseguiu-se modelar algumas estruturas de luz (tanto no método tradi-

cional como no estendido) tais como um cilindro, três cilindros concatenados, um tipo de

cilindro com tampa e um funil óptico, entre outras; e mostrou-se as vantagens do uso deste

tipo de estruturas de luz quando comparadas com os campos ópticos tradicionais para o

guiamento atômico.

Finalmente, concluiu-se que usar este tipo de campos não difrativos elimina as restrições

dos campos tradicionais e é possível fazer o guiamento de átomos neutros resfriados com

estes tipos de estruturas de luz. O método estendido dá uma generalização que permite

pensar estes tipos de estruturas de luz para aplicações mais globais nas diferentes áreas da

óptica e fotônica.

Palavras Chaves: Difração, campo óptico não difrativo, método Frozen Waves, método

Frozen Waves estendido, guiamento óptico de átomos, potencial de dipolo óptico.

Abstract

This thesis proposes a new method to perform cold neutral atom guiding. This method

involves the use of resonance radiation pressure to make the atom guiding along a hollow

(beam) optical field. Particularly, it uses the optical dipole force and a specific type of

non-diffracting optical field, called "Frozen Wave"(FW ), in these traditional and extended

versions, to study the atom guiding.

The FW ’s optical fields, which are an exact solution of the wave equation, appear as

an answer to the problems related to the high diffraction and impossibility of any type of

longitudinal and transverse intensity modeling (or location) of traditional optical fields used

in atom guiding, for example the Laguerre-Gaussian and Bessel optical fields.

Thus, some solutions were planned by the traditional and extended methods, which allow

to create localized light structures resistant to diffraction and model a priori longitudinal and

transverse (restricted) intensity pattern. Accordingly, the theoretical study of the traditional

method and his generalization were carried out with their experimental evidence. Also, his

respective optical dipole potential was calculated with the atom penetration depth in the

potential barrier for each optical field.

In the results was possible to model some light structures (both in the traditional and

extended method) such as a cylinder, three concatenated cylinders, one cylinder with a lid

and an optical funnel, among others; and it is showed the advantages of using this type

of light structures when it is compared with the conventional optical fields for the atom

guiding.

Finally, it is concluded that use this type of non-diffracting fields eliminates the res-

trictions of the traditional fields and it is possible the cold neutral atoms guiding with this

type of light structures. The FW ’s extended method gives a generalization and it permits

to suggest this type of light structures for more complete applications in different areas of

optics and photonics.

Keywords: Diffraction, Non-diffracting optical field, Frozen Waves method, extended

Frozen Waves method, atom optical guiding, optical dipole potential.

Lista de Figuras

2-1 Sistema de coordenadas para a definição do campo óptico de Bessel. . . . 26

2-2 Frozen Wave de ordem zero modelada como uma função degrau. . . . . . 31

2-3 Frozen Wave de ordem zero modelada com uma função exponencial. . . . 32

2-4 Frozen Wave de ordem zero modelada para diferentes regiões pré-escolhidas. 34

2-5 Frozen Wave de ordem dois modelada como uma função degrau. . . . . . 37

2-6 Frozen Wave de ordem quatro modelada como uma função supergaussiana. 38

2-7 Frozen Wave estendida com campos ópticos de Bessel zero e quatro. . . . 42

3-1 Formação de uma onda estacionaria e seu potencial de dipolo óptico. . . . 45

3-2 Sistema quântico de dois níveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3-3 Descrição do sistema de dois níveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3-4 Procesos de absorção e emissão num sistema de dois níveis. . . . . . . . . 51

3-5 Intensidade e potencial de dipolo óptico para o campo Laguerre-Gauss LG10. 53

3-6 Curva para determinar a dessintonização ótima para o campo óptico LG10. 54

3-7 Intensidade e potencial de dipolo óptico para o campo óptico de Bessel. . . 55

3-8 Comparação nos valores de intensidade nas funções de Bessel e Gaussiana. 57

3-9 Intensidade para o campo óptico de Bessel-Gauss com diferentes valores de q. 58

3-10 Intensidade e potencial de dipolo óptico para o campo Bessel-Gauss. . . . 59

4-1 Diagrama de fluxo do experimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4-2 Aparato experimental para a obtenção de alguns campos ópticos. . . . . . 64

4-3 Espectro de Fourier no foco das lentes L2 e L3. . . . . . . . . . . . . . . . 65

4-4 Campo óptico arbitrário transversal numa câmera CCD. . . . . . . . . . . 65

4-5 Aparato experimental geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4-6 Aparato experimental alternativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4-7 Gravação do holograma e reprodução do campo óptico . . . . . . . . . . . 68

4-8 Gravação do holograma e reprodução do campo óptico Leith-Upatnieks . . 69

4-9 Hologramas obtidos para alguns campos ópticos. . . . . . . . . . . . . . . 71

4-10 Perfil de campo longitudinal para alguns campos ópticos. . . . . . . . . . 72

5-1 Campos ópticos de Laguerre-Gauss e Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5-2 Campos ópticos para Frozen Wave com a função supergaussiana. . . . . . 76

5-3 Campo óptico ΘTC com forma de dois cilindros. . . . . . . . . . . . . . . 79

5-4 Campo óptico ΘLC com forma de cilindro com tampa. . . . . . . . . . . . 82

5-5 Campo óptico ΘTCC com forma de três cilindro. . . . . . . . . . . . . . . 84

5-6 Campo óptico ΘLC2 com forma de cilindro com tampa. . . . . . . . . . . . 86

5-7 Campo óptico ΘTCA ampliando-se. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6-1 Sistema atômico de três niveis (85Rb). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A-1 Participação no: College of Optics 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

A-2 Participação no: Days on Diffraction 2015 - PDMI RAS. . . . . . . . . . . 97

A-3 Participação no evento: RIAO-OPTILAS 2016. . . . . . . . . . . . . . . . 97

E-1 Arranjo molecular para o cristal líquido nemático. . . . . . . . . . . . . . . 112

E-2 Arranjo molecular para o giro do cristal líquido nemático. . . . . . . . . . 113

E-3 Estrutura de uma célula de cristal líquido elétricamente controlada. . . . . 114

E-4 Cristal líquido nemático girado com uma voltagem alta. . . . . . . . . . . 115

E-5 Modulação de intensidade com uma célula do NLC. . . . . . . . . . . . . 118

Lista de Tabelas

3.1 Comparação para os diferentes campos ópticos modelados. . . . . . . . . . 60

Conteúdo

1 Introdução 18

1.1 Motivação e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Frozen Waves 22

2.1 Campos ópticos não difrativos - Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Campos ópticos do tipo “Frozen Waves” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 O método Frozen Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Frozen Wave de ordem maior que zero . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Metodo Frozen Wave estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Caso 1. Ju(·)’s iguais, Q’s diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Caso 2. Jl(·)’s diferentes, Q’s iguais ou diferentes . . . . . . . . . 40

3 Potencial de dipolo óptico 44

3.1 Descrição clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Descrição semiclássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Dinâmica do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2 Força por pressão de radiação para um átomo de dois níveis . . . . 48

3.2.3 Força induzida de gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.4 Potencial de dipolo óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Potencial de dipolo óptico para alguns campos . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1 Campo óptico de Laguerre-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.2 Campo óptico de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.3 Campo óptico Bessel-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Experimento 61

4.1 Aparato experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1 Elementos usados no experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.2 Montagem experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.3 Montagem experimental alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.4 Aquisição de imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Criação dos hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Tratamento de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Resultados teóricos e experimentais 73

5.1 Campos tradicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Frozen Wave de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Método das Frozen Waves estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.1 Caso 1. Ju(·)’s iguais, Q’s diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.2 Caso 2. Jl(·)’s diferentes, Q’s iguais ou diferentes . . . . . . . . . 80

6 Conclusão e perspectivas 89

Bibliografia 92

A Artigo e Participações 96

B Aproximação de dipolo óptico 104

C Aproximação de onda girante 105

D Operador densidade para um sistema atômico de dois níveis 107

D.1 Dinâmica da Matriz densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

D.2 Sistema atômico de dois níveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

E Funcionamento do modulador espacial de luz 112

F Rotina para gerar hologramas 119

G Rotina para gerar mapa de intensidade 123

18

Capítulo 1

Introdução

O uso do laser em pinças ópticas, i.e., para a manipulação de pequenas partículas

[1, 2], ou no controle do crescimento e deposição de partículas [3], já é bem conhecido e

praticado. Da mesma forma, é bem conhecido há vários anos, teórica e experimentalmente,

que é possível manipular os graus de liberdade de átomos através de campos ópticos (feixes

de laser) [4]. Aqui, a palavra manipular pode significar o aprisionamento de átomos (através

de armadilhas ópticas) ou o resfriamento de átomos (bosônicos) para a possível obtenção

de um condensado de Bose-Einstein [5, 6], o qual possibilita a geração do chamado laser

de átomos (atom laser) [7].

Dado um feixe de átomos resfriados, ou até mesmo um laser de átomos, é de grande

interesse prático e teórico o seu guiamento. Isso pode ser realizado através de fibras ópticas

ocas [8, 9] ou, de forma muito mais interessante, através de campos ópticos [10, 11, 12]. O

guiamento através de campos ópticos requer uma interação de dipolo entre os átomos e o

campo óptico de forma a restringir o movimento transversal do feixe atômico. É importante

salientar que, dependendo da frequência do campo óptico, a força de dipolo [13] pode atrair

ou repelir os átomos para ou de regiões de maior intensidade do campo. Por exemplo, na

faixa do vermelho os átomos são atraídos para a região de máxima intensidade do campo

óptico, o que não é desejável devido à possibilidade de emissão espontânea por parte dos

átomos [14], resultado do aquecimento sofrido por ficarem em regiões de alta intensidade

19

de luz. Esse aquecimento acaba por diminuir a coerência do feixe atômico.

Uma forma de contornar esse problema é o uso de um campo óptico na faixa do azul

(com frequência acima daquela de ressonância atômica). Nesse caso a força de dipolo age

de forma a localizar os átomos em regiões de mínima intensidade de luz, evitado assim os

inconvenientes causados pelos campos ópticos na faixa do vermelho. O guiamento óptico

de um feixe de átomos pode ser muito mais vantajoso do que aquele feito com fibras

ópticas ocas, principalmente pela ausência de forças de Van der Waals. No entanto existem

problemas que devem ser contornados quando optamos pelo guiamento via campos ópticos.

A seguir, expõe-se os dois mais importantes. O primeiro deles está relacionado com o

formato espacial do campo (feixe) óptico, que deve ser apropriado para o tipo de guiamento

desejado. Por exemplo, com um laser no azul, o campo óptico deve ser do tipo oco (hollow

beam) [15] para que se tenha um guiamento do feixe de átomos (resfriados) em linha reta

e concentrados ao redor do eixo de propagação do campo óptico. O segundo problema a

ser enfrentado diz respeito à difração naturalmente sofrida pelo campo óptico. Um exemplo

disso ocorre quando usamos um campo óptico dado pelo modo LP01 (tipo donut) emanado

do término de uma fibra óptica [12]. Tal campo óptico rapidamente se degrada devido à

difração, impossibilitando o guiamento dos átomos por distâncias maiores. Uma alternativa

é o uso de campos ópticos do tipo Laguerre-Gauss [11, 16] de ordem superior, que são

centralmente ocos e podem ser focalizados a certas distâncias, permitindo uma distância

de propagação para o feixe atômico maior do que aquelas obtidas com campos ópticos

emanados do término de fibras ópticas. No entanto, os campos ópticos Laguerre-Gauss

também são distorcidos progressivamente pela difração, o que causa problemas para o

guiamento atômico.

Surgiu então a possibilidade do uso de campos ópticos de Bessel de ordem maior

que zero para realizar o guiamento [17]. Os resultados são muito interessantes pois os

campos ópticos de Bessel são capazes de manter a estrutura central resistente aos efeitos

da difração por longas distâncias. A desvantagem do uso deste tipo de campo óptico é a

impossibilidade de alterar seu padrão de intensidade, de forma a obter, por exemplo, algum

1.1. MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS 20

tipo de localização longitudinal.

1.1 Motivação e objetivos

Devido aos diferentes problemas associados ao guiamento óptico de átomos neutros

resfriados, como difração [10, 16] e a impossibilidade de se fazer qualquer tipo de modela-

mento (ou localização) longitudinal e transversal de intensidade dos campos [17], propõe-se

nesta tese o uso de um interessante campo óptico não-difrativo, chamado de Frozen Wave

(nas suas versões tradicional e estendida), para o guiamento atômico. As duas características

principais deste tipo de campos ópticos são:

• São campos ópticos cujo padrão longitudinal e transversal (parcialmente) de intensi-

dade podem ser previamente escolhidos.

• São campos ópticos não difrativos, ou seja, campos que resistem aos efeitos da difra-

ção por longas distâncias quando comparados aos campos usuais.

Essas duas características das chamadas Frozen Waves (FW ) respondem perfeita-

mente aos dois problemas relacionados ao uso de campos ópticos (usuais) no guiamento

de átomos neutros resfriados, a saber, o formato espacial requerido para o campo óptico,

que deve estar de acordo com o guiamento desejado, e a limitação causada pelos efeitos da

difração.

O método Frozen Wave tradicional será usado para a modelagem espacial do campo

óptico não-difrativo resultante, de acordo com a necessidade do guiamento, e serão obti-

dos os potencias que descrevem as interações desses campos ópticos com os átomos junto

com os efeitos da difração nesses potenciais. Também será realizada sua comprovação ex-

perimental e a respectiva comparação com alguns campos ópticos tradicionais usados no

guiamento de átomos tais como Laguerre-Gauss e Bessel.

Uma extensão do método, que permite um modelamento transversal do campo óptico

mais efetivo que o método tradicional, é proposta e verificada de maneira experimental.

1.1. MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS 21

Também são calculados os potenciais de dipolo óptico tendo em conta que a aplicação

deste tipo de generalização permitirá criar inovadoras estruturas de luz (não difrativas) para

o guiamento de átomos.

Esta tese está organizada da seguinte maneira. No Capítulo 2 aparece, primeiro, uma

revisão dos campos ópticos Gaussiano e de Bessel, na qual se mostra as limitações para

o guiamento de átomos e, segundo, aparece o desenvolvimento teórico do modelo Frozen

Waves para as versões tradicional e estendida. Também são desenvolvidos alguns exemplos

que expõem as características e propriedades principais das FW ’s. No Capítulo, 3 obtêm-se

as expressões do potencial de dipolo óptico que serão usadas nas curvas (de potenciais) para

diferentes campos ópticos utilizados no guiamento de átomos, como por exemplo, os campos

de Laguerre-Gauss, Bessel-Gauss e Bessel. Neste capitulo também é demostrado o efeito

difrativo no potencial e vê-se a impossibilidade de gerar algum tipo de localização longitu-

dinal nestes campos ópticos tradicionais. No Capítulo 4, mostra-se o aparato experimental

que será usado para a comprovação experimental dos diferentes campos ópticos descritos

nos capítulos anteriores e, no Capítulo 5, apresentam-se os resultados que têm a ver com a

comparação teórica e experimental dos modelos tradicional e estendido das FW ’s, além da

demostração dos campos mais promissores para o guiamento atômico, entre os quais estão

um cilindro de luz localizado, um cilindro com tampa, um tipo de válvula óptica, um funil

óptico, entre outros; e também incluem-se os respectivos potenciais de dipolo óptico. No

capítulo 6 se apresentam as conclusões e perspectivas futuras.

22

Capítulo 2

Frozen Waves

O fenômeno da difração é desde há muito tempo conhecido e é associado com o

alargamento espacial gradativo do perfil transversal de um campo óptico [18], sendo isso

limitante nas aplicações onde se precisa que o campo mantenha sua estrutura transversal

com a propagação, como por exemplo, em imagens ópticas [19], litografia óptica [20, 21],

pinças ópticas [2, 22, 23, 24, 25, 26], guiamento óptico de átomos [11, 17, 27, 28] e

espectroscopia atômica [29]. Assim, é importante procurar por métodos que resolvam os

impedimentos associados com a difração.

A primeira intenção de resolver estes problemas é baseada na criação de algumas solu-

ções da equação de onda (e também das equações de Maxwell) do tipo ψ = A(x, y)eikzze−iωt

(ondas não-difrativas) que permitem minimizar o efeito da difração e permitem, portanto,

obter campos ópticos que conseguem manter sua estrutura transversal por longas distancias

quando se propagam no vácuo [30]. Esse tipo de campos não difrativos são, hoje em dia, uma

realidade e são produzidos em diferentes laboratórios ao redor do mundo [10, 31, 32, 33].

Entre os campos ópticos mais conhecidos estão: o campo óptico de Bessel [34], o campo

óptico de Airy [35], o campo óptico de Mathieu [36], e outros. Com isso, as aplicações

baseadas no uso desses campos ópticos têm crescido consideravelmente nos últimos anos

em áreas que têm a ver com o guiamento de átomos, as pinças ópticas, oferecendo cada

vez resultados mais inesperados. Já que o campos ópticos não difrativos são importantes

2.1. CAMPOS ÓPTICOS NÃO DIFRATIVOS - REVISÃO 23

no desenvolvimento do projeto, e em especial o campo óptico de Bessel, uma revisão geral

mostra-se a seguir.

2.1 Campos ópticos não difrativos - Revisão

O efeito difrativo num campo óptico gaussiano é relacionado com o aumento gradativo

do perfil transversal, que neste caso é refletido pelo aumento da cintura da função gaussiana

e a diminuição da intensidade do campo com a propagação. A intensidade deste campo

óptico é dada por

I(ρ, z) =2P0

πρ2c(z)

e−2 ρ2

ρ2c , (2.1)

na qual P0 representa a potência e ρc(z) a cintura do campo óptico, dada por

ρc(z) = ∆ρ0

√√√√1 +

(λz

π∆ρ20

)2

, (2.2)

com ∆ρ0 a cintura inicial (z = 0). Assim, por exemplo, para um campo óptico gaussiano

com um comprimento de onda de λ = 632, 8 × 10−9 m e com uma cintura inicial ∆ρ0 = 76

µm (z = 0), sua cintura (na transversal) será dobrada para um comprimento de propagação

de zdif =√

3π∆ρ20

λ≈ 5, 0 cm.

Considerava-se que a onda plana fosse a única solução da equação de onda que não

sofresse este tipo de aumento gradativo. No entanto, em 1941, Stratton, propôs uma

solução monocromática da equação de onda (escalar) dada por [34]

ψ = J0(kρρ)eikzze−iωlt, (2.3)

que mantinha sua forma com a propagação e na qual o perfil transversal foi representado por

uma função de Bessel1. Essa solução não foi considerada importante já que possuía um fluxo

de potencia infinito (na transversal), e portanto, irrealizável experimentalmente. Apesar

1Função de Bessel ordinaria, de ordem zero.


disso, em 1987, Durnin, considerando um truncamento na função de Bessel (colocando

uma abertura), demonstrou experimentalmente o caráter não difrativo deste campo óptico

para certo comprimento de propagação [37, 38]. Assim, por exemplo, foi mostrado que

para um comprimento de onda de λ = 632, 8 × 10−9 m, uma cintura de ∆ρ0 = 76 µm

(z = 0) e um truncamento (tamanho da abertura) de R = 7 mm o campo tinha se

propagado sem distorção por um comprimento de ≈ 310 cm. Essa importante característica

de reconstrução, do campo óptico com a propagação, foi associada com a difração dos anéis

laterais do campo óptico de Bessel [30, 39, 40, 41] a qual lhe permite conseguir uma distancia

de propagação maior que o campo Gaussiano.

Hoje em dia, o campo óptico de Bessel é o mais representativo entre os campos ópticos

resistentes à difração e pode ser obtido a partir da solução da equação de onda ou a partir

de uma superposição de ondas planas (análises desde a teoria). De acordo com isso, a seguir

expõem-se os dois métodos.

Campo óptico de Bessel desde a Equação de onda

Em coordenadas cilíndricas a equação de onda escalar (Eq. Helmholtz) é dada por

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2

∂2φ+

∂2

∂2z+ k2

ψ(ρ, φ, z) = 0, (2.4)

com ψ(ρ, φ, z) dado por

ψ(ρ, φ, z) = R(ρ)Φ(φ)Z(z), (2.5)

na qual assume-se que [42]

Φ(φ) = eiuφ e Z(z) = eikzz, (2.6)

obtendo-se

ψ(ρ, φ, z) = R(ρ)eiuφeikzz. (2.7)


Inserindo a Eq. 2.7 na Eq. 2.4, obtêm-se a equação para a coordenada radial

d2R(ρ)

d2ρ+

1

ρ

dR(ρ)

dρ+ k2

ρR(ρ)

(1 − u2

k2ρρ

2

)= 0, (2.8)

que é conhecida como equação de Bessel e na qual k2ρ = k2 − k2

z . A solução para esta

equação é dada por [43]

R(ρ) = µJu(kρρ) + νNu(kρρ), (2.9)

com µ e ν sendo constantes de peso. Neste caso particular, a parte correspondente à função

de Neumann não é considerada já que têm singularidades na origem. Assim, considera-se

como solução, da Eq. 2.8, a função de Bessel ordinária.

Dessa maneira, a solução para o campo óptico de Bessel têm a forma

ψ(ρ, φ, z, t) = Ju(kρρ)eiuφeikzze−iωlt. (2.10)

Campo óptico de Bessel a partir de superposição de ondas planas

Outra forma interessante de obter este campo óptico vêm dada pela superposição de

ondas planas a partir de

ψ(ρ, φ, z, t) = e−iωlt∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞dkxdkydkzS

′(kx, ky, kz)ei(kxx+kyy+kzz)δ(k2−(k2x+k2

y+k2z)),

(2.11)

na qual k = ωc

e S ′(kx, ky, kz) representa o espectro, para ser escolhido, correspondente ao

campo óptico. O vetor de onda k pode ser dado como

k = kxex + kyey + kzez = kk, (2.12)

na qual

k = sin(θ′) cos(φ′)ex + sin(θ′) sin(φ′)ey + cos(θ′)ez, (2.13)

de acordo com a Fig. 2-1(a). Inserindo a Eq. 2.12 e Eq. 2.13 na Eq. 2.11, o campo óptico


fica na forma

ψ(ρ, φ, z, t) = e−iωlt∫ 2π

0dφ′

∫ π

0dθ′S(φ′, θ′)eik(sin(θ′) cos(φ′)ex+sin(θ′) sin(φ′)ey+cos(θ′)ez).

(2.14)

Ao escolher o espectro (que é o usado para gerar o campo óptico de Bessel) igual a

S(φ′, θ′) = δ(θ′ − θ0)eiuφ′

, (2.15)

que significa que os vetores de onda que originam o campo óptico de Bessel estão sobre um

cone (Fig. 2-1(b)), obtêm-se

ψ(ρ, φ, z, t) = Ju(kρρ)eiuφeikzze−iωlt (2.16)

na qual kρ = k sin(θ0), kz = k cos(θ0) e k2 = k2ρ + k2

z .

e

(a) (b)

x

ez

ey

k

'

ϕ'

ez

ex

ey

k

0

k k

k

yz

x

Figura 2-1: Sistema de coordenadas para a definição do campo óptico de Bessel.(a) Coordenadas para a determinação do vetor de onda unitario. (b) Cone para o vetor de onda

do campo óptico de Bessel.

De acordo com os resultados da Eq. 2.10 e Eq. 2.16, vê-se que o campo óptico

têm a estrutura correspondente com o tipo de campos resistentes à difração,

ou seja, ψ = A(x, y)eikzze−iωt. Neste tipo de campos ópticos sua estrutura transversal

é independente da coordenada de propagação, e portanto, são considerados como campos

não difrativos.

Nos últimos anos encontrou-se um tipo de campo óptico resistente aos efeitos da

difração no qual sua estrutura não correspondia com ψ = A(x, y)eikzze−iωt. Este campo

2.2. CAMPOS ÓPTICOS DO TIPO “FROZEN WAVES” 27

óptico permitiu uma localização longitudinal (e transversal em menor medida) da intensidade

do campo óptico e demostrou-se que não se identifica no padrão previamente descrito. Este

tipo de campo óptico é exposto na seguinte seção.

2.2 Campos ópticos do tipo “Frozen Waves”

Como uma alternativa para contornar esses problemas (da difração e impossibilidade

de localização longitudinal e transversal) dos campos ópticos citados anteriormente, surgiu

um tipo de onda resistente aos efeitos da difração, conhecida como Frozen Wave (FW ).

Este método (tradicional) consiste em realizar uma superposição de campos ópticos de

Bessel co-propagantes, da mesma ordem, da mesma frequência e com diferentes números

de onda longitudinais de tal forma a obter um campo óptico resistente à difração e que

pode ter seu padrão longitudinal de intensidade na direção de propagação (e transversal,

em menor medida), modelado a priori [31]. Este modelamento pode acontecer sobre o eixo

de propagação (ez+) ou sobre um cilindro cuja cintura (raio) pode ser escolhida a priori.

Uma descrição deste método é exposta a seguir.

2.2.1 O método Frozen Wave

O método tradicional FW , que é usado para o modelamento longitudinal e, em

menor medida, um modelamento transversal do campo óptico, pode ser realizado com uma

superposição de campos ópticos de Bessel de ordem zero ou maior do que zero com a cintura

do campo óptico constante ao longo do comprimento de modelamento de intensidade.

Uma extensão do método, proposta na Subsec. 2.3, possibilita um modelamento lon-

gitudinal e transversal mais efetivo que o método tradicional. Ou seja, permite escolher,

primeiro, a cintura do campo óptico com diferentes valores ao longo do comprimento mode-

lado, e segundo, permite escolher diferentes ordens nas FW ’s (ordens nos campos ópticos

de Bessel que geram a estrutura de luz). Esta importante extensão considera-se como uma

das principais contribuições desta tese e os resultados principais mostram-se na Sec. 5.3.


Método. Como se viu na Sec. 2.1, o campo óptico de Bessel é dado por

Ψ(ρ, φ, z, t) = Ju(kρρ)eikzzeiuφe−iωlt, (2.17)

na qual

k2ρ =

ω2l

c2− k2

z , (2.18)

com ωl, kρ e kz a frequência angular usada do laser, os números de onda transversal e

longitudinal, respectivamente. Para um campo de Bessel propagante numa direção (ez+),

impõe-se as condiçõesωl

kz

> 0 e k2ρ ≥ 0, (2.19)

que implica que ωl

c> 0. Passa-se então a construir um campo óptico dado pela superposição

de 2N + 1 campos de Bessel, de ordem zero, da mesma frequência ωl e com diferentes

números de onda kzn, ou seja

Ψ(ρ, z, t) = e−iωltN∑

n=−N

AnJ0(kρnρ)eikznz, (2.20)

sendo os An coeficientes constantes. Para cada n-ésimo campo óptico de Bessel, os parâ-

metros ωl, kρn e kzn devem satisfazer a Eq. 2.18, ou seja

k2ρn =

ω2l

c2− k2

zn, (2.21)

com

0 ≤ kzn ≤ ωl

c. (2.22)

O objetivo desta solução proposta consiste em encontrar os números de onda longi-

tudinais, kzn, e os coeficientes An para poder reproduzir, aproximadamente, no intervalo

0 ≤ z ≤ L (sobre o eixo z), um padrão de intensidade longitudinal desejado |F (z)|2. Ou


seja, deseja-se que em 0 ≤ z ≤ L, |Ψ(ρ = 0, z, t)|2 ≈ |F (z)|2, ou seja

N∑

n=−N

Aneikznz ≈ F (z) em 0 ≤ z ≤ L. (2.23)

Dessa maneira, é feita a seguinte escolha

kzn = Q+2π

Ln, (2.24)

com o parâmetro Q uma constante que cumpre

0 ≤ Q± 2πN

L≤ ωl

c. (2.25)

Este valor de Q esta relacionado com a cintura de campo óptico que é proposto para

o modelamento. Para este caso, que a FW é realizada com uma superposição de campos

de Bessel de ordem zero, é dado por [44]

Q =

√√√√ω2l

c2− 2, 42

∆ρ20

, (2.26)

na qual o valor 2, 4 corresponde à primeira raiz da função de Bessel de ordem zero, e ∆ρ0

representa a cintura, que é medida na primeira raiz da função de Bessel de ordem zero (para

n = 0, principal). Por exemplo, para uma FW de ordem zero com cintura de ∆ρ0 = 76

µm e λ = 632, 8 × 10−9 m (ou seja ωl = 2, 9788 × 1015 Rad/s), obtêm-se um valor

Q = 0, 999995ωl

c.

Em consequência, com essas escolhas, a Eq. 2.23, fica como

Ψ(ρ = 0, z, t) = e−iωlteiQzN∑

n=−N

Anei 2π

Lnz, (2.27)

com

An =1

L

∫ L

0F (z)e−i 2πn

Lzdz. (2.28)


Assim, quando ρ 6= 0, o campo óptico é

Ψ(ρ, z, t) = e−iωlteiQzN∑

n=−N

AnJ0(kρnρ)ei 2π

Lnz, (2.29)

com

k2ρn =

ω2l

c2−(Q+

2πn

L

)2

, (2.30)

e os coeficientes An dão as amplitudes e fases relativas de cada campo de Bessel na super-

posição.

Antes de falar do método de FW com campos ópticos de Bessel com ordem maior do

que zero, expõem-se aqui alguns exemplos que mostram as características dos campos FW

realizadas com campos ópticos de Bessel de ordem zero e com diferentes funções geradoras

de intensidade.

Exemplo 1

O primeiro modelamento de um campo óptico localizado na direção de propagação

vêm dado pela superposição de campos ópticos de Bessel de ordem zero representando um

padrão longitudinal de intensidade do tipo função degrau. Esse campo fica localizado sobre

o eixo de propagação do campo em certo intervalo de propagação. Neste caso a função de

intensidade é definida por

F (z) =

1 para l1 ≤ z ≤ l2

0 em outro caso,(2.31)

para 0 ≤ z ≤ L e representa uma função degrau entre l1 = 0, 1 m, l2 = 0, 35 m com

L = 1, 02 m. Uma segunda escolha que deve-se fazer é a correspondente ao valor de Q.

Neste casso deseja-se que o campo tenha uma cintura ∆ρ0 = 76 µm com a qual o valor

correspondente de Q é Q = 0, 999995ωl

c.

A Fig. 2-2(a) exibe a amplitude da função F (z) junto com a intensidade do campo

óptico (I = |Ψ(ρ, φ, z, t)|2) correspondente à FW enquanto que a Fig. 2-2(b) apresenta a


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0

0,5

1

1,5

z (m)

I(u.a.)

(a)

ρ=∆ ρ0

FWF (z)

−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,5

1

1,5

ρ (m)

I(u.a.)

(c)

z = 0, 25 m

x 10−4

FW

Figura 2-2: Frozen Wave de ordem zero modelada como uma função degrau.(a) Intensidade do campo óptico (FW ) em função da propagação do campo e representação da

função modelada F (z). (b) Perfil de intensidade da FW em função das coordenadaslongitudinal e transversal com φ = 0. (c) Intensidade de campo em função da coordenadatransversal de propagação. (d) Mapa de intensidade do campo resultante (Frozen Wave).

intensidade do campo óptico como função das coordenadas de propagação transversal (ρ) e

longitudinal (z). Na Fig. 2-2(c) vê-se o perfil de intensidade para a coordenada transversal

num valor de propagação fixo (z = 0, 25 m) e na Fig. 2-2(d) exibe-se o mapa de intensidade

do campo óptico onde vê-se claramente sua localização espacial. Neste exemplo, escolhe-se

Q = 0, 999995k, com k = 2πλ

(λ = 632, 8 × 10−9 m, ou seja ωl = 2, 9788 × 1015 Rad/s)

e um valor de cintura (∆ρ0 ≈ 76 µm), como se definiu anteriormente. O valor para N

usado nos resultados da Fig. 2-2 é N = 8 com Nmax = L2π

(ωl

c− Q) = 8. O número de

campos ópticos de Bessel (de ordem zero) usados na superposição foi então de 17, sendo

esse resultado determinado como 2N + 1.

As duas propriedades mostradas neste exemplo referem-se à localização longitudinal e

transversal do campo óptico como também sua resistência à difração, já que é um campo

óptico resultante de campos ópticos de Bessel (que são não difrativos).


Exemplo 2

Um segundo modelamento (Fig. 2-3) mostra uma FW quando a função de intensidade

é representada por uma exponencial crescente com a propagação. Neste caso a função é

dada por

F (z) =

eqz para l1 ≤ z ≤ l2


para 0 ≤ z ≤ L com l1 = 0, 05 m, l2 = 0, 40 m, L = 1, 02 m. Neste exemplo escolhe-se

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0

0,5

1

1,5

z (m)

I(u.a.)

(a)

ρ=∆ ρ0

FWF (z)

Figura 2-3: Frozen Wave de ordem zero modelada com uma função exponencial.(a) Intensidade do campo óptico (FW ) em função da propagação do campo e representação da

função modelada F (z). (b) Perfil de intensidade da FW em função das coordenadaslongitudinal e transversal com φ = 0. (c) Mapa de intensidade de campo transversal para uma

distancia de propagação de propagação z = 0, 32 m. (d) Mapa de intensidade do camporesultante (Frozen Wave).

novamente um campo óptico resultante com uma cintura de ∆ρ0 = 76 µm com o valor

Q = 0, 999995ωl

c. Aqui também usa-se N = 8 (Nmax = 8) e q=4. Como no exemplo

anterior, a Fig. 2-3(a) exibe a amplitude da função F (z) junto com a intensidade do campo

óptico (I = |Ψ(ρ, φ, z, t)|2) correspondente à FW enquanto que a Fig. 2-3(b) apresenta

a intensidade do campo óptico como função das coordenadas de propagação transversal

(ρ) e longitudinal (z). Nestas figuras, vê-se claramente o controle de intensidade (aumento


crescente de intensidade) a medida que o campo óptico se propaga. Na Fig. 2-3(c) vê-se o

mapa de intensidade transversal num valor de propagação fixo (z = 0, 32 m) no qual vê-se

um centro de intensidade e anéis de luz circundantes correspondentes ao campo de Bessel de

ordem zero (J0(·)). Na Fig. 2-3(d) exibe-se o mapa de intensidade do campo óptico, com

sua localização, no qual vê-se o aumento de intensidade com a propagação. Este exemplo é

interessante porque permite ver o controle que se têm sobre a intensidade quando o campo

se propaga, além de sua localização longitudinal (em menor medida transversal) e o carácter

não-difrativo.

Exemplo 3

Outro exemplo desta subseção pretende mostrar a flexibilidade no modelamento do

campo ao propor uma função com três localizações na direção de propagação como se vê

na Fig. 2-4. Neste sentido a função F (z) vêm dada por

F (z) =

−2 (z−l1)(z−l2)(l2−l1)2 para l1 ≤ z ≤ l2

−4 (z−l3)(z−l4)(l4−l3)2 para l3 ≤ z ≤ l4

−6 (z−l5)(z−l6)(l6−l5)2 para l5 ≤ z ≤ l6

0 em outro caso,

(2.33)

para 0 ≤ z ≤ L com l1 = 0, 10 m, l2 = 0, 20 m, l3 = 0, 25 m, l4 = 0, 40 m,

l5 = 0, 60 m, l6 = 0, 80 m, L = 2, 0 m. O valor de cintura usado neste caso é ∆ρ0 ≈ 76

µm com o correspondente valor de Q = 0, 999995ωl

ce com N = 15 (Nmax = 15).

Na Fig. 2-4(a) vê-se a amplitude da função F (z) junto com a intensidade do campo

óptico correspondente à FW enquanto que a Fig. 2-4(b) apresenta a intensidade do campo

óptico como função das coordenadas de propagação transversal (ρ) e longitudinal (z). Na

Fig. 2-4(c), vê-se o perfil de intensidade para a coordenada transversal num valor de

propagação fixo (z = 0, 70 m) e na Fig. 2-4(d) exibe-se o mapa de intensidade do campo

óptico com suas diferentes localizações.

Um campo óptico deste tipo pode ser usado como pinça óptica com o objetivo de


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0

0,5

1

1,5

z (m)

I(u.a.)

(a)

ρ=∆ ρ0

FWF (z)

−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,5

1

ρ (m)

I(u.a.)

(c)

z = 0, 70 m

x 10−4

FW

Figura 2-4: Frozen Wave de ordem zero modelada para diferentes regiões pré-escolhidas.(a) Intensidade do campo óptico (FW ) em função da propagação do campo e representação da

função modelada F (z). (b) Perfil de intensidade da FW em função das coordenadaslongitudinal e transversal com φ = 0. (c) Intensidade de campo em função da coordenadatransversal de propagação. (d) Mapa de intensidade do campo resultante (Frozen Wave).

atingir diferentes alvos na direção de propagação (em dimensões reduzidas). No exemplo,

o campo atinge partículas dielétricas nas posições (15, 32 e 70) cm como se vê na Fig.

2-4(a) e na Fig. 2-4(b). Este campo óptico mostra diferentes características como: varias

localizações de luz em diferentes posições, controle na intensidade do campo óptico e o

caráter não-difrativo.

Neste ponto é interessante comparar a resistência à difração dos campos ópticos dos

exemplos anteriores com o campo óptico Gaussiano da Sec. 2.1. Esse campo gaussiano,

com uma cintura de ∆ρ0 ≈ 76 µm, apresenta um incremento da sua cintura para o dobro em

zdif ≈ 5 cm enquanto que o campo FW (nos três exemplos anteriores) têm-se propagado

por distâncias muito maiores. No caso do terceiro exemplo, por exemplo, propagou-se até

≈ 80 cm mantendo sua estrutura transversal.


2.2.2 Frozen Wave de ordem maior que zero

Nesta parte estuda-se como controlar o valor do parâmetro Q quando campos ópticos

de Bessel de ordem maior2 do que zero são usados para construir o campo óptico FW , mais

especificamente, na definição dos valores dos números de onda transversais nos campos de

Bessel para superposição [45]. A ideia básica neste caso é obter o padrão longitudinal do

campo sobre um cilindro de luz, com ρ = ρu > 0, e não sobre o eixo como foi tratado na

subseção (2.2.1) anterior na qual o modelamento foi feito sobre o eixo de propagação, com

ρ = 0. Dessa maneira, elege-se um padrão de intensidade longitudinal, |F (z)|2, no intervalo

0 ≤ z ≤ L, e calcula-se os coeficientes An usando

An =1

L

∫ L

0F (z)e−i 2πn

Lzdz. (2.34)

O próximo passo é inserir na superposição campos ópticos de Bessel de ordem (u > 0) maior

do que zero com a mesma frequência e com diferentes números de onda longitudinais, para

obter um campo da forma

Ψ(ρ, φ, z, t) = e−iωltN∑

n=−N

AnBuJu(kρnρ)eikznzeiuφ (2.35)

no qual inclui-se uma constante de normalização da função de Bessel (Bu = 1/[Ju(·)]max

tal que [Ju(·)]max é o valor máximo de função de Bessel de ordem u), a fase (φ) referente

ao momento angular do campo óptico, kρn =√ω2

l − (Q+ 2πn/L)2 e os coeficientes An

dados por a Eq. 2.34.

Na superposição, Eq. 2.35, as funções de Bessel (Ju(kρnρ)), com valor de n diferente,

têm seu valor máximo para ρ = ρ′n, com ρ′

n sendo a primeira raiz positiva da equação

(dJu(kρnρ)/dρ) = 0. Cada valor de ρ′n é situado ao redor do valor central ρ′

n=0, para a qual

assume-se que Ju(kρn=0ρ) têm o valor máximo.

2Campos com funções de Bessel ordinarias de primeira especie. A ordem superior é dada pelo subindiceu ≥ 1


Para este caso o valor de Q pode ser determinado a partir de

[d

dρJu(ρ

√k2 −Q2)

]

ρ=ρu

= 0, (2.36)

ou

Q = cos

sin−1

(kρn=0

k

)ωl

c= cos

sin−1

(λ[Ju(x)]

2πρu

)ωl

c(2.37)

na qual [Ju(x)] representa o valor de x em dJu(x)/dx = 0, ou seja, o valor do primeiro

máximo da função de Bessel com ordem u ≥ 1.

Resumindo, usam-se campos ópticos de Bessel de ordem maior do que zero para obter

o campo óptico FW , sendo que neste caso têm a estrutura de um cilindro de luz com uma

cintura ρu (medida no primeiro máximo da função de Bessel de ordem maior do que zero).

Assim, o resultado são superfícies de forma cilíndrica num intervalo no espaço que podem

ser usadas no guiamento de átomos ou no guiamento de partículas dielétricas (guiamento

devido ao dipolo óptico no azul3). A seguir mostram-se alguns exemplos dos tipos de mo-

delamento que pode se conseguir com esta hipóteses.

Exemplo 4

O primeiro modelamento desta parte fez-se com uma superposição de campos ópticos

de Bessel de ordem u = 2 e reproduz uma superfície cilíndra tipo função degrau, ou seja,

um cilindro de luz que é localizado em certo intervalo de propagação como vê-se na Fig.

2-5. A função F (z) é dada por

F (z) =

1 para l1 ≤ z ≤ l2


na qual 0 ≤ z ≤ L com l1 = 0, 10 m, l2 = 0, 40 m e L = 1, 02 m. Já que neste exemplo

3As expressões de potenciais junto com a dessintonização do campo óptico no azul desenvolvem-se nopróximo Capitulo (Capitulo 3).


deseja-se um cilindro com uma cintura de ρ2 = 100 µm, o valor de Q é determinado como

Q = cos

sin−1

(632, 8 × 10−9 × 3, 054

2π × 100 × 10−6

)ωl

c= 0, 999995

ωl

c, (2.39)

na qual o valor 3, 054 representa o valor de x para o primeiro máximo (positivo) de J2(x).

Outros valores importantes para este modelamento são: Bu ≈ 1/0, 49 e N = 8 (Nmax = 8).

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0

0,5

1

1,5

z (m)

I(u.a.)

(a)

ρ=ρ2

FWF (z)

−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,5

1

ρ (m)

I(u.a.)

(c)

z = 0, 22 m

x 10−4

FW

Figura 2-5: Frozen Wave de ordem dois modelada como uma função degrau.(a) Intensidade do campo óptico (FW de ordem superior) em função da propagação do campo e

representação da função modelada F (z). (b) Perfil de intensidade da FW em função dascoordenadas longitudinal e transversal com φ = 0. (c) Intensidade de campo em função da

coordenada transversal de propagação. (d) Mapa de intensidade do campo resultante (FrozenWave).

Na Fig. 2-5(a) mostra-se a amplitude da função F (z) junto com a intensidade do

campo óptico correspondente à FW (de ordem superior) enquanto que a Fig. 2-5(b)

apresenta a intensidade do campo óptico (FW ) como função das coordenadas de propaga-

ção transversal (ρ) e longitudinal (z). Destas figuras vê-se que estes campos ópticos (do

tipo oco) apresentam todas as características dos campos expostos nos exemplos anteriores

(exemplos 1, 2, 3). Ou seja: não-difrativo, apresenta uma alta localização na direção de

propagação e controle na intensidade do campo. Na Fig. 2-5(c) vê-se o perfil de intensi-


dade para a coordenada transversal num valor de propagação fixo (z = 0, 22 m) e na Fig.

2-5(d) exibe-se o mapa de intensidade do campo óptico com sua localização transversal e

longitudinal (para φ = 0). Este campo permite grandes ventagens sobre os campos normais

usados, principalmente, no guiamento de átomos neutros resfriados devido a todas as suas

características anteriormente mencionadas.

Exemplo 5

Outro exemplo interessante mostra uma FW usando campos ópticos de Bessel de

ordem u=4 com o perfil de intensidade constante no intervalo escolhido. A função escolhida

para a amplitude desejada neste exemplo é uma função super-gaussiana dada por

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,5

1

1,5

z (m)

I(u.a.)

(a)

ρ=ρ4

FWF (z)

Figura 2-6: Frozen Wave de ordem quatro modelada como uma função supergaussiana.(a) Intensidade do campo óptico (FW ) em função da propagação do campo e representação dafunção modelada F (z). (b) Perfil de intensidade da FW em função das coordenadas longitudinale transversal com φ = 0. (c) Perfil de intensidade de campo transversal para um comprimento de

propagação de z = 0, 13 m. (d) Mapa de intensidade do campo resultante (Frozen Wave).

F (z) =

e−q(z/Z)2p

para l1 ≤ z ≤ l2


2.3. METODO FROZEN WAVE ESTENDIDO 39

na qual 0 ≤ z ≤ L com q = 4, p = 4, Z = 0, 1, l1 = 0, 06 m, l2 = 0, 20 m e L = 0, 5 m

(linha ponteada na Fig. 2-6(a)). O valor de cintura desejado neste exemplo foi de ρ4 = 100

µm com o correspondente valor de Q = 0, 9999782ωl

c. Outros valores de interesse (para

z = 0, 13 m) são: Bu ≈ 1/0, 4 e N = 9 (Nmax = 11).

Na Fig. 2-6(a), exibe-se a amplitude da função F (z) junto com a intensidade do

campo óptico correspondente à FW (de ordem superior) enquanto que a Fig. 2-6(b)

apresenta a intensidade do campo óptico como função das coordenadas transversal (ρ)

e longitudinal (z). Na Fig. 2-6(c) mostra-se o perfil de intensidade para a coordenada

transversal num valor de propagação fixo (z = 0, 13 m) no qual vê-se um anel de luz principal

e vários anéis circundantes, o que representa as funções de Bessel de ordem superior. Na

Fig. 2-6(d) vê-se a intensidade do cilindro de luz con sua respectiva localização espacial.

Esta FW particularmente foi construída pela superposição de 19 campos ópticos de Bessel

de ordem 4 e têm a forma de uma estrutura cilíndrica (tubo de luz) com uma intensidade

constante (aproximadamente) entre o intervalo (0, 09 ≤ z ≤ 0, 16) m (linha solida na Fig.

2-5(a)). O mapa de intensidade (φ = 0, Fig. 2-6(d)) confirma a localização do campo

óptico com o tamanho de cintura (de ρc = 100 µm) constante no intervalo proposto.

Destes últimos dois exemplos, vê-se claramente as vantagens ao usar este tipo de cam-

pos no guiamento de átomos ou partículas junto com a eliminação das restrições encontradas

nos campos ópticos do tipo Laguerre-Gauss, Bessel.

2.3 Metodo Frozen Wave estendido

Nesta seção, que é uma das principais contribuições desta tese, mostra-se como obter

um maior controle transversal e longitudinal do campo óptico a partir de superposições de

campos FW . Essas superposições de FW ’s podem ser feitas, primeiro, somando FW ’s de

ordem igual (os campos ópticos de Bessel apresentam a mesma ordem) e com valores de Q

diferentes ou, segundo, somando FW ’s de ordem diferente com valores de Q que podem

ser iguais ou diferentes. Quando se fazem estas superposições é importante considerar os


efeitos de interferência dos campos FW usados, ou seja, a escolha das FW ’s deve ser

adequada (cuidadosa) para evitar um cancelamento de campo na região na qual FW ’s com

intensidades compatíveis interferem. A seguir expõem-se os dois tipos de superposições

considerados anteriormente.

2.3.1 Caso 1. Ju(·)’s iguais, Q’s diferentes

Aqui, propõe-se a primeira extensão do método, que consiste num campo óptico dado

pela superposição de FW ’s compostas de campos ópticos de Bessel da mesma ordem (u)

e com diferentes valores de Qr (r = 1, 2, 3, ...). Ou seja, o campo óptico resultante é dado

por

Θ(ρ, φ, z, t) = ℵT e−iωlt

∑

r

Nr∑

n=−Nr

AnrBurJur(hnrρ)eiuφeiβnrz, (2.41)

com βnr, hnr e Anr dados por

βnr = Qr +2π

Ln, hnr =

√ω2

l

c2− β2

nr, Anr =1

L

∫ L

0Fr(z)e

−i 2πL

nzdz, (2.42)

na qual ℵT (amplitude total) é uma constante de normalização do campo óptico e Bur a

normalização correspondente à função de Bessel. A solução dada pela Eq. 2.41 é uma

superposição de FW ’s de ordem u tendo um padrão de intensidade longitudinal |Fr(z)|2,

modelado no intervalo 0 ≤ z ≤ L, e com valores de Q escolhidos a priori para cada

FW . Neste caso, como as FW têm a mesma ordem, têm-se simetria cilíndrica do campo

modelado no intervalo de propagação escolhido e a intensidade do campo óptico resultante

é independente do momento angular.

2.3.2 Caso 2. Jl(·)’s diferentes, Q’s iguais ou diferentes

Um segundo modelamento (e segunda extensão do método) propõe o uso de sobrepo-

sições de diferentes FW ’s para construir algumas estruturas de luz com graus de liberdade

adicionais onde as funções de Bessel para cada FW são de diferente ordem com os valores


dos Q’s iguais ou diferentes. Neste caso, considera-se campos ópticos da forma


∞∑

l=−∞

Nl∑

n=−Nl

AnlBlJl(hnlρ)eilφeiβnlz, (2.43)

com βnl, hnl e Anl dados por

βnl = Ql +2π

Ln, hnl =

√k2 − β2

nl, Anl =1

L

∫ L

0Fl(z)e

−i 2πL

nzdz, (2.44)

e ℵT uma constante de normalização. A solução dada pela Eq. 2.43 é a soma de FW ’s

de ordem l, com −∞ < l < ∞, e na qual cada uma têm seu próprio padrão de intensi-

dade longitudinal |Fl(z)|2 modelado no intervalo 0 < z < L. A primeira parte neste caso,

onde a FW têm Q iguais, não apresenta simetria cilíndrica devido ao termo dependente da

coordenada angular. Isso ocasiona que na junção das FW ’s se tenha interferência crítica

quando não se escolhe de maneira adequada a forma de cada FW . Na segunda parte do

caso, têm-se campos ópticos dependentes do momento angular para todo o comprimento

de modelamento de campo. A seguir mostra-se um exemplo que expõe as características

principais deste tipo de estrutura de luz.

Exemplo 6

Neste último exemplo modela-se um campo óptico4 resultante da soma de uma FW0

feita a partir de campos ópticos de Bessel de ordem zero (u = 0) e outra FW4 dada pela

superposição de campos ópticos de Bessel de ordem quatro (u = 4). Dessa maneira, o

campo óptico resultante é dado por

ΘCM(ρ, φ, z, t) = ℵT e−iωlt

eiQ0z ∑N0

n=−N0An0B0J0(hn0ρ)e

iβn0z+

ei4φeiQ4z ∑N4n=−N4

An4B4J4(hn4ρ)eiβn4z

, (2.45)

4Este tipo de campo corresponde à clasificação: caso 2 - campos ópticos de Bessel de ordens diferentese com valores de Q diferentes


com βn0, hn0, An0, βn4, hn4 e An4 dados pelas Eq. 2.44. A função que modela o campo

óptico é dada por

Fl(z) =

δl0 + δl4 para zil ≤ z ≤ zfl


com δl o delta de Kronecker, e na qual 0 ≤ z ≤ L com zi0 = 13 cm e zf0 = 17 cm as

coordenadas longitudinais inicial e final do campo sobre o eixo de propagação e zi4 = 5 cm e

zf4 = 25 cm as coordenadas longitudinais para o cilindro de luz. Uma segunda escolha que

deve ser considerada de maneira adequada são os valores referentes as Ql’s. No primeiro

caso queremos uma cintura de ∆ρ0 = 60 µm enquanto que no segundo quer-se uma cintura

(raio do cilindro) de ρ4 = 65 µm. Os valores de Q0, usando a Eq. 2.26, e Q4, usando a

Eq. 2.37, são: 0, 999990ωl

ce 0, 999966ωl

c, respectivamente. Outros valores de importância

são: N0 = 7 (N0,max = 7), N4 = 9 (N4,max = 26), B0 = 1, 0 e B4 = 1, 0/0, 4.

0 0,2 0,40

0,1

0,2

z (m)

I(a.u.)

(a)

ρ=0

ρ=ρ4

FW0

F0(z)

FW4

F4(z)

(c)1 2

3 4

Figura 2-7: Frozen Wave estendida com campos ópticos de Bessel zero e quatro.(a) Intensidade do campo óptico (FW , estendida) em função da propagação do campo e

representação das funções modeladas F (z)’s. (b) Perfil de intensidade da FW em função dascoordenadas longitudinal e transversal com φ = 0. (c) Perfil de intensidade de campo transversal

para os comprimentos de propagação de (z = 1 → 7, 5 cm, 2 → 14 cm, 3 → 15, 7 cm e4 → 21, 7 cm). (d) Mapa de intensidade do campo estendido (Frozen Wave).

Na Fig. 2-7(a) vê-se a amplitude das funções Fl(z) junto com a intensidade do campo


óptico correspondente à FWl enquanto que a Fig. 2-7(b) apresenta a intensidade do campo

óptico como função das coordenadas de propagação transversal (ρ) e longitudinal (z). Na

Fig. 2-7(c), vê-se o perfil de intensidade transversal para os comprimentos de propagação

(z = 1 → 7, 5 cm, 2 → 14 cm, 3 → 15, 7 cm e 4 → 21, 7 cm) e na Fig. 2-7(d) exibe-se o

mapa de intensidade do campo óptico com sua localização.

Este campo óptico é resistente à difração como também é dependente do momento

angular. Vê-se na Fig. 2-7(c) como o momento angular gera uma rotação no campo óptico

com a propagação. Um campo óptico deste tipo pode ser usado como uma chave no

guiamento de átomos ou partículas dielétricas.

44

Capítulo 3

Potencial de dipolo óptico

3.1 Descrição clássica

Uma forma comumente usada para aprisionar átomos consiste na restrição dos graus

de liberdade externos deles. Para gerar este aprisionamento, geralmente usam-se ondas

estacionárias nas três direções espacias (ex, ey, ez), formadas da soma de ondas planas

propagantes e suas respectivas contra-propagantes. Com o objetivo de expor este processo

claramente, na Fig. 3-1(a), mostra-se a formação de uma onda estacionária quando a onda

propagante

E+ =1

2

[E0(t)e−i(ωlt−kz) + E∗

0(t)ei(ωlt−kz)]

(3.1)

é somada com sua contra-propagante

E− =1

2

[E0(t)e−i(ωlt+kz) + E∗

0(t)ei(ωlt+kz)]

(3.2)

para obter

E = 2E0(t) cos kz cosωlt, (3.3)

com E0(t) = E∗0(t) a amplitude do campo elétrico, k = 2π/λ o número de onda sendo λ

o comprimento de onda do laser e ωl a frequência do laser. Neste exemplo, a amplitude de

campo elétrico (E0) é 8, 7×105 N/C, λ = 780×10−9 m (ou seja, ωl = 2, 416×1015 Rad/s).

3.1. DESCRIÇÃO CLÁSSICA 45

0

1x 10

-1

0 0,5

E (N

/ C

)0

x 10-6

1,0 1,5 2,0

z (m)

k k

eE

200

300

400

100

00 0,5

x 10-6

1,0 1,5 2,0

z (m)

Ue (

K

)

Ue = 2

02 k KE

0

(a)

(b)

0

0,5

x 10

-0,5

E (N

/ C

)0

6

x 10 -6z (m)

E =2 E cos kz cos t

1,0

2,0

1,5

-1,0

-2,0

-1,5

+=

+

0 l

0,5

-0,5

0 0,5 1,0 1,5 2,0

< 0

> 0

x

ez

ez

6

ex

B

ez

E -

Figura 3-1: Formação de uma onda estacionaria e seu potencial de dipolo óptico.(a) Onda estacionaria. (b) Rede de poços de potencial de dipolo óptico.

O respectivo potencial de dipolo óptico forma uma rede periódica de poços de potencial

com os mínimos ou máximos correspondendo aos nós ou antinós da onda estacionária (Fig.

3-1(b)). O potencial de dipolo óptico é dado por [6]

Ue(z, t) = −1

2

α

K0

E20(z, t) = −4πα

cI(z, t), (3.4)

com α representando a polarizabilidade atômica na frequência do laser ωl [46, 5, 2], E0 a

magnitude do campo elétrico, K0 (8, 98 ×109 N m2/C2) a constante eletrostática no vácuo

3.2. DESCRIÇÃO SEMICLÁSSICA 46

e I(= c

8πK0E2

0

)a intensidade do campo óptico. Vê-se que para uma intensidade de 100

kW/cm2 (109 W/m2) obtêm-se um potencial de aprisionamento de aproximadamente 390

µK (Ue dividido pela constante de Boltzmann kB). Ou seja, o aprisionamento é útil para

átomos com uma temperatura menor de 390 µK. Quando α > 0 os átomos são aprisionados

nos mínimos de potencial e quando α < 0 eles são aprisionados nos máximos de potencial.

A força de dipolo óptico, ou força gradiente, é uma força conservativa [47], resultante

da interação do campo de luz com o momento de dipolo elétrico induzido, usada para

aprisionar átomos neutros frios [4, 48], movimentar moléculas e partículas dielétricas; sendo

dada por

Fdip(r) =4πα

c∇I(r). (3.5)

3.2 Descrição semiclássica

O movimento de um átomo num campo de luz é relacionado com a absorção e emissão

de radiação eletromagnética pelo átomo. Esses processos são associados com a mudança

da energia atômica (mudança dada por um múltiplo de ≈ ~ωa, onde ~ é a constante de

Planck reduzida e ωa é a frequência da transição atômica) e do momento atômico (dado

por ≈ ~ωa/c) [49]. Ou seja, o estudo do movimento de um átomo num campo de luz deve

considerar os graus de liberdade do átomo baseando-se num tratamento quântico.

Nesta parte se tratará a interação do átomo (sistema quântico de dois níveis) com um

modo de campo simples (campo clássico). Quando a frequência do campo óptico (ωl) é

ressonante com a frequência da transição atômica (ωa) o sistema atômico sofre oscilações

ópticas entre seus dois possíveis estados, o estado |g〉 e o estado excitado |e〉 (Fig. 3-2).

3.2.1 Dinâmica do sistema

O estado (graus de liberdade) de um átomo é descrito por |κ〉atomo e sua evolução é

dada a partir de [50, 51]

i~∂

∂t|κ〉 = H |κ〉 (3.6)


ωa ωl

|g

|e

Δ

ωlωa

(a) (b)

|g

|e

Figura 3-2: Sistema quântico de dois níveis.(a) Frequência do laser exatamente na frequência de ressonância atômica. (b) Frequência do

laser dessintonizada (∆ acima) da ressonância atômica.

ir

r

ex

ey

ez

Figura 3-3: Descrição do sistema de dois níveis.

na qual H = Hatomo + Hint é o operador hamiltoniano do sistema. A parte atômica do

operador hamiltoniano (Hatomo) divide-se na parte do centro de massa e a parte eletrô-

nica, Hatomo = HCM + Hele, respectivamente. Na ausência de potenciais externos esse

hamiltoniano é dado por

Hatomo =1

2mP2 +

∑

n

En |n〉〈n| , (3.7)

com P o operador momento e |n〉 o estado (estado próprio de Hele) com valor própio de

energia En. A parte correspondente à interação do átomo com o campo é dada por1

Hint =∑

nm

dnm · E(r, t), (3.8)

com dnm =∑

i 〈n| eri |m〉 (ri o operador de posição que acopla os dois estados) corresponde

aos momentos de dipolo eletrico da transição e E(r, t) é o campo eletromagnético clássico

avaliado no centro de força (Fig. 3-3).

De acordo com os resultados anteriores, Eq. 3.7 e Eq. 3.8, o hamiltoniano geral fica

1Aqui têm sido usada a aproximação de dipolo óptico (Apêndice B).


dado por

H =1

2mP2 +

∑

n

En |n〉〈n| +∑

nm

dnm · E(r, t). (3.9)

Esse hamiltoniano pode ser dado na aproximação de onda girante (RWA, do inglês rotating

wave approximation2), e considerando o átomo de dois níveis da Fig. 3-2, um campo clássico

do tipo Eq. 3.1 e a parte eletrônica do sistema, como

HRWA = −~ΩR

2

(e−iφ |e〉〈g| ei∆t + eiφ |g〉〈e| e−i∆t

), (3.10)

com ∆ = ωl −ωa é a dessintonização do campo óptico da frequência de ressonância atômica

e ΩR = |deg |E0(t)~

é a frequência de Rabi.

3.2.2 Força por pressão de radiação para um átomo de dois níveis

A versão quântica das leis de Newton é dada pelo teorema de Ehrenfest [50, 52, 53],

que diz o seguinte: "o valor esperado de um operador deve corresponder ao comportamento

da sua contraparte clássica". Ou seja, a força sobre um átomo é definida como o valor

esperado do operador força mecânico-quântica F como

F =⟨F⟩

=d

dt〈p〉 . (3.11)

A evolução no tempo do valor esperado do operador p é dada por [54]

d

dt〈p〉 =

i

~

⟨[H, p

]⟩= −

⟨∇H

⟩, (3.12)

com p substituído por −i~∇ e[H, p

]= i~∇H. Assim, a força fica

F = −⟨∇H

⟩. (3.13)

2Uma descrição mais detalhada da aproximação de onda girante é expõsta no Apêndice C


O valor esperado, na Eq. (3.13), é dado por

⟨∇H

⟩= Tr(ρ∇H), (3.14)

com Tr(·) a traza da matriz e com ρ o operador densidade3 dado por, Eq. (D.11),

ρ = |κ〉〈κ| = [Ce(t) |e〉 + Cg |g〉][C∗

e (t) 〈e| + C∗g 〈g|

]

= |Ce|2 |e〉〈e| + CeC∗g |e〉〈g| + CgC

∗e |g〉〈e| + |Cg|2 |g〉〈g| . (3.15)

Inserindo a Eq.(3.14) e Eq. (3.15) na Eq. (3.13), obtêm-se

F = ~

(∇ΩRρ

∗eg + ∇Ω∗

Rρeg

)(3.16)

com ΩR = |deg|E0(t)~

(com |deg| = degeiφ, deg = 〈e| er |g〉) a frequência de Rabi e considera-se

a parte relevante do hamiltoniano (Eq. (3.10), Hint) [52, 50].

3.2.3 Força induzida de gradiente

Aqui, considera-se a força atuando sobre um átomo numa onda propagante com uma

distribuição de campo transversal não homogênea. Como exemplo mostra-se a distribuição

de campo (usada por Lethokov em [49]) correspondente ao modo TEM00q

Ψ(r, t) = exΨ0(ρ) cos(ωlt− kz), (3.17)

com

Ψ0(ρ) =2

ρ0

(2P

c

)1/2

e−ρ2/2ρ20 . (3.18)

Essa onda de luz propagante (Eq. (3.17)), dada em coordenadas cilíndricas ρ, φ, z,

têm uma potência P e um diâmetro de 2ρ0 (medido quando sua amplitude máxima decresce

1/e). A força é determinada ao inserir as Eq. (3.17) e Eq. (3.18) nas Eqs. (D.14a-D.14c)

3A obtenção do operador densidade para o sistema atômico de dois niveís é mostrada no Apêndice D


obtendo-se como soluções para ρeg

ρeg =iΩR(ρ)

2(Γ/2 − i∆)(1 + s), (3.19)

e ΩR(ρ)

ΩR(ρ) =|dab|Ψ0(ρ)

~, (3.20)

com s (parâmetro de saturação na ressonância)

s =|ΩR(ρ)|2

2|(Γ/2 − i∆)|2 =|ΩR(ρ)|2/2∆2 + Γ2/4

=I(ρ)/Is

1 + (2∆/Γ)2, (3.21)

e com I(ρ) = |Ψ(r, t)|2 representando a intensidade do campo óptico, Is a intensidade de

saturação, ∆ a dessintonia do laser da ressonância atômica Doopler e Γ a largura de linha

natural da transição atômica. Usando essas soluções, Eq. (3.19) e Eq. (3.20), obtêm-se a

força por pressão de radiação (Eq. (3.16)) como

F = Fz + Fρ, (3.22)

com

Fz = ez~kΓI(ρ)/Is

1 + 4(∆/Γ)2, (3.23)

a força na direção de propagação do campo óptico dada pela emissão espontânea [14] e

Fρ = eρ~ρ

ρ20

∆I(ρ)/Is

1 + 4(∆/Γ)2, (3.24)

a força gradiente (ou força de dipolo) com eρ o vetor unitário da coordenada ρ. Em

particular, a componente de força (Fρ) puxa os átomos dentro do campo óptico quando

∆ < 0 e tira eles fora do campo óptico quando ∆ > 0. A principal contribuição desta força

deve-se ás transições induzidas dos átomos no campo de luz sendo isso refletido no sentido

de propagação da luz absorvida ou emitida (Fig(3-4)).


(a) (b)

hk -hk

-hk hk

k

hk

k'

hk

k

|g

|e

|g

|e

Figura 3-4: Procesos de absorção e emissão num sistema de dois níveis.(a) Absorção induzida e emissão induzida e (b) Absorção induzida e emissão espontânea.

3.2.4 Potencial de dipolo óptico

Generalizando os resultados das seções anteriores, a força de dipolo óptico (ou força

gradiente) pode ser definida como [55]

Fdip(r) =~∆

2

∇I(r)/Is

1 + 4(

∆Γ

)2 , (3.25)

com ∆ = ωl − ωa − kvz a dessintonia do laser da ressonância atômica Doopler, Is a

intensidade de saturação na ressonância e I a intensidade do campo óptico. No caso que a

dessintonia do laser esteja no azul, ou seja quando ∆ > 0, existirá uma deflexão dos átomos

para os mínimos de intensidade do campo óptico, devido á barreira de potencial (gerada pela

força de dipolo), e não será permitido eles passarem através do campo óptico. Comumente,

a barreira de potencial (ou potencial de dipolo óptico) é dada por [9, 15, 56, 57, 58]

Udip(r) =~∆

2ln

1 +

I(r)/Is

1 + 4(

∆Γ

)2

. (3.26)

Analisando o processo desta maneira, para o caso no qual o campo óptico é oco, os

átomos mantêm-se no centro do campo (mínimo de intensidade) e a barreira de potencial

não permite eles saírem do campo óptico. Este tipo de estrutura de luz funcionará como

um tipo de guia para átomos neutros resfriados usando o potencial de dipolo óptico. Como

exemplos, mostra-se a seguir uma descrição de um campo óptico difrativo (Laguerre-Gauss),

um não-difrativo (Bessel) e um semi-difrativo (Bessel-Gauss) propostos para o guiamento

de átomos neutros resfriados.

3.3. POTENCIAL DE DIPOLO ÓPTICO PARA ALGUNS CAMPOS 52

3.3 Potencial de dipolo óptico para alguns campos

3.3.1 Campo óptico de Laguerre-Gauss

Este campo foi usado (por Arlt [10, 17]) no estudo do guiamento de átomos neutros

resfriados de 85Rb (linha D2, 5S1/2 →5P3/2). Este campo óptico é dado por

Ψ(ρ, φ, z) = 1ρc(z)

√p!P0

π(p+|l|)!e

(− ρ2

2ρ2c (z)

)(

ρρc(z)

)|l|L|l|

p

(ρ2

ρ2c(z)

)×

× e

(−ik ρ2

2R(z)

)

(−1)pe(−ilφ)e(−i(2p+l+1)ζ(z)), (3.27)

com P0 é a potência do campo óptico e L|l|p um polinômio generalizado de Laguerre. A

cintura do campo, medida no primeiro máximo4, é dada por

ρc(z) = ρ0

√√√√1 +1

4

(λz

πρ20

)2

, (3.28)

com ρ0 a cintura inicial (z = 0) enquanto que o raio de curvatura é

R(z) = z

[1 +

(zR

z

)2], (3.29)

com zR =2πρ2

0

λ, e ζ(z) = arctan

(z

zR

)o retardo da fase longitudinal.

Na Fig. 3-5, apresenta-se o campo óptico Laguerre-Gauss, LG10, e seu respetivo

potencial de dipolo óptico com valores para P0 = 17 mW (potência do laser), λ = 780, 2 ×

10−9 m (comprimento de onda, ωl = 2, 42 × 1015 Rad/s), ρ0 = 100 µm (cintura do campo

óptico medida no primeiro máximo), índices p = 0 e l = 1, Is = 25 W/m2 (intensidade de

saturação), Γ = 2π× 6, 1 MHz (largura de linha natural) e ∆ = 22, 54Γ (dessintonia ótima

do laser da ressonância atômica Doopler). Na Fig. 3-5(a), vê-se o perfil de intensidade

do campo óptico (I = |Ψ(ρ, φ, z)|2) em função da coordenada transversal (ρ), para um

comprimento de propagação do campo de z = 100 µm, enquanto que na Fig. 3-5(b) vê-se

sua respectiva projeção em função da coordenada de propagação (z). O valor máximo de

4Aqui se refere ao primeiro máximo no perfil transversal do campo óptico.


−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,1

0,2

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(a)

x 10−4

LGl=1p=0

Figura 3-5: Intensidade e potencial de dipolo óptico para o campo Laguerre-Gauss LG10.

(a) Perfil transversal de intensidade do campo óptico. (b) Mapa de intensidade do campo ópticoem função das coordenadas transversal (ρ) e longitudinal (z). (c) Potencial de dipolo vs ρ e z.

(d) Mapa de intensidade do potencial de dipolo óptico.

intensidade para este campo óptico têm um valor de

Imax =P0

πe

1

ρ20

. (3.30)

Algumas características apresentadas por este campo são: é um campo óptico oco,

sua intensidade (Fig. 3-5(a)) é zero para ρ > 100 µm, quando o campo propaga-se (Fig.

3-5(b)) sua intensidade diminui e sua cintura aumenta. Ressalta-se aqui que o processo de

aumento da cintura com a propagação do campo é associado com o caráter difrativo do

campo óptico (neste caso alta difração).

Na Fig. 3-5(c), apresenta-se o potencial de dipolo óptico em função das coordenadas

transversal (ρ) e longitudinal (z) com um valor máximo, para z ≈ 0 e ρ = ±100 µm,

de 5, 25 mK, sendo este útil para o guiamento de átomos neutros resfriados abaixo dessa

temperatura. O potencial de dipolo óptico alcança a metade de seu valor máximo quando

z ≈ 12 cm decrescendo a velocidade de captura transversal (vc, [8]) de 1, 01 m/s (z = 100


0 50 100 1500

2,5

5

7,5

NU

(mK)

(U Vs N )

LGl=1p=0

Figura 3-6: Curva para determinar a dessintonização ótima para o campo óptico LG10.

µm) para 0, 72 m/s (z = 12 cm) (Quando os átomos são liberados desde uma armadilha

magneto-óptica, MOT, do inglês magneto-optical trap, têm uma velocidade atômica de

vatom ≤ vrms = 0, 07 m/s correspondente a uma temperatura T ≈ 100 µK [10]). Um ponto

desfavorável deste potencial é que segue com a tendência de incrementar sua cintura com a

propagação e a difração é presente como vê-se na Fig. 3-5(d). Também este campo óptico

fica localizado entre z = 0 e sua profundidade de campo na direção de propagação, z ≈ 16

cm, que é definida como a distância de propagação na qual a intensidade têm descido ao

20% do seu valor máximo (Fig. 3-5(b)).

Para determinar a dessintonização ótima, usada na Fig. 3-5(c), graficou-se o potencial

de dipolo óptico em função de N ; sendo N uma constante de proporcionalidade, entre ∆ e

Γ, na relação ∆ = NΓ. Assim, o potencial fica dado como

Udip(ρ0) =~NΓ

2ln

(1 +

I(ρ0)/Is

1 + 4 (N)2

). (3.31)

O valor de N determinado da Fig. 3-6 foi de N = 22, 54 que corresponde ao valor

máximo de potencial de dipolo óptico.

3.3.2 Campo óptico de Bessel

Este campo óptico é dado por [10, 30]

Ψ(ρ, φ, z) = ALGBuJu(kρρ)eikzzeiuφ (3.32)


−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,1

0,2

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(a)

x 10−4

J4(kρρ)

Figura 3-7: Intensidade e potencial de dipolo óptico para o campo óptico de Bessel.(a) Perfil transversal de intensidade do campo óptico. (b) Mapa de intensidade do campo ópticoem função das coordenadas transversal (ρ) e longitudinal (z). (c) Potencial de dipolo vs ρ e z.

(d) Mapa de intensidade do potencial de dipolo óptico.

com ALG =√Imax (Insere-se esta amplitude com o fim de comparar os diferentes campos

ópticos com o campo de Laguerre-Gauss), Bu a constante de normalização para a função

de Bessel Ju(kρρ) de ordem u, kρ = k sin θ e kz = k cos θ (θ é o ângulo do áxicon) são as

componentes transversal e longitudinal do vetor de onda k = 2π/λ, respectivamente, e φ

representa coordenada angular que esta associada com a fase do campo óptico.

Na Fig. 3-7(a), apresenta-se o perfil de intensidade transversal do campo óptico de

Bessel (Bu ≈ 1, 0/0, 4, u = 4, θ = 0, 3783, φ = 0) com valores de potência e cintura

iguais que no campo óptico LG10. Nessa figura vê-se que o campo, para valores de ρ > 100

µm, apresenta novas oscilações no seu perfil sendo associadas com o carácter não-difrativo

do campo óptico de Bessel. Na Fig. 3-7(b) vê-se o mapa de intensidade no qual mostra-se

claramente que o campo mantêm sua forma (campo óptico oco) a medida da sua propagação

em todo o trajeto representado nesta figura.

Na Fig. 3-7(c) e Fig. 3-7(d), vê-se que o potencial de dipolo óptico segue a tendência

não-difrativa apresentada nos gráficos de intensidade. Esse potencial apresenta um valor


máximo, e constante durante sua propagação, de 5, 25 mK, e não apresenta uma localização

de campo especifica na direção de propagação. De acordo com isso, a velocidade de captura

deste potencial têm um valor de vc = 1, 01 m/s que mantêm-se constante durante toda a

propagação. A dessintonização ótima usada nos gráficos anteriores foi ∆ = 22, 54Γ.

3.3.3 Campo óptico Bessel-Gauss

Esta subseção é considerada como um aporte desta tese. O desenvolvimento do

aporte se dá na parte da teoria do modelamento do campo óptico e não em sua comprovação

experimental. O campo óptico Bessel-Gauss é definido como semi-difrativo e é representado,

na aproximação paraxial, por [59]

Ψ(ρ, φ, z) = ALGe− q2ρ2

µ

µBuJu(kρρ/µ)e−i(k2

ρ/2k)z/µeikzeiuφ, (3.33)

com q um parâmetro relacionado com a cintura da função gaussiana, µ = 1 + i2q2z/k,

k = 2π/λ e φ a coordenada relacionada com a fase do campo óptico. Considerando a

origem, z = 0, o campo óptico é

Ψ(ρ, φ, z = 0) = ALGe−q2ρ2

BuJu(kρρ)eiuφ, (3.34)

no qual a cintura da função gaussiana é dada por ρcG = 1/q (medida quando sua amplitude,

em função de ρ, desce 1/e) enquanto que a cintura para a função de Bessel (u = 4) é

ρcB = 100µm (medida no primeiro máximo de sua curva amplitude vs ρ). A profundidade

de campo para este campo óptico, Bessel-Gauss (zpBG), é definida pela relação entre as

cinturas das funções Gaussiana e Bessel na Eq. 3.34 e é desejável que ρcG ≫ ρcB, ou seja

que q ≪ 0, 01 µm−1. Assim, na Fig. 3-8, compara-se a função de Bessel com varias funções

Gaussianas que têm diferentes valores de q. A profundidade de campo determinada ao usar

as curvas da Fig. 3-8(d) é maior que quando se usa as curvas da Fig. 3-8(b) devido ao

maior número de oscilações laterais permitidas na função de Bessel, isso é, oscilações da


0 2

x 10−4

0

0,2

0,4

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(a)

J4(kρρ)

e−q2/ρ2

0 2

x 10−4

0

0,2

0,4

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(b)

J4(kρρ)

e−q2/ρ2

0 2

x 10−4

0

0,2

0,4

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(c)

J4(kρρ)

e−q2/ρ2

0 2

x 10−4

0

0,2

0,4

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(d)

J4(kρρ)

e−q2/ρ2

Figura 3-8: Comparação nos valores de intensidade nas funções de Bessel e Gaussiana.Funções Gaussianas com valores (a) q = 0, 01 µm−1, (b) q = 0, 004 µm−1, (c) q = 0, 002 µm−1

e (d) q = 0, 0005 µm−1.

função de Bessel embaixo da curva vermelha que representa a função Gaussiana. O campo

formado pelas curvas da Fig. 3-8(a) representa um campo totalmente difrativo devido a

ausência total das oscilações laterais na função de Bessel enquanto que o campo usando

as curvas da Fig. 3-8(c) representa uma profundidade de campo maior que da Fig. 3-8(b)

e menor que a Fig. 3-8(d). Assim, vê-se que mudar o valor de q, na função gaussiana,

significa mudar a distância de propagação do campo óptico Bessel-Gauss.

Para expor claramente o anteriormente proposto, na Fig. 3-9, mostra-se o perfil de

intensidade transversal do campo óptico Bessel-Gauss, na origem de propagação (z = 0),

para diferentes valores de q. Vê-se que quando o valor de q diminui, as oscilações laterais

da função de Bessel aumentam, como tinha-se comentado. Quando q = 0, 004 µm−1,

apresenta-se uma mudança considerável no valor de intensidade máximo e apresentam-se

duas oscilações laterais (depois do primeiro máximo) no entanto para q = 0, 0005 µm−1

reproduz-se totalmente o perfil transversal e veem-se todas as oscilações laterais, efeito que

será importante ao considerar a profundidade do campo (zpBG).

Esses efeitos são claramente mostrados na Fig. 3-10, na qual apresenta-se a inten-


0 2

x 10−4

0

0,1

0,2

0,3

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

q = 0, 004µm−1

q = 0, 002µm−1

q = 0, 0005µm−1

Figura 3-9: Intensidade para o campo óptico de Bessel-Gauss com diferentes valores de q.Os correspondentes valores de q são q = 0, 004 µm−1 (preto), q = 0, 002 µm−1 (vermelho), e

q = 0, 0005 µm−1 (azul).

sidade do campo óptico de Bessel-Gauss e seu respectivo potencial de dipolo óptico para

os valores q = 0, 002 µm−1 e q = 0, 0005 µm−1. Na Fig. 3-10(a) e Fig. 3-10(e) vê-se o

perfil de intensidade transversal (z=0) enquanto as Fig. 3-10(b) e Fig. 3-10(f) apresentam

o mapa de intensidade em função da propagação. Dessas figuras, pode-se ver claramente

que a profundidade de campo do campo óptico é associada com a preservação das oscila-

ções laterais no perfil transversal do campo óptico. Assim para a Fig. 3-10(b) têm-se uma

profundidade de campo de zpBG ≈ 7 cm (que define-se como a distancia de propagação na

qual a intensidade máxima diminui até o 20% do seu valor), no entanto para a Fig. 3-10(f)

é zpBG ≈ 32 cm. Partindo disso, vê-se que com maior número de oscilações laterais, no

perfil de intensidade transversal, têm-se uma profundidade de campo maior e controlada

pelo valor de q.

Na Fig. 3-10(c) e Fig. 3-10(g) vê-se o potencial de dipolo óptico para os dois valores

de q, respectivamente, e sua projeção versus a propagação nas Fig. 3-10(d) e Fig. 3-10(h).

O potencial na Fig. 3-10(c) têm um valor máximo de 5, 04 mK (vc = 0, 99 m/s em z = 0)

que alcança o 20% (U = 1, 05 mK) quando z ≈ 7 cm diminuindo sua velocidade de

captura transversal para vc = 0, 44 m/s. Para determinar esta curva de potencial o valor

de dessintonização ótimo foi de ∆ = 21, 64Γ.

A Fig. 3-10(g) apresenta um valor máximo para o potencial de dipolo óptico de 5, 24

mK (vc = 1, 01 m/s) que diminui ao 20%, 1, 05 mK (vc = 0, 45 m/s), numa distancia de


−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,1

0,2

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(a)

x 10−4

q = 0, 002µm−1

−5 −2,5 0 2,5 5 0

0,1

0,2

ρ (m)

I(µ

W/µm

2)

(e)

x 10−4

q = 0, 0005µm−1

Figura 3-10: Intensidade e potencial de dipolo óptico para o campo Bessel-Gauss.(a),(b),(c),(d) q = 0, 002 µm−1, (e),(f),(g),(h) q = 0, 0005 µm−1.


propagação de z ≈ 32 cm. O valor de dessintonização usado foi de ∆ = 22, 47Γ.

Assim, o modelamento anterior permite obter um controle sobre a profundidade do

campo óptico, definindo a distancia de guiamento para átomos neutros resfriados a partir

do valor de q.

A seguir, na Tabela 3.1, apresenta-se uma comparação sobre a profundidade e a

respectiva localização espacial dos campos ópticos modelados até agora. Vê-se que o maior

controle apresenta-se para o campo óptico Bessel-Gauss.

Campo óptico Profundidade de campo (cm) LocalizaçãoLaguerre-Gauss (LG1

0) 16 (0 − 18)cmBessel (J4(kρρ)) Indefinida 0-Indefinido

Bessel-Gauss (q = 0, 002 µm−1)→ 7 (0 − 9)cm(q = 0, 0005 µm−1)→ 32 (0 − 35)cm

Tabela 3.1: Comparação para os diferentes campos ópticos modelados.

61

Capítulo 4

Experimento

Primeiramente, este capítulo é considerado como outro dos aportes importantes desta

tese. A parte experimental do projeto, realizada principalmente no laboratorio de óptica

e microondas da FEEC-UNICAMP, enfoca-se na obtenção de alguns campos ópticos via

holografia digital [44]. A metodologia experimental resume-se no diagrama da Fig. 4-1 no

qual mostra-se o aparato experimental, a construção do algoritmo para gerar os hologramas e

o algoritmo para o tratamento de imagens experimentais dos campos ópticos. A montagem

experimental e o desenvolvimento dos hologramas pode ser feita de maneira alternada,

enquanto o tratamento dos dados é posterior. A seguir expõem-se cada um dos blocos

deste diagrama.

Aparato ExperimentalCriação

do Holograma

Tratamento de Dados

Figura 4-1: Diagrama de fluxo do experimento.

4.1. APARATO EXPERIMENTAL 62

4.1 Aparato experimental

4.1.1 Elementos usados no experimento

Os elementos usados na montagem do experimento com o método holográfico listam-

se a seguir.

• Mesa óptica (Smart Table Newport) com estabilizador (S2000 Series Newport).

• Laser (λ = 632.8×10−9m, Red Helium Neon Laser) com potência 17 mW.

• Suporte para laser (ULM-TILT Newport, M-340-RC Newport) num tubo

(M-40 Newport).

• Filtro espacial (M-900 Newport). Composto de uma lente objetiva de 10x (M-10x) e

um pinhole de 25µm (900PH-25).

• Lente (L1) plano-convexa (KPX106 Newport) num suporte para lente

(M-LCM-2 Newport).

• Espelho (20D20ER.1-PF Newport) numa estrutura (625-RC2 Newport e

M-40 Newport).

• Íris (M-ID-1.0 Newport).

• Polarizador 1 (5511 Newport) numa estrutura (RSP-1T Newport).

• Divisor de feixe (10BC16NP.4 Newport) na estrutura (P100-P Newport).

• Modulador espacial de luz (SLM-Holoeye-1080, LC-R 1080 Reflective LCOS SLM).

• Lente (L2) plano-convexa (P100-P Newport) numa estrutura (LP-1A Newport).

• Polarizador 2 (5511 Newport) numa estrutura (RSP-1T Newport).

• Máscara de filtrado espacial (ID-1.0-PK Newport)

https://www.newport.com/f/smarttable-active-damped-optical-tables

https://www.newport.com/f/pneumatic-vibration-isolators-with-automatic-re-leveling

https://www.newport.com/f/red-hene-lasers-633-nm

https://www.newport.com/p/ULM-TILT

https://www.newport.com/p/M-340-RC

https://www.newport.com/p/M-40

http://search.newport.com/?x2=sku&q2=M-900

https://www.newport.com/p/M-10X

https://www.newport.com/p/900PH-25

https://www.newport.com/p/KPX106

https://www.newport.com/p/M-LCM-2

https://www.newport.com/p/20D20ER.1-PF

https://www.newport.com/p/625-RC2

https://www.newport.com/p/M-40

https://www.newport.com/p/M-ID-1.0

https://www.newport.com/p/5511

https://www.newport.com/p/RSP-1T

https://www.newport.com/p/10BC16NP.4

https://www.newport.com/p/P100-P

http://holoeye.com/spatial-light-modulators/discontinued-devices/


https://www.newport.com/p/LP-1A

https://www.newport.com/p/5511

https://www.newport.com/p/RSP-1T

http://search.newport.com/?q=*&x2=sku&q2=ID-1.0-PK


• Lente (L3) plano-convexa (P100-P Newport) numa estrutura (LP-1A Newport).

• Câmera CCD (ImagingSource DMK 31BU03.H)

• Perfilômetro (LBP 2 USB).

• Régua de precisão (PRL-24 Newport).

• Várias bases (B-2SA Newport).

• Várias barras (SP-2 Newport, SP-3 Newport), portador de poste VPH-2 Newport).

• Óculos para 632nm.

4.1.2 Montagem experimental

Nesta parte explica-se com detalhe a montagem usada (um sistema óptico 4-f , que

é uma das principais ferramentas da óptica de Fourier) para a geração experimental de

diferentes campos ópticos entre os quais estão: Laguerre-Gauss LG10, Bessel (ordem u = 4,

J4(kρρ)) e diferentes tipos de campos localizados (Frozen Waves). Na Fig. 4-2, vê-se o

arranjo experimental usado para tal propósito. Ele começa com um laser de He-Ne com

17 mW de potência e com comprimento de onda de λ = 632, 8 × 10−9 m. O campo

óptico saindo da cavidade do laser (geralmente gaussiano) pode ser perturbado, externa ou

internamente, convertendo-se num campo gaussiano adicionado a ruídos. Com o fim de

eliminar esses ruídos usa-se um filtro espacial composto de uma objetiva, que em nosso caso

é de 10x (usada para enfocar o campo), e uma abertura circular (o pinhole) que suaviza e

filtra o campo óptico do laser. Assim, as imperfeições do campo óptico são atenuadas pelo

filtro espacial e obtém-se um campo óptico mais próximo ao ideal e expandido.

Esse campo óptico atravessa o polarizador (Pol 1) que encarrega-se de deixar passar

uma polarização da luz com ângulo de 0 (É claro que previamente o polarizador foi colocado

nesse ângulo específico de polarização). Depois uma lente colimadora (L1) torna o campo

óptico paralelo (com a mesa óptica) formando uma onda plana que é refletida num espelho


https://www.newport.com/p/LP-1A

https://www.theimagingsource.com/products/industrial-cameras/usb-2.0-monochrome/dmk31bu03h/

http://www.urel.feec.vutbr.cz/OptaBro/docs/beam_profiler_newport.pdf

https://www.newport.com/p/PRL-24

https://www.newport.com/p/B-2SA

https://www.newport.com/p/SP-2

https://www.newport.com/p/SP-3

https://www.newport.com/p/VPH-2


Figura 4-2: Aparato experimental para a obtenção de alguns campos ópticos.

e depois no divisor de campo óptico (BS, do inglês beam splitter). Imediatamente, a onda

plana é direcionada ao modulador espacial de luz de reflexão (SLM1) no qual adquire a

informação de um holograma gerado por computador. Este SLM encarrega-se de processar

dados de entrada desde um computador, uma imagem em mapa de bits (*.bmp), e criar

um filtro espacial que pode ser modificado em tempo real [19]. Neste caso, a tela do SLM

está localizada no plano focal frontal da lente L2 e modifica a amplitude da onda plana

de acordo com o holograma desejado. A onda, já modificada, atravessa a lente L2, que

encarrega-se de fazer a transformada de Fourier do holograma gerado, na tela do SLM, e

que está situado no plano frontal de L2. Depois passa pelo segundo polarizador (Pol 2) que

encarrega-se de deixar a luz com polarização de 90 (devido a que o cristal nemático da

tela do SLM muda a polarização da luz). Imediatamente uma máscara de filtrado espacial

(SF), situada no plano focal posterior da lente L2 e no plano focal frontal da lente L3, filtra

uma ordem específica do espectro de Fourier. Uma imagem neste plano focal (e no qual

está situada a máscara de fase) vê-se na Fig. 4-3, na qual apresentam-se diferentes ordens

do espectro de Fourier. A máscara filtra uma dessas ordens especificamente.

No último passo, o campo óptico com a estrutura desejada é gerado no plano focal

posterior da lente L3. A lente L3 encarrega-se de gerar a transformada inversa de Fourier

1Uma explicação detalhada do SLM aparece no apendice D


Figura 4-3: Espectro de Fourier no foco das lentes L2 e L3.

do campo no foco das lentes L2 e L3, posterior e frontal, respectivamente. Este campo

óptico pode-se ver numa câmara CCD ou num perfilômetro. Uma imagem do campo óptico

transversal numa posição perto do foco da lente L3, para um campo óptico arbitrário, é

mostrada na Fig. 4-4. A montagem geral, desde outra perspectiva, vê-se na Na Fig. 4-5.

Figura 4-4: Campo óptico arbitrário transversal numa câmera CCD.

4.1.3 Montagem experimental alternativo

Uma segunda montagem, que é usada para a geração dos campos ópticos2, consiste

no uso de um modulador espacial de luz de transmissão. O esquema é mostrado na Fig.

4-6 no qual vê-se um laser de 532 nm, um expansor do campo óptico, o polarizador a

0, um modulador espacial de luz (Holoeye LC2012 SLM) e o sistema de reconstrução do

campo óptico junto com a câmara CCD. De acordo com o anterior, o laser é expandido e

2Esta montagem é usada pelos colaboradores do projeto na Universidade de Toronto, Canada, AhmedH Dorrah e Mo Mojahedi.


Figura 4-5: Aparato experimental geral.Usado para a obtenção de alguns campos ópticos.

colimado até chegar no modulador espacial de luz. Ali o campo óptico (onda plana) adquire

a informação de um holograma gerado por computador criado desde as soluções teóricas,

Eq. 2.6, Eq. 3.27, Eq. 3.32, Eq. 3.33, etc... . A onda plana, com a informação do

holograma, atravessa o sistema de filtrado 4 − f e o campo óptico desejado é reconstruído

depois z = 0. Este campo óptico é capturado por uma câmara CCD. Essa montagem é

bem parecida com a usada no laboratório da FEEC-UNICAMP, sendo a única diferença o

uso de um modulador espacial de luz de reflexão ao contrário de transmissão.

Figura 4-6: Aparato experimental alternativa.Usado para a obtenção de FW ’s.

4.2. CRIAÇÃO DOS HOLOGRAMAS 67

4.1.4 Aquisição de imagens

Depois de obter a referência do foco da lente L3 (Experimento Fig. 4-2) realiza-

se uma captura de fotos, com a câmara CCD, para diferentes distâncias longitudinais de

propagação dos campos ópticos com a ajuda de uma régua de precisão. Essas fotos são

capturadas a cada 5mm num intervalo entre (z = 0 - z = 50)cm e são guardadas numa

pasta correspondente a cada modelamento de campo. Depois, uma rotina feita no Matlab

(Ver Sec. 4.3) permite obter um perfil de campo longitudinal reconstruído do tratamento

dessas 80-100 imagens.

4.2 Criação dos hologramas

Antes de mostrar o algoritmo usado na geração dos hologramas por computador,

expõe-se uma revisão da holografia.

A holografia, proposta por Denis Gabor em 1948, consistiu no armazenamento da

informação de um campo óptico (magnitude e fase) sobre um filme fotográfico com o

objetivo de sua posterior reconstrução [60]. Este processo de gravação é mostrado na Fig.

4-7(a), onde uma “onda objeto” (1) interfere com uma “onda de referência” (2) e seu

resultado é armazenado no meio de gravação (3). A intensidade resultante é dada por

I(x, y) = |r(x, y) + o(x, y)|2 = r2 + o2 + ro+ ro∗, (4.1)

enquanto que a transmissão de amplitude (transmitância) do meio de gravação é dada por

[19]

t(x, y) = t0 + β[r2 + o2 + ro+ ro∗], (4.2)

na qual t0 é uma transmissão “bias” uniforme e β corresponde ao valor do coeficiente

angular na curva entre a transmissão de amplitude e a exposição (t Vs. E). A reprodução

do frente de onda vê-se na Fig. 4-7(b), onde uma onda de referência (r′), que pode ser igual

ou parecida com a onda de referência r, atravessa o holograma e forma a imagem real do


(a) (b)

x z

y

objeto

onda objeto (1)

o(x,y)

meio de

gravação (3)

z0

onda de

referência (2)

r(x,y)

r'(x,y)

z0 z0

imagem

virtual

imagem

real

Figura 4-7: Gravação do holograma e reprodução do campo óptico(a) Processo de gravação do holograma. (b) Processo de reprodução do campo óptico.

objeto para um comprimento específico depois do holograma. Dessa maneira, a reprodução

(u(x, y)) fica dada por (assume-se que r′ = r)

u(x, y) = r(x, y) · t(x, y) = t0r + β[oo∗r] + β[rro] + β[rro∗]. (4.3)

Outra forma de gravação da interferência das ondas de referência e objeto foi proposta por

Leith e Upatnieks em 1962. Este método consistiu no armazenamento da interferência da

onda refletida do objeto com a onda de referência, “fora do eixo”, como vê-se na Fig 4-8(a).

Neste caso a intensidade é dada pela suma das duas ondas, onda objeto (|o(x, y)|e−iφ(x,y))

e onda de referência (rei2πεrx, εr = sin(θ/λ)), como

I = r2 + |o(x, y)|2 + 2r|o(x, y)| cos[2πεrx+ φ(x, y)], (4.4)

e sua função de transmissão é dada por

t(x, y) = t0 + β[o2 + roe−iφ(x,y)e−i2πεrx + roeiφ(x,y)ei2πεrx]. (4.5)

A imagem original pode ser obtida como se mostra na Fig 4-8(b). Uma onda de

referência atravessa o holograma e a imagem real obtida é deslocada do eixo de propagação


da onda de referência. A expressão para obter a imagem original é dada por

u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y) + u3(x, y) + u4(x, y) (4.6)

na qual

u1(x, y) = t0ei2πεrx, (4.7a)

u2(x, y) = βro2ei2πεrx, (4.7b)

u3(x, y) = βr2o, (4.7c)

u4(x, y) = βr2o∗ei4πεrx, (4.7d)

representam o campo de referência atenuado, a referência mais o holograma, o objeto real

e o objeto conjugado, respectivamente.

(a) (b)

x z

y

objeto

meio de

gravação

z0

onda de

referência

r'(x,y)

z0 z0

imagem

virtualimagem

real

2

2

holograma

2

Figura 4-8: Gravação do holograma e reprodução do campo óptico Leith-Upatnieks(a) Processo de gravação do holograma. (b) Processo de reprodução do campo óptico.

Para o projeto aqui tratado usa-se um holograma que é construído por computadora

e com uma função de transmissão dada por [44]

t(x, y) =1

2β ′(x, y) + α(x, y) cos[ϕ(x, y) − 2π(ζx+ ηy)] , (4.8)

4.3. TRATAMENTO DE DADOS 70

onde ϕ(x, y) e α representam a fase e amplitude do campo óptico da Frozen Wave (FW ),

respectivamente. Nesta representação usa-se uma função bias β ′(x, y) = [1 + α2(x, y)]/2

que tenta diminuir o ruido no sinal do espectro de holograma. A onda de referência,

ei2π(ζx+ηy) , está fora do eixo e introduce frequências (ζ, η) que separam as diferentes

ordens difratadas do campo codificado FW . O campo é reconstruído mediante o sistema

4 − f como

u(x, y, 4f) = [[[[t ∗ h(x, y, f)]tf(x, y)] ∗ h(x, y, 3f)]tf(x, y)] ∗ h(x, y, 4f) (4.9)

na qual t ∗ h(x, y, f) representa a convolução de t com

h(x, y, z) = e−ikz ik

2πze

−ik(x2+y2)2z (4.10)

a resposta impulso espacial.

Os hologramas usados para a geração dos diferentes campos ópticos foram construídos

usando uma rotina3 em Matlab que permite escolher o tipo específico de campo óptico e per-

mite escolher os diferentes parâmetros experimentais como tamanho de pixel do modulador

espacial de luz, comprimento de onda, arquivo de imagem de saída, etc ...

Na Fig. 4-9 veem-se os hologramas obtidos com essa rotina para os campos ópticos

de Laguerre-Gauss (Fig. 4-9(a)) e Bessel (Fig. 4-9(b)) de ordem 4.

4.3 Tratamento de dados

Aqui expõe-se a rotina4 (no Matlab) para a construção do mapa de intensidade lon-

gitudinal dos campos ópticos partindo de uma serie de fotos do perfil transversal. Especi-

ficamente nesta rotina, divide-se cada imagem (1200×1900 pixels) em quadros pequenos

(de aproximadamente 10×10 pixels) e calcula-se o centro de intensidade para cada quadro

3A rotina para a obtenção dos hologramas para o campo óptico específico é mostrada no Apêndice F4A rotina para a obtenção do mapa de intensidade do campo óptico longitudinal é mostrada no

Apêndice G


200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

200

400

600

800

1000

1200

(a)

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

200

400

600

800

1000

1200

(b)

Figura 4-9: Hologramas obtidos para alguns campos ópticos.(a) Laguerre-Gauss (LG1

0) e (b) Bessel J4(kρρ).

pequeno. Imediatamente, os centros de intensidade para cada quadro são comparados e é

determinado o centro de intensidade geral (do campo óptico) na imagem. Com o centro

da imagem obtém-se o perfil de campo transversal (que atravessa o centro) para todas as

imagens no intervalo (entre 0 − 50 cm) e finalmente constroi-se o mapa de intensidade

longitudinal do campo óptico.


Duas imagens do mapa de intensidade longitudinal (para φ = 0), correspondentes aos

campos ópticos de LG10 e Bessel J4(kρρ), são mostradas na Fig. 4-10(a) e Fig 4-10(b), res-

pectivamente. Nessas figuras vê-se o caráter altamente difrativo do campo óptico Laguerre-

Gauss (já que não mantêm sua forma transversal com a propagação devido ao aumento

constante da cintura do campo óptico), e o caráter não-difrativo do campo óptico de Bessel

(mantendo sua forma transversal com a propagação). Também, mostra-se que os dois cam-

pos não apresentam localização específica na direção de propagação do campo originando

uma grande desvantagem para o guiamento de partículas ou átomos.

(b)

Figura 4-10: Perfil de campo longitudinal para alguns campos ópticos.(a) Laguerre-Gauss (LG1

0) e (b) Bessel J4(kρρ) com ρ0=100µm.

73

Capítulo 5

Resultados teóricos e experimentais

Neste capítulo (considerado como outro aporte da tese) apresentam-se os resulta-

dos correspondentes aos modelamentos das Frozen Waves (FW’s) e suas comparaçes com

alguns campos ópticos usados no guiamento atômico, como o campo óptico de Laguerre-

Gauss e o campo óptico de Bessel [10, 17, 26]. Essa comparação baseia-se, principalmente,

na localização espacial, profundidade de campo e carácter não-difrativo. Além disso, tam-

bém mostram-se as extensões feitas para o método (das Frozen Waves) e propõem-se as

Frozen Waves mais promissoras e interessantes para o guiamento óptico de átomos neutros

resfriados.

5.1 Campos tradicionais

Primeiramente, construíram-se os campos ópticos de LG10 e J4(kρρ) (como vê-se na

Fig. 5-1) com a finalidade de mostrar mais facilmente as propriedades das FW’s. Assim,

na Fig 5-1(a), Fig 5-1(b) e Fig 5-1(d)1 veem-se o mapa de intensidade2 do campo óptico

LG10 (em função da propagação), o potencial de dipolo óptico (em função das coordenadas

transversal (ρ) e de propagação (z)) e a profundidade de penetração dos átomos na barreira

1Nessas figuras usaram-se os dados para 85Rb (linha D2, 5S1/2 → 5P3/2)2A intensidade é normalizada com o valor I = 0, 2 µW/µm2.

5.1. CAMPOS TRADICIONAIS 74

de potencial3 (em função da propagação), respectivamente, e onde usa-se um comprimento

de onda de λ = 780, 2 × 10−9 m (ou seja ωl = 2, 42 × 1015 Rad/s), que corresponde à

sintonização específica do laser acima da ressonância atômica ωa. Na Fig 5-1(c), vê-se o

resultado experimental usando a montagem da Fig 4-5 e no qual usa-se um comprimento

de onda de λ = 632, 8 × 10−9 m. Apesar de os comprimentos de onda serem diferentes,

na teoria de potencial e no experimento, vê-se o caráter totalmente difrativo deste campo

óptico e sua impossibilidade de algum tipo de localização. É claro também, a partir da

Fig 5-1(d), que a profundidade de penetração dos átomos na barreira de potencial aumenta

consideravelmente com a propagação do campo sendo assim que quando o campo propaga-

se um comprimento de 20cm, a profundidade de penetração dos átomos no campo aumenta

aproximadamente até 8 µm.

Como um avanço para eliminar os efeitos difrativos, usa-se o campo de Bessel com os

resultados apresentados nas Fig 5-1(e), Fig 5-1(f), Fig 5-1(g), Fig 5-1(h). Os comprimentos

de onda usados aqui, na teoria e experimento, seguem as especificações da construção do

campo óptico LG10, ou seja, para as Fig 5-1(e), Fig 5-1(f) e Fig 5-1(h), usou-se um compri-

mento de onda de λ = 780, 2 × 10−9 m enquanto para o experimento, Fig 5-1(g), usou-se

um comprimento de onda de λ = 632, 8 × 10−9 m. Nestas figuras vê-se que o campo é

não-difrativo, já que mantêm sua forma transversal com a propagação, refletindo-se isso no

potencial de dipolo óptico (mantendo-se constante no intervalo estudado (Fig 5-1(f))), na

profundidade de penetração dos átomos na barreira de potencial, na sua intensidade e no

resultado experimental da Fig 5-1(g). No entanto, sendo o campo de Bessel não-difrativo,

apresenta-se a desvantagem de não expor uma localização no intervalo de propagação es-

tudado, o que seria muito útil no momento de guiar átomos neutros resfriados em regiões

especificas e limitadas do espaço.

3Esta profundidade é determinada a partir de rApd(z) = mρ0v2atom/U(ρc, z) (Apd do inglês Atom

penetration depth), com m = 85ma a massa atômica (ma → unidade de masa atômica), vatom a velocidadeatômica media (vatom < 0, 07 m/s, T = 100 µK) e ρ0 o comprimento transversal, para cada valor de z,com U máximo.

5.2. FROZEN WAVE DE ORDEM SUPERIOR 75

0 0,20

2,5

5

7,5

10

z(m)

r Apd(µm)

(h)

=0

J 4(k )

0 0,1 0,20

2,5

5

7,5

10

z(m)r Apd(µm)

(d)

=ρ0

LG10

Figura 5-1: Campos ópticos de Laguerre-Gauss e Bessel.Campo óptico de Laguerre-Gauss: (a) Perfil transversal de intensidade, (b) Potencial de dipolo

óptico, (c) Experimento, (d) Profundidade de penetração na barreira de potencial. Campo ópticode Bessel: (e) Perfil transversal de intensidade, (f) Potencial de dipolo óptico, (g) Experimento,

(h) Profundidade de penetração na barreira de potencial.

5.2 Frozen Wave de ordem superior

Uma proposta inovadora para eliminar esse tipo de problema, como a difração e locali-

zação, é o uso das Frozen Waves. Um primeiro modelamento de campo óptico apresenta um

cilindro de luz localizado no intervalo de propagação como estudou-se na Subsec. 2.2.2 (Fig

2-5). Esta FW é construída com uma função de intensidade chamada de supergaussiana

5.2. FROZEN WAVE DE ORDEM SUPERIOR 76

(exemplo 5 (Fig 2-5)) com valor constante no intervalo entre 9 e 16 cm, como vê-se nos

resultados da Fig 5-2(a) e Fig 5-2(b). O potencial neste intervalo (Fig 5-2(e)) apresenta

(d)

1 2

4

0 0,1 0,20

2,5

5

7,5

10

z(m)

r Apd(µm)

( )

=0

0 0,2 0,40

0,1

0,2

z (m)

(µµm2)

( )

=0

(z)

Figura 5-2: Campos ópticos para Frozen Wave com a função supergaussiana.(a) Mapa de intensidade com normalização dada por I = 0, 2 µW/µm2, (b) Perfil de intensidade

longitudinal para a FW e para função supergaussian F (z), (c) Mapa de intensidadeexperimental, (d) Mapa de intensidade transversal para as posições de propagação (z = 1 → 8

cm, 2 → 12 cm, 3 → 15 cm e 4 → 18 cm), (e) Potencial de dipolo óptico com ∆ = 22, 51Γ, (f)Profundidade de penetração dos átomos na barreira de potencial.

um valor máximo de 5, 40 mK com uma velocidade de captura transversal de vc = 1, 02

m/s e uma localização longitudinal (e da profundidade de penetração, rApd = 0, 94 µm)

como vê-se na Fig 5-2(e) (Fig 5-2(f)). É claro que estas figuras, Fig 5-2(a,b,e,f), são feitas

para um comprimento de onda de λ = 780, 2 ×10−9 m (Q = 0, 9999782 ωl/c) enquanto os

resultados experimentais, da Fig 5-2(c) e da Fig 5-2(d), são obtidos com um comprimento

de onda de λ = 632, 8 × 10−9 m (Q = 0, 9999856 ωl/c). Essa figuras, Fig 5-2(c) e Fig

5-2(d), mostram o mapa de intensidade do campo óptico, com a localização do cilindro de

5.3. MÉTODO DAS FROZEN WAVES ESTENDIDO 77

luz (φ = 0) nesse intervalo, e varias projeções (perfil transversal) ao longo da propagação do

campo, respectivamente. A profundidade deste campo óptico é de 20 cm e está construído

no intervalo (10 − 20)cm.

Estes resultados demostram a existência deste tipo de campo óptico localizado (e não

difrativo) e permitem propô-lo como uma inovadora solução aos problemas apresentados

nos campos de LG10 e J4(kρρ).

5.3 Método das Frozen Waves estendido

Como demonstrou-se, o método das FW ’s é muito efetivo para o modelamento lon-

gitudinal da intensidade do campo óptico e porem de alguma maneira limitado no mode-

lamento do padrão transversal, permitindo escolher somente o raio do cilindro de luz onde

apresenta-se a concentração do campo; mais especificamente, em regiões onde o campo têm

uma intensidade máxima, na seção transversal, e com o campo sendo uniforme ao longo

de z. Assim, seria interessante ter mais possibilidades na eleição do padrão de intensidade

transversal, considerando que tais estruturas de luz abrem novas e interessantes possibilida-

des envolvendo o guiamento de átomos neutros resfriados4. A seguir, expõem-se os casos

principais para o modelamento de campo e mostram-se alguns exemplos específicos.

5.3.1 Caso 1. Ju(·)’s iguais, Q’s diferentes

Como propõe-se na Sec. 2.3.1, esta extensão consiste num campo óptico dado pela

superposição de FW ’s compostas de campos ópticos de Bessel da mesma ordem (u) e com

diferentes valores de Q. Ou seja, o campo óptico resultante é dado por (igual que na Eq.

2.41)


∑

r

Nr∑

n=−Nr

AnrBurJur(hnrρ)eiuφeiβnrz, (5.1)

4Não somente para o guiamento de átomos como também pinças ópticas e fotônica em geral.


com βnr, hnr e Anr dados por

βnr = Qr +2π

Ln, hnr =

√ω2

l

c2− β2

nr, Anr =1

L

∫ L

0Fr(z)e

−i 2πL

nzdz, (5.2)

e ℵT uma constante de normalização (total) do campo óptico e Bur a normalização corres-

pondente à função de Bessel. A solução dada pela Eq. 5.1 é uma superposição de FW ’s

de ordem u tendo um padrão de intensidade longitudinal |Fr(z)|2, modelado no intervalo

0 ≤ z ≤ L. Um exemplo deste tipo de estrutura de luz mostra-se a seguir.

Campo óptico com forma de dois cilindros [ ΘTC ]

Neste exemplo, apresenta-se uma estrutura de luz feita com dois cilindros concate-

nados, cada um representado por uma FW , e com diferentes diâmetros. As duas FW ’s

(FWc1 e FWc2) foram modeladas com funções de Bessel de ordem u =4, J4(kρρ), mas

com diferentes valores de Qr (r = 1, 2). O campo óptico é dado por

ΘTC(ρ, φ, z, t) = ℵT e−iωltei4φ

eiQ1z ∑N1


i 2πL

nz+

eiQ2z ∑N2n=−N2

An2B42J42(hn2ρ)ei 2π

Lnz, (5.3)

com a primeira FW (FWc1) modelada no intervalo zi1 ≤ z ≤ zf1 (zi1 e zf1 são os valores

para as coordenadas longitudinais inicial e final do primeiro cilindro (r = 1)) enquanto a

segunda FW (FWc2) é modelada no intervalo zi2 ≤ z ≤ zf2 (correspondem ás coordenadas

longitudinais do segundo cilindro). O modelamento da intensidade é logrado a partir das

funções Fr(z) e dos parâmetros L e Qr. Neste caso essas funções Fr(z)’s são dadas por

Fr(z) =

δr1 + δr2 para zir ≤ z ≤ zfr

0 caso contrário,(5.4)

com δpq o delta de Kronecker, L = 0, 5 m, zi1 = 5 cm, zf1 = 15 cm, zi2 = 15 cm e

zf2 = 25 cm. A cintura do primeiro cilindro (FWc1, medida no primeiro máximo de seu


perfil transversal) é de 65 µm (ρ0 = 65 µm) enquanto para o segundo cilindro (FWc2)

tem-se uma cintura de 100 µm (ρ0 = 100 µm). Essas escolhas, das cinturas do cilindro,

implicam que Q1 = 0, 999948ωl/c e Q2 = 0, 999978ωl/c para um comprimento de onda de

λteo = 780, 2 × 10−9 m com N1 = 9 (N1,max = 33) e N2 = 9 (N2,max = 14)5.

0 1 24

0

(m)

(µµm2)

( )

z=0 0 0m

z=0 175m

c1

c2

(d)1 2

4

0 0,1 0,20

2,5

5

7,5

10

z(m)

r Apd(µm)

( )

0 = 5µm

0 = 100µm

0 1 20

0,1

0,2

(m)

(µµm2)

( )

z=0,0 0m

z=0,175m

c1

c2

-

Figura 5-3: Campo óptico ΘTC com forma de dois cilindros.(a) Mapa de intensidade com normalização dada por I = 0, 2 µW/µm2, (b) Perfil de intensidade

transversal para o campo óptico com duas posições longitudinais (z1 = 0, 090 m e z2 = 0, 175m), (c) Mapa de intensidade experimental (φ = 0), (d) Mapa de intensidade transversal

(experimental) para as posições de propagação (z = 1 → 7 cm, 2 → 12 cm, 3 → 15 cm e4 → 19 cm), (e) Potencial de dipolo óptico com ∆ = 24, 10Γ, (f) Profundidade de penetração

dos átomos na barreira de potencial.

Na Fig 5-3(a), apresenta-se o mapa de intensidade desta estrutura de luz onde veem-

se os dois cilindros concatenados (para um valor de φ = 0). A linha vermelha e linha

preta na Fig 5-3(b) representam o perfil de intensidade transversal para a FWc1 e FWc2,

5Para o comprimento de onda λexp = 632, 8 × 10−9 m usam-se os valores: Q1 = 0, 999966ωl/c,Q2 = 0, 999986ωl/c, N1 = 9, N2 = 9


respectivamente, em dois diferentes comprimentos de propagação (z1 = 0, 090 m e z2 =

0, 175 m). Os resultados experimentais, da Fig 5-3(c) e Fig 5-3(d), confirmam a existência

e localização deste interessante tipo de sobreposições de FW ’s. Os números 1, 2, 3, 4,

na Fig 5-3(d), representam o mapa de intensidade transversal para os comprimentos de

propagação do campo óptico (7, 12, 15, 19)cm, respectivamente. Assim, nas imagens 1 e

2 apresentam-se o perfil transversal do cilindro com raio menor enquanto para as figuras

3 e 4 apresentam-se para o cilindro maior. O potencial de dipolo óptico (Fig 5-3(e)) têm

um valor de potencial máximo de 5, 77 mK, que corresponde a uma velocidade de

captura transversal máxima de vc = 1, 06 m/s, e um valor mínimo na interseção dos

dois cilindros de 3, 95 mK, com

vc = 0, 88 m/s. Neste caso o potencial é representado para um valor de φ = 0 e têm a

forma dos dois cilindros concatenados. A penetração dos átomos na barreira de potencial

é representada, para os dois raios representativos das duas FW ’s, como vê-se Fig 5-3(f).

Apresenta-se uma maior penetração para a barreira no cilindro maior do que no cilindro

menor (maior 0, 97 µm e menor 0, 56 µm).

A profundidade deste campo óptico é de ≈ 24 cm enquanto que sua localização está

no intervalo entre (5 − 24)cm.

5.3.2 Caso 2. Jl(·)’s diferentes, Q’s iguais ou diferentes

Um segundo modelamento (e segunda extensão do método) propõe o uso de sobrepo-

sições de diferentes FW ’s para construir algumas estruturas de luz com graus de liberdade

adicionais onde as funções de Bessel para cada FW são de diferente ordem e com os valores

dos Q’s podem ser iguais ou diferentes. Neste caso considera-se campos ópticos da forma


∞∑

l=−∞

Nl∑

n=−Nl

AnlBlJl(hnlρ)eilφeiβnlz, (5.5)


com βnl, hnl e Anl dados por

βnl = Ql +2π

Ln, hnl =

√k2 − β2

nl, Anl =1

L

∫ L

0Fl(z)e

−i 2πL

nzdz, (5.6)

e ℵT uma constante de normalização. A solução dada pela Eq. 5.5 é a soma de FW ’s de

ordem l, com −∞ < l < ∞, e na qual cada uma têm seu próprio padrão de intensidade lon-

gitudinal |Fl(z)|2 modelado no intervalo −∞ < l < ∞. Nos seguintes exemplos aplica-se

este método para construir alguns interessantes campos ópticos não-difrativos com formas

completamente não usuais.

Jl(·)’s diferentes, Q’s diferentes

Cilindro de luz com tampa 1 [ ΘLC ]

Neste caso, o campo óptico resultante é composto pela superposição de duas FW ’s

tal que a primeira FW1 é modelada com campos de Bessel de ordem zero, J0(hn0ρ) (l = 0),

enquanto a segunda é modelada com campos de Bessel de ordem quatro, J4(hn4ρ) (l = 4).

A ideia básica é obter um padrão de intensidade longitudinal ao longo de z, sobre o eixo

z (ρ = 0) no intervalo zi0 ≤ z ≤ zf0, e numa superfície (ρ = ρl > 0) para um intervalo

zi4 ≤ z ≤ zf4. O campo óptico resultante é (igual que a Eq. 2.45)

ΘLC(ρ, φ, z, t) = ℵT e−iωlt

eiQ0z ∑N0


iβn0z+

ei4φeiQ4z ∑N4n=−N4

An4B4J4(hn4ρ)eiβn4z

, (5.7)

com βn0, hn0, An0, βn4, hn4 eAn4 dados pelas Eq. 5.6. Neste este exemplo, para 0 ≤ z ≤ L,

fez-se a eleição

Fl(z) =



com δpq o delta de Kronecker, L = 0, 5 m. Também usa-se zi0 = 5 cm e zf0 = 15 cm


para as coordenadas longitudinais inicial e final da tampa do cilindro (FW1) e zi4 = 10

cm, zf4 = 25 cm, para as coordenadas longitudinais inicial e final do cilindro. Escolhe-se

ρ0 ≈ 60 µm e ρ2 ≈ 65 µm, implicando que Q0 = 0, 9999876 ωl/c e Q4 = 0, 9999484 ωl/c

quando6 λteo = 780, 2 × 10−9 m. Neste caso usa-se N0 = 7, N4 = 9.

(d)1 2

4

0 0,1 0,20

2,5

5

7,5

10

z(m)

r Apd(µm)

( )

0 = 5µm

0 0,2 0,40

0,1

0,2

z (m)

(µµm2)

( )

=0

=2

1

0(z)

2

4(z)

Figura 5-4: Campo óptico ΘLC com forma de cilindro com tampa.(a) Mapa de intensidade com normalização dada por I = 0, 2 µW/µm2, (b) Perfil de intensidade

longitudinal para o campo óptico com duas posições transversais (ρ = 0 m e ρ = 65 µm), (c)Mapa de intensidade experimental (φ = 0), (d) Mapa de intensidade transversal (experimental)

para as posições de propagação (z = 1 → 7 cm, 2 → 10 cm, 3 → 13 cm e 4 → 20 cm), (e)Potencial de dipolo óptico com ∆ = 21, 65Γ, (f) Profundidade de penetração dos átomos na

barreira de potencial.

Na Fig. 5-4(a) vê-se o mapa de intensidade para esta estrutura de luz (φ = 0) com

o cilindro localizado entre (10 − 25)cm e a tampa entre (5 − 15)cm. Na Fig. 5-4(b),

mostra-se o perfil longitudinal de intensidade para as duas FW ’s onde a linha vermelha

6No caso experimental, com λexp = 632, 8 × 10−9 m, usam-se os valores: Q1 = 0, 999990 ωl/c,Q2 = 0, 999966 ωl/c, N1 = 7, N2 = 9.


tracejada, linha preta tracejada, linha vermelha contínua e linha preta contínua correspon-

dem ao perfil de intensidade longitudinal para F0(z), F4(z), FW1, FW2, respectivamente.

A linha vermelha representa o modelamento na seção transversal ρ = 0 µm (no caso da

FW1 com J0(hn0ρ)) enquanto a linha preta representa ρ = 65 µm (com J4(hn4ρ)). O

mapa de intensidade experimental (φ = 0) e o perfil de intensidade transversal para os

comprimentos de propagação (z = 1 → 7 cm, 2 → 10 cm, 3 → 13 cm e 4 → 20 cm) são

dados na Fig. 5-4(c) e na Fig. 5-4(d), respectivamente. A FW1, vê-se na Fig. 5-4(d-1)

enquanto a FW2 apresenta-se na Fig. 5-4(d-4). Uma forte superposição dos dois campos

FW (FW1 e FW2) é conseguida no intervalo (11 − 15)cm como vê-se na Fig. 5-4(d-2) e

Fig. 5-4(d-3). Aqui é importante ressaltar que o valor da fase do campo FW se reflete na

rotação transversal do campo com a propagação (ou seja apresenta uma carga topológica).

Neste caso obtêm-se uma profundidade do campo (ΘLC) de ≈ 24 cm e uma localização no

intervalo entre (5 − 24)cm.

Na Fig. 5-4(e) vê-se o potencial de dipolo óptico com um valor máximo de potencial

de 5, 40 mK que representa uma velocidade de captura transversal máxima de vc = 1, 03

m/s enquanto na Fig. 5-4(f) mostra-se a profundidade de penetração na barreira de poten-

cial para a parte do cilindro de luz. Ela é localizada e apresenta um valor de 0, 65 µm.

Três cilindros concatenados [ ΘTCC ]

Neste exemplo modelamos um campo óptico tal que sua seção transversal ao longo

da propagação não é uniforme. Mais especificamente, este campo óptico consiste de uma

sequência de três cilindros conectados, com o primeiro e terceiro tendo o mesmo raio e

comprimento, enquanto o segundo têm o mesmo comprimento com um raio menor. O

campo óptico (ΘTCC) é dado pela Eq. 5.5 e Eq. 5.6 usando dos FW ’s (de ordem l = 4 e

l = 6). A estrutura espacial de intensidade desejada é obtida a partir das funções Fl(z) e


os parâmetros L e Ql. Neste caso são dados por

Fl(z) =


δl6 para z′il ≤ z ≤ z′

fl

0 caso contrário,

(5.9)

com L = 1 m. Os dados zi6 = 4 cm, zf6 = 20 cm, zi4 = 19, 5 cm, zf4 = 32, 5

cm, z′i6 = 32 cm, z′

f6 = 48 cm são as coordenadas inciais e finais dos três cilindros

conectados em sequência. O raio do primeiro e terceiro cilindro é ρ6 ≈ 170 µm (que

implica que Q6 = 0, 999985ωl/c) enquanto o raio do segundo cilindro é ρ4 ≈ 100 µm (com

Q4 = 0, 999978 ωl/c) quando o comprimento de onda7 é λteo = 780, 2 × 10−9 m. Aqui

usa-se N4 = N6 = 12.

0 10 20 40 500

2,5

5

7,5

10

z( m)

r Apd(µm)

(d)

6 = 170µm

4 = 100µm

6 = 170µm

,

,

,

,

,

,

,

,

Figura 5-5: Campo óptico ΘTCC com forma de três cilindro.(a) Mapa de intensidade com normalização dada por I = 0, 2 µW/µm2, (b) Potencial de dipoloóptico com ∆ = 22, 40Γ, (c) Mapa de intensidade experimental (φ = π), (d) Profundidade de

penetração dos átomos na barreira de potencial para os raios representativos (ρ6 = 170,ρ4 = 100 e ρ6 = 170)µm.

7Neste caso a geração experimental do campo óptico (feita pela equipe de Toronto) realizou-se comum comprimento de onda de λexp = 532, 0 × 10−9 m e com os valores Q6 = 0, 999993ωl/c e Q4 =0, 999990ωl/c.


Na Fig. 5-5(a) apresenta-se o mapa de intensidade em função da propagação (φ = π)

dos três cilindros enquanto a Fig. 5-5(b) mostra o potencial de dipolo óptico para este

tipo de estrutura de luz com um valor máximo de potencial de 5, 59 mK que representa

uma velocidade de captura transversal de vc = 1, 05 m/s. Na Fig. 5-5(c) vê-se o resultado

experimental, que está em acordo com o resultado teórico do modelamento, enquanto a

Fig. 5-5(d) apresenta a profundidade de penetração dos átomos na barreira para os raios

específicos dos cilindros com valores (2, 1, 1, 2 e 1, 6) µm correspondentes ao primeiro cilin-

dro, cilindro central e cilindro final, respectivamente. De acordo com isso a maior captura é

dada pelo cilindro do meio e pelo tanto melhor o guiamento. Para este exemplo, obtêm-se

uma profundidade de campo ≈ 48 cm e uma localização no intervalo (5 − 47)cm.

Jl(·)’s diferentes, Q’s iguais

Cilindro de luz com tampa 2 [ ΘLC2 ]

Aqui modela-se um campo óptico resistente à difração com seu correspondente poten-

cial de dipolo óptico formado como um cilindro e uma tampa. Para este propósito, usa-se

a solução dada pelas Eqs. 5.5 e 5.6 com duas FW ’s na superposição. A primeira delas é

de ordem zero (l = 0), responsável por construir a tampa, e outra de ordem dois (l = 2)

responsável de formar o cilindro. Como tem-se definido anteriormente, a estrutura espacial

desejada é conseguida através das funções Fl(z) e os parâmetros L e Ql. A partir de Fl(z),

L e Ql, os coeficientes Anl e os números de onda longitudinais βnl podem ser calculados

usando as Eq. 5.6, de tal maneira que a solução (Eq. 5.5) é definida. Neste exemplo, para

0 ≤ z ≤ L, elege-se

Fl(z) =



com δpq o delta de Kronecker, L = 1 m, zi0 = 6 cm e zf0 = 25 cm as coordenadas

longitudinais inicial e final da tampa do cilindro e zi2 = 21 cm e zf2 = 42 cm as coorde-


nadas longitudinais para o cilindro de luz. A cintura do campo óptico da tampa é r0 ≈ 54

µm e do cilindro de ρ2 ≈ 69 µm, o que implica que Q0 = Q2 = 0, 999985ωl/c quando8

λteo = 780, 2 × 10−9 m. Neste caso usamos N0 = N2 = 12. Nas Figs. 5-6(a), 5-6(b),

0 10 20 40 500

2,5

5

7,5

10

z( m)

r Apd(µm)

(d)

2 = µm,

,

,

,

,

,

,

,

Figura 5-6: Campo óptico ΘLC2 com forma de cilindro com tampa.(a) Mapa de intensidade com normalização dada por I = 0, 2 µW/µm2, (b) Potencial de dipoloóptico com ∆ = 22, 55Γ, (c) Mapa de intensidade experimental, (d) Profundidade de penetração

dos átomos na barreira de potencial com ρ2 = 69 µm.

5-6(d) vê-se, respectivamente, a intensidade do campo óptico (φ = π) obtido a partir da

teoria, o potencial de dipolo óptico (para propósitos de guiamento) e a profundidade de

penetração dos átomos na barreira, enquanto na Fig. 5-6(c) apresenta-se o resultado ex-

perimental usando a montagem da Fig. 4-6. O valor máximo para o potencial de dipolo é

de 5, 57 mK, o que corresponde a vc = 1, 04 m/s. A penetração dos átomos na barreira

é representada para o cilindro com um valor de 0, 78 µm. Este campo óptico têm uma

localização entre (6 − 42)cm com a profundidade de campo de ≈ 42 cm.

Três cilindros com aumento crecente [ ΘTCA ]

Neste último caso, modelou-se uma estrutura de luz cilíndrica com seção transversal

não uniforme. Mais especificamente, o exemplo consiste de três cilindros conectados em8Neste caso a geração experimental do campo óptico (feita pela equipe de Toronto) realizou-se com um

comprimento de onda de λexp = 532, 0 × 10−9 m e com os valores Q0 = Q2 = 0, 999993ωl/c.


sequência com o mesmo comprimento mas com aumento no raio. De novo, considerando a

solução Eq. 5.6, usamos três FW ’s, cada uma construída com funções de Bessel de ordens

diferentes. Neste caso, usam-se as ordens l = 4, l = 6 e l = 8. A estrutura espacial é dada

através das funções Fl(z) e os parâmetros L e Ql. Aqui, usa-se

Fl(z) =

δl4 + δl6 + δl8 para zil ≤ z ≤ zfl


com L = 1 m, zi4 = 10 cm, zf4 = 25 cm, zi6 = 25 cm, zf6 = 40 cm, zi8 = 40 cm e zf8 = 55

cm, para as coordenadas longitudinais inicial e final para os três cilindros conectados em

sequência. Escolhem-se os raios dos três cilindros como ρ4 ≈ 120 µm, ρ6 ≈ 170 µm e

ρ8 ≈ 218 µm que implicam Q4 = Q6 = Q8 = 0, 999985ωl/c quando9 λteo = 780, 2 × 10−9

m. Aqui, usamos os valores N4 = N6 = N8 = 12.

0 10 20 40 500

2,5

5

7,5

10

z( m)

r Apd(µm)

(d)

4 = 120µm

= 170µm

8 = 21 µm

,

,

,

,

,

,

,

,

Figura 5-7: Campo óptico ΘTCA ampliando-se.(a) Mapa de intensidade com normalização dada por I = 0, 2 µW/µm2, (b) Potencial de dipoloóptico com ∆ = 22, 65Γ, (c) Mapa de intensidade experimental, (d) Profundidade de penetração

dos átomos na barreira de potencial para os raios representativos (ρ4 = 120, ρ6 = 170 eρ8 = 218)µm.

O mapa de intensidade do campo óptico em função da propagação, o potencial de

9Neste caso a geração experimental do campo óptico realizou-se com um comprimento de onda deλexp = 532, 0 × 10−9 m e com os valores Q4 = Q6 = Q8 = 0, 999993ωl/c.


dipolo óptico e a profundidade de penetração dos átomos na barreria de potencial são

mostradas nas Figs. 5-7(a), 5-7(b) e 5-7(d), respectivamente. O valor máximo para o

potencial de dipolo óptico é de 5, 33 mK, correspondendo a vc = 1, 02 m/s, enquanto que a

profundidade de penetração dos átomos é dada para os raios dos cilindros principais (ρ4, ρ6

e ρ8) com valores de rApd = 1, 15, 1, 65 e 2, 03, respectivamente. O resultado experimental,

que está em acordo com o modelamento da teoria, vê-se na Fig. 5-7(c).

A profundidade de campo apresentada por este é de ≈ 55 cm com uma localização

no intervalo (10 − 55)cm, com uma estrutura de luz que parece um funil óptico.

89

Capítulo 6

Conclusão e perspectivas

Os resultados para os campos ópticos de Laguerre-Gauss (LG10) e Bessel (Ju(kρnρ))

foram mostrados e foram observadas as limitações destes campos ópticos em sua localiza-

ção e carácter difrativo. Uma moderna proposta surge dos interessantes campos “Frozen

Waves”, que devido ao seu carácter não-difrativo permitem fazer um tipo de modelamento

(ou localização) longitudinal e transversal (em menor medida) de intensidade dos campos e

originam surpreendentes estruturas de luz. O potencial de dipolo óptico segue esta tendên-

cia e é possível obter grandes velocidades de captura nas regiões localizadas do campo para

o guiamento de átomos. Assim, demostra-se a existência deste tipo de ondas resistentes à

difração e se veem as vantagens na localização e forma do campo óptico no guiamento de

átomos.

Por outra parte, o método FW foi estendido de forma a permitir soluções construídas

pela superposição de vários campos FW ’s de diferentes ordens. Como resultado, estruturas

de luz originais (resistentes à difração) com interessantes formas espaciais são obtidas,

teórica e experimentalmente, e sugere-se seu uso para o guiamento de átomos. Assim, alguns

exemplos são realizados, mostrando acordo na teoria e experimento. Entre as estruturas,

pode-se ressaltar um cilindro de luz, um cilindro com um extremo selado, uma válvula óptica,

um funil óptico, entre outros.

Este projeto, além de estender o método de FW e fazer o estudo teórico do guiamento

CAPíTULO 6. CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS 90

de átomos, gerou novos caminhos para pesquisas tanto na parte teórica da óptica clássica

como na parte de óptica quântica. Também gerou novas linhas para a parte experimental

no que se refere à aplicação das novas estruturas de luz para o guiamento.

Entre as perspectivas futuras temos a extensão da parte experimental do guiamento

de átomos neutros resfriados. Esta parte consistiria em acoplar nosso sistema experimental,

da geração dos campos ópticos Frozen Waves, campos não difrativos, com uma armadilha

magneto-óptica para 85Rb e fazer o guiamento. Poder-se-ia se testar as diferentes estruturas

de luz propostas nesta tese.

Outra perspectiva futura consiste na consideração de níveis de energia mais internos

do átomo, como por exemplo os estados hiperfinos devido ao spin do núcleo. Quando é

levada em conta essa nova interação, os níveis de energia sofrem um desdobramento (estados

hiperfinos) e o sistema fica convertido num sistema de 3 níveis, que pode ser aproximado

como sendo composto de dois sistemas de dois níveis desacoplados. Um esquema deste tipo

é mostrado na Fig. 6-1. Ao considerar os estados hiperfinos do estado base (|g >) do 85Rb,

os potenciais de dipolo óptico para o estado base hiperfino |g1 > são transformados em [61]

U1(ρ, φ, z) =~

2

(

2

3

I(ρ, φ, z)Γ2

2I0

+ ∆2

)1/2

− ∆

, (6.1)

enquanto que, para |g2 >, seria dado por

U2(ρ, φ, z) =~

2

(

2

3

I(ρ, φ, z)Γ2

2I0+ (∆ + ∆HF S)2

)1/2

− (∆ + ∆HF S)

. (6.2)

Dessa maneira, neste caso é necessária a propagação de um campo ó (de bombeio) pelo

meio do campo óptico oco, usado para o guiamento, com o fim de gerar um tipo de

esfriamento Sisyphus [15]. Assim, os átomos que fazem emissão espontânea ao estado

|g2 > são bombeados de volta ao estado excitado perdendo sua energia cinética.

Uma terceira perspectiva futura consistiria na aplicação do método estendido FW ,

do ponto de vista clássico, no controle de partículas dielétricas para aplicações em fluídica.

CAPíTULO 6. CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS 91

ω0 ωL

|g >

|e>

5 S

5 P

1/2

3/2

F=2F=3 |g >

1

2HFS

ωRP

2

2

Figura 6-1: Sistema atômico de três niveis (85Rb).ωL, ω0, ωRP , ∆ e ∆HF S são: a frequência do laser, a frequência de resonância atômica, a

frequência do laser de bombeio, a destintonização e a mudança de energía dos estados hiperfinosdo estado base do 85Rb, respectivamente.

Como se viu as diferentes estruturas podem funcionar como válvulas de controle da passagem

de partículas (estrutura de três cilindros concatenados), funil óptico ou um selecionador

de partículas (estrutura de cilindro com tampa) o que geraria efeitos interessantes nesses

campos da física e da engenheira.

Uma última perspectiva vem ao considerar já um sistema atômico de três níveis. Nesse

caso, a matriz de dipolo óptico do átomo e a matriz densidade mudam totalmente e um

estudo numérico é preciso para resolver as equações ópticas de Bloch e ter uma solução

para os diferentes tipos de força devido à interação átomo-campo.

Como pode se ver, esta tese gerou muitas ideias de projetos novos referentes ás

áreas teóricas, de óptica clássica e óptica semiclássica, como também nas respectivas partes

experimentais.

BIBLIOGRAFIA 92

Bibliografia

[1] Ashkin, A. Acceleration and trapping of particles by radiation pressure. Physical ReviewLetters 24, 156–159 (1970).

[2] Ashkin, A. Optical trapping and manipulation of neutral particles using lasers. Proc.Natl. Acad. Sci. USA 94, 4853–4860 (1997).

[3] Maher-McWilliams, C. & Douglas, P. & Baker, P. F. Laser-driven acceleration ofneutral particles. Nature Photonics 06, 386+ (2012).

[4] Nieminen, T. A. Trapping ions. Nature Photonics 4, 737–738 (2010).

[5] Grimm, R. & Weidemüller, M. & Ovchinnikov, Y. Optical dipole traps for neutralatoms. ArxiV preprint atom-ph , 1–39 (1999).

[6] Balykin, V. I. & Minogin, V. G. & Lethokov, V. S. Electromagnetic trapping of coldatoms. Rep. Prog. Phys. 63, 1429–1510 (2000).

[7] Cattani, F. & Kim, A. & Lisak, M. & Anderson, D. Interactions of electromagneticradiation with bose-einstein condensates: manipulating ultra-cold atoms with light.International Journal of Modern Physics B 27, 1–68 (2013).

[8] Renn, M. J. & Montgomery, D. & Vdovin, O. & Anderson, D. Z. & Wieman, C. E. &Cornell, E. A. Laser-guided atoms in hollow-core optical fibers. Phys. Rev. Lett. 75,3253–3256 (1995).

[9] Xu, X. & Minogin, V. G. & Lee, K. & Wang, Y. & Jhe, W. Guiding cold atoms in ahollow laser beam. Phys. Rev. A 60, 4796–4804 (1999).

[10] Arlt, J. & Hitomi, T. & k. Dholakia. Atom guiding along laguerre-gaussian and bessellight beams. Applied Physics B, Lasers and Optics 71, 549–554 (2000).

[11] Rhodes, D. P. & Lancaster, G. P. T. & Livesey, J. & McGloin, D. & Arlt, J. & Dholakia,K. Guiding a cold atomic beam along a co-propagating and oblique hollow light guide.Optics Communications 214, 247–254 (2002).

[12] Yin, J. & Zhu, Y. & Jhe, W. & Wang, Z. Atom guiding and cooling in a dark hollowlaser beam. Physical Review A 58, 509–513 (1998).

[13] Askaryan, G. A. Effects of the gradient of a strong electromagnetic beam on electronsand atoms. Soviet Physics JETP 15, 1088–1090 (1962).

BIBLIOGRAFIA 93

[14] Ashkin, A. Trapping of atoms by resonance radiation pressure. Physical Review Letters40, 729–732 (1978).

[15] Yin, J. & Zhu, Y. & Wang, W. & Wang, Y. & Jhe, W. Optical potential for atomguidance in a dark hollow laser beam. J. Opt. Soc. Am. B 15, 25–33 (1998).

[16] Mestre, M. & Diry, F. & de Lesegno, B. V. & Pruvost, L. Cold atom guidance by aholographic-generated laguerre-gaussian laser mode. Eur. Phys. J. D 57, 87–94 (2010).

[17] Arlt, J. & Dholakia, K. Generation of high-order bessel beams by use of an axicon.Optics Communications 177, 297–301 (2000).

[18] Born, M. & Wolf, E. Principles of optics: Electromagnetic Theory of Propagation,Interference and Diffraction of Light. Cambridge Press, six edition (1998).

[19] Goodman, J. W. Introduction to Fourier Optics, chapter 1.2, 10–119. Roberts andCompany Publishers, third edition (2005).

[20] Ito, T. & Okazaki, S. Pushing the limits of lithography. Nature 406, 1027–1031(2000).

[21] Herman, R. M. & Wiggins, T. A. Production and uses of diffractionless beams. J.Opt. Soc. Am. A 8, 932–942 (1991).

[22] Ashkin, A. & Dziedzic, J. M. & Bjorkholm, J. E. & Chu, S. Observation of a single-beam gradient force optical trap for dielectric particles. Opt. Lett. 11, 288–290 (1986).

[23] Garces-Chavez, V. & McGloin, D. & Melville, H. & Sibbett, W. & Dholakia, K. Simul-taneous micromanipulation in multiple planes using a self-reconstructing light beam.Nature 419, 145–147 (2002).

[24] McGloin, D. & Garcés-Chávez, V. & Dholakia, K. Interfering bessel beams for opticalmicromanipulation. Opt. Lett. 28, 657–659 (2003).

[25] MacDonald, M. P. & Paterson, L. & Volke-Sepulveda, K. & Arlt, J. & Sibbett, W.& Dholakia, K. Creation and manipulation of three-dimensional optically trappedstructures. Science 296, 1101–1103 (2002).

[26] Arlt, J. & Garces-Chavez, V. & Sibbett, W. & Dholakia, K. Optical micromanipulationusing a bessel light beam. Optics Communications 197, 239–245 (2001).

[27] Yin, J. & Zhu, Y. & Wang, Y. Evanescent light-wave atomic funnel: A tandemhollow-fiber, hollow-beam approach. Phys. Rev. A 57, 1957–1966 (1998).

[28] Fan, J. & Parra, E. & Milchberg, H. M. Resonant self-trapping and absorption ofintense bessel beams. Phys. Rev. Lett. 84, 3085–3088 (2000).

[29] Ashkin, A. Atomic-beam deflection by resonance-radiation pressure. Physical ReviewLetters 25, 1321–1324 (1970).

[30] Hernández-Figueroa, H. & Zamboni-Rached, M. & Recami, E. Localized Waves. WileySeries in Microwave and Optical Engineering. Wiley, (2007).

BIBLIOGRAFIA 94

[31] Zamboni-Rached, M. Stationary optical wave fields with arbitrary longitudinal shapeby superposing equal frequency bessel beams: Frozen waves. Optics Express 12, 4001–4006 (2004).

[32] Zamboni-Rached, M. & Mugnai, D. Bessel beam and signal propagation. PhysicsLetters A 284, 294–295 (2001).

[33] Zamboni-Rached, M. & Recami, E. & Fontana, F. Superluminal localized solutions tothe maxwell equations propagating through normal (non-evanescent) regions. Annalesde la Fondation Louis de Broglie 26, 541–554 (2001).

[34] Stratton, J. A. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill, New York, first edition, (1941).Chapters 1,2,5.

[35] Siviloglou, G. A. & Broky, J. & Dogariu, A. & Christodoulides, D. N. Observation ofaccelerating airy beams. Phys. Rev. Lett. 99, 213901 Nov (2007).

[36] Gutiérrez-Vega, J. & Iturbe-Castillo, M. & Ramírez, G. & TepichÄśÌĄn, E. &Rodríguez-Dagnino, R. & Chávez-Cerda, S. & New, G. Experimental demonstrationof optical mathieu beams. Optics Communications 195, 35 – 40 (2001).

[37] Durnin, J. & Miceli, J. J. & Eberly, J. H. Diffraction-free beams. Phys. Rev. Lett. 58,1499–1501 (1987).

[38] Durnin, J. Exact solutions for nondiffracting beams. i. the scalar theory. J. Opt. Soc.Am. A 4, 651–654 (1987).

[39] Zamboni-Rached, M. & Recami, E. & Figueroa, H. New localized superluminal soluti-ons to the wave equations with finite total energies and arbitrary frequencies. EuropeanPhysics Journal D 21, 217–228 (2002).

[40] Zamboni-Rached, M. & Ambrósio, L. A. & Hernandez-Figueroa, H. E. Difraction-attenuation resistant beams: their higher order versions and finite aperture generations.Applied Optics 49, 5861–5869 (2010).

[41] Conti, C. Generation and nonlinear dynamics of x waves of the schrödinger equation.Phys. Rev. E 70, 1–12 (2004).

[42] Bouchal, Z. Nondiffracting optical beams: Physical properties, experiments, and ap-plications. Czechoslovak Journal of Physics 53, 537–578 (2003).

[43] Arfken, G. & Weber, H. Mathematical methods for physicists. Elsevier Acad. Press,(2008).

[44] Vieira, T. A. & Gesualdi, M. R. R. & Zamboni-Rached, M. Frozen waves: experimentalgeneration. Opt. Lett. 37, 2034–2036 (2012).

[45] Zamboni-Rached, M. & Recami, E. & Hernández-Figueroa, H. E. Theory of “frozenwaves”: modeling the shape of stationary wave fields. J. Opt. Soc. Am. A 22, 2465–2475 Nov (2005).

BIBLIOGRAFIA 95

[46] Letokhov, V. S. Narrowing of the doopler width in a standing wave. JETP Lett. 7,272–274 (1968).

[47] Thorton, S. T. & Marion, J. B. Cassical Dynamics of Particles and Systems. ThomsonBrooks/Cole, www.brokscole.com, fifth edition, (2004). Page 78.

[48] Bjorkholm, J. E. & Freeman, R. R. & Ashkin, A. & Pearson, D. B. Observation offocusing of neutral atoms by the dipole forces of resonance-radiation pressure. PhysicalReview Letters 41, 1361–1364 (1978).

[49] Letokhov, V. S. & Minogin, V. G. Laser radiation pressure on free atoms. PhysicsReports 73, Institute of Spectroscopy USSR academy of Sciences, 142092 Troitzk,Moscow, USSR, (1981).

[50] Scully, M. O. & Zubairy, M. S. Quantum Optics, chapter 5, 146–192. CambridgeUniversity Press, first edition (2001).

[51] Brandt, L. Trapping of Rubidium Atoms using Optical Tweezers. PhD dissertation,Merton College, Oxford, Clarendon Laboratory, - (2011). Chapter 2.

[52] Metcalf, H. J. & der Straten, P. V. Laser cooling and trapping, chapter 1; 2; 3; 9.Springer (1999).

[53] Ehrenfest, P. Bemerkung über die angenäherte gültigkeit der klassischen mechanikinnerhalb der quantummechanik. Zeit.f. Phys. 45, 455–457 (1927).

[54] Bransden, B. & Joachain, C. Physics of Atoms and Molecules, chapter 2.3, 72+. Wiley& Sons, New York (1983).

[55] Scully, M. O. & Zubairy, M. S. Quantum Optics, chapter 17, 493–494. CambridgeUniversity Press, first edition (2001).

[56] Rhodes, D. P. & Gherardi, D. M. & Livesey, J. & McGloin, D. & Melville, H. &Freegarde, T. & Dholakia, K. Atom guiding along high order laguerre-gaussian lightbeams formed by spatial light modulation. Journal of Modern Optics 53, 547–556(2006).

[57] Gaponov, A. V. & Miller, M. A. Potential wells for charged particles in a high-frequencyelectromagnetic field. Soviet Physics JETP 7, 168–169 (1958).

[58] Boot, H. A. & Harvie, R. B. R. S. Charged particles in a non-uniform radio-frequencyfield. Nature 4596, 1187 (1957).

[59] Gori, F. & Guattari, G. & Padovani, C. Bessel-gauss beams. Optics Communications64, 491–495 (1987).

[60] Gabor, D. A new microscopic principle. Nature 161, 777–778 (1948).

[61] Balykin, V. I. & Laryushin, D. V. & Subbotin, M. V. & Letokhov, V. S. Increase ofthe atomic phase density in a hollow laser waveguide. Journal of Experimental andTheoretical Physics Letters 63, 802–807 (1996).

96

Apêndice A

Artigo e Participações

Neste apêndice mostram-se as diferentes participações em eventos internacionais e a

publicação no periódico Optics Express.

Participação no: College of Optics 2015 - ICTP

Figura A-1: Participação no: College of Optics 2015.

APÊNDICE A. ARTIGO E PARTICIPAÇÕES 97

Participação no: Days on Diffraction 2015 - PDMI RAS

Figura A-2: Participação no: Days on Diffraction 2015 - PDMI RAS.

Participação no evento: RIAO-OPTILAS 2016.

Figura A-3: Participação no evento: RIAO-OPTILAS 2016.

Artigo


Architecting new diffraction-resistant lightstructures and their possible applications inatom guidance

E. G. P. PACHON,1 M. ZAMBONI-RACHED,1,* A. H. DORRAH,2 MO

MOJAHEDI,2 M. R. R. GESUALDI,3 AND G. G. CABRERA1

1Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, Brazil2University of Toronto, Toronto, ON, Canada3Universidade Federal do ABC, Santo André, SP, Brazil∗[email protected]

Abstract: In this work we extend the so called frozen wave method in order to obtain newdiffraction resistant light structures that can be shaped on demand, with possible applicationsin atom guidance. The resulting beams and the corresponding optical dipole potentials exhibita strong resistance to diffraction effects and their longitudinal and transverse intensity patternscan be chosen a priori. Besides the theoretical development, we also present the experimentalconfirmation of our approach; specifically, by generating three different beam profiles using aspatial light modulator that is addressed by a computer-generated hologram. In addition to itsmany potential applications in atom guiding, the method developed here can also lead to manynew developments in optics and photonics in general.

c© 2016 Optical Society of America

OCIS codes: (260.0260) Physical optics; (260.1960) Diffraction theory; (140.3300) Laser beam shaping; (020.1335)

Atom optics; (020.7010) Laser trapping.

References and links1. T. A. Nieminen, “Optical manipulation: trapping ions,” Nat. Photonics 4 (2010) 737–738.

2. A. Ashkin, “Trapping of atoms by resonance radiation pressure,” Phys. Rev. Lett. 40 (1978) 729–732.

3. C. Maher-McWilliams, P. Douglas, P.F. Barker, “Laser-driven acceleration of neutral particles,” Nat. Photonics 6

(2012) 386–390.

4. V. S. Letokhov, V. G. Minogin Laser radiation pressure on free atoms (North-Holland Publishing Company,

Amsterdam, 1981) 1–65.

5. T. Takekoshi, R. J. Knize,“Optical guiding of atoms through a hollow-core photonic band-gap fiber,” Phys. Rev. Lett.

98, (2007) 1–4.

6. J. Yin, Y. Zhu, W. Wang, Y. Wang, W. Jhe, “Optical potential for atom guidance in a dark hollow laser beam,” J. Opt.

Soc. Am. B 15 (1998) 25–33.

7. J. Arlt, T. Hitomi, K. Dholakia, “Atom guiding along Laguerre-Gaussian and Bessel light beams,” Appl. Phys. B 71

(2000) 549–554.

8. M. Zamboni-Rached, “Stationary optical wave fields with arbitrary longitudinal shape by superposing equal frequency

Bessel beams: Frozen Waves,” Opt. Express 14, (2004) 4001–4005.

9. Michel Zamboni-Rached, E. Recami, and H. E. Hernández-Figueroa,“Theory of “frozen waves”: modeling the shape

of stationary wave fields,” J. Opt. Soc. Am. A 22, 2465–2475 (2005).

10. T. A. Vieira, M. R. R. Gesualdi, M. Zamboni-Rached, “Frozen waves: experimental generation,” Opt. Lett. 37, (2012)

2034–2036.

11. Ahmed H. Dorrah, Michel Zamboni-Rached, and Mo Mojahedi, “Generating attenuation-resistant frozen waves in

absorbing fluid,” Opt. Lett. 41, 3702–3705 (2016).

1. Introduction

The most common interactions between laser light and atoms, molecules, or dielectric particles

are represented by the scattering and dipole forces [1–3]. More specifically, the dipole force

on an atomic system is given by the interaction between the induced atomic dipole moment

and the intensity gradient of the optical field [4]. This conservative force (i.e., obtained from an

optical potential) can be used to guide atoms along hollow optical beams, which has significant

Vol. 24, No. 22 | 31 Oct 2016 | OPTICS EXPRESS 25403

#274766 http://dx.doi.org/10.1364/OE.24.025403

Journal © 2016 Received 30 Aug 2016; revised 6 Oct 2016; accepted 7 Oct 2016; published 21 Oct 2016


advantages over atom guiding through a hollow optical fiber due to the absence of Van der Waals

forces and the QED cavities effects [5].

Initially, hollow Gaussian beams, such as the Laguerre-Gauss ones, were considered and

used for atom guiding [6, 7]. However, such beams posses limitations due to the diffraction

effects, which corrupt their transverse intensity profiles with propagation. Later, an important

improvement was achieved by using Bessel beams with order higher than zero [7]; the later

belong to the class of nondiffracting waves and can thus overcome the limitations presented by

the ordinary Gaussian-type beams.

In spite of their outstanding characteristics, the ideal nondiffrating beams, due to their math-

ematical structure of the type ψ = A(x , y) exp(ikz z) exp(−iωt), do not allow any kind of

modelling over their longitudinal intensity pattern (i.e. along the z axis). Such longitudinal

spatial modelling can be very interesting for atom guiding and may provide many new degrees of

freedom to be exploited. It turns out that, during the development of the Localized Wave theory,

new kind of diffraction-resistant beams were introduced, which allow the modelling of their

longitudinal intensity profiles on demand [8,9]. Such beams, named frozen waves (FWs), consist

of suitable superposition of co-propagating equal order Bessel beams and their experimental

confirmation can be found in [10, 11].

This paper is intended to give two contributions: First, taking into account that, despite allowing

a strong longitudinal intensity modelling, the FW method is rather restrictive with respect to the

transverse intensity shaping (only allowing us to choose the transverse dimensions of the desired

beam), we have extended this method proposing, as new beam solutions, superpositions of FWs

of different orders, so that the resulting beams can also be transversally modelled in a more

efficient way. Second, we propose the use of these new optical beams for atom guiding, giving

some theoretical examples, obtaining the corresponding optical dipole potentials and creating

the beams through computer generated holograms reproduced by a spatial light modulator.

The next section is devoted to a very brief overview of the optical dipole potential and also of

the traditional frozen wave method. In section 3 we present the extension of the FW method,

applying it to atom guiding purposes and generating experimentally some of the new optical

beams. Section 4 is devoted to the conclusions.

2. Brief overview on the optical potential and on the frozen wave method

Considering an atomic system with two levels, the optical dipole potential created by an optical

field Ψ(ρ, φ, z) is given by [7]

U (ρ, φ, z) =~∆

2ln

[

1 +I (ρ, φ, z)/I0

1 + 4(∆/Γ)2

]

, (1)

where I (ρ, φ, z) = |Ψ(ρ, φ, z) |2 is the field intensity, Γ is the natural linewidth, ∆ is the laser

frequency detuning from the doppler-shifted atomic resonance and I0 is the saturation intensity.

Here, we are going to consider the 85Rb, line D2, where Γ= 2π × 6.1MHz, ∆ = 30Γ, I0=16W/m2

and the laser angular frequency (ω = 2.42 × 1015rad/s, i.e., λ =780.2nm) has been located above

the atomic transition frequency considering the blue-detuned guiding.

When dealing with atom guidance, an important quantity is the transverse penetration depth

into the potential barriers as a function of the propagation distance. The maximum penetration [6]

is given by rApd (z) = mρcv2atom/U (ρc , z), where m = 85ma is the atomic mass (ma is the

atomic mass unit), vatom is the average atomic velocity (vatom < 0.07m/s, T = 100µK) and ρcis the transverse distance, for each value of z, where U is maximum.

Concerning the frozen waves [8, 9], they are very special exact solutions to the wave equation

consisting in diffraction-resistant beams whose longitudinal intensity pattern can be chosen on

demand within a prefixed range 0 ≤ z ≤ L of the propagation axis. This longitudinal intensity

pattern can occur over a cylindrical surface of radius ρl ≥ 0. Mathematically, we can construct a



beam ψ such that |ψ(ρ = ρl , φ, z, t) |2 ≈ |F (z) |2, within 0 ≤ z ≤ L and with F (z) and ρl of our

choice.

To obtain these results, a FW beam is composed of a superposition of equal frequency

co-propagating Bessel beams of order l:

ψ(ρ, φ, z, t) =Ml e−iωtN∑

n=−N

An Jl (hn ρ)eilφeβn z , (2)

whereMl = 1/[Jl (.)]max and [Jl (.)]max is the maximum value of the lth-order Bessel function

of the first kind, An are constant coefficients, hn and βn are the transverse and longitudinal wave

numbers of the n-th Bessel beam in the superposition, satisfying the relation h2n = k2 − β2

n , with

k = ω/c. The FW method requires the longitudinal wavenumbers to be βn = Q + 2πn/L, Q

being a constant to be selected according to the desired transverse dimensions of the beam, and

the coefficients An = (1/L)∫ L

0F (z)e−i

2πLnzdz.

This is sufficient to obtain Diffraction-Resistant beams with the required longitudinal inten-

sity pattern, concentrated: (i) either along the propagation axis (ρ = 0), when zero-order

(l = 0) Bessel beams are chosen in solution (2); it is then possible to determine the spot ra-

dius, r0, of the resulting beam from the parameter Q via the relation Q = (k2 − 2.42/r20)1/2;

(ii) or over a cylindrical surface, if a non-null integer is adopted for l in (2); in which case,

the cylinder radius can be approximately evaluated as the first non-null root of the equation

[(d/dρ)Jl (ρ√

k2 − Q2)]∣

∣

∣

∣

ρ=ρl

= 0. More details about the FW method can be found in [8, 9].

3. Extending the frozen wave method: new structures of diffraction resistant

beams and their use for atom guiding

As we have seen, the FW method is very effective for the longitudinal modeling of the beam

intensity, but it is somewhat limited in modeling the transverse pattern, allowing to choose

only the radius of the spot or of the cylinder where there will be the field concentration; more

specifically, in regions where the beam has no neglegible intensity, the beam cross-section

is uniform along z. It would be interesting to have more possibilities on the choice of the

transverse intensity pattern, considering that such nondiffracting light structures could open new

and interesting application possibilities involving optical guiding of atoms (not only for atom

guidance, but also for optical tweezers and optical beam manipulation in general). To achieve

this, we now propose an extension of the FW method, where the resulting beam is given by a

superposition of FWs of different orders. That is, we consider beams of the type:

Ψ(ρ, φ, z, t) = e−iωt∞∑

l=−∞

Ml

Nl∑

n=−Nl

Anl Jl (hnl ρ)eilφeβnl z (3)

with βnl , hnl and An l given by

βnl = Ql +2π

Ln , hnl =

√

k2 − β2nl

and Anl =1

L

∫ L

0

Fl (z)e−i 2πLnzdz (4)

The solution given by Eq. (3) is a summation of FW beams of order l, with −∞ < l < ∞, each

one having its own predefined longitudinal intensity pattern |Fl (z) |2, modelled within 0 ≤ z ≤ L,

where the transverse structure of each FW in superposition (3) is obtained in the usual way,

detailed in items (i) and (ii) of the preceding section. A judicious superposition of these beams

can be employed to create diffraction resistant light structures with very interesting and unusual

geometries as discussed in the following subsection.



3.1. Applying the extended method: theoretical examples and their experimental

implementations

Here we will apply the extended method to design some interesting diffraction resistant light

beams with quite unusual spatial forms. Once the beam is theoretically derived, the corresponding

optical dipole potential can be calculated by using Eq. (1). To confirm the validity of our approach,

the new beams are experimentally generated through computer generated holograms reproduced

optically by a spatial light modulator at a wavelength λ = 532nm, which is different from that

considered here for the atom guiding (λ = 780.2nm), the latter due to the availability of the laser

sources in our laboratory. The experimental setup is shown in Fig.1 and consists of a 532 nm

laser expanded and collimated on a (amplitude) spatial light modulator (Holoeye LC2012 SLM),

where it gets the information from a computer generated hologram [10, 11] constructed from

the theoretical solution given by Eq. (3). The emanated optical beam goes through a 4 f optical

system where a iris filters out the desired FW beam, which is then captured with a CCD camera

with 1 cm resolution steps along the longitudinal direction of the beam. It is worth noting that

in the following examples the theoretical beam figures appear normalized with respect to the

intensity I = 0.2 µW/µm2.

Fig. 1. Experimental setup for the generation of the new optical beams.

3.1.1. Light beam and optical potential shaped as a cylinder with a stopper

Here we will construct a diffraction resistant beam and the corresponding optical dipole potential

shaped as a cylinder with a stopper. For this purpose, we use the solution given by Eq. (3) with

just two FW beams in the superposition, one of order zero (l = 0) and the other of order two

(l = 2), where the former will be responsible for the “optical stopper” and the latter for the

“optical cylinder”. The desired spatial structure for the intensities of the beams can be achieved

through the functions Fl (z) and the parameters L and Ql , the latter obtained from the radii

r0 and ρ2 intended to the stopper and to the cylinder, respectively. From Fl (z), L and Ql , the

coefficients Anl and the longitudinal wavenumbers βnl can be calculated via Eqs.(4), so that the

solution (3) is finally fixed. In this example, for 0 ≤ z ≤ L, we make the following choices:

Fl (z) =

δl0 + δl2 for zil ≤ z ≤ z fl0 elsewhere,

(5)

where δpq is the Kronecker delta, L = 1m, zi0 = 6 cm and z f 0 = 25 cm for the initial and final

longitudinal coordinates of the “optical stopper”, zi2 = 21 cm and z f 2 = 42 cm for the initial

and final longitudinal coordinates of the “optical cylinder”. We also choose the radii r0 ≈ 54µm

and ρ2 ≈ 69µm, which implies that Q0 = Q2 = 0.999985ω/c when λ = 780.2 nm. In this case

we use N0 = N2 = 12.

Figures 2(a), 2(b) and 2(c) show, respectively, the theoretically obtained intensity of the beam,

the corresponding optical dipole potential (for atom guiding purposes) and the experimentally

generated beam. As mentioned before, the experimental generation was performed at λ = 532



nm and due to this, for obtaining the same values for the radii r0 and ρ2, we have used there

Q0 = Q2 = 0.999993ω/c. In the figures, the portion above ρ = 0 corresponds to φ = 0 and that

below corresponds to φ = π. Figure 2(j) shows the transverse penetration depth into the barriers

as a function of the propagation distance.

Fig. 2. The first three rows show the three examples considered. In each of these rows

the three columns show, respectively, the theoretical beam (normalized with respect to the

intensity I = 0.2 µW/µm2), the corresponding optical potential and the beam experimentally

generated. The fourth row shows the transverse penetration depth for each optical dipole

potential.

3.1.2. Light beams and optical potentials shaped as diffraction resistant cylindrical structures

with nonuniform cross sections

Let us construct two diffraction resistant light beams, with their respective optical dipole poten-

tials, consisting of cylindrical structures of nonuniform cross sections. More specifically, the two

new beams will consist of a sequence of three connected cylinders: in the first case, the first and

third cylinders have the same length and radius and are connected by a second cylinder with

the same length but with a smaller radius; in the seconde case, the three cylinders connected in



sequence have the same length and radii possessing ascending values.

Again, we consider the proposed solution (3), using just two FW beams (of orders l = 4 and

l = 6) for the first case and three FW beams (of orders l = 4, l = 6 and l = 8) for the second

one. The desired spatial structure for the beams intensities can be achieved through the functions

Fl (z) and the parameters L and Ql (obtained from the desired radii of the cylinders) of each

case, as we detail below.

First case:

In this example, for 0 ≤ z ≤ L, we make the following choices:

Fl (z) =

δl6 + δl4 for zil ≤ z ≤ z flδl6 for z′

il≤ z ≤ z′

fl

0 elsewhere,

(6)

with L = 1 m, zi6 = 4 cm, z f 6 = 20 cm, zi4 = 19.5 cm, z f 4 = 32.5 cm, z′i6= 32 cm and z′

f 6= 48

cm, for the initial and final longitudinal coordinates of the three light cylinders connected in

sequence. We also choose the radii of the first and third cylinder as ρ6 ≈ 170 µm, which implies

that Q6 = 0.999985ω/c and the radius of the second cylinder as ρ4 ≈ 100 µm, which results in

Q4 = 0.999978ω/c when λ = 780.2 nm. Here, we use N4 = N6 = 12.

Second case:

Here, for 0 ≤ z ≤ L, we choose:

Fl (z) =

δl4 + δl6 + δl8 for zil ≤ z ≤ z fl0 elsewhere,

(7)

with L = 1 m, zi4 = 10 cm, z f 4 = 25 cm, zi6 = 25 cm, z f 6 = 40 cm, zi8 = 40 cm and z f 8 = 55

cm, for the initial and final longitudinal coordinates of the three light cylinders connected in

sequence. We also choose the radii for the three cylinders as ρ4 ≈ 120 µm, ρ6 ≈ 170 µm and

ρ8 ≈ 218 µm, which imply Q4 = Q6 = Q8 = 0.999985ω/c when λ = 780.2 nm. Here, we set

N4 = N6 = N8 = 12.

The intensities of the theoretical beams of the first and second cases are shown in Figures

2(d) and 2(g), respectively, and their corresponding optical potentials are shown in Figures

2(e) and 2(h). The experimental generation results for the two beams are shown in Figures

2(f) and 2(i), where we have used λ = 532nm and so, for obtaining the same radius values of

the theoretical beams, we have used Q6 = 0.999993ω/c and Q4 = 0.99999ω/c for the first

case and Q4 = Q6 = Q8 = 0.999993ω/c for the second one. Figures 2(k) and 2(l) show the

transverse penetration depths into the barriers as function of the propagation distance for the two

corresponding optical dipole potentials.

4. Conclusions

We have extended the frozen wave method proposing, as new beam solutions, superpositions of

FWs of different orders. As a result, new diffraction-resistant light structures with very interesting

spatial shapes can be constructed and we have proposed their use for atom guiding purposes. We

have provided some theoretical examples, obtained the corresponding optical dipole potentials

and created the beams through computer generated holograms reproduced by a spatial light

modulator. The experimental results are in very good agreement with theory and we believe this

new approach can open new perspectives for optical beam modelling and applications.

Funding

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) (grants 141977/2013-2

and 312376/2013-8), Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) (grant

2015/26444-8).


104

Apêndice B

Aproximação de dipolo óptico

O hamiltoniano de interação entre o átomo e o campo eletromagnético é dado por

[50]

Hint =∑

i

eA(r + ri, t) · ri (B.1)

com A representando o vetor potencial do campo eletromagnético. A aproximação

de dipolo óptico é dada quando se considera que o tamanho atômico é pequeno comparado

com o comprimento de onda do campo eletromagnético. Assim, o átomo está imerso no

campo eletromagnético e o vetor A(r + ri, t) pode ser expandido em

A(r + ri, t) = A(r, t) + (ri · ∇)A(r, t) + · · · . (B.2)

Tendo em conta o primeiro termo, o hamiltoniano de interação é reduzido para

Hint =∑

i

eA(r, t) · ri =∑

i

−eri · E(r, t), (B.3)

na qual E(r, t) = −A(r, t).

APÊNDICE C. APROXIMAÇÃO DE ONDA GIRANTE 106

A evolução do estado |κ(t)〉 é

∂

∂t|κ(t)〉 =

[∂

∂tU †

0(t)

]|κ(t)〉 + U †

0(t)∂

∂t|κ(t)〉

∂

∂t|κ(t)〉 =

i

~HeleU

†0(t) |κ(t)〉 − i

~U †

0(t)(Hele + Hint) |κ(t)〉∂

∂t|κ(t)〉 = − i

~U †

0 (t)HintU0(t) |κ(t)〉∂

∂t|κ(t)〉 = − i

~Utransf |κ(t)〉 , (C.6)

na qual o hamiltoniano transformado é

Htransf = U †0(t)HintU0(t) (C.7)

Para um átomo de dos níveis, o estado |κ〉 = Ce(t) |e〉 + Cg |g〉 e o hamiltoniano H

podem ser transformados como

|κ〉 = U †0 (t) |κ〉 (C.8)

e

Htransf = U †0(t) [degE+(t) |e〉〈g| + degE+(t) |g〉〈e|] U0(t)

= −~ΩR

2

[e−iφ |e〉〈g| ei∆t + eiφ |g〉〈e| e−i∆t

+e−iφ |e〉〈g| ei(ωa+ωl)t + eiφ |g〉〈e| e−i(ωa+ωl)t], (C.9)

na qual ∆ = ωl − ωa e ΩR = |deg|E0(t)~

(com |deg| = degeiφ, deg = 〈e| er |g〉). Os termos

proporcionais a e±i(ωa+ωl)t variam rapidamente e sua média, sobre uma escala de tempo

1/ωl, é zero. Esses termos podem ser desprezados na aproximação de onda girante, RWA

(rotating-wave approximation). O hamiltoniano da Eq. C.9 fica

HRW A = −~ΩR

2

(e−iφ |e〉〈g| ei∆t + eiφ |g〉〈e| e−i∆t

). (C.10)

107

Apêndice D

Operador densidade para um sistema

atômico de dois níveis

Para extrair uma parte da informação do estado |κ〉 do sistema, temos que calcular o

valor esperado do operador F 1[52]

⟨F⟩

MQ= 〈κ| F |κ〉 . (D.1)

Para muitas situações nós devemos conhecer a probabilidade Pκ de que o sistema

esteja no estado |κ〉 e precisamos também tomar a média estatística2 como

⟨⟨F⟩

MQ

⟩

EST= Tr(ρF ), (D.2)

na qual o operador densidade é definido por

ρ =∑

κ

Pκ |κ〉〈κ| . (D.3)

Para um estado puro,

ρ = |κ0〉〈κ0| . (D.4)

1MQ representa a palavra mecânico-quântico.2A média estatística é representada como EST.

D.1. DINÂMICA DA MATRIZ DENSIDADE 108

D.1 Dinâmica da Matriz densidade

A equação de Schrödinger é dada por[50, 52]

|κ〉 = − i

~H |κ〉 . (D.5)

Considerando a derivada no tempo da Eq. (D.4) tem-se

˙ρ = |κ〉〈κ| + |κ〉〈κ| . (D.6)

Usando a Eq. (D.5) na Eq. (D.6) obtêm-se a equação de evolução como

˙ρ = − i

~

[H, ρ

]. (D.7)

A Eq. (D.7) é mais geral que a equação de Schrödinger, já que considera a média

quântica e estatística do sistema, e é conhecida como equação de movimento de Liouville

ou Von Neumann.

O decaimento por emissão espontânea dos níveis atômicos é inserido nesta formulação

pelo uso fenomenológico da matriz de relaxação Γ dada por

〈n| Γ |m〉 = Γnδnm. (D.8)

Assim, com esse complemento, a evolução da matriz densidade é

˙ρ = − i

~

[H, ρ

]− 1

2

Γ, ρ

, (D.9)

D.2. SISTEMA ATÔMICO DE DOIS NÍVEIS 109

comΓ, ρ

= Γρ+ ρΓ. O elemento ij-ésimo da matriz densidade é dado por

˙ρij = − i

~

∑

k

(Hikρkj − ρkiHik

)− 1

2

∑

k

(Γikρkj + ρikΓkj

). (D.10)

D.2 Sistema atômico de dois níveis

A matriz densidade para um sistema atômico de dois níveis com o vetor de estado

definido como |κ〉 = Ce(t) |e〉 + Cg |g〉 é

ρ = |κ〉〈κ| = [Ce(t) |e〉 + Cg |g〉][C∗

e (t) 〈e| + C∗g 〈g|

]

= |Ce|2 |e〉〈e| + CeC∗g |e〉〈g| + CgC

∗e |g〉〈e| + |Cg|2 |g〉〈g| . (D.11)

Assim, os elementos que obtêm-se para a matriz densidade são dados por

ρee = 〈e| ρ |e〉 = |Ce|2, (D.12a)

ρeg = Ce(t)C∗g (t), (D.12b)

ρge = ρ∗eg, (D.12c)

ρgg = 〈g| ρ |g〉 = |Cg|2, (D.12d)

e o operador densidade (na forma matricial) é

ρee ρeg

ρge ρgg

. (D.13)

É claro que ρee e ρgg são as probabilidades de que o sistema esteja nos estados excitado

|e〉 ou base |g〉, respectivamente, enquanto que os elementos fora da diagonal, ρeg e ρge, são

associados com a polarizabilidade do átomo [50]. A equação de movimento para a matriz


densidade é dada partindo-se da Eq. (D.9) e do hamiltoniano Eq. (3.9) como

ρee = −Γeρee +i

~[degE+ρge − c.c.] (D.14a)

ρgg = −Γgρgg − i

~[degE+ρge − c.c.] (D.14b)

ρeg = −(iωa + Γeg)ρeg − i

~degE+ (ρee − ρgg) , (D.14c)

com Γeg = (Γe + Γg)/2 e Γe, Γg dados pela Eq. (D.8). deg = 〈e| er |g〉 representa os

elementos da matriz do momento de dipolo atômico. Ao considerar o campo óptico Eq.

(3.1), tem-se as equações ópticas de Bloch (OBE, do inglês Optical Bloch Equations) [52]

ρee = −Γρee +i

2[ΩRρge − Ω∗

Rρeg] (D.15a)

ρgg = +Γρgg +i

2[Ω∗

Rρeg − ΩRρge] (D.15b)

˙ρeg = −(Γ

2− i∆)ρeg +

i

2ΩR (ρgg − ρee) (D.15c)

˙ρge = −(Γ

2+ i∆)ρge +

i

2Ω∗

R (ρee − ρgg) , (D.15d)

com ρge = ρgee−i∆t. Essas OBE podem-se transformar como

ρeg = −(Γ

2− i∆)ρeg +

iWΩR

2(D.16a)

W = −ΓW − i(ΩRρ

∗eg − Ω∗

Rρeg

)+ Γ, (D.16b)

ao considerar a conservação de população ρee + ρgg = 1 e usando a diferença de população

W = ρgg − ρee e a coerência óptica ρeg = ρ∗ge. No estado estacionário considera-se ρeg =

W = 0, e as soluções são

W =1

1 + s(D.17a)

ρeg =iΩR

2(Γ/2 − i∆)(1 + s), (D.17b)


com o parâmetro s dado por

s =|ΩR|2

2|(Γ/2 − i∆)|2 =|ΩR|2/2

∆2 + Γ2/4=

I/Is

1 + (2∆/Γ)2, (D.18)

com

Is =πhcΓ

3λ3. (D.19)

No caso de s << 1, população no estado base (W = 1) e a população do estado

excitado ρee é

ρee =1

2(1 −W ) =

s

2(1 + s)=

I/(2Is)

1 + I/Is + (2∆/Γ)2. (D.20)

112

Apêndice E

Funcionamento do modulador espacial

de luz

Sobre a tela de um modulador espacial de luz (SLM1) pode-se aplicar uma voltagem

capaz de manipular os eletrodos causando uma mudança na intensidade da luz refletida

apartir da tela.

Propriedades mecânicas do cristal líquido

A tela é composta por um cristal líquido nemático com moléculas (vistas como elipsoi-

des) que ficam apilhadas e podem deslizar-se ou girar, umas com respeito das outras, sob a

aplicação de uma força elétrica ou mecânica. As moléculas, através do volume de material,

favorecem a orientação paralela e seus centros são localizados aleatoriamente dentro do

volume, como vê-se na Fig. E-1.

Figura E-1: Arranjo molecular para o cristal líquido nemático.

As moléculas do cristal líquido ficam alinhadas dependendo das condições de fron-

1Descrição do SLM encontrada na referência [19]

APÊNDICE E. FUNCIONAMENTO DO MODULADOR ESPACIAL DE LUZ 113

teira entre duas lâminas de vidro, por exemplo, mediante camadas com traços suaves e

polidos numa direção desejada. As pequenas marcas do polimento dão uma direção prefe-

rencial de alinhamento para as moléculas que estão em contato com a lâmina. Assim, se

as duas camadas de alinhamento são polidas em diferentes direções (por exemplo, em dire-

ções ortogonais), a tendência das moléculas é de se manterem alinhadas umas com outras

(característica da fase do cristal líquido nemático) e se mantendo alinhadas na direção do

polimento no vidro. Isso gera um tipo de giro das moléculas do cristal líquido nemático,

como vê-se na Fig. E-2. Como resultado, ao mover-se entre as duas lâminas, as direções

dos eixos principais das diferentes moléculas mantêm-se paralelas, mas podem girar para

manter as condições de fronteira nas camadas de alinhamento.

Direcção do

polimento

Direcção do

polimento

Camadas de

alinhamento

x

y

Figura E-2: Arranjo molecular para o giro do cristal líquido nemático.As linhas entre as camadas de alinhamento indicam a direção do alinhamento molecular para

varias profundidades da célula.

Propriedades elétricas do cristal líquido

O SLM explora a habilidade de um cristal líquido para mudar a transmissão da luz

mediante a aplicação de campos elétricos. Usualmente os campos são aplicados entre as

lâminas de vidro, que contem o material do cristal líquido, usando lâminas condutivas trans-

parentes que cobrem a parte interna das lâminas do vidro. Para conseguir o alinhamento do

cristal líquido na interface, a camada condutiva é coberta com uma camada de alinhamento

delgada que é sujeita ao polimento, como vê-se na Fig. E-3.

A aplicação de um campo elétrico através do dispositivo pode induzir um dipolo


Camadas de

Alinhamento

Lâmina de vidro Lâmina

de vidro

Lâminascondutoras transparentes

CristalLíquido

Figura E-3: Estrutura de uma célula de cristal líquido elétricamente controlada.

elétrico em cada molécula de cristal líquido, e pode atuar com algum dipolo elétrico per-

manente que pode estar presente. Se a constante dielétrica de uma molécula é maior na

direção do eixo principal que o eixo normal a ele, os dipolos induzidos apresentam carga nos

lados opostos da direção principal da molécula. Com a influência dos campos aplicados,

os torques exercidos sobre esses dipolos podem causar uma mudança na orientação natural

das moléculas do cristal líquido. Pode ocorrer que uma voltagem aplicada suficientemente

grande gire as moléculas que são próximas as camadas de alinhamento gerando uma rotação

de seus eixos principais com o campo aplicado. Assim, o arranjo das moléculas da Fig. E-2

pode mudar para a configuração que vê-se na Fig. E-4. Essa mudança na orientação das

moléculas troca as propriedades ópticas da célula.

Propriedades ópticas do cristal líquido

O comportamento quantitativo do cristal líquido no SLM pode ser baseado no uso do

cálculo de Jones. O estado de polarização de uma onda monocromática com componentes

de polarização X e Y expressas em termos dos fasores complexos UX e UY é representado


Direcção doalinhamento

Direcção doalinhamento

Direcção do Campo Elétrico

x

y

Figura E-4: Cristal líquido nemático girado com uma voltagem alta.Uma pequena columna de moléculas é mostrada.

pelo vetor de polarização ~U com componentes UX e UY ,

~U =

UX

UY

. (E.1)

O passo da luz através de um dispositivo que é sensível à polarização linear é descrito por

uma matriz de Jones 2×2, tal que o vetor de polarização resultante ~U ′ é relacionado ao

antigo vetor de polarização ~U pela equação

~U ′ = L~U =

l11 l12

l21 l22

~U. (E.2)

Se um dispositivo pode ser caracterizado pela sua matriz de Jones, então poderemos en-

tender completamente o efeito desse dispositivo sobre o estado de polarização de uma onda

incidente.

A estrutura das moléculas do cristal líquido causa que tais materiais sejam anisotrópicos no

seu comportamento óptico, e em particular exibam birrefringência, tendo assim diferentes

índices de refração para a luz polarizada em diferentes direções. Os materiais mais comuns

têm índice de refração maior na polarização óptica paralela ao eixo principal do cristal (ín-

dice de refração extraordinário, ne), e índice de refração uniforme e menor para todas as

direções de polarização normais ao eixo principal (índice de refração ordinário, no). Uma das

propriedades mais úteis desses materiais é a grande diferença entre os índices de refração


extraordinário e ordinário, frequentemente no intervalo de 0, 2 ou mais.

Pode-se mostrar que para um cristal líquido, que têm sido girado devido a uma alta volta-

gem aplicada, com um giro helicoidal de α radianos por metro no sentido da mão direita ao

longo da direção de propagação da onda, e tendo um atraso de β radianos por metro entre

as componentes de polarização ordinária e extradordinária, a onda polarizada inicialmente

na direção do eixo principal molecular na superfície de entrada da célula sofrerá rotação da

polarização a medida que a luz propaga-se através da célula, com a direção de polarização

seguindo a direção do eixo principal do cristal, sendo que β ≫ α. A matriz de Jones que

descreve essa transformação pode ser mostrada como o produto da matriz de rotação de

coordenadas Lrotação(−αd) e a onda retardada Lretardo(−βd),

L = Lrotação(−αd)Lretardo(−βd), (E.3)

com a matriz de rotação de coordenadas dada por

Lrotação(−αd) =

cosαd − sinαd

sinαd cosαd

, (E.4)

e a matriz de retardo por (deixando os multiplicadores de fase constante)

Lretardo(−βd) =

1 0

0 e−jβd

, (E.5)

com β dado por

β =2π(ne − no)

λo. (E.6)

Aqui, λo é o comprimento de onda da luz no vácuo e d é a espessura da célula.

Com ajuda desta matriz de Jones, os efeitos da célula nemática girada sem uma voltagem

aplicada, podem ser encontrados para algum estado de polarização inicial.

Quando uma voltagem é aplicada a uma célula de NLC ao longo da direção de pro-


pagação da onda, as moléculas giram até que o eixo principal coincida com essa direção,

e nenhuma rotação de polarização ocorre. Nesta condição, α e β são zero, e a célula não

têm efeito sobre o estado de polarização. Assim, um NLC pode ser usado como um rotor

de polarização mutável, com rotação experimentada no estado não excitado (sem voltagem

aplicada) por uma quantidade determinada pela orientação das camadas de alinhamento, nas

duas lâminas de vidro, como também na espessura da célula; ou sem rotação experimentada

no estado excitado (voltagem aplicada).

Se a célula do NLC têm um polarizador na superfície frontal e um analisador de

polarização na parte posterior, este pode modular a intensidade da luz que ele transmite.

Por exemplo, no caso de um giro de 90, como o mostrado na Fig. E-4, com um polarizador

orientado de forma paralela à superfície frontal do alinhamento e um analisador orientado de

forma paralela ao alinhamento da superfície posterior, a luz passará através do analisador de

saída quando nenhuma voltagem é aplicada à célula (uma consequência da rotação), mas

será bloqueado devido à ausência de rotação quando uma voltagem máxima seja aplicada à

célula. Se existe uma voltagem num certo intervalo de voltagem, a transmissão parcial de

intensidade ocorrerá, com um intervalo dinâmico limitado à operação analógica.

É possível fazer um modulador de reflexão usando uma célula de cristal líquido, como

vê-se na Fig. E-5. Para os materiais do NLC, uma célula não girada é a mais simples.

Consideremos uma célula onde o eixo principal molecular é alinhado paralelo ao eixo y

através da célula toda e com a espessura da célula escolhida de forma a assegurar um atraso

relativo das componentes de polarização de 90 orientadas ao longo e ortogonais ao eixo

principal depois de passar a célula. Também a lamina de vidro de saída, sob a célula, é

trocada por um espelho, e um polarizador orientado a 45 com o eixo x é posto na frente

da célula.

A luz incidente sobre a célula é linearmente polarizada a +45 em relação ao eixo x

devido à presença do polarizador. Quando não existe uma voltagem aplicada sobre a célula,

não existe rotação molecular. Depois da primeira passagem através da célula, a polarização

linear incidente converteu-se em polarização circular. A reflexão no espelho inverte o sentido


Polarizador

Camadas do

Alinhamento

Espelho

Direcção do

polimentoDirecção do

polimento

x

y

Figura E-5: Modulação de intensidade com uma célula do NLC.

dà polarização circular, e uma segunda passagem através da célula da como resultado uma

polarização linear que é ortogonal à polarização original. Assim, a luz refletida é bloqueada

pelo polarizador.

Por outro lado, na presença de uma voltagem aplicada suficientemente grande, os

eixos principais das moléculas giram para se alinharem com a direção do campo aplicado,

que coincide com a direção de propagação da onda, eliminando a birrefringência da célula.

A direção da polarização linear é mantida depois de atravessar a célula, não muda depois

da reflexão apartir do espelho, e não muda depois de passar a célula. A luz refletida é

transmitida, portanto, pelo polarizador.

A aplicação de uma voltagem menor que o requerido para uma rotação total das

moléculas resultará numa transmissão parcial da luz refletida.

119

Apêndice F

Rotina para gerar hologramas

Este código corresponde ao campo de Laguerre-Gaussian (LG10).

Rotina Principal

% Geracao do Holograma para L-G

% Edwin Pinilla - 09/09/2016

% Esta rotina foi desenvolta para um SLM com uma tela de 1200x1900 pixels.

tic

clear all

n = 1200; %tamanho da tela - vertical

xmax= 4.9e-3; %tamanho do pixel na imagem (8.1e-6*1200)/2

xmin=-xmax;

ymax=xmax;

ymin=-ymax;

x1=linspace(xmin,xmax,n);

y1=linspace(ymin,ymax,n)';

[X,Y]=meshgrid(x1,y1);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

APÊNDICE F. ROTINA PARA GERAR HOLOGRAMAS 120

phi = atan2(X,Y);

%%%%%%%%%%% Implementacao do campo optico %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

l = 1; %indice azimutal

p = 0; %numero de nos radiais

a = p + abs(l);

lambda = 632.8*10^(-9) ; %comprimento de onda m

p0 = 17*10^(-3); %potenca Watts

rho0 = 100*10^(-6); %cintura do feixe m

z = 100e-6; %posicao do campo na origem. Aqui e quasi cero.

%nao pode ser cero, a funcao vai ate infinito.

x = rho.^2./(rhocz(rho0,lambda,z).^2); %argumento da funcao de Laguerre

A = sqrt((factorial(p).*p0)./(pi.*factorial(a))).*1./rhocz(rho0,lambda,z)...

.*(rho./rhocz(rho0,lambda,z)).^(abs(l));

%Campo total: parte real e imaginaria.

E = A.*exp(-rho.^2./(2*rhocz(rho0,lambda,z).^2)).*(mylaguerrepl(p,l,x))...

.*exp(-1i.*(2*pi.*rho.^2)./(2.*lambda.*Rz(rho0,lambda,z)))...

.*exp(-1i*l*phi).*(-1)^(p).*exp(-1i.*(2*p+l+1)...

.*atan((z*lambda)./(pi*rho0.^2)));

S = E;

%% Holograma

dx = 8.1e-6; %tamanho do pixel do modulador

du = 1./dx;

a = abs(S);

max1 = max(a);

max2 = max(max1);

scale = 1.0/max2;

a = a.*scale;

b = (1 + a.^2)./2;

phase = angle(S);


u0 = du./5;

v0 = du./5;

H = 1/2.*(b + a.*cos(phase - 2*pi*(u0.*X + v0.*Y)));

max3 = max(H);

max4 = max(max3);

scale1 = 1.0/max4;

H = H.*scale1;

%% Amplitud Complexa

R = 500.*dx; %simula o tamanho da abertura

A = (X.^2 + Y.^2 >= R^2);

H(A) = 0;

S1 = zeros(1200,1920);

S1(1:1200,361:1560) = H;

H1 = uint8(round(S1*255));

%% Imagem de Saida

figure

imwrite(H1,'Holograma_LG_l1_p0_09092016.bmp','bmp')

imagesc(H1),colormap gray

toc

Rotinas Secundárias

Função de Laguerre

function suma = mylaguerrepl(p,l,x)

l = abs(l);

suma = 0;

for m = 0:1:p

suma = suma + (-1)^m*(factorial(p+l))...

./(factorial(p-m)*factorial(l+m)*factorial(m)).*x.^m;

end


Cintura do Campo óptico

function res = wz(rho0,lambda,z)

res = rho0*sqrt(1+1/4*((lambda.*z)/(pi*rho0^2))^2);

Curvatura

function res2 = Rz(rho0,lambda,z)

res2 = z*(1+((2*pi*rho0^2)/(lambda*z))^2);

123

Apêndice G

Rotina para gerar mapa de intensidade

Este código de tratamento de imagens é o correspondente para o campo de Laguerre-

Gauss (LG10).

% Programa para obter o mapa de intensidade de um campo optico

% Edwin Pinilla - 09/09/2016

% Esta rotina foi desenvolta para uma camera Camera CCD

% (ImagingSource DMK 31BU03.H)

clear

Ndatos = 70; %numero de imagens

fileID=fopen('LG_07052016_4.dat','w+'); %abrir arquivo para datos

for w=0:1:Ndatos;

if w < 10;

g =['LG/Exper_LG_4/LG_07052016_4_00' int2str(w) '.bmp'];

else w > 9 && w < 70;

g =['LG/Exper_LG_4/LG_07052016_4_0' int2str(w) '.bmp'];

end

image=imread(g); %se le a primeira imagen como um mapa de pixels.

size(image);

APÊNDICE G. ROTINA PARA GERAR MAPA DE INTENSIDADE 124

xinicial = 0; %coordenada do ponto inicial em x

yinicial = 0; %coordenada do ponto inicial em y

deltax11 = 280; %incremento apartir de xinicial, largura

deltay11 = 280; %incremento apartir de yinicial, alto

image11 = imcrop(image,[xinicial yinicial deltax11 deltay11]);

%Determinacao do ponto central do anel de luz. Segundo metodo.

%Basado na intensidad para um conjunto discreto de secoes da

%imagem

%Minimo comun divisor de 232 (pixels da imagem)

k = 70; %usado para paso de deltax e deltay;

deltax = deltax11/k; %incremento apartir de xinicial, largura

deltay = deltay11/k; %incremento apartir de yinicial, alto

sumamaxi = 0; %inicio em cero das somatorias

%para determinar o centro de luz.

sumaxxx = 0;

sumayyy = 0;

for i=1:1:k; %se divide a imagem em k x k secoes.

for j=1:1:k;

[i,j];

imagexx = 0;

imagexx = imcrop(image,[xinicial+(i-1)*deltax yinicial+(j-1)...

*deltay deltax deltay]); %se usa a imagem maior.

c = double(imagexx(:,:,3));

[maxc, imax] = max(abs(c(:))); %region i,j

maxxx = maxc; %converte o dado de uint8 para double,

%para fazer operacoes

[ypeak, xpeak] = ind2sub(size(c),imax(1));

ynuevo = double(ypeak+(j-1)*deltay);

xnuevo = double(xpeak+(i-1)*deltax);


sumamaxi = sumamaxi + maxxx;

sumaxxx = sumaxxx + maxxx*xnuevo;

sumayyy = sumayyy + maxxx*ynuevo;

end

end

xcl2 = int16(sumaxxx/sumamaxi)

ycl2 = int16(sumayyy/sumamaxi)

if w == 0;

xprom = xcl2;

yprom = ycl2;

end

cambio1 = 0;

cambio1 = xprom-xcl2

cambio2 = 0;

cambio2 = yprom-ycl2

for s = 1+30:1:deltay11-30;

x = s; %s % quando se coloca a 's' barre-se x e deixa-se fixo y

y = ycl2;%ycl2; % quando se coloca a 's' barre-se y e deixa-se fixo x

yp = 0;

yp = y-cambio2;

xp = 0;

xp = x-cambio1;

perfil = [w;x;double(image11(x,y,3))];

fprintf(fileID, '%6.12e %6.12e %6.12e\n',perfil);

end

end

fclose(fileID);

%% Geracao de Graficos

zmin = 0.0;

deltaz = 0.01;


zmax =(Ndatos/2-0)*(1/100);%-0.04; %ate 30cm somente

%os dados estam ate 30cm, que sao 60 dados; ja que midiou-se cada 5mm.

%resta-se 2cm com o fin de que o grafico comence no foco. Esses 2cm

%correspondem a 4 datos

rhomin = -88*0.0000057143; %Se normaliza a escala em rho,

%280px = 1600um --> 1px = 5.7143um

deltarho = 0.000001;

rhomax = 88*0.0000057143;

datos = dlmread('LG_07052016_4.dat'); %cargar o arquivo externo .dat

z = ((datos(:,1)-0)*0.5)/100; %escala em cm;

%se resta 4 para comencar no foco.

rho = (datos(:,2)-deltay11/2+2)*0.0000057143; %se soma 5 para centrar

%o cero no eixo rho; neste caso seria a barredura no x

inten = datos(:,3);

cc = max(inten);

inten2 = inten/cc;

width = 4;

height = 4;

figure('Units','inches',...

'Position',[0 0 width height],...

'PaperPositionMode','auto');

[xi, yi] = meshgrid(zmin:deltaz:zmax, rhomin:deltarho:rhomax);

zi = griddata(z,rho,inten2,xi,yi);

surfl(xi,yi,zi);

shading interp

colormap(gray)

axis([zmin zmax rhomin rhomax 0 1])

grid on

set(gca,...

'Units','normalized',...

'Ztick',[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1],...

'Position',[0.178233438485804 0.117136659436009...


0.719242902208202 0.74485909427949],...

'FontUnits','points',...

'FontWeight','normal',...

'FontSize', 20,...

'Fontname','Times',...

'GridLineStyle',':');

xlabel('$$z$$ (m)',...


'Interpreter','latex',...

'FontSize', 20,...

'Fontname','Times');

ylabel('$$\rho$$ (m)',...



'FontSize', 20,...


zlabel('I (a. u.)',' ',...



'FontSize', 20,...


title('(d)',...



'FontSize', 22,...


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Projecao %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

width2 = 4;

height2 = 4;

figure('Units','inches',...

'Position',[0 0 width2 height2],...

'PaperPositionMode','auto');


pcolor(xi,yi,zi)

shading interp

colormap(gray)

set(gca,...

'Units','normalized',...


'FontWeight','normal',...

'FontSize', 20,...


xlabel('$$z$$ (m)',...



'FontSize', 20,...


ylabel('$$\rho$$ ( m)',...



'FontSize', 20,...


title('(c)',...



'FontSize', 22,...


UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Física...

Documents

Transcript of UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Física...