UNIVERSIDAD NACIONAL

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TALLER IIProfesor: H. Fabian Ramirez

MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES

OBSERVACION: “N.A” significa “Ninguna de las Anteriores”.

1. Sean A =

1 0 01 1 2−1 1 3

, B =

1 1 11 2 21 2 1

, C =

2 −1 0−1 0 10 1 1

Simplifique y calcule X = 4A−1(AB−1C +AC)(2B−1C)−1

Encuentre Y tal que AY =

0 −1 21 2 00 1 0

.

2. Dadas las matrices A,B,C y D, identifique las expresiones matriciales que estan bien definidas y calculelas.

A =

(1 −2 15 0 −3

)

B =

(1/3 0 22 −3 −1

)

C =

3 50 −2−1 1

D =

(−1 2 −24 −3 −1

)

a) 2(A−B) + 3A+ 2B

b) −3(A+B − C)− 2D

c) −2(ACB +DCB)

d) 3[−5(A+ 2B −D)]− 2[ 12(A+ 2B −D)]

e) ATB +ATD + CTD

f ) (ATD)−1 − C−1

g) Calcule la componente (1, 2) de BC, la segunda fila de BC y la tercera columna de BC.

3. Dadas las matrices invertibles A y B y el vector b

A =

−1√2 1

5 1 −30 3 −7

B =

1/3 0 00 −1 −1/20 2 3

b =

21−5

calcule [AB + 3A]T(

1

2BTAT

)−1

b

4. Sean A =

1 −1 10 2 1−1 1 1

, determine si tiene inversa. En caso afirmativo, exprese la matriz A como un

producto de matrices elementales.

5. Demuestre

a) Si A es invertible y AB = AC, entonces B = C.

b) AAT es una matriz simetrica para cualquier matriz A.

c) Si la matriz A es invertible y AB = 0, entonces B = 0.

6. Las siguientes proposiciones son FALSAS justifique el PORQUE.

a) Si las columnas de una matriz forman un conjunto de vectores l.i., la matriz es invertible.

b) La suma de dos matrices invertibles es una matriz invertible.

1

c) Si la solucion de un sistema de ecuaciones lineales homogeneo es unica, la matriz de coeficientes delsistema es invertible.

d) Si la suma de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible.

e) El producto de dos matrices cuadradas siempre es invertible.

f ) Si el sistema Ax = b tiene solucion unica, la matriz A es invertible.

g) Para concluir que una matriz es invertible, es necesario calcular su inversa.

h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema tiene solucion unica.

i) Si el producto de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible.

7. Las siguientes proposiciones son VERDADERAS justifique el PORQUE.

a) Cualquier multiplo diferente de cero de una matriz invertible es invertible.

b) Si una matriz es invertible, cualquier forma escalonada equivalente tambien es invertible.

c) Si la forma escalonada equivalente de una matriz es invertible, la matriz tambien es invertible.

d) Si la matriz A es invertible, el sistema Ax = b tiene solucion unica.

e) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector 0, la matriz no es invertible.

f ) Si el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones, la matriz A no es invertible.

g) Si el sistema Ax = b tiene solucion unica y A es cuadrada, la matriz A es invertible.

2

h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema es incosistente.

DEF: Decimos que una matriz A es idempotente, si y solo si, A2 = A y decimos que una matriz A es nilpotente,si y solo si, existe un k ∈ N tal que Ak = O.

8. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones

a) Ninguna matriz nilpotente es invertible.

b) La matriz identica es una matriz idempotente.

c) Una matriz triangular con los elementos de la diagonal iguales a cero es una matriz nilpotente.

d) Si A4 = O, la matriz A es nilpotente.

e) Si A4 = O, la matriz A2 es nilpotente.

f ) Si A4 = A2, la matriz A2 es idempotente.

g) Si A es idempotente, A2 tambien es idempotente.

9. Demuestre porque son FALSAS las siguientes proposiciones

a) Toda matriz idempotente es invertible.

b) Si A4 = A2, la matriz A es idempotente.

DEF: Decimos que una matriz A cuadrada es ortogonal, si y solo si, las columnas de A son vectores unitarios yortogonales entre si.

10. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones

a) Si A es una matriz ortogonal, entonces ATA = I.

b) Toda matriz ortogonal es invertible.

c) Si A es una matriz ortogonal, entonces AAT = I.

d) Si A es una matriz ortogonal, entonces AT tambien es ortogonal.

3

e) La matriz identica es ortogonal.

f ) La inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta.

g) Si A es una matriz ortogonal, la solucion del sistema de ecuaciones lineales Ax = b es x = ATb.

11. Demuestre que si A es una matriz simetrica e invertible, entonces A−1 es simetrica.

12. Sea una matriz n× n tal que A4 = 0. Verifique que (I −A)−1 = I +A+A2 +A3.

13. Pruebe que: Si Ak = 0, para algun k ∈ Z y AB = B, entonces B = 0.

14. Sean A y B dos matrices cuadradas simetricas de orden n. Pruebe que: AB es simetrica si y solo si A y Bconmutan

15. Sea

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

, factorizarla en LU .

16. Para cualquier matriz m× n. Muestre que ATA y AAT estan siempre definidas y ademas son simetricas

17. Si A es invertible, pruebe que AT es invertible y ademas (AT )−1 = (A−1)T

18. Si p(t) = t3 − 6t2 − 5t− 12 y A =

2 3 −20 5 41 0 −1

, se verifica que p(A) = A3 − 6A2 − 5A− 12I es igual a la

matriz nula?

19. Pruebe que si A es idempotente entonces (AB −ABA)2 = 0 para todo B.

20. Simplifique la expresion:1

3B(B−1ATC +B−1C)(

1

6ATC)−1

21. Pruebe que si la matriz A n× n satisface A2 − 2A+ I = 0, entonces A es invertible. Halle A−1.

22. Halle los valores de a para los cuales se tiene que tr(A) = 0 si A =

0 1 0a 0 10 0 −a

a 1 01 −a 00 0 −a

23. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F2+3

2F1 → F2, F3+F2 → F3, y se obtuvo

la matriz

2 −4 00 −7 70 0 12

a) Calcule la factorizacion LU de la matriz A.

b) Resuelva Ax = b para bT = (−1, 0, 6).

c) Resuelva Az = d para d = 3x.

d) Resuelva ATy = c para cT = (2, 0,−3).

e) Existe detA?

24. Si A y B son matrices 5× 5 tales que detA = −3 y detB = 1/2, calcule, de ser posible,

a) det(A−1).

b) det(2B).

c) det(AB).

d) det(A+B).

e) det(A2).

f ) det(AT ).

g) det[(3A)−1].

h) det[Adj(A)].

i) det[(2B)−1A(Adj(A))B2]

25. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F2 + 2F1 → F2, F3 − 5

2F1 → F3 y

F3 +10

11F2 → F3 y se obtuvo la matriz

−2 4 40 11 60 0 −17/11

a) Calcule detA.

b) Existe A−1?

c) Calcule la factorizacion LU de A.

d) Calcule detAdj(A).

4

26. Demuestre que

(λ 10 λ

)n

=

(λn nλn−1

0 λn

)

27. Simplifique

[1

2A(

− 2B(2B)−1 + (A+B)(A−1 +B−1))

+1

2BT (A−1)T − 1

2A(BA−1)−1

]T

=

28. Porque son FALSAS las siguientes proposiciones

a) Una matriz ortogonal simetrica es una matriz idempotente.

b) El determinante de 3A es 3 veces el determinante de A.

c) Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es cero, el sistema esinconsistente.

d) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, una de las matrices es cero.

e) Toda matriz es el producto de matrices elementales.

f ) Si dos matrices tienen dos filas iguales, sus determinantes tambien son iguales.

g) Al pre-multiplicar una matriz por una matriz elemental, el determinante de la matriz no cambia.

h) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, el determinante de una de las matrices es cero.

i) Si la solucion de un sistema de ecuaciones lineales homogeneo cuadrado es unica, el determinante de lamatriz de coeficientes del sistema puede ser cero.

j ) La factorizacion LU de una matriz requiere mas operaciones que el uso de la eliminacion de Gauss paraescalonar la matriz.

k) Si una matriz es invertible, siempre es posible calcular su factorizacion LU .

l) Toda matriz cuadrada A 6= 0 es el producto de matrices elementales.

5

29. Porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones

a) Si las columnas de una matriz cuadrada son l.i., el determinante de la matriz es diferente de cero.

b) Si la matriz A es invertible, la matriz A4 tambien es invertible.

c) Si la matriz A es invertible, su matriz adjunta tambien es invertible.

d) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector 0, su determinante es cero.

e) Si el determinante de una matriz es cero, una columna es combinacion lineal de las otras.

f ) Toda matriz elemental es invertible.

30. Para cada una de las siguientes afirmaciones, de una demostracion o en su lugar un contraejemplo.

a) Si A y B son ortogonales entonces, A+B es ortogonal.

b) Si A y B son ortogonales entonces, AB es ortogonal.

c) Si A y AB son ortogonales entonces B es ortogonal.

d) Si A es ortogonal entonces A−1 tambien es ortogonal.

31. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F1 ↔ F3, F2 + 2F1 → F2, F3 − 5

2F1 → F3,

5F2 → F2 y F3 +10

11F2 → F3 y se obtuvo la matriz

−2 4 40 11 60 0 −17/11

a) Calcule detA.

b) Existe A−1?

c) Calcule el detU

d) Existe factorizacion LU de A.

e) Calcule detAdj(A).

32. Demuestre que si A no es invertible, entonces Adj(A) tampoco es invertible.

33. Calcular la inversa, siempre que exista, de las matrices: Ayuda: Recuerden a su amigo Jordan

A =

2 4 64 5 63 1 −2

, B =

1 1 12 2 21 2 1

, C =

2 −1 0−1 0 10 1 1

, D =

0 1 01 0 00 0 1

, E =

1 0 00 1 00 0 − 1

3

.

34. ¿Es posible expresar la matriz A =

1 0 11 2 −10 2 −2

como un producto de matrices elementales?

6

35. Encuentre la inversa del producto

1 0 00 1 00 −c 1

1 0 00 1 0−b 0 1

1 0 0−a 1 00 0 1

36. Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

A =

[2 −13 5

]

, B =

1 1 12 2 21 2 1

, C =

2 −1 0−1 0 10 1 1

, D =

0 1 0 11 0 0 00 0 1 01 0 3 0

, E =

1 2 −1 13 0 1 21 −1 2 11 0 3 −2

.

37. Si |A| =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

= −4, calcule los determinantes de las matrices

B =

a3 a2 a1b3 b2 b1c3 c2 c1

, C =

a1 a2 a3b1 b2 b32c1 2c2 2c3

, y D =

a1 a2 a3b1 + 4c1 b2 + 4c2 b3 + 4c3

c1 c2 c3

.

38. Si

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

y detA = 1

5, calcule, de ser posible, el determinante de las siguientes matrices

a1 a2 a3b1 b2 b3

c1 − 2a1 c2 − 2a2 c3 − 2a3

,

a1 a3 5a1 − a2b1 b3 5b1 − b2c1 c3 5c1 − c2

a1 a2 a3b1 b2 b3

3c1 − 2a1 3c2 − 2a2 3c3 − 2a3

39. Si

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

= 10, calcule

∣∣∣∣∣∣

d e f3a 3b 3cg h i

∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣

4a− 7d 4b− 7e 4c− 7fg h id e g

∣∣∣∣∣∣

40. Sean |A| = 4, |B| = −2, |C| = 3 donde A,B,C son matrices 3× 3. Determine

∣∣∣adjA

(

A−1BCT)∣∣∣+∣∣∣(ABTC−1)−1

∣∣∣

−1

41. Use propiedades de determinantes para probar que

∣∣∣∣∣∣∣∣

a+ b a a aa a+ b a aa a a+ b aa a a a+ b

∣∣∣∣∣∣∣∣

= b3(4a+b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + a b c d ea 1 + b c d ea b 1 + c d ea b c 1 + d ea b c d 1 + e

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 1+a+b+c+d+e

42. Demuestre que si A y B son matrices n× n, tales que A = P−1BP entonces

a) det(A) = det(B)

b) det(B − λI) = det(A− λI)

43. PREGUNTAS

a) ¿Es cierto en general que |A+B| = |A|+ |B|?

b) Que valores puede tener |A| si A es idempotente?

c) Porque el determinante de un matriz triangular es igual al producto de sus elementos de la diagonalprincipal?

7

d) Si detA = 0 implica que A = 0

e) Sean Ay B matrices n× n, si AB es invertible, ¿sera BA invertible?

f ) Que le pasa al determinante de un amtriz si se multiplica la matriz por una constante α.

g) Sean A y P matrices n× n, supongase que P es invertible y A no lo es, ¿es posible calcular |P−1AP |?

h) Dado el sistema Ax = 0 y |A| = 0 ¿podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones?

i) Sea el sistema Ax = b, b 6= 0 y |A| = 0 ¿podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones?

j ) para que valores de α la matriz A =

α α− 1 α+ 11 2 3

2− α α+ 3 α+ 7

no tiene inversa.

44. Si

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

= 3, calcule los determinantes de las siguientes matrices

a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3b1 b2 b3c1 c2 c3

,

a1 3a2 a3b1 3b2 b32c1 6c2 2c3

,

a1 a2 a3c1 c2 c3

b1 + 4c1 b2 + 4c2 b3 + 4c3

.

45. Evaluar

(a)

∣∣∣∣∣∣

λ− 1 −1 −20 λ− 2 20 0 λ− 3

∣∣∣∣∣∣

(b) |λI3 −A|, donde A =

−1 0 1−2 0 −10 0 1

.

46. Muestre que si A y B son matrices tales que |AB| = 0 entonces |A| = 0 o |B| = 0.

47. Muestre que

∣∣∣∣∣∣

a2 a 1b2 b 1c2 c 1

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(b− c).

48. Sea A =

2 1 3−1 2 03 −2 1

.

a) Determine adjA.

b) Calcule |A|. c) Verifique que A(adjA) = (adjA)A = |A|I3.

49. Determine todos los valores λ para los cuales

(a)

∣∣∣∣

λ− 1 −40 λ− 4

∣∣∣∣= 0. (b) |λI3 −A| = 0, donde A =

−3 −1 −30 3 0−2 −1 −2

.

50. Muestre que si A, B y C son matrices tales que AB = AC y |A| 6= 0 entonces B = C.

8

51. Muestre que si A es no singular, entonces adjA es no singular y

(adjA)−1 =1

|A|A = adj(A−1).

52. Si A es una matriz 3× 3 tal que |A| = 2. Calcular:

(a) |3A|. (b) |3A−1|. (c) |(3A)−1|.

53. ¿Para que valores de a ocurre que

∣∣∣∣∣∣

2 1 00 −1 30 1 a

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

0 a 11 3a 0−2 a 2

∣∣∣∣∣∣

= 14 ?

54. Responder Verdadero o Falso, justificando cada respuesta.

a) det(AAT ) = det(A2).

b) det(−A) = − det(A).

c) Si AT = A−1, entonces det(A) = 1.

d) Si det(A) = 0, entonces A = O.

e) Si det(A) = 4, entonces el sistema Ax = 0 tiene solo la solucion trivial.

f ) El signo del termino a15a23a31a42a54 en el desarrollo de un determinante 5× 5 es +.

g) Si det(A) = 0, entonces det(adjA) = 0.

h) Si A,B y P son matrices tales que P es no singular y B = PAP−1 entonces det(A) coincide con det(B).

i) Si A4 = In, entonces det(A) = 1.

j ) Si A2 = A y A 6= In entonces det(A) = 0.

55. Al escalonar la matriz aumentada del sistema Ax = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, eneste orden: F2 − 5F1 → F2, F3 − 3F1 → F3, F3 ↔ F2 y F4 + 2F3 → F4, se obtuvo

(U |c) =

1 −5 2 1 20 −3 0 0 70 0 λ 0 10 0 0 λ2 − λ λ

a) Para que valores de λ el sistema original es inconsistente: λ =

9

b) Para que valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ =

c) Para que valores de λ el sistema original tiene solucion unica: λ =

d) Para λ = 1, detU =

e) Para λ = 2, detA =

f ) Para λ = 1, el rango de [A|b] esg) Para λ = 1, la dimension del espacio nulo de A es:

h) Para λ = 0, una base B del espacio columna de [A|b] es: B ={ }

i) Para λ = 0, un vector v del espacio nulo de A diferente del vector cero es: v =

j ) Para λ = 0, las columnas de A son linealmente independientes? SI NO

k) Para λ = 2, las columnas de A generan a R4? SI NO

56. Si A, B y C son matrices invertibles de igual tamano, entonces

(

BATC +BC)T(1

6CTABT

)−1

=

57. Sean A = [a1 a2 a3 a4] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistemaAx = b es

[U|c] =

1 −1 0 0 40 −2 −1 2 30 0 β − 1 0 β2 − 10 0 0 α2 − α 3α

• Si β = 1 y α = 0, de un conjunto generador de Gen{a1, a2, a3, a4} con menos elementos.

• Si β = 2 y α = 3, dar el espacio columna de la matriz A.

• Si β = 3 y α = 2, dar el espacio nulo de la matriz A.

58. Sea A una matriz tal que detA = 10. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden lasoperaciones elementales 1

2F1 ↔ F1, F3−2F2 → F3, F4+F2 → F4, F3 ↔ F4 y F4−F3 → F4. El determinante

de la matriz que resulta de aplicar dichas operaciones elementales a la matriz A es:

a. −20 b. 20 c. −10 d. 10 e. 5 f. −5

59. Sean A y B matrices de orden n que conmutan y tal que (B−A)−1 existe. Si la matriz X satisface la ecuacion(A+X)B − (B +X)A = B2 −A2, entonces X es igual a:

a. B −A b. A−B c. B +A d. B2 −A2 e. N.A

60. Sea A =

1 x x2

1 y y2

1 z z2

. ¿Para que valor de x, y y z, A−1 existe?

a. x = y = z

b. x 6= y 6= z

c. x = y 6= z

d. x 6= y 6= z 6= x

e. N.A

61. Considere la matriz Q =

2 1 0 10 1 3 00 0 5 20 0 0 −1

y el vector c =

3100

. La combinacion lineal Q−1c es igual

al vector:

a.

1010

b.

1110

c.

−1−1−1−1

d.

1100

e.

−1−100

10

62. Muestre que si A es una matriz cuadrada tal que en cada fila y en cada columna uno y solo un elemento esdistinto de cero, entonces A es una matriz invertible.

63. Sean A, B y X matrices simetricas de orden 3 × 3 tales que det(2A + I) = 1

9, detB = 3. Si

(

ABXA +

3A)T(

1

2BTAT

)−1

= 3B−1 −X, entonces detX es:

a. 1 b. −1 c. 6 d. −2/9 e. N.A

64. Sea A =

1 1 0 −1−1 α2 − 5 0 −10 0 α− 3 00 0 0 α

. ¿Para que valor de α, A−1 existe?

a. α = 3 b. α = ±2 c. α =√5 d. α = 0 e. N.A

65. El elemento (2, 1) de la matriz inversa de A =

−2 0 0 01/3 −1 0 0

−1√5 3 0

2 0, 7√2 1

es:

a. 6 b. −1/6 c. 1/6 d. −6 e. N.A

66. Sean u,v y w vectores de un espacio vectorial V . Pruebe que{u,v,w

}es un conjunto linealmente indepen-

diente si y solo si{u− v,v−w,u+w

}es es un conjunto linealmente independiente.

67. De las siguientes afirmaciones, senale DOS VERDADERAS.

a) Si{v1,v2,v3,v4

}es un conjunto de vectores l.d, entonces

{v1,v2,v3

}es un conjunto de vectores l.d.

b) Si{v1,v2,v3

}es un conjunto de vectores l.i, entonces

{v1,v2,v3,v4

}es un conjunto de vectores l.i.

c) Si Gen{v2,v3,v4

}= Gen

{v1,v2,v3,v4

}, entonces

{v1,v2,v3,v4

}es un conjunto de vectores l.d.

d) Si Gen{v2,v3,v4

}= Gen

{v1,v2,v3,v4

}, entonces

{v2,v3,v4

}es un conjunto de vectores l.i.

e) Si{v1,v2,v3

}es un conjunto de vectores l.i, entonces

{v1 − v2,v2 − v3,v1 + v3

}es un conjunto de

vectores l.i.

68. Considere la matriz U =

2 1 0 10 1 3 00 0 5 20 0 0 −1

. Resuelva el sistema U−1x = b, donde b = (b1, b2, b3, b4)

T .

69. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales 2F1 → F1, F3 − 2F2 → F3, F4 + F2 → F4,

F3 ↔ F4 y F4 − F3 → F4, y se obtuvo la matriz

2 0 0 01 1 0 00 3 5 01 0 2 −1

.

El determinante de A es:

a. −20 b. 20 c. −10 d. 10 e. 5 f. −5

El determinante de la matriz adjunta de A, det(AdjA), es

70. El elemento (3, 1) de la matriz inversa de A =

2 1 01 2 11 1 0

es:

a. 0 b. −1 c. 1 d. 2 e. N.A

71. De las siguientes afirmaciones, senale DOS VERDADERAS.

a) Las coordenadas de un vector de un plano en R5, en una base del plano, es un vector de R

2.

b) Las coordenadas de un vector de un plano en R5, en una base de R

5, es un vector de R2.

c) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R5 que pasa por el origen puede ser l.i.

d) Si ν(A) = 0 y A es una matriz 7× 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solucion unica paratodo vector b.

11

e) Si ρ(A) = 5 y A es una matriz 5× 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas solucionespara todo vector b.

72. Considere la matriz Q =

3 0 20 π 00 0 2

y el vector c =

−50

−2

. La combinacion lineal Q−1c es igual al

vector:

a.

101

b.

−101

c.

−10

−1

d.

10

−1

e. N.A

73. Al escalonar una matriz A de orden n, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales2F1 ↔ F1, F3 − 2F2 → F3, F4 + F2 → F4, F3 ↔ F4 y F4 − F3 → F4, y se obtuvo una matriz U de la formaU = 2In.

El determinante de A es:

a. 2n b. 2n−1 c. −2n d. −2n−1 e. (−2)n−1 f. N.A

El determinante de la matriz adjunta de A es:

a. (2n)n−1 b. (2n−1)n−1 c. (−2n)n−1 d. (−2n−1)n−1 e. N.A

74. Sea H ={a0+a1x+a2x

2+a3x3 ∈ P3 : a0− 2a1 = 0

}un subespacio vectorial de P3. La dimension de H es:

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. N.A

75. Considere la matriz A =

1 2 12 4 23 6 3

. Un vector del espacio nulo de la matriz A es:

a.

101

b.

−2−10

c.

−10

−1

d.

−210

e. N.A

76. Regla de Cramer Dado un sistema de ecuaciones lineales Ax = b de tamano n× n, donde A es invertible.Demuestre que las componentes de la solucion xT = (x1, x2, . . . , xn) satisfacen

xi =detAi

detA

donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando la columna i por el vector b.

77. Resolver el sistema dado por la regla de Cramer, siempre que sea posible.

(a) =

x+ y + z − 2w = −42y + z + 3w = 42x+ y − z + 2w = 5x− y + w = 4

(b) =

2x+ 3y + 7z = 2−2x− 4z = 0x+ 2y + 4z = 0

78. Sea B =

011

101

10−1

y B′ = {

w1

︷ ︸︸ ︷

(0, 0,−1)T ,

w2

︷ ︸︸ ︷

(0, 3, 1)T ,

w3

︷ ︸︸ ︷

(2, 0, 0)T } bases de R3. Encuentre la matriz

cambio de base de B y B′ y use esto para calcular [u]B donde u = 2w1 + w2 − 2w3

79. Sea H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 : p(1) = 0

}un subconjunto de P3. Compruebe que H es un

subespacio vectorial de P3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P3. Ademas,determine una base B y la dimension para H.

80. Si V = P2 es el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 2,

12

a) ¿Es H ={

p(x) = a+ bx+ cx2 ∈ P2 : a = −2}

un subespacio vectorial de P2?

b) ¿Es verdad que si B es un conjunto de 3 polinomios, entonces B genera a P2?

c) ¿Es verdad que cualquier subconjunto de V con 2 o menos polinomios es linealmente independiente?

d) ¿Es verdad que si B genera a P2, entonces el numero mınimo de elementos de B es 3?

81. De los siguientes conjuntos H, senale UNO que sea espacio vectorial (real), con las operaciones de suma yproducto por escalar definidas en R

n, entre polinomios y entre matrices.

(a) H = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 : p(1) = 0} (b) H =

{(a −a2a 5

)

: a ∈ R

}

(c) H = Hiperplano de R5 cuya ecuacion es x+ y + z + w − 3 = 0 (d) H = {ax2 + bx+ c ∈ P2 : c+ b = 1}

(e) N.A

82. Al escalonar una matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales F2 + F1 → F2,F3 + F2 → F3 y se obtuvo la matriz

U =

1 2 50 1 70 0 −2

.

Encuentre la factorizacion LU de la matriz A.

Resuelva el sistema Ax = b, donde b = (6 1 − 9)T .

83. Sea A =

1 a b1 a2 b2

1 a3 b3

. Utilice las propiedades de los determinantes para hallar el determinante de la

matriz A.

84. Considere la matriz A del punto anterior. Si A es invertible, encontrar el elemento (2, 1) de la matriz A−1.

85. Sea A una matriz tal que detU = 5. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden lasoperaciones elementales − 1

3F1 ↔ F1, F3 − 4F2 → F3, F4 + F2 → F4, F3 ↔ F4 y F4 − 3F3 → F4. El

determinante de la matriz A es:

a. −15 b. 15 c. −5

3d.

5

3e. 5 f. −5

86. Sea H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 ∈ P3 : a0 = a1 = a3

}. Muestre que H es un subespacio de P3 y

calcule su dimension.

87. Considere el hiperplano H ={(x y z w)T : x− z + w = 0

}⊂ R

4.

Encuentre una base ortonormal del hiperplano H.

Encuentre la proyeccion ortogonal del vector v = (1 − 1 0 2)T sobre H.

88. Determine si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, son espacios vectoriales (reales). Paraaquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen.

a) El conjunto de los numeros complejos con la suma (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i y el productopor escalar (a+ bi) = (λa) + (λb)i.

13

b) El conjunto de los numeros reales positivos con las operaciones x⊕ y = xy y λ⊙ x = xλ

c) El conjunto de vectores de R2 con la suma y producto escalar definidos como sigue

(a1b1

)

⊕(a2b2

)

=

(a1 + a2b1 + b2

)

λ⊙(a1b1

)

=

(λa1b1

)

d) En R2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por:

(x1

y1

)

⊕(x2

y2

)

=

(x1 + x2 + 1y1 + y2 + 1

)

λ⊙(xy

)

=

(λ+ λx− 1λ+ λy − 1

)

e) En R2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por:

(x1

y1

)

⊕(x2

y2

)

=

(x1 + x2

y1 + y2 + 1

)

λ⊙(xy

)

=

(λx

λ+ λy − 1

)

89. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales (reales). Identifique el espacio vectorial alque pertenecen.

a) W = {A ∈ Mn×n : det(A) = 1}

b) El conjunto de matrices simetricas 8× 8.

c) El conjunto de puntos del segundo cuadrante del plano cartesiano.

d) W ={A ∈ M2×2 : A2 = A

}

e) W = {A ∈ Mn×n : tr(A) = 0}

f ) El conjunto de polinomios de grado 3.

g) W ={(x, y, z)T : 2x− y + 5z = 10, x, y, z ∈ R

}

h) El conjunto de puntos de la recta que pasa por P = (1,−2, 3)T y Q = (5, 0,−1)T .

i) El conjunto de puntos del plano que pasa por P = (1,−2, 3,−1)T , Q = (5, 0,−1, 2)T y R = (3, 4,−7, 0)T

j ) W = {x ∈ Rn : Ax = 0 = 1, An×m una matriz}

k) El conjunto de numeros racionales.

14

l) W = {p(x) ∈ P4 : p(0) = 0}

m) W ={A ∈ Mn×n : AT = A

}

n) El conjunto de matrices triangulares superiores 3× 3

n) El conjunto de funciones de R en R, derivables.

o) {3n : n ∈ N} {x : x ∈ R, x > 0}

p) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 4, tales que evaluados en cero dan 1.

90. Demuestre que W ={a+ bx+ cx2 : a− b+ c = 0

}es un subespacio real de P2(x)

91. Determine si la matriz A =

(−3 2 8−1 9 3

)

es un combinacion lineal de las matrices

(−1 0 41 1 5

) (0 1 −2−2 3 −6

)

92. Demuestre que el polinomio p(x) = −2x2 + 2x + 6 pertenece al subespacio W = Gen{x2 + 1, 2x − 1, 3}. Sepuede concluir que el conjunto {x2 + 1, 2x− 1, 3,−2x2 + 2x+ 6} es l.d

93. ¿Es W ={ax3 + bx2 + cx+ d : a = b, c = b+ 2d

}un subespacio vectorial de P3(x)?. En caso afirmativo

halle una base y la dimension de W .

94. Para que valores de x y y el vector (2, x, 3,−y)T ∈ Gen {(2, 3, 1,−5), (0, 2,−1, 3)}95. Para que valores de a los siguientes vectores forman una base de R

3,{(a2, 0, 1)T , (0, a, 2)T , (1, 0, 1)T

}

96. Sean W = {q(x) ∈ P4 : p(1) = 0} y U = {p(x) ∈ P4 : p(0) = 0} dos subespacios de P4. Halle U ∩ W , unabase de U ∩W y la dimension U ∩W

97. Sean W = Gen

121

,

012

y U =

xyz

∈ R3 : x− 2y + z = 0

dos subespacios de R

3. Halle U ∩W ,

una base de U ∩W y la dimension U ∩W

98. Dada la matriz A =

1 −1 2 30 1 4 31 0 6 5

, halle una base y la dimension del espacio fila de A, denotado por FA,

del espacio columna de A, denotado por CA y del espacio nulo de A, denotado por NA.

99. PREGUNTAS:

a) Sea V un espacio vectorial y W ⊂ V . Si 0V /∈ W . ¿se puede conluir que W no es un subespacio vectorialde V .? Aplique su conlusion a W = {f : [0, 1] → R : f(0) = f(1) = 4}?

b) ¿El polinomio P (x) = 2x2 − 3x+ 1 pertenece al subespacio W ={c+ bx+ ax2 : a+ 2b = 0

}?.

15

c) ¿Se puede conluir de manera inmediata que los siguientes vectores son l.d.?

121

,

−341

,

−110

,

853

d) ¿Cuales de los siguientes conjuntos

121

,

11−1

,

11−1

,

2−2−2

son una base del subespacio

W =

xyz

: 3x− y − 2z = 0

?.

e) ¿Es el conjunto{(1,−1, 0)T , (0, 0, 1)T , (−1,−1, 0)T

}una base ortogonal de R

3?

f ) ¿Es el conjunto{x2 + 2x, x+ 1, 5x2 + 10x

}linealmente independiente?

g) ¿Es 3 la dimension de W ={3x2 − x, 5x , x− 6x2

}?

h) Si {v1,v2} es l.i. y si u es un elemento tal que u /∈ Gen{v1,v2}, entonces ¿se puede concluir que{v1,v2,u} es l.i?. De una interpretacion geometrica en R

3.

i) Sean B1 =

100

,

110

,

111

y B2 =

−1−1−1

,

120

,

200

bases ordenadas de R

3. Si (−3, 1, 0)T

son los coordenadas de un vector v ∈ R3 en la base B1, ¿Se puede afirmar que (0,− 1

2, 5

2)T son los

coordenadas de v en la base B2? ¿A que es igual v?

j ) Si W ={A ∈ M2×2(R) : A = −AT

}es un subespacio vectorial de M2×2(R), ¿es dimW = 2?

100. Encuentre el vector de coordenadas de u con respecto a la base B del espacio V , es decir, [u]B

a) Para V = R3 B =

322

,

−121

,

010

, u =

531

b) Para V = P2 B ={t2 + t, t− 1, t+ 1

}, u = 3t2 − t+ 2

c) Para V = M2×2, B =

{(1 10 0

)

,

(0 01 1

)

,

(1 00 1

)

,

(0 11 1

)}

u =

(3 −14 2

)

101. Determine una base y la dimension de los subespacios W dados:

a) W = {(x, y, z) : 3x− 5y + 2z = 0}b) W =

{ax2 + bx+ c : c = 2a− 3b

}

c) W =

{

X ∈ M2×2 :

(1 10 0

)

X = X

(1 10 0

)}

16

d) W ={(x2 + x+ 1)p(x) : p(x) ∈ P2

}

102. Sea V = R3. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos de R

3 son subespacios de R3?

a) W ={

(x, y, z)T : x2 + y2 + z2)1

2 = 1}

b) W ={(x, y, z)T : y ≥ 0

}

c) W ={(x, y, z)T : 3x− 2y = 0

}

d) W ={(x, y, z)T : x+ y − z = 2

}

103. Sea V el espacio de todas las funciones de R en R y sea W ⊂ V . Determine si W es un subespacio de V .

a) W = {f : f(7) = f(1)}b) W = {f : f(x) = −f(−x)}c) W = {f : f(x) ≥ 0}d) W = {polinomios de grado ≤ 3 con coeficientes enteros}e) W = {f : f(1) = 1 + f(2)}

104. Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial de las matrices 2× 2, M2×2

a) W ={A ∈ M2×2 : A = AT

}

b) W =

{(a bc d

)

: a = d

}

c) W = {A ∈ M2×2 : |A| = 0}105. ¿Para que valores de λ el vector vT = (1,−2, λ)T es una combinacion de los vectores (3, 0,−2)T y (2,−1,−5)T ?

106. Halle las condiciones sobre a, b y c tales que (a, b, c) pertenezca al subespacio generado por u1 = (2, 1, 0),u2 =(1,−1, 2) y u3 = (0, 3,−4). ¿uT

1,uT

2,uT

3genera a R

3? ¿Porque?

107. Sea W ={a0 + a1x+ a2x

2 : 4a2 + a1 + a0 = 0}

a) Pruebe que W es un subespacio de P2(x).

b) Halle un base y la dimension de W .

c) Verifique que f(x) = x2 − 5x+ 1 esta en W y halle las coordenadas de f respecto a la base hallada enel item (b)

108. Sea B = {v1,v2,v3} una base del espacio vectorial V . Si u1 = v1+v2+3v3, u2 = 2v2+v3 y u1 = v1+v2+2v3.¿Podemos concluir que {u1,u2,u3} es una base de V .?

109. Sean W = Gen

1−11

,

123

y S = Gen

−21−1

,

112

dos subespacios de R

3

a) Halle una base y la dimension de S y de W ,

b) Halle S ∩W y luego su base y su dimension

110. Demuestre que los polinomios (1− t)3, (1− t)2, (1− t) y 1 generan a P3(t).

111. Cuales de las siguientes matrices tienen el mismo espacio fila

(1 −2 −13 −4 5

) (1 −1 22 3 −1

)

1 −1 32 −1 103 −5 1

112. Sea V ={

f : f tiene derivada de todo orden}

. Muestre que {f, g, h} ⊂ V es l.i, donde

a) f(t) = e2t, g(t) = t2, h(t) = t

b) f(t) = e2t, g(t) = sin t, h(t) = t

113. Si W =

{(a bc d

)

: b = c, a = 3d

}

, halle una base y dimW

114. Mostrar que {ex, e2x, e3x, e4x} es linealmente independiente ¿Se puede afirmar lo mismo del conjunto {1, x, xex}?115. Demuestre que la interseccion de subespacios es un subespacio, pero la union de subespacios no.

116. W = {A ∈ M3×2 : a11 = a22, a12 = 2a31, a21 = 3a32} un subespacio de M3×2. Encuentre una base y ladimension de W . Extienda esta base a una base de M3×2.

117. Sean B = {1 + x, 1− x, x2} y B′ bases del espacio vectorial P2. Si la matriz de transicion PB′ B de B′ a B es

17

PB′ B =

2 0 01 2 2−1 1 −3

, entonces B′ ={

, ,}.

118. Sea W = {(x, y, z, w)T : x− 2y + z − w = 0} un subespacio de R4. Encuentre una base ortonormal de W .

Exprese v = (1, 1, 2, 1)T ∈ W como combinacion lineal d ela base ortonormal hallada.

119. Sea V el espacio vectorial de las matrices simetricas 2× 2. Verifique

(1 −2−2 1

)

,

(2 11 3

)

,

(4 −1−1 −5

)

es una

base de V . Halle las coordenadas de la matriz B =

(1 −4−4 7

)

relativas a esta base.

120. Encuentre una base ortonormal en R4 que incluya los vectores v1 = (− 1√

2, 1

2,− 1

2, 1

2)T y v1 = ( 1

2, 0, 0, 1√

2)T

121. Demuestre que los polinomios{

2x3 + x2 − x+ 1, −x3 + 2x2 + 5x, 4x2 + 5x− 8, x3 + 2x2 − x+ 1}

son l.i.

122. Geometricamente, cuales son los subespacios de R2? de R

3? de R4? (En R

n, para n ≥ 5, existen otrossubespacios distintos a los de R

4?)

123. En cada caso, determine si el vector v es combinacion lineal del conjunto de vectores S y en caso de serlo,encuentre los coeficientes de la combinacion lineal, diga ademas si la combinacion es unica. Adicionalmente,halle el conjunto generado por S. ¿Existe un conjunto de vectores con menor numero de ellos que genere elmismo conjunto?

a) S = Gen

24−5

,

−130

,

4−2−6

v =

−550

b) S ={

1− x+ x2, 2 + x2,−1 + 2x}

, v = 3− 2x+ 2x2.

c) S ={

1− x+ x2 − x3, 2 + x2, 3 + x+ x2 + x3

}

, v = 3− 2x+ 2x2?x3.

d) S =

{(3 40 0

)

,

(1 0−3 0

)

,

(2 00 −1

)

,

(−1 00 2

)}

v =

(0 −22 0

)

124. Verifique que para todo trio de vectores u, v y w de un espacio vectorial V ,

a) Gen{u,v,w} = Gen{u,u+ v,u+w}.b) Si {u,v,w} es l.i., entonces {u− v,v−w,u+w} tambien es l.i.

125. Encuentre un conjunto generador, un conjunto l.d. y un conjunto l.i. de cada uno de los siguientes espaciosvectoriales.

a) C ={a+ bi : a, b ∈ R, i =

√−1}.

b) El hiperplano H : 3x− 2y + w = 0 de R4.

c) NA ={

x ∈ R3 : Ax = 0

}

, A =

1 −2 70 1 −20 −3 9

d) S = Gen{3x− 2x2, 2 + x, −4 + x− 2x2

}

e) S ={A ∈ M3×3 : A = AT

}

f ) S ={A = (aij)3×3 : aij = 0, i 6= j

}

126. Encuentre el subespacio mas pequeno que contiene cada uno de los conjuntos de vectores dados.

a)

11−11

,

10−10

,

−1−111

,

2020

,

0−123

b) {3x− 2x2, 2 + x, 2x+ 2x2, x3,−2x− 2x2 + 2x3}

c)

{(1 −32 0

)

,

(2 −13 0

)

,

(−3 21 0

)

,

(−2 22 0

)}

127. Demuestre que si B = {v1,v2, . . . ,vk} es una base del espacio vectorial V y A es la matriz [v1 v2 . . .vk],entonces las columnas de AAT forman un conjunto l.i. y por tanto la matriz AAT es invertible.

128. Determine PORQUE las siguientes afirmaciones son FALSAS

a) Si el determinante de una matriz 5× 5 es 3, la matriz tiene maximo 3 columnas l.i.

18

b) Si {u1,u2,u3,u4} es un conjunto de vectores l.d., {u1,u2,u3} tambien es un conjunto de vectores l.d.

c) Si {u1,u2,u3,u4} es un conjunto l.i., {u1,u2,u3,u4,u5} tambien es un conjunto l.i.

d) La union de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

e) Si Gen{u1,u2,u3,u4} = Gen{u1,u2,u4}, entonces {u1,u3,u4} es l.i.

f ) El conjunto de puntos dentro de un circulo alrededor del origen de radio 1 es un subespacio de R2.

g) El conjunto de matrices triangulares inferiores 5× 5 con unos en la diagonal es un subespacio de M5×5.

h) El conjunto de matrices elementales 10× 10 es un subespacio de M10×10.

i) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 5, con coeficientes enteros, es un subespacio de P5.

j ) El conjunto de polinomios de grado igual a 3, es un subespacio de P3.

129. Determine PORQUE las siguientes afirmaciones son VERDADERAS

a) Si {u1,u2,u3,u4} es un conjunto de vectores l.i., {u1,u2,u3} tambien es un conjunto de vectores l.i.

b) Si {u1,u2,u3,u4} es un conjunto l.d., {u1,u2,u3,u4,u5} tambien es un conjunto l.d.

c) Un subconjunto finito diferente de {0} no puede ser un subespacio vectorial.

d) La interseccion de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

e) Si Gen{u1,u2,u3,u4} = Gen{u1,u3,u4}, entonces {u1,u2,u3,u4} es l.d.

f ) El conjunto de matrices antisimetricas 3× 3 (A = −AT ) es un subespacio de M3×3

g) El conjunto de matrices escalares 4× 4 es un subespacio de M4×4.

130. En cada caso, determine si el conjunto B forma una base del espacio vectorial V .

19

a)

2−35

,

2−30

v = R

3

b)

200

,

2−30

,

1−35

v = R

3

c)

200

,

1−35

,

2−30

,

505

v = R

3

d) B ={1 + x, 1− x, x2

}, V = P2.

e) B ={1 + x, x2, 1− x3

}, V = P3.

f ) B ={1, 1+x2

}, V =

{a0+ a1x+ a2x

2 : a1 = 0}.g) B =

{1+x, x2

}, V =

{a0+a1x+a2x

2 : a1 = 0}.

131. Encuentre una base del espacio vectorial dado y determine su dimension.

a) H = {(x, y, z, w)T : x+ y + z + w = 0}.

b) W =

{(a b−b −a

)

: a, b ∈ R

}

c) K ={

a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 ∈ P3 : a0?2a1 = 0

}

.

d) El conjunto de matrices simetricas 3× 3.

e) Gen{1 + x, x2, 1− x3

}.

f ) Gen{1 + x, 1− x, 1 + x2, 1− x2

}

132. A partir del conjunto S, construya una base del espacio vectorial H que contenga o este contenida en S.

a) S ={(1, 2, 3, 4)T , (1, 3, 5, 7)T , (1, 2, 4, 6)T

}H = R

4.

b) S ={1− x2, 1 + x

}, H = P2.

c) S ={1− x2, 1 + x, 1− x3, 1 + x3, x2 + x3

}, H = P3.

d) S ={(2, 3,−2,−3)T , (1, 2, 3,−6)T

}, H =

{(x, y, z, w)T : x+ y + z + w = 0

}.

133. Sea B ={

(1, 2, 0)T , (1, 0, 5)T , (0, 1, 1)T}

una base de R3. Observe que, despues de resolver tres sistemas de

ecuaciones lineales, encontramos que

1

0

0

=5

7

1

2

0

+2

7

1

0

5

−

10

7

0

1

1

0

1

0

=1

7

1

2

0

−

1

7

1

0

5

+5

7

0

1

1

0

0

1

= −

1

7

1

2

0

+1

7

1

0

5

+2

7

0

1

1

a) Determine la matriz de transicion de la base B a la base usual de R3.

b) Determine la matriz de transicion de la base usual de R3 a la base B.

c) Calcule el vector de coordenadas en la base B del vector v = (1, 2, 3)T . ¿Es necesaria una matriz detransicion para hacer el calculo?. Justifique la respuesta.

d) Calcule el vector u sabiendo que [u]B = (1, 2, 3)T .

134. Justifique que B y B′ son bases de V , calcule el vector u cuyas coordenadas en una de las dos bases se dany calcule las coordenadas del vector u en la otra base.

a) V = R3 B =

12−1

,

115

,

−21−1

B′ =

10−1

,

110

,

01−1

[u]B =

21−2

b) V = M2×2

B =

{(−1 01 0

)

,

(−1 11 0

)

,

(−1 01 1

)

,

(−1 11 1

)}

B′ =

{(−1 01 0

)

,

(−1 11 0

)

,

(−1 01 1

)

,

(−1 11 1

)} [u]B′ =

01−2−1

c) V = P2 B ={2− x, 1− x2, 1 + x

}B′ =

{1 + x, 2− x, 1− x2

}[u]B′ =

−30−2

d) V = P3 B ={1, x, x2, x3

}B′ =

{1 + x, x+ x2, x2 + x3, 1− x3

}[u]B′ =

01−2−1

e) V =

xyz

: x+ y + z = 0

B =

2−1−1

,

30−3

B′ =

−3−14

,

02−2

,

[u]B =

(1−1

)

20

135. Sean B y B′ dos bases de R3, y W un conjunto de vectores de R

3 y A la matriz de transicion de la base B ala base B′, donde

W =

12−1

,

115

,

−21−1

A =

−1 0 −2−1 2 00 2 −1

a) Calcule la base B sabiendo que B′ = W

b) Calcule la base B′, sabiendo que B = W .

136. Calcule el rango y la nulidad para cada una de las matrices dadas.

(−1 3 50 0 2

)

2 −1 30 1 2−4 2 1

2 −1 30 1 2−4 2 12 2 −1

137. Verifique si los siguientes conjuntos son ortogonales y si son ortonormales

a) S =

0−10

,

00−1

,

100

b) S =

{(1

2−2

)

,

(21

2

)}

c) S =

0−10

,

00−1

,

100

d) S =

1√2

− 1√2

0

,

1√31√31√3

138. Calcule la proyeccion de u en el subespacio H y la componente de uc ortogonal a H.

a) u =

2−12

H = Gen

0−10

,

00−1

b) u =

1−10

H = Gen

xyz

: x+ y + z = 0

c) u =

102−1

H = Gen

xyzw

: 2x− y + w = 0

139. Demuestre que si {v1,v2, . . . ,vk} es una base ortogonal de S, entonces

ProySu =( u · v1

v1 · v1

)

v1 +( u · v2

v2 · v2

)

v2 + · · ·+( u · vk

vk · vk

)

vk

y si {v1,v2, . . . ,vk} es una base ortonormal de S, entonces

ProySu = (u · v1)v1 + (u · v2)v2 + · · ·+ (u · vk)vk

140. Dadas B = {1, x, x2} y B′ = {2 − 3x, x − 1, x2 + 1} dos bases de P2, si [u]B′ = (−3, 0, 1)T , seleccione unaafirmacion VERDADERA.

a) u = 9− 5x+ x2.

b) [u]B = −5 + 9x+ x2.

c) [u]B = (1, −9, 5)T .

d) [u]B = (1, 9, 5)T .

e) [u]B = (−5, 9, 1)T .

141. Senale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA.

a) Las coordenadas de un vector de un plano en R5, respecto a una base del plano, es un vector de R

2.

b) Si [u]B ∈ R5, entonces dim(GenB) = 5.

c) La dimension del espacio de las matrices diagonales 2x2 es 4.

d) Si S = {u1, u2, u3, u4} es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V , entonces dimV ≥ 4

e) La dimension de un hiperplano en R5 es 4.

142. La dimension de H = gen{1, x, x2, x3, 1 + 2x+ 3x2 + 4x3

}es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

143. De las siguientes afirmaciones, senale UNA VERDADERA.

21

a) Si {v1,v2,v3,v4} es un conjunto de vectores l.d., entonces {v1,v2,v3} tambien es un conjunto devectores l.d.

b) Si Gen{v2,v3,v4} = Gen{v1,v2,v3,v4}, entonces {v2,v3,v4} es un conjunto de vectores l.d.

c) Si Gen{v2,v3,v4} = Gen{v1,v2,v3,v4}, entonces {v1,v2,v3,v4} es un conjunto de vectores l.i.

d) Si {v1,v2,v3} es un conjunto de vectores l.i., entonces {v1,v2,v3,v4} tambien es un conjunto devectores l.i.

e) N.A.

144. Sea H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 : p(1) = 0

}un subconjunto de P3. Compruebe que H es un

subespacio vectorial de P3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P3. Ademas,determine una base B y la dimension para H.

145. Determine PORQUE las siguientes afirmaciones son FALSAS

a) Si el rango de una matriz A ∈ M7×9 es 7, su nulidad es cero

b) Si el rango de una matriz A ∈ M17×9 es 9, el sistema Ax = b tiene solucion unica.

c) La dimension del espacio de los polinomios de grado menor o igual a 4, que evaluados en 1 es 0, es 3.

d) La dimension de Gen{u1,u2,u3,u4} es 4.

e) Las coordenadas de una matriz 3× 5 en una base de M3×5 es un vector de R8.

f ) Las coordenadas de un vector de un hiperplano en R5 en una base de R

5 es un vector de R4.

g) Un conjunto de 5 matrices 3× 2 puede generar a M3×2

h) Cualquier conjunto de 5 polinomios de grado menor o igual 3 genera a P3.

i) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R5 que pasa por el origen puede ser l.i.

j ) Cualquier conjunto de 5 matrices diagonales 6× 6 es l.i..

k) Si S = {p, q, r, t} ⊂ P3, S puede ser un conjunto ortogonal.

22

l) Para calcular la proyeccion ortogonal de un vector en un subespacio, se requiere una base ortogonal delsubespacio.

m) La proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio es ortogonal al subespacio.

n) Si η(A) = 0 y A es una matriz 7× 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solucion unica paratodo vector b.

n) Si el rango de una matriz 5× 8 es 5, la nulidad de su transpuesta es 3.

o) Una base del espacio columna de una matriz es la conformada por las columnas pivotales de una matrizescalonada equivalente.

146. Determine PORQUE las siguientes afirmaciones son VERDADERAS

a) Si el rango de una matriz A ∈ M7×19 es 7, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.

b) Si el rango de una matriz A ∈ M8×10 es 7, el sistema Ax = b puede no tener solucion.

c) Si la nulidad de una matriz A ∈ M7×9 es 7 su rango es 2.

d) Si la nulidad de una matriz A ∈ M9×9 es 0 A es una matriz invertible.

e) Si la nulidad de una matriz A ∈ M27×10 es 2 A el sistema Ax = 0 no tiene solucion unica.

f ) Si la nulidad de una matriz A ∈ M8×7 es 3, el sistema Ax = b es incosistente o tiene infinitas soluciones.

g) Si [u]B ∈ R5, entonces dim(GenB) = 5.

h) Dadas P y Q, las matrices de transicion de B a B′′ y de B′ a B′′, respectivamente, la ecuacion P [u]B =Q[u]B′ permite calcular las coordenadas del vector u en una base, conociendo las coordenadas del vectoru en la otra base.

i) La dimension del espacio de las matrices diagonales 4× 4 es 4.

23

j ) La dimension de un hiperplano en R5 es 4.

k) La dimension de Gen{u1,u2,u3,u4}, cuando {u1,u2,u3,u4} es l.i., es 4.

l) Las coordenadas de un vector de un plano en R5 en una base del plano es un vector de R

2.

m) Si S = {A,B,C,D} ⊂ V es un conjunto ortonormal, entonces dimV ≥ 4.

n) Es posible encontrar un conjunto ortogonal de 3 vectores de un hiperplano en R6.

n) La suma de la proyeccion ortogonal de un vector en un subespacio con la componente del vector ortogonalal subespacio es el vector.

o) Una matriz A de tamano 4× 7 no puede tener una nulidad igual a cero.

p) El rango de una matriz 5× 8 no puede ser 6.

q) Una base del espacio fila de una matriz es la conformada por las filas que tienen pivotes en una matrizescalonada equivalente.

r) La dimension del espacio fila de una matriz es igual al rango de la matriz.

s) Si ρ(A) = 5 y A es una matriz 5× 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas solucionespara todo vector b.

147. Al escalonar la matriz A , se aplicaron las operaciones elementales F2−F1 → F2, F3+2F1 → F3 y F3+3F2 →

F3 y se obtuvo la matriz U =

1 0 1 20 −2 1 00 0 3 1

, determine:

Si A es invertible.

Halle una matriz L tal que A = LUResolver el sistema Ax =

−100

148. Dados los vectores u = (1,−2, 0, 3)T , v = (−2, 4, 0,−6)T , w = (−3, 0, 5, 1)T y el subespacio H = Gen{u,v},entre las siguientes afirmaciones, seleccione una que sea VERDADERA.

La proyeccion de u sobre H es v.

La proyeccion de u sobre H es igual a la proyeccion de v sobre H.

24

La proyeccion de w sobre H es 0.

La proyeccion de u sobre H es 0.

149. Sean B = {x− 1, 1+ x2, 2− 3x} y B′ = {2− 3x, x− 1, x2 +1} bases de P2. Si [u]B = (−2, 5, 0)T , seleccioneuna afirmacion VERDADERA.

a) u = −2 + 5x.

b) [u]B′ = 7− 2x+ 5x2.

c) [u]B′ = (0, −2, 5)T .

d) [u]B′ = (7, −2, 5)T .

e) N.A

150. Sean B = {1 + x, 1− x, x2} y B′ bases del espacio vectorial P2. Si la matriz de transicion PB′ B de B′ a B es

PB′ B =

2 1 11 2 30 1 3

, entonces B′ ={

, ,}.

151. Sean B =

{(1 00 1

)

,

(0 11 0

)

,

(1 10 0

)

,

(0 01 1

)}

y B′

=

{(0 01 1

)

,

(0 11 0

)

,

(1 10 0

)

,

(1 00 1

)}

bases del espacio vectorial M2x2(R). La matriz de transicion PBB′ de B a B′

es:

PBB′ =

152. A partir del conjunto S ={1− x2, 1+ x

}, construya una base B del espacio vectorial P2 que contenga o este

contenida en S.

153. De los siguientes conjuntos H, senale UNO que sea espacio vectorial (real), con las operaciones de suma yproducto por escalar definidas en R

n, entre polinomios y entre matrices.

(a) H = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 : p(1) = 0} (b) H =

{(a −a2a 5

)

: a ∈ R

}

(c) H = Hiperplano de R5 cuya ecuacion es x+ y + z + w − 3 = 0 (d) H = {ax2 + bx+ c ∈ P2 : c+ b = 1}

(e) N.A

154. Sea B = {v1, v2, v3} una base del espacio vectorial V y B′ = {u1, u2, u3} un subconjunto ortonormal de V .Entre las siguientes afirmaciones, senale una FALSA.

(a) [u1]B′ = (1, 0, 0)T . (b) Si A = [u1 u2 u3], entonces ATA = I.

(c) Si W es un subespacio de V , entonces dimW ≤ 3. (d) {u2, u3} puede ser un conjunto l.d.

155. Senale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA.

a) Las coordenadas de un vector de un plano en R5, respecto a una base del plano, es un vector de R

2.

b) Si [u]B ∈ R5, entonces dim(GenB) = 5.

c) Si S = {u1, u2, u3, u4} es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V , entonces dimV ≥ 4.

d) El rango de una matriz 5× 8 puede ser 6.

e) Para calcular la proyeccion ortogonal de un vector en un subespacio, NO se requiere de una base ortogonaldel subespacio.

156. Sean B = {1, 1 + x} y B′ bases del espacio vectorial P1. Si la matriz de transicion PBB′ de B a B′ es

PBB′ =

(1/3 10 −1

)

, entonces B′ ={

,}.

157. Sean B = {x− 1, 1 + x2, 2− 3x} y B′ = {2− 3x, x− 1, x2 + 1} bases de P2.

Sea p(x) = 3− 2x+ 2x2. Dar las coordenadas de p(x) en la base B y B′.

Si [p(x)]B = (−2, 5, 0)T , encontrar el polinomio p(x).

Hallar la matriz de transicion de la base B′ a la base B.

158. Para H =

xyz

∈ R : x− 2y + 2z = 0

Demuestre que es un subespacio vectorial de R3.

25

Halle una base B y la dimension de H.

Determine si v = (−6 2 5)T ∈ H, en caso afirmativo escriba v como combinacion lineal de los elementosde la base B.

159. Si det(A) = 3

5y AB = O, entonces B =

160. Para que valores de α el sistema tiene solucion unica

αx+ y + z = 1x+ αy + z = 1x+ y + αz = 1

161. A5×5 es antisimetrica entonces det(A) =

162. Si

∣∣∣∣∣∣

a b cp q ru v w

∣∣∣∣∣∣

= 3 y si W =

4u 2a −p4v 2b −q4w 2c −r

entonces : det(3W−1) =

163. Si A y B son matrices 3× 3 tal que |2a−1| = 6 y |AT (2B)−1| = 18 entonces |A3BT | =164. Sea A ∈ Mn×n(R) y suponga que det(A) 6= 0. Calcule Adj(Adj(A) en terminos de A.

165. Encuentre una matriz A tal que adj(A) =

4 1 0−4 −1 −6−2 1 0

es ¿A unica?

166. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (Justifique).

a) Sean B =

{(12

)

,

(01

)}

y B′ = {v1,v2} bases de R2. Si la matriz de transicion de S a T es v1 =

(21

)

y v2 =

(11

)

.

b) Si S = {x+ 1, x− 2} y T = {x− 5, x− 2} son bases de P1 y v ∈ P1 es tal que [v]B′ =

(−13

)

entonces

[v]B =

(2−1

)

c) Si A es 4× 4 y ρ(A) = 4, entonces Ax = b tiene exactamente 4 soluciones.

ESTA ES UNA I VERSION DE EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL QUE ESTOY DESARROLLANDO,ESPERO LES SIRVAN PARA PROFUNDIZAR LOS CONCEPTOS VISTO EN CLASE

PD: Espero tener ejercicios mas interesantes en una segunda version, agradezco cualquier errata que encuentren.

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