UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTA´Enunciada en terminos de los n´ umeros de Betti:´...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTAFacultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

TEOREMA DE LA DUALIDAD DE POINCARE

Trabajo de GradoPresentado por Diego D. Duarte Vogel

Dirigido por Gabriel Padilla Leon

Mayo 2010

Introduccion

Still more astonishing is that world of rigorous fantasy we call mathematics.Gregory Bateson.

Henri Poincare(29 Abril 1854 - 17 Julio 1912)

La Dualidad de Poincare fue establecida primero, sin prueba, por Henri Poincare en1893. Enunciada en terminos de los numeros de Betti: Los k-esimo y (n − k)-esimonumeros de Betti de una variedad orientable de dimension n, compacta y sin borde son iguales.En su documento de 1895, Analisis Situs, Poincare intento probar el teorema usando lateorıa topologica de la interseccion, que el habıa inventado.La crıtica hecha por Poul Heegaard lo condujo a captar que su prueba estaba seria-mente incompleta. En los dos primeros complementos de Analisis Situs, Poincare diouna nueva prueba en terminos de triangulaciones duales.

Triangulaciones Duales

El concepto de cohomologıa estaba en aquella epoca a mas de 30 anos de ser clarificado,en 1930 Eduard Cech y Hassler Whitney inventaron el producto cuna y el productomixto, gracias a estos se pudo clarificar el concepto de cohomologıa y la Dualidad fueenunciada en terminos de la homologıa y cohomologıa singular. En 1931 Georges deRham relaciono la cohomologıa con las formas diferenciales gracias al Teorema quelleva su nombre, que garantiza la existencia de un isomorfismo entre la cohomologıasingular y la cohomologıa de De Rham de una variedad suave, y fue posible enunciarla Dualidad en los terminos que se conoce hoy en dıa en la geometrıa diferencial.

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Contenido

1 Variedades 21.1 Variedades Topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Compatibilidad de Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Variedades Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Funciones Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 El Espacio Tangente Sobre Una Variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Particiones de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Formas Diferenciales e Integracion Sobre Variedades 232.1 1-Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 k-Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Integracion Sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Complejo de De Rham 363.1 Complejos Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Complejo de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Dualidad de Poincare 44

1

Capıtulo 1

Variedades

Point set topology is a disease from which the human race will soon recover.Henri Poincare.

En la busqueda de generalizar curvas y superficies para dimensiones arbitrarias sepodrıa hablar intuitivamente de las variedades como tal, sin embargo existen variostipos de variedades que no solo las generalizan como las variedades topologicas, lasvariedades algebraicas, las variedades complejas, las variedades analıticas, entre otras.Las variedades suaves seran las de principal interes para el desarrollo de este escrito.

Muchas de las tecnicas del calculo multivariable son ”aplicables” en variedadessuaves. Se puede definir la derivada direccional de una funcion diferenciable en ladireccion marcada por un vector tangente a la variedad. Dicha derivada se comportarade modo similar a la derivada ordinaria de una funcion definida en el espacio euclıdeo,al menos localmente. Ademas existe una version del teorema de la funcion inversa.

1.1 Variedades Topologicas

Para realizar una definicion precisa de una variedad topologica se deben recordar al-gunas definiciones topologicas. Un espacio es segundo contable si posee una baseenumerable. Un cubrimiento abierto de un espacio topologico M es una coleccion deabiertos Uαα tal que M =

⋃α

Uα.

1.1.1 [Definicion] Un espacio topologico M es localmente Euclıdeo de dimension nsi para todo p ∈ M existe U abierto de M tal que p ∈ U y existe un homeomorfismoα : U→ Rn. Al par (U , α) se le denomina carta. Si ademas M es segundo contable yHausdorff entonces se dice que es una variedad topologica de dimension n.

2

CAPITULO 1. VARIEDADES 3

1.1.2 [Ejemplo: Rn] Cubierto por una sola carta(Rn , id

Rn

). Ademas todo abierto U

de Rn es una variedad topologica con carta (U , idU).

Figura 1.1: El Folium de Descartes

1.1.3 [Ejemplo: El Folium de Descartes] Visto como subespacio topologico de R2 noes una variedad topologica ya que en el punto O no existe una vecindad homeomorfaa ningun espacio euclıdeo.

1.2 Compatibilidad de Cartas

Se dice que dos cartas (U , α) (V , β) son C∞-compatibles si su interseccion es vacıa o

α β−1 : β (U ∩V) → α (U ∩V)β α−1 : α (U ∩V) → β (U ∩V)

son funciones C∞. Estas funciones son llamadas funciones de transicion entre cartas.Esta nocion de compatibilidad sera la que permitara extender las nociones del calculomultivariable a las variedades.

Figura 1.2: Compatibilidad de cartas


Observacion †† 1.2.1 La nocion de ser C∞ es la usual de funciones de Rn en Rn ya quetanto β (U ∩V) como α (U ∩V) son homeomorfos a Rn.

Observacion †† 1.2.2 En adelante se notara Uα ∩Uβ como Uαβ y Uα ∩Uβ ∩Uγ comoUαβγ.

Observacion †† 1.2.3 La compatibilidad entre cartas es una relacion reflexiva y simetrica,sin embargo no es posible afirmar que sea transitiva ya que si (Uα , α)∼

(Uβ , β

)y(

Uβ , β)∼(Uγ , γ) no necesariamente (Uα , α)∼(Uγ , γ) porque solo se sabe que

α γ−1 =(α β−1) (β γ−1)

es C∞ en Uαβγ pero no se sabe que ocurre en Uαγ \Uαβγ y por lo tanto no es posibledecir que (Uα , α) y (Uγ , γ) sean C∞-compatibles.

1.2.4 [Definicion] Un atlas de una variedad topologica M es una coleccion U = (Uα , α)de cartas C∞-compatibles tal que M =

⋃α

Uα.

1.2.5 [Definicion] Una carta es compatible con un atlas si y solo si es compatible concada carta del atlas.

Lema 1.2.6 La compatibilidad de cartas con un mismo atlas es una relacion de equivalencia.

[Dem.] Por la observacion (1.2.3) se tiene que la relacion es simetrica y reflexi-va falta ver que sea transitiva, es decir, si U = (Uα , α) es un atlas de M una va-riedad topologica y dos cartas (V , ψ) y (W , σ) son compatibles con U entonces lo quese quiere ver es que sean compatibles entre sı (V , ψ)∼(W , σ) para esto basta ver que

ψ σ−1 : σ (V ∩W) → ψ (V ∩W)σ ψ−1 : ψ (V ∩W) → σ (V ∩W)

Sean C∞ entonces sea p ∈ V ∩W, como U cubre a M entonces existe α tal que p ∈ Uα ypor lo tanto p ∈ V ∩W ∩Uα, como (V , ψ) y (W , σ) son compatibles con U en paticularlo son con (Uα , α) y por tanto

ψ σ−1 =(ψ α−1) (α σ−1)

es C∞ en σ (V ∩W ∩Uα) entonces ψ σ−1 es C∞ en σ (p), como p es un punto arbi-trario de V ∩W entonces ψ σ−1 es C∞ en σ (V ∩W). Analogamente para σ ψ−1.

1.2.7 [Definicion] Dos atlas son compatibles si y solo si la union de ellos es un atlas.

1.2.8 [Ejemplo: Dos atlas no compatibles] Sean (R, idR) y (R, f (x) = x3) dos atlas

de R, su union no es un atlas pues las cartas no son compatibles ya que la funcion detransicion (id

R f−1)(x) = 3

√x no es C∞ en R.


1.3 Variedades Suaves

Una variedad generaliza la nocion intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie(2-variedad) a cualquier dimension. Un poco mas formalmente, se dice que unavariedad de dimension n es un espacio que se parece localmente a Rn y ademas a laque le puede extender las nociones del calculo diferencial, gracias a la compatibilidadde las cartas. El estudio del calculo en variedades suaves se conoce como geometrıadiferencial.

1.3.1 [Definicion] Un atlas U se dice maximal si dado V un atlas que lo contieneentonces U=V .

1.3.2 [Definicion] Una variedad suave es una variedad topologica M con un atlasmaximal. El atlas maximal tambien es llamado como la estructura diferenciable de M.

Proposicion 1.3.3 Todo atlas U = (Uα , α) esta contenido en un unico atlas maximal.

[Dem.] Si se toman todas las cartas (Vi , ψi) que sean compatibles con U y se unencon U se forma un nuevo atlas V (1.2.6)(1.2.7). Por tanto toda carta compatible con Ves compatible con U y por construccion la carta pertenence a V . Esto prueba que V esatlas maximal. Ahora sea V ′ otro atlas maximal que contiene a U entonces todas lascartas de V ′ son compatibles con U y por construccion estas pertenecen a V entoncesV ′ ⊆ V , como ambos son atlas maximales se obtiene que V ′ = V y por tanto el atlasmaximal que contiene a U es unico.

Finalmente para ver si un espacio topologico M es una variedad suave basta verque:

(i) M es Hausdorff y segundo contable.

(ii) M posee un atlas C∞ (no necesariamente maximal).

1.3.4 [Ejemplo: El grafo de una funcion] Sea U⊆ Rn abierto y f : U→ Rm una funcioncontinua e inyectiva. El grafo de f se define como el subespacio

Γ (f ) := (x, f (x)) ∈ U×Rm

Ademas

φ : Γ (f )→ U(x, f (x)) 7→ x

y

idU × f : U→ Γ (f )x 7→ (x, f (x))


son continuas y una es la inversa de la otra y por lo tanto son homeomorfismos.El grafo Γ (f ) de una funcion continua e inyectiva tiene un atlas con una sola carta(Γ (f ) , φ) de donde resulta ser una variedad suave. Con este ejemplo se demues-tra que toda superficie explıcita de una funcion continua e inyectiva es una variedadsuave.

1.3.5 [Ejemplo: Grupo general lineal] Sean m, n ∈ Z y sea Rm×n el espacio vectorialde todas las matrices m× n. A Rm×n se le puede dotar con la topologıa de Rmn ya queson isomorfos. Sea GL (n, R) el grupo general lineal definido por

GL (n, R) := A ∈ Rn×n|det (A) 6= 0 = det−1 (R− 0)

Como la funcion determinante es continua y como R−0 es abierto entonces GL (n, R)

es una abierto de Rn×n ' Rn2y por lo tanto resulta una variedad suave.

1.3.6 [Ejemplo: Cırculo unitario] S1 como subconjunto de R2 dado por la ecuacionx2 + y2 = 1. Tomando como atlas (U , α) , (V , β) donde

U = S1 \ (0, 1) α→ R

(a , b) 7→(

a1− b

)V = S1 \ (0,−1)

β→ R

(a , b) 7→(

a1 + b

)Como S1 es Hausdorff, segundo contable y las funciones de transicion

β α−1 = 1τ donde α−1 (τ) =

(2τ

τ2+1 , τ2−1τ2+1

)α β−1 = 1

τ donde β−1 (τ) =(

2ττ2+1 , 1−τ2

τ2+1

)Son C∞ en α (U ∩V) = R − 0 = β (U ∩V) entonces S1 resulta ser una variedadsuave.

Proposicion 1.3.7 Si M y N son variedades suaves entonces M×N es una variedad suave.

[Dem.] Sean U = (Uα , α) y V = (Vβ , β

) atlas de M y N respectivamente.

M×N con la topologıa producto resulta Hausdorff y segundo contable ya que M y Nlo son, solo faltarıa ver que M×N tenga un atlas suave. Sea

U × V =(

Uα ×Vβ , α× β : Uα ×Vβ → Rm+n)Es claro que U × V cubre a M×N y las funciones de transicion resultan ser C∞ ya que


(α× β) (σ× γ)−1 = (α× β) (σ−1 × γ−1) = (α σ−1)× (β γ−1)

y α σ−1 y β γ−1 son C∞. Por ultimo M×N es localmente euclıdeo

Uα ×Vβ∼= Rm ×Rn = Rm+n

1.3.8 [Ejemplo] Por la proposicion anterior (1.3.7) se tiene que el cilindro S1 ×R y eltoro S1 × S1 son variedades suaves.

1.4 Funciones Suaves

Ası como en el calculo multivariable el estudio de las funciones suaves juega un papelmuy importante, en las variedades no es la excepcion. El estudio de las funcionessuaves sobre variedades permitira definir dos operadores de vital importancia el dife-rencial y el pullback.

1.4.1 [Definicion] Sean N y M variedades suaves de dimension n y m respectivamente.Una funcion F : N → M es suave en p ∈ N si existe una carta (V , β) en M y una carta(U , α) en N tal que F (p) ∈ V, p ∈ U y β F α−1 es C∞ en un entorno de α (p).

Observacion †† 1.4.2 La definicion de funcion suave es independiente de las cartas(V , β) y (U , α) pues si (W , σ) y (D , γ) son otras cartas tal que F (p) ∈ W y p ∈ Dentonces sobre γ (U ∩D) y β (V ∩W)

σ F γ−1 =(σ β−1) (β F α−1) (α γ−1)

resulta ser suave en un entorno de γ (p) pues es compuesta de funciones suaves.

Figura 1.3: Funcion Suave


1.4.3 [Definicion] A la funcion F : N → M se le denomina difeomorfismo si esbiyectiva y tanto F como F−1 son funciones suaves.

Proposicion 1.4.4 Si F : N → M y G : M → P son funciones suaves entre variedadessuaves entonces G F : N → P es una funcion suave.

[Dem.]

Figura 1.4: Composicion de Funciones Suaves

Sea p ∈ N y sean (U , α), (V , β) y (W , γ) cartas de N, M y P respectivamente talque p ∈ U, F (p) = q ∈ V y G (q) ∈ W

γ G F α−1 =(γ G β−1) (β F α−1)

Como F y G son funciones suaves entonces γ G F α−1 es una composicion defunciones suaves por lo tanto resulta ser suave en un entorno de α (p). Como p era unpunto arbitrario de N entonces G F es una funcion suave.

Proposicion 1.4.5 Sea U un abierto de una variedad suave M de dimension n. SiF : U → Rn es un difeomorfismo en su imagen entonces (U, F) es una carta del atlas deM.

[Dem.] Para toda carta (Uα , α) de M tanto α F−1 como F α−1 son C∞ entonces(U, F) es compatible con el atlas de M y por la maximilidad del mismo resulta ser unacarta del atlas.

1.4.6 [Definicion] Sea (U , α) una carta de una variedad M de dimension n, α vistacomo funcion de M en Rn tiene n componentes entonces si r1, . . . , rn son las coor-denadas usuales de Rn a U se le puede asociar como coordenadas x1, . . . , xn dondexi = ri α. Cuando se quiera especificar las coordenadas de una carta se notara como(U , x1, . . . , xn).


1.4.7 [Definicion] Sean (U , α) = (U , x1, . . . , xn) una carta de una variedad M y f unafuncion suave de M en R. La derivada parcial de f en un punto p de U se define como

∂ f∂xi

(p) :=∂ f∂xi

(α−1 (α (p))

)=

∂( f α−1)∂ri

(α (p))

Ademas ∂ f /∂xi es suave en U pues es la derivada parcial de una funcion suave enα (U).

Proposicion 1.4.8 Sea (U , α) = (U , x1, . . . , xn) una carta de una variedad suave entonces∂xi/∂xj = δi

j.

[Dem.] Sea p ∈ U

∂xi∂xj

(p) =∂(xi α−1)

∂rj(α (p)) =

∂ri∂rj

(α (p)) = δij

Teorema 1.4.9 (Funcion inversa para Rn) Sea f : W → Rn una funcion suave definida enun abierto W de Rn. Para todo p ∈ W f es localmente invertible en p si y solo si el Jacobianoes no nulo.

Para la prueba de este teorema consultar [2] .

Teorema 1.4.10 (Funcion inversa para variedades suaves) Sean M una variedad suave dedimension n, p ∈ M y f : W → Rn una funcion suave definida en una vecindad de p. Si paraalguna carta (U , α) = (U , x1, . . . , xn) que contenga a p el Jacobiano det

[∂ fi/∂xj (p)

]es no

nulo entonces existe una vecindad V de p en la cual f es un difeomorfismo en su imagen, masaun (V, f ) es una carta en la estructura diferenciable de M.

[Dem.] Por definicion se tiene que,

∂ fi∂xj

(p) =∂( fi α−1)

∂rj(α (p))

Por el teorema de la funcion inversa para Rn, f α−1 es localmente invertible en α (p)ademas f =

(f α−1) α es un difeomorfismo en alguna vecindad V de p y por la

proposicion (1.4.5) (V, f ) es una carta del atlas de M.


1.5 Cocientes

Dado un espacio topologico X y una relacion de equivalencia sobre X es posible cons-truir un nuevo espacio topologico. El espacio cociente de X notado como X/∼ ydotado con la topologıa final o cociente inducida por la proyeccion sobreyectiva

π : X → X/∼x 7→ [x]

τ∼ =

A ⊆ X/∼ |π−1 (A) ∈ τx

Donde [x] denota la clase de equivalencia de x, como

π−1

(⋃α

Uα

)=⋃α

π−1 (Uα)

π−1

(⋂α

Uα

)=⋂α

π−1 (Uα)

entonces τ∼ es una topologıa y (X/∼ , τ∼) resulta ser un nuevo espacio topologico.

A partir de este analisis se intuirıa que dada una variedad topologica y una relacionde equivalencia sobre ella su cociente serıa una nueva variedad topologica, pero lasti-mosamente no es ası pues el ser Hausdorff y segundo contable no siempre se heredapara los cocientes. La idea es encontrar condiciones necesarias y suficientes para de-terminar si el cociente de una variedad topologica es o no una variedad topologica.

1.5.1 [Ejemplo: La curva del ocho vista como cociente] Dado el intervalo cerrado[0, 1] y la relacion de equivalencia dada por

0 ∼ 1/2 ∼ 1 y x ∼ x si y solo si x /∈ 0, 1/2, 1

Al hacer el cociente dada la relacion∼ resulta la curva del ocho pero esta no es una va-riedad suave, pues en el punto que representa la clase del 0 no es localmente euclıdea.

Figura 1.5: La curva del ocho


Proposicion 1.5.2 Sea X un espacio topologico y ∼ una relacion de equivalencia sobre el. SiX/∼ es Hausdorff entonces para todo x ∈ X, [x] es cerrado en X.

[Dem.] Como X/∼ es Hausdorff entonces en particular todo punto es cerrado,es decir, dado x ∈ X se tiene que π (x) es cerrado en X/∼, como π es continuaπ−1 (π (x)) = [x] es cerrado en X.

1.5.3 [Definicion] Una relacion de equivalencia ∼ sobre un espacio topologico X sedice abierta si la proyeccion π : X → X/∼ es una funcion abierta. En otras palabras ∼es abierta si y solo si para todo abierto U de X se tiene que

π−1 (π (U)) =⋃

x∈U[x]

es abierto.

1.5.4 [Definicion] El grafo de una relacion de equivalencia∼ sobre un espacio topologicoX es el subconjunto R de X× X que define la relacion

R = (x, y) ∈ X× X | x ∼ y

Teorema 1.5.5 Sea∼ una relacion de equivalencia abierta sobre un espacio topologico X. X/∼es Hausdorff si y solo si el grafo de ∼ es cerrado en X× X.

[Dem.]

Figura 1.6: Grafo de R en X× X

(⇒) Sea R el grafo de ∼ y sea (x, y) ∈ X× X \ R, entonces x y y ademas [x] 6= [y]en X/∼. Como X/∼ es Hausdorff existen U y V abiertos disyuntos tal que [x] ∈ Uy [y] ∈ V, por tanto ningun elemento de U = π−1 (U) esta relacionado con ningunelemento de V = π−1 (V) entonces U × V es un abierto de X × X disyunto con R dedonde U ×V ⊆ X× X \ R y R resulta cerrado en X× X.


(⇐) Sea R el grafo de ∼ y sean [x] 6= [y] en X/∼ entonces x y, es decir,(x, y) ∈ X × X \ R. Como X × X \ R es abierto entonces existe una vecindad U × Vde (x, y) totalmente contenida en X × X \ R, como ningun elemento de U esta rela-cionado con ningun elemento de V entonces π (U) y π (V) son disyuntos y abiertos enX/∼ pues ∼ es abierta, como [x] ∈ π (U) y [y] ∈ π (U) entonces X/∼ es Hausdorff.

Teorema 1.5.6 Sea ∼ una relacion de equivalencia abierta sobre un espacio topologico X. SiB = Bα es una base para X entonces π (Bα) es una base para X/∼.

[Dem.] Como ∼ es abierta entonces π (Bα) es una coleccion de abiertos en X/∼.Sea W un abierto de X/∼ y [x] ∈ W, como π es continua π−1 (W) es abierto en Xentonces existe Bα ∈ B tal que

x ∈ Bα ⊆ π−1 (W)

entonces

[x] = π (x) ∈ π (Bα) ⊆W

y por lo tanto π (Bα) es una base para X/∼.

Corolario 1.5.7 Si ∼ una relacion de equivalencia abierta sobre un espacio topologico X se-gundo contable entonces X/∼ es segundo contable.

1.5.8 [Ejemplo: El espacio proyectivo real] Sobre Rn+1 \ 0 se define la siguienterelacion

x ∼ y si y solo si y = tx para algun t real no nulo,

∼ es una relacion de equivalencia, es reflexiva pues x = 1x, es simetrica ya que six = ty entonces t−1x = y, y es transitiva pues si y = tx y z = qy entonces z = qtx.

Al cociente Rn+1 \ 0 /∼ = RPn se le conoce como el espacio proyectivo real,ademas es una variedad suave de dimension n.

Sea U un abierto de Rn+1 \ 0, π (U) es abierto en RPn si y solo si π−1 (π (U)) esabierto en Rn+1 \ 0

π−1 (π (U)) =⋃

x∈U[x] =

⋃t∈R\0

tU

Como multiplicar por un real no nulo es un homeomorfismo sobre Rn+1 \ 0 entoncesel conjunto tU es abierto para todo t entonces π (U) es abierto en RPn. Por lo tanto ∼es abierta y por corolario (1.5.7) RPn es segundo contable.


Sean S = Rn+1 \ 0 y R = (x, y) ∈ S× S | y = tx t ∈ R \ 0, R se puede ca-racterizar por las matrices (n + 1)× 2 de la forma [x y] con x, y ∈ S tal que su rangosea menor o igual a 1, o equivalentemente que todos los menores 2× 2 sean nulos. Rresulta ser el conjunto nulo de una coleccion finita de polinomios entonces R es cerradoen S× S. Como ∼ es abierta entonces por teorema (1.5.5) RPn es Hausdorff.

Sean Ui := [a0, . . . , an] | ai 6= 0 y

φi : Ui → Rn

[a0, . . . , an] 7→(

a0

ai, . . . ,

ai

ai, . . . ,

an

ai

)(Ui, φi) es una carta de RPn pues φi es biyectiva, continua y posee inversa continuadada por

φ−1i : Rn → Ui

(b1, . . . , bn) 7→ [b1, . . . , bi, 1, bi+1, . . . , bn]

y por tanto φi es un homeomorfismo, de donde RPn resulta ser localmente euclıdeo dedimension n.

Para que RPn sea un variedad suave solo falta ver que las funciones de transicionsean suaves. En U0 ∩U1, a0 y a1 son distintos de cero y ademas

[a0, . . . , an]φ0

φ1(

a1a0

, a2a0

, . . . , ana0

) (a0a1

, a2a1

, . . . , ana1

)Si las coordenadas para U0 son x1, . . . , xn y para U1 son y1, . . . , yn entonces

xi =aia0

i = 1, . . . , ny1 = a0

a1, yi =

aia1

i = 2, . . . , n

por tanto en U0 ∩U1

y1 = 1x1

yi =xix1

i = 2, . . . , n

es decir

φ1 φ−10 (x) =

(1x1

, x2x1

, x3x1

, . . . , xnx1

)esta funcion es suave ya que x1 6= 0 en φ0 (U0 ∩U1), analogamente se tiene que φi φ−1

jes suave y por lo tanto (Ui, φi)i es un atlas suave para RPn.


1.6 El Espacio Tangente Sobre Una Variedad

En Rn el espacio tangente es posible verlo como vectores centrados en un punto o comouna derivacion puntual. Ambas formas son equivalentes y se pueden generalizar parahablar del espacio tangente sobre una variedad, sin embargo si se ve como vectorescentrados en un punto pueden existir dos cartas no disyuntas, donde el conjunto devectores sobre una carta puede diferir respecto a la otra y la manera de identificarlosno resulta muy natural. Sin embargo al verlo como derivaciones puntuales existe unamanera bastante sencilla y natural de hacer la identificacion.

1.6.1 [Definicion] Dada una variedad M y un punto p ∈ M, una derivacion puntuales un operador lineal D : C∞ (M)→ R tal que cumpla la regla de Leibnitz

D ( f g) (p) = ((D f ) g) (p) + ( f (D (g))) (p)

Un vector tangente en un punto p de una variedad M es una derivacion puntual dep, los vectores tangentes en p forman un espacio vectorial Tp (M) llamado el espaciotangente de M en p.

1.6.2 [Ejemplo: Derivadas parciales] Por la definicion (1.4.7) dada una carta(U , α) = (U , x1, . . . , xn) de una variedad M y una funcion suave f de M en R, laderivada parcial de f en p es

∂ f∂xi

(p) =∂( f α−1)

∂ri(α (p))

∂/∂xi|p es una derivacion puntual pues es la derivada parcial de una funcion suavede Rn en R que es un operador lineal y cumple la regla de Leibnitz y por tanto es unvector tangente en p.

1.6.3 [Definicion] Sea F : N → M una funcion suave entre variedades. En cada puntop ∈ N, F induce un operador lineal entre espacios tangentes llamado el diferencial deF en p

F∗ : Tp(N)→ TF(p)(M)

si Xp ∈ Tp(N) entonces F∗(Xp)

es un vector tangente de TF(p)(M) definido por

Xp 7→ F∗(Xp)( f ) = Xp ( f F) ∈ R para f ∈ C∞ (M)

Es claro que F∗(Xp)

es una derivacion en F (p) y ademas F∗ es un operador lineal.

Proposicion 1.6.4 Sean x1, . . . , xn las coordenadas usuales de Rn y p ∈ Rn. Entonces∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p

forma una base para Tp(R

n)


[Dem.] Sea v una derivacion en p y f ∈ C∞(M). Sea V una vecindad de p lo sufi-cientemente pequena tal que aplique el Teorema de Taylor con residuo para f , entoncesexisten gi(x) ∈ C∞(V) tal que

f (x) = f (p) + ∑(xi − pi)gi(x), gi(p) = ∂ f∂xi

(p)

Aplicando v en ambos lados de la igualdad y teniendo en cuenta que v es lineal ycumple Leibnitz se obtiene

v( f (x)) = v( f (p)) + ∑ v((xi − pi))gi(x) + ∑(xi − pi)v(gi(x))

= ∑ v(xi)gi(x) + ∑(xi − pi)v(gi(x))

Evaluando en p

v( f (p)) = ∑ v(xi)gi(p) = ∑ v(xi)∂ f∂xi

(p)

De donde se concluye que

∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p

forma una base para Tp(Rn)

1.6.5 [Ejemplo: Matriz jacobiana] Sea F : Rn → Rm una funcion suave y p ∈ Rn.Sean x1, . . . , xn las coordenadas usuales de Rn y y1, . . . , ym las de Rm. Los vectores tan-gentes ∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p y ∂/∂y1|F(p) , . . . , ∂/∂ym|F(p) forman una base para Tp(R

n)

y para TF(p)(Rm) respectivamente. El operador lineal F∗ : Tp(R

n) → TF(p)(Rm) esta

representado por la matriz[

aij

]relativa a las bases

F∗ ( ∂∂xi|p) = ∑

kak

j∂

∂yk|F(p) ak

j ∈ R

Al evaluar yi a ambos lados de la expresion se tiene que

F∗ ( ∂∂xj|p yi) =

∂∂xj

(yi F) (p) =∂Fi∂xj

(p)

∑k

akj

∂∂yk|F(p) yi = ∑

kak

j δik = ai

j

Fi = yi F es la i-esima componente de F. De la igualdad se concluye que F∗ se re-presenta por la matriz

[∂Fi/∂xj (p)

]que es precisamente la matriz Jacobiana de F en p.

Por tanto el diferencial de una funcion suave entre variedades generaliza la derivadade una funcion suave entre espacios Euclideanos.

Teorema 1.6.6 (Regla de la cadena) Si F : N → M y G : M → P son funciones suaves entrevariedades y sea p ∈ N entonces (G F)∗,p = G∗,F(p) F∗,p

[Dem.] Como F y G son funciones suaves entre variedades, los diferenciales de Fen p y de G en F(p) son operadores lineales


Tp NF∗,p−→ TF(p)M

G∗,F(p)−→ TG(F(p))P

Sea Xp ∈ Tp N y f una funcion suave en G(F(p)) ∈ P, como F∗(Xp) ∈ TF(p) M entonces

(G∗(F∗(Xp)))( f ) = (F∗(Xp))( f G) = Xp( f G F)= Xp( f (G F)) = ((G F)∗(Xp))( f )

Observacion †† 1.6.7 El diferencial de la funcion identidad idM : M→ M en cualquierpunto p ∈ M es el operador identidad idTp(M)

: Tp(M)→ Tp(M) ya que

(idM)∗(Xp)( f ) = Xp( f idM) = Xp( f )

para todo Xp ∈ Tp(M) y f ∈ C∞(M).

Corolario 1.6.8 Si F : N → M es un difeomorfismo entre variedades y p ∈ N, entonces sudiferencial es un isomorfismo entre espacios vectoriales.

[Dem.] Como F es un difeomorfismo entonces F posee inversa diferenciableG : M → N tal que G F = idN y F G = idM entonces por regla de la cadena setiene que

(G F)∗ = G∗ F∗ = (idN)∗ = idTp(N)

(F G)∗ = F∗ G∗ = (idM)∗ = idTF(p)(M)

entonces G∗ y F∗ son isomorfismos.

Corolario 1.6.9 Si un abierto U de Rn es difeomorfo a un abierto V de Rm entonces n = m

[Dem.] Sean F : U → V un difeomorfismo y p ∈ U. Por corolario (1.6.8)F∗ : Tp(U) → TF(p)(V) es un isomorfismo, como Tp(U) ∼= Rn y TF(p)(V) ∼= Rm

entonces n = m.

Proposicion 1.6.10 Sea (U , α) = (U , x1, . . . , xn) una carta alrededor de p un punto de unavariedad M entonces

α∗ ( ∂∂xi|p) = ∂

∂ri|

α(p)

donde r1, . . . , rn son las coordenadas usuales de Rn. Ademas ∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p es una basepara Tp(M).

[Dem.] Sea f ∈ C∞(Rn)


α∗ ( ∂∂xi|p) ( f ) = ∂

∂xi( f α) (p) = ∂

∂ri

(f α α−1) (α(p)) = ∂

∂rif (α(p))

α : U → Rn es un difeomorfismo en su imagen entonces por corolario (1.6.8)α∗ : Tp(M)→ T

α(p)(Rn) es un isomorfismo entre espacios vectoriales. Como α∗ envıa a

∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p en ∂/∂r1|α(p) , . . . , ∂/∂rn|α(p) que es una base para el espacio tan-gente de Rn entonces ∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p es una base para Tp(M) pues un isomor-fismo entre espacios vectoriales envıa bases en bases.

Proposicion 1.6.11 (Matriz de transicion para vectores coordenados) Sean (U , x1, . . . , xn) y(V , y1, . . . , yn) dos cartas coordenadas de una variedad M. Entonces en U ∩V

∂∂xj

= ∑i

∂yi∂xj

∂∂yi

[Dem.] Para todo p ∈ U∩V, los conjuntos ∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p y ∂/∂y1|p, . . . , ∂/∂yn|pson bases para el espacio tangente Tp(M), entonces existe

[ai

j(p)]

una matriz de numerosreales tal que en U ∩V

∂∂xj

= ∑k

akj

∂∂yk

Evaluando yi en ambos lados de la igualdad

∂yi∂xj

= ∑k

akj

∂yi∂yk

= ∑k

akj δi

k = aij

Proposicion 1.6.12 (Forma local del diferencial) Sean F : N → M una funcion suave entrevariedades, p ∈ N, (U , x1, . . . , xn) y (V , y1, . . . , yn) cartas coordenadas alrededor de p y deF(p) respectivamente. Respecto a las bases ∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p de Tp(N) y∂/∂y1|F(p) , . . . , ∂/∂yn|F(p) de TF(p)(M), el diferencial de F esta representado por la matriz[∂Fi/∂xj (p)

], donde Fi = yi F es la i-esima componente de F.

[Dem.] Por proposicion (1.6.10) ∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p es base de Tp(N) y∂/∂y1|F(p) , . . . , ∂/∂yn|F(p) es base de TF(p)(M), entonces F∗ esta completamente deter-minado por los ai

j tal que

F∗ ( ∂∂xi|p) = ∑

kak

j∂

∂xi|F(p)

Evaluando yi en ambos lados de la igualdad

aij = ∑

kak

j∂

∂yk|F(p) yi = F∗ ( ∂

∂xj|p yi) =

∂∂xj

(yi F) (p) =∂Fi∂xj

(p)


1.7 Particiones de la Unidad

La existencia de particiones suaves de la unidad es una de las herramientas tecnicasmas importantes en la teorıa de las variedades suaves. La existencia se garantizarapara cualquier variedad. Y ademas las particiones de la unidad permitiran extender lanocion de diferenciacion e integracion global sobre variedades suaves.

1.7.1 [Definicion] El soporte de una funcion f de una vaierdad M en R es la adheren-cia del conjunto donde f no se anula, es decir,

Sop( f ) := p ∈ M| f (p) 6= 0

1.7.2 [Definicion] Sean M una variedad, q ∈ M y U una vecindad de q. Una funcionchichon en q soportada en U es una funcion continua f : M → [0, 1] tal que vale 1 enuna vecindad de q y Sop( f ) ⊆ U.

Proposicion 1.7.3 Dado un punto q ∈ Rn, existe una funcion chichon suave en q para Rn

[Dem.] Sea f una funcion suave definida por

f (t) =

e−1/t Si t > 00 Si t ≤ 0

Figura 1.7: Grafica f (t)

Sea

g(t) =f (t)

f (t)+ f (1−t)

f (t) + f (1− t) 6= 0 para todo t, ya que si t > 0, f (t) > 0 entonces f (t) + f (1− t) ≥f (t) > 0. Si t ≤ 0, 1 − t ≥ 1 y por lo tanto f (t) + f (1 − t) ≥ f (1 − t) > 0. Estoprueba que g esta definida para todo t, como es cociente de dos funciones suaves yel denominador no se anula entonces g(t) es suave para todo t. Ademas para t ≤ 0,f (t) = 0 y f (1− t) > 0 entonces g(t) ≡ 0, para t ≥ 1, 1− t ≤ 0 y f (1− t) = 0 entoncesg(t) ≡ 1. Por tanto g es una funcion suave con grafica


Figura 1.8: Grafica g(t)

Dados a < b reales y haciendo un cambio de variable tal que

x 7→ x−a2

b2−a2

Sea

h(x) = g(

x−a2

b2−a2

)h : R→ [0, 1] es una funcion suave tal que

h(x) =

0 Si x ≤ a2

1 Si x ≥ b2

Figura 1.9: Grafica h(x)

Reemplazando x por x2, k(x) = h(x2) es una funcion simetrica con respecto a x.

Figura 1.10: Grafica k(x)

Por ultimo sea


ρ(x) = 1− k(x) = 1− g(

x2−a2

b2−a2

)ρ es una funcion chichon suave en 0 para R. Para cualquier q ∈ R, ρ(x − q) es unafuncion chichon suave en q. Para extender ρ a una funcion chichon suave en q para Rn

tal que valga 1 en la bola cerrada B(q, a) y 0 fuera de la bola cerrada B(q, b), sea

σ(x− q) = ρ(|x− q|) = 1− g(|x−q|2−a2

b2−a2

)

Proposicion 1.7.4 Sean M una variedad suave y U un abierto de M. Entonces dado q ∈ Uexiste una funcion chichon suave en q soportada en U.

[Dem.] Sea (U, α) una carta de M centrada en q, es decir, α(q) = 0. Entoncessean a < b reales tales que B(0, a) y B(0, b) esten totalmente contenidas en α(U). Seaσ(x) una funcion chichon suave en α(q) = 0 para Rn tal que valga 1 en la bola cer-rada B(0, a) y 0 fuera de la bola cerrada B(0, b). Ahora σ α es una funcion chichonsuave sobre q soportada en U pues α es un homeomorfismo y por tanto α−1(B(0, a)) yα−1(B(0, b)) estan totalmente contenidos en U y σ α vale 1 en α−1(B(0, a)) y 0 fuerade α−1(B(0, b)).

Figura 1.11: Funcion chichon

Proposicion 1.7.5 (Extension de una funcion suave) Sea f una funcion suave definida sobreuna vecindad U de q en una variedad suave M. Entonces existe una funcion f definida en todoM que coincide con f en una vecindad de q.

[Dem.] Sea ρ una funcion chichon suave en q soportada en U tal que sea identica-mente 1 en una vecindad V de q. Entonces

f (x) =

ρ(x) f (x) Si x ∈ U0 Si x /∈ U


Como f es producto de dos funciones suaves en U y como el soporte de ρ esta con-tenido en U y fuera de U f esta definida como una constante entonces f es una funcionsuave en todo M. Finalmente como ρ ≡ 1 en V entonces f coincide con f en V.

1.7.6 [Definicion] Una particion de la unidad C∞ de una variedad M es una coleccionde funciones C∞ ραα∈A tal que

(i) La coleccion de soportes Sop(ρα)α∈A es localmente finita, es decir, para todoq ∈ M existe una vecindad que solo interseca finitos soportes.

(ii) ∑α∈A

ρα = 1

Dado un cubrimiento abierto Uαα∈A de M, se dice que ραα∈A es subordinada alcubrimiento si

Sop(ρα) ⊆ Uα ∀α ∈ A

Lema 1.7.7 Si ρ1, . . . , ρm son funciones de valor real en una variedad M entonces

Sop

(m

∑i=1

ρi

)⊆

m⋃i

Sop(ρi)

[Dem.] Sea x ∈ Sop

(m

∑i=1

ρi

)entonces

(m

∑i=1

ρi

)(x) 6= 0, es decir,

ρ1(x) + ρ2(x) + · · · + ρm(x) 6= 0 entonces existe al menos un i ∈ 1, . . . , m para el

cual ρi(x) 6= 0 y por tanto x ∈ Sop(ρi) ⊆m⋃i

Sop(ρi).

Proposicion 1.7.8 Sea M una variedad compacta y Uαα∈A un cubrimiento abierto de M.Entonces existe una particion de la unidad C∞ ραα∈A subordinada a Uαα∈A

[Dem.] Sea Uαα∈A un cubrimiento abierto de M, para todo q ∈ M existe α ∈ A talque q ∈ Uα, entonces sea ψq una funcion chichon suave para q soportada en Uα. Comoψq(q) > 0 entonces existe Wq una vecindad de q donde ψq(x) > 0 para todo x en Wq.Por la compacidad de M el cubrimiento

Wq|q ∈ M

posee un subcubrimiento finito

Wq1 , . . . , Wqm

. Sean ψq1 , . . . , ψqm las respectivas funciones chichon. Entonces sea

ψ := ∑ ψqi

ψ(x) > 0 para todo x ∈ M pues x ∈Wqi para algun i. Sea

φi :=ψqiψ


Claramente ∑ φi = 1, ademas φi 6= 0 si y solo si ψqi 6= 0, es decir, Sop (φi) = Sop(ψqi

)⊆

Uα para algun α ∈ A. La familia de soportes

Sop(ψqi

)i es localmente finita pues

es finita entonces φii es una particion de la unidad donde para cada i se tiene queSop (φi) ⊆ Uα para algun α ∈ A. Sea τ una funcion tal que para cada i ∈ 1, . . . , mτ(i) ∈ A y Sop (φi) ⊆ Uτ(i). Para todo α ∈ A se define

ρα := ∑τ(i)=α

φi

Si para algun α ∈ A no existe tal i entonces ρα := 0. Entonces

∑ ρα = ∑α∈A

∑τ(i)=α

φi =m

∑i=1

φi = 1

Y ademas por Lema (1.7.7)

Sop(ρα) ⊆⋃

τ(i)=α

Sop (φi) ⊆ Uα

Entonces ραα∈A es una particion de la unidad C∞ subordinada a Uαα∈A

Teorema 1.7.9 (Existencia de una particion de la unidad C∞). Sea Uαα∈A un cubrimientoabierto de una variedad M, entonces

(i) existe una particion de la unidad C∞ φk∞k=1

con soporte compacto tal que para cada k,Sop(φk) ⊆ Uα para algun α ∈ A

(ii) Si no es necesaria la condicion de soporte compacto entonces existe una particion de launidad C∞ ραα∈A subordinada a Uαα∈A.

Para la prueba de este teorema consultar [3].

Capıtulo 2

Formas Diferenciales e IntegracionSobre Variedades

Facts do not speak.Henri Poincare.

En el estudio de las variedades suaves las formas diferenciales resultan ser de granutilidad ya que no solo generalizan el operador integracion si no que ademas se con-vierten, por ası decirlo, en el dual de los espacios vectoriales con una propiedad so-bresaliente frente a estos, que es la posibilidad de ”halarlas” de una variedad a otrapor medio de funciones suaves. Ademas las formas diferenciales resultan ser de granutilidad ya que permiten determinar si una variedad es orientable o no.

Las ideas del calculo integral tambien pueden extenderse a las variedades suavesgracias a las formas diferenciables y la orientabilidad. Teoremas fundamentales delcalculo integral en varias variables, en particular el teorema de Green, el de la diver-gencia y el de Stokes se generalizan en un solo teorema llamado teorema de Stokes.

2.1 1-Formas Diferenciales

Dada M una variedad suave y p un punto en M. El espacio cotangente de M en pnotado por T∗p (M) es el espacio dual del espacio tangente Tp(M). Un elemento deT∗p (M) es llamado covector en p que resulta ser un funcional lineal

ωp : Tp(M)→ R

Un campo covectorial, una 1-forma diferecial o simplemente una 1-forma en M, esuna funcion que asigna a cada punto p de M un covector en p. En este sentido resultaser el dual de un campo vectorial.

23

CAPITULO 2. FORMAS DIFERENCIALES E INTEGRACION SOBRE VARIEDADES24

2.1.1 [Definicion] Sea f ∈ C∞(M), su diferencial es la 1-forma d f en M tal que paracualquier p ∈ M y Xp ∈ Tp(M)

(d f )p(Xp) = Xp( f )

No existe ninguna ambiguedad entre la definicion (1.6.3) de diferencial y esta, ya quef∗(Xp) ∈ Tf (p)(R), entonces existe a ∈ R tal que

f∗(Xp) = a ∂∂x | f (p)

Aplicando a ambos lados de la ecuacion x

a = f∗(Xp)(x) = Xp(x f ) = Xp( f ) = (d f )p(Xp)

entonces

f∗(Xp) = (d f )p(Xp)∂

∂x | f (p)

Haciendo la identificacion canonica entre el espacio tangente Tf (p)(R) y R, f∗ resultaser lo mismo que d f . Por esta razon no existe ambiguedad.

Proposicion 2.1.2 Localmente los covectores (dx1)p, . . . , (dxn)p forman una base para el es-pacio contangente T∗p (M) dual a la base

∂/∂x1|p, . . . , ∂/∂xn|p

para el espacio tangente

Tp(M).

[Dem.] Sea (U , x1, . . . , xn) una carta coordenada de una variedad M. Entonces encada p ∈ U por definicion,

(dxi)p( ∂∂xj|p) =

∂∂xj|p xi = δi

j

Proposicion 2.1.3 Localmente la 1-forma d f de una funcion suave f es de la forma

d f = ∑∂ f∂xi

dxi

[Dem.] Sea (U , x1, . . . , xn) una carta coordenada de M. Como(dx1)p, . . . , (dxn)p

es base para T∗p (M) entonces

d f = ∑ aidxi

Aplicando ∂/∂xj en ambos lados de la ecuacion

aj = d f ( ∂∂xj

) =∂ f∂xj


Entonces

d f = ∑∂ f∂xi

dxi

2.1.4 [Definicion] Una 1-forma ω en una variedad M es C∞ si para todo p ∈ M existeuna carta (U , x1, . . . , xn) alrededor de p tal que ω = ∑ aidxi y las funciones ai son C∞

en U.

2.1.5 [Definicion] Sea F : M → N una funcion suave entre variedades suaves. Encada punto p ∈ M, F induce un operador lineal entre espacios cotangentes llamado elcodiferencial de F en p

F∗ : T∗F(p)

(N)→ T∗p (M)

Mientras un campo vectorial sobre M en general no puede ser ”empujado” a N, cadacampo covectorial de N si puede ser ”halado” a M. Si ω es una 1-forma en N se definesu pullback F∗(ω) como la 1-forma en M dada por

F∗(ω)p(Xp) = ωF(p)(F∗(Xp))

para algun p ∈ M y Xp ∈ Tp(M).Cabe notar que (F∗(ω))p es simplemente la imagen del covector ωF(p) por el codiferen-cial F∗.

2.2 k-Formas Diferenciales

Un k-tensor sobre un espacio vectorial V es una funcion k-lineal

ω : V × · · · ×V → R

A ω se le dice k-tensor alternante si para cualquier permutacion σ ∈ Sk

ω(vσ(1), . . . , vσ(k)) = (sgn(σ))ω(v1, . . . , vk)

Un k-tensor alternante en V es tambien llamado un k-covector. Sea Ak(V) el espaciovectorial de los k-covectores en V. Si α1, . . . αn es una base para los covectores de Ventonces una base para Ak(V) es

αi1 ∧ · · · ∧ αik 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n


donde ∧ se le conoce como producto cuna. Dados v1, . . . , vk vectores en V entonces

α1 ∧ · · · ∧ αk(v1, . . . , vk) = ∑σ∈Sk

sgn(σ)αi1(vσ(1)) · · · αik(vσ(k))

= det[αi(vj)

]Por la definicion ∧ resulta anticonmutativo, es decir, αi ∧ αk = −αk ∧ αi de dondese concluye que αi ∧ αi = 0. Para ver una construccion detallada de los k-tensores yk-covectores en espacios vectoriales consultar [5].

Sea M una variedad y p un punto en M, aplicando la construccion de k-covectorespara el espacio tangente Tp(M), Ak(Tp(M)) notado usualmente como

∧k(Tp(M)) esel espacio vectorial de todos los k-tensores alternantes o k-covectores del espacio tan-gente. Un campo covectorial, una k-forma diferecial o simplemente una k-forma enM, es una funcion que asigna a cada punto p de M un k-covector ωp ∈

∧k(Tp(M)). SiM es de dimension n entonces una n-forma es tambien llamada forma tope.

Sea (U , x1, . . . , xn) una carta coordenada de M, dado p ∈ U por proposicion (2.1.2)(dx1)p, . . . , (dxn)p

es base para T∗p (M) entonces una base para

∧k(Tp(M)) es

dxI = (dxi1)p ∧ · · · ∧ (dxik)p 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n

entonces localmente una k-forma en U es de la forma

ω = ∑ aIdxI

donde cada aI es una funcion de U en R.

2.2.1 [Definicion] Una k-forma ω en una variedad M es C∞ si para todo p ∈ Mexiste una carta coordenada (U , x1, . . . , xn) alrededor de p tal que ω = ∑ aIdxI y lasfunciones aI son todas C∞.

Proposicion 2.2.2 Sea τ una forma diferencial C∞ sobre un abierto U de una variedad M.Para cualquier p ∈ M, existe una forma global C∞ τ en M que coincide con τ en una vecindadde p en U.

[Dem.] La demostracion es analoga a la demostracion de la proposicion (1.7.5).

Observacion †† 2.2.3 Dado Uαα∈A un cubrimiento abierto de M y una particion dela unidad C∞ ραα∈A subordinada a Uαα∈A entonces una k-forma global ω en M sepuede ver como

ω = ∑ ραωα

El espacio vectorial de todas las k-formas C∞ de M se denota como Ωk(M), ademas

Ω0(M) = C∞(M). Se denota como Ω

k

c (M) al subespacio de Ωk(M) formado por todas

las k-formas C∞ de M con soporte compacto.


2.2.4 [Definicion] Sea F : M→ N una funcion suave entre variedades suaves. Para ωuna k-forma en N se define su pullback F∗(ω) una k-forma en M como

F∗(ω)p(v1, . . . , vk) = ωF(p)(F∗v1, . . . , F∗vk)

donde p ∈ M y v1, . . . , vk ∈ Tp(M), en este sentido tambien se puede ver como unacomposicion

Tp(M)× · · · × Tp(M)F∗−→ TF(p)(N)× · · · × TF(p)(N)

ω−→ R

Observacion †† 2.2.5 Por la forma en que se define el pullback este resulta ser unoperador R-lineal, es decir, si ω y τ son k-formas en N y a ∈ R entonces

F∗(aω + τ) = aF∗(ω) + F∗(τ)

Proposicion 2.2.6 Si ω es una k-forma C∞ y τ es una p-forma C∞ en M entonces ω ∧ τ esuna (k + p)-forma C∞ en M.

[Dem.] Sea (U , x1, . . . , xn) una carta en M. Entonces en U se tiene que,

ω = ∑ aIdxI τ = ∑ bJdxJ

donde aI y bJ son funciones C∞ en U.

ω ∧ τ = (∑ aIdxI) ∧ (∑ bJdxJ) = ∑ aIbIdxI ∧ dxJ

donde dxI ∧ dxJ = 0 si I ∩ J 6= φ, de lo contrario dxI ∧ dxJ = dxK donde K = I ∪ Jentonces

ω ∧ τ = ±∑K

(∑

K=I∪J

aIbI

)dxK

como aI y bJ son funciones C∞ entonces aIbJ son funciones C∞ entonces ω ∧ τ es una(k + p)-forma C∞.

Observacion †† 2.2.7 Por la definicion de pullback y teniendo en cuenta que sobre unespacio vectorial dados ω ∈ Ak(V) y τ ∈ Al(V) se cumple que

ω ∧ τ(v1, . . . , vk) = ∑σ∈Sk+l

sgn(σ)ω(vσ(1), . . . , vσ(k))τ(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l))

entonces dada F : M → N una funcion suave entre variedades y ω una k-forma y τuna p-forma de N entonces

F∗(ω ∧ τ) = F∗(ω) ∧ F∗(τ)


2.2.8 [Definicion] El espacio vectorial de todas las formas diferenciales C∞ sobre unvariedad M de dimension n se define como la suma directa

Ω∗(M) =

n⊕k=0

Ωk(M)

lo que significa que cada elemento de Ω∗(M) se escribe de manera unica como

n

∑i=1

ωki ,

donde ωki ∈ Ωki (M). Gracias al producto cuna y la proposicion (2.2.5) Ω

∗(M) resulta

ser un algebra graduada. Ademas si F : M→ N es una funcion suave entre variedadespor las observaciones (2.2.4) y (2.2.6), el pullback F∗ : Ω

∗(N) → Ω

∗(M) resulta ser un

homomorfismo de algebras graduadas.

2.2.9 [Definicion] La derivada exterior sobre una variedad M es un operador R-lineal

d : Ωk(M)→ Ω

k+1(M)

tal que

(i) Si f ∈ Ω0(M), d( f ) coincide con el diferencial de f .

(ii) Si ω ∈ Ωk(M) entonces dada (U , x1, . . . , xn) una carta coordenada de M

d(ω) = d(∑ aIdxI) = ∑ d(aI)dxI = ∑ ∑j

∂aI∂xj

dxj ∧ dxI

pues aI ∈ C∞(M) = Ω0(M) entonces d(aI) coincide con el diferencial de aI .

Proposicion 2.2.10 La definicion de d(ω) es independiente a la carta escogida.

[Dem.] Sean (U , x1, . . . , xn) y (V , y1, . . . , yn) cartas coordenadas de M entoncesω = ∑ aIdxI en U y ω = ∑ bJdyJ en V entonces para cada punto en U ∩ V se cumpleque

∑ aIdxI = ∑ bJdyJ

aplicando d a ambos lados

d(∑ aIdxI) = d(∑ bJdyJ)

∑ d(aI)dxI = ∑ d(bJ)dyJ

como esta igualdad se cumple para cualquier punto de U ∩V entonces d(ω) esta biendefinido.


Teorema 2.2.11 Sea (U , x1, . . . , xn) una carta coordenada de M, ω ∈ Ωk(U) y τ ∈ Ω

p(U).

Entonces

(i) d2 = 0

(ii) d(ω ∧ τ) = d(ω) ∧ τ + (−1)kω ∧ d(τ)

(iii) Dada F : N → M una funcion suave entre variedades entonces

d(F∗(ω)) = F∗(d(ω))

[Dem.]

(i) Por la linealidad de d basta probarlo para ω = f dx1∧ · · · ∧ dxk ∈ Ωk(U), entonces

d(ω) = d( f )dx1 ∧ · · · ∧ dxk =n

∑i=1

∂ f∂xi

dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk

d2(ω) =n

∑j=1

n

∑i=1

∂2 f∂xj∂xi

dxj ∧ dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk

Como f ∈ C∞(U) entonces las derivadas parciales mixtas son iguales y ademasdxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj entonces d2 = 0.

(ii) Por la linealidad de d basta probarlo para ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxk = f dxK yτ = gdxi1 ∧ · · · ∧ dxip = gdxP donde K ∩ P 6= φ de lo contrario ω ∧ τ = 0,entonces

d(ω ∧ τ) = d( f gdxK ∧ dxP)

= d( f g)dxK ∧ dxP

= (d( f )g + f d(g))dxK ∧ dxP

= ∑∂ f∂xi

gdxi ∧ dxK ∧ dxL + ∑ f∂g∂xi

dxi ∧ dxK ∧ dxL

= ∑∂ f∂xi

dxi ∧ dxKgdxL + (−1)k ∑ f dxK∂g∂xi

gdxi ∧ dxL

= d(ω) ∧ τ + (−1)kω ∧ d(τ)

El (−1)k se debe a que dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj y dxi debe moverse k espacios paraquedar delante de dxK

(iii) Para k = 0, ω es una funcion h ∈ C∞(U). Sea p ∈ N y Xp ∈ Tp(N)

(d(F∗(h)))p(Xp) = Xp(F∗(h))

= Xp(h F)


y

(F∗(d(h)))p(Xp) = (d(h))F(p)(F∗(Xp))

= (F∗(Xp))(h)= Xp(h F)

entonces para k = 0, d(F∗(ω)) = F∗(d(ω)).Ahora para k 6= 0, por la linealidad de d basta probarlo para ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxk

F∗(ω) = F∗( f )F∗(dx1) ∧ · · · ∧ F∗(dxk)

= ( f F)d(F∗(x1)) ∧ · · · ∧ d(F∗(xk))

= ( f F)d(x1 F) ∧ · · · ∧ d(xk F)= ( f F)d(F1) ∧ · · · ∧ d(Fk)

Entoncesd(F∗(ω)) = d( f F)d(F1) ∧ · · · ∧ d(Fk)

Ahora

F∗(d(ω)) = F∗(∑ d( f )dx1 ∧ · · · ∧ dxk)

= ∑ F∗(d(aI))F∗(dx1) ∧ · · · ∧ F∗(dxk)

= ∑ d(F∗(aI))d(F∗(x1)) ∧ · · · ∧ d(F∗(xk))

= ∑ d( f F)d(F1) ∧ · · · ∧ d(Fk)

Por lo tantod(F∗(ω)) = F∗(d(ω))

Observacion †† 2.2.12 Dada una forma global ω en M

d(ω) = d(∑ ραωα)

= ∑ d(ραωα)

= ∑(d(ρα)ωα + ραd(ωα))

= ∑ ραd(ωα)

d(ρα) = 0 ya que en cada punto existe una vecindad donde ρα ≡ 1 y ademas como ωα

es una forma local entonces d(ωα) coincide con la definicion (2.2.9). Y por tanto d(ω)esta bien definida y cumple con las mismas propiedades de las formas locales teorema(2.2.11).


Proposicion 2.2.13 Sea (U , x1, . . . , xn) una carta coordenada de una variedad M y f1, . . . , fnfunciones suaves en U. Entonces

d f1 ∧ · · · ∧ d fn = det

[∂ fi

∂xj

]dx1 ∧ · · · ∧ dxn

[Dem.] Como fi es una funcion suave para todo i entonces su derivada exteriorcoincide con su diferencial,

d f1 ∧ · · · ∧ d fn =

(∑

∂ f1

∂xjdxj

)∧ · · · ∧

(∑

∂ fn

∂xjdxj

)

= ∑σ∈Sn

sgn(σ)

(∂ f1

∂xσ(1)

)· · ·(

∂ fn

∂xσ(n)

)dx1 ∧ · · · ∧ dxn

= det

[∂ fi

∂xj

]dx1 ∧ · · · ∧ dxn

La segunda igualdad se debe a la multilinealidad del producto cuna y a quedxi ∧ dxi = 0 para todo i.

2.3 Orientacion

La orientabilidad es una propiedad de las superficies en el espacio euclidiano que per-mite medir si es o no posible hacer una eleccion coherente del vector normal a la su-perficie en todos los puntos. Esta nocion se puede extender a las variedades en generalgracias al buen comportamiento local. Las formas diferenciales permitaran determinarsi una variedad es orientable o no.

2.3.1 [Definicion] Sea U = (Uα , α) un atlas de una variedad M. Se dice que U esorientado si todas las funciones de transicion α β−1 preservan orientacion, es decir,si el determinante de su matriz jacobiana tiene el mismo signo en todos los puntos deUα ∩Uβ. Y M se dice orientable si posee un atlas orientado.

Observacion †† 2.3.2 Manipulando las cartas de atlas orientado se puede lograr quelos determinantes de las matrices jocobianas de las funciones de transicion tengansigno positivo y ademas que sea identicamente 1.

Teorema 2.3.3 Una variedad suave M de dimension n es orientable si y solo si posee unan-forma global que no se anule en ninguna parte.


[Dem.] (⇒) Sea U = (U , xα

1 , . . . , xαn) un atlas orientado de M y sea ρα una

particion C∞ de la unidad subordinada a Uα. Se define

ω = ∑ ρdxα1 ∧ · · · ∧ dxα

n

Para todo p ∈ M, existe una vecindad abierta Up que intersecta solamente finitos so-portes de ρα. Entonces ω resulta ser una suma finita en Up y por tanto esta biendefinida y es C∞ en todo punto de M.Sea (U , x1, . . . , xn) una de las cartas alrededor de p en el atlas orientado, en Uα ∩U setiene por proposicion (2.2.13) que

dxα1 ∧ · · · ∧ dxα

n = det

[∂xα

i∂xj

]dx1 ∧ · · · ∧ dxn

donde el determinante es positivo pues el atlas es orientado. Entonces

ω = ∑ ρdxα1 ∧ · · · ∧ dxα

n = ∑ ραdet

[∂xα

i∂xj

]dx1 ∧ · · · ∧ dxn

Como ρα ≥ 0, el determinante es positivo y por lo menos para un α ρα(p) > 0, entoncesexiste λ > 0

ωp = λ(dx1 ∧ · · · ∧ dxn)p 6= 0

Como p es un punto arbitrario de M la n-forma ω no se anula en ninguna parte.

(⇐) Sea ω una n-forma global C∞ que no se anula en ninguna parte. Dado un atlasen M, la idea es usar ω para modificarlo hasta convertirlo en un atlas orientado. Sinperdida generalidad se asume que todos los abiertos del atlas son conexos. En unacarta (U , x1, . . . , xn) se tiene que

ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn f ∈ C∞(U)

Como ω no se anula en ninguna parte y f es continua, entonces f es positiva o negativaen todo U. Si f > 0 entonces la carta se deja igual de lo contrario se reemplaza lacarta por (U,−x1, x2, . . . , xn). Luego de revisar todas las cartas y reemplazarlas si esnecesario, entonces para toda carta (V , y1, . . . , yn)

ω = hdy1 ∧ · · · ∧ dyn h > 0

Este es un atlas orientado, pues si (U , x1, . . . , xn) y (V , y1, . . . , yn) son dos cartas en-tonces en U ∩V

ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn = hdy1 ∧ · · · ∧ dyn f , h > 0

Ademas por proposicion (2.2.13) f /h = det[∂yi/∂xj

]> 0 en U ∩ V, de donde M

resulta ser orientable.


2.3.4 [Ejemplo: S1 es orientable] Para encontrar una 1-forma global que no se anuleen ninguna parte de S1, se aplica a ambos lados de la ecuacion

x2 + y2 = 1

2xdx + 2ydy = 0

Sean Ux =(x, y) ∈ S1|x 6= 0

y Uy =

(x, y) ∈ S1|y 6= 0

entonces en Ux ∩Uy,

dyx

= −dxy

Se define la 1-forma ω en S1 por

f (x) =

dyx if (x, y) ∈ Ux;− dx

y if (x, y) ∈ Uy;

Como ambas formas coinciden en Ux ∩Uy entonces ω esta bien definida en S1 = Ux ∪Uy.Para ver que ω es C∞ y no se anula en ninguna parte, se definen las cartas

U+

x =(x, y) ∈ S1|x > 0

U−x =

(x, y) ∈ S1|x < 0

U

+

y =(x, y) ∈ S1|y > 0

U−y =

(x, y) ∈ S1|y < 0

En U

+

x , y es una coordenada local y por tanto dy es una base para T∗p (S1) en cada

p ∈ U+

x . Como ω = dy/x en U+

x , ω es C∞ y no se anula en ninguna parte de U+

x .Analogamente sucede con dy/x en U

−x y con −dx/y en U

+

y y U−y . Entonces ω es C∞ y

no se anula en ninguna parte de S1. Y por teorema (2.3.3) S1 es una variedad orientable.

2.4 Integracion Sobre Variedades

Sea R una caja cerrada en Rn. Sea f : R → R una funcion acotada, se dice que f esRiemann integrable si

∫R

f =∫

Rf , donde

∫R

f = SupP

∑ In fPj

( f )Vol(Pj)∫

R

f = In fP

∑ SupPj

( f )Vol(Pj)

y se denota por∫

Rf (x) |dx1 · · · dxn| donde x1, . . . , xn son las coordenadas usuales de

Rn.Existen varios criterios para determinar si una funcion es Riemann integrable como:


(i) (Teorema de Lebesgue) Una funcion acotada definida sobre un conjunto acotadoes Riemann integrable si y solo si el conjunto de discontinuidades tiene medidanula.

(ii) Una funcion continua definida sobre un abierto U es Riemann integrable en U sitiene soporte compacto.

(iii) Una funcion acotada definida sobre un abierto de volumen finito es Riemannintegrable.

Para las demostraciones de estos criterios consultar [2].

2.4.1 [Definicion] Sea ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn una n-forma C∞ en un abierto U ⊆ Rn.Si x1, . . . , xn son las coordenadas usuales, se define la integral de ω sobre U como laintegral de Riemann de f∫

U

ω =∫

U

f dx1 ∧ · · · ∧ dxn =∫

U

f |dx1 · · · dxn|

2.4.2 [Definicion] Sea M una variedad orientable de dimension n, U = (Uα, α)un atlas orientado de M. Sea (U, α) una carta del atlas. Si ω ∈ Ω

n

c (U), como α esuna difeomorfismo, entonces (α−1)∗(ω) es una n-forma con soporte compacto sobre elabierto α(U) ⊆ Rn. Se define la integral de ω en U como∫

U

ω =∫

α(U)

(α−1)∗(ω)

Observacion †† 2.4.3 Por la linealidad de la integral de Riemann se tiene que la inte-gral de n-formas con soporte compacto tambien es lineal.

Proposicion 2.4.4 La integral de ω esta bien definida.

[Dem.] Sean (U, α) y (U, β) dos cartas sobre el mismo abierto U, como M esorientable entonces α β−1 preserva orientacion, entonces∫

α(U)

(α−1)∗(ω) =∫

β(U)

∣∣Jαβ

∣∣ (α β−1)∗(α−1)∗(ω) =∫

β(U)

(α β−1)∗(α−1)∗(ω)

=∫

β(U)

(β−1)∗(ω)

es decir, la integral de ω esta bien definida.

Observacion †† 2.4.5 Como M es orientable entonces el determinante de la matriz ja-cobiana de α β−1 se puede considerar como 1, si no fuera orientable entonces cam-biarıa de signo y por tanto la integral no estarıa bien definida.


2.4.6 [Definicion] Sea ω ∈ Ωn

c (M). Dada una particion de la unidad C∞ ρα subor-dinada al cubrimiento abierto Uα se define la integral de ω sobre todo M como∫

M

ω = ∑α

∫Uα

ραω

Proposicion 2.4.7 La integral de una n-forma global con soporte compacto esta bien definida.

[Dem.] Primero en cada Uα, ραω es una suma finita y ademasSop(ραω) ⊆ Sop(ρα) ∩ Sop(ω) entonces ραω tiene soporte compacto en cada Uα ypor tanto es integrable.Ahora sean (Uα, α) y (V

β, β) dos atlas orientados de M y ρα y χ

β particiones

de la unidad subordinadas a Uα y Vβ respectivamente, entonces

∑α

∫Uα

ραω = ∑α

∫Uα

ρα ∑β

χβω = ∑

α

∑β

∫Uα

ραχβω

= ∑α

∑β

∫Uα∩V

β

ραχβω = ∑

β

∑α

∫Uα∩V

β

ραχβω

= ∑β

∑α

∫Vβ

ραχβω = ∑

β

∫Vβ

∑α

ραχβω

= ∑β

∫V

β

χβω

Las sumatorias se pueden intercambiar debido a su finitud, por tanto se concluye quela integral esta bien definida.

2.4.8 [Definicion] Una variedad suave M de dimension n tiene borde si todo puntop ∈ M tiene una vecindad homeomorfa a un abierto de

Hn := (x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn ≥ 0Proposicion 2.4.9 (Teorema de Stokes) Para toda (n− 1)-forma ω con soporte compacto enuna variedad orientable M de dimension n se tiene que∫

M

d(ω) =∫

∂M

ω

[Dem.] Suponiendo que se tiene el teorema para Rn (consultar [3]). Sea ρα unaparticion de la unidad subordinada a (Uα, α) un atlas de M, como cada Uα es difeo-morfo a Rn se tiene que∫

∂M

ω =∫

∂M∑ ραω = ∑

∫∂M

ραω = ∑∫

∂Uα

ραω

= ∑∫

Uα

d(ραω) = ∑∫

M

d(ραω) =∫

M

d(∑ ραω) =∫

M

d(ω)

Capıtulo 3

Complejo de De Rham

Mathematics is the art of giving the same name to different things.Henri Poincare.

En la clasificacion de espacios topologicos, los invariantes juegan uno de los ma-yores papeles. Gracias a las formas diferenciales se construye uno nuevo conocidocomo la cohomologıa de De Rham. Gracias a esto las variedades suaves ya no soloposeen propiedades topologicas sino que ademas se dotan con ciertas propiedadesalgebraicas.

3.1 Complejos Diferenciales

A la suma de directa de espacios vectoriales C =⊕k∈Z

Ck

se le conoce como complejo

diferencial si existen homomorfismos

· · · −−−→ Ck−1 dk−1−−−→ C

k dk−−−→ Ck+1 −−−→ · · ·

tal que dk+1 dk = 0 para todo k. A la coleccion dk se le denomina el diferencial delcomplejo.Un morfismo f : A → B entre dos complejos diferenciales es una familia de opera-dores lineales fk : Ak → Bk tales que conmuten con los diferenciales de los complejos,es decir, fk+1 dA = dB fk .El estudio de las propiedades de los complejos diferenciales constituye el comienzo deun area de las matematicas conocida como algebra homologica.

36

CAPITULO 3. COMPLEJO DE DE RHAM 37

Observacion †† 3.1.1 Para simplificar la notacion se omitıran los subındices y se es-cribira d2 = 0 en lugar de dk+1 dk = 0

3.1.2 [Definicion] La cohomologıa de un complejo diferencial C es la suma directaH(C) =

⊕k∈Z

Hk(C), donde

Hk(C) =

Ker(dk)

Im(dk−1)=

Zk(C)

Bk(C)

Un elemento de Ker(d) se le llama cociclo y a un elemento de Im(d) coborde.Dado un morfismo entre complejos diferenciales f : A → B con diferenciales d y d′

respectivamente, f induce un operador lineal en cohomologıas dado por

f ∗ : Hk(A)→ H

k(B)

[a] 7→ f ∗ [a] = [ f (a)]

El operador f ∗ esta bien definido pues envıa cociclos en cociclos y cobordes encobordes:

(i) Sea a ∈ Zk(A), como d′( f (a)) = f (d(a)) = 0 entonces f (a) ∈ Z

k(B)

(ii) Sea a ∈ Bk(A) entonces existe b ∈ A

k−1tal que

d(b) = a, f (a) = f (d(b)) = d′( f (b)) entonces f (a) ∈ Bk(B)

3.1.3 [Definicion] A una cadena de espacios vectoriales

· · · −−−→ Vi−1

fi−1−−−→ Vi

fi−−−→ Vi+1 −−−→ · · ·

se le denomina exacta si para todo i se tiene que Ker( fi) = Im( fi−1). Una cadena exactade la forma

0 −−−→ A −−−→ B −−−→ C −−−→ 0

donde A, B y C son complejos diferenciales se le denomina cadena exacta corta.

Lema 3.1.4 (Lema de la Serpiente) Dada una cadena exacta corta de complejos diferenciales

0 −−−→ Af−−−→ B

g−−−→ C −−−→ 0

donde f y g son morfismos entonces existe una cadena exacta larga de cohomologıa

· · · −−−→ Hk(A)

f ∗−−−→ Hk(B)

g∗−−−→ Hk(C) ∂∗−−−→ H

k+1(A) −−−→ · · ·


[Dem.] Sea c ∈ Ck

tal que dC(c) = 0, ∂∗ [c] se obtiene de la siguiente manera:

0 −−−→ Ak f−−−→ B

k g−−−→ Ck −−−→ 0

dA

y dB

y dC

y0 −−−→ A

k+1 f−−−→ Bk+1 g−−−→ C

k+1 −−−→ 0

por la sobreyectividad de g existe un elemento b ∈ Bk

tal que g(b) = c ademasg(dB(b)) = dC(g(b)) = dC(c) = 0, entonces por la exactitud de las filas dB(b) ∈Ker(g) = Im( f ) y por tanto existe a ∈ A

k+1tal que f (a) = dB(b), a es unico por la

inyectividad de f . Entonces se define ∂∗ [c] = [a].Para ver que d∗ esta bien definido y la demostracion del lema consultar [7].

Lema 3.1.5 (Lema de los cinco) Sea

M5

f5−−−→ M4

f4−−−→ M3

f3−−−→ M2

f2−−−→ M1

h5

y h4

y h3

y h2

y h1

yN5

g5−−−→ N4

g4−−−→ N3

g3−−−→ N2

g2−−−→ N1

un diagrama conmutativo de grupos abelianos y homomorfismos de grupos donde las filas sonexactas, si h5, h4, h2 y h1 son isomorfismos entonces h3 lo es.

[Dem.] Sea m3 ∈ M3 tal que h3(m3) = 0. Entonces h2( f3(m3)) = g3(h3(m3)) =0, luego f3(m3) = 0, luego existe un m4 ∈ M4 tal que f4(m4) = m3. Entoncesg4(h4(m4)) = h3( f4(m4)) = h3(m3) = 0, luego existe un n5 ∈ N5 tal que h4(m4) =g5(n5). Sea m5 ∈ M5 tal que n5 = h5(m5). Ası h4( f5(m5)) = h4(m4), luego f5(m5) = m4y se concluye que m3 = f4( f5(m5)) = 0. Esto prueba que h3 es inyectivo.Ahora sea n3 ∈ N3. Entonces existe m2 ∈ M2 tal que h2(m2) = g3(n3). Entoncesh1( f2(m2)) = g2(h2(m2)) = g2(g3(n3)) = 0, luego f2(m2) = 0. Por lo tanto existeun m3 ∈ M3 tal que f3(m3) = m2. Ahora, g3(n3 − h3(m3)) = 0, luego existe unn4 ∈ N4 tal que g4(n4) = n3 − h3(m3). Sea m4 ∈ M4 tal que h4(m4) = n4. Entoncesh3(m3 + f4(m4)) = h3(m3) + g4(n4) = n3. Entonces h3 es sobreyectivo y por tanto esun isomorfismo.

Proposicion 3.1.6 Dada una cadena exacta de espacios vectoriales de dimension finita

0d0→ A1

d1→ A2d2→ · · · dm−1→ Am

dm→ 0

Entoncesm

∑k=1

(−1)kdim(Ak) = 0.


[Dem.] Como la cadena es exacta entonces Ker(dk) = Im(dk−1) para todo 1 ≤ k ≤ mentonces usando el teorema de la dimension se tiene que

dim(A1) = dim(Im(d1)) + dim(Ker(d1))

dim(A1) = dim(Im(d1)) + dim(Im(d0))

dim(A1) = dim(Im(d1))



dim(Im(d2)) = dim(A2)− dim(A1)



dim(Im(d3)) = dim(A3)− dim(A2) + dim(A1)

...

dim(Im(dm−1)) =m−1

∑k=1

(−1)kdim(Ak)

dim(Am) = dim(Im(dm)) + dim(Ker(dm))

dim(Am) = 0 + dim(Im(dm−1))

0 = dim(Am)−m−1

∑k=1

(−1)kdim(Ak)

0 =m

∑k=1

(−1)kdim(Ak)

3.2 Complejo de De Rham

Dada una variedad M de dimension n la suma directa de espacios vectoriales Ω∗(M) =

n⊕k=0

Ωk(M) es un complejo diferencial conocido como el complejo de De Rham ya que

la derivada exterior

· · · d→ Ωk−1

(M)d→ Ω

k(M)

d→ Ωk+1

(M)d→ · · ·

es un operador lineal tal que d2 = 0.A partir de esto es claro que las propiedades de una variedad suave ya no solo depen-den de su topologıa, ademas se suman las propiedades algebraicas que hereda de su


complejo de De Rham.

3.2.1 [Definicion] La cohomologıa de De Rham es la suma directa H(M) =n⊕

k=0

Hk(M)

donde

Hk(M) =

Ker(d) ∩Ωk(M)

Im(d) ∩Ωk(M)

Teorema 3.2.2 (Sucesion de Mayer-Vietoris) Sea M una variedad de dimension n. Supongaseque M = U ∪V con U, V abiertos entonces la cadena exacta corta

0→ Ω∗(M)

σ→ Ω∗(U)⊕Ω

∗(V)

ς→ Ω∗(U ∩V)→ 0

induce una cadena exacta larga conocida como la sucesion de Mayer-Vietoris

· · · → Hk(M)→ H

k(U)⊕ H

k(V)→ H

k(U ∩V)

∂∗→ Hk+1

(M)→ · · ·

[Dem.] Primero se debe ver que

0→ Ω∗(M)

σ→ Ω∗(U)⊕Ω

∗(V)

ς→ Ω∗(U ∩V)→ 0

es exacta, donde σ es la restriccion y ς es la diferencia. La exactitud en σ es trivial pueses inyectiva. Ahora dada una particion de la unidad ρU , ρV subordinada a U, V

0→ Ω∗(M)

σ→ Ω∗(U)⊕Ω

∗(V)

ς→ Ω∗(U ∩V)→ 0

(ω, τ) 7→ ω− τ

(−ρV ω, ρU ω) 7→ ω

entonces ς resulta sobreyectiva. Como resulta ser una cadena exacta corta entonces porel Lema de la Serpiente (3.1.4) se induce una cadena exacta larga en cohomologıas

· · · → Hk(M)→ H

k(U)⊕ H

k(V)→ H

k(U ∩V)

∂∗→ Hk+1

(M)→ · · ·

Para ver explıcitamente el operador conectante ∂∗ se considera el siguiente diagrama

0 −−−→ Ωk(M)

σ−−−→ Ωk(U)⊕Ω

k(V)

ς−−−→ Ωk(U ∩V) −−−→ 0

d

y d

y d

y0 −−−→ Ω

k+1(M)

σ−−−→ Ωk+1

(U)⊕Ωk+1

(V)ς−−−→ Ω

k+1(U ∩V) −−−→ 0


Sea ω ∈ Ωk(U ∩ V) tal que d(ω) = 0. Por la exactitud de las filas existe ξ ∈ Ω

k(U)⊕

Ωk(V), que explıcitamente es de la forma ξ = (−ρV ω, ρU ω), por la conmutatividad

del diagrama y el hecho que d(ω) = 0 entonces d(ξ) = 0 en Ωk+1

(U ∩ V), es decir,−d(ρV ω) y d(ρU ω) coinciden en U ∩ V. Entonces −d(ρV ω) y d(ρU ω) juntas formanuna (k + 1)-forma global α en M y por el Lema de la Serpiente se tiene que ∂∗ [ω] = [α]entonces explıcitamente

∂∗ [ω] =

[−d(ρV ω)] en U[d(ρU ω)] en V

Proposicion 3.2.3 Si una variedad suave M posee r componentes conexas entonces

H0(M) = Rr

[Dem.] Como H0(M) = Z

0(M) entonces si f ∈ Z

0(M) se tiene que d( f ) = 0,

es decir, f es localmente constante y como M tiene r componentes conexas entoncesH

0(M) = Rr.

3.2.4 [Ejemplo: Cohomologıa de R] Como R es conexo entonces H0(R) = R y

ademas toda 1-forma f (x)dx es un ciclo ya que d( f (x)dx) = 0. Una 1-forma f (x)dxes un borde si y solo si existe una funcion g ∈ C∞(R) tal que f (x)dx = dg = g′(x)dxentonces g es simplemente una antiderivacion de f como por ejemplo

g(x) =∫ x

0f (t)dt

por lo tanto toda 1-forma es un borde entonces H1(R) = 0. Entonces

Hk(R) =

R si k = 00 en otro caso

Teorema 3.2.5 (Sucesion de Mayer-Vietoris con soporte compacto) Sea M una variedad dedimension n. Supongase que M = U ∪V con U, V abiertos entonces la cadena exacta corta

0← Ω∗

c (M)σ← Ω

∗

c (U)⊕Ω∗

c (V)δ← Ω

∗

c (U ∩V)← 0

induce una cadena exacta larga

· · · ← Hk+1

c (U ∩V)∂∗← H

k

c (M)← Hk

c (U)⊕ Hk

c (V)← Hk

c (U ∩V)← · · ·


[Dem.]Ω∗c (M)

σ←−−− Ω∗c (U)⊕Ω

∗c (V)

δ←−−− Ω∗c (U ∩V)

(−j∗ω, j∗ω)δ←−−− ω

ω + ησ←−−− (ω, η)

j∗ es la inclusion que extiende a U o a V cada forma de U ∩ V con el valor de 0 fuerade U ∩ V. La exactitud en δ es trivial pues es inyectiva. Ahora dada una particion dela unidad ρU , ρV subordinada a U, V. Sea ω ∈ Ω

∗c (M) entonces (ρU ω, ρV ω) es la

preimagen de ω. La forma ρU ω tiene soporte compacto pues Sop(ρU ω) ⊆ Sop(ρU) ∩Sop(ω) y como todo cerrado en un espacio compacto y Hausdorff es compacto. Y portanto σ es sobreyectiva. Entonces la cadena corta resulta ser exacta y por tanto induceuna cadena exacta larga en cohomologıas

· · · ← Hk+1

c (U ∩V)∂∗← H

k

c (M)← Hk

c (U)⊕ Hk

c (V)← Hk

c (U ∩V)← · · ·

3.2.6 [Ejemplo: Cohomologıa con soporte compacto de R] Las 0-formas que seanulan por d son las funciones constantes en cada componente conexa. R es conexo sinembargo no existe ninguna funcion constante con soporte compacto en R y por tanto

H0

c (R) = 0

Para calcular H1

c (R) sea el operador integracion∫R

: Ω1

c (R)→ R

claramente este operador es sobreyectivo y se anula en los bordes, es decir las 1-formasde la forma d( f ) con f ∈ Ω

0

c (R). Si el soporte de f esta contenido en el interior de [a, b]entonces ∫

R

∂ f∂x

dx =∫ b

a

∂ f∂x

dx = f (b)− f (a) = 0

Si g(x)dx ∈ Ker(∫

R) entonces la funcion

f (x) =∫ x

−∞g(u)du

tiene soporte compacto y d( f ) = g(x)dx entonces Ker(∫

R) son precisamente los bordes

entonces

H1

c (R) =Ω

1

c (R)

Ker(∫

R)= R


Por lo tanto

Hk

c (R) =


Capıtulo 4

Dualidad de Poincare

Geometry is not true, it is advantageous.Henri Poincare.

El producto de Poincare, el truco de Bredon, el lema de los cinco y la sucesion deMayer-Vietoris son las herramientas fundamentales para la demostracion de la Duali-dad de Poincare. La Dualidad se convierte en una de las herramientas mas utiles parael calculo de cohomologıas y por ende para la clasificacion de las variedades suaves.

Una de las herramientas mas utiles que existe para demostrar propiedades quecumpla una variedad es el llamado Truco de Bredon:

Teorema 4.0.7 (Truco de Bredon) Si P(U) es una proposicion sobre abiertos de una variedadsuave M de dimension n, que satisface

(i) P(U) es verdadera para un abierto convexo difeomorfo a un abierto de Rn

(ii) P(U), P(V), P(U ∩V)⇒ P(U ∪V)

(iii) Uα disyunta y P(Uα) para todo α⇒ P(∪Uα)

Entonces P(M) es verdadera.

[Dem.] Primero se probara para el caso cuando M es difeomorfa a un abierto deRn. Por (i) y (ii) y una induccion se tiene que P(U) es verdadera para la union finitade abiertos convexos.Sea f : M → [0 , ∞) una funcion propia, es decir, devuelve compactos en compactos,entonces sea An = f−1 [n, n + 1], como An es compacto entonces se puede cubrir poruna union finita Un de abiertos convexos contenidos en f−1

(n− 1

2 , n + 32

). Entonces

An ⊂ Un ⊂ f−1(

n− 12

, n +32

)44

CAPITULO 4. DUALIDAD DE POINCARE 45

ademas los conjuntos Uimpar son disyuntos y Upar tambien lo son.

Figura 4.1: Cubrimiento por cebollas

Como Un es la union finita de abiertos convexos, entonces P(Un) es verdadera paratodo n. De (iii) se deduce que para U =

⋃U2n y V =

⋃U2n+1 , P(U) y P(V) son

verdaderas. Como U ∩ V = (⋃

U2n) ∩(⋃

U2n+1

)=⋃(U2i∩U2j+1

) entonces resulta seruna union disyunta donde cada U2i∩U2j+1

es una union finita de abiertos convexos.Entonces P(U ∩V) es verdadera y por (ii) se tiene que P(U ∪V) es verdadera.Como ya se tiene que P(U) es verdadera para todo U difeomorfo a un abierto de Rn

entonces la prueba aplica para toda M y se muestra que P(M) es verdadera.

Lema 4.0.8 (Lema de Poincare)

Hk(Rn) =


[Dem.] Sean π la primera proyeccion y s la seccion cero y sus inducidas en coho-mologıa

π : Rn ×R→ Rn π(x, t) = xs : Rn → Rn ×R s(x) = (x, 0)

π∗

: Ω∗(Rn)→ Ω

∗(Rn ×R)

s∗

: Ω∗(Rn ×R)→ Ω

∗(Rn)

Como πs = idRn entonces (πs)

∗= s

∗π∗= id

Ω∗ (Rn), sin embargo sπ 6= id

Rn×Rentonces

(sπ)∗= π

∗s∗ 6= id

Ω∗ (Rn×R), por ejemplo π

∗s∗

envıa a la funcion f (x, t) en f (x, 0). Para

ver que π∗s∗

es la identidad en cohomologıa es suficiente encontrar un operador K enΩ∗(Rn ×R) tal que

id− π∗s∗= ±(dK± Kd)


pues (dK ± Kd) envıa ciclos en bordes y por tanto induce el operador nulo en coho-mologıa. Toda forma en Rn ×R es una unica combinacion lineal de los siguientes dostipos de formas:

(i) (π∗φ) f (x, t)

(ii) (π∗φ) f (x, t)dt

donde φ es una forma en Rn.Se define K : Ω

q(Rn ×R)→ Ω

q−1(Rn ×R) como

(i) (π∗φ) f (x, t) 7→ 0

(ii) (π∗φ) f (x, t)dt 7→ (π

∗φ)∫ t

0 f

Para simplificar la escritura se escribira ∂ f /∂x en vez de ∑ ∂ f /∂xi dxi y∫

g en vez de∫g(x, t)dt. Para las formas de tipo (i), sea ω = (π

∗φ) f (x, t) ∈ Ω

q(Rn ×R) entonces

(id− π∗s∗)(ω) = (π

∗φ) f (x, t)− (π

∗φ) f (x, 0) = (π

∗φ)( f (x, t)− f (x, 0))

(dK− Kd)(ω) = −Kd(ω) = −K((dπ

∗φ) f + (−1)

q(π∗φ)

(∂ f∂x

dx +∂ f∂t

dt))

= (−1)q+1

(π∗φ)∫ t

0

∂ f∂t

= (−1)q+1

(π∗φ)( f (x, t)− f (x, 0))

entonces(id− π

∗s∗)(ω) = (−1)

q+1(dK− Kd)(ω)

Ahora para las formas de tipo (ii), sea ω = (π∗φ) f (x, t)dt ∈ Ω

q(Rn ×R) entonces

(id− π∗s∗)(ω) = ω ya que s

∗(dt) = d(s

∗(t)) = d(0) = 0

d(ω) = (π∗d(φ)) f dt + (−1)

q(π∗φ)

(∂ f∂x

dt ∧ dx)

= (π∗d(φ)) f dt + (−1)

q+1(π∗φ)

(∂ f∂x

dx ∧ dt)

Kd(ω) = (π∗d(φ))

∫ t

0f + (−1)

q+1(π∗φ)

(∫ t

0

∂ f∂x

)dx

dK(ω) = (π∗d(φ))

∫ t

0f + (−1)

q+1(π∗φ)

((∫ t

0

∂ f∂x

)dx + f dt

)entonces

(id− π∗s∗)(ω) = (−1)

q+1(dK− Kd)(ω) = (−1)

q+1ω

por tanto se tiene que (id− π∗s∗) = (−1)

q+1(dK − Kd) en Ω

∗(Rn ×R), esto prueba

que π∗s∗

es la identidad en cohomologıa y que H∗(Rn ×R) y H

∗(Rn) son isomorfos,


entonces haciendo induccion sobre n y usando el ejemplo (3.2.4) se obtiene el lema dePoincare

Hk(Rn) = H

k(R) =


Corolario 4.0.9 Dada una variedad suave M entonces H∗(M×R) ' H

∗(M)

[Dem.] La prueba es analoga a la del lema de Poincare (4.0.8).

Lema 4.0.10 (Lema de Poincare con soporte compacto)

Hk

c (Rn) =

R si k = n0 en otro caso

[Dem.] Para la prueba consultar [1].

4.0.11 [Definicion] El producto de Poincare sobre una variedad orientable y sin bordese define como

〈 , 〉 : Hk(M)× H

n−k

c (M)→ R

([ω] , [η]) 7→ 〈ω, η〉 =∫

M

ω ∧ η

esta bien definido gracias al teorema de Stokes (2.4.9) como ∂M = 0 y[ω] ∧ [η] = [ω ∧ η] entonces dados ω1 , ω2 ∈ [ω] y η1 , η2 ∈ [η]∫

M

ω1 ∧ η1 −∫

M

ω2 ∧ η2 =∫

M

(ω1 ∧ η1 −ω2 ∧ η2)

como (ω1 ∧ η1 − ω2 ∧ η2) ∈ Bn(M) entonces existe τ ∈ Ω

n−1(M) tal que

d(τ) = (ω1 ∧ η1 −ω2 ∧ η2) entonces∫M

(ω1 ∧ η1 −ω2 ∧ η2) =∫

∂M

τ = 0

entonces ∫M

ω1 ∧ η1 =∫

M

ω2 ∧ η2


Teorema 4.0.12 (Dualidad de Poincare) Si M es una variedad orientable sin borde de di-mension n entonces para cualquier entero k se tiene que

Hk(M) ' H

n−k

c (M)∗

[Dem.] Es claro que el producto de Poincare define homomorfismos gracias a labilinealidad del producto cuna

Dk

M: H

k(M)→ H

n−k

c (M)∗

DM : H(M)→ Hc(M)∗

gracias al truco de Bredon se probara que DM es un isomorfismo.

(i) Si M = Rn entonces DM es un isomorfismo.

Si k 6= 0 entonces Hk(Rn) ' H

n−k

c (Rn) ' 0, luego solo basta probar que parak = 0 se tiene que D

0

M: H

0(M) → H

n

c (M)∗ es un isomorfismo. Como ambos espaciosson isomorfos a R, basta ver que D

0

Mes no nulo, pero esto se tiene ya que D

0

M(1) es

simplemente la integral sobre M, que claramente es una aplicacion lineal no nula.

Sea U ⊆ M un abierto, σ el operador restriccion y ψ : Hc(U)→ Hc(M) la inclusionque extiende a M cada k-forma de U con el valor de 0 fuera de U. Entonces el siguientediagrama es conmutativo

H(M)σ−−−→ H(U)

DM

y DU

yHc(M)

∗ ψ∗

−−−→ Hc(U)∗

efectivamente si [ω] ∈ Hk(M) y [η] ∈ Hc(U) entonces

ψ∗(DM(ω))(η) = DM(ω)(ψ(η)) =

∫M

ω ∧ ψ(η) =∫

U

σ(ω) ∧ η = DU(σ(ω))(η)

Ahora si M = U1 ∪U2 entonces sea

Hk(M) −−−→ H

k(U1)⊕ H

k(U2) −−−→ H

k(U1 ∩U2)

∂∗−−−→ Hk+1

(M)

DM

y DU1⊕DU2

y DU1∩U2

y DM

yH

n−k

c (M)∗ −−−→ H

n−k

c (U1)∗ ⊕ H

n−k

c (U2)∗ −−−→ H

n−k

c (U1 ∩U2)∗ ∂∗−−−→ H

n−k−1

c (M)∗

donde la primera fila es la sucesion de Mayer-Vietoris y la segunda fila es la dua-lizacion de la sucesion de Mayer-Vietoris para la cohomologıa con soportes compactos.


Los dos primeros cuadrados conmutan por la conmutatividad del diagrama men-cionado anteriormente.Ahora sea [ω] ∈ H

k(U1 ∩ U2) y [η] ∈ H

n−k−1

c (M), lo que se quiere ver es que〈∂∗(ω), η〉 = ± 〈ω, ∂∗(η)〉. Sean ω1 ∈ Ω

k(U1) y ω2 ∈ Ω

k(U2) tales que

ω = ω1 |U1∩U2− ω2 |U1∩U2

y sea ω ∈ Ωk+1

(M) tal que ω|U1= d(ω1) y ω|U2

= d(ω2).

Entonces ∂∗([ω]) = [ω]. Similarmente sean η1 ∈ Ωn−k

c (U1) y η2 ∈ Ωk

c (U2) tales queη = η1 + η2 , de modo que ∂∗([η]) = [d(η1)] = [−d(η2)].Ahora como d(ω1 ∧ η1) = 0 = d(ω2 ∧ η2) y ademasd(ω1 ∧ η1) = d(ω1)∧ η1 +(−1)kω1 ∧ d(η1) y d(ω2 ∧ η2) = d(ω2)∧ η2 +(−1)kω2 ∧ d(η2)entonces

〈∂∗ [ω] , [η]〉 =∫

M

ω ∧ η =∫

M

ω ∧ η1 +∫

M

ω ∧ η2

=∫

U1

d(ω1) ∧ η1 +∫

U2

d(ω2) ∧ η2

= (−1)k+1∫

U1

ω1 ∧ d(η1) + (−1)k+1∫

U2

ω2 ∧ d(η2)

= (−1)k+1∫

U1∩U2

(ω1 ∧ d(η1)−ω2 ∧ d(η2))

= (−1)k+1∫

U1∩U2

(ω1 −ω2) ∧ d(η1)

= (−1)k+1∫

M

ω ∧ d(η1)

= (−1)k+1 〈[ω] , ∂∗ [η]〉

(ii) Si M = U1 ∪U2 tales que DU1y DU2

son un isomorfismos entonces DU1∩U2es un isomor-

fismo si y solo si DM lo es.

Gracias al lema de los cinco (3.1.5) se obtiene el resultado

Hk(M) −−−−−−−→ H

k(U1 )⊕ H

k(U2 ) −−−−−−−→ H

k(U1 ∩U2 )

∂∗−−−−−−−→ Hk+1

(M) −−−−−−−→ Hk(U1 )⊕ H

k(U2 ) −−−−−−−→ H

k(U1 ∩U2 )

DM

y DU1⊕DU2

y DU1 ∩U2

y DM

y DU1⊕DU2

y DU1 ∩U2

yH

n−kc (M)

∗ −−−−−−−→ Hn−kc (U1 )

∗ ⊕ Hn−kc (U2 )

∗ −−−−−−−→ Hn−kc (U1 ∩U2 )

∗ ∂∗−−−−−−−→ Hn−k−1c (M)

∗ −−−−−−−→ Hn−kc (U1 )

∗ ⊕ Hn−kc (U2 )

∗ −−−−−−−→ Hn−kc (U1 ∩U2 )

∗

(ii) Si M =⋃

Ui y DUies un isomorfismo para todo i entonces DM es un isomorfismo.

Las inclusiones inducen isomorfismos

H(M) ' ⊕H(Ui) Hc(M) ' ⊕Hc(Ui)


y el segundo a su vez induce un isomorfismo

Hc(M)∗ ' ⊕Hc(Ui)

∗

entonces DM = ⊕DUies un isomorfismo.

Entonces por el truco de Bredon (4.0.7) se concluye que DM : H(M) → Hc(M)∗ esun isomorfismo para toda variedad suave orientable y sin borde.

4.0.13 [Ejemplo: Cohomologıa de S1]

Por la Dualidad de Poincare como S1 es una variedad orientable, compacta y sin bordeentonces H

0(S1) ' (H

1

c (S1))∗ ' H

1(S1) ' R

4.0.14 [Ejemplo: Cohomologıa del Toro]

Por la Dualidad de Poincare como el toro es una variedad orientable, compacta y sinborde entonces H

0(M) ' (H

2

c (M))∗ ' H2(M) ' R y por la proposicion (3.1.6) se tiene

que H1(M) ' R⊕R

Bibliografıa

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTA´Enunciada en terminos de los n´ umeros de Betti:´...

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