UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE …hernande/Files/NotasTopologia.pdf · Cap´ıtulo 1...

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

FACULTAD DE MATEMATICAS

Introduccion a la Topologıa.

N O T A S

CURSO AGOSTO-DICIEMBRE 2002

PROFESOR DEL CURSO

Dr. Vıctor Nunez Hernandez

NOTAS DE:

Lic. Gerardo Hernandez Duenas

JUNIO DE 2005 GUANAJUATO, GUANAJUATO, MEXICO.

A mi familia, amigos y companeros

11 de julio de 2005

Agradecimientos

Quiero agradecer al profesor del curso, el Dr. Vıctor Nunez Hernandez por el magnıfico cur-so que nos impartio, comenzando en el fascinante mundo de la matematica pura. Le quieroagradecer tambien el que me ensenara a manejar LaTex. Quiero agradecer tambien a miscompaneros, que compartimos el mismo gusto por la Topologıa.

Prefacio

El proveer a los estudiantes con la mayor cantidad de opciones de apoyo en material parasu formacion redunda incuestionablemente en una ampliacion de su vision de conjunto de losconocimientos necesarios para desarrollar su futuro ejercicio profesional. Ası es convenienteemplear todo el esfuerzo posible para crear estos diversos materiales de apoyo.

En este trabajo redactamos, pulimos, perfeccionamos y mecanografiamos unas notas sobreel curso de Topologıa I que estaran disponibles para los estudiantes en forma electronica.Ası, en este trabajo creamos material de apoyo para estudiantes de matematicas en formacion.En particular, reforzamos la bibliografıa de las materias de Topologıa en la Licenciatura enMatematicas.

Contenido

1. Introduccion a la Topologıa 91.1. Que es un dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Relacion de cercanıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2. Funciones continuas y la relacion de cercanıa . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Espacios Topologicos 192.1. Topologıas y Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Funciones entre Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2. Conjuntos Parcialmente Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Base de Topologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1. Topologıas Generadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2. Criterio para encontrar subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.4. Espacios y Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Homeomorfismos 353.1. Funciones continuas entre espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Espacios Topologicos Homeomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Topologıas finales en iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1. La Topologıa Restringida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2. Topologıas Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.3. Encajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Productos Topologicos y Fuentes 514.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1. Propiedad Universal del Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2. Producto Topologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2. Fuente entre Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Propiedad Universal de los Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Cocientes e Identificaciones 715.1. Topologıas Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Identificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Teorema de Schonflies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Capıtulo 1

Introduccion a la Topologıa

Estas son las notas del curso de Introduccion a la Topologıa, del curso del Dr. Vıctor NunezHernandez , de las notas de Gerardo Hernandez Duenas y del libro de Salicrup ([1])

En este capıtulo daremos la parte introductoria a la topologıa, definiendo desde lo que esun dibujo y algunas proposiciones.

1.1. Que es un dibujo

¿Que es un dibujo?¿Que ingredientes tiene un dibujo?. Vease figura 1.1.

¿Como se dibuja R?

¿Por que?

X = {0} y X = {0, 1, 2} ¿como se dibujan? Ver figuras 1.2 y 1.3

1.1.1. Relacion de cercanıa

Sea X un conjuntoSea ρ : X −→ ρ(X) una relacion (ρ ⊂ X × P (X)). Entonces, ρ se llama ¨relacion de cer-

Figura 1.1: Ingredientes que debe tener un dibujo

10 1. Introduccion a la Topologıa

Figura 1.2: Como dibujar un punto

Figura 1.3: Como dibujar mas de un punto

canıa¨ ssi:

∀x ∈ X ∀A ⊂ X x ∈ A=⇒xρA

∀x ∈ X ∀A ⊂ X xρA=⇒A 6= ∅

∀x ∈ X ∀A,B ⊂ X A ⊂ B y xρA =⇒xρB

∀x ∈ X ∀A,B ⊂ X xρ (A ∪B) =⇒xρA o xρB

∀x ∈ A∀A ⊂ X xρ{y ∈ X : yρA}=⇒xρA

Definicion 1.1.1. (x, ρ) se llama dibujo.

X = ∅¿Como se dibuja X?

¿Como se dibuja R?ρ : R→ P (R)

xρA⇐⇒∀ε > 0 B(x, ε) ∩ A 6= ∅Ver figura 1.4

Ejemplo 1.1.1. xρ1A⇐⇒ x ∈ AEjemplo 1.1.2. xρ2A⇐⇒ A 6= ∅

Definicion 1.1.2. X conjunto, ρd : X −→ P (X)

xρdA⇐⇒ x ∈ A .

ρd se llama la topologıa discueta

1.1. Que es un dibujo 11

Figura 1.4: Para dibujar la recta real R y cualquier otro conjunto, hay que tener una relacionde cercanıa

Figura 1.5: Las funciones importantes entre dibujos son las funciones que no se rompen

Definicion 1.1.3. ρi : X −→ P (X)

xρiA⇐⇒ A 6= ∅ .

ρi se llama la toplogıa indicueta

Sea (X, ρ) dibujo. A ⊂ X, ρ|A = ρA : A −→ P (A)

xρAB ⇐⇒ xρB , x ∈ A, B ⊂ A

¿Cuales son las funciones importantes entre dibujos?f : (X, ρ) −→ (Y, σ)

xρA=⇒f(x)σf(A)

Definicion 1.1.4. f se rompe en a sii ∃A ⊂ X tal que aρA y ¬(f(a)ρf(A)).

1.1.2. Funciones continuas y la relacion de cercanıa

Las funciones importantes entre dibujos son las funciones que no se rompen. Ver figura 1.5En la figura 1.6 es un ejemplo de funcion que se rompe, con la relacion de cercanıa dada

en R.f no se rompe en a

⇐⇒ ¬(∃A ⊂ X tal que aρA y ¬(f(a)ρf(a)))⇐⇒ ∀A ⊂ X¬(aρA) o f(a)ρf(A) ⇐⇒ ∀A ⊂ X, aρA =⇒ f(a)ρf(A)

Notacion: (X, ρ), (Y, σ) dibujos, f : (X, ρ) −→ (Y, σ) quiere decir f : X −→ Y es funcion.


Figura 1.6: Este es un ejemplo de una funcion que se rompe, con la relacion de cercanıa quese le dio anteriormente a R

Figura 1.7: Este es un ejemplo de una funcion que es continua, invertible, pero la inversa noes continua

Definicion 1.1.5. (X, ρ), (Y, σ) dibujos,f : (X, ρ) −→ (Y, σ). Entonces f se llama continua⇐⇒ f no se rompe nunca⇐⇒ ∀a ∈ X ∀A ⊂ X, aρA =⇒ f(a)σf(A)

Ejemplo 1.1.3. I : (X, ρ) −→ (X, ρ) es continua

Definicion 1.1.6. (X, ρ), (Y, ρ) dibujos. Entonces:(X, ρ) y (Y, σ) son el mismo dibujo⇐⇒ ∃f : (X, ρ) −→ (Y, σ) continua tal que f es biyectiva y f−1 es continua. (f se llama¨homeomorfismo¨)

Ejemplo 1.1.4.

f : [0, 1) −→ S = {x ∈ R2 : |x| = 1}

t 7→ (cos(2πt, sen(2πt)))

f es continua, f es biyectiva pero f−1 no es continua. Vease figura 1.7

(X, ρd) discreto (xρdA⇐⇒ x ∈ A)f : (X, ρd) −→ (Y, σ) funcion. Entonces f es continua.

Demostracion. Sea a ∈ X, A ⊂ X. Supongamos que aρdA =⇒ x ∈ A =⇒ f(a) ∈ f(A)f(a)σf(A) por i).


Sea (X, ρ) dibujo . Supongamos que ¨∀(Y, σ) dibujo ∀f : (X, ρ) −→ (Y, σ) f es continua¨.=⇒ (X, ρ) es lo mismo que un discreto.

Demostracion. P.d. ∃(Z, ρd) dibujo discreto y ∃fi : (Z, ρd) −→ (X, ρ) homeomorfismo.Definamos Z := X. Se tiene 1X : (X, ρ) −→ (X, ρd) (f := 1)

Por hipotesis 1X es continua, 1X es biyectiva.1−1

X = 1X : (X, ρd) −→ (X, ρ).

Como 1X es discueta, 1X es continua∴ 1X es homeomorfismo.

Ejemplo 1.1.5. (X, ρi) dibujo indiscreto. Entonces:∀f := (X, ρi)←− (Y, σ) f es continua.

Demostracion. Sea (X, i) indiscreto. Sea fi : (Y, σ) −→ (X, ρi). Sean a ∈ X y A ⊂ X ysupongamos aσA.P.d. f(a)ρif(A). P.d. f(A) 6= ∅

Por ii) A 6= ∅.Como f es funcion, f(A) 6= ∅.

Sea (X, ρ) un dibujo. Supongamos que ¨∀(X, σ) dibujo , ∀f : (X, ρ)←− (Y, σ) f es continua¨. Entonces:(X, ρ) es lo mismo que un dibujo indiscreto.

Demostracion. Supongamos las hipotesis.P.d. ∃(Z, ρd) dibujo indiscreto y ∃f : (Z, ρd)←− (X, ρ) un homeomorfismo.

Definamos Z := X. Se tiene 1X : (X, ρ)←− (X, ρi).Por hipotesis 1X es continua , ademas , 1X es biyectiva, y:

1−1X = 1X : (X, ρi)←− (X, ρ).

Como ρi es discuta, 1X es continua.∴ 1X es homeomorfismo.

1.1.3. Conjuntos abiertos y cerrados

Definicion 1.1.7. (X, ρ) dibujo. A ⊂ X. Entonces A se llama ¨cerrado en X¨ sii:

∀x ∈ X, xρA =⇒ x ∈ A

Definicion 1.1.8. (X, ρ) dibujo. U ⊂ X. Entonces U se llama ¨abierto¨ sii X−U es cerrado,o sea, xρ(X − U) =⇒ x /∈ U , o bien, x ∈ U =⇒ ¬(xρ(X − U))

Proposicion 1.1.1. (X, ρ) dibujo. A,B ⊂ X. Si A y B son abiertos, entonces A ∩ B esabierto. O bien, A,B cerrados =⇒ A ∪B es cerrado.


Demostracion. Supongamos que A y B son cerrados. P.d. A ∪B es cerrado.

Sea x ∈ X.P.d. xρ(A ∪B) =⇒ xρA ∪B.

Supongamos que xρ(A ∪B). P.d. x ∈ A o x ∈ BPor iv) xρA o xρB.

Como A y B son cerrados. Por tanto:x ∈ A o x ∈ B

El otro se prueba analogamente.

Proposicion 1.1.2. Sea B ⊂ P (X) una familia de abiertos. Entonces ∪B es abierto, o sea ,B ⊂ P (X) familia de cerrados =⇒ ∩B es cerrado.

Notacion: B ⊂ X∪B = ∪B∈BB = {x ∈ X : ∃B ∈ B tal que x ∈ B}.∩B = ∩B∈BB = {x ∈ X : ∀B ∈ B x ∈ B}

Ejemplo 1.1.6. Interseccion de abiertos puede no ser abierto:

∩(− 1

n, 1 +

1

n) = [0, 1]

Ejemplo 1.1.7. Union de cerrados puede no ser cerrado:

∪[1

n, 1− 1

n] = (0, 1)

Ahora vamos a demostrar la proposicion anterior:

Demostracion. Para esto, usaremos que:

X − ∪B∈BB = ∩B∈B(X −B)

X − ∩B∈BB = ∪B∈B(X −B) .

Sea B ⊂ P (X) familia de cerrados.

P.d. ∩B es cerrado. Sea xρ ∩ B.

P.d. x ∈ ∩B.Sea B ∈ B. P.d. x ∈ B.

Por iii) como ∩B ⊂ B y xρ ∩ B entonces xρB.Por hipotesis, B es cerrado.∴ x ∈ B

Nota:. ∅ y X son abiertos, o sea X y ∅ son cerrados.


Demostracion. P.d. ¨∀x ∈ X, xρ∅ =⇒ x ∈ ∅¨La primera parte de la implicacion siempre es falsa, por lo que la proposicion siempre es ver-dadera.

P.d. ¨∀x ∈ X xρX =⇒ x ∈ X¨La segunda parte de la implicacion es siempre verdadera, por lo cual la proposicion siempre esverdadera.

Proposicion 1.1.3. X conjunto, C ⊂ P (X). Supongamos que:

A,B ∈ C=⇒A ∪B ∈ C

D ⊂ C=⇒∩ D ∈ C

∅, X ∈ C

Entonces la relacion ρ : X −→ P (X)

xρA⇐⇒ ∀x ∈ X∀F ∈ C x /∈ F=⇒(X − F ) ∩ A 6= ∅

⇐⇒ ∀F ∈ C (X − F ) ∩ A 6= ∅ =⇒x ∈ F

⇐⇒ ∀F ∈ C∀x ∈ X A ⊂ F=⇒x ∈ F

es una relacion de cercanıa donde C es la familia de cerrados de (X, ρ).

Proposicion 1.1.4. X conjunto,τ ⊂ P (X). Supongamos que:

A,B ∈ τ=⇒A ∩B ∈ τ

D ⊂ τ=⇒∪ D ∈ τ

∅, X ∈ τ

Entonces la relacion ρ : X −→ P (X)

xρA⇐⇒ ∀B ∈ τ x ∈ B=⇒B ∩ A 6= ∅

es una relacion de cercanıa donde τ es la familia de abiertos de (X, ρ)

Demostraremos la proposicion 1.1.3:

Demostracion. P.D. i) x ∈ A=⇒xρASea x ∈ AP.d. xρA


P.d. ∀F, A ⊂ F=⇒x ∈ FSea F ∈ C y supongamos que A ⊂ FP.d. x ∈ F , como x ∈ A, A ⊂ F∴ x ∈ F

P.d. ii) xρA=⇒A 6= ∅Supongamos xρA. P.d. A 6= ∅∴ ∀F ∈ C x /∈ F=⇒(X − F ) ∪ A 6= ∅

Como ∅ ∈ C y x /∈ ∅∴ (X − ∅) ∩ A = A 6= ∅.

P.d. iii) xρA y A ⊂ B=⇒xρB. Supongamos que:

xρA y A ⊂ BP.d. xρB.

Sea F ∈ C tal que B ⊂ FP.d. x ∈ F .

Como A ⊂ B ∴ A ⊂ F , y como x ∈ A

∴ x ∈ F

Supongamos xρ(A ∪B)P.d. xρA o xρB

Supongamos que ¬(xρA). P.d. xρB.Sea F ∈ C y supongamos que B ⊂ F .P.d. x ∈ F

Como ¬(xρA) y xρ(A ∪B)∃G ∈ C tal que A ⊂ G y x /∈ G

∀H ∈ C, A ∪B ⊂ H=⇒x ∈ H

A ∪B ⊂ F ∪G ∈ C por la hipotesis i)

∴ x ∈ F ∪G porque xρ(A ∪B), pero x /∈ G, ∴ x ∈ F .

P.d. (v) xρ{y : yρA}=⇒xρA

Supongamos que:


xρ{y : yρA}, sea F ∈ C tal que A ⊂ FP.d. x ∈ F ∀G ∈ C {y : yρA} ⊂ G=⇒x ∈ G

Lema tecnico:{y : yρA} ⊂ F

Demostracion. Sea z ∈ {y : yρA}P.d. z ∈ F∴ zρA

∴ ∀H ∈ C, A ⊂ H=⇒z ∈ HComo A ⊂ F y F ∈ C∴ x ∈ F

Por el lema tecnico:

{y : yρA} ⊂ F ∈ C,

∴ x ∈ F .

Capıtulo 2

Espacios Topologicos

En este capıtulo comenzaremos con la definicion de espacios topologicos y daremos lateorıa correspondiente a este tema.

2.1. Topologıas y Espacios Topologicos

Definicion 2.1.1. X conjunto, τ ⊂ P (X). Entonces τ se llama una topologıa para X sii:

A,B ∈ τ=⇒A ∩B ∈ τ

D ⊂ τ=⇒∪ D ∈ τ

∅, X ∈ τ

Definicion 2.1.2. X conjunto, C ⊂ P (X). Entonces C se llama ¿?sii

A,B ∈ C=⇒A ∪B ∈ C

D ⊂ C=⇒∩ D ⊂ C

∅, X ∈ C

Corolario 2.1.1. (X, ρ) es un dibujo. Entonces:τ(ρ) = {U ⊂ X : U es abierto} es una topologıa para X

Corolario 2.1.2. Si τ es una topologa para X. Entonces:

ρ(τ) : X −→ P (X) tal que:

xρ(τ)A⇐⇒ ∀F ∈ τ x ∈ F=⇒F ∩ A 6= ∅

es una relacion de cercanıa tal que la familia de abiertos de (X, ρ(τ)) es precisamente τ .

20 2. Espacios Topologicos

Adivinanza:(X, ρ) dibujo:ρ(τ(ρ)) = ρ

oSi τ topologıa de X:

τ(ρ(τ)) = τ .Notacion:Si τ es una topologıa para X, entonces (X, τ) se llama espacio topologico.Tarea:

Escribir corolarios analogos para cerrados y las adivinanzas analogas y probarlas, si es que sonciertas.

(X, ρ) dibujoC(ρ) = {A ⊂ X : A es cerrado}

Si X conjunto y C es una familia de cerrados,definimos:xρ(C)A⇐⇒ ∀F ∈ C x /∈ F=⇒(X − F ) ∩ A 6= ∅

C(ρ(C)) = Cρ(C(ρ)) = ρ

(X, ρ), (Y, σ) dibujos

f : (Xρ) −→ (Y, σ)

continua, i.e.,

∀x ∈ X∀A ⊂ X =⇒f(x)σf(a).

2.1.1. Funciones entre Espacios Topologicos

Las funciones importantes entre espacios topologicos son las funciones continuas, y unacaracterizacion de las funciones continuas lo dice el siguiente teorema.

Teorema 2.1.3. f es continua , entonces para todo B ⊂ Y cerrado f−1B es cerrado.

Demostracion. Supongamos que B ⊂ Y es cerrado.P.d. f−1(B) = {y ∈ X : f(y) ∈ B} es cerrado.

Supongamos que xρf−1(B) P.d. x ∈ f−1(B)

∴ f(x)σff−1(B), como ff−1(B) ⊂ B∴ f(x)σB.

2.1. Topologıas y Espacios Topologicos 21

Como B es cerrado∴ f(x) ∈ B∴ x ∈ f−1(B).

Supongamos que ∀B ⊂ Y cerrado, f−1(B) es cerrado.Sea A ⊂ X. Supongamos que xρA . P.d. f(x)σf(A).

B := ∩{F ⊂ X∣∣∣F cerrado, f(A) ⊂ F} = {y ∈ X : yσf(A)} es cerrado.

f(A) ⊂ B=⇒A ⊂ f−1(B)xρf−1(B)∴ f(x) ∈ B∴ f(x)σf(A)

Lema tecnico:∩{F ⊂ X : F es cerrado, U ⊂ F} = {y ∈ X : yρU}

Demostracion. ⊇)

Sea zρU P.d. z ∈ ∩ {−;−}Sea F cerrado tal que U ⊂ F P.d. z ∈ F , pero por la definicion de cerrado es cierto.

⊆)

Sea z ∈ ∩{F ⊂ X : F es cerrado, U ⊂ F}P.d. zρU

Como {y : yρU} es cerrado y U ⊂ {y : yρU}∴ z ∈ {y : yρU}∴ xρU

Corolario 2.1.4. f es continua ⇐⇒ ∀U abierto, f−1(U) es abierto

Pregunta:X = {a, b, c}¿De cuantas manera se puede dibujar X?

¿Cuantas familias de cerrados tiene X?

2.1.2. Conjuntos Parcialmente Ordenados

Definicion 2.1.3. X conjunto. 6 una relacion en X. Entonces 6 se llama un orden parcialde X sii:

∀a ∈ X a6a


∀a, b, c ∈ X a6b y b6c=⇒a6c

∀a, b ∈ X a6b y b6a=⇒a = b

(X,6) se llama un c.p.o (Conjunto Parcialmente Ordenado)

Ejemplos:1.- N, R, Z, Q con el orden parcial usual a6b sii 06b− a.

2.- La familia de conjuntos A,B ∈ F . A6B sii A ⊆ B.

3.- X conjunto. Tx := {τ ⊂ P (X) : τ es topologıa en X}. (Tx,⊆) es un c.p.o.

Definicion 2.1.4. (X,6) un c.p.o. A ⊂ X, x0 ∈ X. Entonces:

x0 es una cota superior de A sii ∀a ∈ A, a6x0 ,

x0 es cota inferior de A sii ∀a ∈ A, x06a ,

x0 = SupA sii x0 es una cota superior y es la mas chica de las cotas superiores ,

x0 = InfA sii x0 es cota inferior y es la mas grande ,

Proposicion 2.1.5. (X,6) c.p.o.Son equivalentes:a)∀A ⊂ X , ∃x0 ∈ X tal que x0 = SupA.b)∀A ⊂ X , ∃y0 tal que y0 = infA

Demostracion. a)=⇒b). Supongamos a). Sea A ⊂ X.P.d. ∃y0 ∈ X tal que y0 = infA.

Z := {u ∈ X : u es cota inferior de A}.∴ ∃x0 ∈ X tal que x0 = SupZ por hipotesis.

(F,⊆).Sup∅ = al elemento mas chico de F (si es que hay).Inf∅ = al elemento mas grande de F (si es que hay).

def. y0 := x0.P.d. (i) x0 es cota inferior de A(ii) x0 es la cota inferior mas grande.

Sea a ∈ A. P.d. x06A.Lema tecnico:a es cota superior de z.

Demostracion. Sea u ∈ Z. P.d. u6au es cota inferior de A y a ∈ A, ∴ u6a

2.1. Topologıas y Espacios Topologicos 23

x0 es cota inferior de z y es la cota inferior mas chica. Como a es cota superior de z, x06a.

(ii) Sea µ cota inferior de A, o sea, sea µ ∈ Z. Como x = SupZ, u6x0.

b)=⇒a). Igual + lattice.

Definicion 2.1.5. (X,6) c.p.o. (X,6) se llama latiz completa sii (X,6) satisface a) o b) dela proposicion anterior.

Ejemplos:

1.- ([0, 1],6) es una latiz completa

2.- X conjunto. (P (X),⊆) es una latiz completa. Sea F ⊂ P (X).

a) Inf(F ) = ∩F = {x ∈ X : ∀A ∈ F, x ∈ A} ∈ P (X)

b)Sup(F ) = ∪F ∈ P (X)

(a)∩F ⊂ A∀A ∈ F , i.e., ∩F es cota inferior.

Si U ⊂ A∀A, entonces ∩F 3 U∩F es la cota inferior mas grande.

3.- X conjunto.

TX := {τ ⊂ P (X) : τ es topolog′

i a paraX}

(TX ,⊆) es un c.p.o.(TX ,⊆) es una latiz completa.

Demostracion. Sea F ⊂ TX familia de topologıas de XEntonces ”InfF = ∩F”P.d. ∩F es topologıa

Nota:. Si F = ∅ entonces InfF = P (X) que es topologıa, por lo que supondremos S.P.G.F 6= ∅

”X,∅ ∈ ∩F” , porque cada elemento de F es una topologıa.Primero, supongamos A,B ∈ ∩F

P.d. A ∩B ∈ ∩FP.d. ∀τ ∈ F , A ∩B ∈ τSea τ ∈ F , como A,B ∈ ∩F∴ A,B ∈ τ , ∴ A ∩B ∈ τ

Ahora, si D ⊂ ∩FP.d. ∪D ∈ ∩F etc.


Ejemplo 2.1.1. X conjuntoTX := {τ ⊂ P (X) : τ es topologıa para X}. Entonces:(TX ,⊆) es una latiz completa.

Demostracion. F ⊂ TX , entonces InfF = ∩F , porque ∩F es una topologıa.

¿Quien es SupF?SupF = ∩{τ ∈ TX : ∪F ⊂ τ}

Ejemplo 2.1.2. X = {1, 2, 3}

τ1 :={∅, X, {1}

}y

τ2 :={∅, X, {2}

}son topologıas para X, y

τ1 ∪ τ2 ={∅, X, {1}, {2}

}no es topologıa, porque {1} ∪ {2} = {1, 2} /∈ τ1 ∪ τ2

Pero:

Sup{τ1, τ2} = ∩{τ ∈ TX : τ1 ∪ τ2 ⊂ τ}

={∅, X, {1}, {2}, {1, 2}

}

2.2. Base de Topologıas

2.2.1. Topologıas Generadas

D ⊂ P (X)

D no es topologıa usualmente.

D1 :={A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An : Ai ∈ D

}∪

{∅, X

}D2 :=

{∪G : G ⊂ D

}Por milagro ”D2 es topologıa ”

Definicion 2.2.1. La topologıa generadapor D se escribe como < D >:= D2

2.2. Base de Topologıas 25

Demostraremos que la topologıa generada en verdad es topologıa.

∅, X ∈ D2.

Sea A,B ∈ D2.P.d. A ∩B ∈ D2

A = ∪G y B = ∪F para ciertos G,F ∈ D1

G ={Gi1 ∩Gi2 ∩ ... ∩Gin : para ciertos Gij ∈ D

}F =

{Fj1 ∩ Fj2 ∩ ... ∩ Fjm : para ciertos Fjk

∈ D}

A ∩B =(∪G

)∩

(∪ F

)=

( ⋃Gi1

∩...∩Gin∈G

Gi1 ∩ ... ∩Gin

)∩

( ⋃Fj1

∩...∩Fjm∈F

Fj1 ∩ ... ∩ Fjm

)=

⋃Gi1

∩...∩Gin∈GFj1

∩...∩Fjm∈F

[(Gi1 ∩ ... ∩Gin

)∩

(Fj1 ∩ ... ∩ Fjm

)]∈ D2

Ahora, sea F ⊂ D2.⋃F =

⋃i∈I

( ⋃j∈J

Gij

)=

⋃i∈I

⋃i∈J

(Gij1∩ ... ∩Gijn

)=

⋃i∈Ij∈J

(Gij1 ∩ ... ∩Gijn

)∈ D2

Definicion 2.2.2. (X, τ) espacio topologico. β ⊂ τ . Entonces β se llama una base de τ siitodo elemento de τ es union de elementos de β.

Definicion 2.2.3. (X, τ) espacio topologico. γ ⊂ τ . Entonces γ se llama una subbase de τ sii< γ >= τ .

2.2.2. Criterio para encontrar subbases

Pregunta:

(X, τ) espacio topologico. β ⊂ τ .¿Cuando β es una base de τ?

Primero:< β >= τ

Segundo:A,B ∈ β=⇒A ∩B ∈ τ


A ∩B =⋃

i∈I Gi para Gi ∈ β

∀x ∈ A ∩B ∃G ∈ β tal que x ∈ G ⊂ A ∩B

Ejemplo 2.2.1. Si tenemos (R2, τ) el dibujo usual,

β ={B(x, ε) : ε > 0

}es base de tau, ya que:

U ∈ τ⇐⇒∀x∈U ∃εx>0 B(x, εx) ⊂ U

⇐⇒∀x∈U x ∈ ∪B(x, εx)

⇐⇒U ⊂ ∪x∈UB(x, εx) ⊂ U

γ = {(a, b)× R : a < b{∪{R× (a, b) : a < b}es subbase de R2.

X conjunto. β ⊂ P (X).

Supongamos que:

⋃β = X

A,B ∈ β=⇒∃x∈A∩B ∃G∈B x ∈ G ⊂ A ∩B(O sea, A ∩B es union de elementos de β)

Entoncesβ es base de < β >

< β >={⋃

D : D ⊂ β}

Definicion 2.2.4. X conjunto, F ⊂ P (X). Entonces:

< F >:= Inf{τ ∈ TX : F ⊂ τ}se llama la topologıa generada de F

Nota:.< F >= ∩{τ ∈ TX : F ⊂ τ}

={∪ D : D ⊂ {A1 ∩ ... ∩ An : Aj ∈ F} ∪ {X}

}Observacion: 2.2.1. (X, τ) espacio topologico. γ ⊂ τ . Entonces:

γ es subbsase de τ ⇐⇒ < γ >= τ

⇐⇒La familia de intersecciones finitas de elementos de γ es base de τ


Ejemplo 2.2.2.

(X,P (X)) tiene como base a

β ={{x} : x ∈ X

}pues X =

⋃x∈X{x}

(X, {∅, X}) tiene como base a

β = {X}

Observacion: 2.2.2. X conjunto, β ⊂ P (X). Entonces β es base para alguna topologıa deX⇐⇒

⋃β = X

∀A,B ∈ β, x ∈ A ∩B∃G∈β x ∈ G ⊂ A ∩B

Observacion: 2.2.3. X conjunto, γ ⊂ P (X). Entonces:

γ es subbase de alguna topolog′

i a

⇐⇒1 = 1

Definicion 2.2.5. (X, τ) espacio topologico.C los cerrados de (X, τ), ω ⊂ C. Entonces ω sellama una base de cerrados ⇐⇒ todo elemento de C es interseccion de elementos de ω.

Si tenemos F

F1 :={A1 ∪ ... ∪ An : An ∈ F

}∪

{∅}

F2 :={∩ D : D ⊂ F1

}F2 es una familia de cerrados

F2 =⟩F

⟨Teorema 2.2.1. (Criterio de Hausdorff) τ y σ topologıas para X. β base de τ y α basede σ. Son equivalentes:

τ ⊂ σ

∀v∈β∃D⊂α V =⋃D

∀v∈βx∈V ∃ω∈α x ∈ ω ⊂ V

Demostracion. Si


Figura 2.1: Grafica para la demostracion de que la topologıa big<α⟩

esta contenida en latopologıa

⟨β⟩

Figura 2.2: Grafica para la demostracion de que la topologıa big<α⟩

contiene a la topologıa⟨β⟩

Ejemplo 2.2.3.

α :={{B(x, ε) : x ∈ R2, ε > 0

}β :=

{(a, b)× (c, d) : a < b, c < d

}⟨α⟩

=⟨β⟩

Demostracion.”⊂”Vease figura 2.1

”⊃”Vease figura 2.2

Ejemplo 2.2.4. A continuacion se muestra un familia de metricas que generan diferentestopologıas.

x, y ∈ R2,

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|

dn(x, y) =( ∑

|xi − yi|n) 1

n

d∞(x, y) = Sup{|x1 − y1|, |x2 − y2|

}para x, y ∈ R2

En la figura 2.3 se muestra la bola Bd∞(0, 1).


Figura 2.3: La bola de radio 1 con centro en el origen con respecto a la metrica d∞

Figura 2.4: La bola de radio 1 con centro en el origen con respecto a la metrica d1

En la figura 2.4 se muestra la bola Bd1(0, 1).

En la figura 2.5 se muestran todas las bolas Bdn(0, 1) con respecto a las metricas vistas enel ejemplo 2.2.4.

Observacion: 2.2.4. τ , σ topologıas para X. β base de τ y β base de σ. Entonces τ = σ

β base de τ . β ⊂ β′ ⊂ τ . Entonces β

′es base de τ .

Sea (X, τ) espacio topologico, entonces (τ,⊂) es una latiz completa porque:

F ⊂ τ , SupF =⋃F

SupF es el abierto mas chico que contiene a⋃F .

InfF es el abierto mas grande contenido en⋂F .

¿Quien es InfF? ⋃ {v ∈ τ :

⋂F ⊃ V

}= InfF

Ver figura 2.6.

Definicion 2.2.6. (X, τ) espacio topoogico. A ⊂ X. Entonces:

IntA = Inf{A} = al abierto mas grande contenido en A

Figura 2.5: En esta grafica se muestran todas las bolas de radio 1 con centro en el origen conrespecto a las metricas dn


Figura 2.6: El interior de un conjunto

Notacion:.

IntA = Int(A) =◦

A= A◦

(X, τ) espacio topologico.

A ∈ τ⇐⇒A = IntA = Int(A)

Int : P(X)A

→7→

P(X)Int(A)

es funcion.

Proposicion 2.2.2. A es abierto ⇐⇒ A = Int(A)

Proposicion 2.2.3.

IntX = X

Int(A ∩B) = Int(A) ∩ Int(B)

Int(Int(A)) = Int(A)

Int(A) ⊂ A

Definicion 2.2.7. Cerr(A)=el cerrado mas chico que contiene a A.

Proposicion 2.2.4. A es cerrado ⇐⇒A = Cerr(A)

Proposicion 2.2.5. (Axiomas de Kuratowski:)

Cerr(∅) = ∅

Cerr(A ∪B) = Cerr(A) ∪ Cerr(B)

Cerr(Cerr(A)) = Cerr(A)

Cerr(A) ⊃ A


2.2.3. Vecindades

Definicion 2.2.8. (Hausdorff) (X, τ) espacio topologico. x ∈ X, N ⊂ X. N se llama unavecindad de x ssi

∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N .

Notacion:.Nx :=

{N ⊂ X : N es vecindad de x

}◦

Nx={N ∈ Nx : N ∈ τ

}Proposicion 2.2.6. (X, τ) espacio topologico. U ⊂ X.

U es abierto ⇐⇒ ∀x∈U U ∈ Nx

Demostracion.=⇒

)U ∈ τ . Sea x ∈ UP.d. U ∈ Nx

P.d. ∃ω ∈ τ tal que x ∈ ω ⊂ U

def. : ω := U

⇐)

Supongamos que:

∀x∈U U ∈ Nx

P.d. U ∈ τSabemos que para cada x ∈ U ∃ωx ∈ τ tal que x ∈ ωx ⊂ U

∴⋃

x∈U ωx = U

Proposicion 2.2.7. Sea x ∈ X entonces X ∈ Nx y ademas:

N ∈ Nx=⇒x ∈ N

M,N ∈ Nx=⇒M∩N ∈ Nx

N ∈ Nx ∧N ⊂M=⇒M ∈ Nx

Teorema 2.2.8. X conjunto.

ν : X → P(P(X))

funcion.

Supongamos que:


1. ∀x ∈ X, ν(x) 6= ∅.

2. N ∈ ν(x)=⇒x ∈ N .

3. N ∈ ν(X) ∧N ⊂M=⇒M ∈ ν(X).

4. M,N ∈ ν(x)=⇒M∩N ∈ ν(x).

5. N ∈ ν(x)=⇒∃M ∈ ν(x) tal que M⊂ N y ∀y ∈M,M∈ ν(y).

Entonces:

τ :={V ⊂ X : ∀y ∈ V, V ∈ ν(y)

}es una topologıa para X tal que:

N τx = ν(x), (∀x ∈ X) .

A la funcion ν se le llama Operador de Vecindades.

Demostracion. ”X ∈ τ”P.d. ∀y ∈ X,X ∈ ν(y).

Sea y ∈ X. P.d. X ∈ ν(y).Por 1), ν(y) 6= ∅, digamos N ∈ ν(y).Por 3) como N ⊂ X, ∴ X ∈ ν(y)

”∅ ∈ τ”√

Sea A,B ∈ τP.d. A ∩B ∈ τ .Sea y ∈ A ∩B; P.d. A ∩B ∈ ν(y).

Como y ∈ A ∩B ∴ y ∈ A ∧ y ∈ BComo A,B ∈ τ , ∴ A,B ∈ ν(y).Por 4) A ∩B ∈ ν(y).

Sea{Vi

}i∈I⊂ τ .

P.d.⋃

i∈I Vi ⊂ τ .

Sea y ∈⋃

i∈I Vi.P.d.

⋃i∈I Vi ∈ ν(y).

∃j ∈ I tal que y ∈ Vj.Vj ∈ τ , ∴ Vj ∈ ν(y).Como Vj ⊂

⋃i∈I Vi ∴

⋃i∈I Vi ∈ ν(y).


”N τx = ν(x) (∀x ∈ X)”.

”⊂” Sea N ∈ Nx

P.d. N ∈ ν(x).

∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N .Como U ∈ τ , ∴ U ∈ ν(x); por 3) N ∈ ν(x).

”⊃” Sea N ∈ ν(x) P.d. N ∈ Nx.P.d. ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N se sigue de 5)

2.2.4. Espacios y Fronteras

Definicion 2.2.9. (X, τ) espacio topologico ; A ⊂ X. Entonces la frontera (Boundary) de Aesta definida por:

∂A := A ∩X − A

Notacion:.∂A = ∂τA = Fr(A) = Frτ (A) = Bd(A) = Bdτ (A)

Proposicion 2.2.9.A es abierto ⇐⇒A ∩ ∂A = ∅

A es cerrado ⇐⇒A ∩ ∂A = ∂A (∂A ⊂ A)

Cerr(A) = A ∪ ∂A

Demostracion.

A ∪ ∂A = A ∪ (A ∩X − A) =(A ∪ A

)∩

(A ∪ (X − A)

)= A ∩X = A ,

puesX ⊃ A ∪ (X − A) ⊃ A ∪ (X − A) = X

Ademas:

A ∩ ∂A = A ∩ A ∩ (X − A)

= A ∩ (X − A) = ∅

si A es abierto.

Proposicion 2.2.10. 1. ∂∅ = ∅

2. ∂A = ∂(X − A)

3. ∂∂A ⊂ ∂A


4. (A ∪B) ∪ ∂(A ∪B) = A ∪ ∂A ∪B ∪ ∂B

Ejemplo 2.2.5.∂(Q ∩ [0, 1]) = [0, 1]

∂∂(Q ∩ [0, 1]) = ∂[0, 1] = {0, 1}

Ver los dias 24 y 25 de septiembre

Capıtulo 3

Homeomorfismos

En este capıtulo introduciremos la definicion de homeomorfismos y muchas otras defini-ciones como lo son las topologıas finales e iniciales, encajes , etc.

3.1. Funciones continuas entre espacios topologicos

Recordatorio:

Definicion 3.1.1. f : (X, τ) −→ (Y, σ). f se llama continua sii:

∀U∈σ f−1(U) ∈ τ

Proposicion 3.1.1. f : (X, τ) −→ (Y, σ). Son equivalentes:

1. f es continua .

2. ∃β base de σ tal que ∀U ∈ β, f−1(U) ∈ τ .

3. ∃γ subbase de σ tal que ∀U ∈ γ, f−1(U) ∈ τ .

4. ∀β ⊂ Y , f−1(IntσB) ⊂ Intτf−1(B).

5. ∀F cerrado de Y , f−1(F ) es cerrado de X.

6. ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A)(xρA=⇒f(x)ρf(A))

7. ∀B ⊂ Y , f−1(B) ⊂ f−1(B)

8. ∀B ⊂ Y , ∂f−1(B) ⊂ f−1(∂B)

9. ∀x ∈ X, ∀E ∈ Nf(x) ∃D ∈ Nx tal que f(D) ⊂ E

36 3. Homeomorfismos

Demostracion. ”1)=⇒2)” def.: β := σ

”2)=⇒3)” def.: γ := β

”3)=⇒1)”

Sı, porque f−1 se comporta bien algebraicamente (union de intersecciones finitas).

”1)=⇒4)” Sea B ⊂ X.

P.d. f−1(IntB) ⊂ Intf−1(B).IntB ∈ σ; por hipotesis f−1(IntB) ∈ τ .

Como IntB ⊂ B, ∴ f−1(IntB) ⊂ f−1(B).Como f−1(IntB) ∈ τ , ∴ f−1(IntB) ⊂ Intf−1(B), porque Intf−1(B) es un Sup.

”4)=⇒5)” Sea F cerrado de Y .P.d. f−1(F ) es cerrado en X.P.d. X − f−1(F ) ∈ τ .

Como Y − F ∈ σ, ∴ Int(Y − F ) = Y − F .

Por hipotesis:

f−1(Int(Y − F )) ⊂ Intf−1(Y − F ) = Int(X − f−1(F )) ⊂ X − f−1(F ) ,

perof−1(Int(Y − F )) = f−1(Y − F ) = X − f−1(F ) .

Por lo tanto:Int(X − f−1(F )) = X − f−1(F ) ∈ τ

”5)=⇒6)” Sea A ⊂ X.P.d. f(A) ⊂ f(A).

f(A) es cerrado.∴ f−1(f(A)) es cerrado por hipotesis. f(A) ⊂ f(A).

∴ A ⊂ f−1(f(A)) ⊂ f−1(f(A)).∴ A ⊂ f−1(f(A)).∴ f(A) ⊂ ff−1(f(A)) ⊂ f(A).

”6)=⇒7)”

f−1(B) ⊂ f−1(B)

Por hipotesis:f(f−1(B)) ⊂ ff−1(B) ⊂ B

3.1. Funciones continuas entre espacios topologicos 37

∴ f−1(B) ⊂ f−1f(f−1(B)) ⊂−1 (B).

”7)=⇒8)” pues sı√

”8)=⇒1)” Sea U ∈ τ , P.d. f−1(U) ∈ τ .

P.d. ∂f−1(U) ∩ f−1(U) = ∅.Como U ∈ τ , ∴ U ∩ ∂U = ∅ y por hipotesis,

∂f−1(U) ⊂ f−1(∂U)

∴ ∂f−1(U) ∩ f−1(U) ⊂ f−1(∂U) ∩ f−1(U)

= f−1(∂U ∩ U) = f−1(∅) = ∅

”1)⇔9)”

=⇒]

Sea x ∈ X, sea E ∈ Nf(x) y digamos, E ⊂ τ .

P.d. ∃D ∈ Nx tal que f(D) ⊂ E .Por hipotesis f−1(E) ∈ τ y x ∈ f−1(E), pues f(x) ∈ E .

Como ff−1E ⊂ E , si D = f−1(E) ya!.

⇐]

Sea U ∈ σ.P.d. f−1(U) ∈ τ .P.d. ∀x∈f−1(U)f

−1(U) ∈ Nx.

Sea x ∈ f−1(U), entonces f(x) ∈ U .P.d. f−1(U) ∈ Nx.Por hipotesis, ∃D ∈ Nx tal que f(D) ⊂ U .

∴ D ⊂ f−1f(D) ⊂ f−1(U).

Como D ∈ Nx, f−1(U) ∈ Nx.

Proposicion 3.1.2.

1 es continua1 : (X, τ)

x↪→7→

(X, τ)x

f, g continuas =⇒f ◦ g es continua.

Definicion 3.1.2. f : (X, τ) −→ (Y, σ). Entonces f es abierta ssi:

∀ω ∈ τ , f(ω) ∈ σ


Figura 3.1: Imagen de la funcion h que es continua, biyectiva, pero con inversa no continua

Nota:. Hay funciones que son abiertas y no son continuas.

Ejemplo 3.1.1. ]X > 1, (X, {0, X}

)x

−→1

7→

(X,P(X)

)x

es abierta pero no continua.

3.2. Espacios Topologicos Homeomorfos

Definicion 3.2.1. h : (X, τ) −→ (Y, σ) funcion. Entonces h se llama homeomorfismo sii

h es continua

h es biyectiva

h−1 es continua

Ejemplo 3.2.1.[0, 1)t

h-

7→S1 = {x ∈ R2 : |x| = 1}(cos 2πt, sen 2πt) = e2πit

e2πit = e2πis=⇒t− s ∈ Zh es continua , biyectiva, pero h−1 no es continua. Vease figura 3.1.

Ejemplo 3.2.2.1 : (X, τ) −→ (X, τ) es homeomorfismo.

Ejemplo 3.2.3. a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R

h [a, b]t

−→7→

[c, d]αt+ β

donde

α =d− cb− a

, β = c− d− cb− a

[a, b] y [c, d] son homeomorfos (existe un homeomorfismo de un espacio a otro)

[a, b] ∼= [c, d]

con homeomorfismo h.

[0,1

10] ∼= [0, 1000]

3.2. Espacios Topologicos Homeomorfos 39

Figura 3.2: Idea de la demostracion para ver que R y R2 no son homeomorfos.

Figura 3.3: Ejemplos de espacios topologicos homeomorfos.

Notacion:. Si h : (X, τ) −→ (Y, σ) es un homeomorfismo, se escribe:

(X, τ) ∼= (Y, σ)

y se dice que (X, τ) y (Y, σ) son homeomorfos o equivalentes topologicamente.

Ejemplo 3.2.4.

(0, 1) ∼= [0, 1] difıcil

Ejemplo 3.2.5.

R � R2 difıcil

Idea:Podemos mandar un dibujo en R que se rompe en un dibujo en R2 que no se rompe, estacaracterıstica va hacer que R y R2 no sean homeomorfos. Vease figura 3.2.

Ejemplo 3.2.6. En la figura 3.3 se muestran ejemplos de espacios topologicos homeomorfos.

Ejemplo 3.2.7.

(−1, 1) ∼= R

con el homeomorfismo:h : (−1, 1)

x−→7→

Rx

1−|x|

la pruyeccion.

h−1(ω) =ω

1 + |ω|


Ejemplo 3.2.8.◦

D= {x ∈ Rn : |x| < 1}

h◦

Dx

−→7→

Rn

x1−|x|

es homeomorfismo.

Ejemplo 3.2.9. En este ejemplo encontraremos un homeomorfismo de la bola B(0, 1) en R2 ensi misma que manda un punto en otro y que deja fija la frontera.

D = {x ∈ R2 : |x|61}

Si u, v ∈◦

D⊂ D, u 6= v, entonces existe

ψ : D −→ D

homeomorfismo tal que ψ(u) = v.Para esto, hagamos entonces el siguiente diagrama conmutativo:

R2 T- R2

©

◦

D

h

6

h−1Th-

◦

D

h−1

?

donde

T (z) = z − h(u) + h(v)

T−1(ω) = ω − h(v) + h(u)

ϕ := h−1Th :◦

D−→◦

D

es homeomorfismo tal que ϕ(u) = v, pues:

ϕ(u) = h−1Th(u) = h−1h(v) = v

Definamos entonces:

ψ : Dx−→7→

D{ϕ(x), si x ∈

◦

D;x, si x ∈ ∂D.

3.3. Topologıas finales en iniciales 41

ψ es homeomorfismo tal que ψ(u) = v y ψ∣∣∣∂D

= 1∂D.

ψ−1(ω) =

{ϕ−1(ω), si x ∈

◦

D;ω, si x ∈ ∂D.

Falta verificar que ψ es continua.

P.d. lım|z|→1 ϕ(z) = z.

P.d. lım|z|→1

∣∣∣ T (z)1−|T (z)|

1+| T (z)1−|T (z)| |

− z∣∣∣ = 0

La demostracion se deja como ejercicio.

3.3. Topologıas finales en iniciales

3.3.1. La Topologıa Restringida

(X, ρ) dibujo , A ⊂ X, x ∈ A , B ⊂ A

xρAB⇐⇒xρB

ρA indica una topologıa en A, ¿Cual?

Definicion 3.3.1. Si τ es la topologıa en X, entonces la topologıa restringida es:

τA ={U ∩ A : U ∈ τ

}¿Por que?

A ⊂ Xi : A

x↪→7→

(X, τ)x

Pedimos τA topologıa para A,

i : (A, τA) ↪→ (X, τ)

sea continua.

Tomamos τA la topologıa mas chica de A tal que:

i : (X, τA) ↪→ (X, τ)


resulta continua, o sea,

τA = {i−1(U) : U ∈ τ}

Si U ∈ τ , i−1(U) = U ∩ A, o sea,

τA = {U ∩ A : U ∈ τ}

3.3.2. Topologıas Iniciales

Definicion 3.3.2. (X, τ) espacio topologico. f : Y −→ X funcion, σ topologıa para Y . En-tonces σ se llama la topologıa inicial de X respecto a f , τ ssi σ es la topologıa mas chica deY tal que:

f : (Y, σ) −→ (X, τ)

resulta continua.

Teorema 3.3.1. f : (Y, σ) −→ (X; τ). Son equivalentes:

a) σ es la topologıa inicial respecto a f, τ

b) σ ={f−1(U) : U ∈ τ

}c) Si β es base de τ , entonces

{f−1B : B ∈ β

}es base de σ.

d) Con subbases tambien

e) f es continua ∧∀g : (Z, ζ) −→ (Y, σ)f ◦ g es continua =⇒g es continua.

f) f es continua ∧∀h continua y biyectiva∀g continuaSi conmuta el diagrama:

(Y, σ)f

- (X, τ)

◦

(Z, ζ)

g

-

h

-

g ◦ h = f . Entonces h es homeomorfismo.


Demostracion. ”a)=⇒b)” Supongamos que σ es la topologıa inicial respecto a f, τ , y:

σ0 = {f−1(U) : U ∈ τ}.

P.d. σ = σ0.

Como f : (Y, σ0) −→ (X, τ) es continua.∴ σ ⊂ σ0, pues σ es un Inf .

Como f : (Y, σ) −→ (X, τ) es continua.∴ σ0 ⊂ σ (f−1(U) ∈ σ ∀U ∈ τ).

”b)=⇒c)” Supongamos que σ = {f−1(U) : U ∈ τ}.

Sea β una base de τ .

P.d. f−1β ={f−1B : B ∈ β

}es base de σ.

Sea ω ∈ σ, entonces ω = f−1(U) para U ∈ τ .

P.d. ω es union de elementos de f−1β.β es base de τ , entonces:

U =⋃D

con D ⊂ β.

∴ f−1(U) = f−1(⋃D) =

⋃ {f−1(B) : B ∈ D

}, y{

f−1B : B ∈ β}⊂ f−1β

”c)=⇒d)” Mas o menos facil.

”d)=⇒e)” Supongamos que para toda γ subbase de τ , f−1γ es subbase de σ.

”f es continua”, por algun inciso de un teorema anterior con γ = τ .

Sea g : (Z, ζ) −→ (Y, σ).

Supongamos que f ◦ g es continua.P.d. g es continua.

τ es subbase de τ .∴ f−1τ es subbase de σ por hipotesis.P.d. g−1(f−1τ) = {g−1(f−1(U)) : U ∈ τ} es subbase de ζ.


Pues sı, porque f ◦ g es continua.

”e)=⇒f)” ”f continua” por hipotesis.

Sea g continua, h continua y biyectiva y supongamos que el diagrama:

(Y, σ)f

- (X, τ)

◦

(Z, ζ)

g

-�

h −1

h-

conmuta.

P.d. h es homeomorfismo.

P.d. h−1 es continua.

f ◦ h−1 = g es continua, pues el diagrama anterior conmuta.

∴ h−1 es continua, por hipotesis.

”h)=⇒a)” Supongamos las hipotesis.

P.d. σ es inicial.Tomamos σ0 la topologıa inicial de Y respecto a f, τ .

P.d. σ = σ0.Por hipotesis f : (Y, σ) −→ (X, τ) es continua.∴ σ0 ⊂ σ.

El diagrama:

(Y, σ)f

- (X, τ)

◦

(Y, σ0)

f

-

1

-

conmuta (f ◦ 1 = f).

f : (Y, σ0) −→ (X, τ)


Figura 3.4: Topologıa Inicial

es continua, pues σ0 es inicial.

1 : (Y, σ) −→ (Y, σ)

es continua, porque σ0 ⊂ σ y es biyectiva, ası que es un homeomorfismo.

Por lo tanto:

1−1 = 1 : (Y, σ0) −→ (Y, σ)

es continua.

∴ σ ⊂ σ0

Ejemplo 3.3.1. A ⊂ X, (X, τ) espacio topologico.

τA ={A ∩ U : U ∈ τ

}es la topologıa inicial respecto e i : A ↪→ X, τ .

Ejemplo 3.3.2. Si f : S1 −→ (R2, τ) es como en la figura 3.4.

Si σ es la topologıa inicial para S1 respecto a f, τ , entonces (S1, σ) se ve como en la figura3.3.2.

¿Cuales son las funciones importantes en el tema de las topologıas iniciales?

Las funciones f : (Y, σ) −→ (X, τ) iniciales e inyectivas.

Teorema 3.3.2. Sea f : (Y, σ) −→ (X, τ) inicial e inyectiva. Entonces f es homeomorfismosobre su imagen.


Figura 3.5: Hipotesis para la Propiedad Universal de los Encajes

3.3.3. Encajes

Definicion 3.3.3. (X, τ) espacio topologico. A ⊂ X, α topologıa de A. Entonces (A,α) sellama subespacio de (X, τ) ssi α es inicial con respecto a i : A ↪→ X, τ . (α se llama la topologıainducida por τ).

Definicion 3.3.4. f : (Y, σ) −→ (X, τ) continua. Entonces f se llama encaje (inmersion)ssi f es inyectiva y σ es inicial.

Notacion:.monomorfismo=funcion inyectiva.

epimorfismo=funcion suprayectiva.

isomorfismo=funcion biyectiva.

Proposicion 3.3.3. f : (X, τ) −→ (Y, σ) monomorfismo continuo.

f es abierta =⇒ f es encaje.(f es cerrada =⇒ f es encaje.)

Demostracion. P.d. τ es inicial g : (Z, ζ) −→ (X, τ).

Supongamos f ◦ g es continua.Sea U ∈ τ . P.d. g−1U ∈ ζ.

Por hipotesis f(U) ∈ σ, ∴ (f ◦ g)−1f(U) ∈ ζ y

g−1f−1f(U) = g−1(U)

porque f es monomorfismo.

Observacion: 3.3.1. f es encaje ⇐⇒ f es homeomorfismo sobre su imagen.


Proposicion 3.3.4. (Propiedad Universal de los Encajes). f : (X, τ) −→ (Y, σ) encaje,g : (Z, ξ) −→ (Y, σ) continua.Supongamos que g(Z) ⊂ f(X). Vease 3.5.

(Z, ξ)g

- (Y, σ)

◦

(X, τ)

f

-

g

-

=⇒∃! g : (Z, ξ) −→ (X, τ) continua tal que:

f ◦ g = g

Demostracion. Definamos:

g : Zx

−→7→

Xf−1(g(x))

g(x) = es el unico elemento de f−1(g(x)),porque f es monomorfismo.

∴ g es funcion.

Claramente g es continua, porque f ◦ g = g es continua y f es inicial (inciso e)).Si f ◦ h = g = f ◦ g ∴ h = g (cancelable por la izquierda).

∴ h = g.

Proposicion 3.3.5. La categorıa Top (categorıa de espacios topologicos) es epimonofactoriz-able.

(X, τ)a

- (Y, σ)

◦

(Z, η)

m

-

e

-

∃e epimorfismo m encaje tal que m ◦ e = a

Demostracion. Definamos:Z := a(X), η := σ∣∣

a(X)


e := a , m = i : (Z, η) ↪→ (Y, σ)

Si:

m′ ◦ e′ = a

es otra epimonofactorizacion, entonces existe h homeomorfismo:

(X, τ)a

- (Y, σ)

◦e

-

(Z, η)

m

-

-

(ω, ξ)

h

?

-

e ′

-

(Z, η)m

- (Y, σ)

◦

(ω, ξ)

m′

-∃!h

-

�

∃!g

m(z) ⊂ m′(ω) m

′(ω) ⊂ m(Z),

y ∈ m(Z), y = m(u). Como e es epimorfismo, u=e(x),

e(m(x)) = a(x) = y

m′ ◦ e′(x) = a(x) = y

∴ y ∈ m′(ω).

(m ◦ g) ◦ h(x) = m′ ◦ h(x) = m(x)

Entonces g ◦ h conmuta el diagrama y 1 tambien.

(Z, η)m

- (Y, σ)

◦

(Z, η)

m

-�

g ◦h

1


Entonces:

g ◦ h = 1

Analogamente:

h ◦ g = 1

∴ h es homemomorfismo.

Corolario 3.3.6. f es encaje ⇐⇒f es homeomorfismo sobre su imagen.

(X, τ)F

- (Y, σ)

◦f

-

(f(X), σ∣∣f(X)

)

(Z, η)

h

?

6

(X, τ)

-

f : (X, τ) −→ (Y, σ)

funcion continua. A ⊂ X, B ⊂ Y , f(X) ⊂ B, i : A ↪→ X inclusion.

f∣∣A

:= f ◦ i

(X, τ)f

- (Y, σ)

◦

(B, σ∣∣B)

i

-˜f=f

∣∣B -

f

∣∣B

:= f


f

∣∣B

(x) = fB(i(x)) = f(x)

f∣∣∣BA

= f

∣∣B

◦ i

Capıtulo 4

Productos Topologicos y Fuentes

4.1. Producto Cartesiano

En esta seccion vamos a generalizar la idea de producto cartesiano el conjunto de los ”fac-tores” es de cardinalidad mayor a dos, incluso infinito no numerable.

Sea{Aα

}α∈I

una familia de conjuntos.

¿ Que es∏

α∈I Aα?

Un elemento se debe ver como

{xα}α∈I =(xα

)α∈I∈

∏α∈I

Aα

y debe cumplir: (xα

)α∈I

=(yα

)α∈I⇐⇒xβ = ybeta ∀β ∈ I

(3,+7,−1, 2) = 3(1, 0, 0, 0) + 7(0, 1, 0, 0)− 1(0, 0, 1, 0) + 2(0, 0, 0, 1)

f : {1, 2, 3, 4} −→ Z

funcion

1 7→ 3

2 7→ 7

3 7→ − 1

4 7→ 2

(♥,♣,>, 27)

f : {1, 2, 3, 4} −→ Z ∪ {♥,♣,>}

52 4. Productos Topologicos y Fuentes

funcion

1 7→ ♥

2 7→ ♣

3 7→ >

4 7→ 27

Son iguales ssi tienen las mismas entradas.

f =( 1 2 3 4

3 7 −1 2

)f = (3, 7,−1, 2)

g =( 1 2 3 4♥ ♣ > 27

)g = (♥,♣,>, 27)

Definicion 4.1.1. {Aα}α∈I familia de conjuntos. Entonces:∏α∈I

Aα := {f : I −→⋃α∈I

Aα funci′

o n∣∣∣ f(α) ∈ Aα ∀α ∈ I}

se llama producto cartesiano de {Aα}α∈I

Notacion:. F familia de conjuntos, ponemos entonces:∏F =

∏A∈F

A

Si f ∈∏

α∈I Aα se escribe:

f =(f(α)

)α∈I

=(fα

)α

= {fα}α∈I

Se tienen las siguientes funciones:

pβ :∏α∈I

Aα −→ Aβ

para cada β ∈ I, dada por:

pβ(f) := f(β).

O sea,

pβ

(fα

)α∈I

= fβ

4.1. Producto Cartesiano 53

pβ es la proyeccion β-esima.

En otras palabras:

f =(fα

)α∈I

=(pα(f)

)α∈I

.

Se cumple que, f, g ∈∏

α∈I Aα

f = f⇐⇒pβf = pβg ∀β ∈ I

⇐⇒fβ = gβ ∀β ∈ I ,O sea, el conjunto

∏α∈I Aα se proyecta en los Aβ ∀β ∈ I.

4.1.1. Propiedad Universal del Producto Cartesiano

∏α∈I

Aα�

qY

◦

Aβ

�

q βpβ

-

q es tal que:

pβ ◦ q = qβ ∀βsuponiendo que tenemos qβ ∀β

Esta se llama la Propiedad Universal del Producto Cartesiano.


q Yy−→7→

∏Aα(

qα(y))

α∈I

q es funcion y

pβ

(qα(y)

)α∈I

= qβ(y).

Si

r : Y −→∏

Aα

es tal que

pβr = qβ ∀β,


entonces si r(y) =(rα

)α∈I

pβ(r(y)) = rβ = qβ(y) ,

O sea,

r(y) =(qβ(y)

)= q(y)

Proposicion 4.1.1. Supongamos que Z es un conjunto y πα : Z −→ Aα funciones ∀α ∈ Itales que:

Z �∃!q

Y

◦

Aβ

�

q βπβ

-

Entonces Z ∼=∏

α∈I Aα

Demostracion.

Z �P ∏

Aα

◦

Aβ

�

p βπβ

-

y

Zπ

-∏

Aα

◦

Aβ

�

p βπβ

-

Componiendo tenemos:

4.1. Producto Cartesiano 55

Z �p ◦ π

Z

◦

Aβ

�

π βπβ

-

y

Z �1

Z

◦

Aβ

�

π βπβ

-

Por lo que tenemos:

(πβ ◦ p) ◦ π = pβ ◦ π = πβ

∴ p ◦ π = 1Z .

Analogamente π ◦ p = 1QAα .

De acuerdo con este teorema, el producto cartesiano de {Aα}α∈I es {pβ :∏

α∈I Aα −→Aβ}β∈I .

Lo que nos dice esto es que debemos pensar en las proyecciones si queremos darle latopologıa a

∏α∈I Aα.

Si {(Aα, aα)}α∈I familia de espacios topologicos.

4.1.2. Producto Topologico

¿Que topologıa le damos a∏Aα?

pβ :∏α∈I

Aα −→ (Aβ, aβ)

τ = Inf{b topolog′

i a de∏

Aα

∣∣∣pβ : (∏

Aα, β) −→ (Aβ, aβ) es continua}


se llama la topologıa producto de {aα}, y

( ∏α∈I

Aα, τ)

se llama el producto topologico de {(Aα, aα)}α∈I .

4.2. Fuente entre Espacios Topologicos

Definicion 4.2.1. Una familia {fα : X −→ Aα}α∈I de funciones con dominio comun se llamauna fuente con dominio X.

Definicion 4.2.2. {(Aα, τα)}α∈I familia de espacios topologicos, {fα : X −→ Aα} fuente.Entonces la topologıa inicial respecto a {fα}α∈I , {τα}α∈I es:

τ := Inf{τ topolog′

i a de X∣∣∣ fα : (X, σ) −→ (Aα, τα) es continua}

Teorema 4.2.1. {fi : (X, τ) −→ (Xi, τi)}i∈I fuente entre espacios topologicos. Son equiva-lentes:

a) τ es la topologıa inicial con respecto a {fi}, {τi}

b)⋃

i∈I{f−1i (U) : U ∈ τi} es subbase de τ .

c) Si γi es subbase de τi ∀i =⇒⋃

i∈I{f−1i (G) : G ∈ γi} es subbase de τ

d) fi es continua ∀i ∧ si fi ◦ g es continua ∀i=⇒ g es continua.

e) fi es continua ∀i ∧ si el siguiente diagrama conmuta ∀i

(X, τ)fi - (Xi, τi)

◦

(Z, η)

g i

-

h-

gi continua, h continua y biyectiva =⇒ h es homeomorfismo.

Ejemplo 4.2.1. {fi : X −→ (Xi, τi)}i∈I fi constante ∀i, τ la topologıa inicial(f−1

i (U) ={ ∅X

)entonces (X, τ) es indiscreta.

4.2. Fuente entre Espacios Topologicos 57

Figura 4.1: Ejemplo de una fuente que no separa puntos

Ejemplo 4.2.2. {fi : X −→ (Xi, τi)}i∈I τi indiscreta ∀i, τ la topologıa inicial de X. Entonces(X, τ) es indiscreta.

Definicion 4.2.3. {fi : (X, τ) −→ (Xi, τi)}i∈I fuente =⇒{fi}i∈I separa puntos de cerradosssi ∀F ⊂ X, x /∈ F cerrado ∃i ∈ I tal que fi(x) /∈ fi(F ).

Teorema 4.2.2. {fi : (X, τ) −→ (Xi, τi)}i∈I . Son equivalentes:

i) {fi}i∈I separa puntos de cerrados.

ii)⋃

i∈I f−1τi es base de τ

Corolario 4.2.3. Si {fi : (X, τ) −→ (Xi, τi)}i∈I separa puntos cerrados, entonces τ es inicialcon respecto a {fi}, {τi}.

Ejemplo 4.2.3. {p1, p2 : (0, 1)× (0, 1) −→ (0, 1)} es inicial.

g : Z −→ (0, 1)× (0, 1)”Si p1 ◦ g y p2 ◦ g son continuas, entonces g es continua.”

Demostracion. ejercicio.

Y {p1, p2} no separa puntos de cerrados. Vease figura 4.1.

Proposicion 4.2.4. Supongamos que el diagrama de funciones continuas:

(X, τ)fi - (Xi, τi)

◦

(Z, η)

g i

-

h-

conmuta.

i) Si {fi} es inicial =⇒ h es inicial.


ii) Si h es inicial y {gi} es inicial =⇒ {fi} es inicial.

Definicion 4.2.4. {(Xi, τi)}i∈I familia de espacios topologicos,

{pi :∏i∈I

Xi −→ Xj}j∈I

la fuente de las proyecciones.

τ la topologıa inicial de∏Xi respecto a {pi}, {τi}. Entonces:

( ∏i∈I

Xi, τ)

se llama el producto topologico de {(Xi, τi)}i∈I .

Notacion:. A veces se escribe:

τ =∏i∈I

τi

{(Xi, τi)}i∈I , (∏Xi, τ) el producto topologico.

¿Como se ve un abierto de∏

i∈I Xi?

U ∈ τ

¿Como se ve p−1i (U)?

” p−1i (U) = U ×

∏j∈I−{i}Xj ” esta mal escrito, solo hay que poner orden diferente.

Lo que esta bien escrito es:

p−1i (U) =

∏j∈I

Vj,

donde Vj = Xj si i 6= j, y Vi = U .

U1 ∈ τi1 , U2 ∈ τi2 , ... Un ∈ τin

p−1i1

(U1) ∩ p−1i2

(U2) ∩ ... ∩ p−1in

(Un) = U1 × U2 × ...× Un ×∏

j∈I−{i1,....,in}

Xj


{pi :∏j∈I

Xj −→ Xi}i∈I

debe ser una fuente ”inyectiva”.

¿Que es una fuente ”inyectiva”.

Mala definicion:

Definicion 4.2.5. 1.-{fi : X −→ Xi {fi} inyectiva ssi {fi} tiene inversa por la izquierda.

Buenas definiciones:

Definicion 4.2.6. 2.-{fi : X −→ Xi {fi} inyectiva ssi:

∀g, h : Z −→ X fi ◦ g = fi ◦ h ∀i=⇒g = h

Definicion 4.2.7. 3.-

{fi : X −→ Xi {fi} inyectiva ssi:

x, y ∈ X si x 6= y=⇒∃i ∈ I tal que fi(x) 6= fi(y)

Proposicion 4.2.5.

Dfn, 1⇐⇒Dfn,2

Demostracion.=⇒

]Sean x, y ∈ X tal que x 6= y.

P.d ∃i ∈ I tal que fi(x) 6= fi(y).

Supongamos que ∀i ∈ I, fi(x) = fi(y).

Definamos g, h : X −→ X, g(u) = x y h(u) = y ∀u ∈ X.

∴ g 6= h, pero:

∀i∀u ∈ X fi ◦ g(u) = fi(x) = fi(y) = fi ◦ h(u)


∴ ∀i ∈ I fi ◦ g = fi ◦ h

∴ g = h v !

”⇐]”

Sea fi ◦ g = fi ◦ h∀i.

P.d. g = h.

Sea u ∈ Z.P.d. g(u) = h(u) (tienen el mismo dominio y contradominio, solo hay que ver la regla de cor-respondencia).

Supongamos que g(u) 6= h(u) ∈ X.∴ ∃a ∈ I tal que fa(g(u)) 6= fa(h(u)).

Como a ∈ I, ∴ fa ◦ g = fa ◦ h, por hipotesis.

En particular fa(g(u)) = fa(h(u)) v!.

Corolario 4.2.6.

{fi}es monofuente⇐⇒{fi}separa puntos

Observacion: 4.2.1.

{pu :∏i∈I

Xi −→ Xu}u∈Ies monofuente

Observacion: 4.2.2.

pues supra si Xi 6= ∅ ∀i

Si Xa = ∅, a ∈ I, entonces∏

i∈I Xi = ∅.

¿∏

i∈I Xi = ∅=⇒∃i ∈ I tal que Xi = ∅?

¿∀i ∈ I, Xi 6= ∅=⇒∏Xi∅?

Sı.

Demostracion. Supongamos que Xi 6= ∅∀i.P.d. ∃f : I −→

⋃i∈I Xi tal que f(i) ∈ Xi∀i.

Tomamos ai ∈ Xi para cada i ∈ I, que hay al menos uno, pues Xi 6= ∅ y por el Axioma deEleccion.


Definimos:

f(i) = ai

{(Xi, τi)} familia de espacios topologicos.

∏i∈I

Xi = {f : I −→⋃i∈I

∣∣∣f(i) ∈ Xi∀i ∈ I}

pj

∏i∈I Xi(xi

)i∈I

−→7→

Xi

xi

τ = Inf{βtopologıa de∏

Xi

∣∣∣pj :( ∏

Xi, β)−→ (Xj, τj) es continua ∀j}

Observacion: 4.2.3. Recordatorio:τ tiene como subbase a: ⋃

i∈I

{p−1i (U) : U ∈ τi}

Si Xj = ∅ para algun j ∈ I=⇒∏

i∈I Xi = ∅.

Axioma de eleccion: (∀j ∈ I,Xj 6= ∅

)=⇒

∏i∈I

Xi 6= ∅

Si ∀i ∈ I, Xi 6= ∅, entonces pj es suprayectiva ∀j ∈ I

Proposicion 4.2.7.

{pj :( ∏

i∈I

, τ)−→ (Xj, τj)}j∈I

es monofuente inicial.

Demostracion. Es inicial por definicion.

Si(xi

)i∈I6=

(yi

)i∈I

. Entonces xj 6= yj para algun j ∈ I.

∴ pj

(xi

)i∈I6= pj

(yi

)i∈I

Proposicion 4.2.8.

∀j ∈ I, pj :( ∏

Xi, τ)−→ (Xj, τj)

es abierta.


Demostracion. Sea

U ∈⋃i∈I

{p−1i (V ) : V ∈ τi}i∈I

subbase de τ .

P.d. pj(U) ∈ τj

U = p−1i (V ) para algun V ∈ τj para algun i ∈ I.

pj(U) =

{V, si i = j;Xi, si i 6= j.

p−1i (V ) = V ×

( ∏r∈I−{i}

Xr

)∴ pj(U) ∈ τj

4.3. Propiedad Universal de los Productos

Teorema 4.3.1. (Propiedad Universal de los Productos). Si qj : (Y, σ) −→ (Xj, τj) soncontinuas ∀j ∈ I.

( ∏Xi

)�

∃!q(Y, σ)

◦

(Xj, τj)

q j

-

pj

-

Entonces ∃! q : (Y, σ) −→( ∏

Xi, τ)

continua tal que:

pj ◦ q = qj ∀j ∈ IDemostracion. Definamos:

q : Yy

∏Xi(

qi(u))

i∈I

Como pj ◦ q = qj es continua ∀j ∈ I.

∴ q es continua, pues τ es inicial.

4.3. Propiedad Universal de los Productos 63

Proposicion 4.3.2.F = {(Xu, τu)}u∈µ

familia de espacios topologicos.( ∏u∈µXu, τ

)es producto topologico de F . Son equivalentes:

a) ∃h :( ∏

Xu, τ)−→ (Y, σ) homeomorfismo.

b) ∃{qu : (Y, σ) −→ (Xu, τu)}u∈µ fuente de funciones continuas tales que:

(Y, σ) �∃!r

(Z, η)

◦

(Xu, τu)�

r uqu

-

(Y, σ) �∃!p ( ∏

v∈µ

Xv, τ)

◦

(Xu, τu)�

p uqu

-

y

(Y, σ)∃!q

-( ∏

v∈µ

Xv, τ)

◦

(Xu, τu)�

p uqu

-

(Y, σ)p ◦ q

- (Y, σ)

◦

(Xu, τu)�

q uqu

-


y

(Y, σ) �1r

(Y, σ)

◦

(Xu, τu)�

q uqu

-

Proposicion 4.3.3. Sea ϕ : µ −→ µ biyectiva. Entonces:

( ∏u∈µ

Xu, τ) ∼= ( ∏

u∈µ

Xϕ(u), σ),

donde τ y σ son las topologıas iniciales con respecto a las proyecciones.

ϕ : {1, 2} −→ {1, 2}

1 7→ 2

2 7→ 1

∏i∈{1,2}

Xi = X1 ×X2

∏i∈{1,2}

Xϕ(i) = Xϕ(1) ×Xϕ(2) = X1 ×X2

(xu

)u∈µ7→

(xϕ(u)

)u∈µ

( ∏u∈µ

Xu, τ) ∼= -

( ∏u∈µ

Xϕ(u), σ)

◦

Xv

�

q vpv -

Proposicion 4.3.4. Ley Asociativa:

Sea {Mi}i∈K particion de µ.


(M =

⋃i∈K

Mi y Mi ∩Mj = ∅ si i 6= j)

( ∏i∈k

( ∏u∈Mi

Xu

), τ

)∼=

( ∏u∈M

Xu, σ),

donde τ y σ son las topologıas iniciales respecto a las proyecciones.

Demostracion. Para cada i ∈ K, cada u ∈Mi, se tiene:

pu :∏

v∈MiXv(

xv

)v∈Mi

−→7→

Xu

xu

Para cada i ∈ K:

qi :∏

i∈K

( ∏u∈Mi

Xu

)((xu)

)i∈K

−→7→

∏u∈Mi

Xu(xu

)u∈Mi∏

i∈K

(∏

u∈Mi

Xu)

∏u∈M

Xu

�

h

-∏u∈µi

Xu

qi

-

�

p v◦ q

i

Xv

pv

?Xv

pu

?

v ∈M porque M =⋃Mi.

Si logramos la existencia de la funcion en la lınea punteada, ya acabamos.

ejercicio.

Notacion:. ∏u∈µ

Xu�

∃!fY

◦

X�

f v

pv -

pv ◦ f = fv.


Se escribe

f =(fu

)u∈µ

Para y ∈ Y :

f(y) =(fu

)u∈µ

(y) =(fu(y)

)u∈µ

∏u∈µ

Xu�∃!f ∏

u∈µ

Yu

©

Xv

pv

?�

fv

Yv

?

∃!f tal que pv ◦ f =(fv ◦ qv

)∀v.

Se escribe:

f =∏u∈µ

fu

Si(yu

)u∈µ∈

∏Xu,

f(yu)u∈µ =(fu(yv)

)v∈µ

X1 ×X2

X1

�

p 1

X2

p2

-

Y

(f1, f2)

6

f 2

-�

f1

(f1, f2)(y) = (f1(y), f2(y))


X1 ×X2

X1

�

p 1

X2

p2

-

Y1

f1

6

Y2

f2

6

Y1 × Y2

(f1 × f2)

6

q 2

-�

q1

Ejemplo 4.3.1. X = {0}, Y espacio topologico. ¿Como se ve X × Y ?

X × Y ∼= Y

X × Y

X�

p 1

Y

p2

-

Y

∃!f

6

1

-�

0

Ejemplo 4.3.2. X = ({0, 1},P({0, 1})).

X × Y ∼= {0} × Y ∪ {1} × YVease figura 4.2.

Las siguientes figuras tratan sobre ejemplos de productos topologicos.

En la figura 4.3 se muestra el producto I × I.

En la figura 4.4 se muestra el producto de la figura ”Y ”×I y en diferente orden (homeo-morfos).


Figura 4.2: Ejemplo de Productos Topologicos

Figura 4.3: I × I

Figura 4.4: La figura ”Y ” ×I

Figura 4.5: S1 × I y I × S1


Figura 4.6: S1 × S1

Figura 4.7: I × (S1 × I) y S1 × (S1 × I)

En la figura 4.5 tenemos S1 = {x ∈ R2 : |x| = 1} y hacemos el producto con I por ambaspartes.

En la figura 4.6 se muestra el producto S1 × S1, conocido como el toro.

En la figura 4.8 se muestran los productos I × (S1 × I) y S1 × (S1 × I).

Sin embargo, ya no podemos imaginar S1×S1×S1, hay que pegar las caras correspondientesen el cubo, ver figura 4.9.

Figura 4.8: I × (S1 × I) y S1 × (S1 × I)


Figura 4.9: Hay que pegar las caras correspondientes del cubo para S1 × S1 × S1

Capıtulo 5

Cocientes e Identificaciones

En este capıtulo entraremos en el mundo de la matematica pura.

5.1. Topologıas Finales

Definicion 5.1.1. (X, τ) espacio topologico, Y conjunto.

f : X −→ Y

y σ topologıa para Y . Entonces σ se llama la topologıa final de Y con respecto a τ y a f ssi:

σ = Sup{β topologıa de Y∣∣∣f : (X, τ) −→ (Y, σ)es continua}

Teorema 5.1.1. f : (X, τ) −→ (Y, σ). Son equivalentes:

a) σ es la topologıa final con respecto a τ y f .

b) σ = {U ⊂ X : f−1(U) ∈ τ}

c) ¿Si β es base de τ , {V ⊂ Y : f−1(V ) ∈ β} es base de σ?

d) f es continua ∧ g : (Y, σ) −→ (Z, η) tal que g ◦ f es continua =⇒ g es continua.

e) f continua ∧ si conmuta el diagrama:

(Y, σ) �f

(X, τ)

©

(Z, η)�

g

�

h

Donde h es biyectiva y continua, g es continua =⇒ h es homeomorfismo.

72 5. Cocientes e Identificaciones

f) F ⊂ Y es cerrado ⇐⇒ f−1(F ) es cerrado en X

Demostracion. ”a)=⇒b)”

Supongamos que σ es topologıa final.

σ0 = {U ⊂ X : f−1(U) ∈ τ}.

σ0 es topologıa para Y .

f : (X; τ) −→ (Y, σ0) es continua.

∴ σ0 ⊂ σ.

Si U ∈ σ=⇒f−1(U) ∈ τ , porque f : (X, τ) −→ (Y, σ) es continua.

U ∈ σ0.

”b)=⇒d)”

f es continua por la hipotesis sobre σ.Supongamos que g ◦ f es continua.

U ∈ η.P.d. f−1(g−1(U)) ∈ τ .P.d. (g ◦ f)−1(U) ∈ τ .

Pues sı, pues g ◦ f es continua.

”d)=⇒e)=⇒a)” Igualito.

5.2. Identificaciones

¿Cuales son las funciones mas importantes y que nos van a interesar? Son las siguientes:

Definicion 5.2.1. f : (X, τ) −→ (Y, σ) continua. Entonces f se llama submersion, identi-ficacion ssi σ es topologıa final y f es funcion suprayectiva.

Teorema 5.2.1. Toda submersion es un cociente, salvo homeomorfismo.

Demostracion. Por inciso e) y la proyeccion.

Sea f : X −→ Y funcion suprayectiva.

5.2. Identificaciones 73

Definamos:

∼f : X −→ X

∀x, y ∈ X, x ∼f y⇐⇒f(x) = f(y)

Proposicion 5.2.2. ∼f es relacion de equivalencia.

Demostracion.x ∼f x pues f(x) = f(x).

x ∼f y=⇒f(x) = f(y)=⇒f(y) = f(x)=⇒y ∼f x.

x ∼f y ∧ y ∼f z=⇒f(x) = f(y) = f(z)=⇒x ∼f z.

Definicion 5.2.2. Para x ∈ X y ∼ relacion de equivalencia en X:

[x] := {y ∈ X : y ∼ x}

X/∼:=

{[x]

∣∣∣x ∈ X}y

π : Xx

−→7→

X/∼

[x]

se llama la proyeccion natural.

∼f es relacion de equivalencia en X.

πf : Xx

−→7→

X/∼f

[x]

la proyeciion natural.

Xf

- Y

©

X/∼f

f

-πf

-


f [x] = f(x)

Teorema 5.2.3. (Propiedad Universal de los Cocientes)X conjunto, ∼: X −→ X relacion de equivalencia. Supongamos ademas que f : X −→ Y esfuncion tal que:

x ∼ y=⇒f(x) = f(y)

Entonces ∃!f : X/∼−→ Y funcion continua tal que:

f ◦ π = f

Xf

- Y

©

X/∼

∃!f-

π

-


f : X/∼

[x]

−→7→

Yf(x)

Supungamos que [x] = [y] (x ∼ y).

P.d. f(x) = f(y) trivial

Corolario 5.2.4. Con las hipotesis anteriores, f es isomorfismo ⇐⇒ (x ∼ y ⇐⇒ f(x) =f(y))

Definicion 5.2.3. Si (X, τ) es espacio topologico, ∼: X −→ X relacion de equivalencia y σla topologıa final con respecto a τ y:

π : X −→ X/∼ .

Entonces (X/∼, σ) se llama el cociente topologico de (X, τ) bajo σ.

Notacion:. Usualmente se escribe σ = τ/∼

A ⊂ X , x ∼ y ⇐⇒ (x = y) o x, y ∈ ALlamamos:


Figura 5.1: Cociente sobre un subconjunto de un espacio topologico

Figura 5.2: Cociente I/{0, 1}

X/A := X

/∼

X espacio topologico, ¿Como se ve X/A?. Vease figura 5.1.

Ejemplo 5.2.1. I = [0, 1]

I/{0, 1} ∼= S1

Vease figura 5.2.

Recordatorio:

f : (X, τ) −→ (Y, σ)

continua. f se llama identificacion ssi f es funcion suprayectiva y σ es final con respecto a τ, f .

Proposicion 5.2.5. f : (X, τ) −→ (Y, σ) identificacion.∀g continua, si

(f(x) = f(y)=⇒g(x) = g(y)

)Entonces ∃!g continua tal que:

g ◦ f = g


Figura 5.3: Diagrama de Identificacion

(X, τ)g

- (Z, η)

©

(Y, σ)

∃!g-

f

-

Demostracion. Definamos primero g : Y −→ Z.

Sea y ∈ Y . Como f es suprayectiva,∴ f−1(y) 6= ∅ (como conjuntos).

Tomamos:

xy ∈ f−1(y) := f−1({y})

g : y 7→ g(xy)

Con esto, vemos que ”g es funcion.” Vease figura 5.3.

Sea x ∈ f−1(y).P.d. g(x) = g(xy).

Como x, xy ∈ f−1(y),∴ f(x) = y = f(xy), y por hipotesis g(x) = g(xy).

Claramente g ◦ f = g.


Si h ◦ f = g = g ◦ f , como f es funcion suprayectiva,

h = g.

∴ g es ”unica”.

Como g ◦ f = g es continua y σ es final,

∴ g es continua.

Ahora demostraremos lo que ya dijimos antes:

I/{0, 1} ∼= S1

Demostracion. COnstruimos g : I −→ S1 continua que identifique lo mismo que:

π : I −→ I/{0, 1}

Definamos las funciones:

g : It−→7→

S1

e2πit = (cos2πit, sen2πit)

g es continua y:

π(x) = π(y)=⇒g(x) = g(y)

g(0) = g(1) = (1, 0)

∴ ∃!g : I/{0, 1} −→ S1 continua tal que:

g ◦ π = g

Ig

- S1

©

I/{0, 1}

�

ππ

-


Ig

- S1

©

I/{0, 1}

∃!g-

π

-

Como g ◦ π = g y g es suprayectiva∴ g es suprayectiva.

Notemos que:

g(x) = g(y)=⇒π(x) = π(y)

Entonces hay que probar que la topologıa de S1 es final con respecto a g.

P.d. U es abierto en S1 ⇐⇒ g−1(U) es abierto en I.

Intuitivamente es clarısimo.

Tenemos que ∃π tal que:

g ◦ π = 1

Ig

- S1

©

S1

g◦ π

-

g

-

Ig

- S1

©

S1

1

-

g

-

∴ g es isomorfismo.

Ejemplo 5.2.2. En

R⊔

R = R× {0}⋃

R× {1}


Figura 5.4: Identificaciones

Figura 5.5: Identificacion D2/S1 ∼= S2

(x, 1) ∼ (y, 0)⇐⇒x, y < 0

(x, 0) ∼ (x, 0) ∧ (y, 1) ∼ (y, 1)

En la figura 5.4 podemos ver cual es la identificacion. π es este caso es un ejemplo de unaidentificacion que no es una funcion abierta.

Ejemplo 5.2.3.

D2

S1∼= S2

Vease figura 5.5.

Demostracion. Construimos g : D2 −→ S2 que identifique lo mismo que π.

¿Quien es g?g va a ser la proyeccion.


Figura 5.6: Ejemplos de Identificaciones (El Toro)

D2 g(la proyeccion)- S2

©

D2/S1

gho

meo

-

π

-

Ejemplo 5.2.4.g : [0, 1)

t−→7→

S1

e2πit

no es identificacion.

En las figuras 5.6, 5.7 y 5.8 se muestran mas ejemplos de identificaciones.

5.3. Teorema de Schonflies

Teorema 5.3.1. f : S1 −→ R2 continua, inyectiva y f(S1) un polıgono. Entonces:

R2 − f(S1)

tiene exactamente dos componentes.

Demostracion. La idea de la demostracion es probar que:

1) R2 − f(S1) tiene al menos dos componentes.

2) R2 − f(S1) tiene cuando mucho dos componentes.

5.3. Teorema de Schonflies 81

Figura 5.7: Ejemplos de Identificaciones

Figura 5.8: Ejemplos de Identificaciones


Figura 5.9: Podemos suponer que ninguna arista de J es horizontal

J = f(S1)

Vamos a dar una funcion:

g : R2 − J −→ D2

continua pero no constante.

Sin perdida de generalidad , podemos suponer que ninguna arista de J es horizontal. Veasefigura 5.9.

Sea p ∈ R2 − J . Sea Lp la recta horizontal que pasa por p.Primer caso:

Lp no tiene vertices de J . Definimos:

g(p) := ](Lp ∩ J a la derecha de p

)mod2

Segundo caso:

Si Lp tiene vertices de J .Tomando L

′horizontal un poquito arriba de Lp tal que L

′no tiene vertices de J ,

g(p) := ](L′ ∩ J a la derecha de p

′mod2

Entre Lp y L′no hay vertices de J . V

ease figura 5.10.”g es funcion”

En el primer caso se cumple, y en el segundo esta bien porque todo es modulo 2.

Claramente g es continua.

”g no es constante”


Figura 5.10: Entre Lp y L′no hay vertices de J

Figura 5.11: La funcion g no es constante

Tenemos que ∃q de norma suficientemente grande de tal forma que g(q) = 0, y tambienexiste p de tal forma que g(p) = 1. Vease figura 5.11.

∴ R2 − J es disconexo.

Vamos a construir una vecindad N de J , como en la figura 5.12.x ∈ N − J . Construimos:

α : I −→ N − J

que conecta a x con p o con q, como se muestra en las figuras 5.3 y 5.13.Sea z ∈ R2 − J , se puede conectar con p o con q sin tocar J .

Figura 5.12: Vecindad N de J


Figura 5.13: Trayectoria que conecta a x con p o con q


Figura 5.14: R2 − f(Θ) tiene exactamente tres componentes

∴ N − J tiene cuando mucho dos componentes.

Ejemplo 5.3.1. f : Θ −→ R2 continua e inyectiva. Entonces:

R2 − f(Θ)

tiene exactamente tres componentes, como en la figura 5.14.

Afirmacion:

α : I −→ R2 continua e inyectiva, entonces R2 − α(I) es conexo.

Teorema 5.3.2. (Teorema de Schonflies). Si f : S1 −→ R2 es continua e inyectiva yf(S1) es un polıgono, entonces la parte de adentro de f(S1) es un disco.

Demostracion. Sea:

J = f(S1)

y A la parte de adentro de J .

A se puede triangular, como en la figura 5.15, y despues se ”martilla”.

Todas las rectas descomponen a A en convexos.

SeaA = σ1 ∪ σ2 ∪ ... ∪ σn,

donde σi es triangulo.

∃k tal que σk ∩ J es exactamente una arista de σk o exactamente dos aristas.


Figura 5.15: Figura Triangulada

La demostracion de esto es inductiva.

Voy a dar un homeomorfismo

h : R2 −→ R

tal que h(A) se puede triangular con n− 1 triangulos.

O sea, si J1 y J2 son curvas de Jordan poligonales, entonces existe h : R2 −→ R2 homeo-morfismo tal que h(J1) = J2

terminar la demostracion.


Para la bibliografia:

Bibliografıa

[1] Salicrup. Introduccion a la Topologıa. Por Anunciar, first edition.

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE …hernande/Files/NotasTopologia.pdf · Cap´ıtulo 1...

Documents

Transcript of UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE …hernande/Files/NotasTopologia.pdf · Cap´ıtulo 1...