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Universidad Autonoma Metropolitana (Iztapalapa)

Geometrıa y TrigonometrıaModulo de Cursos Complementarios - CA53

Tarea # 4

3/XII/2010

I. Este ejercicio tiene que ver con las formulas para el seno de la suma dedos angulos y el coseno de la resta de dos angulos.

1. Justifica la igualdad

cospx� yq � senppπ{2 � xq � yq (1)

(por lo menos para el caso en que x � y es un angulo agudo). Ahoraaplica la formula

senpx� yq � senx cos y � cosx sen y (2)

al lado derecho de la ecuacion (1) para deducir la formula

cospx� yq � cosx cos y � senx sen y . (3)

2. Con ayuda de tu calculadora, verifica la formula (2) para

sen 165� � senp135� � 30�q .

(Es decir, primero evalua directamente sen 165�, luego calcula senp135��30�q usando la formula (3), y finalmente compara si llegaste al mismoresultado.)

De manera similar, verifica la formula (3) para

cos 105� � cosp135� � 30�q .

II. La figura 1 muestra la grafica de la funcion tan. Averigua con tu calcu-ladora si el numero racional t � 355{226 es bastante cercano al numero π{2.Pon tu calculadora en modo de radianes (RAD) y calcula la tangente de t.Por el signo de la tangente, deduce si t es mayor o menor que el numero π{2.

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Figura 1

3.4. Funciones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud 121

Figura 3.40

Hallamos que tan s 3 460 861782 65. (con Excel) y 3 460 862 456 con la cal-

culadora, aunque hay que reconocer que es una calculadora muy barata y corriente. Tal vez otro tipo de calculadora más fina (y más cara) podría mejorar la precisión de esta cifra. Pero lo importante es que ya no dio las cifras de arriba (572 957…), las cuales posiblemente tienen que ver con los nueves a la derecha del punto decimal. Seguramente no debe ser difícil demostrar eso.

En conclusión, la tangente de un ángulo crece rápidamente hacia el infinito

a medida que el ángulo agudo se incrementa y se aproxima a 2

. La tangente de 2

no

existe (no está definida), pero para un ángulo obtuso ligeramente superior a 2

, el valor

de su tangente tiende a menos infinito. Es como si de más infinito a menos infinito hu-biera sólo un pequeño paso. En matemáticas se suele escribir de este modo:

lim tan

lim tan

2

2

No debes intimidarte por esta notación que es nada más una especie de taquigra-fía matemática. La explicamos enseguida: La primera expresión significa que a medida

que el ángulo se aproxima a 2

por la izquierda (del eje real), es decir, a medida que

toma valores menores a 2

pero cada vez más cercanos a este número real, el valor de la

tangente crece y crece, y se aproxima a (más infinito). La segunda expresión dice que

si se aproxima a 2

por la derecha (del eje real), es decir, a medida que toma valores

cada vez más próximos a 2

pero siempre mayores a 2

, entonces el valor de la tangente

se aproxima a (menos infinito).Si esto te parece extraño, tal vez la figura 3.40 pueda aclarar un poco esta expli-

cación.

2 232

0

1

1

Figura 2

3.4. Funciones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud 123

la tangente. Los segmentos que representan las otras tres funciones trigonométricas los puedes descubrir tú mismo fácilmente. Para ello te propongo el siguiente ejercicio.

Con base en la figura 3.41, relaciona con una raya a lápiz cada una de las seis funciones de la columna izquierda con su correspondiente segmento en la columna derecha.

EJERCICIOS 3.32

B

O M

Sx

1

A‘

B‘

Ax

TP

1

Figura 3.41

Función trigonométrica Segmento

sen x BS

cos x OM

tan x AT

cot x OS

sec x OT

csc x PM

Justifica tus respuestas en el siguiente espacio, usando semejanza de triángulos.

ARGUMENTACIONES JUSTIFICACIONES

1. 2. 3. 4. 5. 6.

III. Con base en la figura 2, relaciona con una raya a lapiz cada una de lasseis funciones de la columna izquierda con su correspondiente segmento enla columna derecha.

Funcion trigonometrica

senxcosxtanxcotxsecxcscx

Segmento

BSOMATOSOTPM

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IV. Si el lado terminal de un angulo queda en alguno de los cuadrantessegundo al cuarto, es facil reducir el valor de cualquier funcion trigonometricade ese angulo a una funcion de un angulo agudo, es decir, un angulo dentrodel primer cuadrante. Veamos por ejemplo el caso del angulo en el segundocuadrante (figura 3).

Figura 3

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Si el lado terminal de un ángulo queda en alguno de los cuadrantes segundo al cuarto, es fácil reducir el valor de cualquier función trigonométrica de ese ángulo a una función de un ángulo agudo, es decir, un ángulo dentro del primer cuadrante. Veamos por ejemplo el caso del ángulo en el segundo cuadrante (figura 3.43).

En la figura 3.43, se ha omitido el círculo unitario y únicamente nos concentra-mos en los lados de los triángulos que resultan. Supongamos que COD x es un ángulo cuyo lado terminal queda en el primer cuadrante (ángulo agudo). Entonces,

COA 90º x tendrá su lado terminal en el segundo cuadrante. Los detalles los demuestras tú en el siguiente ejercicio.

Con base en la figura 3.43, demuestra que los s OCD y ABO son congruentes. Por consiguiente, COA 90º x. Entonces, sen(90º x) cos x y cos(90º x) sen x.

ARGUMENTACIONES JUSTIFICACIONES

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Figura 3.43

EJERCICIOS 3.36

3.5. FÓRMULAS DE REDUCCIÓN A ÁNGULOS AGUDOS

B CO

A

1sen x

cos xD

cos xxsen x

1

En la figura 3, se ha omitido el cırculo unitario y unicamente nos concen-tramos en los lados de los triangulos que resultan. Supongamos que =COD �x es un angulo cuyo lado terminal queda en el primer cuadrante (angulo agu-do). Supongamos que =DOA � 90�. Entonces, =COA � 90� � x tendra sulado terminal en el segundo cuadrante.

¿Puedes ver porque los triangulos OCD y ABO son congruentes? Enton-ces, senp90� � xq � cosx y cosp90� � xq � � senx.

1. Con base en estas observaciones, llena el siguiente cuadro:

senp90� � xq � cosxcosp90� � xq � � senxtanp90� � xq �cotp90� � xq �secp90� � xq �cscp90� � xq �

2. Aprovechando la tabla anterior, llena ahora el siguiente cuadro con losvalores exactos de las funciones que se te piden. Exacto quiere decir quevas a usar fracciones y/o radicales, de preferencia racionalizando el de-nominador, mas no aproximaciones decimales dadas por la calculadora.

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EJERCICIOS 3.37

EJERCICIOS 3.38

8. 9. 10.

Termina ahora de llenar este cuadro:

sen(90º x) = cos x

cos(90º x) = sen x

tan(90º x) =

cot(90º x) =

sec(90º x) =

csc(90º x) =

Aprovechando las identidades (o fórmulas) que demostraste en el ejercicio 3.36, llena ahora el siguiente cuadro con los valores exactos de las funciones que se te piden. Exacto quiere decir con fracciones o con radicales y racionalizando el denominador, mas no con aproximacio-nes decimales dadas por la calculadora.

ÁNGULOseno coseno tangente cotangente secante cosecante

Grados Radianes

135º

120º

150º

Reduce cada una de las siguientes funciones a la cofunción de un ángulo agudo, o menos la cofunción de un ángulo agudo. (No es necesario calcular su valor.) Recuerda que si el ángulo no tiene el signo de grados (º), entonces está en radianes.

1. sen 112º

Función reducida

V. Las funciones trigonometricas del angulo suplmentario se pueden calcularfacilmente con ayuda de la figura 4.

Figura 4

128 Capítulo 3. Funciones trigonométricas

2. cos 134º 30'

Función reducida

3. tan45

Función reducida

4. csc 2

Función reducida

Las funciones trigonométricas del ángulo suplementario se pueden calcular fá-cilmente con ayuda de la figura 3.44. Esto debes hacerlo en el siguiente ejercicio.

Termina de llenar el siguiente cuadro.

sen(180º x) = sen x

cos(180º x) =

tan(180º x) =

cot(180º x) =

sec(180º x) =

csc(180º x) =

Figura 3.44

EJERCICIOS 3.39

E CO

F180° x

sen x

cos x

D

cos xxx

sen x1

Termina de llenar el siguiente cuadro.

senp180� � xq � senxcosp180� � xq �tanp180� � xq �cotp180� � xq �secp180� � xq �cscp180� � xq �

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