Universidad AmericanaMedidas de tendencia

centralResumen elaborado por:Lic. Maryan Balmaceda VEconomista - Consultor

Medidas de tendencia central

Media aritmética

Mediana

Moda

Media geométrica

Media aritmética.1) Media aritmética para datos no agrupados.a) Para la poblaciónb) Para la muestra2) Media aritmética para datos agrupados.

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Media poblacional para datos no agrupados.Media poblacional. Se define como la suma de todos los valores de X en la población, dividido entre el número total de valores de la población.

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Representa la media poblacional N número de valores en la población X representa cualquier valor particular ∑ es la letra mayúscula griega sigma e indica la operación de suma ∑X suma de todos los valores X, en la población

Ejemplo: Salario de 5 empleados en miles de dólaresN = ( 1, 2 4, 5, 3)Media poblacional = 1 + 2 + 4 + 5 + 3/ 5 = 3Esto significa que cada empleado, gana en promedio tres mil dólares.No siempre la media aritmética , es un valor representativo de un conjunto de datos.Ejemplo.N = Salario de 7 empleados de una empresa en miles de córdobas.N = (2, 6, 20, 40, 4, 3, 50)Media poblacional = 2 + 6 +20 +40 + 4 +3 +50/7 = 17.8El salario promedio por empleado es de 17.8 miles de córdobas, si comparamos este promedio con los valores de 2, 6, 40, 4 y 50, existe mucha diferencia entre estos valores y el salario promedio de 17.8 miles de córdobas, por lo tanto este salario promedio no es representativo ,de los datos de la población.

¿Cuando una media aritmética, se considera representativa de los datos de una serie de números.?Cuando los datos de la serie se acerca a su promedio.Ejemplo Utilidades de una empresa en millones de dólares, para un período de 6 años.

N = ( 5.0 ,5.5, 6.0 , 5.8, 6.0, 6.2) Media poblacional = 5.0 +5.5 + 6.0 5.8 + 6.0 + 6.2 )6= 5.8Diferencia entre los valores de X y la media poblacional5 – 5.8= -0.85.5– 5.8= -0.36.0– 5.8.= 0.25.8– 5.8 = 0.06.0– 5.8= 0.26.2 – 5.8 = 0.4Como puede observarse los valores de X, se acercan bastante a su media, por lo tanto la media aritmética es representativa de los valores de X.

Media de una muestraMedia de la muestra = Suma de todos los valores de la muestra/ número de valores

de la muestra.M(X) =∑ X /n ∑ X = Sumatoria de los valores de X n = Tamaño de la muestra. Ejemplo: n= ( 2, 4, 5, 3, 1) M(X) = 2 + 4 + 5 + 3 + 1 / 5 = 3

X = Media de la muestra

Propiedades de la media aritmética.1) El calculo de la media, solo es aplicable a los datos de nivel de intervalo y de razón.2) Para el cálculo de la media, se incluyen todos los valores .3) La media es única. Solo existe una media en un conjunto de datos.4) La suma de las desviaciones de cada valor de X con respecto a su media, es igual a cero.

M(X) = X = ∑ X /n ∑ X = Sumatoria de los valores de X n = Tamaño de la muestra. Ejemplo: n= ( 2, 4, 5, 6, 3) M(X) = 2 + 4 + 5 + 6 + 3 / 5 = 4 Vamos a demostrar que ∑( X – M(X) ) = 0 ∑( X – M(X) ) = ∑ X - X ) = ∑ X - ∑ X = ∑ X - n X = 0 Si se divide la igualdad entre n, la igualdad no se altera. ∑ X - n X = 0 ∑ X /n - n X / n = X - X = 0 q.q.d.d.

5) La media de una constante , es igual a dicha constante.M(K) = K6) La media de una constante por una variable ,es igual a la constante multiplicada por la media de la variable.M(KX) = K M(X)7) La media de la muestra, es igual a las medias de las submuestras, tomando como ponderación los tamaños de las submuestras.Si tenemos una muestra de tamaño n, que se divide en dos submuestras n1 y n2 .

X 1 = Media de la submuestra n 1

X 2 = Media de la submuestra n 2

X = X 1 n 1 + X 2 n 2 / n Si se tienen r submuestras la media de la muestra es igual

X = X 1 n 1 + X 2 n 2 …….. + X r rn / n

X = ∑ X J n J / n

Media ponderadaMedia ponderada es un caso especial de la mediaaritmética, y se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor. Ejemplo: Precio en córdoba, de refresco de tamaño pequeño , mediano y grande, que ofrece un cafetín a 5, 7 y 10 córdobas respectivamente el refresco.

Precio en C$ Cantidades vendidas PxQ5 20 1007 15 10510 10 100

45 305

Media=305/45 6.8

Vamos a partir de un conjunto de n números representados por X

WX = W 1 X 1 + W 2 X 2 +………+ W n X n / W 1 + W 2 + …………..+ W n

WX = ∑WX / ∑W

W representa ponderaciones que equivale a las frecuencias. X representa cada uno de los valores, de un conjunto de n números. ∑W suma de las ponderaciones

Media aritmética para datos agrupados.

X = ∑fM / n

X Media de la muestra de tamaño n M punto medio de cada clase f frecuencia correspondiente a cada clase fM Frecuencia de cada clase multiplicada por su correspondiente punto medio.

Precio de venta frecuencia Punto medio fm( miles de $) f M

15 a 18 8 16.5 13218.1 a 21 23 19.5 448.521.1 a 24 17 22.5 382.524.1 a 27 18 25.5 45927.1 a 30 8 28.5 22830.1 a 33 4 31.5 12633.1 a 36 2 34.5 69

Total 80 1845

Media = ∑ fm/ n 1845/80 $ 23.1 miles de $

En promedio cada vehìculo se vendio a $ 23100

MedianaMediana es el punto medio o valor central de una serie de números, ordenados de mayor a menor o de menor a mayor y es aquel valor que supera a la mitad de las observaciones y es a la vez superado por la mitad de las observaciones.Mediana para datos no agrupados.1) Cuando la serie es impar.Ejemplo;4, 2, 9, 1, 11Se ordenan de menor a mayor, 4 representa el valor central o el punto medio de una serie , que corresponde a la mediana.Me = Mediana = 41, 2, 4, 9, 11

2) Cuando la serie es par.10, 12, 20, 30, 40, 5020 y 30 son los valores centrales de esa serie de números.Cualquier valor que sea mayor que 20 y a la vez menor que 30, o sea 20<X< 30 cumplen con el concepto de mediana.Para eliminar esa ambigüedad, se toma el promedio de 20 y 30, o sea Me = 30 + 20 / 2 = 25La mediana es igual a 25Propiedades de la mediana1.) La mediana no es afectada por valores extremadamente grandes o pequeños.Ejemplo:1 , 2, 3, 4, 101,2, 3, 4, 10000En ambos casos la mediana es 3, o sea que el valor extremadamente grande de 10000, no afecto el valor de la mediana.2) La mediana se aplica para todos los niveles de datos, excepto el nominal.

Ejemplo :calificación de un producto, correspondiente a una muestra de 5 personas.Excelente Muy buenoBueno Respuesta medianaRegular MaloSe presentan dos calificaciones por encima de bueno y dos calificaciones por debajo de bueno, o sea que estos datos de orden ordinal, cumplen con el concepto de mediana y la respuesta mediana corresponde a bueno.La mediana es útil aplicarla ,para distribuciones asimétricas.

Mediana para datos agrupados.Método uno.

Me = L + ( n/ 2 - ∑ f 1 / f Me ) i Me = Mediana L = límite inferior correspondiente a la clase que contiene a la mediana ∑ f 1 = frecuencia acumulada inmediatamente anterior a la clase, que contiene a la mediana fMe = frecuencia correspondiente a la clase, que contiene a la mediana. i= ancho de clase correspondiente a la clase que contiene a la mediana n / 2 mitad de las observaciones

Clases f fa(Miles de C$)

15 a 18 8 818.1 a 21 23 31

21.1 a 24 Me 17 4824.1 a 27 18 6627.1 a 30 8 7430.1 a 33 4 7833.1 a 36 2 80

80

n/2=80/2=40 Me es el valor que corresponde a la observaciòn nùmero 40

Me = 21 + (40 - 31/17)x 3= 21 + 1.6=22.6

Interpretaciòn la mitad de las observaciones tienen un valor menor de 22.6 miles de dòlaresy la otra mitad de las observaciones tienen un valor mayor de 22.6 miles de dòlares.

Método dos. Mediante interpolación. En el caso anterior la mediana se encuentra en la clase de

21 a 24 que le corresponde una frecuencia de 17 y un acho igual a 3

Plantee la siguiente regla de tres, si a 17 observaciones le corresponde un ancho de 3, a una observación que ancho

le corresponde.17 ------31-----------X

X =3 /17= 0.176

Me es el valor que corresponde a la observación No.40 =80/2

La distancia entre dos valores consecutivos es igual a 0.176, luego como hay 9 espacios entre 31 y 40

La Me= 21 0.+ 0.176x9 = 21 +1.58 = 22.58 que se puede redondear a 22.6, que es el mismo valor obtenido

anteriormente.

31---32-----33----34--35 36 37---38-----39---40--…48… 21-…….………………………

3--------------------------------------------24-----

Moda. Es el valor que se repite mayor número de veces o el valor que se presenta con la mayor frecuencia.Se van a distinguir dos casos:1)Moda para datos no agrupados2) Moda para datos agrupados.Moda para datos no agrupadosEjemplo:4, 8, 8, 10, 10, 10,10, 15Valor que se repite mayor número de veces es 10, por lo tanto la moda de esa serie de números es igual a 10. La moda se va a simbolizar por Mo. Mo =10En una serie de números se puede presentar más de una moda,.Ejemplo:5, 8, 9, 9, 10, 15, 15, 20, 30Hay dos números que se repiten mayor número de veces, en este caso 9 y 15, por la tanto esa serie de números tienen dos modas Mo= 9 y Mo= 15

Ventajas de la moda.1) La moda se aplica a todos los niveles de datos,

nominal, ordinal , de intervalo y razón.2) En el valor de la moda, no influyen valores extremadamente grandes o pequeños.Ejemplo 500, 800, 800, 1000, 2000 Mo= 800500, 800, 800, 1000, 20000 Mo= 800

5, 800, 800, 1000, 2000 Mo = 800El valor extremadamente grande de 20000 y el extremadamente pequeño de 5, no afectaron el valor de la moda, que en todos los casos es igual a 800.

Desventaja de la moda.La desventaja que presenta la moda, es que en una serie de números, se pueden presentar más de una moda, en el ejemplo anterior: 5, 8, 9, 9, 10, 15, 15, 20, 30 Se presentan dos modas 9 y 15, como la moda es una medida de tendencia central, el cuestionamiento que se le hace a esta medida , precisamente es su ubicación ,como una medida de tendencia central.

Moda para datos agrupados.

Mo = L + ( 1 / 1 + 2 ) i L = Limite inferior de la clase que contiene a la Moda

1 = Diferencia entre la frecuencia correspondiente a la clase modal y la frecuencia inmediatamente anterior.

2 = Diferencia entre la frecuencia correspondiente a la clase modal y la frecuencia inmediatamente siguiente. i = ancho de la clase que contiene a la moda.

Clases f(Miles de C$)

15 a 18 818.1 a 21 23 Mo21.1 a 24 1724.1 a 27 1827.1 a 30 830.1 a 33 433.1 a 36 2

80

Clase modal 18.1 a 21L = 18.1

i = 3

Mo = 18 + ( 23 -8 / 23 - 8 + 23 -17) x 3 = 18 + ( 15 / 15 +6)x3 = 20.1

Moda en una distribución de frecuencias.

1) Si la distribución tiene una sola moda, se llama unimodal.

2) Si la distribución tiene dos modas, se llama bimodal.

3) Si la distribución tiene más de dos modas, se llama plurimodal.

Media Geométrica.

La media geométrica, se define como la raíz n-èsima del producto de n números positivos.

Supongamos que se tiene n números positivos X 1 , X 2 , ……………………………….Xn

MG = Media geométrica = n XnXXX ..3.2.1 n = Números de valores correspondiente a la muestra n Por ejemplo encontrar la medìa geométrica de 2 , 4 y 8

MG = 3 8.4.2 = 4

Propiedades de la media geométrica. 1) Si todos los valores de x son constante, la media geométrica de dichos valores es igual a dicha constante. Ejemplo: 2, 2, 2

MG = 3 2.2.2 = 2

2) Si los valores de X, son diferentes la MG < X Ejemplo:

2, 3, 4 X = 2 + 3 + 4 / 3 = 3

MG = 3 4.3.2 = 2.9 Se cumple : 2.9 < 3.0

Aplicaciones de la media geométrica.1) Se aplica para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.2) En economía se utiliza para calcular la tasa de crecimiento promedio de variables macroeconómicas, correspondiente a un período determinado,( PIB, exportaciones, importaciones, etc.) Para calcular los cambios relativos de precios, del índice de precios al consumidor. 3) En administración por ejemplo, para calcular la tasa de crecimiento promedio anual de las ventas de una empresa, correspondiente a un período determinado.4) Para estimar la tasa de crecimiento promedio de la población, correspondiente a un período determinado. Esto es muy importante en investigaciones de mercado.

Como estimar la tasa de crecimiento de la población , correspondiente a un periodo determinado.Se parte de la fórmula del interés compuesto.

Y = C( 1 + i) n P f = Po( 1 + i) n

Po = poblacion inicial P f = población final

i = tasa de crecimiento promedio anual de la población. n= número de años De esa fórmula se despeja i

i = n PoPf / - 1

Años Poblacion Ìndices2005 5.02006 5.2 5.2/5.0=1.042007 5.4 5.4/5.2=1.0382008 5.6 5.6/5.4=1.03702009 5.8 5.8/5.6=1.0357

MG = 4 0357.10370.1038.104.1 xxx = 1.0377 – 1.000 = 0.0377x100= 3.77% redondeado a 3.8%.

i = 4 0.5/8.5 - 1 = 1.0378 – 1.0 = 0.0378 0.0378x100= 3.78%. Redondeado a 3.8%0 En ese período la población, creció a una tasa promedio anual equivalente a 3.8%. Como puede observarse, aplicando la fórmula de la media geométrica, se obtiene el mismo resultado, que empleando la fórmula del interés compuesto.