UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDADECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADODECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADOESPECIALIZACIÓN EN GERENCIA FINANCIERA

SEMINARIOMATEMÁTICA FINANCIERA

MODERADORAING.KATHERINE RINCÓN,MSC.

Correo Electrónico: kyrc4@hotmail.comBlog: ingkatherinerincon.wordpress.com

Generalmente, las decisiones que se toman son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital.

Así la matemática financiera implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Son un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas, toda estas decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de interés.

Importancia de laMatemática Financiera

La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la matemática financiera ayudan a la gente a tomar decisiones. Por lo tanto, en un análisis financiero los números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá.

Toma de Decisiones

A menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero, intrínsecamente esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original. La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo; éste es el concepto más importante de la matemática financiera

“Dinero Llama a Dinero”

Interés : Es el rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada (capital), el tiempo de duración del préstamo (plazo) y la tasa de interés aplicada.

Tasa de Interés : Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año.

Tiempo : Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio, la unidad de tiempo es el año.

Periodo : Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.).

Capital : Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente. Monto : Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el

periodo, comúnmente se le denomina valor futuro. Anualidad : Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada cierto periodo.

Conceptos Básicos

El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.

Tasa de Interés y Tasa de Rendimiento

El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor.El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés. Por ahora, el periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año.

Un empleado solicita un préstamo de $10,000 el de mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada.

SoluciónAquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10,700 pagan un préstamo. Interés = $10,700 - $10,000 = $700Tasa porcentual de interés == $700 x 100% == 7% anual

Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.

“Interés generado = cantidad total actual - cantidad original”

El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR).

Tasa de rendimiento

La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de periodo de interés, el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario.Aunque los valores numéricos de las ecuaciones anteriores son los mismos, el término tasa de interés pagada es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y tasa de retorno ganada es mejor desde la perspectiva del inversionista.

Una consideración económica adicional para cualquier estudio de la matemática financiera es la inflación. Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de la inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor de una moneda determinada.

Inflación

El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del mercado. En palabras sencillas, las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa real de rendimiento más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. La inflación contribuye a que ocurra lo siguiente:

La reducción del poder de compra. El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor). El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento. El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas. La reducción en la tasa de retomo real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas. En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y empresarial.

Las ecuaciones y procedimientos de la MATEMÁTICA FINANCIERA emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra.

P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC); unidades monetariasF= valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. también recibe el nombre de valor futuro (VF); unidades monetariasA = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE);unidades monetarias por año, unidades monetarias por mesn = número de periodos de interés; años, meses, díasi = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento diariot = tiempo expresado en periodos; años, meses, días.

Terminología y símbolos

Interés simpleLos términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro . Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto se toman importantes.El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:

Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés)

“Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal”

Monto Simple: El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses al capital, es decir: F = P+I 

Sustituyendo (5) en (6) , obtenemos que:F = P + Pnr = P (1 + nr) donde: F = Monto SimpleP = Capitaln = Plazor = Tasa Nominal

Interés simple

Problema: Calcular el monto de un capital de $189,000 , con una tasa de interés de 20% simple anual en un tiempo de 11 meses.Solución:P = $ 189, 000r = 20% Anualn = 11 meses = 11/12 F = P(1+nr) = 189, 000 [1+(11/12)(0.20)]F = $ 223, 650.00

En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:

Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés)

Interés compuesto

El valor futuro se obtiene por la capitalización de intereses el cual es el proceso por el que el interés generado, pasa a formar parte del capital, incrementando con ello el capital inicial. El concepto de capitalización, por lo tanto, lleva implícito el manejo de interés compuesto, es decir,

F = donde: F = Valor Futuro (Monto)P = Valor Presente (Capital) i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazoó : factor de crecimiento.

Interés Compuesto

Problema : Calcular el valor futuro a interés compuesto de 10 años de un capital de $7500 a la tasa de 10% anual capitalizado trimestralmente.Solución:P = $7, 500i = 10% Anual cap/trimestre = 10,4% anualn= 10 años F == 7500F=$ 20172.14

Es la cantidad que se debe invertir ahora para producir el valor futuro, el cual se puede calcular a partir de la formula

P = F/donde: P = Valor Presente F = Valor Futuroi% = Tasa de Interés (Compuesta)n = Plazo: factor de crecimiento

El plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo. (La base: la unidad de medida es el periodo de capitalización).

Valor presente (capital)

La tasa mínima atractiva de retorno es el porcentaje que se usa para hacer las equivalencias entre dinero de diferentes períodos; es la tasa de descuento derivada del costo de oportunidad del dinero; el dinero no debe invertirse en alguna alternativa si no puede tener rendimiento al menos tan grande como la TMAR, puesto que es razonable pensar que existan otras alternativas que si cumplen con esta condición.

Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento

Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado del capital con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Por lo tanto, la desigualdad

TIR ≥ TMAR ≥ costo del capital

debe satisfacerse para un proyecto aceptado.

Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa. Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de financiero. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de sensibilidad.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo y servicios computacionales.

Flujo de efectivo neto = ingresos - desembolso = entradas de efectivo - salidas de efectivo

Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. No es mas que una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. La dirección de las flechas del diagrama de flujo de efectivo resulta importante.Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo.Por el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo.

Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

El factor fundamental en la matemática financiera es el que determina la cantidad de dinero que se acumula después de años (o periodos), a partir de un valor único presente con interés compuesto una vez por año (o por periodo).“Nota: interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés”

Factores de Pago Único (F/P y P/F)

FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN

El factor de fondo de amortización de una serie uniforme es el reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme:

FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORMEEl factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de

recuperación de capital.

F = A

ii 11 n

F = A

ii 11 n

P = A

nii

i1

11 n

A = P

1)1(

1n

n

iii

Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo.

El símbolo G para los gradientes se define como:

G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Factores de Gradiente Aritmético(P/G y AG)

Tasas De Interés Nominal Y EfectivaComprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de las finanzas personales. La tasa de interés nominal, “r”, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses.

 

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva

r = 1.5% mensual x 24 meses = 36% por un periodo de 2 años

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 12 meses = 18% anual

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 6 meses = 9% por medio año

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 3 meses = 4.5% trimestral

Mayor que 1 mes

= 1.5% mensual x 1 mes = 1.5% mensual

Igual a 1 mes

= 1.5% mensual x 0.231 mes = 0.346% semanal

Menor que 1 mes

Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: año, meses, trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera.

Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva

La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva ia' pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

Tasa De Interés Nominal Y Efectiva

Periodo de tiempo: es el periodo en el que se expresa el interés.

Periodo de capitalización o composición (PC): es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición*). Frecuencia de composición: es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t

UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDADECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADODECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADOESPECIALIZACIÓN EN GERENCIA FINANCIERA

SEMINARIOMATEMÁTICA FINANCIERA

MODERADORAING.KATHERINE RINCÓN,MSC.

Correo Electrónico: kyrc4@hotmail.comBlog: ingkatherinerincon.wordpress.com