Unidad9 Transformaciones Geometric As_ Frisos y Mosaicos

8/3/2019 Unidad9 Transformaciones Geometric As_ Frisos y Mosaicos

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PRACTICA1 Reproduce sobre papel cuadriculado el

paralelogramo F(A, B, C, D).

a) Somtelo a una traslacin de vectort1.

b) Traslada la figura obtenida, F', mediantet2.

c) Determina el vector t

de una traslacin que transforme directamente Fen F''.

T1(F) = F' ; T2(F') = F''

T2T1(F) = F''

La traslacin que transforma directamen-te F en F'' es la de vector t

= t1

+ t2

.

2 Copia esta figura sobre unacuadrcula.

Dibuja su transformada se-gn un giro de 90 alrededordel punto A y en sentidocontrario a las agujas del re-loj.

Pg. 1

1SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOS

DE LA UNIDAD

Unidad 9. Transformaciones geomtricas (frisos y mosaicos)

9

AB

CD

t1

t2

AB

F

CD

t1

t1 +

t2

t2

A'B'

F'

C'D'A''

B''

C''

D''F''

F

A

F

A

F'


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3 Dibuja un cuadrado ABCD de 3 cm de

lado. Prolonga la diagonal AC hasta elpunto M, tal que = 2 (la dis-tancia de A a M debe ser dos veces lade A a C).

Dibuja la imagen del cuadrado en dis-tintos giros, alrededor de M, de ngulos 60, 120, 180, 240 y 300.

En un arco de 60, la cuerda es igual al radio.

4 Dibuja un polgono con tres ejes de simetra. (Intenta encontrar varias solu-ciones).

5 Los puntos A(10, 7), B(3, 8),C(2, 3) y D(5, 2) son los vrti-ces de un rombo.

Calcula las coordenadas de los vrtices del rombo transformadomediante:

a) La simetra de eje OX.

b) La simetra de eje OY.

c) La simetra que tiene por eje larecta que pasa por los puntosM(0, 3) y N(3, 6).

ACAM

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DE LA UNIDAD


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C

D

MA

B 60

60

60 60

60 60

C

D

MA

B

AB

Y

O X

DC

N

M


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a)

A(10, 7) A'(10, 7)

B(3, 8) B'(3, 8)

C(2, 3) C'(2, 3)

D(5, 2) D'(5, 2)

b)

A''(10, 7)

B''(3, 8)

C''(2, 3)

D''(5, 2)

c)A'''(14, 1)

B'''(9, 4)

C'''(2, 3)

D'''(7, 2)

6 Dibuja la imagen del pent-gono, F, al aplicarle suce-sivamente las simetras deejes ry s.

Pg. 3


DE LA UNIDAD


9

A

A'

B

B'

Y

O X

D

D'

C

C'

A A'' B B''

Y

O X

D D''

CC''

A

A'''

B

B'''

Y

O X

D

D'''

C

C'''

N

M

F

s

r


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Dibuja tambin el vectort de la traslacin equivalente a la composicin de

dichas simetras.

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7 a) Dibuja la imagen F1,transformada de la figura F,

por la simetra de eje r.b) Dibuja la imagen F2,

transformada de F1 me-diante la simetra de eje s.

c) Define el giro equivalentea la composicin de am-bas simetras.

d) Define tambin el giro equivalente a la composicin de ambas simetrasen orden inverso.

a) y b)

c) Es un giro de centro O, corte de r con s, yngulo 2, doble del nguloque forman las rectas r y s.

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DE LA UNIDAD


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F

F'

s

r

F''t

F

O

sr

F

O

sr

F1

F2


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d) Al aplicar prime-

ro la simetra se-gn el eje s ydespus segn eleje r, se obtiene:

Corresponde aun giro de centroO yngulo 2.

8 Este mosaico est formado por infinitos hexgonos regulares.

a) Define tres traslaciones de vectores no paralelos para las cuales el mosaicosea invariante.

b) Define tres giros de distintos ngulos que lo transformen en s mismo.

c) Busca tres ejes de simetra del mosaico.

a) MV, BR yMC .

b) Giro de centro O y amplitud 120, 240 y 360.

c) e1, e2 ye3.

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DE LA UNIDAD


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F

O

sr

F1F2

F

E D

C

A B

RV

CO

M

B

e1

e2

e3


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PIENSA Y RESUELVE

9 My N son dos bolas de billar. Busca el punto en que M debe golpear labanda DC para chocar despus con la bola N.

Busca tambin el punto de la bandaAD hacia el que habra que lanzar Mpara chocar con N.

Buscamos el simtrico de N respec-to a la banda DC, N', y unimos N'con M.

El punto de corte de DC con N'Mes el buscado, R.

Se acta de forma anloga con labanda AD. Se obtiene S.

10 Dos pueblos, A y B, estn situados al mismo lado de una autopista.

Busca el trazado ms corto para un tramo de carretera que los una entre s ycon la autopista.

Si hallamos, por ejemplo, elsimtrico del pueblo A res-pecto a la autopista, A', esta-r a la misma distancia de laautopista que A.

El camino ms corto entreA' y B es el tramo de rectaque los une. La interseccinde este tramo con la autopista

es el punto que buscamos,M.

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A B

D C

N

M

A B

D C

NN'

M

R

S

A'

M

A

B

A

B

M


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11 Observa la cuadrcula.

Un giro de 180 alrededor de O(3, 3) transforma elpunto P(1, 1) en P'(5, 5).

a) Identifica otros tres movimientos que transformen Pen P'.

b) Cul es la imagen de A(1, 3) en cada uno de ellos?

a) Una traslacin de vector PP'

.

Una simetra cuyo eje sea la mediatriz de PP'.

Un giro de centro en el punto (1, 5) y un ngulo de 90 en el sentido con-trario al de las agujas del reloj.

b) La traslacin de vector PP' transforma A(1, 3) en A'(5, 7).

La simetra mencionada transforma A(1, 3) en A'(3, 5).

El giro transforma A(1, 3) en A'(3, 5).

12 El tringulo equiltero se puede transformar en ' mediante tres movi-mientos distintos.

a) Determina cada uno de los tres movimientos quetransforman en ' y designa en cada caso losvrtices y los lados de ' teniendo en cuenta dequ vrtices de provienen.

Por ejemplo:

Un giro de centro Cy ngulo 60 transforma:

A B=A',B B'y C en s mismo (C= C').

b) Encuentra una traslacin, un giro y una simetraque transformen en '. Nombra, en cadacaso, los vrtices de '.

a)

Simetra de eje e (recta BC).

Giro de centro B yngulo 60.

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P

P'

OA

A

B

C

b

c

a '

A A'

C= C'e

a = a'

B= B'

b

c

b'

c'

'

A C'

C=A'

a = c'

B= B'

b

c

b'

a'

'

A B'

C= C'

a = b'

B=A'

b

c

a'

A C

B

'


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b)

Traslacin de vector t

=AC

.

Giro de centro C yngulo = 120.

Simetra de eje e.

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REFLEX IONA SOBRE LA TEORA

13 Si consideramos como transformacin el que todo quede como estaba y dondeestaba, a dicha transformacin la llamaremos identidad (I).

Define una traslacin y un giro que sean equivalentes a la identidad.

Traslacin de vector 0.

Giro de ngulo 0, 360 (con cualquier centro).

14 Se dice que una transformacin es idempotente si compuesta consigo mismada lugar a la identidad (es decir, si la aplicamos dos veces, todo queda comoestaba: TT= I).

Encuentra dos movimientos que sean idempotentes.Por ejemplo, una simetra de un cierto eje e, y un giro de 180 (con cualquiercentro).

15 Se dice que una transformacin T' es inversa de otra T cuando compuestacon ella da lugar a la identidad (es decir, si aplicamos Ty despus T', todovuelve a donde estaba).

Encuentra la transformacin inversa en cada uno de los siguientes casos:

a) Una traslacin de vectort(7, 4).

b) Un giro de centro O(0, 0) y ngulo = 60.c) Una simetra de eje la rectay=x.

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A C' C=A'

B B'

'

t

A B' C= C'

B A'

'

A A' C= C'

B B'

'

e


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a) Una traslacin de vectort' (7, 4).

b) Un giro de centro O(0, 0) yngulo ' = 60.

c) Es inversa de s misma: una simetra de eje la recta y=x.

16 La composicin de transformaciones no cumple la propiedad conmutativa (esdecir, T2 T1, en general, es distinto que T1 T2). Sin embargo, si las trans-formaciones son de ciertos tipos, s se cumple la propiedad conmutativa.

Justifica en cules de los siguientes casos es as y en cules no:

a) Composicin de dos traslaciones.

b) Composicin de dos giros del mismo centro.

c) Composicin de dos simetras axiales.

d) Composicin de una traslacin y un giro.

a) S es conmutativa. El resultado es otra traslacin de vector igual al vector su-ma de los correspondientes a las dos traslaciones.

b) S es conmutativa. El resultado es otro giro del mismo centro yngulo iguala la suma de los ngulos correspondientes a los dos giros.

c) No es conmutativa.

d) No es conmutativa.

17 Justifica que solo se puede hacer un mosaico regular con tringulos, cuadra-dos o hexgonos. Para ello ten en cuenta cunto deben sumar los ngulos delos polgonos que concurren en un vrtice de un mosaico y cunto vale elngulo de cada uno de los polgonos regulares.

Seis tringulos equilteros encajan en el plano, pues sus ngulos suman 360:

60 6 = 360

Cuatro cuadrados encajan en el plano, pues sus ngulos suman 360:

90 4 = 360

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9

60

90


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No podemos encajar los pentgonos regulares:

180 3 = 324 Con tres pentgonos no llega a 360.

180 4 = 432 Con cuatro pentgonos pasamos de 360.

Tres hexgonos regulares encajan en el plano, pues sus ngulos suman 360:

120 3 = 360

Al considerar tres polgonos de ms de 6 lados, la suma de los tres nguloscorrespondientes es mayor de 360; luego no se pueden encajar en el plano.

PROFUNDIZA

18 Dos personas, P1 y P2,se encuentran en un pasi-llo de espejos.

Teniendo en cuenta la co-lumna C, halla la distan-cia a la que P1 cree ver aP2 cuando P1 mira haciael espejo AB.

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9

120

108

B

P1

P2

9 m

1 m

3 m

5 m

A

E

C

D

B

P1

P2

P'2

P'1

9 m

1 m

6 m

3 m

5 m

3 m

1 m

A A' B' x9 x

E

C

Q

R

D


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P'1 es el simtrico de P1 respecto al espejo AB.

P'2 es el simtrico de P2 respecto al espejo DE.P1 ve reflejado en AB a P2 en el punto R. Hemos de calcular las distanciasde P1 a R, de R a Q y de Q a P2.

Los tringulos A'P'2R y B'RP1 son semejantes. Por tanto:

= 6x= 27 3x 9x= 27 x= 3 m

P1R

= = = 3 m

RP'2

= RQ

+ QP2

RP'2

es la hipotenusa del tringulo rectngulo de catetos 6 m y 6 m.RP'2

= 6 m

La distancia a la que P1 cree ver a P2 es 3 + 6 = 9 m.

19 Se llama motivo mnimo de un mosaico a una pieza terica, lo ms pequeaposible, repitiendo la cual se puede reproducir todo el mosaico. Los bordesde esta pieza no se notan salvo que los hayamos pintado expresamente.

Por ejemplo, si en el siguiente mosaico trazamos ejes de simetra con ngulosde 60:

descubrimos esta pieza como candidata a motivo m-nimo.

a) Redcela a la tercera parte de dos formas distintas.

b) Puedes hacerla an ms pequea?

c) Descubre otro motivo mnimo trazando ejes de simetra perpendiculares.

a)

222

2

21832 + 32

9 xx

63

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b) No. Observa que, si lo dividimos de esta forma:

la pieza y la son simtricas, pero no podemosobtener una a partir de la otra solo con giros y trasla-ciones.

Por tanto, esta divisin no es vlida.

c)

Otro motivo mnimo es el siguiente:

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