Unidad 2. Estad stica descriptiva Javier Santib...

Conceptos basicos de la inferencia estadıstica

Unidad 2. Estadıstica descriptiva

Javier Santibanez

IIMAS, UNAM

[email protected]

Semestre 2019-1

Javier Santibanez (IIMAS, UNAM) Estadıstica descriptiva Semestre 2019-1 1 / 30

Contenido

1 Tipos de variables y escalas de medicion

2 Medidas de tendencia central

3 Medidas de dispersion

4 Medidas de forma

5 Medidas de asociacion

6 Representaciones graficas


Tipos de variables

Las variables se clasifican segun los valores que pueden tomar. Una de las

clasificaciones mas utilizadas es la siguiente:

• Categoricas: corresponden a mediciones no cuantificables.

• Nominales: Su rango esta compuesto de categorıas sin un orden evidente

(nacionalidad, genero, codigo postal).

• Ordinales: Su rango esta compuesto de categorıas ordenadas (nivel de

escolaridad, dominio de un idioma, preferencias en escala Likert).

• Numericas: corresponden a mediciones cuantificables.

• Discretas: Tienen rango numerable (edad en anos, numero de hijos,

numero de cuartos en la vivienda).

• Continuas: Tienen rango no numerable (virtualmente cualquier

magnitud fısica como tiempo, masa, temperatura).


Medicion

Medir (DRAE, 2014)

1. Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar

cuantas veces la segunda esta contenida en la primera.

3. Comparar algo no material con otra cosa.

• Cuando se habla de medicion de magnitudes fısicas se hace referencia

a la asignacion de cantidades numericas.

• El proposito de medir es poder deducir informacion acerca de los entes

medidos a partir de operar con sus mediciones.


• En el caso de las magnitudes fısicas hay una correspondencia entre

manipular fısicamente a los objetos medidos y manipular sus mediciones

con operaciones matematicas.

• Cuando lo que se mide no son magnitudes fısicas, puede no existir una

correspondencia entre la manipulacion fısica o abstracta de los objetos

medidos y la aplicacion de operaciones aritmeticas a sus mediciones.

• El mayor logro que se puede tener en medicion es conseguir una escala

que permita tal relacion. Aunque es posible lograr escalas de medicion

intermedias que permitan obtener conclusiones relevantes.


Escalas de medicion

Las escalas de medicion se clasifican segun las operaciones permitidas con

las mediciones. mediciones.

• Nominal: Comparaciones de igualdad.

• Ordinal: Comparaciones de igualdad y comparaciones de orden relacio-

nadas con la intensidad del atributo medido.

• De intervalos. Comparaciones de igualdad y orden, ademas de opera-

ciones aritmeticas con las diferencias, aunque el cero y las unidades de

medida son arbitrarias.

• De razon. Comparaciones de igualdad y orden, ademas de operaciones

aritmeticas con las mediciones, en este caso el cero es absoluto e indica

ausencia del atributo pero las unidades de medida son arbitrarias.


Ejemplos de variables y sus escalas

• Nominal: nacionalidad, genero, codigo postal.

• Ordinal: nivel de escolaridad, dominio de un idioma, preferencias en

escala Likert.

• De intervalos: ano calendario, escalas Celsius y Farenheit de tempera-

tura.

• De razon: edad, escala Kelvin de temperatura, escalas para medir otras

magnitudes fısicas.


Estadıstica descriptiva

• La estadıstica descriptiva es el conjunto de tecnicas analıticas y graficas

que se utilizan para describir un conjuntos de datos.

• Generalmente el interes se centra en estudiar la distribucion de una

cierta variable en el conjunto de datos o estudiar asociaciones entre

pares de variables.


Tipos de estadısticas descriptivas

• Medidas de tendencia central: se utilizan para describir el comporta-

miento tıpico de las observaciones. En general, son estadısticos que

permiten conocer algun aspecto de la localizacion de las mediciones.

• Medidas de dispersion: se utilizan para describir la variabilidad en las

observaciones.

• Medidas de forma: se utilizan para describir la forma en como se dis-

tribuyen las observaciones. Generalmente cuantifican desviaciones a la

forma de campana de la distribucion normal.

• Medidas de asociacion: se utilizan para cuantificar asociaciones entre

pares de variables. Las medidas mas utilizadas cuantifican asociaciones

lineales.


Medidas de tendencia central

Suponer que se tienen las observaciones: x1, x2, . . . , xn.

• Promedio o media aritmetica:

x =x1 + x2 + . . .+ xn

n=

1

n

n∑i=1

xi

• Estadısticos de orden:

x(1) = mın {x1, x2, . . . , xn}

x(n) = max {x1, x2, . . . , xn}

En un conjunto con n observaciones hay n-estadısticos de orden. El

i-esimo estadıstico de orden x(i) es la observacion que ocupa la i-esima

posicion cuando las datos se ordenan de menor a mayor.



• Mediana:

Mediana =

x( n+12 ) si n es impar

x( n2 )+x( n

2 +1)

2si n es par

• Cuartiles:

Q2 = mediana {x1, x2, . . . , xn}

Q1 = mediana {xi : xi ≤ Q2}

Q3 = mediana {xi : xi ≥ Q2}



• La mediana divide la recta real en dos segmentos tales que en cada

uno esta el 50 % de las observaciones.

• Los cuartiles Q1, Q2 y Q3, que dividen la recta real en cuatro segmentos

tales que cada uno contiene el 25 % de las observaciones.

• Q1 corresponde a la mediana de las observaciones menores al la me-

diana de todas las observaciones.

• Q3 corresponde a la mediana de las observaciones mayores a la mediana

de todas las observaciones.



• Cuantiles: Para cada α ∈ (0, 1), el cuantil α , denotado por qα, como

el numero tal que 100α% de las observaciones son menores a qα.

• Deciles: son los nueve cuantiles que dividen a la recta real en diez

segmentos, cada uno con igual numero de observaciones, es decir:

q0.1, q0.2, q0.3, . . . , q0.9.

• Porcentiles o percentiles: son los 99 cuantiles que dividen a la recta

real en 100 segmentos, cada uno con igual numero de observaciones,

es decir:

q0.01, q0.02, q0.03, . . . , q0.97, q0.98, q0.99.


Cuantiles

• Existen distintas formas de calcular los cuantiles muestrales, que se ba-

san en distintos supuestos sobre la distribucion poblacional subyacente

que genero a las observaciones.

• La forma o metodo que se usa para calcular los cuantiles es relevante

si se tienen pocas observaciones o sı existen empates.

• En R se utiliza la funcion quantile para calcular los cuantiles. En el

argumento prob se introduce el valor de α.

• Para tener una idea de la cantidad de algoritmos disponibles para cal-

cular los cuantiles podemos introducir revisar la ayuda de la funcion

quantile y revisar el apartado del argumento type.


Medidas de dispersion

• Varianza y desviacion estandar:

s2 =1

n

n∑i=1

(xi − x)2 y s =

√√√√1

n

n∑i=1

(xi − x)2

• Desviacion absoluta media:

Desv. Abs. =1

n

n∑i=1

|xi − x |

• Rango, rango intercuartil y rango interdecil:

R = x(n) − x(1), IQR = Q3 − Q1 e IDR = q0.9 − q0.1


Medidas de dispersion

• La varianza es el promedio de las desviaciones cuadraticas de las obser-

vaciones con respecto a al promedio de los datos. Se eleva al cuadrado

para eliminar el efecto de los signos.

• En algunos casos se prefiere utilizar s en lugar de s2, ya que s esta

expresada en las mismas unidades que las observaciones originales.

• Hay un efecto negativo de elevar al cuadrado las desviaciones para

calcular la varianza y es que las desviaciones pequenas son reducidas y

las desviaciones grandes son amplificadas.

• Los distintos rangos ofrecen distintos grados de robustez ante la pre-

sencia de observaciones extremas, inusualmente grandes o pequenas.


Medidas de forma

• Coeficiente de simetrıa:

γ =1n

∑ni=1(xi − x)3

s3

La simetrıa se refiere a la comparacion de las frecuencias con las que

se observan valores grandes y pequenos

• Coeficiente de curtosis:

κ =1n

∑ni=1(xi − x)4

s4− 3

La curtosis se refiere a la forma en que tan concentrados estan los

datos alrededor de la media.


Interpretacion de γ

• Si λ ≈ 0 la distribucion es simetrica alrededor de su media.

• Si λ > 0 la distribucion tiene sesgo positivo. La mayorıa de las obser-

vaciones son pequenas (menores a x).

• Si λ < 0 la distribucion tiene sesgo negativo. La mayorıa de las obser-

vaciones son grandes (mayores a x).

x

Fre

cuen

cia

0 20 40 60 80 100

010

2030

4050

6070

x

Fre

cuen

cia

0 1 2 3 4 5

010

2030

4050

60

x

Fre

cuen

cia

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

020

4060

8010

012

0

γ = 0.17 γ = 1.44 γ = −0.79.


Interpretacion de κ

• Si κ ≈ 0 la distribucion es mesocurtica. La concentracion de los datos

alrededor de la media es similar a la de la distribucion normal.

• Si κ > 0, la distribucion es leptocurtica. La concentracion de los datos

alrededor de la media es mayor a la de la distribucion normal.

• Si κ < 0, la distribucion es platicurtica. La concentracion de los datos

alrededor de la media es menor que en la distribucion normal.

x

Fre

cuen

cia

−3 −2 −1 0 1 2 3

050

100

150

200

x

Fre

cuen

cia

−10 −5 0 5 10

050

100

150

200

250

300

xF

recu

enci

a

−20 −10 0 10 20

010

2030

4050

60

κ = 0.07 κ = 5.75 κ = −1.09.


Medidas de asociacion

Suponer que se tienen observaciones de dos variables X y Y :

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn).

• Covarianza:

sxy =1

n

n∑i=1

(xi − x)(yi − y)

donde x es el promedio de las X y y es el promedio de las Y .

• Correlacion:

rxy =sxysxsy

donde sx es la desviacion estandar de las X y sy es la desviacion

estandar de las Y .


Interpretacion de sxy y rxy

• sxy y rxy son medidas de asociacion lineal, si la asociacion entre X y

Y es no lineal, estas medidas no son utiles.

• rxy es una version estandarizada de sxy , que toma valores en el intervalo

(−1, 1), por lo que es mas facil de interpretar:

• Si rxy ≈ 1, la relacion lineal es directa.

• Si rxy ≈ 0, no hay relacion lineal.

• Si rxy ≈ −1, la relacion lineal es inversa.

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10 20 30 40 50 60 70 80

020

4060

80

X

Y

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10 20 30 40 50 60 70 80

2040

6080

X

Y

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10 20 30 40 50 60 70 80

2040

6080

XY

rxy = −0.51 rxy = 0.04 rxy = 0.80


Boxplots o graficos de caja (y bigotes)

Los boxplots permiten analizar facilmente la distribucion una serie de ob-

servaciones, incluso comparar series diferentes, a partir de los cuartiles y el

IQR.

• Los lados de la caja representan Q1 y Q3, de manera que la base del

rectangulo tiene una longitud igual al IQR.

• El segmento al interior de la caja representa Q2 y su posicion relativa

se utiliza para estudiar la simetrıa de la distribucion de los datos.

• Bigotes tienen como longitud maxima un multiplo del IQR pero se

ajustan para coincidir con una observacion.

• Llos puntos representan observaciones extremas, es decir, aquellas fuera

del intervalo (Q1 − kIQR,Q3 + kIQR).


Ejemplo: boxplot

En R se utiliza el comando boxplot para hacer graficos de caja y bigotes.

6 8 10 12 14

k = 1.5

●●

6 8 10 12 14

k = 1


Histograma

Los histogramas son utiles para analizar la forma de la distribucion de una

serie de datos e incluso compararla con un modelo teorico.

• La altura de las barras representa la frecuencia con la que se observa

un determinado valor o un intervalo de valores de x .

• Usualmente se hacen histogramas de variables continuas, por lo que se

agrupan las observaciones en intervalos igualmente espaciados.

• El numero de intervalos a usar se debe determinar de acuerdo al numero

de observaciones y a su distribucion.

• El objetivo es elegir un numero de intervalos de manera que el histo-

grama sea informativo.


Ejemplos: histograma

En R, se utiliza el comando hist para graficar histogramas. La opcion

breaks se utiliza para especificar el numero de cortes, por lo que el numero

de barras es breaks + 1.

0 20 40 60 80 100

020

4060

8010

012

0

X

Fre

cuen

cia

0 20 40 60 80 100

010

2030

4050

6070

X

Fre

cuen

cia

0 20 40 60 80 100

05

1015

2025

30

X

Fre

cuen

cia

b = 11 b = 21 b = 51


Grafico de densidad estimada

• Los graficos de densidad estimada tambien se utilizan para estudiar la

distribucion una serie de observaciones. Se puede considerar a estos

graficos como histogramas suavizados.

• Una de las formas de estimar densidades es usando funciones nucleo o

kernel y hay toda una teorıa al respecto...

• La densidad estimada es el resultado de sumar las contribuciones de

cada observacion, calculadas segun el kernel seleccionado, que escalado

por el numero de observaciones y un parametro de amplitud.

• En R se utiliza las funciones density y plot para calcular y graficar

la densidad estimada, respectivamente. Por defecto se utiliza el kernel

gaussiano.


Kernel gaussiano

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

h = 0.4 h = 0.6 h = 0.8.


Kernel triangular

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h = 0.4 h = 0.6 h = 0.8


Kernel rectangular

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h = 0.4 h = 0.6 h = 0.8


Comparacion

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Gaussiano Triangular Rectangular


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