Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat...

Un nou món creat del no res

Un món on es pot quadrar el cercle!

17 novembre 2004, Sant Albert

Facultat de Ciencies UAB

AGUSTI REVENTOS

– p.1

Euclides

– p.2

Euclides∼ 300aC.

– p.3

Escola d’Atenes.Raffaello 1510

– p.4

Escola d’Atenes

1. Plató 2. Aristòtil 3. Sòcrates7. Zenó 11. Pitàgores 13. Heràclit

15. Euclides17. Ptolemeu 18. Autoretrat de Raphael

– p.5

Euclidesamb un compàs

– p.6

Els Elements

Pergamí grec. Segle IX. Vaticà. – p.7

Els Elements

Abu Jafar Muh. b. al-Hasan Nasiraddin at-Tusi,1258 – p.8

Els Elements

Primera edició impresa. Venecia1482 – p.9

Els Elements

– p.10

POSTULATS

1. Podem dibuixar línies rectes des de qualsevol punt aqualsevol punt.

2. Podem prolongar una línia recta finita contínuamenta una línia recta.

3. Podem descriure un cercle amb qualsevol centre idistància.

– p.11

POSTULATS

4. Tots els angles rectes són iguals.

– p.12

POSTULATS

5. Si una línia recta és tallada per dues línies rectes demanera que els angles interiors del mateix costatsumin menys de dos rectes, i si aquestes dues líniesrectes es prolonguen indefinidament, llavors estallen en el costat on estan aquests angles que sumenmenys de dos rectes.

– p.13

CINQUE POSTULAT

Si α + β < π, r i s es tallen.

– p.14

CINQUE POSTULAT

Ja s’han tallat.

– p.15

Enunciats equivalents

1. Per un punt exterior a una recta hi passa una únicaparal.lela.

2. Tres punts no alineats determinen unacircumferència.

3. Existeixen triangles semblants.

4. Hi ha triangles d’àrea tan gran com vulguem.

5. Els angles d’un triangle sumen el mateix que dosangles rectes.

6. Les equidistants són rectes.

– p.16

Negació del cinquè postulat

Donada una recta i un punt exterior, passen peraquest punt més d’una rectes que no tallen la rectadonada.

– p.17

Construccions amb regle i compàs

– p.18

Regle i compàs

– p.19

Regle i compàs

Punt construït↔ Interseccióde rectes i/ocircumferències ja construïdes

– p.19

Mediatriu

– p.20

Rectangle auri

– p.21

Rectangle auri

– p.22

Rectangle auri

– p.23

Rectangle auri

– p.24

Rectangle auri

• BF/BC = Φ

– p.25

Partenó

– p.26

Partenó

– p.27

Φ = 1, 618... Φ−1

= 0.618...

– p.28

Home deVitrubi

– p.29

Home deVitrubi

– p.30

Marc Vitrubi Pol .lió

– p.31

Pentàgon

– p.32

Mitjana i extrema raó

El total és a la part gran com la gran és la petita.ACAB = AB

CB = Φ

– p.33

Triangle auri

ACAB = Φ.

Construïm la mediatriu deBC.

– p.34

Triangle auri

ACAB = Φ.

Tallem amb la circumferència de centreA i radi AC.

– p.35

Triangle auri

El 4ACD és auri, ja queCD = BD = BA.

– p.36

Pentàgon i raó àuria

4ACD = 72◦, 72◦, 36◦.

– p.37

Pentàgon i raó àuria

4ACD = 72◦, 72◦, 36◦.

ACCD = Φ

– p.37

Leda Atòmica. Dalí 1949

– p.38


– p.39


– p.40

Polígons regulars

Quins polígons regulars es poden dibuixar amb reglei compàs?

El primer que no es pot dibuixar és l’eptàgon

Gauss, als disset anys, va construir el de17 costats

Es poden construir els de3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, . . . costats

– p.41

Polígons regulars

TEOREMA(Gauss1801) El polígon regular de ncostats es pot construir amb regle i compàs si inomés sin té una descomposició en factors primersde la forma

n = 2α(22α1

+ 1) · (22α2

+ 1) · · · (22αk + 1)

onα1, α2, ..., αk són enters diferents entre ells.

– p.42

Polígons regulars

TEOREMA(Gauss1801) El polígon regular de ncostats es pot construir amb regle i compàs si inomés sin té una descomposició en factors primersde la forma

n = 2α(22α1

+ 1) · (22α2

+ 1) · · · (22αk + 1)

onα1, α2, ..., αk són enters diferents entre ells.

Primers deFermat(22a

+ 1): 3, 5, 17, 257, 65537, ..

– p.42

Quadratura del cercle

– p.43


– p.44


Anaxagoras499 − 428 aC.

Aristofanesen fa burla aEls ocells,414 aC.

– p.45


TEOREMA[P. L. Wantzel,1837] Els nombres realsconstruïbles amb regle i compàs són arrels depolinomis que tenen per coeficients nombresracionals.

– p.46


TEOREMA[P. L. Wantzel,1837] Els nombres realsconstruïbles amb regle i compàs són arrels depolinomis que tenen per coeficients nombresracionals.

Exemple:a =√

2, a2 − 2 = 0.

– p.46


TEOREMA[F. Lindemann,1882] El nombreπ no ésarrel de cap polinomi a coeficients racionals.

L. F. von Lindemann,1852 − 1939

– p.47


Si poguéssim construir√

π (quadrar el cercle),podríem construirπ.

– p.48


Si poguéssim construir√

π (quadrar el cercle),podríem construirπ.

Contradicció

– p.48

Geometria Absoluta

– p.49

Geometria Absoluta

G. Saccheri (1667-1733): Euclidesab omni naevovindicatus: sive conatus geometricus quostabiliuntur prima ipsa universae geometriaeprincipia.

J. H. Lambert (1728 − 1777): Theorie derParallellinien.

– p.50

Geometria Absoluta

Saccheri Lambert

– p.51

Geometria Absoluta

Saccherirebutjal’hostil hipòtesi de l’angle agutperquè obté resultatsque repugnen la natura de lalínia recta.

– p.52

Geometria Absoluta


Lambertveu possible una geometria sense el cinquèpostulat:M’inclino a pensar que la hipòtesi del’angle agut és certa en alguna esfera de radiimaginari.

– p.52

Geometria Absoluta


Lambertveu possible una geometria sense el cinquèpostulat:M’inclino a pensar que la hipòtesi del’angle agut és certa en alguna esfera de radiimaginari.

Taurinus(1794-1874) desenvolupa aquesta ideaarribant a l’angle de paral.lelisme.

– p.52

Geometria esfèrica

– p.53

Triangle esfèric

Menelaus d’Alexandria(70 − 130 dC.) defineixtriangle esfèric aSphaerica.

Un triangle esfèric és l’espai inclòs per arcs decercles màxims sobre la superfície de l’esfera [...]aquests arcs són sempre menors que un semicercle.

– p.54

Àrea de l’esfera

Arquimedes: Àrea= 4πR2.

– p.55

Àrea d’un fus

Àrea d’un fus esfèricFα = 2R2α.

– p.56

Àrea d’un triangle

A partir de les àrees dels fusos es veu que

Àrea= R2(α + β + γ − π) = R2 · Excés

– p.57

Longitud d’una circumferència

L = 2πρ = 2πR sin α = 2πR sinr

R.

Criteri per saber on vivim.– p.58

Teorema dePitàgores

cosc

R= cos

a

R· cos b

R

– p.59

R → ∞

– p.60

Àrea del triangle

Àrea= R2(α + β + γ − π) = ∞ · 0.

– p.61

Longitud de la circumferència

L = 2πR sinr

R∼ 2π r.

– p.62


cosa

R∼ 1 − a2

2R2

1 − c2

2R2∼ (1 − a2

2R2) · (1 − b2

2R2)

c2 = a2 + b2

– p.63

Esfera Imaginària

– p.64

Esfera imaginària

Formalment substituïmR perRi i recordem

cos ix = cosh x, sin ix = i sinh x.

– p.65

Exponencial complexa

Fórmula d’Euler eix = cos x + i sin x

cosh x = ex+e−x

2, sinh x = ex−e−x

2

– p.66

Àrea d’un triangle

Àrea = (Ri)2(α + β + γ − π)

= R2(π − (α + β + γ))

= R2 · Defecte

– p.67

Longitud d’una circumferència

L = 2πRi sinr

Ri= 2πR sinh

r

R.

Criteri per saber on vivim.

– p.68


coshc

R= cosh

a

R· cosh b

R

– p.69

Angle de paral.lelisme

cos α = sin β cosh aR

Si A → ∞, α → 0,

1 = sin β(a) cosha

R

• β(a) = 2 arctan e−a/R

– p.70

C. F. Gauss

– p.71

C. F. Gauss

– p.72

Carta a F. W. Bolyai (1813)

Si es pogués demostrar l’existència d’un triangled’àrea tan gran com vulguem, aleshores es podriademostrar amb tot rigor la totalitat de la geometriaeuclidiana.Moltes persones prendrien aquestaproposició com un axioma, però jo no!

– p.73

Carta a Taurinus (1824)

No és correcta la seva demostració de què la sumadels angles d’un triangle no pot ser inferior a dosrectes:aquest és el punt crític, el penya-segat on esprodueixen tots els naufragis.

– p.74

Els Bolyai

– p.75

Farkas i Janos Bolyai

Marosvásárhely– p.76

Farkas Bolyai

TentamenJuventutem Studiosamin Elementa MatheseosPurae Introducendi.(1832)

– p.77

Carta al seu fill, 1820

Per l’amor de Deu!Deixa les paral.lelestranquil.les, abjura d’elles com d’una xerradaindecent, et prendran (com a mi) el teu temps, lasalut, la tranquil.litat i la felicitat de la teva vida.

– p.78

J. Bolyai

Palau de cultura de

Marosvásárhely

– p.79

Carta de Janosa Farkas, 1823

He descobert coses tan superbes que jo mateix esticatònit, i significaria una vergonya eterna deixar-hoperdre per sempre; si vostè, apreciat pare, les veu,les reconeixerà; ara no puc dir més:

del no res he creat un mónnou i diferent.

– p.80

J. Bolyai

– p.81

Carta de Gaussa Farkas (1832)

Si començo dient que no el puc alabar, restaràsdesconcertat. No obstant no puc fer altra cosa:Sil’alabés, m’alabaria a mi mateix, ja que el totalcontingut del treball, el camí que segueix el teu fill iels resultats a que ha arribat, coincideixen quasicompletament amb les meves reflexions de fa trentao trenta-cinc anys.

– p.82

Carta de Gaussa Gerling (1832)

He llegit aquests dies un petit treball d’un hongarès,sobre geometries no euclidianes, que conté totes lesmeves idees i resultats.

Tinc a aquest jove geòmetra com un dels més gransgenis.

– p.83

Carta de Farkas a Gauss, 1816

1. No tens pas una filla que pugui esdevenir(recíprocament) perillosa en aquesta època...? 2.Estàs sa i no ets pobre? Estàs satisfet i noreganyaire? I, principalment, és la teva donaexcepcional entre totes les dones? No és ella mésvariable que un penell. És imprevisible com el canvid’un baròmetre?...

– p.84

Quadratura del cercle (hiperbòlic)

– p.85


– p.86


– p.87


– p.88


– p.89

Segment de paral.lelisme

Tenim un angleα = BAM .

– p.90


Tracem la paral.lela.

– p.91


Tracem les perpendiculars.

– p.92


Π(AL) = α.

– p.93

Triangle d’àrea π/8

Àrea= π − (π2

+ π4

+ π8) = π/8.

– p.94

Quadrat d’àrea π

Àrea= 8 π8

= π.

– p.95

Quadrat d’àrea π

sin3π

8= cosh a · sin π

4cosh c = cosh a · cosh b

a és el catet d’un triangle rectangle d’hipotenusaΠ−1(π/4) i altre catetΠ−1(3π/8) i per tantconstruïble.

– p.96

Cercled’àrea π

Àrea cercle= π(2 sinh r2)2 = π tan2 z.

z és el complementari de l’angle de paral.lelisme der/2.

– p.97

Cercled’àrea π

Només hem de construirz = π/4 i r a partir deΠ(r/2) = π/4.

Això acaba la quadratura del cercle hiperbòlica, ambl’advertència de que no pas tot cercle hiperbòlic espot quadrar! Quins es poden?

– p.98

Realitzem l’esfera imaginària

– p.99

Problema

Trobar una superfície on la longitud de lescircumferències de radir sigui

L = 2π sinh r

– p.100

Tractriu

Corba amb subtangent1.

y′ = − y√1−y2

– p.101

Tractriu

Trajectòria d’un cos situat a(0, 1) en ser arrossegatdes de(0, 0) sobre l’eix de lesx > 0.

Proposat perPerrault, XVII. Resolt perHuygens.

– p.102

Pseudoesfera.F. Minding 1840

– p.103

Pseudoesfera

– p.104

Pseudoesfera

– p.105

Pseudoesfera

– p.106

Pseudoesfera

Marosvásárhely– p.107

Consistència de la geometriahiperbòlica

– p.108

Disc dePoincaré

– p.109

Disc dePoincaré

La distància entre els punts(0, 0) i (x, y) estàdonada per

d = ln1 + r

1 − r

(r2 = x2 + y2)

– p.110

Disc dePoincaré

– p.111

Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat...

Documents

Transcript of Un nou món creat del no res - UAB Barcelonamat.uab.es/~agusti/SantAlbertOral.pdfUn nou món creat...