8/17/2019 Tutorijal_2_2013

1/11

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET UNIVERZITET U SARAJEVU 

1

ELEKTRIČNA MJERENJA Tutorijal 2 - Elementi mjernih krugova

Zadatak 1. Kolika je greška ako se mjerni otpornik, čiji je aktivni otpor 1000  ,  vlastitikapacitet 6 nF   i vlastiti induktivitet 12 mH,  mjeri U-I  metodom sa izmjeničnim naponomfrekvencije 50 Hz ? Uticaj greške upotrijebljenih instrumenata zanemariti.

Rješenje: Mjerni otpornik može se predstaviti nadomjesnom šemom kao na slici

Impedansa spoja, prema slici, iznosi

  22222

2

C  R LC 1

 RC  LC 1 R L j1

 R

C  j

1 L j R

C  j L j R

 Z 

  

  

  

  

 

 Na niskim frekvencijama, kakva je i frekvencija od 50 Hz   pri kojoj je izvršeno mjerenje,vrijedi:

1 LC 2   ,

 pa se taj član u izrazu za impendansu  Z može zanemariti 

222 C  R1

 RC 

 R

 L j1

 R Z 

 

 

 

Uvrštavajući podatke dobije se da je

885 ,1 j1000 Z    ,

odnosno, modul impendanse je

    0017  ,1000885 ,11000 Z  Im Z  Re Z    2222  Greška učinjena pri mjerenju otpora je

6 107  ,1

1000

10000017  ,1000

 R

 R Z  g   

 

 ppm7  ,1 g    

Greška mjerenja otpora je 1,7  ppm (pert par milion).

Zadatak 2. Koliki je fazni pomak između struje kroz mjerni otpornik iz prethodnog zadatakai napona, na njemu pri frekvenciji 1 kHz, 50 kHz, 200 kHz i 1 MHz?

Rješenje:  Na osnovu izraza za impendansu, u prethodnom zadatku, dobije se da je:

           

  RC  LC 1 R

 L

 Z  Re

 Z  Imtg 

  2

,

R L

C

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

2/11

2

gdje je    vremenska konstanta otpornika.

Fazni pomak   za pojedine frekvencije iznosi:

 f = 1 kHz   6 56  106  ,01084 ,21102 ,110002tg          

31077  ,3tg        216  ,0   

 f = 50 kHz

  6 6  106  ,00711 ,01102 ,1500002tg          

1617,0 tg    18,9   

 f= 200 kHz

  6 6 3

106  ,0134 ,11102 ,1102002tg  

      956  ,0tg        8 ,43   

 f= 1 MHz

  6 6 6  106  ,042 ,281102 ,1102tg          

5 ,210tg        73 ,89   

Zadatak 3.  Kolika je vremenska konstanta mjernog otpornika čiji je aktivni otpor 1,8 k  , vlastiti kapacitet 0,25 nF, i vlastiti induktivitet 0,9 mH pri frekvenciji 50 Hz i 50 kHz ? Kolika

 je frekvencija rezonancije datog otpornika?

Rješenje: Kod mjernih otpornika vremenska konstanta se računa kao

  RC  LC 1 R

 L   2       

 Na niskim i tonskim frekvencijama može se zanemariti uticaj člana  2 LC jer je mnogo manjiod jedinice pa se dobije za frekvenciju 50 Hz :

ns RC  R

 L501025,01800

1800

109,0   93

 

   

a za frekvenciju 50 kHz :

  ns RC  LC  R L 9,381   2       

Frekvencija rezonancije datog otpornika je

kHz 5 ,335 LC 2

1 f  r   

 .

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

3/11

3

Zadatak 4.  Na slici je prikazana nadomjesna šemamjernog kondenzatora sa gubicima (serijski i paralelni

spoj). Poznati su parametri u paralelnom spoju C  p = 5

  F i  R p = 90 k , kao i frekvencija  f = 50 Hz . Koliko

iznose parametri u serijskom spoju C  s  i  R s  kao i ugao

gubitaka  ? 

Rješenje: Impendanse kondenzatora u ekvivalentnim šemama moraju biti jednake

 s p   Z  Z     

2

 p

2

 p

2

2

 p p p

 p p

 p

 p

 p

 p

 p

 p RC 1

 RC  j R

C  R j1

 R

C  j

1 R

C  j

1 R

 Z  

 

 

 

 

 

 s

 s s

C 

1 j R Z 

 

 

Izjednačavanjem imaginarnih i realnih dijelova impedansi dobije se: 

 p

2

 p

2

2

 p

2

 p

2

 s2

 p

2

 p

2

 p

 sC  R

 RC 1C 

 RC 1

 R R

 

 

 

 

Tangens ugla gubitaka jednak je:

rad 1007  ,7  RC  RC 

1tg 

  3

 s s

 p p

    

   

Uvrštavajući vrijednost za tg    u gornje izraze dobije se:

 

 

 

   2

2

 p

2

 p

2

 p

2

 p

2

 p

 s tg 1

tg  R

tg 

11

 R

 RC 1

 R

 R

 

 

 

 

 

 2

 p

2

2

 p

 p

2

 p

2

2

 p

2

 p

2

 s   tg 1C 

tg 

1

tg 

11

C C  R

 RC 1C   

 

Odnosno, uvrštavajući podatke, dobije se:     5 ,4 Ri F 00024 ,5C   s s    

Ugao gubitaka mjernog kondenzatora je 0,405 .

Zadatak 5. Koliko iznosi procentualna promjena kapaciteta jednog pločastog etalonskogkondenzatora kružnog oblika elektroda sa vazduhom kao dialektrikom, ako se temperatura

 promjeni za 10 C ? Koeficijent širenja elektroda je   = 1,9   10-5 1/  C , a razmak elektrodaostaje nepromjenjen.

Rješenje: Kapacitet pločastog kondenzatora vrijedi:

d 4

 D

d 

S C 

2

00

       

Usljed promjene temperature površina elektrode se poveća, zbog povećanja prečnika   41   109,111     Dt  D D      

R p C p

R s

C s

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

4/11

4

Što uzrokuje promjenu kapaciteta kondenzatora na vrijednost:

d 4

 DC 

2

101

      

Procentualna promjena kapaciteta iznosi:

%.0,038100100

4

44100(%)2

22

1

2

0

2

0

2

10

1

 D

 D D

d 

 D

d 

 D

d 

 D

C 

C C  g 

  

  

  

 

Zadatak 6. Kapacitet između stezaljki 1 i 2 etalonskogzračnog kondenzatora iznosi C 12  = 1000 pF.  Parazitnikapaciteti između elektroda i kućišta iznose C 10 = C 20 =10 pF. Koliko iznosi ukupni kapacitet kada je:

a) 

 jedna elektroda uzemljena

 b) nije uzemljena niti jedna elektroda

Rješenje: Etaloni kapaciteta najčešće su u metalnom kućištu pa imaju tri priključka. Osimglavnog kapaciteta C 12 pojavljuju se i parazitni kapaciteti C 10, C 20 između elektroda i kućišta. 

a)  Kada je jedna elektroda uzemljena ukupni kapacitet iznosi

C = C 12 + C 20  kada je elektroda 1 spojena sa kućištem 

C = C 12 + C 10 kada je elektroda 2 spojena sa kućištem 

C = 1010 pF

 b) 

Kada niti jedna elektroda nije uzemljena ukupni kapacitet je

 pF 10051010

10101000

C C 

C C C C 

2010

201012  

.

Zadatak 7. Koliko iznose ekvivalentni otpor i ekvivalentni induktivitet mjernog svitka pri

frekvenciji od 400 kHz ? Parametri u nadomjesnoj šemi mjernog svitka imaju sljedećevrijednosti:

 L = 5 mH ; R = 1,5   ; C = 5 pF

Kolika je rezonantna frekvencija datog svitka?

Rješenje: Mjerni svitak se može predstavitinadomjesnom šemom kao na slici.

Impendansa spoja prema slici iznosi:

  2222

22

ek ek 

C  R LC 1

C  R LC 1 L j R

C  j

1 L j R

C  j

 L j R

 L j R

  

  

  

 

 

   

R L

C

C 12

C 20

C 10

1  

2  

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

5/11

5

 Nastoji se da otpor  R i vlastiti kapacitet budu što manji pa se u brojniku može zanemariti R2C , a isto tako i  

2C 2 R2  u nazivniku. Sada je:

222

22ek ek 

 LC 1

 LC 1 L j

 LC 1

 R L j R

 

  

  

 

Odnosno:

   

 512 ,1

 LC 1

 R R

22ek   

 

mH 94 ,5 LC 1

 L L

2ek  

  

Rezonantna frekvencija mjernog svitka iznosi:

 MHz 1 LC 2

1 f  r   

 .

Zadatak 8. Promjenjivi samoinduktivitet je ostvaren pomoću dva svitka jednakihsamoinduktiviteta  L1 = L2 = 20 mH. Međuinduktivitet svitaka se može mijenjati od -10 mH  do 10 mH . U kojim granicama se može mijenjati induktivitet, ako se svici spoje jednom

 paralelno, a drugi put serijski?

Rješenje: U serijskoj vezi minimalna vrijednost induktiviteta će biti kada su tokovi uopoziciji, odnosno kada je:

 L s'   = L1 + L2  –  2M = 20 mH

Maksimalna vrijednost induktiviteta će biti kada se tokovi podupiru, odnosno kada je : L s'' = L1 + L2 + 2M = 60 mH

U paralelnoj vezi minimalna vrijednost induktiviteta će biti:

mH 5 M  L M  L

 M  L M  L L

21

21' 

 p  

 

Maksimalna vrijednost induktiviteta će biti:

mH 15 M  L M  L

 M  L M  L L

21

21' ' 

 p  

 

Dakle, induktivitet se može mijenjati u granicama 5 mH < L < 60 mH.

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

6/11

6

Zadatak 9. Wheastonov etalonski element je opterećen strujom od 5   A. Koliko će se u procentima smanjiti napon na stezaljkama elementa, ako je njegov unutrašnji otpor  Ru = 300?

Rješenje: Izlazni napon opterećenog elementa je:

U = E w  –  I   Ru  Napon neopterećenog izvora je: E w = 1,01865 V  

 Napon se procentualno smanji za iznos:

%15 ,0100 E 

 R I 100

 E 

 E  R I  E 100

 E 

 E U  p

w

u

w

wuw

w

w

.

Zadatak 10. Unutrašnji otpor naponskog mjernog izvora iznosi  Ru = 60 . Koliki mora bitiotpor opterećenja, ako se želi da promjena izlaznog napona, usljed promjene opterećenja,

 bude manja od 1%?

Rješenje: Opterećeni naponski izvor ima napon

U  p = U n - I   Ru 

u p

 pn

 p

u

n pu

 p

 p

n p R R

 RU 

 R

 R1

U U  R

 R

U U U 

 

 Neopterećen naponski izvor bi imao napon U n. Greška mjerenja usljed uključenja opterećenja je:

100U 

U U (%) p

n

n p

 

odnosno

u

 pu p

u

n

n

u p

 pn

 R

 R1

100100

 R R

 R100

U 

U  R R

 RU 

(%) p

 

Da bi bio ispunjen uslov  p(%) < -1%  trebalo bi da bude:

 R p > 99   Ru     R p > 5940 .

Zadatak 11. Koliki ulazni otpor  Rul   treba

staviti u stabilizator napona sa Zenerovom

diodom, kao na slici, ako je ulazni napon

U ul  = 12 V , a na izlazu se želi postići naponU iz   = 6,6 V   i struja  I iz   = 30 mA? Sa

dijagrama Zener diode je očitano da zaZenerov napon od 6,6 V   Zenerova struja

iznosi 15 mA, a za Zenerov napon od 6,55

V  Zenerova struja iznosi 10 mA. Koliki je

faktor stabilizacije datog stabilizatora napona? 

R ulI ul I iz

I z

U izU ul R z

R u

E w

I

U

R u

U n

I

U p R p

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

7/11

7

Rješenje: Ulazni napon je jednak:U ul = U iz  + I ul    Rul  

Ulazna struja je:

 I ul  = I iz + I  z  

Iz datih jednačina se dobije da je:

   120

101530

6  ,6 12

 I  I 

U U  R

3

 z iz 

iz ul ul   

 

Faktor stabilizacije definisan je odnosom relativne promjene ulaznog napona i odgovarajućerelativne promjene izlaznog napona:

ul 

iz 

iz 

ul 

iz 

iz 

ul 

ul 

U 

U 

dU 

dU 

U 

dU :

U 

dU S     

Uz oznake, prema slici, vrijedi:

  z  z  zoiz ul  z iz iz ul    R I U U  R I  I U U     

Eliminisanjem iz ovih jednačina struje dobije se:

ul iz 

 z 

ul  zo

 z 

ul iz ul    R I 

 R

 RU 

 R

 R1U U   

 

  

   

Uz pretpostavku da su napon U  zo i struja  I iz   konstantni vrijedi:

 z 

ul 

iz 

ul 

 R

 R1

dU 

dU   

 pa je faktor stabilizacije dat kao:

 

 

 

 

 z 

ul 

ul 

iz 

ul 

iz 

iz 

ul 

 R

 R1

U 

U 

U 

U 

dU 

dU S   

Otpor Zener diode se računa kao:

   

10

101015

55 ,6 6  ,6 

 I 

U  Rz 

3

 z 

 z 

 

Sada je faktor stabilizacije

15 ,7 10

1201

12

6  ,6 

 R

 R1

U 

U S 

 z 

ul 

ul 

iz   

  

 

 

  

  .

Zadatak 12.  Na slici je prikazan kaskadni spoj stabilizator napona sa Zener diodama. Na

izlazu se želi postići napon od U iz  = 6,6 V   i struja od  I iz  = 30 mA. Upotrijebljene Zenerdiode imaju kod Zenerovog napona od 6,6 V   struju od 15 mA, Zenerov otpor iznosi  R z  = 10

. Na ulazu je napon U ul   = 30 V.  Koliki su ulazni otpori  Rul1  i  Rul2 i koliki je faktorstabilizacije datog sklopa? Pretpostavka je da je na svim Zener diodama napon od 6,6 V .

R ul1I 1 I iz

I z

U izU 1 R z

R ul2I ul

U ul

I z

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

8/11

8

Rješenje: Struje u pojedinim granama kola, uz oznake na slici, su I 1 = I iz  + I  z  = 30 + 15 = 45 mA

 I ul  = I 1 + I  z  = 45 + 15 = 60 mA

 Napon U 1  iznosi:

U 1 = 2  U  z  = 2   6,6 = 13,2 V

Koristeći relacije iz prethodnog zadataka, otpori Rul1  i  Rul2  su:

   6  ,146 

101530

6  ,6 2 ,13

 I  I 

U U  R

3 z iz 

iz 11ul   

 

   280

101545

2 ,1330

 I  I 

U U  R

3

 z 1

1ul 2ul   

 

Faktor stabilizacije prvog stupnja iznosi:

83 ,7 10

6  ,141

2 ,13

6  ,6 

 R

 R1

U 

U S 

 z 

1ul 

1

iz 1  

 

  

 

 

  

   

Faktor stabilizacije drugog stupnja iznosi:

6  ,6 20

2801

30

2 ,13

 R2

 R1

U 

U S 

 z 

2ul 

ul 

12  

 

  

   

  

 

 

Ukupan faktor stabilizacije sklopa je:

S = S 1   S 2 = 7,83   6,6 = 51,68.

Zadatak 13. Struja u kolu se podešava pomoću predotpornika kao na slici. Napon napajanja kola je

U = 10 V . Otpor potrošača iznosi  Rt   = 10 , aukupni otpor predotpornika je  R12 = 10 .  Naćifunkcionalnu ovisnost promjene struje u ovisnosti o

 položaju klizača. U kojim granicama se može podešavati struja pomoću ovog sklopa? Koliki jefaktor korisnosti datog sklopa?

Rješenje: Struja u kolu je:

 

  

 

t 

12

t 

12t 

 R

 Rn1 R

U 

nR R

U  I   

Uvrštavajući date podatke dobije se funkcionalna ovisnost:

n I 

1

1 

Kako n može da se mijenja u granicama od 0 do 1  to se struja u kolu može mijenjati ugranicama

0,5 A < I < 1 A

Korisnost sklopa je definisana odnosom utrošene snage na potrošaču  Rt   i snage koju dajeizvor. To jest:

izv

t 

 P 

 P    

Snaga na potrošaču je:

U

I

R 12nR 12

R t

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

9/11

9

22t 

t 

2

t n1

10

n1

 R R I  P 

 

Snaga izvora je:

n1

10

n1

U  I U  P izv

 

Sada je korisnost sklopa jednaka:

  n11

10

n1

n1

10

 P 

 P 2

izv

t 

   

Zadatak 14. Struju kroz potrošač potrebno je podešavati pomoću potenciometarskog spoja kliznogotpornika, kao na slici. Napon napajanja je U = 10 V. 

Otpor potrošača iznosi  Rt  = 100 , a ukupni otpor

 potenciometra je  R12  = 100

.  Naći funkcionalnuzavisnost promjene struje u ovisnosti o položajuklizača. Koliki je faktor korisnosti datog sklopa? 

Rješenje: Struje u pojedinim granama kola iznose

2

12

22

12t 12

t 12

t 12

t 1212

1 RnnR R R

 RnRU 

 RnR

 RnRn1 R

U  I 

 

t 

121

t 

1212

 R

nR I  I 

 R

nR I  I     

12t 

121

t 

12

t 

12

1 R R

nR I 

 R

nR1

 R

nR

 I  I 

 

12

2

12t    RnnR R

U n I 

 

Uvrštavajući date podatke dobije se:

212n10n1010

1n I 

n10n1010

n I 

 

Snaga na potrošaču je:

222

t 

2

t t 

nn1

n R I  P 

 

Snaga izvora je:

21izv nn1

1n I U  P 

 

Korisnost sklopa je

3

2

izv

t 

nn21

n

 P 

 P 

  .

U

I

I 1 R 12

nR 12

1   2

R t

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

10/11

10

Zadatak 15. Kolika je vremenska konstanta mjernog otpornika čiji je aktivni otpor 100 ,vlastiti kapacitet 1,4 nF, a vlastiti induktivitet 19   H ? Koliki je fazni pomak izmeđunjegovog napona i struje pri frekvenciji 10 kHz, 100 kHz   i 1 MHz ?

Rješenje:   = 50 ns;   = 0,18 ; 1,7  ; -43,2  . 

Zadatak 16. Pri frekvenciji od  20 kHz , koliko je veća impendansa od aktivnog otporamjernog otpornika s vremenskom konstantom 50 ns?

Rješenje:  51094,31/    R Z  . 

Zadatak 17. Koliko iznose procentualne sigurne granice greške pločastog etalonskogkondenzatora, ako mu je kapacitet proračunat na osnovu mjerenja razmaka d   između

elektroda i prečnika elektroda  D? Razmak je izmjeren sa greškom 0,1%,  a prečnik sagreškom 0,05%. 

Rješenje:  g =   0,2%. 

Zadatak 18. Potrebno je napraviti induktivitet koji će se mijenjati u granicama od 2,5 mH ,do 70 mH . Na raspolaganju su dva ista induktiviteta čiji se međuinduktivitet može mjenjati ugranicama od -15 mH   do +15 mH . Koliki je samoinduktivitet datih svitaka?

Rješenje:  L = 20 mH .

Zadatak 19. Unutrašnji otpor strujnog mjernog izvora iznosi  Ru = 10 M .  Koliki mora bitiotpor opterećenja, ako se želi da promjena izlazne struje usljed promjene opterećenja, budemanja od 1%?

Rješenje:  Rt  < 101 k . 

Zadatak 20. Radni napon mjernog instrumenta je U = 6 V , a instrument troši struju od  I =400 mA. Instrument treba napajati akumulatorskim baterijama. Nominalni podaci

raspoloživih akumulatora su napon U n = 1,2 V , struja  I n = 120 mA, kapacitet C n = 3,6 Ah.Koliki je broj potrebnih ćelija i koliki je kapacitet baterije? 

Rješenje: 20 ćelija; C = 14,4 Ah. 

Zadatak 21. Koliki je faktor stabilizacije sklopa za stabilizaciju napona sa jednom Zener

diodom? Dioda ima slijedeće karakteristike: U  zo = 6 V ,  I  z = 3 mA,  R z  = 10 . Na izlazu seželi postići napon od U iz  = 6V   i struja  I iz  = 3 mA. Na ulazu je napon U ul  = 12 V. Koliko bise promijenio faktor stabilizacije, ako je U ul = 24 V , odnosno U ul  = 48 V ?

Rješenje: S = 50,5; S 1 = 75,5; S 2 = 88. 

8/17/2019 Tutorijal_2_2013

11/11

11

Zadatak 22. Potrebno je podešavati struju u kolu pomoću predotpornika u granicama od 0,1 A  do 0,5 A. Otpor potrošača iznosi  Rt   = 10 . Koliki je napon izvora, ukupan otpor predotpornika i korisnost datog sklopa?

Rješenje: U = 5 V ; R= 40 ;    = 1 / (1 + 4n).