Tutorial Matlab

Note Introduttive al MatlabIvan [email protected], www.macchine.unisa.it

Riferimenti Bibliografici e Siti Web Matlab, The Language of Technical Computing - Guida allUso (Release 13) - The MathWorks Inc. Home page Mathworks: http://www.mathworks.com On-line Tutorial: http://www.mathworks.it/academia/student_center/tutorials/intropag e.html Helpdesk: http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/helpdesk.shtml A. Cavallo, R. Setola, F. Vasca Using Matlab, Simulink e Control Toolbox A practical Approach, Prentice Hall. William J. Palm III - Introduction to MATLAB 6 for Engineers: with 6.5 Update, Mc-Graw Hill.

Corso Introduttivo al MATLAB1. 2. 3. 4. 5. 6. Elementi fondamentali Operazioni Polinomi e Grafica Programmazione Funzioni avanzate Simulink

Elementi Fondamentali Introduzione Ingresso da tastiera Ingresso da files esterni Manipolazione di matrici Esercizi Grafici Bidimensionali Esercizi su 2D

IntroduzioneElementi Fondamentali

MATrix LABoratory (ver. 5.3.1) Computation, Visualization, Programming

Introduzione Ingresso da tastiera Ingresso da files esterni Manipolazione di matrici Esercizi Grafici Bidimensionali Esercizi su 2D

Linguaggio di programmazione ad alto livello Learning by using Corredato da una famiglia di applicazioni specifiche (Toolbox): signal processing, statistics, optimization, neural networks, etc...

Ingresso da tastieraElementi Fondamentali


Definizione di uno scalare e di un vettore>> A=2 >> a=[1 2 3 4]

Cancellazione di un vettore (uso di a e A)>> clear A

Definizione di una matrice (uso di , e ;)>> b=[1 2 3 4 () 5 6 7 8] >> c=[1 2 3 4; 5 6 7 8];

tanto per cominciare a smanettare...>> b=c >> a >> b==c >> sum(b) >> diag(c)

Elementi Fondamentali

Ingresso da files esterniUn file ASCII IN.TXT col contenuto:30 170 70


15 160 55 50 165 75 >> load IN.TXT >> IN

Le opzioni di formatoformat short, long, short e, long e, hex, bank, rat,

Salvataggio in un file>> save nomeFile nomeVar1 nomeVar2

Comandi di utilit diamoci unocchiata>> help >> help matlab\ops >> help matlab\general >> clc

Manipolazione di matriciElementi Fondamentali

Elementi di una matrice: definito un vettore x di 4 elementi si ponga>> x(5)=x(1) >> x(4)=[] >> x=[]


Affiancamento di matrici>> C=[A B] >> D=[A A+3;A+3 A]

Altri comandi>> [m,n]=size(C) >> h=length(b) >> who

Rappresentazione di intervalli :>> z=1:5 >> zd=1:.1:5 >> linspace(min,max,punti) (logspace)

Operazioni sulle matrici>> B=A(1:3,2:5) >> B(1,2)=[] >> B(:,2)=[] >> B(2:2:6)=[]

Manipolazione di matriciElementi Fondamentali

Matrici speciali>> eye(3) >> eye(3,4) >> zeros(2,3) >> ones(1,2) >> diag([4 5 6 7])


Stringhe di caratteri>> >> >> >> >> a=arpa >> b=unarpa findstr(a,a) (posizione di a in a) int2str(123) num2str(1.23) str2num(1.23)

Da stringa a matrice>> A=str2mat(oggi,non,piove) >> A(:,1) >> A(:,5)

Elementi Fondamentali

Esercizi1 Dato x=(1,2,3,4), si costruisca y=(1,3,4,5) 2 Dato x=(1,2,3,4,5,20), si costruisca y=(1,2,3,4,5,20,20,5,4,3,2,1) usando : e fliplr 3 Dati a=(1,2,3,4) e b=(7,8,9,10) si costruisca c=(1,7,2,8,3,9,4,10) 4 Data una stringa indicativa del proprio nome e cognome si definisca una procedura che separi luno dallaltro e li disponga sulle due righe di una matrice


Grafici bidimensionaliElementi Fondamentali

Rappresentazione di un vettore di dati e uso del plot>> >> >> >> >> plot(rand(10)) >> plot(rand(1,10)) plot(rand(1,10),r*:) help plot x=[1:2:10,13:-3:-1]; y=rand(1,length(x)); plot(x,y)


Pi grafici nella stessa finestra>> subplot(2,2,1); plot(rand(1,10)) >> subplot(2,2,3); plot(3*rand(1,10))

Scalatura degli assi>> axis([-1 5 -2 Inf])

Altri comandi: xlabel, ylabel, title, grid, gtext, ginput>> title(\it{alfa si scrive} \alpha) >> t=0:.1:2*pi; plot(t,sin(t); >> text(3*pi/4,sin(3*pi/4), \leftarrow sin(t)=0.707)

Grafici bidimensionaliElementi Fondamentali

Le propriet di una figura>> a=plot(rand(1,10)); set(a)


Le opzioni sulla finestra di figura - File --> Save As - File --> Export - Tools --> Properties - Tools --> Legend - Tools --> Add - Tools --> Zoom Grafici multipli>> >> >> >> >> plot(x1,y1,k,x2,y2) plot([1 2 3],[-1 -2 -3]) plot([1 2 3;-1 -2 -3]) teta=-pi:.1:pi; plot(teta,[sin(teta);cos(teta)]); legend(seno,coseno)

Esercizi sui grafici bidimensionaliElementi Fondamentali


Si costruiscano degli opportuni vettori per la rappresentazione del grafico2 0 3 5 7

Usando il comando patch e gli altri visti, si disegni uno spicchio di luna rossa


Operazioni Operazioni aritmetiche Funzioni Operazioni di relazione Operazioni logiche Esercizi

Operazioni

Operazioni aritmetiche Variabili predefinite (att.ne allunit immaginaria!)ans, eps, pi, i, j, Inf, NaN, clock, cputime, date, flops, realmax, realmin, nargin, nargout

Op aritmetiche Funzioni Op di relazione Op logiche Esercizi

Operazioni aritmetiche su scalari +, -, *, /, ^, sqrt, \>> 2/3 >> 2\3 >> 2*1/3 >> 1/2*3

Operazioni aritmetiche su vettori e loperatore .*>> >> >> >> sqrt([1 2 3]) [1:3]*[1:3] [1:3]^2 [1:3].^[1:3] >> [1:3]*[1:3] >> [1:3].*[1:3] >> [1:3].^2

Operazioni aritmeticheOperazioni


Operazioni algebriche su matrici>> >> >> >> >> >> [1+j,1-2*j] >> [1+j,1-2*j]. A+3 >> 2*A B=inv(A) >> B=A^(-1) X=A/B (esegue A*B-1) X=A\B (esegue A-1*Be se A non quadrata?) B=pinv(A) ( B=(ATA)-1AT )

Operazioni aritmeticheOperazioni

La soluzione del problema Ax=b - se length(x)>length(b), cio pi incognite che equazioni (o meglio se rank(A)=rank([A b])), esistono infinite soluzioni; due possibili soluzioni sono:>> x=pinv(A)*b (soluzione a min norma) >> y=A\b (soluzione con maggior numero di zeri)


- se length(x)=length(b), o meglio se la matrice A non singolare, esiste una unica soluzione:>> y=A\b

- se length(x) x=pinv(A)*b (soluzione a min norma derrore)

FunzioniOperazioni

Arrotondamento - round arrotonda allintero pi vicino>> round(1.5) >>round(1.499) (15 o 16 c.d.) >> fix(1.1) >> fix(-2.1) >> floor(-2.1) >> ceil(-2.1)

- fix arrotonda verso lo 0 Op aritmetiche Funzioni Op di relazione Op logiche Esercizi >> fix(1.9) >> foor(1.9) >> ceil(1.9)

- floor arrotonda per difetto allintero pi vicino>> floor(-2.6) >> ceil(1.1)

- ceil arrotonda per eccesso allintero pi vicino Approssimazioni razionali - rem resto di una divisione intera>> rem(3,2) >> mod(3,7) >> rats(9.22) >> rem(2,3) >> mod(7,3) >> rem(2,0)

- mod risultato della a mod b - rats approssimazione razionale

FunzioniOperazioni


Aritmetica complessa - real parte reale - imag parte immaginaria - conj coniugato complesso - abs valore assoluto o modulo complesso - angle angolo di fase Esempi>> 2+3i >> clear i >> 2+3j >> 2+3*i >> a=3,z=2+ai

Esercizio. Si tabelli il modulo e la fase della funzione razionale fratta riportata, per s=j ed [10^(-2):10^2]3s 2 + 5s + 7 s 3 + 5s 2 + 7 s + 12

FunzioniOperazioni


Funzioni esponenziali e logaritmiche - pow2 esponenziale in base 2 - exp esponenziale in base e - log logaritmo naturale - log2 logaritmo in base 2 - log10 logaritmo in base 10 Esempio>> x=(1:.1:5); y=log(x); [x y] >> plot(x,y)

proviamo a disegnare qualche altra funzione elementare ...

FunzioniOperazioni


Funzioni trigonometriche - sin seno - cos coseno - tan tangente - asin arcoseno - acos arcocoseno - atan arcotangente - atan2 arcotangente a quattro quadranti - cart2pol da coordinate cartesiane a polari Lesempio della circonferenza>> teta=-pi:.1:pi; x=cos(teta); y=sin(teta); >> [fase,modulo]=cart2pol(x,y) >> plot(x,y) >> plot(modulo,fase)

. proviamo a rappresentare qualche altra funzione trigonometrica .

FunzioniOperazioni

Funzioni su matrici - max funzione di massimo (e min di minimo)>> max(x) >> max(A) >> max(max(A)) >> [Y,I]=max(A) >> max(A,B) >> [m1,i1]=max(A); [m,k]=max(m1); h=i1(k); h,k


- sort ordinamento in senso crescente>> R=[1,2;5,1;3,3;2,4]; A=sort(R) >> [S,i1]=sort(R); B=R(i1,:)

- sum, rank, det, poly, trace, norm, eig, mean, expm, logm, sqrtm>> >> >> >> A=[0 1 1;0 0 1;0 0 0]; E1=exp(A); E2=expm(A); E3=eye(3)+A+A^2/2; E4= eye(3)+A+A.^2/2; E1, E2, E3, E4

Operazioni

Operazioni di relazione Operatori di relazione - < minore - maggiore - >= maggiore o uguale - == uguale - ~= diverso Operatori logici - & and - xor or esclusivo Esempi>> 2>3 >> 2+2~=4 >> P=(rem(A,2)==0) (gli elementi di A divisibili per 2)


- | or - ~ not

Operazioni

Operazioni logiche Come sempre gli operatori su matrici agiscono per colonne - any d 1 se almeno un elemento diverso da 0 - all d 1 se tutti gli elementi sono diversi da 0>> A=[0 1 1;0 0 1;0 0 0]; any(A), all(A) >> all(A> all(A>=0) >> any(A>0.5)


- find trova gli indici il cui argomento diverso da 0>> find(A) >> [h,k]=find(A) >> t=0:.005:20; y=sin(t); (trovare i valori di t per cui y=0.5) >> tolleranza=0.05; i=find(abs(y-0.5)=2), L=(x3), L=(x-4) Dato il vettore x=(1, 34, 2, -12, 56, 7, 0, 9) visualizzare i valori maggiori di 5.



Polinomi e Grafica 3D Operazioni su polinomi Interpolazione Esercizi sui polinomi Grafici tridimensionali Esercizi su 3D

Operazioni sui polinomiPolinomi e Grafica

Definizione di un polinomio >> p=[1 0 -1]; (definisce il polinomio x2-1) Le radici di un polinomio>> roots([1 0 -1]) >> roots([1 -2 -15])

Op su polinomi Interpolazione Esercizi sui polinomi Grafici tridimensionali Esercizi su 3D

Dalle radici al polinomio>> radici=[-1,1]; poly(radici) >> radici=[-3,-5]; poly(radici)

Il prodotto di polinomi>> a=[1 0 1]; b=[1 1]; c=conv(a,b)

Il rapporto di polinomi a(s)=q(s)b(s)+r(s)>> [q,r]=deconv(a,b) >> polyval(a,3) La derivata di un >> polyder(a) >> [q,r]=deconv(b,a)

Il valore di un polinomio in un punto polinomio

InterpolazionePolinomi e Grafica


Il comando polyfit per il fitting dei dati>> x=-1:.1:1; y=2*x+1+2*rand(1,length(x)); >> plot(x,y) >> p=polyfit(x,y,1); y1=polyval(p,x); >> plot(x,y,x,y1) >> p=polyfit(x,y,5); y5=polyval(p,x); >> p=polyfit(x,y,10); y10=polyval(p,x); >> plot(x,y,x,y1,x,y5,x,y10) [es_interpolazione1]



Il comando spline (interpolazione con cubiche) - il significato fisico (la spline usata per disegnare) - si infittisce lintervallo tra i campioni, tra questi si cerca unapprossimazione polinomiale e si assicura la differenziabilit fino ad un certo ordine nei punti di giunzione (la cosiddetta pp-form):x [a, b],k i =1

x [a = 1 , 2 , K , h +1 = b] j = 1, K , h

p j ( x ) = ( x j ) k i /( k i )! cij ,

>> x=-1:.1:1; y=2*x+1+2*rand(1,length(x)); >> xx=-1:.1/2:1; yy=spline(x,y,xx); >> plot(x,y,o,xx,yy)


Il comando interp1 per linterpolazione monodimensionale>> >> >> >> x=-1:.1:1; y=2*x+1+2*rand(1,length(x)); xi=-1:.03:1; yi=interp1(x,y,xi,nearest) plot(x,y,o,xi,yi) yil=interp1(x,y,xi,linear); plot(x,y,o,xi,yi,xi,yil)


o altre opzioni come spline e cubic. Interpolazione bidimensionale: dati X ed Y monotoni ZI = interp2(X, Y, Z, XI, YI, method)>> >> >> >> >> [x,y]=meshgrid(-3:1:3) z=x.*exp(-x.^2-y.^2) surf(x,y,z); [xi,yi]=meshgrid(-3:.25:3); zi=interp2(x,y,z,xi,yi); surf(xi,yi,zi)

Esercizi sui polinomiPolinomi e Grafica


Calcolare i punti estremali, le intersezioni con gli assi e gli eventuali punti di flesso della funzione f(x)=x4+5x3+1. [es_polinomi] Data la sequenza di punti y=[7.02 1.46 -1.55 0.94 2.21 7.95 15.56 19.22 32.80 37.72 59.79] per x=[0:10], individuare i polinomi di interpolazione di grado (1, 2, 3) e rappresentarli graficamente. La densit dellaria (in g/m3) varia con la quota h (in km) secondo la tabella riportata. Determinare un polinomio interpolatore di ordine n=1, 2, 3, , 6 e la norma dellerrore commesso. Si calcolino poi i valori della densit dellaria ai valori di quota 10, 20, 30, 40, 50 e 60. h=7, 10, 15, 21, 27, 34, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 61 =556, 369, 191,75, 26.2, 9.9,4.4,2.3, 1.4,.8, .5,.33,.25

Esercizi sui polinomiPolinomi e Grafica Per un motore ad accensione comandata, sono state effettuate le seguenti misure di emissioni di NOx al variare del rapporto di miscela A/F [es_nox]:A/F 12 13 14 14.5 15 15.1 16 17 18 19 20 NOx (ppm) 50 100 200 350 500 450 600 550 300 150 50


Rappresentare landamento delle emissioni in funzione di A/F, e determinare la migliore rappresentazione polinomiale delle emissioni in funzione di A/F in termini di precisione e generalizzabilit. Stimare il valore delle emissioni per A/F=15.2

Grafici tridimensionaliPolinomi e Grafica

Un primo esempio>> >> >> >> t=0:pi/10:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t) x=0:.1:4; y=-2:.1:1; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=sin(X).*cos(Y); plot3(X,Y,Z); mesh(X,Y,Z); surf(X,Y,Z); surfc(X,Y,Z);


Il colore per i grafici>> [X,Y]=meshgrid(-8:.5:8);R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps >> Z=sin(R)./R; surf(Z);

La mappa dei colori Red Green Blue (RGB)nero bianco giallo magenta cyan grigio 0 1 1 1 0 0.5 0 1 1 0 1 0.5 0 1 0 1 1 0.5

>> >> >> >> >>

t=-pi:pi/10:pi; fi=(-pi/2:pi/20:pi/2); X=cos(fi)*cos(t); Y=cos(fi)*sin(t); Z=sin(fi)*ones(size(t)); surf(X,Y,Z) colormap([0 0 0;1 1 1]); C=rand(size(Z)); surf(X,Y,Z,C)


Le curve di livello>> t=-2:.2:2; [X,Y,Z]=peaks(n); mesh(X,Y,Z); >> figure(2); contour(X,Y,Z,20); >> hold on; [U,V]=gradient(Z,.2); >> quiver(X,Y,U,V); hold off >> [C,h]=contour(Z,10); clabel(C,h) >> figure(3); mesh(X,Y,Z), hold on; >> contour3(X,Y,Z,[1 1],k); >> Az=180;El=0; view([Az El]) z y


El -y Az

x


I solidi di rotazione ottenuti col comando cylinder - due possibili rotazioni della retta y=x: cylinder(0:.1:2) cylinder(-2:.1:2)


- le possibili rotazioni di un coseno: teta=0:pi/10:2*pi; [X,Y,Z]=cylinder(4*cos(teta)); subplot(2,2,1), mesh(X) subplot(2,2,2), mesh(Y) subplot(2,2,3), mesh(Z) subplot(2,2,4), mesh(X,Y,Z)

Esercizi su grafici tridimensionaliPolinomi e Grafica

Si rappresenti la funzione z=x2 + 4y nel piano [z,x] al variare di y, nel piano [z,y] al variare di x e nello spazio 3D [es_grafici3d]%piano x,z x=[-10:10];hold on for y=-2:2 z=x.^2+4*y;plot(x,z) end hold off %piano y,z clear x, y;y=[-10:10];figure;hold on for x=-2:2 z=x.^2+4*y;plot(y,z) end hold off %spazio3D clear x,y;x=[-10:10];y=[-10:10]; figure [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^2+4*Y; plot3(X,Y,Z);mesh(X,Y,Z);surf(X,Y,Z);


Esercizi su grafici tridimensionaliPolinomi e Grafica


Si risolva graficamente il problema di ottimizzazione vincolata min x2+y2+z2 con il vincolo x2+2y+4z-14 Suggerimento: si disegni prima il vincolo. Ritornando allesempio della sfera presentato in precedenza, si disegni in nero la sola semisfera inferiore e poi la sola semisfera di destra. Utilizzando il comando help e la funzione peak, si utilizzino i comandi - hist, stem, stem3, pie, light


Programmazione Le strutture fondamentali Script files Funzioni Esercizi sulla programmazione

Le strutture fondamentaliProgrammazione

Le strutture fondamentali Script files Funzioni Esercizi sulla programmazione

La struttura if-then-else if condizione, istruzioni elseif condizione, istruzioni else istruzioni end T=0:.1:2; for t=T, y=[y,sin(t)]; end y=sin(T);

Literazione for for i=1:n, istruzioni end Literazione while while condizione, istruzioni end [m,n]=size(A); for i=1:m for j=1:n if A(i,j)>10, A(i,j)=0; end, end, end A(A>10)=0*A(A>10);

Script filesProgrammazione

Un esempio di M-file [es_scriptfile]%Un M-file per la stima approssimata della funzione coseno attraverso lo sviluppo in serie di Mc Laurin, arrestato al quinto ordine. x=0; cos_approx=0; for i=0:5 termine_par=(-1)^i*x^(2*i)/factorial(2*i); cos_approx=cos_approx+termine_par; end cos_approx


Script filesProgrammazione

Un esempio sulla dipendenza dei tempi di calcolo dalla struttura di programmazione adottata[es_tempicalcolo] clear; tic for i=1:10000 t(i)=.1*i; y(i)=t(i)^2; end; toc clear tic t=[0:.1:1000]'; y=t.^2; toc


FunzioniProgrammazione

La struttura delle function [es_function]function [t,y]=es_function(x)


%Una funzione per la stima approssimata della funzione coseno attraverso lo sviluppo in serie di Mc Laurin, arrestato al quinto ordine. cos_approx=0; for i=0:5 termine_parziale=(-1)^i*x^(2*i)/factorial(2*i); cos_approx=cos_approx+termine_parziale; end y=cos_approx; t=x; end >>x=[-pi:.1:pi]; >>[t,y]=es_function(x)

FunzioniProgrammazione

Un esempio con lo switchLe strutture fondamentali Script files Funzioni Esercizi sulla programmazionefunction [multipli,non_multipli]=mult(base) % Nei primi 100 interi, i numeri multipli della base data n=2; non_multipli=0; multipli=1; while n> R=normrnd(10,1,100,1);

Analisi Statistica Ricerca Minimi e Zeri Derivazione ed Integrazione Numerica

Calcolo della probability density function in x>> y=normpdf(x,10,1)

p.d.f : f(x)=Pr{x < X < x+dx}

Calcolo dei momenti primo e secondo>> mean(R) >> std(R)

Calcolo della matrice di covarianza e dei coefficienti di correlazione>> cov(R1,R2) >> corrcoef(R1,R2)

Confronto tra distribuzioni normali al variare del momento secondo>> x=[0:20] >> y1=normpdf(x,10,1) >> y2=normpdf(x,10,2) >> plot(x,y1,x,y2)

Ricerca Minimi e ZeriFunzioni Avanzate

Minimo e zero di una funzionefunction b=es_minimo(v); b=(v+1).*exp(-v.^2); return >> a=fmin(es_minimo,-2,2) >> a=fzero(es_minimo,-2)


Minimo di una funzione di pi variabilifunction b=es_minimo2(v); x=v(1); y=v(2); z=v(3); b=x^2+2.5*sin(y)-z^2*x^2*y^2; return >> a=fmins(es_minimo2,[-0.6 -1.2 0.135])

Esercizi su Ricerca Minimi e ZeriFunzioni Avanzate


Calcolare le radici dellequazionex2-3sinx+0.1=0

Calcolare il minimo della funzionef(x,y)=e(x-y)+x2+y2>>minimo=fmins('es_minimo_fun',[-0.3 0.3]) function z=es_minimo_fun(v); x=v(1);y=v(2); z=exp(x-y)+x^2+y^2; return



Assegnato il set di dati illustrato in figura e riportato nel file (es_minimo2_dati.mat), individuare i valori ottimali dei parametri lambda che ne consentano di riprodurre landamento attraverso la struttura funzionale seguente [es_minimo2]:y=lambda(1)*exp[-lambda(2)*t]6 5 4 3 2 1 0

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 t

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Soluzione

Esercizi su Ricerca Minimi e ZeriFunzioni Avanzateclear all;clc global dati load es_minimo2_dati t=dati(:,1); y=dati(:,2); plot(t,y,'ro') pause; lambda0=[3 1]; lambda=fmins('es_minimo2_fun',lambda0) [err,z]=es_minimo2_fun(lambda); plot(t,y,'ro',t,z)


function [err,z] = es_minimo2_fun(lambda) global dati t = dati(:,1);y = dati(:,2); z=lambda(1)*exp(-lambda(2)*t); err = norm(z-y);plot (t,y,'o',t,z) return



Assegnato il set di dati illustrato in figura e riportato nel file (es_minimo2_dati.mat), individuare i valori ottimali dei parametri non lineari lambda che ne consentano di riprodurre landamento attraverso la struttura funzionale seguente [es_minimo3]:y=c(1)*exp[-lambda(1)*t]+c(2)*exp[-lambda(2)*t]6 5 4 3 2 1 0

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 t

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Esercizi su Ricerca Minimi e ZeriFunzioni Avanzate Nel modello economico semplificato di mercato perfettamente concorrenziale grande rilievo assumono le curve di domanda ed offerta, che in ascissa hanno la quantit di bene prodotto o richiesto in un prefisato periodo di tempo ed in ordinata il prezzo unitario del bene. Lintersezione delle curve determina il prezzo di equilibrio della merce. Assumendo i seguenti dati per la produzione e richiesta del grano in un ipotetico mercato si calcoli il prezzo di equilibrio e si traccino le curve di domanda ed offerta utilizzando almeno 30 punti [es_minimo4].Prezzo ($/staio) 1.25 1.40 1.50 1.60 1.75 1.90 2.00 Domanda (migliaia di stai / giorno) 350 330 320 310 295 280 245 Offerta (migliaia di stai / giorno) 190 220 250 270 300 320 350



Si calcoli il minimo della funzione x4+6xy+xy3-6xz3-yz+4z3


Una fabbrica decide di iniziare la produzione di un nuovo tipo di caramelle dietetiche. Il costo di produzione di L. 1000 per confezione e lufficio di marketing prevede una richiesta settimanale di 100000/p2 confezioni dove p il prezzo complessivo al quale ogni confezione venduta. Si calcoli il prezzo al quale sar messa in vendita una confezione di caramelle per massimizzare il profitto.

Esercizi su Ricerca Minimi e ZeriFunzioni Avanzate Le prevalenze reale ed Euleriana di una pompa possono essere espresse in funzione della portata volumetrica Q e del regime di rotazione n attraverso le seguenti relazioni: Hr = k1* (n/1000)2 + 2*k2 (n/1000)*Q - k3*Q2 HE = k5* (n/1000)2 k6*Q*(n/1000) mentre la prevalenza esterna pu essere espressa come Hest = Hu + k4*Q2. Si assuma k1 =10; k2 = k3 = k4 = k6 =1; k5 =14; Hu=20 Calcolare il punto ottimale di funzionamento corrispondente al massimo rendimento con il vincolo di uguaglianza tra caratteristica interna ed esterna. Eseguire lottimizzazione sia con un metodo di minimizzazione non vincolata impiegando una penalty function, sia con un metodo di minimizzazione vincolata [es_curvecaratt]: 1 max [ - k * (Hr-Hu)2] 2 max con Hr =Hu e dHr/dQ > [t,x]=ode23(xpunto,t0,tf,x0)

Esercizi sulla Integrazione NumericaFunzioni Avanzate


Le equazioni di Volterra-Lokta descrivono un modello semplificato dellevoluzione di due specie in competizione tra loro (noto come modello predapredatore):preda

predatore

dx = (a by ) x dt dy = (cx d ) y dt

Si studi la soluzione di queste equazioni a partire dai parametri nominali a=2.7, b=0.7, c=1, d=3 [es_loktavolterra]. Soluzione

Esercizi sulla Integrazione NumericaFunzioni Avanzateclear all % Modello Lokta-Volterra (preda-predatore) global a b c d a=2.7;b=0.7;c=1;d=3; x0=[2,3]'; timerange=[0: .1:10]; [t,x]=ode45('loktavolterra',timerange,x0); plot(t,x) function xpunto=loktavolterra(t,x) global a b c d xpunto(1)=a*x(1)-b*x(1)*x(2); xpunto(2)=c*x(1)*x(2)-d*x(2); xpunto=xpunto'; return




Simulare il modello preda-predatore rappresentato dalle equazioni di Volterra - Lokta in presenza delleffetto pesca:preda predatore dx = (a by ) x hx dt dy = (cx d ) y hy dt

1) Si studi la soluzione di queste equazioni a partire dai parametri nominali a=2.7, b=0.7, c=1, d=3, h=0.5 nellintervallo t = [0:.1:10] [es_loktavolterra2]. 2) Si identifichi il valore ottimale del parametro h che consenta di riprodurre attraverso il sistema di equazioni landamento preda/tempo riportato nel file loktavolterra.mat, lasciando invariati i valori degli altri parametri [es_loktavolterra2min].


Il modello semplificato di un satellite in orbita circolare intorno a un pianeta :


&2 = k && r r r2 && + 2 r = 0 && rdove r la distanza del satellite dal centro del pianeta, langolo di azimut (detto in altri termini anomalia, se pensiamo al riferimento che giace nel piano dellorbita e un sistema di coordinate polari per individuare la posizione del satellite) e k la costante di gravitazione relativa al pianeta (per la terra k=9.807). Si studi il moto del satellite in orbita intorno alla terra per quote variabili tra 350 e 500 km. [es_satellite]

Funzioni Avanzate

Esercizi sulla Integrazione Numerica Partendo dalla legge rappresentativa di una trasformazione adiabatica: P vK = cost. riprodurre la fase di compressione ideale per un motore ad accensione comandata [es_compr_id].


Funzioni Avanzate

Esercizi sulla Integrazione Numerica Un impianto di pompaggio costituito da una pompa che preleva acqua da un bacino per alimentare un serbatoio in pressione situato ad una quota di 20 m rispetto al bacino. Simulare landamento della pressione nel serbatoio nelle seguenti condizioni [es_serbatoio]: Volume serbatoio = 10 m3; Pressione iniziale serbatoio = 1 bar; Temperatura aria = 300 K; Regime rotazione pompa = 2000 rpm; Hr = 10* (n/1000)2 + 2* (n/1000)*Q - Q2; Hest = Hu + k4*Q2 Hu = z + P/


Soluzione

Esercizi sulla Integrazione NumericaFunzioni Avanzate%----------------------------------------------------------------------------% calcolo pressione serbatoio %----------------------------------------------------------------------------global k4 k5 k6 hu k1 k2 k3 n gamma pamb mair rair tamb g k1=10;k2=1;k3=1;k4=1;k5=14;k6=1; hu=20;vserb=10;rair=287;pamb=1e5;tamb=300; mair=pamb*vserb/rair/tamb; rpm=2000;n=rpm*1e-3;g=9.807; timespan=[0:5000]; p0=pamb; %[Pa] [t,p]=ode45('dpserb',timespan,p0); plot(t,p) -------------------------------------------------------------------------% funzione calcolo pressione serbatoio function dp = dpserb(t,p) global k4 k5 k6 hu k1 k2 k3 n gamma pamb mair rair tamb g gamma=g*1000; AA=k4+k3;BB=-2*k2*n;CC=hu+(p-pamb)/gamma-k1*n^2; qvol=(-BB+sqrt(BB^2-4*AA*CC))/(2*AA) dp=p^2*qvol/3600/mair/rair/tamb; return



Simulink Come costruire uno schema Sources e Sinks La simulazione Esercizi

Come costruire uno schemaSimulink

Un primo esempio: un sistema massa-mollam&& = kx + f x && = x 1 ( kx + f ) mf m x=0

Come costruire uno schema Sources e Sinks La simulazione Esercizi

k

f

+ -

1/m

&& x

dt k

& x

dt

x

Lo schema Simulink corrispondente

Come costruire uno schemaSimulink

Luso del mouse: Sui blocchi: bottone sin per selezionare e spostare blocchi bottone dex per duplicare il blocco bottone dex su selezione per le propriet doppio click sin per selezionare i parametri Sulle linee bottone sin per selezionare e spostare linee bottone sin su vertice per spostare il vertice bottone dex per creare una diramazione Sullo schermo bottone sin per creare una nuova linea in ingresso o uscita ad un blocco bottone dex per le propriet dello schema doppio click sin per inserire testo


Sources e SinksSimulink

Sources: Il clock per il tempo simulato La costante anche definibile dal workspace Una generica variabile temporale definita col From Workspace ( necessario anche il tempo) Un segnale periodico con il Repeating Sequence La sinusoide e il gradino


Sinks: Per assegnare il valore ad una variabile con il To Workspace (occhio ai parametri!) Stop Simulation per fermare la simulazione Lo Scope per visualizzare la variabile durante la simulazione

La simulazioneSimulink

I parametri della simulazione: Istante di tempo iniziale < Istante di tempo finale I metodi di risoluzione a passo fisso: * il metodo di Eulero (rapporto incrementale) * il metodo di Runge Kutta& x (t ) = f (t , x (t ))


x ( kT + T ) = x ( kT ) + a1 K1 + a 2 K 2 + K + a p K p K1 = Tf ( kT , x ( kT )), K 2 = Tf ( kT + b2T , x ( kT ) + c21 K1 ), K 3 = Tf ( kT + b3T , x ( kT ) + c31 K1 + c32 K 2 ), K

* lopzione Mode/MultiTasking per consentire la verifica di incoerenza nella connessione di blocchi con diversi periodi di campionamento

La simulazioneSimulink

I parametri della simulazione: I metodi di risoluzione a passo variabile sulla differenza di due successive iterazioni: * la predizione e la correzione * il max (per default (t_fin-t_in)/50) e min passo * la tolleranza relativa (percentuale della norma dello stato) e assoluta (quando lo stato si avvicina a zero):ei max(tol _ rel | xi | , tol _ assi )


* per modificare la tolleranza assoluta sulla singola variabile, usare i paramaetri dellintegratore Lopzione Refine Output per valutare le uscite del sistema in un numero maggiore di punti (di un fattore e questa opzione non cambia lintervallo di integrazione), o in un numero prefissato di punti.

EserciziSimulink


Costruire lo schema Simulink per un sistema massa-molla-smorzatore ed analizzare la risposta ad una forzante sinusoidale (m=1, k=10, sigma=0.1, F0=10) [es_pendoloforzato]. Simulare la risposta dinamica di un autoveicolo ad una variazione a gradino della coppia motrice [es_dynvehicle].

Tutorial Matlab

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Transcript of Tutorial Matlab