Turbulência - 2014.2 - Prof. Angela O. Nieckele - Dept. Eng. Mecânica  –  PUC-Rio

MEC 2355- Período 2014.2- TurbulênciaProf. Angela O. Nieckele - Lista de Exercícios 3 - data de entrega: 13 de Novembro de 2014

1. 

A partir da equação de Reynolds

i

 ji

 ji

 j

ii

 ji

 j

 x

uu

 x

 p

 x

U 

 x x

U U 

t 

U 

 

  

 

 

  

 

     

  1 

mostre que a equação para e energia cinética média UU),(   2

1t  x E   

    Tt  D

 E  D 

onde j

i ji

 x

U uu

  ; ij ji ji ji S U  pU uuU T          2   / ;

 

  

 

i

 j

 j

iij

 x

U 

 x

U S 

2

1 

2. 

Mostre que o vetor flutuação de velocidade )(x,U)U(x,)u(x, t t t    evolui de acordo com

 ji

 j

i ji ji

i

 j

 x

 p

 x

u

 xU U U U 

 xt 

u

 

  

 

   

  1 

ou

 ji

 j

i ji

ii

 j j

 j

 x

 p

 x

u

 xuu

 x x

U u

 Dt 

u D

 

  

 

   

  1 

onde  p   é o campo de velocidade flutuante (  p p p   ). Mostre então que a energia cinética

turbulenta evolui de acordo com

  

  Tt  D

 D 

onde ij ji j jii  su puuuuT          2   / ;  

  

 

i

 j

 j

iij

 x

u

 x

u s

2

1 

Obs: Subtraia a equação de Reynolds

i

 ji

 ji

 j

ii

 ji

 j

 x

uu

 x

 p

 x

U 

 x x

U U 

t 

U 

 

  

 

 

  

 

  ''

     

  1 

da equação de Navier-Stokes

 ji

 j

ii

 ji

 j

 x

 p

 x

U 

 x x

U U 

t 

U 

 

  

 

 

  

 

     

  1 

 

 

Turbulência - 2014.2 - Prof. Angela O. Nieckele - Dept. Eng. Mecânica  –  PUC-Rio

3.  Mostre que a equação de energia cinética turbulenta também pode ser escrita como

     

    ~ 

 

  2

2

1  puuuu

 xt  D

 D i j ji

i

 

onde a pseudo dissipação é ji

 ji

 x x

uu

2

   ~   

4. 

 Na turbulência isotrópica, o tensor de quarta ordem x

u

 x

u k 

 j

i

  é isotrópico. E portanto

 pode ser escrito como

 jk i jik k ijk 

 j

i

 x

u

 x

u          

 

onde   e   são escalares. Mostre, a partir da continuidade 0 ii  xu   / , a seguinte relação

03           

Mostre que 03         pois x

u

 x

u k 

 j

i

 é zero. Considere que para um escoamento

homogêneo  

  

 

 x

uu

 x

 ji

 j

 é zero

Mostre que a equação acima se torna

 

  

 

 jk ik ij jik 

k 

 j

i

 x

u

 x

u        

  4

1

4

1 

Mostre que

  2

12

1

1  

  

 

 x

u  ;

2

1

1

2

2

12

 

  

 

 

  

 

 x

u

 x

u 

2

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

 

  

 

 x

u

 x

u

 x

u

 x

u

 x

u  ;

2

1

115

2

15

 

  

 

 x

u

 x

u

 x

u

 j

i

 j

i         

 

 

Turbulência - 2014.2 - Prof. Angela O. Nieckele - Dept. Eng. Mecânica  –  PUC-Rio

5.  Considere a equação de transporte das tensões de Reynolds

ijijijij

'  j

' i

'  j

' i

 - ε P  D x

 uu u

t 

 uu 

 

onde

  )uδu ( δ p

 uuu x

 )uu(  x

  ρ

 μ

 x D ' 

 ji' i j

' '  j

' i

'  j

' iij  

   

' 

 x

u uu

 x

u uu P  i' ' 

 j j' ' 

iij  

 

 x

 u 

 x

u

 ρ

 p 

i

'  j

 j

' i

ij

'    ;

 

'  j' 

iij

 x

 u 

 x

u 

 ρ

 μ 2ε

Mostre como esta equação pode ser obtida utilizando-se o seguinte procedimento

  Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes, para o

componente iu  

  Fazer um produto escalar desta equação com ' ju  

  Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de Navier-Stokes, para o

componente  ju  

  Fazer um produto escalar desta equação com 'iu  

  Somar as duas equações

  calcular a média temporal

Lista de Exercícios 4 - data de entrega: 13 de Novembro de 2014

Apresentação oral de 20 minutos de um tema específico de turbulência. Entregar arquivo

com a apresentação e relatório do tema selecionado