Trigonometrijski identiteti

Adicijske formule

cos(x+ y) = cos x cos y sinx sin y,sin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y,

tg(x+ y) =tg x+ tg y

1 tg x tg y ,

ctg(x+ y) =ctg x ctg y 1ctg x+ ctg y

,

cos(x y) = cos x cos y + sinx sin y,sin(x y) = sinx cos y cosx sin y,tg(x y) = tg x tg y

1 + tg x tg y,

ctg(x y) = ctg x ctg y + 1ctg x ctg y .

Formule redukcije za sinus i kosinus funkciju:

cos(pi x) = cosx,sin(pi x) = sin x,

cos(pi

2 x) = sin x,

sin(pi

2 x) = cos x,

cos(pi + x) = cosx,sin(pi + x) = sinx,

cos(pi

2+ x) = sinx,

sin(pi

2+ x) = cos x.

Formule redukcije za tangens i kotangens funkciju:

tg(pi

2 x) = ctg x,

ctg(pi

2 x) = tg x,

tg(pi

2+ x) = ctg x,

ctg(pi

2+ x) = tg x.

Zadatak 1. Izracunaj cos 105.

Zadatak 2. Koliko je sin(11pi12

) sin(17pi12

) cos(11pi12

) cos(17pi12

)?

Zadatak 3. Izracunaj sin(x+ y) i cos(x y), ako je sinx = 35, cos y = 4

5,

te pi < x < 3pi2

, 3pi2< y < 2pi.

Zadatak 4. Koliko je[sin(x 7pi

2) sin(7pi + x)]2+[sin(11pi

2+ x) sin(x 11pi)]2?

Zadatak 5. Ako je x+ y = 3pi4, cos y = 3

7

8, pi

2< x < pi, koliko je sinx?

Trigonometrijske funkcije dvostrukog i polovicnog kuta

Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta:

sin 2x = 2 sin x cosx,

cos 2x = cos2 x sin2 x,tg 2x =

2 tg x

1 tg2 x,

ctg 2x =ctg2 x 1

2 ctg x.

Trigonometrijske funkcije polovicnog kuta:

cosx

2=

1 + cos x

2,

sinx

2=

1 cosx

2,

tgx

2=

1 cosx1 + cos x

,

ctgx

2=

1 + cos x

1 cosx.

Zadatak 6. Ako je cosx = 513, pi

2< x < pi, koliko je sin 2x?

Zadatak 7. Ako je cos 2x = 527625, pi

4< x < pi

2, koliko je ctg x

2?

Zadatak 8. Dokazite identitet: 4 sinx cosx 8 sin3 x cosx = sin 4x.Zadatak 9. Ako je sin x

2+ cos x

2= 1

2, 3pi

2< x < 2pi, koliko je sin 2x?

Formule pretvorbe

Transformacija umnoska u zbroj

sinx cos y =1

2[sin(x+ y) + sin(x y)] ,

cosx sin y =1

2[sin(x+ y) sin(x y)] ,

cosx cos y =1

2[cos(x+ y) + cos(x y)] ,

sinx sin y =1

2[cos(x y) cos(x+ y)] .

Transformacija zbroja u umnozak

sinx+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x y2

,

sinx sin y = 2 cos x+ y2

sinx y

2,

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x y2

,

cosx cos y = 2 sin x+ y2

sinx y

2.

Zadatak 10. Izracunaj:

2

1. sin pi12 sin 5pi

12,

2. cos 24cos 84

cos 36

Zadatak 11. Dokazite identitet: sin 3x+sin 5xcos 3x+cos 5x

= tg 4x.

3