TRIANGULATIONS - Part II

19.12.11אנה גלייזר

:על מה נדבר היום

DELAUNAYטריאנגולציות •טריאנגולציות מיוחדות:•

– טריאנגולציה ממשקל מינימליMWTטריאנגולציות תואמותפסאודו-טריאנגולציות

2

DELAUNAYטריאנגולציות

3

המוטיבציה: על S עבור אוסף נקודות דגימה

המישור )נקודות שמדדנו את גובהן(

נרצה לעשות שחזור של פני הקרקע כמה שיותר קרוב

למציאות. נקודות הדגימה מהוות אומדן לגובה הנקודות הסמוכות

נעשה זאת בעזרת טריאנגולציה:)שגובהן לא נמדד(נבצע טריאנגולציה על אוסף

הנקודות ואח"כ "נרים" כל משולש במישור לגובהו המתאים

וכך נקבל את אותו המשולש בתלת-ממד.

שחזור פני הקרקע יורכב ממשולשים אלה. 4

אודוגמ ת

5

אך איזו טריאנגולציה הכי מתאימה לשחזור פני הקרקע על סמך נקודות הדגימה בלבד?

כיוון שפני הקרקע האמיתיים אינם ידועים פרט לנקודות הנ"ל, אזי לבחירת הטריאנגולציה תהיה השפעה רבה על מראה

השחזור.

:דוגמא

6

איך נוכל לבחור בטריאנגולציה המתאימה ללא מידע נוסף?הניסיון שלנו עם פני קרקע טבעיים נותן לנו אינטואיציה שמעבדת חלק מהשחזורים בצורה "טבעית" יותר לעין

האנושית.דוגמא

:

מה הופך את הטריאנגולציה השמאלית ליותר טבעית מהימנית?הסיבה כנראה בגלל העובדה שההיפוך באיור הימני יצר

"משולשים רזים" ביחס למצב הקודם.על כן, נעדיף טריאנגולציה שנמנעת ממשולשים רזים ע"י

מקסום הזווית הקטנה ביותר בכל משולש. 7

נקודות 4מעתה נניח כי אוסף נקודות במצב כללי לא מכיל על אותו מעגל.

מכילה T כך ש- S טריאנגולציה של אוסף הנקודות Tתהי משולשים.

T היא רשימה ממוינת של הזוויות של Tאזי סדרת הזוויות של לגדולה ביותר .מהזווית הקטנה ביותר

:הערה

:סימון

:הערהניזכר שמס' המשולשים בכל טריאנגולציה הוא קבוע ולכן

אורכה של סדרת הזוויות בכל טריאנגולציה זהה. מכאן גם נובע כי סכום הזוויות של הסדרה שווה בכל טריאנגולציה.

8

מ- שמנה יותר טריאנגולציות נאמר כי 2בהינתן )ונכתוב ( אם סדרת הזוויות של גדולה יותר

מזו של . לקסיקוגרפית

:סימון

במילים אחרות, אם היא סדרת הזוויות של ו- של , אזי קיים כך שלכל מתקיים: ו- .

לכן סדרת הזוויות שמנה יותר מ- .

9

עבור אוסף נקודותS של טריאנגולציית , נגדיר את S ,המסומנת ע"י , להיות טריאנגולציה המכילה רק צלעות

חוקיות.

תהי צלע של טריאנגולציה ויהיQ מרובע ב- הנוצר Q משולשים ש- היא צלע משותפת שלהם. אם 2ע"י

( flipהוא קמור, תהי טריאנגולציה לאחר היפוך ) הצלע ב- .

אם .לא חוקית אם ו-היא חוקיתנאמר כי היא צלע

הוא לא קמור, אזי נתייחס אל כאל Q: אם הערהצלע חוקית.

:הגדרות

10

EDGE FLIPPING– Delaunay Triangulation Algorithm

נקודות על אותו 4 אוסף נקודות במצב כללי )כלומר, ללא Sיהי מעגל(

טריאנגולציה התחלתית כשלהי.Tותהי מכילה צלע לא חוקית, נבצע היפוך של הצלע ובכך היא Tאם

תהפוך להיות חוקית.נמשיך לבצע היפוכי צלעות לא חוקיות, ע"י מעבר בסדר כלשהו

, עד שלא תהיינה עוד צלעות לא חוקיות.Sבגרף ההיפוכים של : מכיוון שצלעות לא חוקיות עוברות היפוך, סדרת הערה

הזוויות של הטריאנגולציה החדשה הולכת וגדלה. ומכיוון שיש מס' סופי של טריאנגולציות )מכיוון שיש מס' סופי של

קודקודים(, אזי האלגוריתם חייב להסתיים. החדשה תהיה Delaunayמבנייה נובע כי טריאנגולציית

גדולה יותר מכל אחד מהשכנים שלה בגרף ההיפוכים.11

: הוכח או הפרךתרגיל -

תחת האלגוריתם הנ"ל, ייתכן כי צלע חוקית תהפוך מאוחר יותר ללא חוקית.

:פתרון

נראה דוגמא לכך שזה נכון:

12

Thalesמשפט

C בתוך המעגל ונקודה A על המעגל, נקודה B, ו- P, Q נקודות 3בהינתן .PCQ, שגדולה יותר מ- PBQ גדולה יותר מ- PAQמחוצה לו, אזי הזווית

דוגמא:

13

הוכחה:

PBQ: נסמן את גודל הזווית PBQ קטנה יותר מ-PCQנראה שהזווית ב- .

D ונחבר את D עם המעגל ב- CQנסמן את נק' החיתוך של הקטע . Pעם

נמצאת על אותה קשת כמו הזווית PDQכעת, מכיוון שהזווית שנוצרה PBQ-בנוסף, נשים לב שהזווית הרי גם היא שווה ל .PDQ היא זווית

. CPD ו- PCQ ולכן גודלה שווה לסכום הזוויות PCDחיצונית למשולש .PBQ קטנה מ- , כלומר – קטנה מהזווית PCQולכן, הזווית

מראים באופן דומה. PBQ גדולה יותר מ-PAQאת המקרה שהזווית

14

טענה

תהי צלע של טריאנגולציה, כך ש- שייכת לשני המשולשים ABC -ו ACD.

ABC היא מחוץ למעגל החוסם את Dאזי היא צלע חוקית אם היא בתוך המעגל החוסם.Dוהיא צלע לא חוקית אם

נקודות על 4הערה: נשים לב שהמקרה האמצעי לא רלוונטי, כי הנחנו שאין אותו מעגל

15

הוכחת הטענהשבו המקרה על את Dנסתכל החוסם המעגל בתוך ABCנמצאת

.) שהצלע) נראה שמאלי .ACאיור חוקית לא היאאת המרובע 8נסמן של , ABCDהזוויות האלכסונים מחיתוכי הנוצרות

. הימני באיור שמתואר כפי- ש את Cמכיוון החוסם למעגל מחוץ נובע, ABDנמצאת הקודם מהמשפט

- , . - ש מכיוון אופן באותו מ יותר גדולה הזווית למעגל Aכי מחוץ נמצאתאת , BCDהחוסם . - נקבל, אופן באותו נמשיך אם מ יותר גדולה הזווית אזי

לכל . כי

16

הוכחת הטענה - המשך- ש, מכיוון את Dכעת החוסם מעגל בתוך הן, ABCנמצאת הזוויות אזי

הנוצרות הזוויות בסדרת ביותר הקטנות הזוויותהצלע" י . ACע

- מ, אחת כל עבור " 4ולכן הצלע י ע הנוצרות זווית, BDהזוויות קיימת " הצלע י ע הנוצרת יותר .ACכלומר. – ACקטנה חוקית לא צלע היא

שבו המקרה את מוכיחים דומה .Dבאופן החוסם למעגל מחוץ נמצאת

17

:תרגיל נמצאת מחוץ למעגל Dבהינתן המשולשים מהטענה הקודמת, הראה ש-

.ACD נמצאת מחוץ למעגל החוסם את B אם"ם ABCהחוסם את הוא לא מרובע קמור.ABCDהוכח שזה נכון גם אם

פתרון: ונראה כי ABC נמצאת מחוץ למעגל החוסם את המשולש Dנניח כי

B נמצאת מחוץ למעגל החוסם את ACD : D הוא מרובע חסום במעגל ועל כן . כעת, מכיוון ש-AECBהמרובע

, ומכיוון שהיא נמצאת על אותה ABCנמצאת מחוץ למעגל חוסם של הרי מתקיים ש- . מכאן נובע ש-AECהקשת כמו הזווית

18

פתרון - המשך:

הוא מרובע חסום במעגל ולכן .AFCDכעת, גם AFC ו-ABCמשתי המשוואות האחרונות נקבל כי . ומכיוון שהזוויות

נמצאת על היקף המעגל החוסם של Fנשענות על אותה קשת ו-ACD ,.ACD נמצאת מחוץ למעגל Bהרי

)הכיוון השני מוכח באותו אופן(. הוא לא קמור. ABCDנשים לב שהמרובע

19

:משפט – תכונת המעגל הריק

נקודות על אותו 4 אוסף נקודות במצב כללי )כלומר – אין Sיהי מעגל(.

לא S אם"ם שום נקודה של Delaunay היא טריאנגולציית Tאזי .Tנמצאת בPפOנים של שום מעגל החוסם משולש של

הוכחה - כיוון ראשון :

היא לא פנימית לשום מעגל חוסם, אזי Sאם אף נקודה של )לפי טענה קודמת( כל היפוך יצור צלע לא חוקית. מכאן – כל

צלעות הטריאנגולציה הן חוקיות.

20

הוכחה - כיוון שני :

בשלילה ונניח כי קיימים משולשים Delaunay היא טריאנגולציית Tנניח כי

כך שהמעגלים החוסמים אותם מכילים נקודות בPפOנים שלהם. מצב בתוך המעגל D ונקודה ABC עבור משולש aכזה מתואר באיור

החוסם אותו. שהמעגל החוסם שלהם מכיל נקודות, נבחר Tמכל המשולשים של

הכי קרובה לצלע של המשולש. כלומר, נבחר Dבזה שבו הנקודה . b שמתואר באיור xבמשולש שמביא למינימום את המרחק

21

הוכחה - כיוון שני - המשך: אזי כל הצלעות הן Delaunay היא טריאנגולציית Tכעת, מכיוון ש-

חוקיות. .T לא יכול להתקיים ב-BCDלכן, מטענה קודמת, משולש

. לפי אותה BC לאורך הצלע ABCלמשולש משולש סמוךBCEיהי טענה,

E חייבת להיות מחוץ למעגל החוסם את ABC כפי שמתואר באיור ,c. לא D וש-D מכיל את הנקודה BCEנשים לב כי המעגל החוסם את

)מיד נראה למה זה מתקיים(. BCEיכולה להיות בתוך המשולש , BCE היא נקודה בתוך המעגל החוסם את Dמכאן – קיבלנו סתירה:

.x קטן יותר מ-ECשמרחקה מהצלע

22

תרגיל: לא יכולה D וש-D מכיל את הנקודה BCEהוכח כי המעגל החוסם את

. BCEלהיות בתוך המשולש

הוכחה: הוא חלק מטריאנגולציה, אזי BCEראשית, נשים לב כי מכיוון שהמשולש

לא מוכלת בו.Dהוא לא מכיל שום נקודה בתוכו. בפרט, נשענות BEC ו-BDC: הזוויות ABCכעת, נסתכל על המעגל החוסם את

– E נמצאת בתוך המעגל והנקודה Dעל אותה הקשת כאשר הנקודה מחוצה לו.

. )*( – BEC גדולה יותר מ- BDCאזי ממשפט קודם, הזווית

כעת, אם נסתכל על הזוויות הללו ביחס למעגל החוסם את , הזוויות הללו שוב נשענות על אותה קשת, BECהמשולש

, BEC נמצאת על היקף המעגל Eאך מכיוון ש- נמצאת בתוך המעגל.Dנקבל כי ,)*(ובצירוף

23

– טריאנגולציה ממשקל מינימליMWTטריאנגולציות תואמותפסאודו-טריאנגולציות

טריאנגולציות מיוחדות:

24

(MWTטריאנגולציה ממשקל מינימלי )

מוגדרת להיות הטריאנגולציה שמשתמשת בהכי פחות •דיו ביחס לשאר הטריאנגולציות.

לכל צלע יש משקל שמסמל את אורך הצלע•

כיצד נוכל למצוא טריאנגולציה כזו?

25

דוגמא: מהן מונחות במרווחים שווים על 32 נקודות, כך ש-33יהי אוסף של והנקודה האחרונה במרכז המעגל. נזיז טיפה את 1מעגל ברדיוס

נקודות על אותו מעגל.4הנקודות כך שלא יהיו עבור טריאנגולציה אחת ניקח כל אחת מנקודות שפת הקמור •

ונחבר עם מרכז המעגל. עבור טריאנגולציה שנייה נחבר את כל הנקודות הסמוכות של שפת •

צלעות 16הקמור. כעת נחבר כל נקודה שנייה, ובכך ניצור צלעות חדשות ע"י חיבור כל נקודה 8חדשות, אח"כ נוסיף עוד

רביעית של השפה. לאחר חיבור כל נקודה שמינית של השפה נסיים את הטריאנגולציה ע"י הוספת צלע מכל נקודה שמינית אל

מרכז המעגל.

26

דוגמא - המשך: Delaunayנשים לב שהטריאנגולציה הראשונה היא טריאנגולציית

כעת נראה שמשקלה הכולל של הטריאנגולציה השנייה קטן יותר מזו ( למה?). Delaunayשל טריאנגולציית

קרוב ל- : Delaunayהמשקל הכולל של טריאנגולציית הרדיוסים.32היקף המעגל +

המשקל הכולל של הטריאנגולציה השנייה הוא הרבה פחות מ- , הוא אורכן של 4כאשר מייצג את ארבע השכבות מסביב למעגל ו-

ארבעת הצלעות שמחוברות למרכז המעגל.

Delaunayכעת, מכיוון ש- קיבלנו דוגמה למצב שבו טריאנגולציית (.MWTהיא לא טריאנגולציה ממשקל מינימלי )

27

תרגיל:.Delaunayהראה שהטריאנגולציה הראשונה היא טריאנגולציית

הוכחה:

28

:MWTאלגוריתם חמדן למציאת נקודות, ישנם מרחקים שונים ביניהן.nבהינתן •

נוסיף כל פעם צלע אחת לטריאנגולציה הגדלה, כשבכל צעד •נבחר בצלע מאורך מינימלי שלא חוצה את הצלעות שנוספו

מקודם.

Errol Lloyd הוכיח שאלגוריתם זה לא יוצר טריאנגולציית MWT ואף לא טריאנגולציית Delaunay יתרה מזאת, במשך .

MWTהרבה זמן חישוב הסיבוכיות של מציאת טריאנגולציית Wolfgang ע"י 2006הייתה בעיה פתוחה. הבעיה נפתרה ב-

Mulzer -ו Gunter Rote שהראו שהבעיה היא NP-hard (.NP-complete)שזה לפחות כמו

29

:דוגמא

הוא ההיקף יחידות 100אורך

30

מה אם במקום טריאנגולציה מלאה של קבוצת נקודות, היינו מעוניינים רק בעץ שפורש את קבוצת הנקודות?

במילים אחרות, נרצה לצייר צלעות תוך שימוש קטן ביותר בדיו, כך שכל הנקודות מחוברות זו לזו. כלומר - מדובר בעץ

פורש מינימלי

31

:משפט

הוא S קבוצת נקודות. אזי עץ פורש מינימלי של Sתהי .Delaunayתת-קבוצה של טריאנגולציית

:בשלילההוכחה -

אבל לא S נמצאת בעץ פורש מינימלי של ABנניח כי הצלע מהווה את AB. נסתכל במעגל שצלע Delaunayבטריאנגולציית

היא צלע לא חוקית )מהגדרת טריאנגולציית ABהקוטר שלו. מכיוון ש-Delaunay .אזי מטענה קודמת, חייבת להיות נקודה נוספת במעגל ,)

הוא קוטר המעגל, הרי מתקיים: AB. כעת, מכיוון ש-Cנסמן אותה ב- וגם .

32

:הוכחה - המשך

מהעפ"מ תפצל את העץ לשני עצים, נניח ו- . ABמחיקת נמצאת באחד C, אזי Sמכיוון שהעפ"מ פורש את כל נקודות

העצים, 2מ- תיצור עץ BC מהעפ"מ והוספת ABנניח ב- . כעת, הסרת

פורש מינימלי חדש שאורכו הכולל קטן יותר. בסתירה.

33

:בעיה פתוחה

MWTנניח כי משקלן הכללי של כל הצלעות בטריאנגולציית נתון.

בזמן פולינומיאלי.MWTמצא את טריאנגולציית

34

טריאנגולציות תואמות

2 טריאנגולציות של 2יש מקרים בהם נעדיף להשוות כשלכל Y ו-Xקבוצות שונות )אך קשורות( של נקודות

נקודות. nאחת מהן יש

למשל, יצירת אנימציה תלת-ממדית של דמות ע"י צילום תנועות של שחקן שעליו יש עשרות סמנים משתקפים

)מרקרים מחזירי אור(. המחשב מסתכל על תנועת כל הסמנים ונעזר בתנועותיהם כדי להנפיש את הדמות.

תצלומים של הסמנים 2 מייצגים Y ו-Xבמקרה הזה, בזמנים שונים והטריאנגולציות מהוות אינטרפולציה עבור

נקודות הביניים.35

:הגדרה

נקודות כל n שני אוספי נקודות במישור, בעלי X,Yיהיו אחד, ותהיינה טריאנגולציות שלהם.

אם קיימת פונקציה טריאנגולציות תואמותנאמר כי ו- הוא משולש ABC כך ש-Y ו-Xחח"ע ועל בין נקודות של

של אם"ם הוא משולש של .

:דוגמא

36

ניזכר במשפט מהרצאה קודמת: מספר המשולשים של כל מהם בקמור הוא .h נקודות, כש-nטריאנגולציה עם

לכן תנאי הכרחי לטריאנגולציות תואמות הוא שהקמור של שני אוספי הנקודות יכיל אותו מס' של נקודות.

אך האם זהו תנאי מספיק?

זוהי בעיה פתוחה שנפתרה אך ורק עבור אוספי נקודות נקודות פנימיות.3שבהם יש לכל היותר

37

מציאת טריאנגולציות תואמות כרוכה במציאת פונקציה חח"ע ועל בין הנקודות תוך כדי מציאת טריאנגולציה באופן

סימולטני. כשלא ניתן לעשות את האחד לפני האחר.

Alan Saalfeld-שאם נקבע קודם את 1987 הראה ב הפונקציה הנ"ל, אזי לא תמיד קיימות טריאנגולציות תואמות.

38

תרגיל:

קודקודים, האם תמיד אפשר nבהינתן שני מצולעים עם לבצע טריאנגולציה מתואמת של שני המצולעים?

תשובה:

לא. דוגמא:

39

בעיית מציאת טריאנגולציות תואמות יכולה להיות קלה יותר אם נרשה להוסיף נקודות נוספות לאוסף הנקודות. נקודות

– Jacob Steiner על שם Steinerנקודות אלה נקראות . 19מתמטיקאי שוויצרי שחי במאה ה-

שיטה אחת במציאת טריאנגולציות תואמות היא להוסיף מחוץ לקמור של אוסף הנקודות המקורי. Steinerנקודות

חיצוניות.Steinerנקרא לנקודות כאלה נקודות

40

:משפט

נקודות כל אחד, ניתן n, בעלי T ו-Sלכל שני אוספי נקודות Steiner נקודות 2למצוא טריאנגולציות תואמות ע"י הוספת

.T ול-Sחיצוניות ל-:הוכחה

ובמקרה שיש yנסדר כל אוסף נקודות בסדר עולה של ערכי , נסדר אותן בסדר יורד של yנקודות בעלי אותה קואורדינטת

.xערכי

נקבל:

כאשר, אם אזי או וגם .

ובאותו אופן -

כאשר אם אזי או וגם ., y נקודות עם אותה קואורדינטת 2: אם נניח שאין הערה41

.yאזי ניתן להסתפק במיון של ערכי

:הוכחה - המשך

חיצוניות:Steiner נקודות 2כעת, נוסיף , S שתהיה קצת מתחת ל- ובמרחק מספיק גדול משמאל ל-

נקודות עוקבות( והצלעות )בין ונקודות 2כך שהצלעות )בין ( לא יחצו אחת את השנייה. ובאופן דומה - - שתהיה Sשל

.Sמעט מעל ובמרחק מספיק גדול מימין ל- .Tבאותו אופן, נצרף את הנקודות ו- ל-

42

:הוכחה - המשך

נשים לב, שהנקודות ו- קיימות )ומאותה סיבה גם ו- (, מכיוון שהצבתן במרחק רב משאר הנקודות יוצרת צלעות כמעט אופקיות )ואז זה בעצם כמו להעביר קווים מקבילים לציר

(. Xה-

43

:הוכחה - המשך

כעת, יהיו ו- . לכל Steinerלפי הבנייה, הצלעות ו- )המחברים בין נק'

נקודה באוסף המקורי(, יחד עם הצלעות יוצרים טריאנגולציה של . בנייה דומה יוצרת טריאנגולציה של .

הפונקציה מראה ששתי הטריאנגולציות תואמות.

44

Steinerמשפט זה הראה את היתרון שבהוספת נקודות חיצוניות. אך נקודות אלה יכולות להיות רחוקות מאוד,

מה שיכול ליצור בעיה.

פתרון טוב יותר יכול להיות כאשר מוסיפים נקודות Steiner ̂נים של הקמור. אך בעיה זו הרבה יותרOפPל

n-h-3מסובכת והתוצאות הכי טובות עד כה היו בהוספת פנימיות.Steinerנקודות

45

פסאודו-טריאנגולציות

:הגדרה

קודקודים קמורים.3 זהו מצולע עם בדיוק פסאודו-משולש

צדדים ישרים המחברים בין שלושת הקודקודים, 3במקום לפסאודו-משולשים יש שרשראות )אולי ריקות( של

קודקודים קמורים. 3קודקודים קעורים שמחברות בין בפרט, כל משולש הוא פסאודו-משולש.

46

:תרגיל קודקודים 3הראה שלכל מצולע חייבים להיות לפחות

קמורים.:אינטואיטיביפתרון -

אפשר להגיד שמספר הקודקודים הקמורים של מצולע הוא כמספר הקודקודים שנמצאים בקמור של המצולע.

הוא משולש, אזי מצולעלכן, מכיוון שהקמור המינימלי של קודקודים קמורים.3לכל מצולע יש לפחות

47

:תרגיל

הראה שהקמור של כל פסאודו-משולש הוא משולש.

:פתרון

לפי האינטואיציה מקודם – שמס' הקודקודים הקמורים של מצולע הוא כמס' הקודקודים שנמצאים בקמור של

המצולע. קודקודים קמורים, 3ומכיוון שלפסאודו-משולש יש בדיוק

קודקודים, כלומר – הקמור שלו 3אזי לקמור שלו יש מהווה משולש.

בפועל – נחבר בין שלושת הקודקודים הקמורים של הפסאודו-משולש ובכך ניצור משולש.

48

אם אחת מזוויות שהוא מגדיר משונןנאמר שקודקוד הוא גדולה מ-.

:הגדרה

אם כל משוננתנאמר שפסאודו-טריאנגולציה היא הקודקודים שלה משוננים.

49

נקודות בקמור hנזכר במשפט האומר שבהינתן אוסף עם 2k+h-2 בפנים, אזי בכל טריאנגולציה יש בדיוק kו-

משולשים. נשים לב, שמשפט זה לא תקף במקרה של

פסאודו-טריאנגולציה.

:משפט

p עם Sלפסאודו-טריאנגולציה של אוסף נקודות p+2q-2 לא משוננים, יש qקודקודים משוננים ו- צלעות.2p+3q-3פסאודו-משולשים ו-

50

מס' צלעות e מס' הפסאודו-משולשים ו-tיהי הפסאודו-טריאנגולציה. מנוסחת אוילר )( נקבל:

פאות חסומות ועוד אחת לא חסומה.t, מכיוון שיש צלעות, 2כעת, מכיוון שכל זווית סמוכה לקודקוד הנוצר ע"י

. מס' הזוויות הקעורות 2eאזי המס' הכולל של הזוויות הוא , אחת בכל קודקוד משונן, ומס' הזוויות הקמורות pהוא

, אחת לכל קודקוד של פסאודו-משולש. לכן 3tשווה ל-נקבל . ונקבל את t ו-e הנוסחאות הללו, נחלץ את 2בעזרת הדרוש.

:הוכחת המשפט

:מסקנה

n עם Sלפסאודו-טריאנגולציה משוננת של אוסף נקודות 51 צלעות.2n-3 פסאודו-משולשים ו- n-2נקודות, יש

יש בדיוק היפוך אחד Tלפסאודו-טריאנגולציה משוננת ’ כך e, עבורה קיימת צלע יחידה T של eלכל צלע פנימית

’ יוצרת שוב e והחלפתה ב-T מ-eשהסרת פסאודו-טריאנגולציה משוננת.

:משפט

52

:תרגיל

הראה שמחיקת צלע שמשותפת לשני פסאודו-משולשים יוצרת פסאודו-מרובע, משוננתבפסאודו-טריאנגולציה

קודקודים 4כלומר מצולע )ייתכן כי מנוון( בעל בדיוק קמורים.:פתרון

ABECנסתכל על הפסאודו-משולשים משותפת לשניהם( של AC )שצלע ACDFו-

פסאודו-טריאנגולציה משוננת נתונה., נקבל ACאם נוריד את הצלע

. כעת, מכיוון ABECDFפסאודו-מרובע שהראנו שקמור של פסאודו-משולש הוא

משולש, אזי מכיוון שקמור של מרובע הנוצר משולשים בעלי צלע משותפת הוא 2מ-

מרובע, הקמור של פסאודו-מרובע הנוצר פסאודו-משולשים בעלי צלע משותפת 2ע"י

קודקודים קמורים 4הוא מרובע, ולכן מכיל בשפה שלו.

53

סוףתודה על ההקשבה!

54