Triangles: 6th grade 2011

1 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

Test 1

1. Perimetrul triunghiului echilateral cu latura de 12 cm este egal cu ... cm.

2. Dacă triunghiurile ABC şi MPQ au ,AB MP BC PQ şi B P , atunci cele două triunghiuri sunt

congruente conform cazului de congruenţă ….

3. Construiţi triunghiul ABC ştiind că:

a) 6AB AC cm şi 40 ;m BAC

b) 7BC cm; 60m ABC şi 30 ;m ACB

c) 5AB cm, 6AC cm şi 7BC cm.

4. În triunghiul RST , unghiul opus laturii ST este unghiul …, iar latura opusă unghiului RST este latura ….

5. Construiţi un triunghi dreptunghic isoscel.

6. Dacă ,ABC MPQ 3AB cm şi 5PQ cm, atunci produsul MP BC este egal cu ….

7. În triunghiul MAC unghiurile alăturate laturii MA sunt … şi ….

8. Dacă intM ABC şi ext ,P ABC atunci valoarea de adevăr a propoziţiei “ MP ABC ” este ….

9. În ABC , fie D(BC), astfel încât AD=CD. Dacă perimetrul triunghiului ABC este de 37 cm, iar perimetrul

triunghiului ABD este de 25 cm, să se afle lungimea laturii AC.

10. Fie O mijlocul segmentului AB , iar punctele C şi D astfel încât OAD OBC ( , ,D O C coliniare).

Demonstraţi că .OAD OBC

11. Dacă segmentele ,AB CD au același mijloc, arătați că segmentele ,AD BC sunt congruente.

12. În exteriorul triunghiului ABC ascuţitunghic se construiesc triunghiurile echilaterale ATB şi .ACS

Demonstraţi că triunghiurile ATC şi ABS sunt congruente.

Test 2

1. În triunghiul isoscel ABC , AB AC , fie M mijlocul laturii .BC Demonstraţi că .BAM CAM

2. În triunghiul isoscel ABC , AB AC , fie [AM bisectoarea unghiului BAC , .M BC Demonstraţi că

.BM CM

3. Demonstraţi că un triunghi isoscel are două unghiuri congruente.

4. Se consideră un triunghi dreptunghic ABC , 90 ,m A 4AC cm, 3AB cm şi punctele ,M CA N AB

astfel încât ,A CM ,B AN 3AM cm şi 1BN cm. Demonstraţi că .BC MN

5. În triunghiul isoscel , ,ABC AB AC se duce bisectoarea , .AD D BC Dacă perimetrul ABC este egal cu

32 ,cm iar perimetrul ABD este egal cu 20 ,cm atunci ...AD .

6. Fie triunghiul ,ABC M mijlocul laturii AC şi T BC astfel încât

90 .m TMC Dacă 3 ,TC cm atunci ...AT .

7. Fie triunghiul ,ABC dreptunghic în A şi 30 .m B Dacă 10 cmBC şi D este simetricul punctului C

faţă de A , atunci perimetrul triunghiului BCD este egal cu ….

8. Fie triunghiul , 120 , 12 cmABC m BAC AB AC şi M mijlocul lui .BC Lungimea segmentului

AM este egală cu ....

9. Se dă triunghiul isoscel ABC , AB AC . Dacă punctele ,D E sunt mijloacele laturilor ,AB AC , atunci

arătaţi că .BE CD

10. Pe laturile [OX şi [OY ale XOY se iau punctele , ' [A A OX , OYBB [', astfel încât OA = OB, OA' = OB'.

Dacă }{'' MBAAB , să se arate că:

a) [OM este bisectoarea unghiului XOY ;

b) triunghiurile 'AMA şi 'BMB sunt congruente.

Triangles: 6th grade 2011

2 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

11. Fie triunghiul ABC şi [ ,AD D BC bisectoarea unghiului .BAC Prelungim AB cu segmentul

,BE DC B AE şi AC cu segmentul , .CF BD C AF Dacă ,AE AF atunci arătaţi că triunghiul

ABC este isoscel.

12. Fie XOY şi YOZ două unghiuri adiacente congruente. Dacă , ,A OX B OZ M OY astfel încât , ,A M B

necoliniare şi ,OA OB atunci demonstraţi că triunghiul MAB este isoscel.

Test 3

1. Un triunghi are … unghiuri exterioare.Suma lor este egală cu….

2. Un triunghi are lungimile laturilor de 5 cm, 4 cm şi 7 cm. Perimetrul triunghiului este egal cu … cm.

3. Construiţi triunghiul ABC ştiind că 5AB cm, 40 .m A m B

4. Se dă triunghiul ABC cu 50 ,m A 60m B şi 70 .m C Măsurile unghiurilor exterioare ale

triunghiului sunt egale cu ….

5. Construiţi un triunghi echilateral cu latura de 4 cm.

6. Numărul triunghiurilor din figura de mai jos este egal cu ….

mijlocul laturii BC a triunghiului ABC şi al laturii AD a 7. Dacă punctul M este

triunghiului ABD atunci ...BAM .

8. În triunghiul , 100 , , .ABC m ABC AD BC D BC Atunci măsura unghiului DAB este egală cu ….

9. Fie punctele coliniare A, B, C, D (în această ordine). Fie M şi N în semiplane opuse astfel încât ABNABM

Arătaţi că CDNCDM .

10. Se dă segmentul AB şi punctele C şi D de aceeaşi parte a dreptei AB astfel încât ,CAB DBA

DAB ABC şi { }.AC BD O Arătaţi că:

a) ;AC BD

b) triunghiurile DOC şi AOB sunt isoscele.

11. În triunghiul isoscel ABC , AB AC avem punctele M AB şi P AC astfel încât .AM AP Dacă

{ },CM BP S arătaţi că triunghiurile MSB şi PSC sunt congruente.

12. Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC. Bisectoarea unghiului ABC taie CD în Q şi AD în P. Fie [DT bisectoarea unghiului

PDQ, T(BP). Dacă CTAD={M} şi ATCD={S}, arătaţi că SQ=DM.

Test 4

1. Dacă perimetrul unui triunghi isoscel este de 19 cm şi o latură este de 5 cm, atunci lungimile celorlalte două

laturi sunt egale cu ... sau cu ….

2. Construiţi un triunghi ABC ştiind că 5AB cm, 5BC cm şi 6AC cm.

3. Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, 90 ,m B atunci latura AB se numeşte ….

4. Dacă ABC RST şi ,ABC RTS atunci triunghiul ABC este:

a) isoscel; b) echilateral; c) oarecare.

5. Construiţi un triunghi MPQ ştiind că 4MP cm, 5MQ cm şi 120 .m M

6. Dacă ,ABC HGT 74m B şi 5HT cm, atunci lungimea segmentului AC este egală cu ... cm, iar

măsura unghiului HGT este egală cu ... .

7. Dacă NPR CDE şi 40 , 70m P m R atunci ...m C .

8. În triunghiul DEF , punctul M este mijlocul lui EF . Ştiind că

Triangles: 6th grade 2011

3 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

DEM şi DFM au perimetre egale, atunci ...DEF

9. Fie triunghiul ABC şi ,D AB ,E AC { },BE CD F ,BF CF .DF EF Arătaţi că:

a) ;BD CE

b) ;AB AC

c) ;ACB ABC

d) dacă , ,M BC MB MC atunci punctele , ,A F M sunt coliniare.

10. Punctele , , ,A B C D sunt coliniare, în această ordine. De o parte şi de alta a dreptei AB se consideră

triunghiurile ABE şi DCF astfel încât .ABE DCF Demonstraţi că:

a) ;AF DE

b) dacă ,AD EF M atunci M este mijlocul segmentului .EF

11*. Pe latura AB a triunghiului isoscel ,ABC AB AC , 20m BAC se ia un punct D astfel încât

.AD BC În exteriorul triunghiului ABC se construieşte triunghiul echilateral .ADE Demonstraţi că [CD este

bisectoarea unghiului .ACE (admitem cunoscut faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180 ).

12. Fie triunghiul isoscel ABC , AB AC şi punctele P şi Q în interiorul său astfel încât .AP PB AQ QC

Dacă ,BP AQ S să se demonstreze .SPQ QCB

Test 5(Perpendicularity)

1. Fie triunghiul echilateral .ABC Dacă distanţa de la punctul A la dreapta BC este de 7 cm, atunci distanţa de la

punctul B la dreapta AC este egală cu … cm.

2. Construiţi înălţimile unui triunghi obtuzunghic.

3. Fie un punct P în interiorul unghiului .AOB Dintre numerele ;d P OA şi ;d P O mai mare este ….

4. Aria triunghiului dreptunghic cu catetele de 6 cm şi 8 cm este egală cu … cm 2 .

5. Construiţi triunghiul ABC dreptunghic în A ştiind că 4AB cm şi 7AC cm.

6. Ortocentrul triunghiului dreptunghic , 90MST m S este punctul ….

7. Fie triunghiul dreptunghic isoscel , 90 .ABC m A Dacă 7AB cm, atunci distanţa de la C la dreapta AB

este egală cu … cm.

8. În triunghiul isoscel ABC , AB AC , fie M BC astfel încât 90 .m BMA Demonstraţi că .BM CM

9. În triunghiul ABC , punctul M este mijlocul segmentului .BC Demonstraţi că distanţele de la punctele B şi

C la dreapta AM sunt egale.

10. Fie triunghiul dreptunghic , 90 .ABC m A Notăm cu 'B simetricul punctului B faţă de punctul .A Dacă

5AB cm şi 30 ,m C atunci calculaţi perimetrul triunghiului ' .BB C

11. Se dă triunghiul dreptunghic , 90ABC m A şi .P BC Perpendiculara în P pe dreapta BC

intersectează pe AC în M şi pe AB în .T Demonstraţi că .BM TC

12. Fie triunghiul ABC echilateral şi punctele P, R, Q pe laturile (AB), (BC), (CA) astfel încât AP=BR=CQ.

Perpendicularele în P, R, Q pe AB, BC, CA intersectează BC, AC, AB în punctele T, M, S. Demonstraţi că SMT este

triunghi echilateral.

High Level Problems

1.Pe laturile unghiului propriu xOy se consideră punctele , (A B Ox şi , (C D Oy astfel încât OA OC şi

,OB OD iar OA< OB. Demonstraţi că:

Triangles: 6th grade 2011

4 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

a) OBC ODA

b) Dacă BC AD= S , atunci ASB CSD ;(OS este bisectoarea unghiului xOy .

2. Fie triunghiul ABC cu AB=8 cm, M este mijlocul lui (BC) şi [BE bisectoarea unghiului ABC, E(AC) iar BE

AM. Să se calculeze lungimea lui (BC).

3.Se dau segmentele congruente ,AB CD a.î. AB CD O și 2 3OB OA , 2 3

OD OC . Arătați că

AOC DOB .

4.Se consideră ABC pentru care există două puncte ,M N a.î. , ,A M N coliniare și ,MBC NBC să fie isoscele de

bază BC . Arătați că ABC este isoscel.

5.Se consideră ABC , punctele ,D AB E BC a.î. BD BE și BDC BEA și fie F AE CD ,

H BF AC . Arătați că FHA FHC .

6.Se consideră ABC echilateral și punctele ,M N BC a.î. BM NC . Arătați că:

a) ABN ACM b) AD este bisectoarea MAN d.n.d. AD este bisectoarea BAC ( unde D BC ).

7.Se consideră xOy și perpendiculara , ,AB A Ox B Oy , pe bisectoarea xOy , iar M un punct pe

bisectoarea xOy , nesituat însă pe dreapta AB . Arătați că: a) OA OB b) MA MB c)

MAx MBy .

8. Se consideră ABC având AB AC și fie ,D BC E AC a.î. ,BAD CAD AE AB . Arătați că:

a) DB DE b) 0180m DEC m ABC c) AD BE d) BD CD .

9.Se consideră , punctele , , ,A C Ox B D Oy a.î. ,OA OB OC OD . Arătați că AEC BED .

10. Fie ,A B puncte distincte, O mijlocul segmentului AB și ,M N puncte situate de o parte și de alta a dreptei AB

a.î. ,MAB NBA MA NB . Arătați că: a) AMB ANB b) , ,M O N coliniare c)O este mijlocul MN .

11*. Pe latura BC a triunghiul ABC se iau punctele E şi F ( E, F ( BC ) ) a.î. BE = CF, 2 m ( EAC ) = m (C )

, 2 m (B ) = 3 m (C ) , 7 m ( B ) =3 m (A ) . Arătați că :

a) triunghiurile ABE şi ACF sunt isoscele b ) m ( BAF ) = m ( ACB )

12. Se consideră ABC având 6 , 10AB AC cm BC cm și BD bisectoarea ABC . Perpendiculara din C pe

dreapta BD intersectează latura AB în punctul M . Se cere: a) construiți ABC b) arătați că ,BMC DMC sunt

isoscele c) calculați perimetrul ADM .

13.Fie MAB şi MCD două triunghiuri dreptunghice isoscele , congruente cu m (AMB ) = m (CMD ) = 900

a.î. ( MC este interioară AMB. Fie { O } = AB ∩ CD şi { E } = AC ∩ BD . Arătați că :

Triangles: 6th grade 2011

5 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

a)AC = BD b)∆ AED este dreptunghic isoscel c)AO = DO d)M , O , E sunt coliniare.

14.Se consideră ABC isoscel cu AB AC , ,M N mijloacele laturilor ,AB AC și prelungim ,CM BN cu

,MP NQ a.î. 2 , 2MP CM NQ BN . Dacă D PB QC , arătați că AD este bisectoarea BAC .

15. Se consideră ABC , D mijlocul laturii BC și fie P simetricul punctului A față de D . Arătați că:

a) ,PC AB PB AC b) BPC BAC c)2

AB ACAD

.

16. Se consideră ABC dreptunghic în A și isoscel, și fie punctele , ,M BC P AB Q AC a.î. ,MB BA

,PB MC QA BC . Arătați că: a) APM este isoscel b) punctele , ,P M Q sunt coliniare.

17.Determinați măsurile unghiurilor unui triunghi ABC știind că BB CC BC , unde ,B C sunt intersecțiile

bisectoarelor unghiurilor ,B C cu laturile ,AC AB respectiv.

18.Se consideră ABC isoscel având 0, 90AB AC m A și se construiesc în exteriorul ABC , două

triunghiuri ,ABE ACD isoscele și dreptunghice în A .

a) Dacă ,AM AN sunt bisectoarele ,BAC DAE , unde M BC , N ED , arătați că , ,M A N sunt

coliniare.

b) Arătați că EC BD

c) Determinați m BAC a.î. BC DE .

19.Se consideră APB BQA a.î. ,PQ AB AQ BP și punctele ,C E a.î. , ,AC BE P BE

Q AC . Arătați că: a) APE BQC b) BAE ABC c) APQ BQP .

20.Se consideră ABC având AB AC și punctele ( , (E AB F AC a.î. ,AE AC AF AB ; EF BC D .

Arătați că: a) BC EF b) DE DC DF DB c) (AD bisectoarea , ,BAC A D M coliniare,

M fiind mijlocul CE .

21.Se consideră ABC , punctele ,D E mijloacele laturilor ,AB AC și I punctul de intersecție al bisectoarelor

unghiurilor triunghiului. Arătați că AB AC d.n.d. ID IE .

22. Fie triunghiul ABC in care AB=AC si punctele S, R in exteriorul triunghiului astfel incat SA=SB=RA=RC si AB

separa punctele S si C, AC separa punctele B si R. Să se arate ca:

a) Triunghiurile CAS si BAR sunt congruente b) BT=CT, unde T este intersectia dreptelor BR si SC

c) Dreptele BR, CS si bisectoarea unghiului BAC sunt concurente.

23. Se consideră ABC având , 2AC a BC a și fie punctele ,D E a.î. 3

, ,2

C BD BD BC ,C AE

2CE AC .Arătați că: a) AB DE b) FBE este isoscel, unde F AB DE .

Triangles: 6th grade 2011

6 developed by Manuela Prajea, Ph.D. in Mathematics

24.Se consideră dreapta AC și punctele ,B D situate de o parte și de alta a dreptei AC a.î. ,DAC BCA

DCA BAC . Fie punctele , :M CD N AB MD BN și O MN AC .

Arătați că: a) AM CN b) punctul O este mijlocul segmentelor MN , AC și BD .

25.Se consideră ABC echilateral și punctele , ,D E F situate pe laturile , ,AB BC CA a.î. AD BE CF

Perpendicularele în punctele , ,D E F pe dreptele , ,AB BC CA taie dreptele , ,BC CA AB respectiv în punctele

, ,P Q R . Arătați că PQR este echilateral.

26. Se consideră ABC isoscel cu AB AC și M mijlocul segmentului AC .Dacă D BM a.î. AD AB și

M BD iar ,E F sunt mijloacele segmentelor ,AB AD , arătați că:

a) AEC AMB b) BD CF CE

27.Se consideră ABC și fie înălțimea AD și mediana AM . Se prelungesc AD și AM cu segmentele

,DE MN a.î. ,DE AD MN AM . Arătați că BCN CBE .

28. În triunghiul dreptunghic ABC, A 90m , AB<AC, fie ADBC, D(BC). Pe semidreapta (AD alegem

punctele P şi Q astfel încât DP=BD, DQ=CD, D(AP) şi P(DQ). Demonstraţi că CPBQ.

29. Fie punctul B(AC) şi D, E două puncte de o parte şi de alta a dreptei AC, astfel încât triunghiurile ABD şi BCE

să fie echilaterale. Dacă perpendiculara din D pe AB intersectează EC în P, perpendiculara din E pe AB intersectează

pe AD în F şi punctele P, B, F sunt coliniare, atunci demonstraţi că AB=BC.

30. În ABC, cu m( ABC)=50 , se duc ADBC, D(BC) şi bisectoarea [BE a unghiului ABC. Dacă AD şi BE se

intersectează în M, aflaţi m( AME) şi m( ACB).

31. În exteriorul triunghiului ABC se construiesc triunghiurile echilaterale MAB şi .PAC Demonstraţi că

.MAC BAP

32. Fie triunghiul isoscel ( 120 ).ABC m BAC Pe latura BC se ia punctul E astfel încât 90 .m CAE Să

se arate că 3 .BC BE

33. Se dă triunghiul ABC şi înălţimea .AD Perpendiculara din D pe AC intersectează bisectoarea AM a

triunghiului ADC în O. Demonstraţi că triunghiul DOM este isoscel.

34. Se consideră ABD AEC astfel încât: 0 , ,BC DE M BC AD N AC DE . Arătați că:

a) BC DE b) OB OE c)OC OD d) AO este bisectoare comună a ,BAE CAD

e) OA este bisectoare a BOE .

35. Determinați natura ABC știind că 2BC AB și că 3m A m C .

36. Determinați măsurile unghiurilor ABC știind că 3m A m B și că bisectoarea B , mediatoarea

laturii BC și latura AC sunt concurente.