TRIANGULACION

Introducción.- La triangulación es uno de los métodos topográficos, para el control horizontal y vertical, efectuado con el objeto de proporcionar una estructura de puntos de apoyo, para llevar a cabo los estudios detallados subsecuentes y para toda clase de programas cartográficos extensivos.

La triangulación básicamente consiste en la medición de algunos lados y numerosas mediciones angulares. Las estaciones son puntos en el terreno que definen los vértices de los triángulos que forman parte de: cadenas de triángulos, cuadriláteros o figuras geométricas con punto central.

Para poder resolver un triángulo plano, basta conocer uno de los lados y los ángulos internos de éste; los dos lados restantes se pueden calcular por trigonometría, mediante la ley de los senos. Si fuera posible medir con toda precisión un lado y todos los ángulos de una triangulación, no habría que hacer ninguna medición lineal más. Pero, debido a errores inevitables en las mediciones de campo, conviene medir dos o más lados de cada cadena como medio para comprobar todas las distancias calculadas. Las líneas cuyas longitudes se miden se llaman bases, o líneas base.

La disposición de los triángulos, en la mayoría de las redes de triangulación, forman figuras geométricas, en las que se conoce el valor teórico de la suma de sus ángulos. Así, por ejemplo, todos los ángulos alrededor de una estación deben sumar 360°, o que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180°, y las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Estas relaciones tan conocidas dan la medida de la precisión en las medidas angulares y sirven para compensar los errores, de modo que se tengan los valores más probables de las magnitudes observadas.

No es necesario medir todos los ángulos en una triangulación, ya que dados dos ángulos del triángulo, se calcula fácilmente el valor del tercero. Pero procediendo de esta manera, la aplicación de las relaciones planteadas en el párrafo anterior, no constituyen una medida de la precisión de las observaciones, ni sirve para compensar errores; por esta razón se debe medir todos los ángulos en lo posible.

El reciente empleo de equipos electrónicos para la medición de distancias ha dado lugar al método de Trilateración, consistente en la medición de los tres lados de cada triángulo y en el subsecuente cálculo de los ángulos

CLASIFICACION DE LA TRIANGULACIÓN

La base fundamental para clasificar la triangulación, es la exactitud relativa con la que puede propagarse la posición horizontal entre dos puntos directamente conectados. La extensión y propósito del levantamiento sirven también para definir los diversos rangos del trabajo.

Teniendo en cuenta la precisión, las triangulaciones se clasifican de acuerdo con: a) el error medio angular en el cierre de los triángulos; b) la discrepancia entre la longitud medida de la base y su longitud calculada en función de otro lado de la red. En el cuadro

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siguiente se muestran las normas de exactitud y las especificaciones generales, en forma abreviada, como las publicó el Federal Geodetic Control Committee (FGCC) en 1974.

Primer Orden Segundo Orden Tercer OrdenClase I Clase II Clase I Clase II

Uso principal Red Primaria Nacional

Refuerzo de la red Nacional

Complemento de la red Nacional

Levantamientos locales de control

Medición de la BaseError estándar no mayor de:

1 / 100 000 1 / 90 000 1 / 80 000 1 / 50 000 1 / 25 000

Error de cierre de un triánguloPromedio no mayor de:Máximo no mayor de:

1.0”3.0”

1.2”3.0”

2.0”5.0”

3.0”5.0”

5.0”10.0”

Error de cierre linealNo mayor de: 1 / 100 000 1 / 50 000 1 / 20 000 1 / 10 000 1/ 5 000

CUADRO N° 1

El principal criterio para juzgar la calidad de la triangulación es la discrepancia relativa en longitud de base a base. Esta divergencia entre la longitud medida y su longitud calculada a través del sistema desde la base anterior, no debe ser mayor de una parte en 100 000 de la longitud de la base, para triangulaciones de primer orden; de una parte en 50 000 para las de segundo orden, clase I; y de una parte en 5 000 para las de tercer orden, clase II. Estos son los requerimientos mínimos.

La triangulación de primer orden constituye la red fundamental de apoyo para la confección de mapas de un país, y sus lados tienen varios kilómetros de longitud. Las triangulaciones de primer y segundo orden requieren métodos de precisión a veces muy superior a la necesaria, a menos que se trate de levantamientos que ocupen una gran superficie.

Las triangulaciones de tercer orden establecen una red horizontal de puntos a poca distancia entre sí, se extiende a partir del control horizontal de igual orden, o de preferencia superior, son muy convenientes para los levantamientos del relieve del terreno, o relleno de planos o mapas, incluyendo levantamientos diversos de ingeniería, catastrales y de construcción.

SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN

La triangulación logró desarrollarse y predominar, porque redujo la tediosa y difícil tarea de medir directamente las distancias con cinta para extender el control horizontal, sobre todo al realizar levantamientos en terreno accidentado.

La triangulación de tercer orden es la que se va a desarrollar en el presente texto, y su aplicación se establece en trabajos catastrales y de ingeniería. En la minería se aplica en el establecimiento de puntos de control que sirven de apoyo para el levantamiento del relieve del terreno, levantamiento de las estructuras geológicas; a nivel de un distrito minero o de propiedades mineras.

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Cualquier sistema de triangulación consiste en una serie de triángulos unidos por un lado, que se añaden o se traslapan; así tenemos:

◊ Cadena de triángulos.- Como su nombre lo indica, es la sucesión de una serie de triángulos, unidos por un lado. Se aplica para el establecimiento de puntos de control en una faja de terreno estrecha como, por ejemplo, la cuenca de un río. En una cadena formada por triángulos nada más, siempre hay un itinerario con el cual se puede calcular los lados. En la figura siguiente, si AB es la base, cuya longitud se mide directamente, y si se miden todos los ángulos de los diferentes triángulos, es posible calcular la longitud de los lados de los triángulos ( AC, BC, BD, etc) sucesivamente a partir de la base.

GRAFICO N° 1

La cadena de triángulos no es tan exacta como otros sistemas, por lo que es necesario ir intercalando bases más cercanas si no se desea que la acumulación de errores se vuelva excesiva. Cuando se miden dos bases una en cada extremo de la cadena, pueden hacerse los cálculos desde cada base a la otra, hasta llegar a un lado comprendido entre ambas. En este sistema, y en general en cualquier otra, no deben establecerse ángulos menores de 30° ni mayores de 120°. Debido a que los valores de la función seno de los ángulos próximos a 0° o a 180° están sujetos a un gran margen de error y, puesto que en el cálculo de una triangulación intervienen casi siempre los senos, es natural que se procure no operar con ángulos cuyo valor se acerque a 0° o a 180°. La suma de los ángulos internos de cada triángulo es igual a 180°, pero como normalmente esto no sucede, por los errores que se suelen cometer; los ángulos medidos en el terreno se compensan, antes de calcular los lados, siempre y cuando el error cometido no sea mayor que el error permisible, para la clase de triangulación que se está aplicando. Los sistemas de triangulación de alta calidad nunca contienen triángulos sencillos como unidades en una cadena de figuras.

◊ Cuadriláteros.- En la figura siguiente se observa una cadena de triangulación, en la cual los triángulos se superponen parcialmente entre sí formando cuadriláteros ( ABCD, CDEF, etc.). En cada uno de los cuadriláteros, el punto de intersección de las diagonales no es vértice de la red.

A

BC

D

E

F

G

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GRÁFICO N° 2

Los cuadriláteros integran un buen sistema, porque las longitudes calculadas de los lados pueden irse propagando a través delsistema mediante diferentes combinaciones de lados y ángulos; se incrementa así la exactitud de los resultados y se tienen frecuentes comprobaciones de los cálculos. La red Geodésica minera nacional está conformada por cadenas de cuadriláteros ( Fig. N° 2)

◊ Polígonos con punto central.- Un polígono o figura con punto central se compone de un grupo de triángulos, en los que su contorno puede estar formado por tres o más lados y en su interior hay un punto que es vértice común para todos los triángulos. El gráfico que se muestra a continuación es un pentágono con un punto central en P

GRAFICO N° 3

La cadena de polígonos con punto central se usa en el levantamiento de áreas extensas, como en el caso de una triangulación para una ciudad.

En cualquier sistema de triangulación, por lo general se estaciona el teodolito en todas las estaciones para medir los ángulos de cada triángulo. Los puntos adicionales que resulten útiles para fines de control pueden tener sus posiciones determinadas por la intersección de dos o más visuales a partir de las estaciones principales de la red. Tales puntos de intersección pueden ser tanques de agua, antenas de radio, torres de vigilancia, y otros objetos altos y notables.

FASES DE LA TRIANGULACION

En una triangulación, el trabajo se descompone en las siguientes fases:

A

F

E

D

C

B H

G

F

H

G

IE D

CB

A PO

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1. Reconocimiento del terreno para escoger la mejor situación de los vértices.2. Colocación de señales, y en algunos casos, construcción de torres de

estacionamiento del instrumento o para la observación de las señales, o ambas a la vez.

3. Medición de las bases.4. Medida de ángulos entre los lados de los triángulos.5. Trabajos de gabinete, que comprende el cálculo del promedio de los ángulos,

compensación de figuras, cálculo de los lados de los triángulos, cálculo de los azimuts de los lados, cálculo de las coordenadas y cotas de los vértices y dibujo del plano correspondiente.

Reconocimiento del terreno.- La primera operación en el campo es reconocer en forma minuciosa el relieve del terreno por levantar; este trabajo va a influir en la precisión y economía del mismo, por lo que no debe economizarse tiempo al efectuarlo. El reconocimiento del terreno nos va a permitir seleccionar los vértices, la forma y tamaño de los triángulos resultantes, también nos servirá para escoger el lugar adecuado para establecer la base o bases de la triangulación. Entre los fines del reconocimiento se encuentra también el estudio de la intervisibilidad de las estaciones, el acceso a las mismas, la utilización de éstas para trabajos posteriores, la seguridad de las figuras, el costo de las señales necesarias y la conveniencia de medida de bases.

Los instrumentos que se emplean en esta fase son: una brújula de mano, que sirve para tomar las direcciones de los lados de los triángulos y calcular el ángulo entre ellos; un altímetro, para determinar la elevación de los vértices y poder determinar la intervisibilidad entre ellos, en el caso de tratarse de visuales largas; un podómetro, que lo usamos para determinar las distancias entre los vértices. Para obtener una mayor información y confeccionar un croquis se puede emplear la plancheta, con el cual se determinan en forma mas objetiva los triángulos por establecer.

Los puntos escogidos como vértices deben estar emplazados, preferentemente, en sitios dominantes, a fin de que sean claramente visibles a la mayor distancia posible. Cuando la distancia entre los vértices es de algunos kilómetros es conveniente confeccionar un perfil entre ellos a fin de determinar la visibilidad, teniendo en cuenta los efectos de la curvatura terrestre y la refracción atmosférica.

Señales y torres.- Una vez determinado la ubicación de los vértices de la triangulación, se debe materializarlos en el terreno mediante marcas, estacas, hitos, etc, según sea que se trate de puntos temporales o permanentes, en función del objetivo del trabajo topográfico. Sobre estos puntos se colocan señales adecuadas, sobre las cuales se van a tomar las visuales, Estos trabajos pueden realizarse de día o de noche, por lo tanto deben ser lo suficientemente visibles en cada caso, los más usuales son:

Si se va a trabajar de día, usaremos jalones de madera o de metal, de sección

conveniente, que puede determinarse por la fórmula empírica: d=0 , 004( D

I ) ,

donde d es el diámetro de la señal, D es la distancia a la que se ubica la señal e I es el aumento del telescopio del instrumento con el cual se va a observar la señal. La longitud del jalón se determina en función a la visibilidad desde el punto de estación, teniendo en cuenta los efectos de la curvatura terrestre y la refracción atmosférica, cuando se trate

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de visuales largas. En este caso colocaremos la señal sobre una torre. Es imprescindible que el jalón se coloque en forma vertical sobre el punto topográfico, con la ayuda de una plomada, además debe estar sólidamente sujetada por templadores a unas estacas, dispuestas en forma de una triángulo a su alrededor. También se puede usar un trípode para este fin. El jalón debe estar pintado en secciones de 0.5 metros, con colores contrastantes alternados, y en el extremo superior debe llevar una banderola, cuyo color contraste con el terreno que lo rodea, lo que ayudara a localizarlo con facilidad.

Prácticamente todas las mediciones angulares en triangulaciones importantes y de alta calidad se realizan de noche, por las superiores condiciones de observación; en este caso se usan lámparas de señales eléctricas colocadas sobre el punto topográfico montados sobre trípodes.

Aunque las estaciones de triangulación suelen situarse en la cima de los cerros o lomadas, por lo general se requiere erigir una torre para elevar el instrumento, la señal o ambos, a fin de asegurar su intervisibilidad, la torre puede ser una estructura de madera o de metal.

Medida de la base.- La base de triangulación, puede medirse por métodos directos e indirectos. En el primer caso, se emplea una cinta de acero o de una aleación de níquel y acero, que se les llama cintas de invar (El invar, también llamado FeNi36 o nivarox, es una aleación de hierro (64%) y níquel (36%) con muy poco carbono y algo de cromo.), nilvar o lovar, cuyo coeficiente de dilatación térmica es de 0.000001/1°C (aproximadamente igual a 1/30 del correspondiente al acero). En el segundo caso, mediante el empleo de equipos EDM, tales como el distanciómetro, o estación total.

Con el desarrollo de los equipos electrónicos para la medición de distancias, la base puede medirse más económicamente, sin menoscabo de la exactitud, con estos equipos. Sin embargo cuando no se cuente con este equipo, y cuando se trate de triangulaciones de tercer orden recurriremos a medir la base empleando cintas de acero o invar, para lo cual se emplea el siguiente procedimiento:

El terreno adecuado para establecer una base de triangulación, debe ser una franja con pendiente uniforme tal como la cara superior de un rail de vía férrea o el pavimento de una carretera, en caso de no contar con estas condiciones, debe buscarse un terreno lo menos accidentado y limpio de malezas posible.

La primera labor de una brigada de medición, que generalmente está compuesta por 4 hombres, es despejar el terreno seleccionado, y colocar en sus extremos los puntos topográficos de la base, que deben ser monumentados en forma permanente, por hitos de concreto, con una placa de metal sobre ella. Luego alinear entre ellos, con un teodolito, estacas de madera, colocados a distancia regular, en función a la longitud de la cinta. Cuanto menor sea la distancia entre las estacas, menor serán los errores por catenaria. Las estacas de madera deben tener una sección de 10 x 10 cm., sobre el que se coloca una plancha de zinc o de cobre. Los extremos de cada cintada se marcarán con un lápiz muy afilado o con un punzón de punta fina directamente sobre la plancha. Durante la medición se debe aplicar una fuerza constante a la cinta, que se controla con un dinamómetro, que debe ser igual a la tensión de calibración de la misma. A fin de determinar la temperatura de la cinta mientras se está midiendo la base, deberán leerse los termómetros instalados al principio y final de ésta, en cada medida. Posteriormente

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se debe correr una nivelación diferencial de las cabezas de las estacas principales, a fin de obtener el desnivel entre dos estacas consecutivas entre las que se a efectuado cada cintada.

Las bases se miden siempre dos veces, una vez en un sentido, y la segunda en sentido contrario; la discrepancia entre las dos medidas, después de hacer la corrección por temperatura no debe ser mayor de 1/25,000.

La longitud de la base será variable en los diversos casos particulares, ya que se tiene que escoger pensando en establecer una red de triángulos bien proporcionados. En general, en los trabajos topográficos, la base tiene una longitud comprendida entre 300 metros y un kilómetro.

Cuando se va a medir la base, es conveniente escoger un día nublado, o bien trabajar en las primeras horas de la mañana o las últimas de la tarde, por que una de las principales fuentes de error es la diferencia entre la temperatura marcada por el termómetro y la temperatura real de la cinta; y esta diferencia puede ser muy grande cuando se trabaja con un sol muy fuerte.

Posición de la cinta sobre la estaca.GRAFICO N° 4

Manera de medir una base de triangulación, con cinta, sobre estacas.GRAFICO N° 5

Plancha de zinc

Cinta

Estaca

Cinta

Marca de la cintada

Plancha de Zinc

Cinta

Estaca

Dinamómetro

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Correcciones a la base medida.- Las correcciones a que se debe someter la medida de una base de triangulación son: por longitud absoluta, por temperatura, por catenaria y por pendiente u horizontalidad.

Los datos que a continuación se muestran, son los obtenidos en la medición de la base de la red de triangulación de la mina Media Naranja. Este trabajo se inició a la 7.0 a.m. y se terminó a las 10 a.m. con tiempo nublado, se realizó con una cinta de acero de 30 m., calibrada a 20 °C y una tensión de 5 kg. La cinta se halla suspendida soportada en sus extremos y al centro por estacas. Se ha realizado una medición de ida y otra de vuelta grabando nuevas marcas en cada caso, sobre la placa de zinc de las estacas a , b, c, ... l, a fin de obtener números redondos para las cintadas. Este procedimiento es más rápido, más preciso, y menos expuesto a equivocaciones que el que se aconseja algunas veces y que consiste en utilizar marcas de la medición de ida. La posible equivocación de colocar el cero de la cinta en una marca que corresponde a la primera medida, se elimina completamente si se cuida de anular con una pequeña cruz las marcas que corresponden a la primera medida.

IDA VUELTATramo Cinta

m.Temperatura

° CTramo Cinta

m.Temperatura

° CBW – a

a – bb – cc – dd – ee – ff – gg – hh – ii – jj – kk – l

l - BE

30.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00012.724372.724

26.226.326.326.526.526.526.726.827.027.227.327.527.6348.4

BE – ll – kk – jj – ii – hh – gg – ff – ee – dd – cc – bb – a

a - BW

12.70030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.007372.707

27.827.927.928.228.328.328.628.729.029.229.329.529.7372.4

Promedio 26.8 28.6

CUADRO N° 2

Corrección por Longitud Absoluta.- (Cl a) Esta corrección se realiza cuando al comparar la cinta que se usó con una cinta patrón, existe una diferencia entre la longitud verdadera y la longitud nominal. Por ejemplo, en la medición de la base de la red de triangulación de la mina Media Naranja, se empleó una cinta de acero de 30 m., que al ser comparada con una cinta patrón, se encontró que ésta medía 29.994 m. a 20 °C. Por lo tanto el coeficiente de corrección por longitud absoluta es:

Cl a = Lr / Ln Cl a = 29.994 / 30 = 0.9998

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La distancia horizontal entre la Base este (BE), y la base oeste (BW) corregida, es:

Medida de ida : 372.724 x 0.9998 =372.6495Medida de vuelta : 372.707 x 0.9998 =372.6325

Corrección por temperatura.- ( Ct ) La corrección por temperatura, suele aplicarse para cada tramo medido, siempre que la variación de la misma, sea considerable. En caso de que ésta varíe en forma gradual, como en el ejemplo, la corrección por temperatura suele calcularse y aplicarse para la horizontal total, tomando el promedio de las mediciones de temperatura realizadas, tanto para la medición de ida como de vuelta. La fórmula empleada es:

C t=k (t−t0) L

donde k es el coeficiente de dilatación térmica, que en el caso del acero es igual a 0.0000116; t es la temperatura promedio de campo, t 0, es la temperatura de calibración de la cinta, y L es la longitud del tramo medido; así para el ejemplo tenemos:

Medida de ida : L = 372.724; k = 0.0000116; t = 26.8°; t0 = 20°

Ct’ = 0.0000116 x ( 26.8 – 20) x 372.724 = + 0.0294

Medida de vuelta: L = 372.707; k = 0.0000116; t = 28.6°; t0 = 20°

Ct” = 0.0000116 x ( 28.6 – 20) x 372.707 = + 0.0372

Corrección por catenaria.- Las cintas son graduadas, por lo general, estando soportadas en todo su largo, extendidas con una tensión de 5 kilos y a la temperatura de 20°C. En el ejemplo que planteamos la cinta se halla suspendida en tramos de 15 m., por lo tanto se debe corregir por catenaria mediante la siguiente formula:

n = espacios libres igualesL = Distancia del espacio

suspendido

Cc = −W 2 LL ²

24 P2 w = peso unitario de la cinta

(kg/m.) Para el ejemplo 0.025 kg/m. P = tensión aplicada a la cinta

Medición de ida:

Espacios libres de 15 m: n = 24; L = 15; w = 0.025; P = 5

Cc = - (24 x 15 / 24 ) ( 0.025 x 15 / 5 )2 = - 0.0844

Espacio libre final : n = 1; L = 12.724;

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Cc = - ( 1 x 12.724 / 24 ) ( 0.025 x 12.724 / 5 )2 = - 0.0021

La corrección total de ida será:

Total de 24 espacios libres de 15 m. cada uno = - 0.0844 1 espacio libre final de 12.724 m. = - 0.0021

Corrección total de ida = - 0.0865

Medición de vuelta:

Espacios libres de 15 m: n = 23; L = 15; w = 0.025; P = 5

Cc = - (23 x 15 / 24 ) ( 0.025 x 15 / 5 )2 = - 0.0809

Espacio libre inicial: n = 1; L = 12.700;

Cc = - ( 1 x 12.700 / 24 ) ( 0.025 x 12.700 / 5 )2 = - 0.0021

Espacio libre final: n = 1; L = 15.017;

Cc = - ( 1 x 15.007 / 24 ) ( 0.025 x 15.007 / 5 )2 = - 0.0035

La corrección total de vuelta será:

Total de 23 espacios libres de 15 m. cada uno = - 0.0809 1 espacio libre inicial de 12.700 m. = - 0.0021 1 espacio libre final de 15.017 m. = - 0.0035

Corrección total de vuelta = - 0.0865

El peso unitario de la cinta se determina, pesando la cinta sola, sin las manijas de los extremos o el estuche, en una balanza y dividiéndola entre la longitud total, incluido los tramos excedentes. En el ejemplo el peso es de 0.773 kg. y una longitud total de 30.92 m.; por lo que el peso unitario es de 0.025 kg. / m.

Corrección por Horizontalidad.- Para efectuar la corrección por Horizontalidad de la medición de la base, se corre una nivelación diferencial de las cabezas de las estacas, para luego calcular el desnivel entre dos estacas consecutivas. La corrección se hace mediante la fórmula:

Ch =

h2

2 L +

h4

8 L3 + …

Para trabajos topográficos ordinarios, como lo es la mayoría de triangulaciones topográficas, solo se necesita tomar el primer término de la serie.

Para el ejemplo se ha efectuado la nivelación de ida y vuelta, calculando los desniveles entre las estacas, en el cuadro siguiente se enuncia el promedio y se calcula la corrección para cada tramo con la fórmula:

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Ch = - (h2 / 2L)

Tramo Longitud h h2 2L - Ch

BW – aa – bb – cc – dd – ee – ff – gg – hh – II – jj – kk – l

l – BE

30.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00030.00012.724

0.1620.2340.1120.2070.1190.2020.2100.1640.1630.1830.1740.1940.086

0.0260.0550.0120.0430.0140.0410.0440.0270.0270.0330.0300.0380.007

606060606060606060606060

25.448

0.00040.00090.00020.00070.00020.00070.00070.00040.00040.00060.00050.00060.0003

TOTAL 0.0066

CUADRO N° 3

RESUMEN

Es conveniente hacer el resumen de las correcciones realizadas, calcular la discrepancia entre los valores resultante de las mediciones hechas, para nuestro ejemplo tenemos:

Medida de ida.- Longitud real = 372.6495Ct = + 0.0294Cc = - 0.0865Ch = - 0.0066 - 0.0637

Base corregida = 372.5858

Medida de vuelta Longitud real = 372.6325Ct = + 0.0372Cc = - 0.0865Ch = - 0.0066 - 0.0559

Base corregida = 372.5766

0.0637 - 372.58580.0559 0.0078 / 372 = 1 / 47692 372.57660.0078 745.1624

: 2 = 372.5812

La discrepancia de las correcciones igual a 1/ 47000 es < de 1 / 25000

La longitud definitiva de la base es igual al promedio: 372.581

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Medida de los ángulos.- Una de las principales actividades, cuando se ejecuta, una triangulación, es la medida de los ángulos horizontales en cada uno de los vértices. Podemos concluir, que, de la exactitud con que se midan dichos ángulos, estará garantizada la exactitud de la triangulación.

Para la medida de los ángulos desde un vértice, en la actualidad, contamos con los teodolitos óptico mecánicos y los electrónicos, cada uno de ellos con diferente precisión propio de su manufactura, así tendremos teodolitos con precisión al grado, minuto, segundo, y décima de segundo respectivamente. Por lo que el empleo de estos instrumentos, dependerá del grado de exactitud que requiera dicho trabajo.

Para la medida de los ángulos horizontales, cualquiera sea el instrumento con que se realice, tenemos dos métodos, que se aplica principalmente teniendo en cuenta el número de ángulos por medir, estos son el método de repetición y el de reiteración. Como se sabe, el método de repetición se aplica cuando el teodolito tenga esta característica y se tenga que medir un solo ángulo; y el método de reiteración se aplica cuando a partir de un mismo vértice se tienen que medir varios ángulos contiguos. Esta condición, es la que mayormente, se presenta en los trabajos de triangulación, por lo que lo describiremos a manera de recordarles.

Una vez estacionado el instrumento en un vértice, se fija la visual en cualquiera de los puntos, afinando la puntería con el tornillo tangencial, en esta posición se coloca en cero el limbo horizontal. Se gira el teodolito en sentido horario, fijando la puntería en cada uno de los vértices contiguos, anotando los valores de los ángulos medidos en cada uno de ellos, esta operación se realiza hasta llegar al primer punto del cual se partió. A continuación invertimos el anteojo y visamos al punto inicial anotando esta medida, que debe ser diferente en 180° con la lectura anterior, enseguida se vuelve a visar a cada uno de los puntos girando el instrumento en sentido contrario al anterior, es decir en sentido antihorario, hasta visar de nuevo la primera estación. Cada vuelta completa del instrumento se le denomina set, y a las dos vueltas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario se le llama una serie; entonces, un set con el anteojo directo y otro set con el anteojo invertido conforman una serie. El número de series, cada una de las cuales requiere una posición inicial diferente en el limbo horizontal, varía con la exactitud que se requiere en el levantamiento. El cuadro mostrado a continuación, nos proporciona la precisión que se puede alcanzar con diferentes instrumentos, efectuando una o mas series de medición.

Lectura del instrumento Número de series Precisión alcanzada

Un minuto2410

20”15”10”

30 segundos1210

15”10”5”

20 segundos14

10”5”

CUADRO N° 4

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Modelo de una libreta de campo, de la medida de los ángulos a partir de un vértice.

ESTACION B W 1.318PRIMERA SERIE

PUNTO ANGULO HORIZONTAL ANGULO VERTICAL Altura deSeñal (h)DIRECTO INVERTIDO DIRECTO INVERTIDO

BE 00° 00’ 00” 180° 00’ 21” 88° 15’ 10” 271° 44’ 15” 0.0S3 216° 31’ 00” 36° 31’ 19” 82° 37’ 46” 277° 21’ 17” 1.5C6 270° 08’ 09” 90° 08’ 30” 78° 08’ 51” 281° 50’ 37” 0.0S1 305° 17’ 02” 125° 17’ 25” 80° 58’ 19” 279° 00’ 41” 0.0BE 00° 00’ 03” 180° 00’ 11” 88° 15’ 09” 271° 44’ 10” 0.0

SEGUNDA SERIEBE 90° 00’ 00” 270° 00’ 00” 88° 15’ 09” 271° 46’ 10” 0.0S3 306° 30’ 29” 126° 30’ 55” 82° 38’ 00” 277° 21’ 21” 1.5C6 00° 07’ 49” 180° 08’ 12” 78° 08’ 50” 281° 50’ 33” 0.0S1 35° 16’ 48” 215° 16’ 57” 80° 58’ 19” 279° 00’ 43” 0.0BE 90° 00’ 00” 269° 59’ 58” 88° 15’ 03” 271° 44’ 08” 0.0

CUADRO N° 5

Los ángulos se calculan restando lavista atrás de la vista adelante, y sepromedian entre ellos. GRAFICO N° 6

PROMEDIO DE ANGULOS HORIZONTALESANGULO PRIMERA SERIE SEGUNDA SERIE PROMEDIO

DIRECTO INVERTIDO

DIRECTO INVERTIDO

BE-BW-S3

216° 31’ 00” 216° 30’ 58”

216° 30’ 29”

216° 30’ 55” 216° 30’ 50.50”

S3-BW-C6 53° 37’ 09” 53° 37’ 11” 53° 37’ 20” 53° 37’ 17” 53° 37’ 14.25”C6-BW-S1 35° 08’ 53” 35° 08’ 55” 35° 08’ 59” 35° 08’ 45” 35° 08’ 53.00”

S1-BW-BE

54° 43’ 01” 54° 42’ 46” 54° 43’ 12” 54° 43’ 01” 54° 43’ 00.00”

359° 59’ 57.75”ERROR DE CIERRE ANGULAR - 02.25”

BW

S3 C6

S1

BE

13

CUADRO N° 6

Ángulos verticales.- No es completamente necesario, pero si muy útil, sobre todo si se va a representar el relieve del terreno, tener las cotas aproximadas de los vértices de la triangulación. Para ello, simultáneamente a la medida de ángulos horizontales, se miden en cada estación los ángulos zenitales, tanto con el anteojo directo, como con el invertido, para a partir de ellos calcular el ángulo vertical, que es el ángulo formado por la visual del telescopio con la horizontal. Es conveniente percatarse del sentido de la graduación del limbo vertical, los hay con graduación en sentido horario, para la posición del anteojo directo a partir del zenit y en sentido antihorario para el mismo punto de inicio. En cada caso para el ángulo vertical sobre la horizontal, el signo es positivo, y debajo de la horizontal es negativo.

GRAFICO N° 7

Para el ejemplo, el limbo vertical del teodolito es del tipo zenital con graduación en sentido horario, por lo que el ángulo vertical se calcula con las siguientes relaciones:

Posición directa del telescopio: Ang. Vert. = 90° - Ang. Zenital

Posición inversa del telescopio: Ang. Vert. = Ang. Zenital – 270°

PROMEDIO DE ANGULOS VERTICALESVISUAL PRIMERA SERIE SEGUNDA SERIE PROMEDIO

DIRECTO INVERTIDO DIRECTO INVERTIDOBW – BE 1° 44’ 50”

1° 44’ 51”1° 44’ 15”1° 44’ 10”

1° 44’ 51”1° 44’ 57”

1° 44’ 10”1° 44’ 08”

1° 44’ 31.5”

BW – S3 7° 22’ 14” 7° 21’ 17” 7° 22’ 00” 7° 21’ 21” 7° 21’ 43”BW – C6 11° 51’ 09” 11° 50’ 37” 11° 51’ 10” 11° 50’ 33” 11° 50’ 52.2”BW – S1 9° 01’ 41” 9° 00’ 41” 9° 01’ 41” 9° 00’ 43” 9° 01’ 11.5”

CUADRO N° 7

VISUAL DEL TELESCOPIO DIRECTO

HORIZONTAL

VISUAL DEL TELESCOPIO DIRECTO

+

-

14

Trabajos de gabinete.- Los trabajos de gabinete, efectuados para resolver una triangulación, son: compensación de figuras, cálculo de las longitudes de los lados, cálculo de los azimuts de los lados, cálculo de las coordenadas y cotas de los vértices, y finalmente el dibujo del plano.

Compensación de figuras.- Las figuras que se pueden formar en una triangulación, son básicamente una cadena de triángulos simple, un cuadrilátero y un polígono con punto central, en cada caso el procedimiento es diferente.

Cuando se miden los ángulos horizontales, en cada vértice, se efectúa “cerrando el horizonte”, es decir, que se mide un ángulo en exceso de los estrictamente necesarios; con lo que se crea la condición que su suma sea igual a 360°; el error de cierre se reparte equitativamente entre todos los ángulos medidos, con lo cual se habrá hecho la compensación de estación. Si compensamos, bajo este criterio, los ángulos en cada uno de los vértices de los triángulos formados, y se suma los tres que corresponden a un triángulo, se encuentra que muy rara vez, ó nunca, el resultado sea igual a 180°, necesitándose por lo tanto efectuar una compensación de figura.

La compensación de figura; consiste en corregir los ángulos promedio de las libretas de campo, de tal manera que se satisfagan simultáneamente, todas las condiciones geométricas de dichas figuras; de modo que, al calcular los lados, sus respectivos azimuts y las coordenadas de los vértices, se hallen siempre los mismos valores, cualquiera sea el camino seguido para llegar a determinado vértice.

En los levantamientos geodésicos, las redes de triangulación se compensan cuidadosamente para todas las condiciones geométricas que puedan presentarse, tales como las condiciones de ángulos, de lado, de azimuts, de cierre de bases, de coordenadas conocidas, etc. empleando la teoría de errores para obtener los valores finales de los ángulos que, teóricamente son los probables.

En las triangulaciones topográficas, formadas por una simple cadena de triángulos, la única compensación por hacer, si se midieron los tres ángulos, de cada triángulo, sería repartir el error de cierre (Ec = 180° - ángulos internos), entre cada uno de ellos en forma equitativa. Si se ha medido una base de cierre, se presenta la nueva condición que los lados calculados partiendo de la primera base, tengan exactamente los mismos valores que repitiendo ese cálculo a partir de la base de cierre. Si la red topográfica está constituida por figuras geométricas mas complicadas que simples triángulos, habría que compensar para todas las condiciones creadas, aunque muchas veces, en este caso, el objeto del levantamiento no justifica mayor refinamiento y el topógrafo, se limita únicamente a hacer la compensación individual de los triángulos. De todos modos, cuando se quiere hacer una compensación completa, debe cuidarse de disponer el esquema de triangulación de manera que no resulten figuras demasiado complicadas que hagan excesivamente laborioso el trabajo de compensación. Lo ideal sería disponer, que la red esté conformada por cuadriláteros con sus dos diagonales, o polígonos con punto central y triángulos simples para los vértices finales, tal como en el ejemplo siguiente.

15

GRAFICO N° 8

Compensación de un cuadrilátero (los ángulos enumerados a continuación son ángulos promedios de dos series)

( 1 ) 57° 59’ 58”

( 2 ) 54° 40’ 54”

( 3 ) 35° 14’ 26”

( 4 ) 32° 04’ 40”

( 5 ) 53° 44’ 40”

( 6 ) 58° 56’ 03”

( 7 ) 32° 29’ 37”

( 8 ) 34° 49’ 38” GRAFICO N° 9

En un cuadrilátero, se deben cumplir las siguientes relaciones geométricas:

( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) + ( 4 ) + ( 5 ) + ( 6 ) + ( 7 ) + ( 8 ) = 360°

( 1 ) + ( 2 ) = ( 5 ) + ( 6 )

( 3 ) + ( 4 ) = ( 7 ) + ( 8 )

1

2

3

4

5

6

78

OG

F

E

DC

B

A

BSBN

16

( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) + ( 4 ) = 180°

( 3 ) + ( 4 ) + ( 5 ) + ( 6 ) = 180°

( 5 ) + ( 6 ) + ( 7 ) + ( 8 ) = 180°

( 1 ) + ( 2 ) + ( 7 ) + ( 8 ) = 180°

sen ( 1 ) + sen ( 3 ) + sen ( 5 ) + sen ( 7 ) = 1 sen ( 2 ) + sen ( 4 ) + sen ( 6 ) + sen ( 8 )

log sen ( 1 ) + log sen ( 3 ) + log sen ( 5 ) + log sen ( 7 ) – log sen ( 2 ) + log sen ( 4 ) + log sen ( 6 ) + log sen ( 8 ) = 0

Las relaciones enunciadas en el párrafo anterior, son teóricas, en la práctica como en cualquier medición topográfica, la medición de ángulos está afectado por una serie de errores. Para que una medición esté bien realizada, los resultados no debe superar el error permisible, para las condiciones en las que se está trabajando; de ser así, se puede calcular las correcciones: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, y C8 para cada uno de los ángulos, que sumados a los mismos ( 1 ), ( 2 ), ... ( 8), permitirán hallar los valores de dichos ángulos que satisfagan a todas las condiciones geométricas de la figura. Para hallar las correcciones se pueden emplear tres métodos: el método riguroso de la teoría de errores, que da los valores teóricamente más probables de los ángulos; el método por aproximaciones sucesivas, que da valores poco diferentes a los del método riguroso; y el método de tanteos empíricos propugnado por algunos autores, como por ejemplo Raymond Davis, Francis Foote y Joe Kelly, en su libro “topografía General”. Recomendamos emplear el método riguroso, el cual se va a desarrollar mediante ejemplos para cada caso en el presente texto.

Si: C1, C2, ... y C8, son las correcciones en segundos de los ángulos ( 1 ), ( 2 ), ... ( 8), para obtener los valores más probables que satisfagan las condiciones geométricas del cuadrilátero, podemos poner:

( 1 ) + C1 + ( 2 ) + C2 + ( 3 ) + C3 + . . . + ( 8 ) + C8 = 360°

( 1 ) + C1 + ( 2 ) + C2 - ( 5 ) - C5 - ( 6 ) - C6 = 0

( 3 ) + C3 + ( 4 ) + C4 - ( 7 ) – C7 - ( 8 ) - C8 = 0

log sen (1) + C1 - log sen (2) – C2 + . . . - log sen (8) – C8 = 0

En esta última ecuación, log sen (1) + C1 puede ponerse en la forma log sen ( 1 ) + d1

C1, siendo d1, la diferencia tabular para un segundo del logaritmo sen del ángulo ( 1 ), que es la operación que se hace para hallar log seno del ángulo (1) + C1, cuando C1 esta dado en segundos. Entonces la última ecuación queda de la forma:

log sen (1) + d1 C1 - log sen (2) – d2 C2 + . . . - log sen (8) – d8 C8 = 0

de manera que las cuatro ecuaciones anteriores darán:

17

C1 + C2 + . . . + C8 = E1 = 360° - ( 1 ) + ( 2 ) + . . . + ( 8 ) (501)

C1 + C2 – C5 – C6 = E2 = ( 5 ) + ( 6 ) - ( 1 ) + ( 2 ) (502)

C3 + C4 – C7 – C8 = E3 = ( 7 ) + ( 8 ) - ( 3 ) + ( 4 ) (503)

d1 C1 – d2 C2 + d3 C3 – . . . – d8 C8 = E4 = log sen (2) + log sen (4) + log sen (6)+ log sen(8) – log sen ( 1 ) + log sen ( 3 ) + log sen ( 5 ) + log sen ( 7 )

(504)

Estas últimas cuatro ecuaciones han sido tratadas por el método de la teoría de errores para hallar las ecuaciones correlativas, de las cuales se ha despejado los coeficientes K 1 ,

K2, K3 , y K4 , que reemplazados en las ecuaciones que dan las C en función de las K, para observaciones de igual peso, permiten hallar las correcciones finales de los ángulos.

Para compensar el cuadrilátero se procederá del modo siguiente:

Se calcula primero, con los ángulos promedio de las mediciones de campo, los errores de cierre E1, E2, E3 y E4, dados por las fórmulas anteriores, enseguida se calculan los valores siguientes:

D1 = ( d1 – d2 ) + ( d3 – d4 ) + ( d5 – d6 ) + ( d7 – d8 ) ;

D2 = ( d1 – d2 ) - ( d5 – d6 ) ;

D3 = ( d3 – d4 ) - ( d7 – d8 ) ;

D4 = d12 + d2

2 + d32 + d4

2 + d52 + d6

2 + d72 + d8

2

Y con estos valores calculados, hallar los siguientes:

K4 =

E4 - ( 1/8 E1 D1+ 1/4 E2 D2+ 1/4 E3 D3 )

D4 - ( 1/8 D12+ 1/4 D2

2+ 1/4 D32 )

K3 =

14 ( E3 - K4 D3 ) ; K2 =

14 ( E2 - K4 D2 ) ; K1 =

18 ( E1 - K4 D1 )

Ejemplo: Compensar el cuadrilátero del gráfico N° 9, para lo cual desarrollaremos los siguientes pasos:

Calcular, con los ángulos promedio tomados de la libreta de campo, los errores de cierre E1, E2, E3, E4, dados por las fórmulas anteriores (501), (502), (503), y (504), teniendo cuidado de asignarles los signos que le corresponda, así tenemos que cuando se traten de ángulos en el primer cuadrante serán positivos y negativos cuando lo sean del segundo cuadrante, es decir entre 90° y 180°

18

Hallar el logaritmo seno de cada uno de los ángulos. Este valor se puede obtener de las tablas de logaritmo seno, los cuales nos proporcionan valores al minuto; en vista que los ángulos se han medido al segundo, se debe proceder a la interpolación con el valor del logaritmo seno del ángulo al minuto siguiente. También se puede obtener el logaritmo seno de los ángulos utilizando las calculadoras científicas; en este caso, se digita el ángulo, se halla el seno, posteriormente el logaritmo natural, como este valor es negativo, se resta de 10, por ejemplo:

CALCULO DEL LOGARITMO SENO EMPLEANDO TABLASAngulo Logaritmo

senoAngulo medido

Interpolación Log. Seno ángulo medido

57° 57’ 9.928183 57° 57’ 14.25” 0.000019 9.92820257° 58’ 9.928263

CALCULO DEL LOGARITMO SENO EMPLEANDO CALCULADORA Angulo medido seno logaritmo Logaritmo seno57° 57’ 14.25” 0.8476219 - 0.07179778 9.92820221654° 43’ 12.75” 0.8163413 - 0.08812820 9.911871796

Las diferencias d1, d2, d3, ... dn, se tomarán de la tabla de logaritmos, o restando el logaritmo seno del ángulo al segundo siguiente, menos el logaritmo seno del ángulo medido, a partir del sexto decimal. Por ejemplo, si el ángulo medido es 35° 08’ 53.00”.

ángulo Logaritmo seno d35° 08’ 54.00” 9.76019235° 08’ 53.00” 9.760189 3.00

Calcular los errores de cierre E1, E2, E3, E4

E1 = 360° - 359° 59’ 56” D4 = 48.1927 E4 = 39.32629702 – 39.32628578

E1 = + 4 E4 = + 11.233

N° Angulo N° Angulo N° Angulo N° Angulo

19

1 57° 59’ 58” 5 53° 44’ 40” 3 35° 14’ 26” 7 32° 29’ 37”2 54° 40’ 54" 6 58° 56’ 03” 4 32° 04’ 40” 8 34° 49’ 38”

112° 40’ 52” 112° 40’ 43” 67° 19’ 06” 67° 19’ 15”

E2 = 112° 40’ 43” - 112° 40’ 52” E 3 = 67° 19’ 15” - 67° 19’ 06”E2 = - 9 E 3 = + 9

Calcular D1, D2, D3

d1 – d2 = 1.316 - 1.492 = - 0.176d3 – d4 = 2.980 - 3.359 = - 0.379d5 – d6 = 1.544 -1.268 = + 0.276 (d1 – d2) = - 0.176 (d3 – d4) = - 0.379d7 – d8 = 3.305 - 3.026 = + 0.279 - (d5 – d6) = - 0.276 - (d7 – d8) = - 0.279

D1 = + 0.000 D2 = - 0.452 D3 = - 0.658

E1 = + 4 D1 = + 0.000 D12 = 0.000000 1/8 D1

2 = 0.000000

1/8 E1 D1 = + 0.0000

E2 = - 9 D2 = - 0.452 D22 = 0.204304 ¼ D2

2 = 0.051076

¼ E2 D2 = + 1.0170

E3 = + 9 D3 = - 0.658 D32 = 0.432964 ¼ D3

2 = 0.108241

¼ E3 D3 = - 1.4805

= 0.159319

= - 0.4655

Calcular K4, K3, K2, K1.

K4 =

11. 233- (-0 . 00 +1 .0170- 1 . 4805 )48 . 1927 - (0 . 00+0 .051076 +0 .108241 ) =

11. 705548 . 033381 = 0 .2437

K3 =

14 [+ 9 – (0.2437)(– 0.658)] = + 2.2901

K2 =

14

[−9−(0 . 2437)(−0 . 452 )]=−2 .2225

K1 =

18 [ + 4 – (0.2437)(0.004)] = + 0.4999

Calcular los valores de las correcciones C1 , C2, C3 ... C8

C1 = +0 . 4999−2. 2225+(1. 316 x0 . 2437 )=−1 . 40

C2 = +0 .4999−2. 2225−(1 . 492 x 0 .2437 )=−2. 09

C3 = +0 . 4999+2 . 2901+(2 .98 x 0 .2437 )=+3 .52

C4 = +0 .4999+2 . 2901−(3 . 359 x0 .2437 )=+1. 97

C5 = +0 . 4999+2 . 2225+(1 .544 x0 .2437)=+3. 10

20

C6 = +0 . 4999+2 . 2225−(1. 268 x0 . 2437 )=+2. 41

C7 = +0 . 4999−2. 2901+(3 . 305 x0 . 2437 )=−0 .98

C8 = +0 .4999−2. 2901−(3 .026 x 0 .2437 )=−2. 53

Calculadas las correcciones hallaremos los valores de los ángulos compensados; así tenemos:

( 1 ) 57° 59’ 58” - 1.40” = 57° 59’ 56.60” ( 2 ) 54° 40’ 54” - 2.09” = 54° 40’ 51.91” ( 3 ) 35° 14’ 26” + 3.52” = 35° 14’ 29.52”( 4 ) 32° 04’ 40” + 1.97” = 32° 04’ 41.97” 180° 00’ 00”( 5 ) 53° 44’ 40” + 3.10” = 53° 44’ 43.10” ( 6 ) 58° 56’ 03” + 2.41” = 58° 56’ 05.41”( 7 ) 32° 29’ 37” - 0.98” = 32° 29’ 36.02” ( 8 ) 34° 49’ 38” - 2.53 = 34° 49’ 35.47” 180° 00’ 00”

360° 00’ 00.00”

Para comprobar utilizaremos las ecuaciones de condición, así tenemos:

( 1 ) 57° 59’ 56.60” 9.9284160( 2 ) 54° 40’ 51.91” 9.9116618( 3 ) 35° 14’ 29.52” 9.7611943( 4 ) 32° 04’ 41.97” 9.7251584( 5 ) 53° 44’ 43.10” 9.9065484( 6 ) 58° 56’ 05.41” 9.9327684( 7 ) 32° 29’ 36.02” 9.7301372( 8 ) 34° 49’ 35.47” __________ 9.7567073

360° 00’ 00.00” 39.3262959 39.3262959

57° 59’ 56.60” 53° 44’ 43.10” 35° 14’ 29.52” 32° 29’ 36.02” 54° 40’ 51.91” 58° 56’ 05.41” 32° 04’ 41.97” 34° 49’ 35.47”

112° 40’ 48.51” 112° 40’ 48.51” 67° 19’ 11.49” 67° 19’ 11.49”

Compensación de un Polígono con Punto Central

Tomemos como ejemplo el polígono con punto central de la figura número 8, en el que se forman 5 triángulos. Las ecuaciones independientes de ángulo son ecuaciones de la forma:

( 1 ) + ( 2 ) + ( 51 ) = 180°( 3 ) + ( 4 ) + ( 52 ) = 180°( 5 ) + ( 6 ) + ( 53 ) = 180°( 7 ) + ( 8 ) + ( 54 ) = 180°( 9 ) + ( 10 ) + ( 53 ) = 180°

además una ecuación de cierre de horizonte alrededor del punto central de la forma:

( 51 ) + ( 52 ) + ( 53 ) + ( 54 ) + ( 55 ) = 360°

Hay también una ecuación de lado, que tiene la siguiente forma:

21

sen ( 1 ) sen ( 3 ) Sen ( 5 ) sen ( 7 ) Sen ( 9 )sen ( 2 ) sen ( 4 ) Sen ( 6 ) sen ( 8 ) Sen ( 10 ) = 1

Para compensar se comienza por calcular los errores de cierre:

E1 = 180° - [ ( 1 ) + ( 2 ) + ( 51 ) ]E2 = 180° - [ ( 3 ) + ( 4 ) + ( 52 ) ]E3 = 180° - [ ( 5 ) + ( 6 ) + ( 53 ) ]E4 = 180° - [ ( 7 ) + ( 8 ) + ( 54 ) ]E5 = 180° - [( 9 ) + ( 10 ) + ( 55 )]

E’ = 360° - [ (51) + (52) + (53) + (54) + (55) ]

E” = log sen ( 2 ) + log sen ( 4 ) + log sen ( 6 ) + log sen ( 8 ) + log sen ( 10 ) – [log sen ( 1 ) + log sen ( 3 ) + log sen ( 5 ) + log sen ( 7 ) + log sen ( 9 )]

Llamando d1, d2 , d3, d4 , d5 las diferencias para 1” de los logaritmos de los senos de los ángulos:( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ), se calcula los valores:

D1 = d1 - d2 ; D2 = d3 – d4 ; D3 = d5 – d6 ; D4 = d7 – d8 ; D5 = d9 – d10

Luego se halla las sumas:

[ d 2 ] = d12 + d2

2 + d32 + d4

2 + d52 + d6

2 + d72 + d8

2 + d92 + d10

2

[ D ] = D1 + D2 + D3 + D4 + D5

[ D2 ] = D12 + D2

2 + D32 + D4

2 + D52

[ D ]2 = ( D1 + D2 + D3 + D4 + D5 )2

[ E ] = E1 + E2 + E3 + E4 + E5

[ E D ] = E1 D1 + E2 D2 + E3 D3 + E4 D4 + E5 D5

y luego se calcula:

K” = E−1/3 \[ ED \] +1/2 t \( E '−1/3 \[ E \] \) \[ D \] } over { \[ d rSup { size 8{2} } \] −1 /3 \[ D rSup { size 8{2} } \] −1/6 t \[ D \] rSup { size 8{2} } } } } { ¿¿¿

K’ =

[ D ] K” - 3E' - [ E ]2t

22

C1 =

13 [ E1 – K’ + ( 2 d1 + d2) K” ] C2 = C1 – ( d1 + d2 ) K”

C3 =

13 [ E2 – K’ + ( 2 d3 + d4) K” ] C4 = C3 – ( d3 + d4 ) K”

C5 =

13 [ E3 – K’ + ( 2 d5 + d6) K” ] C6 = C5 – ( d5 + d6 ) K”

C7 =

13 [ E4 – K’ + ( 2 d7 + d8) K” ] C8 = C7 – ( d7 + d8 ) K”

C9 =

13 [ E5 – K’ + ( 2 d9 + d10) K” ] C10 = C9 – ( d9 + d10 ) K”

C51 = E1 – ( C1 + C2 )

C52 = E2 – ( C3 + C4 )

C53 = E3 – ( C5 + C6 )

C54 = E4 – ( C7 + C8 )

C55 = E5 – ( C9 + C10 )

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LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS

El propósito principal de un levantamiento topográfico es la localización de los rasgos naturales ( relieve ) y los debidos a la actividad humana, mediante la determinación, tanto en planta como en altura, de puntos topográficos, necesarios para el trazado de curvas de nivel.

El levantamiento topográfico de un terreno consiste:1. En establecer sobre toda su extensión las redes de apoyo horizontal y vertical,

constituidos por puntos representativos relacionados entre sí por mediciones de precisión relativamente alta, como por ejemplo: para el control horizontal, mediante una poligonación, triangulación o Trilateración y para el control vertical mediante una nivelación diferencial o una nivelación trigonométrica.

2. En situar todos los detalles que interesen, mediante mediciones de menor precisión apoyadas en las estaciones principales, que servirán para el trazo de las curvas de nivel.

Los levantamientos topográficos pueden clasificarse en tres grandes grupos, según la escala a que haya de dibujarse el mapa o plano, así tenemos:

Escala grande : 1/1000 o menosEscala mediana : 1/1000 a 1/10 000Escala reducida : 1/10 000 a más

Debido a los diversos usos y aplicaciones de los planos topográficos y de las diferencias entre los terrenos representados, los levantamientos topográficos son de muy distinto carácter unos de otros. Unos son muy sencillos y cubren unas cuantas hectáreas; otros, en cambio son complicados y se extienden sobre centenares de kilómetros cuadrados.

La elección de los métodos operatorios para la toma de datos de campo depende:

1. Finalidad del plano.- Los levantamientos para la construcción de planos detallados han de hacerse por los métodos más precisos que si se tratara de planos ordinarios. Así por ejemplo, el movimiento de tierras para construcción de edificios o barriadas, calculado sobre un plano topográfico, debe hacerse con uno que represente el terreno con mucha mayor precisión (tanto en planimetría como en altimetría) que uno levantado para calcular la capacidad de un embalse.

2. Extensión.- Es más difícil mantener una cierta precisión en la posición relativa de puntos sobre una superficie muy extensa que en una de menor precisión. Las comprobaciones deben ser más precisas en las superficies grandes que en las pequeñas.

3. Escala del plano.- Con frecuencia se presupone que si los errores en las observaciones de campo no son mayores que los de desarrollo, pierden aquellos toda su importancia. Pero como estos errores no se compensan entre sí, los errores de campo probables deben ser mucho menores que los de desarrollo en la escala dada. La relación entre los errores de campo y los de desarrollo deben ser de uno a tres. La escala apropiada será la que permita que todos los rasgos deseados aparezcan

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claramente y que todas las dimensiones puedan medirse a escala con la exactitud requerida.

4. Equidistancia entre las curvas de nivel.- Cuanto menor sea esta equidistancia mas precisos han de ser los métodos operatorios en campo. La elección del intervalo adecuado entre curvas de nivel para un levantamiento topográfico depende de las pendientes del terreno por representar, de la escala del plano y del propósito del levantamiento. Si la equidistancia entre curvas es demasiado pequeña en relación con la escala del plano, en áreas montañosas las curvas de nivel aparecen tan amontonadas, que se vuelven ilegibles y oscurecen otros rasgos del terreno. También, la exactitud y el número de mediciones en el campo deben guardar una relación congruente con el intervalo entre curvas. En consecuencia, para un área determinada, el costo de un plano con intervalo pequeño es muy superior al de un plano con equidistancia mayor.

USOS DE LOS PLANOS TOPOGRÁFICOS.-

El plano topográfico constituye propiamente un medio para el logro de una finalidad. Tiene por objeto ayudar al hombre a afrontar su medio ambiente. Así pues, solo su empleo justifica su elaboración. Aparte de su utilidad en la práctica de la ingeniería civil, los planos topográficos se usan para diversos fines económicos, técnicos y de planeación en general, pero cobran mayor importancia y se vuelven vitales en tiempos de guerra. A continuación se describen algunas de sus aplicaciones:1. Seguridad Nacional. Los planos topográficos resultan esenciales para operaciones

militares ofensivas y defensivas2. Desarrollo de recursos minerales. Los planos topográficos son un requisito

indispensable para la explotación de minerales, petróleo y combustibles sólidos, así como para su evaluación cuantitativa.

3. Proyecto de carreteras. Constituyen elementos básicos para la planeación y proyecto de las carreteras, autopistas y vías rápidas.

4. Protección de la salud pública. Los planos topográficos se utilizan extensamente en relación con los problemas de abastecimiento y distribución de agua, contaminación de ríos, control de insectos, etc.

5. Riego, drenaje y generación hidroeléctrica. Se requieren planos topográficos para representar la extensión y configuración de zonas regables. En proyectos de recuperación de suelos mediante drenaje, dichos planos permiten determinar con mayor facilidad la extensión y pendientes de los terrenos por drenar y la localización de los drenes. Asimismo para el estudio de los recursos hidroeléctricos, y el planeamiento y el proyecto de presas, acueductos, y líneas de transmisión, se requiere un reconocimiento detallado de la topografía del área en estudio.

6. Desarrollo industrial. Los planos topográficos son útiles para las nuevas fábricas y áreas habitacionales.

7. Usos generales. También son indispensables en otras actividades, como el proyecto de aeropuertos, control de la erosión, protección forestal, control de las avenidas y localización de torres transmisoras de televisión.

Por último, debe subrayarse que el plano topográfico debe estar disponible antes de efectuar cualquier trabajo que dependa de ese plano para obtener la información básica.

ESTUDIOS DE INGENIERIA CIVIL

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Los estudios topográficos de ingeniería civil esencialmente constituyen el análisis y la selección de sitios para construcción, la obtención de datos para el proyecto, y el trazo de obras de ingeniería. De aquí que los trabajos de esta rama estén muy vinculados a las etapas del desarrollo de proyectos. Estas etapas pueden describirse brevemente como sigue:

1. Investigación y planeación. Esta fase se refiere a la evaluación del mérito relativo de un proyecto propuesto y de la factibilidad de su construcción. Se efectúa primero un estudio exploratorio, llamado reconocimiento, para fundamentar la evaluación y determinar si se justifican mayores análisis. Se ejecutan estudios con suficiente detalle para complementar la información obtenida de cartas y de estudios previos. El informe correspondiente a esta etapa debe presentar un plan para el proyecto e indicar si este es, técnica y económicamente factible.

2. Proyecto. Los trabajos topográficos relativos a la etapa de proyecto, incluyen toda la gama de mediciones necesarias para obtener datos dimensionales con el detalle adecuado y la precisión requerido. A veces estos trabajos deben satisfacer ciertas especificaciones preestablecidas.

3. Trazo para construcción. Esta actividad consiste en el estacamiento y fijación de puntos de referencia para marcar la posición de las diversas partes del proyecto.

4. Postconstrucción. En el transcurso de la construcción se realizan levantamientos periódicos para determinar el avance de la obra o las cantidades de pago parciales. Al terminar la obra, se calculan las cantidades definitivas a partir del levantamiento de lo construido. En ciertos casos, se efectúan mediciones postconstrucción, a intervalos regulares, para valorar el comportamiento estructural, como el asentamiento de un edificio.

Los trabajos topográficos de ingeniería civil representan una fracción muy pequeña del costo total de la construcción de la mayoría de los proyectos. Así pues, constituye una falsa economía tratar de reducir gastos empleando métodos inadecuados y personal inexperto, o contratando consultores de bajos honorarios y capacidad incierta, por que ello redundará inevitablemente en costos de construcción más elevados. En general, los trabajos bien planeados y cuidadosamente ejecutados ahorran tiempo y dinero.

PROYECTO DE VIAS TERRESTRES

Generalidades. El proyecto de vías terrestres comprende todos los trabajos de campo y gabinete relativos al estudio de cualquier vía terrestre y a su trazo detallado. Tales proyectos, como los de carreteras y ferrocarriles, deben satisfacer criterios geométricos específicos de alineamiento horizontal y vertical.

El alineamiento horizontal de estos proyectos consiste en líneas rectas, denominadas tangentes, unidas por curvas. Las curvas usualmente son arcos de círculos o de espirales.

El alineamiento vertical está formado por tramos rectos de líneas con pendiente, unidas por curvas verticales. Estas curvas son siempre de forma parabólica por que ciertas características de la parábola facilitan el cálculo y el trazo de la curva. La sección transversal del pavimento de la carretera está construida también en forma parabólica.

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Los estudios de carreteras y vías férreas tienen por objeto obtener los datos fundamentales requeridos para el proyecto de nuevas obras o para el mejoramiento de las ya existentes.

Etapas de un proyecto de vías terrestres. Estas son:

1. Reconocimiento.- Es el estudio de las características generales de uno o más corredores de terreno que conecten los puntos extremos. Un informe favorable del reconocimiento recomendará el estudio detallado de la ruta más prometedora.

2. El proyecto preliminar. Es un amplio estudio de la ruta más factible. Su resultado suele ser la localización del eje en un plano, para el subsecuente proyecto definitivo.

3. El proyecto definitivo. Incluye el estacamiento del eje y la obtención de todos los datos de campo recurridos para elaborar el proyecto detallado de la obra y adquirir el derecho de vía.

RECONOCIMIENTO DE CARRETERAS

Cada trazo de carreteras tiene dos puntos fijos: el inicial y el final. Entre estos dos puntos terminales, puede trazarse un número infinito de ejes de carreteras. El problema del trazado, es encontrar el eje que sirva mejor a los terrenos adyacentes y al tráfico que se espera y que pueda ser construido de acuerdo a las normas requeridas y al mínimo costo.

El primer paso para encontrar el mejor trazo, es hacer un reconocimiento del terreno entre los puntos terminales. Un reconocimiento no es un estudio en el sentido ordinario de la palabra, sino un examen general rápido y crítico del terreno por el que debe pasar la carretera, para determinar sus características topográficas principales y la naturaleza del uso actual y futuro de la tierra.

Su propósito, es:

1. Descubrir si existe una ubicación práctica entre los puntos terminales propuestos o por determinar cual de las diversas rutas posibles es la mejor.

2. Indicar terminantemente por que rutas se deberán seguir estudios detallados de trazo.

3. Obtener una idea del costo probable de construcción de la carretera propuesta.4. Fijar una idea sobre el efecto posible de la carretera en el desarrollo económico de

los terrenos por los que atraviesa.5. En carreteras, que tengan un propósito especial, tales como carreteras escénicas, su

propósito es ubicar puntos de interés paisajista o histórico y estimar los posibles efectos destructivos de la carretera propuesta, en el paisaje natural.

El reconocimiento requiere un estudio intensivo de la topografía entre los dos puntos terminales propuestos. Este estudio revelará generalmente las vías posibles que pueden seguirse para ejecutar el trazo y los obstáculos que deben evitarse. A menudo, las cumbres de los cerros o las quebradas, son buenas rutas; el trazador será indudablemente afortunado, si existen cerros uniformes de buena longitud que se dirijan hacia la dirección deseada. Los valles son también vías excelentes, si siguen la dirección conveniente. Los trazos más difíciles son aquellos que cortan las vías naturales o los que

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caen en terrenos confusos, en los que los cerros y corrientes de agua no tienen una dirección bien definida o continua.

CONTROLES DE TRAZO

Al hacer un examen crítico, el trazador examina más una faja de terreno que una ruta particular, buscando las características topográficas que restringen el trazo. Estos “controles”, como se denominan, pueden ser naturales, tales como ubicaciones convenientes para puentes; o hechos por el hombre, tales como sitios favorables para cruces a nivel con ferrocarriles.

Si la carretera cruzara una montaña, el “paso” o “abra” seleccionado para el punto de cruce, constituye un control. El paso más bajo no es necesariamente el mejor , ya que podría ser difícil alcanzarlo de uno de los dos lados. Una estribación sobresaliente de la montaña principal puede ser un control y, con frecuencia, los cortes más profundos están atravesando estas estribaciones. Podría ser necesario construir túneles para atravesarlas con el fin de obtener un alineamiento adecuado. Si la ruta siguiera una cumbre, los puntos bajos de paso serían los puntos de control y el trazo deberá ir rodeando las cumbres intermedias.

Cuando el problema consista en obtener mayor longitud en subidas difíciles, las ubicaciones favorables para desarrollos podrán ser usadas como controles. La gradiente máxima permisible, es por si misma un control.

Si la carretera cruza un río ancho, algún emplazamiento particularmente favorable para el puente puede ser un buen control. Las áreas pantanosas y las áreas sujetas a deslizamientos o inundaciones, son “controles negativos”, en el sentido de que ellos deben ser evitados. Los trabajos hechos por el hombre, como represas, reservorios, ferrocarriles, son a menudo controles negativos. Las calles angostas y la congestión de tráfico en poblaciones pequeñas, requieren frecuentemente de desvíos para evitar dichos lugares. Por otra parte, los sitios favorables para pasos a desnivel o puntos de confluencia de carreteras o ferrocarriles, pueden ser controles positivos.

SELECCIÓN DE RUTAS PARA CARRETERAS

Al hacer el trazo utilizando el método topográfico, el objeto de todo el trabajo preliminar de campo es producir un mapa de una faja topográfica a gran escala de alrededor de 160 metros de ancho, que cubrirá o contendrá la mejor o las dos mejores ubicaciones de rutas existentes. En los primeros días, el mapa de esa faja fue obtenido mediante métodos terrestres de investigación, debido a la falta de otros métodos. Desde que los estudios topográficos mediante métodos terrestres fueron lentos y costosos, los trazadores de entonces trataban de reducir el área recorrida, a un mínimo absoluto. Desarrollaron la técnica denominada “señalización con banderas” para hacer exámenes detallados del terreno utilizando instrumentos simples, reduciendo así enormemente la selección que podría hacerse dentro de la faja escogida por el ingeniero a cargo del reconocimiento.

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La señalización con banderas es un proceso para seleccionar la ubicación de una línea preliminar de trazo, o “línea P”, que se corre como una línea de base o armadura, para confeccionar el mapa de la faja topográfica sobre la que se proyectará posteriormente el trazo de la carretera. Desde que este mapa de la faja es usualmente solo de 160 m. de ancho, es importante que la línea P sea trazada en forma tal que la faja de topografía incluya el mejor trazo en detalle que brinda la zona. Para encontrar la mejor posición para esta línea P, el trazador va delante de la brigada de estudio, a pie, examinando el terreno en detalle y determinando los “controle”. Marca la ruta mediante señales en los árboles o atando retazos de tela, denominados “banderas”, a las ramas o a postes colocados en el terreno. La ruta resultante se denomina “la línea de banderas”. Los métodos usados para trazar dicha línea, depende de que el trazo sea independiente de la gradiente o que esté controlado por ella.

Señalización con banderas cuando el trazo es independiente de la gradiente

Esta es la condición más usual en las áreas planas de la costa o en otras planicies, o también en terreno ondulado sin grandes diferencias de altura.

En las áreas de la costa, los factores que afectan el trazo son los pantanos, ríos, estuarios de mareas, promontorios, ciudades y mejoras hechas, tales como edificios, fábricas, trabajos de puertos, aeropuertos, ferrocarriles y carreteras existentes. En dichas zonas, las fotografías verticales aéreas son extremadamente útiles para seguir la línea del trazo por ellas y alrededor de ellas manteniendo un alineamiento razonable y haciendo el menor daño posible a la propiedad.

Al hacer un trazo a través de terrenos planos, por lo general las tangentes largas resultan apropiadas, pero deberán usárselas con discriminación. El trazador no debe vacilar en romper largas tangentes para reducir los costos de derecho de vía o para evitar los obstáculos naturales o artificiales. Las curvas que conectan tangentes de gran longitud deberán ser suficientemente largas y suaves.

Al trazar un terreno ondulado, un alineamiento que contenga largas tangentes brinda muy raras veces una buena línea de gradiente. Un alineamiento con repetidas curvas que vayan bordeando los cerros, que busque los puntos de paso y tome ventaja de los cerros bajos o de los valles; es, generalmente, de construcción más económica, aunque la distancia sea ligeramente mayor. Dicho trazo, por “adaptarse al terreno”, es también más fácil de conservar que uno que sea “trazado con una regla”, arbitrariamente sobre el terreno.

Al seguir el curso de un río, la pendiente de la corriente de agua es un control y, por lo general, es recomendable mantener la pendiente de la carretera lo suficientemente alta, de modo que el extremo inferior del talud de los rellenos esté sobre el nivel de aguas altas. Los trazos a los largo de un río son frecuentemente muy costosos, ya que a menudo es necesario cruzar de una orilla a otra para evitar gran movimiento de tierras, alineamientos inconvenientes o ambos.

Señalización con banderas donde el trazo esté controlado por la gradiente

Esta es la condición usual en los trazos en zonas de cerros, donde se tenga que cruzar cañones profundos. La señalización es hecha generalmente con el nivel topográfico

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Abney o eclímetro, un instrumento de mano que puede ser fijado para una línea inclinada de visión. El tipo empleado para trabajos de carretera, tiene un cilindro de unas 6” de largo y un arco vertical graduado en porcentaje. Con el eclímetro, se puede seguir en el terreno aproximadamente cualquier gradiente deseada con un buen grado de exactitud. Se puede explorar en terrenos difíciles utilizando el eclímetro y línea marcadas con banderas, con más rapidez que con ningún otro método terrestre.Técnica para utilizar el eclímetro o nivel Abney

Asumamos que Ud. esté estacionado sobre la rasante, al comienzo del estudio.

Deje descansar el eclímetro sobre la parte superior de un jalón o “bastón” de 1.50 m. de alto y mire por el instrumento al jalonero que está a una cierta distancia delante de Ud. Si se lee 1.5 m. en el jalón, tanto el jalonero como Ud. están marcando la rasante deseada. Si lee menos de 1.5 m., la rasante estará en corte en el punto en que se ubica el jalón y si lee más de 1.5 m., la rasante estará en relleno. Registre en su libreta de campo la altura de corte o de relleno, avance en dirección del jalonero y colóquese en el lugar en que estuvo el jalonero. Mientras Ud. está avanzando, el cadenero estará midiendo la distancia entre los dos puntos. (Emplee siempre distancias horizontales, pero no se requiere gran precisión). Anote la distancia y el número de la estación en su libreta. En terrenos inexplorados, Ud. podrá registrar, si lo desea el rumbo magnético utilizando una brújula de mano.

Señale el lugar haciendo que el machetero haga una marca en un árbol cercano o atando una faja de tela (denominada “bandera”), a una rama o arbusto. Si no hubieran árboles lleve cañas o varillas de 2 m. de longitud y colóquelas en el terreno para sostener las banderas. Es importante señalar su línea de modo que el ingeniero de la brigada a cargo de la línea P, que se ocupará del replanteo, pueda encontrarla fácilmente.

Envíe ahora al jalonero adelante, para establecer el siguiente punto. Si el terreno fuera relativamente suave, trate de mantenerlo en cero – cero, que no es corte ni relleno. Para mantener en cero – cero, simplemente haga que el jalonero avance hacia arriba o hacia debajo de la ladera, hasta que pueda leer 1.5 m. en su jalón. Se desplaza luego a este último punto y se repite el proceso. Podrá seguirse este tipo de gradiente a lo largo de una ladera recta o donde los cerros tienen unas amplias zonas en forma de nariz roma o donde los valles sean anchos. En esa clase de topografía, puede acomodarse el trazo a las curvas de nivel del terreno, sin utilizar curvas que sean más cerradas que las permitidas por las normas.

Donde existan profundas quebradas o cerros de agudos bordes, no es posible adaptar el eje del trazo a las curvas de nivel del terreno y se requerirán corte y rellenos de tamaño adecuado.

EL ESTUDIO PRELIMINAR

La “línea preliminar” o “ línea P”, es una poligonal angular que sigue estrechamente la línea de banderas. Proporciona el reticulado para la topografía y el estudio de trazo.

Exactitud requerida

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Los estudios de carreteras son valiosos para otras organizaciones, para el control de la confección de mapas y trabajos de sub división de tierras, y deberán ser hechos con un razonable grado de precisión. Se recomienda una “exactitud de tercer orden modificado”, para todos los estudios de carreteras nacionales, excepto en el área metropolitana donde la importancia y el costo de las mejoras podría requerir una “exactitud de segundo orden modificado”.

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