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Travaux dirigés: Probabilités

Enseignante : G. SALAM 2ème semestre, 1ère année

2019-2020

Université Hassan II- FSJES- Mohammedia 02/04/2020 1 G. SALAM

02/04/2020 G. SALAM 2

Partie 1: analyse combinatoire Dispositions Permutations Arrangements: Arrangements sans répétitions Arrangements avec répétitions Combinaisons: Combinaisons sans répétitions Combinaisons avec répétitions

Partie 2: Calcul de probabilité

Événement/ expérience aléatoire Probabilité Probabilité conditionnelle/ exclusivité/ indépendance

Partie 3: Notion de variables aléatoires Le théorème de Bayes

Partie 4: Les lois de probabilité: discrètes et continues Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Normale

Partie 1: analyse combinatoire Dispositions Permutations Arrangements: Arrangements sans répétitions Arrangements avec répétitions Combinaisons: Combinaisons sans répétitions Combinaisons avec répétitions

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Partie 1: analyse combinatoire

1.Dispositions Si: (a, b) # (b, a) disposition ordonnée Si: (a, b) = (b, a) disposition non ordonnée

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2. Permutations

Une permutation est une disposition ordonnée. Le nombre de permutations que l’on peut faire avec n éléments est :

Pn= n! = n (n - 1) (n - 2) . . . 2 * 1

Exemple: Le nombre de permutations que l’on peut faire

avec trois éléments a, b, c est: P3= 3! = 3 *2* 1 = 6

Ces 6 permutations sont : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b),et (c, b, a).

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3. Arrangements

Un arrangement de ‘p’ éléments choisis parmi ‘n’ éléments est une disposition ordonnée. Arrangement sans répétition Exemple: Le nombre d’arrangements sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est :

Ces 6 arrangements sont : (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), et (c, b)

Arrangement avec répétition Le nombre d’arrangements avec répétitions est : Exemple: Le nombre d’arrangements avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est :

Ces 9 arrangements sont : (a, a), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, b), (b, c), (c, b) et (c, c).

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4. Combinaisons

Une combinaison de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition non ordonnée. Combinaison sans répétition

Exemple: Le nombre de combinaisons sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments

a, b, c est :

Ces 3 combinaisons sont : (a, b), (a, c), et (b, c)

Combinaison avec répétition

Le nombre d’arrangements avec répétitions est :

Exemple: Le nombre de combinaisons avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est :

Ces 6 combinaisons sont : (a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), et (c, c) 02/04/2020 7 G. SALAM


Exercices partie 1

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Exercice 1:

1) Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4? 2) On lance successivement trois dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues possibles ? {Exemple : (121) ,( 641) ,....... } 3) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, 2 lettres distinctes et 3 chiffres, le premier est différent de zéro. A combien s'élève le nombre de plaques de ce type ? {Ex : CH124 , DE665,…} 4) Combien de mots différents peut-on former à l’aide des 7 lettres distinctes A, B, C, D, E, F, G ? 5) De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un canapé? 6) Après les prolongations d'un match de football, donner le nombre de façons de choisir les 5 tireurs de penalties parmi les onze joueurs ?

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1) Avec les chiffres 1, 2, 3 et 4, on peut composer: 4! = 4*3*2*1 = 24 nombres. 2) Il y a: 6*6*6 = 216 issues possibles.

3) C261 *C251 * C91 * C101 * C101

Correction exercice 1:

4) Il y a: 7! = 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1= 5040 mots différents.

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5) Il y a: 5! = 5 *4*3 *2* 1= 120 possibilités pour asseoir 5 personnes sur un canapé.

6) A511 =

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Exercice 2: Avec les chiffres 2, 3,5 , 6, 7, 9 : 1) combien peut-on avoir de nombres de 3 chiffres ? (avec et sans répétition). 2) combien sont inférieurs à 400 ? (avec et sans répétition). 3) combien sont pairs ? (avec et sans répétition) 4) combien sont impairs ? (avec et sans répétition) 5) combien sont multiples de 5 ? (avec et sans répétition)

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Correction exercice 2: Avec répétition Sans répétition

1) C61 * C61 * C61 = 216 C61 * C51 * C41 = 120

2) C11 * C61 * C61 = 36 72 C51 * C41* C11 = 20 40 Ou C11 * C61 * C61 = 36 C51 * C41* C11 = 20 3) C61 * C61 * C11 = 36 72 C51 * C41 * C11 = 20 40 Ou C61 * C61 * C11 = 36 C51 * C41 * C11 = 20 4) C61 * C61 *C11 = 36 C51 * C41* C11 = 20 Ou C61 * C61* C11 = 36 144 C51 * C41* C11 = 20 80 Ou C61 * C61* C11 = 36 C51 * C41* C11 = 20 Ou C61 * C61* C11 = 36 C51 * C41* C11 = 20

5) Les nombres qui se terminent par 5: C61 * C61 * C11 = 36 C51 * C41* C11 = 20

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Exercice 3: 1) On doit envoyer 7 lettres, mais on ne dispose que de 4

timbres. Combien y a-t-il de choix d'envoi possibles?

2) Combien de comités de 3 personnes peut-on former avec 8 personnes ?

3) Combien de comités de 3 hommes et 2 femmes peut-on former avec 7 hommes et 5 femmes ?

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Exercice 4:

02/04/2020 16 G. SALAM

02/04/2020 17 G. SALAM

Exercice 5:

Solution:

02/04/2020 18 G. SALAM

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Exercice 6.

Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes ; il y a ce jour-là dans l’armoire 5 pantalons dont 2 noirs, 6 tee-shirt dont 4 noirs, 8 paires de chaussettes, dont 5 paires noires.

1. Combien y-a-t-il de façons de s’habiller ? 2. Quelles sont les probabilités des événements suivants :

a) il est tout en noir ; b) une seule pièce est noire sur les trois.

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1)

2) a)

2) b) Soit C21 * C21 * C31 = 12 OU: C41 * C31 * C31 = 36 78 OU: C51 * C31 * C21 = 30

Donc: 78/240 = 0,325

Partie 2: Calcul de probabilité

1. Événement/ expérience aléatoire 2. Probabilité 3. Probabilité conditionnelle/ exclusivité/

indépendance

02/04/2020 21 G. SALAM

Partie 2: calcul de probabilité

1. Événement/ expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire quand on ne peut pas prévoir exactement le résultat, car les facteurs ne sont pas maitrisés. Un événement aléatoire peut se réaliser ou ne pas se réaliser au cours d’une expérience aléatoire. Exemple: Le jet du Dé

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2. Probabilité Soit l’évènement A. Avec : Exemple:

20 boules blanches 15 boules noires 15 boules rouges 10 boules vertes

Une boule blanche

02/04/2020 23 G. SALAM


3. Notion d’exclusivité : Deux événements (A et B) sont dits exclusifs ou incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément (en même temps): soit A OU B.

02/04/2020 24 G. SALAM


4. Probabilité conditionnelle: La probabilité conditionnelle de réalisation de l’évènement « A » sachant que l’évènement « B » est déjà réalisé:

Ou: Donc: 02/04/2020 25 G. SALAM


5. Indépendance: Deux événements A et B sont indépendants, la probabilité de réalisation de l’événement «A» ne dépend pas de la réalisation de l’événement « B ».

02/04/2020 26 G. SALAM


Exercices partie 2

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Exercice 1:

02/04/2020 28 G. SALAM

20 boules blanches 15 boules noires 15 boules rouges 10 boules vertes

2 boules blanches

3 boules vertes

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Exercice 2:

Six verres de couleurs différentes : vert, bleu, rouge, jaune, orange et gris, sont placés sur une étagère. Quelle est la probabilité pour que ces verres soient dans l’ordre suivant : bleu, rouge, vert, gris, orange et jaune?

Solution: On applique la formule générale de la probabilité qui est : p= Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles Nombre de cas favorable = C1

1 * C11* C1

1* C11* C1

1* C11 = 1

Nombre de cas possibles = Nombre de permutations de verres = 6! = 720 Donc p= 1/720 = 0,00138 Il y a une chance sur 720 (0,13%) pour trouver les verres dans l’ordre indiqué.

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Exercice 3:

Quatre hommes (A, B, C et D) et trois femmes (E, F et G) vont s’asseoir sur un canapé de 7 places. 1. Quelle est la probabilité pour que ces personnes s’assoient selon l’ordre "A,F,G,C,B,D,E« ? 2. Quelle est la probabilité pour que ces personnes s’assoient selon l’ordre "2 femmes, 2 hommes, 1 femme et 2 hommes"?

02/04/2020 G. SALAM 33

Solution: On applique la formule générale de la probabilité qui est : p= Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

1. Nombre de cas favorable = C1

1*C11* C1

1* C11* C1

1* C11 *C1

1 = 1 Nombre de cas possibles = Nombre de permutations de 7 personnes=7!

Donc p=1/7!= 1/5040 Il y a une chance sur 5040 pour trouver les personnes dans l’ordre indiqué.

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2. Nombre de cas favorables = C3

2 *C42* C1

1* C22= 18

Les combinaisons C3

2 *C42* C1

1* C22 donnent les nombres de

possibilité de choisir 2 femmes parmi 3, puis 2 hommes parmi 4, ensuite 1 femme parmi la femme qui reste et enfin 2 hommes parmi les 2 hommes qui restent. Nombre de cas possibles = Nombre de permutations de 7 éléments soit 7! = 5040 Donc p= 18/5040= 1/280 Il y a une chance sur 280 pour trouver les personnes dans l’ordre indiqué.

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Exercice 4:

Dans un lot de 80 vaccins, 10 sont périmés. Si on en tire deux au hasard, quelle est la probabilité en % : 1) de tirer 0 vaccin périmé ? 2) de tirer 1 vaccin périmé ? 3) de tirer 2 vaccins périmés ?

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Solution:

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Solution: 1) Les tirages sont sans remises, les événements A : "tirer un billet de 200 DH" et O: "tirer un billet de 100 DH" sont donc dépendants. On a donc :

p(d’avoir un billet de 200 DH et un billet de 100 DH)= p(A et O) + p(O et A) p=(nombre de cas favorables)/(Nombre de cas possibles)

p(d’avoir 200 DH et 100 DH)= [(3/5) * (2/4)] + [(2/5) * (3/4)] = 3/5 = 0,6

2) p = p [(A et O)= si 1er tirage = A on la remet. sinon on ne la remet pas]

p = [(3/5) * (2/5)] + [(2/5)* (3/4)] = 6/25 + 6/20 = 54/100 = 0,54

Un portefeuille comprend 3 billets de 200 DH et 2 billets 100 DH. 1. On tire successivement et sans remise 2 billets. Quelle est la probabilité d’avoir un billet de 200 DH et un autre de 1OO DH? 2. On tire dans le portefeuille un billet et on note sa catégorie. Si c’est 200 DH on le remet dans le portefeuille sinon on ne la remet pas. On effectue un second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir un billet de 200 DH et un autre de 100 DH?

Exercice 5:

Partie 3: Notion de variables aléatoires

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Exercice 1 :

On est au réez de chaussée d’un immeuble de 8 étages. Combien de temps penser vous pouvoir attendre, en moyenne, un ascenseur qui ne se trouve pas au réez de chaussée, qui peut se trouver à n’importe quel étage avec la même probabilité et qui met 5 secondes pour passer d’un étage à l’autre, son démarrage et son arrêt sont instantanés. Calculer l’écart type de votre temps d’attente.

Solution :

Si l’ascenseur se trouve au 1er étage, on doit attendre 5 secondes, s’il est au 2ème étage, on doit attendre 10 secondes, et ainsi de suite, s’il se trouve au 8ème étage, on doit attendre 40 secondes. La probabilité de se trouver à n’importe quel étage est 1/8. Le temps d’attente X est donc une variable aléatoire dont la loi de probabilité est :

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E(X) =∑xp(x) = (5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40) *1/8 = 22,5 secondes V (X) = E(X²) -E(X)² E(X²) = ∑x²p(x) = (5² + 10² + 15² + 20² + 25² + 30² + 35² + 40²) *1/8 =

637,5

V (X) = 637, 5 – (22, 5)² = 131,25

= √131,25 = 11,46 secondes

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Exercice 2 :

Pour vendre un produit, un producteur décide de lancer une campagne publicitaire par insertion de photos dans des journaux spécialisés. Le nombre d’articles vendus après une parution est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante :

Le producteur fait 50 parutions indépendamment les unes des autres. Soit X le nombre de produits vendus grâce à cette publicité. Calculer l’espérance et la variance de X.

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Solution : Soit Xi la variable aléatoire qui désigne le nombre de produits vendus après une parution. Sa distribution de probabilité est :

02/04/2020 G. SALAM 44

8500

V(Xi) = 8500 – 60² = 4900

Produits

Produits

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Exercice 3 :

02/04/2020 G. SALAM 46

Solution:

0

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02/04/2020 G. SALAM 48

02/04/2020 G. SALAM 49

Le théorème de Bayes

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02/04/2020 G. SALAM 51

02/04/2020 G. SALAM 52

Exercice 1:

Selon le dernier recensement 55% de la population sont analphabètes et 51% de la population sont de sexe féminin. Parmi les femmes, 68 % sont analphabètes. Calculer la probabilité d’être : 1. Une femme analphabète. 2. Une femme non analphabète. 3. Une personne est choisie au hasard parmi les analphabètes, quelle est la probabilité qu’elle soit une femme ?

02/04/2020 G. SALAM 53

Solution : On pose : P(A) probabilité d’être analphabète : P(A) = 0,55 P(F) la probabilité d’être une femme : P(F) = 0,51 P(A=F) probabilité d’être analphabète sachant qu’on est une femme : P(A=F) = 0,68

a) p(être une femme analphabète) : P(F et A) = 0,51 * 0,68 = 0,35

b) p(être une femme non analphabète) : P(F et NA)= 0,51* 0,32 =

0,16

e) p(être une femme sachant qu’on est analphabète) = P(F/A) = p(A et F)

p(A) = 0,35 / 0,55 = 0,63

Exercice 2:

02/04/2020 54 G. SALAM

Solutions:

02/04/2020 55 G. SALAM

35% * 35% = 0,1225 = 12,25%

02/04/2020 G. SALAM 56

Exercice 3 En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou un équivalent), deux sur cinq prennent un médicament « M » présentant des effets secondaires : Avec l’aspirine, 75% des patients sont soulagés et avec le médicament « M », 90% des patients sont soulagés. 1. Quel est le taux global de personnes soulagées ? 2. Quelle est la probabilité pour un patient d’avoir pris de l’aspirine sachant qu’il est soulagé ?

Solution

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Exercice 4

Solution

02/04/2020 G. SALAM 58

Une entreprise utilise 3 machines différentes A,B,C pour fabriquer des pièces. 40 % sont fabriquées par A, 30 % par B et 30 % par C. La machine A produit 2 % de pièces défectueuses, B 4 % et C 5 %. 1) On prélève une pièce au hasard. Qu’elle est la probabilité qu’elle soit défectueuse. ? 2) On prend une pièce. Elle est défectueuse. Qu’elle est la probabilité qu’elle vienne de A. 3) On prélève une pièce. Elle est saine. Qu’elle est la probabilité qu’elle vienne de C.

Exercice 5

Solution

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02/04/2020 G. SALAM 60

Il y a 4% d’absentéisme chez les employés qui travaillent le jour, 8% chez ceux qui travaillent le soir et 22% chez ceux qui travaillent la nuit. Il y a 80% des employés qui travaillent le jour, 10% qui travaillent le soir et 10% qui travaillent la nuit. On choisit un employé, quelle est la probabilité qu’il travaille le jour sachant qu’il était absent du travail.

Exercice 6

Solution

02/04/2020 G. SALAM 61

= P(E1 A) P(A)

02/04/2020 G. SALAM 62

Trois marques A, B et C de biberons se partagent le marché avec des parts respectives de 43 %, 34 % et 23 %. Chaque marque propose des modèles avec tétine simple (S) ou à trois vitesses (V) : 35 % des tétines de la marque A sont simples, ainsi que 25 % de la marque B et 47 % de la marque C. Un jeune père achète au hasard un biberon. Il constate que ce biberon a une tétine simple. Quelle est la probabilité qu’il soit de la marque C ?

Exercice 7

Solution

02/04/2020 G. SALAM 63

Mar

ché

43% A

23% C

34% B

35% S

25% S

47% S

65% V

75% V

53% V

02/04/2020 G. SALAM 64

P(C/S)= P(C S) P(S) = P(S/C) * P(C) [P(S/A)*P(A)]+[P(S/B)*P(B)]+[P(S/C)*P(C)] = 47%*23% (35%*43)+(25%*34%)+(47%*23) = 0,31

02/04/2020 G. SALAM 65

Trois machines mettent en bouteille le même sirop. La machine A fabrique 20 % de la production totale, et 6 % des bouteilles produites par la machine sont impropres à la vente. La machine B fabrique 45 % de la production totale et 3 % des bouteilles produites par la machine sont impropres à la vente. La machine C fabrique 35 %de la production totale et 2 % des bouteilles produites par la machine sont impropres à la vente. On prend un flacon de sirop au hasard dans la production.

1. Calculer P(A D); P(B D); P(C D); 2. Calculer P(A/D).

On note : A : "le flacon provient de la machine A" ; B : "le flacon provient de la machine B" ; C : "le flacon provient de la machine C" ; D : "le flacon est impropre à la vente".

Exercice 8

Solution

02/04/2020 G. SALAM 66

D’après le texte ; P(A) = 0; 2 ; P(B) = 0; 45 ; P(C) = 0; 35 P(D=A) = 0; 06 ; P(D=B) = 0; 03 ; P(D=C) = 0; 02

1.

2.

Partie 4: Les lois de probabilité: discrètes et continues

Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Normale

02/04/2020 67 G. SALAM

02/04/2020 68 G. SALAM

Partie 4: lois discrètes

1. Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli intervient dans le cas d’une seule expérience aléatoire à laquelle on associe un événement aléatoire quelconque.

Exemple: (pile ou face)

La probabilité d’une variable X qui suit une loi de Bernoulli est: (X=pile) = 1 (X=face) = 0

Donc: P(X=1) = P P(X=0) = 1-P = q

02/04/2020 69 G. SALAM

1. Loi de Bernoulli

Les caractéristiques de la loi de Bernoulli:


Exemple:

Nombre

02/04/2020 G. SALAM 70


2. Loi Binomiale

La probabilité d’une variable X qui suit une loi Binomiale est:

Avec n: nombre d’expériences p: probabilité de réalisation de n expériences

02/04/2020 G. SALAM 71

Les caractéristiques de la loi Binomiale


2. Loi Binomiale

EXERCICE 1:

Calculer les probabilités de X.

02/04/2020 G. SALAM 72

= C14(1/6)1 (5/6)4-1 = 0,3858

= C24(1/6)2 (5/6)4-2 = 0,1157

= C34(1/6)3 (5/6)4-3 = 0,0154

= C44(1/6)4 (5/6)4-4 = 0,0008

02/04/2020 G. SALAM 73


3. Loi de Poisson

Exemple:

La probabilité d’une variable X qui suit une loi de Poisson est:

02/04/2020 G. SALAM 74

Les caractéristiques de la loi de Poisson:


3. Loi de Poisson

EXERCICE 2:

Calculer les probabilités de X= 0, 1, 2, 3, 4,....

~

02/04/2020 G. SALAM 75

02/04/2020 G. SALAM 76

1. La loi Normale

Partie 4: lois continues

•La loi normale dépend de deux paramètres m et . •Une variable aléatoire X qui suit une loi normale de paramètres m et est désignée par :

•La loi Normale réduite: On appelle variable normale réduite toute variable aléatoire normale U de paramètres m = 0 et = 1. •Toute variable normale X de paramètres m et peut être transformée en une variable normale réduite par le changement de variable suivant :

02/04/2020 G. SALAM 77

Pour lire une valeur f(u) dans la table, il suffit de lire l’intersection

entre la ligne correspondante à la valeur de u et la colonne correspondante au deuxième chiffre après la virgule de u.

1. La loi Normale


Exemple 1:

02/04/2020 G. SALAM 78

Pour qu’une pièce fabriquée par une machine soit utilisable, sa longueur doit être comprise entre 14,7 et 15,3 cm, sinon elle est rejetée. Sachant que la longueur de cette pièce est une variable normale de paramètres 15 cm et 0,2 cm, quelle proportion de pièces peuvent être rejetées?

EXERCICE 1:

Si on désigne par la variable X la longueur des pièces, X suit une loi normale : X = N(15; 0, 2)

Solution:

La probabilité de rejeter d’une pièce est : p (rejet) = 1 – p (accepter) p (accepter ) = p (14, 7 X 15, 3) = p (X 15, 3) – p (X 14, 7)

= p (X 15, 3 – 15) _ p (14, 7 – 15) 0, 2 0, 2

= p (X 1, 50) - p (X -1, 50) = p (X 1, 50) – [1 - p (X 1, 50) ] = p (X 1, 50) – 1 + p (X 1, 50) = 2 p (X 1, 50) – 1

02/04/2020 G. SALAM 79

Donc: p(accepter ) = 2 F (1, 50) – 1 D’après la table de calcul: F(1,50) = 0, 93319 Donc: p(accepter ) = (2* 0, 93319) – 1 = 0, 86638 D’où: p(rejet) = 1 - p(accepter ) = 1 - 0, 86638 = 0, 13362 Chaque pièce a une probabilité de 0,13362 d’être rejetée. (ou il y a un risque de rejeter 13% des pièces fabriquées.

02/04/2020 G. SALAM 80

1. La loi Normale


La somme de plusieurs lois normales

02/04/2020 G. SALAM 81

EXERCICE 4 :

120

Solution

02/04/2020 G. SALAM 82

X 130000 – 120000 6572,67

X

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Exercices partie 4

02/04/2020 G. SALAM 84

Exercice 1:

Solution:

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Exercice 1:

02/04/2020 G. SALAM 86

Exercice 2:

Solution:

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Exercice 2:

X ~ B (n,p) = B (20; 0,01)

= 1-p(X

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Solution:

Soit X la variable aléatoire qui désigne le stock journalier. L(X) = N(120; 50)

1) Probabilité pour que le nombre de pièces en stock soit compris entre 80 et 160.

= p (- 0,8 X 0,8) = p (X 0,8) - p (X - 0,8) = p (X 0,8) - [1 - p (X 0,8) ] = p (X 0,8) – 1 + p (X 0,8) = 2 p (X 0,8) – 1

X

Exercice 3

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En consultant la table de la loi normale réduite on trouve :

F(0, 8) = 0, 7881 Donc: Il y a 57,62% de chances pour que le nombre de pièces en stock soit compris entre 80 et 160.

2) Probabilité pour que le nombre de pièces en stock soit supérieur à 200.

F

F

X

X

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c) Probabilité pour qu’il y ait une rupture de stock.

Il y a rupture de stock si X 0

F

F

X X p

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Solution:

La probabilité pour qu’une boite achetée au marché pèse au moins 9,875 Kg est:

= 1 – p( X < - 1,25) = 1 – [1 - p( X< 1,25)] = 1 – 1 + p(X

02/04/2020 G. SALAM 92

En consultant la table de la loi normale réduite on trouve : F(1, 25) = 0, 8944 Donc: p (X 9, 875) = 0, 8944 Il y a 89,44% de chances pour qu’une boite achetée au marché pèse au moins de 9,875 Kg.

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Exercice 5:

Solution:

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Z

X X

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