Les aires protégées dans les recompositionsterritoriales africaines
TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS
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TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURSEmmanuel Rosencher
A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de Boltzmann C- Éléments de théorie du scattering
- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n
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+
+
+
+
++
0v =r
Tkvm232
e21 =r
0v ≠r
Tkvm232
e21 ≈r
sm10v 5therm /≈
Scattering (diffusion) et transport dans les gaz (1)
εr
+
+
+
+
++
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Scattering (diffusion) et transport dans les gaz (2)
Hyphothèse: les électrons prennent de l’énergie au champ électrique et la cède par collision au bout d’un temps τ dit temps de relaxation.
vmqF dtd
errr
=−= ε
vqnJ rr−=
Proportionnalité entre le courant et le champ électrique:
Proportionnalité entre la vitesse de dérive électronique et le champ électrique:
εµ rreqnJ =
εσ eJ =r
Loi d’OhmConductivité électronique e
2
mqn
eτσ =
ee qn µσ =
ετ rrem
qv −=
εµ rrev −=
m/s V/mem
qe
τµ =mobilité m2 /V.s
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Le problème de DRUDE
Libre parcours moyen: τλ v= ετλ r2mqe
=
≈100000≈ 10Libre parcours moyen (nm)*
0.210Distance,entre atome (nm)
SC BTGaz
Origine quantique:les électrons ne sont pas diffusés par le potentiel périodique du cristal
Paul Drude1896
* Silicium dopé à 1012 cm-3 à 4K pour un champ de 100 V/cm (µ ≈ 106 cm V/s)
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Scattering et transport dans les semiconducteurs (1)
[ ] kEEv dtd
kk1
kdtd1
gdtd rrrrr
hh∇∇=∇=
kF dtd r
hr
= Mécanique quantique du solide
Ev k1
g ∇=rr
h Approximation du paquet d’onde
Le paquet d’onde électronique se comporte comme une particule de masse mc. Toute l’interaction entre l’électron et le potentiel périodique complexe du cristal est prise en compte par la masse effective mc → Résolution du problème de Drude
εrFE
E
k
εrr r
cc mq
mF
gdtd v −== E2dk
2d2
1cm
1h
=avec
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Scattering et transport dans les semiconducteurs (2)
εrr qvm gdtd
c −=Le champ électrique provoque un mouvement d’ensemble.Lorsque le champ est coupé, le gaz retourne à l’équilibre avecun temps caractéristique eτ
A l’état stationnaire: ετ rrce
mq
gv −=ce
mq
eτµ =mobilité
εσ eJ =r
Loi d’Ohmc
e2
mqn
eτσ =
ee qn µσ =
sVm108sVcm8000 212e ././ −×==µ
0c m0670m .=Exemple: GaAs ps30e .≈τ
ετrrr qvvm g
mgdt
dc
ec −=+
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TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS
A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de Boltzmann*
C- Éléments de théorie du scattering- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n
* Hors programme
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zk
( )zkf
Probabilité pour qu’un paquet électronique soit en r avec le nombre d’onde k à l’instant t: ( )trkf ,, rr
Fonction de distribution
εr
FE
E
k
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Fonction de distribution
dttrkfdttrkf
ttrkf ),,(),,(),,(
rrrrrr −+
∂∂ =Évolution de f:
Probabilité pour qu’un paquet électronique soit en r avec le nombre d’onde k à l’instant t: ( )trkf ,, rr
Les électrons au temps t + dt étaient en rk rr, dtk F
h
rr− dtvr g
rr −et au temps t
( )
−−=+ tdtvrdtkfdttrkf g
q ,,,, rrrrrrh ε
k
rcollisions
( )colltk
qrgt
ffrfvtrkf∂∂
∂∂ +∇−∇−=
rrrrrrrh
ε),,(
( ) fvfrtrkf rgkq
t ∇−∇−=∂∂ rrrrrrr
h ε),,(
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( )colltk
qrgt
ffrfvf∂∂
∂∂ =∇+∇+
rrrrrh
ε
Diffusion Dérive
( ) ( ) ( ) ( )tkrfkkStkrfkkSfkcollt ,,',','
'
rrrrrrrr→∑ −→=∂
∂Terme collisionnel:
Transitionquantique
Transitionquantique
Équation de Boltzmann: une des équations fondamentales de la Physique
( ) ( )( )3
3
2kdtkrftrn
π
rrrr∫= ,,,Densité de porteurs
( ) ( ) ( )( )3
3
2kd
g tkrfkvqtrjπ
rrrrr∫= ,,,Courant particulaire
( ) ( ) ( ) ( )( )32
k3dtrn
1 tkrfkEtrEπ
rr
rrrr∫= ,,, ,Énergie
L. Boltzmann1890
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Approximation du temps de relaxation
( ) ( )( )( )kE
trkeqftrkf
collt f rrrvr
τ
,,,, −∂∂ −≈
Le fonction de distribution revient à l’équilibre avec un temps caractéristique. Une des relations les plus mystérieuses de la Physique: propriété d’émergence. Il n’existe aucun démonstration de cette relation qui conduit à l’irréversibilité temporelle, à la dissipation,…
( ) ( ) ( ) eqkq
eqrgEeqff
kq
rg frfvfrfv ∇+∇≈−=∇+∇− rrrrrrrrrr
hh εε τ
Boltzmann +état stationnaire+ développement d’ordre 1
( ) ( )
∇+∇−= eqk
qeqrgeq ffkvEff
rrrrh ετ
( ) ( ) [ ]eqEeqrgeq fqfkvEff ∂∂+∇−= ετ rrr
( ) eqEgeqEkeqk fkvfEf ∂∂
∂∂ =∇=∇ rh
r
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Courants de diffusion et de conduction
( ) ( ) ( )( )3
3
2kd
g tkrfkvqtrjπ
rrrrr∫= ,,,
( ) ( ) [ ]eqEeqrgeq fqfkvEff ∂∂+∇−= ετ rrr
kTEeq ef /−∝ ( ) kkv
cmgrr h=et
( ) εµ rr nqnDqtrj r +∇−=,
qkTD µ=
nDqj rdiff ∇−=rr
εµ rrqnjdiff =
Courant de diffusion:
Courant de conduction:
conddiff jjjrrr
+=
Relation d’Einstein
( ) ( ) ( )( )3
3
2kd
keqEeqr
2g fqfkvqtrj
πε
rrrr∫ +∇−= ∂
∂,
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Signes des courants de diffusion et de conduction
Loi de Fick:
Courants de diffusion
nDenej reee ∇+=rrr
εµ
pDepej rttt ∇−=rrr
εµ
tetot jjjrrr
+=
Courants de conductionx
Den
sité
nD ree ∇−=ϕ nDeej reeed ∇+=−= ϕ,électrons
e−
pD rtt ∇−=ϕ pDeej rtttd ∇−=+= ϕ,trouse+
εr
électrons ( )εµegecond nevnej −−=−=e−
trous ( )εµegecond nevnej ++=+=e+
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TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS
A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de BoltzmannC- Éléments de théorie du scattering
- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n
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Scattering par les phonons
Vibrations dues à la température
2325c Tm
1e //∝µ
µ300 K
cm2/V.smc
800000.014InSb
80000.067GaAs
14500.3Si
Mobilités de Si en fonction de T
Nd <1012 cm-3
Nd <1013 cm-3
Nd = 1.7 1016 cm-3
Nd = 1.7 1017 cm-3
BC
BV
compression extension
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Scattering par les impuretés
+
Relations de Rutherford: Plus l’énergie et faible plus la déviation est importante
23m
1dop
e TN
121
c
//∝µ
Influence de la température
( ) ( ) ( )( )'''' / kEkEkekkkS2
Lrre2 D2
rrrrrrh
−=→ − δπ
Règle d’Or de Fermi et potentiel de Yukawa
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- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n
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+-
Courant électriqueChamp électrique
x
y
Effet Hall (1)
*mBq
c =ω
Fréquence cyclotron
( )2cx
gx
11
mqv
τω
τε +
=*
( )2c
cx
gy
1mqv
τω
τωτε +
−=*
E.H. Hall1879
( ) gm
ggdtd vBvqvm rrrrr
τε ** −×+=
Force de Lorentz
m* = masse effective (+mc, -mv)
( )( )
gzm
gzdtd
gym
zgxygydtd
gxm
zgyxgxdtd
vvm
vBvqvm
vBvqvm
τ
τ
τε
ε
*
*
*
*
*
*
−=
−+−=
−+=
0mmTB11
c 1081/*
)(.=ω
Fréquences optiques
B
A l’état stationnaire:
0y =ε
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Effet Hall (2)
+-
B
+ + +
- - -
yHallV ε=
Si jy =0, il se construit une tension qui contrecarrele mouvement des charges
( )( ) gy
mzgxy
gxm
zgyx
vBvq
vBvq
τ
τε
ε*
*
=+−
=+ xxmq
gxv εµετ ==*
xqnzB
zgxy jBv −=−=ε
Tension de Hall
xx nqj εµ=
nq1
BjHallzx
yR −==ε
1- La mesure de εy en fonction de jx permet de connaître n
2- La mesure de εx en fonction de jx permet de connaître µ
3- La mesure du signe de RHall permet de connaître le typede charge
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Effet Hall quantique
Klaus von Klitzing(Nobel 1985)
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- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n
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Électrons chauds
cstzFqcm22k2
=+− h
BC
E
x
BV
εµe
( )εεαµ 2e −
gv
ε
Si
( )zkf
zk
Régime ohmique
Non ohmique
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Vitesse de saturation
op2
gc21 vm Ω=h
0c m0670m .=
meV36op =Ωh
Pour GaAs
scm102v 7g /≈
opΩh
kr
ΩhPhonons
opE Ω=∆ h
opE Ω=∆ h µm10L .=
ps1≈τ !!!!Temps de transit
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Transfert de vallée et résistance différentielle négative
vite
sse
champs ε
εµ11gv =
εµ22gv =
1cm
1c1
mq
1τµ =
2cm
2c2
mq
2τµ =
GaAs, InP, ZnSe,…
aV
R( ) VVVIR a −= co
uran
t
tension
courant pic
courant vallée
V
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- +
Diodes Gunnde
nsité
x
V0
EL1
EL1
EH1
EH1
EL2
EL2
EH2
EL1E0
E0
vite
sse
E
x
cham
p
- +
scm710cm310
vL
/
−≈=τ GHz100f >
G M Dunn (a) and M J Kearney
Applications:- radar anticollision- radar militaire- imagerie millimétrique
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MODELE PHYSIQUE DE L’AVALANCHE:Modèle de l’électron chanceux (W. Shockley)
Énergie
x
opΩh Émission d’un phonon optique
opλ
iE
iλ
électron chanceux Ionisation par impact
Ei énergie nécessaire pour une ionisation par impact
gi E51E .≈
ελ
qE
ii≈
λi libre parcours moyen avant ionisation par impact
Processus poissonnien: opieprobaλλ /−
=
ε = 40 V/µm
α ≈ 10 µm-1
nombre de paires é-t créées dans une ZCE
e α W = e10 !!!105 10610-1
100
101
102
103
104
105
106
α n (cm
-1)
Electric field (V/cm)
λop = 10 nm
Ei = 1.8 eV
Eop = 36 meV
Si
opqiE
opeqF
iλεα
−
Ω≈h
Coefficient d’ionizationpar impact (cm-1)
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- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n
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nnne1
t RGjn −=∇−∂∂ rr
.
pppe1
t RGjp −=∇+∂∂ rr
.
nDeFnej nnn ∇+=rrr
µ
pDeFpej ppp ∇−=rrr
µ
( )r0
reFεε
ρ=∇rr
.
( )( )
kTrq
enrn 0
rr
φ+=
( )( )
kTrq
eprp 0
rr
φ−=
Frr
−=∇φ
Équations de continuité nG
nϕ∇r
condj
difj
Poisson
Potentiel
0nkTq
en0
φ+
EF
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A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de BoltzmannC- Éléments de théorie du scattering
- phonons- impuretés
D- Effet HALLE: Electrons chauds
électrons chauds et vitesse de saturationavalanche
F: Les équations des semiconducteursG: Application:
la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/nmasse effective de conduction
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Potentiel interne (1)
diffusion
Réponse: Jusqu’à ce que le potentiel chimique soit constant !
cE cE
vE vE
FnEFpE
dopé n dopé p
Russel Ohl1940
n
pn
dopé n
dens
ité
2in npn =
np
p
dopé p
dens
ité
2ip nnp =
Question: Jusqu’où?
++
+
++
+
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Potentiel interne (2)
cE
vE
FnEcE
vEFpE
« Il se construit spontanément une barrière de potentiel interne dont l’amplitude contrecarreexactement la diffusion d’où aussi le terme de potentiel de diffusion, en d’autres termes, telle que le niveau de Fermi soit constant dans la structure »
)EE()EE(EV vFpFncg −−−−=∆
−
−=
Av
Dc
NN
NN
g lnkTlnkTEV∆
−=AD
vcNNNN
g lnkTEV∆
V∆
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Principe du calcul
( )sc0
xqdxd F
εερ=
Gauss
F
( )xEdxd −=φ
Électrostatiqueφ
( )xρ
Hypothèse de la zone dépeuplée(thermodynamique)
ρ
AN−
DN
( ) ( )xqExE cc φ−=
Courbure de bande
nd− pd
The
rmod
ynam
ique
(Fer
mi)( )
kTrq
ceNφ
=
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Potentiel auto-induit et relation d’Einstein
On suppose l’équilibre thermodynamique ( ) kTq
enxn 0
φ+=
εφ nnnDqj kTeD2q
dxd
kTeD2q
dxd
eed −===,
εµ
−= ekT
qetot Dnqj
Or aucun courant ne circule (on ne peut extraire de l’énergie)!
Les deux courants s’annulent mutuellement
eqTk
eD µ=
80000
8000
1450
µ300 Kcm2/V.s
D300 Kcm2/s
mc
20700.014InSb
2070.067GaAs
370.3Si
« Il se construit spontanément une barrière de potentiel interne dont l’amplitude contrecarreexactement la diffusion d’où aussi le terme de potentiel de diffusion, en d’autres termes, telle que le niveau de Fermi soit constant dans la structure »
xDen
sité
éle
ctro
niqu
e
0n ( )xn
FE
Éne
rgie
pot
entie
lle
( ) kTxqe /φ
pote
ntie
l
εµ nqj eecond +=,
34/44
La longueur de diffusion
nnnq1
tRGjn −=∇−∂
∂ rr. ( ) sn n0nquetelG =
n0nn
nR τ−=
τ0nn
nxq1 j −
∂∂ −=
nDqj xnn ∂∂=
0nDn
02
2 nn
xn =+ −
∂∂
τ
nnDn DL τ=DnLxs0 ennn /−=−
sn
0n
durée de vie des porteurs minoritaires
0t =∂∂ état stationnaire
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SILICIUM
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Jonction p/n en direct:Injection de porteurs minoritaires
0Va =
DN
kTVDA
2i0p eNNnn // ∆−==
x
dens
ité
0Va >
DN
V∆
Va
kTaqV
kTV
D eeN∆−
kTaqV
0p en=
kTaqV
0p en
( )
+≈ − 1eenxn DnLxkT
aVq
0p/
kTaVq
DnL0pnnDq
0xdxd
n enDqI ≈≈=
kTaVq
s eII ≈
DnL0pnnDq
sI =
0x =
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Jonction p/n en inverse:Courant de saturation ou de fuite0Va =
DN
A2
i0p N/nn =
desn
ité
x
0Va <
Va
DN
0x =0n ≈
( )dnL/x0p e1nn −−≈
Dn
0pnL
nDq
0xdxd
n nDqI ≈≈=
sII ≈
DnL0pnnDq
sI =
Courant de saturation
38/44
Caractéristique courant-tension
0Va <
0Va =
Tension inverse
−= 1eII kT
aVq
s
W. Shockley
cN
W
0Va >
Tension directe
cN
W
0pn
I
AV
39/44
Auger ImpuretésRecombinaison radiative
Durée de vie des porteurs minoritaires
msrad ≈τ Dépend de la puretédu matériau
msnsradnon →≈τ
nsrad ≈τ
GaAs, InP Si, Ge
nsradnon ≈τ
HgCdTe, InSb,..
n1
sIτ
∝Courant de fuite:
40/44
Détecteur photovoltaïque
++
++zone de charge d’espace zone de diffusion
np++
n
p++ SiO2
métal semi-transparent
V
I
phJ
A
0 w
phV
V
41/44
Exemple 1: Cellule solaire en silicium
Ensoleillement maximal : 1000 W/m2
Rendement quantique : 15 %
0 1 2 3 4 5eV
0
1×107
2×107
3×107
4×107
Wêm 2.µm
Spectre solaire
Rendement de conversiondans Si
Courant maximal : 150 W/m2
42/44
Exemple 2: les détecteurs infrarouge Hgx Cd1-x Te
3 – 5 µmsoit
0.25 - 0.40 eV
8 – 12 µmsoit
0.10 - 0.15 eV
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Tran
smis
sion
12108642Longueur d'onde (µm)
Transparence sur 5 km
43/44
Détection infrarouge et température de fonctionnement
photonI
n
0pD
nDqsI
τ=
I
AV
photonI
Is
kTgEn e
/∝τ
kT2gEs eI
/−∝
Caméra infrarouge avec son cryogénérateur miniature Température (K)Fl
ux th
erm
ique
d’é
lect
ron
HgCdTeλ =5µm
300200100
Flux du corps noir
120 K
44/44Niveau de carburant
Image d’un avion furtif en infrarouge
Mauvaise vascularisation d’une main
Imageurs infrarouges