Transport and Cyclotron Resonance Theory for GaAs

7/24/2019 Transport and Cyclotron Resonance Theory for GaAs

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Z. Phys. B - Cond ensed Matter 63, 1 8 0986)

ondensed

Matter

or Phys ik [ ]

9

Springer-Verlag 1986

Transport and Cyclotron Resonance Theory

fo r G a A s A l G a A s H e te ro str uc tu re s

A . G o l d

I B M T . J . W a t s o n R e s e a r c h C e n t e r , Y o r k t o w n H e i g h t s , N e w Y o r k , U S A a n d

P h y s i k - D e p a r t m e n t E 1 6, T e c h n i s c h e U n i v er si t~ i t M t i n c h e n , G a r c h i n g ,

F e d e r a l R e p u b l i c o f G e r m a n y

R e c e i v e d S e p t e m b e r 4 , 1 9 8 5 ; r e v i s e d v e r s i o n N o v e m b e r 2 8 , 1 9 8 5

A t h e o r y f o r s t a ti c a n d d y n a m i c t r a n s p o r t o f a t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n ga s in G a A s

- A 1 G a A s h e t e r o s t r u c t u r e s a t t e m p e r a t u r e z e r o i s p r e s e n t e d . C h a r g e d i m p u r i t i e s , s e p a -

r a t e d f r o m t h e e l e c t r o n g a s b y a s p a c e r l a y e r , a r e c o n s i d e r e d a s t h e d o m i n a n t s c a t t e r i n g

m e c h a n i s m . F i n i t e e x t e n s i o n o f t h e w a v e f u n c t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n g a s is

t a k e n i n t o a c c o u n t . M u l t i p l e s c a t t e ri n g e f f ec t s a r e i n c l u d e d a n d a r e s h o w n t o l e a d t o a

m e t a l i n s u l a t o r t r a n s i t i o n a t l o w e l e c t r o n d e n s i t i e s . D u e t o p l a s m o n d y n a m i c s t h e

s c a t t e r i n g i s s t r o n g l y f r e q u e n c y d e p e n d e n t , a n d t h i s d i s s ip a t i v e p r o c e s s d e t e r m i n e s t h e

w i d t h o f t h e c y c l o t r o n r e s o n a n c e . T h e c o r r e s p o n d i n g r e a c t iv e e f fe c t d e t e r m i n e s t h e s h i ft

o f t h e c y c l o t r o n r e s o n a n c e . It is s h o w n t h a t a c o r r e l a t i o n b e t w e e n l i n e w i d t h m a x i m u m

a n d z e r o f r e q u e n c y s h if t o f t h e c y c l o t r o n m o d e e x is ts , i n a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l

resul ts .

I . I n t r o d u c t i o n

T h e t r a n s p o r t p r o p e r t i e s o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l

e l e c t r o n g a s i n s i l i c o n m e t a l o x i d e s e m i c o n d u c t o r

( M O S ) s y s t e m s h a v e b e e n s t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y

a n d t h e o r e t i c a l l y f o r m a n y y e a r s . F o r a r e v i e w s e e

t h e a r t i c l e b y A n d o , F o w l e r , a n d S t e r n [ 1 ] .

R e c e n t l y n e w t w o - d i m e n s i o n a l r e a l i z a t io n s o f a t w o -

d i m e n s i o n a l e l e c t r o n g a s b e t w e e n c o m p o u n d s e m i -

c o n d u c t o r s s u c h a s G a A s a n d A 1 G a A s b e c a m e i m -

p o r t a n t . F o r a r e v i e w s e e R e f. 2 . B e c a u s e t h e i m p u r i -

t i e s a r e s e p a r a t e d f r o m t h e t w o - d i m e n s i o n a l c o n -

d u c t i n g l a y e r b y a s p a c e r, a v e r y h i g h m o b i l i t y h a s

b e e n f o u n d t h e r e [ 3 ] . T h e o b s e r v a t i o n o f t h e a n o m -

a l o u s q u a n t u m H a l l e f fe c t i n t h e s e s y s t e m s [ 4 ] g a v e

n e w m o t i v a t i o n t o s t u d y t h e t r a n s p o r t b e h a v i o r .

T h e m o b i li t y o f t h es e G a A s - A I G a A s s y st e m s h a s

b e e n s t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y i n d e t a i l [ 2 , 5 , 6 ] , U n t i l

n o w , t h e d y n a m i c c o n d u c t i v i t y a t z e r o m a g n e t i c

f ie l d h a s n o t b e e n m e a s u r e d , b u t t h e p u b l i s h e d d a t a

o n c y c l o t r o n r e s o n a n c e e x p e r i m e n t s g i v e i n f o r m a t i o n

o n t h e d y n a m i c c o n d u c t i v i t y a t f i n i t e m a g n e t i c f i e l d s

[ 7 - 1 3 ] . E s p e c i a l l y i n R e f . 1 2 a m a x i m u m i n t h e l in e

* Present address: Group e de P hysique des Solides de l Ecole

Norm ale Sup6rieure, Universit6 Pa ris VII , Tour 23, 2, place

Jussieu, F-7525l Paris, France

w i d t h a t a m a g n e t i c f i e l d , w h e r e n e a r l y n o s h i f t o f

t h e r e s o n a n c e o c c u r r e d , w a s f o u n d . I n s o m e s a m p l e s

a l s o a l i n e s p l i t t i n g o c c u r r e d [ 1 2 ] .

T h e m o b i l i t y o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n g as i n

G a A s - A 1 G a A s h a s b e e n st u d ie d t h e o r et i c al l y b y a

l o w e s t o r d e r i m p u r i t y - e l e c t r o n c o u p l i n g a t t e m p e r a -

t u r e z e r o [ 1 4 , 1 5 ] a n d f o r f i n i t e t e m p e r a t u r e [ 1 6 ] f o r

v a r i o u s s c a t t e r i n g m e c h a n i s m s . A c c e p t a b l e a g r e e -

m e n t w a s f o u n d w h e n t h e r e s ul t s o f t h e s e t h e o ri e s

w e r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . W i t h i n a

s t a ti c s c r e e n in g a p p r o x i m a t i o n t h e l i ne w i d t h o f t h e

c y c l o t r o n r e s o n a n c e w a s c a l c u l a t e d [ 1 7 ] r e c e n t l y f o r

s t r o n g m a g n e t i c f i el ds . B e c a u s e o f t h e K o h n t h e o r e m

[ 1 8 ] n o d i r e c t c h a n g e o f t h e c y c l o t r o n r e s o n a n c e i s

e x p e c t e d f o r a n i n t e r a c t i n g e l e c t r o n g a s .

B u t t h e K o h n t h e o r e m o n l y h o l d s f o r s y s t e m s w i t h -

o u t s c a tt e ri n g . R e c e n t l y t h e d i s o r d e r i n d u c e d l in e

w i d t h a n d s h if t o f t h e c y c l o t r o n r e s o n a n c e f o r in -

t e g r a l n u m b e r s o f f i ll e d L a n d a u l e v e ls o f a n i n t e r a c t -

i n g t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n g a s h a v e b e e n s t u d i e d

i n t h e l i m i t o f h i g h m a g n e t i c f i e ld s [ 1 9 ] . A l i n e s h i ft

t o l o w e r f r e q u e n c i e s h a s b e e n f o u n d t h e r e.

I n t h e f o l l o w i n g w e e v a l u a t e t h e t r a n s p o r t p r o p e r t i e s

o f a t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n g a s w i t h i n a s i m p l e

m o d e l fo r t h e G a A s - A 1 G a A s h e te r os t ru c tu r e. T h e


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2 A. Gold : GaA s - A1GaAs Hete ros t ruc tu res

t h e o r y f o ll o w s t h e w o r k o f G o l d a n d G 6 t z e [ 2 0 ] f o r

t h e t r a n s p o r t i n s i li c o n M O S s y s t e m s . T o d i s c u ss t h e

c y c l o t r o n re s o n a n c e in l o w m a g n e t i c f ie ld s w e f o l-

l o w R e f . 2 1 . I n R e f . 2 0 a d i s o r d e r i n d u c e d m e t a l

i n s u l a t o r t r a n s i t i o n [ 2 2 ] w a s f o u n d t o b e i n a g r e e -

m e n t w it h e x p e r im e n t a l re s u lt s [2 3 ] . I n G a A s - A 1 -

G a A s t h e d i s o r d e r is w e a k e r t h a n i n si li c on M O S

s y s t e m s a n d m u l t i p l e s c a t t e r i n g e f fe c ts a re e x p e c t e d

a t m u c h l o w e r e l e c t r o n d e n s i t i e s t h a n i n s i l i c o n . I n

t h e m e a s u r e d d e n s i t y r a n g e t h e l o w e s t o r d e r a p p r o x -

i m a t i o n i n th e e l e c t r o n i m p u r i t y c o u p l i n g s e e m s t o

w o r k w e l l , b u t a t l o w e l e c t r o n d e n s i t ie s s t r o n g

a n o m a l i e s a r e e x p e c t e d . I n t h e w o r k o f R e f. 2 1 t h e

m a g n e t i c f ie l d w a s i n t r o d u c e d b y a r e s o n a n c e p o l e

i n th e d y n a m i c c o n d u c t i v i t y . B u t n o i n f lu e n c e o f t h e

m a g n e t i c f i e l d o n t h e s c a t t e r i n g r a t e w a s c o n s i d e r e d .

A l s o t h e d e n s i t y o f s t a t e s w a s a s s u m e d t o b e t h e f r e e

e l e c t r o n d e n s i t y o f s t at e s . R e c e n t m e a s u r e m e n t s o f

t h e d e n s i t y o f s t a te s g i v e a r e la t i v e l y s m o o t h v a r i a -

t i o n o f t h e d e n s i t y o f s ta t e s w i t h m a g n e t i c f i el d s

[ 2 4] . S o o u r a p p r o x i m a t i o n m a y n o t b e s o b a d .

S o m e a d d i t i o n a l a r g u m e n t s f o r o u r a p p r o x i m a t i o n

a r e g i v e n l a t e r o n .

T h e p a p e r is o r g a n i z e d a s f o ll o w s : I n . C h a p . I I w e

p r e s e n t o u r m o d e l a n d t h e e s s e n t ia l e q u a t i o n s o f o u r

t h e o r y t o g e t h e r w i t h a d i s c u s s i o n a b o u t t h e v a l i d i t y

o f o u r t h e o r y . I n C h a p . I I I w e d i s c u s s t h e m o b i l i t y

o f s u c h s y s t e m s a n d t h e d y n a m i c a s p e c t s o f t h e

c u r r e n t d e c a y . M u l t i p l e s c a t t e r i n g e f fe c ts a r e a l so

c o n s i d e r e d i n th i s c h a p t e r . T h e c o n s e q u e n c e s o f t h e

d y n a m i c s c a t t e r i n g t h e o r y f o r t h e c y c l o t r o n l i n e

w i d t h a n d s h i ft is e v a l u a t e d i n C h a p . I V t o g e t h e r

w i t h a c o m p a r i s o n w i th e x p e r im e n t s . S o m e c o m -

m e n t s o n p l a s m o n s a r e m a d e i n C h a p . V a n d f in a l

r e m a r k s a r e g i v e n in C h a p . V I ,

I I M o d e l a n d T h e o r y

I n t h i s p a p e r w e c a l c u l a t e t h e t r a n s p o r t p r o p e r t i e s o f

a t w o - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n g a s a s r e a l i z e d i n G a A s

- A 1 G a A s h e t e r o s t r u c tu r e s i n th e p re s e n c e of

c h a r g e d i m p u r i t y s c a t t e r e r s .

a ) M o d e l

A s c h e m a t i c p i c t u r e o f t h e s y s t e m is s h o w n i n F i g. 1 ,

W e a s s u m e a n u n d o p e d A 1 G a A s s p a c e r l a y e r w i t h

t h i ck n e s s ~ a n d a h o m o g e n e o u s d i s t ri b u t io n o f i o n -

i z e d i m p u r i t i e s w i t h i n a l a y e r o f th i c k n e s s t . Ni ( z ) is

t h e d i s t r ib u t i o n o f t h e im p u r i t i e s p e r p e n d i c u l a r t o

t h e i n t e r f a c e a n d i s e x p r e s s e d a s

~ /

f n ~ t

- . - t < z < - ~ 1 )

t z ) = ~ 0 a l l o t h e r z

(not ion ized) doped

AIGoAs

i l l / I / i / , I ~ ~ T i

c. j e

3

.

u n a o p e d ~ A l O a A s , \ N c ~

~ ' x ~ -. \ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \aAs ~2D

F ig . 1 . G e o m e t r y o f t h e G a A s - A 1 G a A s h e t e r o ju n c t i o n

n i s a tw o - d i m e n s i o n a l i m p u r i t y d e n s i ty . B y t a k i n g

i n t o a c c o u n t t h e f i n it e e x t e n s i o n o f t h e w a v e f u n c -

t i o n i n z d i r e c t i o n w i t h i n t h e v a r i a t i o n a l a p p r o a c h ,

s e e R e f . 1 , t h e r a n d o m p o t e n t i a l ( J u (0 ) l 2 > f o r w a v e

v e c t o r q d u e t o t h e i m p u r i t i e s i s g i v e n b y

(2~ze_ 2 1~2 1

e_ q 7

( 1 - - e

- 2 q t

2 1

\ e L q] ( 1 + q / b ) 6 2 q t

eL i s t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f th e h o s t m a t e r i a l , e i s

t h e e l e c t r o n c h a r g e , l i b i s t h e l e n g t h p a r a m e t e r f o r

t h e t h i c k n e s s o f t h e e l e c t r o n g a s ( s e e R e f . 1 ): b a

= 4 8 r r m m z

i s t h e e l e c t r o n m a s s f o r t h e

m o t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e i n t e r f a c e , N * = N o

+ 1 1 n / 3 2 , a n d N D i s th e d e p l e t i o n c h a r g e d e n s i ty ,

a n d n is th e e l e c t r o n d e n s i t y . A s a s i m p l e m o d e l f o r

n e w e m o s t l y u s e a r e l a t i o n o f R e f . 14 :

(1 + K0)

n ~ - (1 _ K o )

( n + N D ) .

(3)

K o = N ' A / N ~ , a n d N A i s t h e a c c e p t o r c o n c e n t r a t i o n

a n d N ~ is t h e d o n o r c o n c e n t r a ti o n . F o r a m o r e

r e a l is t ic m o d e l s e e R e f . 1 5. W e m e n t i o n t h a t t h is

m o d e l w i t h K 0 = 0 w a s s uc c e ss f ul ly a p p li e d to m o -

b i l i t y m e a s u r e m e n t s i n R e f . 2 5 .

F o r t h e e l e c t r o n - e l e c t r o n i n t e r a c t i o n V ( q ) t he f i n i t e

e x t e n s i o n o f t h e w a v e f u n c t i o n i s a l s o t a k e n i n t o a c -

c o u n t

[1 9 q 3 q2

2 ~

e 2

1

\

V ( q )

= (4)

A s i m i l a r m o d e l f o r h e t e r o s t r u c t u r e s y s t e m s w a s

u s e d i n R e f . 1 9, b u t f i n i te e x t e n s i o n e f f e c ts o f t h e

w a v e f u n c t io n s h a v e n o t b e e n t a k e n i n to a c c o u n t .

O u r m o d e l r e d u c e s t o t h e m o d e l u s e d i n R e f . 1 9 f o r

l / b = 0 . B u t w e w a n t to m e n t i o n t h a t

1 / b # O

e f f ec t s

a r e v e r y i m p o r t a n t f o r t h e h i g h f r e q u e n c y d y n a m i c s ,

see F i g . 10 o f Ref . 20 .


3/8

A . G o l d : G a A s - A 1 G a A s H e t e r o s tr u c t u re s 3

T h e t ra n s p o r t m a s s m i n G a A s - A 1 G a A s is e q u a l t o

m s , t h e v a l l e y d e g e n e r a c y i s o n e . S o w e u s e i n t h e

f o l lo w i n g : e L = 1 2 . 8 , m = m . = 0 . 0 6 7 m e, m e i s t h e v a c u -

u m m a s s o f t h e e le c t ro n , t = 1 0 0 ~ , K 0 = 0 , a n d N D

= 5 10 *~ c m 2 .

e l e c t r o n g a s. W i t h g O ( q ) a s t h e c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e

f r e e e l e c t r o n g a s , t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t e(q), w h i c h

e n t e r s (o'( )(q, co) in Eq . ( 6 ) , i s g iven by

e ( q) = 1 + V ( q ) [ 1 - G ( q ) ] gO ( q) .

(8)

b ) T h e o r y

B e c a u s e t h e t h e o r y f o r c a l c u l a t i n g t h e t r a n s p o r t

p r o p e r t i e s i s i d e n t i c a l t o t h e w o r k d o n e f o r s i l i c o n ,

w e r e f e r t o R e f . 2 0 f o r t h e d e r i v a t i o n o f th e e q u a -

t io n s. F o r G a A s - A 1 G a A s h e t e r o st r u c tu r e s w e u s e

h e r e a m o d i f i e d f o r m o f t h e r a n d o m p o t e n t i a l , se e

E q . ( 2 ~ 4 ) , w i t h t h e p a r a m e t e r s g i v e n a t t h e e n d o f

the l a s t s ec t ion .

I n t h e m e m o r y f u n c t i o n a p p r o a c h t h e r e a l p a r t o f

d y n a m i c c o n d u c t i v i t y a ' ( c o , B ) a t f i n i t e m a g n e t i c f i e l d

B i s g i v e n b y

l n e 2 ~ M , (C O~

a ' (co , B ) = ~ ~ - ( (co - - coo+ ~ + M"(CO)2

M (c o ) }

q (CO J r- coc q - M ' (CO ) ) 2 q - M (co ) 2 ' ( 5 )

e B

c o ~ = - - is t h e c y c l o t r o n f re q u e n c y . F o r z e r o m a g -

m

n e t i c f i e l d t h i s e q u a t i o n r e d u c e s t o t h e g e n e r a l i z e d

D r u d e f o r m u l a o f R e f . 2 6 . M ' ( c o) a n d M " ( c o ) a r e t h e

r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t o f th e c u r r e n t r e l a x a t i o n

ker ne l . M"( co) desc r ibes d i s s ipa t ive e f f ec t s and M' ( co)

d e s c r i b e s r e a c t i v e e f f e c ts o f t h e i m p u r i t i e s o n t h e

e l e c t r o n d y n a m i c s . M ' ( co ) a n d M " ( c o ) a r e c a l c u l a t e d

s e l f - c o n s i s t e n t l y [ 2 2 ] w i t h i n a m o d e c o u p l i n g e q u a -

t i o n , s e e R e f . 2 0 , a n d a r e g i v e n b y

M ' ( )( c o ) = 2 / ~ m q ~ q 2 ( ( u ( q ) ) 2 ) ~ ' ( )( q '

c o )

(6 )

da'( )(q, co) i s t h e r e a l ( i m a g i n a r y ) p a r t o f t h e d e n s i t y -

d e n s i t y r e l a x a t i o n f u n c t i o n f o r t h e d i s t u r b e d i n -

te r ac t ing e lec t r on gas . ~b ' ( " ) ( q , co) dep end s v ia the

s e l f - c o n s i s t e n c y o n M ' V ' ) ( co ) a n d t h e e q u a t i o n s f o r

M '( "~ (c o) h a v e b e e n s o l v e d n u m e r i c a l l y [ 2 0 ] . T h e

i n t e r a c t i o n o f t h e e l e ct r o n s is t r e a t e d i n r a n d o m

p h a s e a p p r o x i m a t i o n w i t h l o c a l f i e l d c o r r e c t i o n . T h e

d i s o r d e r i s t r e a t e d w i t h i n t h e s e l f - c o n s i s t e n t c u r r e n t

r e l a x a t i o n t h e o r y [ 2 2 ] . T h e l o c a l f i e l d c o r r e c t i o n

G ( q ) i s e x p r e s s e d i n t h e H u b b a r d f o r m [ 2 7 ]

f q 7 )

G ( q ) = 2 ] /- ~e + k 2

w i t h k v a s F e r m i m o m e n t u m . L o c a l f ie l d c o r r e c t i o n s

d e c r e a s e t h e s c r e e n i n g b e h a v i o r o f t h e i n t e r a c t i n g

c ) V a l i d i ty o f th e T h e o r y

I n o u r E q . ( 6) w e h a v e i g n o r e d t h e i n f l u e n c e o f t h e

m a g n e t i c f i e l d o n t h e c u r r e n t r e l a x a t i o n p r o c e s s . L e t

u s a s s u m e t h a t f o r t h e q - i n t e g r a l i n E q . ( 6 ) w e h a v e

q R ~ ~ 1 (9)

and R~=VF /co c i s t h e c l a s s i c a l c y c l o t r o n r a d i u s w i t h

v F a s F e r m i v e l o c i t y . B e c a u s e o u r c u r r e n t r e l a x a t i o n

f u n c t i o n d o e s n ' t d e p e n d o n t h e m a g n e t i c f i e l d , w e

h a v e i g n o r e d m a g n e t o p l a s m o n s , b u t t h e c o l l e c t i v e

p l a s m o n m o d e s o f t h e i n t e r a c t i n g e l e c t r o n g a s w i t h

d i s p e r si o n c o p o o C l ~ h a v e b e e n t a k e n i n t o a c c o u n t .

S o w e e x p e c t t h a t o u r t h e o r y s h o u l d b e q u a l i t a t i v e l y

cor r ec t , i f

2 1 0 )

020 >~ COc

W i t h E q s . ( 9 ) a n d ( 1 0 ) w e f i n d t h a t o u r t h e o r y c o n -

t a i n s t h e e s s e n t i a l p h y s i c s f o r s u c h m a g n e t i c f i e l d s ,

t h a t [ 2 8 ]

h c o ~ 2 t / ~ E ~ ( l l a )

w i t h

e 2

E c = n 1 /2 , ( l l b )

~L

g ~ i s t h e v a l l e y d e g e n e r a c y a n d E c i s a m e a s u r e f o r

t h e C o u l o m b e n e r g y o f t h e s y s te m . S o o u r t h e o r y

s h o u l d b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r l o w m a g n e t i c

f i e l d s a n d h i g h e l e c t r o n d e n s i t i e s . W i t h t h e f r e e e l e c -

t r o n g a s r e l a t i o n b e t w e e n d e n s i t y a n d d e n s i t y o f

s t a t e s t h e E q . ( 1 1 ) c a n b e r e w r i t t e n i n t o t h e f o r m

v>> \qT-~ gv' (12)

v is the f i l l ing f ac to r , g iven by v=2gv( eF /hcoc ) and e u

is t h e F e r m i e n e r g y , q s is t h e T h o m a s F e r m i w a v e

n u m b e r. F o r G a A s - A 1 G a A s w e g et 2 k F / q s = 2 . 5 3

a n d 0 . 80 f o r n = 1 0 *2 c m - 2 a n d 1 0 1 1 c m - 2 r e sp e c -

t ive ly . I t i s c lea r f r om Eq. ( 12) tha t f o r s i l i con MOS

s y s t e m s t h e c o n d i t i o n i s e a s i e r s a t i s f i e d t h a n f o r

G a A s - A 1 G a A s h e t e r o s t r u c t u r e s .

I t h as b e e n s h o w n i n R e f . 2 9 t h a t t h e r a n d o m p h a s e

a p p r o x i m a t i o n i s n o l o n g e r v a l i d a t h i g h q a n d h i g h

m a g n e t i c f i e l d s , b u t w e m e n t i o n t h a t h i g h q v a l u e s


4/8

4 A. Gold: GaAs - A1GaAs Heterostr uctures

a r e c o n s i d e r a b l y s u p p r e s s e d i n t h e q i n t e g r a l o f

Eq . ( 6) due to the f in i t e ex tens ion e f f ec t s in Eq . ( 2 )

a n d d u e t o t h e s p a c e r l a y e r .

I l l Transport Properties

I n t h i s c h a p t e r w e d i s c u s s t h e m o b i l i t y a n d t h e f r e -

q u e n c y d e p e n d e n c e o f t h e c u r r e n t r e l a x a t i o n k e r n e l .

a) Mobility

A t f r e q u e n c y z e r o t h e m o b i l i t y is g i v e n b y

=e/(mM (O)). I n F i g . 2 w e s h o w t h e d e n s i t y d e p e n -

d e n c e o f th e m o b i l i t y in v a r i o u s a p p r o x i m a t i o n s .

T h e f u l l l i n e i s d u e t o t h e s e l f - c o n s i s t e n t t h e o r y a n d

t h e d o t t e d l i n e s h o w s t h e r e s u l t , w h e n s e l f - c o n s i s t e n t

e f f ec t s a r e ne g lec ted , s ee a l so Ref . 20 . The das hed

l i n e i s f o r G ( q ) = 0 a n d c o r r e s p o n d s t o t h e t h e o r y o f

Ref . 14 . Loca l f i e ld e f f ec t s dec r ease the s c r een ing , s ee

E q . ( 8) a n d t h e m o b i l i t y d e c r e a s e s . T h e d a s h e d d o t -

t e d l i n e c o r r e s p o n d s t o l / b = 0 [ 1 9 ] . F i n i t e e x t e n s i o n

e ff ec t s o f th e w a v e f u n c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e

i n te r fa c e o f t h e G a A s - A 1 G a A s i n cr e as e th e m o -

b i l i t y c o n s i d e r a b l y , b e c a u s e t h e a v e r a g e d d i s t a n c e

b e t w e e n t h e e l e c t r o n s a n d t h e i m p u r i t i e s i s i n c r e a s e d

b y t h e f i n i t e e x t e n s i o n e f f e c t s . F o r n a p p r o a c h i n g z e r o

n~ g o e s t o a f i n i t e d e n s i t y : 5 x 1 0 l ~ c m - 2 . A t a b o u t n

= 2 . 2 x 10 a ~ c m - 2 t h e m o b i l i t y d r o p s t o z e r o , a m e -

t a l i n s u l a t o r t r a n s i t i o n o c c u r s . S o I p r e d i c t a m e t a l

i n s u l a t o r t r a n s i t i o n i n G a A s - A 1 G a A s a t l o w e l e c -

G a A s - A I G a A s

/ /

1 /

a / /

s

U

:l.

I ~

0 0 1 2

n 1 0 1 1 c m - 2 )

F i g . 2 . M o b i l i t y v e r s u s d e n s i t y a c c o r d i n g t o o u r s e l f c o n s i s te n t

theory as full line. The dotted, dashed, and dashed-dotted lines

are the zero order results for our theory, for G q)=0 [14] and for

l/b=0 [19], respectively. All curves for c~=50

t r o n d e n s i t y . E x p e r i m e n t a l l y s o m e t i m e s n o m o b i l i t y

a t l o w e l e c t r o n d e n s i t y i s o b s e r v e d , b u t a c y c l o t r o n

r e s o n a n c e c a n b e m e a s u r e d [ 3 0 ] . T h i s p h e n o m e n o n

m a y b e d u e t o l o c a l i z a t i o n b e c a u s e l o c a l i z a t i o n i s

m a i n l y a l o w f r e q u e n c y e f fe ct . I t m a y b e t h a t n o

m o b i l i t y i s o b s e r v e d b e c a u s e t h e e l e c t r o n s a r e l o c a l -

i z e d . T h e m o b i l i t y e d g e c a n b e i n c r e a s e d b y g r e a t e r

K o o r h i g h e r d e p l e t i o n d e n s i t y .

I n F i g . 3 w e s h o w t h e m o b i l i t y v e r s u s s p a c e r t h i c k -

n e s s f o r f i x e d e l e c t r o n d e n s i t y i n c o m p a r i s o n w i t h

e x p e r i m e n t a l r e s u l ts [ 6 ] . A t l o w s p a c e r t h i c k n e s s o u r

c a l c u l a t e d m o b i l i t y i s i n r e a s o n a b l e a g r e e m e n t w i t h

t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . F o r h i g h e r s p a c e r t h i c k n e s s ,

w h e r e t h e e x p e r i m e n t a l d a t a s c a t t e r d r a s t i c a l l y , t h e n

a n a d d i t i o n a l s c a t t e r i n g m e c h a n i s m m u s t b e e x p e c t -

e d . I t i s c l e a r f r o m o u r m o d e l t h a t t h e m o b i l i t y

i n c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g s p a c e r t h i c k n e s s . B u t F i g . 3

d e m o n s t r a t e s t h a t o u r m o d e l g i v e s t h e c o r r e c t o r d e r

o f m a g n i t u d e f o r t h e m o b i l i ty .

b) The Frequency Dependence of M (~ ) and M '(o)

A s d i s c u s s e d i n R e f . 2 0, t h e c u r r e n t c a n d e c a y i n t o

t h e e l e m e n t a r y e x c i t a t i o n o f t h e i n t e r a c t i n g e l e c t r o n

s y s te m . F o r c o < e v t h e d e c a y i n t o e l e c t r o n - h o l e e x c i-

t a t i o n h a s o n l y a w e a k f r e q u e n c y d e p e n d e n c e . D u e

t o t h e p l a s m o n d i s p e r s i o n i n t w o d i m e n s i o n s t h e

d e c a y i n t o p l a s m o n s is st r o n g l y f r e q u e n c y d e p e n d e n t

[ 20] .

M~176 ~ \a n/ \GZ

(13)

Mo,(O i s t h e d i s s i p a t i v e p a r t o f t h e c u r r e n t r e l a x -

a t i o n k e r n e l d u e t o t h e d e c a y o f t h e c u r r e n t i n t o

I I I I o

/

G a A s A I G a A s / o

1 0 6 ~ . o

- o o ~

> o

E

: :1 .

1 0 5 [ / i

5 0 1 0 0 2 0 0 4 0 0

Fig. 3. Mobility versus spacer thickness according to our theory.

The futl line is for n= 3 x 1011 cm -2. T he circles are expe rimenta l

results for n = 3 x 1011 cm -2 accor ding to Ref. 6


5/8

A. Gold: GaAs - A1GaAs Heterost ructures 5

0.2

E

3

----'0.1

5

0.1

0

E

3

~ [ - 0 . 1

-0.2

0

OoAs-AIGaAs

/

/ EF

EF

1 2

4 a w m e V )

\ OaAs- AIGaAs

2

l d 6 - I 1 I ~

2 5 10 20

4b ~ meV)

Fig. 4. a Real and imaginary pa rt of the current relaxation kernel

as functi on of fr equency for n= 3x 10 I1 cm -2, n~=5.8 x 101I

cm 2, and c~=150A. The dashed line is accord ing to Eq. 13).

The arrow indicates the Fermi energy, b Conductivity versus

frequency for n= 3x I0 11 cm -2,

n i = 5 S x 1 0 1 1

cm -2 and c~

= I 5 0 A

p l a s m o n s , w h e n s e l f - c o n s i s t e n t e ff e c ts a r e n e g l e c t e d .

F o r h i g h f r e q u e n c ie s t h e e l e c t r o n s c a n n o t f o l lo w t h e

f i e l d a n d t h e d i s s i p a t i o n g o e s t o z e r o . T h i s b e h a v i o r

is s h o w n i n F i g. 4 a . T h e f r e q u e n c y d e p e n d e n c e o f

M (c o ) i n c l u d e s a n o n - z e r o M ' a n d a f r e q u e n c y d e-

pen den ce o f M' (co). Th is i s a l so sho wn in F ig . 4a .

N o t i c e t h a t

M ' ( c o )

c h a n g e s s i g n w h e n t h e f r e q u e n c y

i n c re a s es . N o t i c e t h a t t h e m a x i m u m o f

M ( c o )

is

n e a r l y f i v e t i m e s t h e z e r o f r e q u e n c y v a l u e .

W i t h d e c r e a s i n g n t h e m a x i m u m i n

M ( c o )

m o v e s

a c c o r d i n g t o E q . ( 1 3 ) t o l o w e r f r e q u e n c i e s a n d t h e d c

r e l a x at i o n r a t e i n c re a se s n e a r n = 0 . 3 x l 0 1 1 c m - 2

dr as t i ca l ly .

T h e d y n a m i c c o n d u c t i v i t y c a n b e c a l c u l a t e d f r o m

o u r E q . ( 5 ) a n d t h e F i g . 4 a . B e c a u s e t h e c o n d u c t i v i t y

i n t h e c a s e o f F i g . 4 b i s l o w e r t h a n 1 0 - s / f 2 f o r c o > 2

m e V m e a s u r e m e n t s o f t h e d y n a m i c c o n d u c t i v i ty a r e

v e r y d i ff i c u lt . B u t w e m e n t i o n t h a t f o r t h e d e n s i t y o f

F i g. 4 a t w o p e a k s a r e f o u n d i n t h e d y n a m i c c o n -

d u c t i v i t y , s ee F i g . 4 b . O n e i s a t c o = 0 a n d c o r r e -

s p o n d s t o t h e D r u d e p e a k , a n d o n e i s a t a b o u t

6 m e V a n d c o r r e s p o n d s t o t h e o p e n i n g o f t h e p l a s-

m e n d e c a y c h a n n e l. I n s i li c o n M O S s y s t em s o n l y a n

e n h a n c e d c o n d u c t i v i t y i n c o m p a r i s o n w i t h th e

D r u d e r e s u l t h a s b e e n f o u n d [ - 2 0 ] , b u t n o s t r u c t u r e

w i t h t w o p e a k s e m e r g e s . U n f o r t u n a t e l y t h e s e c o n d

p e a k i n t h e c a s e o f F i g . 4 b h a s a c o n d u c t i v i t y a t

a b o u t 3 x 1 0 - 6 / f 2 a n d m a y b e d i f f i c u l t t o o b s e r v e .

I f w e a s s u m e t h a t t h e p l a s m o n c h a n n e l b e c o m e s

i m p o r t a n t f o r

M o ' p ( c o l ) = O . l h / ~

and ~ i s the dc r e -

l a x a t i o n t i m e , t h e n w e f i n d w i t h E q . ( 1 3 ) t h a t p l a s -

m e n d y n a m i c s b e c o m e r e l e v a n t f o r c o > c o l a n d

0) 1 = ~p(O.1 h /a F z ) t / s

(8

n /T cn i 1 /5 (kF/qs) 2/5.

1V Cyc lo tron Res on ance

a ) G e n e r al A s p e c t s

I t h a s b e e n s h o w n b e f o r e [ 3 1 , 2 1 ] t h a t f o r

N t

coc>>lM

( coo)l , M (coc) the r e so na nc e & o f the cyc lo -

t r o n l i n e i s s h i f t e d t o

& = coc - M ' ( coc ) ( 14a )

a n d t h e l i n e w i d t h F , d e f i n e d a s h a l f w i d t h a t h a l f

m a x i m u m ( H W H M ) i s g i v e n b y

F = M (coc) . (14b )

B e c a u s e M ' ( c o ) a s f u n c t i o n o f co c h a n g e s s i gn , o n e

g e t s p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s h i f t s o f t h e r e s o n a n c e .

F o r M ' ( c o ) = 0 n o l i n e s h if t e xi s ts . In F i g . 5 w e h a v e

s h o w n t h e f r e q u e n c y

c o * ,

w h e r e M ' ( c o * ) = 0 , v e r s u s

d e n s i t y . I n f r e q u e n c y s w e e p e x p e r i m e n t s f o r f i x e d


6/8

6 A . G o l d : G a A s - A I G a A s H e t e r o s t r u c t u r e s

12

> 10

E e

O 6

I I

3

u ~

/ x l -

00 1 2 3 4 5 6

n 1 0 1 1 c m - 2 )

100

~9

60

I I

4 0

3

2 0

F i g .

5 .

o 9 w h e r e M ' ( c o = c o * ) = 0 v e r s u s d e n s i t y a s a f u l l l i n e

~

= 1 5 0 /~ ) . T h e c r o s s e s a r e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m R e f . 1 2 a n d

g i v e th e f r e q u e n c y o f t h e l in e w i d t h m a x i m u m a s f u n c t i o n o f th e

e l e c t r o n d e n s i ty . T h e a r r o w i n d i c a t e s t h e d e n s i t y nr w h e r e t h e

m e t a l i n s u l a t o r t r a n s i t i o n o c c u r s

~0 meV)

30 15 10 7 6 5 Z,

I E 0 0 1 ~ ~

5

~ : - u. 1 G a A s - A L G a A s -1

0 2 ~

0 1

o o o

0 1 2 3 Z 5

v

Fig. 6. M '(co) and

M (co)

versus filling factor (versus frequency via

COc=2SF/V

for n=2.25x 1011 cm-2 as full l ines (e=150A). The

crosses are exp erimental results of Ref. 12

d e n s i t y a n d m a g n e t i c f i e l d a l i n e s p l i t t i n g o r a w i d t h

m a x i m u m w a s f o u n d a t a c e rt a i n m a g n e t i c f ie ld , a n d

s o a t a c e r t a i n f r e q u e n c y [ 1 2 ] . T h e e x p e r i m e n t a l

r e s u l t s f o r t h i s f r e q u e n c y v e r s u s d e n s i t y a r e s h o w n i n

F ig . 5 a s c ro s se s . T h e m e a s u r e d l i n e w i d th m a x i m u m

c o r r e l a t e s w i t h c 5 - c o c ~ 0 , s e e R e f . 1 2, a n d s o t o

M ' ( c o * ) ~ O . T h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x -

p e r i m e n t i s q u i t e g o o d . W e n o t e t h a t i n R e f. 1 2 t h e

r e l a t i o n

o)*=Ec,

s e e E q . ( l l ) , w a s u s e d t o d e s c r i b e

t h e m e a s u r e d f r e q u e n c y o f l in e w i d th m a x i m u m v e r-

s u s d e n s i t y . I f m u l t i p l e s c a t t e r i n g e f f e c ts a r e n e g l e c t -

e d , o n e h a s M ' ( c o ) ~ n i. F o r M ' ( c o * ) = 0 t h e n t h e f r e -

q u e n c y o~* s h o u l d n o t d e p e n d o n

n i.

b ) C o m p a r i so n w i th E x p e r i m e n t s

I n F i g . 6 w e c o m p a r e t h e s h i ft o f c y c l o t r o n r e s o -

n a n c e a n d t h e w i d t h o f t h e r e s o n a n c e a s a f u n c t i o n

o f fi ll in g f a c t o r f o r f ix e d d e n s i t y w i t h e x p e r i m e n t a l

r e s u l ts f r o m R e f . 1 2. A s a l r e a d y m e n t i o n e d ,

M ' o c n i

a n d M o c n i , i f m u l t i p l e s c a t t e r i n g e f f e ct s a r e i g -

n o r e d . W e u s e d i n t h e t h e o r y n ~ = 2 , 7 5 x 1 0 11 c m - 2 .

T h e c o r r e s p o n d i n g m o b i l i t y i s 6 .3 1 05 c m 2 / V s . T h e

m e a s u r e d m o b i l i t y w a s a b o u t 5 .9 x 1 05 c m e / V s [ 3 0 ] .

S o w e t h i n k t h a t o u r t h e o r y i s i n r e a s o n a b l e a g r e e -

m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f R e f. 1 2. F o r

l o w v t h e e x p e r i m e n t a l H W H M b e c o m e s f in it e,

w h i l e t h e t h e o r e t i c a l M (co) g o e s t o z e r o . T h e f i n i t e

t e m p e r a t u r e i n t h e e x p e r i m e n t s c o u l d b e t h e o r i g i n

o f t h is b e h a v i o r . B u t p e r h a p s o u r t h e o r y i s n o l o n g e r

a p p l i c a b l e f o r v < 2 . N o t i c e f r o m F i g. 6 t h a t f o r

v - - , o o t h e d c r e l a x a t i o n t i m e s h o u l d b e r e a c h e d .

B e c a u s e o f t h e h i g h m o b i l i t y in G a A s / A 1 G a A s t h is

p r e d i c t io n c a n b e v e r y e a s il y t es te d . F o r G a A s - A 1 -

G a A s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e m o b i l i t y a n d t h e

r e l a x a t i o n k e r n e l i s t h e f o l l o w i n g : /~ x V s / c m 2 = 1 . 7 3

x 1 04 x m e V / M ( 0 ) . F o r # = 5 . 9 x 1 05 e m 2 / V s o n e

f in d s M ( 0 ) = 0 . 0 2 9 m e V , w h i le t h e th e o r e t i c a l v a l u e

f or F ig . 6 is M ( 0 ) = 0 . 0 3 9 m e V . F o r n = l . 5 x l 0 i t

c m - z a n d 1 . 6 x 10 i t c m - 2 t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s

a r e # = 4 . 4 x 1 05 c m 2 / V s a n d 4 .5 x 1 05 c m 2 / V s r e -

s p e c t i v e l y , a c c o r d i n g t o R e f . 3 0 . O u r t h e o r e t i c a l r e -

s u l t f o r t h e p a r a m e t e r s o f F ig . 6 is / ~ = 3 . 8 x 1 0 5

c m 2 / V s a n d 3 .3 x l 0 s c m e / V s f o r n = 1 . 5 x 1 0 1 1 c m - 2

a n d 1 .6 x 1 0 1 1 c m - 2 . S o i t a p p e a r s t h a t t h e d e n s i t y

d e p e n d e n c e o f t h e m o b i l it y i s i n a g r e e m e n t w i t h o u r

t h e o r y .

T h e l i n e s p l i t t i n g f o u n d i n s o m e s a m p l e s [ 9 ] w a s

p r o p o s e d t o b e d u e to p l a s m o n m o d e a n d c y c l o t r o n

m o d e i n t e r a c t i o n [ 1 2 ] . T h i s e ff e ct c a n n o t b e e x -

p l a i n e d w i t h i n t h e p r e s e n t m o d e l . W e m e n t i o n t h a t

l i n e s h i f t s a n d l i n e w i d t h m a x i m u m h a v e a l s o b e e n

f o u n d i n s i l i c o n M O S s y s t e m s [ 3 2 ] .

I n F i g . 7 w e c o m p a r e o u r l i n e w i d t h v e r s u s f i l l i n g

f a c t o r w i th o t h e r e x p e r i m e n t a l r e s u lt s [ 1 3 ] . T h e

a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d e x p e r i m e n t i s v e r y

g o o d a n d t h e m a x i m u m i n t h e l i n e w i d t h i s d u e t o

t h e p l a s m o n p e a k i n t h e r e l a x a t i o n s p e c t r u m . T h e

e x p e r i m e n t h a s b e e n c l a i m e d E 1 3 ] t o b e e x p l a i n e d

b y s c r e e n i n g a n o m a l i e s d u e t o f i l l i n g u p a L a n d a u

l e ve l . B u t i n th i s t h e o r y [ 1 7 ] t h e d y n a m i c s o f th e


7/8

A . G o l d : G a A s - A 1 G a A s H e t e r o s t r u c t u r e s 7

5

~ 3

= 2

Lt_

GaAs AlOaAs

0

2 3

v

F ig . 7. F u l l w i d th a t h a l f m a x i m u m F W H M ) v e r s u s f il li n g f a c to r

v e r s u s d e n s i t y v i a e F = 8 9 ) f o r c o = 1 2 . 9 m e V c ~ = 1 0 0A , ) . T h e

d o t s a r e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f R e f . 1 3

s c a t t e r i n g h a s b e e n n e g l e c t e d . T h e t h e o r y g i v e s n o

e x p l a n a t i o n f o r s h i f ts o f t h e r e s o n a n c e , b e s i d e s t h e

s h i f t d u e t o d a m p i n g , a s f o r a d a m p e d o s c i l l a t o r . B u t

w i t h i n a m o d e l o f a d a m p e d o s c i l la t o r o n l y s h if ts t o

l o w e r f r e q u e n ci e s a r e e x p e c te d . A t v ~ l a p o s i ti v e

f r e q u e n c y s h if t o f 1.5 c m - 1 a n d a t v ~ 5 a n e g a t iv e

f r e q u e n c y s h if t o f 0 .5 c m - 1 i s p r e d i c t e d f r o m o u r

t h e o r e t i c a l r e s u l t s a n d t h e p a r a m e t e r s r e l e v a n t f o r

t h e e x p e r i m e n t o f R e f . 1 3 .

W e m e n t i o n t h a t f o r l o w e r f r e q u e n c y t h e m a x i m u m

i n F ig . 7 g o e s t o l o w e r v a l u e s o f v a n d t h e m a x i m u m

i s s t r o n g e r . T h e s e r e s u l t s a r c i n q u a l i t a t i v e a g r e e -

m e n t w i t h e x p e r i m e n t s [ 1 1 ] . B e c a u s e t h e p a r a m e t e r s

o f t h is e x p e r i m e n t s e e m t o b e u n c l e a r [ 1 1 ] , w e h a v e

n o t t r i e d t o f it o u r t h e o r y t o t h is e x p e r i m e n t .

W e r e m a r k t h a t t h e d e c r e a s e o f co * i n F i g . 5 t o z e r o

a t a f i n i t e e l e c t r o n d e n s i t y m a y b e i n t e r p r e t e d a s a

p r e c u r s o r t o l o c a l i z a t i o n . N e a r t h e m e t a l i n s u l a t o r

t r a n s i t i o n a n d i n t h e i n s u l a t o r p h a s e

M ( c o )

s a lways

n e g a t i v e a n d c o* = 0 .

F i n a ll y w e w a n t t o m e n t i o n t h a t o u r t h e o r y s h o u l d

a l s o b e a p p l i c a b l e t o s o m e h e t e r o j u n c t i o n s u p e r -

l a t t i c e s , a n d s o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s [ 3 3 ] g i v e e v i -

d e n c e f o r t h i s s u g g e s t i o n .

V P l a s m o n A n o m a l i es

I n t w o - d i m e n s i o n a l s y s t e m s t h e p l a s m o n s h a v e a

q l / 2

d i s p e r s i o n f o r q- -~ 0 . F o r a r e v i e w o f p l a s m o n s

i n s il i co n M O S s y s te m s s e e R ef . 3 4. F o r q ~ 0 t h e

p l a s m a f r e q u e n c y c o o f a n u n d i s t u r b e d i n t e r a c t i n g

e l e c t r o n g a s i s g i v e n b y

= ( 2~re2

c o p o _ _ q ] 1 / 2 .

(15)

\ , ? , r m

B e c a u s e o f t h e f i n it e e x t e n s i o n o f t h e e l e c t r o n w a v e

f u n c t i o n i n z d i r e c t i o n [ 2 7 , 3 5 ] , b e c a u s e o f lo c a l f i e ld

c o r r e c t i o n s [ 2 7 ] , a n d b e c a u s e o f h i g h e r o r d e r t e r m s

i n a h y d r o d y n a m i c e x p a n s i o n [ 3 6 ] , t h e p l a s m o n f r e -

q u e n c y cop f o r G a A s - A 1 G a A s is g iv e n b y [ 2 1 ]

{ 3 q 1 q 0 . 5 9 f ( k v ) q + O ( q 2 ) } ( 1 6 a )

c op = co po 1 7 ~ 4 q s 4 k F

w i t h

f ( k r ) : [ ( ~ ) / ( l + 3 2 N D ~ ] .

(16b)

B u t w e m e n t i o n t h a t i n o u r n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s

t h e f u l l q - d e p e n d e n c e h a s b e e n t a k e n i n t o a c c o u n t .

F o r s i l ic o n M O S s y s te m s t h e r e d u c t i o n o f t h e p la s -

m o n f r e q u e n c y in c o m p a r i s o n t o E q . (1 5) is d u e t o

d i s o r d e r e f f ec t s [2 0 , 2 1 ] . B e c a u s e o f t h is , t h e c l e a n

G a A s - A 1 G a A s i s a b e t t e r s y s t e m t o t e s t t h e c o r -

r e c t i o n t e r m s o f E q . ( 16 ) i n c o m p a r i s o n t o t h e s i l i c o n

M O S s y s t e m . F o r r e c e n t e x p e r i m e n t s [ 3 7 ] i n G a A s

- A 1 G a A s w i t h n = 7 x 1 0 I1 c m - 2 t h e p o s i t iv e a n d

t h e n e g a t i v e c o n t r i b u t i o n s o f E q . (1 6 ) n e a r l y c a n c e l

e a c h o t h e r . T h e p o s i t i v e t e r m i n E q . ( 1 6 ) i s i n d e -

p e n d e n t o f t h e e l e c t r o n d e n s it y . O n e c a n i n c r e a s e t h e

n e g a t i v e t e r m i n E q . ( 1 6 ) b y l o w e r i n g t h e d e n s i t y .

F o r n = 2 x 1 0 11 c m - 2 t h e e x p e c t e d c o r r e ct i o n s a r e

i n a r a n g e , w h e r e p r e s e n t e x p e r i m e n t a l r e s o l u t i o n i s

suffic ient .

A d d i t i o n a l s o f t e n i n g o f t h e p l a s m o n s d u e t o d i s o r d e r

is a ls o e x p e c t e d a n d t h e p l a s m o n s h o u l d b e s e e n a t

t h e f r e q u e n c y [ 2 0 ]

= cop- M '( ). (17)

V I F i n al R e m a r k s

W e h a v e c a l c u l a t e d t h e s t a t i c a n d d y n a m i c t r a n s p o r t

p r o p e r t i e s o f a tw o - d i m e n s i o n a l i n t e r a c t i n g e l e c t r o n

g a s, r e a l iz e d in G a A s - A 1 G a A s h e t e r o s t r u c t u r e s .

T h e a p p l i c a t i o n o f t h is t h e o r y t o c y c l o t r o n r e s o -

n a n c e e x p e r i m e n t s d e m o n s t r a t e s t h e r e l e v a n c e o f t h e

t h e o r y . E s p e c i a l l y w e g i v e a n e x p l a n a t i o n f o r t h e

c o r r e l a ti o n b e t w e e n l in e w i th m a x i m u m a n d z e r o

f r e q u e n c y s h i f t o f t h e c y c l o t r o n r e s o n a n c e . F u r t h e r -

m o r e t h e t h e o r y e x p l a i n s t h e s t r o n g i n c r e a s e o f th e

l i n e w i d t h i n c y c l o t r o n r e s o n a n c e e x p e r i m e n t s i n

c o m p a r i s o n t o t h e i n v e r s e r e l a x a t i o n t i m e d e t e r -

m i n e d f r o m t h e m o b i l i t y . T h i s e f f e c t i s d u e t o t h e

f a c t t h a t t h e c u r r e n t c a n d e c a y i n t o p l a s m o n s a n d is

e s s e n t i a l ly a l o w e s t - o r d e r e f f e c t i n t h e e l e c t r o n i m -

p u r i t y c o u p l i n g .

B u t w e h a v e t o s a y t h a t t h e l i n e s p l i t t i n g f o u n d i n

R e f . 1 2 , a n d t h e l i n e w i d t h o s c i l l a t i o n s w i t h f i ll i n g

f a c t o r f o u n d i n R e f . 1 0, c a n n o t b e e x p l a i n e d w i t h i n

o u r t h e o r y . H o w e v e r , t h e s e e x p e r i m e n t a l f i n d i n g s

h a v e n o t b e e n r e p r o d u c e d t i l l n o w i n o t h e r s a m -

ples .


8/8

8 A . Gold : Ga As - A1Ga As He te ros t ruc ture s

F r o m F i g . 3 o n e e a s i ly s e es t h a t f o r n = 2 . 2 x 1 0 l ~

c m - 2 a z e r o d c - c o n d u c t i v i t y i s p r e d i c t e d . B u t a c y -

c l o t r o n r e s o n a n c e e x p e r i m e n t a t h i g h e n o u g h m a g -

n e t i c fi e ld s h o u l d g i v e a s ig n a l . M e a s u r e m e n t s a t lo w

e l e c t r o n d e n s i t i e s a n d l o w t e m p e r a t u r e s w o u l d b e

v e r y h e l p fu l t o d e t e r m i n e m u l t i p l e s c a t t e r i n g e f f ec t s

a n d t h e p r e d i c t e d m e t a l i n s u l a t o r t r a n s i t i o n i n t h i s

s y s t e m . A s m a l l s p a c e r t h i c k n e s s w o u l d i n c r e a s e

m u l t i p l e s c a t t e r i n g e f f e c t s a t a f i x e d d e n s i t y .

I n t h e m e t a l l i c r e g i o n a d y n a m i c c o n d u c t i v i t y s h o u l d

b e f o u n d w i th a p e a k a t z er o a n d a p e a k d u e t o

p l a s m o n d y n a m i c s a t fi n it e f r e q u e n c y . S u c h a n e x -

p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n w o u l d c o n f i r m th e i m p o r -

t a n c e o f p l a s m o n d y n a m i c s i n t w o - d i m e n s i o n a l s y s-

t e m s .

I tha nk Prof . J . Ha jdu a nd Dr . F . S te rn for c om m e nts on the

manu script and Dr. S.J . Allen and Prof . F. Ko ch for discussions.

This work ha s be e n suppor te d by the S ie m e ns AG wi th in the

Ernst yon Siemens Stipendium.

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A . Gold

Groupe de Phys ique de s Sol ide s

de l Ec ole Norm a le Sup~ rieure

Unive r s i t6 Pa r i s VI I

Tour 23

2, place Juss ieu

F-75251 Paris

Fra nc e

Transport and Cyclotron Resonance Theory for GaAs

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