TRANSPOR POLUTAN · 2014-04-19 · Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis Transpor Polutan...
Transcript of TRANSPOR POLUTAN · 2014-04-19 · Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis Transpor Polutan...
TRANSPOR POLUTAN Pollutan Transport April 14
Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis
Transpor Polutan
Rerensi Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England
2
Transpor Polutan di Sungai 3
¨ Sungai tercemar polutan ¤ Sungai Songhua, China, November 2005 ¤ Sungai Danube, Eropa, Oktober 2010
4
5
q More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005 § http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm § webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005
6
Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010
7
8
q More stories on Danube River pollution in October 2010 § http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540 § webarchive file § http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviet-
hungary-sludge § webarchive file
9
Transpor Polutan 10
¨ Mekanisme penyebaran polutan di sungai ¤ Difusi
n penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi n bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi)
¤ Konveksi n penyebaran yang dipicu oleh aliran fluida (air)
11
12
13
14
Difusi 15
¨ Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.
¤ k = konstanta = koefisien difusi = diffusivity n k merupakan parameter karakteristika fluida (polutan) n k bergantung pada temperatur dan tekanan
qf= −k∇cf qf
= −k
∂cf∂xi
qf= −k grad
cf
Difusi 16
¨ Sifat proses difusi ¤ tidak dapat kembali (irreversible) ¤ mengakibatkan kehilangan/peredaman energi
¨ Contoh difusi ¤ difusi massa ¤ difusi panas/thermal ¤ difusi momentum
Difusi 17
¨ Difusi massa à Fick’s law
¨ Difusi panas à Fourier’s law
¨ Difusi momentum à Newton’s law
qm ,i = −εm∂cf∂xi
qh ,i = −ρ ah Cp∂T∂xi
ρCp = konstan( )
qmt ,ij = −ρ ν∂Vi∂xj
ρ = konstan( )
Konveksi-Difusi 18
¨ Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa ¨ Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi
¨ Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh: ¤ beda konsentrasi (gradien) à difusi ¤ aliran à konveksi
∂c∂t
+V⋅grad
ckonveksi = div εm grad
c( )
difusi
Konveksi-Difusi 19
¨ Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius
¨ Dalam medium air diam, tidak ada aliran, maka kecepatan nol, sehingga tidak ada konveksi
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= εm∂2c∂x2
+ ∂2c∂y2
+ ∂2c∂z2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟← εm konstan
∂c∂t
= εm
∂2c∂x2 +
∂2c∂y2 +
∂2c∂z2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟← εm konstandifusi
murni
Konveksi-Difusi (Turbulen) 20
§ Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen
§ Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah
§ Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula
0.56
0.60
0.64
0.68
0.72
0 50 100 150 200
kece
pata
n [m
/s]
waktu [detik]
kecepatan rata-rata
u = u + ′u
u ′u
′u
v = v + ′v
w = w + ′w
c = c + ′c
Konveksi-Difusi (Turbulen) 21
q Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen
∂c∂t+V!"⋅grad! "!!!
c = div εm +εt( )grad! "!!!
c$%
&'
§ Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada koefisien difusi molekuler, εt >> εm
§ Pada bahasan mengenai konveksi-difusi turbulen, difusi molekuler diabaikan
Konveksi-Difusi (Turbulen) 22
q Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= ∂∂x
εtx∂c∂x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂y
εty∂c∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂z
εtz∂c∂z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
§ dituliskan dalam koordinat cartesius
εm + εt ⇒ εt karena εt ≫ εm
Penyelesaian analitis persamaan difusi
Difusi 23
Persamaan Difusi 24
q Persamaan transpor difusi (air tidak bergerak, tidak ada aliran)
∂c∂t+∂uc∂x
+∂vc∂y
+∂wc∂z
=∂∂x
εm +εtx∂c∂x
#
$%
&
'(+
∂∂y
εm +εty∂c∂y
#
$%
&
'(+
∂∂z
εm +εtz∂c∂z
#
$%
&
'(
∂c∂t=∂∂x
εm∂c∂x
#
$%
&
'(+
∂∂y
εm∂c∂y
#
$%
&
'(+
∂∂z
εm∂c∂z
#
$%
&
'(
∂c∂t= εm
∂2c
∂x2+εm
∂2c
∂y2+εm
∂2c
∂z2
u = v = w = 0 ⇒ u = 0⇒εtx = 0 v = 0⇒εty = 0 w = 0⇒εtz = 0
εm = konstan⇒
Difusi 1-Dimensi 25
∂c∂t= εm
∂2c
∂x2
q Persamaan transpor difusi satu dimensi
§ Difusi satu dimensi, arah x saja
§ Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
c ±∞, t( ) = 0
c x, 0( ) = M1 δ x( )
• M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source)
M0 = M1 S • M0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik secara tiba-tiba
• S adalah luas permukaan
Difusi 1-Dimensi 26
δ x( )dx
−∞
+∞
∫ =1
• δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0)
• Ingat bahwa massa total M0 harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau
c x, t( )dx
−∞
+∞
∫ = c x, 0( )dx−∞
+∞
∫ = M1 δ x( )dx−∞
+∞
∫ = M1
Difusi 1-Dimensi 27
c x, t( ) = M1
4 π εm texp −
x2
4 εm t
$
%&&
'
())
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:
§ Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M0 • yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik • menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x • konsentrasi maksimum, yang berada di titik x = 0, berkurang seiring dengan
waktu
Difusi 1-Dimensi 28
Difusi 1-Dimensi 29
c x, t( ) = M1
σx 2 πexp −
x2
2σx2
$
%&&
'
())
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:
§ Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:
σx
2 t( ) = 2 εm t
§ 95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah:
W = 2×1.96( ) σx ≈ 4 σx
W
−1.96 +1.96
0.95
Difusi 1-Dimensi 30
εm =
12
dσx2
dt=
12
σx2 t2( )−σx
2 t1( )t2 − t1( )
§ Koefisien difusi dapat dihitung dengan:
• Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik x pada dua waktu yang berbeda t1 dan t2
Difusi 2-Dimensi 31
q Persamaan transpor difusi dua dimensi
∂c∂t= εm
∂2c
∂x2+∂2c
∂y2
#
$%%
&
'(( § Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)
§ Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
c ±∞,±∞, t( ) = 0
c x, y , 0( ) = M2 δ x, y( )
Difusi 2-Dimensi 32
c x, y , t( ) = Mx
σx 2 πexp −
x2
2σx2
$
%&&
'
())+
My
σy 2 πexp −
y2
2σy2
$
%
&&
'
(
))
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 2-D tersebut adalah:
§ Jika medium homogen, σx = σy = σ
c x, y , t( ) = M2
σx 2 π( )2
exp −x2 + y2( )2σ2
$
%
&&&
'
(
)))
σ2 t( ) = 2 εm t
M2 = M0 L
Difusi 3-Dimensi 33
q Persamaan transpor difusi tiga dimensi
∂c∂t= εm
∂2c
∂x2+∂2c
∂y2+∂2c
∂z2
#
$%%
&
'(( § Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y
§ Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
c ±∞,±∞,±∞, t( ) = 0
c x, y , z, 0( ) = M3 δ x, y , z( )
Difusi 3-Dimensi 34
c x, y , z, t( ) = M3
σ 2 π( )3
exp −r2
2σ2
$
%&&
'
())
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 3-D tersebut adalah:
r2 = x2 + y2 + z2
M3 = M0
Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 35
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D
c x, t( ) = M1
σx 2 πexp −
x2
2σx2
$
%&&
'
())
§ Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source
c x, t( ) = M1
σx 2 πexp −
x2
2σx2
$
%&&
'
())+exp −
x−2Lp( )2
2σx2
*
+
,,,
-
.
///
0
12
32
4
52
62
Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 36
c x, t( ) = 2M1
σx 2 πexp −
Lp2
2σx2
$
%
&&
'
(
))
di dinding
Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 37
c x, t( ) = M1
σx 2 πexp −
x2
2σx2
$
%&&
'
())
§ Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
q Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa M0 dimasukkan secara menerus (kontinu) di x = 0
c x = 0, t ≥ 0( ) = c0
c x = ±∞, t ≥ 0( ) = 0 c x > 0, t = 0( ) = 0
Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 38
c x, t( ) = c0 erfcx
4 εm t
"
#
$$
%
&
''
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu
erfc Y( ) = 2
πe−ξ dξ
Y
∞
∫
• complementary error function
• dapat dihitung dengan MSExcel: =ERFC(…)
Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 39
Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi dalam regime turbulen
Konveksi-Difusi 40
Konveksi-Difusi (Turbulen) 41
q Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= ∂∂x
εtx∂c∂x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂y
εty∂c∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂z
εtz∂c∂z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
§ Koefisien difusi merupakan besaran tensorial
• koefisien difusi vertikal, εtz • koefisien difusi transversal, εty • koefisien difusi longitudinal, εtx
εt
!"!"εtx ,εty ,εtz( )
Konveksi-Difusi (Turbulen) 42
εtz = κ u∗
zh
h− z( )§ Koefisien difusi vertikal
εtz = 0.067 h u∗( )
§ Koefisien difusi vertikal rerata kedalaman aliran
εtz =
1h
κ u∗zh
h− z( )dz0
h
∫
kedalaman aliran kecepatan geser
z
h U
εtz
εtz
Konveksi-Difusi (Turbulen) 43
Lz
Jarak Lz = ξz U
h2
εtz
ditempuh dalam waktu tz = ξzh2
εtz
ξz = 0.1
h/2
U
h/2
U h
Lz
ξz = 0.4
U kecepatan rerata kedalaman aliran
Konveksi-Difusi (Turbulen) 44
§ Koefisien difusi transversal
εty = 0.6 h u∗( )
B U εty = 0.15 h u∗( )
• di flume
• di sungai
tepi, tebing
tepi, tebing
Konveksi-Difusi (Turbulen) 45
Ly
Jarak Ly = ξy UB2
εty
ditempuh dalam waktu ty = ξyB2
εty
ξy = 0.1
B/2
U
B/2
U B
Ly
ξy = 0.5
U kecepatan rerata kedalaman aliran
Konveksi-Difusi (Turbulen) 46
§ Koefisien difusi longitudinal, searah aliran
B U
εtx = 0.23 h u∗( )• Difusi longitudinal (searah aliran) yang
ditimbulkan oleh turbulensi aliran umumnya diabaikan karena pengaruh dispersi lebih dominan.
• Parameter dispersi adalah koefisien dispersi Kx.
tepi, tebing
tepi, tebing
• Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik.
U =U + !U U !U
47
near-field zone of mixing
mid-field zone of mixing
far-field zone of mixing
Konveksi dan Difusi Transversal 48
q Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= ∂∂x
εtx∂c∂x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂y
εty∂c∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂z
εtz∂c∂z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
§ Jika kondisi berikut ini diterapkan • aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0 • sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen • difusi longitudinal diabaikan • difusi vertikal telah dicapai, polutan telah menyebar di
seluruh kedalaman aliran
Konveksi dan Difusi Transversal 49
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= ∂∂x
εtx∂c∂x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂y
εty∂c∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂z
εtz∂c∂z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
transpor permanen
v = w = 0 difusi longitudinal diabaikan
difusi vertikal telah dicapai
∂uc∂x
=∂∂y
εty∂c∂y
#
$%
&
'( ⇒ U
∂C∂x
= εty∂2C
∂y2U kecepatan aliran rerata kedalaman
(depth-averaged velocity)
C konsentrasi polutan rerata kedalaman (depth-averaged concentration)
karena polutan telah menyebar di seluruh kedalaman aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata kedalaman
Konveksi dan Difusi Transversal 50
Cu x, y( ) = G0
h 4 π εty x Uexp −
y2 U4 εty x
$
%&&
'
())
§ Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai lebar
G0 = M0 t [kg/s]
debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h
§ Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai berbatas
C x, y( ) = Cu x, y + y0( ) + Cu x, 2nB± y ± y0( )
n=1
N
∑lokasi sumber polutan
51
Konveksi dan Difusi Longitudinal 52
q Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= ∂∂x
εtx∂c∂x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂y
εty∂c∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂z
εtz∂c∂z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
§ Jika kondisi berikut ini diterapkan • aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0 • difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah
menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran à polutan telah menyebar di tampang lintang aliran
Konveksi dan Difusi Longitudinal 53
∂c∂t
+ ∂uc∂x
+ ∂vc∂y
+ ∂wc∂z
= ∂∂x
εtx∂c∂x
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂y
εty∂c∂y
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ∂∂z
εtz∂c∂z
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
difusi transversal telah dicapai
v = w = 0 difusi vertikal telah dicapai
∂c∂t+∂uc∂x
=∂∂x
εtx∂c∂x
#
$%
&
'( ⇒
∂C∂t+U
∂C∂x
=∂∂x
εtx + *Kx( ) ∂C∂x
+
,-
.
/0
karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata tampang εtx + "Kx = Kx
Konveksi dan Difusi Longitudinal 54
∂C∂t+U
∂C∂x
=∂∂x
εtx + #Kx( ) ∂C∂x
$
%&
'
() ⇒
∂C∂t+U
∂C∂x
=∂∂x
Kx∂C∂x
+
,-
.
/0
koefisien dispersi § Pada aliran permanen dan seragam, Kx konstan
∂C∂t+U
∂C∂x
= Kx∂2C
∂x2
§ berlaku setelah: • difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai • difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai
persamaan dispersi longitudinal
Dispersi Longitudinal 55
∂C∂t+U
∂C∂x
= Kx∂2C
∂x2
à di far-field mixing zone
Berlaku setelah Ly = ξy UB2
εty
atau setelah ty = ξyB2
εty
§ Koefisien dispersi, Kx
Kx = 6 h u∗( )
Kx = 0.011B2U2
h u∗140 < Kx < 500
à saluran tampang segi-empat
à sungai
à saluran atau sungai yang memiliki distribusi kecepatan aliran ke arah vertikal maupuan ke arah transversal
Dispersi Longitudinal 56
§ Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba, maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah:
luas tampang aliran
C x, t( ) = M1
4 π Kx texp −
x−U t( )2
4 Kx t
#
$
%%
&
'
((
Cmax t( ) = M1
4 π Kx t×1=
M1
4 π Kx x U
M1= M0 S [kg/m2]
konsentrasi maksimum, bergerak dengan kecepatan U dan berkurang seiring dengan waktu t
Dispersi Longitudinal 57
§ Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu T • dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan,
masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil
ΔCi x, t( ) = mi
S 4 π Kx t − τi( )exp −
x−U t − τi( )%& '(2
4 Kx t − τi( )
)
*+
,+
-
.+
/+
mi = M0 T( )Δτ
C x, t( ) = ΔCi x, t( )i=1
n
∑ =mi
S 4 π Kx
mi
t − τi( )exp −
x−U t − τi( )&' ()2
4 Kx t − τi( )
*
+,
-,
.
/,
0,i=1
n
∑
Dispersi Longitudinal 58
§ Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu) secara konstan
C x, t( ) = C0
2exp
U xKx
!
"#
$
%& erfc
x+U t
4 Kx t
!
"
##
$
%
&&+erfc
x−U t
4 Kx t
!
"
##
$
%
&&
(
)
**
+
,
--
CC0
=
1 U x( ) > 0
exp −U xKx
"
#$
%
&' U x( ) < 0
(
)**
+**
C0 konstanta
• Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t ! ∞
• erfc(+∞) = 0 • erfc(−∞) = 2
59
60