Transformaciones Rigidas. UNR

8/10/2019 Transformaciones Rigidas. UNR

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Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniera y Agrimensura

Departamento de Matematica

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales

GEOMETRIA I

Licenciatura en Matematica - Profesorado en Matematica - Ano 2013

Equipo docente: Dr. Francisco Vittone - Prof. Ana Laura Alet - Prof. Florencia Rodil.

Transformaciones Rgidas

1. Introduccion. Simetras, rotaciones y traslaciones

1.1. Simetras axiales

En la primera parte de la materia hemos ya introducido de manera intuitiva lo que entendemos por simetrarespecto de una rectadada.

Si tenemos un punto Pde un plano y una recta r fija, podemos

encontrar el punto simetrico P de P respecto de r de manera muy sencilla:

basta considerar la recta perpendicular ar que pasa porP; esta recta cortara a

r en un punto QP. El punto P es entonces aquel que esta en el semiplano

opuesto, de los definidos por r, al que contiene a P, y PQR = QRP. En

otras palabras, r es la mediatriz de P P. SiPr entonces su simetrico es el

mismo punto, o sea P =P.

Tambien encontramos el polgono simetrico a uno dado respecto de la rectar. Para ello nos bastaba encontrar los simetricos de los vertices del polgono. En la figura,

ABC es simetrico

de

ABC respecto de r.

Y finalmente podemos encontrar los ejes de simetria de una figura plana, que son aquellas rectas respecto

de las cuales la figura es simetrica de si misma (en la figura,r es eje de simetra de DEFGHI).

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Analizando la Figura 2, tenemos SO(

ABC) =

ABC. En la Figura 3 tenemos SO(P) =P,SO(Q) =Q

y

SO(C) =C, o sea que la circunferencia C es unidapara SO, aunque ninguno de sus puntos lo es. De la Figura

4, tambien vemos que el cuadrado ABCD es una figura unida para SO.Decimos que un puntoO es elcentro de simetra de una figura plana, si la figura es unida para la simetra

central respecto de O. En los ejemplos anteriores, tenemos que O es el centro de simetra de la circunferencia

C. En realidad esta propiedad es mas general: el centro de simetra de cualquier circunferencia es siempre el

mismo centro de la circunferencia. En la Figura 4, O es el centro de simetra del cuadrado ABCD. En general,

el centro de simetra de un cuadrado es la interseccion de sus diagonales.

1.3. Rotaciones

Fijemos un punto O del plano y un angulo 0. Dado un punto P = O, consideremos el punto P del

plano tal que P OP = y OP =OP. Lo primero que debemos observar es que existen dos puntos P posibles:

aquel tal queOP se obtiene de girar

OPen sentido contrario al de las agujas del reloj (Figura 1) y aquel tal

queOP se obtiene de girar

OPen el sentido de las agujas del reloj (Figura 2).

Para diferenciarlos, diremos que el punto P de la Figura 1 se obtiene de rotar P alrededor de O un

angulo y el de la Figura 2 se obtiene de rotar P alrededor de O un angulo .

Existen dos casos particulares en que ambas rotaciones coinciden: cuando = 0 y por lo tanto P = P y

cuando = 180, en cuyo casoP no es mas que el simetrico de Prespecto del punto O .

Definimos entonces la rotacion en angulo alrededor del punto O como:

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RO, :

P RO,(P) =

P si P =O

P obtenido de rotar Palrededor de O un angulo , siP=O

En la siguiente figura tenemos algunos ejemplos de distintas rotaciones:

1.4. Traslaciones

Terminamos esta seccion estudiando las traslaciones. Comencemos definiendo la nocion de vector. UnvectorAB es un segmento orientado, es decir, identificamos uno de los puntos del segmento como origen y el otro

extremo como punto final. As los segmentos AB yBAson exactamente el mismo, pero los vectoresABy

BA

no lo son, pues estan orientados con sentidos opuestos (atencion a no confundir un vector con una semirrecta,

que se denotan de la misma manera. El contexto debe ser suficiente para distinguir de que objeto se tratara en

cada situacion particular). Profundizaremos la nocion de vector en las unidades siguientes.

Los vectores nos serviran para definir las traslaciones. Si pensamos en la vida cotidiana, supongamos que

debemos caminar5metros desde nuestra posicion actual. Para determinar nuestra posicion final, esta informacion

no nos alcanza, debemos saber en que direccion y sentido hemos caminado. Estos datos nos los proporciona un

vector.

Fijemos un vectorAB en el plano . Dado un punto P , decimos que el punto Q es el trasladado de

P segun el vectorAB si se cumplen las tres condiciones siguientes:

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1. Las rectasAB y

P Q son paralelas;

2. los segmentos AB y P Q son congruentes, o sea AB = P Q;

3. APBQ = si P /AB, o una de las semirrectas

AB y

P Q

contiene a la otra, si PAB.Esto quiere decir que los vectores

AB y

P Q son paralelos, miden lo mismo, y tienen el mismo sentido.

Definimos una traslacion en el plano segun un vectorAB como

TAB

:

P TAB

(P) =Q

dondeQ es el trasladado de P segun el vectorAB.

El facil ver que una traslacion no tiene ningun punto unido. Consideramos algunos ejemplos de traslaciones

en la figura siguiente:

2. Transformaciones rgidas

A lo largo de esta unidad, trabajaremos con funciones f : de un plano en si mismo. Recordemos

que para que f sea una funcion, debe hacer corresponder a cada punto P de un unico punto P = f(P).

Este tipo de funciones suelen llamarse funciones puntuales.

Por ejemplo si quisieramos hacer corresponder a Pun punto Q del plano que este a una distanciar de P,

esa informacion no es suficiente para definir una funcion, pues existen infinitos puntos en el plano a distancia

r de P. Debemos prestar mucha atencion, cada vez que definamos coloquialmente una funcion, de estar

haciendo corresponder a cada punto P de un unico punto. Puede verse facilmente que las tres aplicaciones

definidas en la seccion anterior son funciones.

Una funcion puntual se dice inyectivacuando hace corresponder imagenes distintas a puntos distintos. Esto

es, cuando

P=Q = f(P)=f(Q),

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o equivalentemente,

f(P) =f(Q) = P=Q.

Una funcion se dice sobreyectivacuando cada punto de es imagen de algun punto. Esto es,

Para cada Q , existe P tal que f(P) =Q.

Una funcion es biyectivacuando es inyectiva y sobreyectiva. Muchas veces, una funcion biyectiva se denomina

una correspondencia biunvoca.

Un punto P se denomina un punto fijo o unido para f si f(P) = P. De manera analoga, un

subconjuntoF se denomina subconjunto fijoo unidoparaf sif(F) =F. Es importante observar, como

ya lo hemos hecho con las transformaciones del parrafo anterior, que un subconjunto puede ser unido sin que

sus puntos sean puntos unidos.

Las tres funciones que definimos en la seccion anterior son correspondencias biunvocas. Pero tienen ademas

una propiedad particular: transforman segmentos en segmentos congruentes, angulos en angulos congruentes,

triangulos en triangulos congruentes, etc. Como veremos, todas estas propiedades pueden caracterizarse enterminos de distancia.

Definicion 2.1. Una correspondencia biunvoca del plano, f : se denomina unatransformacion

rgida, movimiento o isometra, si preserva distancias. Esto es:

P, Q , d(f(P), f(Q)) =d(P, Q).

Veremos a continuacion que todas las transformaciones definidas en la seccion 1 son transformaciones rgidas.

Pero antes observemos que existe una transformacion rgida trivial, aquella que deja todos los puntos fijos.

Esta se denomina transformacion identidady se denota cmo I d. Esto es, I d: tal que I d(P) =P, para

todo P.

Las simetras axiales son transformaciones rgidas

Sear una recta en un plano y consideremos la simetra axial respecto der, Sr.

Veamos primero queSr es una correspondencia biunvoca. Dejamos la prueba de que Sr es una funcion bien

definida como ejercicio.

Veamos que Sr es inyectiva. Sean P y Q puntos de tales que P = Sr(P) =Sr(Q) =Q

. Supongamos

quePr. Entonces Sr(Q) =Sr(P) =P. LuegoSr(Q) r y por lo tanto Q = Sr(Q) =P. Analogamente si

Q r.

Podemos suponer entonces que P, Q /r. Sean Sy T los puntos medios de los

segmentosP P yQQ. Comor es mediatriz de ambos segmentos y P =Q, resulta

que PST = PT S= 90. Luego, si fuese P=Q, sera S=Ty el triangulo

ST P

tendra dos angulos rectos, lo cual es absurdo. Por lo tanto P =Q y Sr es entonces

inyectiva.

Para ver que es sobre, basta observar que si P =Sr(P), entonces P =Sr(P).

Luego dadoP cualquiera, existe P =Sr(P)tal queSr(P) =P. Luego Sr es

una correpondencia biunvoca.

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Veamos ahora que es un movimiento. Sean P y Q dos puntos de . Si P, Q r, entonces Sr(P) = P,

Sr(Q) =Q y trivialmente d(Sr(P), Sr(Q)) =d(P, Q).

Podemos asumir entonces que Q /r y considerar los tres casos siguientes:

Caso I:Pr, Q /r; Caso II: P yQ estan en un mismo semiplano de los que define r;

Caso III:P y Q estan en semiplanos distintos de los que definer.

Ilustramos las tres situaciones en la siguiente figura:

En el caso I, sea Mel punto medio de QQ. Comparando los triangulos

QMP y

QMP tenemos:

QM=M Q

puesr es mediatriz de QQ

;

por la misma razon, QMP = QM P = 90;

M Pes lado comun.

Por lo tanto

QMP=

QMP yd(Sr(Q), Sr(P)) =d(Q, P) =QP =QP =d(Q, P).

En el caso II, sean Mel punto medio de P P yM el punto medio de QQ.

Por lo probado en el caso I,

QMQ es isosceles y por lo tanto QM=M Q y MMQ= QMM. Comparando

los triangulos

QMP y

QMP, tenemos:

QM=M Q;

P MQ= 90 QMM = 90 QM M = PM Q,

P M=M P por ser r bisectriz de P P.

Entonces

QM P=

QM P y en particular d(Sr(P), Sr(Q)) =PQ =P Q= d(P, Q).

El caso III es similar y se deja como ejercicio.

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Las rotaciones son transformaciones rgidas

Consideremos un puntoO del plano y fijemos un angulo. Observemos que si = 0, la rotacionRO, = I d,

con lo cual es trivialmente una transformacion rgida.

Supongamos que = 0. Veamos que RO, es una correspondencia biunvoca.

Probemos primero que es inyectiva. Sean P, Q tal que P

= RO,(P) = RO,(Q) = Q

. Entonces = P OP = QOQ = QOP. Ambos angulos tienen la misma amplitud y el lado final coincide: es la

semirrectaOP. Como el sentido de giro es el mismo, los lados iniciales de ambos angulos tambien deben

coincidir, esto esOP=

OQ. PeroOP =OP =OQ =OQ, luego P=P como queramos probar.

Para ver queRO, es sobre, consideremos un punto P y seaP=RO,(P). Entonces es facil ver que

RO,(P) =P.

Veamos finalmente que RO, es una transformacion rgida.

Sean P, Q y sean P = RO,(P), Q = RO,(Q). Si P = O, en-

tonces P = O y por lo tanto d(P, Q) = d(O, Q) = d(O, Q) = d(P, Q).

Analogamente si Q = O. Supongamos entonces que P=O yQ=O.

Comparando los triangulos

P OQ y

POQ tenemos:

OQ= OQ por definicion de rotacion;

OP=OP por definicion de rotacion;

P OQ= POQ= QOP.

Luego

P OQ=

POQ y en particular PQ = P Q, o sea que d(P, Q) =

d(P, Q) como queramos probar.

Las simetras centrales son transformaciones rgidas

Basta observar que dado un punto O cualquiera del plano, la simetra central respecto de O no es mas que

una rotacion de 180 alrededor de O.

Las traslaciones son transformaciones rgidas

Fijemos un vectorAB en el plano. Dejamos como ejercicio verificar que

TAB

es biyectiva.

Sean P y Q dos puntos del plano y sean P = TAB

(P), Q = TAB

(Q).

Debemos ver que d(P, Q) =d(P, Q).

Si P, Q = A, entonces P, Q = B y d(P, Q) = 0 = d(P, Q). Su-

pongamos entonces que P = A. T Por definicion de traslacion, tenemos

P P = AB = QQ,P P//

AB//

QQ y P Q PQ = . Luego P PQQ

es un paralelogramo, y por lo tanto d(P, Q) =PQ =P Q= d(P, Q).

Se deja como ejercicio el caso en que P, QAB.

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3. Propiedades de las transformaciones rgidas

En las secciones anteriores hemos presentado varios ejemplos de transformaciones rgidas y encontrado los

objetos que se obtienen transformando ciertas figuras planas por medio de una transformacion rgida. Para

ello hemos dado como validas varias propiedades. Por ejemplo, vimos que para obtener el transformado de un

polgono, basta transformar sus vertices. Y que el transformado de un triangulo es un triangulo congruente con

el original. En esta seccion probaremos estas propiedades de manera mas general, utilizando solo la definicion

de una transformacion rgida.

Comenzamos recordando que entendemos por composicion de dos movimientos. Consideremos entonces

f : y g : dos transformaciones rgidas del plano. Podemos definir el movimientoh: que

se obtiene de aplicar primero g y despues f, esto es h(P) =f(g(P)). A h se lo denomina la compisicion de

f con g y se lo denota h = f g. O sea que tenemos

h(P) =f g(P) =f(g(P)).

Analicemos algunos ejemplos.Seanf=Ss y g = Sr las simetras respecto de las rectas que se muestran en la figura, y seah = fg. Para

obtener la imagen de un punto P porh, primero obtenemos la imagen P de P porg, esto es, P = g (P) =

Sr(P), y luego aplicamos f a P para obtener h(P) =f(P) =Ss(P

) =Ss(Sr(P)).

Consideremos ahora la composicionSr RO,45 , ilustrada en la siguiente figura:

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Una propiedad importante de la composicion de transformaciones rgidas, es que nos devuelve siempre una

transformacion rgida. Es decir:

Teorema 3.1. La composicion de dos transformaciones rgidas es una transformacion rgida.

Demostracion. Seanf : y g : dos transformaciones rgidas. Dejamos como ejercicio verificar que

f g es una funcion biyectiva. Consideremos dos puntos P, Q . Entonces, como f yg son isometras,

d(f g(P), f g(Q)) =d(f(g(P)), f(g(Q))) =d(g(P), g(Q)) =d(P, Q)

como queramos probar.

El hecho de que las transformaciones rgidas sean biyectivas nos permite encontrar sus inversas. La trans-

formacion inversa de una transformacion dada es aquella que en cierta forma deshacelo que ha transformado

el movimiento original. As, si f : es una transformacion rgida, la transformacion inversa de f es una

funciong : , tal que

f g= g f=I d.

La inversa de una transformacionf se denota usualmente como f1. De esta manera,

f1(Q) =P f(P) =Q

Puede probarse que si una funcion es biyectiva, su inversa siempre existe y es unica, y es ademas una funcion

biyectiva. Tenemos ademas:

Teorema 3.2. Sifes una transformacion rgida, entoncesf1 es una transformacion rgida.

Demostracion. Sea f : una transformacion rgida. Dejamos como ejercicio verificar que f1 es una

funcion biyectiva. Veamos que es una isometra. Sean P, Q . Debemos ver que d(f1(P), f1(Q)) =

d(P, Q). Pero siendo funa isometra yf f1 =I d, tenemos

d(f1(P), f1(Q)) =d(f(f1(P)), f(f1(Q))) =d(f f1(P), f f1(Q)) =d(P, Q).

Tenemos ademas las siguientes propiedades que son faciles de verificar:

La inversa de una simetra axial Sr respecto de una rectar es la misma simetra Sr.

La inversa de una rotacionRO, de centro O y angulo es la rotacionRO,.

La inversa de una simetra central de centroO es la misma simetra central de centro O .

La inversa de una traslacion segun un vectorAB es una traslacion segun el vector

BA.

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Teorema 3.3. Sif es una transformacion rgida yA, B yC son puntos alineados, entoncesf(A), f(B)

yf(C) estan alineados. Mas aun, siB esta entreA yC, entoncesf(B) esta entref(A) yf(C).

Demostracion. Sean A, B y Cpuntos alineados, y supongamos que B esta entre A y C, esto es, B AC.

SeanA =f(A), B =f(B) yC =f(C).

Supongamos que A, B y C no estan alineados. Entonces A, B y C son los vertices de un triangulo ypor lo tanto se verifica la desigualdad triangularAB + BC > AC, o sea

d(A, B) + d(B, C)> d(A, C). (1)

Como A, B y C estan alineados, con B entre A yC, resulta d(A, B) + d(B, C) =d(A, C), y como fes una

isometra, se tendra

d(f(A), f(B)) + d(f(B), f(C)) =d(f(A), f(C)) d(A, B) + d(B, C) =d(A, C) (2)

lo que contradice (1).

LuegoA, B yC estan alineados, y de (2)B esta entre A y C.

Corolario 3.4. Toda transformacion rgida transforma:

1. rectas en rectas;

2. semirrectas en semirrectas;

3. segmentos en segmentos congruentes.

Demostracion. Probaremos solo el punto 3. Los demas son analgos y se dejan como ejercicio.

Sea funa transformacion rgida y consideremos el segmento AB. Sean A

= f(A), B

= f(B). Veremosquef(AB) =AB. Para ello, debemos probar la doble contencion de conjuntos.

Sea CAB . Por el Teorema3.3, f(C) esta entre A y B, esto es, f(C) AB. Por lo tanto f(AB)

AB.

Probemos ahora queAB f(AB). SeaC AB. Comofes biyectiva, existira un punto Cdel plano tal

que f(C) =C, o sea C=f1(C). Pero f1 tambien es una transformacion rgida, y aplicando nuevamente

el Teorema3.3tenemos que C= f1(C) esta entre f1(A) = A y f1(B) =B. Luego C AB y por lo

tantoC =f(C) f(AB), como queramos ver.

Finalmente, tenemosAB =d(A, B) =d(f(A), f(B)) =d(A, B) =AB, por lo tantoAB es congruente

conAB .

Corolario 3.5. Toda transformacion rgida transforma:

1. Triangulos en triangulos congruentes, cuyos vertices son los tranformados de los vertices del triangulo

original.

2. Angulos en angulos congruentes.

Demostracion. Sea funa transformacion rgida.

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1. Sea

ABCun triangulo y sean A =f(A), B =f(B) y C =f(C).

Si A, B y C estuviesen alineados, aplicando el Teorema 3.3 a f1 resultara que A, B y C estan

alineados. Luego A , B y C son los vertices de un triangulo. Ademas, AB =f(AB) y AB =AB, y

lo mismo ocurre con los otros dos lados. Resulta entonces que f(

ABC) =

ABC, y por el criterio LLL,

ambos triangulos son congruentes.

2. Consideremos ahora un angulo ABC. Sean A =f(A), B =f(B) y C =f(C).

Por el Teorema3.3,A,B yC no estan alineados, yf(BA) =

AB,f(

BC) =

BC. Luegof( ABC) =

ABC. Mas aun,f(

ABC) =

ABC y ambos triangulos son congruentes, en particular ABC= ABC.

Corolario 3.6. Toda transformacion rgida transforma un polgono e un polgono congruente, cuyos verti-

ces son los transformados de los vertices del polgono original.

En realidad, en los corolarios anteriores vale tambien la recproca, que no demostraremos:

Teorema 3.7. Dos triangulos son congruentes si y solo si uno es imagen del otro por medio de una

transformacion rgida. Mas en general, dos polgonos son congruentes, si y solo si uno es imagen del otro

por una transformacion rgida.

Finalizamos esta seccion generalizando algunas definiciones que hemos hecho para las transformaciones de

la primera seccion.

Definicion 3.8. Seaf : una transformacion rgida.

Un punto P se denomina un punto fijo o punto unido sif(P) =P.

Una figura planaF se denominafijao unidasif(F) =F.

Hemos visto:

Para la simetra axial Sr, la recta r es una recta fija, cuyos puntos son todos fijos. Si bien pueden existir

mas figuras fijas para Sr (basta recordar los primeros ejemplos), los unicos puntos fijos son los puntos

de r .

Para una rotacion RO,, con 0< < 360, el unico punto fijo es el centro O de la rotacion. Pueden

existir figuras fijas: por ejemplo cualquier circunferencia con centro en O es fija para la rotacion, pero O

es su unico punto fijo.

Lo mismo vale para una simetra central: O es el unico punto fijo de SO. Aqu por ejemplo, cualquier

recta que pase por O resulta fija para SO, pero el unico punto fijo de cada una de ellas es O.

Las traslaciones son movimientos sin puntos fijos.

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4. Simetras oblicuas. Clasificacion de isometras.

Veremos para finalizar nuestro estudio de las transformaciones rgidas, que los puntos y figuras fijas de una

transformacion nos resultaran de gran utilidad a la hora de determinar de que tipo de transformacion se trata.

Denotemos por Iso() al conjunto de todos los movimientos rgidos del plano . Conocemos ya muchos

elementos deI so():Sr, SO, RO,, TAB I so(), para cualquier rectar, cualquier puntoO, cualquier angulo

y cualquier vectorAB de.

Sabemos que las inversas de estos movimientos son movimientos del mismo tipo: la inversa de una simetra

axial es una simetra axial (de hecho es la misma simetra), la inversa de una rotacion es una rotacion, etc.

Sin embargo podemos tambien componer dos transformaciones rgidas y obtener una nueva transformacion

rgida. Sera la composicion de dos transformaciones una transformacion de alguno de los tipos que ya hemos

estudiado?

Consideremos la simetra axial Srsegun una rectar y consideremos un vectorABparalelo ar. Consideremos

la composicionf=TAB Sr.

Veamos primero quefno puede ser una tralacion. SeanP yQ dos puntoscomo el la figura, y seanP =f(P),Q =f(Q). Si existiera un vector

HItal

quef=THI

, entonces P P y QQ deberan ser paralelos a HI, y entonces

paralelos entre s, lo cual claramente no ocurre.

Veamos quefno tiene ningun punto fijo. Supongamos que existe un punto

U tal que f(U) =U. O sea,TAB

(Sr(U)) =U. Entonces, siU =Sr(U),

comoTAB

(U) =U, debe serAB//

UU. Pero

U U r . Luego

AB r , lo

que contradice el hecho queAB// r.

Luego f es una isometra sin puntos fijos que no es una traslacion. Por

lo que analizamos al final de la seccion anterior, fno puede ser una simetra

axial, ni una rotacion (y por lo tanto tampoco una simetra central).

Hemos obtenido una nueva transformacion rgida, que se denomina simetra en deslizamiento o simetra

oblicuarespecto de la rectar. Mas precisamente, una simetra oblicua es la transformacion r gida que se obtiene

de hacer una simetra axial respecto de una rectar y luego hacer una traslacion segun un vector paralelo a la

recta de reflexion. La denotaremos Sr,AB

.

Observemos que Sr,AB

no tiene puntos fijos, como ya hemos probado, pero si existen figuras unidas: r y

cualquier recta paralela a r son unidas para Sr,AB

.

Con esta transformacion rgida hemos descrito todas las transformaciones rgidas del plano, que pueden

distinguirse, salvo el caso de una traslacion y una simetra oblicua, por sus puntos fijos.

De hecho, puede probarse (habra que esperar a Geometra II!) el siguiente resultado:

Teorema 4.1. Todo elemento de Iso() es una simetra axial, o una rotacion, o una traslacion o una

simetra oblicua.

Recordemos que las simetras centrales son casos particulares de rotaciones.

El Teorema 4.1 nos dice que si componemos dos transformaciones del tipo que ya conocemos, debemos

obtener nuevamente una transformacion de alguno de los tipos vistos. Determinar que isometra se obtiene

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de componer dos transformaciones dadas es, a esta altura, un problema difcil. El problema es sin embargo

realmente muy sencillo cuando se lo intenta resolver desde el punto de vista de la geometra analtica y el

algebra lineal (y habra que esperar a Geometra I I!).

Haremos para finalizar algunos ejemplos:

Si componemos dos rotaciones con el mismo centro O y angulos y respectivamente, obtenemos una

nueva rotacion con el mismo centro y segun un angulo= + (Figura A).

Si componemos dos simetras axiales con ejes concurrentes, obtenemos una rotacion con centro en el

punto de interseccion y angulo el doble del angulo que forman las dos rectas (Figura B).

Si componemos dos simetras axiales con ejes paralelos, obtenemos una traslacion (Figura C).

Si componemos la tralacion segun un vectorABseguida de una traslacion segun un vector

BCobtenemos

una traslacion segun un vectorAC (Figura D).

Si componemos una simetra axial seguida de un traslacion segun un vectorAB obtenemos: una simetraaxial, si

AB es perpendicular a la recta de reflexion; una simetra oblicua en otro caso.

5. Homotecias

Finalizaremos esta unidad presentando un tipo de transformaciones que no son isometras: las homote-

cias. As como las transformaciones rgidas transforman triangulos en triangulos congruentes, las homotecias

transformaran triangulos en triangulos semejantes.

Consideremos un punto O del plano y un numero real positivo k. La homotecia de centro O y razonk es la transformacion

HO,k :

tal que HO,k(O) = O y si P = O, HO,k(P) = P, donde P es el unico punto de la semirrecta

OP tal que

OP =k OP.

En la figura ilustramos como actuan algunas homotecias:

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Una homotecia es una transformacion biyectiva del plano.

En efecto, sean P y Q en tales que HO,k(P) =HO,k(Q) =R.

SiP =O, entoncesR = O y por lo tantoHO,k(Q) =O con lo cual Q= P=O.

Supongamos entonces que P=O. Entonces R =O y por lo tantoQ=O. Observemos primero que como

R esta tanto en la semirrecta

OP como en

OQ se debe tener

OP =

OQ.Por otra parte, se tiene OR= k OP yOR= k OQ, con lo cual OP=OQ = 1

kOR. LuegoP =Q, y por

lo tanto HO,k es inyectiva.

Veamos ahora que es sobre. Sea P . Si P = O, existe P = O tal que HO,k(P) = P. Supongamos

queP =O. Si elegimos el punto POP de modo que OP = 1

kOP, resulta queP

OP yOP =k OP.

LuegoHO,k(P) =P.

Es claro que HO,k no es una transformacion rgida, a menos que k = 1, en cuyo caso es la identidad. En

efecto basta tomar un punto P=O y observar que

d(HO,k(O), HO,k(P)) =OP =k OP =k d(O, P).

Ademas, resulta claro que

La inversa de la homotecia HO,k es la homotecia HO, 1k

.

La composicion de dos homotecias con el mismo centro y razones k y k es una nueva homotecia del

mismo centro y razonk k.

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Las homotecias tienen propiedades semejantes a las transformaciones rgidas. Las enunciamos en el siguiente

teorema, cuya prueba es ananloga a la del Teorema3.3 y la dejamos como ejercicio:

Teorema 5.1. Una homotecia de razonk transforma:

1. rectas en rectas;

2. semirrectas en semirrectas;

3. un segmento en un segmento cuya longitud esk veces la longitud del segmento original.

Como consecuencia, obtenemos:

Corolario 5.2. Una homotecia transforma un triangulo en un triangulo semejante al dado, cuyos vertices

son los transformados de los vertices del triangulo original y la razon de semejanza coincide con la razon

de la homotecia.

Ademas vale el resultado siguiente, que no demostraremos:

Teorema 5.3. Dos triangulos son semejantes si y solo si uno es imagen del otro por la composicion de

una homotecia con una transformacion rgida del plano.

6. Ejercicios

1. Encontrar las imagenes de las figuras dadas por las simetras axiales respecto del eje marcado en cada

caso.

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2. Encontrar en cada caso el eje de simetra.

3. Marcar todos los ejes de simetra de los siguientes polgonos regulares.

4. Hallar las simetras respecto del puntoO de cada una de las siguientes figuras.

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5. Marcar los centros de simetra de los siguientes polgonos regulares.

6. Encontrar los puntos indicados en cada caso:

7. Hallar la imagen de cada figura segun la rotacion indicada en cada caso.

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8. Determinar la imagen de cada figura por la traslacion segun el vectorAB indicado en cada caso.

9. En cada una de las siguientes figuras, se muestran un triangulo y su imagen por una transformacion rgida.

Determinar cuales son traslaciones.

10. Hallar las imagenes indicadas en cada caso.

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11. En cada caso, el triangulo III se obtiene a partir del triangulo I por la composicion de dos mivimientos. La

imagen del primer movimiento aplicado es el triangulo II. Agregando los ejes, puntos y vectores necesarios,

escribir simbolicamente cada composicion.

12. Determinar cuales son los puntos fijos y las rectas fijas de la transformacionh = f g en cada caso.

a) f=Sr yg= Ss conr s= {P}.

b) f=TAB

y g = Sr conr AB.

c) f=TBC

yg= TAB

conB AC.

13. Demostrar que la composicion de dos simetras de ejes perpendiculares r y s es una simetra central

respecto del punto O de interseccion de r ys.

14. Probar que una transformacion rgida f transforma una circunferencia de centro O y radio r en unacircunferencia de centro f(O) y radior.

15. Seafuna transformacion rgida tal que f(P) =P yf(Q) =Q, es decir,P yQ son puntos fijos para f.

Probar que todos los puntos de la rectaP Q son fijos para f.

16. Probar que si tres puntos no alineados son fijos para una transformacion rgida f, entoncesf=I d.

17. Determinar las imagenes de las figuras por las transformaciones propuestas en cada caso.

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18. Demostrar el Teorema5.1.

19. Demostrar el Corolario5.2.

20. Probar que una homotecia H de razon k transforma una circunferencia de centro O y radio r en una

circunferencia de centro H(O) y radio k r.

21. Si dos triangulos son tales que los lados de uno son paralelos a los correspondientes lados del otro, probar

que existe una homotecia que transforma uno en el otro.

22. Construir un cuadrado inscripto en un triangulo

ABCde modo que un lado este contenido en el segmento

AB y los otros dos vertices esten respectivamente sobre los lados AC yBC.

Transformaciones Rigidas. UNR

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