Trabajo No. 07 - Interes Simple y Compuesto Final
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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Auditoría Seminario de Integración Profesional Código 11196 Edificio S-12 Salón 211 GRUPO 7 FASE I TEMA: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO TRABAJO No. 7 Nombre: Carné: Villagrán Reynoso, Mauricio Estuardo 200315915 Rodríguez Mauricio, Brenda Verónica 200316142 Yaguas Morales, Brenda Josefina 200316164 Moscoso Ramos, Leyda Ninette 200316589
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Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ciencias Económicas
Escuela de Auditoría
Seminario de Integración Profesional
Código 11196
Edificio S-12 Salón 211
GRUPO 7
FASE I
TEMA: INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO
TRABAJO No. 7
Nombre: Carné:
Villagrán Reynoso, Mauricio Estuardo 200315915
Rodríguez Mauricio, Brenda Verónica 200316142
Yaguas Morales, Brenda Josefina 200316164
Moscoso Ramos, Leyda Ninette 200316589
Guzmán Rivas Luis Guillermo 200713029
Lic. Walter Augusto Cabrera Hernández M.SC.
Guatemala, 06 de febrero de 2013
INTRODUCCIÓN
El presente documento trata sobre el interés simple e interés compuesto, las
formulas y simbología utilizada en el tratamiento de los problemas de aplicación
de estos temas, en el primer capítulo se presenta las generalidades sobre las
matemáticas, sus ramas, características e historia, en las cuales se enmarca el
tema primordial como una aplicación de las matemáticas financieras.
En el segundo capítulo se presenta la conceptualización de las matemáticas
financieras, rama que se desprende de la matemática y contiene los conceptos
de interés simple y compuesto. En este capítulo, se hará una exposición del
origen de esta rama hasta los días presentes, así mismo se mostraran las
relaciones existentes con otras ciencias, los elementos integrantes a nivel
general de esta rama matemática.
En el capítulo III se definen y explican los datos primordiales para una correcta
interpretación, aplicación y resolución de problemas de interés simple, formulas
aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad
d San Carlos de Guatemala, simbología y ejercicios de interés simple resueltos.
En el capítulo IV se definen los conceptos del interés compuesto, las formulas
aplicable y utilizadas por la facultad de ciencias económicas de la Universidad
d San Carlos de Guatemala, así como su simbología y ejercicios resueltos
utilizando las diferentes formulas del interés compuesto.
El objetivo de la preparación de este trabajo fue refrescar la información que se
adquirió durante nuestra formación en los cursos de Matemáticas Financieras,
con vistas a una preparación para el Seminario de Integración Profesional y los
exámenes privados de Áreas Practicas de la Facultad de Ciencias Económicas
1
CAPÍTULO I
MATEMATICA
• 1.1 Qué Son Las Matemáticas
Es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números,
figuras, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones
cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables.
Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan
alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les
permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho
fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento
sobre cantidades, aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan
números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no
cuantitativas.
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números
y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El
matemático Benjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que
señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que
"cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;
cuando son exactas, no se refieren a la realidad".
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las
matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y
las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de
los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin
práctico.
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez
con la matemática helénica, especialmente con los “Elementos de Euclides”.
Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones,
2
hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con
los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una
aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta
esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias
naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas
que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por
ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas,
rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos
matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos
descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de
nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas
puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las
aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el
paso del tiempo.
1.2 Etimología
El término matemáticas viene del griego "máthema", que quiere decir
aprendizaje, estudio y ciencia, y justamente las matemáticas son una disciplina
académica que estudia conceptos como la cantidad, el espacio, la estructura y
el cambio. El alcance del concepto ha ido evolucionando con el tiempo, desde
el contar y calcular hasta abarcar lo mencionado anteriormente. Aunque
algunos las consideran como una ciencia abstracta, la verdad es que no se
puede negar que está inspirada en las ciencias naturales, y uno de sus
aplicaciones más comunes se lleva a cabo en la Física.
La palabra "matemática" se referencia con lo que se aprende y viene del griego
antiguo “máthema”, que quiere decir (campo de estudio o instrucción). El
significado se contrapone a (musiké) (lo que se puede entender sin haber sido
instruido), que refiere a poesía, retórica y campos similares, se refiere a las
áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido
3
en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por
los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a.C., alcanzó su significado más
técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo
IV a. C.). Su adjetivo es (mathématikós), "relacionado con el aprendizaje", lo
cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular,
(mathematikétékhné; en latín arsmathematica), significa "el arte matemática".
La forma más usada es el plural matemáticas, que tiene el mismo significado
que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el
plural en griego (tamathematiká), usada por Aristóteles y que significa, a
grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Algunos autores, sin embargo,
hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el
tratado Élements de mathématique (Elementos de matemática), (1940),
destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática
moderna, aunque también hace uso de la forma plural como
en Élémentsd'histoire des mathématiques (Elementos de historia de las
matemáticas) (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien
finalmente realiza la unificación de las matemáticas.
Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el
tema en la sección "Matemáticas, singular o plural" donde defiende la unicidad
conceptual de las matemáticas aunque hace uso de la forma plural en dicho
escrito. Es importante señalar también que Bourbaki no hace referencia a una
sola persona, sino que en realidad consistía de un colectivo de diferentes
matemáticos escribiendo bajo un pseudónimo.
1.3 Características de las Matemáticas
Cuando hablamos de matemáticas automáticamente nos formamos una
imagen mental sobre los distintos temas que esta abarca, sin embargo para
adentrarnos en su estudio debemos preguntarnos
¿Cuáles son las características principales de la matemática?
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Muchos suelen preguntarse cuál es el rol de la matemática en la sociedad y de
sus consecuencias sobre la enseñanza. A continuación se presentan algunas
de sus características específicas:
1.3.1 Relación Particular con el Lenguaje
Es importante para esto colocarse en una perspectiva histórica. La forma de
expresar la matemática ha evolucionado en el curso de la historia. Se tiene hoy
la idea de que una matemática perfecta sería totalmente formalizada, sabiendo
sin embargo que esta matemática perfectamente formalizada no coincidiría con
la matemática producida por los matemáticos en su trabajo, ni con una
matemática que se enseñe.
El ideal de una formalización posible de la matemática se traduce, cuando se
quieren enunciar hechos matemáticos, por la condición de utilizar un lenguaje
preciso. De la misma manera, existe la obligación, cuando se utiliza un
lenguaje imaginado, de vigilar que no introduzca imágenes erróneas. Esta
condición puede ser vivida como una restricción insoportable, sobre todo si se
acompaña, como es el caso a menudo, de un cambio o modificación de las
palabras del lenguaje cotidiano. La utilización del lenguaje natural tiene
evidentemente sus ventajas, ya que permite hacer frases, manipular
permanentemente juegos de palabras. El peligro es de todos modos que,
haciendo esto, se esté forzado a vivir una especie de doble vida, lo que no es
nunca fácil de mantener.
Esta relación particular con el lenguaje explica seguramente en parte la
tentación de reducir la matemática a un lenguaje, ya que desde el primer
contacto que se tiene con ella es este aspecto el que puede ser más
inquietante.
Esto supone que se reflexione realmente sobre eso y probablemente que se
tome el tiempo de discutirlo con los alumnos, aunque más no sea porque
constantemente se siembra el discurso matemático de frases no matemáticas,
5
creando riesgos de confusión, y esto vale tanto para los estudiantes avanzados
como para los que recién se inician.
1.3.2 Relación Particular con la Verdad
Para abordar esta discusión de manera totalmente seria, habría que entrar en
un debate filosófico. Esquematizando mucho, que se puede ubicar a los
matemáticos en una escala. En un extremo están los platónicos, que piensan
que hay una realidad matemática a la cual se accede como a otras realidades,
pero con un lenguaje particular y con miradas un poco particulares, y para los
cuales haciendo matemáticas no se hace otra cosa que descubrir objetos y
hechos preexistentes, y después, en el otro extremo, están los intuicionistas o
formalistas, quienes, por el contrario, piensan que la matemática es una
construcción humana que representa un consenso entre comunidades que se
definen a ellas mismas. Para ellos, no hay realidad matemática, sino
simplemente un discurso que tiene sus propias reglas, en particular, reglas de
coherencia bien definidas sobre campos semánticos bien definidos, pero
ninguna de ellas sería una realidad en sí misma. No existe ningún matemático
en un cierto momento de su trabajo, no reconozca adoptar un punto de vista
un poco platónico. En efecto, demandarse si tal hecho es verdadero o falso
fuerza “ipso facto” a plantear la realidad de ese hecho para saber que trabajo
es el que se ha realizado. La relación particular con la verdad tiene que ver con
el hecho de que los enunciados matemáticos pueden atravesar los siglos,
trascender las culturas y ser también fácilmente trasmisibles. Una de las
consecuencias es que la comunidad matemática es una de las más
internacionales que existen.
El rol central que juega la noción de demostración como piedra angular de la
disciplina, exige rigor y también esfuerzo para tomar distancia en relación con
las concepciones personales o locales.
Esta relación particular con la verdad tiene otra dimensión que, hay que tener
en cuenta seriamente al considerarla sobre el plano de la pedagogía y de la
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función que puede asumir la matemática en la enseñanza. En efecto, una vez
que una persona (y esta persona puede ser tanto un docente como un alumno)
ha establecido o comprendido una propiedad, de cierta forma se la apropia, y
esto le da un recurso suplementario para resistir a las presiones exteriores que
se apoyarían sobre argumentos de autoridad.
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• 1.4 Historia de la Matemática
•
• La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las
investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos
en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus
conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.
•
• Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del
mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían
a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más
antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.),
el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y
los textos védicos ShulbaSutras (c. 800 a.C.). En todos estos textos se
menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y
extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y
la geometría.
•
• Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia,
surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir
la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres
necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión
amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y
elcambio.
•
• Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente
desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los
métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en
las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
ciencia. La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y
extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales.
Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al
latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en
la Edad Media.
8
•
• Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de
creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de
estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los
nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos
científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el
día de hoy.
•
• 1.5 El Éxito Histórico de la Matemática
•
• Un punto al cual se le otorga mucha importancia es el gran éxito de la
matemática, en efecto, uno de los grandes éxitos de la historia del
pensamiento humano. Es así que la herencia de los matemáticos del
pasado hace que se puede decir algo sensato sobre el infinito. El gran
cambio se produjo hacia el fin del siglo XVII alrededor de Newton,
Leibniz y algunos otros. Este período es muy importante, ya que sirvió
de fundamento para el desarrollo de todo el modo de desarrollo
industrial de la sociedad de hoy en día. Sin el cálculo diferencial
inventado por Leibniz y Newton no habría existido la mecánica y por lo
tanto tampoco la industria tal como se la conoce. Para mí, no hay duda
de que la matemática, como ciencia, ha aportado cosas radicalmente
nuevas que otras ciencias no habían aportado.
• 1.6 La Matemática como Ciencia
•
• Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de los matemáticos", se
refería a la matemática como "la reina de las ciencias". Tanto en el latín
original Scientiarum Regina, así como en alemán Königin der
Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como campo
de conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo
físico, entonces las matemáticas, o por lo menos matemáticas puras, no
son una ciencia.
•
9
• Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente
falseables y, por tanto, no es una ciencia según la definición de Karl
Popper. No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la
lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a
la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las
teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-
deductivas.
•
• Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las
ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta
ahora". Otros pensadores, en particular ImreLakatos, han solicitado una
versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
•
• Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como
la física teórica) son matemáticos con axiomas que pretenden
corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman,
propone que la ciencia es conocimiento público y, por tanto, incluye a las
matemáticas. En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en
común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la
exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y
la experimentación también desempeñan un papel importante en la
formulación de conjeturas en las matemáticas y las otras ciencias.
Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro
de las matemáticas.
•
• El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en
las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las
matemáticas se sirven del método científico. En 2002 Stephen
Wolfram sostiene, en su libro “Un nuevo tipo de ciencia”, que la
matemática computacional merece ser explorada empíricamente como
un campo científico.
•
10
• Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas.
Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es
minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su
historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer
caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente
conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y
la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las
matemáticas.
•
• Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la
matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia).
Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las
matemáticas.
•
• Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus
equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las
matemáticas es la Medalla Fields, fue instaurado en 1936 y se concede
cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio
Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática,
creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y
el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003.
Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser
una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en
un campo determinado.
• Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los
"Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático
alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los
matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos.
Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas
del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los
problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente,
tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.
11
CAPÍTULO II
MATEMATICA FINANCIERA
2.1 Definiciones
12
• Es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del
dinero en el tiempo combinando elementos fundamentales (capital,
tasa, tiempo) para obtener un rendimiento o interés, a través de
métodos de evaluación que permitan tomar decisiones a la hora de
una inversión. Llamada también análisis de inversiones,
administración de inversiones o ingeniería económica.
• Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar
cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera
de los proyectos de inversión.
Matemática financiera: es una rama de lamatemática aplicada que se
ocupa de los mercados financieros. El tema naturalmente tiene una
cercana relación con la disciplina de la economía financiera, pero su
objeto de estudio es más angosto y su enfoque más abstracto. La
"matemática financiera" es una rama de la Matemática que estudia
las variaciones cuantitativas que se producen en los capitales
financieros en el transcurso del tiempo, estudia las operaciones
financieras simples (interés y descuento) y complejas (rentas).
Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más
capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de
tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. La ley financiera
que se aplique puede ser mediante un régimen de interés simple
cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por
tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses se
calculan sobre el capital original.
Si se trabaja en un régimen de capitalización compuesta los
intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital original y
generan, a su vez, intereses en el futuro (los intereses se
capitalizan).
13
Según el sentido en el que se aplica la ley financiera existen
operaciones de capitalización: cuando se sustituye un capital
presente por otro capital futuro y de actualización o de descuento:
cuando se sustituye un capital futuro por otro capital presente.
2.2 Reseña Histórica y Evolución de las Matemáticas Financieras
Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través
de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las
matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar
con ellas, lo que se cree es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero
necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o
determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus
señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Las matemáticas
financieras aparecieron inicialmente con los intereses, se cree que "alguien" se
dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía
recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la
deuda.
En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolución de la
economía financiera, que sólo ha sido posible mediante la aplicación
sistemática y con intensidad creciente del pensamiento matemático. Una vez
más, las matemáticas han permitido formular con rigor los principios de otra
ciencia, y han proporcionado un método de análisis que conduce al
establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales,
incorporan un alto nivel de complejidad, son fáciles de contrastar desde el
punto de vista empírico y tienen aplicación práctica inmediata.
La prueba más clara de lo anterior se encuentra en la teoría de los mercados
financieros, los planteamientos de Markowitz, Sharpe, Fama, Black, Scholes y
Merton, entre otros muchos, cambiaron radicalmente los análisis que se hacían
hasta entonces. Este nuevo enfoque, que coincide con el nacimiento de la
teoría de los mercados eficientes, permite que disciplinas como la teoría de la
optimización, el cálculo de probabilidades, el cálculo estocástico, la teoría de
14
ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales entre otras, pasen a ser de
vital importancia en el estudio de problemas de valoración de activos
financieros, selección de inversiones o equilibrio en los mercados de
capitales. Otro paso importante se da cuando Ross introduce el concepto de
arbitraje, verdadera piedra angular en el estudio de la valoración de activos y el
equilibrio de mercados. Fueron numerosos economistas y matemáticos los que
consiguieron extender este concepto y caracterizar la ausencia de arbitraje a
través de la existencia de funciones lineales de valoración neutral al riesgo o la
teoría de la martingala. Vemos que disciplinas como el análisis funcional o la
teoría de la medida pasan a jugar un papel esencial para probar resultados
fundamentales de la economía financiera.
Un mundo como el financiero, en constante crecimiento y evolución, está
generando problemas que tienen cada vez mayor complejidad. Hoy nos
encontramos ante cuestiones que tienen un gran contenido matemático y del
máximo interés para las instituciones financieras, quienes se encuentran ante
una competitividad muy intensa, un mercado con márgenes cada vez menores
y un mundo sin fronteras. Temas como la gestión y medición de riesgos, el
riesgo de crédito, la valoración de nuevos activos o la valoración de nuevos
derivados con subyacente no negociable (temperaturas, catástrofes naturales,
sequías), no almacenable (electricidad) o al menos no financiero(mercancías)
presenta cada vez más dificultades matemáticas.
Finalmente, la teoría de mercados financieros está motivando el desarrollo de
otras partes de la economía financiera (finanzas empresariales, gestión de
tesorería, mercados emergentes…) en las que también hay un alto contenido
en formulación y razonamiento matemático. Por consiguiente, desde el análisis
funcional hasta el cálculo de probabilidades, todas las ramas que constituyen la
matemática han jugado un papel esencial en el proceso de desarrollo de la
economía financiera.
2.3 Relación de la matemática financiera con otras ciencias
Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra
en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a
15
registros técnicos, de las operaciones realizadas por una entidad privada o
institución del Estado, que le permiten tomar la decisión más acertada en el
momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes
regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes aéreos terrestres y
marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la
propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos de
compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto
brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o
empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia
política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas
económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas
privadas, empresas de capital mixto e instituciones controladas por los
gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de
decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y
negociaciones que beneficien a toda la población; con la ingeniería, que
controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una
manera directa la determinación del costo y depreciación de los equipos
industriales de producción; con la informática, que permite optimizar
procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos,
inversiones y negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja
con inversiones y proporciona a la sociología las herramientas necesarias para
que las empresas produzcan más y mejores beneficios económicos que
permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina
que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones
y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los
elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
2.4 Elementos de las Matemáticas Financieras
Las matemáticas financieras tiene como objeto fundamental el estudio y
análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales
16
intervienen las magnitudes de: Capital, interés, tiempo y tasa
• 2.4.1 Definición de Capital
• El término capital viene del latín “Caput”, que significa ‘cabeza’, y se
refiere en derecho y finanzas a una cantidad de dinero que se fía o se
presta o se impone, de la cual se distinguen los réditos, utilidades
o intereses cobrados por el préstamo. En lo que respecta a la definición
de capital en economía, es uno de los factores de la producción, junto con
el trabajo y la tierra.
También se refiere a las existencias de bienes o patrimonio acumulado que
están disponibles o se usan para hacer o producir más patrimonio. En términos
más corrientes el capital es un monto o cantidad entregado por un prestamista
sin incluir utilidades o intereses ni cargos adicionales. Se puede decir además
que son todos aquellos recursos o medios, que pueden provenir del ahorro o
del préstamo, y que se destinan a la compra o adquisición de activos
financieros o reales. Capital en términos cotidianos es el monto de dinero en
efectivo disponible o libre para una inversión o negocio determinado.
El Capital financiero se refiere a: fondos disponibles para la compra de capital
real, o activos financieros, tales como bonos o acciones. Bajo el punto de vista
bursátil, un capital es un caudal de dinero colocado, o destinado o asignado a
serlo, en valores.
Capital es un término genérico que designa un conjunto o grupo de bienes y
una cantidad de dinero de los que se puede obtener, en el futuro o con
posterioridad, una serie de ingresos o beneficios. En general, los bienes de
consumo o gasto y el dinero empleado en satisfacer las necesidades actuales
no se incluyen o se incorporan en la definición económica de la teoría del
capital. Capital también significa cantidad, caudal, haber o patrimonio o bienes.
En el ámbito hipotecario, se entiende como el valor o importe nominal o
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representativo del préstamo hipotecario. Es decir, el total de la deuda o adeudo
pendiente, excluidos los intereses o réditos.
Otra forma de definirlo sería decir que se trata de bienes que son utilizados o
empleados para elaborar otros bienes o riqueza, en otras palabras son
recursos materiales o dinero que puede generar un beneficio o renta. En el
contexto de un préstamo es la cantidad o monto que una entidad financiera
está prestándole. Capital también puede ser el patrimonio, fortuna o
propiedades poseídos, susceptible de producir una renta. Es la suma de dinero
considerada como instrumento de producción y, más propiamente, potencia o
poder económico en dinero, crédito, influencia moral, entre otros, capaz de
proporcionar los elementos necesarios para la creación o establecimiento y
marcha en la industria, empresa o negocio cualquiera. También es la cantidad
a la que asciende o sube un préstamo.
El Capital también es un factor de producción constituido por inmuebles,
maquinaria o instalaciones de cualquier género, que, en colaboración o
asistencia con otros factores o circunstancias, principalmente el trabajo, se
destina o designa a la producción de bienes.
Podemos decir también que es la cantidad de recursos, bienes y valores
disponibles o libres para satisfacer una necesidad o llevar a cabo una actividad
determinada. Estos bienes, valores o recursos pueden generar una ganancia o
beneficio particular denominada renta o rédito.
Otra forma de verlo se refiere a la cantidad de equipo e infraestructura
utilizados o empleados en la producción de bienes y servicios, o bien el grupo o
conjunto de activos financieros utilizados para generar ingresos. Es la suma de
todos los recursos, bienes y valores movilizados para la formación y desarrollo
de una empresa o negocio.
Por ejemplo cuando se habla de capital real se refiere a: edificios, equipos y
otros materiales utilizados en el proceso de producción y que han sido
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producidos a su vez en el pasado.
En un sentido amplio es el conjunto de recursos monetarios (o que se pueden
convertir en dinero) de una persona. En el contexto de una empresa, son las
participaciones o aportaciones realizadas por sus socios para su creación.
Cuando se trata de una sociedad anónima, el capital social se divide en
acciones y estas pueden ser negociadas u operadas en Bolsa.
También se denomina capital (por oposición a los intereses) al principal de una
renta o deuda. En el sentido económico simple es un instrumento o bien
material destinado a la producción o generación de nuevas riquezas o fortuna.
Es el resultado de la acción del hombre sobre la naturaleza. Una pala, una
mesa, un camión, un ladrillo son capital por que son instrumentos de
producción. No debe confundirse con los bienes que se producen para el
consumo o gasto directo del individuo, que constituyen o forman capital.
En política se denomina capital, a un pueblo, aldea, villa o ciudad en donde se
encuentran la mayoría de los elementos culturales, formativos, pedagógicos,
políticos y en ocasiones económicos de un país o estado.
• 2.4.1.1 Capital Financiero - Capital en Finanzas
Cuando se habla de capital financiero se refiere al capital que se encuentra
invertido en entidades u organismos financieras y no en actividades lucrativas o
productivas que generen empleos o riqueza para más personas. El capital
financiero es llamado también capital especulativo y tiene la característica
principal de ser a veces "cruel", esto quiere decir que esta clase de capital se
presenta o hace su aparición en los lugares donde hay capital, donde hay
utilidades. Por presentar un ejemplo, los capitales golondrina son un tipo de
capital financiero que muestra esta perversidad, ya que cuando llegan a una
economía, esta presenta comportamientos distintos a los normales o a los que
su desempeño llegaría. Es decir, crean distorsiones que, luego de que el
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capital sale, afectan la economía y la productividad. La situación
macroeconómica, tipo de cambio y de interés, son factores que incurren en la
movilización de este tipo de capitales. En conclusión, el capital financiero es un
tipo de capital que sólo provoca o produce rentas para quienes se hayan o se
encuentran en las actividades financieras y para nadie más.
El término oligarquía financiera se refiere a que hay un grupo muy pequeño de
personas, particularmente en países, que detentan el capital. Latinoamérica es
una de las regiones que presenta mayor concentración de los ingresos y la
riqueza, esta concentración lleva mucho tiempo y ha permitido que las familias
mejor acomodadas en el pasado, guarden fortunas grandes que muchas veces
se han basado en la mediación financiera.
El capital financiero: es el formado por la unión del capital de los monopolios
bancarios e industriales en los países. La existencia del capital financiero y la
consecuente aparición de la oligarquía financiera constituyen uno de los rasgos
fundamentales del imperialismo. La formación del capital financiero, hecho que
corresponde a los últimos años del siglo pasado y comienzos del presente, fue
una consecuencia de la alta concentración de capitales en la industria y en la
banca. “La concentración de la producción; los monopolios que surgen de tal
concentración; la unión o fusión de los bancos con la industria, esta es la
historia del surgimiento del capital financiero. Utilizando los recursos
monetarios libres, los bancos no sólo comienzan a conceder a las empresas
industriales los préstamos a corto plazo, sino, además, créditos o fondos a
largo plazo. Con ello alcanzan la posibilidad de influir en la operación de las
empresas e incluso determinan el destino de las mismas. Los recursos de los
bancos se trasladan asimismo a la industria mediante la adquisición de
acciones y creando el denominado “sistema de colaboraciones”, con el cual,
mediante un capital crediticio propio de volumen comparativamente pequeño,
se pueden controlar sumas muy superiores de capitales ajenos. Al mismo
tiempo, se da un proceso de absorción de los pequeños bancos por parte de
los magnos, se forman las uniones acaparadoras o monopolios denominadas
sociedades o consorcios bancarios.
20
2.4.2 Definición de interés
• Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad de los ahorros o
también el coste de un crédito. Se expresa generalmente como un
porcentaje.
• Cargo de servicio por el empleo de dinero o de capital que el usuario
para a intervalos convenidos y que se expresa comúnmente como
porcentaje del capital ganado no pagado.
• El tipo de interés es el precio del dinero. Más específicamente el tipo de
interés es el precio que se paga por utilizar el dinero. Como en todos los
mercados, los precios regulan la oferta y la demanda a través de los
precios. El dinero también tiene su mercado y la utilización del mismo
tiene un precio que es el tipo de interés.
En todas las economías hay personas e instituciones que tienen
excedentes de ahorros (prestamistas), y otras que tienen necesidades
de fondos para gastos e inversión (prestatarios).
El dinero que los prestamistas ceden a los prestatarios tiene un precio,
que normalmente se establece en términos de porcentaje sobre la
cantidad prestada y durante un tiempo determinado.
2.4.2.1 Relevancia del Tipo de Interés en una economía
• Tipo de interés en la política monetaria. Dentro de las políticas
económicas, las políticas monetarias tienen un protagonismo decisivo a
la hora de mantener sendas de crecimiento estables y sin tensiones
inflacionistas. El tipo de interés es utilizado por los responsables de las
decisiones de política monetaria para la consecución de determinados
objetivos.
• Políticas monetarias restrictivas. Tienen como objetivo evitar el
calentamiento de las economías y las alzas de precios. Se
21
lleva a cabo con una política de tipos de interés elevados,
incrementando el coste de acceso al crédito de empresas y
particulares y reduciendo por tanto la inversión y el consumo.
• Políticas monetarias expansivas. Tiene como objetivo impulsar
la economía y alcanzar la tasa de paro no inflacionista o tasa
de paro no aceleradora de inflación.
2.4.2.2 Tipos de interés existentes
En cualquier economía de un país existen diferentes tipos de interés, esto
suele crear cierta confusión a la hora de determinar el tipo de interés realmente
aplicado en una determinada operación.
2.4.2.2.1 Interés Simple
Es el interés cuando el capital original sobre el que se calculan los intereses
permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación.
Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son:
• El capital que se invierte o se presta,
• El tiempo o plazo por el cual se presta,
• El interés simple,
• El monto (capital + interés)
• La tasa de interés.
Así mismo definiremos:
Capital: Es la suma entregada por el prestamista por un periodo fijo, dicha
cantidad varia a lo largo del periodo del préstamo.
Interés: Es la cantidad adicional de dinero que recibirá el prestamista como
beneficio del préstamo realizado.
22
Monto: Es la cantidad total de dinero que recibirá el prestamista al terminar el
periodo del préstamo, el monto varia uniformemente con el tiempo.
El capital y el valor actual representan lo mismo solo que en contextos
diferentes pues el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener un
monto superior y el valor actual es precisamente el que tiene en este momento
una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura.
2.4.2.2.2 Interés sobre saldos insolutos
Es el interés que existe cuando ocurren abonos al capital y en consecuencia se
paga interés únicamente sobre el monto de la deuda pendiente de liquidar.
2.4.2.2.3 Interés Compuesto
Es cuando los intereses que se van generando se van incrementando al capital
original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés
adicional para el siguiente periodo de tiempo. La característica de este tipo de
interés es que se capitaliza el interés del periodo anterior.
El periodo de capitalización es el intervalo de tiempo convenido en la obligación
para capitalizar los intereses, la tasa de interés compuesto es el interés fijado
por periodo de capitalización. La tasa convenida para una operación financiera
es una tasa nominal. La tasa real o efectiva de interés es la que realmente
actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa nominal puede ser
igual o distinta a la tasa efectiva y esto solo depende de las condiciones
convenidas para la operación.
En estas operaciones el capital no es constante a través del tiempo ya que al
final de cada periodo aumenta por la adición de los intereses ganados de
acuerdo con la tasa convenida. El interés puede ser convertido en capital
anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente, o de acuerdo a lo
establecido en el contrato. A dicho periodo es denominado como “periodo de
capitalización“ al número de veces que el interés se capitaliza durante un año
se le denomina cantidad de capitalización.
23
2.4.2.2.4 Interés Bancario
Se debe distinguir en principio básicamente entre tipos de interés aplicado a
«clientes de activo» o a «clientes de pasivo». Esto es, si actúan como
prestamistas o prestatarios.
• Tipo de interés preferencial a mejores clientes. Dentro de los tipos de
interés de las entidades de crédito también está el tipo de interés
preferencial que es el que las entidades de crédito aplican a los
préstamos que conceden a sus mejores clientes de activo.
• Tipos de interés aplicados a créditos normales. Los que se conceden a
la mayor parte de los clientes de activo, tienen tipos de interés más
elevados que el preferencial.
• Tipos de interés de hipotecarios, los préstamos hipotecarios suelen
concederse a tipos de interés más bajos que el de los créditos normales
por estar destinados a la adquisición de viviendas y tener la propia
vivienda adquirida por garantía.
• Los tipos de interés de los depósitos son los que abonan las entidades
de crédito a sus clientes, y que varían si son:
• Cuentas corrientes (tipos de interés muy bajos o nulos),
• Depósitos de ahorro (un poco más elevados)
• Depósitos a plazo (tipos más altos dependiendo del plazo en que
se mantengan inmovilizados los fondos).
2.4.2.2.4.1 Otros tipos de Interés Bancario
• Tipo de interés nominal es el que comunican los bancos y que aparecen
en los medios de comunicación o contratos; se caracteriza porque en él
no se descuenta la tasa de inflación.
• Tipo de interés real, este tipo de interés es corregido para tener en
cuenta los efectos de la inflación. Suele medirse por la diferencia entre el
24
tipo de interés nominal menos la tasa de inflación esperada.
• Tipo de interés interbancario: tipo de interés que aplican los bancos al
intercambiarse dinero entre sí.
• Tipo de descuento tipo de interés de los préstamos que concede el
Banco Central a las entidades de crédito. También se denomina tipo de
intervención del Banco Central o tipo de regulación monetaria. El BCE lo
denomina «tipo de interés oficial» y lo define como tipo de interés que
fija el BCE y que indica la orientación de la política monetaria expansiva
o restrictiva.
2.4.3 Definición de Tiempo
Es la duración del lapso en el que se calcula el interés. Es decir, el plazo de la
operación. Las unidades cronológicas utilizadas generalmente son el año, el
mes, bimestre, trimestre, cuatrimestre, día...
2.4.4 Definición Tasa de interés
La Tasa de Interés representa el costo del alquiler del capital involucrado en un
negocio. Normalmente se representa con la letra i, y se da en porcentaje por
unidad de tiempo.
La tasa de interés se aplica al “periodo de composición”, o sea al período en
el que se causan los intereses; es importante anotar que esta tasa se
denomina “tasa periódica”, y que el período para el que ella se declara debe
coincidir con el período de partición del tiempo para el negocio (años, meses,
días...). La tasa de interés periódica puede aplicarse en forma anticipada o
vencida, según lo estipule el contrato. Es indispensable identificar la tasa en tal
situación
La tasa de interés (o tipo de interés) es el porcentaje al que está invertido
25
un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el
precio del dinero en el mercado financiero".
En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en
porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia
(oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo
determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual
se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una
situación determinada. Por ejemplo, si las tasas de interés fueran las mismas
tanto para depósitos en bonos del Estado, cuentas bancarias a largo plazo e
inversiones en un nuevo tipo de industria, nadie invertiría en acciones o
depositaria en un banco. Por otra parte, el riesgo de la inversión en una
empresa determinada es mayor que el riesgo de un banco. Sigue entonces que
la tasa de interés será menor para bonos del Estado que para depósitos a largo
plazo en un banco privado, la que a su vez será menor que los posibles
intereses ganados en una inversión industrial.
2.4.4.1 Historia del concepto
Aparentemente el cobro de interés se remonta a la antigüedad más remota. Por
ejemplo, en textos de las religiones abrahámicas se aconseja contra el cobro
de interés excesivo.
Posteriormente, en la Edad Media europea el cobro de interés fue, bajo la
influencia de las doctrinas católicas, considerado inaceptable: el tiempo se
consideraba propiedad divina, cobrar entonces por el uso temporal de un objeto
o bien (dinero incluido) era considerado comerciar con la propiedad de Dios, lo
que hizo que su cobro fuese prohibido bajo pena de excomunión.
Posteriormente, Tomás de Aquino adujo que cobrar interés es un cobro doble:
por la cosa y por el uso de la cosa. Consecuentemente, cobrar interés llego a
ser visto como el pecado de Usura. Esta situación empezó a cambiar durante
el Renacimiento. Los préstamos dejaron de ser principalmente para el consumo
y empezaron (junto al movimiento de dineros) a jugar un papel importante en la
26
prosperidad de ciudades y regiones. Frente a eso, la escuela de Salamanca
propone una nueva visión del interés: si el que recibe el préstamo lo hace para
beneficiarse, el que lo otorga tiene derecho a parte de ese beneficio dado que
no sólo toma un riesgo pero también pierde la oportunidad de beneficiarse de
ese dinero usándolo de otra manera, el llamado coste de oportunidad.
Con esas nuevas proposiciones se empiezan a crear las bases para la
percepción del dinero como una mercadería, la cual, como cualquier otra,
puede ser comprada, vendida o arrendada. Una importante contribución a esta
visión se origina con Martín de Azpilcueta, uno de los más prominentes
miembros de esa escuela. De acuerdo con él, un individuo prefiere recibir un
bien en el presente a recibirlo en el futuro. Esa "preferencia" implica una
diferencia de valor, así, el interés representa un pago por el tiempo que un
individuo es privado de ese bien.
En la época modernaLos primeros estudios formales del interés se encuentran
en los trabajos de Mirabeau, Jeremy Bentham y Adam Smith durante el
nacimiento de las teorías económicas clásicas. Para ellos, el dinero está sujeto
a la ley de la oferta y demanda transformándose el interés, por así decirlo, en el
precio del dinero. Posteriormente, Karl Marx ahonda en las consecuencias de
esa transformación del dinero en mercadería, que describe como la aparición
del capital financiero.
Esos estudios permiten, por primera vez, al Banco Central de Francia intentar
controlar la tasa de interés a través de la oferta de dinero (cantidad de dinero
en circulación) con anterioridad a 1847.
A comienzos del siglo XX, Irving Fisher incorpora al estudio del fenómeno
diferentes elementos que lo afectan (tal como la inflación) introduciendo la
diferencia entre las tasas de interés nominal y real. Fisher retoma la idea de la
escuela de Salamanca y aduce que el valor tiene una dimensión no solo
cuantitativa sino también temporal. Para este autor, la tasa de interés mide la
función entre el precio futuro de un bien con relación al precio actual en
27
términos de los bienes sacrificados ahora a fin de obtener ese bien futuro.
En la actualidad la concepción de la tasa de interés tanto entre académicos
como en la práctica en instituciones financieras está fuertemente influida por
las visiones de John Maynard Keynes y Milton Friedman.
2.4.4.2 Los tipos de interés como instrumento de la política monetaria
Desde el punto de vista de la política monetaria del Estado, una tasa de interés
alta incentiva el ahorro y una tasa de interés baja incentiva el consumo. De ahí
la intervención estatal sobre los tipos de interés a fin de fomentar ya sea el
ahorro o la expansión, de acuerdo a objetivos macroeconómicos generales.
Dado lo anterior, las tasas de interés "reales", al público quedan fijadas por:
• La tasa de interés fijada por el banco central de cada país para
préstamos (del Estado) a los otros bancos o para los préstamos entre los
bancos (la tasa interbancaria). Esta tasa corresponde a la política
macroeconómica del país (generalmente es fijada a fin de promover
el crecimiento económico y la estabilidad financiera).
• La situación en los mercados de acciones de un país determinado. Si los
precios de las acciones están subiendo, la demanda por dinero (a fin de
comprar tales acciones) aumenta, y con ello, la tasa de interés.
• La relación a la "inversión similar" que el banco habría realizado con el
Estado de no haber prestado ese dinero a un privado. Por ejemplo, las
tasas fijas de hipotecas están referenciadas con los bonos del Tesoro a 30
años.
Las tasas de interés son el instrumento primario de la política monetaria y
deben moverse en una dirección consistente con el logro de las metas de
inflación. Esto quiere decir que si el pronóstico de inflación está por encima de
la meta, el Banco ajustaría sus tasas de interés al alza, y las bajaría en caso
contrario.
28
2.4.4.3 Las tasas de interés en la banca
En el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:
• Tasa de interés activa: Es el porcentaje que las instituciones bancarias,
de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco
central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios
de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca.
• Tasa de interés pasiva: Es el porcentaje que paga una institución
bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos
que para tal efecto existen.
• Tasa de interés preferencial: Es un porcentaje inferior al "normal" o
general (que puede ser incluso inferior al costo de fondeo establecido de
acuerdo a las políticas del Gobierno) que se cobra a los préstamos
destinados a actividades específicas que se desea promover ya sea por el
gobierno o una institución financiera. Por ejemplo: crédito regional selectivo,
crédito a pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, crédito a nuevos
clientes, crédito a miembros de alguna sociedad o asociación, etc.
CAPITULO III
INTERES SIMPLE
• 3.1 Definición
29
Es el rendimiento calculado siempre por el capital original, el que permanece
invariable durante todo el tiempo o plazo de la operación. El interés que se
obtiene en cada período es siempre del mismo valor.
Es el Precio que se paga por un dinero obtenido en préstamo. Es aquel que se
paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido
no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser
la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses.
La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería
poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma
total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será
representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o
el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en
préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés
simple varía en forma proporcional al capital (P) y al tiempo (n).
En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres
elementos básicos: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n).
CARACTERÍSTICAS
a) El capital es igual al principio como al final del plazo.
b) Los intereses siempre son calculados por el mismo capital.
c) En el interés siempre, los intereses nuca se suman al capital.
d) Los intereses crecen en progresión aritmética.
MÉTODOS
El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año,
mientras que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede
afirmar que existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el
cálculo se usen 30 días al mes, o los días que señale el calendario. Con el
30
siguiente ejemplo, se da claridad a lo expuesto con anterioridad.
a) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360
días y se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este
interés, se conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más
costoso y el que más se utiliza.
b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de
360 días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se
usa con frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de
hacer simplificaciones
c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al
año y mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el
nombre de interés racional, exacto o real, mientras que las otras clases de
interés producen un error debido a las aproximaciones; el interés racional arroja
un resultado exacto, lo cual es importante, cuando se hacen cálculos sobre
capitales grandes, porque las diferencias serán significativas cuando se usa
otra clase de interés diferente al racional. Lo importante, es realizar cálculos de
intereses que no perjudiquen al prestamista o al prestatario.
d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de éste interés se usa
365 o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe
teóricamente, no tiene utilización y es el más barato de todos.
3.1.1 DESVENTAJAS DEL INTERES SIMPLE
Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple:
a) Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado
b) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el
valor final no es representativo del valor inicial.
c) No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por
consiguiente, pierden poder adquisitivo.
31
3.2 Factores que Intervienen en el Cálculo del Interés Simple
• Capital o Principal: Es el dinero sobre el que se aplica el interés.
• El Tiempo: Período durante el que se presta el dinero.
• Tasa de Interés: Medida de cobro o pago que se utiliza. Se expresa en
forma porcentual, ejemplo: 5%, 10%,...
3.3 Generalidades del Interés
• Interés: Es el rendimiento del capital entregado en préstamo. Es la renta
que gana un capital. Es la ganancia producida por un capital.
• Operaciones Financieras a corto plazo: Son todas las operaciones
realizadas hasta por un año plazo. Son aplicadas en el Interés y el
Descuento Simple.
3.3.1 Estandarización u Homogeneización de Factores (Estandarizar los
datos sobre una misma base)
Es muy importante saber homogenizar los factores que se relacionan en un
problema de interés simple a continuación se presenta los principales datos
sujetos a estandarización.
Estandarización
Capital de Q.15, 000.00 P = Q. 15,000.00
Deuda de Q.25.5 miles P = Q. 25,500.00
Plazo de 8 años n = 8
Plazo de 8 meses n = 8/12 ó 0.6666666
Tiempo de 8 días n = 8/360 ó 0.02222222
32
Tasa del 25% anual i = 0.25
Tasa del 15% semestral i = 0.30
Tasa del 5% trimestral i = 0.20
Tasa del 5% bimestral i = 0.30
Tasa del 10% cuatrimestral i = 0.30
Tasa del 2% mensual i = 0.24
Tasa del 2% bimensual i = 0.48
3.4 Simbología
En el cálculo de interés simple utilizaremos la siguiente simbología.
P = Capital o Principal
n = Plazo o tiempo
i = Tasa de interés
I = Interés
3.5 Formulas de Interés Simple
• Interés I = P n i
• Capital ó Principal P = __I_
ni
33
• Tasa de Interés i = __I_
Pn
• Tiempo n= ____I__
P i
3.5.1 Factores que sustituyen a la variable “n” para calcular interés simple
en periodos menores de un año, dependiendo del método
Método Simbología Factores
Interés Exacto Ie t/365 ó t/366
Interés Ordinario Io t/360
De las Obligaciones Ieb h/360
Mixto Im h/365 ó h/366
Donde:
t = Número de días exacto entre dos fechas dadas
h = Número de días entre dos fechas, considerando todos los meses de
30 días
3.5.2 Formulas Derivadas del Monto
• Monto S = P(1+ ni )
• Capital o Principal P = __S__
1 + ni
34
• Tasa de Interés i = __S/P - 1__
n
• Tiempo n= __S/P - 1__
i
• 3.6 Métodos para la Aplicación del Interés Simple
En la práctica todos los problemas de interés tienen alguna fracción de año, por
lo cual se aplican los siguientes métodos:
3.6.1 Método Interés Exacto (Ie)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año de 365 días o 366 si
es bisiesto por lo que se dividirá el número exacto de días entre fechas, dentro
de los días que corresponden al año que se está efectuando dicho cálculo, la
aplicación será sobre “n” de la siguiente manera:
n = t/365 o 366 t = número exacto de días entre fechas
3.6.2 Método Interés Ordinario (Io)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año comercial o de 360
días por lo que se dividirá el tiempo dentro de los 360 días del año que se está
efectuando dicho cálculo, la aplicación será sobre “n” de la siguiente manera:
35
n = t/360
3.6.3 Método Interés de las Obligaciones (Ieb)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año comercial o de 360
días por lo que se dividirá el número de días entre fechas dentro de los 360
días del año que se está efectuando dicho cálculo, tomando en cuenta que
todos los meses se suponen de 30 días, la aplicación será sobre “n” que en la
aplicación de este método será sustituido por el símbolo “h” de la siguiente
manera:
n = h/360
3.6.4 Método Interés Mixto (Im)
En la aplicación de este método se toma en cuenta el año de 365 días o 366 si
es bisiesto por lo que se dividirá el número de días entre fechas, dentro de los
días que corresponden al año ya sea 365 o 366, la aplicación será sobre “n” de
la siguiente manera:
n = h/365 o 366
• 3.7 Interés Simple con Fracción de Año
En la aplicación del interés simple existen factores que sustituyen a la variable
“n” para el cálculo del interés en periodos menores de un año y se aplican
acorde al método sobre el cual se trabaje el interés
3.7.1 Calculo del Tiempo “n” en Fracción de año
36
El día que se recibe dinero en préstamo, como el día en que se paga, se
conocen como días terminales. Para el cómputo del tiempo se toma en cuenta
uno solo de ellos ya sea el primero o el último.
La Junta Monetaria, en resolución contenida dentro de las medidas de política
monetaria describe lo siguiente: “Para el cálculo de interés y recargo se incluirá
el día de la apertura de la cuenta o entrega de los fondos, y se excluirá el día de
vencimiento de la obligación”.
Entre dos fechas cualesquiera, se puede encontrar el número de días exacto
“t”, o bien considerando todos los meses de 30 días, el número de días “h”, en
ambos casos se deberá computar uno solo de los días terminales. Ejemplos
para el cálculo de “t” y “h”:
Valores “t”:
Del 15 de enero al 18 de septiembre del 2008
t=31-15=16+29+31+30+31+30+31+31+18= 247 días.
• Del 23 de marzo al 29 de octubre del 2007:
t= 31-23= 8+30+31+30+31+31+30+29= 220 días.
Valores “h”:
• Del 15 de enero al 15 de septiembre del 2008:
h= 30-15= 15+30+30+30+30+30+30+30+15= 240 días.
• Del 3 de mayo al 8 de noviembre del 2008:
h= 30-3= 27+30+30+30+30+30+8= 185 días.
37
3.7.2 Cálculo del Tiempo “n” Incluyendo Años Completos y Fracción de
Año
Para el cálculo de los años completos no existe ninguna dificultad, pero para el
cálculo del tiempo de la fracción de año, se tiene que tener especial cuidado en
determinar si se trata de tiempo “t” o “h”.
Para la determinación del tiempo “n”, se debe interpretar el resultado,
dependiendo del método aplicado, el número de días que se obtenga puede
corresponder a días calendario “t”, o a días comerciales “h”.
• 3.8 Incógnitas a Resolver Derivados y con Aplicación del Interés
Simple
•
• (Cálculo del Principal, Tasa de Interés y Tiempo)
Para el cálculo de estas incógnitas se utilizaran las formulas básicas
contenidos en el prontuario respectivo.
3.8.1 Calculo del Monto (S)
Es la suma del capital o principal más los intereses. Es la suma o cantidad que
se tiene que pagar por un capital prestado.
Para su cálculo se pueden aplicar cualquiera de los 4 métodos conocidos. El
tiempo puede ser “n” para años completos y para fracción de tiempo “t” o “h”,
según sea el método a aplicar.
3.8.2 Cálculo del Valor Actual (P)
Es el valor de una suma, en cualquier fecha anterior a la que tiene que hacerse
efectiva. Es el valor que se tiene antes de su vencimiento, y posee las
38
siguientes generalidades:
Es el valor de una cantidad de dinero en cualquier fecha anterior a la que debe ser
defectiva o sea la fecha de su vencimiento.
• Se aplican los 4 métodos conocidos, si no se indica cuál, se aplica el
Método Ordinario,
• El Valor Actual siempre será menor que el Monto,
• El Valor Actual es igual al Monto menos el Interés, (P = S—I)
Fechas de Valuación de las Obligaciones
Las obligaciones se pueden Valuar
Al inicio
En cualquier fecha intermedia
Un día antes de su vencimiento
3.8.2.1 Deudas que no Indican que Devengan Interés y Deudas que si
Indican que Devengan Interés
Para formalizar una deuda, generalmente se usan los siguientes documentos:
• Escrituras Públicas o Privadas,
• Pagarés,
• Facturas Cambiarias y otros
Algunos de estos documentos indican que devengan interés, como el caso del
Pagaré, y en otros no se indica que devenga interés, como en el caso de la
Letra de Cambio
• Valor al Vencimiento
En algunos casos, es el mismo valor nominal del documento, como sucede en
39
las Letras de Cambio; pero en otros casos el valor al vencimiento, será el valor
nominal del documento más los intereses correspondientes, si se indica que
devenga interés, como en el Pagaré.
3.8.3.1 Procedimiento de Cálculo del Valor Actual, de Deudas que no
Indican que Devengan Interés:
En este caso, se limita a obtener el valor actual, respecto al valor nominal de la
deuda, el cual es el mismo valor al vencimiento que deberá pagarse en fecha
futura
3.8.3.1.1 Procedimiento de Cálculo del Valor Actual, de Deudas que si
Indican que Devengan Interés
Se debe tener el cuidado de establecer primero, el valor al vencimiento del
documento u obligación, el cual no es igual a su valor nominal, para luego
determinar el valor actual correspondiente.
Pasos a Seguir:
• Se calcula el valor al vencimiento del documento, con base al valor
nominal, tomando como tiempo el plazo total (fecha de emisión a fecha
de vencimiento), aplicando la tasa de interés que se menciona que
devenga el documento.
• La tasa de interés que devenga el documento, no necesariamente es
igual a la tasa de interés aplicada para el cálculo del valor actual,
pueden ser tasas y métodos diferentes.
• El valor al vencimiento determinado, sirve de base para el cálculo del
valor actual deseado.
3.8.4 Ecuación de Valor (Consolidación de Deudas)
40
Son dos series de obligaciones, vinculadas por el signo de la igualdad (=),
valuadas a una misma fecha, llamada “Fecha Focal” o “Fecha de Valuación”.
En la Ecuación de Valor, se presentan los siguientes casos:
• Cuando la fecha focal, es posterior al vencimiento de la última
obligación. Significa que se tiene una suma de montos.
• Cuando la fecha focal, es anterior al vencimiento de la primera
obligación. En este caso se tiene una sumatoria de valores actuales.
• Cuando la fecha focal, corresponde a una fecha intermedia entre el
vencimiento de las diferentes obligaciones. En este caso se tiene una
suma de montos y valores actuales.
La ecuación de valor, se utiliza principalmente en la consolidación de deudas,
es decir, cuando el deudor considera conveniente que una serie de
obligaciones, las puede pagar en una sola vez, o en pagos diferentes a los
inicialmente pactados.
• Procedimientos para el Cálculo de la Ecuación de Valor
• Se establecen las fechas de vencimiento, de cada una de las
obligaciones a sustituir, con sus respectivos valores al vencimiento.
• Determinar la fecha focal o de valuación en la gráfica de tiempo y
valores.
• Se valúa a la fecha focal, cada una de las obligaciones, ya sea aplicando
montos o valores actuales. Posteriormente se procede a sumar todos
esos nuevos valores, consolidándolos en una sola cifra.
3.9 Temas Actuales en los Cuales Podemos ver la Aplicación del Interés
Simple
3.9.1 Reportos
41
Se denomina como la inversión a corto plazo, por la que se recibe a cambio la
propiedad de títulos de crédito, con la condición de revenderlos a sus
propietarios, al vencimiento de la operación. El plazo de los reportos
generalmente está comprendido entre uno y sesenta días. Para las
operaciones de reportos, el año se debe tomar de 365 días. Y se manejan las
siguientes definiciones a) Reportado: Quien necesita dinero y b) Reportador:
Quien da el dinero.
3.9.2 Bolsa de Valores
Lugar en donde se realizan negociaciones de compra-venta de acciones, títulos
valores, bonos y otros valores de las empresas.
3.9.3 Casa de Bolsa
Persona jurídica que habiendo llenado los requisitos establecidos, en el
Reglamento de la Bolsa de Valores, se dedica a la intermediación de la
compra-venta de títulos valores.
3.9.4 El Corro
Oficina o lugar en donde se efectúan las operaciones bursátiles.
4. Descuento Simple
Es una rebaja que se hace sobre el costo de un producto, o del valor de un
título de crédito. Financieramente el descuento propiamente dicho, es aquel en
el que intervienen las variables: TIEMPO, TASA DE INTERES y CAPITAL.
4.1 CLASIFICACION DEL DESCUENTO SIMPLE:
a) Descuento Racional
b) Descuento Bancario
c) Descuento por Pronto Pago
42
d) Descuento Único, en Serie, en Cadena o Sucesivo.
a) DESCUENTO RACIONAL:
Es la diferencia del monto o valor al vencimiento de una deuda, con su valor
actual. La base de cálculo es el Principal o Capital.
Nota: El Descuento Racional, es igual al Interés Simple, con la diferencia de
que el interés simple se paga al vencimiento, y el descuento racional, es
pagado por anticipado.
SIMBOLOGIA:
Dr = Descuento Racional
P = Valor Actual o Principal
n = Tiempo (se aplican los 4 métodos conocidos)
i = Tasa de Interés.
b) DESCUENTO BANCARIO O COMERCIAL:
Es el interés que se paga por anticipado, calculado sobre el monto o valor al
vencimiento a una tasa de descuento pactada, por el período transcurrido entre
la fecha de descuento y la fecha de vencimiento.
El descuento bancario o comercial, se utiliza en el sistema bancario. Como
base para el cálculo del tiempo se toman 365 días, aun sea año bisiesto. Su
cálculo se basa en el Interés Simple Exacto.
SIMBOLOGIA:
43
Db = Descuento Bancario
S = Monto o valor al vencimiento n = Tiempo (t/365)
d = Tasa de Descuento VL = Valor Liquido.
DIFERENCIA ENTRE EL DESCUENTO RACIONAL Y EL DESCUENTO
BANCARIO:
El descuento racional, se calcula sobre la base del Principal y se aplican los 4
métodos.
El descuento bancario, tiene como base de cálculo el Monto o valor al
vencimiento, y se aplica únicamente el Método Exacto.
RELACION ENTRE EL DESCUENTO BANCARIO Y EL DESCUENTO
RACIONAL (Tasa de descuento e interés equivalente):
El descuento bancario se calcula sobre la base del monto, el descuento
racional sobre la base del principal, por lo que el monto siempre será mayor
que el principal, por lo cual se concluye:
El descuento bancario a cualquier tasa de descuento, siempre será
mayor que el descuento racional, a igual tasa de interés y por el mismo
plazo.
Para que el importe del descuento bancario y del descuento racional,
sean iguales, es necesario que la tasa de descuento racional sea mayor,
que la tasa de descuento bancario
.
Ejemplo:
Datos del Descuento Bancario:TASA EQUIVALENTE DESCUENTO
RACIONALS = Q.95,000.00
44
DB = Q.13,013.70 i = Dr.VL = Q.81,986.30 P x nd = 0.20 i = 13,013.70n = 250/365 81986.30x0.68493151
i = 0.23174606 = 23.17% anual.
c) DESCUENTO POR PRONTO PAGO (Está relacionado con el Interés
Simple):
Constituye una rebaja concedida sobre el precio de mercadería, como un
incentivo para pagar de inmediato (contado) o dentro de plazo específico.
Los descuentos se expresan en las facturas o documentos, por medio de
números quebrados, en donde el numerador indica la tasa de descuento a
aplicar, y el denominador el plazo máximo dentro del cual se puede aprovechar
el descuento.
RELACION DEL DESCUENTO POR PRONTO PAGO CON EL INTERES
SIMPLE ORDINARIO:
El cálculo del importe del descuento, no tiene mayor complejidad, siendo lo
importante establecer desde el punto de vista financiero, que alternativa resulta
más ventajosa y debe aprovechar el comprador, para lo cual se debe
determinar una relación de cada descuento con el interés simple ordinario (tasa
de interés).
Fórmula a utilizar: i = I
Pn
d) DESCUENTO UNICO, EN SERIE, EN CADENA O SUCESIVO:
Es una serie de rebajas sucesivas, sobre el precio de catálogo, que los
45
proveedores ofrecen en ventas estrictamente al contado. Con estos
descuentos, el proveedor obtiene mayor clientela, ajusta los precios en relación
a los del mercado y ofrece incentivos en compras por mayor.
FORMULAS: Contenidas en el Prontuario de formulas respectivo.
METODO DE CALCULO:
Consiste en calcular sucesivamente cada descuento ofrecido, sobre el valor
neto de la factura, estableciendo el descuento único, equivalente a todos los
descuentos. Se aplican el Método Directo (por medio de la fórmula) y el Método
Indirecto (por medio de cuadro, conteniendo las columnas siguientes: Número
de descuentos, porcentajes de descuentos, valor factura, importe del
descuento y valor neto).
INTERES COMPUESTO
Definiciones
• Es el rendimiento que si no se paga en el período, se aumenta al capital
y junto con él, produce más interés. Significa que en cada período
posterior, el interés es mayor, ya que esta calculado sobre el capital
original más los intereses de los períodos anteriores. La capitalización
del interés se da únicamente en el interés compuesto
El interés compuesto se aplica en operaciones financieras a largo plazo,
es decir mayores del año, ya que mientras mayor sea el plazo, más
capitalizaciones se dan, siendo mayor el rendimiento que produce en
relación con el interés simple. Es aplicable en campos no financieros
tales como, el estudio de fenómenos relacionados con seres vivos que
se reproducen de manera geométrica y para determinar la tasa de
natalidad y crecimiento de las poblaciones
• El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga-al concluir
cada periodo que sirve como base para su determinación –los intereses
correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan
46
en un capital adicional, que a su vez producirá intereses (es decir, los
intereses se capitalizan para producir más intereses)
Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo que se refiere
la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema
de interés compuesto y no de interés simple.
Nota: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo
las capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarán de acuerdo con
los periodos a los que se refiere la tasa. En caso de que no se
especifique su vencimiento, se entenderá que ésta es anual, y lasa
capitalizaciones, anuales.
• En las transacciones financieras efectuadas a interés simple el capital
permanece constante durante todo el lapso convenido, en cambio en
las realizadas a interés compuesto el capital cambia al final de cada
periodo, ya que a intervalos establecidos, el interés generado es
agregado al capital, formando cada vez un nuevo capital. En este caso,
se dice que el interés es capitalizable o convertible en capital y, en
consecuencia, también gana interés. Si los intereses producidos en
cada periodo se calculan sobre capitales cada vez mayores, dado que
incluyen los intereses de periodos anteriores, se le denomina interés
compuesto al que se paga sobre capitales que se incrementan de ese
modo.
En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que
se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los
intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de
capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple, es importante determinar
los plazos en que se van a vencer los intereses, para que se puedan
especificar las capitalizaciones, y , en consecuencia, establecer el
procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto)
47
El interés compuesto en las transacciones que abarcan un periodo largo de
tiempo (mayora a un año), el interés puede ser manejado de dos maneras:
• A intervalos establecidos, interés vencido se paga en efectivo o en otra
forma de pago, el capital que produce los intereses permanece sin
cambio durante el plazo de la transacción, en este caso estamos
tratando con interés simple.
• A intervalos establecidos, el interés vencido es agregado al capital (por
ejemplo en las cuentas de ahorro). En este caso se dice que el interés
es capitalizado o convertible en capital y, en consecuencia también gana
interés; el capital aumenta periódicamente y el interés convertible en
capital también aumenta periódicamente durante el periodo de la
transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida
como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el
capital original se le conoce como interés compuesto.
Diferencias entre el interés compuesto y el interés simple
• El crecimiento del interés simple es aritmético, y el interés compuesto es
geométrico.
• El interés simple es igual en cada periodo del plazo de la operación,
mientras que el interés compuesto es mayor en cada período posterior.
• El interés simple siempre se calcula sobre el mismo capital, el interés
compuesto se calcula cada vez sobre un capital mayor, al que se le
acumulan los intereses generados en el periodo anterior.
Igualdades entre el interés compuesto y el interés simple
• En el cálculo de ambos se aplican factores ya conocidos como: capital,
tiempo y tasa de interés.
48
• En los dos se obtienen los conceptos básicos: Interés, monto y valor
actual.
Factores del interés compuesto que se aplican
Factor de Acumulación: Es aquel que siempre tiene un valor mayor que la
unidad, se usa para determinar montos.
• Tasa efectiva: Tasa nominal:
Factor de Descuento: Siempre tiene un valor menor que la unidad. Se aplica en
el cálculo de valores actuales.
• Tasa efectiva: Tasa nominal:
•
Conceptos Relacionados
Son elementos que aparecen en este tipo de interés diferenciándolo del interés
simple, entre estos nuevos elementos tenemos:
Periodo de Capitalización
Es el tiempo que trascurre entre una y otra capitalización. Es el tiempo que
transcurre entre uno y otro pago de interés. El periodo de capitalización o
periodo de conversión es el intervalo de tiempo existente entre dos
capitalizaciones sucesivas y pueden ser: anualmente, semestralmente,
cuatrimestral, trimestralmente, mensualmente, diaria. Sin embargo existen
instrumentos de inversión como los pagares bancarios donde los plazos puede
llegar a ser a siete, catorce, veintiocho, noventa y uno, o ciento ochenta y dos
días.
Frecuencia de Capitalización
Es el número de veces en un año que el interés se adiciona al capital. Es el
número de capitalizaciones en el año. A continuación se muestran los valores
de las frecuencias de capitalización o de conversión (m) más usuales.
49
Tasa Efectiva de Interés
Es la tasa de interés cuya capitalización se realiza una vez en el año.
Tasa Nominal de Interés
Es la tasa de interés cuya capitalización se realiza dos o más veces en un año;
además se indica el número de capitalizaciones en el año, empleando la literal
“m”.
Simbología
En el cálculo de interés compuesto utilizaremos la siguiente simbología.
S = Monto o valor al vencimiento
P = Capital o Principal
I = Interés Compuesto
I = Tasa efectiva de interés
J = Tasa Nominal de Interés
M = Número de Capitalizaciones en el año
N = Tiempo
50
Formulas de Interés Compuesto
• Interés I = P [ (1+j/m)mn-1]
• Principal P= _____I________
(1 +j/m) mn-1
• Tasa de Interés j = m [ (I/P + 1] 1/mn -1)
• Tiempo n= __Log (I/P+ 1)___
m Log (1 +j/m)
Formulas de Interés Compuesto en Función del Monto
• Monto S = P(1+ j/m)mn
• Principal P = S(1+ j/m)-mn
• Tasa de Interés j = m [ (S/P)1/mn – 1]
• Tiempo n= __Log (S/P)___
m Log (1 +j/m)
Formulas de Interés Compuesto en Tasas equivalentes
51
• Tasa nominal de interés equivalente a una tasa efectiva dada
J(m) = [(1+i)1/m-1]
• Tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal dada
i = [(1+j/m)m-1]
• Tasa de interés simple equivalente a una de interés compuesto durante
“n” años
is = (1+ic)n-1
n
• Tasa de interés compuesto equivalente a una de interés simple durante
“n” años
ic = (is n + 1)1/n -1
• Tasa nominal equivalente a otra tasa nominal dada
J(2) = {m2 [(1+j1 /m1)m1/m]1/m2n}-1
• Formula General
i = (1+ j/m)m/p -1
Métodos de Cálculo del Interés Compuesto
• Cuando Dentro del Plazo Cambia la Tasa de Interés: Lo que se debe
hacer es definir las tasas, especificando que tasa estuvo vigente en cada
período para su cálculo. Las fórmulas aplicadas son las del interés
compuesto, modificando el factor de acumulación o de descuento, según
sea el caso
52
• Factor de Acumulación: tasa efectiva (1+ i)n tasa nominal
(1+j/m)mn
• Factor de Descuento: tasa efectiva (1+i)-n tasa nominal (1+j/m)-mn
En ambos casos los factores se disgregan en las veces que cambia la tasa de
interés. Los resultados de los sub-factores se multiplican entre si..
• Cuando el Plazo de la Operación incluye Fracción del Periodo de
Capitalización: En operaciones financieras para obtener máximos
rendimientos, se aplican las tasas de interés simple y compuesto en
diferentes períodos, cuando se incluye períodos completos y fracción de
período de capitalización. Para su cálculo se aplican los métodos
siguientes:
• Método Combinado o Mixto: Interés compuesto para períodos
completos de capitalización e interés simple para la fracción de
período de capitalización. Se obtiene más rendimiento.
• Método Simple: Interés compuesto para todo el plazo de la
operación. Este método resulta más equitativo.
• Multiplicación de capitales (Tiempo y Tasa): Significa reproducir un
capital, cuantas veces lo requiera el inversionista, con base a una tasa de
interés y tiempo necesario.
• Tasas Equivalentes: para este cálculo tendremos los siguientes dos
casos.
• Tasa efectiva equivalente a una tasa nominal conocida: Es
establecer la tasa efectiva anual que producirá el mismo
rendimiento de una tasa nominal conocida.
53
Fórmula: i = (1+j/m)m - 1
• Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva conocida: muchas
veces es necesario obtener una tasa nominal que produzca el
mismo rendimiento que una tasa efectiva.
Fórmula: j = m[(1+i) 1/m– 1]
CAPÍTULO IV
CASOS PRACTICOS
INTERES SIMPLE
Problema No. 1
Se desea compra un automóvil que tiene un costo de Q25,000. En este
54
momento pueden apartarlo con un enganche de Q 5,000 y pagan el resto con
un documento por pagar a 6 meses aplicando una tasa de interés simple anual
de 12%.
¿De cuánto es el valor final del documento?
Primero que nada se deben de identificar los datos que el problema está
planteando y posteriormente se procede a identificar qué es lo que está
pidiendo resolver.
Datos:
• Valor inicial = Q 25,000, pero el problema está diciendo que se va
a dar un enganche de Q 5,000 así que el valor inicial de la deuda
será de Q 20,000 (Monto menos el enganche) entonces P = Q
20,000.
• El tiempo va ser seis meses, entonces n = 6.
• La tasa de interés simple anual es de 12%.
Como se anoto anteriormente que “n e i” tienen que ir en la misma unidad de
medición. Si el interés esta mensual y el tiempo anual se tienen que hacer la
conversión como es en el caso de éste problema. En este caso utilizaremos de
interés este mensual y se obtiene dividendo la tasa entre el numero de meses
que tiene un año (12% / 12), nos da como resultado 1% mensual y para efectos
de este ejercicio requerimos de 6 meses de intereses que nos cobrará la
empresa que nos brinde el crédito por el bien a adquirir. Ya que se obtienen los
datos se procede a responder la pregunta:
¿De cuánto es el Monto Final del documento?
Se analizan las diversas fórmulas que se explicaron anteriormente y se
procede a elegir la que satisfaga la pregunta. En este caso lo que se busca es
el valor de los intereses. I = Pni
55
Ya identificada la fórmula, se procede a sustituir los valores con los datos que
anotamos en la primera etapa:
I = (Q 20,000) (6)(0.01) = Q 1,200
Lo cual nos indica que pagaron Q 1,200 de intereses por la adquisición de la
camioneta.
Haciendo una breve recapitulación del problema ¿Cuánto fue realmente lo que
les costará tener el automóvil? Tenemos que considerar que se dará un
enganche de Q 5,000, que le financiaron Q20,000 y el costo de ese
financiamiento (interés) fue de Q 1,200, entonces lo que realmente vinieron
pagando fue una suma de los tres elementos Q 26,200.
3
Problema No. 2
Si se invierten Q.40,000.00 a una tasa del 10% semestral simple. ¿Cuánto se
genera por concepto de interés semestre a semestre?
Datos:
P = 40,000 I = Pnii = 0.10 * 2 = 0.20 I = 40,000(0.5)0.20
n = ½ = 0.5 I = 4,000I = ?
Problema No. 03
Se depositan Q.7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital
e intereses. Si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple, ¿Qué
cantidad se retiró?
Datos:
56
P = 7,500 S = P(1+ ni)
i = 0.015 S = 7,5000 (1+48/360*0.015)
n = 48/ 360 = 0.13333... S = 7,515.00
S = ?
Problema No. 04
Por una inversión a 18 meses se recibieron Q.600,000.00 con rendimiento
del 14% anual de interés simple exacto. a) ¿Cuál fue el capital invertido? b)
¿Cuánto fueron los intereses generados durante los 18 meses?
Datos: P =? I = ?
S = 600,000 a) P = S /(1+ni) b) I = Pni
Ie = 0.14 P = 600,000 / (1+ 1.5*0.14) I = 495,867.77(1.5)0.14
n = 18/12 = 1.5 P = 495,867.77 I = 104,132.23
Problema No. 05
Un señor colocó 3/8 de su capital al 6% anual de interés simple, el resto al
4.5% anual. La primera produce Q.697.50 de interés por un año. ¿Cuánto
produce anualmente en concepto de intereses todo su capital?
Datos: (3/8 K) Si 3/8 ----> 11,625.00
io = 0.06 P = I / (ni) 5/8 ---->x
n = 1 P1 = 697.50 / (1 * 0.06) 5/8 = 19,375.00
I1 = 697.50 P1 = 11,625.00
P1 = 3/8 k =?
Datos:
P2 = 19,375.00 I = Pni I1 = 697.50
n = 1 I2 = 19,375(1)0.045 I2 = 871.88
i2 = 0.045 I2 = 871.88 I = 1569.38
57
P1 = 3/8 k =?
Problema No. 06
El 18 de abril se depositaron Q.37,500.00 y el 18 de octubre se retirará la
inversión. Si la tasa de interés simple fue del 19% anual. a) ¿Cuántos días
exactos transcurrieron entre las dos fechas? b) ¿Cuánto se retirará el 18
de octubre, si se aplica el método mixto?
M. exacto M. Mixto
Ab 30 - 18 = 12 30 - 18 = 12
Mayo 31 30
Junio 30 30
Julio 31 30
Agosto 31 30
Septiembre 30 30
Octubre 18 18
Total de días 183 180
Datos:
P = 37,500.00
im = 0.19
n=180/365=0.49315..
S = ?
S = P(1+ ni)
S = 37,500(1+ 180/365*0.19) S = 41,013.70
S= 41,013.70
Problema No. 07
Por un depósito de Q.1,500.00 hecho el 24 de enero nos ofrecieron devolver
Q.1,771.43 el 15 de septiembre. a) ¿Cuál sería la tasa de interés simple
58
ordinario aplicada? b) ¿Cuál sería la tasa de interés simple si se aplicara el
método de las obligaciones?
M. Ordinario M. Obligaciaones
Enero 31 - 24 = 7 30 - 24 = 6
Febrero 28 30
Marzo 31 30
Abril 30 30
Mayo 31 30
Junio 30 30
Julio 31 30
Agosto 31 30
Septiembre 30 30
Octubre 18 18
Total de días 267 264
M. Ordinario b) M. Obligaciones
S = 1,771.43 S = 1,771.43
P = 1,500 P = 1,500
I = 271.43 I = 271.43
n = 234/360 = 0.65 n = 231/360 = 0.64167..
i = I / Pn i = I / Pn
i = 271.43 / (1500*0.65) i = 271.43 / (1500*0.64167..)
i = 27.84% i = 28.20%
Problema No. 08
Por la compra de una televisión se efectuarán dos pagos de Q.3,500.00 cada
59
uno a los 60 y 90 días respectivamente, cobrándose una tasa de interés simple
de 40% anual. Encontrar el valor de los pagos sí:
Problema No. 09:
Si se invierte Q. 40,000.00 a una tasa del 10% semestral simple, ¿Cuanto se genera
por concepto de interés semestre a semestre?
Datos: I = P n iI =? I = 40,000.00 * 0.5 * 0.2P = 40,000.00 I = 4,000.00i = 10% * 2n = 6 meses
Problema No. 10:
Se depositan Q. 7,500.00 en un banco, 48 días después se retiraron capital e
intereses. Si la tasa ofrecida fue del 1.5% de interés simple. ¿Qué cantidad se retiro?
60
Datos: S = P ( 1 + n i )S =? S = 7,000.00 ( 1 + 48 / 360 * 0.015)P = 7,500.00 S = 7,500.00 ( 1 + 2.03)n = 48 días t / 360 S = 7,500.00 ( 1.002) i = 0.015 S = 7,515.00
Problema No. 11:
Por una inversión a 18 meses se recibieron Q. 600,000.00 con un rendimiento del 14%
anual de interés simple exacto. ¿Cuál fue el capital invertido? ¿Cuánto fueron los
intereses generados durante los 18 meses?
¿Cuál fue el Capital invertido?
Datos: P = S P =? 1 + n i n = 18 meses P = 600,000.00i = 14% 1 + 18/12 * 0.14S = 600,000.00 P = 600,000.00
1 + 0.21P = 600,000.00 1.21P = 495, 867.77
¿Cuánto fueron los intereses generados durante los 18 meses?
I = P n i I = 495,867.00 * 18/12 * 0.014I = 495,867.77 * 0.021I = 104,132.23
Problema No. 12:
61
El día 19 de julio se concedió un prestamos por Q. 7,000.00 al 3.5% trimestral y se
recibió al vencimiento del plazo Q. 7,451.89. ¿Por cuánto días fue concedido el
préstamo y en qué fecha venció?
Datos: n = S / P - 1 n =? i P = 7,000.00 n = 7, 451.89 / 7,000.00 - 1i = 3.5 * 4 = 14% 0.14S = 7, 451.89 n = 1.06455571 - 1
0.14n = 0.06455571 0.14n = 0.46111224 * 360n = 166 díasP = 495, 867.77
Problema No. 13:
Un titulo de crédito fue negociado 3 meses antes de su vencimiento, con qué valor
nominal Q. 1,750.00, y vendido en Q. 1,450.00 ¿Que tasa de descuento se considero
en la transacción?
Datos: Dr. = S - PI
Dr. =? Dr. = 1,750.00 - 1,540.00n = 3/12 Dr. = 210.00P I= 1,540.00S = 1,750.00i = ¿ i = 210.00
1,540.00 * 3/12i = 210.00 385i = 0.545454545 * 100i = 54.54 %
Problema No. 14:
62
Cuantos días antes de su vencimiento, se negocio un pagare en Q. 784.00 si su valor
nominal es de Q. 850.00 aplicándole una tasa de descuento racional del 22% anual.
Datos: Dr. = S - PIDr. =? Dr. = 850.00- 784.00n =? Dr. = 66.00P = 784.00i = 22% n = 66.00S = 850.00 784.00* 0.22
n = 66.00 172.48n = 0.38265306 * 360n = 138 días
PROBLEMA No. 15.
El día 31 de julio se factura al crédito mobiliario y equipo por valor de
Q.35,000.00 con las siguientes condiciones de pago: 14%/contado, 12/30, 9/60
y neto/90. Se pregunta. a) ¿Cuál es la mejor opción desde el punto de vista
financiero? b) ¿Cuánto debe pagar si cancela el 31 de Agost
S I P
plazo V. factura % Desc. Valor desc. V. a pagar i = I / Pn i
0 Q35,000.00 14% Q4,900.00 Q30,100.00 i = 4,900 / (30,100*90/360) 65.12%30 Q35,000.00 12% Q4,200.00 Q30,800.00 i = 4,200 / (30,800*60/360) 81.82%60 Q35,000.00 9% Q3,150.00 Q31,850.00 i = 3,150 / (31,850*30/360) 118.68%90 Q35,000.00 0% Q0.00 Q35,000.00 ----- 0.00%
a) La mejor opción desde el punto de vista financiero es pagar a 60 días plazo, ya que se recibe un descuento del 118.68%
b) Al 31 de agosto han pasado 31 días desde el día de la compra, por lo que debe cancelar Q.31,850.00
PROBLEMA No. 16
Se recibió un pagaré emitido hace 35 días con valor nominal de Q.50,000.00, el
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cual vence dentro de 65 días y devenga el 8.25% semestral de interés simple
ordinario. El documento será descontado en un Banco del sistema, cuando
falten 35 días para su vencimiento, reconociendo en la operación el 15.75%
anual de descuento bancario. ¿Qué cantidad se recibirá del banco al momento
de descontar el pagaré?
Datos para monto de Pagaré: Datos para descuento: VL = S (1-nd)
P = 50,000 S = P (1 + ni) S = 52,291.67VL = 52291.67(1- 0.972222*0.1575)
io =0.0825 * 2 =0.165 S = 50,000(1 +2.7777*0.165) n = 35/365 =0.972222 VL = 44,284.51n = 100/360 = 0.277777 S = 52,291.67 d = 0.1575S =? VL =?
CASOS PRACTICOS
INTERES COMPUESTO
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Problema No. 01
Una deuda contraída a 10 años, será liquidada con un pago de Q.80,000.00
si la tasa cobrada fue del 20% anual capitalizable en forma trimestral, ¿De
cuánto fue el préstamo?
Problema No. 02
Se desea tener reunidos Q150,000.00 para comprar un terreno dentro de 5
años. Si la tasa de interés a la que se puede invertir el dinero es de 10% anual
capitalizable mensualmente, ¿Qué cantidad debe ser depositada el día de hoy
para reunir en el plazo estipulado los Q150,000.00?
Problema No. 03
Por una inversión de Q32,765.00 a una tasa del 15.6% anual de interés
capitalizable en forma mensual se logro acumular Q36,331.70 por concepto de
capital e intereses, se desea establecer ¿Por cuánto tiempo fue la inversión?
Problema No. 04
Establecer la tasa de interés capitalizable mensualmente, que fue pagada por
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un capital de Q5,000.00 y que permaneció invertido durante 15 años. Al final de
los cuales se retiró Q23,280.00.
Problema No. 05
Una persona de 25 ¼ de edad realiza un deposito por la cantidad de Q1,000.00
el día de hoy, en una institución que le acreditará el 11% anual de interés
capitalizable 3 veces en el año, desea establecer de que valor podrá disponer
cuando cumpla 50 años de edad. Si existe fracción de periodo de capitalización
utilizar, el tipo de interés aplicable para cada periodo. (I. compuesto e I. simple)
Problema No. 06
Se sabe que al finalizar los siguientes 10 años 8 meses puede disponerse de
Q125,000.00. Establecer el valor del depósito si el mismo se realizó hace 5
meses en una institución que acreditará el 13% anual de interés capitalizable
en forma bimestral. Utilizar interés compuesto para períodos completos de
capitalización e interés simple para la fracción, si existiese.
Problema No. 07
Hace 4.5 años se depositaron Q5,000.00 las tasas que ofrecieron cada 1.5
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años fue del 20% capitalización trimestral, 25% capitalización semestral y 21%
con capitalización cada 4 meses respectivamente. Establecer el valor que retiró
el día de hoy que canceló su cuenta.
Problema No. 08
Un inversionista necesita saber cual es el valor que tendría que depositar el día
de hoy para lograr disponer al cabo de 20 años de Q100,000.00. Si sabe que la
institución donde realizará el depósito le pagará durante los primeros 4 años el
9% anual de interés capitalizable mensualmente, durante los siguientes 8 años
acreditará el 12% anual con capitalizaciones cada 3 meses y durante el resto
del tiempo aumentará en 2 puntos porcentuales con respecto a la última tasa, y
será capitalizable cada 12 meses. Le solicita indicar ¿De que valor podrá
disponer al final del plazo establecido?
Problema No. 09
Establecer el valor proyectado que dentro de 6 años tendrá un bien cuyo precio
actualmente es de Q13,500.00 si se espera que la tasa de inflación aumente
cada 2 años en un 25% con respecto al año anterior. La tasa actual de inflación
es del 8% anual.
Problema No. 10
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Hace 2 años se realizó un depósito por valor de Q3,000.00, determinar el
interés que generará sabiendo que la institución donde se realizó el depósito
acreditará en los primeros 5 años el 12% anual de interés capitalizable en
forma mensual y por el resto del tiempo acreditará el 14% anual de interés
capitalizable con intervalos de tiempo de 2 meses. ¿Cuál será el interés
generado al cabo de los siguientes 10.5 años?
Problema No. 11
Encontrar la tasa nominal capitalizable semestralmente, equivalente a una tasa
del 28% anual.
CONCLUSIONES
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• La aplicación del interés simple e interés compuesto es de uso diario en
las finanzas Guatemaltecas, por ello es necesario que el Contador
Público y Auditor domine estos temas que rodean el sector empresarial
donde el presta sus servicios.
• Los intereses simple y compuesto abarcan una gran variedad de
documentos dentro de la economía, que, su desconocimiento así como
su poca práctica limitaría al estudiante de la facultad de ciencias
económicas en el desenvolvimiento correcto de la licenciatura.
• El interés compuesto puede conjugarse con el interés simple para
resolver situaciones de intereses, y con ello dar resultados más reales
de los intereses calculados, la no aplicación de los dos intereses al
mismo tiempo, daría como resultado cálculos no exactos, afectando a
cualquiera de las dos partes dentro de una operación.
RECOMENDACIONES
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• Se recomienda a los estudiantes el estudio de las diferentes aplicaciones
de interés simple y compuesto, para poder interpretar con propiedad y
de manera concreta los problemas con las diferentes incógnitas que
presenta este tipo de planteamientos de las matemáticas financiera.
• Se recomienda al estudiante, practicar de forma constante las diferentes
formulas y problemas con los que se podría encontrar en el transcurso
de sus estudios de licenciatura, y más al momento de desempeñar la
licenciatura.
• Al momento de calcular los intereses de documentos comerciales, es
aconsejable leer detenidamente los datos que del documento se puedan
extraer, con esos datos, se podrán establecer los procedimientos
correctos a utilizar y los cálculos sean exactos.
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
• Curso Matemática III, Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de
San Carlos de Guatemala, Material de Apoyo “Interés Simple”,
Guatemala 2009.
• Curso Matemática III, Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de
70
San Carlos de Guatemala, Material de Apoyo “Interés Compuesto”,
Guatemala 2009.
• Leland T. Blank; Anthony J. Tarquin, Ingeniería Económica, Cuarta
Edición, 1999.
• www.finanzasybanca.com,Guatemala veintitrés de julio de dos mil doce.
• http://matematicafinanciera2011.blogspot.com/2011/08/mf-y-su-relacion-
con-otras-areas.html
• Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Facultad de
Contaduría y Ciencias Administrativas, Tipos de Interés, Finanzas ¡
• Banegas Salinas, José Manuel. Matemática Financiera Oposiciones sin
soluciones, 2da Edición, Septiembre 2009, página 09
• Achin Guzmán, Cesar, Las Matemáticas Financieras para Toma de
Decisiones Empresariales.
• Sanabria, Ricardo Alfonso, Matemáticas Financieras I, Bogota Colombia,
2008, Facultad de Administración.
• Prontuario de Fórmulas de Matemáticas III y IV, Facultad de Ciencias
Económicas, Universidad de San Carlos de Guatemala, Junio 2008.
• Mateo Duval, Tulio A., Matemáticas Financieras, Interes Compuesto,
República Dominicana.
• Apuntes para la Asignatura de Matemáticas Financieras, Universidad
Nacional Autónoma de México, Facultad de Contaduría y
Administración, 1era. Edición, octubre 2005.
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