Trabajo de Analisis Dimensional

8/18/2019 Trabajo de Analisis Dimensional

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Desarrollo

1.Dimensiones y Unidades.

Dimensión es una medida de una cantidad física (sinvalores numéricos), mientras que una unidad es una manera

de asignar un número a dicha dimensión. Por ejemplo, lalongitud es una dimensión que se mide en unidades comomicrones (mm), pie (ft), centímetros (cm), etcétera. !istensiete dimensiones primarias (tam"ién llamadas dimensionesfundamentales o "#sicas)$ masa, longitud, tiempo,Maracaibo, diciembre de 2015

%n#lisisDimensiona

lMecánica de fuidos I

•


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temperatura, corriente eléctrica, cantidad de lu& ' cantidad demateria.

as dimensiones de la mec#nica son$ fuer&as, masa, longitud

' tiempo estas se relacionan mediante la segunda le' demovimiento de *e+ton.

-ma

Para todos los sistemas físicos, pro"a"lemente sería necesariointroducir otras dos dimensiones, una relacionada con elelectromagnetismo ' la otra con efectos térmicos. n formadimensional, la segunda le' de movimiento de *e+ton es

F = MLT

2

a cual demuestra que únicamente tres dimensiones sonindependientes. es la dimensión de la fuer&a, la dimensiónde la masa, la dimensión de la longitud ' / la dimensión detiempo. 0n sistema común utili&ado en el an#lisis dimensionales el sistema / θ donde θ es la dimensión de latemperatura.

2.Lista de Dimensiones Primarias.

!isten 1 tipos de dimensiones primarias, tam"iéndenominadas dimensiones fundamentales o "#sicas$

• asa.• ongitud.• /iempo.• /emperatura.• 2orriente eléctrica.• 2antidad de u&.• 2antidad de materia.


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/odas las dimensiones no primarias se pueden formar porciertas com"inaciones de las 1 dimensiones primarias, comopor ejemplo$

Dimensión de Fuerza: F = MxA

F = Masax longitud

Tiempo2=

mL

t 2

Dimensiones Primarias ' sus 0nidades en el 3istema4nternacional ' en el 3istema 4nglés$

Dimensión Símbolo S. Internacional S. Ingles

Masa M Kg Lb.m

Longitud L M FtTiempo T S S

Temperatura T °K °R

C. Eléctrica I A A

C. de Luz C Cd Cd

C. de Materia N Mol Mol

3.Propiedades de los Fluidos Estudiados enClase con sus Dimensiones.n la siguiente ta"la podemos denotar las propiedades de

los 5uidos que hemos estudiado hasta la fecha con sus

respectivas dimensiones$

Propiedad del luido Dimensión

Densidad Masa/VolumenPeso s!e"i#i"o Fue$%a/Longitud&

Densidad Relati'a o ($a'edad s!e"i#i"a Adimensional

Volumen s!e"i#i"o Longitud&/Masa


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Tensi)n Su!e$#i"ial Fue$%a/Longitud

Ca!ila$idad Longitud

Vis"osidad Absoluta Fue$%a * Tiem!o/ Longitud+

Vis"osidad Cinem,ti"a Longitud+/Tiem!o

P$esi)n Fue$%a/Longitud+

Nume$o de Re-nolds AdimensionalCaudal Longitud&/Tiem!o

Fluo M,si"o Masa/Tiem!o

Velo"idad Longitud/Tiem!o

ne$ga Longitud

Poten"ia 0atts o 1P

Fa"to$ de F$i""i)n Adimensional

Rugosidad Longitud

!. Homoeneidad Dimensional.

l principio de homogeneidad dimensional es un principio querelaciona magnitudes físicas de manera alge"raica. s decir,que nos dice que sólo es posi"le sumar o restar entre sí magnitudes físicas de la misma naturale&a. De este modo lae' enuncia lo siguiente$ 6/odo término aditivo en unaecuación de"e tener las mismas dimensiones7

Dicho de otra manera, cualquier ecuación deducida

analíticamente ' que represente un fenómeno físico, de"esatisfacerse en cualquier sistema de unidades. 2omo porejemplo$

n la ecuación de 8ernoulli tenemos que es igual a P

σ +

V 2

2g+ z= H

Podemos decir que P

σ =

Fuerza

Area

Densidad x Aceleracion

=

masa x Longitud

Tiempo2

L2

Masa

Volumen x

Longitud

Tiempo2


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lo que es igual

mx L

t 2

L2

m

L3 x

L

t 2

/enemos que

V 2

2 g=

longitud

tiempo2

longitud

tiempo2

x 2

= l

t 2

2 x l

t 2

= L

Por ultimo sa"emos que Z = Longitud= L

/odo esto representa las dimensiones primarias de nergía (12.

!.Utilización de "rupos #dimensionales.

os 9rupos %dimensionales son un conjunto de númeroscon unas propiedades especí:cas los cuales carecen de

dimensiones. %l agrupar las cantidades importantes enpar#metros adimensionales, es posi"le reducir el número devaria"les en una ecuación ' hacer que este resultadocompacto (ecuaciones o gr#:cas de datos) sea aplica"le aotras situaciones similares. Podemos nom"rar los siguientes$

$umero de %eynolds.

l número de ;e'nolds es la relación entre las fuer&asinerciales ' las fuer&as viscosas, se utili&a para relacionar la

densidad, viscosidad, velocidad ' dimensión típica de un 5ujoen una e!presión adimensional, que interviene en numerosospro"lemas de din#mica de 5uidos. Dicho número ocom"inación adimensional aparece en muchos casosrelacionado con el hecho de que el 5ujo pueda considerarselaminar (número de ;e'nolds peque


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generalmente es m#s importante que el número de ;e'nolds.Para un 5uido que circula por el interior de una tu"ería circularrecta, el número de ;e'nolds viene dado por$

= equivalentemente por$

Dónde$

P$ densidad del 5uido.&s$ velocidad característica del 5uido.D$ di#metro de la tu"ería a través de la cual circula el 5uido olongitud característica del sistema.V $ viscosidad cinem#tica del 5uido (m>?s).

2omo todo número adimensional es un cociente, unacomparación. n este caso es la relación entre los términosconvectivos ' los términos viscosos de las ecuaciones de*avier@3toAes que go"iernan el movimiento de los 5uidos. Por

ejemplo$ n el an#lisis del movimiento de 5uidos en el interiorde conductos proporciona una indicación de la pérdida decarga causada por efectos viscosos.

$'mero de Froude.

s una relación de las fuer&as din#micas (o inerciales) con

respecto a las fuer&as gravitacionales, con un 5ujo a super:cielíquida li"re. a naturale&a del 5ujo depende de si el númerode roude es ma'or o menor que la unidad. ste número esútil en c#lculos de resalto hidr#ulico, en el dise


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g - aceleración gravitacionalt - sfuer&o cortante de desli&amiento% - %rea tangencial viscosa - ongitudv - Belocidadr - Densidad del 5uidof - Di#metro

$'mero de (e)er.

s la relación de las fuer&as inerciales con respecto a lasfuer&as de tensión super:cial. Cste es importante eninterfaces gas@líquido o líquido@líquido ' tam"ién donde estasinterfaces se encuentran en contacto con una frontera. atensión super:cial causa peque


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correlacionante m#s importante cuando las velocidades est#ncerca o por encima de las velocidades locales de sonido.

' - ódulo de compresi"ilidad

$'mero de Euler ,$Eu-.

3e deriva de la confrontación de la fuer&a de inercia (o demovimiento del 5uido) contra el efecto de una diferencia defuer&a de presión (DP) que incide normal so"re una supercie oarea (%) del 5uido.

Dp- diferencia de presiónA - ?E, valor e!perimental% - %rea normalr - Densidad del 5uido - ongitud

/- /iempov - Belocidad


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./imilitud. *odelo y Prototipo.

l estudio comparativo entre modelo ' prototipo hamostrado con evidencias que e!iste una estrecha relacióncon:a"le en sus comportamientos como lo atestigua el

correcto funcionamiento de muchas estructuras dise


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sta e!presión de igualdad es la que hace que lafuncionalidad del prototipo sea semejante a la del modelo.

Por lo tanto, para que esta semejan&a de funcionalidad selogre es necesario que e!istan semejan&as, entre el modelo 'su prototipo, tanto de tipo geométrica como cinem#tica,térmica, din#mica ' 5uídica.

/enemos que el odelo es el de la scala 9eométrica, ' suPrototipo es el /ama


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/imilitud Cinemtica$ a relación de velocidades entrepuntos homólogos, de"e ser constante, ', las tra'ectoriasde"en ser geométricamente homólogas.

/imilitud dinmica$ a relación de fuer&as entre puntoshomólogos de"e ser constante.

De"e cumplirse$

Fim

Fip =

Fext Ʃ m

Fextp Ʃ

Dónde$Fim$ uer&a de inercia del modelo.

as fuer&as e!ternas pueden de"erse, entre otras.

Presión (P) 9ravedad (g)Biscosidad (G) Densidad (H)


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Belocidad (B) /ensión 3uperficial (I)ódulo De lasticidad Bolúmenes (J)

ntonces, se tiene$

Fim

Fip =

Ʃ ( Fp+ Fµ+ Fg+ Fr+ Fk )m Ʃ ( Fp+ Fµ+ Fg+ Fr+ Fk ) p

=

3i se cumple$

Fµm

Fµp =

Fpm

Fpp =

Fgm

Fgp =

Fr m

Frp =

Fkm

Fkp = =

Fim

Fip ntonces ha' similitud

din#mica.

%nalicemos la 3iguiente igualdad$ Deducir el *K De ;e'nolds. Fim

Fip =

Fµm

FµP

Fi= p l 22V 2

Fµ=!A=µx( d"d# ) xA=µx(V L )∗ L2=µVL Fi

Fµ

= p L

2

V 2

µVL

= PVL

µ

=$ n% de &e#nolds

;m - ;p (%dimensional)

jemplos$

• Para la creación de carros en especial los que sondestinados para competencias como la formula . Pasanpor procesos de dise


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esta"ili&ación de estructuras en caso de sismos, se recreaprimero a peque


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esperado de grupos ' (A) es igual a n menos j, deacuerdo con el teorema pi de 8ucAingham (A-n @ j).

3i en este paso o durante un paso su"secuente, elan#lisis no funciona, veri:que que ha'a incluido

su:cientes par#metros en el paso . De otro modoregrese ' redu&ca j por uno e intente de nuevo.

Paso 8: lija los j par#metros repetitivos que usara paraconstruís cada ' . Dado que los par#metros repetitivostienen el potencial para aparecer en cada ' , cercióresede elegirlos atinadamente.

Paso !: 9enere las ' una a la ve& mediante elagrupamiento de los j par#metros repetitivos con uno de

los par#metros restantes, ' fuerce el producto a seradimensional. De esta manera, constru'a todas las A ' .Por costum"re la primera ' ( designada ' , es la ' dependiente. 0tilice las ' como sea necesario paralograr esta"lecer grupos adimensionales

Paso : Beri:que que todas las ' de hecho seanadimensionales. scri"a la relación funcional :nal en laforma de la ecuación.

Lineamientos !a$a elegi$ !a $,met$os $e!etiti'os en el !aso 3 del m4todo de

$e!eti"i)n de 'a$iables.

Lineamiento Comentarios y aplicación aeste pro)lema

. *unca tome la varia"ledependiente.

De otro modo, podría aparecer entodas las N, lo que es indesea"le.

n este pro"lema no se puedeelegir &, sino que se de"e elegir

de entre los restantes cuatropar#metros. Por lo tanto, de"eelegir dos de los siguientespar#metros$ t, +O, &O ' g.

E. os par#metros repetitivoselegidos no de"en sersuscepti"les de formar ellosmismos un grupo adimensional.

n este pro"lema, cualquiera delos par#metros independientessería v#lido de acuerdo con estelineamiento. 3in em"argo, para


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De otro modo, sería imposi"legenerar el resto de las N.

propósitos ilustrativos, supongaque se tomaron tres en lugar dedos par#metros repetitivos. *opodría,por ejemplo, elegir t, +O ' &O,

porque pueden formar una N porsu cuenta(t+O?&O).

F. os par#metros repetitivoselegidos de"en representar todaslas dimensiones primarias en elpro"lema.

3uponga, por ejemplo, quee!istieran tres dimensionesprimarias (m, ' t) ' se tuvieranque elegir dos par#metrosrepetitivos. *o podría elegir, pordecir, una longitud ' un tiempo,porque la dimensión primariamasa no estaría representada en

las dimensiones de los par#metrosrepetitivos. 0na elecciónapropiada sería una densidad ' untiempo, que en conjuntorepresentan las tres dimensionesprimarias en el pro"lema.

. *unca escoja par#metros que'a sean adimensionales. Cstos 'ason N, por su cuenta.

3uponga que un #ngulo Q fueseuno de los par#metrosindependientes. *o se podríaelegir Q como un par#metrorepetitivo pues los #ngulos notienen dimensiones (radi#n 'grado son unidadesadimensionales). n tal caso, unade

las N 'a se conoce, a sa"er, Q.R. *unca escoja dos par#metroscon las mismas dimensiones o condimensiones que di:eran sólo por

un e!ponente.

n este pro"lema, dos de lospar#metros, & ' &O, tienen lasmismas dimensiones (longitud).

*o se pueden elegir am"ospar#metros. (*ote que la varia"ledependiente & 'a se ha eliminadopor el lineamiento ). 3upongaque un par#metro tienedimensiones de longitud ' otro ptiene dimensiones de volumen. n


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el an#lisis dimensional, elvolumen sólo contiene unadimensión primaria (longitud) ' noes dimensionalmente distinto dela longitud$ no se pueden elegiram"os de estos par#metros.

S. 3iempre que sea posi"le, elijaconstantes dimensionales so"relas varia"les dimensionales, demodo que sólo una N contenga lavaria"le dimensional.

3i se elige el tiempo t como unpar#metro repetitivo en elpro"lema presente, aparecería enlas tres N. %unque esto no seríaerróneo, no sería inteligenteporque se sa"e que, :nalmente,se quiere cierta alturaadimensional como una funciónde algún tiempo adimensional 'otro(s) par#metro(s)adimensional(es). % partir de loscuatro par#metrosindependientes, esto restringe a+O, &O ' g.

1. scoja par#metros comunesporque ellos aparecen en cadauna de las N.

n pro"lemas de 5ujo de 5uidopor lo general se elige unalongitud, una velocidad ' unamasa o densidad. *o esaconseja"le escoger lospar#metros menos comunes comola viscosidad G o la tensiónsuper:cial ss, porque en generalno se querría que G o Isaparecieran en cada una de las N.n este pro"lema, +O ' &O sonelecciones m#s inteligentes que g.

T. scoja par#metros simplesso"re los par#metros complejossiempre que sea posi"le.

s mejor escoger par#metros consólo una o dos dimensiones"#sicas (por ejemplo, unalongitud, un tiempo, una masa ouna velocidad) en lugar depar#metros que estén formados


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por varias dimensiones "#sicas(por ejemplo, una energía o unapresión).

U;2424=3 % ;3=B; D %*V4343 D4*34=*% %P42%*D= /=;% P4 D 802J4*9M%.

. 3e supone que la velocidad de un cuerpo (B) de masa (m) que caeli"remente a través de una distancia (h) depende de m ' h, de laconstante gravitacional (g) ' de la velocidad inicial (BO).Demuestre que la relación entre B ' estas cantidades puede ser dela forma$

V =√ g)(' )( V 0√ g))

E. Demuestre que el caudal W, que pasa por un ori:cio depende de ladensidad ' la viscosidad a"soluta del 5uido, del di#metro delori:cio ' de la diferencia de presión al pasar por el ori:cio.


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Re#e$en"ias 5ibliog$,#i"as

• Cengel 6. 7 Cimbala 8. 9+::;2. Me",ni"a de Fluidos. Fundamentos -

A!li"a"i)n 9?1ill Com!anies= In".

• A!untes de "lase de Me",ni"a de Fluidos I. Diana Cega$$a. Pe$iodo +:

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