Total Probability and Bayes Theorem in Decision Theory
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Probabilidad Total y Teorema de Bayes en la Toma de Decisiones. G. Edgar Mata Ortiz
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Total Probability and Bayes Theorem in Decision Theory
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Probabilidad Total y Teorema de Bayes en la Toma de Decisiones.
G. Edgar Mata Ortiz
-
You can use all the quantitative data you
can get, but you still have to distrust it and
use your own intelligence and judgment.
Alvin Tofler
Puedes emplear todos los datos cuantitativos que puedas conseguir, pero an as
debes desconfiar de ellos y aplicar tu inteligencia y buen juicio.
-
Conocimientos previos
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Evento
Probabilidad de un evento
Asignacin de probabilidades
Probabilidad condicional
Para la mejor comprensin de este material
es necesario revisar los siguientes
conceptos.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
El artculo que contiene dicho teorema
fue publicado despus de la muerte de
Bayes y, probablemente, no imagin el
impacto tan grande que tendra en el
desarrollo de la teora de probabilidades.
Estos conceptos son fundamentales en la toma de
decisiones, especialmente el Teorema de Bayes
porque permite determinar la probabilidad de las
causas a partir de los efectos observados.
http://www.amazon.com/Theory-That-Would-Not-Die/dp/0300169698/?tag=viglink20784-20
-
Probabilidad Total
Si se conocen las probabilidad condicionales P(S|Ei) de un suceso S, entonces la probabilidad de
ocurrencia del suceso S, conocida como probabilidad
total, se determina con la siguiente expresin:
Cuando se sabe que el espacio muestral est
formado por un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
= + + ,+
-
Teorema de Bayes
Si se conocen las probabilidad de los eventos Ei y las probabilidades condicionales P(S|Ei), entonces se puede
determinar la probabilidad condicional de que haya ocurrido
uno de los eventos Ei dado que ocurri el suceso S mediante
la frmula:
Cuando se sabe que el espacio
muestral est formado por un
conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
| = |
+ + ,+
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo (continuacin):
Por datos histricos sabemos que la mquina 1
tiene una probabilidad de piezas defectuosas
del 2.4%; la mquina 2, del 1.5%; y la mquina 3,
del 0.5%.
.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo:
(Continuacin)
1. Cul es la
probabilidad
de que una
pieza resulte
defectuosa?
.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Continuacin)
1. Si una pieza est
defectuosa, cul es
la probabilidad de
que haya sido
manufacturada en la
mquina 1?
y en la mquina 2?
y en la 3?
.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
1. Cul es la probabilidad de
que una pieza resulte
defectuosa?
Esta pregunta corresponde
a probabilidad total y se
resuelve fcilmente
mediante un diagrama de
rbol.
.
= ?
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
Evento aleatorio M:
El producto puede
ser manufacturado
en cualquiera de las
tres mquinas:
M1, M2 M3.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
La produccin de
piezas defectuosas en
cada mquina, tambn
es un evento aleatorio.
En cada mquina se
pueden presentar dos
resultados posibles:
D = Pieza defectuosa
ND = Pieza no defectuosa
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
Anotamos las
probabilidades en las
lneas que unen los
nodos aleatorios:
La probabilidad de
que una pieza sea
manufacturada en la
mquina1 es del 55%;
en la mquina 2, del
28%, y en la mquina
3, del 17%.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
Anotamos las
probabilidades de
defectos en cada
mquina:
La probabilidad de que
una pieza que se
manufactura en la
mquina1 resulte
defectuosa es del 2.4%;
en la mquina 2 y
defectuosa, del 1.5%; y
en la mquina 3,
defectuosa, del 0.5%.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
El porcentaje puede
interpretarse como
una divisin entre
100.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
El porcentaje puede
interpretarse como
una divisin entre
100.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solucin)
= + +
= . + . + .
= .
.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
2. Si una pieza est defectuosa,
cul es la probabilidad de que haya
sido manufacturada en la mquina 1?
y en la mquina 2?
y en la 3?
Esta pregunta corresponde al
Teorema de Bayes.
: .
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solucin)
.
| =
+ +
| = |
+ + ,+
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solucin)
| = |
+ + ,+
| =. .
. . + . . + . . =
.
.
| =?
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes Ejemplo: (Solucin)
| = |
+ + ,+
| =. .
. . + . . + . . =
.
.
| = .
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo (continuacin):
Debido a una reduccin de
la demanda, la produccin
debe reducirse de la
capacidad mxima de
12,600 piezas a solamente
7,800.
Cmo debe distribuirse la
produccin? Argumenta tu
respuesta.
.
-
Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
La disminucin de la producin debe hacerse de modo
que se utilice a plena capacidad la mquina 3, que
presenta un menor porcentaje de defectos.
Para determinar su capacidad de produccin debemos
recordar que 12,600 piezas es la capacidad total de las tres
mquinas, y de ellas, la mquina 3 produce el 17%.
El 17% de 12,600 es: . = ,
: .
-
Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
Posteriormente la mquina 2 debe emplearse a su mxima
capacidad o tanto como sea necesario para satisfacer la
demanda.
Para determinar su capacidad de produccin aplicamos la
misma estrategia que con la mquina 3: 12,600 piezas es
la capacidad total de las tres mquinas, y de ellas, la
mquina 2 produce el 28%.
El 28% de 12,600 es: . = ,
: .
-
Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
Finalmente la mquina 1, que es la que produce un mayor
porcentaje de defectos, se emplear solamente en caso
necesario para satisfacer el resto de la demanda.
La mquina 3 producir: 2,142 piezas
La mquina 2 producir: 3,528 piezas
Entre las dos mquinas producirn: 5,670 piezas
La mquina 1 producir la cantidad faltante para satisfcer
la demanda: 7,800 5,670 = 2,130
: .
-
Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
Debemos determinar los porcentajes de produccin de
cada mquina para modificar el diagrama de rbol.
Mquina 3: 2,142
Mquina 2: 3,528
Mquina 1: 2,130
Total: 7,800
: .
Para determinar el
porcentaje de cada
mquina dividimos la
cantidad de piezas
producidas por cada
mquina, entre la
produccin total.
-
Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
Debemos determinar los porcentajes de produccin de
cada mquina para modificar el diagrama de rbol.
Mquina 3: 2,142 , , = . %Mquina 2: 3,528 , , = . %Mquina 1: 2,130 , , = . %Total: 7,800
: .
Estos porcentajes se
emplearn para modificar
el diagrama de rbol.
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
.
M
M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
45.2%
=. . = .
=. . = .
=. . = .
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
M
M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
45.2%
=. . = .
=. . = .
=. . = .
= .
-
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Ejemplo: (Solucin)
M
M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
45.2%
= .
| =.
. = .
| =.
. = .
| =.
. = .
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Gracias por su atencin
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