Fundamentos de ElectromagnetismoIniciacin al Clculo Numrico en o a e Electromagnetismo21

1

0.5 0.04 0.02

2

1

1

2 -1

-0.5

0.5

1 -1

0 y -0.02 -0.04 0.04 0.02 1 0 x -0.02 -0.04

1

-0.5

0 z

230

-1 y 2 25

1 0.520 -4 -3 -2 -1

x 1 -2 15 2

100 0.5 1

200

300

400

50010 -4 -6

5

-8 5 10 15 20 25 30

Figura 1:

Bernardo Garc Olmedo a

1

(29 de septiembre de 2005)

1

Dpto. de Electromagnetismo y F sica de la Materia -Universidad de Granada

Indice generalI Campo electromagntico en el vac e o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 5 5 6 9 12 16 19 20 21 22 23 23 24 25 27 37 37 37 37 39 40 41 44 45 46 46 47 48 50 51

1. Campo elctrico y campo magntico e e 1.1. Descripcin de las magnitudes electromagnticas . . . . . . . . . . o e 1.1.1. Espacio de los campos y las fuentes . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Fuentes de un campo vectorial. Teorema de Helmholtz . . . . . . . 1.3. Clasicacin de los campos segn sus fuentes . . . . . . . . . . . . o u 1.3.1. Descripcin microscpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.3.2. Descripcin macroscpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.4. Conservacin de la carga; ecuacin de continuidad . . . . . . . . . o o 1.4.1. Corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ley de fuerzas de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Trabajo sobre una carga en movimiento . . . . . . . . . . . 1.6. El campo electromagntico en el marco de la relatividad de Galileo e 1.6.1. Relatividad de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1.1. Vectores y escalares. Invariantes galileanos . . . . 1.6.1.2. Leyes de transformacin de los campos . . . . . . o 1.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2. Campos estticos 2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Campo electrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Fuentes del campo electrosttico . . . . . . . . . . a 2.2.3. Potencial electrosttico . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.4. Energ potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.5. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . 2.2.6. Estructuras simples del campo elctrico . . . . . . e 2.3. Campo magntico producido por corrientes estacionarias. e corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Fuentes del campo magntico. Potencial vector . . e 2.3.4. Estructuras simples del campo magntico . . . . . e 2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerza sobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii 3. Fuentes del campo dinmico: Leyes de Maxwell a 3.1. Ley de induccin de Faraday . . . . . . . . . . . . . o 3.1.1. Ley de Faraday para caminos en movimiento 3.2. Corriente de desplazamiento en el vac . . . . . . . o 3.3. Potenciales del campo electromagntico . . . . . . . e 3.4. Ecuaciones de Maxwell en el vac . . . . . . . . . . o 3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 106 109 110 112 113 121 121 125 127 129 133 134 136 142 151 152 153

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4. Consecuencias de las Ecuaciones de Maxwell 4.1. Energ electromagntica. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . a e 4.1.1. Energ de sistemas de carga y corriente estacionaria . . . . . . . a 4.2. Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales . . . . . . . . . . 4.2.1. Propagacin de ondas electromagnticas planas en el vac . . . o e o 4.2.1.1. Ondas planas monocromticas . . . . . . . . . . . . . . a 4.3. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Relacin de las ondas electromagnticas con sus fuentes. Emisin de rao e o diacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.6. Resolucin de las ecuaciones de Maxwell unidimensionales mediante el mtodo FDTD: F DT D 1D vacio.nb . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.6.1. La ecuacin de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.6.2. Solucin numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e

II

Multipolos

163167 167 170 171 173 174 175 177 179 180 181 184 185 190

a 5. Campos Multipolares estticos 5.1. Expansin multipolar de una distribucin esttica de carga . . . . . . . o o a 5.1.1. Expansin multipolar de la energ de interaccin de un sistema o a o de carga con un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Multipolos puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. El dipolo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.3.1. Energ par y fuerza de un dipolo . . . . . . . . . . . . a, 5.1.4. Densidades dipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Desarrollo multipolar de una distribucin de corriente estacionaria . . . o 5.2.1. La espira plana como dipolo magntico . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.2. El dipolo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.2.1. Potencial magntico escalar . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.2.2. Relacin entre el momento magntico y el momento ano e gular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.3. Fuerza, par y energ potencial sobre un dipolo a magntico en campo externo . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 6. Movimiento de part culas en un campo electromagntico e 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.2. Movimiento de una carga en campos uniformes . . . . . . . . . 6.2.1. Campo elctrico constante . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.2.2. Campo elctrico lentamente variable . . . . . . . . . . . e 6.2.3. Campo magntico constante. Movimiento ciclotrnico . e o 6.2.4. Campo magntico lentamente variable . . . . . . . . . . e 6.2.5. Campo elctrico y magntico . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2.5.1. E y B perpendiculares. Deriva ambipolar . . . 6.2.5.2. E y B paralelos. Enfoque magntico . . . . . . e 6.3. Movimientos de cargas en campos no homogneos . . . . . . . . e 6.3.1. Optica electrnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.3.2. Difusin (scattering) de part o culas en fuerzas centrales . 6.3.3. Botellas magnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.4. Precesin de un dipolo en un campo magntico . . . . . . . . . o e 6.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Ejemplos con Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Compresin de rbitas. movimiento cargas EpB.nb o o 6.6.2. Enfoque electromagntico. enf oque EpB.nb . . . . . . . e 6.6.3. Connamiento magntico. botella magnetica.nb . . . e 6.6.3.1. Campo de una espira . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3.2. Campo de dos espiras situadas en z = d/2 . 6.6.3.3. Botella magntica . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.6.3.4. Connamiento magntico . . . . . . . . . . . . e 6.6.4. Lente electrosttica. lente electrostatica.nb . . . . . . a 6.6.5. Orbitas de dos cargas. orbitas cargas.nb . . . . . . . . 201 201 202 202 202 203 206 207 207 208 209 209 211 215 217 219 220 220 222 225 226 227 227 229 236 241

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III

Campo electromagntico en los medios materiales e

247

253 7. Medios polarizables 7.1. Mecanismos de polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 o 7.1.1. Polarizacin dielctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 o e 7.1.2. Mecanismos de magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 o 7.2. Cargas y corrientes de polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 o 7.2.1. Cargas de polarizacin elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 o e 7.2.2. Corrientes de polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 o 7.2.3. Corrientes de polarizacin magntica . . . . . . . . . . . . . . . . 259 o e 7.2.4. Potencial magntico escalar. Formalismo de polos magnticos . . 261 e e 7.3. Desplazamiento elctrico e intensidad magntica . . . . . . . . . . . . . 263 e e 7.3.1. Susceptibilidades, constante dielctrica y permeabilidad magntica 264 e e 7.4. Campos estticos en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 a 7.4.1. Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 a 7.4.2. Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 a 7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

iv 8. Conductores 8.1. Mecanismos de conduccin. Medios hmicos . . . . . o o 8.2. Relajacin en medios hmicos . . . . . . . . . . . . . o o 8.3. Conductores estticos . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8.4. Tubos de corriente estacionaria. Fuerza electromotriz 8.5. Resistencias y generadores de corriente continua . . 8.6. Asociacin de elementos. Leyes de Kirchho . . . . . o 8.7. Disipacin de energ Ley de Joule . . . . . . . . . . o a. 8.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 281 282 283 287 288 291 294 297 309 309 311 314 316 317 318 318 319 321 321 322 324 333 334 336 a-1 a-1 a-1 a-1 a-2 a-3 a-5 a-7 a-9 a-10 a-11 a-12 a-12 a-13 a-15

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9. Ecuaciones de Maxwell para medios materiales. Consecuencias 9.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1.1. Refraccin de las l o neas de campo y corriente . . . . . . 9.1.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2.1. Teorema de unicidad para campos irrotacionales . . . . 9.1.2.2. Teorema de unicidad para campos solenoidales . . . . . 9.1.2.3. Teorema de unicidad en el caso general . . . . . . . . . 9.2. Energ electromagntica en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . a e 9.2.1. Energ consumida en recorrer un ciclo de histresis . . . . . . . a e 9.2.2. Energ de un sistema de cargas y corrientes de conduccin estaa o cionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Ecuaciones de onda en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Ondas monocromticas y monocromticas planas . . . . . . . . . a a 9.3.1.1. Polarizacin de ondas electromagnticas . . . . . . . . . o e 9.3.1.2. Energ en ondas planas monocromticas. Vector de a a Poynting complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Resolucin de las ecuaciones de Poisson y Laplace o A.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.2. Solucin anal o tica de la ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . o A.2.1. Ejemplos del uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . A.2.2. Principio de superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.2.3. Expresin integral de la ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . o o A.2.4. Mtodo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e A.2.5. Mtodo de las imgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a A.2.5.1. Imgenes sobre un plano conductor; funcin de Green . a o A.2.5.2. Imgenes sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . a A.2.5.3. Imgenes sobre supercies cil a ndricas . . . . . . . . . . A.3. Resolucin anal o tica de la ecuacin de Laplace; mtodo de separacin de o e o variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.3.2. Solucin en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . o A.3.3. Solucin en coordenadas cil o ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . .

v A.3.4. Solucin en coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Solucin de la ecuacin de Laplace en dos dimensiones mediante el uso o o de transformaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solucin experimental y grca de las ecuaciones de Poisson y Laplace . o a A.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.5.2. Mtodos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Mtodos grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a-18 a-21 a-24 a-24 a-24 a-25 a-29 b-1 b-1 b-2 b-2 b-3 b-3 b-4 b-6 b-9 b-11 b-13 b-22 b-26 b-26 b-29 b-31 b-37 b-43 b-43 b-51 c-1 c-1 c-3 c-5 c-6 c-6 c-8

A.4. A.5.

A.6. A.7.

e B. Aplicaciones numricas B.1. Ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o B.1.1. Mtodos de residuos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.1.1. Mtodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.1.2. Mtodo de ajuste puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.1.3. Mtodo de m e nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . B.1.2. Metodo de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2.1. Aplicacin al clculo de la capacidad de un hilo conduco a tor delgado: metodo momentos.nb . . . . . . . . . . . . B.1.3. Mtodo de diferencias nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.3.1. Resolucin iterativa del sistema de ecuaciones . . . . . o B.1.3.2. Aplicacin al estudio del condensador plano: o metodo DF SOR condensador.nb . . . . . . . . . . . . B.1.4. Mtodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.4.1. Mtodo de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e B.1.4.2. Ejemplo 1: ejemplo Ritz.nb . . . . . . . . . . . . . . . B.1.4.3. Ejemplo 2: Mtodo de Ritz (elementos nitos) . . . . . e B.1.4.4. Mtodo de los elementos nitos (Ritz) . . . . . . . . . . e B.1.4.5. Ejemplo: ejemplo elem f initos 1D.nb . . . . . . . . . . B.2. Ecuacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o B.2.1. Propagacin de ondas en medios no homogeneos (1D).F DT D o 1D medios.nb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1.1. Programa: F DT D 1D medios.nb . . . . . . . . . . C. Campo magntico terrestre e C.1. Estructura bsica de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . a C.2. Morfolog del campo magntico supercial . . . . . . a e C.3. Campo fuera de la supercie . . . . . . . . . . . . . . C.4. Variaciones temporales del campo magntico terrestre e C.5. Principio de la dinamo autoinducida . . . . . . . . . . C.6. Campo magntico de otros objetos celestes . . . . . . e

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vi D. Sistemas de conductores y espiras D.1. Sistemas de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.1. Coecientes de potencial y de capacidad . . . . . . . . . . . . . . D.1.2. Teorema de reciprocidad de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.3. Propiedades fundamentales de los coecientes . . . . . . . . . . . D.1.4. Apantallamiento. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.5. Fuerzas y pares en sistemas de conductores . . . . . . . . . . . . D.2. Sistemas de espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.1. Coecientes de induccin de un sistema de tubos de corriente o o espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.2. Fuerza electromotriz inducida. Generadores y transformadores . D.2.3. Asociacin de inductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o D.2.4. Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras . . . . . . . . . . . D.2.5. Sistemas de espiras con ncleo magntico . . . . . . . . . . . . . u e D.2.5.1. El transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.6. Circuitos magnticos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e D.2.7. Circuitos magnticos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . e D.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a E. Corrientes cuasiestacionarias. Teor de Circuitos E.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o E.2. Conexin entre la teor de campos y la de Circuitos . . . . . . . . o a E.3. Elementos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.3.1. Elementos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.4. Leyes de Kirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.5. Respuesta a una excitacin armnica . . . . . . . . . . . . . . . . . o o E.5.1. Representacin fasorial; impedancias y admitancias . . . . . o E.5.2. Asociacin de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o E.6. Mtodos de anlisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a E.6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o E.6.2. Equivalencia entre fuentes reales de tensin y de intensidad o E.6.3. Anlisis de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a E.6.4. Anlisis de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a E.7. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.7.1. Teorema de superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o E.7.2. Teoremas de Thevenin y Norton . . . . . . . . . . . . . . . E.7.3. Potencia en corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . E.7.3.1. Teorema de la mxima transferencia de potencia . a E.8. Estudio de los circuitos de primero y segundo orden . . . . . . . . E.8.1. Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden . E.8.2. Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden . . E.8.3. Transitorios en circuitos de segundo orden . . . . . . . . . . E.8.4. Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden . . . E.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d-1 d-1 d-1 d-3 d-4 d-5 d-8 d-10 d-10 d-13 d-14 d-15 d-17 d-19 d-20 d-22 d-26 e-1 e-1 e-1 e-5 e-9 e-10 e-12 e-14 e-15 e-17 e-17 e-20 e-21 e-22 e-24 e-24 e-24 e-26 e-29 e-30 e-30 e-38 e-42 e-49 e-53

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vii F. Elementos de cuato terminales. Transistores bipolares y de efecto campo F.1. Elementos de cuatro terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F.2. Transistores bipolares y de efecto de campo . . . . . . . . . . . . . . . F.2.1. Anlisis de circuitos con fuentes dependientes . . . . . . . . . . a F.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G. Sistemas lineales. Diagramas de Bode G.1. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . G.1.1. Ecuaciones de un circuito . . . . . . G.1.2. Respuesta transitoria y estacionaria G.1.3. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . G.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o H. Introduccin histrica I. Sistemas de unidades a J. Teor de campos J.1. Campos escalares y vectoriales . . . J.2. Representacin grca de los campos o a J.2.1. Base vectorial . . . . . . . . . J.2.2. Sistemas de referencia . . . . J.2.3. Producto vectorial . . . . . . J.3. Operaciones diferenciales e integrales J.3.1. Gradiente . . . . . . . . . . . J.3.2. Flujo y divergencia . . . . . . J.3.3. Circulacin y rotacional . . . o J.3.4. Operador Laplaciana . . . . . J.4. Teoremas integrales . . . . . . . . . . J.4.1. Teorema de la divergencia . . J.4.2. Teorema del rotacional . . . . J.5. Coordenadas curvil neas ortogonales J.5.1. Sistemas Coordenados . . . . J.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . f-1 f-1 f-3 f-6 f-8 g-1 g-1 g-1 g-2 g-5 g-13 h-1 i-1 j-1 j-1 j-3 j-5 j-6 j-8 j-9 j-9 j-9 j-11 j-12 j-12 j-12 j-13 j-13 j-15 j-19 k-1 k-1 k-3 k-4 k-5 k-6 k-9

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K. La Delta de Dirac K.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o K.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.3. Ejemplos de sucesiones de funciones que aproximan K.4. Otras expresiones utiles de la . . . . . . . . . . . K.5. Ecuaciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . K.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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viii L. Desarrollo en serie y Transformada L.1. Desarrollo en serie de Fourier . . . L.2. Transformada de Fourier . . . . . . L.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . L.3.1. Desarrollo en serie . . . . . L.3.2. Transformada . . . . . . . . L.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . M.Tablas M.1. Constantes f sicas . . . . . . M.2. Unidades del SI . . . . . . . M.3. Conversin eV o J y gauss M.4. Propiedades dielctricas . . e M.5. Propiedades magnticas . . e M.6. Conductividades . . . . . . . . . . . . T . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-1 l-1 l-3 l-4 l-4 l-6 l-7 m-1 m-1 m-1 m-1 m-2 m-2 m-4 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-2 n-2 n-2 n-2 n-2 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-4 n-4 n-4 n-5 n-5 n-5 n-5 n-6 n-6 n-6

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a N. Formulario matemtico N.1. Relaciones vectoriales y didicas . . . . . . a N.1.1. Productos . . . . . . . . . . . . . . . N.1.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . N.1.3. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . N.1.4. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . N.1.5. Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . N.1.6. Teoremas integrales . . . . . . . . . N.2. Coordenadas cuvil neas . . . . . . . . . . . N.2.1. Cuadro resumen . . . . . . . . . . . N.2.2. Vector de posicin . . . . . . . . . . o N.2.3. Vector diferencial de l nea . . . . . . N.2.4. Elemento de volumen . . . . . . . . N.2.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . N.2.6. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . N.2.7. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . N.2.8. Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . N.3. Angulo slido . . . . . . . . . . . . . . . . . o N.4. La Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . N.4.1. deniciones . . . . . . . . . . . . . . N.4.2. Expresiones integrales y diferenciales N.4.3. Propiedades bsicas . . . . . . . . . a N.5. Series y transformadas de Fourier . . . . . . N.5.1. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . N.5.2. Transformadas . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . delta de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirac . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Programas MathematicaCap tulo 1 prob1 8.nb. (p. 32) Representa al movimiento ciclotrnico con campo elctrico paralelo al magntico. o e e deriva ambipolar.nb. (p. 35) Muestra la deriva ambipolar de cargas en presencia de campo elctrico y magntico e e perpendiculares. Cap tulo 2 lineas campo 2q.nb. (p. 53) Determina y representa las l neas equipotenciales y de campo de un sistema de dos cargas de magnitud y signo arbitrario. Las l neas de campo se integran numricae mente por el mtodo de Euler. e equipotlineas dipolo.nb. (p. 62) Determina anal ticamente las l neas equipotenciales y las de campo y las representa. Integra numricamente las l e neas de campo, empleando el mtodo de Euler e y el de Heun, y compara estos resultados y los anal ticos entre s . prob i3 inv.nb. (p. 76) Resuelve el problema 2-14. carretes Helmholtz.nb. (p. 93) Estudia el campo magntico producido por dos espiras cuadradas, las congura e como carretes de Helmholtz y dibuja sus l neas de campo. Cap tulo 4 F DT D 1D vacio.nb. (p. 157) Simula la ecuacin de ondas en el vac mediante el mtodo FDTD. Aplica de o o e condiciones reectantes y absorbentes y genera pel culas para dos ejemplos de propagacin de ondas pulsadas. o Cap tulo 5 solenoide iman.nb. (p. 197) Representa del campo magntico producido por un solenoide nito de seccin e o circular, a lo largo de su eje, as como la energ potencial de un dipolo magntico, a e situado en dicho eje, y la fuerza que acta sobre el mismo. u

x Cap tulo 6 movimiento cargas EpB.nb. (p. 220) Estudia la compresin magntica de la trayectoria de una carga en presencia de o e campos elctrico y magntico paralelos. Las trayectorias se obtienen por intee e gracin numrica de las ecuaciones diferenciales del movimiento y se representan o e en dos y tres dimensiones. Ofrece dos modalidades en las que el campo magntico e crece, respectivamente, de forma gradual o brusca. enf oque EpB.nb. (p. 222) Representa las trayectorias de cargas enfocadas por campos elctrico y magntico e e paralelos. Produce una grca paramtrica tridimensional de las trayectorias para a e diversos ngulos de dispersin y otra bidimensional de la proyeccin transversal a o o de las mismas. botella magnetica.nb. (p. 225) Estudia el connamiento de part culas en botellas magnticas: genera pel e culas de las trayectorias de un dipolo a lo largo del eje de la botella y de una part cula, atrapada o en el interior del cono de fugas, que circula alrededor de una l nea de campo arbitraria. lente electrostatica.nb. (p. 236) Integra la ecuacin de las trayectorias de un haz de cargas que incide sobre lente o electrosttica elemental y muestra como stas convergen en el foco de la misma. a e Tambin se muestra la estructura del campo y el potencial producido por la lente. e orbitas cargas.nb. (p. 241) Genera la pel cula de las trayectorias de dos cargas referidas a su centro de masas. Las cargas, sus signos, sus masas y sus velocidades iniciales son arbitrarias. Cap tulo 9 polarizacion ondas.nb. (p. 346) Permite determinar el tipo de polarizacin de una onda monocromtica plana en o a funcin de las amplitudes y las fases de los campos. o Apndice A e imag dosplanos.nb. (p. a-32) Calcula, haciendo uso del mtodo de las imgenes, el potencial producido por e a una carga situada entre dos planos paralelos a potencial nulo y lo representa en distintos formatos. imag dosesf eras.nb. (No descrito en el texto). Programa similar al anterior que calcula y representa el potencial debido a dos esferas conductoras cargadas a un determinado potencial. Vase el problema a-10. e

xi poisson cartesianas a.nb. (p. a-43) Resuelve la primera parte del problema de potenciala-16 por el mtodo de sepae racin de variables y representa los resultados. o poisson cartesianas b.nb (No descrito en el texto). Resuelve la segunda parte del problema a-16. Apndice B e metodo momentos.nb. (p. b-8) Calcula la distribucin de carga y la capacidad para un segmento de hilo conductor o delgado aplicando el mtodo de los momentos. e metodo DF SOR condensador.nb. (p. b-16) Es un programa bidimensional para el clculo del potencial por el mtodo de a e diferencias nitas con sobrerelajaciones sucesivas. Se aplica al estudio de dos placas paralelas a potenciales iguales y contrarios. metodo DF SOR electrodos puntuales.nb. (No descrito en el texto). Programa similar al anterior aplicado a la determinacin del potencial producido o por dos hilos cargados paralelos. Estudia, para este caso concreto, el valor ptimo o de la constante de relajacin. o ejemplo Ritz.nb. (p. b-27) Aplica el mtodo de Ritz al clculo del potencial en un ejemplo unidimensional e a simple. ejemplo Ritz EF.nb. (No descrito en el texto). Resuelve el problema anterior dividiendo su dominio en dos elementos nitos. Vase la seccin B.1.4.3. e o ejemplo elem f initos 1D.nb. (p. b-41) Generaliza el programa anterior haciendo uso del mtodo de elementos nitos y e utilizando un nmero arbitrario de elementos. Ilustra el empleo del mtodo de u e Gauss sin pivotacin para la solucin de sistemas de ecuaciones tridiagonales. o o F DT D 1D medios.nb. (p. b-57) Simula la propagacin de ondas en medios no homogneos y hace uso de un algoo e ritmo de iluminacin. Se pueden ejecutar dos ejemplos: la simulacin de un adapo o tador de cuarto de onda y la de la incidencia de una onda pulsada sobre un medio ligeramente conductor terminado por un plano conductor ideal. La estructura de este programa diere en aspectos importantes de la del F DT D 1D vacio.nb.

xii Apndice E e prob teocir guia.nb. (p. e-64) Simula una gu de onda ideal como una cadena de circuitos LC cuasiestacionaa rios que equivalen a pequeas secciones de la misma. Se genera una pel n cula de las ondas estacionarias de tensin e intensidad creadas en un segmento de gu o a cortocircuitado. impedancia paralelo serie.nb. (p. e-68) Programa auxiliar del problema e-28. Apndice J e prob h17.nb. (p. j-24) Programa auxiliar del problema j-17. prob h18.nb. (p. j-25) Programa auxiliar del problema j-18. Apndice K e prob I2.nb. (p. k-10) Muestra como soslayar la singularidad de2 (1) r

para modelar la delta de Dirac.

Prlogo oEste libro, de acuerdo con su t tulo, ofrece unas primeras nociones de electromagnetismo que, como indica el subt tulo, se acompaan de programas comentados para n ilustrar algunas de las tcnicas de ordenador aplicables a la solucin de problemas elece o tromagnticos. e Su contenido se organiza, aproximadadamente por mitades, en un conjunto de cap tulos y otro de apndices. En la mayor de ellos se incluyen problemas y programas Mathee a matica.

Cap tulos: Este primer bloque contiene los fundamentos bsicos de la teor electromagntica a a e 1 y se divide, a su vez, en tres partes: en el marco de la relatividad de Galileo Parte I (Campo electromagntico en el vac Contiene 4 cap e o). tulos a lo largo de los cuales se dene al campo electromagntico en el vac se postulan sus fuentes e o, estticas y dinmicas y se estudian las conclusiones bsicas que se deducen de las a a a ecuaciones de Maxwell. Parte II (Multipolos). Contiene dos cap tulos, en el primero se expone la representacin multipolar de la materia y en el segundo se trata el movimiento de o monopolos y dipolos en presencia de los campos. Parte III (Campo electromagntico en los medios materiales). Contiene tres cap e tulos en los que se estudian los campos en medios polarizables y conductores as como las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell para este tipo de medios.

Apndices: e En los apndices se incluye una serie de complementos al contenido de los cap e tulos. En ellos se amplian cuestiones que slo se apuntan en la primera parte, se aaden o n temas de clculo numrico, se suministran tablas, frmulas y un m a e o nimo de fundamentos matemticos. a1

Vase [Garc Olmedo]. e a

xiii

xiv Problemas: Una parte de los problemas que se ofrecen al nal de la mayor de los cap a tulos y apndices estn resueltos total o parcialmente, bien sea de forma anal e a tica expl cita o con la ayuda del ordenador. En los enunciados de algunos problemas se adelantan deniciones simples, como las de condensador, conductor esttico, etc., que slo se tratan a o con cierto detalle en cap tulos y apndices posteriores. e Clculo numrico: a e A lo largo del texto, como auxilio en la resolucin de problemas, como seccin de o o algn cap u tulo o, particularmente, en el apndice Aplicaciones numricas, se introducen e e programas sencillos, escritos en el lenguaje Mathemtica, 2 con los que se pretende iniciar a al lector del texto en el uso de los ordenadores para la solucin de problemas electroo magnticos y la presentacin de los resultados. Los programas empiezan siendo muy e o simples y paulatinamente se hacen algo ms complejos. Por esta razn, es aconsejable a o empezar por los que se describen en los apndices J y K, para continuar con el orden e establecido en el ndice general. A lo largo de estos programas se muestra el uso de las capacidades alagebraicas, anal ticas, grcas y numricas de Mathematica para el anlia e a sis y resolucin de problemas electromagnticos. Los Notebooks correspondientes a estos o e programas se comentan en el texto y se encuentran en un disco adjunto. Mathematica es muy apropiado para los nes que aqu se persiguen y sus programas son fcilmente a trasladables a otros lenguajes mas ecientes pero menos didcticos que ste. a e Conclusin: o Este libro es el resultado de notas tomadas en diversas etapas durante la enseanza n del electromagnetismo a nivel de tercer curso de F sica. Durante este ultimo ao se n ha revisado en profundidad y aadido una parte substancial del material que en l n e se incluye. Debo agradecer a muchas personas la ayuda, directa o indirecta, que me han prestado para la redaccin y correccin del texto; a todos ellos le expreso mi o o agradecimiento. En particular, como cualquier texto de este tipo, ste es deudor de e fuentes orales y escritas de las que he extraido informacin a lo largo de un intevalo o de tiempo muy extenso. Slo explicito en la bibliograf aquellas fuentes en las que o a conscientemente me he apoyado, de muchas de las cuales existen ediciones ms recientes a que las reseadas. n

Bernardo Garc Olmedo a Granada, Octubre de 2005

2 En este texto se ha utilizado la versin 4 de Mathematica. Si se utilizan otras versiones distintas, o alguno de los programas puede necesitar alguna adaptacin para su correcta ejecucin. Vase [Wolfram]. o o e

Coplas hechas sobre un xtasis de e harta contemplacin oEntrme donde no supe, e y quedme no sabiendo, e toda sciencia trascendiendo. Yo no supe dnde entraba, o pero, cuando all me v , sin saber dnde me estaba, o grandes cosas entend ; no dir lo que sent e , que me qued no sabiendo, e toda sciencia trascendiendo. De paz y de piedad era la sciencia perfecta, en profunda soledad entendida (via recta); era cosa tan secreta, que me qued balbuciendo, e toda sciencia trascendiendo. Estaba tan embebido, tan absorto y ajenado, que se qued mi sentido o de todo sentir privado; y el esp ritu dotado de un entender no entendiendo, toda sciencia trascendiendo. El que all llega de vero, de s mismo desfallesce; cuanto sab primero a mucho bajo le paresce; y su sciencia tanto cresce, que se queda no sabiendo, toda sciencia trascendiendo. Cuanto ms alto se sube, a xv tanto menos se entend a, que es la tenebrosa nube que a la noche esclarec a; por eso quien la sab a queda siempre no sabiendo toda sciencia trascendiendo. Este saber no sabiendo es de tan alto poder, que los sabios arguyendo jams le pueden vencer; a que no llega su saber a no entender entendiendo, toda sciencia trascendiendo. Y es de tan alta excelencia aqueste sumo saber, que no hay facultad ni sciencia que le puedan emprender; quien se supiere vencer con un no saber sabiendo ir siempre trascendiendo. a Y si lo quereis o r, consiste esta suma sciencia en un subido sentir de la divinal Esencia; es obra de su clemencia hacer quedar no entendiendo, toda sciencia trascendiendo.

Fray Juan de la Cruz

xvi .

Parte I

Campo electromagntico en el e vac o

1

3

Introduccin oEl objetivo fundamental de esta disciplina es el estudio de las interacciones que tienen lugar entre cargas y entre corrientes. No obstante, estas interacciones, como la gravitatoria y otras que aparecen en la F sica, se estudian ms cmodamente expresndolas a o a como el encadenamiento de dos procesos, segn se muestra en la gura 2 uF F

Cargas testigo

Campo

Cargas fuente

F

Interaccion=

Creacion de campo +

Deteccion de fuerza

Figura 2: En el primero, un grupo de cargas, que consideramos como fuentes primarias o causa de la interaccin, perturba el espacio que lo rodea dotndolo de propiedades que, antes o a de la existencia de dichas cargas, no pose diremos que las cargas fuente han creado un a; campo. En el segundo, otro grupo de cargas, que llamaremos testigo , sufre una fuerza neta en virtud de la interaccin con el campo previamente creado. o Segn este esquema, la teor que estructura a estas interacciones debe contener leyes u a que relacionen a los campos con sus fuentes, leyes de campo , y leyes que relacionen a los campos con las fuerzas, leyes de fuerza . El problema de relacionar a los campos con sus fuentes es mucho ms complejo y a rico que el clculo de las fuerzas, por lo que sta ser esencialmente una teor del campo a e a a electromagntico (EM). Este campo, que puede ser expresado como tal por medio de e un solo tensor tetradimensional de segundo orden, ser descrito por ahora, de forma a sencilla, como la suma de dos campos tridimensionales acoplados entre s el elctri: e co y el magntico. Todo esto justica que dediquemos un apndice a revisar, aunque e e brevemente, las caracter sticas generales de los campos vectoriales tridimensionales. Se recomienda la lectura de este apndice, antes de abordar la primera parte del texto, con e objeto de consolidar y establecer los conceptos y la nomenclatura que se utilizarn a lo a largo del mismo. El campo EM, que acabamos de presentar como mero auxiliar para describir la interaccin entre cargas, adquiere, segn se desarrolla la teor personalidad propia. El o u a, fenmeno de radiacin posibilita la creacin de campos EM aislados, automantenidos, o o o que se independizan de sus fuentes primarias y que, mientras no interaccionen con la

4 materia, transportan cantidades jas de energ masa, momento y momento angular. a, En denitiva el campo EM tiene todas las propiedades de la materia: sus movimientos, redistribuciones, obedecen a leyes anlogas a las de los uidos de materia ordinaria. a Podemos decir que el campo EM es algo ms que un concepto auxiliar; realmente consa tituye la manifestacin ms simple de la materia. o a Esta primera parte comprende cuatro cap tulos y en ella pretendemos exponer, con relativa rapidez, el esquema bsico de la teor electromagntica en el vac El trmia a e o. e no vac no se entender literalmente sino que admitiremos la presencia de cargas en o a movimiento que describiremos, en su totalidad, por medio de funciones densidad de cargas y de corrientes. En principio se adopta un modelo de tipo microscpico, limitado o pero simple, en el que las cargas que crean el campo se consideran como puntuales y desprovistas de spin. Las densidades microscpicas expresan con detalle la magnitud, posicin y velocidad o o de cada una de las cargas y son, por lo tanto, rpidamente variables en el espacio a y en el tiempo. Para volmenes macroscpicos, este tipo de descripcin es inviable u o o dada la enorme cantidad de informacin que es necesario manejar. Suele tomarse como o dimensin m o nima de un volumen macroscpico, a aquel que contiene a un nmero de o u cargas de orden de N0 = 106 , lo que corresponde a un cubo de materia ordinaria cuya o arista sea del orden de L0 = 100 A. El seguimiento de la evolucin de un sistema o de cargas con N N0 no es factible, ni siquiera mediante la simulacin numrica en o e ordenador. En estas circunstancias es posible y conveniente recurrir a una descripcin o macroscpica en la que las densidades se promedian en el espacio y en el tiempo 3 ; en todo o caso, los instrumentos ordinarios de medida proporcionan un promedio espacio-temporal de las magnitudes. Este proceso de promedio es delicado desde el punto de vista terico o y, al reducir drsticamente la informacin con la que se describe al sistema de cargas a o y campos, reduce tambin la capacidad de prediccin de las ecuaciones resultantes. En e o esta primera parte, se har uso de una versin simple de las ecuaciones macroscpicas en a o o la que la densidad macroscpica de carga, junto con la de corriente, describe a todas las o cargas o, al menos, a todas aquellas que tienen un efecto signicativo sobre los campos macroscpicos. Esto excluye a la materia organizada dipolarmente a nivel molecular o cuyo tratamiento se dejar para ms adelante. a a

3 Para ciertas aplicaciones slo es necesario promediar espacialmente porque, si el movimiento de las o part culas no est correlacionado, el promedio espacial elimina las uctuaciones temporales. a

Cap tulo 1

Campo elctrico y campo e magntico e1.1. Descripcin de las magnitudes electromagnticas o e

Como ya se ha comentado, caben dos formas bsicas de enmarcar al electromaga netismo. Una microscpica, altamente detallada y tericamente potente, pero limitada o o en la prctica, y otra macroscpica, en la que se elimina gran parte de la informacin a o o pero que es de mayor utilidad prctica. a

1.1.1.

Espacio de los campos y las fuentes

Pretendemos describir la interaccin entre dos sistemas de cargas a uno de los cuales o consideramos como fuente y al otro como testigo. Aqu tambin, como en la Mecnica e a Newtoniana, es necesario elegir cuidadosamente el sistema de referencia desde el que se enuncian las leyes, por lo que, salvo excepciones, haremos siempre uso de un sistema inercial S, gura 1.1.v ( r ) V ^ z R r r S ^ y ^ x V r =(x, y, z) R = r - r = (x-x,y-y,z-z) v (r) r =(x,y,z)

Figura 1.1: Fijaremos, pus, con respecto a este sistema, las coordenadas de las fuentes por r , e las de las cargas testigo, o puntos de observacin, por r y la distancia mutua entre las o 5

6 fuentes y puntos de observacin por R. o Tenemos, pus, un espacio de seis dimensiones (x , y , z , x, y, z), dentro del cual e deberemos especicar tanto las cargas existentes (r ) y (r), como sus movimientos v(r ) y v(r). Veremos ms adelante que stas, las fuentes primarias, no sern las a e a unicas fuentes del campo sino que los propios campos actan como verdaderas fuentes, u en el sentido que se deduce del teorema de Helmholtz, en paridad con las anteriores. Eventualmente, dado que la accin electromagntica se propaga con velocidad nita, o e ser necesario conocer estas magnitudes en instantes distintos al de observacin. a o

1.2.

Fuentes de Helmholtz

un

campo

vectorial.

Teorema

de

Establecido qu es lo que entendemos por campo vectorial en el apndice J, nos e e interesa ahora relacionar a los campos con sus fuentes. Llamaremos fuentes vectoriales de un campo vectorial F (r) a su rotacional, y fuentes escalares a su divergencia F (r) = R(r) = fuentes vectoriales F (r) = D(r) = fuentes escalares Teorema de Helmholtz : Este es el primero de los teoremas de unicidad que se enunciarn ms adelante. a a Veremos que para que las fuentes determinen un vocamente a un campo son sucientes las siguientes condiciones: a) F (r) tiende a cero ms rpidamente que r1 cuando r a a1.

(1.1)

b) Las fuentes, gura 1.2, son nulas fuera de un volumen V 0 nito y contenido en una esfera, centrada en el origen, de radio nito L = r max . Enunciado A) Un campo que cumpla las condiciones anteriores queda un vocamente determinado si se conocen sus fuentes escalares y vectoriales en todos los puntos r = (x , y , z ) del espacio. Puede, adems, derivarse de unas funciones potenciales, un campo escalar a f (r) y un campo vectorial g(r) , a travs de las operaciones de gradiente y rotacional: e F (r) = f (r) +1

g(r)

(1.2)

Los campos que nos interesan cumplen sobradamente esta condicin, salvo casos l o mite como las distribuciones de dimensin innita, como los rectas y planos no acotados que se introducen en la o teor por simplicidad pero que no pueden plasmarse en la realidad. En general, los campos estticos a a de distribuciones acotadas decrecen segn r2 y los de radiacin son nulos fuera de una cierta esfera de u o radio nito en un instante determinado.

7

^ z r V0 Volumen de fuentes ^ x R Fuentes nulas ^ y

r

L=rmaxFigura 1.2:

B) Los potenciales pueden expresarse en funcin de las fuentes del campo como o f (r) = g(r) =1 4 1 4

V0 V0

D(r R R(r R

) )

dv dv

= Potencial escalar de F (r) (1.3) = Potencial vector de F (r)

donde R = r r y V 0 contiene a R = 0. De acuerdo con sto, tanto f (r) como cada una de las componentes de g(r) tienen e la forma (r) = KV0

(r ) dv R

Veremos ms adelante que el campo electromagntico tiene slo fuentes vectoriales, a e o por lo que basta con un potencial vector A para describirlo. El campo elctrico tiene e fuentes escalares y vectoriales pero, como est acoplado al magntico, la parte que deriva a e A de un potencial vector no ser expresada como en (1.2), sino por a . t Demostracin o Sea, como se muestra en la gura 1.3, un volumen V que contenga a R = 0, es decir, que contenga al punto de observacin P . o Haciendo uso de la propiedad de desplazamiento de la (R) = (r r ) 2 podemos2

vase apndice K e e

8

^ z P V0 r R r ^ y ^ x

V S

L=rmaxFigura 1.3:

expresar el campo de la forma F (r) =V0

F (r )(r r )dv = 2

1 4

F (r )V

2

1 R

dv

=

1 4

V

F (r ) dv R

Hemos sacado 2 fuera de la integral porque este operador implica la derivacin con o respecto a las coordenadas x, y, z, mientras que F (r ) es funcin de las x , y , z y la o integral opera sobre estas ultimas. De la igualdad ( a) = ( a) 2 a se deduce que F (r) = donde f (r) = y g(r) = 1 4V

f (r) + 1 4

g(r) F (r ) dv R F (r ) dv R

V

con lo que queda demostrada la primera parte del teorema. Se puede demostrar que estas dos expresiones son equivalentes a las del enunciado (1.3). Lo comprobaremos para el potencial escalar f (r). Dado que (f a) = f a + a f F (r ) R = 1 R F (r ) +F (r ) =0

1 R

9 F (r ) = 0 porque F (r ) no es funcin de r, sino de r . Luego o f (r) = 1 4 F (r ) V

1 R

dv =

1 4

F (r ) V

1 R

dv

donde se ha tenido en cuenta que (f (R)) = Volviendo a emplear la misma expresin o F (r ) 1 R =

(f (R)).

1 1 F (r ) R R1 R F (r

F (r )

que, pasando a supercie la integral de f (r) = 1 4

) F (r ) ds R r , para r , podemos

V

F (r ) 1 dv R 4

V

donde S es la supercie que envuelve a V . Haciendo tender S , puesto que F (r ) r 2 y r despreciar la integral de supercie y escribir f (r) = 1 4 D(r ) dv R

V0

Nos da lo mismo integrar sobre V 0 o sobre V puesto que D(r ) se anula fuera de V 0 . Como ya hemos apuntado y demostremos ms adelante, necesitamos describir dos a campos pero nos basta con dos potenciales porque E y B estn acoplados y B no tiene a fuentes escalares [Panofsky y Phillips, Shadowitz]. E = V B = A A t

1.3.

Clasicacin de los campos seg n sus fuentes o u

Segn las fuentes vectoriales y escalares sean o no distintas de cero, en una cierta u regin del espacio V, podemos clasicar a los campos en cuatro grupos. Para visualizarlos o grcamente tendremos en cuenta que, por los teoremas de la divergencia y el rotacional a F dr =L S

R ds D dvV

F ds =S

En la gura 1.4 se representan esquemticamente las cuatro clases de campos que a se deducen de este criterio de clasicacin. o

10S P F P S n (b) (c) (d) L P F S F P S

F

L

L

L

(a)

Figura 1.4: Las caracter sticas esenciales de cada uno de estos grupos pueden resumirse de la siguiente manera: a) El campo, gura 1.4a es irrotacional, al no tener fuentes vectoriales, y solenoidal al carecer de fuentes escalares. Es evidente que, fuera del volumen V donde sto es cierto, debe de existir algn tipo e u de fuente porque, de lo contrario, los campos ser nulos en todo V. an Supongamos que el volumen V es tal que, para todo camino L contenido en l, existe e una supercie S apoyada en dicho camino y que tambin est enteramente contenida e a en V. Esta precisin es necesaria porque, cuando estudiemos el campo magntico, nos o e encontraremos situaciones de inters que no cumplen la condicin anterior. e o Para simplicar y concretar, supondremos R = 0 en todo el espacio y D = 0 fuera de V. F =0F = f F =0 2

f = 0 (Ecuacin de Laplace) o

Estos campos derivan de un potencial escalar que cumple la ecuacin de Laplace. o Con la condicin impuesta, el teorema del rotacional (1.4) es aplicable, luego, para o cualquier L F dl = 0L

En el caso del campo elctrico esttico, como comprobaremos pronto, esta integral e a ser equiparable al trabajo realizado por unidad de carga, al recorrer L, por lo que, a propiamente, diremos que un campo elctrico de este tipo es conservativo. e Si aplicamos el teorema de la divergencia (1.4) a un volumen elemental arbitrario, V, limitado por la supercie S F ds = 0S

lo que implica que tantas l neas de campo entran en el volumen V como salen del mismo. En la gura (a) se muestra cmo las l o neas de campo no pueden nacer ni morir en V y cmo la circulacin sobre cualquier camino L contenido en V es tambin nula. o o e

11 A este grupo pertenece el campo electrosttico en el vac sin cargas, como el exisa o tente en el espacio comprendido entre las placas de un condensador, gura 1.5.+Q E -Q

+ V -

Figura 1.5:

b) El campo es irrotacional y no solenoidal. Aqu podemos suponer que todas las fuentes estn en V. a F = f 2 f = D (Ecuacin de Poisson) o F =D f (r) = 1 4 D(r ) dv R

V

En este caso, las l neas de campo nacern y morirn en los puntos de V en los que a a D = 0, gura 1.4b. Como ejemplo citaremos al campo electrosttico en presencia de a cargas. c) El campo es rotacional y solenoidal. Las l neas de campo no pueden nacer ni morir en V pero s pueden cerrarse sobre s mismas (gura 1.4c) dentro de V, puesto que F dl = 0L

F =0F = F =R

g ( g) = ( g)

2

g=R

F deriva de un potencial vector que responde a la ecuacin anterior o g(r) = 1 4 R(r ) dv R

V

Se puede demostrar que es posible exigir a g que sea solenoidal. En este caso2

g = R

12 ecuacin que slo es distinta de la precedente cuando se utilizan coordenadas cartesianas. o o El campo magntico, que es siempre solenoidal, cae dentro de este grupo. e d) En general, los campos sern rotacionales y no solenoidales (gura 1.4d). a En adelante, estudiaremos el campo electromagntico desdoblado como dos campos e vectoriales acoplados, cuyas fuentes, expresadas en el sistema M.K.S.A., sern: a E = B t B =0 E t

E =

B = j+

donde, como vemos, adems de las cargas y de las corrientes, las propias variaciones a temporales de los campos actan de fuentes. u

1.3.1.

Descripcin microscpica o o

En la descripcin microscpica se especica con detalle tanto a las cargas como a los o o campos, por lo que stos vienen representados por magnitudes rpidamente variables. e a Aunque ms adelante se matizar de alguna forma lo que a continuacin se expone, desa a o de el punto de vista clsico cabe representar a todas y cada una de las cargas presentes a como puntuales o, al menos, a todas aquellas cuya aportacin al campo es importante. o Esta representacin puede hacerse formalmente de dos maneras: especicando las posio ciones y velocidades de cada una de las cargas o deniendo unas densidades pseudocontinuas por medio de la delta de Dirac. Ser esta ultima opcin la que tomaremos a o aqu Este modelo, como todos los modelos f . sicos, tiene limitaciones de orden terico y o prctico que se subsanarn parcialmente ms adelante cuando se aborde el tratamiento a a a fenomenolgico de la materia. En primer lugar, aunque desde el punto de vista clsico o a es posible jar simultneamente posiciones y velocidades, sin limitacin alguna, a disa o tancias atmicas las leyes clsicas dejan de ser vlidas, y, en segundo lugar, no es posible o a a hacer una descripcin detallada de una porcin macroscpica de materia porque sto o o o e llevar consigo la utilizacin de una cantidad excesiva de informacin. a o o Densidad de carga: La densidad de carga 3 se dene como una funcin que, integrada sobre un volumen o arbitrario, da la medida de la carga total encerrada en el mismo. Q=V3 Cada part cula lleva consigo, aparte de su propia identidad de part cula, masa, energ carga, a, cantidad de movimiento, etc., por lo que las deniciones que se contemplan para describir a las cargas y sus ujos son anlogas a las que se denen para el resto de dichas magnitudes. a

dv

13 Una carga puntual q, cuya trayectoria es r0 (t), puede ser descrita por medio de una funcin densidad haciendo uso de la delta de Dirac ( vase el apndice correspondiente). o e e (r, t) = q (r r0 (t)) (1.4)

Efectivamente, esta densidad describe con propiedad el contenido de carga en el entorno de r0 (t): r = r0 (t) 0 (r, t) = r r0 (t) y cualquier volumen elemental que contenga al punto r0 contiene una carga total, gura 1.6,^ z r - r (t) 0 r v r 0 (t) ^ y ^ x =0 q oo

Figura 1.6:

q(r0 (t)) =

(r, t)dvV r0 (t)

Si lo que queremos describir detalladamente es una colectividad de N cargas puntuales qi situadas cada una en ri (t), i = 1, N , la densidad correspondiente es la suma de las densidades de cada una de las part culasN N

(r, t) =i=1

i (r, t) =i=1

qi (r ri (t))

(1.5)

y la carga contenida en un volumen V, de acuerdo con las propiedades de integracin o de la delta de Dirac, ser aN (V)

Q(V) =V

dv =j=1

qj

donde el ndice j = 1, N (V) recorre a todas las part culas contenidas en V. De forma anloga, pueden denirse otras densidades, como la de part a culasN

n(r, t) =i=1

(r ri (t))

(1.6)

14 cuya intregral sobre un volumen proporciona el nmero de part u culas que contiene N (V) =V

n dv

o la densidad de la velocidad de las part culasN

part (r, t) =i=1

vi (t) (r ri (t))

(1.7)

cuya integral proporciona la suma de las velocidades de las part culas contenidas en el volumen 4 .N (V) j=1

vV =

V

part dv =

vj

Estas densidades nos permiten tambin hallar el valor medio, sobre las part e culas encerradas en V, de las magnitudes asociadas a las mismas, como la carga, la velocidad, etc. N (V) N (V) j=1 qj j=1 vj q = , u v = (1.8) N (V) N (V) En la gura 1.7 se muestra como se obtiene el promedio espacial u(r) de la velocidad de un sistema de part culas sobre un volumen V centrado en el punto (r).

v2 V v1 v 5 v4 v6 v8 ^ z r v7 (b) v2 v3 v1 v5 v i v4 v3 v6 v7 v8

^ y ^ x (a)

u =< v i > =(1/8) v i

(c)

Figura 1.7:4 Como se deducir de lo que sigue, part puede tambin interpretarse como la densidad de ujo ( o a e densidad de corriente) de part culas y su ujo a travs de una supercie nos da el nmero de part e u culas que la atraviesan en la unidad de tiempo.

15 En 1.7-a se muestra al sistema de part culas y al volumen sobre el que se realiza el promedio y sobre el cual se integra la densidad de part culas. El resultado de esta integracin es el que se detalla en 1.7-b y el promedio nal en 1.7-c. o Intensidad; Densidad de corriente: Se dene como intensidad de corriente, gura 1.8, a la carga total que atraviesa a una supercie, cerrada o abierta, en la unidad de tiempo. I dQ dt (1.9)S

La unidad de intensidad es la fundamental del electromagnetismo en el sistema M KSA. Esta recibe el nombre de amperio (A). La unidad de carga en el mismo sistema es el culombio y sus dimensiones [Q] = [A s] se deducen de la denicin anterior. o Para realizar la integral de ujo ser necesario seguir los convenios que denen la a direccin de la normal a la supercie. o

j S n V n L j .n S j

Figura 1.8: La densidad de corriente ( de carga), o densidad de ujo de carga, se dene como una funcin vectorial cuyo ujo a travs de dicha supercie es la intensidad que la atraviesa. o e I=S

ds =S

n ds

La densidad de corriente correspondiente a un solo portador, con carga q y velocidad v(t), puede expresarse como (r, t) = q (r r0 (t)) v(t) = (r, t) v(t) (1.10)

En la gura 1.9 se representa a la carga en el interior del volumen V = S (v n), cuya generatriz es v, cuya base es S y cuya altura es la proyeccin de v sobre la o direccin n. Si la part o cula, como se muestra en la gura, se encuentra en el interior de este volumen, saldr del mismo a travs de S antes de transcurrido un segundo, por lo a e que slo contribuirn a la intensidad aquellas pat o a culas que se encuentran en el interior. Para un sistema de N cargas puntuales qi , situadas cada una en ri (t) y con velocidades respectivas vi (t), i = 1, N , la densidad de corriente resultante es la suma de las densidades de corriente aportadas por cada una de las part culas

16ds v S v V q n .v

Figura 1.9:

N

N

N

(r, t) =i=1

i (r, t) =i=1

qi (r ri (t)) vi (t) =i=1

i (r, t) vi (t)

(1.11)

Tambin es razonable la representacin microscpica de los iones y molculas como e o o e distribuciones continuas de carga y corriente, de acuerdo con la mecnica cuntica, la a a cual describe a los electrones orbitales mediante nubes de densidad de probabilidad.

1.3.2.

Descripcin macroscpica o o

La descripcin macroscpica puede llevarse a cabo por caminos diversos y con distino o tos objetivos, todos los cuales llevan consigo la realizacin de operaciones de promedio y o la asuncin de hiptesis simplicadoras. A pesar de que sto implica la reduccin de la o o e o informacin que se utiliza para obtener las ecuaciones que predicen los comportamientos o de las cargas y los campos y, en consecuencia, la disminucin del poder predictivo de las o mismas, el electromagnetismo macroscpico conserva una gran potencia para el anlisis o a de la mayor de las situaciones prcticas. a a La expresin 1.8 dene una forma simple de obtener promedios espaciales de mago nitudes asociadas a part culas discretas. Ahora extenderemos esta operacin, la ms o a simple entre las posibles, para aplicarla a funciones continuas o pseudocontinuas. Estos promedios se realizarn sobre volmenes V e intervalos t submacroscpicos. Se dene a u o como volmen submacroscpico a todo aquel que contiene un nmero sucientemente u o u elevado de cargas, como se puso de maniesto en la introduccin de esta primera parte, o stica de los probpero cuya dimensin L = 3 V es muy inferior a la longitud caracter o lemas que queremos estudiar y t es muy inferior a la m nima constante de tiempo de dichos problemas; por ejemplo, si se quiere estudiar la propagaccin, en un medio detero minado, de ondas monocromticas con longitud de onda y periodo T , deben cumplirse a las condiciones L y t T . Debido a sto, la descripcin microscpica limita la e o o frecuencia mxima que pueden contener los espectros de los campos estudiados. a Para funciones continuas, o pseudocontinuas, (r, t), deniremos la operacin de o promedio (r, t) = 1 V t (r + , t + ) d3 dV, t

(1.12)

17 donde a la funcin a promediar se le asigna el mismo peso en todo el dominio de o integracin 5 . La variable de integracin recorre al volumen V y la al intervalo t. o o Esto equivale a denir la funcin macroscpica en un punto (r, t) como el promeo o dio de la microscpica , realizado dentro de los intervalos submacroscpicos V y t o o centrados en dicho punto . De esta forma, la funcin microscpica (r + , t + ) puede descomponerse en dos o o trminos: su media (r, t) en el entorno de (r, t) y su valor aleatorio (r + , t + ). e

(r + , t + ) = (r, t) + (r + , t + )

(r, t) = 0

(1.13)

donde se pone de maniesto que la media de la parte aleatoria de la funcin es nula. o Como ejemplo, la velocidad de una de las part culas contenidas en V puede expresarse como vi = u + vi , vi = 0 la velocidad media u, sobre el volumen submacroscpico, es la velocidad de arrastre del o uido de part culas y vi es la desviacin sobre la media de la velocidad de la part o cula (i). Si la funcin es el producto de otras dos, 1 y 2 6 o 1 2 = 1 2 + 1 2 (1.14)

Los trminos del tipo 1 2 son promedios del producto de magnitudes de media e nula. Su importancia depende del grado de correlacin existente entre 1 y 2 , siendo o nulos cuando dicha correlacin no existe. Su evaluacin requiere en general la emisin o o o de alguna hiptesis de tipo f o sico. Una propiedad importante para obtener las ecuaciones macroscpicas del campo o electromagntico es la siguiente: derivando en 1.12 bajo el signo integral es fcil come a probar que la media de la derivada con respecto a ( = t, x, y, z) es igual a la derivada de la media. = (1.15) Se discute la necesidad o no de efectuar el promedio temporal. El espacial, si afecta a un nmero elevado de part u culas, reduce grandemente tanto las uctuaciones espaciales como las temporales y, cuando el sistema estudiado est relativamente cerca del a equilibrio, la hiptesis ergdica hace innecesaria a la media temporal. Si los medios son o o fuertemente dinmicos la eliminacin de esta ultima media es dudosa. En cualquier caa o so, la temporal slo aade un ltrado de este tipo al ya efectuado por la espacial, lo o n que no afecta al tratamiento genrico aqu empleado. Adems, todos los instrumentos e a macroscpicos necesitan de un tiempo nito para efectuar las medidas por lo que, de o hecho, realizan la media en cuestin. o5 Desde el punto de vista terico es conveniente introducir una funcin peso y denir el promedio, o oR por ejemplo, el correspondiente a la coordenada x, de la forma (x) = f ()(x + ) d, donde R f () es una funcin peso de area unitaria, es decir, f () d = 1, y pendiente suave y continua. o 6 Para simplicar, se prescindir del argumento (r, t). a

18 Cuando la media es aplicada a una magnitud asociada a las part culas, las integrales pueden tambin interpretarse como sumatorias. As pues, para distribuciones discretas, e la media de la densidad de part culas es n (r, t) =i

(r ri (t)) = 1 t 1 t 1 V (r + ri (t + )) d3 i

(1.16) d =

= = donde, vease 1.6,

t

V

n (r, t + ) d = n (r, t)t

n (r, t + ) =

1 V

V

(r + ri (t + )) d3 =i

NV (t + ) V

es el nmero de part u culas que hay, por unidad de volumen, en el entorno de r y en el instante t + , mientras que n (r, t) es la densidad macroscpica de part o culas , ( el nmero de part u culas por unidad de volumen que hay en el entorno de (r, t)). Como ya se ha comentado, la integracin sobre el volumen implica una reduccin de las uctuaciones o o temporales que es tanto mayor cuanto ms numerosas son las part a culas contenidas en V. La integral sobre asigna al punto (r, t) el valor promedio de n (r, t + ) a lo largo del intervalo [t t/2, t + t/2], lo que lleva consigo un ltrado adicional, o alisamiento, de la dependencia temporal. En la gura 1.10 se representan las densidades resultantes de promediar, en la dimensin espacial x y haciendo uso de intervalos de o integracin de distinta anchura x, a la densidad microscpica de part o o culas. La l nea horizontal a trazos corresponde al valor medio de la densidad (part culas por unidad de intervalo) dentro del intervalo mximo x [0, 20]. a Si consideramos por separado a los distintos tipos de portadores de carga y se supone, para simplicar, que slo existen dos de ellos, uno con carga +e y otro con e, la o densidad neta de carga puede obtenerse como la suma de las densidades parciales + = e n+ = + + = e { n+ n } = e n donde + y son las densidades de carga positiva y negativa y n+ y n las densidades de part culas cargadas positiva y negativamente. Normalmente se podr tambin escribir 7 a e + = e n+ u+ = + + = e { n+ u+ n u } = e n u En adelante, a menos que sea absolutamente necesario, escribiremos con la misma notacin a las magnitudes microscpicas y a las macroscpicas. o o o7

u

Esto es cierto para la media espacial y aproximadamente cierto para la temporal si la velocidad L . t

19n 2 x=0.5

1

x=1

x=5 x 0 5 10 15 20

Figura 1.10: Valores medios de la densidad de part culas con distintas ventanas

1.4.

Conservacin de la carga; ecuacin de continuidad o o

La experiencia establece que la carga puede crearse y destruirse pero siempre en parejas de carga positiva y negativa. Existe una gran variedad de mecanismos por los que, tanto desde el punto de vista microscpico como desde el macroscpico, se crea y se o o destruye carga, pero todos ellos verican la condicin de neutralidad neta: creaciones de o pares, ionizaciones, recombinaciones, etc.. En consecuencia, se considera que el Universo es globalmente neutro. Esta realidad experimental se eleva a postulado con el nombre de Principio de neutralidad del Universo. Este principio se traduce en una ecuacin de continuidad, o conservacin, de la carga o o neta que liga a con j. Su deduccin para las magnitudes microscpicas puede verse en o o el apndice K. Aqu lo haremos directamente para las magnitudes macroscpicas. e o Podemos expresar el principio de conservacin de la carga neta armando que si hay o un incremento de la que almacena un volumen V(t), sto se debe a un intercambio con e el exterior a travs de la supercie que lo limita S(t). e d Q(t) (1.17) dt donde Q es la carga encerrada en un volumen V(t), I(t) el ujo de carga a travs de su e supercie S(t) y I(t) = dv = Q , I =V(t) S(t)

u ds =

dQ dt

siendo u la velocidad de arrastre de la carga con respecto al elemento de supercie. Dicho ujo de carga puede deberse, por lo tanto, al movimiento de la carga con respecto

20 al sistema del laboratorio y al movimiento, o deformacin, de la supercie. o Para obtener una expresin diferencial, ecuacin de continuidad, supongamos que V o o d es un volumen invariante con el tiempo, lo que nos permite introducir el operador d t en el interior de la integral como t . dv = t j ds = S V

j dv

V

lo cual es vlido para todo V. En consecuencia, la ecuacin de continuidad de la carga a o neta es j+ =0 (1.18) t como puede deducirse de su homloga microscpica hallando su promedio. o o

1.4.1.

Corrientes estacionarias

Un caso particular de corriente, que es de inters para nosotros, es la corriente e estacionaria, denida por j =0 =0 t S

j ds = 0,

= (t)

Para corrientes estacionarias tiene sentido hablar de la intensidad I que circula por un tubo de corriente. Aplicando el teorema de la divergencia al segmento de tubo representado en la gura 1.11-a

S lat S1 n1 j I

n

S2 n2 n n

n

I j (a)Figura 1.11:

(b)

I=S1

j ds =S2

j ds = cte

(1.19)

ya que el ujo de corriente S (j), a travs de la supercie total S es nulo. Efectivamente, e S = S1 +S2 +Slat y, tomando S1 y S2 tales que n = n1 = n2 , S = S1 +S2 +lat = 0,

21 donde el ujo sobre la supercie lateral del tubo lat = 0 porque en dicha supercie j n = 0. Los tubos de corriente deben ser cerrados y nitos, vase la gura 1.11-b, dada la e imposibilidad de reunir innitos portadores para construir el tubo y de innita energ a para moverlos. En el caso de los superconductores falla el argumento de la energ a puesto que, como veremos, los portadores pueden moverse indenidamente sin cesin o de energ a.

1.5.

Ley de fuerzas de Lorentz

Las cagas pueden sentir fuerzas cuyo origen no es electromagntico clsico, como la e a gravitatoria, las cunticas, etc. En su momento sern tenidas en cuenta pero en esta a a primera parte slo nos ocuparemos de las fuerzas del primer tipo. o La ley de fuerza fundamental del electromagnetismo es la ley de Lorentz, que podemos enunciar, para cargas que se mueven con velocidades arbitrarias v, o para cargas y corrientes distribuidas sobre un volumen, mediante las siguientes expresiones 8

Fq (r) = q E(r) + v B(r) Fv = dF = E + j B dv

(1.20) (1.21)

donde E, campo elctrico o intensidad elctrica , y B, campo magntico o densidad e e e de ujo magntico e A continuacin las analizaremos con detalle: o En primer lugar, en 1.20 se postula la existencia de unas entidades que llamaremos cargas, y cuya magnitud q mediremos comparando las fuerzas ejercidas sobre distintas cargas situadas en condiciones idnticas. e La fuerza detectada puede descomponerse en dos trminos, uno independiente de e la velocidad, que llamaremos fuerza elctrica, y otro dependiente de la misma, que e llamaremos fuerza magntica. e Fq = Fe + Fm , Fe (r) = q E(r) , Fm (r) = qv B(r) La fuerza elctrica tiene las siguientes propiedades e q Fe = q E e signo(q) , e = direccin ja en el espacio o

8 La ley est expresada en el Sistema Internacional de unidades (SI) que, en el electromagnetismo, a coincide con el Giorgi o M KSA (vase el apndice I). e e

22 y la magntica e q v = qvB v signo(q) , = direccin ja b b o

Fm

En esta ley se da por supuesto que existe una perturbacin en el espacio que puede o ser descrita mediante los campos E y B. Desde el punto de vista operacional, podemos denir al campo elctrico como e E = l mv=0q0

Fq q

donde q 0 para que no perturbe las fuentes iniciales del campo. As como el campo elctrico puede determinarse por una sola medida, para deter e minar el campo magntico es necesario realizar dos medidas 9 . e

1.5.1.

Trabajo sobre una carga en movimientoFe v E /2 q 1 L 1 2 dl Fm /2 /2 q L B dl v 2

(a)Figura 1.12:

(b)

El trabajo que un campo electromagntico realiza sobre una carga en movimiento e que se traslada del punto 1 al 2 es2 2 2 2

W12 =

1(L)

Fq dl =

1(L)

Fq v dt =

1(L)

Fe dl = q

E dl1(L)

La contribucin del campo magntico a este trabajo es nula, vase la gura 1.12, o e e puesto que, segn la ley de Lorentz, la fuerza magntica es perpendicular a la trayectoria. u e9

Vase el problema 1-8 e

23 Esto no quiere decir que el campo magntico sea incapaz de transmitir energ a las e a cargas; segn hemos apuntado en otro lugar, los campos magnticos variables pueden u e producir un campo elctrico que, a su vez, puede trabajar sobre las cargas. e

1.6.

El campo electromagntico en el marco de la relativie dad de Galileo

Las leyes de Newton se completan con el principio de relatividad de Galileo, segn el u cual, stas tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales. Aunque este principio e no es vlido para el electromagnetismo, en el primer tomo se utilizarn las reglas de a a transformacin de los campos que se deducen del mismo, dejando la resolucin de este o o 10 . problema para otro lugar

1.6.1.

Relatividad de Galileo

El principio de relatividad de Galileo puede enunciarse de la siguiente manera: - Las leyes de Newton presentan la misma forma para todos los observadores inerciales. Partiendo de las leyes de Newton, de la concepcin absoluta e independiente del o espacio y del tiempo, del postulado de relatividad y de los principios de homogeneidad e isotrop segn los cuales el espacio es istropo y homogneo y el tiempo homogneo, a, u o e e se deduce la transformacin de coordenadas de Galileo , que en su forma estndar se o a expresan como sigue:

P=^ z ^ y

(x,y,z) (x,y,z)

r r^ z

O^ x

S Vt^ x

O S

^ y

Figura 1.13:

r t10

= r V t , V = cte = t

(1.22) (1.23)

En [Garc Olmedo] puede encontrarse un tratamiento ms amplio de esta cuestin. a a o

24 donde, gura 1.13, r es el vector de posicin, o coordenado, del punto P con respeco to al sistema de referencia S , r y V t los vectores coordenados, del mismo punto y del origen O de S , con respecto del sistema S. Como consecuencia de la ley de inercia, el movimiento relativo entre sistemas inerciales es de traslacin uniforme, es decir, o se mueven entre s con velocidades relativas V uniformes. Las expresiones anteriores corresponden a la versin estndar, o usual, de las transformaciones, la cual no es como a pletamente general: los sistemas de referencia S y S tienen el mismo origen temporal y las mismas escalas, 11 . Adems suelen utilizarse los mismos vectores unitarios de base a en ambos sistemas, = , = x, y, z. 1.6.1.1. Vectores y escalares. Invariantes galileanos

De acuerdo con lo expuesto en el apndice J, stos se caracterizan por las leyes de e e transformacin de sus componentes con respecto a los cambios de base y no porque o dichas componentes se transformen como las coordenadas. El vector de posicin es o efectivamente un vector porque sus componentes se transforman como tales frente a un cambio de los vectores unitarios de la base; permanece invariante frente a los cambios de los vectores de la base pero no frente a las transformaciones de Galileo que son transformaciones de coordenadas, desde un sistema S a otro S 12 . En este caso, el carcter a tensorial de una magnitud f sica no garantiza su invarianza galileana. Derivando con respecto al tiempo las coordenadas de la trayectoria de una part cula r(t) se obtiene la ley de composicin de velocidades de Galileo o v =vV (1.24)

donde v y v , las velocidades de la part cula con respecto a cada uno de los sistemas de referencia, son vectores no invariantes frente a las transformaciones de Galileo. Esta ley es incompatible con las leyes de Maxwell puesto que de ellas se deduce que las ondas electromagnticas se propagan con una velocidad cuyo mdulo c es un escalar invariante, e o hecho que hoy en dia est conrmado hasta un precisin del orden del cm s1 . a o Volviendo a derivar se deduce que la aceleracin de la part o cula a =a (1.25)

si es un invariante vectorial frente a las transformaciones de Galileo. Se entiende que un invariante vectorial (tensorial) no se ve afectado por la traslacin, slo cambian sus o o componentes si en la transformacin se cambia la base vectorial . Esto implica que el o cuadrado del mdulo a a = a2 + a2 + a2 = a2 es un escalar invariante galileano. Se o z y x dene como cuerpo inercial a aquel cuya aceleracin con respecto a un sistema inercial o es nula (a = 0), por lo que el carcter inercial es invariante. a Puesto que el principio de relatividad implica la invarianza de las leyes de Newton, F es un invariante vectorialPueden desplazarse los or genes incluyendo en el segundo miembro de la transformacin los trminos o e iniciales r0 y t0 e introducirse factores de escala, por ejemplo, escribiendo t = k t. 12 Adems del cambio de base, las transformaciones de coordenadas llevan consigo una traslacin del a o origen. En el caso de las de Galileo sta es dependiente del tiempo. e11

25

F = ma y, dado que la aceleracin tambin lo es, m, la masa inerte, es un invariante escalar, es o e decir, al cambiar de sistema inercial F =F , m =m (1.26)

Debemos tambin puntualizar que la ley de accin y reaccin requiere que la transe o o misin de las interacciones se realice a velocidad innita, lo que no es compatible con o las leyes del electromagnetismo ya que de ellas se deduce que esta velocidad debe ser nita. 1.6.1.2. Leyes de transformacin de los campos o

Las leyes de transformacin de los campos al cambiar de sistema inercial se deducen o de la ley de Lorentz 1.20 Fq (r) = q E(r) + v B(r) Al escribir de esta forma la ley de fuerza se sobreentiende que la carga q de la part cula es invariante q = q , puesto que la expresin se da por vlida para cualquier o a velocidad v de la misma. Por otra parte, como se ha visto anteriormente, la fuerza es un invariante vectorial F = F , luego E +v B = E +v B . Cada uno de los sumandos es un vector que, como se ver a continuacin, no es invariante frente a las transformaciones a o de Galileo. A partir de lo anterior y de la ley de composicin de velocidades se deducen o las leyes de transformacin de los campos utilizadas en el contexto galileano y que o se cumplen aproximadamente en la prctica para V V 2 V

V2

Figura 2.3: ya hemos anticipado que la unidad del potencial, el voltio es V = J C 1 . Tiene, pus, e dimensiones de energ por unidad de carga. a Las supercies equipotenciales, dV = 0, son las generadas por desplazamientos dr perpendiculares a las l neas de campo. Para V = cte, (E dr) = 0, luego, Edr.

2.2.4.

Energ potencial a

La realizacin de un balance energtico detallado, para un sistema f o e sico real, suele ser compleja puesto que existen mecanismos muy diversos de almacenamiento y transformacin de energ Empezaremos abordando los casos ms simples. o a. a Energ potencial de una carga en campo externo : a El balance energtico ms simple que podemos imaginar en un sistema elctrico e a e es el siguiente: imaginemos un proceso reversible en el que un carga se traslada desde una posicin r1 a otra r2 en presencia de un campo externo Ee creado por cargas que o permanecen inalterables durante el proceso. Bajo estas circunstancias, en el vac la o, unica fuente de irreversibilidad posible reside en los fenmenos de radiacin que se o o producen cuando una carga es acelerada. Aunque las prdidas por radiacin suelen e o ser pequeas, ser necesario asegurarse que durante la transformacin las aceleraciones n a o sufridas por la carga son despreciables. Equilibraremos las fuerzas que el campo externo ejerce sobre la carga con otra fuerza casi igual y contraria. Fcc = fuerza contra el campo Fcc Fc Fc = fuerza del campo

Esto permitir realizar transformaciones cuasiestticas y reversibles. a a Dado el carcter conservativo del campo electrosttico , el incremento de energ a a a potencial de una carga que se traslada desde la posicin inicial r1 a la nal r2 es, por o denicin, o

42

r2

r2

r2

W

= r1 r2

Fc dr = q

r1

Ee dr = q

r1

Ve dr

= qr1

dVe = q [Ve (r2 ) Ve (r1 )]

Para una carga situada en r

W (r) =r

Fc dr = q [Ve (r) Ve ()]

y, en el caso de que el innito pueda tomarse como origen de potenciales (Ve () = 0) W (r) = q Ve (r) (2.10)

Como ya hemos apuntado, esto ser siempre posible si las cargas que crean Ee estn a a en un volumen nito a distancia nita del observador. La energ potencial ser por lo tanto, el trabajo realizado por el campo para llevar a a, la carga hasta el innito o, de otra forma, la mxima energ que puede extraerse de la a a carga al trasladarla de su posicin inicial, en reposo, hasta el innito, tambin en reposo. o e Si el proceso se realizara de forma no reversible, con aceleraciones notables, parte del trabajo realizado por el campo se perder como energ radiada. a a Si en vez de una sola carga puntual quisiramos contabilizar la energ potencial de e a un sistema de N cargas puntuales y de una distribucin continua contenida en V, en el o seno de un campo producido por otro sistema externo de cargas, tendremos,N

W =i=1

qi Ve +

V

Ve dv

(2.11)

expresin que excluye a la energ de interaccin de las cargas testigo entre s o a o . Energ potencial de un sistema de cargas : a En el apartado anterior hemos considerado la interaccin de una carga con el campo o creado por un sistema de cargas externo. Consideraremos ahora la energ total de ina teraccin de un sistema de N cargas puntuales, cuya energ de formacin o autoenerg o a o a no tendremos en cuenta, situadas a distancias mutuas nitas Rij (vase la gura 2.4a). e Esta energ de interaccin ser la mxima que podr ser extra del sistema en a o a a a da un proceso en el que, partiendo de las posiciones iniciales, se llevara a las cargas hasta el innito, de tal forma que las distancias mutuas nales fuesen innitas y, en consecuencia, la energ de interaccin fuese nula. a o La energ potencial del sistema de cargas puntuales ser, pus, el trabajo que tena a e dr amos que realizar en contra del campo para trasladar a las cargas, de forma reversible, desde sus posiciones en el innito hasta sus posiciones nales ri . Puesto que el proceso es reversible, el trabajo total ser independiente del camino y a del orden en que se transporten las cargas.

43qj ^ z q1 ri ^ y ^ x (a) qj infinito (b) (c) qj Ri j qi qN qN qN

q1

q1

Figura 2.4: En primer lugar, tal como se indica en la gura 2.4b, trasladaremos a las cargas en el orden j = 1, ..., N , una a una, a sus posiciones nales. La energ potencial del a sistema esN

W =j=1

Wj

donde Wj es el trabajo que cuesta traer a la carga j en contra del campo de las j 1 que han sido trasladadas previamente. En particular, W1 = 0 porque cuando se traslada la primera carga no hay ninguna otra cercana a su posicin nal. o Podemos escribir, segn el prrafo anterior, u aj1 j1

Wj = qji=1

Vi (rj ) = qji=1

1 qi 40 Rij

siendo Vi (rj ) el potencial que la carga i produce en la posicin nal de la carga j. o Luego j1 N 1 qi W = qj 40 Rijj=1 i=1

A este mismo resultado podemos llegar invirtiendo el orden del transporte, de acuerdo con la gura 2.4c: dando a j los valores j = N, ..., 11 N N

W =j=N

Wj =j=1

qji=j+1

1 qi 40 Rij

Expresin en la que se ha tenido en cuenta que Wj es el trabajo que cuesta traer a la o carga qj cuando previamente se han traido las cargas qN , ..., qj+1 . Sumando ambas expresiones W = 1 2N N

qjj=1 i=1i=j

1 qi 40 Rij

44 1 W = 2N

qj Vjj=1

(2.12)

donde Vj es el potencial creado por el resto de las cargas del sistema (i = j) en la posicin rj ocupada por la part o cula j. 1 Aqu aparece un factor 2 , a diferencia del resultado obtenido en el prrafo anterior, a porque el campo contra el que hay que trabajar es el propio de las cargas del sistema y no un campo externo. Es necesario resaltar que en esta expresin no se incluye la energ necesaria para o a formar a las cargas puntuales o autoenerg de dichas cargas. La autoenerg de una a a carga puntual es singular, como puede comprobarse si intentamos construir una carga puntual Q = qj , a partir del sistema de cargas puntuales, haciendo Rij 0Rij 0

l m W =

Si en vez de una distribucin discreta de carga construimos una distribucin contino o ua, se obtiene 1 W = r)V (r) dv (2.13) 2 V ( Expresin que da cuenta de toda la energ necesaria para formar la distribucin sin o a o excluir los trminos de autoenerg Podemos construir la distribucin nal de carga e a. o continua a partir de la carga totalmente dispersa, en el innito, de forma que la energ a inicial de interaccin sea nula. Si, de acuerdo con la gura 2.5, vamos incrementando o gradualmente la densidad de cada punto de la distribucin, trasladando desde el innito o elementos de carga 2 q = dv, el potencial, V (r), que guarda una relacin lineal con sus o fuentes, var proporcionalmente a (r), lo que, de forma anloga al proceso analizado a a o previamente en base a cargas puntuales, hace aparecer el factor 1 en la expresin. 2^ z V r ( r ) q = dv2

V( r )

^ y ^ x

Figura 2.5:

2.2.5.

Ecuaciones de Poisson y Laplace

Buscaremos las ecuaciones locales que ligan al potencial electrosttico y a las densia dades de carga.

45 El campo electrosttico es conservativo , a no es solenoidal, E = , por lo que 02

E = 0 E = V , pero, en general, (2.14)

V =

0

Ecuacin de Poisson o

que, en el caso en que = 0, se convierte en2

V =0

Ecuacin de Laplace o

(2.15)

Vanse los problemas y los apndices correspondientes para la solucin anal e e o tica y numrica de estas ecuaciones . e

2.2.6.

Estructuras simples del campo elctrico e

Dada una distribucin de cargas determinada, disponemos de varias alternativas o para el clculo del campo elctrico resultante. Ciertas distribuciones, por poseer un alto a e grado de simetr permiten soluciones anal a, ticas simples, lo que realza su importancia. En general, las soluciones anal ticas exactas no son posibles y hay que recurrir a la obtencin de soluciones anal o ticas aproximadas o a soluciones numricas. e As pues, una distribucin con simetr plana, por ejemplo una en la que = (x), o a gura 2.6-a, es vista por un observador desde P1 (x1 , y1 , z1 ) exactamente de la misma forma que desde P2 (x1 , y2 , z2 ). Slo es capaz de discernir los detalles de las fuentes en o la direccin x. o V V = (x) = =0 V = V (x) E = E(x) x y z De la misma forma, para distribuciones con simetr cil a ndrica o esfrica, guras e 2.6-b y 2.6-c,^ y P 2(x 1 2 )2 ,y ,z ^ x ^ z E=E(x) x^ =( x ) =( ) =( r ) ^ r

^

P1 (x 1 1 )1 ,y ,z

(a)

(b)

(c)

Figura 2.6:

V V = =0 z V V = (r) = =0 = ()

V = V () V = V (r)

E = E() E = E(r) r

46 A pesar de que las distribuciones con alto grado de simetr carecen de generalidad, a su sencillez les presta una gran importancia terica y prctica. o a

2.3.2.3.1.

Campo magntico producido por corrientes estae cionarias. Fuerza sobre corrientes estacionariasCampo

El campo magntico que produce una corriente estacionaria viene dado por la ley e de Biot y Savart. Podr amos presentar esta ley en detalle, como hemos hecho con la de Coulomb, pero nos limitaremos a resaltar que la estructura del campo magntico es e ms compleja que la del elctrico porque el integrando es un vector 5 , perpendicular a a e la densidad de corriente y al vector de posicin relativa, pero que tambin sigue una o e ley del inverso del cuadrado de la distancia. En el sistema M KSA, en el cual el campo magntico se mide en teslas ,(T ),, esta ley toma la forma e B(r) = 0 4 jV

R dv R3

(2.16)

V es el volumen del tubo de corriente estacionaria. La expresin o dB = R 0 j 2 dv 4 R

slo tiene sentido como integrando, puesto que un elemento de corriente j dv no conso tituye por s mismo una corriente estacionaria ( gura 2.7). dB

R

j I dv

Figura 2.7: [B] =5

T esla = W eber m2 = 104 gauss (MKSA)

En sentido estricto, el integrando y, en consecuencia, el propio campo, son pseudovectores.

47 La constante 0 , permeabilidad del vac se dene numricamente como o, e 0 4 107 N A2 Un caso particular de corriente estacionaria es la espira: tubo de corriente cerrado y con seccin despreciable, gura 2.8. o

I dl j dvFigura 2.8: Si la seccin es pequea pueden denirse ds j dl o n e I = S j ds , siendo S una seccin del tubo. o Substituyendo en 2.16 B(r) = luego B(r) = 0 I 4L 6,

ds

con lo que dv = ds dl

0 4

jV

0 R (ds dl ) = 2 R 4

dl V

R (j ds ) R3

dl R R3

(2.17)

que es la expresin, para espiras, de la ley de Biot y Savart. o

2.3.2.

Fuerza

La fuerza ejercida por un campo magntico sobre un tubo de corriente estacionaria, e de acuerdo con la ley de Lorentz, es F = y, en el caso de una espira F = 0 I 4 dl BL

0 4

j B dvV

(2.18)

(2.19)

Podemos comprobar, gura 2.9, que la fuerza dF que un elemento de corriente I dl ejerce sobre otro I dl no cumple el principio de accin y reaccin. Esto es debido a la o o asimetr del triple producto vectorial: a6

indica que los dos vectores son paralelos y tienen la misma direccin. o

48

dF dF

= =

0 (dl R) I I dl , dF dl, dB 4 R3 0 (dl (R) I I dl , dF dl , dB 4 R3

dB d F I d l R -R Idl dF Figura 2.9: Esto carece de trascendencia puesto que la ley de Biot y Savart slo e