10/10/2019

1

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CHƯƠNG 1

10/10/2019 1

NỘI DUNG

Ma trận

Các loại ma trận

Phép toán ma trận: Cộng

Trừ

Nhân vô hướng

Nhân hai ma trận

Ma trận nghịch đảo

Ứng dụng ma trận

10/10/2019 2

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

Một ma trận cấpmxn là một bảng sốhình chữ nhật gồmmxn phần tử, gồm mhàng và n cột.

(m x n): cấp của matrận

A = [aij] // aij is called(i, j)-entry

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a ahay A

a a a10/10/2019 3

VÍ DỤ

Một ma trận cấp 2x3 // 2 dòng, 3 cột

7 -3 1/2

3 -5 0

(1,3)-phần tửa[1,3] = 1/2a13 = 1/2

3 x 3matrix,a square matrix

3 x 1 matrixcolumn matrix

A =

10/10/2019 4

VÍ DỤ

Ký hiệu ma trận:

Ví dụ:

Đây là ma trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột

Các phần tử

ij m nA a

1 2 7 0

4 5 7 1

0 2 8 9

A

11 12 13 14

22 32

1 2 7 0

5 ?

a a a a

a a10/10/2019 5

CÁC LOẠI MA TRẬN

Ma trận vuông

Ma trận không

Ma trận hàng - ma trận cột

Ma trận tam giác trên – dưới

Ma trận chéo

Ma trận đơn vị

Ma trận chuyển vị

Ma trận bậc thang

Ma trận đối xứng

Ma trận phản đối xứng

10/10/2019 6

10/10/2019

2

MA TRẬN VUÔNG

Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.

Đường chéo chính gồm các phần tử:

11 12 1

21 22 2

ij

1 2

n

n

n n nn

n n

a a a

a a aA a

a a a

11 22, ,...,

nna a a

10/10/2019 7

MA TRẬN KHÔNG

Tất cả các phần tử đều bằng 0.

Ký hiệu: 0 hay 0mxn

0 0 0

0 0 00 0

0 0 0

m n

10/10/2019 8

MA TRẬN HÀNG, CỘT

Ma trận hàng: chỉ có một hàng

Ma trận cột: chỉ có một cột

1

21 2 3 4 5

4

5

A B

10/10/2019 9

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận vuông

Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

1 2 3 41 2 3

0 0 2 10 4 5

0 0 8 90 0 6

0 0 0 4

A B

0ija i j

10/10/2019 10

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

Ma trận vuông

Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 01 0 0

2 0 0 03 4 0

0 6 8 05 0 6

9 3 1 4

A B

0ija i j

10/10/2019 11

MA TRẬN CHÉO

Ma trận vuông

Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 01 0 0

0 0 0 0 00 4 0

0 0 8 0 00 0 6

0 0 0 4

aA B C

b

0ija i j

10/10/2019 12

10/10/2019

3

MA TRẬN ĐƠN VỊ

Ma trận chéo

Các phần tử chéo đều bằng 1.

Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

2 3 4

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 00 1 0

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

I I I

10/10/2019 13

MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX

Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên củamột hàng kể từ bên trái.

Ma trận bậc thang:Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dướicùng.

Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùngcột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

10/10/2019 14

VÍ DỤ 1

2 1 0 0

0 0 7 1

0 4 8 9

0 0 0 9

3 1 0 0 3

0 0 0 1 2

0 0 0 9 1

A

B

Không là bậc thang

Không là bậc thang

10/10/2019 15

VÍ DỤ 2

2 1 0 0

0 4 8 9

0 0 7 1

0 0 0 0

3 1 0 0 3

0 0 3 1 2

0 0 0 9 1

C

D

bậc thang

bậc thang

10/10/2019 16

MA TRẬN CHUYỂN VỊ

10/10/2019 17

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG

10/10/2019 18

10/10/2019

4

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG

1. Đổi chỗ hai hàng với nhau

2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0

3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân vớimột số.

4. Tổng hợp phép 2 và 3.

Tương tự ta có các phép bđsc trên cột.

i jh h

. 0i ih k h k

.i i jh h h

. .i i jh k h h

10/10/2019 19

VÍ DỤ 3

Thực hiện phép biến đổi ma trận sau:

Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A.

Ký hiệu: A’ ~ A

2 2 1

3 3 1

3 3 29

2 3 28

1 2 3 4

8 7 5 3 ? ??

2 3 0 1

?? '

h h hh h h

h h h

h hA

A

10/10/2019 20

ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG

Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.

Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau

'

,

elementary row operationsA A

arbitrary form staircase form not unique

10/10/2019 21

VÍ DỤ 4

10/10/2019 22

VÍ DỤ 4

10/10/2019 23

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1. Ma trận bằng nhau

2. Cộng hai ma trận cùng cấp

3. Nhân một số với ma trận

4. Nhân hai ma trận

5. Lũy thừa của một ma trận

10/10/2019 24

10/10/2019

5

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

Hai ma trận A và B bằng nhau (ký hiệu A = B) khi và chỉ khi:

1. Chúng có cùng cấp.2. Các phần tử tương ứng bằng nhau.

Example. Given

discuss the possibility that A = B, B = C, A = C

10/10/2019 25

PHÉP TOÁN MA TRẬN

Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij]

Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij]

Nhân vô hướng

Nhân hai ma trận

Hai ma trậnphải cùng cấp

10/10/2019 26

CỘNG HAI MA TRẬN

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

1 2

4 5

2 1

4 5

a dA B

b c

a dA B

b c

10/10/2019 27

CỘNG HAI MA TRẬN

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

1 2 4 3 2 6;

3 0 5 1 5 7A B

)

)

)

a A B

b A B

c B A

10/10/2019 28

NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN

Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả cácphần tử của ma trận.

Ví dụ.

1 2 22

2 2

2 10 62

4 5

a aA A

b c b c

B Bx

10/10/2019 29

TÍNH CHẤT

) )

) 0 )

) )

a A B B A b A B C A B C

c A A d k A B kA kB

e k mA km A f k m A kA mA

. :

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

:

1 2) )2 3 )

3 7

Example Given that

A B

Compute

a A B b A B c A B

use your

calculator

10/10/2019 30

10/10/2019

6

VÍ DỤ

Rút gọn biểu thức:

2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)]

Trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp.

Đáp án: 2A-3B

10/10/2019 31

ADDITION. DIFFERENCE SCALAR MULTIPLICATION

day 1

day 2

110 230 280300 155 38935 117 201

day 1 + day 2?

day 1 – day 2?

2(day 1)?

addition

difference

Scalar multiplication

10/10/2019 32

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO

peanuts soda hot dogs

group A 8 5 12

group B 15 7 13

selling price store 1 store 2 store 3 store 4

peanuts 2 2.5 2 2.5

soda 2.5 2 2.75 2

hot dogs 3 3 2.5 3

store 1 store 2 store 3 store 4

group A 64.5 66 59.75 66

group B 86.5 87.5 81.75 90.5

8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$

10/10/2019 33

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

Am n . Bn p = Cm p // cấp và thứ tự phải phù hợp

Phần tử cij = (hàng i của A).(cột j của B)

Q. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau?

A.

2

0121

2101

02

10

21 1.1+2.13 4 1 2

-1 -2 -1 0

-2 0 2 -4

-1 -2 -1 0

-2 0 2

143

10/10/2019 34

VÍ DỤ 5Các ma trận nào nhân được với nhau?

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

1 2

2 4 1 2 3

0 1 2 4 1

3 7

A B

C D

10/10/2019 35

QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN

Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i củama trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.

Ví dụ. Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận vớicột 3 của B. (giống nhân tích vô hướng các vecto)

hang cotijc i j

C A B

10/10/2019 36

10/10/2019

7

VÍ DỤ 6

10/10/2019 37

VÍ DỤ 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

10/10/2019 38

TÍNH CHẤT

10/10/2019 39

ỨNG DỤNG

A

(0, 0) (5, 0)

(3, 5)

(2, 3) (4, 3) 0 5 2 4 30 0 3 3 5

D=

Cho A = 2 00 2

, 𝑇ì𝑚 𝐴𝐷.

0 10 4 8 60 0 6 6 10 A

10/10/2019 40

LŨY THỪA CỦA MA TRẬN

10/10/2019 41

VÍ DỤ 8

10/10/2019 42

10/10/2019

8

VÍ DỤ 9

10/10/2019 43

VÍ DỤ 10

10/10/2019 44

VÍ DỤ 11

10/10/2019 45

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang

Ký hiệu: r(A) hay rank(A)

r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Ma trận bậc thang của A:

A→..bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

10/10/2019 46

VÍ DỤ 12

10/10/2019 47

VÍ DỤ 13

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận sau.

1 0 3 2 2 0 1 2

0 1 2 1 0 1 2 3

2 0 6 4 5 0 6 4

1 2 3 3 2 3 1 4

2 4 6 9 3 4 2 9

2 6 7 6 2 0 1 3

A B

C D

10/10/2019 48

10/10/2019

9

VÍ DỤ 14

Tìm hạng của ma trận

3 21 0 9 0

1 7 1 2 1

2 14 0 6 1

6 42 1 13 0

A

10/10/2019 49

TÍNH CHẤT

)

)

) min ,

) 0 0

T

ij m n

i r A r A

ii A B thì r A r B

iii A a thì r A m n

iv r A A

10/10/2019 50

VÍ DỤ 15

10/10/2019 51

VÍ DỤ 16

10/10/2019 52

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông A, ma trận Bđược gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận Anếu:

Ma trận A có ma trận nghịch đảo thì được gọi là matrận khả nghịch (invertible matrix)

Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là A-1

Tính chất: 1

1

.

.

AA I

A A I

.

.

AB I

B A I

10/10/2019 53

VÍ DỤ

10/10/2019 54

10/10/2019

10

CHÚ Ý

Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo)

Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.

Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.

10/10/2019 55

THE INVERSE OF 2X2 MATRICES

Example:

determinant of A, denoted

by det(A)

1 1a b d bA A

c d c aad bc

11 2 3 21

4 14 3 5A A

10/10/2019 56

MA TRẬN SƠ CẤP

Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.

Ví dụ.

10/10/2019 57

CHÚ Ý

Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng.

Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.

10/10/2019 58

VÍ DỤ 17

10/10/2019 59

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ta có:

10/10/2019 60

10/10/2019

11

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

10/10/2019 61

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

10/10/2019 62

CLASS WORK

Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có.

10/10/2019 63

TÍNH CHẤT

Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có:

11

1 1 1

11

)

) . .

)T

T

i A A

ii AB B A

iii A A

) . .

) . .

iv AB AC B C

v B A C A B C

10/10/2019 64

SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

10/10/2019 65

VÍ DỤ 19

Tìm m để các ma trận sau khả nghịch.

1 1 2 1 1 1 1

2 1 2 3 1 4

3 2 1 3 3 1

A m B

m m

10/10/2019 66

10/10/2019

12

VÍ DỤ

10/10/2019 67

COROLLARY

If A and C are square matrices such that AC = I, thenalso CA = I. In particular, both A and C are invertible:

C = A-1, and A = C-1.

Corollary above is false if A and C are not square matrices

10/10/2019 68

TỔNG HỢP

Ma trận là gì? Phân loại?

Các phép toán với ma trận?

Hạng của ma trận?

Ma trận khả nghịch?

10/10/2019 69

BÀI 1

10/10/2019 70

BÀI 2

10/10/2019 71

BÀI 3

10/10/2019 72

10/10/2019

13

BÀI 4

10/10/2019 73

BÀI 5

10/10/2019 74

BÀI 6

10/10/2019 75

ĐỊNH THỨCDETERMINANT

10/10/2019 76

NỘI DUNG

Cách tính định thức của một ma trận vuông

Biến đổi định thức

Ứng dụng định thức

10/10/2019 77

ĐỊNH THỨC

Cho ma trận A vuông, cấp n.

Định thức của ma trận A, ký hiệu:

Đây là một số thực, được xác định dựa trên các phần tửtrong ma trận.

det A hay A

10/10/2019 78

10/10/2019

14

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, 2

Ma trận vuông cấp 1:

Ma trận vuông cấp 2:

111

22

2

21 2 2

aA

a

a

a

11 11det A a hay A a

11 1 1A a

11 22 21 12

11 12

11 22 21 1221 22

det . .

. .

A a a a a

a aa a a a

a a

10/10/2019 79

ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3

𝐴 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

det(A) =

+a.det𝑒 𝑓ℎ 𝑖

- b.det𝑑 𝑓𝑔 𝑖

+ c.det𝑑 𝑒𝑔 ℎ

= aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge

+ - +

10/10/2019 80

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

Ta có quy tắc Sarrus.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

det . . . . . .

. . . . . .

A a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

10/10/2019 81

VÍ DỤ

Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus

1 2 3 1 2 1

0 5 7 0 1 0

1 2 8 2 2 2

5 7 6 0 1 1

1 2 5 1 2 2

0 3 9 3 3

A C

m m

m

B D

m

10/10/2019 82

ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT

Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột)

Ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏđi hàng thứ i và cột thứ j.

Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác địnhnhư sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

......

......

.............................

......

n

n

n n nn n n

a a a

a a aA

a a a

ij ij ij1 det 1i j i j

A M M

10/10/2019 83

Cho ma trận:

4 4

3 21 0 9

1 7 1 2

2 14 0 6

6 42 1 13

A

VÍ DỤ 1

M23=??? Cofactor(a23)= A23=???

Ma trậnGiá trị, số10/10/2019 84

10/10/2019

15

VÍ DỤ 1

23 23

3 21 9

2 14 6

6 42 13

M Mboû haøng 2 vaø coät 3

23???A

10/10/2019 85

KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT

Định thức của ma trận vuông cấp n:

Đây là khai triển theo dòng 1.

Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ.

11 11 12 12 1 1det . . ...

n nA a A a A a A

1 1 2 2 ij ij1

detn

i i i i in inj

A a A a A a A a A

n

1j 1j 2j 2j nj nj ij iji=1

detA = a A + a A + a A = a A

10/10/2019 86

TỔNG QUÁT

11 111 1

11 12

11 22 21 12 11 11 12 1221 22 2 2

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13

31 32 33

) 1 : det

) 2 : det . . . .

) 3 : det . .

a k A a thì A a

a ab k A thì A a a a a a A a A

a a

a a a

c k A a a a thì A a A a A a A

a a a

10/10/2019 87

VÍ DỤ 3

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo cột 1.

Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển.

1 2 3

0 5 7

0 2 8

A

1+1 1+2 1+357 07 05detA=1. -1 +2. -1 +3. -1

28 08 02

detA=1. 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26

1+1

21 31

57detA=1. -1 +0.A +0.A 1. 5.8-2.7 =26

28

10/10/2019 88

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

DETERMINANT = a11.a22…ann

10/10/2019 89

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

Ví dụ. Tính định thức của hai ma trận sau:

1 2 3 4 21 0 0 0

0 5 7 6 2 5 0 0

0 0 61 5 3 9 6 0

0 0 0 2 4 8 1 2

A B

10/10/2019 90

10/10/2019

16

VÍ DỤ

Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng:

𝐴 =−2 13 2

𝑣à 𝐵 =5 −21 4

det(A.B) = det(A).det(B)det(A+B) det(A) + det(B)

10/10/2019 91

VÍ DỤ

Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu:

𝐴 =−2 31 5

o det(cA) = cndet(A) o det(Ak) = [det(A)]k

10/10/2019 92

TÍNH CHẤT

Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta có:

o det(A.B) = det(A).det(B)

o det(kA) = kndet(A)

o det(AT) = det(A)

o det(A-1) = 1/det(A)

o det(Ak) = [det(A)]k

10/10/2019 93

VÍ DỤ

o Tính các định thức sau:

|𝐴| =−1 2 30 3 20 0 −2

= −1.3. −2 = 6,

0 3 2−1 2 30 0 −2

= −6 // đổi dòng 1 với dòng 2 từ ma trận A,

2 −4 −60 3 20 0 −2

= −12 // nhân hàng 1 của ma trận A với số -2

10/10/2019 94

VÍ DỤ

o Tính định thức sau:

−1 2 −20 5 12 −4 5

= −5

và−1 2 −20 5 10 0 1

= −5

Ma trận trong định thức sau có được từ ma trận ban đầu bằngcách thay dòng 3 bằng (2* dòng2 + dòng 3)

Chúng có cùng định thức

10/10/2019 95

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC

10/10/2019 96

10/10/2019

17

ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS

10/10/2019 97

EXAMPLE

10/10/2019 98

VÍ DỤ 4

10/10/2019 99

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC

10/10/2019 100

VÍ DỤ 5

10/10/2019 101

VÍ DỤ 5

10/10/2019 102

10/10/2019

18

NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC

1.

2.

3.

10/10/2019 103

VÍ DỤ 6 – SINH VIÊN TỰ LÀM

Tính định thức ma trận sau:

1 2 3 41 2 3

0 5 7 60 5 7

1 2 8 51 2 8

0 0 0 2

A B

1 2 1 5

0 6 4 3C=

1 3 4 6

1 2 4 510/10/2019 104

VÍ DỤ

10/10/2019 105

ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH

Định thức con của ma trận:

Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A.

Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn

- Số cách chọn k dòng

- Số cách chọn k cột

Số định thức con cấp k???10/10/2019 106

VÍ DỤ 8

Cho ma trận A.

Hãy lập tất cả các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?

Định thức con cấp mấy lớn nhất?

1 0 1 2

0 1 2 1

1 1 3 3

A

10/10/2019 107

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạngcủa ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp caonhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A.

Nếu rank(A)=r thì:

a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A .

b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thìphải bằng 0.

10/10/2019 108

10/10/2019

19

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:

Nếu ma trận A khả nghịch thì:

det 0

det 0

nA A I

A r A n

A A

A A

i) khaû nghòch

ii) khaû nghòch

iii) khaû nghòch

iv) khoâng khaû nghòch

11 1) det )det det

det

n

Aa A b P A

A

10/10/2019 109

MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX)

Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA

Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đạisố của ma trận A.

11 12 1 1

21 22

11

12

21

2

1

22

21

2

2

...

...

... ... ... ...

...

T

T

ij

n n

n n

A

nnn nn n nn

A

A

A

adjA A

A A A A

A A A AP

AA A A A

A

A

10/10/2019 110

VÍ DỤ

Cho ma trận

A) Tìm ma trận phụ hợp của A

B) Tính các ma trận tích sau:

.

.

A

A

A P

P A

10/10/2019 111

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP

1 1

det AA P

A

Định lý. Nếu A là ma trận vuông thì:

Nếu detA≠0 thì ma trận A khả nghịch và ma trậnnghịch đảo của A cho bởi công thức sau:

A AdetA.P =P .A=k.I, k A

10/10/2019 112

VÍ DỤ

1

1 1 2 2 1 3

0 2 1 det 2, 0 1 1

0 0 1 0 0 2

2 1 3 1 1 / 2 3 / 21 1

0 1 1 0 1 / 2 1 / 2det 2

0 0 2 0 0 1

A

A

A A P

A PA

Chú ý:

10/10/2019 113

VÍ DỤ 9

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A

det ???A

10/10/2019 114

10/10/2019

20

VÍ DỤ 9

Bước 1. Tính detA

Ta có:

detA≠0 nên ma trận A khả nghịch.

Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA

3 4 6 3 4 23 2

det 0 1 1 0 1 0 12 1

2 3 4 2 3 1

A

10/10/2019 115

VÍ DỤ 9

Ta có:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 0 1 0 11 2 2

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 42 0 1

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 42 3 3

1 1 0 1 0 1

A A A

A A A

A A A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 2 2 1 2 2

2 0 1 2 0 1

2 3 3 2 3 3

T

A

A A A

A A A P

A A A

10/10/2019 116

VÍ DỤ 13

Ta có:

1 2 2 1 2 2

2 0 1 2 0 3

2 3 3 2 1 3

1 2 2 1 2 21 1

2 0 3 2 0 3det 1

2 1 3 2 1 3

T

A

A

P

A PA

10/10/2019 117

BÀI 1

Tính định thức của các ma trận sau:

B

10/10/2019 118

BÀI 2

10/10/2019 119

BÀI 3

10/10/2019 120

10/10/2019

21

BÀI 3

10/10/2019 121

BÀI 4

10/10/2019 122

BÀI 5

10/10/2019 123

BÀI 6

10/10/2019 124

BÀI 7

10/10/2019 125

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

1. Nhập ma trận.

Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán.

Nhập kết quả vào bằng phím =,

Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (MatB)

Lập lại tương tự cho MatC.

Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi

10/10/2019 126

10/10/2019

22

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

2. Tính định thức

Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) =

3. Tìm ma trận nghịch đảo

Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)

4. Giải phương trình: AX = B

Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1 x

MatB để cho kết quả của X.

10/10/2019 127

KIỂM TRA 20PH

Bài 1. Cho hai ma trận:

Tìm:

Bài 2. Tìm r(A) và ma trận nghịch đảo của A nếu có:

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A

3 4 6 1 2 3

0 1 1 2 4 9

2 3 4 2 16 5

A B

2) 3 2 ) 2 ) .Ta A B I b A B c AB

10/10/2019 128