Ingeniería de Software - Clase 6

Editorial label ECORFAN: 607-8695

BCIERMMI Control Number: 2019-270

BCIERMMI Classification (2019): 241019-270 Pages: 16

RNA: 03-2010-032610115700-14

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DOI - REDIB - Mendeley - DIALNET - ROAD - ORCID

Authors: TREJO-SOSA, Laura Elena y ALAZKI, Hussain

Conference: Interdisciplinary Congress of Renewable Energies, Industrial Maintenance, Mechatronics

and Information Technology

BOOKLET

Title: Control robusto adaptable para sistema no inercial: acrobot sobre un carro

Holdings

• Introducción

• Modelo Matemático del Acrobot sobre un carro

A. Diseño del Controlador Adaptable

• Simulación de Resultados

• Conclusión

• Referencias

Introducción

El péndulo invertido sobre un carro es un ejemplo clásico no lineal de un sistema sub-actuado (T. Hermi, et al, 2009).

Péndulo invertido: marco de referencia inercial y marco de referencia no inercial (E. Tocaci, 2012).

Algunas configuraciones de los péndulos: Péndulo simple, péndulo rotatorio, péndulo Foucault, Péndulo sobre un carro, péndulo doble (J. Rubi, et al., 2002).

Introducción

Péndulo doble (Spong, et al., 1995): Pendubot y Acrobot.

Métodos de control enfocados en las tareas de postura y/o balance.

Control Robusto:

SMC Sliding Mode Control – Control por Modos Deslizantes (J. Slotine, et al., 1983).

ST Super-Twisting – Super Torsión.

Second ASMC Second Adaptive Sliding Mode Control Law – Segunda ley de Control

Adaptable por Modos Deslizantes (V. Utkin, et al., 2013).

Modelo Matemático del Acrobot sobre un carro

Figura 1 Péndulo Acrobot sobre un carro en un marco de

referencia no inercial. Fuente: Elaboración propia.

𝑀 𝑞 𝑞 + 𝐶 𝑞, 𝑞 𝑞 + 𝐺 𝑞 = 𝑄 (1)

w =Aceleración horizontal del carro.

𝑥=Desplazamiento horizontal del carro.

q1=Ángulo entre el eslabón 1 y la horizontal.

q2=Ángulo entre el eslabón 2 y el eslabón 1.

𝑔=Aceleración gravitacional.

𝑚1, 𝑚2=Masas de los eslabones 1 y 2.

𝐿1, 𝐿2=Longitudes de los eslabones 1 y 2.

𝑙𝑐1, 𝑙𝑐2=Distancia del eje del centro de masa de los eslabones 1 y 2.

𝐼1,𝑧𝑧, 𝐼2,𝑧𝑧=Momentos de inercia de los eslabones 1 y 2.

Modelo Matemático del Acrobot sobre un carro

Matriz de inercia

Matriz de Coriolis y Fuerzas centrípetas

𝑀 𝑞 =𝑀11 𝑀12

𝑀21 𝑀22

𝑀11 = 𝑚2𝐿12 +𝑚1𝑙𝑐1

2 +𝑚2𝑙𝑐22 + 𝐼1,𝑧𝑧 + 𝐼2,𝑧𝑧 + 2𝑚2𝐿1𝑙𝑐2𝑐𝑜𝑠(𝑞2)

𝑀12 = 𝑀21 = 𝑚2𝑙𝑐22 + 𝐼2,𝑧𝑧 +𝑚2𝐿1𝑙𝑐2𝑐𝑜𝑠(𝑞2)

𝑀22 = 𝑚2𝑙𝑐22 + 𝐼2,𝑧𝑧

𝐶 𝑞, 𝑞 =−2𝜙 𝑞2 −𝜙 𝑞2𝜙 𝑞1 0

𝜙 = 𝑚2𝐿1𝑙𝑐2 sin 𝑞2

Modelo Matemático del Acrobot sobre un carro

El vector de Gravedad es

Vector de fuerzas generalizadas

ℎ1 = 𝑚1𝑙𝑐1 +𝑚2𝐿1 𝑐𝑜𝑠(𝑞1

)ℎ2 = 𝑚2𝑙𝑐2co s( 𝑞1 + 𝑞2

𝐺 𝑞 = (ℎ1 + ℎ2 ℎ2𝑔𝑇

𝑄 = 𝛿1 𝜏 + 𝛿2𝑇

donde 𝜏 ∈ ℝ es el torque de entrada, y 𝛿1, 𝛿2 ∈ ℝ son los efectos no inerciales.

𝛿1 = [ 𝑚1𝑙𝑐1 +𝑚2𝐿1 sin 𝑞1 +𝑚2𝑙𝑐2 sin 𝑞1 + 𝑞2 ] 𝑤

𝛿2 = [𝑚2𝑙𝑐2sin(𝑞1 + 𝑞2)] 𝑤

Modelo Matemático del Acrobot sobre un carro

Espacio del estado

La dinámica del Péndulo es dada por

𝑓1 𝑡, 𝑞 𝑡 = 𝑀11 𝛿1 + 𝜇1 + 𝑀12 𝛿2 + 𝜇2

𝑓2 𝑡, 𝑞 𝑡 = 𝑀12 𝛿1 + 𝜇1 + 𝑀22 𝛿2 + 𝜇2

𝜇1 = −𝜙 𝑞22 − 2𝜙 𝑞1 𝑞2 + ℎ1 + ℎ2 𝑔

𝜇2 = 𝜙1 𝑞12 + ℎ2𝑔

𝑀11 =𝑀22

𝑀11𝑀22 −𝑀122

𝑀12 = 𝑀21 =−𝑀12

𝑀11𝑀22 −𝑀122

𝑀22 =𝑀11

𝑀11𝑀22 −𝑀122

𝑥 =

𝑥3𝑥4

𝑓1 )𝑡, 𝑥(𝑡 + 𝑀12𝑢 𝑡

𝑓2 )𝑡, 𝑥(𝑡 + 𝑀22𝑢 𝑡

𝑥 ≔ 𝑞1, 𝑞2, 𝑞1, 𝑞2𝑇

(3)

(2)= 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4

𝑇

Modelo Matemático del Acrobot sobre un carro

Condición inicial

Variable deslizante elegida

x 0 = 𝑥1 0 , 𝑥2 0 , 𝑥3 0 , 𝑥4 0 =𝜋

2, 0,00

𝑠 ≔ 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4, 𝑐1, 𝑐2 > 0

(4)

(5)

Diseño del Control Adaptable

𝑠 = 𝑓1 𝑥, 𝑡 + 𝑓2 𝑥, 𝑡 + 𝑐1𝑥3 +⋯+ 𝑐2𝑥4 + 𝑀12 + 𝑀22 𝑢 𝑡

donde 𝑀 = 𝑀12 + 𝑀22, y los efectos no deseados 𝑓1 𝑥, 𝑡 + 𝑓2 𝑥, 𝑡 se agrupan

𝜏 𝑡 = −1

𝑀𝑢 + 𝑐1𝑥3 + 𝑐2𝑥4 , 𝑐1, 𝑐2 > 0

= 𝜑 𝑥, 𝑡 + 𝑐1𝑥3 + 𝑐2𝑥4 + 𝑀𝜏

)𝜑 𝑥, 𝑡 ≔ 𝑓1 𝑥, 𝑡 + 𝑓2(𝑥, 𝑡

La propuesta del control 𝜏 𝑡

Diseño del Control Adaptable

El control 𝜏 𝑡

𝑢 𝑠, 𝑡 = −𝐾 𝑡 1 + 𝜆 𝑥2+ 𝜖 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠 𝑥 )

donde la ganancia 𝐾(𝑡) puede variar en un rango de 𝜂, 𝑘+ , 𝜂 > 0 es un mínimo

valor de K, 𝜆 ≥ 0, 𝜖 > 0. El parámetro 𝜖 es introducido para obtener solo valores

positivos para K.

𝜏 𝑡 = −1

𝑚(𝐾 𝑡 1 + 𝜆 𝑥

2+ 𝜖 ∗ 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑠 + 𝑐3𝑥3 + 𝑐4𝑥4

(6)

(7)

Simulación de Resultados

NotaciónValor

numéricoNotación

Valor

numérico

𝒎𝟏

𝒎𝟐0.265kg

𝑙𝑐1𝑙𝑐2

0.103𝑚

𝑳𝟏𝑳𝟐

0.206𝑚𝑰𝟏,𝒛𝒛,

𝑰𝟐,𝒛𝒛

2.3428𝑥10−4

𝑘𝑔𝑚2

𝒄𝟏 1 𝒄𝟐 3

𝜼 0.001 𝒘 0.5𝑚/𝑠2

𝒌+ 3 𝒈 9.81𝑚/𝑠2

𝝀 3.2 𝝐 0.003

𝐏 −0.0115 𝒄𝟑, 𝒄𝟒 1

𝑰 −0.0017 𝐃 −0.0183

Tabla 1 Parámetros para la simulación del Péndulo Acrobot sobre un carro del

control ASMC y el PID. Fuente: Elaboración propia.

Simulación de Resultados

Figura 2 Respuesta del estado 𝑥1 con ASMC del

Péndulo Acrobot sobre un carro. Fuente: Elaboración propia.

Figura 3 Respuesta del estado 𝑥2 con ASMC del

Péndulo Acrobot sobre un carro. Fuente: Elaboración propia.

Figura 4 Respuesta de los estados 𝑥3 y 𝑥4con ASMC del Péndulo Acrobot sobre un carro. Fuente: Elaboración propia.

Simulación de Resultados

Figura 5 Respuesta de los estados del Péndulo Acrobot sobre un carro con PID . Fuente:

Elaboración propia.

Simulación de Resultados

Figura 6 Comparación de la respuesta del estado 𝑥1aplicando ASMC y PID al Péndulo Acrobot sobre un carro.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 7 Comparación de la respuesta del estado 𝑥2aplicando ASMC y PID al Péndulo Acrobot sobre un carro.

Fuente: Elaboración propia.

Conclusión

En este trabajo se presentó un modelo matemático a partir del Lagrangiano seguidode las matrices correspondientes al Espacio del estado para el Acrobot sobre uncarro en un marco de referencia no inercial. Además, el diseño del ControlAdaptable por Modos Deslizantes fue implementado para estabilizar al sistema ensuposición invertida. En la simulación mediante la plataforma de Simulink del

software de Matlab,se visualizó el comportamiento del sistema no inercial con lametodología adaptable, la cual fue comparada con la respuesta de un control PID, ylos resultados mostraron robustez cuando se aplicó el ASMC al rechazar los efectosno inerciales no deseados.

Referencias

Henmi, T., Deng, M., & Inoue, A. (2009). Swing-up controller for the acrobot using skill of human movements. International Journal of Modelling, Identification and Control, 6(3), 222-229.

Rubi, J., Rubio, A., & Avello, A. (2002). Swing-up control problem for a self-erecting double inverted pendulum. IEE Proceedings-Control Theory and Applications, 149(2), 169-175.

Spong, M. W., & Block, D. J. (1995, December). The pendubot: A mechatronic system for control research and education. . In Proceedings of 1995 34th IEEE Conference on Decision and Control, (Vol. 1, pp. 555-556). IEEE.

Slotine, J. J., & Sastry, S. S. (1983). Tracking control of non-linear systems using sliding surfaces, with application to robot manipulators. International journal of control, 38(2), 465-492.

Tocaci, E. (2012). Relativistic mechanics, time and inertia (Vol.8). Springer Science & Business Media.

Utkin, V. I., & Poznyak, A. S. (2013). Adaptive sliding mode control. In Advances in sliding mode control (pp. 21-53). Springer, Berlin, Heidelberg.

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