· eralUras corporais suficientemente eLevadas para que possam',·oar.

Walker, learl: "The Amateur Scientist: Fly Casting Illuminates thePhysics of Fishing," Scientific Anierican, julho 1985, pag.122.

A. Objetivos: depois de estudar este capitulo voce deve:

1. Saber as defini<;oes de trabalho, de energia cinetica, de energiapotencial e de potencia.

2. Ser capaz de distinguir entre for<;asconservativas e for<;asnao-conservativas, e conhecer 0 criterio para reidentificar se uma for<;ae ou nao conservativa.

3. Ser capaz de achar a fun<;aoenergia potencial a partir de uma for<;aconservativa, em fun<;aoda posi<;ao.

4. Ser capaz de enunciar a lei da conserva<;ao da energia medinicae de usa-I a na resolu<;ao de problemas.

5. Ser capaz de enunciar 0 teorema da conserva<;ao do trabalho-energia e de usa-Io na resolu<;aode problemas.

TrabalhoEnergiaJoulePe-libra-for<;aEnergia cineticaTeorema da energia cineticaProduto escalarEnergia potencialFor<;aconservativaEnergia potencial gravitacionalEnergia potencial de uma molaEquillbrio estavel

6-1 Trabalho e Energia Cinetica: Movimento Unidimensionalcom For~as Constantes

1. Uma bala de 10 g tem a velocidade. de 1,2 krnIs. (a) Qual a sua ener-gia cinetica, emjoules? (b) Qual a energia cinetica da bala se a sua ve-locidade for dividida por d~is? (c) E se a sua velocidade for duplicada?

2. Achar a energia cinetica, em joules, de (a) uma bola de 0,145 kg des-locando-se com a velocidade de 40 m/s e (b) de urn corredor de 60 kgnuma corrida constante em que percorre urn qui16metro em 9 rninutos.

3. A partir dos fatores de conversao de newtons a libras-for<;a e de me-tros a pes, deduzir a rela<;aoentre 0 joule e 0 pe-libra-for<;a da Eq. 6.3.

4. Um corpo de 5 kg e elevado, a partir do repouso, ate uma altura de 4 rn,por uma for<;avertical de 80 N. Achar (a) 0 trabalho efetuado pela for<;a,(b) 0 trabalho efetuado pela gravidade e (c) a energiacinetica final do corpo.

A conservar;:iio da energia cinerica ajllda a explicar cLanr;:aruma isca de mosca muito Longe; a considerar;:iio ==na 0 modelo mais real; e tambem se analisam as forr;:aser..Lutacom um peixe preSQ a Linhade pesca.

Equilibrio instavelEnergia medinica totalLei da conserva<;ao da energia mecanicaTeorema da conserva<;ao do trabalho-energiaLei da conserva<;ao da energiaPotenciaWattQuilowatt-horaCavalo-vapor e hp

C. Certo ou errado: se a afirma<;ao for verdadeira, explique a raziio:for falsa, apresente urn contra-exemplo.

1. Sornente a for<;aresultante que atua sobre um corpo pode efar trabalho.

2. Nao ha trabalho efetuado sobre uma particula que permaneya=repouso.

.3. 0 trabalho e a area subtendida pela curva da for<;acontra 0 Ie .po.

4. Uma for<;aque e sempre perpendicular a velocidade de uma a:.tfcula nao efetua trabalho sobre a partfcula.

5. Urn quilowatt-hora e unidade de potencia.

6. Somente as for<;asconservativas podem efetuar trabalho.

7. Quando uma partfcula sorre a a<;aoexclusiva de for<;asconser·vativas, a energia cinetica da partfcula nao se altera.

8. 0 trabalho efetuado por uma forya conservativa diminui a ener-gia potencial associada it for<;a.

varia com a posi<;aoconforrne a Figura 6-27. (a) Qual a energia cineti "da partfcula quando ela passa por x = O? (b) Qual 0 trabalho/realizadopela for<;aquando a particula se desloca de x = 0 ate x = 4 rn? (c) Quala velocidade da partfcula ao atingir x = 4 m?

5. Lrna particula de 2 kg se move com a velocidade de 3 m/s quando,-assa por x = O.Esta partfcula esta sob a a<;aode uma unica for<;aF, que Figura 6-27 Problema 5.

_ . ' ula de 4 kg eSla inicialmente em repouso em x =' O. Esta, so'el(Jl a a. ao de uma s6 fon,a F, que varia conforme 0 grafico

6-_ . Achar 0 trabalho efetuado pela forc;:aquando a partfculay" (0) de x=,O ale x='3 m e (b) de x=,3 m ate x=,6 m. Achar a. cinetica da partfcula quando estiver em (c) x=,3 me (d) x='6 m.

uroa fon;a Fx esta relacionada a posic;:aode uma partfcula pela f6r-• F. =' C~, onde C e uma constante. Achar 0 trabalho efetuado por~ ~a sobre a partfcula quando ela se desloca de x='O ate x='3 m.

Trabalho e Energia em Tres Dimens6es e Produto Escalar

6-4 Trabalho e Energia em Sistemas de Partfculas: EnergiaPotencial

16. Uma pessoa de 80 kg sobe uma escada ate a altura de 5 m. Qual 0aumento da energia potencial da pessoa?,~-l-'Z.Indicar quais, entre as forc;:asseguintes, sao conservativas e quais asnao-conservativas: (0) a forc;:ade atrito sobre urn corpo que escorrega,(b) a forc;:aexercida por uma mola retilfnea que obedece alei de Hooke,(c) a forc;:ada gravidade e (d) a resistencia do ar sobre urn carro emmovimento.

18. Urn livro de 2 kg eSla numa altura de 20 m acima do solo e e soltono instante t =' O. (0) Qual a energia potencial gravitacional inicial dolivro em relac;:aoao solo? (b) Pelas leis de ewton, achar a distancia queo livro cai em I sea sua velocidade no instante t = I s. (c) Achar a ener-gia potenCial e a energia cinelica do livro em t =' I s. (d) Achar a energiacinetica e a velocidade do livro ao alingir 0 solo.

m bloco de massa 6 kg escorrega por urn plano inclinado sem atri-a angulo de inclinac;:aodo plano e 60'. (0) Listar todas as forc;:asque

araamsobre 0 bloco e achar 0 trabalho de cada uma delas quando 0 blo-escorrega 2 m (medidos sobre 0 plano inclinado). (b) Qual 0 traba-[oral efetuado sobre 0 bloco? Qual a velocidade do bloco depois de

csrorregar 2 m se (c) parte do repouso e (d) parte com uma velocidadei:1 ial de 3 mis?

.,. Um carrinho de 100 kg sobe urn ressalto de altura I m rodando sobrerarnpa constitufda por uma prancha de comprimento L apoiada no

.0 e no topo do ressalto. (Admitir que 0 carrrinho rode sem atrito.) (0)Achara forc;:aparalela a rampa necessaria para empurrar 0 carrinho, semace1erac;:ao,com L = 3, 4 e 5 m. (b) Calcular diretamente, pela Eq. 6.15,trabalho necessario para empurrar 0 carrinho ate 0 topo da rampa, com

carla valor de L. (c) Uma vez que 0 trabalho calculado em (b) e sempreo mesmo, qualquer que seja 0 valor de L, que vantagem existe, se exis- 20. A que altura deve subir urn corpo para ganhar energia potencial igualem escolher urn comprimento ou outro? a energia cinetica que tern ao se mover com a velocidade de 20 misry

10.Urn corpo de 2 kg, amarrado a urn cordel, move-se num cfrculo de 21. A forc;:aFx =' 4 N e constante. (0) Achar a func;:aoenergia pOlencial Uraio 3 m, sobre uma superffcie horizontal sem atrito, com a velocidade associada a esta forc;:a,com uma escolha arbitraria do ponto onde U = O.doe 1,5mis. (0) Achar a tensao no cordel. (b) Listar as forc;:asque atuam (b) Achar U de modo que U =' 0 em x='6 m. (c) Achar U de modo quebre a corpo e calcular 0 trabalho de cada forc;:anuma volta do movi- U = 12 J em x='6 m.

menta. '-~22. A constante de uma mola e k =' 10'N/m. De quanto a mala deve ser11. Dais vetores A e B tern as m6dulos iguais a 6 m e fazem 0 angulo esticada para que a sua energia potencial seja (0) 50 J e (b) 10017dz 60" urn com 0 outro. Calcular A'B.

12. Calcular A·B no caso dos seguintes vetores: (0) A = 2i - 6j, B ='-3i + 2j; (b) A = 4i + 4j, B =' 2i -3j; e (c) A = 3i + 4j, B = 4i -3j.13. Achar as angulos entre os vetores A e B do Problema 12.

14. Urn corpo de 2 kg efetua urn deslocamento ~s = 3 mi + 3 mj -_ mk sabre uma reta. Durante 0 deslocamento, atua no corpo uma forc;:aCOilStanteF =' 2 Ni - I Nj + INk. (0) Achar 0 trabalho feito par FCrraIlle este deslocamento. (b) Achar a componente de F na direc;:aodoc.eslocamento.

15. (0) Dado urn vetor qualquer A ='A) + A,.j + A,k, provar que a com-PJllente X de A e dada por A·i. (b) Achar 0 vetor unitano paralelo a A. (c).-\cllara componente do vetor 2i + j + k na direc;:aodo vetor 3i + 4j.

Fx,N

3

2

19. Uma caixa de 2 kg escorrega, sem atrito, por urn plano inclinado de30'. A caixa parte do repouso, no inslanle t = 0, no topo do plano, auma altura de 20 m em relac;:aoao solo. (0) Qual a energia polencial inicialda caixa em relac;:aoao solo? (b) Achar, pelas leis de i\ewton, a distan-cia percorrida pela caixa, em 1 s, e a sua velocidade no instanle t =' I s.(c) Achar a energia potencial e a energia cinetica da caixa em t = 1 s. (d)Achar a energia cinetica e a velocidade da caixa ao chegar ao pe do pia-no inclinado.

23. A Figura 6-29 mostra 0 grafico da func;:aoenergia potencial U con-trax. (0) Em cada ponto indicado, dizer se a forc;:aF, e positiva, negati-va ou nula. (b) Em que pontos a forc;:atern maior m6dulo? (c) Identiti·car os pontos de equillbrio e dizer, em cada urn, se 0 equillbrio e insta-vel, estavel ou indiferente.

24. (0) Achar a forc;:aF, associada a func;:aoenergia potencial U = Ax·,onde A e uma constante. (b) Em que ponto, ou em que pontos, a forc;:aenula?

25. A func;:aoenergia potencial e dada por U =' C/;r;, onde C e uma cons-tante positiva. (0) Achar a forc;:aF, em func;:aode x. (b) Esta forc;:aestadirigida para a origem ou para longe da origem? (c) A energia potencialeresee ou decresce quandox aumenta? (d) Responder as perguntas (b) e(c) quando C for uma constante negativa.

_6. \"a curya de energia potencial U em funC;aode y, que esta na Figura6-30. os segmentos AB e CD sac retilineos. Plotar a forc;aFy em func;aotie .".

27. Uma mulher coloca um bloco de 2 kg contra uma mola horizontal,cuja constante e k == 300 N/m, e comprime a mola 9 cm. (a) Achar 0trabalho efetuado pela mulher e 0 trabalho feito pela mola. (b) 0 blocoe entao solto e perde 0 contato com a mola quando esta tem 0 seu com-primento normal. Achar a velocidade do bloco ao perder 0 contato coma mola.

28. Um bloco de 3 kg escorrega sobre uma superffcie horizontal sem atri-to, com a velocidade de 7 m/s. Depois de escorregar a distiincia de 2 m,encontra uma rampa, tambem sem atrito, inclinada de 40° em relac;ao ahorizontal. A que altura sobe 0 bloco na rampa ate atingir, momentanea-mente, 0 repouso?

29. Um corpo de 3 kg, Figura 6-31, e solto em repouso, as m de altura,sobre uma rampa curva, sem atrito. No pe da rampa esta uma mola cujaconstante e k == 400 N/m. 0 corpo escorrega pela rampa abaixo e atingea mola, comprimindo-a x, antes de ficar momentaneamente em repou-so. (a) Achar x. (b) 0 que ocorre ao corpo depois de ficar momentane-amente em repouso?

Achar a velocidade do bloco de 2 kg depois de ter cafdo _ m.repouso, na ausencia de atrito.

33. Uma bala de 15 g e disparada por uma espingarda de mol ~uma mola com a constante de forc;a 600 N/m. A mola pode ser .-mida de 5 cm. A que altura pode a bala ser arremessada. se a es - _disparar na vertical? ~

6-7 A Conservac;ao doTrabalho-Energia

34. Urn carro de 2.000 kg, que se move com a velocidade inicial .~.mis, numa estrada horizontal, freia e derrapa, parando numa dis .de 60 m. (a) Achar 0 trabalho efetuado pela forc;ado atrito cine ko.Achar 0 coeficiente de atrito cinetico entre os pneumaticos e a es

35. Urn treno de 8 kg esta inicialmente em repouso numa estradazontal. 0 coeficiente de atrito cinetico entre 0 treno e a estrada eO'treno e puxado, sobre uma distiincia de 3 m, por uma forc;ade 40 ]\ '''.cada sob um angulo de 30° com a horizontal. (a) Achar 0 trabal ~forc;aaplicada. (b) Achar 0 trabalho efetuado pelo atrito. (c) Achar \riac;ao da energia cinetica do treno. (d) Achar a velocidade do edepois de percorrer 3 m.

36. Suponhamos que as superficies do Problema 28 oferec;am atritoque 0 coeficiente de atrito cinetico entre 0 bloco e as superffcie- .'.0,30. Achar (a) a velocidade do bloco quando chega a rampa e (b) a al -aque' 0 bloco atinge na rampa ate ficar momentaneamente em repo so.

37.0 bloco da Figura 6-35 escorrega por uma rampa curva, sem ampartindo do repouso a altura de 3 m. Depois, escorrega 9 m sobre u •superffcie horizontal aspera, ate parar. (a) Qual a velocidade do blocono pe da rampa? (b) Qual 0 trabalho feito pelo atrito? (c) Qual 0 cae-.ciente de atrito entre 0 bloco e a superficie horizontal?

38. 0 coeficiente de atrito cinetico entre 0 bloco de 4 kg e a mesa.Figura 6-34, e 0,35. (a) Achar 0 trabalho efetuado pelo atrito quando 0bloco de 2 kg cai a altura y. (b) Achar a energia meciinica total E dosistema depois de 0 bloco de 2 kg cair a almra y. admitindo que E == 0 n3posic;ao inicial. (c) Usar 0 resultado em (b) para achar a velocidade cequalquer dos blows depois de 0 de 2 kg cair 2 m.

39. Numa eruPc;ao vulciinica, 4 kmJ de rocha, com a densidade mediade 1.600 kg/mJ

, sao arremessados a uma altura media de 500 m. (a) Quala energia, em joules, libertada nesta erupc;ao? (b) A energia libertadaexplosao de bomb as e medida em megatons de TNT, sendo I megato::de TNT == 4,2 X 10'51. Converter a resposta em (a) a megatons de Thl.

30. 0 sistema que aparece na Figura 6-32 esta em repouso no instanteem que 0 cordel de baixo e cortado. Achar a velocidade dos dois corposquando estiverem na mesma altura.

31. Urn corpo escorrega sobre a pista sem atrito que aparece na Figura6-33. Inicialmente, no ponto p. 0 corpo desce com a velocidade va'Descreva 0 movimento do corpo, 0 mais detalhadamente que puder, comfa) Vo == 7 mls e (b) Vo == 12mls. (c) Qual a velocidade minima necessa-ria para que 0 corpo ultrapasse 0 ponto Q?

32.1\a Figura 6-34, os blocos estao inicialmente em repouso. Fazer U == 0nesta posic;ao inicial. (a) Escrever uma expressiio para a energia meca-ni a total do sistema depois de 0 bloco de 2 kg ter caido a altura y. (b) Figura 6-32 Problema 30.

_"Figura 6-35 Problema 37 .. ~~{.- '~'t-J.~

~J::'.40. Um estudante de 80 kg escala uma colina de 120 m. (a) Qual 0 au-lneilto da energia potencial gravitacional do estudante? (b) De ondeprovem este acrescimo de energia? (e) 0 organismo do estudante temuma eficiencia de 20%; is to e, para cada 20.1 de energia convertidos emenergia mecanica, sac dispendidos 100 J de energia interna, e os 80 Jdissipam-se como calor. Qual a energia intema dispendida pelo estu-dante durante a escalada?

41. Urn patinador de 70 kg, numa pista, adquire a velocidade de 4 mls.1a) Qual 0 trabalho feito sobre 0 patinador? (b) Qual a varia~ao da ener-gia mecanica do patinador? (eY Discutir a conserva~ao da energia dopatinador. •

42. Uma caixa de 4 kg e levantada por uma for~a igual ao seu pr6priopeso. A caixa sobe a velocidade constante de 2 mls. (a) Quare a poten-ia da for~a atuante? (b) Qual 0 trabalho efetuado pela for~a em 3 s?

43. Uma for~a horizontal constante F = 3 N arrasta urn caixote sobresuperficie horizontal aspera, a velocidade constante v. A for~a efetuaalho a taxa de 5 W. (a) Qual a velocidade v? (b) Qual 0 trabalho

e:e ado por F em 3 s?

44. Uma unica for~a de 5 N atua na dire~ao x sobre u o. _(a) Se 0 corpo parte do repouso em x = 0, no instante 1 = O. a h - ~=velocidade'U em fun~ao do tempo. (b) Escrever uma expres -0

tencia em fun~ao do tempo. (e) Qual a potencia da for~a no ins -:::~: =3 s?

45. Nas cataratas de Vit6ria, no Zimbabwe, que tern altura de 100 r:l. 2vazao da agua e de 1,4 X 106 kg/s. Se toda a energia potencial da <l=JZfosse convertida em energia eletrica, qual a potencia de que se pode:iadispor nesta queda de agua?

46. Num dia lfmpido, a energia solar incide sobre uma certa casa a taxade 400 W/m" durante 8 h. Qual a energia coletada por uma grande ja-nela de vidro, com 40 m' de area?

47.0 nosso organismo converte energia qufmica intema, em trabalho eem calor, a uma taxa aproximada de 100 W, que e denominada a nossataxa metab6lica. (a) Que quantidade de energia dissipamos em 2-1-h"(b) A energia que dissipamos provem dos alimentos que ingerimos e eusual mente medida em quilocalorias de alimentos, sendo I kcal = 4.18-1-kJ. Quantas quilocalorias de alimentos devemos ingerir por dia em faceda taxa metab6lica de 100 W?

'':::J48. Achar a potencia de uma for~a F que atua sobre uma partfcula quese desloca com a velocidade v com (a) F = 3 Ni + 4 Nk, v = 2 mls i; (b)F = 5 Ni - 6 Nj, v = -5 mls i + 4 mlsj; e (e) F = 2 Ni + 4 Nj, v = 6 mIs i + 3 m/s j.

49. Uma crian~a esta balan~ando numa corda, de 4,0 m, que sera rom-pida se a tensao sobre ela for igual ao dobro do peso da crian~a. (a) Qualo maior angulo Elo que a corda pode fazer com a vertical, durante umaoscila~ao, sem haver 0 risco do rompimento? (b) Se 0 angulo maximoda oscila~ao for ligeiramente maior que 0 encontrado em (a), qual avelocidade da crian~a quando a corda se rompe?

50. Um pendulo de comprimento L tern urn peso de massa m. 0 pendu-10e solto fazendo urn angulo Ell com a vertical. 0 cordel do pendulo batenum pino, colocado a distancia x, vertical, do pivo do pendulo, Figura6-36,0 que provoca a diminui~ao do comprimento do pendulo. Achar 0angulo maximo El, entre 0 cordel e a vertical, quando 0 peso do penduloesti ver a direita do pino.

51. Uma for~a F, atua sobre uma partfcula e varia com x conforrne 0

grafico da Figura 6-37. (a) A partir do gnlfico, calcular 0 trabalho efe-tuado pel a for~a quando a particula se desloca de x = 0 ate os seguinte-valoresdex: -4, -3, -2, -1,0, 1,2,3 e4 m. (b) Plotara energiatencial U contra x no dominio de valores de x de -4 mate +4 m. adn:.i-tindo U=Oemx=O.

52. Repetir 0 Problema 5 I com a forc;:aF, que tern 0 grafico de variac;:aoda Figura 6-38.

53. Urn corpo de 3 kg se move com a velocidade de 1,50 mis, na dire-c;:aox. Quando passa pela origem, sofre a ac;:aode uma unica forc;:aF"que varia comx de acordo com a Figura 6-39. (a) Achar 0 trabalho feitopela forc;:ade x = 0 ate x = 2 m. (b) Qual a energia cinetica do corpo, emx = 2 m? (e) Qual a velocidade do corpo em x = 2 m? (d) Achar 0 traba-Iho feito sobre 0 corpo, de x = 0 ate x = 4 m. (e) Qual a velocidade docorpo emx= 4 m?

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54. Urn elevador apropriado leva 80 esquiadores rampa 2.C'-"altura de 600 m, por uma encosta inclinada de 15' com a 0,-

velocidade de 2,5 mls. 0 coeficiente de atrito cinetico e 0,06. ,potencia do motor, com a hip6tese de a massa media de cad<! -ser 75 kg.

55. Uma bola de 0,2 kg e arremessada para cima, com a velocicial de 24 mis, fazendo um angulo de 30° com a horizontal, d<!de um penhasco de 60 m. Desprezando a resistencia do ar, achar ~_energia cinetica inicial da bola, (b) a energia potencial e a ener!;i -tica da bola quando estiver no ponto mais elevado da sua traje -6 .a energia cinetica da bola quando atinge 0 solo, 60 m abaixo dapenhasco e (d) a velocidade da bola ao atingir 0 solo. Admitir quena borda do penhasco.

56. Um pequeno corpo esta ligado a um material elastico que exer eforc;:aF, = - k.x - ax' quando e esticado do comprimento x (x > 0). 0::1ck e a sao constantes. Achar 0 trabalho efetuado pelo material q ~for esticado de x = 0 ate x = A.

57. A forc;:aque atua sobre uma certa partfcula, que se move no eixox, e dada por Fx = -ax', onde a e constante. Calcular a funcao en~ .potencial U em relac;:aoa U = 0 em x = 0, e desenhar um g;afico de-contrax.

58. Um saltador em esqui, com a massa de 70 kg, parte do repousoA, Figura 6-40. Sua velocidade, em B e 30,0 mls e em C, 23,0 mis, sede 30 m a distancia Be. (a) Qual 0 trabalho feito sobre 0 esquiador ell;::-eBe C? (b) Achar a maior altura acima de C que pode ser atingida.esquiador.

59. Um bloco de 2 kg e solto a4 m de uma mola sem massa, com acotante de forc;:ak = 100 N/m, que esta fixa sobre um plano inclinado ~30°, sem atrito, Figura 6-41. (a) Achar a compressao maxima da mo(b) Se 0 plano tiver atrito, e se 0 coeficiente de atrito cinetico entreplano e 0 bloco for 0,2, achar a compressao maxima. (e) No caso do p!com atrito, ate onde ira 0 bloco retomar, depois de desprender-secontato com a mola?

60. Urn trem com a massa total de 2 X 109 g sobe 707 m ao percoITel:uma via ferrea de 62 km, a velocidade media de 15,0 km/h. Se a fo ,de atrito for 0,8% do peso do trem, achar (a) a energia cinetica do [fee..(b) a variac;:aototal da sua energia potencial, (e) 0 trabalho efetuado sob:co trem pelo atrito e (d) a potencia do motor do trem.

61. Uma mulher leva um balde de agua ate 0 topo de uma torre de 40 I;;"a uma velocidade ascendente constante. A massa do balde e 10 k" einicialmente contem 30 kg de agua. Porem, a agua vaza a uma taxa OilS-

tante, de modo que no topo a agua restante e apenas 10 kg. (a) Escre\'cuma expressao para a massa do balde mais a da agua em func;:aoda al:::,-ra y da subida. (b) Achar 0 trabalho efetuado pela mulher ao transpo:-~o balde.

62. Duas pessoas estao na borda de um penhasco de 10m de altura _~..:duas lanc;:am,simultaneamente, duas bolas a 10 mis, uma delas vert' -~mente para cima e a outra verticalmente para baixo. (a) DesprezanCn~resistencia do ar, calcular a velocidade de cada bola ao atingir 0 solo z;-pe do penhasco. (b) Discutir qualitativamente como se comport '.,--as velocidades se a resistencia do ar nao fosse desprezada.

63. Vma caixa de 2 kg e lanc;:adacom a velocidade inicial de 3 mfs;o:-urn plano inclinado acima, que faz um angulo de 60° com a horizo-ee aspero. 0 coeficiente de atrito cinetico e 0,3. (a) Listar todas - lU-c;:asque atuam sobre a caixa e achar 0 trabalho feito por estas f~quando a caixa escorrega plano acima. (b) Ate que altura no plano a -escorrega antes de momentaneamente ficar em repouso? (e) Achar 0::::-balho efetu?do pelas forc;:as,sobre a caixa, quando ela escorre",a C'~

abaixo. (d) Achar a velocidade da caixa ao retomar a posic;:aoi ._=-64. Acredita-se que dirigir um carro em movimento aceleradomais energia do que dirigir a velocidade constante. (a) Calcular anecessariapara atribuir a urn carro de 1.200kg urna velocidade de - b "-desprezando 0 atrito. (b) Admitindo que os atritos de todo tipo p \uma forc;:aretardadora de 300 N quando 0 carro estiver a 50 - il.

""" B

45°/'", _' //" \30°

m=~~g~

4m~

;I k = 100 N/m

meTgia necessaria para 0 carro percon'er 300 m a velocidade con stante de• kmIh? (c) Com a hip6tese de as perdas de energia devidas ao atrito, naparte (a), serem 75% das que se calcularam na parte (b), estimar a razaoentre 0 consumo de energia nos dois casos.

65. Uma partfcula de massa m movimenta-se num cfrculo horizontal deiaio r, sobre uma mesa aspera. A partfcula esta Iigada por um cordel a

pino fixe no centro do cfrculo. A velocidade da partfcula, inicial-.Dte, e uo' Depois de completar uma volta completa no cfrculo, a ve-idade da partfcula e uJ2. (a) Achar 0 trabalho efetuado pelo atrito

orrame uma volta, em termos de tn, de un e de r. (b) Qual 0 coeficiente~ atrito cinetico? (c) Quantas voltas mais a partfcula fara ate ficar em7epOuso?

66. A agua de uma represa t1ui por uma grande turbina, a vazao de 1.5X 1()6 kg/min. A turbina esta localizada 50 m abaixo da superffcie do:-eservat6rio, e a agua sai da turbina com a velocidade de 5 m/s. (a)Desprezando qualquer perda de energia, qual e a potencia da turbina?) Quantas pessoas poderiam ser supridas de energia, por esta turbina,

_ hip6tese de cada pessoa usar 3 X 1011J de energia por ano?

. Um cordel elastico tem 0 comprimento natural Lo e uma constante-'~ -o~a k. Quando um corpo de massa tn esta pendurado verticalmente

ordel, a elonga~ao do cordel eJ'o. Uma extremidade do cordel estano topo de um plano inclinado de 30', sem atrito. Com 0 cordeldo com 0 plano, 0 corpo de massa m e ligado ao cordel e depois

.!o. com 0 comprimento inicial do cordel Lo. Qual a distancia do cor-. a posi~iio inicial, quando fica em repouso pela primeira vez?

Os vetores A, B e C formam um triangulo, conforme esta na Figura~_. 0 angulo entre A e Bee, e os vetores estao relacionados por C =J.. - B. Calcular C'C em terrnos de A, Be e,e deduzir a lei dos co-senos,- = A' + B' - 2AB cos e.

69. Um carro de massa 1.500 kg, correndo a 24 mls. esui DOpe ~.=.:.ladeira, que sobe 120 m em 2,0 km. Ao chegar ao topO da la ei.-a a "e-locidade do carro e 10 mls. Achar a potencia media do motor dodesprezando quaisquer perdas por atrito.

70. Uma barra retilfnea, de massa desprezfvel, esta momada num a;x>'osem atrito, conforme a Figura 6-43. As mass as ml e tn, estiio suspensasas distancias II e [" conforrne 0 esquema. (a) Escrever uma expre -0

da energia potencial gravitacional das massas em fun~ao do angulofelto pela barra e a horizontal. (b) Em que angulo e a energia potenciale minIma? A afirrna~ao "os sistemas tendem a se deslocar para a posi-~ao de energia potencial minima" e coerente com 0 resultado obtido'l

(c) Mostrar que se mill = tn,l" a energia potencial e independente dovalor de e. (Quando esta igualdade vale, 0 sistema esta em equilibrioem qualquer angulo e. Este resultado e a regra da alavanca de Arqlli-medes,) •

71. A for~a F = 2X' N/m' iesta aplicada a uma particula. Achar 0 trabalhofeito sobre a partfcula ao se deslocar uma distancia de 5 m (a) paralela aoeixo dos y, de x = 2 m, sobre y = 2 mate 0 ponto x = 2 m, y = 7 m e (b)sobre uma reta do ponto x = 2 m, y = 2 mate 0 ponto x = 5 m, y = 6 m.72. Numa erup~ao vulcanica, um peda~o de rocha vulcanica porosa, com200 g, e arremessada verticalmente para cima com velocidade inicialde 40 m/s. Arocha atinge 50 m de altura antes de principiar a cair. (a)Qual a energia cinetica inicial da rocha? (b) Qual 0 trabalho do atrito doar sobre a rocha? (c) Se 0 atrito do ar efetuar, durante a queda da rocha,um trabalho equivalente a sete decimos do efetuado durante a subida darocha, qual sera a velocidade da rocha ao atingir a posi~iio inicial?

73. Dois blocos de massas iguais M estao presos as extremidades de umcordel muito leve que passa por dois pinos sem atrito, conforrne a Figu-

6~. Um terceiro bloco de massa m e amarrado no meio do cordel,entre os pinos. (a) Achar a energia potencial do sistema em fun"ao dad'stancia y assinalada na figura. (b) Achar a distancia de equillbrio Yomediante a fun~ao energia potencial. Verificar 0 resultado pel a analisedas fon;:as. ,74. Uma grande usina nuclear tem a potencia de 3.000 MW gerada pelafissao nuclear, que converte massa m em energia, conforme a equa"aode Einstein, E = meZ, onde e = 3 X 108 mls e a velocidade da luz. (a) Naopera"ao da usina, durante um ano, que massa se converte em energia?(b) Numa usina termeletrica, cada quilograma de carvao queimado li-berta 31 MJ de energia. Quantos quilogramas de carvao sao necessari-os, por ano, para operar uma usina de 3.000 MW?

75. Num modelo para analise da corrida, admite-se que a energia des-pendida e usada para acelerar e desacelerar as pernas. Se a massa da pernafor m e se a velocidade da corrida for v, a energia necessaria para ace-lerar a perna, a partir do repouso, e md/2, e a mesma energia e necessa-ria para desacelerar a perna ate 0 repouso, para iniciar-se 0 passo se-guinte. Entao, a energia necessaria em cada passo emd. Admitindo quea massa da perna de uma pessoa seja 10 kg e que ela cona a velocidadede 3 mis, com I m de afastamento entre duas pisadas sucessivas, a ener-gia que a pessoa deve usar no movimento das pernas e 3 X md. Calcu-lar a taxa de dispendio de energia mediante este modelo, admitindo quea eficiencia dos rnusculos seja 259'0.

76. Uma corda, com a massa u por unidade de comprimento, esta enro-lada no piso. (a) Se um comprirnento y da corda for suspenso, como ilus-tra a Figura 6-45, qual a for"a F necessaria para mante-Io acima do piso?(b) Integrar F dy, de y = 0 ate y = La fim de achar 0 trabalho total neces-sario para suspender 0 comprimento L da corda. (e) Qual a energia po-tencial da corda, quando 0 comprimento L tiver sido levantado?

77. Um pequeno corpo de massa m desliza sem atrito nos trilhos damontanha-russa que aparece na Figura 6-46. 0 corpo parte do ponto P,

PihL _

I~H

1

a altura h em rela"ao a base dos trilhos. (a) Qual a energia i ':'ao atingir 0 topo da volta? (b) Qual a sua acelera~ao, no topo cia \'a hipotese de permanecer nos trilhos? (e) Qual 0 menor \'alo~ ~assegura a permanencia do corpo nos trilhos ao passar pelo lOpo

78. Um pendulo e constitufdo por um peso de massa m liga '0 c-

haste leve, de comprimento L e massa desprezfvel. A outra exde da haste esta presa a um pivo que opera sem atrito. 0 pend 0 i _bertado quando 0 peso esta na vertical, acima do pivo. Achar a :-exercida pela haste sobre 0 peso quando (a) 0 peso esta no po ;0baixo da sua trajetoria, (b) a haste faz urn angulo de 30· abaixorizontal e (e) a haste faz um angulo de 30· acirna da horizontal.

79. Urn pendulo principia a oscilar, a partir do repouso, fazendo _angulo (Jo medido em rela"ao a (J = 0 no ponto maisbaixo da trajel','Provar que a tensao no cordel do pendulo no ponto rnais baixo ciatoria e maior que a tensao no cordel quando 0 pendulo eSliver epouso e que a diferen"a entre as duas lens6es e 3K1L, onde Leoprimento do cordel e K a energia cinetica maxima do pendulo.

80. Urn esquiador parte do repouso de urn ponto a uma altura H em ~.la"ao ao centro de uma lombada redonda, de raio 4,0 m, conforme estina Figura 6-47.0 atrito e desprezfvel. Achar 0 valor maximo de H 0 "assegure 0 conlato entre 0 esquiador e a neve no 10POda lombada. '

81. 0 esquiador do Problema 80 parte com uma pequena velocidade ini-cial do 10po da lombada redonda (Figura 6-47). Desprezando 0 atrito.achar (a) a velocidade v do esquiador em fun~ao do angulo (J e (b) 0angulo em que 0 esquiador perde 0 contato com a lombada.

82. Um bloco de 5 kg e mantido contra uma mola, cuja constante de for9!e 20 N/cm, comprimindo-a 3 em. 0 bloco e libertado e a mola se disten-de, empunando-o sobre uma superffcie horizontal aspera. 0 coeficieo-te de atrito entre a superffcie e 0 bloco e 0,2. (a) Achar 0 trabalho fei'osobre 0 bloco, pela mola, a medida queje distende desde a posi<;:aocom-primida ate a posi"ao de equillbrio. (b) Achar 0 trabalho feito pelo atri-to sobre 0 bloco durante 0 deslocamento de 3 em ate a posi"ao de equi-llbrio da mola. (e) Qual a velocidade do bloco quando a mola estiver nsua posi"ao de equillbrio? (d) Se 0 bloco nao estiver preso a mola. qu,:distancia perconera, sobre a superffcie aspera, ate ficar em repouso? .

83. A fun"ao energia potencial de uma partfcula de massa 4 kg. nw::campo de for"a, e descrita por:

x$3mx~3m

onde U esta em joules e x em metros. (a) Para que valores de x a 1'0,.F, e nula? (b) Esquematizar 0 grafico de U contra x. (e) Discutir a es::;-

. !brio para os valores de x encontrados em (a). (d) Se a, panicula for 12 J, qual a sua velocidade em x = 2 m?

-::::.-: ~ e dada por F, = Ax" onde A = 8 N·m', (a) A energia- =ociada a esta forc;a, nos valores positivos de x, e uma fun-

te au decrescente de x? Voce pode encontrar a resposta aimaginando 0 que acontece com uma partfcula colocada

- Durn certo ponto x e depois sujeita a ac;ao da forc;a. (b) Achar~- energia potencial U associada a esta forc;a, de tal forma que2 zero quando x tender para 0 infinito. (c) Plotar U em func;ao

(':J2 'orc;a no planoxy e dad a por F=A (lOai + 3xj), ondeA e a saores. Festa em newtons exestaem metros. Suponhamos que estae sobre uma partfcula que se desloca da posic;ao inicial x = 4 m,

e... ate uma posic;ao final x = 4 m, y = 4 m. Mostrar que esta forc;ae nservativa mediante 0 calculo do trabalho feito pel a forc;a ao~ pelo menos duas trajetorias diferentes.

'oz forc;a no planoxye dada por F = (FrJr)(yi - xj), onde Foe uma

, Ie e r = ~ x2 + y2 . (a) Mostrar que 0 modulo da forc;a e Fo e

_ direc;ao e perpendicular a r = xi +yj. (b) Achar 0 trabalho efe-~ pela forc;a sobre uma partfcula que se desloca num cfrculo de raio

trado na origem.

formula teorica da energia potencial associada as forc;as nu-entre dois protons, ou entre dois neutrons ou entre urn proton eon, e 0 potencial de Yukawa:

e a sao constantes. (a) Plotar U contra x corn Uo= 4 pJ e a = 2,5=- ') Achar a forc;a F,. (c) Comparar 0 modulo desta forc;a na sepam-- ;::= ill e na separac;ao x = a. (d) Comparar 0 modulo desta forc;a na

•-0 x = 5a e na separac;ao x = a.

o peso de urn pendulo de comprimento L e desviado da vertical de- e 0 fio do pendulo faz 0 angulo 00 com a vertical, e depois 0e saIto. No Exemplo 6.10, a conservac;ao da energia foi usada para

.".,.a 'elocidade do peso oscilante no ponto mais baixo da oscilac;ao.,-= ,roblema, voce ira conseguir 0 mesmo resultado mediante a se--, lei de Newton. (a) Mostrar que a componente tangencial da se-

gunda lei de Newton da dv/dt = - g sen 0, onde ve a velocidade e eoangulo feito pelo fio com a vertical. (b) Mostrar que v pode escrew~--~

v= L dedt

(c) Usar este resultado, e a regra da cadeia para as derivadas, a fLm dechegar a

dv dv dO dv v

dt dO \ dt dO L

(e) Integrar 0 primeiro membro da equac;ao da parte (d), de v = ° ate avelocidade final v e 0 segundo membro de 0 = 00 ate 0 = 0, e mostrar

que 0 resultado e equivalente a v = f2ih, onde h e a altura original dopeso do pendulo em relac;ao ao fundo da trajetoria.

89. (a) Com v = dx/dt, mostrar que a Eq. 6.26b pode ser escrita

1'\0 movimento unidimensional, U e func;ao exclusiva de x, de modo queo primeiro membro desta equac;ao depende somente de x (e nao de t) eo segundo membro depende somente de t. (b) Usar este resultado parauma partfcula de massa m, presa a uma mola de constante de forc;a k,que oscila com uma amplitude A, de tal forma que U = kx'/2 e E = kA'l2,a fim de chegar a equac;ao

dx = {k dt~A2-x2 v-;;;

(c) Integrar os dois membros desta equac;ao para conseguir uma expres-sao que relaciona a posic;ao x da partfcula no instante t, admitindo que x= A no instante t = 0.