Thue morse sequence
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Transcript of Thue morse sequence
Suite de Thue-Morse
Programme Python pour la générer :
>>> m, t = 1, [0]
>>> while m != 2**16 :... n=0... while n != m :... r=(int(t[n])-1)**2... t.append(r)... n=n+1... m=m*2
Tracés avec Turtle Graphics :
a = 0while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :fd(10)
else :rt(60)fd(10)
a = a+1
On obtient un fragment du flocon de Koch
__
a = 0while a < 2**16 :
if t[a] == 0 : # ou == 1rt(60)
fd(10)a = a+1
donne un petit hexagone
__
a = 0while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :fd(10)
else :rt(60)
a = a+1
On retrouve le flocon de Koch tracé d'une autre manière
__ a = 0while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :fd(10)
else :rt(30)fd(10)
avec l'angle de 30, on obtient probablement le flocon mais plus grossier encore
__
a = 0while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :fd(10)
else :rt(90)
on obtient le symbole suivant !
__
a = 0while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :fd(10)
else :rt(90)fd(10)
de même :
__
a = 0while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(45) fd(10) a=a+1
donne :
__
a = 0while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(45) a=a+1
__
a = 0while a != 2**16: if t[a] == 1 : # ou 0 d'ailleurs fd(10) else : rt(135) a=a+1
__
a = 0while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(135) fd(10) a=a+1
__
while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(120) fd(10) a=a+1
__
while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(150) fd(10) a=a+1
__
while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(150) a=a+1
ET
while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(120)
a=a+1
donnent aussi d'autres versions du flocon de Koch
__
notons
le remplacement de ==0 par ==1 entraine seulement une rotation de la figure
passons maintenant à la comparaison de deux termes de la suite
a = 0while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(60) fd(10) a=a+1
60 = 180-(360/3)
__
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(30)... fd(10)... a=a+1
pas de période observéeorbite plutôt stable autour d'un centre se déplacement lentement ?
__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(45) fd(10) a=a+1
bassin stable, aux allures pentagonales sans le centre, allure « nuage électronique » __
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(108)... fd(10)... a=a+1
108 = angle d'un pentagone
__
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(72)... fd(10)... a=a+1
72 = 360/5
extra !
Il faudrait réessayer en laissant le tracé beaucoup plus longtemps
avec un pas de 4 (dézoom)
aspect « cathédrale »__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] :
fd(10) else : rt(216) fd(10) a=a+1
Bassin à priori stable, en forme d'oursin (← pentagone vu de côté...?).
__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(90) fd(10) a=a+1
quadrillage carré de forme triangulaire (… ? à grande échelle?)
90 = 180-360/4 = 360/4 ; influence du 4
Voici la même figure avec un pas de 1 pixel (dézoom)...en cours de construction :
Ressemble à une construction humaine...?
Pas de motif final, étrange coin amoché, brisé,
__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(120) fd(10) a=a+1
Espace quadrillé parcouru et reparcouru, élargi peu à peu
__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(150) fd(10) a=a+1
bassin à priori stable, pentagonal (environ), à voir dans le temps
__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(240) fd(10) a=a+1
240 même type que 120
__
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(360/7)... fd(10)... a=a+1
influence du nombre 7
bassin à peu près stable, ou évolue très lentement, (humain vue de haut, tête)
__
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(180-(360/7))... fd(10)... a=a+1
influence du 7, angle de l'heptagone
Enorme ! Mandala, étoile à 14 branche (Tempérance)
__
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(135)... fd(10)... a=a+1
135 = 180-360/8 , angle de l'octogone
On retrouve le flocon de Koch qu'on avait laissé en changeant l'algorithme !
__
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(140)... fd(10)... a=a+1
140 : angle de l'ennéagone, influence du 9
! Croissance quasi végétale, très naturelle, supposée infinie d'une structure étoilée !
À laisser tourner une nuit !
Processus de construction très très impressionnant, renforcement des structures existantes avant de
poursuivre plus loin, … !!!
Croissance régulière, mais entretient des asymétries, qui entretiennent le mouvement.
Elargissement de la structure sous forme de boucles, cellules, plus stable.
Stabilisation en un Mandala à 18 branches !
__
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(40) fd(10) a=a+1
40 = 360/8
pas laissé assez longtemps
__
J'oubliais bien entendu 180, la ligne :
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(180)... fd(10)... a=a+1
Le segment du haut indique le pasLe tracé est donc une segment de deux pas <=> il n'y a jamais plus de deux 0 de suite
__
Tout petit décalage de l'angle droit :
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :... rt(91)... fd(10)... a=a+1
Mandala qui doit être très long à achever
décalage encore plus petit :
while a != 2**16:... if t[a] == t[a+1] :... fd(10)... else :
... rt(90.1)
... fd(10)
... a=a+1
__
nombre d'or
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/b) fd(10) a=a+1
avec b le nombre d'or b = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354
Phi semble bien s'exprimer mais attention aux approximations, et donc au décalage.
Autre :
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(180-360/b) fd(10) a=a+1
Pseudo mandala :
Et pour Pi :
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] :
fd(10) else : rt(180-360/b) fd(10) a=a+1
avec pi = b = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534
(fd:4)Observation : émergence d'une structure connue = segments de 1 ou 2 avec possible rotation de 108 degrés <=> écart de 72 degré à la trajectoire→ pour l'instant, émergence de la même figure que pour 72 degré !!!
puis
obtenu avec
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(72) fd(20) a=a+1
Le motif d'auto-similarité de cet algo était :
A vérifier
pour 2**16 termes de la suite
On observe un petit décalage dans la figure, peut-être dû à une approximation inévitable de pi. Difficile à vérifier.On peut assurer un peu plus la conjecture en poussant un peu plus loin pour observer l'éventuel changement attendu (par analogie à l'angle de 90°).
Essayons à 2**20 (et attendons...)
L'approximation de pi par python est à 2.4e-16 près (sous estimation), ce qui revient à un écart angulaire de max 10^-14 et cette erreur s'accumule à chaque rotation. Quelle est la probabilité de rotation ? Question intéressante, à développer plus tard. Disons ¾, alors l'approximation entrainerait, pour le tracé selon 2^16 termes, un décalage d'angle de 4.10^-10 degré environ, ce qui est encore insignifiant.L'écart ici semble 10^10 fois plus grand : mesure de l'angle entre la direction en début de tracé (segment du haut) et en fin de tracé d'environ 5 degré sur la dernière figure (ils devrait être alignés si le motif émergent est celui produit par l'algo 7). Autre perte de précision dans l'algo ? Mauvaise conjecture ?Le motif semble pourtant vraiment prendre l'allure conjecturée à ce petit décalage près.
Conjecture : le motif émergent avec l'algo(180-360/pi) (algo(≈65.41)) pour 2**16 termes de la séquence est le même que celui produit par l'algo72 pour 2**4 termes.
La conjecture ne se vérifie pas sur un plus long terme. Le caractère émergent est tout de même notable. Pour quelle plage de valeur d'angle ce phénomène est-il effectif ?
Ce motif ne semble pas être ancré dans une échelle, mais en constante émergence à une échelle supérieure.
Test algo(65.41)
while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(1) else : rt(65.41) fd(1) a=a+1
Il y a bien une divergence avec le tracé précédent mais toujours ce comportement émergent.
__
Autre :
while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/b) fd(10) a=a+1
b = pi
Mandala ! Soleil, particule...
__
a = 0while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(180-360/(b/2)) fd(20) a=a+1
à suivre__
while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(2) else : rt(180-360/(2*b)) fd(2) a=a+1
b=pi
__
while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(180-360/(2**0.5)) fd(10) a=a+1
racine de 2
__
a = 0while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/(2**0.5)) fd(10) a=a+1
__
Pi au carré :
>>> while a != 2**20:... if t[a] == t[a+1] :... fd(5)... else :... rt(180-360/pi**2)... fd(5)... a=a+1
__
while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/e) fd(10) a=a+1
e = 2.71828182845904523536
while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) a=a+1
while a != 2**20: if t[a] != t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) a=a+1
while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(180-360/e) a=a+1
while a != 2**20: if t[a] != t[a+1] : fd(20) else : rt(180-360/e) a=a+1
__
while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) fd(5) a=a+1
while a != 2**20: if t[a] != t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) fd(5) a=a+1
__
while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(360/e**2) fd(20) a=a+1
while a != 2**20:
if t[a] == t[a+1] : fd(5) else : rt(180-360/e**2) fd(5) a=a+1
Autre :
Cercle ! (ou plutôt polygone)
while a!= 2**20 : fd(1) rt(t[a]) a=a+1 print(pos(), a)
Complété au bout de 720 termes (720 = 2*360) et d'un diamètre ce 229.8
while a != 2**20 : fd(10*t[a]) rt(1) a=a+1 print(pos(), a)
Cercle complété après 360 termes, de diamètre 572.94
while a != 2**20 : fd(10*t[a]) rt(a) a=a+1 print(pos(), a)
Spirales de Pythagore !
while a != 2**20 :... fd(a/10000) ... rt(t[a]) ... a=a+1
while a != 2**20 : fd(a/1000) rt(t[a]) a=a+1
Observation intéressante, si on ne commence pas à a=0, alors le tracé est « insignifiant », ou plutôt très simple, à vérifier/approfondir...
Autre question intéressante : pour le figures stabilisées, y a-t-il une période, et à partir de quel terme de la suite le tracé est-il complet ?