Theoretische Physik (Bachelor of Applied Science)A. Fasano & S. Marmi Analytical Mechanics J.V. Jose...

Theoretische Physik I (Bachelor Ang. Nat. / KombBA Physik)Newtonsche Mechanik & Lagrange Mechanik & Hamilton Mechanik

Michael Karbach

Bergische Universitat WuppertalFachgruppe Physik

WS 20/21 – Wuppertal

December 14, 2020

Ubersicht

EinleitungModalitatenThemenubersichtLiteraturGrundprinzip

Michael Karbach (BUW - FG Physik) Physik I December 14, 2020 2 / 120

Metagesetz der Vorlesung

Das Rheinische Grundgesetz (K.Beikircher, Et kutt wie’t kutt, Kiepenheuer & Witsch)

Artikel 1 Et es wie et es!Sieh den Tatsachen ins Auge!

Artikel 2 Et kutt wie et kutt!Habe keine Angst vor der Zukunft!

Artikel 3 Et hatt noch emmer joot jejange!Lerne aus der Vergangenheit!

Artikel 4 Wat fott es, es fott!Jammere den Dingen nicht nach!

Artikel 5 Wat soll da Quatsch?Stelle immer zuerst die Universalfrage!

Ich werde es versuchen ... (Albert Einstein, Mein Weltbild)

Das Lehren sollte so sein, daß das Dargebotene als wertvolles Geschenkund nicht als eine harte Pflicht empfunden wird.


Einleitung Modalitaten

Modalitaten zum Modul ’Theoretische Physik I’

I Vorlesung - Ubungen - Arbeitsaufwand

I Je Woche: 4SWS Vorlesung + 2SWS UbungenI Je Veranstaltung 2 * 40-50min mit 5-10min PauseI Semester (15 Wochen): 60SWS Vorlesung + 30SWS UbungenI Tutorium: Mathematische Erganzung fur Komb.Ba.I Ubungsblatter Ausgabe Di und 1 Woche spater Abgabe vor der VorlesungI Freitags Besprechung der UbungI 9LP wobei 1LP , 30h Arbeitsaufwand entspricht:

I Anwesenheit bei V & U: 15× 6h = 90hI Nacharbeitung & Ubungszettel: 14× 10h = 140hI Klausurvorbereitung: 40h

I Scheinvergabe

I Klausur nach Ende des Semesters nach AbspracheI Nachklausur zu Beginn des darauf folgenden Semesters nach AbspracheI Bonuspunkte aus den Ubungen: > 50% ∼= 3%, > 70% ∼= 6%, > 90% ∼= 9%I Anrechnungsvoraussetzung fur Bonuspunkte: 2 mal Vorrechnen in den UbungenI (Nach)Klausur bestanden: > 50%I Note Modul: max(Klausur + Bonuspunkte), Nachklausur > 50%I Bonuspunkte fur Ubungen (wahllos und unsystematisch)

I Kommunikation

I Allgemeine Fragen zur Vorlesung/Ubungen nur uber rocket.chat: Kanal: #ban tp1 ws20I Private Fragen zum Modul nur uber rocket.chat: Direkt: @karbach.uni-wuppertal.deI Ubungsblatter und Skripte uber Sciebo oder per Sciebo Ordner Einladung.I Website: www.karbach.org


https://chat.uni-wuppertal.de/group/ban_tp1_ws20

https://chat.uni-wuppertal.de/direct/karbach.uni-wuppertal.de

https://uni-wuppertal.sciebo.de/s/b7lCbZvgYRpCFk9

http://www.karbach.org/index.php/lehre/boas1

Einleitung Themenubersicht

Ubersicht uber die Themen der Theoretischen Physik

I Newtonsche Mechanik (1)

I Axiome & Symmetrien und ErhaltungssatzeI Zentralkrafte und das Kepler-ProblemI Newtonsche N-Teilchenmechanik

I Lagrange Mechanik (1)

I Variationsprinzip und die WirkungI Euler-Lagrange-GleichungenI Schwingungen und Linearisierung der BewegungsgleichungenI d’Alembertsches Prinzip & ZwangskrafteI Rotierende Bezugssysteme & Drehimpuls, Drehmoment

I Spezielle Relativitatstheorie (1)

I Lorentz-TransformationI Eigenzeit und LangenkontraktionI Addition von Geschwindigkeiten

I Hamilton Mechanik (2)

I Hamilton-GleichungenI Kanonische TransformationenI Symmetrien und Erhaltungssatze

I Zwangskrafte (2)

I Bewegung auf FlachenI Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

I Der Starre Korper (2)

I Euler-WinkelI Der Kreisel


Einleitung Literatur

Literatur zur Theoretischen Physik - Mechanik

I Klassische Mechanik

I V.I. Arnold Mathematische Methoden der Klassischen MechanikI H. Goldstein Klassische MechanikI A. Fasano & S. Marmi Analytical MechanicsI J.V. Jose & E.J. Saletan Classical DynamicsI F. Kuypers Klassische MechanikI L.D. Landau Lehrbuch der Theoretischen Physik I - MechanikI L.A. Pars A Treatise on analytical Dynamics

I Mathematik

I V.I. Arnold Gewohnliche DifferentialgleichungenI O. Forster Analysis 1-3I G. Fischer Lineare AlgebraI G. Fischer Analytische GeometrieI S. Großmann Mathematischer Einfuhrungskurs fur die PhysikI M. Karbach Mathematische Methoden der PhysikI Weber & Arfken Mathematical Methods for Physicists


Einleitung Grundprinzip

Einleitung zur Theoretischen Physik

Prinzipien beim Aufbau des Gebaudes der Theoretischen Physik

I Grundprinzipien

I Experimentelle Beobachtungen und Reduzierung auf das WesentlicheI Suche nach moglichst einfachen GrundgesetzenI Auffindung von Symmetrien und Erhaltungssatzen

I Grundgesetze

I Definition von physikalischen Objekten in mathematischer SchreibweiseI Formulierung von Grundgesetzen die wir Axiome nennenI Ableiten von Folgerungen mit Hilfe der Mathematik

I Verifikation

I Versuch der Falsifikation der GrundgesetzeI Mogliche Erweiterung der TheorieI Hinterfragung der gewonnen Erkenntnisse


Newtonsche MechanikGalileo Struktur der Newtonschen MechanikDie Newtonschen GesetzeGravitationskraft

Eindimensionale BewegungFederkraft und SchwingungenDas Phasendiagramm und der Phasenfluss

Newtonschen Mechanik fur N TeilchenNewtonsche GesetzeErhaltungssatze

Konservative SystemeKonservative Systeme und PotentialeZentralkraftfelderKepler-BewegungDie Kepler-BewegungDas ZweikorperproblemStreuung zweier TeilchenStreuung von Teilchen


Newtonsche Mechanik Galileo-Invarinaz

Galileo Struktur der Newtonschen Mechanik V1

Axiom (Anschaungsraum) Euklid [∼ -(360-280)] & Galileo [1564-1642] & Newton [1643–1727]

Der Anschaungsraum G der Newtonschen Mechanik ist ein drei-dimensionaler Euklidischer Raum mitOrtsvektoren (~r) und einer eindimensionalen Zeit (t): (t,~r) ∈ R× R3 =: G.

Definition (Euklidische Struktur der Raum-Zeit)

Es sei (t,~r) ∈ (I× X) ⊂ G, ~r = (x1, x2, x3)t mit einer Norm gegeben:

‖~r −~r ′‖ ≡ |~r −~r ′| :=

√√√√ 3∑ν=1

(xν − x ′ν)2, ~r ,~r ′ ∈ R3.

Zwei Raum-Zeit-Punkte (t,~r) und (t ′,~r ′) heißen gleich, falls gilt: (t,~r) = (t ′,~r ′).Der Abstand zweier gleichzeitig (t = t ′) stattfindender Ereignisse an den Orten~r ,~r ′

ist gegeben durch: |~r−~r ′|.x1

x2

x3

~r

~r ′|~r −~r ′|

Definition (Galileo-Transformation)

Die Galileo-Transformationen bilden eine 10-parametrige (Transformations)-Gruppe (SGal3), definiert durch:

(I× X) 3(

t~r

)7→(

t ′

~r ′

)= Gs

R,~v ,~q (

t~r

):=

(t + s

R~r + t~v +~q

)∈ G,

mit s ∈ R, R ∈ SO3 und ~v ,~q ∈ R3. Das Tupel (t,~r) bezeichnen wir als Galileo-Koordinate.



Erganzung: Schreibweise und Konventionen von Vektoren

Vektorschreibweise

I Wir verwenden im Folgenden die Vektorschreibweise ~r ,~v , ... nur fur Elemente des Anschaungsraumes undden daraus abgeleiteten Raumen.

I Allgemeine Vektoren aus beliebigen Raumen bezeichnen wir mit q = (q1, q2, ...)t , x = (x1, x2, ...)t , ....

I Ebenso werden alle mehrdimensionale Objekte und Operatoren in Fettschrift geschrieben: A, M, R, .....

Indexschreibweise

I Die Elemente xν, qν, ... eines beliebigen Vektors ~x , q, ... indizieren wir mit oberen Indizes undGriechischen Buchstaben α,β, ...,µ,ν, .....

I Mit unteren Indizes nummerieren wir verschiedene Objekte der selben Art, wie Vektoren ~r1, ~r2, ...,~rn, ...bzw q1, q2, ...., qn, ... und verwenden Lateinische Buchstaben i , j , k, n, ....

I Gelegentlich verwenden wir fur untere Indizes auch spezielle Griechische oder Lateinische Buchstaben zurNamenskennzeichnung spezieller Großen, wie beispielsweise ~eρ,~er , ..., qr , pφ, ....

I Bei komplizierten Objekten mit vielen Indizes kann es auch Ausnahmen zur Position und Art derIndexschreibweise kommen.



Erganzung: Gruppen

Definition (Gruppe)

Eine Gruppe G ist eine Menge von Elementen g1, g2, ... zusammen mit einer binaren Operation:

: G× G → G

(g1, g2) 7→ g1 g2,

die folgenden Bedingungen genugt:

1. Es existiert ein neutrales Element e ∈ G, so dass gilt:

g e = e g = g , ∀g ∈ G.

2. Fur jedes Element g ∈ G existiert ein inverses Element g−1, so dass gilt:

g g−1 = g−1 g = e.

3. Es gilt das Assoziativ-Gesetz:

(g1 g2) g3 = g1 (g2 g3), ∀gi ∈ G.

Wir nennen die Gruppe abelsch bzw. kommutativ, wenn g1 g2 = g2 g1, ∀g1, g2 ∈ G gilt.

Definition (Untergruppe)

Eine Teilmenge H einer Gruppe G, die selber eine Gruppe ist, ist eine Untergruppe von G.



Beispiele zu Galileo-Transformationen

Galileo-Transformationen lassen sich zerlegen:

I Translationen (~q, s)

I geradlinig gleichformige Bewegungen (t~v)

I Rotationen (R~r)

Beispiel (Ortstranslation: ~q)

(t~r

)7→(

t ′

~r ′

)= G0

1,~0,~q(

t~r

):=

(t

~r +~q

)

Beispiel (Zeittranslation: s)

(t~r

)7→(

t ′

~r ′

)= Gs

1,~0,~0(

t~r

):=

(t + s~r

)

Beispiel (Gleichformige Bewegung: ~v)

(t~r

)7→(

t ′

~r ′

)= G0

1,~v ,~0(

t~r

):=

(t

~r + t~v

)

Beispiel (Rotation: R um x3-Achse)

(t~r

)7→(

t ′

~r ′

)= G0

R3,~0,~0(

t~r

):=

(t

R~r

)

Eine Rotation um die x3-Achse mit Winkel φ:x ′1

x ′2

x ′3

= R3(φ)~r :=

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

x1

x2

x3

=

+x1 cosφ+ x2 sinφ−x1 sinφ+ x2 cosφ

x3

x1

x2

~r~r ′

φ



Erganzung: Matrixgruppen - Drehgruppe

Definition (Allgemeine lineare Gruppe)

Die allgemeine lineare Gruppe GLd ist definiert durch

GLd(R) := M = Mµν, 1 6 µ,ν 6 d : Mµν ∈ R, det M 6= 0 .

Definition (Orthogonale lineare Gruppe)

Die orthogonale lineare Gruppe Od ist definiert durch

Od :=

M = Mµν, 1 6 µ,ν 6 d : Mµν ∈ R, M Mt = 1

.

Daraus folgt:det(M Mt) = det M det Mt = det 1 = 1 =⇒ det M = ±1.

Definition (Spezielle orthogonale lineare Gruppe)

Die spezielle orthogonale lineare Gruppe SOd ist definiert durch

SOd := M ∈ Od , det M = +1 .

Die Gruppe SO3 bezeichen wir auch mit Drehgruppe.

Die Anzahl der freien Parameter f ist gegeben durch:

M−1 = Mt =⇒ f =d(d − 1)

2.



Hintereinanderausfuhrung von Galileo-Transformationen

Definition (Verknupfung von Galileo-Transformationen)

(t~r

)7→(

t2

~r2

)= G

s2R2,~v2,~q2

Gs1R1,~v1,~q1

(

t~r

):= G

s2R2,~v2,~q2

(

t1

~r1

)= Gs

R,~v ,~q (

t~r

)

I Die Galileo-Transformationen GsR,~v ,~q bilden eine nicht kommutative Gruppe SGal3.

I SGal3 3 GsR,~v ,~q = G

s2R2,~v2,~q2

Gs1R1,~v1,~q1

I ∃1 ∈ SGal3 y GsR,~v ,~q = 1 Gs

R,~v ,~q = GsR,~v ,~q 1

I ∃Gs ′R′ ,~v ′ ,~q ′

= (GsR,~v ,~q)

−1 ∈ SGal3 y 1 = Gs ′R′ ,~v ′ ,~q ′

GsR,~v ,~q = Gs

R,~v ,~q Gs ′R′ ,~v ′ ,~q ′

I(G

s1R1,~v1,~q1

Gs2R2,~v2,~q2

) G

s2R3,~v3,~q2

= Gs1R1,~v1,~q1

(G

s2R2,~v2,~q2

Gs2R3,~v3,~q2

)I Im Allgemeinen kommutieren zwei Galileo-Transformationen nicht miteinander.

Beispiel (Zwei Rotation nacheinander mit R1 und R2)

(t~r

)7→(

t2

~r2

)= G0

R2,~0,~0 G0

R1,~0,~0(

t~r

)

(t2

~r2

)= G0

R2,~0,~0 G0

R1,~0,~0(

t~r

)= G0

R2,~0,~0(

tR1~r

)=

(t

R2R1~r

)6=(

tR1R2~r

)= G0

R1,~0,~0 G0

R2,~0,~0(

t~r

)



Geschwindigkeit und Beschleunigung

Definition (Bewegung & Trajektorie)

Als eine Bewegung (eines Punktes) bezeichnen wir die Abbildung:

R ⊃ I = [t1, t2] 3 t 7→~r(t) ∈ X ⊂ R3

und den Graphen: I 3 t 7→ (t,~r(t)) dieser Abbildung auch als Trajektorie.

Definition (Geschwindigkeit & Beschleunigung)

Der Geschwindigkeitsvektor (eines Punktes) zur Zeit t0 ist definiert durch:

~v(t0) ≡ ~r(t0) :=d~r(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

= lim∆t→0

~r(t0 +∆t) −~r(t0)

∆t.

Der Beschleunigungsvektor (eines Punktes) zur Zeit t0 ist definiert durch:

~a(t0) ≡ ~r(t0) :=d2~r(t)

dt2

∣∣∣∣t=t0

.

~r(t1)

~r(t0)~r(t0 +∆t)

~r(t0 +∆t) −~r(t0)

~r(t2)

x1

x2

x3

Definition (Skalarprodukt)

Das Skalarprodukt zweier nichtverschwindender Vektoren ~x ,~y ∈ Rd ist definiert durch:

~x ·~y ≡ ~x t~y :=

d∑ν=1

xνyν = |~x ||~y | cosθ ∧ ~x ⊥ ~y ⇔ ~x ·~y = 0 ⇔ θ = ±π/2.



Erganzung: Schreibweise und Konventionen zur Differentiation

Differentiations-Schreibweisen

I Wir verwenden im Folgenden oft die totale Differentiation nach der Zeit einen Punkt:

d

dtf (t) ≡ f (t) ≡ f ,

wobei nicht notwendig die Zeit im Argument angegeben werden muss.

I Ableitungen nach anderen Argumenten verkurzen wir oft durch einen Strich:

d

dxf (x) ≡ f ′(x),

wobei dann immer nur das eine Argument angegeben wird nachdem Differenziert wurde.

I Der Strich ·′ an Symbolen ohne Argument wird oft bei Transformationen des Objektes verwendet, wennes ein Objekt des selben Typs ergibt:

t ′ = t + s, ~r ′ = R~r , ...

und ist von der Differentiation zu unterscheiden. Dies wird im Kontext immer klar sein.



Beispiel: Geschwindigkeit und Beschleunigung

Beispiel (Bewegung eines Punktes entlang einer Trajektorie)

~r(t) =

4 cos(ωt)4 sin(ωt)

10 exp(−αt)

, t ∈ [0, 3π], ω,α > 0.

4

4

10

~r(0)

~r(5) ~r(6.6)

~v(0)

~v(5)

~v(6.6)

~a(0)

~a(5) ~a(6.6) x1

x2

x3

Fur die Grafik gilt ω = α = 1.

~v(t) = ~r(t) =

−4ω sin(ωt)4ω cos(ωt)

−10α exp(−αt)

~a(t) = ~r(t) =

−4ω2 cos(ωt)−4ω2 sin(ωt)10α2 exp(−αt)

~r(t) · ~r(t) = −100α exp(−2αt)

~r(t) · ~r(t) = −16ω2 + 100α2 exp(−2αt)



Galileo Invarianz V2

Die Basis der Newtonschen Mechanik bilden Experimentelle Fundamentalgesetze, die wir als Axiomepostulieren. Die Newtonsche Mechanik beginnt mit den Axiomen:

Axiom (Galileo-Invarianz von Inertialsystemen)

Es existieren Koordinatensysteme, die wir Inertialsysteme nennen, die die folgenden Eigenschaften besitzen:

I Alle Koordinatensysteme, die sich bezuglich eines Inertialsystem durch eine Galileo-Transformationbewegen, sind selber wieder Inertialsysteme.

I Alle Naturgesetze haben zu allen Zeiten die selbe Form in allen Inertialsystemen.

Axiom (Eindeutigkeit der Bewegung durch Anfangsbedingungen)

Der Zustand eines Systems wird durch die Orte und Geschwindigkeiten seiner Teile zu einem bestimmtenZeitpunkt eindeutig fur alle anderen Zeiten bestimmt.

Achtung, je nach gegebener Realitat fuhrt dies zu Widerspruchen mit der Beobachtung:

I Spezielle Relativitatstheorie → Minkowski [1864-1909] Raum

I Allgemeine Relativitatstheorie → Nicht-Euklidische Geometrie

I Chaos - Dynamische Systeme → Unbestimmtheit

I Existenz von Inertialsystemen → oft eine Naherung, die nur in sogenannten Laborsystemen approximativgilt, etwa auf der Erdoberflache unter Vernachlassigung der Erdrehung



Erganzung: Inertialsysteme

x1

x2

x3

(t,~r)

t~v

(t ′,~r ′)

x ′1

x ′2

x ′3


Newtonsche Mechanik Newtonsche Gesetze

Das Newtonsche Gesetze

Die Bewegung eines Massenpunktes wird durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen bestimmt, und wirdin Form eines weiteren Axioms postuliert:

Axiom (Newtonsches Gesetz)

Die Bewegung eines Massenpunktes mit Masse m und Ortsvektor ~r =~r(t) und Geschwindigkeit ~v(t) = ~r(t)wird beschrieben durch das System der Differentialgleichungen:

d

dtm~v(t) = ~F . (1)

Die Kraft ~F = ~F(~r ,~r , t) definiert das System und ist gegeben durch die experimentelle Beobachtung.

I Das Axiom ist zweigeteilt, zum einen postuliert es die Existenz einerDifferentialgleichung zur Beschreibung der Physik, zum anderenbesagt es, dass die Kraft vorgegeben wird durch die experimentelleBeobachtung. Beides ist nicht beweisbar und muss postuliert werden.

I Das Gleichungssystem (1) stellt ein System von gewohnlichenDifferentialgleichungen 2’ter Ordnung dar. Hierzu existierenEindeutigkeitsaussagen bzgl. der Losung und seinerAnfangsbedingungen.

I Aufgrund dieses Axioms und der Theorie der Differentialgleichungenbedeutet dies, dass die Bewegung eines mechanischen Systems

(Massepunkte) durch die Anfangsbedingungen ~r(t0),~r(t0) zuirgendeinem Zeitpunkt t0 fur alle Zeiten t bestimmt ist, sofern das

vorgegebene Vektorfeld ~F(~r ,~r , t) bestimmte Stetigkeitsbedingungenerfullt (Arnold, Gewohnliche Differentialgleichungen).

~r(t0)

m~v(t0)

~F

x1

x2

x3



Erganzung: Historisches zu den Newtonschen Gesetzen

Newtonsche Gesetze im Original von 1687

Sir Isaac Newton’s mathematical principles of natural philosophy

Law I Every body continous in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it iscompelled to change that state by force impressed upon it.

Law II The change of motion is proportional to the motive force impressed; and is made in thedirection of the right line in which that force is impressed.

Law III To every action there is always opposed an equal reaction; or, the mutual actions of twobodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts.

Newtonsche Gesetze ubersetzt

I Ein Korper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichformig geradlinigen Bewegung,sofern er nicht durch einwirkende Krafte zur Anderung seines Zustands gezwungen wird

II Die Anderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional undgeschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

III Zu jeder Kraft gibt es eine gleich große in entgegengesetzte Kraft, oder die wechselseitigeWirkung zweier Korper aufeinander ist gleich groß und entgegengesetzt.



Folgerungen aus den Newtonschen Gesetzen

Die Newtonschen Axiome schranken die Form der Bewegungsgleichungen ein. Betrachten wir Inertialsysteme,die durch Galileo-Transformationen auseinander hervorgehen.

Beispiel (Galileo-Transformation)

I Zeitverschiebung:t ′ = t + s

dann folgt:

~r ′ = ~r ∧ ~r ′ = ~f ′(~r ′,~r ′, t ′) = ~f (~r ,~r , t + s)

I Geradlinig gleichformige Bewegung:~r ′ =~r +~vt

dann folgt:

~r ′ = ~r ∧ ~r ′ = ~f ′(~r ′,~r ′, t ′) = ~f (~r ′ −~vt ′,~r ′ −~v , t ′)

I Drehung:~r ′ = R~r

dann folgt:

~r ′ = R~r ∧ ~r ′ = ~f ′(~r ′,~r ′, t ′) = R~f (Rt~r ′, Rt~r ′, t ′)

Bei einem gegebenem Vektorfeld ~f aus dem ersten Inertialsystem erhalt man aus diesen Gleichungen das

Vektorfeld ~f ′ im zweiten Inertialsystem. Die Bewegungsgleichungen behalten ihre Form in den Inertialsystemenbei. Ware etwa R = R(t) eine zeitabhangige Funktion, so waren die Newtonschen Bewegungsgleichungenoffenbar nicht invariant, da dann gelten wurde:

~r ′ = R~r + 2R~r + R~r~r=~f= R~r + 2R~r + R~f

R~f =~f ′= ~f ′ + R~r + 2R~r .


Newtonsche Mechanik Gravitationskraft

Gravitationskraft

Definition (Gravitationskraft)

Die zeitunabhangigen Gravitationskraft ist definiert durch das Vektorfeld ~f : R3 7→ R3:

~f (~r) := −γ~r

r 3, r := |~r |, γ > 0, r > 0.

Dies legt ein ruhendes Inertialsystem im Ursprung zu Grunde und man spricht auch von einem Gravitationsfeld.

I Betrachten wir ein dazu mit der Geschwindigkeit ~v in Richtung desMassenpunktes bewegtes Inertialsystem, so gilt:

~f ′(~r ′) = ~f (~r ′ −~vt ′) = −γ~r ′ −~vt ′

|~r ′ −~vt ′|3.

I Eine Drehung R ≡ R(φ,θ) ∈ SO3 um die Achse der Fallrichtungist gegeben durch:

~r ′ = R~r ,

so gilt:

~f ′(~r ′) = R~f (Rt~r ′) = −γ1

|Rt~r ′|3R(Rt~r ′) = −γ

~r ′

|~r ′|3.

I In Kugelkoordinaten im Ursprung gilt:

~f (~r) = −γ~er

r 2.

I Die Große der Konstante γ wird spater bei der Diskussion derKepler-Bewegung spezifiziert.

x1

x2

x3

~r

~r ′

φ

θ


Newtonsche Mechanik Gravitationskraft

Erganzung: Kugelkoordinaten

Definition (Kugelkoordinaten)

Kugelkoordinaten (r ,θ,φ) sind definiert durch die Abbildung: R+

[0, 2π[[0,π[

3 rφθ

7→x1(r ,φ,θ)

x2(r ,φ,θ)x3(r ,φ,θ)

=

r cosφ sinθr sinφ sinθ

r cosθ

= r~er

mit

~er =

cosφ sinθsinφ sinθ

cosθ

, ~eθ =

cosφ cosθsinφ cosθ− sinθ

, ~eφ =

− sinφcosφ

0

x1

x2

x3

~r

φ

θ

Eigenschaften

d~r = ~erdr + r~eθdθ+ r sinθ~eφdφ

d~r 2 = dr 2 + r 2dθ2 + r 2 sin2 θdφ2

1 = ~er · [~eθ ×~eφ]

~r = r~er + θr~eθ + rφ sinθ~eφ

~r = (r − r θ2 − rφ2 sin2 θ)~er + (r θ+ 2r θ− rφ2 sinθ cosθ)~eθ + (rφ sinθ+ 2r θφ cosθ+ 2rφ sinθ)~eφ


Eindimensionale Bewegung

Eindimensionale Bewegung

Viele dreidimensionale Bewegungen lassen sich durch Symmetrien auf eindimensionale Bewegung zuruckfuhren,deswegen betrachten wir zunachst eine Bewegung eines Massenpunktes m mit einem Freiheitsgrad unter einerzeitunabhangigen Kraft F .

Definition (Kinetische-, potentielle- und Gesamtenergie)

Ein mechanisches System mit einem Freiheitsgrad ist definiert durch die Bewegungsgleichung:

mx = F(x), x ∈ R. (2)

Die kinetische Energie T und potentielle Energie U = U(x) sind definiert durch:

T :=m

2x2 ∧ U(x) := −

∫ x

x0

dx ′F(x ′). (3)

Die Gesamtenergie ist definiert durch E := T + U und ist nur bis auf eine Konstante E0 definiert.

Energieerhaltung

In einem eindimensionalen System (2)-(3) ist die Gesamtenergie E = T + U zeitlich erhalten.

Beweis:d

dtE

(3)=

m

2

d

dtx2 −

d

dt

∫ x

x0

dx ′F(x ′) = mxx − F(x)x = x [mx − F(x)]︸︷︷︸(2)=0

= 0.

Die Energieerhaltung in einer Dimension folgt aus der (bis auf eine Konstante) Eindeutigkeit der Definition desPotentials in einer Dimension, da es zwischen den Punkten x0 und x nur einen Weg gibt. In hoherenDimensionen ist dies nicht moglich, es gibt im Allgemeinen viele Wege zwischen zwei Punkten ~r0 und ~r .


Eindimensionale Bewegung Federkraft und Schwingungen

Eindimensionale Bewegung: Federkraft und Harmonischer Oszillator

Definition (Federkraft)

Die Federkraft F ist definiert durch:F(x) := −kx , k > 0.

Die positive Konstante k nennt man die Federkonstante.

Definition (Harmonischer Oszillator und die Schwingungsgleichung)

Wir nennen das Potential zur Federkraft

U(x) =k

2(x − l)2 + U0, l , U0 ∈ R,

harmonisches Potential und das gesamte mechanische System bezeichnen wirals harmonischen Oszillator. Die Konstante l ist die sogenannte Ruhelage undU0 eine Verschiebung des Nullpunktes des Potentials.

(l ,U0)x

U(x)

Die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators lautet:

x(t) = −ω2x(t), ω :=

√k

m(4)

und wird als Schwingungsgleichung bezeichnet und die positive Konstante ω als Schwingungsfrequenz.

Die Losung der Bewegungsgleichung bestimmen wir auf zwei verschiedene Weisen. Zum einen uber einenLosungsansatz der Differentialgleichung und zum anderen uber die Energieerhaltung.



Losung der Schwingungsgleichung uber Losungsansatz

Losungsansatze fur die Schwingungsgleichung

x(t) = α0 sin(ωt +φ0) ∧ x(t) = a0 sin(ωt) + b0 cos(ωt).

Wobei α0,β0,φ0 aus den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t0 mit x(t0) = x0 und x(t0) = v0 bestimmtwerden mussen. Wir nehmen ohne Einschrankung an, dass gilt t0 = 0, dann folgt etwa aus dem ersten Ansatz:

x0 ≡ x(0) = α0 sinφ0 ∧ v0 ≡ x(0) = α0ω cosφ0.

Damit lassen sich die Konstanten α0 und φ0 durch die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t0 = 0 ausdrucken:

α0 =√

x20 + (v0/ω)2 ∧ φ0 = arctan

(x0ω

v0

).

Die potentielle Energie ist gegeben durch:

U(x) = −

∫ x

x0

dx ′F(x ′) = k

∫ x

x0

dx ′ x ′ =k

2x2 −

k

2x2

0

Die Gesamtenergie lautet:

E = T + U(x) =m

2x2 +

k

2x2 −

k

2x2

0 .

Hierbei ist E0 ≡ −kx20/2 und entspricht einer speziellen Wahl des Energienullpunktes. Es gibt zwei freie

Parameter, zum einen die Energie E und zum anderen die Große x0. Durch Vorgabe dieser Großen ist dieBewegung des Massenpunktes bestimmt. Die Wahl des Energienullpunktes hat keinen Einfluss auf dieBewegung des Massenpunktes. Sie druckt lediglich die Freiheit zur Wahl eines Energie-Null-Punktes aus.Vollig analog erhalt man das selbe Ergbenis mit dem zweiten Ansatz.



Erganzung: Aquivalenz verschiedener Losungsformen

Losungsformen der Schwingungsgleichung

Allgemeine Losungen der Schwingungsgleichung x = −ω2x :

x1(t) = α0 sin(ωt +Φ0) =⇒ x1(t) =ωα0 cos(ωt +Φ0)

x2(t) = β0 cos(ωt +φ0) =⇒ x2(t) = −ωβ0 sin(ωt +φ0)

x3(t) = a0 sin(ωt) + b0 cos(ωt) =⇒ x3(t) =ω(a0 cos(ωt) − b0 sin(ωt)

)x4(t) = A0e

−iωt + B0e+iωt =⇒ x4(t) = −iω

(A0e

−iωt − B0e+iωt

)Die obigen Losungsformen sind aquivalent:

x2 → x1: Wahle φ0 =Φ0 −π/2, β0 = α0.

x2 = α0 cos(ωt +Φ0 −π/2) = α0 sin(ωt +Φ0) = x1

x3 → x1: Wahle: a0 = α0 cosΦ0, b0 = α0 sinΦ0

x3 = α0 cosΦ0 sin(ωt) +α0 sinΦ0 cos(ωt) = α0 sin(ωt +Φ0) = x1

x4 → x3: Wahle: A0 = (b0 + i a0)/2, B0 = (b0 − i a0)/2

x4 =b0 + i a0

2

(cos(ωt) − i sin(ωt)

)+

b0 − i a0

2

(cos(ωt) + i sin(ωt)

)= a0 sin(ωt) + b0 cos(ωt) = x3

Welche Form man tatsachlich nutzt, hangt von der Problemstellung ab. Bei der Losung x4 muss man daraufachten, dass dies im Allgemeinen eine komplexe Losung ist und man gegebenenfalls davon den Realteil nehmenmuss.



Losung der Schwingungsgleichung uber Energieerhaltung V3

Die Energie ist konstant, deswegen gilt:

E ′ := E − E0 =m

2x2 +

k

2x2 =⇒ x = ±

√2(E ′ − x2k/2)/m.

Das Vorzeichen hangt von der momentanen Richtung der Bewegung ab und muss entsprechend gewahltwerden. Durch Separation der Variablen erhalten wir:∫ t

t0

dt ′ = ±∫ x

x0

dx ′√2(E ′ − x ′2k/2)/m

=⇒ t − t0 = ±√

m

2E ′

∫ x

x0

dx ′√1 − kx ′2/2E ′

Das Integral kann mit Hilfe einer Substitution gelost werden:

x 7→ sinφ = x√

k/2E ′.

Damit transformiert sich das Integral zu:

t − t0 = ±√

m

2E ′

∫φφ0

dφ′√

2E ′/k cosφ′√1 − sin2φ′

= ±√

m

k(φ−φ0) = ±ω−1(φ−φ0).

Durch Wahl des positiven Vorzeichens [Wahl der Drehrichtung fur φ(t) =ω(t − t0) +φ0] erhalten wir dasselbe Ergebnis wie zuvor:

x(t) = ±√

2E ′

ksin(ω(t − t0) +φ0

)∧ ω =

√k

m

und damit schließlich fur die Energie2E ′

k= x2

0 +v 2

0

ω2,

mit x0 = x(t0) und v0 = x(t0) gilt.

Wir finden mit beiden Methoden die selbe harmonische Schwingungsbewegung des Massenpunktes!


Eindimensionale Bewegung Das Phasendiagramm und der Phasenfluss

Das Phasendiagramm und der Phasenfluss

Definition (Phasendiagramm & Phasenkurve)

Die Bewegungsgleichung: mx = F(x) mit y := x ist aquivalent zum System der Differentialgleichungen:

d

dt

(xy

)=

(y

F(x)/m

)Wir bezeichnen die x , y-Ebene als das Phasendiagramm und eine Losung der Bewegungsgleichung

x(t) = φ(t), y(t) = φ(t) als Phasenkurve und alle moglichen Kurven als den Phasenfluss.

Im eindimensionalen Fall ergibt sich das Phasendiagramm aus derEnergiegleichung:

E =m

2x2 + U(x)

Daraus folgt:

y(x) = ±√

2

m

(E − U(x)

)y ′(x) = −

1

m

U ′(x)

y(x)

Ein Beispiel fur ein Phasendiagramm zeigt das Bild. Eine Verall-gemeinerung des Phasendiagramms in mehreren Dimensionen istkanonisch.



Erganzung: System linearer gewohnlicher Differentialgleichungen

Definition (System linearer Differentialgleichungen 2.Ordnung)

Eine gewohnliches autonomes System von n Differentialgleichung 2.Ordung ist gegeben durch:

x = g(x, x), y g(x) = (g 1(x), ..., g n(x))t x ≡ (x1, . . . , xn)t

Aquivalentes System von 2n Differentialgleichungen 1.Ordnung

Setzen wir y := x, dann gilt:d

dt

(xy

)=

(y

g(x, y)

)=: g(x, y)

Wir transformieren die DGL auf ein System von DGL 1.Ordnung durch Einfuhrung der Variablen y := x unddefinieren q := (q1, . . . , q2n)t = (x1, ..., xn, x1, ..., xn)t und damit

d

dtq =

d

dt

(xy

)=

(xx

)=

(y

g(x, y)

)



Beispiel: Phasendiagramm des harmonischen Oszillators

Beispiel (Harmonischen Oszillators)

Die Energie der Federkraft ist gegeben durch:

E =m

2y 2 +

k

2x2

Aus der Ellipsengleichung folgt:

1 =x2

a2+

y 2

b2∧ a =

√2E

m, b =

√2E

k

Stellt man die Gleichung explizit um und verwendet ω2 = k/m,dann folgt:

y(x) = ±√

a2 −ω2x2 =⇒ y ′(x) = −ω2 x

y(x)

Die Eigenschaften der Kurven im Phasendiagramm ergeben sichaus der Diskussion dieser Gleichungen.

Explizit gilt:

y(± b

)= 0 ∧ y ′

(± b

)= ∓∞

y(0) = ±a ∧ y ′(0) = 0

x

U(x)

x

x = y(x)



Periodische Bewegung

Definition (Inversionspunkt & Periodendauer)

Fur eine Bewegung in einem Potential U(x) 6 E definieren wir die Funktion:

Φ(x) :=√

E − U(x).

Eine Nullstelle von Φ(x) nennen wir Inversionspunkt oder Umkehrpunkt der Bewegung. Die zweifache Zeit,die bei der Bewegung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Inversionspunkten vergeht, nennen wir Periode derBewegung und bezeichnen sie mit tE , sofern diese endlich ist.

I Am Inversionspunkt dreht sich die Bewegung um, das heißt die Geschwindigkeit andert ihr Vorzeichen,sofern die Zeit endlich ist um den Punkt zu erreichen.

I Die Dauer der Bewegung von einem zum anderen Inversionspunkt hangt nicht von der Richtung derBewegung ab.

Lemma (Periodendauer)

Die Periodendauer tE zwischen zwei aufeinderfolgenden Inversionspunkten x0 < x1 ist gegeben durch:

tE =√

2m

x1∫x0

dx√E − U(x)

, U(x0,1) = E , U(x) 6 E ∀x ∈ [x0, x1].

Beweis: Folgt unmittelbar durch Separation der Energieerhaltung E = mx2/2 + U(x).


Newtonschen Mechanik fur N-Teilchen Newtonsche Gesetze

Newtonsche Mechanik fur N Teilchen

Newtonsche Mechanik fur N Teilchen

Die Newtonschen Bewegungsgleichungen fur N Teilchen sind gegeben durch:

d

dtmi~ri(t) = ~Fi = ~F e

i +

N∑j 6=i

~Fij(~rk ), i , j , k = 1, . . . , N. (5)

Die Kraft ~Fi wirkt auf den Massenpunkt mi und setzt sich im Allgemeinen aus einer externen Kraft ~F ei , die auf

alle Massenpunkte mi wirkt (also ~F ei = ~F e(~ri)) und Zweiteilchen wechselwirkende Krafte ~Fij = −~Fji , die

zwischen den Massenpunkten i , j = 1, . . . , N wirken, zusammen.

Betrachten wir 2 Massepunkte, die nur untereinander wechselwirken.Damit die Form der Newtonschen Bewegungsgleichungen fur beideTeilchen auch in verschiedenen Inertialsystemen gleich ist, kann dasVektorfeld nur von der Differenz der Argumente abhangen:

m1~r1(t) = ~F12(~r1,~r2),

m2~r2(t) = ~F21(~r1,~r2).

O

x1

x2

x3

q1

q2

~r1

~r2

~r1 −~r2

Aus dieser Betrachtung folgt: ~F12(~r1,~r2) = ~F12(~r1 −~r2) = −~F21(~r1 −~r2).Diese Aussagen lassen sich auf den Fall N > 2 verallgemeinern:

~Fij(~rk −~rl ) = −~Fji(~rk −~rl ), i , j , k, l = 1, . . . , N


Newtonschen Mechanik fur N-Teilchen Erhaltungssatze

Erhaltung des Gesamtimpulses

Definition (Impuls & Gesamtimpuls)

Der Impulse eines Massepunktes mi mit Geschwindigkeit ~ri ist

definiert durch ~pi := mi~ri , der Gesamtimpuls eines Systems aus NMassenpunkten ist definiert durch:

~P :=

N∑i=1

~pi .

Anderung des Gesamtimpulses

Die Anderung des Gesamtimpulses ~P eines Systems aus NMassenpunkten ist gegeben durch:

d~P

dt=

N∑i=1

~F ei , (6)

und demnach erhalten, falls keine außere Karft vorhanden ist.

O

x1

x2

x3

~p1

~p2~p3

~p4~p5

~P

Beweis:

d~P

dt=

N∑i=1

~pi =

N∑i=1

mi~ri =

N∑i=1

~Fi(5)=

N∑i=1

~F ei +

N∑i=1

N∑j 6=i

~Fij︸︷︷︸Fij =−Fji =0

=

N∑i=1

~F ei

Der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenem System ohne außere externe Kraft (~F ei = 0) ist erhalten.


Newtonschen Mechanik fur N-Teilchen Erhaltungssatze

Schwerpunktsbewegung

Definition (Schwerpunkt)

Der Schwerpunkt ~R eines Systems aus N Massenpunkten ist definiert durch:

~R :=1

M

N∑i=1

mi~ri ∧ M :=

N∑i=1

mi . (7)

Schwerpunktsbewegung

Der Schwerpunkt eines Systems aus N Massenpunkten ist unabhangig vom Inertialsystem und bewegt sich wie

ein Massenpunkt mit Masse M im externen Feld ~F e :

M ~R = ~F e ∧ ~F e :=

N∑i=1

~F ei

Beweis:

I Sei eine Galileo-Transformation ~r ′ =~r + ~V t +~q gegeben, dann gilt fur den Schwerpunkt:

~R ′ =1

M

N∑i=1

mi

(~ri + ~V t +~q

)=

1

M

N∑i=1

mi~ri +1

M

N∑i=1

mi

(~V t +~q

)= ~R + ~V t +~q.

Der Schwerpunkt selber transformiert sich also mit der selben Galileo-Transformation.I Sei der Schwerpunkt (7) gegeben, dann gilt:

d2~R

dt2=

1

M

N∑i=1

mi~ri(6)=

1

M

N∑i=1

F ei =

~F e

M=⇒ M ~R = ~F e =⇒ M ~R =

d~P

dt


Konservative Systeme Konservative Systeme

Konservative Systeme und Potentiale V4

Besonders wichtig sind Systeme, deren Kraftvektorfeld ~F : (~r1, . . . ,~rN) : R3N → R3 aus einer skalaren Funktion– dem Potential U(~r1, . . . ,~rN) : R3N → R – gewonnen werden kann, deswegen definieren wir:

Definition (Potential einer konservativen Kraft)

Das zu einem Vektorfeld ~Fi gehorige stetig differenzierbare Potential U : R3N ⊃ X 3 (~r1, . . . ,~rN) 7→ R, istdefiniert durch die Gleichung:

~Fi(~r1, . . . ,~rN) := −∇i U(~r1, . . . ,~rN), i = 1, . . . , N,

sofern dieses existiert. Das Potential ist nur bis auf eine Konstante definiert und somit nicht eindeutig. Einesolches Feld, fur das ein Potential existiert, nennen wir konservatives Kraftfeld.

Beispiel:

I Federkraft mit Federkonstante k zwischen zwei Massen m1 und m2:

U(~r1 −~r2) :=k

2|~r1 −~r2|

2 =⇒ ~F12 = −k(~r1 −~r2)

=⇒ m1~r1 = −k(~r1 −~r2) ∧ m2~r2 = +k(~r1 −~r2)

I Gravitationsfeld zweier Massenpunkte m1 und m2:

U(~r1 −~r2) := −Gm1m2

|~r1 −~r2|=⇒ ~F12 = −Gm1m2

~r1 −~r2

|~r1 −~r2|3

=⇒ m1~r1 = −Gm1m2~r1 −~r2

|~r1 −~r2|3∧ m2~r2 = −Gm1m2

~r2 −~r1

|~r1 −~r2|3



Erganzung: ∇ in Kugelkoordinaten I

Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten

∇Ψ = ~er∂

∂rΨ+

1

r~eθ∂

∂θΨ+

1

r sinθ~eφ

∂

∂φΨ

∆Ψ =

[∂2

∂r 2+

2

r

∂

∂r+

1

r 2

∂2

∂θ2+

1

r 2

cosθ

sinθ

∂

∂θ+

1

r 2

1

sin2 θ

∂2

∂φ2

]Ψ

∇ · ~A =1

r 2

∂(r 2Ar )

∂r+

1

r sinθ

∂(sinθAθ)

∂θ+

1

r sinθ

∂Aφ)

∂φ

Dies zeigt man beispielsweise wie folgt:

∇Ψ ≡

∂x1∂x2∂x3

Ψ != fr (r ,θ,φ)~er

∂

∂rΨ+ fφ(r ,θ,φ)~eθ

∂

∂θΨ+ fz(r ,θ,φ)~eφ

∂

∂φΨ

=⇒ fr (r ,θ,φ) = 1 ∧ fφ(r ,θ,φ) = 1/r ∧ fz(r ,θ,φ) = 1/r sinθ

Durch Koeffizientenvergleich gelangt man zu:

∇Ψ = ~er∂

∂rΨ+

1

r~eθ∂

∂θΨ+

1

r sinθ~eφ

∂

∂φΨ

Der Rest geht analog zu zeigen.



Konservative Systeme und Energieerhaltung

Energieerhaltung

Es sei ein konservatives Kraftfeld ~Fi , i = 1, . . . , N mit Potential U(~r1, . . . ,~rN), i = 1, . . . , N gegeben, dann istdie Gesamtenergie des Systems:

E = T + U mit kinetischer Gesamtenergie T :=

N∑i=1

mi

2~r 2

i

unter den Newtonschen Bewegungsgleichungen eine erhaltene Große.

Beweis:

dE

dt=

d

dt

N∑i=1

mi

2~r 2

i +d

dtU(~r1, . . . ,~rN) =

N∑i=1

(mi~ri · ~ri +∇i U(~r1, . . . ,~rN) · ~ri

)=

N∑i=1

~ri ·(

mi~ri − ~Fi

)︸︷︷︸

=0

= 0

Definition (Arbeit)

Die in einem mechanischen System geleistete Arbeit W entlang einesWeges γr0r1

: I→ R3 von einem Anfangspunkt ~r0 zu einem Endpunkt ~r1

ist gegeben durch das Wegintegral:

W :=

∫γr0r1

~dr · ~F(~r).

~r

~r0~r1

d~r

~F

x1

x2

x3



Erganzung: Wegintegral

Definition (Wegintegral)

Es sei ein Weg γr0r1von ~r0 zu ~r1 gegeben zusammen mit einem Vektorfeld ~f (~r), dann ist das Wegintegral

entlang γr0r1definiert durch:

Ir0r1≡∫

γr0r1

d~r ·~f (~r) =

3∑i=1

∫γr0r1

dxi fi(~r)

Ist eine stuckweise stetige Parametrisierung des Weges: γ : [τ0,τ1] 3 τ 7→~r =~r(τ) ∈ R3 mit ~r(τ0) =~r0 und~r(τ1) =~r1 gegeben, so gilt:

Ir0r1=

∫γr0r1

d~r ·~f (~r) =

τ1∫τ0

dτd~r(τ)

dτ·~f (~r(τ))

Beispiel (Vektorfeld: ~f und Integrationsweg γ)

~f (~r) =

−x2

+x1

0

y

0.5

1

0

-1

x

1-1

-0.5

-0.5 0 0.5γ

x1

x2



Eigenschaften konservativer Vektorfelder

Konservative Vektorfelder sind durch die folgende wichtige Eigenschaft definiert:

Konservative Vektorfelder und die Arbeit

Ein Vektorfeld ~F ist genau dann konservativ, wenn die Arbeit W entlang eines jeden Weges γr0r1nur vom

Anfangs- und Endpunkt abhangt, also unabhangig vom Weg ist.

Beweis: i) Sei zunachst die Arbeit fur das Vektorfeld ~F(~r) unabhangig vom Weg γ, so definieren wir:

U(~r) := −

∫γr0r

d~r ′ · ~F(~r ′) =⇒ ∇r U(~r) = −∇r

∫~r~r0

d~r ′ · ~F(~r ′) = −~F(~r).

Also ist ~F(~r) konservativ und U(~r) ist das zugehorige Potential. ii) Sei umgekehrt ~F(~r) konservativ und habeein Potential U(~r), dann ist die Arbeit unabhangig vom Weg, denn es gilt:∫

γr0r

d~r ′ · ~F(~r ′) = −

∫γr0r

d~r ′ · ∇r ′U(~r ′) = −

∫~r~r0

dU = −[U(~r) − U(~r0)].

Rotation eines konservativen Vektorfeldes

Fur ein konservatives Vektorfeld gilt:

∇× ~F(~r) = 0

Beweis: Fur ein konservatives Vektorfeld gilt nach Definition:

~F(~r) = −∇U(~r) =⇒ ∇× ~F(~r) = −∇×∇U(~r) = 0

Mit Hilfe des Stokeschen Satzes kann auch die umgekehrte Aussage gezeigt werden.



Arbeit in mechanischen Systemen (Beispiele)

Das allgemeine Wegintegral uber dem Weg γ : [t0, t1] 3 t 7→~r(t) und Kraft ~f (~r) ist definiert durch:

Wγ =

∮γ

d~r ·~f (~r) =

∫ t1

t0

dtd~r(t)

dt·~f (~r(t))

Beispiel (Kreisweg)

[0, 2π[ 3 φ 7→~r(φ) = r0~er (θ = π/2,φ)

Dann folgt mit: d~r(φ)dφ = r0~eφ fur die verschiedenen Krafte:

I Gravitationsfeld: ~f (~r(φ)) = −γr−2~er

W =

∮r0

d~r ·~f (~r) = −γ

∮r0

d~r~er

|~r0|2= −γ

∫2π

0dφ r0~eφ

~er

r 20

= 0

I Federkraft: ~f (~r(φ)) = −kr~er

W =

∮r0

d~r ·~f (~r) = −k

∮r0

d~r r0~er = −k

∫2π

0dφ r 2

0~eφ ·~er = 0

I Rotationskraft: ~f (~r(φ)) = ~ω×~r~ω=ω~ez= ωr~eφ

W =

∮r0

d~r ·~f (~r) =

∮r0

d~r ·[~ω×~r ] =ωr 20

∫2π

0dφ ~eφ·[~ez ×~er ]︸︷︷︸

=~eφ

= 2πωr 20

φ

~r(φ)

d~r

x

y


Konservative Systeme Zentralkraftfelder

Zentralkraftfeld

Definition (Zentralkraftfeld)

Wir nennen ein Vektorfeld ~F(~r) ein Zentralkraftfeld, wenn bezuglich des Ursprungs gilt:

~F(~r) = F(r)~er , r = |~r |, ~er =~r

r, F(r) ∈ R. (8)

Beispiele: Gravitations- und Federkraft: ~F(~r) = −γ

r 2~er , ~F(~r) = −kr~er

Kein Zentralkraftfeld: ~F(~r) = ~ω×~r~ω:=ω~ez= rω~ez ×~er 6= f (r)~er

Zentralkraftfeld

Die Arbeit entlang eines Weges γr0r1in einem Zentralkraftfeld ~F(~r) = F(r)~er hangt nur von den Abstanden

r0 = |~r0| und r1 = |~r1| ab und es gilt:

Wγr0r1=

∫ r1

r0

dr F(r)

Damit ist das Zentralkraftfeld ein konservatives Kraftfeld.

Beweis:

Wγr0r1=

∫γr0r1

d~r · ~F(r) =

∫γr0r1

[~erdr + r~eθdθ+ r sinθ~eφdφ] ·~er F(r) =

∫ r1

r0

dr F(r)

Fur ein Zentralkraftfeld mit Potential U = U(r) gilt dann:

~F(~r) = −∇U(r) = −dU(r)

dr~er


Konservative Systeme Zentralkraftfelder

Kinetische Energie und Arbeit

Anderung der kinetischen Energie

Die Anderung der kinetischen Energie T von N Massenpunkten vom Zeitpunkt t0 nach t ist gegeben durch:

T(t) − T(t0) =

N∑i=1

Wi =: W ,

wobei Wi die Arbeit ist, die der Massenpunkt wahrend der Bewegung des Systems leistet.

Beweis:

dT

dt=

d

dt

N∑i=1

mi

2~r 2

i =

N∑i=1

mi~ri · ~ri =

N∑i=1

~ri · ~Fi

Integriert von t0 nach t ergibt:

T(t) − T(t0) =

∫ t

t0

dtN∑

i=1

~ri · ~Fi =

N∑i=1

∫ t

t0

dt ~ri · ~Fi =

N∑i=1

Wi = W

Konservatives System aus N Massenpunkten

Ein System aus N Massenpunkten heißt konservativ, wenn bei der Bewegung der Massenpunkte mi dieGesamtarbeit W = W (~ri(t0),~ri(t1)) nur von den Anfangs- und Endpunkten aller Massenpunkte abhangt.Damit ein solches System konservativ ist, ist es notwendig und hinreichend, dass ein Potential U(~ri ) existiertmit der Eigenschaft:

~Fi = −∇i U(~r1, . . . ,~rN), i = 1, . . . , N.

Der Beweis ist vollkommen identisch zum System eines einzelnen Massenpunktes, lediglich das Potential ist nuneine Funktion mehrerer Variablen.


Konservative Systeme Kepler-Bewegung

Der Drehimpuls V5

Definition (Drehimpuls)

Der Drehimpuls eines Massenpunktes m relativ zum Ursprung ist definiert durch:

~L :=~r ×~p = m~r × ~r (9)

Drehimpulserhaltung im Zentralkraftfeld

Bei der Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralkraftfeld ~F(~r) = F(r)~er ist der Drehimpuls ~L relativzum Ursprung eine erhaltene Große:

d~L

dt= 0.

Beweis: Zunachst gilt:

d

dt~L

(9)= m

d

dt~r × ~r = m[~r × ~r +~r × ~r ] = m~r × ~r

Im Zentralkraftfeld lautet die Bewegungsgleichung:

m~r = ~F(~r)(8)= F(~r)~er

Daraus folgt schließlich:d

dt~L =~r ×m~r = r~er × F(r)~er = 0



Drehimpulserhaltung

Definition (Gesamtdrehimpuls)

Der Gesamtdrehimpuls von N Massenpunkten bzgl. des Ursprungs ist definiert durch:

~L :=

N∑i=1

~Li =

N∑i=1

mi~ri × ~ri

Anderung des Gesamtdrehimpulses

Die Anderung des Gesamtdrehimpulses ~L eines Systems aus N Massenpunkten ist gegeben durch:

d~L

dt=

N∑i=1

~ri × ~F ei

~F ei =0= 0

Beweis:

d~L

dt=

N∑i=1

mi~ri × ~ri =

N∑i=1

~ri × ~Fi =

N∑i=1

~ri × ~F ei +

N∑i=1

~ri ×N∑

j 6=i

~Fij =

N∑i=1

~ri × ~F ei

da gilt:N∑

i=1

~ri ×N∑

j 6=i

~Fij =

N∑i 6=j=1

~ri × ~Fij =

N∑i<j=1

[~ri × ~Fij + ~rj × ~Fji ] =

N∑i<j=1

[~ri −~rj ]× ~Fij = 0

Hierbei wurde benutzt, dass ~Fij = ~Fij(~ri −~rj ) ∝ (~ri −~rj) ist und damit jedes Kreuzprodukt verschwindet.



Drehimpuls im Zentralkraftfeld

Drehimpulserhaltung im Zentralkraftfeld

Bei der Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralkraftfeld ~F(~r) = F(r)~eρ ist der Drehimpuls ~L relativzum Ursprung gegeben durch:

~L = L~ez (10)

wobei ~ez senkrecht auf der Bewegungsebene steht, mit der Konstanten L = |~L| = mr 2(t)φ(t).

Beweis: Wir wahlen Zylinderkoordinaten (dies ist keine Einschrankung), so dass allgemein gilt:

~r(t) = r~eρ + φr~eφ + z~ez

Fur den Drehimpulsvektor folgt in Zylinderkoordinaten:

~L = m~r × ~r = mr 2φ~ez − mrzφ~eρ + m(zr − r z)~eφ

Zur vollstandigen Bestimmung der Losung mussen Anfangsbedingungen fur z(t), z(t), r(t), r(t), sowie

φ(t), φ(t) vorgegeben werden. Wir wahlen das Koordinatensystem so, dass zum Zeitpunkt t = t0 = 0 gilt:z(0) = 0, z(0) = 0 und ~r(0) = r(0)~eρ(0), r(0) := R > 0, dann folgt auf Grund der Drehimpulserhaltung:

~L(0) = L~ez = ~L(t) = mr 2(t)φ(t)~ez , ∀t

Daraus folgt zum einen die Behauptung und zum anderen die Gleichungen:

z(t)r(t) = z(t)r(t) ∧ r(t)z(t)φ(t) = 0 ∀tφ=L/mr2

=⇒ z(t)

r(t)= 0 =⇒ z(t) = 0, ∀t

Die erste Gleichung zr = zr ist damit ebenso erfullt, wobei verwendet wurde, dass gilt: r(t) > 0.



Erganzung: Zylinderkoordinaten

Definition (Zylinderkoordinaten)

Zylinderkoordinaten (r ,φ, z) sind definiert durch die Abbildung: R+

[0, 2π[R

3ρφ

z

7→x1(ρ,φ, z)

x2(ρ,φ, z)x3(ρ,φ, z)

=

ρ cosφρ sinφ

z

= ρ~eρ + z~ez ≡~r(ρ,φ, z)

mit den Einheitsvektoren:

~eρ =

cosφsinφ

0

∧ ~eφ =

− sinφcosφ

0

∧ ~ez =

001

Eigenschaften

d~r = ~eρdρ+ ρ~eφdφ+~ezdz

d~r 2 = dρ2 + ρ2dφ2 + dz2

1 = ~eρ · [~eφ ×~ez ]

~r = ~eρρ+ ρ~eφφ+~ez z

~r = (ρ− ρφ2)~eρ + (2ρφ+ ρφ)~eφ + z~ez



Radialgleichung im Zentralkraftfeld

Bewegungsgleichungen im Zentralkraftfeld

Die Bewegungsgleichungen im Zentralkraftfeld sind gegeben durch die Differentialgleichungen:

r(t) =L2

m2r 3(t)+

F(r(t))

m∧ φ(t) =

L

mr 2(t)

Beweis:Zunachst gilt in Zylinderkoordinaten:

~r(t) = (r − rφ2)~eρ + (2rφ+ rφ)~eφ + z~ez

Beachten wir, dass gilt: z(0) = 0, z(0) = 0, so folgt fur die Newtonsche-Bewegungsgleichung:

m~r = ~F(~r) =⇒ m[(r − rφ2)~eρ + (2rφ+ rφ)~eφ] = F(r)~eρ,

woraus unmittelbar folgt:r − rφ2 = F(r)/m ∧ 2rφ+ rφ = 0.

In die erste Gleichung setzen wir die Drehimpulserhaltung (10) ein:

r −L2

m2r 3=

F(r)

m.

Bei der zweiten Gleichung beachten wir, dass gilt:

0 = 2rφ+ rφr>0=

1

r

d

dt(r 2φ) =

1

r

d

dt

L

m.

Dies ist die bekannte Drehimpulserhaltung.



Das effektive Potential im Zentralkraftfeld

Das effektive Potential

Die Bewegung in einem Zentralkraftfeld mit potentieller Energie U(r) ist eine eindimensionale Bewegung furden Abstand r(t) = |~r(t)| in einem effektivem Potential:

V (r) := U(r) +L2

2mr 2

Beweis: In einem Zentralkraftfeld existiert ein Potential, so dass gilt:

F(r) = −dU(r)

dr

Setzen wir dies in die Bewegungsgleichung ein, so folgt:

mr =L2

mr 3−

dU(r)

dr= −

d

dr

(U(r) +

L2

2mr 2

)≡ −

dV (r)

dr(11)

Gleichung (11) ist eine eindimensionale Bewegungsgleichung fur den Abstand r(t). Aus der Losung r = r(t)folgt dann durch Einsetzen in:

φ(t) =L

mr 2(t)(12)

eine Differentialgleichung fur φ(t). Effektiv wirkt die Drehimpulserhaltung wie eine abstoßende 1/r 2-Kraft.

Energieerhaltung und effektives Potential

E =m

2~r 2 + U(r) =

m

2r 2 + V (r) =

m

2r 2 + U(r) +

L2

2mr 2(13)



Die Losung der Bewegungsgleichung r = r(t) im Zentralkraftfeld U(r)

Losung der Bewegungsgleichung r = r(t)

Die Bewegung r = r(t) in einem Zentralkraftfeld mit effektiver potentieller Energie V (r) ist gegeben durch:

r(t) = g−1(t − t0), g(r) = ±√

m

2

∫ r

r0

dr ′√E − V (r ′)

,

wobei g−1 die Inverse von g(r) ist und r ∈ RE := r ∈ R+|E > V (r), mit dem effektiven Potential:

V (r) = U(r) +L2

2mr 2.

Das richtige Vorzeichen folgt aus der Anfangsbedingung t0 = t(r0) und der Bewegungsrichtung.

Beweis: Aus der Energieerhaltung (13) folgt:

E = mr 2

2+ U(r) +

L2

2mr 2=⇒ dr

dt= ±

√2

m

√E − V (r)

Betrachten wir im Folgenden o.B.d.A das positive Vorzeichen und separieren:

t(r) − t0 =

√m

2

∫ r

r0

dr ′1√

E − V (r ′)=: g(r) (14)

Diese Gleichung konnen wir formal invertieren r(t) = g−1(t − t0).



Die Losung der Bewegungsgleichung φ = φ(r) im Zentralkraftfeld U(r)

Losung der Bewegungsgleichung im Zentralkraftfeld

Die Bewegung φ = φ(r) in einem Zentralkraftfeld mit effektiver potentieller Energie V (r) ist gegeben durch:

φ(r) −φ0 = ±√

L2

2m

∫ r

r0

dr ′

r ′2√

E − V (r ′), r ∈ RE , (15)

wobei das Vorzeichen aus der Anfangsbedingung φ0 = φ(r0) und der betrachteten Bewegungsrichtung folgt.

Beweis: Die Winkelabhangigkeit bestimmt sich aus (12):

dφ

dr=

dφ

dt

dt

dr=φ

r=

L/mr 2√[E − V (r)]2/m

=⇒ φ−φ0 =

∫ r

r0

dr ′L/mr ′2√

[E − V (r ′)]2/m

I Aus der Losung φ = φ(r) erhalt man durch Einsetzen von r = r(t) die Abhangigkeit φ = φ(t).

I Invertiert man φ = φ(r), so erhalt man r = r(φ).

Damit ist das allgemeine Kepler-Problem formal gelost und wir konnen nun speziell die Kepler-Bewegung imGravitationsfeld betrachten.



Die Kepler-Bewegung – Effektives Potential V6

Definition (Kepler-Bewegung)

Die Kepler-Bewegung ist definiert durch die Bewegung eines Massenpunktes im Gravitations-Potential:

U(r) := −γ

r, γ, r > 0.

Das effektive Potential und die Abhangigkeit des Winkels φ vom Radius r sind gegeben durch:

V (r) = −γ

r+

L2

2mr 2=⇒ φ(r) =

∫dr

r√

r 22Em/L2 + r2mγ/L2 − 1+φ0

Bestimmung von r0 und rmin, rmax :

I r0:

dV (r)

dr

∣∣∣∣r0

= 0 =⇒ r0 =L2

mγ

I rmin, rmax :

Er=0= V (r)

∣∣∣r min

max

=(−γ

r+

L2

2mr 2

)r min

max

⇒ r minmax

=γ(1∓ ε)

2|E |, ε :=

√1 −

2|E |L2

mγ2

Die Große ε ist die Exentrizitat (mathematische Definition).

r0E0

rmin rmaxE1

rminE2

rminE3

r

V (r), r



Die Kepler-Bewegung – Bahnformen

Betrachten wir die drei qualitativ verschiedenen Bewegungsformen:

I E = −mγ2/2L2 = −L2/2mr 20 (Kreis-Bahn: RE = r0)

I E < 0 (Ellipsen-Bahn: RE = [rmin, rmax ])

rmin =γ

2|E |

(1 −

√1 −

2|E |L2

mγ2

)|E|L2mγ2

−→ L2

2mγ+ . . . =

r0

2+ . . .

rmax =γ

2|E |

(1 +

√1 −

2|E |L2

mγ2

)|E|L2mγ2

−→ γ

|E |+ . . .

I E = 0 (Parabel-Bahn: RE = [r0/2,∞[)

φ(r) =

√L2

2m

∫dr

r√γr − L2/2m

+φ0

x=r2mγ

L2=

∫dx

x√

x − 1= 2 arctan(

√x − 1) +φ0

r(φ)φ0=0=

L2

2mγ cos2(φ/2)=⇒ rmin =

L2

2mγ=

r0

2∧ rmax =∞

I E > 0 (Hyperbel-Bahn: RE = [rmin,∞[)

rmin =γ

2E

(√1 +

2EL2

mγ2− 1

)EL2mγ2−→ L2

2mγ+ . . . =

r0

2+ . . .

rmax =∞



Die Kepler-Bewegung – Planetenbewegung

Ellipsenbahnen der Keplerbewegung

Fur die Bewegung eines Massenpunktes m im Potential U(r) = −γ/r sei 0 > E > −mγ2/2L2, dann gilt:

r(Φ) =f

1 + ε cosΦ, ε :=

√1 −

2|E |L2

mγ2< 1 ∧ f := r0 =

L2

mγ

Betrachten wir auch fur die Ellipsen-Bahn die explizite Bewegung:

φ(r) =

∫dr

r√(r/r0)22EL2/mγ2 + 2r/r0 − 1

+φ0 =⇒ φ(r) = arcsin

(1 − r0/r

ε

)+φ0, (16)

Nun verschieben den Winkel: φ 7→Φ = φ+π/2, was lediglich einer Drehung des Koordinatensystemsentspricht. Dies fuhrt auf die Brennpunktsgleichung im Focus-Koordinatensystem (F):

~r(Φ) =

(r(Φ) cos(Φ)r(Φ) sin(Φ)

)∧ r(Φ) =

f

1 + ε cosΦ

rp := r(0) =f

1 + ε∧ ra := r(π) =

f

1 − ε

a = (ra + rp)/2 ∧√

a2 − b2 =: e = aε

o − Koordinatensystem: ~r(ϕ) =

(a cos(ϕ)b sin(ϕ)

)F

~r(Φ)

ra rp

f

Φo

~r(ϕ)

a

b

ϕ x

y


Konservative Systeme Das Zweikorperproblem

Das Zweikorperproblem

Behauptung

Fur ein System aus zwei Massenpunkten m1 und m2 in einem Potential U(r), welches nur vom Abstand beiderMassenpunkte abhangt, bewegt sich der Relativvektor:

~r12 :=~r1 −~r2

wie ein Massenpunkt in einem Potential U = U(|~r12|) mit der reduzierten Masse:

µ :=m1m2

m1 + m2

Beweis: Es ist keine externe Kraft vorhanden, so dass der Schwerpunkt:

~R =m1~r1 + m2~r2

m1 + m2

sich geradlinig und gleichformig bewegt. Die Bewegungsgleichungen lauten:

m1~r1 = −∇1U(|~r1 −~r2|) ∧ m2~r2 = −∇2U(|~r1 −~r2|)

Betrachten wir nun den Relativvektor und differenzieren wir diesen:

d2

dt2~r12 = ~r1 − ~r2 = −

[∇1U(|~r1 −~r2|)

m1−∇2U(|~r1 −~r2|)

m2

]= −

[1

m1+

1

m2

]∇r12

U(|~r12|)

=⇒ ~r12 = −m1 + m2

m1m2∇r12

U(|~r12|) = −µ−1∇r12U(|~r12|)

Damit ergibt sich insgesamt die Newtonsche-Bewegungsgleichung:

µ~r12 = −∇r12U(|~r12|) ≡ ~F12.



Die Bewegung von Erde-Mond und Sonne-Erde

Fur die Bewegung der Erde um die Sonne und Mond um die Erde ergibt sich aus der Betrachtung zweier starkunterschiedlich großer Massen mM die Naherung:

=⇒ µ =mM

m + M= m

(1 −

m

M+ . . .

)Im Konkreten folgt dann explizit:

U(|~r12|) = −GmM1

|~r12|=⇒ ~r12 = −G(M + m)

~r12

|~r12|3, G = 6.67 · 10−11 Nm

kg2

Die folgende Tabelle zeigt die reduzierte Masse µ und die Lage des Schwerpunktes rs sowie die Exzentrizitatbzgl. der Erde fur das System Erde-Sonne und Erde-Mond:

Beispiel (Parameter fur Zweikorperproblem mit Erde)

Masse Radius Abstand µ rs ε[kg] [km] [km] [kg] [km] ·

Erde 5.98 · 1024 6.371 · 103 - - - -Sonne 1.99 · 1030 696 · 103 140 · 106 5.98 · 1024 140 · 106 0.0034Mond 7.35 · 1022 1.74 · 103 384 · 103 7.26 · 1022 4.662 · 103 0.0500

Umlaufzeiten zweier Massen bei einer geschlossenen Bewegung

T 2 =(2π)2

G(M + m)a3 (17)



Erganzung: Historisches zu den Keplerschen Gesetzen

Die drei Keplerschen Gesetze – Historische Formulierung zwischen 1609-1619

I. Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt imSchwerezentrum des Systems.

II. In gleichen Zeiten uberstreicht der Fahrstrahl Objekt–Schwerezentrum gleiche Flachen.

III. Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 je zweier Trabanten um ein gemeinsamesZentrum sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen a1 und a2 ihrerEllipsenbahnen.

I. Dies ist die Gleichung (29).

II. Dies ergibt sich aus der Betrachtung der uberstrichenen Flache im Zeitinterval [t0, t1]:

A(t0, t1) ≡1

2

∫ t1

t0

dt|~r(t)× ~r(t)| = (t1 − t0)L

2m.

Fur gleiche Zeitdifferenzen t1 − t0 ist die Flache A(t0, t1) konstant.

III. Dies ist Gleichung (28).


Konservative Systeme Streuung zweier Teilchen

Streuung zweier Teilchen I

Zweiteilchen-Stoß-Problem V7

Gesucht ist die Losung des elastischen (Energie ist erhalten)Stoßproblems zweier Massen m1 und m2.Mit Stoß ist eine allgemeine Wechselwirkung der beidenMassenpunkte gemeint, die aufeinander treffen und nach derWechselwirkung wieder auseinander laufen.

m1~v1i

m2~v2i

m1~v1f

m2~v2f

Wir bezeichnen die Ortsvektoren der beiden Massenpunkte vor dem Stoß im Laborsystem mit ~rki , k = 1, 2 undnach dem Stoß mit ~rkf , k = 1, 2, entsprechend die Geschwindigkeiten der Massenpunkten. Die Losung desProblems folgt durch Ausnutzung von Energie- und Impulserhaltung:

m1~v1i + m2~v2i = m1~v1f + m2~v2f =⇒ ~p1i +~p2i = ~p1f +~p2f

m1~v21i + m2~v

22i = m1~v

21f + m2~v

22f =⇒ ~p2

1i/m1 +~p22i/m2 = ~p2

1f /m1 +~p22f /m2

Die Rechnung vereinfacht sich, wenn wir durch eine Galileo-Transformation in das Koordinatensystemwechseln in dem der Schwerpunkt des Systems ruht. Dieses System bezeichen wir als S-System und es gilt:

~vs :=~p1i +~p2i

m1 + m2=

~p1f +~p2f

m1 + m2(18)

Bezeichnen wir die transformierten Großen wie folgt (α ∈ i , f , k = 1, 2):

~ukα := ~vkα −~vs ∧ ~qkα := ~pkα − mk~vs ,

dann gilt fur die Impulserhaltung:

~q1i +~q2i = 0 ∧ ~q1f +~q2f = 0



Streuung zweier Teilchen II

Daraus folgt fur die Betrage:

|~q1i | = |~q2i | ∧ |~q1f | = |~q2f |

Fur die Energieerhaltung erhalten wir:

~q21i

m1+

~q22i

m2=

~q21f

m1+

~q22f

m2=⇒ |~q1i | = |~q2i | = |~q1f | = |~q2f |

~q1i ~q2i

~q1f = m1u~ef

~q2f

Wir fuhren den Streuvektor ~ef , (|~ef | = 1) ein, der die Richtung der Geschwindigkeit des ersten Teilchens nachdem Stoß im S-System darstellt und den Betrag der Geschwindigkeit nach dem Stoß mit u := |~u1f | = |~u1i |:

~u1f := |~u1f |~ef =⇒ ~u1f = u~ef =⇒ ~u2f = −m1

m2u~ef =⇒ ~u2i = −

m1

m2~u1i

Als nachstes drucken wir die Großen im Laborsystem durch die Großen ~u1i , u und ~ef aus:

~v1i = ~u1i +~vs ∧ ~v2i = −m1

m2~u1i +~vs =⇒ u =

m2

m1 + m2|~v1i −~v2i | (19a)

~v1f = u~ef +~vs ∧ ~v2f = −m1

m2u~ef +~vs (19b)

Setzte man u aus (19a) und den Schwerpunkt (18) in (19b) ein, so findet man:

~v1f =m2

m1 + m2|~v1i −~v2i |~ef +

m1

m1 + m2~v1i +

m2

m1 + m2~v2i (20a)

~v2f = −m1

m1 + m2|~v1i −~v2i |~ef +

m1

m1 + m2~v1i +

m2

m1 + m2~v2i (20b)

Der Streuvektor ~ef bleibt unbestimmt (2 Winkel) und hangt von der Wechselwirkung zw. den Teilchen ab.



Streuung zweier Teilchen (Ubung)

Beispiel (Zusammenhang von Streuwinkel im Labor -und Schwerpunktsystem)

Im Laborsystem betrachten wir ein Teilchen mit Masse m1 und Geschwindigkeit ~v1i , dass auf ein ruhendesTeilchen mit Masse m2 und ~v2i = 0 trifft.

Aus (20a) und (20b) folgt:

~v1f = +m2

m1 + m2|~v1i |~ef +

m1

m1 + m2~v1i ∧ ~v2f = −

m1

m1 + m2|~v1i |~ef +

m1

m1 + m2~v1i (21)

Nun ist der Streuwinkel im Laborsystem (ϑ) und Schwerpunktsystem (χ) gegeben durch

~v1i ·~v1f =: |~v1i ||~v1f | cosϑ ∧ ~u1i ·~ef =: u cosχ

Aus der letzten Gleichung folgt mit ~v2i = 0:

~u1i =m2

m1~vs =

m2

m1 + m2~v1i =⇒ u cosχ =

m2

m1 + m2~ef ·~v1i (22)

Multipliziert man (21) mit ~v1i und setzt (22) ein, so folgt:

cosϑ =|~v1i |

|~v1f |

m1 + m2 cosχ

m1 + m2

Mit Hilfe der Relation u = |~u1i | = |~u1f | und dem |~v1f | aus (21) erhalt man als Endergebnis eine Relationzwischen den Streuwinkeln in beiden Bezugssystemen:

cosϑ =m1 + m2 cosχ√

m21 + m2

2 + 2m1m2 cosχ(23)


Konservative Systeme Streuung von Teilchen

Streuung zweier Teilchen (Ubung) V8

Beispiel (Streuung am Potential im Schwerpunktsystem)

Betrachten wir ein im Schwerpunkt-system ruhendes Teilchen (~u2i = 0)und berechnen den Streuwinkel χ inAbhangigkeit der gegenseitigen Wech-selwirkung U = U(r) mit der Eigen-schaft limr→∞ U(r) = 0. Der kurzesteAbstand und zugehorige Winkel seirmin = r(φ0). Der Stoßparameter bist der Abstand der Asymptoten bei-der Teilchen. Bezuglich dieser Achseist das Streuproblem symmetrisch, da-raus folgt: χ = |π− 2φ0|. b

χ

φ0φ(r)~r(φ)

rmin

~ui = u∞~ei

~uf = u∞~ef

Die Geschwindigkeit des ersten Teilchens mit der Masse m = m1 im Unendlichen sei mit u∞ bezeichnet, dannlassen sich die beiden Erhaltungsgroßen Energie und Impuls hierdurch ausdrucken:

E =m

2u2∞ ∧ L = bmu∞

Die Abhangigkeit des Streuwinkels φ = φ(r) ist damit gegeben durch:

φ(r) −φ(r0) = −b

∫ r

r0

dr ′

r ′2√

1 − V (r ′)/E

Im konkreten Fall zur Bestimmung des Streuwinkels φ0 := φ(rmin) = minr φ(r) nach der Streuung ergibt sich:

φ0 = b

∫∞rmin

dr

r 2√

1 − V (r)/E

x=r/b=

∫∞rmin

b

dx

x√

x2 − x2 U(xb)E − 1

(24)



Differentieller Wirkungsquerschnitt

Wir betrachten die Streuung eines homogenen Teilchenstrahls, der aus einer gegebenen Richtung ~ei auf einTarget trifft, mit einer Rotationssymmetrie bezuglich des Stoßzentrums, die im Unendlichen verschwindet.

Definition (Differentieller Wirkungsquerschnitt)

Der differentielle Wirkungsquerschnitt σ(~ef ) in Richtung ~ef im Schwerpunktsystem ist definiert uber:

σ(~ef )dΩ(~ef ) ≡dN(~ef )

I,

dabei ist dΩ(~ef ) der differentielle Raumwinkel in Richtung ~ef , I die Intensitat der einlaufenden Teilchen proZeiteinheit in Richtung ~ei , (|~ei | = 1) und dN(~ef ) die Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit in dasRaumwinkelelement dΩ(~ef ) gestreut werden. Der Streuwinkel χ zwischen ein- und auslaufenden Teilchen istdefiniert uber: ~ei ·~ef =: cosχ und somit schreiben wir σ(~ef ) ≡ σ(χ).

I Es sei bemerkt, dass es keine einheitliche Schreib- und Sprechweise fur den (differentiellen)Wirkungsquerschnitt gibt.

I Es handelt sich um eine physikalische Definition als Handlungsanweisung zur Messung von σ(χ).

I Um eine explizite Formel fur σ(χ) als Funktion der Streuparameter (b, u∞) zu erhalten muss man einenZusammenhang zwischen der Anzahl der einlaufenden Teilchen durch eine Flache dS und der Anzahl derzugehorigen Anzahl der Teilchen, die in das gestreute Raumwinkelelement dΩ gehen finden.

I Ein haufig verwendete alternative Schreibweise lautet:

σ(χ) ≡( dσ

dΩ

)χ

(25)

aufgrund derer man vom differentiellen Wirkungsquerschnitt spricht.



Wirkungsquerschnitt

Wirkungsquerschnitt im zentralsymmetrischen Potential

In einem zentralsymmetrischen Potential, dass furgroße Abstande verschwindet, ist der Wirkungs-querschnitt σ(χ) fur feste Energie E im Schwer-punktsystem gegeben durch:

σ(χ) =b(χ)

sinχ

∣∣∣∣db(χ)

dχ

∣∣∣∣ (26)

bdb

dΩ

χ

Beweis: Zunachst beachten wir, dass fur die Energie gilt:

E =m

2u2∞,

wobei u∞ die ursprungliche Geschwindigkeit des einlaufenden Teilchens ist. Fur den Betrag des Drehimplus gilt:

L = mr(φ)v(φ) sinφ = mrminv(φ0) sinφ0 = m limφ→0

v(φ)r(φ) sinφ = mbu∞ = b√

2mE . (27)

Bezeichnen wir die Intensitat, also die Zahl der einlaufenden Teilchen mit I , so muss gelten:

dS := 2πb|db| =dN(χ)

I= σ(χ)dΩ = 2πσ(χ) sinχ|dχ|

Der Faktor 2π kommt durch die Rotationssymmetrie um die Symmetrieachse zustande. Beachten wir, dass furfestes E und φ0 = φ0(E , b) aus (24) und φ0 = (π− χ)/2, aus (27) folgt: b = b(χ), so gelangt man zurGleichung (26) durch Umstellen.



Totaler Wirkungsquerschnitt

Definition (Totaler Wirkungsquerschnitt)

Der totale Wirkungsquerschnitt ist definiert durch:

σtot :=

∮dΩσ(χ) = 2π

∫π0

dχ sinχ σ(χ)

I Es ist zu bemerken, dass alle Rechungen im Schwerpunktsystem durchgefuhrt wurden. ZurTransformation auf das Laborsystem muss dann Gleichung (23) verwendet werden.

I Auch an dieser Stelle nochmals eine Bemerkung zur Schreibweise. Verwendet man die Schreibweise (25),so schreibt man suggestiv fur den totalen Wirkungsquerschnitt:∮

dΩ( dσ

dΩ

)χ=

∮dσ = σ

und damit ist σ der totale Wirkungsquerschnitt.

I Fur den oft betrachteten Fall eines schweren im Laborsystem ruhenden Streuzentrums (m1 m2) gilt

~u1i = ~v1i − ~vs~v2i =0=

1

1 + m1/m2~v1i = ~v1i(1 +O(m1/m2))

Die beiden Geschwindigkeiten konnen fur ein hinreichend schweres Streuzentrum gleich gesetzt werden.



Rutherford-Streuung (Ubung)

Rutherfordscher Wirkungsquerschnitt

Fur ein Potential U(r) = α/r ist der differentielle Wirkungsquerschnitt von Teilchen mit der Energie E > 0gegeben durch:

σ(χ) =( α

4E

)2 1

sin4(χ/2)

Beweis: Aus Gleichung (24) folgt explizit mit a = α/2Eb:

φ0 =

∞∫rmin

b

dx

x√

x2 − 2ax2 − 1= arctan

(ax + 1√

x2 − 2ax − 1

)rmin/b

∞Beachten wir, dass analog zur Ellipsenbewegung mit L2 = b22mE , gilt:

rmin =α

2E(1 + ε), ε =

√1 + 2EL2/mα2 =

√1 + a−2 =⇒ rmin

b= a +

√1 + a2

Die ist offenbar eine Nullstelle von x2 − 2ax − 1, womit folgt:

φ0 =π

2− arctan(a) =⇒ tanφ0 = cot

χ

2=

1

a=

2Eb

α=⇒ b(χ) =

α

2Ecotχ

2

Damit folgt insgesamt:

σ(χ) =b(χ)

sinχ

∣∣∣∣db(χ)

dχ

∣∣∣∣ = ( α4E

)2 1

sin4(χ/2)


Lagarange-MechanikUbersichtLagarange-MechanikLagarange-FunktionVariationsrechnungHamiltonsches Prinzip der kleinsten WirkungEuler-Lagrange-Gleichungen der Mechanik

SchwingungenDas PendelGleichgewichtspunkt von Differentialgleichungenn-dimensionaler Harmonischer OszillatorLinearisierung eines DifferentialgleichungssystemWellengleichung


Lagarange Ubersicht

Ubersicht Lagarange-Hamilton Mechanik

I Einfuhrung (1)

I Motivation der Lagarange-Mechanik aus der Newton-MechanikI Lagrange-Funktion

I Variationsrechnung (1)

I Das Variationsproblem und die Lagrange-Funktion

I Lagrange-Mechanik (1)

I Das Wirkungsintegral und das Hamiltonsche PrinzipI Euler-Lagrange-Gleichungen und verallgemeinerte Koordinaten und Impulse

I Schwingungen in Systemen mit n Freiheitsgraden (1)

I Linearisierung der Euler-Lagrange-GleichungenI Eigenfrequenzen und Eigenvektoren von gekoppelten Systemen

I Hamilton-Mechanik (2)

I Kanonische Hamilton-GleichungenI Der Hamilton und die Energieerhaltung – Erhaltungssatze

I Zwangskrafte im Lagrange-Hamilton-Formalismus (2)

I Systeme mit NebenbedingungenI d’ Alembertsches Prinzip und virtuelle Arbeit

I Noether-Theorem (2)

I Symmetrien und ErhaltungssatzeI Energiedissipation


Lagarange Lagarange-Mechanik

Einfuhrung Lagarange Mechanik

In der Newtonschen Mechanik von N Massenpunkten ist die Gesamtenergie E = T + U gegeben durch dieSumme der kinetischen und potentiellen Energie:

T =

N∑i=1

mi

2~r 2

i ∧ U = U(~r1, ...,~rN) ∧ ~ri = (x1i , x2

i , x3i ) i = 1, ..., N.

Der Impuls eines Teilchens ist gegeben durch:

~pi = (p1i , p2

i , p3i )

t = mi(x1i , x2

i , x3i )

t

Betrachten wir die kinetische Energie, so folgt:

∂

∂xαiT =

∂

∂xαi

N∑j=1

mj

2~r 2

j = mi xαi = pαi =⇒ d

dt

∂

∂xαiT = mi x

αi , i = 1, ..., N, α = 1, 2, 3.

Die Newtonschen Bewegungsgleichungen lassen sich somit auch schreiben als:

mi~ri = −∇i U, =⇒ d

dt

∂

∂xαiT = −

∂

∂xαiU =⇒ d

dt

∂

∂xαiT +

∂

∂xαiU = 0

Setzen wir nun

L := T − U =⇒ d

dt

∂

∂xαiL−

∂

∂xαiL = 0

Das Ziel im Folgenden wird es sein, die so motivierte Funktion L = T − U aus einem Variationsproblemabzuleiten.


Lagarange Lagrange-Funktion

Die Lagarange-Funktion

Definition (Lagarange-Funktion (Lagrangian))

Die skalare FunktionL := T − U

heißt Lagarange-Funktion, wobei T die gesamte kinetische Energie des Systems ist und U die gesamtepotentielle Energie.

I Die Lagarange-Funktion beschreibt die komplette Bewegung der Massenpunkte.

I Die sich aus der Lagarange-Funktion ergebenden Gleichungen (hier noch in kartesischen Koordinaten):

d

dt

∂L

∂xαi=∂L

∂xαi, i = 1, . . . , N, α = 1, 2, 3

nennt man die Euler-Lagrange-Gleichungen.

I Im Allgemeinen werden verallgemeinerte Koordinaten q := (q1, . . . , qn)t in einem Konfigurationsraumeingefuhrt, so dass die Position aller Teilchen eindeutig bestimmt ist. Alle Ortsvektoren ~ri =~ri(q) werdendurch die verallgemeinerten Koordinaten ausgedruckt.

I Die zu den verallgemeinerten Koordinaten q gehorigen Geschwindigkeiten q = (q1, . . . , qn)t nennt manverallgemeinerte Geschwindigkeiten.

I Die Euler-Lagarange-Gleichungen lassen sich aus einem Variationsprinzip herleiten, dies nennt mandas Hamiltonsche Prinzip.

Die genaue Definition der Großen wird nach Einfuhrung des Hamiltonschen Prinzips folgen.


Lagarange Variationsrechnung

Variationsproblem V9

Problemstellung

Gegeben sei ein kompaktes Intervall I = [t0, t1] und eine zweimal stetig partielldifferenzierbare Funktion:

L : R× R× I −→ R

(x , v , t) 7→ L(x , v , t) ∈ C(2)

Desweiteren sei die Menge der Funktionen

K(c0, c1) := φ(t) ∈ C(2)(I)| φ(t0) = c0,φ(t1) = c1; c0, c1 ∈ R

mit frei wahlbaren aber festen Konstanten c0, c1 gegeben.t0

c0

t1

c1

t

φ(t)

Dann definieren wir das Funktional:

S : K(c0, c1) −→ R

φ 7→ S[φ] :=

∫ t1

t0

dtL(φ(t), φ(t), t) ∈ R (28)

Das Problem der Variationsrechnung besteht in der einfachsten Form darin, das Minimum des Funktionals S[φ]zu finden:

S[ϕ] := infφ∈K

S[φ] (29)

Mit anderen Worten, es wird die Funktion ϕ ∈K(c0, c1) gesucht, die das Integral in (28) extremalisiert(minimiert). Es wird also nicht das Minimum einer Funktion gesucht, sondern allgemein eine minimale Funktionselbst. Die Art der Funktion ist nicht vorgegeben. Im Folgenden werden wir Gleichungen finden, die es erlaubendie Funktion aus den Gleichungen zu bestimmen. Ob die Funktion ein Minimum oder Maximum ist, muss dannuntersucht werden. Dies werden wir hier nicht weiter verfolgen. Ebenso nicht die Frage, der Eindeutigkeit.



Variationsrechnung

Theorem (Euler-Lagrange-Gleichungen)

Es gelten die Bezeichnungen aus der Problemstellung, dann gilt: Eine notwendige Bedingung an die FunktionL = L(x , v , t) fur die Gultigkeit der Gleichung (29), ist das Bestehen der Euler-Lagrange-Gleichungen:

d

dt

∂

∂vL(x , v , t) =

∂

∂xL(x , v , t),

mit x = ϕ(t), v = ϕ(t).

Beweis: Sei ϕ ∈K(c0, c1) mit der Eigenschaft S[ϕ] 6 S[φ], ∀φ ∈K(c0, c1). Desweiteren sei g ∈K(0, 0),woraus folgt: ϕ+ εg ∈K(c0, c1) fur ε ∈ R, dann gilt:

S[ϕ] 6 S[ϕ+ εg ] =⇒ f (ε) := S[ϕ+ εg ] y df (ε)

dε

∣∣∣∣ε=0

= 0

Das bedeutet:

df (ε)

dε=

∫ t1

t0

dt∂

∂εL(ϕ(t) + εg(t), ϕ(t) + εg(t), t

)=

∫ t1

t0

dt

[∂L

∂xg +

∂L

∂vg

]mit L = L(ϕ(t) + εg(t), ϕ(t) + εg(t), t) und g = g(t). Eine partielle Integration im zweiten Term ergibt:

0 =df (ε)

dε

∣∣∣∣ε=0

=

∫ t1

t0

dt

[∂L

∂x−

d

dt

∂L

∂v

]ε=0

g(t) +∂L

∂v

∣∣∣ε=0

g(t)

∣∣∣∣t1

t0

=

∫ t1

t0

dt

[∂L

∂x−

d

dt

∂L

∂v

]ε=0

g(t)

mit x = ϕ(t), v = ϕ(t) und L = L(x , v , t). Dies muss fur alle Funktionen g(t) gelten. Daraus folgt dann(siehe Anhang), dass gelten muss:

h(t) ≡(∂L(x , v , t)

∂x−

d

dt

∂L(x , v , t)

∂v

)∣∣∣ε=0

= 0

und damit folgt die Behauptung.



Erganzung: Analysis 2 – Variationsrechnung

Lemma (Forster: Analysis 2)

Es sei f (t) ∈ C([t0, t1]). Fur jede zweimal stetige Funktion g(t) ∈ C2([t0, t1]) mit der Eigenschaftg(t0) = g(t1) = 0 gelte:

t1∫t0

dt f (t)g(t) = 0,

so folgt: f (t) = 0, ∀t ∈]t0, t1[.

Beweis: Nehmen wir nun etwa an es gelte f (τ) = ε > 0 fur ein τ ∈]t0, t1[. Da f (t) stetig ist, existiert einδ > 0, so dass gilt: f (t) > ε/2, ∀t ∈ [τ− δ,τ+ δ] ⊂]t0, t1[. Nun kann man eine zweimal stetigdifferenzierbare Funktion g(t) konstruieren mit der Eigenschaft:

g(t) =

0 : t /∈ [τ− δ,τ+ δ]

g+(t) > 0 : t ∈ [τ− δ,τ+ δ]

(Eine solche Funktion ware z.B.: g(t) = exp[−(t − t0)−2 − (t − t1)

−2] fur t ∈ [τ− δ,τ+ δ] und 0 sonst.)Damit folgert man einen Widerspruch zu der Annahme: f (τ) > 0, denn es gilt:∫ t1

t0

dt f (t)g(t) =

∫τ+δτ−δ

dt f (t)g(t) >ε

2

∫τ+δτ−δ

dt g(t) > 0.

Also muss f (t) = 0 fur τ ∈]t0, t1[ sein. Aus der Stetigkeit von f (t) in [t0, t1] folgt dann ebenfalls:f (t0) = f (t1) = 0.



Variationsrechnung - Beispiel

Beispiel (Bogenlange zwischen zwei Punkten)

Es ist das Minimum der Bogenlange des Graphen I 3 t 7→ (t,φ(t)) fur vorgegebene Punkte (t0,φ(t0)) und(t1,φ(t1)) gesucht.

Hierzu betrachten wir die Bogenlange:

S[φ] :=

∫(t1,φ(t1))

(t0,φ(t0))|d~s|

x=t,y=φ(t)=

∫ t1

t0

dt√

x(t)2 + y(t)2 =

∫ t1

t0

dt

√1 + φ(t)2

Es ist somit die Lagarange-Funktion gegeben durch:

L(x , v , t) =√

1 + v 2

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten dann:

0 =∂L(x , v , t)

∂x−

d

dt

∂L(x , v , t)

∂v= 0 −

d

dt

v√1 + v 2

=v√

1 + v 2− v

vv√

1 + v 23 = −

v√

1 + v 23

Dies bedeutet:

v = 0 =⇒ v = ϕ(t) = cst =⇒ ϕ(t) = α+βt =⇒ y(x) = α+βx

mit entsprechend zu wahlenden Konstanten α,β. Daraus folgt, dass die Funktion, die das Variationsproblemder kurzesten Verbindung zweier Punkte minimiert, wie erwartet, eine Gerade ist. Die Konstanten α und βbestimmen sich aus der Forderung ϕ(ti) = ci , = 1, 2:

ϕ(t0) = c0 = α+βt0 ∧ ϕ(t1) = c1 = α+βt1

=⇒ ϕ(t) =c0(t1 − t) + c1(t − t0)

t1 − t0



Variationsrechnung – Koordinatensysteme (Ubung)

Das Extrema ist nicht abhangig vom gewahlten Koordinatensystem. Betrachten wir dazu das Beispiel derBogenlange in Polarkoordinaten ~r = r(cosθ, sinθ)t .

Beispiel (Bogenlange in Polarkoordinaten zwischen den Punkten (0, 0) und (a, b))

S[ϕ] =

(a,b)∫(0,0)

|d~s| =

1∫0

dt

√r 2(t) + r 2(t)θ2(t), a = 1, b = ϕ(1)

Die Lagrange-Funktion ist gegeben durch L(r ,θ, r , θ, t) =√

r 2 + r 2θ2 und dieEuler-Lagrange-Gleichungen lauten dann:

0 =d

dt

∂L(r , r ,θ, θ, t)

∂r−∂L(r , r ,θ, θ, t)

∂r=

d

dt

r

L−

r θ2

L

0 =d

dt

∂L(r , r ,θ, θ, t)

∂θ−∂L(r , r ,θ, θ, t)

∂θ=

d

dt

r 2θ

L

Die daraus abgeleitete Losung ist kompliziert, aber mit dem offensichtlinen Ansatz findet sich eine Losung:

~r(t) = r(t)

(cosθ0

sinθ0

)=⇒ θ = 0 =⇒ θ(t) = θ0

Beide ELG sind damit identisch erfullt, denn r/L = ±1. Aus den Anfangsbedingungen folgt r(0) = 0, sowier(1) = 1 und tanθ0 = b/a. Fur r = r(t) kann jede monoton wachsende Funktion auf [0, 1] gewahlt werden,etwa r(t) = tn. Dies stellt dann insgesamt eine Parametrisierung einer Geraden zwischen (0, 0) und (a, b) dar.



Variationsrechnung – mehrdimensional

Verallgemeinerung auf n Dimensionen

Gegeben sei ein kompaktes Interval I = [t0, t1] ⊂ R und eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion:

L : Rn × Rn × I→ R

(x1, . . . , xn, v 1, . . . , v n, t) 7→ L(x1, . . . , xn, v 1, . . . , v n, t)

Desweiteren sei die Menge

K(c10 , c1

1 , ..., cn1 ) := φ1(t), . . . ,φn(t) ∈ C(2)(I) | φ1(t0) = c1

0 , . . . ,φn(t1) = cn1 ; cα0 , cα1 ∈ R

gegeben, dann ist fur das Bestehen eines Minimums des Funktionals:

K 3 φi 7→ S[φi ] :=

∫ t1

t0

dtL(φ1(t), . . . ,φn(t), φ1(t), . . . , φn(t), t) ∈ R,

notwendig das Bestehen des Systems der Euler-Lagrange-Gleichungen ϕα = ϕα(t):

d

dt

∂

∂ϕαL(ϕ1, . . . ,ϕn, ϕ1, . . . , ϕn, t) =

∂

∂ϕαL(ϕ1, . . . ,ϕn, ϕ1, . . . , ϕn, t), α = 1, ..., n.

In kompakter Notation schreiben wir fur das System der Gleichungen mit auch:

d

dt∇ϕL(ϕ, ϕ, t) =∇ϕL(ϕ, ϕ, t)


Lagarange Hamiltonsches Prinzip

Hamiltonsches Prinzip der kleinsten Wirkung

Hamiltonsches Prinzip

Die Newtonschen Bewegungsgleichungen fur N Teilchen:

d

dtmi~ri +∇i U(~r1, ...,~rN) = 0, ~ri =~ri(x1

i , x2i , x3

i )t , i = 1, . . . , N,

ergeben sich aus den Extrema des Funktionals:

K(3N) 3 ϕ 7→ S[ϕ] :=

∫ t1

t0

dtL(ϕ1, . . . ,ϕ3N , ϕ1, . . . , ϕ3N , t) ∈ R, (30)

in der die Lagarange-Funktion des mechanischen Systems

L(ϕ1, . . . ,ϕ3N , ϕ1, . . . , ϕ3N , t) := T − U,

die Differenz von kinetischer Energie T und potentielle Energie U ist, und die Koordinaten gegeben sind durch:

x11 = ϕ1, x2

1 = ϕ2, . . . , x2N = ϕ3N−1, x3

N = ϕ3N

Die moglichen Bahnkurven der N Teilchen werden dabei parametrisiert durch: K(3N) 3 ϕ = ϕ1, . . . ,ϕ3N .

Der Funktionenraum K(3N) ist der Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem R(3N).

I Das Funktional (30) ist unabhangig vom gewahlten Koordinatensystem, da es nur auf die Bahnenankommt und nicht auf deren Parametrisierung.

I Bei einer regularen Transformation der kartesischen Koordinaten auf neue Koordinaten andern sich dieFunktionen ϕα, jedoch nicht die physikalischen Bahnen.


Lagarange Hamiltonsches Prinzip

Lagrange-Formalismus V10

Definition (Lagrange-Formalismus)

Gegeben sei ein mechanisches System von N Massepunkten mit m 6 3N Freiheitsgraden und einer kinetischenGesamtenergie T aller Teilchen (Massepunkte) und einer potentiellen Energie U. Dann fuhren wir die folgendenBezeichnungen und Konventionen ein:

I Der Konfigurationsraum ist der Raum, der zur Beschreibung der Position der Teilchen verwendet wird.

I Die Koordinaten q ≡ (q1, . . . , qn)t im Konfigurationsraum, nennen wir generalisierte Koordinaten,

I die Großen q = (q1, ..., qn)t die generalisierten Geschwindigkeiten.

I Die Funktion L(q, q, t) := T −U heißt der Lagrangian bzw. die Lagrange-Funktion,

I die pα := ∂L∂qα , α = 1, ..., n heißen die generalisierten Impulse,

I sowie Fα := ∂L∂qα , α = 1, ..., n die generalisierten Krafte.

I Das Funktional S[ϕ1, . . . ,ϕn] (30) nennen wir die Wirkung.

I Die Ortsvektoren der Massepunkte sind Funktionen der generalisierten Koordinaten: ~rn =~rn(q),

I Die kinetische Energie ist eine Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten:

T(~ri ) =

N∑i=1

mi

2~r 2

i (q) =

m∑α,β=1

Mαβ(q)

2qαqβ = T(q, q)

I Die potentielle Energie ist eine Funktion der generalisierten Koordinaten: U(~r1(q), ...,~rN(q)) = U(q).

I Spater lassen wir auch geschwindigkeitsabhangige Potentiale U = U(q, q) zu.


Lagarange Euler-Lagrange-Gleichungen

Euler-Lagrange-Gleichungen der Mechanik

Euler-Lagrange-Gleichungen

Seien q = (q1, . . . , qn)t die verallgemeinerten Koordinaten im Konfigurationsraum eines mechanischen Systemsvon N Massenpunkten, dann bestimmt sich die zeitliche Entwicklung des Systems mit Lagrangian L = T −Uaus den Euler-Lagrange-Gleichungen:

d

dt∇qL(q, q, t) =∇qL(q, q, t) (31)

Beweis: Folgt unmittelbar aus dem Variationsprinzip und dem Hamiltonschen Prinzip.

I Die Wirkung spielt uber die klassische Mechanik hinaus eine zentrale Rolle in der Physik.

I Die Lagrangian-Hamilton Formulierung ist nicht allgemeiner als die Newtonsche Mechanik insofern,dass sie keine neue Physik beschreibt, sie erlaubt die koordinatenunabhangige Formulierung derbeschreibenden Gleichungen der Mechanik:

Kartesisch: (x1, x2, x3)

mx1 = F 1

mx2 = F 2

mx3 = F 3

Polar: (r ,φ, z)

m[r − rφ2] = Fr = −∂U(r ,φ, z)

∂r

m[rφ+ 2rφ] = Fφ = −1

r

∂U(r ,φ, z)

∂φ

mz = Fz = −∂U(r ,φ, z)

∂z


Lagarange Euler-Lagrange-Gleichungen

Zyklische Koordinaten

Definition (Zyklische Koordinaten)

Wir nennen eine Koordinate qα zyklisch, wenn sie nicht im Lagrangian enthalten ist:

∂

∂qαL(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) = 0.

Behauptung

Der zu einer zyklischen Koordinate qα gehorige generalisierte Impuls pα ist eine Erhaltungsgroße.

Beweis: Aus der Euler-Lagrange-Gleichung zur generalisierten Koordinate qα folgt:

d

dt

∂

∂qαL(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) =

d

dtpα =

∂

∂qαL(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) = 0

Beispiel (freie Bewegung von N Massenpunkte)

In kartesischen Koordinaten gilt fur den Lagragian:

L(~x1, ...,~xN) = T =

N∑i=1

mi

2~ri =

N∑i=1

mi

2

3∑α=1

(xαi )2

Die generalisierten Koordinaten lauten: (q1, . . . , q3N) = (x11 , x2

1 , x31 , . . . x1

N , x2N , x3

N), die generalisierten

Geschwindigkeiten: (q1, . . . , q3N) = (x11 , . . . , x3

N). Die Großen pα = ∂L/∂qα sind die generalisierten Im-pulse. Die generalisierten Krafte ∂L/∂qα = 0 verschwinden da es freie Teilchen sind. Die zu den zyklischenVariablen xαi gehorigen generalisierten Impulse pαi sind erhalten.


Schwingungen Das Pendel

Das mathematisches Pendel der Masse m im Schwerefeld

Beispiel (Mathematisches Pendel der Lange l im Schwerefeld ~Fg = m~g)

Betrachte das mathematische Pendel in der Ebene mit fester Pen-dellange l im Schwerefeld ~Fg = m~g = −∇mgz. Die generalisierteKoordinate ist der Winkel θ und damit ergibt sich:

~r =

(xz

)= l

(sinθcosθ

)=⇒ ~r = lθ

(cosθ− sinθ

)T =

m

2l2θ2

U = −mgl(cosθ− cosθ0)

⇒ L(θ, θ) =m

2l2θ2 + mgl(cosθ− cosθ0)

~r(θ)

l

h = l cosθ

θ

~r(θ)

~Fg = mg~ez

xz

Die Euler-Lagrange-Gleichungen fur L = L(θ, θ) lauten:

d

dt

∂L

∂θ=∂L

∂θ=⇒ d

dtl2θ = −gl sinθ =⇒ l2θ = −gl sinθ

Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit fur die generalisierte Koordinate θ:

θ(t) = −g

lsinθ(t)

Um die Losung explizit zu finden nutzen wir die Energieerhaltung E = T + U aus.



Schwingungsdauer des mathematisches Pendels I

Schwingungsdauer mathematisches Pendel

Gegeben sei ein mathematische Pendel, dass aus einem Winkel θ = θ0 ohne Anfangsgeschwindigkeit (θ0 = 0)los gelassen wird. Dann ist die Schwingungsdauer gegeben durch:

Tl = 4

√l

g

π/2∫0

dλ√1 −µ sin2 λ

≡ 4

√l

gK(µ). (32)

wobei K(µ) das vollstandige elliptische Integral erster Art ist.

Beweis: Durch die Energieerhaltung und Separation der Variablen erhalt man:√2g

l[t − t0] =

∫θ0

θ

dθ′√cosθ′ − cosθ0

=1√2

∫θ0

θ

dθ′√sin2 θ0

2 − sin2 θ′2

Zum Zeitpunkt t0 = 0 befinde sich das Pendel im Zustand: θ0, θ = 0. Nun fuhren wir neue Variablen ein:

µ := sin2 θ0

2∧

√µ sinλ = sin

θ

2,

dann folgt:√g

lt =

∫π/2

λ

dλ′√1 −µ sin2 λ′

= K(µ) − F(λ|µ) = K(µ) − F(arcsin(µ−1/2 sin(θ/2)

)|µ).

mit dem elliptischen Integral F(λ|µ) erster Art (Wikipedia):

F(λ|µ) :=

∫λ0

dλ′√1 −µ sin2 λ′

, K(µ) := F(π/2|µ)


http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral


Schwingungsdauer des mathematisches Pendels II

Die Schwingungsdauer Tl des Pendels ist die vierfache Zeit um von θ = θ0 zu θ = 0 zu gelangen:

Tl = 4

√l

g

π/2∫0

dλ√1 −µ sin2 λ

≡ 4

√l

gK(µ).

Betrachten wir die Grenzfalle von sehr kleinen (|θ0| 1) und sehr großen (|π− θ0| 1) Anfangswinkeln:

I 0 < θ0 1: Daraus folgt µ = sin2(θ0/2) = O(θ20) 1 und damit folgt die Entwicklung von K(µ):

K(µ) =π

2

(1 +

∞∑n=1

((2n − 1)!!

2nn!

)2

µn

)oder explizit durch eine Reihenentwicklung des Integranden:

Tl = 4

√l

g

π/2∫0

dλ(

1 +µ

2sin2 λ+ . . .

)= 4

√l

g

π

2

(1 +

µ

4+ . . .

)= 2π

√l

g

(1 +

θ20

16+ . . .

)

I |π− θ0| 1: Fur θ0 → π gilt µ→ 1, die Schwingungsdauer divergiert logarithmisch:

Tl = 4

√l

g

π/2∫0

dλ√1 − sin2 θ0

2 sin2 λ

θ0→π−→ ∝ | ln(π− θ0)|.



Erganzung: Elliptische Integrale erster Art

Definition (Elliptisches Integral)

Fur einen Parameter 0 < µ < 1 ist das elliptische Integral erster Art definiert durch:

F(λ|m) :=

∫λ0

dt√1 − m sin2 t

Das vollstandige elliptischen Integral erster Art ist definiert durch:

K(m) := F(π/2|m)

Zum Parameter m gehort der komplementare Parameter m1, der gegeben ist durch:

m1 + m = 1

Die Große:

k2 := m

bezeichnet man als Modulus

Fur das vollstandige elliptische Integral erster Art gilt die Reihenentwicklung:

K(m) =π

2

[1 +

(1

2

)2

m +

(1 · 32 · 4

)2

m2 +

(1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2

m3 . . .

]


Schwingungen Gleichgewichtspunkt

Gleichgewichtspunkt einer DGL V11

Im Folgenden diskutieren wir Naherungslosungen von (autonomen) Differentialgleichungssystemen. Dazuwerden wir das Differentialgleichungssystem um seine Gleichgewichtslage entwicklen und nur die niedrigstenOrdnungen der Entwicklung berucksichtigen. Diese speziellen Losungen werden im Allgemeinen gekoppelteSchwingungen in mehreren Dimensionen sein.

Definition (Gleichgewichtspunkt)

Der Punkt y0 ∈ Rn heißt Gleichgewichtspunkt der autonomen Differentialgleichung:

d

dty(t) =

d

dt

y 1(t)

.

.

.y n(t)

=

g 1(t)

.

.

.g n(t)

≡ g(y(t))

wenn y(t) = y0 eine Losung dieser Gleichung darstellt und g(y0) = 0 gilt.

Beispiel (Mathematische Pendel)

Mit den Definitionen y 1 = θ, y 2 = θ folgt:

d

dty(t) =

d

dt

(y 1

y 2

)=

(y 2

−ω2 sin y 1

)=⇒ y0 =

(00

),

(π0

)Damit sind Punkte: θ = 0, θ = 0 und θ = π, θ = 0 Gleichgewichtspunkte fur das mathematische Pendel.

I Die Gleichgewichtspunkte konnen stabil oder instabil sein.

I Differentialgleichungen hoherer Ordnung lassen sich auf Systeme erster Ordnung zuruckfuhren.



Gleichgewichtspunkt eines Lagrangian-Systems

Definition (Gleichgewichtspunkt & Ruhelagekoordinaten)

Es sei ein System mit generalisierten Koordinaten q = (q1, ..., qn)t durch seinen Lagrangian gegeben:

L(q, q) = T −U

T =1

2

n∑α,β=1

Mαβ(q)qαqβ > 0 ∧ U = U(q).

Der Punkt (q0, q) heißt Gleichgewichtspunkt der Euler-Lagrange-Gleichungen, wenn q = 0 und q0 einExtremalpunkt (kritischer Punkt) der potentiellen Energie ist:

∂

∂qαU(q)

∣∣∣∣q0

= 0, α = 1, . . . , n, (∇qU(q)|q0= 0).

Der Extremalpunkt heißt stabil, wenn die Hessematrix

(K(q0))αβ :=

∂2U(q)

∂qα∂qβ

∣∣∣q0

positiv definit ist, andernfalls heißt er instabil oder indefinit. Die generalisierten Koordinaten q nennen wirRuhelagekoordinaten, wenn gilt: q = q0 = 0. Falls dis nicht gilt, so konnen durch q := q − q0

Ruhelagekoordinaten eingefuhrt werden.

Betrachte hierzu die Euler-Lagrange-Gleichungen

d

dt

∂L

∂qα=∂L

∂qα=∂T

∂qα−∂U

∂qα=⇒ d

dt

n∑µ,ν=1

Mµν(q)

2

∂

∂qα(qµqν) =

1

2

n∑µ,ν=1

∂Mµν(q)

∂qαqµqν −

∂U(q)

∂qα

Es ist q = 0, damit verschwindet die linke Seite. Ist q0 ein kritischer Punkt, dann verschwindet auch die rechteSeite. Bei dieser Form der Losung der ELG ruht das gesamte System.



Erganzung: Variation der Konstanten

Behauptung

Es seien A, B auf I ⊂ R stetige Funktionen, dann existiert genau eine Losung y der Differentialgleichung:

y ′(x) = A(x)y(x) + B(x), (33)

mit der Anfangsbedingung y(x0) = y0, die gegeben ist durch:

y(x) = e∫x

x0dx ′A(x ′)

[y0 +

∫ x

x0

dx ′e−∫x ′

x0dxA(x)

B(x ′)

](34)

Beweis: Wie mussen hier nur zeigen, dass (34) eine Losung von (33) ist:

y ′(x) = y(x)d

dx

∫ x

x0

dxA(x) + e∫x

x0dxA(x) d

dx

∫ x

x0

dxe−∫x

x0dxA(x)

B(x)

= y(x)A(x) + e∫x

x0dxA(x)

= y(x)A(x) + B(x)

Die Anfangsbedingung ist offenbar erfullt. Der zweite Term ist die variierte Konstante.

Beispiel (Beispiel Variation der Konstanten)

y ′(x) = xy + x3 ∧ y(0) = y0

Die Losung lautet:

y(x) = ex2(

y0 +

∫ x

0dξ−ξ2

ξ3

)= ex2

(y0 +

∫ x2

0dξe−ξξ/2

)= (y0 + 1/2)ex2

−x2 + 1

2



Gekoppelter Oszillator

Beispiel (Gekoppelter Oszillator)

Betrachte einen gekoppleten Oszillator zweierMassen m1 und m2, wobei jede Feder dieRuhelange l und Federkonstante k besitze.

m1 m2

x1 x2

0l 2l

3lk1 k2 k3

=⇒ L(x1, x2, x1, x2) = T − U =m1

2(x1)2 +

m2

2(x2)2 −

k

2

((x1 − l)2 + (x2 − x1 − l)2 + (2l − x2)2

)Die Ruhelage ist gegeben durch:

0 =∂U

∂x1

∣∣∣∣(x1

0 ,x20 )

= k(2x10 − x2

0 ) ∧ 0 =∂U

∂x2

∣∣∣∣(x1

0 ,x20 )

= k(2x20 − x1

0 − 3l)

und daraus folgt:

x10 = l ∧ q1 := x1 − x1

0 = x1 − l

x20 = 2l ∧ q2 := x2 − x2

0 = x2 − 2l

Die Euler-Lagrange-Gleichungen fur die Koordinaten x1, x2 lauten dann:

0 =d

dt

∂L

∂x1−∂L

∂x1= m1x1 + k(2x1 − x2)

0 =d

dt

∂L

∂x2−∂L

∂x2= m2x2 + k(2x2 − x1 − 3l)

Die auf Gleichgewichtskoordinaten transformierten Gleichungen sind damit gegeben durch:

m1q1 = −k(2q1 − q2)

m2q2 = −k(2q2 − q1)



Gekoppelter Oszillator: Losung fur (m1 = m2 = m) I

Zur Losung des gekoppelten Schwingungssystems schreiben wir:

q1 = −k

m(2q1 − q2) ∧ q2 = −

k

m(2q2 − q1)

⇒ q = −Kq ∧ K ≡ k

m

(+2 −1−1 +2

)Die Diagonalisierung der Matrix ergibt sich aus der Transformation (Q = Aq), so dass folgt:

Q = Aq = −AKAt︸︷︷︸DK≡diag(k1 ,k2)

Aq = −DK Q

Die Matrix At enthalt in den Spalten die normierten Eigenvektoren:

At =1√2

(1 11 −1

)=⇒ DK =

k

m

(1 00 3

)= diag(ω2

1,ω22)

Dies stellt ein entkoppeltes System dar:

Qα = −ω2αQα, α = 1, 2, =⇒ Qα(t) = Aα cos(ωαt) + Bα sin(ωαt)

Die Losung in den ursprunglichen Koordinaten erhalt man durch Rucktransformation:

x − x0 = q = A−1Q

mit

At =1√2

(1 11 −1

)= A−1 =⇒ x = x0 + At Q



Gekoppelter Oszillator: Losung fur (m1 = m2 = m) II

Insgesamt erhalten wir explizit:

x1(t) = l +α1 cos(ω1t) +β1 sin(ω1t) +α2 cos(ω2t) +β2 sin(ω2t)

x2(t) = 2l +α1 cos(ω1t) +β1 sin(ω1t) −α2 cos(ω2t) −β2 sin(ω2t)

Die Konstanten α1,α2,β1,β2 bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = t0 = 0.Betrachten wir dazu beispielhaft die Anfangsbedingungen:

x1(0) = a ∧ x2(0) = b ∧ x1(0) = 0 ∧ x2(0) = 0

dann folgt: β1 = β2 = 0 und

α1 =a + b − 3l

2=⇒ x1(t) = l +

b + a − 3l

2cos(ω1t) +

a − b + l

2cos(ω2t)

α2 =b − a + l

2=⇒ x2(t) = 2l +

b + a − 3l

2cos(ω1t) −

b − a + l

2cos(ω2t)

t

qα(t)

Oder spezielle Anfangsbedingungen fur die beiden Eigenschwingungen:

a = 0, b = l =⇒ x1(t) = l(1 − cosω1t) ∧ x2(t) = l(2 − cosω1t)

a = 0, b = 3l =⇒ x1(t) = l(1 − cosω2t) ∧ x2(t) = l(2 + cosω2t)


Schwingungen n-dimensionaler Harmonischer Oscillator

Harmonischer Oszillator mit n Freiheitsgraden V12

Beispiel (n-fach allgemeiner gekoppelter Harmonischer Oscillator)

Betrachte den gekoppelten harmonischen Oszillator mit verallgemeinerten Koordinaten q = (q1, ..., qn)t :

L(q, q) = T −U =1

2qt Mq −

1

2qt Kq, M = diag(m1, ..., mn), Kt = K, (35)

mit symmetrischer positiv definiter Matrix K.

In dieser Form liegt die Ruhelage offenbar im Ursprung, denn es gilt:

∇qU(q)|q0=0 = 0 ∧d

dt∇qL =∇qL

=⇒ mαqα = −

n∑β=1

Kαβqβqα=qα

√mα

=⇒ ¨q = −Kq ∧ Kαβ :=Kαβ√

mαmβ

Eine Diagonalisierung mit der Matrix A (At enthalt in den Spalten die normierten Eigenvektoren) fuhrt auf:

Q ≡ A¨q = −AKAt Aq = −diag(ω21, . . . ,ω2

n)Q =⇒ Qα = −ω2αQα, α = 1, ..., n.

Definition (Eigenfrequenzen)

Die Eigenwerte ω1, . . . ,ωn der symmetrischen und positiv definiten Kraftmatrix K nennt man dieEigenfrequenzen und die zugehorigen Eigenvektoren die Eigenmoden.

Die Losung lautet dann explizit:

Qα(t) = Aα cos(ωαt) + Bα sin(ωαt), α = 1, . . . , n



Erganzung: Diagonalisierung von symmetrischen Matrizen

Diagonalisierbarkeit von symmetrischen reellen Matrizen

Sei M ∈ M(n× n,R), M = Mt, dann sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

PM(λ) := det(M − λ1)

die Eigenwerte von M zu den Eigenvektoren xλ 6= 0:

Mxλ = λxλ, λ ∈ R.

I Fur einen gegebenen Eigenwert λ als Nullstelle von PM(λ), ergibt sich der Eigenvektor xλ aus demlinearen Gleichungssystem:

(M − λ1)xλ = 0.

I Die Eigenwerte sind reell, denn sei Mxλ = λxλ, dann folgt:

xtλMxλ = λxt

λxλ = λ‖xλ‖2 =⇒ λ∗‖xλ‖2 = (xtλMxλ)

∗ = xtλMt xλ = xt

λMxλ = λ‖xλ‖2.

I Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten λ 6= λ′ sind orthogonal zu einander:

λxtλ′xλ = xt

λ′Mλx = (Mt xλ′)t xλ = (λ′xλ′)

t xλ = λ′xλ′Mλ =⇒ 0 = (λ− λ′)xtλ′xλ

Da λ 6= λ′ muss xtλ′xλ = xλ′ · xλ = 0 sein, also xλ′ ⊥ xλ.

I λ1, ...,λn seien die paarweise verschiedenen Eigenwerte von M zu den normierten Eigenvektoren xλiund:

At := (x1, ..., xn) ∧ xti xj = δij ,

dann folgt:

AMAt = A(λ1x1, ...,λnxn) = diag(λ1‖x1‖2, ...,λn‖xn‖2) = diag(λ1, ...,λn).



Erganzung: Taylorreihenentwicklung bis zur 2.Ordnung

Taylorreihe bis zur 2.Ordnung

Die formale Entwicklung einer zweimal stetig differenzierbaren Abbildung g : Rn 3 y 7→ g(y) ∈ Rn um einenPunkt y0 ∈ Rn ist gegeben durch:

g(y) = g0 +∇yG(y0)(y − y0) +1

2(y − y0)

t H(y0)(y − y0) +O((y − y0)3)

mit

g0 = g(y0), Gαµ(y0) =∂gα

∂yµ

∣∣∣y=y0

, Hαµν(y0) =∂2gα

∂yµ∂yν

∣∣∣y=y0

.

Explizit ausgeschrieben in Komponenten lautet die Darstellung:

gα(y) = gα0 +

n∑ν=1

∂gα

∂yµ

∣∣∣y=y0

(yµ − yµ0 ) +1

2

n∑µ,ν=1

(yµ − yµ0 )∂2gα

∂yµ∂yν

∣∣∣y=y0

(yν − yν0 ) +O((y − y0)3)

Fur den fall einer skalaren Funktion: g(y) = g(y) ∈ R ergibt sich:

g(y) = g0 +

n∑ν=1

∂g

∂yµ

∣∣∣y=y0

(yµ − yµ0 ) +1

2

n∑µ,ν=1

(yµ − yµ0 )∂2g

∂yµ∂yν

∣∣∣y=y0

(yν − yν0 ) +O((y − y0)3)


Schwingungen Linearisierung DGL

Linearisierung von DifferentialgleichungenWir betrachten das System linearer autonomer Differentialgleichungen erster Ordnung:

y(t) = g(y(t)), y = (y 1, . . . , y n)t , g = (g 1, . . . , g n)t

und entwickeln die rechte Seite g = g(y(t)) in eine Taylorreihe um y0, dann erhalten wir:

g(y) = g(y0) +∇yg∣∣y0(y − y0) +O((y − y0)

2)

Vernachlassigen wir die Terme hoherer Ordnung, so fuhrt dies auf die Definition:

Definition (Linearisierte Differentialgleichung)

Wir bezeichnen das Differentialgleichungssystem:

y(t) = g0+G0(y(t)−y0) ⇐⇒ yα = gα0 +

n∑µ=1

Gαµ0 (yµ−yµ0 ), g0 := g(y0), Gαβ0 :=∂gα

∂yβ

∣∣∣∣y0

als das zu y(t) = g(y(t)) linearisierte Differentialgleichungssystem.

Die Losung fur ein invertierbares G0 mit Anfangsbedingung y(t0) = a findet man durch Variation derKonstanten und ist gegeben durch:

y(t) = exp(G0(t − t0))(a − y0 + G−10 g0) + y0 − G−1

0 g0,

dabei ist die Exponentialfunktion einer Matrix (endlicher Norm) definiert uber:

exp(Gt) :=

∞∑`=0

G`

`!t`, ‖G‖ <∞.

Dies verifiziert man durch Einsetzen:

d

dty(t) = G0 exp(G0(t − t0))(a − y0 + G−1

0 g0) = G0(y − y0 + G−10 g0) = g0 + G0(y − y0), y(t0) = a



Linearisierung der Euler-Lagrange-Gleichungen

Diese Linearisierung wenden wir auf mechanische Systeme an.

Linearisierung des Lagrangian

Ein mechanisches System mit generalisierten Koordinaten q = (q1, ..., qn)t sei durch den folgendenLagrangian gegeben:

L(q, q) = T(q, q) −U(q) =

n∑µ,ν=1

Mµν(q)

2qµqν −U(q) =

1

2qt Mq − U(q) (36)

fur den gilt:

M(q) = Mt(q) y M0 ≡M(0) ∧ ∇qU(q)|q=0 = 0,

dann ist die Linearisierung der zugehorigen Euler-Lagrange-Gleichungen gegeben durch den linearisiertenLagrangian:

L(q, q) =1

2qt M0q −

1

2qt Kq y Kµν =

∂2U(q)

∂qµ∂qν

∣∣∣∣q=0

(37)

I Der Punkt (q, q) = (0, 0) ist offenbar eine Ruhelage des Lagrangian (37).

I Die erste nicht verschwindende Ordnung in der Entwicklung ist dann gegeben durch (37), da giltM(q) = M0 +O(q).

I Ein Vergleichen mit (35) zeigt, dass dies ein verallgemeinerter harmonischer Oszillator ist, indemzusatzlich eine Matrix M0 auftritt, die nicht notwendig diagonal sein muss.

I Es ist angenommen worden, dass es sich schon um Gleichgewichtskoordinaten handelt, was durch eineeinfache Verschiebung der Koordinaten stets erreicht werden kann.



Eigenmoden und Frequenzen

Eigenfrequenzen des linearisierten Oszillators

Die Eigenfrequenzen ω des linearisierten harmonischen Oszillators mit Lagrangian (36) und mit positivemM0 und K sind gegeben durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von:

0 =∣∣ω2M0 − K

∣∣ (38)

Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen des linearisierten Lagrangian

L(q, q) =

n∑µ,ν=1

Mµν0

2qµqν −

n∑µ,ν=1

Kµν

2qµqν

gehen wir wie folgt vor. Es ergeben sich aus L zunachst die Euler-Lagrange-Gleichungen:

d

dt

∂L

∂qα=∂L

∂qα=⇒

n∑µ=1

Mαµ0 qµ = −

n∑µ=1

Kαµqµ

Nun machen wir den folgenden Ansatz zur Bestimmung der Eigenfrequenzen ω:

qα(t) = exp(ıtω)qα0 =⇒ 0 =

ω2n∑µ=1

Mαµ0 −

n∑µ=1

Kαµ

qµ0 =⇒ 0 = (ω2M0 − K)q0

Damit bestimmen sich die Eigenfrequenzen uber die charakteristische Gleichung:

0 =∣∣ω2M0 − K

∣∣Hierin ist die Matrix M0 nicht wie bisher notwendig diagonal!



Linearisierung der Euler-Lagrange-Gleichungen (Beispiel)

Beispiel (Federpendel)

Der Lagrangian des mathematischen Pendels mit einer Federkonstantek und Ruhelange l ist gegeben durch:

L(r ,θ, r , θ) =m

2

(r 2 + r 2θ2

)+ mgr cosθ−

k

2(r − l)2 ~r(θ)

r

θ

xz

Die Transformation erzielt man wie folgt:

∂U

∂r

∣∣∣∣ = ∂U

∂θ

∣∣∣∣ = 0 =⇒ θ0 = 0 ∧ r0 = l + mg/k =⇒ q1 := r − r0, q2 = θ

M0 =

(m 00 mr 2

0

)∧ K =

(k mg sin q2

mg sin q2 mg(q1 + r0) cos q2

)∣∣∣∣q=0

=

(k 00 mgr0

)damit bestimmen sich die Eigenfrequenzen uber die charakteristische Gleichung (38):

0 =∣∣ω2M(0) − K

∣∣ = (mω2 − k)(mr 20ω

2 − mgr0)

woraus direkt folgt:

ω2k =

k

m∧ ω2

θ =ω2

kω2g

ω2k +ω2

g

=ω2g

1

1 +ω2g/ω

2k

<ω2g ,

mit (ω2g = g/l) der Schwingfrequenz des linearisierten mathematischen Pendels. Die Losung lautet:

r(t) = l + mg/k +αk cos(ωk t) +βk sin(ωk t)

θ(t) = αθ cos(ωθt) +βθ sin(ωθt)


Schwingungen Wellengleichung

N gekoppelte harmonische Oszillatoren V13

Beispiel (N gekoppelte harmonische Oszillatoren auf einem Ring)

Betrachte N Massen m auf einem geschlossenen Ring, die uber gleiche Federn mit Federkonstante k undRuhelange l = 0 gekoppelt sind. Die Lange der Kette sei L = Na, wobei die Große a eine Langeneinheit desSystems ist. Die Koordinaten der Massenpunkte seien geordnet: 0 6 x1 < x2 < ... < xN < L, mit periodischenRandbedingungen xn+N = xn.

Der Lagrangian lautet dann:

L(x1, . . . , xN , x1, . . . , xN) =m

2

N∑n=1

x2n −

k

2

N−1∑n=1

(xn+1 − xn)2 −

k

2(x1 − x0)

2,

wobei im letzten Term xN = x0 gesetzt wurde. Die Bewegungsgleichungen fur xn = xn(t) lauten dann:

xn =k

m(xn+1 − 2xn + xn−1), n = 1, ..., N.

Die Ruhelagekoordinaten beschreiben die Auslenkung aus der Ruhelage und sind gegeben durch:

qn = xn − an, n = 1, ..., N − 1, qN = xN − aN = xN = x0 = q0.

Damit ergibt sich:

qn =k

m(qn+1 − 2qn + qn−1), n = 1, ..., N, q0 ≡ qN , qN+1 ≡ q1

Die N verschiedenen Eigenlosungen (l = 0, ..., N − 1) sind gegeben durch (Ubungen):

qln(t) = αl sin(nl2π/N) cos(ωl t +φl), ωl = 2

√k/m sin(lπ/N), l = 0, ..., N − 1.



WellengleichungDie Wellengleichung erhalt man aus den N-gekoppelten Schwingungen durch einen geeigneten Ubergang zumLimes N →∞. Deswegen sollen die Gesamtmasse M = Nm, die Lange der Kette L = Na und dieKraftkonstante K = k/N pro Massenpunkte, fur alle N ∈ N konstant bleiben. Beachten wir, dass beikonstantem M, L, K die Großen m, a verschwinden mussen und k divergieren muss, so dass gilt:

ρ :=m

a=

M

L∧ κ := ka = KL, ∀N, =⇒ k

m=

L2

a2

K

M=

1

a2

κ

ρ.

Fuhren wir desweiteren die dimensionslose Auslenkungs-Funktion f (q, t) ein:

f (q, t)|q=qn := qn(t)/a,

die fur N →∞ nicht verschwindet und schreiben:

∂2f (qn, t)

∂t2= lim

N→∞a→0

κ

ρ

f (qn+1, t) − 2f (qn, t) + f (qn−1, t)

a2=κ

ρ

∂2f (q, t)

∂2q

∣∣∣∣q=qn

Im letzten Schritt ist die Darstellung der partiellen Ableitung als Limes des Differenzenquotienten verwendetworden. Eine Verallgemeinerung in drei Dimesionen lautet:

Definition (Wellengleichung)

Die Wellengleichung in drei Dimensionen ist definiert durch:

∂2f (~r , t)

∂t2= v 2∆f (~r , t), v > 0.

Eine allgemeine Losung der Wellengleichung ist gegeben durch:

f (~r , t) = f (~k ·~r ± vt) ∧ k = |~k| = ±1

wobei f = f (ξ) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist und ξ = ~k ·~r ± vt als Phase bezeichnet wird.Zur vollstandigen Losung benotigen wir noch geeignete Randbedingungen fur die Funktion f = f (~r , t). DieseGleichung und deren Losung werden wir im Rahmen der Elektrodynamik noch eingehend untersuchen.



Die Sine-Gordon-Gleichung in einer Dimension I

Wir betrachten zunachst 2N + 1 Pendel der Lange l , Masse m und Abstand a zueinander, die uber eineSchraubenachse harmonisch miteinander gekoppelt sind. Die Federkonstante sei k und die Bewegung entlangder Achse sei uber

xj := αθj , α > 0, j = −N, . . . , N

mit dem Pendelwinkel θj gekoppelt. Der Lagrangian lautet dann:

L =m

2

+N∑j=−N

(l2θ2j + x2

j ) − mglN∑

j=−N

(1 − cosθj) −k

2

N−1∑j=−N

(xj+1 − xj)2

=m

2(l2 +α2)

+N∑j=−N

θ2j − mgl

N∑j=−N

(1 − cosθj) −kα2

2

N−1∑j=−N

(θj+1 − θj)2

Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten dann (j = −N, ..., N):

d

dt

∂L

∂θj

=∂L

∂θj=⇒ θj = −

gl

l2 +α2sinθj +

kα2

m(l2 +α2)(θj+1 − 2θj + θj−1)

Hat man keine periodische Randbedingungen, so mussen die Randterme separat betrachtet werden.Nun wollen wir den Ubergang zu N →∞ betrachten. Dies machen wir so, dass wir fur jedes einzelne Pendel nneue Pendel einfuhren, sodass die Dichte ρ ≡ m/a pro Lange konstant bleibt:

ρ =m

a=

m

n

n

a=∆m

∆xmit ∆m =

m

n∧ ∆x =

a

n

Die potentielle Energie pro Langeneinheit der Federkraft soll dann ebenso konstant sein:

κ = k · a = ∆k ·∆x



Die Sine-Gordon-Gleichung in einer Dimension II

Wir fuhren neue Variablen ein:

m 7→ m ′ ≡ ∆m =m

n∧ k 7→ k ′ ≡ ∆k = kn

Fuhren wir nun die Bezeichnung θj(t) 7→ θ(x , t) ein, so gilt θj+1 = θ(x +∆x , t) und die skaliertenEuler-Lagrange-Gleichungen lauten:

θ(x) = −gl

l2 +α2sinθ(x) +

k ′α2

m ′(l2 +α2)

(θ(x +∆x) − 2θ(x) + θ(x −∆x)

)Nun beachten wir, dass gilt:

limn→∞ θ(x +∆x , t) − 2θ(x , t) + θ(x −∆x , t)

(∆x)2=∂2θ(x , t)

∂x2

Damit schreiben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen im Limes N →∞ wie folgt:

∂2θ(x , t)

∂t2= −

gl

l2 +α2sinθ(x , t) +

κ

ρ(1 + l2/α2)

∂2θ(x , t)

∂x2

Definition (Sine-Gordon-Pendel)

Die eindimensionale Sine-Gordon-Gleichung ist definiert durch:

∂2θ(x , t)

∂t2− v 2 ∂

2θ(x , t)

∂x2= −Ω2 sinθ(x , t)

Fur den Fall Ω = 0 reduziert sich dies auf die Wellengleichung, ohne Ortsabhangigkeit reduziert sich dies aufdie Schwingungsgleichung fur das einfache mathematische Pendel.



Numerische Losung der Sine-Gordon-Pendel (Ω = v = 1, k > 1)

I Soliton-Losung

θ(x , t) = 4 arctan

(√k2 − 1

kekx−√

k2−1t

)

I Kink-Kink-Losung

θ(x , t) = 4 arctan

(√k2 − 1

k

sinh(kx)

cosh(√

k2 − 1t)

)

Figure: Bachelor-Thesis ’DieSine-Gordon-Gleichung’ von LeaOtterbeck (2018)

Dies kann auch experimentell beobachtet werden!


https://www.youtube.com/watch?v=SAbQ4MvDqEE

Rotierende BezugssystemeMomentane DrehachseBewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem

Der starre KorperTragheitstensorKinetische Energie des starren KorpersSatz von SteinerDas physikalische Pendel


Rotierende Bezugssysteme

Rotierende Bezugssysteme V14

Definition (Stationare und bewegende Bezugssysteme)

Wir nennen k ein stationares Bezugsystem und ein sich dazu bewegendes Bezugsystem bezeichnen wir mit K.

Vektoren in k bezeichen wir mit ~r ,~q,~r , ... und Vektoren in K mit ~R, ~Q, ~R, ....

Definition (Drehmatrix & Rotationsmatrix)

Es sei eine einparametrige Gruppe R(t) ∈ SO3 mit den Eigenschaften R(0) = 1 und R(t1 + t2) = R(t1)R(t2)gegeben. Wir nennen eine Bewegung Rotation, wenn sie K in k durch R(t) uberfuhrt:

SO3 3 R(t) : K→ k

~Q 7→ ~q = R(t)~Q

I Die umgekehrte Abbildung ist gegeben durch

k→ K : ~Q = Rt(t)~q

I Aus 1 = R(t − t) = R(t)R(−t) folgt Rt(t) = R(−t).

I Die Skizze rechts zeigt beispielhaft eine Drehung in der Ebene:

R(t) =

cos(ωt) − sin(ωt) 0sin(ωt) cos(ωt) 0

0 0 1

~Q = (Q1, Q2, Q3)t

~q = R(t) ~Q

φ = ωt



Rotationsmatrix

Definition (Rotationsmatrix)

Wir definieren eine Rotationsmatrix Ωk :

Ωk(t) := R(t)Rt(t) : k→ k

~q 7→ ~q ′ =Ωk(t)~q

Eigenschaften der Rotationsmatrix

Es sei ~ωk = (ω1,ω2,ω3)t ∈ R3, dann gilt fur die Rotationsmatrix Ωk =Ωk(t):

Ωk := RRt ≡

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

= −Ωtk , ∧ Ωk~r = ~ω×~r , ~r ∈ R3

Beweis: Es gilt auf Grund der SO3-Eigenschaft der Drehmatrix R = R(t):

0 =d

dt

(RRt

)= RRt + RRt =Ωk +Ωt

k =⇒ Ωtk = −Ωk

Dann existiert ein Vektor ~ωk = (ω1,ω2,ω3)t , so dass gilt:

Ωαβk := (RRt)αβ := εανβων =⇒ Ωk =

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

Die Darstellung Ωk~r = ~ω×~r ist damit unmittelbar klar.



Beispiel: Rotation um x3-Achse

Beispiel (Rotation um x3-Achse)

Betrachte eine Drehung um die x3-Achse mit Drehwinkel φ(t) =ωt wie obiger Skizze dargestellt:

R(t) =

cos(ωt) − sin(ωt) 0sin(ωt) cos(ωt) 0

0 0 1

I Ein Vektor ~Q = (Q1, Q2, Q3)t transformiert sich wie folgt:

~q =

q1

q2

q3

= R(t)~Q =

Q1 cos(ωt) − Q2 sin(ωt)Q1 sin(ωt) + Q2 cos(ωt)

Q3

I Fur die Rotationsmatrix folgt:

Ωk =ω

− sin(ωt) − cos(ωt) 0cos(ωt) − sin(ωt) 0

0 0 0

cos(ωt) sin(ωt) 0− sin(ωt) cos(ωt) 0

0 0 1

=

0 −ω 0ω 0 00 0 0

I Der Vektor ~ω = (0, 0,ω)t ist die Drehachse des Systems und es gilt:

Ωk~q = ~ω×~q =ω

−q2

+q1

0


Rotierende Bezugssysteme Momentane Drehachse

Momentane Drehachse

Theorem (Poisson-Gleichung fur die momentane Drehachse ~ω)

In einem stationaren Bezugssystem k existiert fur einen um den Ursprung rotierenden Vektor ~q ∈ k eineDrehachse ~ωk ∈ k, so dass gilt:

~q(t) = ~ωk(t)×~q(t)

Beweis: Hierzu betrachten wir einen festen Vektor ~Q in einem rotierenden Bezugsystem K, den wir in k

beobachten, so dass gilt: ~q = R(t)~Q, dann folgt mit ~Q = 0:

~q = R(t)~Q = R(t)Rt(t)~q =Ωk(t)~q = ~ωk(t)×~q

I Eine weitere Interpretation der momentanen Drehachse folgt aus der Eigenschaft R ∈ SO3:

R(t +∆t) = R(t)R(∆t) = R(∆t)R(t) ∧ R(t +∆t) = R(t) + R(t)∆t +O((∆t)2)

daraus folgt:

R(∆t) = 1 + R(t)Rt(t)∆t +O((∆t)2) = 1 +Ωk(t)∆t +O((∆t)2)

und aus Ωk ~ωk = ~ωk × ~ωk = 0 folgt:

R(∆t)~ωk = ~ωk +O((∆t)2)

I Fur beliebige (Ursprungs-)Vektoren ~x ∈ k und ~X ∈ K gilt ~x = R~X und damit gilt fur ΩK :

~ωk = R~ωK =⇒ Ωk = RΩK Rt =⇒ ΩK = RtΩk R = Rt R = −ΩtK


Rotierende Bezugssysteme Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem

Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem

Bewegungsgleichungen im rotierenden Bezugssystem K

In einem stationaren Bezugssystem k gelte die Newtonsche-Bewegungsgleichgung m~q = ~F(~q). Es sei eine

Rotation um den Ursprung von k gegeben mit R(t) : K→ k mit ~q = R(t)~Q, dann lautet dieBewegungsgleichung in K:

m~Q = Rt~F(R~Q) − 2mΩK~Q − mΩ2

K~Q − mΩK

~Q, ΩK = Rt R

Beweis: Wir wollen die Bewegungsgleichungen in K ableiten und starten mit dem gegebenenen BWG in k:

~q = R~Q + R~Q =⇒ ~F(~q)/m = ~q = R~Q + 2R~Q + R~Q

Daraus folgt

~Q = Rt~F(R~Q)/m − Rt R~Q − 2Rt R~Q

Nun mussen wir die Drehmatrizen und deren Ableitungen durch die Rotationsmatrizen ΩK = Rt R ersetzen:

i) Rt R~X =ΩK~X ,

ii) ΩK = Rt R + Rt R = −Ω2K + Rt R =⇒ Rt R =Ω2

K + ΩK

Daraus folgt dann:

m~Q = Rt~F(R~Q) − mΩ2K~Q − mΩK

~Q − 2mΩK~Q

Die Darstellung im Bezugssystem k erhalt man durch die Abbildungen R→ Rt , ~Q → ~q, ΩK → −Ωk :

m~q = ~F(~q) − mΩ2k~q + mΩk~q + 2mΩk~q



Coriolis- und Euler-Kraft

Mit Einsetzen von ΩK~X = ~ωK × ~X ergibt sich die Standardform mit Kreuzprodukten.

m~Q = Rt~F(R~Q) − m ~ωK × ~Q − m ~ωK × (~ωK × ~Q) − 2m ~ωK × ~Q

Die Bedeutung der einzelnen Terme ist:

I Coriolis-Kraft:

~Fc := −2m(~ωK × ~Q)

Diese ist betragsmaßig proportional zur Geschwindigkeit Q.

I Zentrifugalkraft:

~Fz := −m[~ωK × (~ωK × ~Q)]

I Euler-Kraft:

~Fe := −m( ~ωK × ~Q)

Diese Kraft verschwindet in einem gleichformig bewegten System mit ~ωK = 0 und berucksichtigt dieBeschleunigung der Rotation.

I Ist die Drehachse in k konstant ~ωk = ~ω0k bzw. Ωk = 0, so ist sie auch in K konstant, denn es gilt:

ΩK =d

dt

(RtΩk R

)= RtΩk R + RtΩk R =Ωt

KΩK +Ω2K = 0



Lagrangian in einem rotierenden Bezugsystem

Lagragian eines rotierenden Bezugssystem

Fur einen Massenpunkt m mit Lagrangian

L(~r ,~r) =m

2~r 2 − U(~r)

in einem rotierenden Bezugssystem mit Drehmatrix R = R(t) lautet der Lagrangian im rotierten System~q := R~r :

L(~q, ~q) =m

2~q2 +

m

2

(~ω2~q2 − (~ω ·~q)2

)− m~q · (~ω×~q) − U(Rt~q) (39)

wobei ~ω = (ω1,ω2,ω3)t die Rotationsachse mit Rotationsgeschwindigkeit ω = |~ω| des Systems darstellt,die gegeben ist durch die antisymmetrische Matrix: Ωαβ = εαµβωµ.

Beweis:

~r = Rt~q + Rt~q =⇒ ~r 2 ≡ ~r · ~r = ~r t~r = ~q2 +~qt RRt~q +~qt RRt~q + ~qt RRt~q

damit erhalten wir:

~r 2 = ~q2 +~qtΩΩt~q + 2~qtΩ~q = ~q2 + ~ω2~q2 − (~ω ·~q)2 − 2(~ω×~q) · ~q


Der starre Korper

Der starre Korper V15

Definition (Starrer Korper)

Ein starrer Korper ist ein System aus Massenpunkten m1, . . . , mN beschrieben durch die Gleichungen:

|~ri −~rj | = cij = cji , i , j = 1, . . . , N,

wobei cij Konstanten sind und wir die zugehorigen Krafte als holonome Zwangskrafte bezeichnen.

Aus dieser Definition ist ersichtlich, dass der Konfigurationsraum gegeben ist durch: R3 × SO3 mit insgesamt 6Freiheitsgraden. Alle Massenpunkte des Korpers erhalten ihre Abstande untereinander.

Ein starrer Korper beweget sich um die Drehachse ~ω(t):

I Ortsfestes Bezugssystem: k mit Ursprung o

I Korperfestes Bezugssystem: K mit Ursprung O

I ~ω(t): Rotationsachse durch den Ursprung von K

I ~q(t) ∈k: Ortsvektor des Massenpunktes m in k

I R(t)t~q = ~Q ∈K: Ortsvektors des Massenpunktes m in K

I ~s(t) ∈K: Vektor vom Urspung in k zum Urspung O von K

I ~v(t) = ~r(t): Geschwindigkeitsvektor des Massenpunktes.

I ~qs ∈k: Schwerpunktvektor in k

I ~Rs ∈K: Schwerpunktvektor in K

s

P

s

s

k

o

K

O

ω

v

R

r

r

RQ


Der starre Korper

Der rotierende starre Korper und der Drehimpuls

Der Drehimpuls im stationaren System k

Der Drehimpuls eines sich bewegenden Massenpunktes in einem stationaren Bezugssystem k, fur das gilt:

~r(t) =~s(t) +~q(t) ∧ ~q = R(t)~Q ∧ Ωk = RRt ,

ist gegeben durch:

~Lk = m~r × ~r = m[~s × ~s +~q× ~s +~s × (~ωk ×~q) +~q× (~ωk ×~q)

]. (40)

Wie zuvor bei der rotierenden Bewegung definiert Ωk ≡ RRt eine Drehachse ~ωk und es gilt:

~r = ~s + ~ωk ×~q.

Fur den Drehimpuls eines einzelnen Massenpunktes folgt durch Einsetzen die Gleichung (40).

Die Verallgemeinerung des Gesamtdrehimpulses von N Massenpunkten lautet:

~Lk = M~s × ~s − M~s ×~rs + M~s × (~ωk ×~rs) +

N∑i=1

mi~qi × (~ωk ×~qi),

wobei M die Gesamtmasse und ~rs der Schwerpunkt im stationaren System ist:

M ≡N∑

i=1

mi ∧ ~rs ≡1

M

N∑i=1

mi~qi .


Der starre Korper Tragheitstensor

Der Tragheitstensor

Definition (Tragheitstensor)

Der Tragheitstensor IK : K→ K eines starren Korpers im rotierenden Bezugssystem K durch den Ursprung istdefiniert durch:

~LK = IK ~ωK .

Solch eine Darstellung existiert, da ~LK linear in ~ωK ist:

~LK =

N∑i=1

mi~Qi × (~ωK × ~Qi).

Tragheitstensor

Die Komponenten des Tragheitstensors IK eines starren Korpers in K sind gegeben durch:

IαβK :=

N∑i=1

mi

(δαβ~Q2

i − Qαi Qβi

), α,β ∈ 1, 2, 3. (41)

Beweis: In K gilt ~LK = m~Q × ~Q und mit der Definition des Tragheitstensors folgt:

N∑i=1

mi~Qi × (~ωK × ~Qi)

∣∣∣∣∣α

=

N∑i=1

mi

(δαβ~Q2

i − Qαi Qβi

)ωβK = IαβK ωβK = (IK ~ωK )α = ~LαK

Die Darstellung im stationaren Bezugssystem k ist gegeben durch:

~Lk = R~LK = RIK ~ωK = RIK Rt R~ωK = Ik ~ωk ∧ Ik = RIK Rt

Offenbar ist I symmetrisch und hat deswegen reelle Eigenwerte.


Der starre Korper Tragheitstensor

Haupttragheitsachsen

Definition (Haupttragheitsmomente und -achsen)

Die reellen Eigenwerte Ii , i = 1, 2, 3 von I nennen wir die Haupttragheitsmomente, die zugehorigenEigenvektoren die Haupttragheitsachsen. Wir nennen den Tragheitstensor symmetrisch, wenn zwei Ii gleichsind und kugelsymmetrisch wenn alle Ii gleich sind.

Die Eigenwerte hangen nicht vom Bezugssystem ab, da fur das charakteristische Polynom gilt:

PK (λ) = det(IK − λ1) = det(RIk Rt − λ1) = det(R(Ik − λ1)Rt)det R=1= det(Ik − λ1) = Pk(λ)

Drehimpuls im stationaren Bezugssystem k

Der Drehimpuls in k lasst sich mit Hilfe des Tragheitstensors schreiben als:

~Lk =~s × ~P +~rs × ~P + M~s × (~ωk ×~rs) + Ik ~ωk

I Wahlen wir den Ursprung im korperfesten Koordinatensystem im Schwerpunkt des starren Korpers, sogilt: ~qs = 0 und es gilt:

~Lk = M~s × ~s + Ik ~ωk

I Ist ~s × ~s = 0, etwa das korperfeste Koordinatensystem im Schwerpunkt, dann gilt die einfache Relation

~Lk = Ik ~ωk


Der starre Korper Kinetische Energie des starren Korpers

Kinetische Energie des starren Korpers

Kinetische Energie im stationaren Bezugssystem k

Die kinetische Energie des starren Korpers in k ist gegeben durch:

Tk =M

2~s

2+

1

2~ωt

k Ik ~ωk + M~s · (~ωk ×~rs)

Beweis:

Dies folgt unmittelbar durch Einsetzen von ~ri = ~s + ~ωk ×~qi in die kinetische Energie:

Tk =

N∑i=1

mi

2(~s + ~ωk ×~qi) · (~s + ~ωk ×~qi)

=

N∑i=1

mi

2~s2 +

N∑i=1

mi~s · (~ωk ×~qi) +1

2

N∑i=1

mi(~ωk ×~qi) · (~ωk ×~qi)

=M

2~s2 + M~s · (~ωk ×~rs) +

~ωk

2·

N∑i=1

mi [~qi × (~ωk ×~qi)]

Mit Hilfe der Darstellung des Tragheitstensors (41) folgt die Behauptung.

Kinetische Rotations-Energie

Die kinetische Energie fur ~s ≡ 0 (Rotationsenergie) ist gegeben durch

T =1

2~ωt

K IK ~ωK =1

2~ωt

k Ik ~ωk =1

2~ωt I ~ω



Der Tragheitstensor fur kontinuierliche Massenverteilungen V16

Im Limes unendlich vieler Massenpunkte in einem gegebenen Volumen V , gehen die Summen in Integrale miteiner Massendichte ρ = ρ(~q) uber:

M =∑i∈V

mi =∑

∆V(~q)∈V

∆V (~q)∑

i∈∆V(~q)

mi

∆V (~q)−→ M =

∫Vd3q ρ(~q)

Analog erhalt man:

~rs =1

M

N∑i=1

mi~qi −→~rs =1

M

∫Vd3q ρ(~q)~q

Iαβ =

N∑i=1

mi

(δαβ~q2

i − qαi qβi

)−→ Iαβ =

∫Vd3q ρ(~q)

(δαβ~q2 − qαqβ

)

Tragheitstensor Zusammenfassung

Iαβr =

N∑i=1

mi

(δαβ~r 2

i − rαi rβi

)∧ Iαβr =

∫Vd3r ρ(~r)

(δαβ~r 2 − rαrβ

)Hier ist zu beachten, dass die Relation Ik = RIK Rt nur in Bezugsystemen gilt, die jeweils durch den Ursprunggehen (~s = 0). Anderweitig muss der Steinersche-Satz verwendet werden (s.u.).



Der Tragheitstensor eines homogenen Quaders

Beispiel (Tragheitstensor eines homogenen Quaders)

Der Tragheitstensor bzgl. des Schwerpunktes mit achsenparallelem Koordinatensystem K eines homogenenQuaders mit der Dichte ρ = ρ0 und den Kantenlangen a, b, c ist gegeben durch:

IK =M

12

b2 + c2 0 00 a2 + c2 00 0 a2 + b2

I 11K =

∫Vd3Q ρ(~Q)

(δ11~Q2 − Q1Q1

)= ρ0

∫+a/2

−a/2dx

∫+b/2

−b/2dy

∫+c/2

−c/2dz(x2 + y 2 + z2 − x2

)= ρ0abc

1

12(b2 + c2)

Die anderen beiden Diagonalterme ergeben sich aus Symmetrieargumenten. Betrachten wir einenNicht-Diagonalterm:

I 12 =

∫Vd3Q ρ(~Q)

(δ12~Q2 − Q1Q2

)= −ρ0

∫+a/2

−a/2dx

∫+b/2

−b/2dy

∫+c/2

−c/2dz xy = 0


Der starre Korper Satz von Steiner

Der Satz von Steiner

Der Satz von Steiner

Der Tragheitstensor bezuglich des Schwerpunktes sei Is , dann ist der Tragheitstensor Ir bzgl. eines um einenkonstanten Vektor ~s verschobenen Punktes ~r =~s +~q gegeben durch:

Iαβr = Iαβs + M(δαβ~s2 − sαsβ

)Dies sieht man durch explizite Verwendung der Definition:

Iαβr =

∫V

d3r ρ(~r)(δαβ~r 2 − rαrβ

)~r=~s+~q

= IαβS +(δαβ~s2 − sαsβ

) ∫V

d3q ρ(~s +~q) +

∫V

d3q ρ(~s +~q)(2δαβ~s ·~q − sαqβ − sβqα

)Da fur den Schwerpunkt gilt:∫

V

d3q ρ(~s +~q)qα =

∫V

d3q ρ(~q)(qα − sα) =

∫V

d3q ρ(~q)qα

︸︷︷︸=Msα

−Msα = 0, α = 1, 2, 3

erhalt man die Aussage. Je nach Situation kann es gunstiger sein zunachst den Tragheitstensor im Schwerpunktund dann im verschobenem Punkt zu berechnen oder auch umgekehrt.


Der starre Korper Das physikalische Pendel

Das physikalische Pendel I

Beispiel (Physikalisches Pendel)

Wir betrachten ein physikalisches Pendel im Schwerefeld g , beidem ein starrer Korper der Masse M und mit Tragheitstensor Ian einer masselosen Stange mit der Lange a aufgehangen ist undder Schwerpunkt S den Abstand s vom Aufhangepunkt auf derselben Achse entfernt besitzt.

s~r(θ)

a

θ

~Fg = mg~ez

xz

Die Drehachse ergibt sich aus der Drehung um die y -Achse und dem Winkel θ = θ(t).

R(θ) =

cosθ 0 sinθ0 1 0

− sinθ 0 cosθ

=⇒ Ωk = R(θ)Rt(θ) =

0 0 θ0 0 0

−θ 0 0

Die Drehachse ist dann gegeben durch:

~ωk =

0

θ0

= θ~ey

Das korperfeste Koordinatensystem wahlen wir im Schwerpunkt (~Qs = ~qs = 0), so folgt fur den Lagrangian:

L(θ, θ) =M

2~s2 +

1

2~ωt

k Ik ~ωk + Mgl cosθ

dabei ist l = a + s und s die Lange vom Aufhangepunkt zum Schwerpunkt und es gilt: ~s = l(sinθ, 0, cosθ)t .


Der starre Korper Das physikalische Pendel

Das physikalische Pendel II

Der Lagrangian lautet dann:

L(θ, θ) =Ml2

2θ2 +

1

2θ2I22 + Mgl cosθ

hierin ist I22 im Schwerpunkt noch zu bestimmen. Die Bewegungsgleichung lautet:

d

dt

∂L

∂θ=∂L

∂θ=⇒ θ = −ω2

p sinθ

mit der Schwingfrequenz fur kleine Auslenkungen (|θ| 1):

ω2p =

g

l

Ml2

Ml2 + I22=ω2

l

(1 +

I22

Ml2

)−1

6ω2l ∧ ω2

l =g

l

Dies ist die selbe Bewegungsgleichung wie fur das mathematische Pendel, lediglich die Frequenz ist modifiziert.Die Frequenz des mathematischen Pendels ωl ist großergleich der des physikalischen Pendels ωp . Dasmathematische Pendel ergibt sich fur I22 = 0. Die Naherung des mathematischen Pendels ist immer dann gut,wenn gilt: Ml2 I22.

Fur einen homogenen Zylinder der Lange l und Radius R, der in der Mitte des Zylinders aufgehangt ist, gilt:I22 = MR2/2 bzw. eine Kugel mit Radius R im Schwerpunkt mit I22 = 2MR2/5, folgt:

ω2Z =ω2

(1 +

R2

2l2

)−1

∧ ω2K =ω2

(1 +

2R2

5l2

)−1


Theoretische Physik (Bachelor of Applied Science)A. Fasano & S. Marmi Analytical Mechanics J.V. Jose...

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