Theoretical Mechanics
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eore
tical
Mech
an
ics
主讲教师 黄 璟
第一篇 静力学
第二章 汇交力系
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§2-1§2-1 汇交力系的合成 汇交力系的合成
§2-2§2-2 汇交力系的平衡 汇交力系的平衡
第二章 汇交力系目录
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F3
F2
F4
F1
2.1 汇交力系的合成2.1.1 几何法
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F1
FR
FR2
FR1
F4
F3
F2
用力多边形法则求四个力的合力
使各力首尾相接,其封闭边即为合力 FR 。
2.1 汇交力系的合成2.1.1 几何法
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设汇交于 A 点的力系由 n 个力 Fi ( i = 1 、 2 、…、 n )组
成。记为 F1 、 F2 、…、 Fn 。根据平行四边形法则,将各
力依次两两合成, FR 为最后的合成结果,即合力。汇交力
系合力的矢量表达式为
n
ii
1R FF
汇交力系的合成结果是一合力,合力的大小和方向由各力的矢量和确定,作用线通过汇交点。
2.1 汇交力系的合成2.1.1 几何法
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结 论
•合力矢 FR 与各分力矢的作图顺序无关
•各分力矢必须首尾相接
•合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端
•按力的比例尺准确地画各力的大小和方向
2.1 汇交力系的合成2.1.1 几何法
汇交力系合成的结果是一个合力,它等于原力系
中各力的矢量和,其作用线通过各力的汇交点
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力在轴上的投影:力与该投影轴单位矢量的标量积
在直角坐标系中力 F 的
eF eF
直角坐标系 Oxyz 的单位矢量为 i 、 j 、 k ,力 F 在各轴上投影
cos
cos
cos
FF
FF
FF
z
y
x
kF
jF
iF
F = Fx i + Fy j + Fz k
2.1 汇交力系的合成2.1.2 解析法
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1 、直接投影法
cos
cos
cos
FF
FF
FF
z
y
x
kF
jF
iF
2 、二次投影法
sin
sincos
coscos
FF
FF
FF
z
y
x
2.1 汇交力系的合成2.1.2 解析法
力在直角坐标轴上的投影:
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222zyx FFFF
F
F
F
F
F
F zyx cos,cos,cos
已知力 F 在直角坐标轴上的三个投影,其大小和方向分别为
2.1 汇交力系的合成2.1.2 解析法
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将力 F 沿直角坐标轴方向分解
F = Fx + Fy + Fz
力 F 沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有如下关系
Fx = Fx i, , Fy = Fy j , Fz = Fz k
值得注意 : 以上各式是在直角坐标系中推导的,在非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一个重要的概念,应用投影的概念,可将力的合成由几何运算转换为代数运算。
2.1 汇交力系的合成2.1.2 解析法
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由汇交力系合成的几何法知:
任取直角坐标系,则合力和分力的解析式为
代入上式,得
由矢量相等的概念有
izRz
iyRy
ixRx
FF
FF
FF
合力投影定理 : 汇交力系的合力在某轴上的投
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
n
i 1iR FF
kjiFR RzRyRx FFF kjiFi iziyix FFF
kjikji )()()( iziyixRzRyRx FFFFFF
2.1 汇交力系的合成2.1.2 解析法
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NFFFF zyx 100,0,0 1111
力 F2 在各坐标轴上的投影:
NF
NFF
FF
z
y
x
0
310030cos
N10060cos
2
22
22
力 F3 在各坐标轴上的投影: N15030sin
67545cos30cos
67545sin30cos
33
33
33
FF
NFF
NFF
z
y
x
例 2-1 图中 a = b = m , c = m 。力 F1 = 100N , F2 = 200
N , F3 = 300N ,方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。 3 2
解:力 F1 在各坐标轴上的投影:
2.1 汇交力系的合成 例题
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汇交力系平衡的几何条件:
汇交力系平衡的充分必要条件是:力系中各力矢构 成的力多边形自行封闭,或各力矢的矢量和等于零
01
n
iiR FF即
2.2 汇交力系的平衡2.2.1 几何法
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即为汇交力系的平衡方程。
2.2 汇交力系的平衡2.2.2 解析法
汇交力系的平衡方程:由汇交力系平衡的几何法知:汇交力系平衡的充要条件是力系的合力等于零。即:
0kjikji )()()(F iziyixRzRyRxRx FFFFFF
得
0
0
0
iz
iy
ix
F
F
F
特例:平面汇交力系平衡方程
0
0
iy
ix
F
F
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2.2 汇交力系的平衡 例题
例 2-2 :求图示平面刚架的支反力。
P
A B
AF NBF
解Ⅰ:几何法
以刚架为研究对象,受力如图。由于刚架受三力平衡,所以力三角形封闭。
P
A Bm4
m8
由几何关系,
5
52cos,
5
5sin
解得 PPFPP
F NBA 2
1cot,
2
5
cos
PAF
NBF
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2.2 汇交力系的平衡
P
A B
AF NBFx
y
解Ⅱ:解析法
以刚架为研究对象,受力如图,建立如图坐标。
0sin:0
0cos:0
NBAy
Ax
FFF
PFF
P
A Bm4
m8
由几何关系5
52cos,
5
5sin
解得 PFPF NBA 2
1,
2
5
例题
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A
B
C
DE
P
A
B
C
DE
P
TDF
TCFS
x y
z
例 2- 3: 重为 P 的物体用杆 AB 和位于同一水平面的绳索 AC 与 AD 支承,如图。已知 P=1000N , CE=ED=12cm ,EA=24cm , ,不计杆重;求绳索的拉力和杆所受的力。
45
解:以铰 A 为研究对象,受力如图,建立如图坐标。
0sinsin:0 TDTCx FFF0sincoscos:0 SFFF TDTCy
0cos:0 PSFz 由几何关系:
5
2
2412
24cos
22
解得: NS 1414 NFF TDTC 559
2.2 汇交力系的平衡 例题