The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.
-
Upload
annaleisa-boegel -
Category
Documents
-
view
109 -
download
4
Transcript of The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.
![Page 1: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/1.jpg)
The Rectilinear Steiner Tree Problem is
NP-complete
Seminarvortrag
Lothar Kunz
![Page 2: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/2.jpg)
Übersicht
Einleitung Grundlagen Komplexität Grundlagen Graphentheorie Beweisstrategie Problemreduktionsschritt 1 Problemreduktionsschritt 2 Zentraler Beweis Schluss
![Page 3: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/3.jpg)
Motivation
Leiterplatinenlayout Für einige eingeschränkte Probleme wurden
bereits effiziente Lösungen gefunden
![Page 4: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/4.jpg)
Rectilinear Steiner Baum (RST)
![Page 5: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/5.jpg)
RST Problem
Konstruiere RST mit minimaler totalen Länge
![Page 6: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/6.jpg)
Die Klasse P
Probleme mit deterministischen Algorithmen in polynomialer Zeit lösbar
![Page 7: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/7.jpg)
Die Klasse NP
Probleme, mit nichtdeterministischen
Algorithmen in polynomialer Zeit lösbar
![Page 8: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/8.jpg)
NP-vollständig
Element von NP Jedes NP-Problem läßt sich mit
polynomialem Aufwand in ein NP-vollständiges Problem umwandeln
![Page 9: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/9.jpg)
Problemreduktion
A -> B
Wenn A NP-vollständig ist und sich polynomiell auf B reduzieren läßt, dann ist B auch NP-vollständig
![Page 10: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/10.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 11: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/11.jpg)
Zusammenhängende Knotenüberdeckung
![Page 12: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/12.jpg)
Beweisstrategie
Abfolge von drei Problemreduktionen
Ausgehend von : Knotenüberdeckung in planaren Graphen ist NP-
vollständig. Gegeben :
planarer Graph G = (V,E) k aus N
Gibt es Knotenüberdeckung V‘ mit |V‘| <= k ?
![Page 13: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/13.jpg)
Nächstes Problem
Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit maximalem Grad 3
![Page 14: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/14.jpg)
Nächstes Problem
Zusammenhängende Knotenüberdeckung in einem planaren Graphen mit maximalen Grad 4.
![Page 15: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/15.jpg)
Behauptung Lemma 1
Knotenüberdeckung in planaren Graphen mit
maximalem Grad 3 ist NP-vollständig.
![Page 16: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/16.jpg)
Problemreduktion 1
![Page 17: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/17.jpg)
Problemreduktion 1
![Page 18: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/18.jpg)
Problemreduktion 1
![Page 19: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/19.jpg)
Problemreduktion 1
![Page 20: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/20.jpg)
Problemreduktion 1
![Page 21: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/21.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 22: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/22.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 23: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/23.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 24: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/24.jpg)
Lemma 2
Zusammenhängende Knotenüberdeckung in
planaren Graphen mit maximalem Grad 4 ist
NP-vollständig.
![Page 25: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/25.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 26: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/26.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 27: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/27.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 28: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/28.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 29: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/29.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 30: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/30.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 31: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/31.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 32: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/32.jpg)
Problemreduktion 2
![Page 33: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/33.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 34: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/34.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 35: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/35.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 36: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/36.jpg)
Knotenüberdeckung
![Page 37: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/37.jpg)
Zentrale Behauptung
RST ist NP-vollständig
![Page 38: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/38.jpg)
Beweis
Annahme : G hat ein zusammenhängende
Knotenüberdeckung Konstruktion eines RST
Spanning Tree der Knotenüberdeckung
![Page 39: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/39.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 40: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/40.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 41: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/41.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 42: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/42.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 43: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/43.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 44: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/44.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 45: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/45.jpg)
Problemreduktion
![Page 46: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/46.jpg)
Problemreduktion
![Page 47: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/47.jpg)
Problemreduktion
![Page 48: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/48.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 49: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/49.jpg)
Problemreduktion 3
![Page 50: The Rectilinear Steiner Tree Problem is NP-complete Seminarvortrag Lothar Kunz.](https://reader036.fdocuments.in/reader036/viewer/2022070310/55204d6949795902118bed31/html5/thumbnails/50.jpg)
Beweis 2
Annahme : Es gibt ein RST für A mit der totalen Länge l
Ziel : Konstruktion einer zusammenhängenden
Knotenüberdeckung