Indicegeneral1. Introduccion 11.1. Justicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Matricesdemasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. ModeloEstandar 62.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.1. Lagrangianacineticadelosbosones . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Lagrangianadinamicadefermiones . . . . . . . . . . . . 92.1.3. Generaciondemasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4. ModeloEstandarcontresfamilias. . . . . . . . . . . . . 142.2. ViolaciondeCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1. TransformacionesdeCPenlalagrangianadelME . . . 183. Fenomenologa 253.1. Texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1. MaximalenelinvariantedeJarlskog . . . . . . . . . . . 273.2. Datosexperimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.1. Transformaciones debasedebil, el trabajodeBrancoyEmmanuel-Costa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Algoritmosgeneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.1. Seleccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.2. Reproduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.3. Mutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.4. Evaluaciondelaaptitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464. Resultados 495. Conclusiones 58A.MecanismodeHiggs 61iINDICEGENERAL iiB.Codigo 64B.1. AlgoritmoGenetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.2. Datosexperimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68B.3. Matrizdemezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74B.4. Aptitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77B.5. Texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.5.1. TexturadeFritzsch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.5.2. TexturadeFritzschmodicada . . . . . . . . . . . . . . 81B.5.3. TexturadeRamondetal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Indicedecuadros2.1. TransformacionesdiscretasdecamposylocamposbilinealesdeDirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1. Matrices de masahermitianas de los quarks conconsistenciafenomenologicaseg unRamond,RobertyRoss [4]. . . . . . . . 283.2. Valoresexperimentalesdelosmodulosdelamatrizdemezcla. . 323.3. Intervalos de las masas de los quarks predichos a escala elec-trodebil, MZ, reportados por Xing (2008), Emmanuel-Costa (2009)yKoide(1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1. Matricesdemasahermitianasdelosquarkspuestasaprueba . . 504.2. Valores teoricos obtenidos de [Vij[ utilizando la texturas con cua-trocerosdeFritzsch(F4)paralasmatricesdemasapresentadasenlatabla 3.3ylosvaloresexperimentalesde [Vij[. . . . . . . . 514.3. Valoresteoricosobtenidosde, , yJparalastexturasconcuatro ceros de Fritzsch (F4) para las matrices de masa presenta-dasenlatabla 3.3ylosvaloresexperimentales. . . . . . . . . . 524.4. Valoresdelosparametrosconlosqueseobtienenlosresultadosdelosajustesn umericospresentadosenlastablas4.2y4.3. . . 534.5. Valoresteoricosobtenidosde [Vij[utilizandolastexturaspresen-tadasenlatabla4.1paralasmatricesdemasadeKoidepresen-tadasenlatabla 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6. Valoresteoricosajustadosde losobservables ,,yJparalascincotexturaspresentadasenlatabla4.1utlilizandolasmasasdeKoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.7. Valoresdelosparametrosconlosqueseobtienenlosresultadosdelosajustesn umericospresentadosenlastablas4.5y4.6 . . . 56iiiResumenEnelpresentetrabajoseinvestigalacapacidadpredictivadecincomodelosde texturas para las matrices de masa. La teora fsica con la que se calculan losobservables que se contrastan con los datos experimentales es el modelo estandarelectrodebil.LosdatosexperimentalesconlosquesecomparasonlosmodulosdelamatrizdemezclaytresrelacionadosalfenomenodeviolaciondeCP.Se usan algoritmos geneticos para ajustarse a los datos experimentales de lamezcla de los quarks y la violacion de CP. Mediante dicho ajuste se encuentranla matriz de mezcla de los quarks, los angulos internos del triangulo unitario y elinvariante de Jarlskog. El metodo se implementa con tres distintos conjuntos deintervalosdemasaencontradosenlaliteraturacalculadosaenergadelamasadelbosonZycincoparesdiferentesdetexturasparalasmatricesdemasa.Secomparan los modulos de los elementos de la matriz de mezcla y sus invariantescalculados contra los reportados por Particle Data Group en el a no 2010, encon-trandoque unicamenteunatexturaenlasmatricesdemasaescompatiblecontodalafenomenologaconsiderada.ivTexturasparalasmatricesdemasadelosquarksfenomenologicamenteviablesBraulioRojas22defebrerode2011Captulo1Introduccion1.1. JusticacionApesardel enormeprogresoexperimental, el origendelamasadelosfer-miones es a ununapreguntafundamental noresueltaenfsicadepartculas.Generalmente,enelcontextodelmodeloestandarelectrodebil(ME)lasmatri-cesdelasmasasdelosquarksMuyMdsoncomplejas(36parametrosreales),comoseexplicaenel captulo2, ytienenqueajustardiezpar ametrosfsicos:lasseismasasdelosquarksyloscuatroparametrosdelamatrizunitariadeCabibbo-Kobayashi-Maskawa,Vckm,loscualessonpresentadosenelcaptulo3.El problematradicional del modelodelasmatricesdemasadelosquarksvamas alla del modelo estandar y supone formas especcas para las matrices Mu,dlas cuales, despues de ladiagonalizacion, proporcionanlos eigenvalores ylosparametros de mezcla. En el intento de entender la estructura del sabor escondi-da en la matriz de masa de los fermiones se proponen texturas, que son matricesde masa con algunos ceros impuestos a los elementos de matriz. Suponer que hay1CAPITULO1. INTRODUCCION 2simetradelsaborocultaenlastexturasdelasmatricesdemasadelosquarkspodra proporcionar sugerencias de la dinamica en la generacion de masa de losquarks y de la violacion de CP(tema presentado en el captulo en el captulo 2)enunmarcoteoricomasfundamental [1]. Entonces, dadaslasmatricesMuyMd,esesencialdistinguircerosquenotengancontenidofsicodeaquellosotrosqueimplicanrestriccionesfsicasenelespaciodelosparametros.Elretodeunmodelodetexturasesajustarsecorrectamentealosdatosexperimentales.Enestetrabajoseestudiaranalgunastexturasenlasmatricesdemasaquepuedenreproducirsatisfactoriamenteal fenomenodelamezcladelosquarks.Enlaliteraturasehamostrado [2]quelastexturasdeFritzschcon6cerosenlasmatricesdemasasontotalmentedescartablesyaquenosepuedenobtenerresultadosqueconcuerdenconlosdatosexperimentales, mientrasquelastex-turasde5cerosdeFritzschenlasmatricesdemasanopuedenserdescartadascompletamente. Conlaintenciondeobtenerunentendimientodelasmezclasdelos quarks surgeel problemadeencontrar laestructuadelatexturamassimplequeseacompatibleconel fenomenodemezcladelosquarks. Envistadelaausenciadeunajusticacionteoricaparalasmatricesdemasacomolasde Fritzsch, se vuelve esencial desde el punto de vista fenomenol ogico considerarmatricesdemasadiferentesalasdeFritzsch,tantoparalosquarkscomoparalosleptones.Con la mejora en la precision de los datos experimentales los modelos de cincoyseiscerostienengrandicultadenajustarsealosdatos [3].UsandocriteriosdenaturalidadysimplicidadFritzschyXing [1] encontrarondesfavorablesalosmodelosIIIyVdelastexturasdeRobert, RamondyRoss [4] lascualesCAPITULO1. INTRODUCCION 3semuestranenlatabla 3.1. Conlos datos experimentales disponibles enela no2008seencontroqueningunatexturadeseis ceros puedereproducir losdatos experimentales y que la unica de cinco ceros que s puede es la textura deFritzschconlamatrizdemasadelsectorucondoscerosyelsectordcontresceros [2]. Lastexturasanterioresseproponensinningunaconsideracionfsicamasalladelabusquedademodelosquereproduzcanlosdatosexperimentales.Una suposicion fsica que puede ser impuesta a las texturas, con la intencion deobtenerunmodelodecerosconsistentecontalsuposicion,eselmaximalenelinvariantedeJarlskog;dichasuposicionseexplicaenelcaptulo3.1.2. MatricesdemasaLadensidadlagrangianadel modeloestandarelectrodebil (ME), queeseltemadelsiguientecaptulo,puedeserexpresadaconcuatroterminosLME= Ldin +Lb +L +LY uk, (1.1)loscualesrepresentanlasdensidadeslagrangianasdelosfermiones, delosbo-sones, del campodeHiggsyladeYukawa, respectivamente. Losdosprimerosterminos proporcionanlas interacciones, existentes enel ME, de los bosonesdenormaconlosfermiones, ademasdelosterminoscineticosdeambos. Paraprorcionarmasaalosbosonesyfermionesseagregaeltercerycuartotermino,ladensidadlagrangianadelcampodeHiggs,,yladeYukawa.EnelmodeloestandarelmecanismodeHiggseselresponsabledequeloscamposdenormaylosfermionesadquieranmasa [25]. Despuesdel rompimientodesimetra, lalagrangiana de Yukawa proporciona masa a los fermiones mediante el acoplo conCAPITULO1. INTRODUCCION 4elcampodeHiggs,conloqueseobtienenlasmasasdeDirac.Enlanaturalezaexistentresgeneracionesdefermionesconidenticascarac-tersticas, excepto la masa. En el ME no hay una explicacion para esta propiedad.Los fermiones elementales conocidos estan divididos en dos categoras, los quarksylosleptones.Unadiferenciaquelosdistingueesquelosquarksparticipanentodas las interacciones (fuerte, electromagnetica, debil y gravitacional) mientrasquelosleptonesnosonafectadosporlainteraccionfuerte. Enel MEdetresgeneracioneslasmasasdelosquarksesunamatrizcomplejade3 3, ycuyaformanoesproporcionadaporelME,comoseveraenelproximocaptulo.En la base donde la teora es invariante de norma, los acoplos de Yukawa nonecesariamentesondiagonales, porlotantolosquarksnosonestadospropiosde la masa ya que los terminos de masa acoplan a una misma familia de quarksdediferentegeneracion. Cuandosepasaaunabasedondelamatrizdemasadelosquarksesdiagonal, labasedelosquarksfsicos, lascorrientescargadasyanosondiagonales, losquarksuylosquarksddediferentesgeneracionessemezclan. Lamatriznodiagonal, responsabledelamezcladelosquarks, eslamatrizdeCabibbo-Kobayashi-Maskawa,denotadacomoVckm,yesunamaneradetenerlaviolaciondeCPenelmodeloestandar.Laformafuncionaldelamatrizdemezclasedenecomo [5]y [9]Vckm= UuLUdL=______VudVusVubVcdVcsVcbVtdVtsVtb______, (1.2)donde las matrices UqLson las matrices que diagonalizan a las matrices de masadelosquarksuyd,comoseexplicaenelsiguientecaptulo.CAPITULO1. INTRODUCCION 51.3. ObjetivoEl objetivodel presentetrabajoesponerapruebalacapacidadpredictivade texturas en las matrices de masa para el sector de los quarks utilizando algo-ritmosgeneticos.Paralograrloprimeroseobtendranlosvaloresdelosmodulosdeloselementosdelamatrizdemezcladelosquarksenlosintervalosexperi-mentalesutilizandodiferentestexturas.Alastexturasconlasqueseobtenganresusltados que se ajusten a los datos experimentales se les probara su compati-bilidadconlahipotesisdemaximaldelinvariantedeJarlskogysepresentaranlas matrices de masa con las que se obtengan resultados de acuerdo con los datosexperimentales.Captulo2ModeloEstandar2.1. IntroduccionElmodelodelasinteraccionesdelaspartculaselementaleshoyvistocomoestandareselresultadodeunalargaconstruccionymuchascontribucionesin-geniosas,entrelascualeslasdeS.L.Glashow(1961),S.Weinberg(1967),yA.Salam (1967) son especialmente notables [22]. En el marco del modelo estandarlamateriadel universoestahechade fermiones elementales interactuandoatravesdecampos,deloscualesellossonlafuente.Laspartculasasociadasconlas interacciones delos campos sonbosones. El modeloestandar describelasinteraccioneselectromagneticas, fuerteydebil delaspartculaselementales, ysu construccion fue guiada por un principio de simetra. La fuerza gravitacionalnoesincluidaenelmodeloestandar.Enel presentetrabajoseestudianlasmatricesdemasaquemejorlogrenajustar la matriz de mezcla Vckma los datos experimentales. La teora fsica conlaquesecalcularanlosobservablesteoricosquesecontrastaranconlosdatos6CAPITULO2. MODELOESTANDAR 7experimentales es el modelo estandar electrodebil. Entre los datos experimenta-lesconlosquesecompararaestanlosproducidosporelfenomenodeviolaciondeCP, temaquesetrataenlasiguienteseccionyparael cual senecesitalalagrangianadelmodeloestandar.Enestaseccionsepresentanlaspartesqueconformanaladensidadlagran-gianadel modeloestandar, explicandobrevementesupapel eneste. Unavezpresentes las partes, laseccion1terminaconlaconstrucciondeladensidadlagrangianadel modeloestandarysecomentaquelosacoplosdeloscamposdelosquarksconloscamposdenormaylosacoplosdeYukawatienenqueserobtenidosdel experimento, el modeloestandarnoprediceunvalorparaellos.Enlaprimerapartesehaceunabreveintroduccional modeloestanadarylalagrangiana cinetica de los bosones de norma. En las dos siguentes partes se pre-sentan el resto de los terminos de la lagrangiana, la lagrangiana dinamica de losfermionesylosterminosdelosqueseobtienenloscamposmasivos.Laseccionacabaconlacuartaparte,endondesegeneralizalovistoenlastresanterioresparapoderobtenerlalagrangianadel modeloestandarparatresgeneracionesdequarksyleptones.2.1.1. LagrangianacineticadelosbosonesElmodeloestandardelasinteraccionesfundamentaleseslateoraquedes-cribe las interacciones fuerte, debil y electromagnetica de las partculas elemen-tales(quarksyleptones). El modeloestandaresunateoradenormabasadaenelgrupodesimetraSU(3)cSU(2)LU(1)Y[23].Esposibleestudiarso-lamentelainteraccionelectrodebil del modelobasadaenel grupodesimetraCAPITULO2. MODELOESTANDAR 8SU(2)L U(1)Y,estosedebeaquelasimetradelcolorSU(3)Cnoserompe,porloquenosemezclaconel grupoSU(2)LU(1)Y. Losgruposdeterminanlas interacciones y el n umero de bosones de norma1, un boson de norma por ca-da uno de los generadores del grupo, el n umero y las propiedades de los bosonesescalaresylosfermioneseslibre, peroellosdebentransformarsedeunaformadenidaporelgrupodesimetra.Laparteelectrodebiltienecuatrobosonesdenorma, tres de ellos tienen masa y el otro no, que corresponden a los tres genera-dores del grupo SU(2)L y al generador del grupo U(1)Y. La densidad lagrangianadel modeloestandarelectrodebil (ME)eslasumadelascontribucionesdelosfermiones(Lf)ylosbosonesdenorma(Lb)L = Lf+Lb. (2.1)La densidad lagrangiana(2.1) debe de cumplir con ciertas propiedades: tiene queserinvariantelocaldetransformacionesdelgrupoSU(2)LU(1)Y,reproducirlafenomenologadelainteraccionelectrodebil y, ademas, losfermionesytresdeloscuatrobosonesdenormadebensermasivos.El primer triunfo de la teora cuantica de campos es la electrodinamicacuantica [23], lacual describelasinteraccionesdel electronyel campoelec-tromagnetico.Elmodeloestandaresunateoradeinteracciondecampos.Paraestudiarlafenomenologaseveenladensidadlagrangianadel modeloestandarqueexistenterminosparacadaunadelasinteracciones. Enel MEseunicanlasinteraccioneselectromagneticasydebil; launicacionsignicaquesondosdiferentesmanifestacionesdeunamismainteraccion.Enanalogaconlaenergacineticadelfoton,losterminoscineticosparalos1Losbosonesdenormasonlaspartculasencargadasdemediarlasinteracciones.CAPITULO2. MODELOESTANDAR 9bosonesdenormasonLb= 14BB3

i=114WiWi(2.2)endondeBeselcampodefuerzaparaelcampodenormaU(1)YdadoporB= B B(2.3)yWieslageneralizacionde (2.3)paragruposnoabelianos,esdecirWi= Wi Wi + gjkiWjWk. (2.4)y se expresan en terminos de los tres bosones de norma del grupo SU(2)L,W,yelbosondenormadeU(1)Y,B[22].2.1.2. LagrangianadinamicadefermionesLapartedinamicadelosfermionesseobtieneimponiendolainvarianciadenorma a la ecuacion de Dirac de un fermion sin masa bajo transformaciones delgrupoSU(2)LU(1)Y[23]lacualesLdinf=RiDR LiDL. (2.5)dondeparael grupoSU(2)LU(1)YladerivadacovarianteD, lacual enlasteorasdenormareemplazaaladerivadaordinariaenlalagrangiana, tienelaformaD= + ig2 W2+ ig1YB2, (2.6)paralosdobletesdequiralidadizquierdaLdeSU(2),ylaformaD= + igYB2(2.7)CAPITULO2. MODELOESTANDAR 10paralossingletesdequiralidadderechaR.Enlaecuacion (2.5)seintrodujolanotaciondequiralidaddelaecuaciondeDirac [23],dondeesunespinordeDiracdecuatrocomponentes,lasquiralidadesdenidasporR=12(1 + 5) L=12(1 5),=0, 5=i0123ycon=0, 1, 2, 3sonlasmatricesdeDirac2.Sustituyendo (2.6) y (2.7) en (2.5) para la parte izquierda y derecha, respecti-vamente,seobtienenlosacoplosdelosfermionesconlosbosonesdenorma,deaquseobtienenlasinteraccioneselectrodebiles.Paraunafamiliadequarks,elterminode (2.5)correspondientealaspartesizquierdasdelosespinoresdelosquarkstienelaformaLdin,Lf=_ uL,dL_i( + ig2 W2+ ig1YB2)___uLdL___, (2.8)dondeelprimerteminodeladerechaeslaeciaciondeDiracdepartculalibreylosterminosrestantessonlosdeinteraccionconloscamposdenorma,aqu sonlasmatricesdeespndePaulisiguientes1=___0 11 0___2=___0 ii 0___3=___1 00 1___.LosacoplosdelespinorfermionicoconloscamposdenormaWsong2j1W1=g22_ uL,dL_1___uLdL___W1,g2j2W2=g22_ uL,dL_2___uLdL___W22Paraunaexplicaciondetalladaver [21], [23]o [25].CAPITULO2. MODELOESTANDAR 11yg2j3W3=g22_ uL,dL_3___uLdL___W3,dondeseobservaquelasdosprimerasecuacionesacoplanal bos ondenormacomponentesdistintosdel doblete. Estacaractersticajuegaunpapel muyim-portanteenlaviolaciondeCPyseexplicaraenlasiguienteseccion.UtilizandolasmatricesdePauli, WtomalaformaW=___W3W1 iW2W1+ iW2W3___,con lo cual las componentes de la corrientes del isoespn debil pueden expresarsedeunamaneracompactaJ=12_ uL,dL____uLdL___, (2.9)as quelaformacompactadelascorrientesdeisoespndebil acopladasaloscamposdenormadeSU(2)Ltomalaformag2JW=g22( uL, dL) ___uLdL___W. (2.10)Parael acoplodel espinorconel campodenormaBseutilizalarelaciondeGell-Mann-Nishijima para expresar la hipercarga en funcion de la carga electricaylaterceracomponentedelisoespnQ = 3 +Y2(2.11)nalmentesetieneg12 jY,LB= g1_ uL,dL_(Q3)___uLdL___B. (2.12)CAPITULO2. MODELOESTANDAR 12Deigualmanera,paralapartedequiralidadderechade (2.5)utilizando (2.7)setieneg12 jY,RB= g1_ uR,dR_(Q3)___uRdR___B. (2.13)Las ecuaciones (2.12), (2.7) ylaterceracomponente de lacorriente debilacoplan los bosones de norma a una misma componente del doblete. Dividiendoladensidadlagrangianadinamica (2.5)endos,unapartedeinteraccionyunapartecinetica,esposibleexpresarlautilizando (2.10), (2.12)y (2.13)comoLdinf= Lcinf+ g2JW +g12 (jY,R + jY,L) B. (2.14)Todas las interacciones existentes enel MEdelos bosones denormaconlosfermionesestanpresentesen (2.14).2.1.3. GeneraciondemasaPara proporcionar masa a los bosones y fermiones se utliza el mecanismo deHiggs, conel cual seinduceunrompimientoespontaneodesimetra. Hastaelmomento los cuatro bosones de norma (WyB) y los fermiones se mantienensin masa. Para resolver esto se agrega la energa cinetica y potencial (la densidadlagrangiana)delcampodeHiggs,L= (D)(D) V (). (2.15)Despues del rompimiento de simetra el campo de Higgs proporciona masa a losbosonesdenorma.CAPITULO2. MODELOESTANDAR 13ElcampodeHiggsesundobletedeSU(2) =___+0___,conunvalordeexpectaciondelvacodadopor)0=___0v___yconestadosexcitadosdelaforma___0v +h(x)2___(2.16)donde hes el campo fsico del Higgs. La lagrangiana de Higgs debe de serinvariante de norma localmente. Si el valor de expectacion del vaco del campo deHiggsno es invariante, se dice que hay unrompimiento espontaneo de simetra.Para que los fermiones obtengan masa se introduce un termino de interaccionentre el campode Higgs ylos fermiones, que debe ser invariante de norma,respetarlasimetradelgrupoSU(2)LU(1)YydelqueseobtenganmasasdeDirac.LalagrangianadeYukawaLY uk= G_(L)R + R(L)_, (2.17)cumpleconlascondicionesrequeridas.Despuesdelrompimientodesimetra,elcampodeHiggsdamasaalosfermionesLY uk= vG_LR + RL_,ysereconocelaformadelasmasasdeDiracm= vG. (2.18)CAPITULO2. MODELOESTANDAR 14En el modelo estandar el mecanismo de Higgs es el responsable de que los camposde norma y los fermiones adquieran masa. Los detalles aun son especulacion puesla partcula de Higgs nunca se ha visto y el potencial de Higgs es completamentedesconocido, (A.6)essolounapropuesta [25]. ConestoesposiblehacerqueladensidadlagrangianadelMEestecompleta;setienentodaslasinteraccionesdel ME, el fotonsemantienesinmasa, losfermionesytresbosonesdenormaadquierenmasa.2.1.4. ModeloEstandarcontresfamiliasParaobtenerlalagrangianadelMEsetrabajaraconseisdobletesdequira-lidadizquierdaL,trescorrspondientesalosleptonesL1 ___eLeL___, L2 ___LL___, L3 ___LL___, (2.19)ytrescorrespondientesalosquarksQ1 ___uLdL___, Q2 ___cLsL___, Q3 ___tLbL___, (2.20)yconloscorrespondientessingletesdequiralidadderechaRle eR, l R, l R,le eR, l R, l R,u1 uR, u2 cR, u3 tR,d1 dR, d2 sR, d3 bR.CAPITULO2. MODELOESTANDAR 15La generalizacion de la lagrangiana de Yukawa consta de dos partes, una lagran-gianaparalosquarksLqY uk=

ij_YDij(Qi)dj + YDijdj(Qi)_

ij_YUij (Qi)uj + YUijuj(Qi)_,(2.21)donde i, j= 1, 2, 3 por lo que Yqijson los nueve elementos de una matriz complejade3;yotraparalosleptonesLlY uk=

i_Yei(Li)l + Yei l(Qi)_

i_Yi(Li)l + Yi l(Li)_,(2.22)donde = e, , y = e, , y los acoplos de Yukawa son matrices complejasyarbitrarias;entonces,lalagrangianadeYukawaesLY uk= LqY uk +LlY uk. (2.23)Lalagrangianadinamicadelosfermiones (2.5)paraelMEesLdin= i

1,2,3_LiDLi +QiDQi +diDdi + uiDui_+i

lDl + i

lDl. (2.24)La densidad lagrangiana de ME para tres generaciones es la suma de (2.24),(2.2), (2.15)y (2.23)LME= Ldin +Lb +L +LY uk. (2.25)Enel MEnohayformadepredeciral valordelosacoplosdenormag1yg2,tampoco de las masas de los fermiones, la forma de los acoplos de Yukawa no espredichaporel modeloestandar, ni del bosondeHiggsni del acoplocuartico.CAPITULO2. MODELOESTANDAR 16Todos estos datos tienequeobtenersedel experimentoyconellos ajustar elmodeloparaquehagaunareproducciondelarealidadlomasprecisaposible.Hastaahorasetrabajoconlalagrangianainavariantedenorma, lasmatricesdemasadelosfermionesnorepresentanlasmasasfsicas,paraquerepresentenlasmasasfsicassedebpasaralabasesdondelasmatricessondiagonalesyloseigenvaloressonlasmasasdelosfermiones.Unodelosfenomenosquedebereproducir la densidad lagrangiana (2.25) es la violacion de CP. En la siguienteseccionsepresentanlasreglasdetransformaciondeloscamposysepruebalasimetradelaspartesde (2.25)antedichastransformaciones.2.2. ViolaciondeCPLas leyes de conservacion en fsica son debidas a la invariancia de los sistemasbajotransformacionesdesimetra. Lainvarianciaantelaparidadsignicaqueladerechaylaizquierdanopuedenserdenidasenunaesenciaabsoluta. Laleydeinvarianciadelaconjugaciondecargasignicaquelosexperimentosenunmundodeantimateriadaranresulatadosequivalentesqueloshechosenestemundo.Enfsicaclasica, laparidadnoesafectadaporlacoordenadatemporal, esdecir, conmuta con los desplazamientos temporales t t+t. Siguiendo el prin-cipio de correspondencia, para pasar de mecanica clasica a mecanica cuantica, serequierelarepresentacionmecanicocuanticadel operador Tydelatraslaciontemporal, atravesdel operadoreiHt, parareproducirestacaracterstica. Eloperador Tdebe conmutar con el operador H, ya que en la teora cuantica ellosCAPITULO2. MODELOESTANDAR 17conmutan, lo que signica que la paridad es una buena simetra en la naturaleza.La paridad no es un simetra en las interacciones debiles; los experimentos de losdecaimientosnucleares,ydemostraronlaviolaciondePeinvarianciadeCbajolasinteraccionesdebiles, porloquenosedebesatisfacerel requeri-miento de ser una buena simetra. Una conclusion equivalente se obtiene para eloperador (. Entonces, los operadores (y Tno son los mismos a los denidos enmecanicacuantica, porloqueparadenirlasreglasdetransformaciondeCPseutilizalapartedelalagrangianaquedeberespetarlasimetra. SuponiendoqueelelectromagnetismoesinvarianteantetransformacionesCyP,comosu-gierenlosexperimentos,esposibledenirlasreglasdetransformacionapartirdelalagrangianadelaelectrodinamicayextenderlasalrestodelalagrangianaelectrodebil.Paraquelalagrangianadel MEseaconsistenteconlosexperimentosdebeteneralmenosunterminoqueviolelasimetradiscretaCP.Tomandoloante-riorencuentalalagrangianacompletapuedeserescritacomolasumadedosterminosL = LCP+LRdonde LCPes la parte en la que se conserva CPy LRla parte que viola CP. Lamanera de incluir la violacion de CPes en la matriz de mezcla, la cual no puedeobtenersedelateora, sinodelosdatosexperimentales. Lamatrizdemezclajuegaunpapelimportanteenelpresentetrabajo,eslafuentedelamayoradelosdatosqueseusancomocriteriodelaconsistenciadelosmodelosteoricosestudiados. Los modelos teoricos debenajustar los modulos delos elementosde lamatriz de mezcla, los angulos internos de los triangulos unitarios yelCAPITULO2. MODELOESTANDAR 18invariantedeJarlskog.EnestaseccionsehabladelaviolaciondeCP, nosededucenlas reglasdetransformacion,perosetransformaalalagrangianadelMEutilizandoestasreglas.2.2.1. TransformacionesdeCPenlalagrangianadelMELas reglas de transformacion de CP, de los campos en la lagrangiana del ME,sondenidasporlapartedelalagrangianaqueconservaCP,yestandadasenelcuadro1.Enel presentetrabajosoloseconsiderael sector hadronico(los quarks);el sector leptonicopuedeser tratadoenmanerasimilar, si los neutrinos sonpartculas de Dirac. Para mostrar que partes de la lagrangiana respetan CP(soninvariantesantelaaccionconjuntadelosoperadores (y T)yquecondicionesse deben cumplir para que exista violacion de CP, se trabaja con la lagrangianadespues del rompimiento espontaneo de simetra, con campos de norma y quarksmasivos, y al diagonalizar la matriz de masa, con los campos de los quarks fsicos,yaquehaypartesdelalagrangianaquenorespetanlasimetracuandonosetrabajaconloscamposfsicosysesrespetadaporloscamposfsicos [14].Primerosetrabajaconlosterminosquenocontienenaloscamposdelosfermiones. Tomando en cuenta que una lagrangiana pura de norma es invarianteante las transformaciones de CP [15], se muestra que el termino cinetico de losbosonesdenormaesinvariantedeCP.Aplicandolasreglasdetransformaciondelcuadro1alasecuaciones (2.3)y (2.4)B= B BCAPITULO2. MODELOESTANDAR 19Tabla 2.1: Transformaciones discretas de campos y lo campos bilineales de Dirac.Campo P T C CP CPTBBW1W1W1W1W2W2W2W2W3W3W3W3W+eiwWWeiwW+AAZZh h5 555 5 5 5 555 5 5Wi= Wi Wi + gjkiWjWkyobservandoqueladerivadaparcial setransformabajolaacci onde (Tdelaforma,seobtienenlastransformacionesdeloscamposdefuerzasBCPB(2.26)y_W1, W2, W3_CP_W1, W2, W3_. (2.27)CAPITULO2. MODELOESTANDAR 20Aplicando (2.26)y (2.27)alaecuacion (2.2)sedemuestraquelalagrangianacineticadelosbosonesesinvarianteantelaaccionde (TLbCPLb. (2.28)Demaneraequivalenteparael sectordel Higgsseobservaque, despuesdelrompimientodesimetra, el potencial deHiggs (A.6)esinvarianteanteCP.Aplicandolasreglasdetransformaciondel cuadro1al restodelalagrangianadelHiggs (A.7)semuestralainvarianciadelalagrangianacompletadelHiggsLCPL. (2.29)Losterminosquenoincluyenloscamposdelosfermionessoninvariantesantetransformaciones de CP, el resto de los terminos de la lagrangiana del ME(2.25)involucranloscamposfsicosdelosfermiones(enparticularenestetrabajoseestudiaraloscamposdelosquarks). Porloanterior, laviolaciondeCPsolopuedesurgirdeaquellosterminosenlosqueestanpresentesloscamposfsicosdelosquarks.Utilizando (2.16) y (2.18) en (2.21) seobtienelalagrangianademasadelosquarks, quesonlosterminosdelalagrangianadeYukawadespuesdelrompimiento espontaneo de simetra que son proporcionales a v, y tiene la formaLqmasa=

ij_mUij uiuj + mUij ujui

ij_mDijdidj + mDijdjdi, (2.30)endondelasuisonlossingletesderechosdelosquarksylosuisonloscompo-nentesdelosdobletesizquierdos;lasmatricesdemasaestandenidaspormDij= vYDij.CAPITULO2. MODELOESTANDAR 21Aunnose estatrabajandoconlos campos fsicos de los quarks. CuandoseintrodujolalagrangianadeYukawaseconsideroquedebacumplirconciertascondiciones de simetra (ser invariante de norma y respetar la simetra del grupoSU(2)LU(1)Y), los acoplos de Yukawa, YU,D, mas generales que cumplen conesas condiciones de simetra son matrices complejas. Para que los campos de losquarks uirepresenten campos fsicos, las matrices de masa deben ser diagonalesy los valores de la diagonal ser las masas de los quarks, que se obtiene de los datosexperimentales, recordando que en el ME no hay forma de predecir las masas delosfermiones.Comocualquiermatrizcuadrada,sinimportarsieshermitianaono, puede ser diagonalizada mediante dos matrices unitarias, la matriz diagonalcuyosvaloressonlasmasasdelosquarksesdelasiguientemaneraUuLmUUuR diag(mu, mc, mt) (2.31)UdLmDUdR diag(md, ms, mb). (2.32)Tal transformacion es equivalente a cambiar los campos de los quarks de la basede los eigenestados del sabor a la de los eigenestados de las masas, introduciendoacoplos no diagonales en la lagrangiana de las corrientes cargadas, en la cual sololaspartesizquierdasestaninvolucradas.Sustituyendo (2.31)y (2.32)en (2.30)seobtiene uimUuj= umu = uULULmURURu = ufisdiag(mu, mc, mt)ufis, (2.33)de donde los ufisi, los campos fsicos de los quarks tipo u con masa denida, sonexpresadosdelasiguientemaneraCAPITULO2. MODELOESTANDAR 22ufisL= UqL______uLcLtL______.LalagrangianademasadelosquarksfsicosesLqfmasa= [mu( ufisLufisR+ ufisRufisL)] [md(dfisLdfisR+dfisRdfisL)][ms( sfisLsfisR+ sfisRsfisL)] [mc( cfisLcfisR+ cfisRcfisL)] (2.34)[mb(bfisLbfisR+bfisRbfisL)] [mt(tfisLtfisR+ tfisRtfisL)],comodeaqu enadelantesetrabajaraconloscamposdelosquarksmasivosseomitirael superndicefisamenosqueseconsiderenecesarioparanocrearconfusion en la notacion. Para mostrar que la lagrangiana de masa de los quarksfsicos es invariante ante CPse utilizan las reglas de transformacion, mostradasenelcuadro1,enelprimerterminode (2.34),obteniendo[md(dLdR +dRdL)]CP[md(dRdL +dLdR)]el resto de la lagrangiana(2.34) se transforman de manera equivalente. Los otrosterminosdelalagrangianadeYukawasetrabajanigual, utilizandolaregladetransformaciondelcampodeHiggs,porloquesetieneLY ukCPLY uk. (2.35)Paralapartedinamicadelalagrangianasehaceunprocedimientoequiva-lente.PrimerosetrabajaconlosterminosdelascorrientesneutrasE i uLUuLDUuLuL= i uL_ + ig23W32+ ig1YB2_uLCAPITULO2. MODELOESTANDAR 23dondeuL,comoyasedijo,sonloscamposfsicosdelosquarksudequiralidadizquierda. En la ultima igualdad se utilizo la propiedad de las matrices unitarias,UuLUuL= 1.DividiendoentrespartesaE,expresandoexplcitamantelamatrizabsorbidaporlanotaciondelaquiralidadyaplicandolastransformacionesdeCPsetieneE1 i u(1 5)uCP(i)_( uu) ( u5u)E2 ug2W32(1 5)uCP ug2_ W32_(1 5)uendonde hace faltaunterminoigual paralos quarks tipodperoconsignocontrarioparaE2,causadoporlaterceramatrizdePauli,3,yE3 ug1_23_B2(1 5)uCP ug1_B3_(1 5)u,conloquesemuestralainvarianciadelosterminosdelascorrientesneutrasantetransformacionesdeCP.El ultimoterminodelquepuedesurgirlaviolacionde CPeslapartedelascorrientescargadasdelalagrangianadinamica (2.24).Lascorrientescargadassonlas unicas que restanpor demostrar suinvariancia. Comolas corrientescargadassoloinvolucranquarksparteizquierda,lasmatricesdeloscamposdelos quarks fsicos parte derecha, UdR y UdR, no aparecen en las corrientes cargadas.Elterminoquefaltatransformaresdelascorrientescargadas,quecorrespondealas dos primeras componentes del segundotermino, el delos quarks, delaecuacion (2.24)Xc [ W1 i W2] uLUuLUdLdL + [ W1+ i W2]dLUdLUuLuL,CAPITULO2. MODELOESTANDAR 24endondelamultiplicaciondelasmatricesUuLUdLnonecesariamenteeslaiden-tidad.AplicandolastransformacionesdeCPaXcseobtieneXc= [ W1 i W2] uVj(1 5)dj + [ W1+ i W2]djV j(1 5)uCP[ W1+ i W2](djVj(1 5)u) + [ W1i W2]( uV j(1 5)dj).As, paraqueseconserveCP lamatrizVckm=UuLUdLdebedeser real. La unicamaneraparaque el MEseaconsistente conlos datos experimentales,relacionados a la violacion de la simetra discreta CP, es que la matriz Vckmseacompleja, ya que solo el termino de la lagrangiana del ME que puede no respetarlasimetraCPeseldelascorrientescargadas.Nohaymaneraquelaviolacionde CPvenga de alg un otro termino, como ya se vio en (2.28), (2.29) y (2.35).EnelsiguientecaptulosepresentanlaspropiedadesdelamatrizVckmylautilizaciondelostriangulosunitariosyelinvariantedeJarlskogparaelestudiodelfenomenodelaviolaciondeCP.Captulo3Fenomenologa3.1. TexturasUnateoramasfundamentalqueelmodeloestandardebera permitirdeter-minar Muy Mdde una manera unica. Como las matrices de masa de los quarkssonde importanciafundamental es deseable obtener suestructura sinhacersu-posiciones.Elprimerpasoes determinarlasmatricesde masaapartirdedatosexperimentales. Evidentementeel pasoanteriorcuandomuchopuedeserpar-cialmenteexitoso, porqueel conocimientodeloseigenvaloresylosparametrosde mezcla no es suciente para este proposito. Un entendimiento profundo de lamezcla del sabor de los quarks y el fenomeno de la violacion de CP, es deseablepara estudiar las propiedades de las matrices de masa de los quarks Mu,d, cuyastexturassontotalmentedesconocidasdentrodelME.Sin embargo, es posible hacer algunos progresos notando que las matrices demasapuedensersupuestashermitianas, sinperdergeneralidad, paraaquellasteoras en las que no haya cambio de sabor en las corrientes de las parte derechas25CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 26de los campos, como el modelo estandar. Como las partes derechas de los campossonsingletes deSU(2), siemprees posibleescoger unabaseadecuadadelosquarksparte derecha,queresulteenmatricesdemasahermitianas.Unamatrizdemasahermitianageneral,Mq(conq= uod)puedeserescritacomoMq=______EqAqFqAqDqBqFqBqCq______,dondeloselementosdeladiagonal sonrealesyloselementofueradeellasoncomplejos.Enlamayoradelosintentospor entender losmodelosobservadosdelasmasas ymezcladelos fermiones, seproponelaexistenciadeunafamiliadesimetraabelianaonoabeliana, dejandounaestructuraespecial del saborenlas matrices de Yukawa, que involucra texturas con ceros. En la b usqueda de lastexturas de los ceros permitidos, se puede tomar la descripcion bottom-up, dondeseusanlosdatosexperimentalesdelasmasasymezcladelosfermionesparaderivaraquellastexturasdeYukawaquesonpermitidasporlosexperimentos.LatexturacondoscerosdeFritzschparalamatrizhermitianademasadelosquarksesF2 =______0 A 0AD B0 BC______, (3.1)comoel elementoV1,3esel conjugadodeV3,1ellossecuentancomouncero, yCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 27sepuedeobtenerlatexturacontrescerosdeFritzschsisetomaaD = 0F3 =______0 A 0A0 B0 BC______, (3.2)dondeAyBsonelementoscomplejosyCesunelementorealdelamatrizdemasas. ParaobtenerlatexturadeseiscerosdeFritzschsetomanmatricesdemasa, tantoenel sectorucomoenel d, delaformadelamatriz (3.2). Lastexturas de cinco ceros se obtienen tomando el sector u con la forma de (3.2) o(3.1)yalsectordconlaformadelamatriznoescogidaparaelsector u,porlotantohaydostexturasdeFritzschdecincoceros.No existe ninguna justicacion teorica para las matrices de masa propuestasporFritzsch, porlotanto, sevuelveesencial, desdeel puntodevistafenome-nologico,considerarmatricesdemasadelosquarksdiferentesalaspropuestaspor Fritzsch[2]. Las matrices diferentes a las de Fritzsch tienen los ceros en otroselementosdelamatrizdemasa. Ramond,RobertyRoss(RRR) [4]propusie-ronmatricessimetricasohermitianasparabuscarestructurasenlosacoplosdeYukawadelosquarksqueestuvieranenacuerdoconlosdatosexperimentales.Ensuinvestigacionellostrabajaroncontexturasdecincoyseiscerosyencon-traron cinco texturas de cinco ceros que eran consistentes con los experimentos,estassemuestranenlatabla3.1.3.1.1. Maximal enel invariantedeJarlskogAunquehaymuchasversionesdiferentesdelahipotesisdel maximal enlaviolaciondeCP, laversionconvencional demandaquelanaturalezatomeunCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 28Tabla3.1: Matricesde masahermitianasdelosquarksconconsistenciafeno-menologicaseg unRamond,RobertyRoss [4].RRR I II III IV VMu0BBBB@0 A 0A D 00 0 C1CCCCA0BBBB@0 A 0A 0 B0 B C1CCCCA0BBBB@0 0 F0 D 0F 0 C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 0 F0 D BF B C1CCCCAMd0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D 00 0 C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D 00 0 C1CCCCAvalorenlafasedelaviolaciondeCPtalqueelinvariantedeJarlskog,J,tomesuvalormaximo [10].Comoenel modeloestandar solohayunafuentedelaviolaciondeCP,queeslafasedeviolaciondeCP, enconsecuencia, todoslosobservablesdelaviolaciondeCPestanfuertementecorrelacionados. Desdeel puntodevistadelateorafundamental delos quarks estasituacionnoes satisfactoriayesdeinteresverel origenteoricodelafasedelamatrizdemezcla. Enel a no2001sehizountrabajo [5] conel propositodemostrarqueel maximal enelinvariantedeJarlskog, J, yel maximal enlafasedelaviolaciondeCPsonfenomenologicamentepermitidos.ElinvariantedeJarlskog,J,estarelacionadoalaviolaciondeCPyesfunciondelafasesdeviolacion, . Esbienconocidoque el invariante de Jarlskog Jse obtiene de las matrices de masa de los quarksMq. A partir de imponer la condicion de maximal al invariante de Jarlskog y a laCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 29fasedelaviolaciondeCPseobtienequelasmatricesdeRamondquecumplencondichascondicionessonlosmodelosI,III,IVyV [5].Normalmentesedicequecualquieradelasconvencionesdefasedelama-trizdeCabibbo-Kobayashis-Maskawa(Vckm) sonequivalentes entres, por lainvarianciaanterefasamiento. Estoesverdadparatodaslascantidadesobser-vables. Sinembargo, lasmatricesdemasadelosquarks(Mu, Md)nosonin-variantesderefasamiento, aunqueestassoninvariantesantecambiosdebase:Mu Mu=AMuBu,Md Md=AMdBd.Aveceslainvarianciaderefasa-mientoseconfundeconlainvarianciadecambiodebases.Elpar ametrodelaviolacion de CPen la mariz Vckm no es observable, y depende de la convencion defase. Las cantidades observables relacionadas a la violacion de CPson los angulos(1, 2, 3)=(, , )enlostriangulosunitarios. Cuandosetomaunaconven-ciondefases,elparametrosevuelveobservable.Lasprediccionesbasadasenla hipotesis de maxima violacion de CPpueden ser obtenidas exitosamente solocuandoseadoptanlasconvencionesdefaseoriginal,deKobayashi-Maskawa,yladeFritzsch-Xing [9].Porejemplo,considerandounamatrizdemezcla,Vckm,dadacomoV= V (i, j) RTiPjRjRk(i ,= j ,= k), (3.3)dondelasRisondenidasporR1() =______1 0 00 c s0 s c______, R2() =______c 0 s0 1 0s 0 c______, R3() =______c s 0s c 00 0 1______,cons=sen yc=cos , ylasPiestandadasporP1=diag(ei, 1, 1), P2=diag(1, ei, 1) yP3=diag(1, 1, ei), es posible obtener laconvencionde faseCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 30original,laconvenciondeKobayashi-Maskawa,apartirdeV (1, 1)Vkm= RT1 (2)P3(km + )R3(1)R1(3)=______c1s1c3s1s3s1c2c1c2c3s2s3eikmc1c2s3 + s2c3eikms1s2c1s2c3 + c2s3eikmc1s2s3c2c3eikm______, (3.4)entonces,lacantidadinvarianteJestadadaporJ= c1s21c2s2c3s3 sen km, (3.5)esdecirJ= [V11[[V12[[V13[[V21[[V31[1 [V11[2sen km, (3.6)ysenecesita,paraobtenerunmaximal,quekm=2.3.2. DatosexperimentalesLa unicamaneraparaqueelMEseaconsistenteconlosdatosexperimenta-les, relacionados a la violacion de la simetra discreta CP, es que la matriz Vckmseacompleja, yaqueel unicoterminodelalagrangianadel MEquepuedenorespetarlasimetraCPesel delascorrientescargadas. LafenomenologadelasinteraccioneselectrodebilesaseguraquelamatrizVckmescomplejayunita-ria. Vckmpuedeserparametrizadapornueveparametros(oengeneral porn2gparametros, dondengesel n umerodefamilias). Perosesabedelamecanicacuanticaquelafasedeunafunciondeondanoesunacantidadmedible; porestemotivo,sedebeexaminarcualesfasessonmediblesycualesnotienensen-tidofsicoenlamatrizdemezcla, Vckm. EsposibleabsorberocambiarcincoCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 31parametros (2ng 1) apartir delas fases delos quarks, ademas puedenserparametrizados tres angulos de rotacion (12ng(ng1)), los angulos de Euler. As,el resto de los parametros de la matriz Vckm, a los que se les llaman fases, es uno(nfase=12(ng2)(ng1)) y es esta fase la que proporciona la violacion de CPenel modeloestandar. EstonosignicaquelaviolaciondeCPesentendida;solamente se ha encontrado una forma economica y fenomenologicamente exito-sadeagregarlaviolaciondeCPenelmodeloestandar [20].Paradosfamiliasno es posible obtener violacion de CPcon la descripcion que se acaba de hacer,peroexistenotrosmodelosconimplicacionesdelascualeslaviolaciondeCPpuede ser obtenida, por ejemplo, extendiendo el sector del Higgs la violaciondeCPesasociadaalrompimientoespontaneodesimetra [18].Las cantidades con signicado fsico deben ser invariantes bajo un cambio defase de los campos de los quarks; solo funciones de Vckm que sean invariantes anterefasamientopuedensermedibles.Losinvariantesmassimplessonlosmodulosdeloselementosdematriz,denotadosporUi [Vi[2.Experimentalmente, las funciones invariantes ante cambio de fase de la matrizVckmpara las cuales se tiene acceso mas directo, tambien son los m odulos de suselementosdematriz.Losvaloresexperimentalesactuales (??)sepresentanenlatabla 3.2. Se observaque el valor central de [Vcs[ es mayor a1, por lotanto, podraviolalaunitariedaddelamatrizdemezcla. Loselementosdelamatriz de mezcla pueden determinarse de mejor manera si ademas se utilizan lasrestricciones impuestas por el ME. Las restricciones impuestas por la unitariedadparatres generaciones reduceel intervalopermitidoparalos elementos delaCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 32Tabla3.2:Valoresexperimentalesdelosmodulosdelamatrizdemezcla.|Vckm| Exp|Vud| 0.97425 0.00022|Vus| 0.2252 0.0009|Vcd| 0.230 0.011|Vcs| 1.023 0.036|Vub| (3.89 0.44) 103|Vcb| (40.6 1.3) 103|Vtd| (8.4 0.6) 103|Vts| (38.7 2.1) 103|Vtb| 0.88 0.07matrizdemezclaysonlossiguientes [19][Vckm[ =______0.97428 0.00015 0.2253 0.0007 0.00347+0.000160.000120.2252 0.0007 0.97345+0.000150.000160.0410+0.00110.00070.00862+0.000260.000200.0403+0.00110.00070.999152+0.0000300.000045______. (3.7)Lossiguientesinvariantes,enordendesimplicidad,sonloscuartetos,Qij ViVjV jV i,donde se pide que ,= y i ,= j, para que el cuarteto no se reduzca al productode dos modulos al cuadrado. En general, la violacion de CPexiste si cualquieradelasfuncionesdeVckminvariantesanterefasamientonoesreal [16].Comolamatrizdemezcladelosquarks,Vckm,esunitariaVckmV ckm= V ckmVckm= 1sepuedenobtenerseisrelacionesdeortogonalidad, tresrelacionesdeparesdeCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 33renglonesdiferentesytresdeparesdediferentescolumnas,V ckmVckm=______V udV cdV tdV usV csV tsV ubV cbV tb____________VudVusVubVcdVcsVcbVtdVtsVtb______=______1 0 00 1 00 0 1______,porejemplo,delprimerrenglonylasegundacolumnaseobtieneVudV cd + VusV cs + VubV cb= 0. (3.8)Multiplicandoalaecuacion (3.8)porV usVcs,V usVcsVudV cd + V usVcsVusV cs + V usVcsVubV cb= 0ytomandolaparteimaginaria,seobtieneImQudcs= ImQubcs,se concluye que los cuartetos Qudcsy Qubcstienen partes imaginarias simetricas.Demaneraequivalente, conel restodelosparesderenglonesdiferentesylospares de columnas diferentes, se concluye que la parte imaginaria de los cuartetosa lo mas diere por un signo. De esta manera se dene el invariante de JarlskogJ ImQuscb= Im(VusVcbV ubV cs), (3.9)sabiendo que la parte imaginaria de todos los cuartetos es igual a J, o con signodistinto.ElvalorexperimentalparaelinvariantedeJarlskoges (??)J= (2.91+0.190.11) 105.La relacion de ortogonalidad (3.8) puede ser interpretada como un trianguloenelplanocomplejo.Sinembargoeltriangulounitarioque seusacom unmentesurgedelaecuacionVudV ub + VcdV cb + VtdV tb= 0, (3.10)CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 34Figura3.1:Triangilounitarioenelplanocomplejo [19].ver gura3.1. Los 6triangulos, unopor cadarelaciondeortogonalidad, sonrotados cuandolamatrizdemezcladelos quarks, Vckm, sufreuncambiodefase.Sinembargo,laformadelostriangulospermanecesincambios,yaquelosangulos internos y las longitudes de los lados son invariantes ante el refasamiento.Sisedivide (3.10)entreVcdV cbseobtieneVudV ubVcdV cb+ 1 +VtdV tbVcdV cb= 0,endondelosangulosinternosdel trianguloqueseformaest andenidoscomoelargumentoden umeroscomplejos,dadosdelasiguientemanera arg_VtdV tbVudV ub_(3.11) arg_VcdV cbVtdV tb_(3.12) arg_VudV ubVcdV cb_. (3.13)CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 35Unavezdenidos los triangulos, al invariantedeJarlskogselepuededar lainterpretaciongeometricadeldobledelareadelostri angulosA = [ImQudcb[2= [J[2.As, aunque los triangulos tienen diferentes formas, el area de ellos es la misma,|J|2. ComoloscuartetossonlasfuncionesmassimplesdeVckmquepuedensernoreales, si JesdiferentedecerolaviolaciondeCPexiste, si esceronohayviolacionylostriangulossecolapsanaunalneaysuareaescero.3.2.1. Transformaciones de base debil, el trabajo de Bran-coyEmmanuel-CostaBrancoyEmmanuel-Costademostraronquesiempreesposiblehacerunatransformaciondebasedebil tal quelasmatricesdemasadelosquarksseanhermitianasyambas presententexturasde ceros enelelemento(1, 1),teniendolaformaMu=______0 ______, Md=______0 ______. (3.14)Apartirde (3.14)intentaronllegaratexturasdecuatroceros. Sumotivacionradicaba en el problema mostrado por las texturas de mas ceros en la reproduc-cion de datos fenomenologicos. La conclusion a la que llegaron fue que en generalnoesposibleobtenertexturasdecuatrocerosapartirdetransformacionesdebase debil, solo unas cuantas son accesibles. Entre las texturas accesibles estabaaquellaenlaqueambasmatricesdemasatenancerosen(1, 1)y(1, 3), delaformadelasmatricescondoscerosdeFritzsch (3.1) [3].CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 36Entrabajos posteriores Brancoycolaboradores investigaronladicultadquepresentabanalgunastexturasalintentardeterminardemaneraprecisalosangulos arg(VcdVcbVtdVtb)y arg(VudVubVcdVcb)invariantesanterefasamiento [8].Una manera de resolver dicha discrepancia con los datos del angulo es proponerfases nofactorizables, enal menos unamatriz de masa. Paraellos larazonerafacil deentender, lacontribuciondetal fasepermitaalcanzarlosvaloresdel sen 2demasiadosgrandesparalagranmayoradelastexturas. Adem as,encontraron la condicion necesaria para la existencia de fases no factorizables: lastexturas no deben presentar ceros en elementos que no sean de la diagonal. Conestacondicion,ningunatexturadeFritzscholascincopropuestasporRamondpuedenpresentarfasesnofactorizables.Siguiendo con la misma tonica, investigaron como los trabajos que proponannueva fsica afectaban a los datos que se utilizan como criterio en la aceptacion dealguna textura, en particular, otra vez, los angulos y . Su trabajo se baso entexturasenlasquenopudieranhaberfasesnofactorizables. Clasicaronalastexturasdependiendodelanguloenelquepresentabanproblemasalahoradereproducirlo. Enel estudiodel impactodenuevafsica(NF)enlaspruebasdelastexturasdeYukawa, setienenqueespecicarcualessonlasuposicionesdelanaturalezadelaNF.EnlamayoradelosescenariosdeNFconsideradosenla literatura, usualmente se asume que la NF no contribuye signicativamente aniveldearbolenlosdecaimientosdestrangeymesonesB.EstoimplicaquelaNF no afecta los resultados de [Vsu[, [Vcb[, [Vub[ y en los datos experimentales.Utilizandoestoscuatrodatos, sepuedereconstruirlamatrizdemezclaVckmylos triangulos unitarios. Sin embargo, se puede proponer que hay contribucionesCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 37apreciables por parte de la NF a las mezclas de B0dB0dy B0sB0s, as los datosexperimentales de Vtd, Vts y son afectados. A la conclusion que se llega en dichainvestigacion es que si una textura particular predice un valor de o de [Vtd[ endesacuerdoconlosdatosexperimentales,sepuedejusticarporlapresenciadenueva fsica en la mezcla B0dB0d. Sin embargo, no se pueden justicar texturasquenodenresultadoscorrectospara|Vub||Vcb|opara.EstoesimportanteporquelamayoradelastexturasdeYukawatienendicultadenobtenerestosdatos[7].En un trabajo mas reciente [6] se concluyo que no es posible obtener texturasdecuatrocerosapartirdetransformacionesdebasedebil.Partiendode (3.14)es posible agregar un cero extra al sector d sin modicar los ceros exactos de lastexturas. Observando que a un hay un excedente de parametros, se intenta obte-ner otro cero a partir de transformaciones de base debil, como ya se haba hechoa nos atras [3], pero tomando en cuenta los datos experimentales recientes. Conestos, hicieronunavariacionaleatoriadetodoslosposiblesvalorespermitidosde las masas de los quarks y los cuatro parametros de la matriz de mezcla Vckm.Entonces, encontraron que tal transformacion no es posible, as que la suposiciondecualquierceroadicional tieneimplicacionesfsicas. SepuedenderivartodoslosparesdeMuyMd(quinceparesentotal)quetienenunceroenlamismaposicionenladiagonal paraambossectoresyunceroadicional enel sectord.Tambiensepudieratenerunceroextraenel sectoruenlugardeel sectord,teniendountotal detreintaparesdetexturasdecerosdebasedebil [6]. Yaquenoexisteningunajusticacionparaimponerquelasmatricesdemasaseanhermitianas, tambien obtuvieron que el n umero maximo de ceros en las matricesCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 38demasanohermitianas,quepuedenserobtenidasapartirdetransformacionesde bases debil, son nueve. Fritzsch ya haba propuesto texturas de ceros a matri-cesdemasanohermitianasclasicandolasentrestipos:interacciondevecinoscercanos,matricestriangularymatricesdefase [1].3.3. MetodologaLas masas delos quarks sonlos eigenvalores delamatrizdemasadelosquarks, lascualessonintroducidasenel modeloestandarporel acoplodeloscamposdelosquarksconel campoescalar. Enel presentetrabajoseutilizantresdiferentescalculosdelosintervalosdelasmasasaescalaelectrodebilysonpresentadas en la tabla 3.3. Estos valores se utilizan para calcular la matriz Vckmteoricaqueseobtieneal diagonalizartexturasenlasmatricesdemasadelosquarksydebencompararselosdatosexperimentalesdelamezcladelosquarksylaviolaciondeCP.Tabla3.3:Intervalosdelasmasasdelosquarkspredichosaescalaelectrodebil,MZ,reportadosporXing(2008),Emmanuel-Costa(2009)yKoide(1997).Xing(MZ) Emmanuel-Costa(MZ) Koide(MZ)mu0.00127+0.000500.000420.0014+0.00060.00050.00233+0.000450.00042md0.0029+0.001250.001190.0028 0.0007 0.00469+0.00600.0066ms0.055+0.0150.0160.060+0.0150.0190.0934+0.01180.0130mc0.619 0.084 0.64+0.070.090.677+0.0560.061mb2.89 0.09 2.89+0.170.083 0.11mt171.1 3 170.1 2.3 181 13CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 39Laestructuradelamatrizdemezcla, Vckm, estarelacionadaconlamatrizdemasasdelosquarks.Enestetrabajoseconsideraquelamatrizdemasaeshermitiana,esposibleexpresarladelaformaMq= PqMqPq, (3.15)dondePqsonlasmatricesdefasediagonalPq=______eif1q0 00 eif2q00 0 eif3q______, (3.16)yMqsonmatricesrealessimetricas. LasmatricesMqsondiagonalizadaspormatricesortogonalesOqcomoOqMqOq= diag(mq1, mq2, mq3), (3.17)entonces,lamatrizdemezclaVckmestadadaporVckm= OTuPOd, (3.18)dondeP= PuPd.Los modelos puestos a prueba en este trabajo son la textura de cinco ceros deFritzsch, donde la matriz de masa del sector u presenta dos ceros [2] y el sectordtresceros [2],ydondeelsectordeselquepresentalatexturade2cerosdeFritszchyelsectoru3ceroslacualcoincideconlasegundatexturapropuestaporRamond.AdemasdelastexturaspropuestasporRamondycolaboradoresserevisanlosmodelosIyIV,yaquesonlosquecoincidenseg unelcriteriodesimplicidadynaturalidad [1]yquepuedenpresentarmaximalenelinvarianteCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 40de Jarlskog [5]. Las texturas de cuatro ceros que se estudian son las propuestaspor Fritzsch [13], en donde ambos sectores presentan matrices con dos ceros delaforma (3.1)ylapropuestaporBrancoyEmmanuel-Costadondeelsectoruesunamatrizrealyenelsectordescompleja,ambasconlaforma (3.1) [3].Paraobtener lamatrizdemezclasetienenquediagonalizar las matricesdemasa, unpasoesencial enel procesodediagonalizacionesconsideraralosinvariantes Tr(Mq), 2(Mq) ydet(Mq) los cuales relacionanlos elementos delas matrices demasaylos eigenvalores delas matrices demasam1, m2ym3, donde la eleccion del segundo eigenvalor negativo facilita la diagonalizacion.Porejemplo,paralamatrizde3cerosdeFritzsch (3.2)losinvariantesdanlassiguientesrelacionesCq= m1m2 + m3,A2qBq= m1m2m3yA2q + B2q= m1m2 + m2m3m1m3.Para la textura de la matriz de masa del sector u en el primer modelo de Ramond,losinvariantessonlossiguientesDq + Cq= m1m2 + m3,A2qCq= m1m2m3yA2q CqDq= m1m2 + m2m3m1m3.Las seis expresiones anteriores junto con las tres de los invariantes de la texturaCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 41de 2ceros de Fritzschsonutilizadas paraexpresar las matrices de masaenterminodesuseigenvalores,esdecir,lasmasasdelosquarksfsicos.Los procedimientos para evaluar a un modelo de texturas vistos en la litera-turafuerondedosdiferentesmanerasenlaelecciondelespaciodeparametros,unofueexhaustivo [2] el cual consisteenvariarlosparametrosdeentradaentodoelintervalopermitido.Elotroprocedimiento [6]consisteenunaeleccionaleatoriadelosvaloresdeentradaenlosintervalospermitidos.Elcriterioparadecirqueunparametrodesalidaseajustaesencontrarlodentrodel intervaloexperimentalreportadoenela no2008porPDG.Por lo anterior, evaluar un modelo de texturas se reduce a resolver un proble-madem ultiplerespuesta,dondelascaractersticasaoptimizar(losparametrosdesalida)sonlosmodulosdelamatrizdemezclaylosobservablesdelaviola-cion de CP, y los factores controlables (parametros de entrada) son las masas delosquarksenlosintervalospermitidos(vertabla 3.3),ladiagonaldelamatrizdefases 3.16ylosparametroslibresDq.Existenmetodosdeoptimizacionpararesolverproblemasdem ultiplesres-puestascomoel deb usquedaexhaustiva, metodograco, simplexdeNelderyMead,gradientereducidogeneralizadoyalgoritmosgeneticos.Escogerelmeto-dodeoptimizacionpodradeterminarsielproblemaseresuelverapidoolento,eincluso,sielproblemaseresuelveono [28].Se sabe que los algoritmos geneticos tienen ventajas sobre los metodos tradi-cionales de b usqueda directa y mediante gradientes, una de ellas es que proveenunabuenaexploracionyexplotaciondel espaciodeb usqueda, esdecir, seob-tieneunamuybuenasolucionaunquenosehayaexploradotodoel espaciodeCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 42b usqueda [29].Enestetrabajoseutilizaranalgoritmosgeneticoscomoherramientaenlab usquedadeconjuntosdeparametrosenlosintervalospermitidosqueajustenlos modulos de la matriz de mezcla y los observables de la violacion de CPa losdatosexperimentales,losmotivossonlosexpresadosenlosparrafosanteriores.3.4. AlgoritmosgeneticosLa construccion de computadoras mas rapidas y economicas durante las ulti-masdecadashapermitidoquetecnicasnovedosas,lascualesdemandanmuchodelas computadoras, sevuelvanunaalternativarealizable. Unadelas areasmasprometedorasparallevaracabounrapidocrecimientoeslacomputacionevolutiva,particularmentelosllamadosalgoritmosgeneticos(AG) [27].UnAGes unprocedimientocomputacional el cual intentacaracterizar loesencial deunsistemasimulandoparcialmenteel procesodeseleccionnatural,conlaintencionderesolverproblemasdeoptimizacion. Lacaracterizaciondeunsistemadependeengranmedidadel modeloadoptado. Muchodel artedelacomputacionevolutivaengeneralyenlosalgoritmosgeneticosenparticulardependedelahabilidaddereejar enel modelolanaturalezaverdaderadelsistema.LosAGseimplementancomounasimulacionporcomputadoraenlaqueunapoblacion, dondecadaindividuoesunconjuntodevaloresquerepresentaun candidato a solucion, evoluciona de tal manera que cada generacion contieneindividuos con mayor probabilidad de ser la mejor solucion. La evolucion sucedeCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 43porgeneracionesycom unmenteiniciaapartirdeunapoblaciondeindividuosgeneradosaleatoriamente.CadageneracionesunaiteraciondeAGyenellaseeval ualaaptituddecadaindividuo,seseleccionaunconjuntoysemodicaaplicandoleoperadoresgeneticosparaformarlapoblaciondelasiguientegeneracion.Sontreslosme-canismosbasicos(operadoresgeneticos)quenormalmentesonconsideradoselorigendelpoderdelosAG:laseleccion,lareproduccionylamutacion1.3.4.1. SeleccionEncadageneracionseseleccionaunaporciondelapoblacionexistentepa-raproducirlanuevageneracion. Laseleccionsebasaenlaaptitud, dondelassolucionesmasaptastienenmayorprobabilidaddeserseleccionadas.Lamayoradelosmetodosdeseleccionsonestocasticosdetal maneraqueunapeque napartedelas soluciones menos aptas tambiensonseleccionadas.Estoayudaamanteneraltadiversidadenlapoblacion,evitandoconvergenciasprematurashaciamaximosomnimoslocales [27].Laselecciontambienpuedeserdeterminista,esdecir,losdescendientessonseleccionados de algunaformaespecca. Enel presente trabajolaseleccionfuedeterministayelitista: sololosnindividuosmasaptos, conunvalorenlafuncion deseabilidad mayor y donde n es el tama no inicial de la poblacion, tienenlaoportunidaddereproducirse.1ParaexplicacionmasextensadeAGver [27].CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 443.4.2. ReproduccionPara ir de una generacion a otra hay dos estrategias basicas: que cada indivi-duo de origen a un nuevo individuo o de origen a mas de uno. En el primer casoel tama nodelapoblacionsemantieneconstante, mientrasqueenlasegundaopcioncrececoneltiempo.Unavezqueseobtuvoalapoblacioninicialsedecidiohacerparejasaleato-riamente de individuos con la intencion de reproducirlos. Cada pareja genera 20soluciones candidatas. Cada uno de los individuos esta formado por un conjuntode genes. Cada gen representa un parametro del modelo, por lo tanto el maximon umerodegenesqueseutlizanenestetrabajoson11: 6masasdelosquarks,dosposiblesparametrosenlasmatricesdemasa,dependiendodelatexturaes-tudiada y hasta tres fases en la matriz diagonal (3.16). Dos individuos pudieranser_mu1mc1mt1Du1md1ms1mb1Dd1f11f12f13_(3.19)y_mu2mc2mt2Du2md2ms2mb2Dd2f21f22f23_. (3.20)Lacombinaciondegenesenlareproduccionsedeterminademaneraaleatoria,porejemplounpapapudieraser (3.19)ylosgenesqueheredaal hijoserloselementosdevalor1enunvector,P,generadoaletoriamente,porejemploP= [10010110001]; (3.21)ylamamapudieraser (3.20)ysusgenesheredadosseranloscorrespondientesCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 45aloselementoconvalor1enunvectorMcomplementodePM= [01101001110], (3.22)entonces,unhijosera_mu1mc2mt2Du1md2ms1mb1Dd2f21f22f13_,y su cuate sera la combinacion de los genes de (3.20) a los que les correspondeun1enloselementosde (3.21)ylosgenesde (3.19)correspondientesaloselementosconvalor1en (3.22)_mu2mc1mt1Du2md1ms2mb2Dd1f11f12f23_.En las estrategias Vasconcelos y Nietzsche [27] la propuesta de progenitoresen la reproduccion es determinista. En el presente trabajo la seleccion es elitista:sololosnindividuosmasaptos, donden=1050esel tama nodelapoblacioninicial, tienen la posibilidad de reproducirse, pero las parejas de individuos pro-genitoressonhechasaleatoriamente,esdecir,laeleccionde (3.19)y (3.20)sehizosinimportarlaaptituddecadaindividuo.3.4.3. MutacionLos individuos de la nueva poblacionsonresultado de la recombinaciongenetica. Se espera que los nuevos individuos tengan una mejor aptitud, pero losgenesposiblesnocambian. Paramodicaresto, enel procesodereproduccionselespermiteunapeque naposibilidaddecometerunerror.Enelpresentetrabajoselespermitemutarhastaun0.05 %deltama nodelintervalopermitidoparacadaunadelasvariables.CAPITULO3. FENOMENOLOGIA 463.4.4. EvaluaciondelaaptitudComoloquesequiereencontrar sonlos genes quepuedanreproducir losdatosexperimentalesdelamatrizdemezclaylaviolaciondeCP, seusounafunciondedeseabilidadcompuestapor12funciones, unaporcadadatoexpe-rimental. Cadaunadelas12funcionessondel tipodeDerringer [29], estancompuestasportresrectas,unadependieneceroyvalor1paratododatoden-trodel errorexperimental, al queselereferiracomointervaloexperimental, ylas otras dos con pendientes iguales pero de signo contrario. El valor mnimo decada funcion individual es cero y corresponde al valor en el dominio mas alejadodelosvaloresextremosdelintervaloexperimentalyes1cuandoseestadentrodedichointervalo.Por ejemplo, el dominio para cada modulo de los nueve elementos de la matrizde mezcla es de cero a uno, 0 [Vij[ 1. Para los tres modulos de la diagonal elvalormasalejadodecualquieradelosdosextremosdelintervaloexperimentaleselcero,entonces,lafunciondeseabilidadesdi=____|Vii|V Iii_s0 [Vii[ V Iii_|Vii|V Iii+V Iii+V SiiV Iii_sV Sii [Vii[ 11 V Iii [Vii[ V Sii(3.23)dondeV Iiiesel valorinferiordel intervaloexperimental parael modulodelamatriz de mezcla, V Siies el valor superior del intervalo, [Vii[ es el valor obtenidodel modelo y s es el exponencial propuesto por Derringer con el objetivo de que ditome valores grandes solo cuando este cerca de entrar al intervalo experimental.Paralosmodulosdelamatrizdemezcla, enelpresentetrabajo, el exponentesseeligioconel valors=5. Parael invariantedeJarlskogylosangulosCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 4705010015020025030035040005010015020025030035040000.20.40.60.811.21.41.61.82Angulo Suma de las funciones desabilidad de los angulosAngulo F+FFigura3.2: Sumadelas funciones deseabilidadtipoDerringer delos angulosinternosdeltriangulounitarioydel triangulounitariolosdominiosson 1 J 1y0 angulo 360respectivamente y sus funciones deseabilidad (dJ, d y d) son de la misma formaalaecuacion 3.23, susrespectivassson15y10. Paralosotrosseismoduloselvalormasalejadodelosextremosdelosintervalosexperimentaleses1ylasfuncionesdeseabilidadtienenlaformadi=____|Vij|V Sij+1V SijV Iij1V Sij_s0 [Vij[ V Iij_|Vij|1V Sij+11V Sij_sV Sij [Vij[ 11 V Iij [Vij[ V Sij(3.24)La suma de las funciones deseabilidad para los dos angulos (dy d) calculadosporelAGsemuestraenlagura3.2.Para encontrar las matrices de masa de los quarks compatibles con los datosCAPITULO3. FENOMENOLOGIA 48experimentalesseutlizaAGparaoptimizarlafunciondeseabilidad,Fd,queeslasumadelasdocefuncionesindividualesFd=12

i=1di + dJ+ d + d,y tiene un valor maximo de 12, justo cuando los doce parametros que se intentanajustarestandentrodelintervaloexperimental.Captulo4ResultadosSe utilizo un conjunto de masas en los intervalos reportados por Koide [11],Xing [26] y Emmanuel-Costa [6] que pudieran ajustarse a los datos experimen-talesdelamezcladelosquarksylaviolaciondeCP.PrimerosehizoelajusteconmatricesdemasaquepresentaranenambossectoreslatexturadeFritzschcondoscerosdadaenlaecuacion (3.1), esteeselmodeloF4presentadoenlatabla4.1.Se utilizo un AG por 2160 generaciones para cada uno de los intervalos de ladadasenlatabla 3.3. Losresultadosobtenidosparalosmodulosdelamatrizdemezclaconel valormayordelafunciondeseabilidad, Fd, despuesdetodaslas generaciones son presentados en la tabla 4.2. En los primeros 10 renglones delatabla4.2sepresentanlosmodulosdelamatrizdemezclate oricosobtenidosparacadaunodelostresconjuntosdeintervalosdemasasyelcocientedelosdos primeros modulos del tercer renglon en la matriz Vckm. En la ultima columnase presentan los valores actuales para los modulos de la matriz de mezclas (3.7)yreportados en [19]. Enel ultimorenglondelatabla4.2seobservaqueel49CAPITULO4. RESULTADOS 50Tabla4.1:MatricesdemasahermitianasdelosquarkspuestasapruebaF4 F2F3 F3F2 F2R1 R1F2Mu0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A OA 0 B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D 00 0 C1CCCCAMd0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A 0 B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D 00 0 C1CCCCA0BBBB@0 A 0A D B0 B C1CCCCA unicoconjuntodeintervalosdemasaconlosqueseobtuvieronresultadosquepudieron ajustarse a los datos experimentales son los reportados por Koide [11],es decir, la funcion deseabilidad tomo su valor maximo, lo que signica que todoslosobservablesajustadosestandentrodelerrorexperimentalyaloscualeslescorrespondeuna2=0.35calculadadelamanerareportadaenPDG [19].Losparametrosqueseutilizaronparahacerel ajustesonlasseismasasdelosquarksycincoparametroslibres,deloscualestressonfases.Elajusteconlasmasas reportadas por Emmanuel-Costa tiene un valor de la funcion deseablidadmayor al obtenido con las masas reportadas por Xing y un valor de 2menor. Sinembargo, ambos ajustes son malos, ya que la funcion deseabilidad es menor a 12,y por lo tanto, no todos los observables pudieron ser ajustados simultaneamenteparaunmismoconjuntodeparametros.Enlatabla4.3semuestranlosvaloresajustadosparalosobservablesdelaviolaciondeCP, sololosdatosdelaprimeracolumnaestanenel intervalodeCAPITULO4. RESULTADOS 51Tabla4.2: Valoresteoricosobtenidosde [Vij[ utilizandolatexturasconcuatrocerosdeFritzsch(F4)paralasmatricesdemasapresentadasenlatabla 3.3ylosvaloresexperimentalesde [Vij[.[Vckm[teoKoide Emmanuel-Costa Xing [Vckm[exp[Vud[ 0.97426 0.97412 0.97414 0.97428 0.00015[Vus[ 0.22537 0.22599 0.22589 0.2253 0.0007[Vub[ 0.00343 0.00335 0.00187 0.00347+0.000160.00012[Vcd[ 0.22523 0.22588 0.22589 0.2252 0.0007[Vcs[ 0.97345 0.97343 0.97409 0.973450.000150.00016[Vcb[ 0.04082 0.03748 0.01090 0.0410+0.00110.0007[Vtd[ 0.00869 0.00813 0.00184 0.00862+0.000260.00020[Vts[ 0.04003 0.03674 0.01091 0.0403+0.00110.0007[Vtb[ 0.999160 0.999291 0.999939 0.999152+0.0000300.000045[Vtd[/[Vts[ 0.2171 0.2213 0.1685 0.21 0.0420.350 40.456 2752Fd12 11.938 11.381 12errorreportadoexperimentalmente.Enlaecuacion (3.18) delcaptuloanteriorsepresentalaformadelamatrizVckmteoricalacual esunitaria. Lasumadedosangulosinternosdelostriangulounitariosedeterminaelvalordeltercero.Losvalorespresentadosenlatabla4.3delosangulosyseobtuvieronapartirdelasecuaciones (3.11)y (3.13), el valordel angulodelacondiciondeunitariedad,conloqueseaseguralaexistenciadeltriangulounitarioyqueCAPITULO4. RESULTADOS 52la suma de los tres angulos deber ser 180. Por ultimon el valor teorico reportadoparaelinvariantedeJarlskogsecalculodelaecuacion (3.9).Tabla 4.3: Valores teoricos obtenidos de , , y Jpara las texturas con cuatrocerosdeFritzsch(F4)paralasmatricesdemasapresentadasenlatabla 3.3ylosvaloresexperimentales.Koide Emmanuel-Costa Xing exp 87.9 84.6 84.6 89.0+4.44.2 70.7 72.8 48.0 73+2225 21.3 22.6 47.4 21.1495+0.9050.8787J(105) 2.901 2.64 0.333 2.91+0.190.11Losparametrosdeentradaconlosqueseobtuvieronlosvaloresreportadosenlastablas4.2y4.3sepresentanenlatabla4.4.Losintervalosdelasmasassonlos presentados enlatabla 3.3ylos intervalos paralos parametros Dqsonescogidosdetal maneraqueloselementosdelamatrizsimetricaMqdelaecuacion (3.17) sean reales. Los valores de las fases en los ultimos tres renglonessonlibres ysinrelacionalguna, sus intervalos sonde 0 fi360. Enlatabla4.4,entertodaslassolucionesenlasqueseobtuvounvalordelafunciondeseabilidaddedoce,utilizandolasmasasdeKoide,sepresentaelconjuntoalque le corresponde un valor menor de 2. En las otras dos columnas se presentanlos conjuntos de valores para los parametros de entrada con los que se obtuvo elmayorvalordelafunciondeseabilidad.DadoqueconlasmasasdeKoidesepudieronajustarsimultaneamentelosCAPITULO4. RESULTADOS 53Tabla4.4: Valoresdelosparametrosconlosqueseobtienenlosresultadosdelosajustesn umericospresentadosenlastablas4.2y4.3.Koide Emmanuel-Costa Xingmu0.00274 0.00199 0.00176mc0.61606 0.55000 0.66717mt169.567 170.661 169.954Du159.783 164.387 106.365md0.00403 0.00210 0.00485ms0.10409 0.07499 0.10495mb2.97899 2.87811 2.80000Dd2.80023 2.76944 1.72287f175.60 135.71 10.79f274.97 135.74 104.53f375.77 136.73 104.73modulos de la matriz de mezcla y los parametros de la violacion de CPteoricosalosdatosexperimentalescuandolasmatricesdemasapresentantexturasdeFritzschcondoscerosenambossectores(F4), seusanestosintervalosdema-saparaintentarobtenerresultadosqueseajustenalosdatosexperimentalesutilizandotexturasdiferentes. Losmodelosqueseusaronparalasmatricesdemasa fueron las texturas de Fritzsch con cinco ceros (F2F3 y F3F2) y la texturadeFritzschconcuatroceros(F4), ylastexturasIyIVdeRamond, lascualessonpresentadasenlatabla4.1. LoscincoresultadosseobtuvieronutilizandoCAPITULO4. RESULTADOS 54algoritmosgeneticosdurante2160generaciones.Tabla 4.5: Valores teoricos obtenidos de [Vij[ utilizando las texturas presentadasenlatabla4.1paralasmatricesdemasadeKoidepresentadasen latabla 3.3.[Vckm[teoF4-90 F2F3 F3F2(II) F2R1(IV) R1F2(I) [Vckm[exp[Vud[ 0.97415 0.97415 0.97047 0.97263 0.96233 0.97428 0.00015[Vus[ 0.22591 0.22590 0.22460 0.22550 0.22460 0.2253 0.0007[Vub[ 0.00055 0.00026 0.08803 0.05601 0.15320 0.00347+0.000160.00012[Vcd[ 0.22590 0.22590 0.22569 0.22590 0.22773 0.2252 0.0007[Vcs[ 0.97409 0.97415 0.97418 0.97414 0.97366 0.973450.000150.00016[Vcb[ 0.01083 0.00151 0.00594 0.00375 0.01072 0.0410+0.00110.0007[Vtd[ 0.00244 0.00026 0.08521 0.05437 0.14849 0.00862+0.000260.00020[Vts[ 0.01056 0.00152 0.02291 0.01395 0.03915 0.0403+0.00110.0007[Vtb[ 0.999941 0.999999 0.996100 0.998423 0.988138 0.999152+0.0000300.000045[Vtd[/[Vts[ 0.2307 0.1685 3.7184 3.8969 3.7925 0.21 0.0422922.87 4579.7 374586 141387 1260082Fd11.662 11.567 10.046 10.310 9.583 12Seobservaenel ultimorenglondelatabla4.4queconningunatexturasepudo obtener resultados que se ajusten satisfactoriamente a los datos experimen-tales. En la primera columna se presentan los resulatados de imponer que la fasef1 sea de 90 grados y las otras dos fases tomen un valor de cero usando el modelode4cerosdeFritzschlafunciondeseabilidadnoalcanzosuvalormaximo,porestoelajusteesmalo.AlrestodelastexturasselespermitiocomoparametroCAPITULO4. RESULTADOS 55libre la matriz de fases y no ajustaron los datos experimentales, teniendo un me-jorresultadoaquellasdondelamatrizdemasadelsectorupresentalatexturadedoscerosdeFritzsch,ydeellaslatexturadecincocerosdeFritzsch(F2F3)ajustamejor(lafunciondeseabilidadesmayoryel valorde2menor)quelacuartatexturadeRamond(F2R1).Enlatabla4.6sepresentanlosvaloresdelosparametrosdelaviolaciondeCPcorrespondientes a las matrices de mezcla con las que se obtuvo la tabla 4.5yfueroncalculadosdelamismamaneraantesexplicada.Tabla 4.6: Valores teoricos ajustados de los observables , , y Jpara las cincotexturaspresentadasenlatabla4.1utlilizandolasmasasdeKoide.F4-90 F2F3 F3F2(II) F2R1(IV) R1F2(I) exp 84.6 84.6 0.82 0.87 0.91 89.0+4.44.2 82.7 48.0 64.9 76.7 73.1 73+2225 12.6 47.4 114.2 102.4 106.0 21.1495+0.9050.8787J(105) 0.006 10.38 30.73 4.478 34.446 2.91+0.190.11Losparametrosdeentradaconlosqueseobtuvieronlosvaloresreportadosenlastablas4.5y4.6sepresentanenlatabla4.7. Losvaloresdelasfasesenlos ultimos tres renglones delaprimeracolumna(F4-90) correspondenalasrestricciones impuestas al espacio de los parametros de entrada. El valor de ceroparaDdyDuenlasegunda(F2F3)ytercera(F3F2)columnarespectivamentecorresponden a las restricciones propias de ambos modelos de texturas. El valorde cero para Ddy Duen la tercera (F3F2) y cuarta (F2R1) columna respectiva-CAPITULO4. RESULTADOS 56mente corresponden a los valores encontrados por el AG1. En la ultima columnasepresentanlosintervalosdemasareportadosporKoide.Tabla4.7: Valoresdelosparametrosconlosqueseobtienenlosresultadosdelosajustesn umericospresentadosenlastablas4.5y4.6F4-90 F2F3 F3F2(II) F2R1(IV) R1F2(I) masadeKoidemu0.00188 0.00193 0.00275 0.00275 0.00275 0.00233+0.000450.00042mc0.73296 0.61834 0.73299 0.61600 0.61600 0.677+0.0560.61mt173.461 178.497 168.000 193.999 168.408 181 13Du109.954 5.315 0.0 0.00000 md0.00503 0.00528 0.00529 0.00529 0.00529 0.00469+0.00600.0066ms0.10519 0.10499 0.08040 0.08040 0.08040 0.0934+0.01180.0130mb2.89000 2.89000 3.10999 2.89000 3.11000 3 0.11Dd1.79936 0.0 0.00000 0.00000f190.0 269.94 1.47 205.87 98.2f20.0 0.001 62.69 268.73 162.5f30.0 0.076 62.93 0.00 0.00Como se sabe en la naturaleza solo hay una fase responsable de la violacion deCP, ademas los observables de la matriz de mezcla de los quarks son invariantesante el refasamiento de los quarks. En el ajuste numerico presentado en la tabla4.4seveclaramentequeenlostrescasosdosfasessonigualesentres, porlo1Lospar ametrosenlosqueaparece*nosonlibres, yest andeterminadosapartirdelasmasasdelosquarks.CAPITULO4. RESULTADOS 57que se puede absorber una fase en los campos de los quarks quedandose con unasola fase responsable de la violacion de CPen el modelo. Por esta razon se hizounajustenumericoconlasmasasdeKoidehaciendoqueunafaseseaigual acero, f2=0, ylasotrasdosfasesseanigualesentres, f1=f3, perovariandolibremente.ParaloanteriorseusolatexturaconcuatrocerosdeFritzsch(F4)ylasmatricesdemasaqueseobtienendeesteajustesonlassiguientes,Mu=______0 0.16877 00.16877 171.67256 44.347280 44.34728 10.80211______, (4.1)dondelamatrizdemasaparalosquarksuesreal ytodalaviolaciondeCPvienedelamatrizdemasacomplejadelsectordMd=______0 0.12462e0.80017i00.12462e0.80017i2.75342 0.72220e0.80017i0 0.72220e0.80017i0.08719______. (4.2)Con estas matrices de masa la funcon deseabilidad toma su valor maximo, Fd=12, por lotantotodos los observableseajustansimultaneamentealos datosexperimentales.Captulo5ConclusionesLas texturas de Fritzsch con 2 ceros en ambos sectores permiten un excelenteajuste(Fd= 12y2= 0.350)alosdatosexperimentales,utilizandolosvaloresde los intervalos de masas paralos quarks reportados por Koide. Los nuevemodulos de los elementos de la matriz de mezclas, los tres angulos del triangulounitarioyel invariantedeJarlskogobtenidosestandeacuerdoconlosvalorescentralesreportados [19].Lastexturasnopermitenhacerprediccionesparalamatrizdemezclasyaquesetienenmasdecuatroparametrosenlamatrizdemezclateorica.El ajuste numericosugiere que los tres pares de texturas de Robert [4]estudiadas en el presente trabajo (F3F2, F2R1 y R1F2) son reducidas de texturasconcincoceros atexturas conseis ceros, endondeel parametrolibreDqesajustadoenlaoptimizacionacero.Conel conjunto de masas de los quarks reportado porKoide, la textura concuatro ceros (F4) en las matrices de masa y las restricciones en el espacio de losparametrosdelasfasesnoseconsiguiounresultadooptimo,yaquelafuncion58CAPITULO5. CONCLUSIONES 59deseabilidadFd=11.662noes 12yla2=2922.9es muygrande. ParalatexturaF4nosepudoencontrarunresultadocompatibleconelmaximalenelinvariantedeJarlskog.Apartirdelosdatospresentadosenlatabla4.2seconcluyeque nosepudoajustar a los datos experimentales de la mezcla de los quarks y violacion de CPconlasmasasreportadasporXingyEmmanuel-CostautilizandotexturasdeFritzschcondoscerosenambossectores.ApartirdelasmasasdeKoidenosepudoobtenerquelamatrizdemezcla,los angulos del triangulo unitario y el invariante de Jarlskog ajustaran de manerasimultaneaconlosotroscuatroparesdetexturasdecincocerosestudiados.LaoptimizacionconAGnoes unmetodoexhaustivopor lotantonosepuedeasegurarquelosmodelosenlosquenosepudoobtenerelvalormaximode la funcion deseabilidad no sean compatibles con los datos experimentales. Esposible que si las funciones deseabilidad individuales sean iguales a la propuestapor Derringer, y en lugar de que la funcion deseabilidad sea la suma de las docefunciones individuales sea la media geometrica, se obtengan mejores resultados.Otra posible mejora es que la seleccion no sea elitista, ya que esta eleccion pudocrearcomulosgrandesdesolucionesoptimizandounmnimolocal.Unapropuestaparadarlecontinuidadaestetrabajoesagregarhipotesisdenuevafsicaalosmodelosconlosquenosepuedanobtenerresultadosqueseajustenalosdatosexperimentales,conlaintenciondeinvestigarsiconellassiesposible. Otrapropuestaestadirigidaalamejoradel metodo. Porejemplo,ademas de comparar laecienciadel AGactual contraaquel donde se apli-quen las propuestas del parrafo anterior, se podran obtener los intervalos en losCAPITULO5. CONCLUSIONES 60parametrosdeentradaparaloscualeslafunciondeseabilidadsea12.ApendiceAMecanismodeHiggsCuandoexisterompimientodesimetrael resultadoesuncampovectorialcon masa, junto con el campo escalar del Higgs que tambien tiene masa. Que ungenerador (dejeinvarianteelvacosignicaqueeiG)0= )0.Paraunatransformacioninnitesimalloanteriorseexpresacomo(1 + i())0= )0,asquelacondicionparaque (dejeinvarianteelvacoes()0= 0.Si los generadores de SU(2)LU(1)Yrompenlasimetralocal, los bosonesdenormacorrespondientesadquiriranmasa. Sebuscaquesolounodeellos, elfoton,permanezcasinmasa.Paralos generadores de SU(2)LU(1)Yse tienen61APENDICEA. MECANISMODEHIGGS 62lossiguientescalculos1)0=___0 11 0______0v___=___v0___,= 0, (A.1)2)0=___0 ii 0______0v___=___iv0___,= 0, (A.2)3)0=___1 00 1______0v___=___0v___,= 0, (A.3)Y )0= +1)0 ,= 0, (A.4)conloquesevequehayrompimientodesimetra. UtilizandolarelaciondeGell-Mann-Nishijima (2.11)seobservaqueQ)0=12_3 +Y2_)0= 0. (A.5)Los cuatro generadores rompen la simetra (A.1-A.4), pero la combinacion linealcorrespondientealacargaelectrica (2.11)dejainvarianteelvacio (A.5),aselfotonpermanecerasinmasa1En la lagrangiana de Higgs (2.15) la energa potencial V () tiene la formaV () =m22v2[() v2]2.Cuandosesustituyeelvalordelestadoexcitado (2.16)seobtieneelpotencialdelHiggsdespuesdelrompimientoespontaneodesimetra,cuyaexpresionesV () = m2h2+m2h32v+m2h48v2= V (h), (A.6)1ParamayordetalleenlalagrangianadeHiggsverapendice1APENDICEA. MECANISMODEHIGGS 63con lo cual la densidad lagrangiana invariante de norma localmente para el HiggsesL= (D)(D) V (h)donde Des laderivada covariante dada por (2.6).Entonces, usando (2.16)lalagrangianatomalaformaL=12hh +g224_W1+ iW2_(W1iW2)_v +h2_2+_g224 W3W3g1g22W3B+g214 BB_ _v +h2_2V (h)quesereduceaL=12hh+g222 W W+_v +h2_2+14_g22 + g21_ZZ_v +h2_2V (h).(A.7)Losterminosen (A.7)proporcionalesalcuadradodevsonterminosdemasa.Los campos de los bosones W1y W2fueron reemplazados por la combinacionlinealdeellosW (W1 iW2 )2. (A.8)LaformadeZesZ= W3cos W Bsin W, (A.9)dondecos W=g2(g21 + g22)12, sin W=g1(g21 + g22)12.AWselellamael angulodeWeinberg. Seobservaen (A.7)quedespuesdelrompimientodesimetralosbosonesdenormaWyZadquierenmasa.ApendiceBCodigoCodigo en Matlab 8 de la funcion que se usa para poner a prueba los modelosdetexturasutilizandoalgoritmosgeneticosylasfuncionesqueseusanenella.B.1. AlgoritmoGenetico%% Algoritmo Genetico% Proporciona los valores de las masas, fases y parametros libres que mejor% ajusten a los valores experimentales a los modelos de las texturas en las% matrices de masa.%Los parametros de entrada son n= el tamano de la poblacion.%bmasas=intervalos de masas que se usan 1=Xing, 2=Koide y 3=Emmanuel-Costa%bpdg =datos experimenteles con los que se compararan los modelos,%dependiendo del ano%bt = al modelos de la textura puesto a prueba 1=F4, 2=F2F3, 3=F3F2, 4=F2R1% y 5=R1F2.64APENDICEB. CODIGO 65function [poblacion,hist] = funalg_texturas_ultimate3(n,bmasa,bpdg,bt)%% Parametros iniciales% Se configua el Algoritmo definiendo parametros analogos en la Genaticaformat long%Se crean la poblacion inicial y se cargan los datos experimentales.%[poblacion,imu,imd,V,Vint,Ver,angu]=fundatexp(n,bmasa,bpdg);generaciones = 15; %Numero de generaciones que se dejara evolucionar%al sistemaguardar = 3; %Numero de datos que se guardannC = 20; %Numero de cuates por parejasmigra = 0; %Generacion espontaneaprobabilidad = 1.0; % probabilidad de que cada gen mutehist=ones(guardar,12); %Se crea la matriz hist. Donde se guada la%evolucion de la poblacionpar=11; %Parametrosobs=1; %Observables%Maximo valor de la mutacionmutacion = [0.00000250 0.0003 0.0115 0.00250 0.00000350 0.00075 0.00035 0.00250%% Poblaci12n inicial% Se genera aleatoriamente una poblacion inicial de posibles soluciones.% Las primeras 4 columnas representan los genes del sector u. LasAPENDICEB. CODIGO 66% siguientes 4 columnas representan los genes del sector d. Las ultimas 4% columnas son las 3 fases posibles y la funcion desebilidad.% Cada uno de los n individuos (renglones) representa una posible soluci12n.%poblacion = rand(n,2);imu=zeros(2,4);imd=zeros(2,7);[poblacion,imu,imd,V,Vint,Ver,ang]=fundatexp(n,bmasa,bpdg);%% Iteraciones% La poblacion de soluciones evoluciona mediante la cruza y mutacionfor ci= 1:guardarhw = waitbar(0,Evolucionando...);for i = 1:generacionestemporal=zeros(2*(n*(nC+1)+migra),par+obs);%% Orden aleatorio de parejas% La formacion de parejas para la reproduccion es aletoriapoblacion(:,par+1:obs+par) = rand(n,obs);poblacion = sortrows(poblacion,+(par+1));temporal(1:n,:) = poblacion;%% Cruzafor j=1:n/2mama=rand(nC,par+obs)>0.5;papa=~mama;temporal(n+1+ (2*nC*(j-1)):n+ (2*nC*(j-1))+nC,:) =repmat(poblacion(2*j,:),nC,1).*mamaAPENDICEB. CODIGO 67temporal(n+1+nC+(2*nC*(j-1)):n+nC+(2*nC*(j-1))+nC,:) =repmat(poblacion(2*j,:),nC,1).*papaend%Generacion Espontaneatemporal(n*(nC+1)+1:n*(nC+1)+migra,:) = [repmat(imu(1,:),migra,1)+repmat((imu(2,:)-imu(1,:)),migs=n*(nC+1)+migra;%% Mutacion%Se calcula la mutacion, los limites permitidos y se muta.muta=(rand(s,par+obs)*2-1).*repmat([mutacion zeros(1,obs)],s,1);mayor=[repmat(imu(2,:),s,1)-temporal(1:s,1:4) repmat(imd(2,:),s,1)-temporal(1:s,5:11)menor=[repmat(imu(1,:),s,1)-temporal(1:s,1:4) repmat(imd(1,:),s,1)-temporal(1:s,5:11)b=(rand(s,par+obs)muta).*(menor