texto4

TECSUP VIRTU@L

Circuitos Digitales 35

UNIDAD IV

“SIMPLIFICACIÓN Y LÓGICA COMBINACIONAL”

1. INTRODUCCIÓN

Actualmente, el desarrollo de la lógica programable ha permitido una evolución muy importante en el diseño de circuitos digitales. En este módulo se estudiará la ventaja de emplear los dispositivos programables sobre los sistemas tradicionales.

2. OBJETIVOS

Presentar al estudiante la información suficiente para poder tener

un conocimiento básico en el campo de la lógica programable.

Resaltar su importancia en el campo en el mercado y en el

desarrollo de sistemas digitales.

Describir sus características principales y estructura interna.

Desde que Claude Shannon aplicar los trabajos de Boole al análisis y diseño de circuitos en 1938 en su tesis titulada Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés. La aplicación y desarrollo de este tema ha devenido en los grandes avances dentro de la electrónica digital.

3. LEYES Y REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOLE

Al igual que en otras áreas de las matemáticas, existen en el álgebra de Boole una serie de reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse para aplicarlos correctamente.

3.1 Leyes del álgebra de boole.

Las leyes básicas del álgebra de boole son tres:

3.1.1. Leyes Conmutativas.-

Esta ley establece que el orden en que se aplican las operaciones OR y AND entre dos variables no altera el resultado.


A + B = B + A

Figura N° 1

A. B = B. A

Figura N° 2

3.1.2. Leyes Asociativas.-

Esta ley establece que al aplicar la operación OR o AND a más de dos variables, el resultado es el mismo independiente de la forma en que se agrupen las variables

A + (B + C) = (A + B) + C

Figura N° 3

A (B. C) = (A. B) C

Figura N° 4

TECSUP VIRTU@L


3.1.3. Ley Distributiva.-

La ley distributiva para tres variables está dada en la siguiente expresión.

A (B + C) = A. B + A. C

Figura N° 5 4. REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Figura N° 6

Las reglas básicas están presentadas en la siguiente tabla: Nótese que todas estas reglas están expresadas en base a sumas (OR), multiplicaciones (AND) y negaciones (NOT). De Morgan, matemático relacionado con Boole, propuso dos teoremas que en términos prácticos nos demuestran la equivalencia entre las puertas NAND y Negativa OR, y las puertas NOR y Negativa AND. Las puertas equivalentes y tablas de verdad se muestran a continuación:


Figura N° 7

(X. Y)‟ = X „ + Y „

(X + Y)‟ = X „ . Y „

Figura N° 8

5. EXPRESIONES BOOLEANAS Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, pueden convertirse en cualquiera de las dos formas estándar: Suma de productos o Producto de sumas. Esto posibilita que la evaluación, simplificación e implementación de las expresiones booleanas sea mucho más sistemática y sencilla.

5.1 Suma de productos

En una suma de productos se agrupa términos conformados por productos a través de una operación de suma; Ejemplo: X = A. B + B. C. D + A. C Y su implementación con puertas lógicas sería:

TECSUP VIRTU@L


Figura N° 9

5.2 Producto de sumas

En un producto de sumas se agrupa términos conformados por sumas a través de una operación de multiplicación; Ejemplo: X = (A + B). (B + C + D). (A + C) Y su implementación con puertas lógicas sería:

Figura N° 10

5.3 Conversión de una suma de productos a una tabla de verdad

Todas las expresiones Booleanas pueden ser fácilmente convertidas en tablas de verdad usando los valores binarios de cada término de la expresión. Para ello consideraremos que las variables que intervienen representan un valor lógico de 1 y su correspondiente negación un valor lógico de 0 .Por ejemplo:


Cuadro N° 01

De la representación literal de cada combinación de valores de las variables agruparemos en una suma sólo aquellas que den como valor final (X) un uno lógico.

X = A‟. B‟. C + A. B‟. C‟ + A. B. C

6. MAPA DE KARNAUGH

Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma de productos más simples posibles. Es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de la variable de entrada y la salida resultante para cada valor. Para el caso de tres variables (A, B, C) notemos primero cómo están organizadas estas alrededor del mapa y que al igual que en una tabla de verdad sus diferentes valores están representados para cada celda del mapa.

Figura N° 11

Para el caso de cuatro variables tenemos:

A B C Representación literal

0 0 1 ABC

0 0 0 ABC

0 1 1 ABC

0 1 0 ABC

1 0 1 ABC

1 0 0 ABC

1 1 1 ABC

1 1 0 ABC

TECSUP VIRTU@L


Figura N° 12

Para poder usar el mapa de Karnaugh debemos aprender a llenarlo, para ello tomaremos el siguiente ejemplo y seguiremos los siguientes pasos. Sea la expresión lógica: X = A‟. B‟. C‟ + A. B‟. C + A. B. C‟ + A. B‟. C‟

Paso 1: Determinar el valor binario de cada término producto de la suma de productos estándar

Pasó 2: A medida que evaluamos cada término colocar un 1 en el mapa de Karnaugh, en la celda que tiene el mismo valor que dicho término.

Figura N° 13

Para realizar la simplificación primero agruparemos los 1s de acuerdo a los siguientes casos:


a. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 ó 16 celdas. b. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o

más celdas del mismo grupo, pero no tiene por qué ser adyacentes todas entre sí.

c. Incluir en cada grupo el mayor número de 1s de acuerdo a la regla “ a “

d. Cada 1 del mapa debe de estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que este último grupo incluya unos que no pertenezcan al primero.

Por ejemplo trate de realizar las agrupaciones en los

siguientes mapas de Karnaugh:

Figura N° 14

Compare su respuesta con los siguientes resultados:

Figura N° 15

TECSUP VIRTU@L


Finalmente la determinación de la expresión suma de productos mínima resulta de agrupar las celdas que tienen 1s. Cada grupo de celdas que contienen 1s da lugar a un término producto por todas las variables que aparezcan en el grupo, en sólo una forma (no complementada o complementada). Las variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A éstas se les denominan se les denomina variables contradictorias. Para los resultados del caso anterior tendremos:

Figura N° 16

Y sus correspondientes funciones lógicas mínimas serán:

7. IMPLEMENTACIÓN DE LA LÓGICA COMBINACIONAL

En esta sección mostraremos con ejemplos cómo implementar un circuito lógico a partir de una expresión booleana o una tabla de verdad, tratando siempre de minimizar el circuito. Ejemplo 1: Sea la expresión X = A. B + C. D. E Se observa que están involucradas dos funciones lógicas (AND y OR), por tanto para cada una de ellas usaremos compuertas para representar las funciones. Para “A. B “:

Figura N° 17


Para “C. D. E “:

Figura N° 18

Ahora usaremos una compuerta OR para unir y conformar toda la expresión booleana:

Figura N° 19

Ejemplo 2: Implementaremos la función lógica para la siguiente tabla de verdad:

Cuadro N° 02

En la tabla de verdad se observa que la función X se hace 1 para las siguientes combinaciones de las variables de entrada:

A B C F X 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

TECSUP VIRTU@L


Por lo tanto para formar la función X, uniremos las expresiones mediante una compuerta OR. X = A‟. B. C + A. B‟. C‟ Diagrama circuital es: Y su

Figura N° 20 Ejemplo 3: Para la siguiente función booleana determinaremos el diagrama circuital y su tabla de verdad. X = A‟. B. C + A. B‟. C + A. B. C‟ Para su implementación usaremos tres puertas AND de 3 entradas, una puerta OR de 3 entradas y tres inversores. Para determinar

Figura N° 21


La tabla de verdad implementaremos y probaremos el circuito, lo realizaremos con la ayuda del simulador WinBreadboard. Necesitaremos tres tipos de chips: AND de 3 entradas: 7411 OR de 3 entradas: 2 chips 7432 Inversores: 7404 Para implementar la compuerta OR de tres entradas usaremos dos compuertas OR de dos entradas, como se muestra en la figura.

Figura N° 22 A continuación mostramos la disposición de las puertas en los chips:

Figura N° 23 Para comenzar la implementación primero ubicaremos los chips a usar en el tablero de montaje y conectaremos los terminales de polarización de cada chip como se muestra:

TECSUP VIRTU@L


Figura N° 24 Los terminales Vcc, que corresponden al pin 14 a + 5V y los pins 7 GND. Luego usaremos los interruptores ubicados en la parte superior como A, B y C.

Figura N° 25

A continuación realizaremos el cableado completo de acuerdo al diagrama circuital y ubicaremos la salida de la función X a un indicador lógico. (Al hacer las conexiones en los terminales de los chips, tener cuidado de seguir la distribución de las compuertas al interior de cada una)


Figura N° 26

Una vez terminado el montaje, encenderemos el interruptor ubicado el lado izquierdo del tablero de montaje. Haciendo un clic con el mouse sobre los interruptores A, B y C podemos darle a las entradas los niveles lógicos “1” ó “0” y poder hacer todas las combinaciones de la tabla de Verdad.

Cuadro N°03

A B C X 0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

TECSUP VIRTU@L


8. LÓGICA COMBINACIONAL USANDO COMPUERTAS UNIVERSALES

La universalidad de las compuertas NAND y NOR, significa que pueden utilizarse como un inversor y que pueden emplearse combinaciones de estas compuertas para implementar las operaciones AND, OR y NOR.

Las Equivalencias se muestran en los siguientes gráficos: Para las compuertas AND tenemos:

Figura N° 27

Para la compuerta NOR tenemos:

Figura N° 28


9. FUNCIONAMIENTO CON TRENES DE IMPULSOS

Cuando se trabaja con trenes de impulsos, hay que tener en cuenta que las funciones lógicas de las puertas son las mismas que para niveles continuos de entrada. En cualquier instante la salida de un circuito lógico depende de sus entradas. Ejemplo 4: Determinaremos la forma de la salida X para el siguiente circuito cuando se aplican las entradas A, B y C que se indican.

Figura N° 29

En este ejemplo podemos determinar la forma de la señal de salida trabajando primero para determinar la expresión literal de la función X luego construyendo la tabla de verdad de esta expresión donde reconoceremos las combinaciones dadas en la secuencia de trenes de pulsos y determinaremos el nivel lógico a la salida. Para el circuito la función lógica es: X = (A. B + A. C)‟

Cuadro N° 04

A

B X

C

A.B

A. C

(A. B + A.C)

0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1

1 0 1 0 1 1 0

1 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0

TECSUP VIRTU@L


Con esta tabla de verdad podemos reconocer los estados a la salida identificando los estados en las entradas de A, B y C de acuerdo como se muestra en la siguiente figura.

Figura N° 30

Otra forma de determinar la forma de la señal de salida es implementar la función X con compuertas y darle todas las combinaciones que presentan los trenes de pulsos y de esa manera determinar la salida para cada estado a través de un LED indicador. Usted puede simular el circuito e implementarlo en el tablero de montaje virtual, a continuación se muestra el montaje y los componentes usados.

Figura N° 31

texto4

Documents

Transcript of texto4