Testes de Hipoteses:

Na aula de hoje veremos

• a terminologia usada em testes de hipoteses

(hipoteses nula e alternativa, erros tipo I

e tipo II, hipoteses unilaterais e bilaterais,

etc);

• como construir um teste de hipoteses;

• testes de hipoteses sobre a media e a pro-

porcao populacionais.

Referencias Principais:

Bussab e Morettin. Estatıstica Basica. Editora Saraiva.Quinta edicao. (Cap. 12).

Triola. Introducao a Estatıstica. LTC. Nona edicao.(Cap. 7).

1

Resultados da pesquisa “fotopolicial”: o

que eles revelam?

Uma pesquisa em Minnesota foi realizada com

o objetivo de revelar opinioes sobre o “fotopoli-

cial” que usa cameras posicionadas de modo a

flagrarem motoristas que desrespeitam o sinal

vermelho. As cameras fotografam as placas

dos carros que avancam o sinal vermelho. Um

jornal local patrocinou uma pesquisa devido a

legislacao de Minnesota, ainda pendente, que

aprovaria o uso de cameras por violacoes de

transito.

Os pesquisadores entrevistaram 829 adultos

de Minnesota e verificaram que 51% se o-

punham a legislacao sobre o “fotopolicial”.

2

A maioria de nos ultrapassa um sinal ver-

melho?

Em uma pesquisa, de nıvel nacional, com 880

motoristas selecionados aleatoriamente, 56%

admitiram que avancavam um sinal ver-

melho. Ao escrever um artigo distribuıdo pela

Associated Press, a reporter Sonja Barisic es-

creveu: “Praticamente todos os americanos

admitem que avancar um sinal vermelho e peri-

goso, mas mais da metade admitiu que ja o fez,

em geral porque estava com muita pressa.”

Essa frase inclui a maioria (mais de 50%) de

todos os motoristas americanos ultrapassa um

sinal vermelho. Os resultados da pesquisa real-

mente confirmam essa alternativa?

3

Na aula de hoje apresentaremos os metodos

padroes para testes de afirmativas tais como

as dadas a seguir, baseadas nos dois exemplos

anteriores.

• Ha evidencia amostral suficiente para apoiar

a afirmativa de que a proporcao de todos

os adultos de Minnesota que se opoem a

legislacao do foto-policial e maior que 0,5?

• Ha evidencia amostral suficiente para apoiar

que a afirmacao de que a proporcao dos

motoristas americanos que ultrapassa um

sinal vermelho e maior do que 0,5?

4

Conceitos Basicos

Em estatıstica, uma hipotese e uma afirma-

tiva sobre um parametro, ou seja, sobre uma

caracterıstica da populacao.

Um teste de hipotese e um procedimento

para testar uma hipotese baseado numa amos-

tra da populacao.

A seguir vamos enunciar uma regra importante

na Inferencia Estatıstica chamada Regra do

Evento Raro.

Se, sob uma dada suposicao, a probabilidade

de um evento particular observado e excep-

cionalmente pequena, concluımos que a su-

posicao provavelmente nao esta correta.

A seguir veremos um exemplo sobre o uso dessa

regra.

5

Exemplo: Escolha de sexo.

As Industrias ProCare comercializaram um pro-

duto chamado Gender Choice que, de acordo

com a propaganda, permitia aos casais aumen-

tar suas chances de ter um menino em ate

85%, e uma menina, em ate 80%. O pro-

duto estava disponıvel em embalagens azuis

para casais que quisessem um menino e, (adi-

vinhe) em embalagens rosas, para casais que

queriam uma menina. Suponha que facamos o

seguinte experimento com 100 casais que

querem meninas e usam o produto Gender

Choice, um sistema “facil de usar em casa”,

descrito na embalagem cor-de-rosa.

Com o proposito de testar a afirmativa de um

aumento na probabilidade de nascer uma meni-

na, suporemos que o produto nao tenha

qualquer efeito.

6

Usando o bom senso e nenhum metodo formal

de estatıstica, o que poderıamos concluir so-

bre a suposicao de nenhum efeito do Gender

Choice, se 100 casais que querem uma menina

e usam o produto tem 100 bebes, sendo

(a) cinquenta e duas (52) meninas;

(b) noventa e sete (97) meninas.

Solucao

(a) Em geral, esperamos cerca de 50 meninas

em 100 nascimentos. O resultado 52 meni-

nas e proximo de 50 de modo que nao pode-

mos concluir que o Gender Choice seja eficaz.

Se os 100 casais nao tivessem usado qualquer

metodo especial de escolha de sexo, o resul-

tado de 52 meninas poderia facilmente ocorrer

ao acaso.

7

A suposicao de nenhum efeito do Gender Choi-

ce parece ser adequada. Nao ha evidencia su-

ficiente para dizer que o produto seja eficaz.

(b) O resultado 97 meninas em 100 nascimen-

tos e extremamente improvavel de ocorrer por

acaso. Poderıamos explicar a ocorrencia de

97 meninas de uma de duas maneiras: ou um

evento extremamente raro ocorreu por acaso,

ou o Gender Choice e eficaz. A probabilidade

extremamente baixa de 97 meninas em 100

nascimentos e evidencia forte contra a hipotese

de que o Gender Choice nao tenha qualquer

efeito. Logo, o produto parece ser eficaz.

8

O ponto-chave nesse exemplo e o de que deve-

mos concluir que o produto e eficaz apenas se

obtivermos significativamente mais meninas

do que em geral esperarıamos. Embora os re-

sultados de 52 meninas e 97 meninas estejam

ambos “acima da media (50)”, o resultado 52

nao e significativo, enquanto que o de 97 e um

resultado significativo.

Esse exemplo ilustra a abordagem basica u-

sada em testes de hipoteses. O metodo formal

envolve uma variedade de termos e condicoes

padroes, incorporados em um procedimento or-

ganizado.

9

Fundamentos do Teste de Hipotese

1. Hipoteses Nula (H0) e Alternativa (H1)

A hipotese nula, denotada por H0, e uma afir-

mativa sobre um parametro. Por exemplo:

µ = 90, p = 0,10, σ ≥ 2, etc. A hipotese

alternativa, denotada por H1, e uma afirma-

tiva complementar a hipotese nula tal que nao

exista intersecao entre as duas hipoteses. Por

exemplo: µ > 90, p 6= 0,10, σ < 2, etc.

Temos que decidir por uma das duas hipotesesbaseando-nos numa amostra da populacao. Lo-go, estamos sujeitos a dois erros diferentes.

Decisao H0 e verdadeira H0 nao e verdadeiraRejeitar H0 Erro tipo I sem erroNao rejeitar H0 sem erro Erro tipo II

10

2. Estatıstica de Teste: e uma funcao que

produz um valor real com base nos dados amos-

trais.

Uma regra de decisao ou procedimento de

teste consiste em especificar um conjunto de

valores da estatıstica de teste para os quais

rejeitaremos a hipotese nula (H0). Chama-

mos esse conjunto de valores, para os quais

rejeitaremos H0, de Regiao Crıtica do teste.

Como escolher a estatıstica de teste?

Isso dependera das hipoteses que serao tes-

tadas. Para cada teste, ha uma escolha na-

tural. Por exemplo, num teste sobre a media

populacional usamos a media amostral ou o

seu valor “padronizado” de acordo com a hipo-

tese nula.

11

Como especificar a regiao crıtica do teste?

4. Nıvel de Significancia (α) do teste: e a

probabilidade de se cometer o erro tipo I, ou

seja, e a probabilidade de rejeitar uma hipotese

nula verdadeira.

No procedimento classico de testes de hipote-

ses, fixa-se o valor do nıvel de significancia,

geralmente em 1%, 5% ou 10%, e, usando a

distribuicao amostral da estatıstica de teste, e

possıvel determinar a Regiao Crıtica do teste.

Esse procedimento baseia-se na suposicao de

que o erro tipo I e o mais grave.

12

5. Erro tipo II: usamos a letra grega β para

representar a probabilidade de cometer o erro

tipo II: “nao rejeitar uma hipotese nula falsa”.

Para fins praticos, a hipotese nula a ser fixada

aqui sera sempre uma hipotese simples, isto

e, admitira um unico valor para o parametro.

Desse modo, calcular a probabilidade de se

cometer o erro I, e trivial, pois se H0 e ver-

dadeira, o valor do parametro esta determi-

nado.

No entanto, a hipotese alternativa sera com-

posta, ou seja, admitira mais de um valor pos-

sıvel para o parametro. Na maioria das vezes,

admitira infinitos valores para o parametro. Nes-

se caso, ao condicionar a probabilidade sob a

suposicao de que H0 e falsa, existirao diver-

sas possibilidades de tal forma que o erro tipo

II sera olhado como uma funcao dos valores

admitidos sob essa condicao.

13

Exemplo: Especificacao da hipotese nula

sob o procedimento classico.

Nas situacoes a seguir, escolha como hipotese

nula, aquela que para voce leva a um erro tipo

I mais grave. Descreva quais sao os dois erros

em cada caso.

a. O trabalho de um operador de radar e detectar aeronaves inimi-gas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidirentre as hipoteses

1. esta comecando um ataque;

2. tudo bem, apenas uma leve interferencia.

b. Num juri, um indivıduo esta sendo julgado por um crime. Ashipoteses sujeitas ao juri sao:

1. o acusado e inocente;

2. o acusado e culpado.

c. Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra res-friado. Ele ira conduzir uma pesquisa de laboratorio para verificara veracidade da afirmacao. As hipoteses que pode testar sao:

1. a vacina e eficaz;

2. a vacina nao e eficaz.

14

6. Testes Bilaterais e Unilaterais: estao

associados a forma da hipotese alternativa e,

consequentemente, da regiao crıtica.

Suponha um teste sobre a media populacional

e que a media amostral e usada como estatısti-

ca de teste. Suponha tambem que

H0 : µ = µ0.

Se a hipotese alternativa e do tipo µ 6= µ0, rejeitaremosH0 para valores da media amostral significativamenteafastados de µ0, a esquerda ou a direita de µ0. Nessecaso, temos um teste bicaudal/bilateral.

Se a hipotese alternativa e do tipo µ > µ0, rejeitaremosH0 para valores da media amostral significativamenteafastados de µ0, a direita de µ0. Nesse caso, temos umteste unicaudal/unilateral.

Se a hipotese alternativa e do tipo µ < µ0, rejeitaremosH0 para valores da media amostral significativamenteafastados de µ0, a esquerda de µ0. Nesse caso, temosum teste unicaudal/unilateral.

16

7. Procedimento Classico de Testes de

Hipoteses:

Passo 1: Fixe a hpotese nula a ser testada equal e a forma da hipotese alternativa.

Passo 2: Use a teoria estatıstica e as informa-coes disponıveis para decidir qual estatısticasera usada no teste. Obtenha a distribuicaoamostral da estatıstica de teste.

Passo 3: Fixe o nıvel de significancia α doteste, isto e, a probabilidade de rejeitar umahipotese nula verdadeira e determine a regiaocrıtica do teste.

Passo 4: Use a amostra para calcular o valoramostral da estatıstica de teste.

Passo 5: Se o valor amostral cair na regiaocrıtica, rejeite H0, caso contrario, nao rejeiteH0.

17

Vejamos como ficam esses passos no exemplo

dos motoristas que avancam o sinal ver-

melho.

Lembre que n = 880 e p = 0,56, a proporcao

amostral dos motoristas que avancam um sinal

vermelho. Seja p, a proporcao populacional

dos motoristas que avancam um sinal vermelho.

Podemos fixar como hipoteses

{H0 : p = 0,50H1 : p > 0,50

.

H1 representa a afirmacao da reporter de que a

maioria dos motoristas americanos avanca um

sinal vermelho (p > 0,50).

Como estatıstica de teste vamos usar a pro-

porcao amostral p.

18

Vimos na aula anterior que para n grande

p− p√p(1− p)/n

a∼ N(0,1).

Fixemos a probabilidade de rejeitar H0, quando

ela e verdadeira em 5%: α = 0,05.

Como o teste e unilateral, a forma da regiao

crıtica sera unicaudal a direita (H1 : p > 0,50).

Dizer que H0 e verdadeira nesse exemplo equi-

vale a ter p = 0,50 tal que

p− 0,5√0,25/880

a∼ N(0,1) sob H0.

19

Como φ(1,64) ' 0,95, conforme a figura aseguir,

segue que a regiao crıtica sera do tipo

Z0 =p− 0,5√0,25/880

> 1,64

ou, equivalentemente, p > 0,5 + 1,64×√

0,25800' 0,528.

Como o valor amostral e z0 ' 3,56 (p = 0,56), ao nıvelde significancia de 5%, rejeitamos a hipotese nula deque p = 0,50 em favor da hipotese alternativa de quep > 0,50.

20

8. Terminologia: Aceitar/Nao Rejeitar

Alguns textos dizem “aceitar” H0 em vez de

“nao rejeitar” H0. Qualquer que seja a ex-

pressao usada: aceitar ou nao rejeitar, deve-

se reconhecer que nao estamos provando a

hipotese nula; estamos apenas dizendo que a

evidencia amostral nao e forte o bastante para

garantir a sua rejeicao.

E como um juri dizendo que nao ha evidencia

suficiente para condenar um suspeito. O termo

aceitar e, de alguma forma enganoso, pois pa-

rece implicar que a hipotese nula foi compro-

vada. A sentenca “nao rejeitar” H0 diz mais

corretamente que a evidencia nao e forte para

garantir a rejeicao de H0.

21

9. Valor-P ou p-valor ou Nıvel Descritivo

ou Probabilidade de Significancia

O procedimento classico de testes de hipotesesparte da fixacao do valor do nıvel de significan-cia α.

Outra maneira de proceder consiste em apre-sentar o p-valor do teste. De maneira infor-mal, o p-valor caracteriza o grau de adesaodos dados amostrais a hipotese nula. E calcu-lado usando-se uma probabilidade condicional,supondo que H0 e verdadeira. Portanto, o p-

valor esta entre 0 e 1. Na pratica, rejeitaremosH0 para p-valores muito pequenos.

A diferenca e que aqui nao se constroi umaregiao crıtica. Nesse procedimento, calculamoso valor amostral da estatıstica de teste e verifi-camos como esse valor se apresenta com rela-cao a distribuicao amostral sob a suposicao deH0 ser verdadeira.

22

Se o valor amostral da estatıstica de teste es-tiver muito na cauda dessa distribuicao, con-cluiremos que os dados nao estao trazendoevidencia a favor de H0. Caso contrario, naoteremos evidencia contra H0.

O calculo do p-valor dependera se o teste euni ou bilateral.

Vejamos como fica o p-valor no exemplo dosmotoristas que avancam o sinal vermelho.

Sob H0, vimos quep− 0,5√0,25/880

a∼ N(0,1).

O valor amostral da estatıstica de teste e

z0 = 0,56−0,50√0,25/880

' 3,56 tal que

p-valor = P (Z0 ≥ 3,56|H0) ' 0,0002.

Sob H0 a distribuicao de Z0 e N(0,1).

23

Ou seja, se H0 e de fato verdadeira, a probabili-

dade de termos obtido uma proporcao amostral

tao grande ou maior que 0,56 e de apenas um

para cada 5000.

Portanto, concluımos que os dados nao trazem

evidencia a favor de H0 e devemos rejeita-la.

Observe que apesar de usarmos um procedi-

mento diferente, chegamos a mesma conclusao

quando adotamos o procedimento classico com

nıvel de significancia de 5%.

24

De fato, o p-valor corresponde ao maior nıvel

de significancia para o qual aceitaremos H0.

Para qualquer nıvel de significancia α ≤ p-valor,

aceitamos H0.

Fisher (1954) sugeriu uma escala de evidencia

com base no p-valor

p-valor Natureza da evidenciacontra H0

0,10 marginal0,05 moderada

0,025 substancial0,01 forte

0,005 muito forte0,001 fortıssima

25

Se o teste for bilateral, deveremos calcular a

area das duas caudas correspondentes ao valor

amostral padronizado supondo H0 verdadeira.

A maioria dos softwares estatısticos retornam

o p-valor dos testes executados. Por isso e

fundamental saber interpreta-los.

Assim, lembre-se de em todo teste ter clareza

de quem e a hipotese nula e quem e a hipotese

alternativa. Alem disso, lembre que o p-valor

fornece um grau de evidencia amostral contra

H0, no sentido de quanto menor ele e, mais

forte e a evidencia contra a hipotese nula.

Lembre: podemos pensar no p-valor como uma

medida de adesao dos dados amostrais a hipo-

tese nula. Se ele nao e muito pequeno e porque

e razoavel que eles tenham sido gerados pela

distribuicao proposta por H0.

26

10. Poder de um Teste

No procedimento classico de testes de hipote-

ses, fixamos a probabilidade de se cometer o

erro tipo I:

α =Probabilidade de rejeitar uma hipotese nula verdadeira.

A probabilidade do erro tipo II, β, na maioria

das vezes, nao e unica, pois a hipotese alter-

nativa especifica um conjunto infinito de va-

lores para o parametro. No entanto, para cada

valor possıvel do parametro, podemos calcular

a probabilidade de nao rejeitar H0.

27

A funcao de poder do teste fornece a probabi-

lidade de rejeitar H0, quando o parametro varia

ao longo de seu conjunto de valores possıveis.

Poder do teste de θ : π(θ) = 1− β(θ)

=Probabilidade de rejeitar H0 quando o valor

do parametro e θ.

Um “‘bom” procedimento de teste devera ter

valores altos da funcao de poder, se o parame-

tro estiver assumindo valores especificados por

H1 e, valores pequenos, se o parametro estiver

assumindo valores especificados por H0.

28

Vimos como realizar testes de uma afirmativa

sobre a proporcao da populacao no exemplo

dos motoristas.

A seguir apresenta-se um resumo do proce-

dimento para testes sobre proporcoes popula-

cionais (p).

Hipotese nula H0 : p = p0, p0 e uma proporcao

fixada.

Nıvel de significancia α (probabilidade de come-

ter o erro I). Em geral e fixado em 1%, 5% ou

10%.

Estatıstica de teste:

Z0 = p−p0√p0(1−p0)

n

,

em que p e a proporcao amostral e n e o

tamanho da amostra observada.29

A seguir, tres formas possıveis para a hipotese

alternativa e as respectivas regioes crıticas em

funcao do nıvel de significancia sao apresen-

tadas. Lembre que a regiao crıtica do teste e

o conjunto de valores amostrais da estatıstica

de teste para os quais rejeitaremos H0.

H1 Regiao Crıtica

p 6= p0 |Z0| > z(1−α)

p > p0 Z0 > z(1−2α)

p < p0 Z0 < −z(1−2α)

Lembre tambem que z(1−α) e um quantil da

distribuicao normal padrao tal que

P (−z(1−α) < Z < z(1−α)) = 1 − α ou, equiva-

lentemente, φ(z(1−α)

)= 1 − α

2, em que φ(.)

representa a distribuicao acumulada da normal

padrao.

30

Teste sobre a media (µ) da populacao, quando

o desvio-padrao populacional (σ) e conhecido

Exemplo: Circunferencia da cabeca dos

bebes ao nascerem.

Uma amostra aleatoria de 100 bebes revelou

uma circunferencia media da cabeca de 40,6cm.

Supondo que o desvio padrao da populacao e

de 1,6 cm, teste ao nıvel de significancia de

5% as hipoteses

{H0 : µ = 40H1 : µ 6= 40

.

Observe que aqui a estatıstica de teste sera a

media amostral X.

Sob H0, X ∼ N(

40, (1,6)2

100

)tal que

X − 40

1,6/10∼ N(0,1).

31

Observe tambem que trata-se de um teste bi-

lateral, pois a hipotese alternativa e do tipo

µ 6= µ0 e H0 devera ser rejeitada para valores

da media amostral muito afastados de µ0 a

esquerda e a direita.

Como o nıvel de significancia e 5%, observe

que na distribuicao normal padrao precisamos

encontrar o quantil z(0,95) que corresponde a

P (−z(0,95) < Z < z(0,95)) = 0,95 ou, equiva-

lentemente, φ(z(0,95)

)= 0,975 (Pq?)

Logo, z(0.95) = 1,96, tal que rejeitaremos H0

se |X−40|1,6/10 > 1,96.

Como x = 40,6, segue que |X−40|1,6/10 = 3,75.

Como 3,75 pertence a regiao crıtica do teste,

segue que ao nıvel de significancia de 5%, H0

deve ser rejeitada.

32

Qual e o p-valor desse teste?

Observe que aqui o teste e bilateral e o valor

amostral padronizado foi 3,75. Portanto, de-

vemos calcular a soma das caudas na normal

padrao a esquerda de -3,75 e a direita de 3,75.

Usando o excel obtemos p-valor=0.000176889'0.0002 que e muito pequeno.

Portanto, os dados amostrais trazem evidencia

fortıssima contra a hipotese nula de que a media

da circunferencia da cabeca dos bebes recem-

nascidos e igual a 40 cm.

Conclusao: Devemos rejeitar H0.

33

A seguir, apresenta-se um resumo para os tes-

tes de H0 : µ = µ0 quando σ e conhecido ou

quando se dispoe de amostras suficientemente

grandes (n ≥ 30) e usamos uma estimativa s

de σ.

Estatıstica de teste: Z0 =X − µ0

σ/√n

Nıvel de significancia: α

H1 regiao crıtica

µ 6= µ0 |Z0| > z(1−α)µ > µ0 Z0 > z(1−2α)µ < µ0 Z0 < −z(1−2α)

34

Vejamos agora o caso em que σ, o desvio

padrao da populacao e desconhecido.

Se n ≥ 30 usamos o procedimento ja descrito,

substituindo em Z0 o valor de σ por uma esti-

mativa. Para amostras de tamanho moderado

n < 30 vamos apresentar uma solucao que e

adequada para populacoes normais.

Se X1, X2, ..., Xn e uma amostra aleatoria sim-

ples de uma populacao normal com media µ e

variancia σ2 ambos desconhecidos, vimos, na

aula anterior que

T = X−µS/√n∼ t(n−1)

com S2 = 1n−1

n∑i=1

(Xi−X)2, a variancia amostral.

35

Portanto, esse caso fica similar ao anterior com

as seguintes substituicoes:

Usa-se T0 =X − µ0

S/√n

no lugar de Z0 =X − µ0

σ/√n

e,

os quantis da distribuicao t com n − 1 graus

de liberdade em vez dos quantis da normal

padrao.

36

Se H0 : µ = µ0, α e o nıvel de significancia e

T0 =X − µ0

S/√n

, temos

H1 regiao crıtica

µ 6= µ0 |T0| > t(1−α,n−1)

µ > µ0 T0 > t(1−2α,n−1)

µ < µ0 T0 < −t(1−2α,n−1)

P (−t(1−α,n−1) < T < t(1−α,n−1)) = 1− α, T ∼ tn−1.

37

Exemplo: Tempo de execucao de tarefas.

O tempo medio, por operario, para executar

uma tarefa, tem sido 100 minutos, com desvio

padrao de 15 minutos. Introduziu-se uma mo-

dificacao para reduzir este tempo, e, apos certo

perıodo de tempo, sorteou-se uma amostra

aleatoria de 16 operarios, medindo-se o tempo

de execucao de cada um. O tempo medio

da amostra foi de 85 minutos com um desvio

padrao amostral de 12 minutos.

Estes resultados trazem evidencias estatısticas

da melhora desejada?

Em caso afirmativo, estime o novo tempo medio

de execucao.

Apresente as suposicoes teoricas usadas para

resolver este problema.

38

Solucao via Bioestat:

Na opcao Estatısticas, escolha Uma Amostra,

e depois, Teste t: Resumo Amostral obtendo

a tela

A seguir entre com os dados do exemplo

39

40

Logo, os dados trazem fortıssima evidencia con-

tra a hipotese nula de que a media permanece

igual a 100. Concluımos que ha evidencias es-

tatısticas de melhoria.

Um intervalo de 95% de confianca para o novo

tempo medio e, conforme saıda do Bioestat:

(78,61; 91,39).

Para realizar o teste t da media com amostra

moderada a suposicao e a de que os dados

comportam-se de acordo com uma distribuicao

normal, nesse exemplo, devemos supor que a

variavel tempo de execucao tem distribuicao

normal.

41

Teste para a Variancia (σ2) de uma Po-

pulacao Normal.

Um resultado enunciado na aula anterior, para

amostras alaeatorias de uma populacao nor-

mal, foi que se X1, X2, ..., Xn e uma amostra

aleatoria da N(µ, σ2) e S2 = 1n−1

n∑i=1

(Xi − X)2

e a variancia amostral, a estatıstica Q

Q = (n−1)S2

σ2 ∼ χ2(n−1),

tem distribuicao de qui-quadrado com n − 1

graus de liberdade.

A distribuicao de qui-quadrado e caracterizada

por um unico parametro chamado numero de

graus de liberdade. O campo de definicao de

uma variavel aleatoria com essa distribuicao e

o conjunto dos numeros reais nao-negativos.

42

Os graficos das densidades de qui-quadrado com 1 e 2graus de liberdade sao

43

Para numeros de graus de liberdade maiores do

que 2 o grafico da distribuicao de qui-quadrado

toma a seguinte forma:

44

Para fazer inferencias sobre a variancia de

uma populacao normal usamos a distribuicao

amostral de qui-quadrado com n− 1 graus

de liberdade.

Para testar

{H0 : σ2 = σ2

0H1 : σ2 6= σ2

0, a um nıvel de sig-

nificancia α, usamos o fato de que sob H0

a distribuicao de Q0 = (n−1)S2

σ20

e uma qui-

quadrado com n− 1 graus de liberdade.

Como o teste e bilateral, tomamos como regiao

crıtica as duas caudas dessa distribuicao (es-

querda e direita) correspondentes a α/2.

Se o teste for unilateral tomamos como regiao

crıtica a cauda de lado adequado a hipotese

alternativa correspondente a α.

45

Exemplo: Escores de QI de professores deEstatıstica.

Numa populacao de adultos, os escores de QIsao normalmente distribuıdos com media 100e desvio padrao 15. Uma amostra aleatoriasimples de 13 professores de Estatıstica re-sultou num desvio padrao amostral de 7,2.Um psicologo esta muito desconfiado de quea distribuicao de escores de QI dos professoresde Estatıstica tem uma media maior do que100. Ele nao entende muito bem o conceitode desvio padrao e nao percebe que o desviopadrao deveria ser menor do que 15. pois osprofessores de Estatıstica tem menos variacaodo que a populacao em geral.

Em vez disso, ele afirma que os professores deestatıstica tem escores de QI com um desvio-padrao igual a 15. Supondo que os escores deQI entre os professores de Estatıstica tem dis-tribuicao Normal, teste ao nıvel de significancia

de 5% as hipoteses

{H0 : σ = 15H1 : σ < 15

.

46

Sob a hipotese nula, temos

Q0 = (n−1)S2

σ20

=12S2

152∼ χ2

(12).

O teste e unilateral e, a regiao crıtica cor-

respondera a cauda inferior da distribuicao de

χ2 com 12 graus de liberdade correspondente

a 5%, ou seja, rejeitaremos H0, se

Q0 < 5,226, rejeitaremos H0 ao nıvel de sig-

nificancia de 5%.

Como o valor amostral obtido e aproximada-

mente 2,765 e pertence a regiao crıtica, segue

que ao nıvel de significancia de 5% rejeitamos

H0.

47

O p-valor desse teste corresponde a area da

cauda ate o valor amostral 2,765 na distribui-

cao de qui-quadrado com 12 graus de liberdade

que corresponde a aproximadamente 0.003, in-

dicando uma evidencia de forte a muito forte

contra H0.

48

Resumo do procedimento de teste da variancia

de uma populacao normal.

H0 : σ2 = σ20, estatıstica de teste Q0 = (n−1)S2

σ20

,

nıvel de significancia α.

H1 regiao crıtica

σ2 6= σ20 Q0 < χ2

n−1,α/2 ou Q0 > χ2n−1,1−α/2

σ2 > σ20 Q0 > χ2

n−1,1−α

σ2 < σ20 Q0 < χ2

n−1,α

P (Q < χ2n−1,ν) = ν, com Q ∼ χ2

n−1, 0 < ν < 1,

ou seja, χ2n−1,ν corresponde ao quantil acumu-

lado de 100ν% de uma distribuicao de qui-

quadrado com n− 1 graus de liberdade.

49

Estatıstica no Trabalho Entrevista com Joanna Burger

- professora de Biologia da Universidade de Rutgers: Joanna leciona,

faz pesquisa e trabalha em varios comites ambientais nacionais e

internacionais que lidam com especies ameacadas, elementos con-

taminadores na vida selvagem, efeitos de produtos quımicos no

comportamento animal e efeitos das pessoas nos ecossistemas.

Quais conceitos de estatıstica voce usa em

seu trabalho?

Uso uma variedade de abordagens estatısticas, incluindo

metodos parametricos e nao parametricos. Sem uma

compreensao solida de estatıstica eu nao seria capaz de

testar se fatores ambientais afetam o sucesso reprodu-

tivo.

50

Uso estatıstica para testar hipoteses geradas pela ob-

servacao de animais em seus ambientes naturais. En-

quanto a observacao leva a hipoteses, apenas com ex-

perimentos bem planejados e testes estatısticos e pos-

sıvel responder perguntas. Para pesquisa e ensino no

campo da ecologia, comportamento animal e ecoto-

xicologia, o conhecimento de estatıstica e essencial para

se obter um bom emprego e mante-lo.

O conhecimento de estatıstica e absolutamente essen-

cial para se conduzir pesquisas com pessoas e animais.

A entrevista completa pode ser vista no texto

de Triola. Introducao a Estatıstica no inıcio

da capıtulo 7.

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Referencias bibliograficas:

(1) Busssab e Morettin - Estatıstica Basica.

Editora Saraiva

(2) Triola. Introducao a Estatıstica. LTC.

(3) Thurman - Estatıstica - Saraiva

(4) Dancey e Reidy - Estatıstica sem Matematica

para Psicologia - Penso

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