5/23/2018 Test

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TEST Filire SP

On considre dans le vide une sphre de centre 0 et de rayon R, constitue par un dilectrique rigide polaris de lafaon suivante : en un point de la sphre, la polarisation est radialeet son intensit P a mme valeur en tous les points

de .

Un point M de l'espace sera repr par ses coordonnes sphriques ( r = OM, , ).1) Dterminer les densits de charges fictives de polarisation .quelle est la somme algbrique totale des charges

fictives?

2) En dduire le champ lectrique puis le potentiel, que l'on prendra nul l'infini, en un point quelconque de

l'espace (On affectera l'indice 1 ce qui est intrieur la sphre et l'indice 2 ce qui est extrieur).

3) Calculer directement le potentiel en un point quelconque partir de mthodes gnrales de l'lectrostatique

(quation de Poisson...).

4) Dterminer l'nergie lectrostatique de cette sphre dilectrique par trois mthodes diffrentes.

5) Le champ dans le dilectrique serait-il modifi si une cavit sphrique, de rayon R1et de centre 0, tait creuse

dans le dilectrique.

Corrig

1) Charges fictives de polarisationLa distribution de diples est quivalente la superposition une distribution surfacique de charges de

densitet d'une distribution volumique de charges de densitavec

Pn.P ==

etr

P2)Pr(

dr

d

r

1Pdiv

2

2 ===

La charge totale de la sphre dilectrique est donc 0drr

P2r4PR4Q

R

0

22=

+=

2) Champs et potentiels lectriquesEn raison de la symtrie sphrique du systme, le champ est radial et ne dpend que de r. En appliquant le

thorme de Gauss sur une surface s sphrique centre sur O:

- l'intrieur de la sphre dilectrique 2

0

r

0

2

0

i2

S

i rP

4dr)R

P2(r4

1Er4dSnE

=

==

soit0

i

PE

=

- l'extrieur de la sphre dilectrique 0Q

Er4dSnE0

i2

S

e =

==

soit 0E e =

On en dduit le potentiel partir de la relation: VgradE =

- l'extrieur de la sphre dilectrique 0Ve = (En supposant le potentiel nul l'infini)

- l'intrieur de la sphre dilectrique, le potentiel devant tre continu partout Vi(R) = Ve(R))Rr(

PdrEV

0

ii

==

3) Calcul direct du potentiel en utilisant la loi de Poisson,

- l'extrieur de la sphre dilectrique 0dr

dVr

dr

d

r

1V e

2

2e =

= soit

r

AVe =

A est une constante et le potentiel est pris nul l'infini.

- l'intrieur de la sphre dilectrique

=

=

=

dr

dVr

dr

d

r

1

r

P2V i

2

200

i soit Dr

Cr

PV

0

i +

=

C et D sont des constantes. Le potentiel devant tre partout dfini, en particulier pour r = 0, C = 0.

De mme le potentiel tant continu en tout point on a R

A

)R(VDR

P

)R(V e0i ==+=

De plus, les vecteurs inductions lectriques l'extrieur et l'intrieur de la sphre de dilectrique sont:

e0e ED

= PED i0i

+=

La condition de continuit de la composante normale de l'induction lectrique nous donne en r = R:

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0n)PEE(n)DD( i0e0ie ==

ce qui donne 0P

R

AP

dr

dV

dr

dV

0

02Rr

i0

e0 =

+=+

=

d'o A = 0 et D = - ( PR/ 0) on aboutit ainsi 0Ve = et )Rr(P

V0

i

=

4) Energie lectrostatiquea) Premire mthode: partir des distributions de charges quivalentes

==+== drr4)rP2

)(Rr(P

2

1dV2

1dSV2

1dV2

1dqV2

1W

2

0

iiii soit0

32

3

RP2

W

=

b) Deuxime mthode: partir du vecteur polarisation P

=

==

V

R

0

2

0

2

0

2

V

drr4P

2

1d

P

2

1dEP

2

1W

soit0

32

3

RP2W

=

c) Troisime mthode: partir de la densit d'nergie lectrostatique

drr4P

2

1dE

2

1dE

2

1W 2

Sphre

20

2

0

Sphre

20

espacetout

20

=== soit

0

32

3

RP2W

=

5)Cavit sphrique dans le dilectrique

On peut appliquer le thorme de Gauss en faisant varier le rayon de la sphre de Gauss. Soit R1le rayon de la cavitet S1la surface qui la dlimite.

- pour r < R1 = 0 donc la charge l'intrieur de la surface de Gauss est Q int= 0 et le champ lectrique0E1 =

- pour R1< r < R La symtrie sphrique tant conserve la polarisation est toujours radiale et la densit volumique

de chargede polarisation est toujours= - (2P / r )

Les distributions surfaciques sont:

- pour r = R1: 1=P. n= -P (la normalentant oriente toujours vers l'extrieur du dilectrique)

- pour r = R: =P. n= P (inchange)

Le thorme de Gauss s'crit

+

=

==

1S0S

r

1R

2

00

int

2

2

2dS)P(

1dr

r

P2r4

1QEr4dsE

2

0

21

0

21

2

0

22

rP4

RP4

)Rr(P4

Er4

=

= ce qui donne

0

2

PE

=

- pour r > R, le thorme de Gauss s'crit: ++

=

==

S0S0S

R

1R

2

00

inte

2 dS)P(1

dS)P(1

drr

P2r4

1QEr4edsE

1

0RP4

RP4

)RR(P4

Er4 2

0

21

0

21

2

0

22 =

+

= soit 0E e =

Les champs lectriques sont inchangs, sauf dans la cavit.

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