Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi...

Optimización de la hidrodinámica de reactores electroquímicos: Empleo de métodos experimentales y númericos.Angel José Frías Ferrer

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant.2004

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DEPARTAMENTO DE QUÍMICA FÍSICA

OPTIMIZACIÓN DE LA HIDRODINÁMICA DE REACTORES ELECTROQUÍMICOS: EMPLEO DE MÉTODOS EXPERIMENTALES

Y NUMÉRICOS

Memoria presentada para optar al grado de Doctor por la Universidad de Alicante, por:

Ángel José Frías Ferrer

Directores de tesis:

D. Antonio Aldaz Riera. D. Vicente Montiel Leguey. Catedrático de Química Física Prof. Titular de Química Física de la Universidad de Alicante. de la Universidad de Alicante.

D. José González García Prof. Titular de Química Física de la Universidad de Alicante.

Alicante, Octubre 2004.



Ahora que ya se esta acercando el final de este largo periplo que ha sido la presente tesis creo que es necesario el hacer un alto en el camino para agradecer la ayuda y la colaboración que tantas y tantas personas me han ido brindando a lo largo de los años y cuyo fruto es el presente trabajo. A D. Antonio Aldaz y D. Vicente Montiel, por darme la oportunidad de entrar y acogerme en esta familia que es el Departamento de Química Física de la Universidad de Alicante así como por animarme a aumentar mis conocimientos científicos en diversos campos. A D. José González García, por todos los ratos buenos y malos, por nuestras risas, por todos los momentos pasados en y fuera del trabajo (así como en y fuera del país) y en general por todo lo que ha hecho que estos años de tesis hayan valido de verdad la pena y me hayan permitido mejorar a nivel científico y, lo que es aún más importante para mi, a nivel humano. Gracias por tu amistad. A Dña. Verónica Sáez, compañera de departamento pero, sobre todo, buena amiga. Por todos esos buenos ratos pasados frente a los platos del Club Social, por aguantar todas nuestras bromas y sobre todo por hacerme saber que siempre que me hiciera falta algo estaría allí para echarme un cable. A D. Frank C. Walsh, por haberme acogido en dos ocasiones distintas en su laboratorio, una vez en Portsmouth y la otra en Bath. Por tener una paciencia infinita conmigo y por hacer cada una de aquellas estancias fuera mucho más llevadera para aquel que siente morriña. A D. Juan Conesa, por haberme iniciado en el mundo de la simulación y darme apoyo científico cada vez que lo necesitaba. A D. Carlos Ponce de León, por haber hecho el tremendo esfuerzo de leer mi tesis. A mis compañeros de Departamento, D. Carlos Sánchez Sánchez, D. Pedro Bonete, D. Jesús Iniesta, D. Francisco Gallud, Dña. Dolores García, D. Francisco Vidal, D. Jose Solla, D. Eduardo Exposito, D. Juan Manuel Ortiz, D. Vicente García y D. Miguel Angel Pastor por haber hecho que todos estos años de trabajo sean algo de lo que de verdad me siento orgulloso de recordar.



Al resto de compañeros del Departamento con los que, desgraciadamente he podido compartir menos momentos, pero a los que de verdad llevo en el corazón. A mis compañeros de carrera y post-carrera D. Antonio Berna, D. Joaquín Arias, D. Francisco Hernández, Dña. Laura Jiménez y especialmente a Dña. Mª Ángeles Lillo que no ha permitido que pasara más de un mes sin que nos tomáramos al menos un cafecito juntos y le llorara mis penas. A mis amigos Mario, Maria, Alberto, Natalia, Carolina, Marta, Santi, Bea, Isa, Carlos, Paloma y Botella por vuestra amistad y comprensión, por estar siempre ahí y hacer que los fines de semana olvidara todos los problemas y quebraderos de cabeza que me ha generado esta tesis. Y por último a mis amigos de toda la vida Sergio, Juanjo y Carlos por demostrarme que aunque la vida nos ha llevado por caminos distintos la amistad es algo que siempre perdura. A Todos vosotros,

Gracias



A mi familia. A mis padres Casto y Pilar,

a mis hermanas Verónica y Mirian, a mi cuñado Oscar, y a mis suegros Pedro y Mercedes

por brindarme todo el cariño y el apoyo que me ha hecho falta en cada momento de mi vida.

Soy quien soy gracias a vosotros.



A quien ha dado un nuevo rumbo a mi vida, enseñándome que la felicidad plena

es posible de alcanzar.

Gracias Merche



I

ÍNDICE 1.- Introducción 1 1.1.- Objetivos de la presente memoria 4 2.- Técnicas 11 2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia 13 2.1.1.- Introducción 13 2.1.1.1.- Viscosidad del fluido 14 2.1.1.2.- Tipos de flujo 15 2.1.2.- Transporte de materia 19 2.1.2.1.- Ecuaciones de convección-difusión 20 2.1.2.2.- Grupos adimensionales 22 2.1.2.3.- Correlaciones de grupos adimensionales 25 2.1.2.4.- Flujo a través de un canal con sección

rectangular 26 2.1.3.- Medidas del transporte de materia 28 2.1.3.1.- Métodos para la determinación del coeficiente

de transporte de materia en reactores electroquímicos 28 2.1.3.2.- Determinación de la corriente límite

espacialmente promediada 30 2.2.- Estudios dispersión de flujo 33 2.2.1.- Introducción 33 2.2.2.- Distribución de tiempos de residencia (RTD) 33 2.2.2.1.- Curva E: Distribución de edades del fluido

que abandona un reactor 34 2.2.3.- Métodos experimentales 35 2.2.3.1.- La curva F 38 2.2.3.2.- La curva C 38 2.2.3.3.- Relaciones entre las curvas F, C y E 40 2.2.3.4.- Momentos principales 41 2.2.3.5.- Determinación de las características de la

respuesta a partir de una entrada en forma de impulso 44



II

3.- Hidrodinámica / Transporte de materia 47 3.1.- Estudio del efecto entrada/salida 49

3.1.1.- Introducción 49 3.1.2.- Configuración experimental 55 3.1.3.- Resultados 64 3.1.3.1.- Medida de la caída de presión en el reactor 64 3.1.3.2.- Estudios de transporte de materia 64 3.1.3.3.- Efectos entrada / salida 69 3.1.3.4.- El efecto de los promotores de turbulencia 69 3.1.4.- Nomenclatura 81 3.1.5.- Referencias 82 3.2.- Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03 87 3.2.1.- Introducción 87 3.2.2.- Configuración experimental 88 3.2.3.- Estudios Hidrodinámicos 93 3.2.3.1.- Modelos para los estudios de RTD (Residence

Time Distribution) 93 3.2.3.2.- Flujo pistón con dispersión axial SIN intercambio de materia con las zonas muertas 95 3.2.3.3.- Flujo pistón con dispersión axial CON intercambio de materia con las zonas muertas 95 3.2.3.4.- Resultados 97

3.2.4.- Estudios de transporte de materia 100 3.2.5.- Estudios de visualización directa 105 3.2.6.- Conclusiones 107 3.2.7.- Nomenclatura 108 3.2.8.- Referencias 110 3.3.- Estudio de un reactor a escala piloto UA200.08 117 3.3.1.- Introducción 117 3.3.2.- Configuración experimental 117 3.3.3.- Resultados 125 3.3.3.1.- Estudios hidrodinámicos 125 3.3.3.1.1.- Caída de presión 125 3.3.3.1.2.- Estudios de RTD 127 3.3.3.2.- Estudios de transporte de materia 137 3.3.3.3.- Estudios de visualización directa 142

3.3.4.- Discusión de los resultados 144 3.3.5.- Nomenclatura 147 3.3.6.- Referencias 149



III

3.4.- Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300 153 3.4.1.- Introducción 153 3.4.2.- Configuración experimental 153

3.4.3.- Resultados 157 3.4.3.1.- Estudios hidrodinámicos 157 3.4.3.1.1.- Desarrollo matemático del modelo 158 3.4.3.1.1.1.- Balance de materia global y

balance de materia por especies 158 3.4.3.1.1.2.- Modelo del reactor 159 3.4.3.1.1.3.- Solución del sistema de

ecuaciones diferenciales parciales 163 3.4.3.1.1.4.- Condiciones limite de contorno para las ecuaciones diferenciales parciales 166 3.4.3.1.1.5.- Ajuste de curvas experimentales 167

3.4.3.2.- Estudios de transporte de materia 169 3.4.4.- Conclusiones 171 3.4.6.- Nomenclatura 172 3.4.7.- Referencias 174 4.- Modelización por CFD 175 4.1.- Introducción a la técnica CFD 177 4.1.1.- Introducción 177 4.1.2.- Ecuaciones que gobiernan la dinámica de fluidos 184 4.1.2.1.- Modelos de flujo 184 4.1.2.1.1.- Volúmenes finitos de control 184 4.1.2.1.2.- Elemento infinitesimal de fluido 186 4.1.2.2.- Derivada sustantiva (velocidad de cambio

cuando el sistema se mueve con el fluido) 187 4.1.2.3.- Divergencia de la velocidad 190 4.1.2.4.- Ecuación de continuidad 193 4.1.2.5.- Ecuación de momento 201 4.1.2.6.- CFD 207 4.1.3.- Elementos finitos 209 4.1.3.1.- Elementos Finitos 210 4.1.3.2.- Mallado 212 4.1.3.3.- Discretización 213 4.1.3.3.1.- Método de los residuales ponderados 214 4.1.3.3.2.- Funciones base 216 4.1.3.3.2.1.- Función base P2-P1 217 4.1.3.4.- Resolución 220 4.1.3.4.1.- Convergencia 221



IV

4.1.3.4.2.- Pre-acondicionamiento 222 4.1.4.- Nomenclatura 224 4.1.5.- Referencias 225 4.2.- Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03 229 4.2.1.- Introducción 229 4.2.2.- Configuración Experimental 230 4.2.3.- Estudios por CFD 232 4.2.3.1.- Definición del problema 232

4.2.3.1.1.- Definición de la geometría 232 4.2.3.1.2.- Mallado 235 4.2.3.1.3.- Propiedades del dominio 237 4.2.3.1.4.- Condiciones de contorno 238 4.2.3.2.- Resultados 239 4.2.3.3.- Interpretación de resultados 244 4.2.3.3.1.- Caídas de presión 244 4.2.3.3.2.- Hidrodinámica del sistema 246 4.2.3.4.- Validación de las simulaciones por CFD 249 4.2.3.4.1.- Comparación áreas activas obtenidas

por CFD y por RTD 249 4.2.3.4.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas experimentalmente y por CFD 252 4.2.3.4.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia 261

4.2.4.- Nomenclatura 268 4.2.5.- Referencias 269 4.3.- Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD 273 4.3.1.- Introducción 273

4.3.2.- Prototipos previos 277 4.3.3.- Configuración Experimental (UA63.04) 280 4.3.4.- Estudios por CFD 283 4.3.4.1.- Definición del Problema 283 4.3.4.1.1.- Definición de la geometría 283 4.3.4.1.2.- Mallado 284 4.3.4.1.3.- Propiedades del dominio 286

4.3.4.1.4.- Condiciones de contorno 287 4.3.4.2.- Resultados 288 4.3.4.3.- Interpretación de resultados 293

4.3.4.3.1.- Caídas de presión 293 4.3.4.3.2.- Hidrodinámica del sistema 296 4.3.5.- Estudios Experimentales 298 4.3.5.1.- Configuración Experimental 298



V

4.3.5.2.- Estudios Hidrodinámicos 302 4.3.5.2.1.- Modelo matemático para el estudio

de las curvas RTD 302 4.3.5.2.2.- Resultados experimentos RTD 303 4.3.5.3.- Estudios de transporte de materia 307 4.3.5.4.- Estudios de visualización directa 310 4.3.6.- Validación de las simulaciones por CFD 312 4.3.6.1.- Comparación áreas activas obtenidas por CFD

y por RTD 312 4.3.6.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas

experimentalmente y por CFD 313 4.3.6.2.1.- Modelización de las RTDs 313 4.3.6.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia 324 4.3.7.- Nomenclatura 328 4.3.8.- Referencias 329 5.- Conclusiones 331 Apéndices 337 AP-1.- Programa Matlab modelo RTD: 1 Camino con Volumen muerto 339 AP-1.1.- Introducción 339 AP-1.2.- Código MATLAB 341 AP-1.2.1.- Programa principal (TAILB.M) 341 AP-1.2.2.- Programa de cálculo (OBJETIVO.M) 342

AP-2.- Programa Matlab modelo RTD: 2 Caminos con Volumen muerto 347 AP-2.1.- Introducción 347 AP-2.2.- Código MATLAB 349 AP-1.2.1.- Programa principal (OPTIMISE.M) 349 AP-1.2.2.- Programa de cálculo (OBJETIVE.M) 350

AP-3.- Programa Matlab para el calculo de las áreas activas a partir de CFD 353

AP-3.1.- Introducción 353 AP-3.2.- Código MATLAB 354 AP-3.2.1.- Programa de Interpolación 3D 354 AP-3.2.2.- Programa para el cálculo de áreas activas 357 AP-4.- Programa Matlab para el calculo km a partir de CFD 361 AP-4.1.- Introducción 361 AP-4.2.- Código MATLAB 362 AP-4.2.1.- Programa de Interpolación 3D 362



VI

AP-4.2.2.- Programa principal (OPTIM.M) 365 AP-4.2.3.- Primer bucle de cálculo (OBJETIVO.M) 372 AP-4.2.4.- Segundo bucle de cálculo (OBJETIVO2.M) 386



Capitulo 1: Introducción

3

1.- INTRODUCCIÓN

El principal objetivo de la industria química, incluyendo en esta a la industria

electroquímica, es el de contribuir a la sociedad a través de una adecuada utilización de

unos recursos limitados. Aunque las industrias han de tener un tamaño adecuado para

poder satisfacer las necesidades de la sociedad, el escalado al tamaño de una planta

industrial así como los requerimientos del equipamiento necesario están íntimamente

ligados al avance de las actividades de esa misma sociedad, con lo cual se forma un

ciclo de “retro-alimentación” entre las necesidades y el diseño que ha de ser optimizado.

Ya que las industrias químicas, así como las industrias electroquímicas, son grandes

consumidoras de recursos energéticos, una de las mayores y más importantes tareas a

llevar a cabo consiste en optimizar al máximo los procesos a fin de ahorrar tanto

materias primas como energía, es decir, alcanzar un desarrollo sostenible.

La tecnología electroquímica tiene unas características únicas ya que los

procesos electroquímicos pueden ser considerados como reacciones catalíticas

heterogéneas que ocurren en los electrodos, por la introducción al sistema de una

energía eléctrica. Estos procesos suelen ser bastante flexibles y pueden ser englobados

en varios campos de la química tradicional. Estas características son especialmente

deseables y pueden resultar una ayuda inestimable para la economía de los procesos

químicos. Un ejemplo de estos intentos de aplicación de la electroquímica, en campos

que hasta hace no mucho pertenecían a lo que se definía como química tradicional,

puede ser la síntesis orgánica o inorgánica.

Por tanto, se entiende por Ingeniería Electroquímica al conocimiento necesario

tanto para el diseño como para el funcionamiento de una planta industrial que incluye

alguna etapa electroquímica en un sistema de producción, o bien en la generación de la

energía necesaria para el proceso. La primera opción implica el uso de energía eléctrica




4

para, por ejemplo, la producción de compuestos químicos, y la segunda implica el uso

de compuestos químicos para la generación de energía.

Sin embargo la separación y distinción entre lo que son procesos químicos y

electroquímicos no siempre está tan clara, existiendo un gran número de áreas y de

aplicaciones en las que ambas se solapan y complementan. Por ejemplo, campos

relacionados con la dinámica de fluidos, el transporte de materia y energía, la

termodinámica de los sistemas, los procesos de separación, los procedimientos de

modelización o de optimización son campos que tienen sus bases en principios que

pueden ser aplicados tanto a procesos puramente químicos como electroquímicos.

En resumen, la Ingeniería Electroquímica hace referencia a aspectos prácticos de

la electroquímica relacionados directa o indirectamente con procesos industriales.

1.1.- OBJETIVOS DE LA PRESENTE MEMORIA

Como se ha hecho mención anteriormente, la aplicación de la tecnología

electroquímica a los procesos de síntesis orgánica e inorgánica está recibiendo

últimamente una gran atención por parte de centros de investigación e industrias,

motivada por el convencimiento de que se trata de una poderosa tecnología capaz, no

sólo de realizar síntesis no alcanzables o muy difíciles por métodos clásicos, sino

también, de simplificar en gran manera dichos procesos de síntesis. No obstante esta

utilización esta exigiendo un continuo diseño, desarrollo y perfeccionamiento de

diferentes tipos de reactores electroquímicos (figura 1.1) lo que implica el conocimiento

y la creación de nuevas herramientas que permitan caracterizarlos a través de su

comportamiento hidrodinámico y la estimación de sus transportes de materia. Uno de

los reactores más utilizados, en campos como la síntesis orgánica, y el tratamiento de

aguas con contenido orgánico, es el reactor tipo filtro-prensa. Una de sus principales

ventajas es su facilidad de escalado desde escala laboratorio hasta escala industrial, así




5

como su capacidad de satisfacer las demandas de producción con su montaje en

apilamientos o stacks (monopolares, bipolares y mixtos). No obstante, en el desarrollo

de nuevos procesos con disolventes orgánicos y nuevos materiales electródicos, se ha

puesto de manifiesto la necesidad de mejorar y optimizar el diseño de dichos reactores,

con el objetivo de alcanzar las condiciones hidrodinámicas y las distribuciones de

corriente adecuadas que permitan trabajar con sistemas de más de una fase y mejorar la

selectividad de las reacciones y la evacuación de subproductos gaseosos.

El interés de este proyecto radica en la caracterización de una familia de

reactores electroquímicos del tipo filtro prensa fabricados en la propia Universidad de

Alicante. El estudio comprenderá desde reactores a tamaño laboratorio (16 cm2 y 63

cm2 de área electródica unitaria) pasando por reactores de escala piloto (área de

superficie electródica en célula unitaria 200 cm2) hasta en reactores industriales (3250

cm2 de área electródica unitaria). Para cada uno de ellos se estudiará:

• Su comportamiento hidrodinámico (caída de presión y distribución de

tiempos de residencia) mediante el desarrollo de modelos de simulación

así como experimentación directa en el laboratorio o planta piloto, según

el caso.

• Sus características del transporte de materia dentro del reactor (factor

muy importante a la hora de trabajar a escala industrial).

• Por último se utilizarán nuevas técnicas de simulación con uno de los

reactores a fin de poder modelizarlo totalmente para, posteriormente,

pasar a su optimización. Para ello se emplearán técnicas de CFD

(Computational Fluid Dynamics) basadas en la resolución de las

ecuaciones de Navier-Stokes a través del método de elementos finitos en

el interior de los compartimentos sometidos a estudio.

Se puede dividir la presente memoria en dos grandes partes, figura 1.2,

interconectadas entre sí y cuyo fin será la obtención de un diseño de reactor más

eficiente, que los fabricados hasta el momento en la Universidad de Alicante, obtenido a




6

través de diversos métodos de optimización que evitarán la construcción de muchos

prototipos de prueba disminuyendo significativamente los recursos económicos que se

deberán destinar para alcanzar este objetivo. Por otro lado, a lo largo de la presente

memoria se irán empleando diversas técnicas y herramientas que serán puestas a punto

para desarrollar la tarea de conseguir una optimización más rápida, eficiente y barata de

esta clase de reactores.




7

Figura 1.1: Esquema de concepción y puesta en practica de un proceso electroquímico




8

Figura 1.2: Esquema del presente trabajo




9

Figura 1.2: Esquema del presente trabajo




10

En la parte 1, se realizará un primer estudio de caracterización de reactores

electroquímicos de tipo filtro prensa. El objeto de esta primera parte consistirá,

básicamente, en obtener una visión general de los diversos aspectos que intervienen en

la hidrodinámica y la eficiencia en el transporte de materia de esta clase de sistemas.

Se estudiarán los fenómenos entrada / salida, de especial relevancia en reactores

de dimensiones reducidas en los que no se puede llegar a desarrollar un patrón de flujo

definido, así como las variaciones en la hidrodinámica de los sistemas a medida que se

va pasando de una escala inferior de trabajo a una superior.

Esta primera parte servirá para tener un conocimiento bastante pormenorizado

de la hidrodinámica de estos sistemas, así como, para poner a punto diversas técnicas de

caracterización y estudio de reactores filtro prensa. Entre ellas se tratarán los métodos

basados en el estudio de curvas RTD (Residence Time Distribution), métodos basados

en el estudio del transporte global de materia hacia los electrodos y métodos de

visualización directa.

Por ultimo, en la parte 2 del presente estudio se abordará un caso de

optimización concreto. Se iniciará un estudio mediante técnicas numéricas de

simulación por ordenador, técnicas de CFD (Computational Fluid Dynamics), de un

reactor filtro prensa a escala laboratorio que nos permitirá optimizar una nueva

herramienta que, posteriormente, utilizaremos para proponer un diseño optimizado del

mismo.

Este nuevo diseño de compartimiento será sometido a las mismas técnicas

convencionales de optimización que se vieron en la primera parte del estudio, lo que

además nos permitirá validar la herramienta empleada basada en estudios de CFD.



2.1.- Técnicas: Estudios de transporte de materia

13

2.1.- TÉCNICAS: ESTUDIOS DE TRANSPORTE DE MATERIA

2.1.1.- INTRODUCCIÓN

Las condiciones hidrodinámicas dentro de un reactor son importantes

para muchos aspectos de la Ingeniería Electroquímica. Así, el flujo del fluido no sólo

controla la magnitud y uniformidad del transporte de materia sino que también es

importante en aspectos tales como:

• Retirada de gas de los electrodos, con el objetivo de prevenir un posible

“apantallamiento de gas”, es decir, la obstrucción de la superficie

electródica por las burbujas de gas.

• El diseño correcto de los distribuidores para introducir los electrolitos /

reactivos y para retirar los electrolitos / productos de un reactor de flujo

continuo.

• El control de la estabilidad de temperatura y composición dentro de un

reactor que permitan el funcionamiento, según lo especificado.

• El diseño del equipamiento adicional tal como bombas, válvulas,

rotámetros e intercambiadores de calor.

• La caída de presión a lo largo del reactor, que determinará parcialmente

los requerimientos de bombeo.

• La capacidad de separación del producto, por ejemplo, en la recuperación

de metal en polvo a través de fluidización.




14

2.1.1.1.- Viscosidad del fluido

La mayoría de los electrolitos líquidos son fluidos Newtonianos, es decir,

la tensión tangencial experimentada por el líquido es una fuerza proporcional a la

superficie sobre la que actúa. Consideremos dos planos de fluido separados una cierta

distancia, uno moviéndose a una velocidad, vx, y el otro permaneciendo inmóvil. En

flujo laminar, la tensión tangencial entre las capas de fluidos adyacentes, τyx, puede ser

expresada como:

y d vd

xyx µτ = (2.1.1)

donde la constante de proporcionalidad, µ, entre la tensión tangencial y el

gradiente de velocidad es la viscosidad dinámica. Esta propiedad depende sólo del

estado del fluido (es decir, su presión, temperatura y composición) y se puede

considerar como una resistencia a las fuerzas de fricción.

La ecuación (2.1.1) es un ley de transporte lineal que describe el

movimiento del flujo del fluido a una escala molecular. La viscosidad cinemática, ν, es

la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido:

ρµ

ν = (2.1.2)




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2.1.1.2.- Tipos de flujo

Convección libre y convección forzada

En el caso de la convección, el movimiento del fluido esta causado por la

influencia de un gradiente de velocidad. Se puede distinguir dos casos. La convección

natural (o libre) que tiene lugar por variaciones locales en la densidad ( a menudo

causadas por las variaciones locales en temperatura) y la convección forzada que es

originada por la aplicación de una energía mecánica (como el caso de un bombeo de

electrolito o movimiento del electrodo), o por el consumo de energía en un sistema

(como en el caso de caída de presión a través de una tubería). En la práctica, tanto la

convección libre como forzada pueden contribuir al flujo de fluido, aunque en

experimentos controlados de laboratorio, usualmente es deseable que uno de ellos

predomine.

Flujo laminar y turbulento

Las condiciones de flujo de un electrolito para una geometría particular

de reactor suelen estar caracterizadas por un grupo adimensional conocido como

número de Reynolds

νl v Re = (2.1.3)

donde v es la velocidad de flujo característica, l es la longitud característica y ν

es la viscosidad cinemática definida por la ecuación (2.1.2). La velocidad y la longitud

característica dependen de la geometría del compartimento. Por ejemplo, v puede ser la

velocidad lineal del fluido en un canal, o través de un electrodo poroso, o puede ser la

velocidad periférica de un cilindro rotatorio. La longitud característica puede ser el




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diámetro de una tubería, el diámetro equivalente de un canal, el radio de poro medio de

un electrodo poroso o el radio de un disco rotatorio.

Figura 2.1.1: Clases de regímenes de flujo y sus correspondientes perfiles de velocidades

El número de Reynolds representa la relación de las fuerzas de inercia frente a

las fuerzas viscosas en un líquido, (es decir, la relación de fuerzas que causan el flujo

del electrolito frente a las que lo retardan). Su importancia puede verse considerando el

flujo convectivo forzado a través de una compartimiento rectangular de pared lisa, como

podría ser el caso de un reactor electroquímico filtro prensa (ver figura 2.1.1) donde la

velocidad característica, v viene dada como la relación de una velocidad de flujo

volumétrica media frente al área normal al paso del fluido, Ax (para un canal rectangular

Ax = B·S donde B es la anchura del canal y S su altura).

x

v

AQ

v = (2.1.4)

A valores de Re bajos, la capas de fluido se deslizan rápidamente una sobre otra

y la velocidad local en cualquier punto es independiente del punto. Esta condición de

flujo laminar tiene lugar típicamente para Re < 2000 en una compartimiento como el

Flujo Laminar, Re ↓

CaudalCaudal Qv

Flujo Turbulento, Re ↑

B

S




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descrito. A valores de Re mayores (>2000), el flujo sufre una transición gradual y hay

una tendencia a la formación de vórtices que mezclan las capas de fluido. Dentro de

este rango se encuentra el número de Reynolds crítico, Recrit, para el comienzo del flujo

turbulento. A un valor de Re suficientemente alto los vórtices mezclan las capas de

fluido y los valores de velocidad local fluctúan con el tiempo alrededor de un valor

medio. Este flujo es totalmente turbulento y da lugar a un perfil de velocidades plano.

Cualquier obstáculo al flujo de fluido, tal como rugosidad de la pared del canal, causará

el inicio de las turbulencias a valores de Re menores, es decir, Recrit disminuirá.

Las condiciones de flujo pueden ser estudiadas a través de técnicas de

inyección de un trazador que se comentarán en capítulos posteriores.

Para una geometría electrodo / electrolito dada, los reactores de diferente

tamaño se espera que tengan propiedades de flujo similares si el valor de Re se

mantiene durante el escalado. Esto se denomina algunas veces como el “principio de

similitud dinámica”. Sin embargo, en el transcurso de la presente tesis se comprobará

que esto no siempre se cumple, y que dicho principio de similitud dinámica puede dar

lugar a escalados incorrectos o deficientes.

Hasta aquí, han sido considerados los perfiles de velocidad totalmente

desarrollados. En la práctica dichos perfiles se desarrollan gradualmente con la

distancia a lo largo de la pared en la dirección principal de flujo del fluido y se puede

ilustrar la situación considerando el desarrollo del flujo laminar de un electrolito sobre

una placa plana. Dos fuerzas actúan sobre el fluido:

1. La fuerza motriz que causa el flujo, (por ejemplo, la presión de un bomba

o la presión hidrostática).

2. Una fuerzas opositoras debida a las fuerza viscosa en la interfase entre la

placa y el electrolito que genera una fricción con la pared sólida.




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Si la disolución se divide en capas elementales, los elementos cercanos a la placa

estacionaria son frenados por ella. En un reactor electroquímico, la placa plana

normalmente sería un electrodo o separador.

A velocidades más altas, y a una distancia suficientemente alejada de la entrada

de líquido en la dirección principal de flujo de fluido se desarrolla el flujo turbulento. A

distancias cortas, la capa límite es laminar; más allá de una distancia, xCRIT, a lo largo de

la superficie electródica, pasa a ser turbulenta (pero retiene una fina subcapa laminar

cercana a la placa, δ). Para fluidos Newtonianos, 3 x 105 < ReCRIT ( = u∞xCRIT/ν) < 3 x

106.

Figura 2.1.2: Desarrollo del flujo de un fluido sobre una superficie plana

La existencia de capas límite desarrolladas tiene dos importantes

implicaciones:

• El espesor de la capa laminar será más fino a distancias más cortas a lo

largo del electrodo, y por lo tanto, las densidades de corriente

controladas por el transporte de materia local serán mayores que los

valores medios sobre la longitud de la placa.

• En una caso de un canal delimitado, (por ejemplo un canal rectangular,

anular o circular) las capas límite en las dos paredes se unirán al final en

u∞ u∞

δ y

x




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el mismo punto. A partir de aquí, tendrá lugar una situación en estado

estacionario donde el flujo está completamente desarrollado.

Las turbulencias dentro de los reactores electroquímicos son normalmente

ventajosas, ya que los remolinos del flujo aumentan el transporte de materia de las

especies reactivas hacia el electrodo, y también promueven el intercambio de especies

entre el seno de la disolución y las capas superficiales. Este último factor tiende a

minimizar el efecto del pH local y cualquier otro cambio de composición provocado por

la reacción electródica. De hecho, es una práctica común utilizar redes o varillas de

material aislante cercanas a la superficie del electrodo para actuar como promotores de

turbulencia. Por otra parte, la misma forma del electrodo (por ejemplo mallas, esponjas,

redes, lechos de fibras o partículas) puede actuar como un promotor de turbulencia.

La generación de flujo turbulento implica una caída de presión mayor en el

reactor, con lo que se sufre una penalización de coste en términos de impulsión del

fluido.

2.1.2.- TRANSPORTE DE MATERIA

Una velocidad de transporte de materia elevada y uniforme de la especie

electroactiva hacia o desde la superficie electródica es importante en varias áreas del

comportamiento del reactor ya que,

• Conllevará la obtención de elevadas intensidades lo que a su vez

proporcionará gráficas de rendimiento del reactor mejoradas.

• Densidades de corriente uniformes sobre la superficie del electrodo

minimizan las reacciones secundarias y, por lo tanto, ayudan a mantener

la eficiencia en corriente, rendimiento en materia y selectividad en




20

valores elevados. Esto es sólo posible si el régimen de transporte de

materia es uniforme sobre toda la superficie del electrodo.

• Deben mantenerse composiciones de la capa de reacción en la superficie

del electrodo en valores cercanos a las del seno de la disolución para

prevenir reacciones químicas indeseadas, de lo contrario se puede

dificultar la cinética de la reacción, contaminar el electrodo o disminuir

la pureza del producto.

2.1.2.1.- Ecuaciones de convección-difusión

En presencia de una concentración de electrolito soporte elevada el transporte de

materia de las especies puede ser descrito por un flujo compuesto de un término de

difusión y otro de convección:

dxdcD - vc N = (2.1.5)

donde v es la velocidad del fluido, c es la concentración de las especies, D es la

coeficiente de difusión y x es la dirección perpendicular a la superficie del electrodo.

Esta ecuación es, de hecho, una forma de la ley de Fick con la adición de un término de

flujo convectivo, vc. Un balance de materia para un elemento de volumen pequeño en

el sistema nos conduce a una forma diferencial de la ley de conservación. En los

sistemas puramente electroquímicos, la velocidad de reacción es cero en el seno de la

disolución y por tanto,

xN -

tc

∂∂

=∂∂

(2.1.6)




21

El acoplamiento de las ecuaciones (2.1.5) y (2.1.6) lleva a una expresión para la

difusión-convección en términos de la velocidad de variación de la concentración con el

tiempo:

2

2

xc D

xc v-

t c

∂∂

+∂∂

=∂∂

(2.1.7)

Esta es una versión de la segunda ley de Fick con un término adicional para la

convección. Por otra parte, para fluidos Newtonianos, la variación de la velocidad con

el tiempo viene dada por la ecuación de Navier-Stokes que representa la conservación

del momento en el sistema. Para un fluido incompresible, y teniendo en cuenta tan solo

una componente de la velocidad, la relación es:

g x

v xp 1 -

xv v

t v

2

2+

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ν

ρ (2.1.8)

donde ρ es la densidad del fluido, p es la presión y g es la aceleración de la

gravedad. Por otro lado, la ley de la conservación de la materia en el electrolito también

debe cumplirse, como se expresa por la ecuación de continuidad:

0 xd vd

=ρ (2.1.9)

El sistema de ecuaciones diferenciales (2.1.7)-(2.1.9) define completamente

todos los parámetros requeridos para cuantificar el transporte de materia por

convección-difusión. En principio, estas ecuaciones deberían poder ser resueltas para

cualquier geometría electrodo / electrolito bien definida. En la práctica, se han obtenido

las soluciones analíticas de este sistema complejo de ecuaciones para geometrías

simples, en régimen laminar, tales como el electrodo de disco rotatorio, los electrodos

de placas paralelas separados por una distancia infinita, flujo en canal y el electrodo de

gota de mercurio. Para situaciones más complejas y para muchos casos de flujo




22

turbulento, es difícil especificar las condiciones de contorno para la ecuación de Navier-

Stokes y la solución analítica es imposible. Si bien, y como se presentará en el

desarrollo de la presente tesis, en los últimos años han ido apareciendo una serie de

técnicas computacionales englobadas bajo las siglas CFD (Computational Fluid

Dynamics) que permiten afrontar problemas de elevada complejidad. Sin llegar a

recurrir a estas nuevas técnicas computacionales, es posible adoptar una aproximación

empírica donde las expresiones relacionen el transporte de materia observado con la

geometría electrodo / electrolito y con las condiciones de electrolisis. Esta

aproximación usando correlaciones de transporte de materia empíricas normalmente

hace uso de grupos adimensionales con el objetivo de reducir el número de variables

manejadas.

2.1.2.2.- Grupos adimensionales

En Ingeniería Electroquímica, es normal utilizar los grupos

adimensionales definidos en la Tabla 2.1.1. El número de tales grupos, usados en una

correlación, viene dada por el teorema π de Buckingham de análisis dimensional, como

el número de variables originales menos el número de dimensiones fundamentales.




23

Grupo adimensional

Definición Ecuación Significado

Número de Sherwood, Sh D

lk m= (2.1.10) Transporte de materia por convección forzada

Número de Staton, St v

k m= (2.1.11) Transporte de materia por convección forzada

Número de Reynolds, Re ν

vl = (2.1.12) Flujo de fluido en convección forzada

Número de Grashof, Gr ρ

µρ

∆= 2

3 g L (2.1.13) Flujo de fluido

en convección natural

Número de Schmidt, Sc D

ν= (2.1.14) Propiedades de transporte

Tabla 2.1.1: Grupos adimensionales comunes utilizados en el transporte de materia electroquímico. km =

coeficiente de transporte de materia, l = longitud característica, D = coeficiente de difusión, v =

velocidad característica, ν = viscosidad cinemática, µ = viscosidad dinámica, ρ = densidad del fluido, g

= aceleración de la gravedad, L = longitud del electrodo.

El número de Sherwood hace referencia al transporte de materia bajo

condiciones de flujo convectivo forzado. La ecuación (2.1.10) puede ser rescrita

recordando que el espesor de la capa de difusión de Nernst, δ, se define como

mkD =δ (2.1.15)

Por lo que el número de Sherwood quedaría,

δ1 Sh = (2.1.16)

y, por tanto, expresa la relación de la longitud característica en comparación al

espesor de la capa de difusión de Nernst. La longitud característica, l, depende de la

geometría del electrodo y puede ser, por ejemplo:




24

• Una dimensión perpendicular a la superficie del electrodo tal como el

espacio interelectródico.

• Una longitud equivalente apropiada.

• El radio o diámetro de un disco o cilindro.

• El radio o diámetro de poro medio de un material electródico

tridimensional poroso.

• El radio o diámetro medio de una partícula en un electrodo de lecho

fluidizado o compacto.

El número de Staton, que a veces se prefiere al número de Sherwood, está

definido por la ecuación (2.1.11) como la relación del coeficiente de transporte de

materia respecto a la velocidad característica. Está relacionado con el número de

Sherwood a través de la relación:

St·Re·Sc Sh = (2.1.17)

El número de Reynolds, ecuación (2.1.12), caracteriza el flujo del fluido en

sistemas de convección forzada y representa la relación de fuerzas de inercia asociadas

al flujo, respecto de las fuerzas viscosas debido a la resistencia del electrolito en la

superficie del electrodo. La longitud característica utilizada para definir el Re debería

ser la misma que la elegida para el Sh.

El número de Grashof (ecuación 2.1.13) caracteriza el flujo de fluido bajo

condiciones de convección natural donde las diferencias de presión debidas a las

diferencias de densidad locales proporcionan la fuerza motriz para el movimiento de

fluido.




25

2.1.2.3.- Correlaciones de grupos adimensionales

Estas correlaciones pueden proporcionar expresiones para el transporte de

materia (a través del Sh) en términos de condiciones de flujo de fluido (con el Re, Gr o

ambos) y de propiedades del electrolito (Sc). En el caso general de convección-

difusión,

cdb ·Sc·Gra·Re Sh =

(2.1.18)

donde a, b, c y d son constantes que pueden ser obtenidas (en casos favorables)

teóricamente a través de una solución analítica de las ecuaciones de difusión-

convección. Más habitualmente, se calculan por medio de un análisis empírico de los

datos experimentales. La ecuación (2.1.18) tiene dos casos límite. Si sólo está presente

la convección libre, el efecto del valor de Re es despreciable, ya que el exponente b

tiende a 0, y la expresión pasa a ser

cd ·Sca·Gr Sh = (2.1.19)

En el caso más común de convección forzada predominante, el Gr es

despreciable, ya que el exponente d tiende a 0, y la correlación de transporte de materia

puede ser escrita en la forma

cb ·Sca·Re Sh = (2.1.20)

Los valores de las constantes, a, b y d dependen tanto de la geometría del

electrodo como de las condiciones de flujo. Por ejemplo, el exponente de Re, b, tiende

a ser más grande en flujo turbulento que en flujo laminar. Es común considerar que el

exponente del numero de Schmidt, c, tiene un valor de 1/3.




26

El análisis de grupos adimensionales es un método poderoso para expresar el

transporte de materia en los reactores electroquímicos. Es importante, de todas formas,

darse cuenta de las deficiencias de las correlaciones de grupos adimensionales:

• Las expresiones se obtienen normalmente en un estrecho rango de los

parámetros experimentales. La extrapolación a otras condiciones (por

ejemplo, durante la etapa del escalado) debe ser hecha con precaución.

• Las relaciones proporcionan valores promediados en el espacio

(macroscópicos) de Sh sobre un rango de variables. No mostrarán, por

ejemplo una división del flujo en fases lentas debido al movimiento lento

del fluido en las cercanías de la pared, y fases rápidas en el seno de

disolución. No proporcionarán información sobre la separación de flujos

cerca de los alimentadores, o la uniformidad del flujo sobre una

superficie electródica. Estas deficiencias se solventarán a lo largo de la

presente tesis mediante el empleo de nuevas técnicas computacionales.

• La exactitud de las correlaciones publicadas varía considerablemente y el

valor de Sh predicho a unos valores de Re y Sc dados puede caer

normalmente dentro de un rango ± 20% del valor experimental.

La forma exacta de la ecuación (2.1.18) depende de la geometría electrodo /

electrolito particular.

2.1.2.4.- Flujo a través de una canal con sección rectangular

La geometría de placa paralela con flujo a lo largo de la placa es una de las

geometrías simples más utilizadas en los reactores electroquímicos industriales, es el

caso de los reactores tipo “filtro-prensa”. Esta geometría suele encontrar usos en

estudios de deposito de metal y electrosíntesis. Muchos reactores reales de placas




27

paralelas se aproximan al flujo a través de un canal rectangular. De todas formas, las

relaciones de transporte de materia expuestas aquí se refieren a un flujo totalmente

desarrollado que normalmente se obtiene mediante una sección calmante, es decir, una

sección longitudinal de canal aislada eléctricamente previa a la superficie electródica.

En los reactores reales, tal exceso no es posible, y los distribuidores de flujo

normalmente inyectan o extraen el electrolito en puntos interiores, o muy cercanos, del

canal interelectródico.

En el caso del flujo bien totalmente desarrollado en un canal de sección

rectangular la correlación de grupos adimensionales normalmente toma la forma

general:

ecb ·Le·Sca·Re Sh = (2.2.21)

La velocidad característica utilizada en el número de Reynolds es normalmente

la velocidad de flujo lineal media en la dirección principal del flujo, definida como la

relación del caudal, Qv, respecto al área sección perpendicular al flujo, Ax:

BSQ

AQ

v v

x

v == (2.2.22)

donde B y S son el ancho del canal y S es la altura / profundidad del canal. S es

normalmente la separación electródica (o la distancia electrodo / membrana en una

célula dividida). La longitud característica tanto en Sh y Re es el diámetro hidráulico

equivalente, de, que se define como la relación de 4 veces el área seccional del canal

perpendicular al flujo respecto del perímetro húmedo:

SB2BS

2S 2B4BS d e +

=+

= (2.2.23)




28

El grupo de longitud adimensional, Le, es la relación del diámetro hidráulico

respecto la longitud de los electrodos en la dirección del flujo:

Ld

Le e= (2.2.24)

La expansión de los grupos adimensionales en la correlación (2.2.21) nos

conduce a:

e

ecb

eem

Ld

D

d v

a Ddk

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

νν

(2.2.25)

En el caso de un flujo laminar totalmente desarrollado, se dispone de la solución

analítica de las ecuaciones de convección-difusión y las expresiones teóricas resultantes

dependen de la relación de aspecto del canal, (γ=S/B). Para una célula que presente

electrodos infinitamente anchos (B >> S) y L/de ≤ 35,

1/31/33/1 Le ·Sc ··Re 1.85 Sh = (2.2.26)

2.1.3.- MEDIDAS DEL TRANSPORTE DE MATERIA

2.1.3.1.- Métodos para la determinación del coeficiente de transporte de

materia en reactores electroquímicos.

El coeficiente de transporte de materia, km, es una constante de velocidad

heterogénea que caracteriza la velocidad de transporte de materia bajo condiciones

conocidas de composición de electrolito, temperatura y condiciones de flujo. Se puede

determinar a través de cuatro rutas.




29

1. Por manipulación de los grupos adimensionales de las correlaciones de

transporte de materia conocidas

2. A través de medidas de conversión de materia en el reactor bajo control

total por transporte de materia y la aplicación de las ecuaciones de diseño

que suponen un modelo de reactor particular e implican un balance de

materia en el reactor. Casos especiales son el empleo de una variación

de masa del electrodo (debido al deposito de un metal o a la disolución

del material electródico) o la medida de una variación de concentración

de un componente en la disolución.

3. Por determinación del espesor de la capa de difusión de Nernst y la

aplicación de la ecuación:

Nm

Dkδ

= (2.2.27)

Aunque está técnica es rara vez fácil de emplear en la práctica, y, además

ya se ha comentado que los perfiles de concentración son normalmente

no-lineales haciendo difícil, si no imposible, la medida correcta de δN.

De todas formas, en casos favorables, técnicas ópticas tales como la

interferometría se han utilizado para observar las capas de difusión.

4. Por medio de la medida de la corriente límite, por ser una técnica directa

ya que IL y km están ligados por la ecuación,

cFn A I

k Lm = (2.2.28)




30

en donde A es el área del electrodo, F la constante de

Faraday, n el número de electrones implicados en la reacción

y c la concentración de la especie electroactiva en la

disolución.

2.1.3.2.- Determinación de la corriente límite espacialmente promediada.

El método más empleado de medida de la corriente límite es registrar una

curva de corriente, en estado estacionario, frente al potencial, y obtener el valor de esta

magnitud por medida de la corriente en la meseta de la curva. La técnica normalmente

se aplica a una combinación reacción / electrodo modelo en presencia de una alta

concentración de electrolito soporte. La contribución de la migración de reactivos al

transporte de materia se puede así ignorar debido al exceso de electrolito soporte y el

problema se reduce a un proceso de transporte por convección-difusión. Existe una

gran variedad de reacciones test todas ellas prácticamente reversibles en las condiciones

empleadas.

• Reducción del ión ferricianuro (hexacianoferrato (III)) o la oxidación del

ión ferrocianuro (hexacianoferrato (II)) en un medio neutro (por ejemplo

KCl) o alcalino (KOH) sobre platino u oro.

• Reducción de iones cúprico a cobre metálico en un medio sulfato ácido.

• Reducción del oxígeno molecular disuelto en un medio neutro (por

ejemplo NaCl) o alcalino (KOH) sobre un electrodo de platino, oro, plata

o monel.

• Reducción de triioduro a ioduro en un medio de ioduro potásico,

normalmente sobre un electrodo de platino.




31

En la práctica, las dos reacciones más empleadas son el depósito de cobre a

partir del sulfato de cobre y la reducción de ferricianuro a ferrocianuro.

La reacción de deposito de cobre tiene la ventaja de un fácil y rápido análisis de

la variación de Cu2+, incluso a niveles bajos mediante, por ejemplo, polarografía o

espectroscopía de absorción atómica. De todas formas, los estudios de larga duración o

las velocidades de transporte de materia altas pueden ser problemáticas debido a la

formación de depósitos en forma de polvos dendríticos rugosos (que cambian tanto el

área superficial como el grado de microturbulencia cerca la superficie).

Normalmente resulta conveniente utilizar un electrolito y unas condiciones de

operación (tales como concentración y temperatura) que tengan propiedades de

transporte bien conocidas (ν y D) con el objetivo de facilitar el cálculo de los grupos

adimensionales. La viscosidad cinemática, ν, se mide rápidamente como la relación de

la viscosidad dinámica, µ, respecto de la densidad del fluido, ρ. Los coeficientes de

difusión se miden normalmente con un EDR a través de la ecuación de Levich.

Se disponen de varias técnicas para medir IL. El método de barrido de potencial

puede ser lento así como generar cambios en la superficie del electrodo o cambios en la

concentración del reactivo empleado en el caso de una célula dividida, especialmente si

la fracción de conversión es alta. Si el comportamiento I frente a E está bien

establecido, una alternativa conveniente es la técnica de salto de potencial, donde el

potencial varía desde un valor en equilibrio, en donde I tiende a 0, a uno en el que el

sistema se encuentra bajo control por transporte de materia. La corriente varía

bruscamente debido a la variación de la capacidad diferencial y la aparición del proceso

faradaico hasta alcanzar un valor de IL estacionario. En ciertos casos, resulta útil aplicar

un potencial seleccionado e ir aumentando el numero de Re del sistema por medio del

aumento progresivo de la velocidad del electrodo / electrolito. En el caso de reactores

industriales, a menudo resulta imposible utilizar un potenciostato para controlar el

potencial del electrodo. En estos casos, la ruta más común para obtener curvas I frente a




32

E es ajustar manualmente la corriente y registrar el valor de E estacionario,

incorporando un electrodo de referencia en el reactor.



2.2.- Técnicas: Estudios de Dispersión de flujo

33

2.2.- TÉCNICAS: ESTUDIOS DE DISPERSIÓN DE FLUJO


El comportamiento real de los reactores nunca se ajusta exactamente a las

situaciones y modelos hidrodinámicos ideales para el comportamiento de sistemas, es

decir, al modelo de reactor continuo de tanque agitado (RCTA) o al modelo de reactor

continuo flujo pistón (RCFP). En raras ocasiones el comportamiento de los sistemas se

aproxima tanto a estas condiciones; admitir este comportamiento ideal implica incurrir

en un error apreciable. Por norma general, las desviaciones pueden ser muy grandes

debidas, por ejemplo, a la formación de canalizaciones del flujo, o a la existencia de

zonas con recirculación del fluido o remolinos, o bien por la formación de zonas

estancadas o muertas en el reactor.

Los problemas del flujo no ideal están íntimamente relacionados con los de cambio

de escala, ya que la decisión de si ha de probarse un diseño o no a escala de planta

piloto depende, en gran parte, del control sobre las variables más importantes del

proceso. A menudo, el factor no controlable en el cambio de escala es la magnitud de la

no idealidad del flujo, y a que, con frecuencia, este factor difiere ampliamente entre las

unidades grandes y las pequeñas; por consiguiente, el desconocimiento de la variación

de este factor puede conducir a grandes errores en el diseño.

2.2.2.- DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA (RTD)

Si se supiera exactamente lo que sucede en el interior del reactor, es decir, si se

dispusiera de una representación completa de la distribución de velocidades del fluido,

se podría predecir el comportamiento hidrodinámico del reactor en su totalidad. Dicha

representación se obtendrá en el transcurso de la presente tesis a través de las técnicas

de CFD (Computational Fluid Dynamics) que serán tratadas más adelante. Sin embargo,




34

y como primera aproximación a la caracterización hidrodinámica de los reactores se

usarán técnicas menos sofisticadas para obtener una primera interpretación del

comportamiento de los mismos. De manera tradicional, sólo se suele estudiar el tiempo

que permanece un elemento de fluido en el recipiente, o más exactamente, la

distribución de tiempos de residencia de la corriente del fluido. Esta información puede

determinarse de manera fácil y directa por un método de investigación empleado

ampliamente: el método experimental estímulo-respuesta. Sin embargo esta técnica

adolece de tratar al sistema sometido a estudio como una caja negra en la que no se sabe

exactamente qué esta ocurriendo en su interior, tan solo permite suponerlo.

2.2.2.1.- Curva E: Distribución de edades del fluido que abandona un reactor

Es evidente que, en general, los distintos elementos del fluido, al seguir los

diferentes caminos a lo largo del reactor, tardarán tiempos diferentes en pasar a su

través. La distribución de estos tiempos en la corriente de fluido que sale del recipiente

se denomina distribución de la edad del fluido a la salida, curva E, o Distribución del

Tiempo de Residencia, DTR, del fluido o, en inglés, RTD (Residence Time

Distribution).

Es conveniente representar la RTD de tal manera que el área bajo la curva sea la

unidad, es decir

∫∞

=0

1Edt (2.2.1)

La fracción de corriente de salida cuya edad, o tiempo que un elemento de fluido ha

permanecido en el recipiente, está comprendida entre t y t1, es,

∫1

·t

t

dtE (2.2.2)




35

la fracción con edad inferior a t1 es

∫1

0

t

Edt (2.2.3)

mientras que la fracción de material con edad superior a t1, es:

∫ ∫∞

−=1

1

0

1t

t

EdtEdt (2.2.4)

La curva E es la distribución que ha de tenerse en cuenta en el flujo no ideal.

2.2.3.- MÉTODOS EXPERIMENTALES

Como se pretende caracterizar el grado de flujo no ideal por medio de la función de

distribución de salida, se ha de saber cómo se puede determinar E para cualquier flujo.

Con este objetivo, se suele recurrir a una serie de técnicas experimentales que se

engloban en la denominación general de técnicas estimulo-respuesta. En este tipo de

experimentación, se estimula al sistema mediante una perturbación y se observa cómo el

sistema responde a este estímulo; el análisis de la respuesta proporciona información

sobre la hidrodinámica del sistema.

En nuestro caso, el estímulo es una inyección de trazador en el fluido que entra al

reactor electroquímico, mientras que la respuesta es la variación de la concentración del

trazador a la salida del recipiente frente al tiempo. Puede emplearse como trazador

cualquier sustancia que se pueda detectar, y que no perturbe el tipo de flujo en el




36

recipiente, y cualquier tipo de señal de entrada: una señal al azar, una señal periódica,

una señal en escalón, o una señal en impulso. En la figura 2.2.1 se representan estas

señales, así como sus respuestas características.

Los casos más frecuentemente usados son los dos últimos por resultar los más

sencillos en su tratamiento, aunque puede obtenerse la misma información con todos

estos tipos diferentes de señales de entrada.




37

Figura 2.2.1: Técnicas Estimulo / Respuesta empleadas corrientemente para el estudio del flujo en

reactores




38

2.2.3.1.- La Curva F

Cuando la corriente de fluido que entra al reactor no contiene trazador alguno, y le

imponemos una señal trazadora en escalón, de concentración C0, en la corriente de

fluido que entra al reactor, se denomina curva F a la curva representativa de la

concentración del trazador a la salida del reactor (midiendo esta concentración a la

salida en función de su concentración a la entrada, C/C0) frente al tiempo. En la figura

2.2.2 se representa esta curva y se observa que es siempre ascendente desde 0 hasta 1.

Figura 2.2.2: Señal característica a la salida del reactor, denominada curva F, que corresponde a la

respuesta de una señal de entrada en escalón

2.2.3.2.- La Curva C

Cuando la corriente de fluido que entra al recipiente no contiene trazador alguno, y

se le impone un impulso ideal de trazador (señal trazadora que se inyecta de modo

virtualmente instantáneo y que frecuentemente se conoce con el nombre de función

Tiempo

Señal de Entrada

Señal de Salida

0

1




39

delta), se denomina curva C a la respuesta normalizada generada por el trazador en el

flujo de salida frente al tiempo.

Para efectuar esta normalización se divide la concentración de salida a un tiempo t

por A (el área bajo la curva concentración-tiempo). Por consiguiente, tenemos en forma

normalizada:

∫∫∞∞

==00

1dtACCdt (2.2.5)

Siendo A,

∫∞

=0

CdtA (2.2.6)

Tiempo

Con

cent

raci

on d

e Tr

azad

or

Señal de Entrada en Pulsoδ

Señal de Salida (Curva C)

Figura 2.2.3: Señal característica a la salida del reactor, denominada curva C, que corresponde a

la respuesta de una señal en función δ.




40

2.2.3.3.- Relaciones entre las curvas F, C y E

Para relacionar E con C en régimen estacionario, se ha de tener en cuenta que la

RTD para cualquier porción de fluido que entra al recipiente ha de ser la misma que la

que sale. En caso contrario se acumularía en el recipiente material de distintas edades, lo

que estaría en contradicción con la hipótesis de estado estacionario.

Así, si se considera el siguiente experimento, en el que un fluido blanco (sin

trazador) circula en régimen estacionario a través de un recipiente, y en el instante t = 0

se provoca una pulsación de fluido trazador, la curva C representa la concentración del

trazador a la salida frente al tiempo; por consiguiente indica cuando salen estas

moléculas, es decir, su distribución de edades. Por tanto, tenemos:

EC = (2.2.7)

En consecuencia, la curva C da directamente la distribución de edades a la salida.

Para relacionar E con F se considera un fluido blanco (sin trazador) que circula en

flujo estacionario a través del recipiente, y en el instante t = 0, se introduce un fluido

trazador. La curva E representa el aumento de la concentración del trazador en la

corriente de salida.

Se tiene que, para cualquier instante t,

∫=t

EdtF0

(2.2.8)




41

2.2.3.4.- Momentos principales

Se pueden expresar determinadas características significativas de las funciones de

distribución a partir de técnicas numéricas relativamente sencillas como son el estudio

de los momentos de las curvas.

El momento general enésimo Mn o momento de orden n con respecto al origen para

una función f(t) de distribución viene definido por,

( ) ∫∞

=0

nn dt f(t) t M (2.2.9)

en donde n = 1,2,3....

El momento de orden 0 (M(0)) caracteriza el área existente bajo la curva estudiada,

( ) 1dt f(t) M0

0 == ∫∞

(2.2.10)

El momento de primer orden (M(1)) determina el tiempo de residencia medio del

sistema τ.

∫∞

==0

1(1) dt f(t) t M τ (2.2.11)

este tiempo de residencia medio puede ser también calculado a partir del volumen

del sistema y el caudal de flujo según,

V

(1)

QV M ==τ (2.2.12)

Los momentos generales de orden mayor (M(n)) (n = 2, 3, 4...) se utilizan para la

evaluación de los errores en la determinación en las funciones de distribución y en los




42

parámetros de sus modelos matemáticos. Los momentos de orden mayor suelen ser

especialmente sensibles a los errores de ajuste en las regiones finales de la curva, las

zonas denominadas como las “colas” de los experimentos de estimulo respuesta. Esta

desventaja puede evitarse con los denominados momentos ponderados.

El momento ponderado de orden n M(n)(p) se define según,

( ) ( ) ∫∞

=0

nn dt f(t) t)q(p, tpM (2.2.13)

en donde q(p,t) es la denominada función de ponderación.

Si la función de ponderación es una función exponencial del tipo e-st entonces,

aplicando las propiedades de las transformadas de Laplace se tendría que,

( ) ( ) (s)fdsd)1(dt f(t) e tsM n

nn

0

st-nn −== ∫∞

(2.2.14)

De acuerdo con esta relación el momento con respecto al origen seria el caso limite

de este momento ponderado,

( ) ( ) (s)fdsdlim)1((s)M limM n

n

0s

nn

0s

n

→→−== (2.2.15)

Las relaciones obtenidas se usan en casos generales para el estudio de las respuestas

registradas después de un estimulo en forma de impulso, en sistemas con recirculación.

El momento central de orden n en torno a un valor medio Mc(n) viene definido por,

( )∫∞

=0

n(n)c f(t)dt-t M τ (2.2.16)




43

En estos casos el momento central de orden cero volvería a darnos el área existente

bajo la curva,

Mc(0) = 1 (2.2.17)

El momento central de primer orden sería igual a cero (la probabilidad matemática

de cantidades aleatorias centradas)

Mc(1) = 0 (2.2.18)

El momento central de orden 2 caracterizaría la varianza de la cantidad t alrededor

de un valor medio y se suele definir como σt2,

( )∫∞

==0

2t

2(2)c f(t)dt -t M στ (2.2.19)

Los momentos centrales de tercer y cuarto orden se suelen usar para descripciones

más detalladas de las curvas sometidas a estudio.

El momento central de orden 3 caracteriza la oblicuidad (asimetría de la curva de

densidad de probabilidad)

( )∫∞

=0

3(3)c f(t)dt -t M τ (2.2.20)

Y el momento de cuarto orden caracteriza la anchura del pico,

( )∫∞

=0

4(4)c f(t)dt -t M τ (2.2.21)

En el análisis de las curvas RTD los momentos centrales más comúnmente usados

son los de primer, segundo y tercer orden.




44

2.2.3.5.- Determinación de las características de la respuesta a partir de una

entrada en forma de impulso

El trazador se debe añadir en un punto conocido del sistema y en un intervalo de

tiempo muy corto de tal manera que la concentración del trazador en cada elemento de

la sección perpendicular a la dirección de flujo que compone el punto de inyección sea

constante.

De ello se deduce que las medidas obtenidas a partir de un determinado impulso

pueden verse afectadas por:

1. Que el tiempo de dosificación no sea exactamente conocido

2. Que la dosificación sea más lenta que un impulso de tiempo 0

3. Que la velocidad del fluido en el punto de inyección varíe en la sección

perpendicular al flujo en ese punto

Como el procesamiento de las respuestas obtenidas es relativamente sencillo,

conviene conocer las desviaciones de la inyección ideal para las cuales se puede

suponer que la respuesta no varia significativamente de la que habríamos obtenido de

haber podido realizar un impulso perfecto.

Efecto del cambio del punto de inyección

A veces, la dosificación no se puede hacer exactamente en el punto de entrada del

sistema a estudiar. Por tanto, el trazador suele inyectarse en una tubería que conduce a

la entrada del sistema y que puede localizarse a una distancia considerable del mismo.

Por otra parte, puede estimarse el tiempo en el que el trazador debería entrar al sistema a

través del tiempo de transporte, es decir, el tiempo de residencia medio que emplearía el




45

trazador en alcanzar la entrada del sistema desde su punto de inyección. Si el tiempo de

inyección del trazador no se conoce aparecerán errores en el procesamiento de la señal

incluso aunque la forma del pulso se conserve hasta la entrada al sistema.

El primer momento de la curva medida no corresponderá al tiempo de residencia

medio, como muestra la ecuación (2.2.12), ya que el volumen ahora incluirá además el

volumen de la tubería que conduce el trazador hasta la entrada del sistema y la forma de

la curva RTD se vera distorsionada. Por otra parte, se ha asumido que desde el punto de

inyección del trazador hasta el punto de entrada al sistema a estudiar, no se produce

ninguna clase de fenómeno de mezcla y, por tanto, la forma del pulso se conserva hasta

la entrada del sistema.

Efecto del tiempo de dosificación

La inyección de la cantidad de trazador necesaria para realizar un impulso siempre

se realiza en un tiempo que dista mucho de ser el ideal, tiempo 0, de un pulso perfecto.

Esta desviación de la idealidad no se puede aceptar en estudios de sistemas pequeños

con altos caudales ya que los parámetros de tiempo relacionados con el sistema pueden

ser de una magnitud similar al tiempo de inyección. A medida que aumenta el tamaño

del sistema, o disminuye el caudal, esta diferencia de tiempos aumenta y el tiempo de

dosificación comienza a tener una menor influencia.

Efecto del perfil de velocidades

El procedimiento de dosificación asume una distribución uniforme de velocidades a

lo largo del área de sección perpendicular a la circulación del fluido en el punto de

inyección. Esto es aplicable en el caso de que tengamos unas condiciones de flujo

turbulento en el punto de inyección, ya que entonces el perfil de velocidades tiende a ser

plano. Sin embargo, si tenemos un flujo laminar en una tubería la distribución de




46

velocidad difícilmente podrá ser considerada como un perfil plano y la anchura del

impulso aumentará a medida que lo haga la distancia entre el punto de inyección y la

entrada al sistema.

Se puede decir, de manera general, que la mejor forma de inyección cuando existe

un perfil de velocidades que no es plano consiste en intentar conseguir que la cantidad

local de trazador en la totalidad de la sección transversal sea proporcional a la velocidad

local del fluido así como que la zona de inyección se sitúe lo más cercana posible a la

entrada del sistema que se va a someter a estudio.

Con todo lo dicho anteriormente, se intentará realizar experimentos de estimulo /

respuesta en los reactores electroquímicos sometidos a estudio a fin de poder

modelizarlos y aproximar su posible hidrodinámica.



Capitulo 3.1: Estudio del efecto entrada / salida

49

3.1.- ESTUDIO DEL EFECTO ENTRADA / SALIDA


Un aspecto fundamental de los proyectos de investigación y desarrollo

orientados a la industria es el escalado del reactor electroquímico. Con objeto de

extrapolar los resultados obtenidos a escala laboratorio, el ingeniero electroquímico

tiene que tener en cuenta diversos factores de semejanzas entre la escala laboratorio y la

escala industrial, a fin de conseguir un buen escalado en los siguientes diseños de

célula[1,2], que en términos generales engloban a la:

• Geometría de la célula

• Mecánica de fluidos

• Cinemática

• Distribuciones de corriente

• Propiedades químicas

• Distribución de corriente

• Transferencia de calor

La variación de la velocidad del electrolito con la posición y la formación de

capas límite en las cercanías de los electrodos causa cambios apreciables en las

propiedades del transporte de materia. Esto es especialmente cierto en canales de flujo

rectangulares, como es el caso de uno de los reactores electroquímicos más

comúnmente usados[3,4], el reactor tipo filtro-prensa. En estos reactores comerciales, el

electrodo habitualmente ocupa la totalidad de la pared (una de las paredes que forman el

canal), no habiendo zonas de calmado después de los distribuidores de liquido a la

entrada y a la salida del compartimento, con lo que, hasta que se llega a alcanzar un

flujo totalmente desarrollado la situación en el electrodo es radicalmente distinta a la

esperada si el flujo estuviera desarrollado encontrándose valores de transporte de




50

materia superiores a lo esperado. Este valor poco a poco comenzará a descender hasta

un valor adecuado al flujo totalmente desarrollado, a esto se le conoce como efecto

entrada. De manera similar, la región cercana a la salida del reactor tampoco será

representativa del régimen hidrodinámico del resto del reactor y mostrará también

valores anormalmente elevados del coeficiente de transporte de materia para los

caudales a los que se esté trabajando, a este fenómeno se le conoce como fenómeno de

salida.

Es lógico suponer entonces que los experimentos llevados a cabo en células

pequeñas, a escala laboratorio, en donde el área donde se desarrollan los efectos entrada

/ salida ocupa una elevada proporción del área electródica total, tienden a dar unos

valores muy superiores de velocidades de transporte de materia si se los compara a los

existentes en células mayores. No obstante, las células pequeñas suelen emplearse a

escala laboratorio en las primeras etapas de diseño de procesos, debido a su facilidad de

uso y a que no necesitan grandes volúmenes de electrolito o grandes equipamientos

para su estudio.

Los electrodos en canal son células realmente pequeñas en donde se ha

introducido deliberadamente una longitud de electrodo inactiva en la dirección del flujo

de fluido a fin de evitar precisamente estos efectos entrada / salida. Suelen ser usados

para estudios académicos o para sistemas analíticos[5], en investigaciones de

mecanismos de procesos a través de métodos voltamétricos[6] y en

espectroelectroquímica[7]. Sin embargo, muchos estudios electroquímicos prácticos se

realizan en células filtro prensa pequeñas de escala laboratorio sin esas zonas de

calmado o secciones de electrodo inactivo.

Además, estas células son especialmente útiles en procesos en donde son

necesarios electrodos tridimensionales. En condiciones típicas de síntesis, debido a la

elevada área especifica de esa clase de electrodos, los procesos se realizan bajo

condiciones de control por transferencia de carga y el control por transporte de materia

aparece sólo a muy bajas concentraciones al final de la electrolisis. Otro caso especial es




51

el uso de células pequeñas para pruebas de estabilidad de los materiales frente a la

corrosión bajo condiciones agresivas[8] o bajo condiciones que impliquen formación de

gases.

Se pueden encontrar ejemplos de estudios de transporte de materia usando

células pequeñas (a escala laboratorio), tabla 3.1.1[9-12].

Los efectos de entrada / salida del electrolito han sido también objeto de estudio

con anterioridad [13-14], con el objeto de investigar los coeficientes de transporte de

materia locales y las distribuciones de flujo en el interior de los reactores. Wragg et al. y

Goodridge et al. realizaron diversos estudios en este campo. En 1980, Wragg et al.[15]

obtuvieron la distribución de coeficientes de transporte de materia en reactores usando

una serie de mini-electrodos. Esta técnica les permitió darse cuenta de la existencia de

una marcada separación de flujo y recirculación, o formación de remolinos, a la entrada

de las células. El estudio se llevó a cabo con dos sistemas diferentes: una célula de

sección circular y otra de sección cuadrada. En la primera se observó una región con

flujo en recirculación (remolino) a la entrada de la célula alcanzándose en dicha región

valores elevados de transporte de materia. La división del fluido y su posterior

unificación aguas abajo de la entrada del reactor, en la zona en la que el fluido comienza

a desarrollarse de la manera habitual y esperada (patrón de flujo totalmente

desarrollado), producía un descenso de la velocidad global de transporte de materia y se

alcanzaba un valor estable del coeficiente de transporte de materia. Este valor del

coeficiente de transporte será mayor cuanto más pequeño sea el canal de entrada en

relación con el tamaño total del canal o compartimento. También se observó que el

mayor Re se alcanzaba a una distancia de 2.5dentrada desde la zona de entrada, siendo

dentrada el diámetro del canal de entrada. Cuando se estudió el canal de sección cuadrada,

se encontró un comportamiento similar para los Re, la relación de expansión y el punto

de localización del máximo del transporte de materia. Sin embargo, arrojó un

interesante detalle adicional referente a la variación del coeficiente de transporte de

materia, km, con respecto a la posición: en la zona de recirculación se obtenían valores

más elevados de km en el centro del canal que en las esquinas. Este comportamiento se




52

invierte totalmente aguas abajo de la entrada del reactor, localizándose los valores más

elevados de km en las esquinas. Todos estos estudios se realizaron usando una entrada

para el fluido al reactor en forma de boquilla de manera que haría falta también realizar

estudios con sistemas que posean múltiples entradas a fin de evaluar el hecho de que los

chorros resultantes de entrada de fluido y las zonas de recirculación debidas a la

expansión de cada uno de esos chorros puedan interactuar con sus vecinos.




53

Tabla 3.1.1: Sumario de estudios de transporte de materia realizados en células filtro-prensa




54

En este sentido, Goodridge[16] comparó el transporte de materia de dos reactores

similares geométricamente pero de superficies electródicas diferentes (2025 y 225 cm2

de área electródica) con distribuidores de liquido con varias boquillas tanto a la entrada

como a la salida. Recientemente, Wragg y Leontaritis[17] han extendido este trabajo con

células pequeñas usando un conjunto de minielectrodos con el fin de obtener un mapa

detallado de la distribución del transporte de materia en el interior de los reactores.

Walsh [18] ha realizado también estudios en este campo, presentando un mapa

bidimensional del transporte de materia en células filtro-prensa usando para ello un

sistema de 9 x 11 minielectrodos combinados con un potenciostato multi-canal.

Nuestro estudio intentará realizar la caracterización de una familia de reactores

filtro-prensa diseñados y construidos en la Universidad de Alicante con una

configuración de distribuidores de fluido para los compartimentos del tipo “multi-canal”

(es decir, con múltiples boquillas de alimentación) tanto para la entrada como para la

salida del compartimiento, ver figuras 3.1.1a, 3.1.1.b y 3.1.1c.

Realizamos la caracterización en los reactores UA16.15 y UA63.15 a través de

estudios de transporte de materia globales y los resultados serán comparados con otro

reactor filtro prensa de escala laboratorio como es el UA63.03, también de diseño y

fabricación en la Universidad de Alicante y que, durante el transcurso de la presente

memoria, será sometido a un estudio más pormenorizado a fin de, posteriormente, poder

optimizarlo a través de nuevas técnicas de computación. Conviene resaltar que nuestra

nomenclatura referente a los distintos tipos de reactores se puede dividir en tres partes:

UA XXX . XX

Hace referencia a la Universidad de

Alicante

Área electródica en cm2 (B·L)

Espacio interelectródico o espesor del compartimento

en mm (S)




55

3.1.2. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL

Los reactores UA16.15, UA63.15 y UA63.03 son reactores diseñados y

construidos en la Universidad de Alicante. Las figuras 3.1.1a, 3.1.1b y 3.1.1c muestran

los compartimentos estudiados así como sus dimensiones mientras que la figura 3.1.2

muestra esquemáticamente un despiece de una de las secciones del reactor UA16.15. En

la Tabla 3.1.2 se pueden encontrar las dimensiones características de estos reactores.

Figura 3.1.1a: Compartimento reactor UA16.15, cotas en mm (B = 4.0 cm, S = 1.5 cm, L = 4.0 cm)




56

Figura 3.1.1b: Compartimento del reactor UA63.15, cotas en mm (B = 7.0 cm, S = 1.5 cm, L = 9.0 cm)




57

Figura 3.1.1c: Compartimento del reactor UA63.03, cotas en mm (B = 7.0 cm, S = 0.3 cm, L = 9.0 cm)




58

Junta polimérica(EPDM)

Electrodo (Cobre)

Compartimento para el electrolito (PVC)

Junta polimérica(EPDM)

Salida Electrolito

Entrada Electrolito

Placa de apriete (aluminio)

Figura 3.1.2: Despiece de una de las mitades del reactor filtro prensa UA16.15 (los promotores de

turbulencia que se usaran no se han incluido para mejorar la claridad del esquema e irían situados en el

interior del compartimento)




59

Tabla 3.1.2: Dimensiones de los reactores sometidos a estudio




60

Se ha dado una especial atención al diseño de los distribuidores, tanto en lo que

se refiere al número como al diámetro de los orificios de entrada y salida de fluido.

Las placas de apriete para los reactores filtro-prensa estudiados eran de

aluminio, los compartimentos fueron realizados en PTFE (Politetrafluoroetileno)

mientras que las juntas de sellado eran de EPDM (monómero de etilen-polipropilen-

dieno). Los promotores de turbulencia usados eran rejillas de PVC (Cloruro de

polivinilo). En las figuras 3.1.3a y 3.1.3b y en la tabla 3.1.3 se muestran las principales

características de los promotores de turbulencia usados. En todos los casos, en el

compartimiento de reacción del reactor se colocaron suficientes promotores de

turbulencia como para completar la totalidad del canal de paso.

Parámetro Promotor A Promotor C Promotor D sd/mm 1.5 5.0 7.0 ld/mm 2.0 6.0 9.0

ccld/mm 3.1 8.7 12.5 ccsd/mm 2.3 6.6 13.2

Grosor del promotor/mm 1 2 2.9 FT (Porosidad de la

Fibra)/mm 0.5 1.2 5.5

Porosidad del mallado 0.69 0.73 0.80

Tabla 3.1.3:características de los promotores de turbulencia usados. En donde sd es la diagonal corta,

ld es la diagonal larga, ccsd es la distancia entre el centro de uno de los orificios de un promotor y el

centro del siguiente orificio cercano en la dirección de ld , ccsd es la distancia entre el centro de uno de

los orificios de un promotor y el centro del siguiente orificio cercano en la dirección de sd y FT es la

porosidad de la fibra. Se usó un número de promotores de turbulencia suficiente para completar

totalmente el volumen del compartimiento.




61




62

Para los estudios de transporte de materia, el electrodo de trabajo y el

contraelectrodo consistían en dos placas lisas de cobre de 2.5 mm de espesor. El

electrodo de referencia usado fue un electrodo de calomelanos saturado (ECS) situado

cerca del electrodo de trabajo gracias a un capilar Luggin. El coeficiente de transporte

de materia fue obtenido a partir de la técnica de la corriente limite[19], por medio de la

reducción catódica de Cu(II) en 0.5M de sulfato sódico a pH 2. La corriente limite fue

medida como una función del caudal y de la concentración de Cu(II). Los experimentos

se llevaron a cabo usando la disposición experimental que se muestra en la figura 3.1.4.

Los estudios de salto potenciostático fueron realizados usando un generador de ondas

EG&G PARC modelo 175, un potenciostato AMEL modelo 553 y un registrador X-Y

Philips PM 8133.

Además y tal y como se aprecia en la figura 3.1.4, el sistema experimental va

provisto de un manómetro diferencial que permite conocer la caída de presión entre la

entrada y la salida del reactor para cada caudal, es decir, para cada Re fijado.




63

Figura 3.1.4: Diagrama del sistema experimental. (1) depósito; (2) Termómetro; (3) Bomba centrifuga;

(4) Reactor; (5) caudalímetros, (6) válvulas; (7) manómetro; (8) purga de nitrógeno; (9) intercambiador

de calor; (10) conectores para la medida de la presión

4

55

10

7

6 6 6

1

2

9

8

3

10




64

3.1.3. RESULTADOS

3.1.3.1.- Medida de la caída de presión en el reactor:

Se llevaron a cabo estudios preliminares de las caídas de presión en los reactores

UA16.15 y UA63.15. La figura 3.1.5 muestra los valores obtenidos con estos reactores

y son comparados con los que obtuvimos para el reactor UA63.03.

Esta figura muestra una representación del factor de fricción, f, frente al numero

de Reynolds, en donde f = ∆pde/2ρLv2, siendo ∆p la caída de presión, de el diámetro

equivalente, ρ la densidad, L la longitud y v la velocidad del fluido. Se puede apreciar

una gran diferencia entre los resultados obtenidos y los predichos por la teoría. Existe

una variación similar del factor de fricción para todos estos reactores para valores de Re

superiores a un valor de Re=1000 que es aproximadamente constante y que puede ser

considerado como Recrit. El Reynolds crítico es bastante diferente de 2300, que es el que

normalmente se considera como Reynolds crítico para el paso de régimen laminar a

turbulento. Esta diferencia debe ser atribuida a los efectos de entrada / salida que

experimenta el reactor. Hay, sin embargo, diferencias considerables entre los tres

reactores estudiados.

3.1.3.2.- Estudios de transporte de materia

Los estudios de transporte de materia se centraron en el cálculo de coeficientes

globales de transporte de materia obtenidos a partir de la medición de la corriente limite

global usando la ecuación:




65

AzFCI

k Lm = (3.1.1)

en donde A es el área electródica, z el numero de electrones (z = 2 en este caso), F es la

constante de Faraday y C es la concentración de Cu(II) en el seno de la disolución.

Figura 3.1.5: Factores de fricción obtenidos para los distintos reactores estudiados.




66

La Figura 3.1.6a muestra una curva típica de densidad de corriente frente a

potencial para el depósito de cobre en el compartimento catódico del reactor UA16.15.

Figura 3.1.6a: Experimentos de transporte de materia para la reducción de los iones Cu(II) en una

disolución 0.5M de sulfato sódico a pH 2. Curvas de densidades de corriente v.s. potencial electrodo

para determinar la ventana de potencial de trabajo. Voltametría lineal realizada a 5 mV·s-1

Se obtuvieron formas similares para el reactor UA63.15. De la meseta de la

figura 3.1.6a, se puede determinar el rango de potencial en el que el proceso se

encuentra controlado totalmente por transporte de materia. La figura 3.1.6b muestra

una representación de la densidad de corriente frente al tiempo obtenida al realizar un

salto potenciostático en el sistema desde su potencial de equilibrio hasta un potencial de

–500 mV vs. ECS (potencial que se encuentra dentro de la ventana para la cual estamos

trabajando bajo control total por transporte de materia).

Re ↑

-E vs ECS / mV

-j / mA·cm-2




67

Figura 3.1.6b: Experimentos de transporte de materia para la reducción de los iones Cu(II) en una

disolución 0.5M de sulfato sódico a pH 2. Curvas de densidad de corriente v.s. tiempo para medir el

valor de la corriente límite. Los experimentos fueron llevados a cabo con el reactor UA16.15, siendo el

electrodo de trabajo y contraelectrodo dos placas lisas de cobre de 2.5 mm de espesor. El electrodo de

referencia usado fue un electro de calomelanos saturado.

Los ensayos se llevaron a cabo a diferentes velocidades de flujo (0.7-8.5 cm s-1)

y concentraciones (65-270 ppm de Cu) para cada reactor y con cada promotor de

turbulencia. Los resultados obtenidos para los tres reactores han sido comparados a

través de correlaciones de grupos adimensionales, tabla 3.1.4.

Re ↑




68

Tabla 3.1.4: Correlaciones adimensionales de transporte de materia (Sh = a·Reb·Sc0.33) para los

reactores filtro prensa estudiados




69

3.1.3.3.- Efectos entrada / salida:

Existen varios métodos para determinar los efectos de entrada / salida como

pueden ser el uso de electrodos segmentados[16], minielectrodos[15] o el uso de

electrodos parcialmente bloqueados[10,20]. El efecto entrada / salida generalmente suele

ser estudiado empleando los valores del coeficiente global de transporte de materia,

obtenidos a partir de los valores la corriente limite, IL, usando para ello la ecuación

(3.1.1). cb ScaSh ··Re= (3.1.2)

siendo Sh el número de Sherwood (=kmde/D), Re el número de Reynolds

(=vde/ν), Sc el número de Schmidt (=ν/D) y a, b y c son constantes empíricas

calculadas a partir de una correlación estadística de los puntos experimentales.

La figura 3.1.7 muestra las correlaciones obtenidas para el reactor UA16.15 con

diferentes áreas de electrodo expuestas al flujo de electrolito. Esto se consiguió a través

del bloqueo parcial de los electrodos mediante películas de material aislante, como ya

se ha mencionado antes. La correlación es prácticamente la misma para todas las áreas

de electrodo estudiadas, en el rango de áreas comprendido entre 3 a 16 cm2 (es decir, de

un 18.8 % a un 100 % de área de electrodo expuesta). Eso demuestra que la totalidad

del área del electrodo se encuentra trabajando bajo el efecto entrada / salida, es decir, se

encuentra operando un régimen altamente turbulento.

3.1.3.4.- El efecto de los promotores de turbulencia

Las figuras 3.1.8a, 3.1.8b, 3.1.9a y 3.1.9.b muestran la influencia de los

promotores de turbulencia en el reactor UA16.15 y UA63.15 así como la relación entre

el Sh obtenido con el compartimento del reactor lleno de promotores de turbulencia y

ese mismo compartimento operando en vacío.




70

Figura 3.1.7:Estudio del transporte de materia para distintas áreas activas en el reactor UA16.15




71

100 1000100

1000

UA16.15 Reactor Vacio Promotor A Promotor C

Sh

Re

Figura 3.1.8a: Gráfico doble logarítmico del número de Sherwood vs. el número de Reynolds para el

reactor UA16.15 (con y sin promotores de turbulencia). La reacción empleada fue la reducción de iones Cu(II) en un medio 0.5M de sulfato sódico a pH 2.

200 300 400 500 600 700 800 9000.76

0.78

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

Promotor A Promotor C

γ mt

Re

Figura 3.1.8b: Factor de aumento, γmt, (en relación con el reactor trabajando sin promotores de turbulencia) vs. Al número de Reynolds para el reactor UA16.15.




72

Figura 3.1.9a: Gráfico doble logarítmico del número de Sherwood vs. el número de Reynolds para el reactor UA16.15 (con y sin promotores de turbulencia). La reacción empleada fue la reducción de iones

Cu(II) en un medio 0.5M de sulfato sódico a pH 2.

100 1000

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

UA63.15

γ mt

Re

Figura 3.1.9b: Factor de aumento, γmt, (en relación con el reactor trabajando sin promotores de

turbulencia) vs. al número de Reynolds para el reactor UA63.15.




73

De acuerdo con trabajos previos[21], el factor de mejora o aumento del transporte

de materia se obtiene al comparar el coeficiente de transporte de materia en la situación

estudiada con promotores con el obtenido con el reactor vacío y fue definido por

Walsh[22] según,

γmt = km (con promotor de turbulencia) / km (compartimento vacío) (3.1.3a)

γmt = Sh (con promotor de turbulencia) / Sh (compartimento vacío) (3.1.3b)

Se puede observar que la presencia de promotores de turbulencia en estos

reactores “pequeños”, de escala laboratorio, muestra un comportamiento que es el

opuesto al encontrado en los reactores de mayor tamaño en la bibliografía.

La inclusión de los promotores de turbulencia, en reactores filtro prensa de

escala industrial, es una práctica recomendada a fin de aumentar su rendimiento

(aumentar km), sin embargo, en este estudio se puede observar exactamente el

comportamiento opuesto. Se puede ver que la inserción de promotores de turbulencia

en el reactor disminuye los valores del coeficiente de transporte de materia, o lo que es

lo mismo, del Sh. Estos resultados negativos a la hora de intentar aumentar el

transporte de materia usando promotores de turbulencia, son debidos a que el

comportamiento de estas células relativamente pequeñas, se encuentra prácticamente

controlado por la turbulencia generada por las entradas en forma de chorro y los

cambios repentinos de dirección de flujo del fluido cuando abandona el distribuidor

para entrar al compartimento. Curiosamente, la incorporación de promotores de

turbulencia disminuye la turbulencia natural del sistema, además de favorecer la

aparición de posibles canales para el paso de fluido que también colaboran en la

disminución del transporte de materia. Por lo tanto, en estos casos estudiados, los

promotores no crean una turbulencia extra en el fluido sino que más bien realizan el

efecto contrario al canalizarlo. Todo ello conlleva a un descenso de los coeficientes de

transporte de materia.




74

Como se ha visto en la bibliografía[12] el efecto entrada / salida disminuye aguas

abajo de la entrada del electrolito al compartimento. Una vez que este efecto ya no

tiene importancia, la introducción de promotores de turbulencia si que aporta las

ventajas esperadas de ellos.

Pickett[13] determinó que la distancia necesaria para alcanzar un régimen de

flujo totalmente desarrollado en un reactor de placas paralelas era aproximadamente:

L* = 6·de (3.1.4)

desde la entrada del reactor, en donde de, es el diámetro hidráulico equivalente

del reactor, que viene definido por:

SBBSde +

=2 (3.1.5)

Y en donde B y S son la anchura y altura respectivamente. El parámetro L*

suministra un modo rápido y simple de determinar la influencia del efecto entrada /

salida, pero sin embargo no incluye factores que pueden influir en este efecto tales

como el número y tipo de orificios que tiene cada distribuidor. La distribución, número

y tipo de orificios de entrada puede disminuir esta longitud mínima. Como se muestra

en la figura 3.1.10, la influencia del efecto entrada / salida esta íntimamente relacionada

con la geometría y diseño del distribuidor; existen grandes diferencias entre los

reactores UA63.15 y UA16.15 comparados con el UA63.03.

En la tabla 3.1.5 se muestran los diferentes parámetros geométricos

característicos de cada diseño de distribuidor para los distintos reactores estudiados.




75

también proponemos un nuevo parámetro Ψ, cuyo objetivo sería el cuantificar el efecto

del diseño del compartimento en el efecto entrada / salida.

Figura 3.1.10: Gráfico doble logarítmico del número de Sherwood vs. el número de Reynolds para los

reactores UA16.15, UA63.15 y UA63.03 durante la reducción de iones Cu(II) en un medio 0.5M de

sulfato sódico a pH 2.

100 1000

100

1000

UA 63.15 UA 16.15 UA 63.03

Sh

Re




76

Tabla 3.1.5: parámetros geométricos de los compartimentos y distribuidores estudiados




77

Este parámetro adimensional tendría en cuenta varios aspectos del diseño del

distribuidor como pueden ser su espesor, su anchura, la disposición geométrica de los

orificios de entrada y el área libre para la entrada de liquido al reactor.

El parámetro lo definimos según,

λζ

γψ

edL

= (3.1.6)

en donde L es la longitud del compartimento y de es el diámetro hidráulico. El

parámetro γ viene a su vez definido por,

BS

=γ (3.1.7)

El parámetro γ se denomina relación de aspecto del reactor filtro prensa. En el

caso de tener un flujo laminar totalmente desarrollado se ha encontrado que la solución

analítica de las ecuaciones de convección-difusión y las expresiones teóricas resultantes

dependen de la relación de aspecto del canal. Para un reactor filtro prensa con flujo

totalmente desarrollado y electrodos infinitamente anchos (B >> S) y L/de ≤ 35 se tiene

que,

Sh = 1.85·Re1/3·Sc1/3·Le1/3 (3.1.8)

En el caso de un reactor filtro prensa de dimensiones reales Rousar y

colaboradores[23] introdujeron un factor de corrección, χ, que depende en gran medida

de γ, figura 11.




78

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00χ

γ

Figura 3.1.11: Factor de corrección χ para la correlación del número Sh, ecuación 3.1.9

Y la ecuación 3.1.8 quedaría,

Sh = 1.85·χ·Re1/3·Sc1/3·Le1/3 (3.1.9)

Por tanto, y volviendo al parámetro propuesto por nosotros, un mayor valor de γ

implicaría un menor valor de χ, o lo que es lo mismo, la ecuación 3.1.9 se alejaría cada

vez más de la teórica ideal para un reactor filtro prensa con patrón de flujo totalmente

desarrollado y electrodos infinitos. Es decir, a mayor γ, mayor Ψ y, por tanto, mayor

efecto entrada/salida.




79

Sin embargo, la complejidad que implica un distribuidor con múltiples canales

circulares de entrada requiere el uso de otro parámetro complementario como es ζ, el

cual hace referencia al área libre que existe en el distribuidor para el paso del fluido al

interior del reactor.

SB

dnh

·4··

ordistribuiddelseccion de AreaOrificios Area

2π

ζ == (3.1.10)

Según observamos, valores elevados de ζ estarían generalmente asociados con

bajos valores de Sh. Un valor elevado de ζ indicaría un comportamiento similar a un

reactor ideal de placas paralelas sin distribuidor de liquido a la entrada, es decir un

canal rectangular con una entrada de liquido que sería su sección total, sin orificios de

entrada. Un reactor sin un distribuidor de liquido no puede generar corrientes de chorro

a la entrada o a la salida, con lo que el resultado general sería el de un reactor con poco

efecto entrada / salida. Un valor bajo de ζ parece estar relacionado con un

comportamiento cercano al de una entrada en chorros, lo cual implicaría a su vez la

existencia de una gran zona turbulenta en las cercanías de la entrada del reactor.

Finalmente, definimos el parámetro λ que tiene en cuenta la disposición

geométrica de los orificios de entrada en los distribuidores. En este estudio hemos

supuesto la simplificación de que el diseño del distribuidor se basa en una distribución

uniforme de los orificios de entrada dispuestos en filas uniformes. Por tanto, definimos

el parámetro λ por,

γλ rh nn ·

= (3.1.11)

en donde nh es el numero total de orificios en una de las filas y nr es el numero

de filas de orificios existentes en el distribuidor.




80

El parámetro Ψ parece ser de gran importancia en el diseño del distribuidor.

Hemos observado en los reactores sometidos a estudio que valores elevados de Ψ están

relacionados con altos valores de Sh. Eso significa que valores elevados de Ψ implican

regímenes muy influenciados por el efecto entrada / salida mientras que un valor bajo

de Ψ estaría relacionado con el diseño de un distribuidor que permite una rápida

evolución del fluido entrante hasta su condición de flujo totalmente desarrollado como

en el reactor UA63.03.

El parámetro Ψ proporciona una valiosa aproximación a la importancia que

tiene el efecto de la entrada/salida del fluido en forma de chorros debido al diseño del

distribuidor y puede resultar una buena herramienta complementaria del estudio del de a

la hora de estimar y cuantificar el efecto entrada / salida en reactores de platos

paralelos.




81

3.1.4. NOMENCLATURA

A Área de electrodo, m2

a Coeficiente en la correlación de transporte de materia, ecuación (2).

B Anchura del canal de flujo en el compartimento (perpendicular a la

dirección de flujo), m.

b Exponente del número de Reynolds en la correlación de transporte de

materia.

c Exponente del número de Schmidt en la correlación de transporte de

materia.

C Concentración de reactivo, mol m-3.

d Diámetro de los orificios en el distribuidor, m

de Diámetro hidráulico equivalente para el canal de flujo, m (= 2BS/(B+S)).

D Coeficiente de difusión del reactivo, m2 s-1

F Constante de Faraday, 96485 C mol-1

f Factor de fricción, (= ∆Pde/2ρLv2).

IL Corriente limite, A

km Coeficiente de transporte de materia, m s-1

L Longitud del compartimiento en la dirección del flujo, m.

L* Longitud para la obtención de un régimen de flujo totalmente

desarrollado, m

nh Numero de orificios en el distribuidor

nr Numero de filas de orificios en el distribuidor

∆P Caída de presión, Pa.

Re Número de Reynolds (= vde/ν)

S Grosor del compartimento, m.

Sc Número de Schmidt (= ν/D)

Sh Número de Sherwood (= kmde/D).

v Velocidad lineal media, m s-1

Vr Volumen del canal de flujo, m3 (= BLSε)




82

z Número de electrones intercambiados en la reacción

Letras Griegas

ε Porosidad del promotor de turbulencia

χ Factor de corrección

γ Relación de aspectos del canal de flujo (= S/B).

γmt Factor de aumento del coeficiente de transporte de materia, ecuación (3)

λ Factor de diseño para los distribuidores definido por la ecuación (9)

Ψ Factor de diseño para los distribuidores definido por la ecuación (6)

ν Viscosidad cinemática, m2 s-1

ρ Densidad del fluido, kg m-3.

ζ Factor de diseño para los distribuidores definido por la ecuación (8)

3.1.5. REFERENCIAS

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Electrochemical Consultancy, Romsey, UK.

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modern filter-press reactors, Chemical Technology Europe, May/June, 16-23.

[4] Pletcher, D. and Walsh, F.C., 1993, Industrial Electrochemistry, Chapman & Hall,

London, UK.




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theoretical study of the determination of solute adsorption on modified electrodes,. J.

Electroanal. Chem. 222, 117-128.

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processes at channel electrodes: Analytical theory, J. Phys. Chem. 100, 14130-14136.

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press cell by impedance spectroscopy. J. Appl. Electrochem. 21, 991-997.

[10] Brown, C.J., Pletcher, D., Walsh, F.C., Hammond, J.K. and Robinson, D., 1993,

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transport in an electrochemical laboratory filter-press reactor and its enhancement by

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[12] Brown, C.J., Pletcher, D., Walsh, F.C., Hammond, J.K. and Robinson, D., 1992,

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Electrochem. 22, 613-619.




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[13] Pickett, D.J. and Wilson, C.J., 1982, Mass transfer in a parallel plate

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Electrochim. Acta 27, 591-594.

[14] Wang, Y., Postlethwaite, J. and Bergstrom, D.J., 1996, Modelling mass transfer

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[15] Wragg, A.A., Tagg, D.J. and Patrick M.A., 1980, Diffusion-controlled current

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[16] Goodridge, F., Mamoor, G. M. and Plimley, R.E., 1986, Mass transfer rates in

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[19] Wragg, A.A. & Leontaritis, A.A., 1991, Mass transfer measurements in a parallel

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[20] González-García, J., Frías, A., Expósito, E., Montiel, V., Aldaz, A. and Conesa,

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[21] Brown, C.J., Walsh, F.C. and Pletcher, D., 1995, Mass transfer and pressure drop

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[22] Walsh, F. C., Reade, G., 1994, Design and performance of electrochemical reactors

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figures de merit, Analyst, 119, 791

[23] Rousar, I., Micka, K., Kimla, A., Electrochemical engineering, Elsevier,

Amsterdam, 1986




86



Capítulo 3.2: Estudio de un reactor a escala laboratorio UA63.03

87

3.2.- ESTUDIO DE UN REACTOR A ESCALA LABORATORIO UA63.03


Como ya se ha comentado en el capitulo anterior, el reactor tipo filtro prensa es

uno de los diseños de reactor electroquímico más ampliamente utilizado[1]. La

configuración en placas paralelas es una de las configuraciones preferidas en la industria

a causa de sus grandes ventajas. Estas ventajas pueden verse desde el punto de vista

industrial, de investigación o simplemente desde un punto de vista puramente práctico;

gran disponibilidad de componentes[2], fácil escalado[3,4] y alta versatilidad[5] permiten el

uso de esta clase de reactores en diversas configuraciones adaptables a una gran

variedad de procesos. Por otra parte, hay que tener en cuenta los éxitos logrados en el

paso de escala piloto a grandes escalas industriales[6-8], la amplia oferta comercial de

diversos tamaños para estos reactores (desde escala laboratorio a escalas

industriales)[9,10], la sencillez de su construcción[11], la obtención de distribuciones de

potencial en su interior bastante uniformes[12], la sencillez de su uso y el escaso

mantenimiento necesario[13], la posibilidad de poder trabajar en modo monopolar o

bipolar[14,15], el poder incorporar electrodos tridimensionales a fin de aumentar el área

activa de electrodo[16], la posibilidad de incorporación de promotores de turbulencia

para mejorar las características de transporte de materia[17], la facilidad para preparar el

sistema para un evacuado sencillo de gases[18,19] y un fácil control de la temperatura y de

los caudales de líquido[20].

Estas ventajosas características hacen de la configuración en filtro prensa una de

las más estudiadas en el campo académico[21-25] concediendo un especial interés al

estudio de la influencia de los promotores de turbulencia en el transporte de materia

mediante el empleo de diferentes técnicas electroquímicas[26-29]. Sin embargo, el

comportamiento hidrodinámico de estos sistemas no ha sido estudiado con la




88

profundidad que le corresponde, aunque recientes artículos muestran un interés

creciente en este campo.

Las técnicas generalmente usadas para el estudio de la distribución de flujo de

fluido en el interior del reactor son la visualización de flujo[30,31], la modelización de

tiempos de residencia (RTD)[32-34] y más recientemente, el estudio de sistemas a través

de modelización por CFD (Computational Fluid Dynamics) como se expondrá más

adelante en el transcurso de la presente tesis.

3.2.2.- CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL

Para este estudio hemos empleado el reactor UA63.03. En la figura 3.2.1(a) se

puede ver de nuevo el compartimento de este reactor así como sus dimensiones

geométricas, mientras que en la figura 3.2.1(b) se puede apreciar un esquema de la

configuración del reactor electroquímico dispuesto en la configuración sin separación,

que será la usada en este capítulo. Por otra parte, la tabla 3.2.1 recoge, nuevamente,

todas las dimensiones de este compartimento.

Los compartimentos fueron construidos en EPDM (ethylen-poly(propylene)-

diene monomer) mientras que las conducciones y placas finales fueron mecanizadas en

polipropileno.




89

Figura 3.2.1a: Compartimento del reactor UA63.03, cotas en mm (B = 7.0 cm, S = 0.3 cm, L = 9.0 cm)




90

Figura 3.2.1b: Esquema de la configuración de trabajo. 1) Placas de apriete; 2) juntas; 3) bloque de polipropileno con orificios para la alimentación y extracción del electrolito; 4) electrodo; 5)

compartimento UA63.03; 6) capilar Luggin; 7) electrodo de referencia

B / m Anchura

L / m Longitud

s / m Espesor

de / m Diámetro Equivalente

Le Le = de/L

γ Relación de

aspecto

7.00·10-2 9.00·10-2 3.00·10-3 0.58·10-2 6.44·10-2 4.29·10-2

Tabla 3.2.1: Dimensiones del reactor UA63.03

Como promotores de turbulencia se usaron rejillas plásticas de PVC con

características geométricas distintas. En la figura 3.2.2a y 3.2.2b se muestran los

promotores de turbulencia usados, así como sus principales dimensiones, siendo iguales




91

que los empleados en el anterior estudio con la salvedad de haber añadido una nueva

variante de promotor. Por otra parte, en la tabla 3.2.2, se pueden encontrar los valores de

dichas dimensiones para cada caso estudiado.

Figura 3.2.2a: Promotores de turbulencia usados

Figura 3.2.2b: Parámetros característicos de los promotores usados

A B

C D




92

Promotor A B C D

sd/ mm 1.5 5-7* 5 2 ld/ mm 2 5-7* 6 3

ccld/ mm 3.1 6.2 8.7 3.7 ccsd/ mm 2.3 6.2 6.6 2.4

Grosor del promotor/ mm 1 1 2 1 FT (Porosidad Fibra)/ mm 0.5 0.9 1.2 0.6

Porosidad mallado 0.69 0.70 0.73 0.77

Tabla 3.2.1: Dimensiones características de los promotores de turbulencia. (* hace referencia a un lado

de un cuadrado). El significado de las abreviaturas se muestra en la figura 3.2.b. Se usó un número de

promotores de turbulencia suficiente para completar totalmente el volumen del compartimiento.

El compartimento del reactor se llenó con el número de rejillas necesarias para

completar totalmente el espesor del mismo.

Resulta importante resaltar todas estas características de los promotores

estudiados, ya que todas ellas influirán en el comportamiento del sistema, en mayor o

menor medida, y son necesarios para una completa caracterización de los promotores de

turbulencia utilizados.

Para los estudios de hidrodinámica se empleó la clásica técnica de impulso-

respuesta o técnicas de seguimiento de un trazador a la salida del compartimiento,

comentadas en capítulos anteriores. Esta técnica consiste básicamente en la inyección de

un pulso de trazador, que en nuestro caso fue una disolución saturada de NaCl, a la

entrada del reactor y un seguimiento a la salida del mismo de alguna propiedad medible

de dicho trazador, en este caso en concreto, se utilizó la variación de la conductividad

de la disolución a la salida del compartimento. Para todo ello se usó una sonda de

conductividad Ingold unida a un conductímetro Crison 522 y a un registrador analógico

Philips PM833 X-t. Como líquido transportador del trazador se usó agua destilada

bombeada al interior del reactor por medio de una bomba centrífuga. Con el fin de




93

controlar los caudales se usaron válvulas de membrana de polipropileno así como

caudalímetros de sección variable, (rotámetros).

Para los estudios de transporte de materia, tanto el electrodo de trabajo como el

contraelectrodo fueron placas lisas de cobre de 2.5 mm de espesor. Por otra parte

también se estudió la importancia de los efectos entrada / salida. Para ello se procedió

como en el capítulo anterior usando electrodos parcialmente bloqueados o tapados en su

extremo final por una lámina polimérica no conductora de 3 cm de largo y anchura la

del compartimento. El electrodo de referencia usado fue un electrodo de calomelanos

saturado (ECS). Por otra parte, el coeficiente de transporte de materia se obtuvo

mediante medidas de las corrientes límites de la reducción de los iones Cu(II) en una

disolución 0.5 M de sulfato sódico a pH 2. La corriente límite fue medida en función de

los caudales de trabajo así como de la concentración de Cu(II). El rango de las

velocidades lineales en el compartimento se varió entre 2.13·10-2 y 11.5·10-2 m s-1

correspondientes a números de Reynolds situados entre 117 y 629 respectivamente.

3.2.3.- ESTUDIOS HIDRODINÁMICOS

3.2.3.1.- Modelos para los estudios de RTD (Residence Time Distribution):

Existen dos modelos teóricos para describir el flujo de un fluido en el interior de

un reactor electroquímico que se comporte idealmente: el flujo pistón (RCFP) y el de

tanque continuamente agitado (RCTA)[35]. Sin embargo, los reactores reales no suelen

comportarse de una forma “ideal” y presentan siempre desviaciones en el

comportamiento hidrodinámico respecto de estos modelos límite, por lo que, dichos

modelos, no suelen ser totalmente válidos a la hora de intentar modelizar los sistemas

reales. Por ese motivo, se necesitan modelos más complejos de flujo de fluido[36-38] en

los estudios de modelización.




94

Así, las curvas experimentales para el reactor electroquímico UA63.03, que se

verán más adelante, no pueden ser descritas de manera apropiada sólo teniendo en

cuenta el modelo de flujo pistón puro o bien el de tanque agitado puro, ya que las curvas

RTD presentan un claro fenómeno de cola, o de ensanchamiento del pico. Este

fenómeno se ha observado previamente en reactores que presentan áreas o zonas con

altos tiempos de residencia, lo que podrían llamarse “zonas muertas” o “zonas estáticas”

sin dar a entender por ello que en esas zonas no exista un movimiento real de fluido,

sino tan sólo que este es muy lento. Por este motivo, y para explicar el comportamiento

de este reactor, se ha desarrollado un modelo basado en la existencia de un camino, con

características de flujo pistón con dispersión axial y zonas muertas. Por otra parte, en

este desarrollo se han aceptado los siguientes supuestos, (a) que exista intercambio de

materia entre el volumen muerto y la zona dinámica con características de flujo pistón

con dispersión axial o (b) que no exista intercambio de materia, ver figuras 3.2.3a y

3.2.3b.

Figura 3.2.3a: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD CON intercambio de materia entre el volumen muerto y el volumen dinámico

Figura 3.2.3b: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD SIN intercambio de materia entre el volumen muerto y el volumen dinámico

Vdinámico

Vmuerto

Vdinámico

Vmuerto




95

3.2.3.2.- Flujo pistón con dispersión axial SIN intercambio de materia con las

zonas muertas

Para este caso, figura 3.2.3b, la ecuación común para el modelo de dispersión

asumiendo que la única dispersión observable ocurre en la dirección del flujo de fluido,

Z, puede expresarse de la siguiente forma:

∂∂ θ

∂∂

∂∂

C

= - C Z

+ 1Pe

C Z

2

2 (3.2.1)

en donde C es la magnitud de la propiedad medida, Z=z/L, siendo L la longitud total del

reactor en la dirección de flujo (z), θ = t/τ, siendo τ el tiempo de residencia medio y Pe

el número de Peclet (=vL/Dax). Los parámetros del modelo son el valor del Pe y la

relación entre el volumen de las zonas muertas (Vd) y el volumen total (Vt), Vd/Vt. Se

interpreta como Vd el volumen de liquido que se encuentra estancado o circulando a

muy baja velocidad en el interior del compartimento.

Un modelo como este debe proporcionar una curva que presentará el efecto

“cola” aunque en casos extremos, la cola puede ser no detectable debido al intercambio

de materia muy lento entre la zonas muertas del compartimento y las zonas dinámicas.

En esos casos, el tiempo de residencia observado a través de las RTDs es mucho más

pequeño que el tiempo de residencia medio, definido como el cociente del volumen

geométrico total accesible al líquido (Vt) y el caudal de fluido (Qv), Vt/Qv.

3.2.3.3.- Flujo pistón con dispersión axial CON intercambio de materia con las

zonas muertas

El modelo usado, figura 3.2.3a, es una adaptación de otro más complejo usado

para electrodos tridimensionales[39]. El electrolito en las zonas estancadas se va




96

renovando lentamente a través de un intercambio de materia con las zonas dinámicas o

zonas funcionando como un flujo pistón con dispersión axial. El intercambio de materia

local entre las zonas muertas y las zonas dinámicas se caracteriza a través de un

coeficiente de intercambio, αm, definido como:

)c - c( J

estatdinm =α (3.2.2)

en donde cdin y cestat son las concentraciones en la zona dinámica y en la zona muerta o

estática respectivamente y J es el número de moles intercambiados por m3 y segundo.

El modelo se obtiene a partir del balance de materia para el camino principal y

las zonas muertas[40].

)C - (C N - ZC

- ZC

Pe1 =

C

estatdindin

2din

2din

αβ ∂∂

∂∂

θ∂∂

Φ (3.2.3)

)C - (C N - = C

) - (1 dinestatestat

αβ θ∂∂

Φ (3.2.4)

En donde Φβ es la relación entre el volumen de fluido que se encuentra en la

zona dinámica, con flujo pistón con dispersión axial, y el volumen total de fluido en el

compartimento, Cdin y Cestat son las concentraciones, normalizadas con la concentración

total, en las zonas dinámicas y en las zonas muertas respectivamente y Nα caracteriza la

velocidad de intercambio de materia entre las zonas muertas y las zonas dinámicas. Los

parámetros del modelo serán, entonces, Pe, Nα y Φβ.




97

3.2.3.4. Resultados

En la figura 3.2.3 se pueden ver las curvas RTD experimentales que obtuvimos

en el reactor UA63.03 trabajando en una configuración con el compartimento vacío y en

otra con el compartimento lleno con los distintos promotores de turbulencia propuestos

para una velocidad lineal del fluido en el interior del compartimento de 2.24·10-2 m s-1

(Re=129). Es importante fijarse en el comportamiento “anómalo” del promotor A

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

1.80E-01

2.00E-01

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t / s

Uni

dade

s A

rbitr

aria

s

Reactor VacioPromotor APromotor BPromotor CPromotor D

Reactor UA63.03Re = 129

Figura 3.2.4: RTDs experimentales obtenidas para el reactor UA63.03 con el compartimiento trabajando

vacío y con promotores de turbulencia




98

En la Figura 3.2.5 se puede ver un ajuste de los dos modelos propuestos para las

RTDs experimentales obtenidas para el UA63.03 al mismo número de Reynolds. Se

puede observar que el modelo basado en el flujo axial con dispersión axial CON

intercambio de materia entre las zonas muertas y las zonas dinámicas presenta un ajuste

muy bueno a los datos experimentales, con valores de la función objetivo, usada para

encontrar los parámetros, inferiores a 10-3.

( )∑

i

2expi

calci x- x = F.O. (xi = punto de la curva RTD) (3.2.5)

Figura 3.2.5: RTD experimental y ajustes matemáticos de los dos modelos estudiados

En la Tabla 3.2.3 se ofrecen los valores de los parámetros optimizados obtenidos

para el modelo de flujo pistón con dispersión axial CON intercambio de materia. Se

puede observar unas tendencias bastante claras para los parámetros optimizados. Como

se podría esperar, los números de Peclet son elevados, lo cual nos indica claramente un

0 10 20 30 40 500.00

0.05

0.10

0.15

0.20Reactor UA63.03Configuración Vacia

RTD experimental Modelo SIN intercambio de materia Modelo CON intercambio de materia

Uni

dade

s Ar

bitra

rias

t / s




99

comportamiento del tipo flujo pistón con baja dispersión axial y, en general, aumentan a

medida que lo hace el Re. Además, el número de Pe para las configuraciones con

promotores de turbulencia es generalmente mayor que el obtenido para la configuración

del reactor vacío. Este efecto esta conforme con los trabajos de Brown[41] que propuso la

posibilidad de una canalización del electrolito como una explicación posible a las

pequeñas variaciones del exponente de la velocidad, b, en las correlaciones de

transporte de materia para reactores filtro prensa usando configuraciones vacías y llenas

de promotores de turbulencias.

Además, conviene resaltar que las secciones muertas del reactor, (1-Φβ), en

general, disminuyen a medida que el Re aumenta. Por tanto, de todo lo anteriormente

expuesto, se puede concluir que cuando aumenta el número de Re, la fracción de reactor

funcionando como un flujo pistón con dispersión axial aumenta. También aumenta el

número de Pe y, por tanto, la dispersión disminuye. Por otro lado, los resultados de las

simulaciones de RTD muestran valores de Φβ mayores para el promotor A que para los

otros promotores (Φβ = 0.7 contra los 0.6 para los otros promotores), como se podría

esperar por la existencia de una cola menos pronunciada mostrada por el promotor A en

las curvas RTD experimentales.

Vacío Promotor A Promotor B Promotor C Promotor D Re Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα Pe Φβ Nα

129 100 0.58 0.85 88 0.69 0.68 504 0.58 1.84 303 0.60 1.34 466 0.63 1.48200 312 0.58 0.86 289 0.73 0.80 570 0.61 1.44 310 0.68 1.34 492 0.68 1.35271 70 0.59 0.62 509 0.73 0.55 635 0.65 1.33 473 0.69 0.9 504 0.67 1.01414 453 0.74 0.53 553 0.65 2.90 554 0.70 0.88 638 0.80 0.9 394 0.80 0.50

Tabla 3.2.3: Resultado de la modelización de las RTDs para el reactor UA63.03

Resulta interesante resaltar la relación entre Nα y Φβ. Para un valor constante de

Φβ, un aumento en Nα, producirá un aumento de la turbulencia. En el mismo sentido,

para un valor constante de Nα, un aumento en Φβ tendrá como consecuencia que una




100

mayor parte del reactor se encuentre actuando como flujo pistón con dispersión axial,

por lo que la turbulencia también aumentaría. Por ello, se ha considerado al producto Nα

Φβ como un factor de turbulencia capaz de medir la eficiencia de los promotores de

turbulencia a la hora de generar ésta. En la Tabla 3.2.4 se pueden ver los valores de

dicho factor para el reactor UA63.03 en la configuración de compartimento vacío y

lleno de promotores de turbulencia. Es interesante el observar que el factor de

turbulencia disminuye, en general, al aumentar el Re mostrando el mismo

comportamiento que el factor de mejora obtenido a través de estudios de transporte de

materia.

Re Vacío Promotor A Promotor B Promotor C Promotor D 129 0.49 0.47 1.07 0.80 0.93 200 0.5 0.58 0.88 0.91 0.92 271 0.37 0.4 0.86 0.62 0.68 414 0.39 1.89 0.61 0.72 0.4

Tabla 3.2.4: Producto de NαΦβ para el reactor UA63.03

3.2.4.- ESTUDIOS DE TRANSPORTE DE MATERIA

Las figuras 3.2.6a y 3.2.6b resumen los resultados que obtuvimos para los

estudios de transporte de materia. En ellas se muestran el factor de mejora (Figura

3.2.6a), γmt, definido por Walsh y Reade[42] como

km(compartimiento con promotores)/km(compartimiento vacío) y el factor de corrección (Figura 3.2.6b), Γ,

definido como km(electrodo parcialmente bloqueado)/km(electrodo libre). El primer factor permite la

comparación entre las eficiencias actuando de cada promotor de turbulencia mientras

que el segundo analiza la influencia en el transporte de materia de los chorros de salida

de electrolito desde los distribuidores de liquido del reactor al propio compartimiento

(efecto entrada/salida). Este parámetro es especialmente importante en reactores de

pequeñas dimensiones o en reactores industriales que no dispongan de una zona de

“calmado”, como se comentó en el capitulo anterior.




101

Figura 3.2.6a: Factor de mejora γmt del transporte de materia en el reactor UA63.03

100 200 300 400 500 600 7000.72

0.74

0.76

0.78

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

Electrodo parcialmente tapado

Γ

Re

Figura 3.2.6b: Factor de corrección en el reactor UA63.03

100 200 300 400 500 600 7001.11.21.3

1.41.51.61.71.81.9

2.02.12.22.32.4 Promotor A

Promotor B Promotor C Promotor D

γ mt

Re




102

El comportamiento mostrado por el factor de mejora en el reactor UA63.03 es

similar al observado en otros reactores de laboratorio[42], así, el factor de mejora

disminuye al aumentar el Re. Por otro lado, el factor de corrección, Γ, revela la

importancia de los efectos entrada / salida en el valor de la constante de transporte de

materia. Se han encontrado en bibliografía resultados y comentarios similares a los

obtenidos en el presente caso[43,44].

Los resultados obtenidos pueden ser vistos desde un punto de vista de grupos

adimensionales a fin de poder comparar las correlaciones habitualmente usadas

(correlaciones de transporte de materia, Sh = a Reb Scc) que tienen en cuenta las

propiedades de la disolución y permiten comparar el comportamiento de nuestro reactor

con otros reactores electroquímicos filtro prensa. En la tabla 3.2.5 se puede observar un

sumario de diversas correlaciones de Sh vs. Re para distintos reactores filtro prensa y en

la figura 3.2.7 se pueden ver estas correlaciones representadas gráficamente (Los

números de las graficas en la figura corresponden a las referencias de las cuales se

obtuvieron las correlaciones, tabla 3.2.5)

Los resultados que obtuvimos con el reactor UA63.03 muestran de nuevo una

tendencia similar a la de otros reactores a escala laboratorio. Se puede observar que se

presentan condiciones de regímenes turbulentos cuando, si se hiciera caso tan solo del

número de Re, debería haber régimen laminar. Esta situación ya ha sido comentada

previamente por otros autores[43] y ha sido parcialmente explicada a causa de la

influencia de los efectos entrada / salida. También se puede observar el descenso del

exponente del Re al introducir los promotores de turbulencia[44,46] así como un aumento

de los valores de a (Sh = a·Reb·Scc).




103

Figura 3.2.7: Representación de las correlaciones adimensionales para el transporte de materia para las distintas referencias encontradas en la bibliografía. En la leyenda se muestra la referencia a partir

de la cual ha sido calculada la representación




104

Reactor ecuación a b c Condición Referencia FM01-LC Area=64 cm2

Le = 16.6 Vacío

6 0.174 0.68 0.33 120<Re<450 Hammond et al [56] 7 0.22 0.71 0.33 200<Re<1000 Brown et al [53] 8 0.24 0.70 0.33 240<Re<969 Brown et al [51]

Con Promotores

9 0.74 0.62 0.33 200<Re<1000 Brown et al [53] 10 0.90 0.59 0.33 240<Re<969 Brown et al [51] 11 1.50 0.57 0.33 240<Re<969 Brown et al [51] 12 0.63 0.60 0.33 240<Re<969 Brown et al [51] 13 0.56 0.62 0.33 240<Re<969 Brown et al [51]

Sin Nombre Area=100 cm2 Le=3.0

Vacío 14 0.28 0.70 0.33 148<Re<6109 Ralph et al [54]

Sin Nombre Area=100 cm2 Vacío

15 0.39 0.60 0.33 100<Re<2300 Fernández [57] Con

Promotor

16 0.21 0.75 0.33 700<Re<2600 Fernández [51]

Sin Nombre Area=70 cm2

Con Promotor

17 1.09 0.47 0.33 100<Re<1600 Letord-Quemere et al [58]*

UA63.03 Area=63 cm2

Le=6.44 Vacio

18 0.17 0.82 0.33 117<Re<629 Este trabajo Con

Promotores

Tipo A 19 0.54 0.59 0.33 117<Re<629 Este trabajo Tipo B 20 0.63 0.62 0.33 117<Re<629 Este trabajo Tipo C 21 0.43 0.63 0.33 117<Re<629 Este trabajo Tipo D 22 0.55 0.61 0.33 117<Re<629 Este trabajo

*Datos de Montillet et al. [31].

Tabla 3.2.5: Correlaciones para el transporte de materias (Sh = a Reb Scc)para reactores filtro prensa




105

3.2.5.- ESTUDIOS DE VISUALIZACIÓN DIRECTA

Estos experimentos se realizaron por medio de la filmación en video de una

inyección de un trazador de color, azul de bromotimol, en el reactor. Con el fin de ver el

interior del reactor una de las placas de apriete del sistema fue sustituida por otra de

metacrilato transparente.

El modelo para el reactor UA63.03 basado en la existencia de una zona dinámica

para el paso de fluido y la existencia de una zona muerta con la que existe un

intercambio de materia queda “visualmente” justificado por las imágenes obtenidas del

interior del reactor. Se puede apreciar la existencia de unos caminos más rápidos,

perfectamente asumibles al volumen dinámico propuesto por el modelo físico, así como

unas zonas mucho más lentas, que podrían asimilarse a los volúmenes muertos. Por otra

parte, la existencia de remolinos justificaría el intercambio de materia entre las zonas

dinámicas y muertas, figuras 3.2.8.




106

t1 t2

t3 t4

Figure 3.2.8: Visualización directa del flujo en el reactor UA63.03 trabajando a un Re = 414

Siendo t1< t2< t3< t4.

Zonas Dinámicas Zonas Muertas




107

3.2.6.- CONCLUSIONES

A través de la combinación de los resultados obtenidos de los estudios de

hidrodinámica, y los obtenidos a través de los estudios de transporte de materia, se

pueden obtener conclusiones similares a las encontradas en otros centros para otros

reactores filtro prensa. A partir de los valores del número de Pe que obtuvimos para el

compartimento UA63.03 vacío y lleno de promotores se puede concluir que la

presencia de promotores de turbulencia puede conllevar un efecto de canalización del

fluido en el interior del compartimento y esta sería la explicación para las diferencias

en los exponentes de la velocidad de las correlaciones para el transporte de materia.

Por otro lado, los valores optimizados de NαΦβ obtenidos para el reactor

UA63.03, en general, disminuyen al aumentar el valor del Re. Esta tendencia está de

acuerdo con la experimentada por el factor de mejora, teniendo en cuenta que la

reducción en el transporte de materia puede ser debida al efecto de canalización.

Resulta interesante el hecho de que se puede usar el factor de turbulencia propuesto,

NαΦβ, con el fin de clasificar la eficiencia de los distintos promotores de turbulencia,

según esta clasificación quedaría:

B > D > C > A > vacío

Dicha secuencia es muy similar a la obtenida a través de estudios de transporte

de materia:

B > D > A > C > vacío.

Con la única salvedad del promotor A que presenta las peculiaridades ya

comentadas.




108

Para finalizar, los estudios de visualización directa del flujo en el interior del

reactor avalan los modelos físicos propuestos de una manera cualitativa.

3.2.7. NOMENCLATURA

a, Coeficientes de las correlaciones de transporte de materia.

B Anchura del compartimento, m (perpendicular a la dirección de flujo).

b Exponente del numero de Reynold en la correlación de transporte de

materia.

c Concentración, mol/m3. Exponente del número de Schmidt en la

correlación de transporte de materia.

cdin Concentración en el flujo principal, mol/m3.

cestat Concentración en las zonas muertas, mol/m3.

C Concentración normalizada con la concentración total.

de Diámetro hidráulico equivalente del compartimento, m (= 2Bs/(B+s)).

D Coeficiente de difusión, m2/s

Dax Coeficiente de dispersión en la dirección axial, m2/s

J Velocidad de intercambio entre la fase estancada y el flujo principal,

mol/m3 s.

km Coeficiente de transporte de materia, m/s.

L Longitud del compartimiento en la dirección de flujo, m.

Le Longitud adimensional (=de/L).

Nα Velocidad normalizada de intercambio entre el flujo pistón con

dispersión y las zonas muertas.

NαΦβ Factor de turbulencia.

Pe Número de Peclet (=v L/Dax)

Re Número de Reynolds (=v de/ν)

Recrit Valor teórico de Re para el cambio de régimen laminar a turbulento.




109

Qv Caudal volumétrico, m3/s.

Sc Número de Schmidt (= ν / D)

Sh Número de Sherwood (=km de/D).

s Grosor del compartimento, m.

t Tiempo, s.

Vd Volumen de la zona estancada del reactor, m3.

Vt Volumen total del reactor, m3.

v Velocidad media del fluido, m/s

z Coordenada en la dirección de flujo, m.

Z Coordenada normalizada en la dirección de flujo.

Letras Griegas

αm Coeficiente de intercambio entre el flujo principal y las zonas estancadas,

s-1

Φβ Fracción entre el flujo pistón con dispersión y el volumen total.

γ Relación de aspecto del compartimento (=s/B).

γmt Factor de aumento ( km(con promotor)/km(sin promotor))

Γ Factor de corrección ( km(Electrodo parcialmente

bloqueado)/km(electrodo sin bloquear))

ν Viscosidad cinemática, m2/s

θ Tiempo adimensional.

ρ Densidad, kg/m3.

τ Tiempo de residencia medio para el compartimento, s (=Vt/Qv) en donde

Vt es el volumen disponible para el flujo, teniendo en cuenta la presencia

de los promotores de turbulencia dentro del reactor.




110

3.2.8.- REFERENCIAS

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Capítulo 3.3: Estudio de un reactor a escala piloto UA200.08

117

3.3.- ESTUDIO DE UN REACTOR A ESCALA PILOTO UA200.08

3.3.1. INTRODUCCIÓN

Al igual que en el capitulo anterior, a continuación se realizará el estudio del

comportamiento hidrodinámico de un reactor filtro prensa a escala de planta piloto. Se

expondrán los resultados obtenidos del estudio de un reactor electroquímico fabricado

en la Universidad de Alicante (UA200.08) y se tomará un especial interés en la

influencia de la introducción de promotores de turbulencia en la hidrodinámica del

sistema, así como en las variaciones del coeficiente de transporte de materia.

Para ello se empleará un modelo matemático para el comportamiento

hidrodinámico del sistema basado en un modelo usado anteriormente con éxito en otros

sistemas[1].


El reactor electroquímico estudiado es el UA200.08. En la figura 3.3.1 en la que

se presenta una vista del compartimento destinado al flujo del fluido así como una vista

desglosada del montaje global del reactor.




118

220 200

120

180

8

ABCDE

Figura 3.3.1: I) Vista del compartimento sometido a estudio. En ella se muestra un detalle del

distribuidor interno. II) Despiece del montaje global del reactor, (A)Placas terminales de apriete,

(B)Placa de polipropileno con orificios para los canales de flujo,(C) Electrodo, (D) Compartimento, (E)

Separador

I

II




119

Los promotores de turbulencia usados son los mismos que los empleados en los

capítulos anteriores. A fin de simplificar la lectura de la presente tesis se vuelven a

mostrar estos distribuidores así como sus dimensiones en las figuras 3.3.2a y 3.3.2b. Las

dimensiones de dichos promotores de turbulencia se encuentran especificadas en la

tabla 3.3.1.

Figura 3.3.2a: Foto de los promotores de turbulencia usados

Figure 3.3.2b: Esquema de las dimensiones principales de los promotores de turbulencia usados.

(Valores en la Tabla 3.3.1)

A B

C D




120

Promotor A B C D

sd/ mm 1.5 5-7* 5 2 ld/ mm 2 5-7* 6 3

ccld/ mm 3.1 6.2 8.7 3.7 ccsd/ mm 2.3 6.2 6.6 2.4

Grosor Promotor/ mm 1 1 2 1 FT (Porosidad fibra)/ mm 0.5 0.9 1.2 0.6

Porosidad mallado 0.69 0.70 0.73 0.77 Tabla 3.3.1: Dimensiones características de los promotores de turbulencia. (* hace referencia a

un lado de un cuadrado)

Los promotores se colocaron en el compartimento y se mantuvieron fijos en él

con la diagonal larga en la dirección del flujo entrante (en el caso del promotor C se

probaron ambas configuraciones, es decir, con la diagonal larga en la dirección del flujo

y después con la diagonal corta en esa dirección). El numero de promotores colocados

en el interior del reactor fue el suficiente para que, una vez apretado el reactor, los

promotores quedaran totalmente sujetos en su interior, rellenando al máximo posible el

volumen del compartimento.

Las mediciones de caída de presión se realizaron a partir de una disposición

experimental como la mostrada en la figura 3.3.3, de igual forma que se realizó en el

capitulo anterior, aunque con los dispositivos y tuberías ajustados a las nuevas

dimensiones del reactor.




121

Figura 3.3.3: Diagrama del sistema experimental. (1) depósito; (2) Bomba centrifuga; (3) Reactor

UA200.08; (4) caudalímetros, (5) válvulas; (6) manómetro; (7) intercambiador de calor

Por otra parte el dispositivo experimental empleado para la obtención de las

curvas RTD es muy similar a la figura 3.3.3, salvo que se sustituyeron los conectores de

medición de presión por un sistema de inyección de trazador a la entrada del sistema y

por una sonda de conductividad a la salida del mismo Figura 3.3.4.




122

Figure 3.3.4: configuración experimental para los estudios de RTD

El electrolito era bombeado al sistema a través de una bomba centrifuga de

arrastre magnético modelo MSE-EP-R (March May). Se usaron caudalímetros de área

variable y válvulas de membrana de polipropileno para el control y medición del flujo.

Para el control de la temperatura se usaron intercambiadores de vidrio así como sondas

de Pt para las medidas de conductividad.

El electrolito usado para la realización de los experimentos de caída de presión

fue una disolución al 0.5M de sulfato sódico. Por otra parte, para los experimentos de

RTD se uso agua como fluido circulante y una disolución saturada de NaCl como

trazador de conductividad.

Inyeccion

ReactorDeposito

Ordenador

SondaConductividad

Caudalimetro

Bomba




123

Los experimentos de transporte de materia se realizaron usando las técnicas de

corriente limite. Tanto el electrodo de trabajo como el contraelectrodo eran electrodos

planos de cobre. Con el fin de determinar el factor de corrección se emplearon también

electrodos parcialmente bloqueados. Estos electrodos parcialmente bloqueados

presentan unas tiras de polímero no conductor de unos 4 cm de longitud y anchura igual

a la anchura del compartimento en sus extremos de entrada y salida. Como electrodo de

referencia se uso un electrodo de calomelanos saturado (ECS). La reacción test

empleada fue la reducción catódica de Cu(II) en una disolución 0.5M de sulfato sódico.

Los experimentos fueron llevados a cabo para una concentración de cobre(II) inferior a

60 ppm y las condiciones de flujo se variaron entre valores de Re comprendidos entre

90 y 800. En todos los casos, estudiamos el comportamiento con y sin promotores de

turbulencia insertados en el compartimento de flujo.

Las curvas de corriente vs. potencial fueron registradas desde el potencial de

equilibrio del sistema hasta el del desprendimiento de hidrogeno (-800 mV vs. ECS) a

una velocidad de barrido de 1-5 mV s-1. Un ejemplo de curva típica de polarización

obtenidas puede verse en la figura 3.3.5.




124

Figure 3.3.5: Curva de polarización típica para el sistema estudiado. [Cu2+] = 60 ppm.

Velocidad de barrido = 5mV·s-1.

Todas las respuestas que obtuvimos para Re ≠ 0 mostraron una meseta bien

definida para la corriente limite que se extendía desde –200 hasta –800 mV vs. SCE,

punto en el que se aprecia ya el desprendimiento de hidrogeno. Conocida la zona de

potencial correspondiente a la corriente límite, los estudios de transporte de materia se

realizaron empleando la técnica de salto potenciostático. El salto se realizaba desde el

potencial de equilibrio de la disolución hasta un potencial de –500 mV situado dentro

del intervalo de control por transporte de materia.

-j / mA·cm-2

-E vs ECS / mV




125

3.3.3. RESULTADOS

3.3.3.1.- Estudios Hidrodinámicos:

3.3.3.1.1.- Caída de presión

Los datos de caída de presión fueron usados para determinar los regímenes de

flujo en el sistema (laminar o turbulento). En un canal de flujo bien definido, la

transición entre el régimen laminar y el turbulento ocurre alrededor de un Reynolds de

2000 (Re=vde/ν). Estos resultados hacen referencia a unas condiciones experimentales

en las que se emplean zonas de “calmado” del flujo a fin de conseguir un flujo

plenamente desarrollado, ya sea laminar o turbulento, a la entrada y salida del liquido

del sistema.

La figura 3.3.6 compara las caídas de presión globales (factor de fricción) para

el reactor sometido a estudio UA200.08 así como para otros dos reactores filtro prensa,

el UA63.03, previamente estudiado, y otro de origen comercial, FM01-LC, fabricado

por ICI.




126

Figura 3.3.6: Gráfico doble logarítmico del factor de fricción v.s. Re para el reactor UA63.03,

UA200.08 y el reactor fabricado por ICI, FM01-LC




127

Las medidas incluyen también las caídas de presión debidas a los distribuidores

de fluido en los compartimentos. La caída de presión en los modelos FM01 y UA200.08

es relativamente elevada debido a las restricciones al flujo que causa el diseño de los

distribuidores de fluido de los compartimentos de estos dos reactores. Por tanto, para la

mayoría de los promotores de turbulencia usados, el aumento de la caída de presión que

origina su inserción en el canal de flujo resulta despreciable en comparación con la

caída de presión total que existe ya sin promotores. En la figura 3.3.6, no se han

dibujado el flujo de Poiseuille que sería aplicable para flujos a Re inferiores a 2300 en

canales abiertos ya que los resultados para nuestro reactor real se encuentran muy

alejados de estas condiciones ideales, mostrando un comportamiento de flujo laminar no

totalmente desarrollado. Sin embargo, para Re inferiores a 1000, el factor de fricción,

f=∆Pde/2ρLv2, comienza a aumentar a medida que disminuye el Re, sugiriendo la

existencia de un Recrit en el cual las condiciones de flujo en el interior del reactor se

encontrarían en la zona de transición entre el flujo laminar y el flujo turbulento. Este

valor de Re=1000 es un valor aproximado, calculado a través de la unión de dos líneas

rectas que representas los dos casos extremos de Re muy bajos y Re muy elevados,

estando en concordancia con la ref. [2].

3.3.3.1.2.- Estudios de RTD

Los valores de conductividad registrados a la salida del sistema en función del

tiempo permiten construir las curvas de RTD (Distribuciones de Tiempos de

Residencia).

Al igual que ocurría en el estudio del reactor UA63.03, las curvas de trazador

obtenidas para el reactor UA200.08 no pueden ser modelizadas con modelos

matemáticos simples basados en un flujo pistón con dispersión axial pura, ya que las

curvas registradas presenta un gran fenómeno de cola para tiempos elevados, como se

mostrará más adelante. Por este motivo se ha empleado el mismo modelo basado en un

flujo pistón con dispersión axial con el que existen un intercambio de materia entre él y

una zona muerta (o zona estancada) que se usó en el capítulo anterior para el reactor




128

UA63.03. Este modelo es una adaptación de un modelo más complejo usado

previamente para electrodos tridimensionales[4] y está basado en trabajos de

Villermaux[3]. La figura (3.3.7) presenta un esquema del modelo empleado.

Figura 3.3.7.: Esquema del modelo matemático propuesto para el ajuste de las curvas de RTD

Donde Vdin es el volumen de la zona rápida (volumen dinámico), cdin es la

concentración de trazador en esta zona, Vestat es el volumen de la zona estática (volumen

muerto) y cestat es la concentración en ese volumen.

Recordando lo expuesto en el capítulo anterior, los parámetros a optimizar en

este modelo son solamente tres (Pe, Φβ y Nα) y todos ellos tienen un claro significado

físico.

Las figuras 3.3.8a-b y 3.3.9a-b muestran los resultados experimentales obtenidos

para las configuraciones del reactor vacío o lleno con las diversas clases de promotores

estudiados para distintos caudales (Re=106, figura 3.3.8a-b y Re=298, figura 3.3.9a-b).

Vestat

Vdin

cestat

cdin




129

Figura 3.3.8a: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las

configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (a1) Re = 106 reactor vacío, (a2) Re = 106

promotor A, (a3) Re = 106 promotor B, (a4) Re = 106 promotor Cs (el subíndice s indica que se ha

colocado la diagonal corta del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo)

Reactor Vacío Re = 106

Promotor A Re = 106

Promotor B Re = 106

Promotor Cs Re = 106




130

Figura 3.3.8b: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las

configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (a5) Re = 106 promotor Cl , el subíndice l

indica que se ha colocado la diagonal larga del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo,

(a6)Re = 106 promotor D

Promotor Cl Re = 106

Promotor D Re = 106




131

Figure 3.3.9a: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las

configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (b1)Re = 298 reactor vacío, (b2) Re = 298

promotor A, (b3) Re = 298 promotor B, (b4) Re = 298 promotor Cs (el subíndice s indica que se ha

colocado la diagonal corta del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo)

Reactor Vacío Re = 298

Promotor A Re = 298

Promotor B Re = 298

Promotor Cs Re = 298




132

Figura 3.3.9b: RTD experimentales obtenidas para la configuración vacía del reactor así como para las configuraciones usando distintos promotores de turbulencia: (b5) Re = 298 promotor Cl, el subíndice l indica que se ha colocado la diagonal larga del dibujo del promotor en la dirección principal del flujo,

(b6) Re = 298 promotor D

Se puede apreciar una gran diferencia entre los experimentos realizados con el

compartimento vacío y los realizados con promotores de turbulencia. Así, los primeros

muestran una curva típica de sistemas con volúmenes muertos, para todos los caudales

estudiados. Además, a caudales bajos, los resultados obtenidos presentan una gran

cantidad de “ruido” que puede darnos una idea de la complejidad de la hidrodinámica

del sistema en esas condiciones de flujo. La incorporación al sistema de promotores de

turbulencia modifica considerablemente las curvas experimentales obtenidas,

eliminando el “ruido” antes mencionado, disminuyendo la cola de la curva RTD, así

como acercando el pico de la curva a un valor de tiempo de residencia cercano al valor

teórico (θ = t/τ = 1), esto es especialmente cierto para valores de Re elevados. En las

figuras 3.3.10 y 3.3.11 se puede apreciar un ejemplo de un ajuste de los valores

experimentales con el modelo matemático elegido para la descripción del sistema,

considerando un posible intercambio de materia entre la zona muerta y la zona dinámica

así como sin tener en cuenta ese intercambio de materia.

Promotor Cl Re = 298

Promotor D Re = 298




133

Como se puede apreciar, el modelo que no tiene en cuenta un posible

intercambio de materia entre la fase dinámica y el volumen muerto no presenta un ajuste

tan preciso como el modelo que tiene en cuenta este intercambio. Esto es debido a que

el modelo sin intercambio de materia no es capaz de ajustar la cola de la curva de

tiempos de residencia dando como resultado una mala predicción del sistema. Además,

hay que tener en cuenta que, después de realizar el proceso de optimización de

variables, el modelo en el que no se tenían en cuenta intercambios de materia daba

como resultado unos volúmenes muertos muy pequeños, cercanos a cero, hecho que

simplemente por observación de las curvas experimentales se deduce que es incorrecto.

La optimización de las curvas con el modelo con intercambio se realizó

partiendo de diversos juegos de valores iniciales para los parámetros a optimizar,

usando todo el rango de valores posibles y para valores de t/τ<3. En casi todos los

casos, todos los conjuntos de valores iniciales usados condujeron hacia los mismos

óptimos.

Figura 3.3.10: Curvas experimentales y simuladas para los dos modelos estudiados. Re = 106.

CV es el coeficiente de variación

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Re = 106 Modelo sin Intercambio CV: 3.13% Modelo con Intercambio CV: 1.04% Experimental

E

t/τ




134

Figura 3.3.11: Curvas experimentales y simuladas para los dos modelos estudiados. Re = 298 .

CV es el coeficiente de variación

La función objetivo a optimizar fue:

( )∑i

2expi

calci x- x = F.O. (3.3.1)

siendo xi un punto de la curva RTD.

Los valores de las funciones objetivo optimizadas rondaban el valor de 10-3 para

casi todos los casos sometidos a estudio, yendo desde 10-4 para las curvas

correspondientes a valores bajos de Re hasta 10-2 para curvas correspondientes a valores

elevados de Re.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Experimental Modelo sin Intercambio CV: 5.09% Modelo con Intercambio CV: 1.81%

E

t/τ




135

A fin de cuantificar la bondad del ajuste de la curva experimental con la teórica

se puede definir a su vez, un coeficiente de variación según:

exp

..

(%)..x

PNOF

VC −= (3.3.2)

en donde N es el número total de puntos, P es el número de parámetros a ser

ajustados, y expx es el valor medio de la serie de datos experimentales usados en la F.O.

Los valores de estos C.V. se encontraban entre 1 y 3% para el mejor modelo (el que

tiene en cuenta el posible intercambio de materia) para todas las curvas.

Durante el proceso de optimización, observamos una gran dependencia con el

parámetro Φβ, en el sentido de que, sólo si este parámetro presenta el valor adecuado se

puede llegar a una solución con una F.O. aceptable. Además, se observó que este es el

primer parámetro en optimizarse durante el proceso de optimización y que una vez que

el programa ha encontrado este valor, ya no varía apreciablemente durante el resto del

proceso de optimización.

En la tabla 3.3.2 se presentan los resultados de la optimización




136

Tabla 3.3.2:Resultados de la optimización de las curvas RTD para la configuración del compartimento

vacío y para el compartimento lleno con diversas clases de promotores




137

A pesar de la dificultad que implica la simulación de las curvas para la

configuración vacía, especialmente a valores de Re bajos debido al ruido del sistema, se

puede apreciar una gran diferencia de los parámetros optimizados encontrados para la

configuración vacía y las distintas configuraciones con promotores de turbulencia. El

modelo da valores bajos de Nα, Φβ y Pe para la configuración del reactor vacía.

Además, para las configuraciones con promotores de turbulencia Φβ aumenta y Nα

disminuye, en general, al aumentar el Re, mientras que la tendencia opuesta se puede

observar en el reactor vacío.


La figuras 3.3.12a-b muestra los resultados obtenidos en los estudios de


En ella se muestran tanto los valores del factor de corrección Γ = km(con el

electrodo parcialmente bloqueado)/km(con el electrodo sin bloquear) y el factor de

aumento o mejora del transporte de materia γmt = ( km(con promotor de

turbulencia)/km(sin promotor de turbulencia)) definido por Walsh y Reade[5]. Los

resultados para el parámetro Γ rondan el valor de 0.93. Esto implica que los efectos de

entrada / salida en este reactor son menos obvios que en otros reactores filtro prensa de

escala laboratorio.




138

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

Promotor A Promotor B Promotor Cl Promotor Cs Promotor D

γ mt

Re

Figura 3.3.12a: Factor de mejora para el transporte de material, γmt, en el reactor UA200.08.

0 100 200 300 400 500 600 7000.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

Γ

Re

Figura 3.3.12a: Factor de corrección para el transporte de materia, Γ, en el reactor UA200.08.




139

El factor de aumento o mejora del transporte de materia, γmt, tiende a disminuir a

medida que aumenta el Re, variando desde 2.2 hasta 1.3. Se han realizado además

estudios con el promotor C en dos orientaciones distintas a fin de comparar los

resultados con otros realizados por otros investigadores[6,7], y se ha visto que la

disposición del promotor afecta al valor del coeficiente de transporte de materia.

El coeficiente de transporte de materia puede ser colocado en una expresión

adimensional a través del numero de Sherwood (Sh). A fin de comparar los resultados

obtenidos con otros encontrados en la bibliografía se han calculado las correlaciones de

materia para el reactor sometido a estudio que relacionan el Sh con el Re y con el

numero de Schmidt (Sc). Estas correlaciones han sido comparadas a su vez con otras

encontradas en la bibliografía, tabla 3.3.3.



Capítulo 3.3: Estudio de un reactor a escala piloto: UA200.08

140

Reactor ecuación Condiciones Referencia Sh = a’ Reb Scc a’ b c

Sin Nombre area 225 cm2 Le=15.4 10-2

γ = 0.1

Vacío 3 0.19 0.812 0.33 1250<Re<6900 8 Con

deflectores 4 0.18 0.75 0.33 Re > 3000 8

Con deflectores

5 0.46 0.66 0.33 3000<Re<15000 9

UA200.08 area 216 cm2

Le = 1.28 10-2

γ = 0.04

Vacío Electrodo sin

bloquear 6 0.35 0.70 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo

Electrodo bloqueado

7 0.15 0.64 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo

Pcon

promotores

Tipo A 8 0.43 0.71 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo B 9 1.24 0.58 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo Cl 10 1.03 0.59 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo Cs 11 1.31 0.55 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo Tipo D 12 0.75 0.64 0.33 94 < Re < 804 Este trabajo

TEORÍA

Sh = a Reb Scc Led a b c d

Laminar 13 1.85 0.33 0.33 0.33 Re < 2000 10

Turbulento 14 0.023 0.8 0.33 - Re > 2000 10

Tabla 3.3.3: Correlaciones para el transporte de materia para el reactor UA200.08 y otros

reactores de escala piloto encontrados en la bibliografía.

En la figura 3.3.13 se han representado las correlaciones de la tabla 3.3.3 junto

con las ecuaciones teóricas para flujos laminar y turbulento totalmente desarrollados[10].

Se puede apreciar que la pendiente de las correlaciones es mayor que la de las

expresiones teóricas en la zona de Re laminares y que son bastante similares a las

pendientes de la zona de régimen turbulento. Este comportamiento ha sido observado

por varios investigadores [11,12,13,14] en una amplia variedad de reactores comerciales y

de fabricación propia. La explicación de este comportamiento se debe principalmente a

la inexistencia de zonas de calmado en el compartimiento.




141

Figura 3.3.13: Grafico de las correlaciones de grupos adimensionales para el reactor UA200.08 (con y

sin promotores de turbulencia) comparados con otros estudios hallados en la bibliografía. (ecuaciones

en la tabla 3.3.3). 1.- Electrodos parcialmente bloqueados (reactor vacío) Ecuación 7; 2.- electrodos no

bloqueados (reactor vacío) Ecuación 6; 3.- Promotor A Ecuación 8; 4.- Promotor B Ecuación 9; 5.-

Promotor CS Ecuación 11; 6.- Promotor Cl Ecuación 10;7.- Promotor D Ecuación 12; 8.- Ecuación 3; 9.-

Ecuación 4; 10.- Ecuación 5; 11.- Flujo laminar Ecuación 13; 12.- Flujo turbulento Ecuación 14




142

Este hecho, unido a una longitud no lo suficientemente larga en la dirección de

flujo, impide que se consiga un flujo laminar plenamente desarrollado. Sin embargo,

esta situación no puede ser únicamente atribuida a la forma de entrada del fluido en el

compartimento, ya que la correlación para el transporte de materia con los electrodos

parcialmente bloqueados no presenta un cambio significativo en la pendiente, 0.64, que

es mayor que el teórico 0.33. Además, la tendencia del factor de fricción en este rango

de Re sirve para apoyar esta hipótesis. Por otra parte, se ha de hacer notar que la

correlación para el transporte de materia con los electrodos parcialmente bloqueados

presenta una velocidad media de transporte de materia inferior, es decir, valores

menores de a’ y b.

3.3.3.3.- Estudios de visualización directa

Al igual que con el reactor UA63.03, los experimentos se realizaron por la

filmación en video de una inyección de un trazador de color, azul de bromotimol, en el

reactor. Una de las placas de apriete del sistema fue sustituida por otra de metacrilato

transparente a fin de poder ver el interior del reactor.

El modelo basado en la existencia de una zona dinámica para el paso de fluido y

la existencia de una zona muerta con la que existe un intercambio lento de materia

queda cualitativamente justificado al visualizar el flujo del fluido en el interior del

reactor. Se puede apreciar la existencia de un camino más rápido en el centro del

reactor, perfectamente asumible como el volumen dinámico propuesto por el modelo

físico, así como unas zonas laterales mucho más lentas, que podrían asimilarse a los

volúmenes muertos. Por otra parte, la existencia de remolinos justificaría el intercambio

de materia entre las zonas dinámicas y muertas, figuras 3.3.14.




143

Figura 3.3.14a: Inyección de trazador. Re = 227. t0 Figura 3.3.14b: Inyección de trazador. Re = 227. t1

Figura 3.3.14c: Inyección de trazador. Re = 227. t2 Figura 3.3.14d: Inyección de trazador. Re = 227. t3

Figura 3.3.14e: Inyección de trazador. Re = 227. t4 Figura 3.3.14f: Inyección de trazador. Re = 227. t5

Siendo t0<t1<t2<t3<t4<t5.




144

3.3.4. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS

El modelizado de las curvas RTD del sistema proporciona información

sumamente interesante para analizar la influencia de los promotores de turbulencia. Los

bajos valores de Φβ y Pe para la configuración del reactor sin promotores, en contraste

con los resultados obtenidos para la configuración con promotores, permite imaginar al

reactor como un sistema formado por una zona o fase dinámica combinada con otra fase

estática, con la posibilidad de que existan posibles recirculaciones o remolinos. Esta

compleja representación estaría de acuerdo con la gran cantidad de “ruido” de las curvas

RTD hallado en las configuraciones vacías. Además, la tendencia ascendente del Pe con

los Re apoya este modelo que está de acuerdo con estudios realizados por otros

investigadores. Así mismo existen referencias en la bibliografía en las que se expone la

existencia de unos cambios de flujo a la entrada de células electroquímicas[15-17] debidos

principalmente al diseño de los distribuidores de entrada. En estos trabajos, se establece

una relación entre la distribución de la constante del transporte de materia y la

hidrodinámica de las zonas de recirculación por medio de estudios de corriente limite: el

fluido al pasar del distribuidor al compartimento se expande rápidamente y se forma una

región de flujo en recirculación con un elevado transporte de materia. Cerca de las

esquinas de las células rectangulares, se sabe que se forman flujos secundarios, tanto en

régimen laminar como en turbulento con altos valores de la constante de transporte de

materia. A una distancia cercana de la entrada, ya dentro del compartimento, el flujo de

fluido comienza a desarrollarse de manera habitual. Por ejemplo, para una célula de

sección cuadrada un hecho importante a notar es que en la zona de recirculación, el

transporte de materia en el centro es mayor que el transporte de materia en las esquinas.

En regiones alejadas de la zona de entrada, ese comportamiento se invierte y es en las

esquinas en donde se alcanzan valores mayores de transporte de materia.

Más recientemente se han realizado estudios del comportamiento hidrodinámico

de reactores electroquímicos filtro prensa basados en estudios locales de transporte de

materia usando una configuración con deflectores o sin ellos[1] así como con, o sin,




145

promotores de turbulencia[11,19]. En estos trabajos, se ha descrito, para la configuración

vacía del compartimiento, un comportamiento global de remolinos debidos a las

entradas de líquido a través de los distribuidores en forma de chorros. Así mismo, se ha

descrito la posible existencia en estas configuraciones, de zonas inactivas de la célula.

Una situación similar puede desprenderse de nuestros estudios de RTD, y de la

modelización de los mismos. Así, para la configuración con promotores de turbulencia,

se obtienen valores elevados de Φβ y de Pe. La presencia de promotores de turbulencia

obstaculiza la posible formación de zonas muertas (altos valores de Φβ) y, además,

puede generar la formación de un gran número de “pequeños canales” dentro del

compartimento, los cuales favorecerían esa disminución de zonas muertas o estancadas.

En estos casos, el transporte de materia hacia los electrodos sería menos dependiente del

caudal (lo que se traduciría en un menor exponente del Re en las correlaciones de

transporte de materia) y más de las características del promotor (valores elevados de a

en las correlaciones de transporte de materia).

Un estudio más detallado de las diferencias existentes entre distintos promotores

de turbulencia presentaría numerosas complicaciones que ya han sido expuestas en otros

trabajos de investigación[7]. Una de las razones para el aumento del transporte de

materia al insertar promotores de turbulencia se debe a la formación de remolinos, lo

que, siguiendo el modelo de RTD propuesto, originaría en una disminución de los

volúmenes muertos del sistema (altos valores de Φβ) y un aumento del intercambio de

materia entre las zonas dinámicas y las zonas estancadas, las cuales suelen estar

ubicadas en las paredes del reactor. El aumento del parámetro Φβ es particularmente

importante en las regiones cercanas al electrodo. En este aspecto en particular, es lógico

asumir que la introducción de promotores de turbulencia disminuye en gran medida los

efectos entrada/salida desde el punto de vista hidrodinámico, particularmente en

reactores a escala laboratorio y piloto.

Por otra parte los promotores de turbulencia A y D, con distancias diagonales

menores, presentan exponentes de velocidad y valores de Φβ normalmente mayores que




146

el resto de promotores. Con el objetivo de poder clasificar los promotores en función de

su eficiencia proponemos el empleo de un factor de turbulencia, NαΦβ [1]. Para un valor

constante de Φβ, un aumento en Nα, es decir un aumento en la velocidad de intercambio,

producirá un grado mayor de turbulencia. En el mismo sentido, para un valor constante

de Nα, un aumento de Φβ causaría que una mayor parte del reactor actuase como flujo

pistón, con lo que la turbulencia también se vería aumentada.

La tabla 3.3.4 muestra los valores de Nαθβ para los distintos casos estudiados,

NαΦβ Re Vacío Promotor A Promotor B Promotor Cs Promotor Cl Promotor D

75 0.43 106 1.23 1.12 1.25 1.04 0.99 161 0.99 1.13 1.01 1.06 227 0.49 243 0.96 0.88 0.9 0.86 0.76 298 0.96 0.82 0.93 346 0.49 499 0.52

Tabla 3.3.4: Producto NαΦβ para el reactor UA200.08

El parámetro NαΦβ para los promotores muestra una tendencia a disminuir

cuando el Re aumenta, igual que lo hace el coeficiente de aumento de transporte de

materia, sin embargo la clasificación de los promotores no es tan directa. Se puede ver

que tan solo el comportamiento del promotor A es distinto al comportamiento predicho

usando los estudios de transporte de materia,




147

• clasificación segun estudios de transporte de materia

B > Cs > Cl > D > A

• clasificación según modelización de RTD

A >B ≈ Cs > Cl > D

El comportamiento anómalo del promotor A puede estar asociado con su

especial distribución de fibras, como se puede apreciar en la figura 3.3.2a. Este trazado

permite un empaquetamiento mas compacto dentro del reactor cuando se emplean

varias rejillas. Este fenómeno podría ocasionar una obstrucción de las paredes así como

favorecer una canalización del electrolito en la dirección de flujo

3.3.6. NOMENCLATURA

a Coeficientes de las correlaciones de transporte de materia

B Anchura del compartimento, m (perpendicular a la dirección de flujo).

b Exponente del numero de Reynold en la correlación de transporte de

materia.

c Concentración, mol/m3. Exponente del número de Schmidt en la

correlación de transporte de materia.

cdin Concentración en el flujo principal, mol/m3.

cestat Concentración en las zonas muertas, mol/m3.

C Concentración normalizada.

d Exponente de la longitud adimensional de la correlación de transporte de

materia.

de Diámetro hidráulico equivalente del compartimento, m (= 2Bs/(B+s)).

D Coeficiente de difusión, m2/s

E Distribución de tiempos de residencia (RTD)

f Factor de fricción, (= ∆Pde /2ρLv2).




148

km Coeficiente de transporte de materia, m/s.

Le Longitud adimensional (=de/L).

Nα Velocidad normalizada de intercambio entre el flujo pistón con

dispersión y las zonas muertas.

NαΦβ Factor de turbulencia.

∆P Caída de presión, Pa.

Pe Número de Peclet (=v L/Dax)

Re Número de Reynolds (=v de/ν)

Recrit Valor teórico de Re para el cambio de régimen laminar a turbulento.

Qv Caudal volumétrico, m3/s.

Sc Número de Schmidt (= ν / D)

Sh Número de Sherwood (=km de/D).

s Grosor del compartimento, m.

t Tiempo, s.

C.V. Coeficiente de variación

Vdin Volumen de la región dinámica del reactor, m3.

Vestat Volumen de la zona estancada del reactor, m3.

v Velocidad media del fluido, m/s

Letras Griegas

Φβ Fracción entre el flujo pistón con dispersión y el volumen total.

γ Relación de aspecto del compartimento (=s/B).

γmt Factor de aumento ( km(con promotor)/km(sin promotor))

Γ Factor de corrección ( km(Electrodo parcialmente

bloqueado)/km(electrodo sin bloquear))

ν Viscosidad cinemática, m2/s

ρ Densidad, kg/m3.




149

τ Tiempo de residencia medio para el compartimento, s (=Vt/Qv) en donde

Vt es el volumen disponible para el flujo, teniendo en cuenta la presencia

de los promotores de turbulencia dentro del reactor.

3.3.7. REFERENCIAS

[1] González-García J., Conesa, J. A., Iniesta, J., García-García, V., Montiel, V., Aldaz,

A. I. Chem.E. Symp. Ser. 1999, 145, 51.

[2] Holland, F. A., Fluid flow for Chemical Engineers, Edward Arnold (Ed.), London,

1973, p. 51.

[3] Villermaux, J., van Swaaij, W. P. M. Modèle représentatif de la distribution des

temps de séjour dans un réacteur semi-infini à dispersión axiale avec zones stagnantes.

Application à l’écoulement ruisselant dans des colonnes d’anneaux Rasching”, Chem.

Eng. Sci. 1969, 24, 1097.

[4] González-García, J., Montiel V., Aldaz, A., Conesa, J. A., Pérez, J. R., Codina, G.

Hydrodynamic behaviour of a filter-press electrochemical Reactor with carbon felt as a

Three-Dimensional Electrode. Ind. Eng. Chem. Res. 1998, 37, 4501

[5]Walsh, F. C., Reade, G. Design and performance of electrochemical reactors of

efficient synthesis and environmental treatment. Part 1. Electrode geometry and figures

de merit, Analyst 1994, 119, 791.

[6]Letord-Quémere, M. M., Legrand, J., Coeuret, F. Improvement of mass transfer in

electrochemical cells by means of expanded materials, I. Chem. E. Symp. Ser. 1986, 98,

73.




150

[7]Ralph, T. R., Hitchman, M. L., Millington, J. P., Walsh, F. C. Mass transport in an

electrochemical laboratory filterpress reactor and its enhancement by turbulence

promoters, Electrochim. Acta 1996, 41, 591.

[8] Wragg, A. A., Leontaritis A. A. Mass transfer measurements in a parallel cell using

the limiting current technique, Dechema Monograph 1991, 123, 345.

[9]Goodridge, F., Mamoor, G. M., Plimley, R. E., I. Chem. E. Symp. Ser. 1986, 98, 61.

[10]Pickett, D. J. Electrochemical Reactor Design, Elsevier, Amsterdam, 1979.

[11]Taama, W. M., Plimley, R. E., Scott, K. Mass transfer rates in a DEM

electrochemical cell, Electrochim. Acta 1996, 41, 543.

[12]Carlsson, L., Sandegren, B., Simonsson, D., Rihovsky, M. Design and performance

of a modular, multi-purpose electrochemical reactor, J. Electrochem. Soc. 1983, 130,

342.

[13]Hammond, J. K., Robinson, D., Walsh F. C. Mass transport studies in Filterpress

Monopolar (FM-Type) Electrolysers I – Pilot scale studies in the FM21-SP reactor,

Dechema Monograph 1991, 123, 279.

[14]Hammond, J. K., Robinson, D., Walsh F. C. Mass transport studies in Filterpress

Monopolar (FM-Type) Electrolysers II – Laboratory studies in the FM01-LC reactor,

Dechema Monograph 1991, 123, 299.

[15]Tagg, D. J., Patrick, M. A., Wragg, A. A. Heat and mass transfer downstream of

abrupt nozzle expansions in turbulent flow, Trans IChemE. 1979, 57, 176.




151

[16]Wragg, A. A., Tagg, D. J., Patrick, M. A. Diffusion-controlled current distributions

near cell entries and corners, J. Appl. Electrochem. 1980, 10, 43.

[17]Pickett, D. J., Wilson, C. J. Mass transfer in a parallel plate electrochemical cell –

the effect of change of flow área and flow cross-section at the cell inlet, Electrochim.

Acta, 1982, 27, 591.

[18]Chouikhi, S. M., Patrick, M. A., Wragg, A. A. Mass transfer downstream of

nozzles in turbulent pipe flow with varying Schmidt number, J. Appl. Electrochem.

1987, 17, 1118.

[19]Brown, C. J., Pletcher, D., Walsh, F. C., Hammond, J. K., Robinson, D. Local mass

transport effects in FM01-LC laboratory electrolyser, J. Appl. Electrochem. 1992, 22,

613.




152



Capítulo 3.4: Estudio de un reactor a escala industrial REIM 3300

153

3.4.- ESTUDIO DE UN REACTOR A ESCALA INDUSTRIAL: REIM3300


Con objeto de concluir esta primera sección del estudio de reactores

electroquímicos filtro prensa se ha investigado el comportamiento de un reactor de

dimensiones industriales. Con él concluiremos el estudio de una familia de reactores

filtro prensa que ha abarcado desde la escala laboratorio hasta la escala industrial

pasando por la escala piloto y que nos ha permitido validar unos modelos físicos de

comportamiento para los reactores basándonos en técnicas tradicionales (estudio de

RTDs, estudios de transporte de materia hacia los electrodos y visualización directa).


El reactor electroquímico filtro prensa estudiado es un reactor comercial de

escala industrial modelo REIM 3300 suministrado por la casa “I.D. Electroquímica”. En

la figura 3.4.1 se muestra unas imágenes del mismo.




154

Figura 3.4.1: Reactor REIM 3300 de I.D. Electroquímica y planta piloto del departamento de Química Física

Los promotores de turbulencia empleados se indican en la figura 3.4.2. y sus

dimensiones se encuentran especificadas en la tabla 3.4.1.




155

Promotor A Promotor B

Figura 3.4.2: Promotores A y B y esquema de las dimensiones principales. (Valores en Tabla 3.4.1)

Parámetro Promotor A Promotor B sd/ mm 4.5 ld/ mm 6.6

ccld/ mm 9 ccsd/ mm 7

Grosor Promotor/ mm 2 1.4 L / mm 11

Porosidad mallado 0.73 0.72

Tabla 3.4.1 Principales parámetros de los promotores de turbulencia usados

l




156

Los promotores fueron colocados en el compartimento del reactor (longitud

65cm, anchura 50 cm, grosor 2.5 cm). El número de promotores colocado fue el

suficiente para garantizar que el compartimento se encontrara totalmente relleno y que

los promotores no pudieran moverse.

En la figura 3.4.3 se puede apreciar un esquema de la configuración

experimental usada a fin de obtener las curvas RTD.

Figura 3.4.3: Configuración experimental para los estudios de RTD

La disolución se bombeaba al reactor desde un tanque de 600L. El caudal se fijó

en un rango de 300-800 l/h lo que implicaba unas velocidades lineales en el interior del

reactor entre 0.6-1.8 cm/s aproximadamente.

A la salida del reactor se colocó insertada en la tubería una sonda de

conductividad. La señal recibida por la sonda era enviada a un ordenador en donde se

registraba, grababa y analizaba.

Para cada experimento el depósito se vaciaba y se volvía a llenar con agua

destilada a fin de evitar que el trazador inyectado en un experimento afectara los

Inyección

ReactorDeposito

Ordenador

SondaConductividad

Caudalímetro

Bomba




157

resultados del siguiente. Por otra parte, el trazador elegido fue una disolución saturada

de NaCl y la cantidad del trazador inyectada por experimento fue de 5 ml. La inyección

se realizaba a través de una jeringuilla instalada a la entrada del reactor y el tiempo de

inyección oscilaba alrededor de 0.5 s.

3.4.3. RESULTADOS

3.4.3.1.- Estudios hidrodinámicos

Con el objetivo de encontrar un modelo matemático adecuado para el tipo de

curvas RTD obtenidas, figura 3.4.4, se probaron varios modelos de flujo no ideal.

Figura 3.4.4: Curvas RTD para el reactor REIM3300 trabajando con el promotor B

En este caso, y debido a la existencia de dos picos en las curvas RTD, figura

3.4.4, el modelo propuesto, que se detallará más adelante, considera dos posibles

caminos, uno de ellos con zonas muertas, por los que puede fluir el electrolito en el

interior del reactor. Este modelo es una modificación de un modelo usado previamente

en otros trabajos[1,2]. Debido a la mayor complejidad de este modelo se procederá a

desarrollarlo un poco más extensamente que el anterior.

Unidades Arbitrarias

Tiempo Normalizado




158

3.4.3.1.1.- Desarrollo matemático del modelo

3.4.3.1.1.1.- Balance de materia global y balances de materia por especies:

Para cualquier fluido, el flujo total de materia en un elemento de fluido menos el

flujo de salida es igual a la velocidad de acumulación de materia. En ese elemento es

posible escribir esta expresión en forma de balances integrales o balances diferenciales

en un elemento diferencial de fluido.

( ) 0· =∇+∂∂ uρρ

t (3.4.1)

en donde ρ es la densidad, y el termino en negrita u es un vector de coordenadas

x, y, z, que representa la velocidad del fluido. Las formas habituales de los balances

suelen estar relacionadas con uz, la componente de la velocidad en la dirección de flujo

del fluido, simplificando del estudio ux y uy.

Cuando se supone estado estacionario así como una densidad constante en el

reactor, se puede simplificar la ecuación (3.4.1) en,

( ) 0· =∇ uρ o ρ u = constante (3.4.2)

que es la ley de conservación de la materia.

Para un fluido multicomponente (el único caso de interés cuando se esta tratando

con reacciones químicas) es necesario resolver el balance de materia para cada especie.

El balance de las especies se suele escribir como “flujo de entrada” menos “flujo de

salida” más “cambios debidos a reacciones químicas” es igual a “acumulación de las

especies”. Por supuesto, existirá una ecuación para cada especie, sujetas todas ellas a la




159

conservación de la masa total a través de la ecuación de continuidad. Las ecuaciones de

balance para las especies son:

∑=

+∇=∇+∂

∂ R

iiijjjj

j rCDCt

C

1

2· νu (3.4.3)

En la derivación de esta ecuación se asume que la densidad es constante y la

difusividad Dj es independiente de la composición. (∇) y (∇2) son el operador gradiente

y el operador Laplaciano respectivamente mientras que νijri hace referencia al termino

de reacción química en la disolución.

Para un reactor tubular, asumiendo la variación solo en una dimensión espacial,

la dirección de flujo z, se obtiene,

∑=

+∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ R

iiij

jj

jj rzC

Dz

Cu

tC

12

2

ν (3.4.4)

en donde u es la velocidad en la dirección del flujo (la dirección z) y todos los

gradientes están considerados en la dirección axial y no la radial. El último termino

representan los mol·m-3·s-1 que desaparecen del reactor debido a la reacción química.

3.4.3.1.1.2.- Modelo del reactor

La figura 3.4.5 muestra un esquema del modelo propuesto para el sistema

sometido a estudio.

Para uno de los caminos (camino 1 que ocupa el volumen V1) se asume que el

electrolito fluye de acuerdo con el modelo de flujo pistón con dispersión axial, muy

similar al empleado en capítulos anteriores para los reactores UA63.03 y UA200.08.

También se supone que en este volumen V1 existe una determinada zona estancada, o




160

volumen muerto. El electrolito en la zona estancada es renovado lentamente por el

electrolito que fluye por la fase dinámica, acorde con el modelo de flujo pistón con

dispersión axial. La fracción de electrolito en esta zona , βtot = Volumen1 / VolumenTotal,

está dividido a su vez en una fracción dinámica βdin y una fracción estática o muerta

βestat.

Figura 3.4.5: Esquema del modelo físico propuesto

La velocidad local de intercambio entre la zona dinámica (din) y la zona estática

(estat) se asume que es proporcional a la diferencia de concentración existente entre

D p

Zona Dinámica Zona Muerta

β din S βestat S

Q

Q 1 Q 2

Flujo piston con

dispersión axial

Volumen=V2Volumen=V1

Intercambio de materia entre zonas. Constante de Velocidad αm (1/s)




161

ambas fases y que puede ser caracterizada por un coeficiente de intercambio, αm (s-1),

definido por:

) - c (c estatdinmα segundo ·volumen

adosintercambi moles de numero ≡ (3.4.5)

en donde cdin y cestat son las concentraciones en la fase dinámica y estática

respectivamente. αm puede ser considerada como el producto de un coeficiente de

transporte de materia y el área especifica interfacial entre la fase dinámica y la fase

estática, kLa

Las ecuaciones del modelo pueden obtenerse aplicando el balance de materia

(3.4.4) a ambas fases, la dinámica y la estática, en una fina lámina de fluido

perpendicular a la dirección de flujo. Se asume que la densidad es constante a lo largo

del reactor.

( )estatdinmtotdin

ddindin

dindindin

din ccSz

cuS

zc

DSt

cS −−

∂∂

−∂

∂=

∂∂

αββββ 2

2

(3.4.6)

( )estatdinmtotestat

estat ccSt

cS −−=

∂∂

αββ (3.4.7)

en donde S es al área de sección del reactor (m2), Ddin es el coeficiente de

dispersión en la fase dinámica (m2s-1), ud es la velocidad en la fase dinámica (m s-1) de

volumen V1 (=Q1/Sβdin), y Q1 es el flujo de electrolito que circula en el volumen V1

(m3s-1).

Si se introducen expresiones adimensionales, se obtiene a partir de las

expresiones (3.4.6) y (3.4.7),




162

) - C (C - N Z

C -

Z C

Pe

= θ

C estatdinα

dindin

din

dinB ∂

∂∂

∂∂

∂2

21Φ (3.4.8)

( ) ) - C (C = - N θ

C dinestatα

estatB ∂

∂Φ−1 (3.4.9)

en donde Z=z/L, siendo L la longitud total del reactor; ΦB=βdin/βtot;

Nα=(αm·L)/(ΦBu1); Pedin=(u1·L)/Ddin; θ=t/τ, con τ=L/(ΦBu1); Cestat=cestat/c; Cdin=cdin/c.

En este sentido, Nα es el número de unidades de transporte de materia para el

intercambio entre la zona dinámica y la zona estancada, y Ped es el numero de Peclet

para la zona dinámica. Para el calculo de la curva RTD debida a este camino se han de

resolver las ecuaciones (3.4.8) y (3.4.9) con las condiciones limite de contorno

adecuadas.

Para el otro camino (camino 2 que ocupa un volumen V2), se ha aplicado un

modelo de flujo pistón con dispersión axial y se ha supuesto una dispersión axial baja.

La curva que representa la distribución de tiempos de residencia para el camino 2 (E2),

Levenspiel[3], es:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

2

2

2

2

Pe4

1exp

Pe2

1Eτ

π

t (3.4.10)

en esta ecuación, Pe2 es el numero de Peclet para el camino 2; t es el tiempo a

partir del momento de inyección del trazador y τ2 es el tiempo de residencia medio para

el camino 2.

Considerando que el modelo propuesto para el camino 1 se aplica en el volumen

V1 en el cual existe un caudal Q1, y el modelo para el camino 2 se aplica sobre el

volumen V2 con un caudal Q2, se puede decir que,




163

Vtot = V1+V2 (3.4.11)

Q = Q1+Q2 (3.4.12)

Y el tiempo de residencia medio vendría dado por,

τi = Vi/Qi i=1,2 (3.4.13)

La curva RTD total se calcularía por tanto usando la siguiente ecuación,

Levenspiel[3],

QQE

QQEE 2

21

1 += (3.4.14)

Y para la evaluación de los parámetros se elegiría como función objetivo,

( )∑∑ −=r k

2expk,calk, EEF.O.

En esta ecuación, r representa cada experimento realizado a diferentes caudales,

k representa los datos obtenidos a cada tiempo y los subíndices “cal” y “exp” hacen

mención a los términos calculado y experimental.

Los valores que deben ser optimizados son: τ1, ΦB, Pedin, Nα, τ2 y Pe2. Se debe

hacer constar que se ha escogido el mínimo número de parámetros a optimizar. Usando

expresiones como (3.4.13) no es necesario optimizar el volumen o los caudales ya que

existen relaciones entre ellos conocidas.

3.4.31.1.3.- Solución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales

Se ha desarrollado un programa de matlab a fin de resolver el modelo, ver

apéndices. En el programa, el método usado a fin de resolver el sistema de ecuaciones




164

es el método de las diferencias finitas[4]. Si se desarrolla la ecuación (3.4.9) a través de

este método se obtiene:

( ) ) - C (C = - NθCC

tidin

tiestatα

tiestat

tiestat

B ,,,

1,1∆

−Φ−

+

(3.4.16)

que reagrupando queda,

tidin

B

tiestat

B

tiestat C

NC

NC ,,

1, 11

1Φ−∆

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ−∆

−=+ θθ αα (3.4.17)

Para la ecuación (3.4.8), siguiendo el mismo procedimiento se obtiene:

( ) ( )

( )t

iestatBBdin

tidin

BBBdin

tidin

BBdin

tidin

tidin

CN

zPeC

NzzPe

CzzPe

CC

,21,

2,21,1, 12

Φ∆

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆Φ∆

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

Φ∆

−∆Φ

∆+

∆Φ∆−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆Φ∆

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆Φ∆

=

−

++

θθ

θθθθθ

α

α

(3.4.18)

El estudio de la estabilidad de las ecuaciones se realiza a través del siguiente

teorema[4],

(3.4.19)

Aplicando el teorema a la ecuación (3.4.18) se encuentra que si A>0, entonces:

dinPez

1<∆ ≡ Condición 1

les.despreciabseran sresultante errores losy estable es sistema el entonces 1,DBAy positivasson D B,A,Si 11

1

≤++++= −+

+ yDCCBCAC ti

ti

ti

ti




165

si B>0 entonces:

zNzPe

z

din

B

∆+−∆

∆Φ<∆

α

θ12

≡ Condición 2

Teniendo en mente las Condiciones 1 y 2 se tiene que:

22>

∆zPedin

Esta expresión será siempre cierta si el producto zPedin∆ es positivo. Las otras

dos condiciones, D>0 y (A+B+D) ≤1 son siempre ciertas para la ecuación (3.4.18)

En el caso de las condiciones de estabilidad para la ecuación (3.4.17), la

condición más restrictiva se da cuando B>0,

01

1 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ−∆

−B

N θα ≡ Condición 3

reagrupando se tiene,

α

θN

BΦ−<∆

1 ≡ Condición 3

Por tanto, para que el sistema de ecuaciones diferenciales sea estable se

necesitará comparar los incrementos de tiempo dados por las condiciones 2 y 3 y elegir

el menor de ambos.




166

3.4.3.1.1.4.- Condiciones limite de contorno para las ecuaciones diferenciales

parciales

Para un reactor “cerrado”, es decir, cuando una porción de fluido entra en el

reactor y no puede abandonarlo por el mismo sitio, las consideraciones de los balances

de flujo a la entrada y a la salida proporcionan lo que son normalmente conocidas como

“condiciones de contorno de Danckwerts”[5].

( ) ( )z

CuDCC A

AA ∂∂

−=+

+ 000 (3.4.20)

en donde CA0 es la concentración de entrada de la especie A y el punto 0+

representa el primer punto diferencial a la entrada del reactor. Si se aplica la ecuación

(3.4.20) a nuestro caso se obtiene,

zCC

uD

CCt

idint

idin

din

dintidin

tidin ∆

−−= ++

+1,2,

1,, (3.4.21)

que reagrupando

1··· 2,,

1, +∆

+∆= +

+ zPeCzPeC

Cdin

tidindin

tidint

idin (3.4.22)

Para el calculo de la curva E (curva RTD) se considerará una señal de entrada en

forma de escalón,

concentración = 0 si t < 0,

concentración = 1 si t ≥ 0,




167

Esto proporcionaría la denominada curva F, que se encuentra relacionada con la

curva E por la relación dada por Levenspiel[3]

∫ =⇒=t

dtdFEEdtF

0

(3.4.23)

En este sentido, la señal de entrada usada en estos cálculos ha sido una señal en

escalón, que será posteriormente diferenciada a fin de obtener la curva E. La razón para

ello se debe a la simplicidad de las condiciones de contorno para el caso de una entrada

en escalón si se la compara con una entrada en impulso.

El sistema de ecuaciones propuesto anteriormente fue resuelto por Villermaux y

Van Swaaij[6] a través de cálculos mediante transformaciones de Laplace. Debido a la

complejidad de la solución analítica se ha considerado más oportuno una resolución de

las ecuaciones a través de métodos numéricos.

3.4.3.1.1.5.- Ajuste de las curvas experimentales

La figura 3.4.6 muestra un ejemplo del ajuste experimental del modelo

desarrollado con los datos obtenidos experimentalmente.




168

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Experimental Modelo

Uni

dade

s Ar

bitra

rias

Tiempo Normalizado

Figura 3.4.6: Ajuste de los datos experimentales con el modelo propuesto con el reactor usando el

promotor B. Re = 847

Los valores optimizados de los parámetros requeridos por el modelo, tabla 3.4.2,

nos dan un comportamiento hidrodinámico de flujo pistón con una baja dispersión axial

para el reactor con promotores de turbulencia (valores más altos de Pe y Φβ que para el

caso del compartimento vacío) y una mayor agitación y mezcla para la configuración

vacía.




169

PROMOTOR A PROMOTOR B VACIO Re Φβ Nα Nα· Φ β Φ β Nα Nα· Φ β Φ β Nα Nα· Φ β

317 0.81 0.38 0.31 0.78 3.35 2.61 0.86 0.31 0.27 423 0.79 0.32 0.25 0.79 3.07 2.43 0.76 0.2 0.15 529 0.8 0.23 0.18 0.83 2.35 1.95 0.85 0.27 0.23 635 0.82 0.14 0.11 0.86 2.20 1.89 0.92 0.17 0.16 741 0.82 0.16 0.13 0.83 2.06 1.71 0.84 0.12 0.10 847 0.9 0.11 0.10 0.99 1.06 1.06 0.83 0.10 0.08

Table 3.4. 2: Tabla sumario de los parámetros optimizados obtenidos

Un factor a resaltar sería el descenso del factor de turbulencia, NαΦβ, a medida

que aumenta el Re, siguiendo por tanto la misma tendencia que se observó ya en los

estudios realizados en el reactor UA200.08.


Los estudios de transporte de materia a través de la corriente límite se realizaron

siguiendo las técnica de salto potenciostático. El salto se realizaba desde el potencial de

equilibrio de la disolución hasta un potencial situado dentro de la ventana de control por

transporte de materia, en concreto se eligió un potencial de –500 mV vs. ECS. Tanto el

electrodo de trabajo como el contraelectrodo eran electrodos bidimensionales de cobre.

Como electrodo de referencia se usó un electrodo de calomelanos saturado (ECS). La

reacción test empleada fue la reducción catódica de Cu(II) en una disolución 0.5M de

sulfato sódico. Los experimentos fueron llevados a cabo para unas concentraciones de

cobre(II) comprendidas entre 70 ppm - 460 ppm y las condiciones de flujo se variaron

entre valores de caudal comprendidos entre 200 y 800 l/h. En todos los casos se estudio

el comportamiento con y sin promotores de turbulencia insertados en el compartimento

de flujo.




170

La figura 3.4.7 muestra los resultados obtenidos a través de los estudios de


Figura 3.4.7: Resultados de los estudios de transporte de materia para el reactor REIM 3300

En dicha grafica se muestran los resultados de Sh frente a Re obtenidos para los

distintos promotores así como para la configuración en vacío.

En la figura 3.4.8 se muestra a su vez, el factor de aumento para ambos

promotores.

Se puede apreciar que el factor de aumento o mejora, γmt, apenas varía en una

misma configuración para todos los Re estudiados, aunque existe una notable diferencia

entre ambas configuraciones.

200 300 400 500 600 700 800 900100

1000

Compartimento Vacio Promotor A Promotor B

Sh

Re




171

Figura 3.4.8: Factor de mejora del transporte de materia, γmt para el reactor REIM 3300

3.4.4. CONCLUSIONES

En este estudio, al igual que se hizo ya anteriormente en el estudio de los

reactores UA200.08 y UA63.03 se ha realizado una comparación entre los resultados de

clasificación de los distintos promotores, tanto por medios hidrodinámicos como a

través de técnicas de estudio de transporte de materia.

Según el método hidrodinámico la rejilla más favorable sería aquella que tuviera

un mayor factor de turbulencia, NαΦβ, por lo que la clasificación quedaría:

200 300 400 500 600 700 800 9001.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

γPromotor A γPromotor B

γ

Re




172

• clasificación según modelización de RTD

B > A > vacío

• clasificación según estudios de transporte de materia

B > A > vacío

Se puede apreciar que, en este estudio si que existe una concordancia total en la

clasificación por ambos métodos. Por lo que se puede en principio suponer una validez

aceptable del modelo elegido, así como de los valores optimizados obtenidos.

3.4.5. NOMENCLATURA

a área especifica interfacial entre las zona dinámica y estática, m-1

c Concentración, mol m-3.

cdin Concentración en la fase dinámica para el camino 1, mol m-3.

cestat Concentración en la fase estática para el camino 1, mol m-3.

Cdin Concentración normalizada en la fase dinámica para el camino 1

Cestat Concentración normalizada en la fase estática para el camino 1

Ddin Coeficiente de dispersión en la fase dinámica, m2 s-1.

E1 Distribución de Tiempos de Residencia (RTD) para el camino 1 (s-1).

E2 Distribución de Tiempos de Residencia (RTD) para el camino 2 (s-1).

kL Coeficiente de transferencia de masa, m s-1

L Longitud del compartimento en la dirección de flujo, m.

Pe Numero de Peclet

Pedin Numero de Peclet para el camino 1

Pe2 Numero de Peclet para el camino 2




173

Q Caudal volumétrico, m3 s-1.

Q1 Caudal volumétrico a través del camino 1, m3 s-1.

Q2 Caudal volumétrico a través del camino 2, m3 s-1.

r Velocidad de reacción, mol m-3 s-1.

S área de sección para el volumen 1, m2.

t Tiempo, s.

u Vector de velocidades, m s-1.

u1 Velocidad lineal para el camino 1, m s-1.

V1 Volumen del camino 1, m3.

V2 Volumen del camino 2, m3.

Vtot Volumen total del reactor, m3.

z Coordenada en la dirección de flujo, m.

Z Coordenada normalizada en la dirección de flujo.

Símbolos Griegos

αm Coeficiente de intercambio entre la fase dinámica y la estática del camino 1, s-1

ΦB Fracción de la zona dinámica en el camino 1.

βtot Fracción de liquido para el camino 1.

βdin Fracción de liquido en la fase dinámica para el camino 1.

βestat Fracción de liquido en la fase dinámica para el camino 2.

νij Coeficiente estequiométrico.

θ Tiempo adimensional.

τ Tiempo de residencia medio, s.

τ1 Tiempo de residencia medio para el camino 1, s.




174

τ2 Tiempo de residencia medio para el camino 2, s.

∇ Operador gradiente.

∇2 Operador Laplaciano.

3.4.6. REFERENCIAS

[1] González-García, J., Bonete, P., Expósito, E., Montiel, V, Aldaz, A., Torregrosa-

Maciá, R. 1999 Characterization of a carbon felt electrode: structural and physical

properties, J. Mater. Chem. 9, 419-426.

[2] González-García, J., Frías, A., Expósito, E., Montiel, V., Aldaz, A. & Conesa, J.A.

2000 Characterization of an Electrochemical Pilot Plant Filterpress Reactor by

Hydrodynamic and Mass Transport Studies; Ind. Eng. Chem. Res. 39, 1132-1142.

[3] Levenspiel, O. 1999 Chemical Reaction Engineering, 3rd ed.,Wiley

[4] Finlayson, B.A. 1980 Nonlinear Analysis in Chemical Engineering, McGraw-Hill

International.

[5] Danckwerts, P.V., 1958, The effect of incomplete mixing on homogeneous

reactions, Chem. Eng. Sci., 8, 93

[6] Villermaux, J., Van Swaajj, W.P.M. 1969 Modèle représentatif de la distribution des

temps de séjour dans un réacteur semi-infini à dispersion axiales avec zones stagnantes.

Application à l’écoulement ruisselant dans des colonnes d’anneaux Rasching. Chem.

Eng. Sci. 24, 1097.



4.1.: Introducción a la técnica CFD

177

4.1.- INTRODUCCIÓN A LA TÉCNICA DE CFD


Se entiende por CFD (Computational Fluid Dynamics) al análisis de sistemas en los

que hay implicados flujos de fluidos, transferencia de calor y fenómenos asociados como

reacciones químicas, a través de simulaciones por ordenador. Se trata de una técnica

relativamente reciente así como muy potente y que abarca una amplia gama de

aplicaciones, ya sean industriales o no. Algunos ejemplos son:

• Aerodinámica de aviones y vehículos: rozamientos y fuerza ascensorial

• Hidrodinámica de barcos

• Plantas energéticas: estudios sobre las calderas de combustión y turbinas

• Ingeniería eléctrica y electrónica: Sistemas de enfriamiento de circuitos

• Ingeniería química: operaciones de mezclado, separación o extrusión de polímeros

• Ingeniería civil: estudio de las cargas eólicas e hidráulicas en edificios

• Ingeniería marina: estudio de estructuras sumergidas

• Ingeniería medioambiental: Estudio de la distribución de contaminantes en la

atmósfera o afluentes de ríos

• Hidrología y oceanografía: Estudio de ríos, mares y océanos

• Metereología: predicción del tiempo

• Ingeniería biomédica: flujo de sangre a través de arterias y venas

• Y por ultimo, y no por ello la menos importante, ingeniería electroquímica:

Estudios relacionados a la optimización de células de combustible así como de

reactores electroquímicos




178

Desde los años 60 la industria aeroespacial ha integrado las técnicas de CFD en el

diseño, I+D y fabricación de sus aviones y motores. Más recientemente, esta técnica se ha

empezado a usar en el diseño de los motores de combustión interna de coches y en el de las

cámaras de combustión de turbinas y hornos. Además, la industria automovilística ha

empezado a usar estas técnicas para modelizar la aerodinámica de los coches. Poco a poco,

la técnica del CFD comienza a despuntar como una herramienta imprescindible para los

procesos y productos industriales.

Los últimos avances en el desarrollo de CFD se han orientado a intentar una mejor

accesibilidad a estas técnicas de manera que sean similares a otras herramientas CAE

(Computer Aided Engineering). El principal motivo por el que las técnicas de CFD han

quedado ligeramente relegadas se ha debido a la gran complejidad causada por la necesidad

de una descripción completa del flujo del fluido. La disponibilidad de ordenadores cada vez

mas potentes, así como, la introducción de interfaces de usuario para los programas de CFD

más intuitivos para los usuarios ha provocado el aumento en los últimos años del uso de

estas técnicas.

La principal ventaja que presenta la técnica de CFD, frente a los procedimientos

experimentales clásicos, es el gran ahorro monetario y de tiempo subyacente que implica la

técnica. Por otra parte, existen una serie de ventajas adicionales que hacen atrayentes a

estas nuevas técnicas:

• Sustancial reducción de costes y tiempos a la hora de realizar nuevos diseños

• Posibilidad de estudiar sistemas en donde la realización de experimentos

controlados resulta difícil o incluso imposible

• Posibilidad de estudiar sistemas operando bajo condiciones peligrosas o

incluso más allá de sus límites operativos (estudios de seguridad o de

escenarios de accidente)




179

• Prácticamente ofrece un nivel ilimitado de detalle en los resultados

Desde un punto de vista más pragmático, el coste variable de un estudio, en

términos de alquiler o compra de instalaciones y/o mano de obra suele ser proporcional al

numero de experimentos y de configuraciones del sistema considerado. Por el contrario,

con las técnicas de CFD, se pueden obtener cantidades ingentes de resultados sin

prácticamente coste adicional. Del mismo modo resulta muy fácil realizar estudios

paramétricos a fin de optimizar los equipos.

Los códigos de CFD están estructurados alrededor de un conjunto de algoritmos

matemáticos que pueden manejar problemas de flujo de fluidos. Usualmente los programas

comerciales para el estudio de CFD suelen estar divididos en:

• Pre-procesador

Consiste básicamente en la introducción del problema a estudiar en el programa

de procesamiento y, luego, en la transformación del mismo a una forma capaz

de ser resuelta por el programa. Las etapas implicadas suelen ser:

1. Definición de la geometría sometida a estudio (el dominio

computacional)

2. Generación del mallado: Es la subdivisión del dominio en una serie de

elementos o sub-dominios no solapables.

3. Selección de los fenómenos físicos o químicos a ser estudiados

(ecuaciones diferenciales implicadas)

4. Definición de las propiedades del fluido (densidades, viscosidades...)




180

5. Especificación de las condiciones de contorno

La solución a un problema de flujo de fluido (obtención del perfil de

velocidades, presión, temperatura... ) se obtiene en cada uno de los nodos de los

subdomínios o elementos formados durante la obtención de la rejilla, o malla, de

cálculo. La exactitud y eficiencia de una simulación por CFD depende de la

cantidad de elementos que se hallan formado al realizar el mallado. Por norma

general, cuantos más elementos haya, es decir, a una densidad de mallado

mayor, mejor será la solución obtenida, hasta llegar al límite de un mallado

infinito que implicaría la resolución de las ecuaciones implicadas no en

subdomínios, sino en todos y cada uno de los puntos espaciales del sistema

sometido a estudio. Sin embargo, el tiempo de computación para la resolución

del problema depende también de la densidad de mallado, a mayor densidad

mayor tiempo de computación. Por tanto se hace necesaria encontrar una

solución de compromiso entre la exactitud de la solución buscada y el tiempo

necesario para obtenerla. Los mallados óptimos suelen ser del tipo no uniforme,

es decir, más finos o densos en las zonas en las que se producen mayores

variaciones de punto a punto y menos densos en zonas en las que los cambios de

punto a punto son menos bruscos.

Aproximadamente un 50% del tiempo que requiere un problema de simulación

por CFD se consume en determinar la geometría y el mallado optimo a estudiar.




181

• Solver

Existen tres clases principales de métodos para la resolución de los problemas

de CFD: diferencias finitas, elementos finitos y métodos espectrales. Las bases

de cualquiera de estos métodos se centran en:

1. Aproximación de las variables desconocidas de flujo a través de

ecuaciones sencillas.

2. Discretización por sustitución de las aproximaciones en las ecuaciones

que gobiernan el sistema y manipulaciones matemáticas posteriores

3. Solución de las ecuaciones algebraicas

Las diferencias principales entre los tres métodos se deben a la forma en la que

son aproximadas las variables de flujo así como a los procesos de discretización

que se llevan a cabo.

Método de las diferencias finitas: En este método, se describen las variables φ

del problema sometido a estudio, a través de valores definidos en los nodos del

mallado, que se encuentran en unas coordenadas especificas. Habitualmente, se

usan series de Taylor para generar las aproximaciones por diferencias finitas, de

los valores de las derivadas de φ en términos de los valores de φ en cada nodo y

los nodos inmediatamente adyacentes. Esas derivadas, que aparecen en las

ecuaciones diferenciales, son sustituidas por las aproximaciones en diferencias

finitas y se acaba construyendo una ecuación algebraica para los valores de φ en

cada nodo[1].

Método de elementos finitos[2-4]: Este método emplea funciones definidas a

trozos (por ejemplo lineales o cuadráticas) válidas sólo en el interior de los




182

elementos formados en el mallado con objeto de describir las variaciones de las

variables φ desconocidas. Las ecuaciones que gobiernan el sistema se satisface

por la resolución de las variables φ. Si las funciones de aproximación definidas a

trozos son sustituidas en las ecuaciones de gobierno del sistema obviamente no

se obtendrá una solución exacta y la desviación de la solución obtenida con el

valor exacto se usará como error del ajuste (denominado residual). A

continuación lo que se hace es intentar minimizar al máximo el conjunto de

residuales obtenidos multiplicándolos por un conjunto de funciones de

ponderación e integrándolos. Como resultado se obtiene un conjunto de

ecuaciones algebraicas para una serie de coeficientes desconocidos de las

funciones de aproximación. La teoría de los elementos finitos nació a partir de

los estudios de tensiones estructurales[5].

Métodos espectrales: Estos métodos se basan en aproximar las variables

desconocidas a través de series de Fourier o series de polinomios de Chebyshev.

Al contrario que el método de diferencias finitas, o el de elementos finitos, las

aproximaciones no son locales sino que han de ser válidas en todo el dominio

sometido a estudio. De nuevo, se sustituyen las variables desconocidas de las

ecuaciones de gobierno por las series de Taylor a fin de obtener la solución del

sistema[6].

• Post-procesador

Suelen ser herramientas de visualización de resultados. Suelen incluir:

1. Visualización de la geometría del dominio y del mallado generado

2. Representación vectorial

3. Representación de líneas de contorno y gráficas con mapeado de colores




183

4. Representación 2D y 3D

Por último, en la resolución de problemas con CFD, se ha de tener en cuenta la

física que subyace en el problema considerado, así como, tomar en consideración que los

resultados obtenidos a través de la simulación serán tan buenos como el grado de detalle

con el que se definan los fenómenos físicos y químicos implicados.

A la hora de plantearnos una simulación, se deben tener en cuenta tres conceptos

matemáticos básicos: convergencia, consistencia y estabilidad. La convergencia hace

referencia a una propiedad característica del método numérico elegido a la hora de obtener

soluciones. Esta se irá aproximando a la solución real en función de que la densidad de

mallado se aproxime a infinito. La consistencia de los sistemas numéricos genera sistemas

de ecuaciones algebraicas que son equivalentes a las ecuaciones de gobierno originales, a

medida que el espaciado del mallado generado se aproxima a cero (o la densidad del

mallado se aproxima a infinito). Por ultimo, la estabilidad está asociada a la evolución de

los errores del método numérico a medida que el procedimiento de calculo evoluciona. Si

una técnica no es estable, incluso los errores de redondeo al inicio de la simulación pueden

generar la inestabilidad del sistema y no encontrar soluciones finales ya sea por divergencia

de valores o por entrar en ciclos oscilatorios de resultados.

En resumen, las simulaciones con CFD consisten en generar una serie de valores

que (deseablemente) constituyan una aproximación realista de un sistema real.




184

4.1.2.- ECUACIONES QUE GOBIERNAN LA DINÁMICA DE FLUIDOS

Todas las simulaciones de CFD, de una manera o de otra, se basan en las ecuaciones

fundamentales de la dinámica de fluidos, es decir, las ecuaciones de continuidad, de

momento y de energía. Estas ecuaciones no son más que la interpretación matemática de

los fenómenos físicos que entendemos como dinámica de fluidos:

1. Principio de conservación de la materia

2. Segunda ley de Newton, F=m·a

3. Principio de conservación de la energía

4.1.2.1.- Modelos de Flujo

4.1.2.1.1. Volúmenes finitos de control

Consideremos un perfil de flujo de fluido como el indicado por las líneas de flujo en

la figura 4.1.1a.




185

Figura 4.1.1a: Volumen finito de control fijo en el espacio con el fluido moviendose a través de él

Figura 4.1.1b: Volumen finito de control moviendose con el fluido de tal forma que las mismas particulas

de fluido se encuentran siempre en el mismo volumen de control

Figura 4.1.1c: Elemento de fluido infinitesimal fijo en el espacio con el fluido moviendose a través de él

Figura 4.1.1d: Elemento de fluido infinitesimal moviendose a lo largo de una linea de flujo con la velocidad V igual a la velocidad local del fluido en

cada punto

Imaginemos un volumen cerrado en una región finita del fluido. Este volumen

definiría un volumen de control V; la superficie de control S se definiría como la superficie

cerrada que circunda al volumen V. El volumen de control puede estar fijo en el espacio,

con el fluido moviéndose a través de el (figura 4.1.1a), o bien moviéndose con el fluido de

tal forma que las mismas partículas de fluido se encuentran siempre dentro de él (figura

4.1.1b). En ambos casos, el volumen de control es una región finita de flujo con una

Volumen de control, V

Superficie de control, S



Volumen, dV

dV

V




186

dimensiones razonablemente grandes. Los principios físicos fundamentales se aplicarán al

fluido que se encuentra en el interior del volumen de control, así como, al fluido

atravesando la superficie de control (en el caso de un volumen de control que se encuentre

fijo en el espacio). Por tanto, en vez de considerar todo el fluido en su conjunto, podemos

limitar nuestro estudio solo al fluido contenido en el volumen de control. Las ecuaciones de

flujo de fluido, que directamente se obtienen aplicando los principios físicos fundamentales

a un volumen finito de control, se definen como forma integral. Estas formas integrales de

las ecuaciones de gobierno del sistema pueden ser manipuladas para obtener

indirectamente ecuaciones diferenciales parciales. Por otra parte, las ecuaciones obtenidas

para un volumen de control fijo en el espacio, ya sea en su forma integral o diferencial, se

llaman formas conservativas de las ecuaciones del sistema. A diferencia de las ecuaciones

obtenidas para los volumenes de control que se encuentran moviéndose con el fluido, ya

sea en su forma integral o diferencial, que suelen definirse como formas no conservativas

de las ecuaciones de gobierno del sistema.

4.1.2.1.2. Elemento infinitesimal de fluido

Si consideramos ahora un flujo de fluido como el representado en las figuras 4.1.1c

y 4.1.1d tendríamos en este caso un volumen de fluido de control de tamaño infinitesimal o

dV. El elemento de fluido es infinitesimal a efectos matemáticos, pero es lo suficientemente

grande como para contener un gran número de moléculas de fluido que nos permitan

considerar al elemento diferencial como un medio continuo. La nomenclatura para las

distintas formas de las ecuaciones resultantes (formas conservativas o no conservativas)

sería exactamente igual que para los casos representados en las figuras 4.1.1a y 4.1.1b.




187

4.1.2.2.- Derivada sustantiva (velocidad de cambio cuando el sistema se mueve

con el fluido)

Antes de derivar las ecuaciones que rigen el sistema, es necesario definir un

concepto habitual en CFD, la derivada sustantiva que tiene una gran importancia fisica[7].

Para ello tomaremos como modelo de flujo el mostrado en la figura 4.1.2, es decir, un

elemento infinitesimal moviéndose con el fluido.

Figura 4.1.2: Elemento de fluido moviéndose con el fluido en su conjunto.

El vector velocidad vendría dado por:

V = u·i + v·j + w·k (4.1.1)

en donde u, v y w serían las componentes de la velocidad en los ejes x, y, z. Si

consideramos el caso más general de flujo no estacionario, tanto las componentes de la

velocidad como la densidad del fluido puede variar con el tiempo,

y

x

z

j

i k

V1 1

V2

2

Elemento de fluido a tiempo = t1

Elemento de fluido a tiempo = t2




188

u = u(x,y,z,t)

v = v(x,y,z,t) (4.1.2)

w = w(x,y,z,t)

ρ = ρ(x,y,z,t)

En el momento t1, el elemento de fluido se encuentra ubicado en la posición 1, y por

tanto, en ese punto y tiempo la densidad del fluido será:

ρ1 = ρ(x1,y1,z1,t1) (4.1.3)

mientras que en el instante 2 será:

ρ2 = ρ(x2,y2,z2,t2) (4.1.4)

Partiendo de la expresión general de la densidad, ρ = ρ(x,y,z,t), podemos expandir

por series de Taylor en las cercanías del punto 1:

( ) ( ) ( ) ( )

superiororden de Terminos...

... 121

121

121

121

12

+

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= ttt

zzz

yyy

xxx

ρρρρρρ

(4.1.5)

dividiendo ahora por t2-t1 y despreciando los términos de orden superior:

( ) ( ) ( )112

12

112

12

112

12

112

12 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=−−

tttzz

zttyy

yttxx

xttρρρρρρ (4.1.6)




189

Si se examina la parte izquierda de la ecuación anterior se puede apreciar que es la

velocidad media de cambio de la densidad del elemento de fluido a medida que este avanza

del punto 1 al punto 2. En el limite, cuando t2 t1 el termino pasa a ser:

DtD

tttt

ρρρ=

−−

→12

12

12

lim (4.1.7)

en donde Dρ/Dt identifica la velocidad instantánea de cambio de la densidad del

elemento de fluido a medida que avanza con el fluido. Por definición a esta derivada D/Dt

se le denomina derivada sustantiva y no ha de confundirse con (δρ/δt)1, que indicaría la

velocidad de cambio de la densidad en el punto 1 fijo. En este ultimo caso centraríamos la

atención en un punto fijo y se comprobarían los cambios de densidad debidos a las

fluctuaciones del perfil de velocidades en ese punto.

Por tanto, tomando la ecuación de la variación de la densidad y rescribiéndola para

el limite en el que t2 t1, se tiene:

tzw

yv

xu

DtD

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ρρρρρ (4.1.8)

Realizando una generalización basada en la anterior expresión, se puede obtener una

forma general para la derivada sustantiva en coordenadas cartesianas:

tzw

yv

xu

DtD

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= (4.1.9)




190

Si ahora definimos el vector operador ∇ como:

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (4.1.10)

la derivada sustantiva quedaría de la forma,

( )∇+∂∂

≡ ·VtDt

D r (4.1.11)

Al término V·∇ suele llamársele derivada de convección, cuyo significado físico es

la velocidad de cambio debido al movimiento del elemento de fluido desde una posición a

otra, siguiendo el perfil de velocidades entre dos puntos que tienen propiedades espaciales

distintas. La derivada sustantiva se puede aplicar a cualquier variable como la presión, la

temperatura, las componentes de velocidad o a la densidad como en el caso anterior.

Por ejemplo, aplicada a la presión tendríamos.

zPw

yPv

xPu

tPPV

tP

DtDP

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇+∂∂

= )·(r

(4.1.12)

4.1.2.3.- Divergencia de la velocidad

El término de la divergencia de la velocidad, ∇·V, aparece frecuentemente en las

ecuaciones de dinámica de fluidos.

Si consideramos un volumen de control moviéndose con el fluido (figura 4.1.1b),

podemos decir que este volumen se encuentra siempre constituido por las mismas partículas

de fluido, ya que se mueve con ellas en su desplazamiento, por tanto, su masa es constante




191

e invariable con el tiempo. Sin embargo, su volumen V y la superficie de control S se

encuentran cambiando con el tiempo a medida que el volumen de control se desplaza a

distintas regiones del fluido en donde existen distintos valores de ρ. Es decir, este volumen

de control de masa constante se encuentra constantemente aumentando o disminuyendo su

volumen y cambiando su forma a medida que varían las características del fluido. En la

figura 4.1.3 se muestra este volumen de control en un momento dado.

Figura 4.1.3: Volumen de control en movimiento

Si se considera un elemento infinitesimal de superficie dS moviéndose a la

velocidad local V, el cambio en el volumen de control ∆V, debido únicamente al

movimiento del diferencial de superficie en un incremento de tiempo, ∆t, será igual al

volumen del cilindro de base dS y de altura (V·∆t)·n, en donde n es un vector unitario

perpendicular a la superficie dS. Es decir,

( )[ ] ( ) SdtVdSntVVrrrr

····· ∆=∆=∆ (4.1.13)

dS

n

V

V

V·∆T

S




192

en donde el vector dS se define simplemente como dS = n·dS. En el incremento de

tiempo ∆t, el cambio total de volumen en la totalidad del volumen de control es igual a la

suma de la ecuación anterior sobre toda la superficie de control,

( )∫∫ ∆S

SdtVrr

·· (4.1.14)

si la integral se divide por Dt, el resultado tiene la interpretación física de la

velocidad de cambio de volumen del volumen de control, y se denota como DV/Dt,

( ) ∫∫∫∫ =∆∆

= SdVSdtVtDt

DV

S

rrrr···1 (4.1.15)

aplicando el teorema de la divergencia a la parte derecha de la ecuación,

( )∫∫∫ ∇=V

dVVDtDV r

· (4.1.16)

Ahora, asumiendo que el volumen de control de la figura 4.1.3 se comprime hasta

un volumen diferencial δV, la ecuación queda

( ) ( )∫∫∫ ∇=∂

V

dVVDt

VD r· (4.1.17)

Asumiendo el que δV es lo suficientemente pequeña como para que ∇·V sea

esencialmente constante en todo δV, entonces la forma integral en el límite en el que δV

0 viene dada por (∇·V)δV y queda,




193

( ) ( ) VVDt

VD∂∇=

∂ r· (4.1.18)

o bien,

( )Dt

VDV

V ∂∂

=∇1·

r (4.1.19)

El término de la izquierda es la divergencia de la velocidad mientras que el término

de la derecha representa la velocidad de cambio de volumen de un elemento de fluido en

movimiento por unidad de volumen.

4.1.2.4.- Ecuación de continuidad

Aplicando el principio físico de conservación de la materia a cualquiera de los

modelos representados en las figuras de la 4.1.1a a la 4.1.1d se obtiene la ecuación de

continuidad.

- Modelo basado en un volumen de control fijo en el espacio:

Consideremos el modelo de flujo mostrado en 4.1.1a, es decir, un volumen de

control de forma arbitraria y de tamaño finito. El volumen se encuentra fijo en el espacio y

el fluido atraviesa dicho volumen de control. En un punto de la superficie del elemento de

control se podrá definir el vector velocidad del fluido V así como un vector de superficie

unitario dS. Por otro lado, se puede definir un volumen elemental dV en el interior del

volumen de control




194

Figura 4.1.4: Volumen de control fijo en el espacio

Si se aplica el principio de conservación de la materia al volumen de control se tiene

que,

=

(4.1.20)

El flujo de materia atravesando la superficie de control sería igual al producto de la

(densidad) x (área superficial) x (componente de la velocidad perpendicular a la superficie).

Por tanto, el balance de materia a través de la superficie dS es:

dS

dS = n·dS

V

dV

Flujo neto de materiasaliendo del volumende control a través dela superficie dS

Velocidad dedisminución demateria en el interiordel volumen de control




195

SdVdSVn

rr·ρρ = (4.1.21)

Un valor positivo de ρV·dS denota un flujo de salida del elemento de control,

mientras que un valor negativo indicaría un flujo de entrada

El flujo neto de materia abandonando el volumen de control se obtiene a través de la

integración sobre toda la superficie,

SdVrr

· salida neto FlujoS∫∫= ρ (4.1.22)

Por otro lado, el término de la derecha de la ecuación (4.1.20) indica que la masa

total en el interior del volumen de control es,

∫∫∫V

dVρ (4.1.23)

por lo que la velocidad de incremento de materia en el interior de V será,

∫∫∫∂∂

V

dVt

ρ (4.1.24)

o, lo que es lo mismo, la velocidad de disminución de materia será:

∫∫∫∂∂

−V

dVt

ρ (4.1.25)

y a ecuación (4.1.20) quedaría,




196

∫∫∫∫∫ ∂∂

−=VS

dVt

SdV ρρrr

· (4.1.26)

o bien,

0· =+∂∂

∫∫∫∫∫SV

SdVdVt

rrρρ (4.1.27)

La ecuación (4.1.27) es una forma integral de la ecuación de continuidad. Ha sido

obtenida partiendo de la base de que el volumen de control se encuentra fijo en el espacio

por lo que se tratará de una ecuación en forma conservativa.

- Modelo basado en un volumen de control moviéndose con el fluido:

Consideremos un modelo como el mostrado en la figura 4.1.1b, es decir, un

volumen de control de tamaño finito moviéndose con el fluido. Este volumen de control, a

medida que se mueve con el fluido, estará compuesto siempre por las mismas partículas y,

por tanto, el volumen de control tendrá una masa constante. Por otro lado, a medida que

esta masa constante se mueve siguiendo la corriente, el tamaño y forma del volumen de

control pueden, en general, variar. Si se considera un elemento infinitesimalmente pequeño

de volumen dV dentro del volumen de control, la masa de este elemento infinitesimal sería

ρdV, por tanto, la masa total del volumen de control será:

∫∫∫=v

masa dVρ (4.1.28)

Se ha de tener en cuenta que V varía a medida que el volumen de control avanza

siguiendo las líneas de flujo.




197

Teniendo en cuenta que la masa no varia con el tiempo se obtendría la ecuación de

continuidad,

∫∫∫ =V

dVDtD 0ρ (4.1.29)

Al haberse obtenido a partir de un modelo en el que el volumen de control se

encuentra moviéndose con el fluido, esta forma de expresar la ecuación de continuidad

tendría una forma no conservativa.

- Modelo basado en un volumen infinitesimalmente pequeño fijo en el espacio:

Partiendo de la figura 4.1.1c, o vista con más detalle, la figura 4.1.5,

Figura 4.1.5: Modelo de un elemento infinitesimal fijado en el espacio y diagrama de los flujos de materia a

través de sus diversas caras.

( ) dxdydzzww ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+ρρ

( ) dxdzdyyvv ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

ρρ

( ) dydzdxxuu ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+ρρ

(ρu)dydz

(ρw)dxdy (ρv)dxdz




198

La masa total de fluido en el elemento infinitesimal viene dada por ρ(dx·dy·dz), por

tanto, la velocidad de incremento de masa en el interior del elemento vendrá dado por

δρ/δt·(dx·dy·dz). Aplicando ahora el principio de conservación de la materia en la forma de

la ecuación (4.1.20) nos daría como resultado

( ) ( ) ( ) ( )dxdydzt

dxdydzzw

yv

xu

∂∂

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

+∂

∂ ρρρρ (4.1.30)

o bien,

( ) ( ) ( ) 0=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zw

yv

xu

tρρρρ (4.1.31)

teniendo en cuenta que los términos entre corchetes son simplemente ∇·(ρV) se

tendría:

( ) 0· =∇+∂∂ V

tr

ρρ (4.1.32)

La ecuación 4.1.32 es la forma en derivadas parciales de la ecuación de continuidad,

y al haberse obtenido de un modelo basado en un elemento de control fijo en el espacio se

encontraría en forma conservativa.




199

-Modelo basado en un volumen infinitesimalmente pequeño moviéndose con

el fluido:

Partiendo ahora del modelo basado en la figura 4.1.1d, la forma y el tamaño del

elemento de control puede variar a medida que avanza este con el fluido, mientras que la

masa del mismo permanece constante. La masa de este elemento vendría dada por,

Vm ∂=∂ ρ (4.1.33)

teniendo en cuenta que la masa es constante podemos decir que,

( ) 0=∂

DtmD (4.1.34)

y, por tanto,

( ) ( ) 0=∂

+∂=∂

DtVD

DtDV

DtVD ρρρ (4.1.35)

o,

( ) 01=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∂∂

+Dt

VDVDt

D ρρ (4.1.36)

el término entre corchetes no es más que ∇·V,

0· =∇+ VDtD r

ρρ (4.1.37)




200

En la figura 4.1.6 se pueden ver las cuatro formas de la ecuación de continuidad

obtenidas según el modelo usado para su derivación

∫∫∫ ∫∫ =+∂∂

V S

SdVdVt

0·rr

ρρ

Forma Integral Conservativa

∫∫∫ =V

dVDtD 0ρ

Forma Integral No-Conservativa

( ) 0· =∇+∂∂ V

tr

ρρ

Forma Diferencial Conservativa

0· =∇+ VDtD r

ρρ

Forma Diferencial No-Conservativa

Figura 4.1.6:Recopilación de las diversas formas de la ecuación de continuidad relacionadas con las

diversas formas de obtención de las mismas





Volumen, dV

dV

V




201

Si embargo, estas cuatro ecuaciones no son diferentes, sino más bien son cuatro

formas de la misma ecuación. Cualquiera de las cuatro ecuaciones se puede convertir en las

otras a partir de manipulaciones matemáticas.

Existe una ligera diferencia en cuanto a la forma integral y a la diferencial. La forma

integral de la ecuación de continuidad permite la existencia de discontinuidades en el

interior del volumen de control considerado (fijado en el espacio), es decir, no existen

razones matemáticas para presuponer otra cosa. Sin embargo, las formas diferenciales de la

ecuación de continuidad implican que las propiedades del flujo son diferenciables en el

volumen de control, y por tanto, continuas. Este hecho queda plenamente claro cuando se

usa el teorema de divergencia para obtener la forma diferencial a partir de la forma integral,

ya que el teorema de divergencia asume expresamente la continuidad de la ecuación. Este

es un razonamiento de peso para considerar a la forma integral de la ecuación de

continuidad como una forma más fundamental que la forma diferencial.

4.1.2.5.- Ecuación de Momento

Si se aplica el principio físico de la segunda ley de Newton al modelo de flujo, se

obtendrá la ecuación de momento del sistema.

Esta vez, tan solo se expondrá el caso para un elemento de fluido moviéndose con el

sistema. El elemento de fluido en movimiento queda representado en la figura 4.1.7,




202

Figura 4.1.7: Elemento infinitesimal en movimiento con el fluido. Solo se han mostrado por claridad las

fuerzas en la dirección x

Se ha de tener en cuenta que las ecuaciones de momento pueden ser obtenidas de

cualquiera de los modelos propuestos en la figuras 4.1.1.

La segunda ley de Newton al ser aplicada al modelo representado en la figura 4.1.7

se resume en la siguiente frase: la fuerza neta que actúa sobre el elemento de fluido será

igual a la masa del mismo por su aceleración.

Si consideramos solo las fuerzas en la componente x,

xx maF = (4.1.38)

dydzdxxpp ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+

τyxdxdz

dydzdxxxx

xx ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+τ

τ

dxdydzzzx

zx ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+τ

τ

τxxdydz

pdydz

dxdzdyyyx

yx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

ττ

τzxdydy

y

z

x




203

Si se considera primero el termino izquierdo de la ecuación, se tiene que las fuerzas

que actúan sobre el elemento serán principalmente,

• Fuerzas que actúan sobre el cuerpo: Serán las fuerzas que actúan

directamente sobre la masa volumétrica del cuerpo. Estas fuerzas suelen

actuar a distancia, por ejemplo las fuerzas gravitacionales, electrostáticas...

• Fuerzas superficiales: actúan directamente sobre la superficie del cuerpo.

Son debidas exclusivamente a dos causas: (a) la distribución de presiones

que actúan sobre la superficie, impuestas por el fluido que rodea a nuestro

elemento de control y (b) las tensiones de tangenciales o axiales que actúan

sobre las superficies del elemento, generadas también por las capas de fluido

adyacentes al elemento.

Si definimos a las fuerzas que actúan sobre todo el volumen del elemento por f,

siendo fx su componente en el eje x, se tiene que,

Fuerza volumétrica actuando en eje x = ρfx(dx·dy·dz) (4.1.39)

Las tensiones axiales y tangenciales, por otro lado, están relacionadas con la

velocidad de deformación del elemento de control, las tensiones tangenciales tienen por

nomenclatura τxy mientras que las tensiones axiales son llamadas como τxx. Por convención,

se definirá a τij como la tensión en el eje j ejercida sobre un plano perpendicular al eje i.

Por tanto, para el elemento de fluido en movimiento con el flujo global, se puede

escribir:




204

dydxdzz

dzdxdyy

dzdydxx

dzdydxxppp

zxzx

zxyxyx

yx

xxxx

xx

·· ...

...·· x eje elen neta

lsuperficia Fuerza

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−=

ττ

τττ

τ

ττ

τ

(4.1.40)

Por tanto, la fuerza neta en la dirección x, Fx, será la suma de las ecuaciones (4.1.39)

y (4.1.40),

( )dzdydxfdzdydxzyxx

pF xzxyxxx

x ····· ρτττ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

−= (4.1.41)

La ecuación (4.1.41) sería el termino de la izquierda de la ecuación (4.1.38).

Considerando ahora el termino de la derecha de la ecuación (4.1.38) se tiene que ,

m = ρ·dx·dy·dz (4.1.42)

DtDua = (4.1.43)

Combinando las ecuaciones (4.1.41), (4.1.42) y (4.1.43):

xzxyxxx fzyxx

pDtDu ρ

τττρ +

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

−= (4.1.44)




205

que es la componente x de la ecuación de momento para un flujo viscoso.

Análogamente, para las otras componentes se tendría que,

Eje y:

yzyyyxy fzyxy

pDtDv ρ

τττρ +

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−= (4.1.45)

Eje z:

zzzyzxz fzyxz

pDtDw ρ

τττρ +

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

−= (4.1.46)

Las ecuaciones (4.1.44), (4.1.45) y (4.1.46) son las componentes de la ecuación de

momento. Al haberse obtenido a partir de un modelo basado en un elemento en movimiento

la forma obtenida es no-conservativa.

A esta ecuaciones se las conoce habitualmente como ecuaciones de Navier-Stokes

en honor a los dos investigadores (al alemán M. Navier y al inglés G. Stokes) que, de

manera independiente, obtuvieron estas ecuaciones a mediados del siglo XIX.

Las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden escribir también en forma conservativa:




206

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

fzyxz

pVwtw

fzyxy

pVvtv

fzyxx

pVutu

ρτττ

ρρ

ρτττ

ρρ

ρτττ

ρρ

+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=∇+∂

∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∇+∂

∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

−=∇+∂

∂

r

r

r

·

·

·

(4.1.47)

Hacia finales del siglo XVII, Isaac Newton determinó que la tensión tangencial en

un fluido es proporcional al gradiente de velocidades. A esos fluidos se los denominó

Newtonianos. Para dichos fluidos Stokes obtuvo en 1845,

( )

( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∇=

∂∂

+∇=

∂∂

+∇=

zv

yw

xw

zu

yu

xv

zwV

yvV

xuV

zyyz

zxxz

yxxy

zz

yy

xx

µττ

µττ

µττ

µλτ

µλτ

µλτ

2·

2·

2·

r

r

r

(4.1.48)

en donde µ es el coeficiente de viscosidad molecular y λ es el coeficiente de la

segunda viscosidad. Stokes realizo la hipótesis,

µλ32

−= (4.1.49)




207

La sustitución de las ecuaciones (4.1.48) en las ecuaciones (4.1.47) nos

proporcionan las ecuaciones de Navier-Stokes completas en forma conservativa

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

z

y

x

fzwV

z

zv

yw

yxw

zu

xzp

zw

yvw

xuw

tw

fzv

yw

z

yvV

yyu

xv

xyp

zvw

yv

xuv

tv

fxw

zu

z

yu

xv

yxuV

xxp

zuw

yuv

xu

tu

ρµλ

µµρρρρ

ρµ

µλµρρρρ

ρµ

µµλρρρρ

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∇∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∇∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∇∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

2· ...

...

...

...2·

...

...2·

2

2

2

r

r

r

(4.1.50)

4.1.2.6.- CFD

Para su empleo en CFD, suele preferirse el uso de las formas conservativas de las

ecuaciones de Navier-Stokes ya que suelen ser más sencillas de trabajar a nivel

computacional. Es decir, las ecuaciones de continuidad y de momento pueden ser

expresadas de una misma forma genérica, esto simplifica las cosas a la hora de realizar la

programación. Recuérdese que todas las ecuaciones vistas en forma conservativa contenían




208

un término de divergencia en el lado izquierdo. Este término implica la divergencia del

flujo de una determinada cantidad física como por ejemplo:

Vr

·ρ Flujo de materia Vur

··ρ Flujo de momento en la componente x Vvr

··ρ Flujo de momento en la componente y Vwr

··ρ Flujo de momento en la componente z

Si nos fijamos en las ecuaciones de continuidad y de momento en forma

conservativa nos daremos cuentas que todas tienen una forma genérica del tipo:

JzH

yG

xF

tU

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂ (4.1.51)

La ecuación 4.1.51 puede representar el sistema completo de ecuaciones en forma

conservativa si se consideran las variables U, F, G, H y J como vectores columnas dados

por:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

wvu

U

···

ρρρρ

(4.1.52)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−−+

=

xz

xy

xx

uw

uvpu

u

F

τρ

τρτρ

ρ

··

····

2

(4.1.52)




209

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−+

−=

yz

yy

yx

vw

pv

vuv

G

τρ

τρ

τρρ

··

·

···

2 (4.1.53)

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−+

−−

=

zz

zy

zx

pw

wvwu

w

H

τρ

τρτρ

ρ

2·

····

·

(4.1.54)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

z

y

x

f

ff

J

·

··

0

ρ

ρρ

(4.1.55)

En la ecuación (4.1.51) los vectores columna F, G y H son llamados términos de

flujo (o vectores de flujo) y J representa el término referente a la generación (cuyo valor

será cero si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son despreciables). El vector columna U

se denomina vector solución.

4.1.3.- ELEMENTOS FINITOS

En este apartado se intentará exponer de forma muy breve la técnica matemática de

los elementos finitos (FEM, Finite Element Method) empleada para resolver los problemas

de CFD. Esta técnica se basa en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales

parciales aproximándolo a un problema con un número finito de variables desconocidas, es




210

decir, realizando lo que se entiende por discretización del problema. Esta discretización

implica la introducción en nuestro sistema de cálculo de elementos finitos o funciones de

forma que describan distintas posibilidades de aproximarse a la solución buscada

4.1.3.1.- Elementos Finitos

Si se considera un problema en un elemento continuo, entendiendo por continuo a

cualquier clase de cuerpo material (sólido, líquido o gaseoso), o bien, a cualquier región del

espacio en el que ocurre un fenómeno en particular, de cualquier dimensión, las variables

(presión, temperatura, desplazamiento, tensión...) poseen infinitos valores ya que son

funciones de cada punto genérico del cuerpo o de la región estudiada. Por tanto, el

problema consta de infinitas incógnitas. Los procedimientos de discretización por

elementos finitos reducen el problema a uno con un número finito de incógnitas dividiendo

la región de estudio en un determinado número de elementos y expresando las incógnitas en

términos de funciones de aproximación aceptadas en cada elemento. La funciones de

aproximación, también llamadas funciones de interpolación o prueba, se definen en

términos de los valores de las incógnitas en determinados puntos denominados nodos o

puntos nodales. Los nodos habitualmente se encuentran en los limites de los elementos

formados o bien el los vértices de unión entre elementos. Además de los nodos existentes

en los lados de los elementos, cada elemento puede contar con una serie de nodos internos.

Los valores nodales de las incógnitas y las funciones de interpolación para los elementos

definen totalmente el comportamiento de las incógnitas o variables estudiadas en el interior

del elemento.

En los elementos finitos, los valores nodales de las variables pasan a convertirse en

las incógnitas. Una vez que dichas incógnitas son calculadas a través de las funciones de

interpolación se puede obtener una visión general del valor de las variables estudiadas en su

conjunto.




211

Los pasos en los que se divide el método de los elementos finitos son, básicamente:

1. Discretización del medio continuo: Consiste en aproximar las ecuaciones

diferenciales parciales por un sistema de ecuaciones algebraicas con las

variables a resolver en una serie de puntos específicos del dominio estudiado

2. Selección de las funciones prueba: Consiste en asignar los nodos a cada

elemento formado y elegir las funciones de interpolación que representen las

variaciones de las variables estudiadas en el elemento. Las variables

estudiadas pueden ser escalares, vectores o tensores. Se suelen elegir

funciones polinomiales como funciones prueba ya que son fácilmente

integrables y diferenciables. El grado del polinomio de prueba dependerá del

número de nodos asignados a cada elemento, de la naturaleza y número de

las variables estudiadas en cada nodo, así como de determinados

requerimientos de continuidad impuestos en los nodos y en las fronteras de

los elementos. El valor de las variables a estudio, así como sus derivadas,

serán las incógnitas en cada nodo.

3. Encontrar las propiedades de los elementos: Una vez que el modelo por

elementos finitos ha quedado establecido (se han definido los elementos, sus

nodos y las funciones de interpolación ) se han de definir las matrices de

ecuaciones que expresan las propiedades de los elementos individuales.

4. Ensamblaje: El objetivo será el calcular las propiedades de todo el sistema

sometido a estudio a partir de la suma de la red de elementos formados y

estudiados. La base de este procedimiento se centra en que en los puntos de

unión de varios elementos (nodos situados en los vértices) el valor de las

variables a estudiar ha de ser el mismo para cada elemento que comparte ese

nodo.




212

5. Fijar las condiciones de contorno: En esta etapa se definen los valores

nodales conocidos debido a las características del sistema sometido a estudio

(por ejemplo, valor de la velocidad del fluido a la entrada de un conducto).

6. Resolución del sistema de ecuaciones: El proceso de ensamblaje nos

proporciona un conjunto de ecuaciones simultaneas que se resuelven a fin de

obtener los valores nodales del problema

4.1.3.2.- Mallado

El punto de partida al aplicar FEM consiste en realizar un mallado de la estructura

sometida a estudio, es decir, dividir la geometría a estudiar en una serie de unidades más

pequeñas de una forma geométrica sencilla. En una dimensión, los subdomínios o

intervalos se dividen en intervalos de mallado más pequeños. Los puntos finales de cada

elemento del mallado son denominados habitualmente vértices del mallado o nodos.

En bidimensional, la geometría sometida a estudio se divide, por ejemplo, en

triángulos (elementos del mallado). Por supuesto esto es sólo una aproximación, ya que la

geometría estudiada puede contener zonas curvas que solo pueden ser aproximadas por

geometrías rectangulares. Los lados de los elementos triangulares no han de contener en su

interior vértices de otros elementos adyacentes. Los elementos que se encuentran en las

zonas de frontera de la geometría se denominan elementos frontera.

Por último, si la geometría estudiada está en tridimensional, el subdomínio será

dividido, por ejemplo, en tetraedros

Los vértices de los elementos de mallado habitualmente son denominados como

nodos.




213

4.1.3.3.- Discretización

La discretización es el proceso por el cual una expresión matemática, como una

función o una ecuación diferencial o integral que lleven implicadas funciones, existente en

un medio continuo (y por tanto con un entorno de infinitos valores en dicho medio) es

aproximada por una forma matemática análoga, pero diferente, que proporciona valores

sólo en determinados puntos del medio continuo o del dominio sometido a estudio.

Las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales parciales permiten

encontrar funciones capaces de mostrar la variación de las variables estudiadas en todo el

dominio. En contraste, las soluciones numéricas solo muestran las soluciones en

determinados puntos (nodos) del dominio (mallado).

En nuestro caso, se parte de las ecuaciones de Navier-Stokes, así como de la

ecuación de continuidad del medio, como ecuaciones diferenciales parciales que describen

el comportamiento del dominio continuo. Una solución analítica de las mismas nos

suministraría, en principio, una expresión matemática capaz de proporcionar los valores de

u, v, w, p en función de x, y, z, t para cualquier punto del sistema. Por otro lado, si se

sustituyen las ecuaciones en derivadas parciales de las ecuaciones estudiadas por ciertas

aproximaciones, entonces, la ecuación en derivadas parciales queda transformada en una

ecuación de más sencilla resolución, aunque ahora tan solo se podrán tener los valores de

las incógnitas estudiadas en algunos puntos de nuestro mallado (nodos), mientras que en

resto se deberá proceder por interpolación.




214

4.1.3.3.1.- Método de los residuales ponderados

El método de los residuales ponderados (weighted residual method) es una

herramienta potente a la hora de obtener soluciones de ecuaciones (o sistemas de

ecuaciones) basados en derivadas parciales.

El primer paso de este método consiste en determinar una función de prueba en la

que se encuentra la variable incógnita a determinar en función de unas constantes que se

determinarán posteriormente. Esta función de prueba no es más que una aproximación del

valor real de la variable y rara vez coincide con su valor exacto.

Por ejemplo, si se dispone de un sistema del tipo:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

−=−

0)1(0)0(

2

2

uu

xudx

ud

(4.1.56)

una posible función de prueba sería:

)1(~ xaxu −= (4.1.57)

en donde el símbolo ∼ indica solución aproximada. Como se puede apreciar, dicha función

de prueba contiene una incógnita a para ser determinada.

En general, la precisión de la solución aproximada depende en gran medida de una

correcta elección de la función de prueba. Una vez que la función de prueba ha sido

seleccionada, se pasa a calcular el valor del residual sustituyendo la función de prueba en la




215

ecuación diferencial. Como u~ es distinta de la solución exacta, el residual no se anulará en

todos los puntos del dominio.

El siguiente paso consiste en determinar el valor de la constante “a” de tal manera

que aproximemos al máximo nuestra función de prueba a la solución real. Con objeto de

conseguir este paso, se debe usar una nueva función test (o de ponderación) ω. Esta función

ponderará el valor del residual en todo el dominio intentando que sea lo más próximo a

cero. Esto es:

∫Ω

=Ω= 0·· dRI ϖ (4.1.58)

en donde R representa el residual y Ω hace referencia al dominio en su conjunto.

Por último, se ha de decidir que clase de función test se va a usar. Los métodos

basados en el residual ponderado se pueden clasificar en función de la función test que se

elija[8-10], aunque en concreto nos centraremos en el método de Galerkin.

Para dicho método, la función test se obtiene directamente de la función de prueba

elegida:

u~=ω (4.1.59)

Con el objetivo de mejorar la solución aproximada obtenida, se pueden añadir un

mayor número de términos a la función de prueba previamente elegida, por ejemplo:

)1()1(~ 221 xxaxxau −+−= (4.1.60)




216

con lo que ahora se necesitarán tantas funciones test como constantes hayamos

introducido, en este caso harán falta dos funciones test.

4.1.3.3.2.- Funciones base

La precisión de la solución aproximada obtenida dependerá mucho de las funciones

prueba, o test, elegidas. Sin embargo, encontrar la función de prueba apropiada para

aproximar las variables desconocidas no siempre resulta inmediato. Esto es especialmente

cierto cuando la solución exacta del sistema se espera que tenga grandes variaciones a lo

largo del dominio de estudio, el dominio tiene una forma geométrica compleja o bien se

impongan condiciones de contorno complejas. Con objeto de soslayar estos problemas se

suelen definir funciones de prueba definidas a trozos.

)()()(~332211 xaxaxau ϕϕϕ ++= (4.1.61)

o bien,

∑=i

iiUu ϕ (4.1.62)

En concreto, ϕi(x) se trata de una función linear en cada uno de los elementos del

mallado y cuyo valor vale 1 en el nodo i y 0 en el resto de los nodos. A esta clase de

funciones de prueba se las denomina funciones base. El conjunto de funciones u~ forman

un espacio de función lineal denominado habitualmente espacio de elemento finito.

Los elementos Lagrangianos de orden k implican funciones base polinómicas de

orden k definidas a tramos. Para definir esta clase de funciones es suficiente con tener sus

valores en los puntos Lagrangianos de orden k. Estos son los puntos en donde las

coordenadas locales son múltiplos enteros de 1/k. Por ejemplo, en 2D con k=2 se tendrían

puntos nodales en las esquinas así como en los puntos intermedios de cada lado del




217

elemento triangular considerado. Para cada uno de esos puntos nodales, pi, se tiene un

grado de libertad Ui=u(pi) y una función base ϕ1.

Para el caso de simulaciones destinadas a la resolución de las ecuaciones de Navier-

Stokes se han empleado elementos del tipo Langrangianos p2-p1[11], debido a que para

estabilizar la resolución del sistema de las ecuaciones de Navier-Stokes no se necesita el

mismo grado de precisión en el cálculo de las componentes de la velocidad (u, v, w) como

para la presión (p). Las componentes de la velocidad usaran elementos Lagrangianos de

segundo orden, es decir, se calcularán las componentes de la velocidad en los vértices y en

los puntos medios de cada elemento triangular, mientras que el cálculo de la presión se

realizará con elementos lagrangianos de primer orden, es decir, solo se calculará la presión

en los vértices de los elementos triangulares.

4.1.3.3.2.1.- Función base P2-P1

Una función lineal base en 2D puede venir definida por:

f(x,y) = a + bx + cy (4.1.63)

Por tanto, se tienen tres incógnitas (a, b, c) que requieren de tres nodos para una

representación general. El objeto natural geométrico con tres nodos es obviamente un

triangulo. Las funciones base se han de derivar teniendo en cuenta el paso de las

coordenadas cartesianas, en las que se encuentra imbuido el triangulo, o elemento del

mallado, a unas coordenadas locales (figura 4.1.8)




218

Figura 4.1.8: Triangulo usado para el cambio de coordenadas

x = xA + (xB – xA)ξ + (xC – xA)η (4.1.64)

o bien:

x = ϕi xi = (1 - ξ – η) xA + ξ xB + η xc (4.1.65)

XA XB

XC C

B A

1

1

η

ξ




219

haciendo referencia a las coordenadas de área ζ1, ζ2, ζ3 que se muestran en la figura

4.1.9,

Figura 4.1.9: Coordenadas de área

ϕ1 = ζ1 = 1 – ξ – η, ϕ2 = ζ2 = ξ, ϕ3 = ζ3 = η (4.1.66)

Esto sería para una función base lineal en 2D usada para el calculo de las presiones.

Usando esta misma nomenclatura se puede definir ahora una función cuadrática en 2D. La

forma general de la función cuadrática sería:

f(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 (4.1.67)

Figura 4.1.10: Triangulo cuadrático. La presión se calcularía en los vértices y

las componentes de la velocidad en los vértices y puntos medios de los lados

1 2

3 ζ1 = Area . Area Total

1 2

3

5

4

6




220

Las funciones base serían:

ϕ1 = ζ1 ( 2ζ1 – 1) = (1 – ξ – η) (1 – 2ξ – 2η)

ϕ2 = ζ2 ( 2ζ2 – 1) = ξ ( 2ξ – 1)

ϕ3 = ζ3 ( 2ζ3 – 1) = η ( 2η − 1)

ϕ4 = 4 ζ1 ζ2 = 4 ξ (1 – ξ – η)

ϕ5 = 4 ζ2 ζ3 = 4 ξ η

ϕ6 = 4 ζ1 ζ3 = 4 η (1 – ξ – η)

(4.1.68)

4.1.3.4.- Resolución

La resolución del sistema de ecuaciones en derivadas parciales que ha sido

discretizado se reduce a la resolución de un sistema lineal del tipo:

A x = b (4.1.69)

En donde A es una matriz cuadrada dispersa, es decir, gran parte de sus elementos

son ceros, x es el vector solución y b es otro vector.

Los métodos para la resolución de estos sistemas se centran principalmente en el

uso de métodos iterativos de cálculo.

Estos métodos resuelven el problema generando una secuencia de soluciones

aproximadas x(k) que vayan convergiendo progresivamente hacia

x = A-1 b (4.1.70)




221

Para ello se debe suministrar previamente una suposición inicial para los valores de

la solución, x(0). En función de lo precisa que sea la suposición inicial de valores, más

rápido funcionará el método. El procedimiento iterativo elegido para la resolución ha sido

el GMRES[12], (Generalized Minimal Residual o método Generalizado del Residual

Mínimo. Se seguirá usando el acrónimo en inglés debido a su extensa aceptación a nivel

mundial).

4.1.3.4.1.- Convergencia

Los métodos iterativos fueron diseñados en un principio para la resolución de

sistemas lineales con una matriz A definida positiva. Estas matrices al ser discretizadas a

menudo alcanzan la forma de un sistema en derivadas parciales de tipo elíptico, como por

ejemplo la ecuación de Poisson. Para estas matrices, la teoría de los métodos iterativos se

encuentra bien desarrollada. La velocidad de convergencia se encuentra íntimamente

relacionada con el número de condición de la matriz

κ2 = λmax / λmin (4.1.71)

en donde λmax y λmin son los valores máximos y mínimos respectivamente de los

eigenvalores de la matriz A. Idealmente el número de condición debe ser tan próximo a 1

como sea posible. A fin de lograr esta propiedad se suele realizar previamente al cálculo un

pre-acondicionamiento de las matrices.




222

4.1.3.4.2.- Pre-acondicionamiento

En las simulaciones de flujo de fluidos se necesitan, por norma general, métodos de

resolución lineales muy eficientes.

Si se tiene un sistema del tipo

A x = b (4.1.72)

Siendo A una matriz de grandes dimensiones y dispersa, es decir, con muchos de

sus términos 0, se pueden considerar dos tipos se métodos para solucionar el sistema.

1. Métodos directos: Con ellos se debe resolver una factorización LU completa

de la matriz A. A través de la eliminación de Gauss se puede construir una

matriz triangular inferior L y otra matriz triangular superior U tal que

A = LU. Entonces, el sistema representado en la ecuación (4.1.72) se puede

resolver en dos pasos: a) primero se resuelve Ly = b y luego b) Ux = y. Sin

embargo, los sistemas lineales que se obtienen de la discretización de las

ecuaciones suelen ser bastante dispersos. Una deficiencia de los métodos

directos es que si bien A es una matriz dispersa, las matrices L y U no lo son

debido al llenado que se produce durante la factorización. Por tanto, las

necesidades de almacenamiento de datos para las matrices L y U son

bastante elevadas. Por otra parte, para matrices A de grandes dimensiones, la

factorización LU requiere bastante tiempo.

2. Métodos iterativos: Por ejemplo el uso de GMRES. El problema de dichos

métodos radica en que su convergencia depende enormemente de las

características de la matriz A. La convergencia se puede mejorar

transformando el sistema lineal en un sistema equivalente con la misma

solución, pero con mejor número de condición. La matriz P que realiza esa




223

transformación se denomina pre-acondicionador. Por tanto, el método

iterativo se aplicará al sistema pre-acondicionado.

P-1Ax = P-1b (4.1.73)

La matriz P debe cumplir que:

- P ha de ser una buena aproximación de A. Es decir P-1A ha de ser

próxima a la matriz identidad

- Sea sencilla de calcular y el sistema Py=c para un c dado sea más

sencillo de resolver que el sistema original

- La necesidad de almacenaje de datos de P sea moderada

Una clase importante de pre-acondicionadores están formados por las

factorizaciones LU incompletas[13-16]. Estas factorizaciones descartan parte de los elementos

de llenado que ocurren en una factorización LU normal de la matriz A. Una factorización

LU incompleta de A viene dada por:

A = LU + R (4.1.74)

Siendo R una matriz pequeña.




224

4.1.4.- NOMENCLATURA

u Velocidad en el eje x (m·s-1)

v Velocidad en el eje y (m·s-1)

w Velocidad en el eje z (m·s-1)

i, ir

Vector unitario en la dirección x

j, jr

Vector unitario en la dirección y

k, kr

Vector unitario en la dirección z

V,Vr

Vector velocidad total de componentes (u, v, w)

n, nr Vector unitario normal a la superficie

S Superficie (m2)

t Tiempo (s)

V Volumen (m3)

m masa (kg)

fx Fuerza en la dirección x (N)

ax Aceleración en la dirección x (m·s-2)

f, fr

Fuerza por unidad de volumen (N·m-3)

p presión (Pa)

F, Fr

Fuerza neta (N)

Fx Fuerza neta en la dirección x

R Residual

Letras Griegas

ρ densidad (kg·m-3)

∇ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

zk

yj

xi

rrr




225

τ Tensiones tangenciales o axiales

µ Viscosidad

λ Segunda viscosidad

ω función de ponderación

ϕ función base

4.1.5.- REFERENCIAS

[1] Smith. G.D., 1985, Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite

difference methods, 3rd edn, Clarendon Press, Oxford

[2] Clough, R.W., The finite element method in plane stress analysis; Proceedings of 2nd

ASCE Conference on Electronic Computation, Pittsburgh, PA, September 8-9, 1960

[3] Zienkiewicz, O.C. and Cheung, Y.K., Finite elements in the solution of field problems;

Engineer, Vol 220, 1965, pp 307-317

[4] Noor, A.K., Bibliography of books and monographs on finite element technology; Appl.

Mech. Rev., Vol 44, Nº 8, June 1991, pp. 307-317

[5] Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L., 1991, The Finite Element Method – Vol 2: Solid

and Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York

[6] Gottlieb, D. and Orszag, S.A., 1977, Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory

and Applications, SIAM, Philadelphia




226

[7] Anderson, John D., 1991, Fundamentals of Aerodynamics, 2d ed, McGraw-Hill, New

York

[8] Crandall, S. H., Engineering Analysis: A survey of numerical procedures, McGraw-

Hill, New York, 1956

[9] Finlayson, B.A., The method of weighted residuals and variational principles, Academic

Press, New York, 1972

[10] Cook, R.D., Concepts and applications of finite element analysis, 2nd ed., John Wiley

& Sons, New York, 1981

[11] Hood, P. and taylor, G., Navier-Stokes equations using mixed interpolation in finite

element in flow problem., Oden Ed., UAH Press, 1974

[12] Saad, Y., Schultz, M.H., GMRES: A generalized minimal residual algorithm for

solving nonsymmetric linear system., SIAM J. of Sci. Statist. Comp, 7 (1986), 856-869

[13] Buleev, N.I., A numerical method for the solution of two dimensional and three

dimensional equations of diffusion, Math. Sb., 51 (1960), 227-238

[14] Meijerink, J.A. and Van der Vorst, H.A., An iterative solution method for linear

systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix, Math. Comp. 31(137),

1977, 148-162

[15] Oliphant, T.A., An implicit, numerical method for solving two dimensional time

dependent diffusion problems, Quart. Appl. Math., 19 (1961), 221-229




227

[16] Oliphant, T.A., An extrapolation procedure for solving linear systems, Quart. Appl.

Math., 20 (1962), 257-265




228



Capítulo 4.2: Modelización por CFD de un reactor a escala laboratorio UA63.03

229

4.2.- MODELIZACIÓN POR CFD DE UN RECTOR A ESCALA LABORATORIO: UA63.03


Las técnicas basadas en CFD se han estado empleando con objeto de

comprender y optimizar el flujo de fluidos en el interior de diversos sistemas. En este

sentido, se han llevado a cabo estudios experimentales y de cálculo con objeto de

comprender como afecta al flujo de un fluido la existencia de un obstáculo en su

camino[1-3] viéndose las estelas y vórtices que se generan en la cola del mismo. Por otro

lado, y con objeto de optimizar los sistemas de filtración de membranas, se han llevado

a cabo también numerosos trabajos referentes a la hidrodinámica de los mismos[4-8]. En

este mismo sentido, también pueden encontrarse en bibliografía numerosos trabajos

destinados al estudio y optimización de columnas de destilación[9-11].

Todos estos trabajos permiten tener una idea general del comportamiento de los

fluidos líquidos en distintas clases de sistemas cerrados.

En sistemas electroquímicos los principales avances dentro del estudio de flujo

de fluidos se han desarrollado principalmente en el campo de las células de

combustible[12-14] debido a su emergente importancia como sistemas de suministro de

energía “limpia”. Sin embargo, otras clases de sistemas electroquímicos de importancia

industrial como los reactores filtro prensa[15-19], con compartimentos y dimensiones

distintas a las clásicas células de combustible estudiadas, han quedado un poco

relegados al olvido.

En anteriores capítulos, se han utilizado y desarrollado diversas técnicas para

caracterizar y estudiar el comportamiento de los reactores electroquímicos del tipo

filtro-prensa[20-24] centradas en estudios hidrodinámicos basados en la interpretación de

curvas de RTD (Residence Time Distribution), así como, estudios puramente




230

electroquímicos basados en la obtención de la constante global de transporte de materia

(km) hacia los electrodos en el interior de los reactores estudiados. Ambas técnicas se

combinaron en aquellos capítulos para dar lugar a una interpretación más amplia de los

fenómenos que ocurrían en el interior de estos sistemas electroquímicos.

Posteriormente, se pasó a un estudio más directo mediante la visualización de

los sistemas con el fin de determinar la posible existencia de caminos preferenciales y

zonas muertas, o estáticas, en el interior de los compartimentos. Con este objetivo, se

realizaron estudios de visualización directa de los sistemas que validaron de forma

cualitativa los estudios previos por RTDs y cálculo de km.

En este capitulo se intentará determinar de una manera más exacta cual es el

patrón de flujo del líquido así como la distribución de los puntos de mayor turbulencia y

de las zonas muertas en el interior de un reactor electroquímico filtro prensa a escala

laboratorio, con el objetivo de, posteriormente, optimizarlos para obtener un sistema

más eficiente hidrodinámicamente hablando. Para ello se usarán las técnicas basadas en

CFD expuestas en el capitulo anterior.


El reactor usado fue el UA63.03 ya descrito en anteriores capítulos. A fin de facilitar la

lectura de la presente tesis se volverán a colocar tanto los esquemas del compartimiento

con sus dimensiones, figura 4.2.1(a), como el montaje del reactor electroquímico

trabajando en la configuración sin división del compartimiento, figura 4.2.1(b). Por otra

parte, la tabla 4.2.1 recoge todas las dimensiones de este compartimento.




231

Figura 4.2.1a: Vista del compartimento y sus dimensiones, en mm.

Figura 4.2.1b: Esquema de la configuración de trabajo. 1) Placas de apriete; 2) juntas; 3) bloque de

polipropileno con orificios para la alimentación y extracción del electrolito; 4) electrodo; 5)

compartimento UA63.03




232

B / m Anchura

L / m Longitud

s / m Espesor


Le Le = de/L

γ Relación de

aspecto

7.00·10-2 9.00·10-2 3.00·10-3 0.58·10-2 6.44·10-2 4.29·10-2

Tabla 4.2.1: Dimensiones características del reactor UA63.03.

Por otra parte, para la modelización y cálculo de las variables de flujo a través de

CFD se usó el paquete comercial FEMLAB 2.3.

4.2.3. ESTUDIOS POR CFD

4.2.3.1.- Definición del problema

4.2.3.1.1.- Definición de la geometría:

El primer paso en cualquier estudio de CFD radica en la definición de la

geometría sometida a estudio o, dicho de otra forma, la definición del dominio a

estudiar por el método de los elementos finitos.

La geometría del compartimiento UA63.03 junto con los dos distribuidores de

flujo (uno para la entrada de líquido y otro para la salida del mismo) se muestra en las

figuras 4.2.1. y 4.2.2. En esta última tan solo se ha representado la zona que esta abierta

al paso de fluido. Es decir, sería como una imagen en “negativo” de la figura 4.2.1a. A

efectos de CFD tan solo nos interesa el canal de paso del liquido y no el “frame” o

carcasa que constituye el compartimiento de EPDM.




233

Sin embargo, la existencia de los numerosos ángulos rectos y de los cambios

bruscos de dirección (principalmente en los distribuidores) obligan a hacer ciertas

simplificaciones en el modelo a representar a fin de poder abordarlo con las capacidades

de cálculo disponibles.

Para ello se aceptó la simplificación consistente en la anulación del distribuidor

de salida en la resolución de las ecuaciones. Esta simplificación queda justificada ya que

el liquido en el distribuidor de salida no llegaba a completar toda la sección del mismo,

por lo que se puede suponer que, en ambos puntos de recogida de liquido a la salida del

compartimiento, la presión de trabajo es la atmosférica, no habiendo una diferencia de

presión apreciable entre los puntos 1 y 2 mostrados en la figura 4.2.2.

Figura 4.2.2: Esquema de la geometría del reactor UA63.03 con los dos distribuidores (el de

entrada y el de salida)

Salida de Fluido

Entrada de Fluido

Compartimento

1

2




234

Por tanto, la geometría final a estudiar quedaría como se muestra en la figura

4.2.3,

Figura 4.2.3: Esquema de la geometría del reactor UA63.03 sin el distribuidor de salida.




235

4.2.3.1.2.- Mallado

El mallado se realizó a través del algoritmo de triangulación de Delaunay[25] que

se centra básicamente en la regla de que no deben existir nodos de otros elementos en la

circunferencia (esfera) envolvente de un determinado elemento triángulo (tetraedro).

La figura 4.2.4 muestra el mallado usado para realizar la simulación así como

una barra de color que indica la calidad de dicho mallado.

Figura 4.2.4: Mallado y calidad de los tetraedros que lo conforman.




236

La calidad de los tetraedros formados viene determinada por[26]:

( ) 232

625

24

23

22

21

3216

hhhhhh

Vq+++++

= (4.2.1)

en donde h1, h2, h3, h4, h5 y h6 son las longitudes de las aristas del tetraedro a

estudiar y V es el volumen del tetraedro.

La figura 4.2.5 muestra un histograma de la distribución de calidades de los

tetraedros formados para el mallado de la geometría.

Figura 4.2.5: Histograma de la distribución de calidades de los tetraedros formados durante el

mallado de la geometría

Calidad

Número de tetraedros




237

Se ha de tener en cuenta que para el estudio de geometrías en 3D se suele

considerar como buenos los tetraedros con una calidad superior a 0.3. Calidades

inferiores a este valor, en concreto inferiores a 0.1, pueden hacer que la solución del

sistema no converja hacia valores aceptables o bien diverja totalmente.

Como se puede apreciar del histograma, los tetraedros generados se encuentran

en su mayoría por encima del umbral de 0.3 habiendo tan solo una ínfima cantidad con

una calidad inferior a 0.3.

El mallado seleccionado para realizar las simulaciones consta de:

• Número de elementos (Tetraedros): 22927

• Número de nodos: 6061

• Grados de libertad: 123979

• Mínima calidad para un tetraedro: 0.279

• Volumen máximo de tetraedro: 2.85·10-9 m3

• Volumen mínimo de tetraedro: 8.68·10-12 m3

4.2.3.1.3.- Propiedades del dominio

A efectos de modelización hidrodinámica del sistema se ha usado como líquido

circulante por el reactor agua, considerada como fluido Newtoniano, isotermo con una

densidad ρ = 1000 kg·m-3 y una viscosidad dinámica de η = 10-3 Pa·s.

Como funciones base para el cálculo de elementos finitos se han elegido

funciones lagrangianas del tipo P2-P1 que tienen por objetivo la estabilización de las

ecuaciones de Navier-Stokes y en las que se calculan las componentes de la velocidad

tanto en los vértices del tetraedro como en los puntos medios de sus lados mientras que

la presión se calcula solo en los vértices de los mismos.




238

4.2.3.1.4.- Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno usadas para la resolución de las ecuaciones de

Navier-Stokes son:

Figura 4.2.6: Diagrama del reactor UA63.03 con las zonas frontera que requieren consideraciones

especiales remarcadas. El resto de ellas son consideradas como paredes rígidas.

• Contorno 1: Se define la velocidad de entrada del fluido según V=(ux, vy,

wz). Se tomarán los valores en función del número de Reynolds al que se

realice el estudio

• Contornos 2 y 3: Se define la presión a la salida del compartimiento

(presión manométrica). En estos contornos se supone una presión de 0

con lo que se obtendrá directamente de la simulación las caídas de

1

2

3




239

presión en el interior del compartimiento. En estos contornos o caras se

tiene que K=0 siendo K la fuerza viscosa por unidad de área,

( )( )TuunK ∇+∇= ··ηr (4.2.2)

en donde nr es un vector normal a la superficie de la cara estudiada. K

representa la fuerza que la cara del compartimiento ejerce sobre el fluido

y el exponente, T ,representa a la matriz transpuesta.

• Resto de contornos o caras: Condición de “no-deslizamiento” o, dicho

de otro modo, el fluido en contacto con el resto de las caras se encuentra

en reposo, V = (ux, vy, wz) = 0

4.2.3.2.- Resultados

Las simulaciones se han llevado a cabo a los mismos valores de Re estudiados

previamente (estudios de RTD, estudios electroquímicos para la obtención del

coeficiente global de transporte de materia y estudios de visualización directa) con

objeto de poder realizar una comparación entre los resultados obtenidos a través de los

distintos métodos.

Las simulaciones obtenidas se muestran a continuación, las velocidades vienen

indicadas en m·s-1 mientras que las presiones vienen en kg·m-1·s-2:




240




241




242




243




244

4.2.3.3.- Interpretación de resultados

4.2.3.3.1.- Caída de presión

Como se puede apreciar en las figuras 4.2.7b, 4.2.8b, 4.2.9b y 4.2.10b las caídas

de presión principalmente ocurren en el distribuidor de entrada.

En las figuras 4.2.11 se muestra el mapa de presiones en el distribuidor de

entrada al compartimiento trabajando a distintos números de Re. A fin de obtener tan

solo valores relativos de la caída de presión en el distribuidor se ha supuesto una presión

de 0 a la salida de los mismos. La alimentación a los distribuidores en las figuras se

realizará por la derecha de los mismos

Figura 4.2.11a:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 129. Vista 3D

Figura 4.2.11b:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 129. Vista Inferior

kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2




245

Figura 4.2.11c:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 200. Vista 3D

Figura 4.2.11d:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 200. Vista Inferior

Figura 4.2.11e:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 271. Vista 3D

Figura 4.2.11f:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 271. Vista Inferior

kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2

kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2




246

Figura 4.2.11g:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 414. Vista 3D

Figura 4.2.11h:Mapa de presiones, kg·m-1·s-2, para el distribuidor trabajando a un Re = 414. Vista Inferior

Esta caída de presión en el distribuidor de entrada será un factor determinante en

la mejor o peor distribución de líquido en el interior del compartimiento y, por tanto, un

factor clave a la hora de optimizar el reactor.

4.2.3.3.2.- Hidrodinámica del sistema

Las simulaciones de la hidrodinámica del sistema a través de CFD aportan unos

resultados fácilmente comparables con los datos obtenidos para este mismo reactor por

métodos basados en el estudio de las curvas de RTD así como la visualización directa

del flujo.

A partir de las curvas de RTD se propuso un modelo basado en la existencia en

el reactor de un determinado volumen, o zona dinámica, en el cual el fluido tendría un

comportamiento de flujo pistón con dispersión axial, junto con una serie de zonas

muertas o volúmenes más o menos estáticos. Entre la zona dinámica y los volúmenes

muertos existiría un intercambio constante de materia, Figura 4.2.12.

kg·m-1·s-2 kg·m-1·s-2




247

Figura 4.2.12: Modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD. El modelo supone la

existencia de un camino dinámico para el flujo del fluido y la existencia de zonas muertas. También

postula la existencia de un cierto intercambio de materia entre las zonas dinámicas y las muertas.

Este modelo queda plenamente justificado al ver la simulación por CFD. Por

ejemplo, tomando cualquiera de las figuras 4.2.7a, 4.2.8a, 4.2.9a, 4.2.10a, se puede

apreciar la existencia de unos caminos más rápidos, perfectamente asumibles al

volumen dinámico propuesto por el modelo, así como unas zonas mucho más lentas,

que podrían asimilarse a los volúmenes muertos. Por otra parte, la existencia de

remolinos justificaría el intercambio de materia entre las zonas dinámicas y muertas.

La simple comparación entre los experimentos de visualización directa y la

modelización obtenida demuestran una gran concordancia a nivel cualitativo.

Vdinámico

Vmuerto




248

Figura 4.2.13: Visualización directa del flujo en el reactor UA63.03 trabajando a un Re = 414, donde

t1<t2<t3<t4. El trazador es una disolución de azul de bromotimol en 0.01 M NaOH.




249

En las figuras 4.2.13 se puede apreciar incluso la zona muerta central que

aparece en la sección derecha de la imagen pronosticada por la modelización por CFD

(Figura 4.2.10a)

Sin embargo, hasta el momento tan solo se han evaluado cualitativamente la

similitud de resultados obtenidos por medio del estudio de las curvas de RTD y de la

visualización directa con los estudios de CFD.

A fin de desarrollar una comparación cuantitativa de los resultados obtenidos

por RTD y CFD se ha propuesto el siguiente sistema.

4.2.3.4.- Validación de las simulaciones por CFD

4.2.3.4.1.- Comparación áreas activas obtenidas por CFD y por RTD

Cuando se hace referencia a que un determinado compartimiento se encuentra

trabajando a un determinado número de Reynolds ello implica una aproximación

consistente en afirmar que todo el compartimiento se encuentra trabajando a un valor

constante de la velocidad para el flujo de fluido en su interior determinado por:

AQV = (4.2.3)

en donde V es el valor medio de la velocidad del fluido en la dirección de flujo,

Q es el caudal volumétrico de líquido y A es la sección transversal de paso al fluido.

A partir de esta velocidad media se obtiene,

ηρ edV ··

Re = (4.2.4)




250

)(··2SBSBde +

= (4.2.5)

en donde ρ es la densidad del liquido, V su velocidad media calculada con la

ecuación (4.2.3), η es la viscosidad dinámica del fluido y de representa el diámetro

equivalente definido por (4.2.5) como la relación entre sección transversal al flujo de

fluido del compartimiento y el perímetro “mojado” (en donde B es el ancho del

compartimiento y S la altura del mismo).

De esta forma, afirmar que el compartimiento se encuentra trabajando a un

determinado Re implica que “todo” el compartimiento se encontraría trabajando a ese

valor de la velocidad media. Según lo comprobado a través de los distintos

procedimientos ensayados (estudio de curvas de RTD, visualización directa y cálculo

por CFD) esta afirmación no es del todo cierta ya que, si bien en promedio se cumple

esta suposición, a nivel local se puede apreciar que existen zonas en las que el fluido

tiene velocidades distintas, ya sean superiores o inferiores a la media.

Vamos a definir como zona dinámica toda aquella zona del compartimiento en la

que la velocidad del fluido sea igual o superior al 45% de la velocidad media

correspondiente al Re de trabajo. Por otra parte, las zonas muertas o estáticas

corresponderán a todas aquellas regiones en las que el fluido circule a una velocidad

inferior a ese 45% de la velocidad media.

En las figuras 4.2.14a, 4.2.14b, 4.2.14c y 4.2.14d se muestran los mapas de

velocidades superiores al 45% de la velocidad teórica media, en m·s-1 (Las zonas rojas

implican velocidades iguales o superiores al 45% de V)




251




252

A fin de realizar el computo de las áreas activas se ha desarrollado un programa

de matlab, ver apéndices, capaz de efectuar este cálculo a partir de los datos de la

simulación de CFD obteniéndose los valores mostrados en la Tabla 4.2.2.

Por otra parte, del estudio de las curvas de RTD se obtenía también una

estimación de las zonas activas del reactor a partir del parámetro Φβ, (Tabla 4.2.2).

Comparando ambos valores puede apreciarse una gran similitud de resultados, lo que

permite concluir que el método cuantitativo de estimación de áreas activas a partir de

los estudios por CFD es, en principio, válido.

Re

Área Activa calculada a través

de RTD (Φβ)

Área activa calculada a través

de CFD

Error E = (CFD-RTD)/CFD *100

129 58 % 63 % 8.00 % 200 58 % 55 % 4.50 % 271 59 % 55 % 7.00 % 414 74 % 74 % 0.00 %

Tabla 4.2.2: Comparación entre los valores de áreas activas calculados a través de estudios de

RTD y estudios de CFD

4.2.3.4.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas experimentalmente y por

CFD

También con el objetivo en mente de validar las simulaciones realizadas a través

de las técnicas de CFD se procedió también a realizar una simulación de la respuesta

que tendría el sistema estudiado ante una entrada de trazador para, posteriormente,

compararlas con las RTDs experimentales obtenidas previamente.

Para ello, se partió de los resultados obtenidos para las distribuciones de

velocidades en el interior del compartimiento, que se asumieron constantes con el

tiempo, hipótesis valida si se supone que el compartimiento se encuentra operando en




253

régimen estacionario, es decir, una vez alcanzado el régimen hidrodinámico

estacionario.

Para realizar la simulación de una entrada de trazador en el compartimiento se

resolvió la ecuación de convección-difusión, con valores de densidad y coeficiente de

difusión constantes.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zc

yc

xcDR

zcw

ycv

xcu

tc

(4.2.6)

siendo c la concentración de la especie considerada, D el coeficiente de difusión,

u, v y w las velocidades del fluido en los ejes x, y, z respectivamente y R un término

que hace referencia la una posible reacción en el medio sometido a estudio, cuyo valor

será 0 en nuestro caso ya que lo único que se va a estudiar es la dispersión del trazador y

no su reacción.

Conviene resaltar nuevamente que, si bien se ha supuesto que el perfil de

velocidades en el interior del reactor es constante con el tiempo (régimen hidrodinámico

estacionario), no ocurre lo mismo con las concentraciones del trazador en los distintos

puntos del sistema ya que dicha concentración deberá ir variando a medida que va

pasando el trazador por el interior del compartimiento de reacción. Ello implica la

resolución de la ecuación de convección-difusión (ecuación 4.2.6) en régimen

transitorio.

La simulación fue llevada a cabo usando como trazador una inyección de

disolución de NaCl 3.5M. Las respuesta del trazador se midió realizando una

integración de los valores de la concentración de NaCl en las boquillas de salida del

compartimiento. Las curvas obtenidas fueron normalizadas con la concentración total de

trazador y comparadas con las RTDs experimentales obtenidas previamente.




254

Las figuras 4.2.15a, 4.2.15b, 4.2.15c y 4.2.15d muestran los resultados obtenidos

a través de la simulación por CFD de la entrada de trazador a un valor de Re = 414, los

valores de las concentraciones vienen expresados en mol·m-3.

Estas figuras corroboran las hipótesis iniciales usadas para definir el modelo

matemático empleado en el ajuste de las curvas de RTD. Se puede apreciar claramente

la existencia de unos caminos preferenciales así como volúmenes muertos. Por otra

parte se aprecian las formaciones de remolinos que permiten realizar un intercambio de

materia entre las zonas dinámicas y las muertas.




255




256




257

Una vez obtenidas las simulaciones para distintos tiempos de la evolución del

trazador inyectado se puede proceder a realizar una integración de los valores de las

concentraciones de dicho trazador a cada instante en los contornos de las boquillas de

salida de fluido. Las curvas obtenidas por este método, una vez normalizadas, pueden

ser comparadas con las RTD experimentales a fin de comprobar la validez de las

simulaciones.

En la figura 4.2.16 se muestran unas comparativas entre las curvas RTD

experimentales obtenidas para el reactor UA63.03, trabajando a diversos valores Re, así

como las curvas RTD virtuales obtenidas a través de simulación por CFD a los mismos

valores de Re de trabajo.




258

Figura 4.2.16: Comparación entre las RTD experimentales y RTD virtuales para el reactor UA63.03

trabajando a diversos números de Re




259

Como se puede apreciar a partir de la figura 16, la bondad de los ajustes entre las

curvas obtenidas de manera experimental y las curvas virtuales es bastante elevada.

Considerando como medida del error entre ambas curvas el valor,

( )N

N

∑ −=

2calcexp yy

error (4.2.7)

siendo N el número total de puntos de la gráfica, se obtiene que para los diversos

Re estudiados, el error entre los valores experimentales y los teóricos no supera nunca el

valor de 4·10-4.

El buen ajuste entre las curvas RTD experimentales y las virtuales constituyen

un factor más a la hora de dar validez a las simulaciones.

Por otro lado, las curvas RTD virtuales pueden proporcionar información acerca

de las zonas muertas del reactor. La figura 4.2.17 muestra las variaciones de

concentración del trazador con el tiempo en cuatro localizaciones distintas del

compartimiento de reacción.




260

Figura 4.2.17: Estudio por CFD de la variación de concentración de trazador en cuatro localizaciones

distintas del reactor UA63.03




261

Como se puede apreciar en la figura 4.2.17, los puntos situados justo enfrente de

los distribuidores o boquillas de entrada muestran unas curvas de RTD locales de forma

muy estrecha, indicando claramente que en esos puntos existiría muy poco retardo del

trazador. Por otro lado, las RTD locales de los puntos situados en las esquinas inferiores

derecha e izquierda, presentan un claro fenómeno de cola, es decir, un gran retardo del

trazador debido principalmente a la existencia de volúmenes muertos en dichas zonas

que tienen intercambio de materia con las zonas dinámicas.

Por tanto, a través del estudio de la dispersión del trazador en el interior del

compartimiento se pueden señalar fácilmente las zonas problemáticas

hidrodinámicamente hablando a fin de plantearse posibles mejoras futuras.

4.2.3.4.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia

Las primeras ideas acerca del transporte de materia en sistemas electroquímicos

fueron presentadas por Nernst y Merriam[27]. Estos autores usaron una analogía con la

disolución de un sólido sugiriendo que el transporte de materia ocurría por difusión

molecular en una pequeña capa de fluido adyacente al electrodo.

En esta capa existiría una variación lineal de la concentración de la especie

electroactiva desde su valor en el seno de la disolución hasta el valor correspondiente en

la superficie del electrodo, figura 4.2.18.




262

Figura 4.2.18:Representación de la capa de difusión de Nernst

Como ya se expuso en anteriores capítulos, la constante de transporte de materia,

km, en el interior de un reactor viene definida según la expresión,

δDkm = (4.2.8)

en donde D es el coeficiente de difusión de la especie electroactiva y δ es el

espesor de la capa de difusión de Nernst.

δ proporciona una medida de la variación espacial del perfil de concentraciones

que se produce al existir sobre el electrodo una determinada reacción electroquímica.

La expresión correspondiente para el cálculo de δ mediante técnicas de salto

petenciostático viene dada por[28],

tD··πδ = (4.2.9)

y se puede obtener resolviendo la transformada de Laplace de la ecuación de

difusión bajo unas condiciones de contorno e iniciales específicas. También puede

Cseno

Csuperficie

δ




263

obtenerse a través de otros métodos[29] así como resolviendo la propia expresión de la

capa de difusión[30] para un proceso estacionario reversible,

( )δ

erficieseno CCDnFA

I sup−= (4.2.10)

en donde I es la corriente que circula en el proceso electroquímico, Cs es la

concentración de la especie electroactiva en la superficie del electrodo, Cb es la

concentración en el seno de la disolución, F es la constante de Faraday, A es el área del

electrodo y D el coeficiente de difusión de la especie electroactiva.

Según esto, se puede decir que un reactor se encuentra trabajando al máximo de

su capacidad, es decir a su corriente límite, cuando Csuperficie = 0, ya que,

senomsenoL CnFAkCDnFAI ==δ

(4.2.11)

Por tanto, el reactor debe ser diseñado con el objetivo de maximizar el valor de

km, ya que, para un determinado proceso y reactor el resto de parámetros no eléctricos

han de ser fijos[31,32].

La constante de transporte de materia esta relacionada tanto con la geometría del

electrodo, como con las condiciones de flujo, por una expresión del tipo:

y

m Vk ∝ (4.2.12)

siendo V la velocidad del fluido, e “y” una constante indeterminada que depende

de muchos factores tales como la naturaleza del flujo, la forma del reactor y del

electrodo[33], etc.




264

La dificultad de poder determinar el valor de “y”, condujo al empleo de las

denominadas correlaciones basadas en grupos adimensionales que manejan valores de

km globales, como ya se ha visto en capítulos previos.

Sin embargo, a partir de las actuales técnicas de simulación por CFD se puede

intentar obtener un mapeado completo de los valores locales de km.

Teniendo en cuenta la relación existente entre km y δ, a partir de la ecuación

4.2.12 se obtiene

yVa

∝δ (4.2.13)

siendo “a” e “y” dos parámetros a ajustar.

Partiendo de la ecuación 4.2.13 y conociendo el valor global de la km obtenido

de manera experimental, como se indicó en capítulos previos, se puede suponer que,

medio

globalm

Dkδ

= (4.2.14)

∑ ∑⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

aelectródic totalAreaoconsiderad local elemento del Area·

ylocal

locales

globalm

VaDDk

δ (4.2.15)

siendo Vlocal el valor de la velocidad local en cada punto del reactor.

Empleando el modelo de CFD se pueden obtener los valores de Vlocal para cada

punto del reactor, con lo que se puede obtener un mapa de valores de km en el interior

del reactor.




265

Para ello es necesario encontrar los valores óptimos de las constantes “a” e “y”.

Se han desarrollado una serie de códigos de Matlab, ver apéndices, obteniéndose el

mapa de valores de km en el interior del reactor sometido a estudio, mostrado en las

figuras 4.2.19a-d.

Los resultados obtenidos son acordes con los valores que cabría esperar de las

simulaciones por CFD. Es decir, en aquellas zonas en las que la velocidad del fluido es

mayor, se obtendrán menores espesores de la capa de difusión de Nernst y, por tanto,

mayores valores de km.

De esta forma se puede obtener un mapa total del área electródica y saber que

zonas se encuentran trabajando a valores inferiores al deseado.




266




267

Las diferencias entre los valores de km global obtenidos experimentalmente y los

calculados teóricamente a través del ajuste de la ecuación (4.2.15) difieren en muy poco,

Tabla 4.2.3.

Ecuación:

δ = a / Vy

Re

a

y

km Experimental

km Teórico

Error

129 4.89·10-5 5.06·10-5 3.48 % 200 7.00·10-5 7.49·10-5 7.08 % 271 8.98·10-5 8.75·10-5 2.53 % 414

4.57·10-7

1.01

1.27·10-4 1.24·10-4 2.09 %

Tabla 4.2.3: Resultados de la simulación para la obtención de km.




268

4.2.4. NOMENCLATURA

B Anchura del canal de paso (m)

Cb Concentración en el seno de la disolución (mol·m-3)

Cs Concentración en la superficie (mol·m-3)

D Coeficiente de difusión de la especie electroactiva

de Diámetro hidráulico equivalente (m)

F Constante de Faraday

K Fuerza viscosa por unidad de área

km Constante de transporte de materia

m Viscosidad (Pa·s)

nr Vector normal a la superficie

Q Caudal volumétrico (m3·s-1)

Re Número de Reynolds

S Espesor del canal de paso (m)

V Vector velocidad

ux Componente de la velocidad en el eje x

vy Componente de la velocidad en el eje y

wz Componente de la velocidad en el eje z

Letras Griegas

ρ Densidad (kg·m-3)

Φβ Relación (volumen activo / volumen total) del reactor

calculada a través de estudios de RTD




269

4.2.5. REFERENCIAS

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and grooved circular cylinders, Comput. Fluids, 25(3), 1996, 263-281

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square cylinder at low Reynolds numbers, Int. J. Heat Fluid Fl., 24(2003), 54-66

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[30] Albery, W.J., Electrode Kinetics, Clarendon Press, Oxford, 1975, p. 59

[31] Walsh, F.C., Gabe, D.R., Electroplating, Engineering and Waste Recycle,

Electrochem. Soc. Symp, 83-12, 1983, p. 314

[32] Couret, F., Storck, A., Elements de genie electrochimique, Tecdoc, Paris, 1984

[33] Walsh, F.C., ISE Meeting, Glasgow, Sept. 1988, paper no 53



Capítulo 4.3: Diseño y estudio de un reactor filtro prensa optimizado con CFD

273

4.3.- DISEÑO Y ESTUDIO DE UN REACTOR FILTRO PRENSA OPTIMIZADO POR CFD


Los reactores electroquímicos del tipo filtro prensa se encuentran sujetos a

ciertas deficiencias inherentes a su propia estructura que deben ser optimizadas, en la

medida de lo posible, al realizar el diseño de los mismos.

Los principales problemas son:

• Corrientes shunt o corrientes de fuga,

Un aspecto importante para los reactores tipo filtro prensa trabajando con

una configuración bipolar, figura 4.3.1, es que existen electrodos a distinto

potencial eléctrico interconectados por medio de conductos de electrolito,

produciéndose un flujo de corriente a su través, figura 4.3.2. Estas corrientes

de fuga constituyen una derivación de la corriente efectiva del sistema que

provoca, por tanto, una disminución del rendimiento culómbico. Estas

corrientes de fuga pueden ser reducidas aumentando la resistencia eléctrica

de los conductos del electrolito. Esto se puede conseguir aumentando la

longitud o disminuyendo la sección de los mismos[1-14].




274

Figura 4.3.1: Reactor filtro prensa trabajando en modo bipolares

Electrolito

Electrodo Bipolar

Membrana

Electrodo bipolar

Membrana

+-

Electrodo Final

Electrodo Final




275

Figura 4.3.2: Esquema de las corrientes de fuga migrando a través de los distribuidores

Electrodo Final

Membrana

Electrodo Bipolar

Electrodo Final

Electrolito

Electrolito CorrienteFuga




276

• Requisitos hidráulicos,

Desafortunadamente un aumento de la resistencia eléctrica en los conductos

de electrolito supone un aumento de la pérdida de carga hidráulica en los

mismos, por lo que, para mantener el caudal adecuado de electrolito se

deberá aumentar la potencia de las bombas, disminuyendo así el rendimiento

energético global del sistema[15-16].

• Distribuidores de flujo,

Por ultimo cabe resaltar los problemas hidráulicos en el propio interior del

reactor debidos al diseño de unos distribuidores de flujo ineficientes. Dichos

problemas provocan, como ya se ha visto en anteriores capítulos,

distribuciones de flujo en el interior del sistema que generan grandes

volúmenes muertos en los que el reactor no esta funcionando como cabría

esperar, pudiendo dar lugar a reacciones secundarias no deseadas.

Por estos motivos, en este capítulo se procederá al diseño y caracterización de un

nuevo reactor filtro prensa que, manteniendo la especificación de área electródica del

reactor previamente estudiado UA63.03 (63cm2 de área electródica), optimice tanto su

hidrodinámica como su transporte de materia hacia los electrodos de trabajo. Por otra

parte se buscará solucionar algunas deficiencias que presenta la configuración previa del

reactor (UA63.03) como por ejemplo la imposibilidad de este último de poder trabajar

en stacks de células. Para poder emplearlo en sistemas bipolares, será necesario a su

vez, aumentar las resistencias eléctricas en los distribuidores de entrada y salida a fin de

minimizar las corrientes shunt o de fuga. Obviamente se intentará obtener un patrón de

flujo interno lo más eficiente posible.

Para ello se usará el procedimiento inverso al descrito hasta el momento, se

comenzará con un diseño del reactor a través de estudios de CFD que nos permitirán




277

probar distintas configuraciones sin necesidad de pasar por las etapas de estudio de

prototipos físicos.

Una vez encontrado un diseño optimizado realizaremos la caracterización del

reactor por los métodos experimentales ya citados.

4.3.2. PROTOTIPOS PREVIOS

El primer paso del proceso de optimización consistió en un estudio previo de

diversos modelos o prototipos del reactor intentando hallar uno que presentase un

patrón de flujo en su interior lo mejor posible.

Esta etapa previa consumiría, antes del uso de las nuevas técnicas de simulación

por ordenador, gran cantidad de tiempo y dinero ya que sería necesaria la realización

física de cada reactor y su posterior experimentación.

El criterio de eliminación de los diferentes prototipos fue el comentado

previamente durante el estudio del reactor UA63.03 y que se basaba en el estudio del

área activa del compartimiento. Es decir, determinamos el área del compartimiento que

se encuentra trabajando a una velocidad superior al 45% de la velocidad media fijada

para el Reynolds de trabajo y las comparamos para, al final, elegir aquel reactor que

tenga una mayor cantidad de zonas activas hidrodinámicamente hablando.

Según este criterio, algunos de los prototipos previos ensayados fueron (las

velocidades en las figuras vienen expresadas en m·s-1):




278




279




280

En el caso del UA63.04-PRO1, figura 4.3.3d, existe una gran zona muerta en el

lateral derecho del compartimiento. Este diseño, si bien mejora el área activa con

respecto al anterior reactor estudiado (UA63.03) no resulta aún del todo eficiente, el

UA63.04-PRO2, figura 4.3.4d, mejora en gran medida el UA63.04-PRO1, sin embargo

aún existen zonas inactivas bastante extensas.

Posteriores estudios condujeron al modelo que se ha tomado como diseño

optimizado del UA63.03, el UA63.04.

4.3.3. CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL (UA63.04)

En las figura 4.3.5a-d se puede ver el compartimento del reactor UA63.04 así como sus

dimensiones geométricas. Por otra parte, la tabla 4.3.1 recoge todas las dimensiones de

este compartimento.




281

Figura 4.3.5a: Vista del compartimiento del reactor UA63.04

Figure 4.3.5b: Compartimiento UA63.04

Entrada de Fluido

Salida de Fluido




282

Figura 4.3.5c: Vista en planta del compartimiento y dimensiones en mm

Figura 4.3.5d: Detalle del distribuidor de entrada y sus dimensiones en mm

B / m Anchura

L / m Longitud

s / m Grosor


Le Le = de/L

γ Relación de

aspecto

7.00·10-2 9.00·10-2 4.00·10-3 1.89·10-3 2.10·10-2 5.71·10-2

Tabla 4.3.1: Dimensiones características del reactor filtro prensa UA63.04

Para la modelización y cálculo de las variables de flujo a través de CFD se usó

el paquete comercial FEMLAB 2.3.




283

4.3.4. ESTUDIOS POR CFD

4.3.4.1.- Definición del problema

4.3.4.1.1.- Definición de la geometría:

Como para el estudio del anterior reactor (UA63.03) el primer paso consistió en

la definición de la geometría sometida a estudio o, dicho de otra forma, en la definición

del dominio a estudiar por el método de los elementos finitos.

El compartimiento UA63.04 junto con los dos distribuidores de flujo (uno para

la entrada de líquido y otro para la salida del mismo) tienen una geometría como se

muestra en la figura 4.3.6. en la que tan solo se ha representado la zona que esta abierta

al paso de fluido.

Figura 4.3.6: Esquema de la geometría del reactor UA63.04 con los dos distribuidores (el de

entrada y el de salida)

Salida de Fluido

Entrada de Fluido

Compartimento




284

4.3.4.1.2.- Mallado

Igual que en el capitulo anterior, el mallado se realizó a través del algoritmo de

triangulación de Delaunay[17].

La figura 4.3.7 muestra el mallado usado para realizar la simulación, así como

una barra de color que indica la calidad de dicho mallado.

Figura 4.3.7: Mallado y calidad de los tetraedros que lo conforman




285

Como ya se indicó en el capítulo anterior, la calidad de los tetraedros formados

viene determinada por[18]:

( ) 232

625

24

23

22

21

3216

hhhhhh

Vq+++++

= (4.3.1)

en donde h1, h2, h3, h4, h5 y h6 son las longitudes de los lados del tetraedro a

estudiar y V es el volumen del tetraedro.

La figura 4.3.8 muestra un histograma de la distribución de calidades de los tetraedros

formados para el mallado de la geometría.

Figura 4.3.8: Histograma de la distribución de calidades de los tetraedros formados durante el mallado

de la geometría

Calidad

Número tetraedros




286

De igual forma que en el caso del reactor UA63.03, se ha de tener en cuenta que

para el estudio de geometrías en 3D se suele considerar como buenos los tetraedros con

una calidad superior a 0.3. Calidades inferiores a este valor, en concreto inferiores a 0.1,

pueden generar problemas de cálculo.

Como se puede apreciar del histograma, los tetraedros generados se encuentran

en su mayoría por encima del umbral de 0.3 habiendo tan solo una ínfima cantidad con

una calidad inferior a 0.3.

El mallado seleccionado para realizar las simulaciones consta de:

• Número de elementos (Tetraedros): 21096

• Número de nodos: 6078

• Grados de libertad: 120018

• Mínima calidad para un tetraedro: 0.11

• Volumen máximo de tetraedro: 6.94·10-9 m3

• Volumen mínimo de tetraedro: 9.37·10-12 m3

4.3.4.1.3.- Propiedades del dominio

A efectos de modelización hidrodinámica del sistema, se ha usado como líquido

circulante por el reactor agua, como fluido Newtoniano-isotermo, con una densidad ρ =

1000 kg·m-3 y una viscosidad dinámica de η = 10-3 Pa·s.

Como funciones base para el cálculo de elementos finitos se ha elegido

funciones lagrangianas del tipo P2-P1.




287

4.2.3.1.4.- Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno usadas para la resolución de las ecuaciones de

Navier-Stokes son:

Figure 4.3.9: Diagrama del reactor UA63.04 con las zonas frontera que requieren

consideraciones especiales remarcadas. El resto de ellas son consideradas como paredes rígidas.

• Contorno 1: Se define la velocidad de entrada del fluido según V=(ux, vy,

wz). Los valores de la velocidad serán acordes a los valores de Re

estudiados.

1

2




288

• Contorno 2: Se define la presión a la salida del compartimiento (presión

manométrica). Por definición se supone una presión de 0 con lo que se

obtendrá directamente de la simulación las caídas de presión en el

interior del compartimiento. En estos contornos o caras se tiene que K=0

siendo K la fuerza viscosa por unidad de área,

( )( )TuunK ∇+∇= ··ηr (4.3.2)

en donde nr es un vector normal a la superficie de la cara estudiada. K

representa la fuerza que la cara del compartimiento ejerce sobre el fluido.

• Resto de contornos o caras: Condición de “no-deslizamiento” o, dicho

de otro modo, el fluido en contacto con el resto de las caras se encuentra

en reposo, V = (ux, vy, wz) = 0

4.3.4.2.- Resultados

Los resultados obtenidos a partir de los estudios de CFD fueron (las velocidades

en las figuras vienen expresadas en m·s-1 mientras que las presiones están expresadas en

Pa):




289




290




291




292




293

4.3.4.3.- Interpretación de resultados

4.3.4.3.1.- Caídas de presión

Como se puede apreciar en las figuras 4.3.10b, 4.3.11b, 4.3.12b y 4.3.13b las

caídas de presión ocurren principalmente en el distribuidor de entrada.

En las figuras 4.3.14a-b se muestra el mapa de presiones en el distribuidor de

entrada al compartimiento trabajando a distintos números de Re. A fin de obtener tan

solo valores relativos a la caída de presión en el distribuidor se ha supuesto una presión

relativa de 0 a la salida de los mismos.

Figura 4.3.14a:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 129.

Figura 4.3.14b:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 129

m·s-1 kg·m-1·s-2




294

Figura 4.3.14c:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 200

Figura 4.3.14d:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 200

Figura 4.3.14e:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 271

Figura 4.3.14f:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 271

m·s-1

m·s-1

kg·m-1·s-2

kg·m-1·s-2




295

Figura 4.3.14g:Mapa de velocidades, m·s-1, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re= 414

Figura 4.3.14h:Mapa de presiones, en kg·m-1·s-2, en el distribuidor de entrada del reactor UA63.04. Re=414

Esta caída de presión en el distribuidor de entrada es un factor determinante en

la mejor o peor distribución de líquido en el interior del compartimiento y, por tanto, un

factor clave a la hora de optimizar el reactor. Por otra parte, el actual diseño del

compartimiento UA63.04 fue concebido para permitir el trabajo en stacks de células así

como en modo bipolar.

Se ha intentado minimizar posibles corrientes shunt cuando el sistema trabaje en

modo bipolar al diseñar unos distribuidores de entrada más largos y estrechos que en el

reactor precedente UA63.03. Este aumento de la resistencia eléctrica conlleva aparejado

un aumento de las caídas de presión en dichos distribuidores. Como se puede apreciar

en las figuras 4.3.12b, 4.3.12d, 4.3.12f, 4.3.12h la caída de presión en este nuevo diseño

UA63.04 se ha aumentado de manera considerable con respecto a la que se tenía en el

caso del reactor UA63.03 (figuras 4.2.11a – 4.2.11h del capitulo anterior).

m·s-1 kg·m-1·s-2




296

Por tanto se han obtenido varias ventajas en este nuevo diseño de reactor,

• Una mejor distribución interna del fluido que la existente en el diseño

precedente (UA63.03)

• Se aumenta la resistencia eléctrica en los distribuidores de entrada con lo

que se disminuyen las corrientes shunt

• Se aumenta la versatilidad del diseño ya que ahora permite el trabajo en

stacks en modo bipolar

4.3.4.3.2.- Hidrodinámica del sistema

Al igual que ya se hizo anteriormente con el reactor UA63.03 se procedió a

calcular las áreas activas del compartimiento modelizado para así poder compararlas

con las áreas activas del diseño anterior y poder comprobar si se obtenía una mejora

sustancial en cuanto al aprovechamiento de la célula. Al igual que en el capitulo

anterior, se definió como zona dinámica toda aquella zona del compartimiento de

reacción en la que la velocidad del fluido era igual o superior al 45% de la velocidad

media correspondiente al Re de trabajo. Por otra parte, las zonas muertas o estáticas

corresponderán a todas aquellas regiones en las que el fluido circule a una velocidad

inferior a ese 45% de la velocidad media.

En las figuras 4.3.15a, 4.3.15b, 4.3.15c y 4.3.15d se muestran los mapas de

velocidades superiores al 45% de la velocidad teórica media (las zonas rojas implican

velocidades iguales o superiores al 45% de V). Las velocidades vienen expresadas en

m·s-1.




297




298

Como se puede apreciar en las figuras 4.3.15a, b, c y d prácticamente la totalidad

del reactor se encuentra trabajando a velocidades de flujo por encima del 45% de la

teórica para el Re estudiado, existiendo solo unas pequeñísimas zonas muertas que

tendría un intercambio de materia favorecido por la existencia de los dos grandes

remolinos que las envuelven.

Por tanto, este nuevo diseño parece mejorar en gran medida el diseño

precedente, UA63.03. Sin embargo, y antes de proceder a realizar posteriores

comparaciones entre ambos diseño se hace necesaria una validación de las simulaciones

realizadas.

Para ello se emplearán las técnicas previamente usadas para la caracterización de

esta clase de sistemas, es decir:

1. Estudios de RTD (Distribuciones de tiempos de residencia) y posterior

modelización de las curvas obtenidas

2. Estudios de transporte de materia hacia los electrodos

3. Estudios de visualización directa de distribución de colorantes en el

interior del compartimiento sometido a estudio

4.3.5. ESTUDIOS EXPERIMENTALES

4.3.5.1.- Configuración Experimental

En la figura 4.3.16 se puede apreciar un esquema del reactor electroquímico

trabajando en la configuración sin división, que será la usada en este trabajo.




299

Los compartimentos fueron modelados en metacrilato mientras que las conducciones

fueron mecanizadas en polipropileno y las placas finales fueron mecanizadas en acero

inoxidable.

Figura 4.3.16: Montaje experimental para el reactor UA63.04en configuración de compartimiento sin división por membrana

Placa de Apriete

Electrodo

Junta (EPDM, ethylene-poly(propylene)-diene monomer)

Compartimiento UA63.04

Junta (EPDM, ethylene-poly(propylene)-diene monomer)

Electrodo

Alimentador (PP, Polipropileno)

Placa de Apriete




300

Como promotores de turbulencia se usaron las mismas rejillas plásticas de PVC

empleadas durante la caracterización del reactor UA63.03. Para facilitar la lectura de la

presente memoria, las figuras 4.3.17a-b muestran nuevamente los promotores de

turbulencia usados así como sus principales dimensiones mientras que en la tabla 4.3.2

se pueden encontrar los valores de dichas dimensiones para cada caso estudiado.

Figura 4.3.17a: Promotores de turbulencia usados

A B

C D




301

Figura 4.3.17b: Esquema de las dimensiones principales de los promotores de turbulencia usados.

(Valores en la Tabla 4.3.2)

Promotor A B C D

sd/ mm 1.5 5-7* 5 2 ld/ mm 2 5-7* 6 3

ccld/ mm 3.1 6.2 8.7 3.7 ccsd/ mm 2.3 6.2 6.6 2.4

Grosor promotor/ mm 1 1 2 1 FT (Porosidad fibra)/ mm 0.5 0.9 1.2 0.6

Porosidad malla 0.69 0.70 0.73 0.77

Tabla 4.3.2: Principales dimensiones de los promotores usados.

Al igual que en anteriores ocasiones, el compartimento del reactor se llenó con

el numero de rejillas necesarias para completar totalmente el espesor del canal de paso

de liquido.




302

Tanto los estudios de RTD como de transporte de materia se realizaron con las

mismas técnicas y disoluciones que las empleadas en el estudio del reactor UA63.03. Es

decir, la técnica de estimulo respuesta para la obtención de las RTD se realizó a través

de una inyección de trazador de NaCl saturado mientras que el estudio del transporte de

materia se realizó mediante la técnica de seguimiento de las corrientes límite para la

reducción de los iones Cu(II). En ambos casos los Reynolds estudiados fueron los

mismos que para el reactor UA63.03.

4.3.5.2.- Estudios Hidrodinámicos

4.3.5.2.1.- Modelo matemático para el estudio de las curvas de RTD

En el presente caso se eligió el mismo modelo matemático utilizado para la

caracterización del otro reactor UA63.03. En este caso, y a la vista de las simulaciones

de la hidrodinámica interna del reactor, predicha por los estudios de CFD, cabría esperar

que dicho modelo se ajustase bastante bien a la descripción de la hidrodinámica del

sistema.

El mencionado modelo hacía referencia a la existencia de un camino

preferencial o dinámico para el paso de líquido en el reactor con una cierta dispersión

axial así como también postulaba la existencia de una serie de zonas muertas o

estancadas. Además, existía también un cierto intercambio de materia entre las zonas

muertas y la zona dinámica, figura 4.3.18.




303

Figura 4.3.18: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curvas de RTD con

intercambio de materia entre el volumen muerto y el volumen dinámico

Dicho modelo quedaría bien justificado a la vista de las simulaciones

hidrodinámicas realizadas previamente a la construcción del reactor, figuras 4.3.10,

4.3.11, 4.3.12 y 4.3.13. En ellas se apreciaba claramente un camino dinámico

preferencial que abarcaba casi la totalidad de la zona central del compartimiento

UA63.04 así como la existencia de dos grandes remolinos laterales que favorecería el

intercambio de materia entre las posibles zonas muertas existentes y la zona dinámica

antes comentada.

4.3.5.2.2.- Resultados de los experimentos de RTD

En la figura 4.3.19 se pueden ver las curvas RTD experimentales obtenidas en el

reactor UA63.04 trabajando en una configuración con el compartimento vacío así como

con el compartimento lleno de los distintos promotores de turbulencia para una

velocidad lineal del fluido en el interior del compartimento de 1.7·10-2 m s-1 (Re=129).

Al igual que ocurría en el compartimiento UA63.03, el promotor A presenta un

comportamiento ligeramente anómalo al compararlo con el resto de promotores.

Vdinámico

Vmuerto




304

0 20 40 60 80 100 1200.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26


Compartimento Vacio Promotor A Promotor B Promotor C DC Promotor C DL Promotor DU

nida

des

Arb

itrar

ias

t / s

Figura 4.3.19: RTDs experimentales para el reactor UA63.04 trabajando a un Re = 129. La

nomenclatura Promotor C DC y Promotor C DL hace referencia a si la rejilla que actúa como

promotor de turbulencia tiene su diagonal corta en la dirección principal de flujo o si al contrario tiene

su diagonal larga orientada en la dirección del flujo.

En la Figura 4.3.20 se puede ver un ajuste del modelo propuesto para las RTDs

experimentales obtenidas para el UA63.04. Se puede observar que el modelo basado en

el flujo piston con dispersión axial con intercambio de materia entre las zonas muertas y

las zonas dinámicas presenta un ajuste muy bueno a los datos experimentales, con

valores de la función objetivo, usada para encontrar los parámetros, inferiores a 10-3.

( )∑

i

2expi

calci x- x = F.O. (xi = punto de la curva RTD) (4.3.3)




305

0 20 40 60 80 1000.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Datos Experimentales Modelo Matemático

Uni

dade

s A

rbitr

aria

s

t / s

Figura 4.3.20: Ajuste matemático de la RTD experimental para el reactor UA63.04 trabajando

en configuración vacía a un Re = 129 y el modelo matemático propuesto

En la Tabla 4.3.3 se ofrecen los valores de los parámetros optimizados obtenidos

para el modelo de flujo pistón con dispersión axial con intercambio de materia.

Vacío Promotor A Promotor B Promotor C-DC

Promotor C-DL

Promotor D

Re Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα Pe φβ Nα

129 21.27 0.78 0.83 50.61 0.79 2.18 31.30 0.70 1.18 31.95 0.74 1.18 28.02 0.80 0.87 32.16 0.73 1.59200 23.47 0.78 0.77 46.88 0.85 1.60 27.79 0.77 0.87 28.00 0.74 1.05 39.30 0.78 0.84 26.89 0.77 1.62271 17.74 0.84 0.5 34.76 0.83 1.51 37.19 0.76 0.92 48.17 0.79 0.97 42.92 0.80 0.70 38.41 0.80 1.53414 20.17 0.85 0.39 61.08 0.86 1.05 46.59 0.81 0.80 77.27 0.83 1.08 50.89 0.83 0.57 57.40 0.82 0.88

Tabla 4.3.3: Resultado de la modelización de las RTDs para el reactor UA63.04 trabajando con

y sin promotores de turbulencia




306

Como se puede apreciar en este caso, al igual que en la modelización del reactor

UA63.03, también se obtienen valores de Pe elevados, lo que indica claramente un

comportamiento del tipo flujo pistón con baja dispersión axial. Además, el número de

Pe para las configuraciones con promotores de turbulencia es generalmente mayor que

el obtenido para la configuración del reactor vacío.

Conviene resaltar además, que los volúmenes muertos del reactor, (1-Φβ),

tienden a disminuir, en general, a medida que el Re aumenta. Por tanto, de todo lo

anteriormente expuesto, se puede concluir que cuando aumenta el Re, la fracción de

reactor funcionando como un flujo pistón con dispersión axial aumenta y la dispersión

disminuye.

Al igual que se hizo previamente con el reactor UA63.03, resulta interesante

resaltar la relación entre Nα y Φβ. Para un valor constante de Φβ, un aumento en Nα, la

velocidad de intercambio, producirá un aumento de la turbulencia. En el mismo sentido,

para un valor constante de Nα, un aumento en Φβ tendrá como consecuencia que una

mayor parte del reactor se encuentre actuando como flujo pistón con dispersión axial,

por lo que la turbulencia también aumentaría. Se vuelve pues ahora a considerar al

producto NαΦβ como un factor de turbulencia capaz de medir la eficiencia de los

promotores de turbulencia. En la Tabla 4.3.4 se pueden ver los valores de dicho factor

para el reactor UA63.04 en la configuración de compartimento vacío y lleno de

promotores de turbulencia.

Re Vacío Promotor A

Promotor B

Promotor C-DC

Promotor C-DL

Promotor D

129 0.64 1.72 0.83 0.87 0.70 1.16 200 0.60 1.36 0.67 0.78 0.66 1.25 271 0.42 1.25 0.70 0.77 0.56 1.22 414 0.33 0.90 0.65 0.90 0.47 0.72

Tabla 4.3.4: Producto de NαΦβ para el reactor UA63.04




307

Es interesante el observar, figura 4.3.21, que el factor de turbulencia disminuye,

en general, al aumentar el Re mostrando el mismo comportamiento que el factor de

mejora obtenido a través de estudios de transporte de materia, como se verá en la

siguiente sección.

100 150 200 250 300 350 400 450

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8 Reactor UA63.04 Vacio Promotor A Promotor B Promotor C-DC Promotor C-DL Promotor D

Nαφ β

Re

Figura 4.3.21: Factor de turbulencia para el reactor UA63.04

Se puede realizar una clasificación de la eficiencia de actuación de los

promotores para generar turbulencia en función del factor de turbulencia que quedaría:

A > D > C-DC > B > C-DL > Vacío


Las figuras 4.3.22 y 4.3.23 resumen los resultados obtenidos para los estudios de

transporte de materia. En ellas se muestran el grafico en escala doble logarítmica del Sh

vs. Re obtenidos para las diversas configuraciones (Figura 4.3.22) y los valores del




308

factor de mejora (Figura 4.3.23), γmt. Este factor, como ya se vio para el caso del reactor

UA63.03, permite la comparación entre las eficiencias de cada promotor de turbulencia

100 200 300 400

200

300

400

500

600

700

Reactor UA63.04 Vacio Promotor A Promotor B Promotor C-DC Promotor C-DL Promotor D

Sh

Re

Figura 4.3.22: Estudios de transporte de material para el reactor UA63.04




309

100 150 200 250 300 350 400 4501.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

2.05

2.10

2.15

2.20

2.25

2.30 Reactor UA63.04 Promotor A Promotor B Promotor C-DC Promotor C-DL Promotor D

γ mt

Re

Figura 4.3.23: Factor de mejora para el transporte de materia, γmt, en el reactor UA63.04

De igual forma que con los estudios hidrodinámicos se puede realizar una

clasificación de la eficiencia de los promotores según el factor de mejora, γmt.

A > D > C-DC > B > C-DL > Vacío

Como se puede observar, se obtiene la misma clasificación que en el caso de los

estudios de RTD lo cual lleva a pensar en la validez de modelo matemático elegido para

describir el comportamiento hidrodinámico interno del compartimiento. Por otro lado,

se ha de recordar a su vez, que dicho modelo se ajustaba, de una manera cualitativa,

bastante bien a los resultados obtenidos por CFD.




310

4.3.5.4.- Estudios de visualización directa

Al igual que para el resto de reactores estudiados, estos experimentos se

realizaron a través de la filmación en video de una inyección de un trazador de color,

azul de bromotimol, en el reactor. Una de las placas de apriete del sistema fue sustituida

por otra de metacrilato transparente a fin de poder ver el interior del reactor.

El modelo basado en la existencia de una zona dinámica para el paso de fluido, y

la existencia de una zona muerta con la que existe un intercambio de materia, queda

justificado al realizar la visualización directa del flujo del fluido en el interior del

reactor. Se puede apreciar la existencia de un camino más rápido central, asumible al

volumen dinámico propuesto por el modelo físico, así como unas zonas más lentas, que

podrían asimilarse a los volúmenes muertos. Por otra parte, la existencia de los dos

grandes remolinos laterales justificaría el intercambio de materia entre las zonas

dinámicas y muertas, figuras 4.3.24.




311




312

Como se puede apreciar, todo el compartimiento recibe aporte de materia, a t4

todo el compartimiento se encuentra ya azul, a diferencia de lo que ocurría en el reactor

UA63.03, en el que, para la misma cantidad de trazador inyectada en ningún momento

se llegaba a colorear toda la disolución interna del compartimiento. Por tanto, se ha

obtenido una mejora sustancial en el diseño y comportamiento hidrodinámico de la

célula.

4.3.6. VALIDACIÓN DE LAS SIMULACIONES POR CFD

4.3.6.1.- Comparación áreas activas obtenidas por CFD y por RTD

De igual manera a como se procedió en el caso del reactor UA63.03 se realizó

una comparación de las áreas activas obtenidas a través de las simulaciones por CFD

(Figuras 4.3.15a, 4.3.15b, 4.3.15c y 4.3.15d) y se compara con los valores de áreas

activas, φβ, obtenidos a partir del ajuste matemático del modelo propuesto para el

comportamiento hidrodinámico del reactor a partir de las RTD experimentales.

De esta forma se obtiene que,

Re

Área activa calculada por RTD

(Φβ)

Área activa calculada por CFD

Error E = (CFD-RTD)/CFD *100

129 78 % 91.4 % 15 % 200 78 % 91.8 % 15 % 271 84 % 91.8 % 8.5 % 414 85 % 92.8 % 8.5 %

Tabla 4.3.5: Comparación entre los valores de áreas activas calculados a través de estudios de

RTD y estudios de CFD

Si bien los errores en este caso son ligeramente superiores a los obtenidos en el

caso de la caracterización del reactor UA63.03 pueden considerarse aceptables, más

aun, teniendo en cuenta que en los métodos tradicionales de caracterización de reactores




313

electroquímicos filtro prensa, como los basados en las correlaciones de grupos

adimensionales del tipo (Sh = a·Reb·Scc), se llegan a cometer errores de hasta un 20%

entre los valores pronosticados por las correlaciones y los valores experimentales.

4.3.6.2.- Comparación de curvas RTD obtenidas experimentalmente y por

CFD

4.3.6.2.1.- Modelización de las RTDs

Tal como se hizo ya con el reactor UA63.03, y con el objetivo de validar

totalmente las simulaciones realizadas a través de las técnicas de CFD, se procedió a

realizar una simulación por ordenador de la respuesta que tendría el sistema estudiado

ante una entrada de trazador para, posteriormente, compararlas con las RTDs

experimentales obtenidas.

La sistemática y las simulaciones por ordenador se llevaron a cabo de una

manera análoga a la del reactor UA63.03, por lo que se omitirá aquí una nueva una

descripción de las mismas

Las figuras 4.3.25a, 4.3.25b, 4.3.25c, 4.3.25d, 4.3.25e, 4.3.25f muestran los

resultados obtenidos a través de la simulación por CFD de la entrada de trazador a un

valor de Re = 414, las concentraciones vienen indicadas en mol·m-3.

Estas figuras corroboran las hipótesis iniciales usadas para definir el modelo

matemático empleado en el ajuste de las curvas de RTD. Se puede apreciar claramente

la existencia de un camino preferencial así como dos grandes remolinos que facilitarían

el intercambio de materia entre las pequeñas zonas muertas y las zonas dinámicas.




314




315




316




317

Siendo t1< t2< t3< t4< t5< t6.

Por otra parte se puede apreciar una mejora sustancial con respecto al modelo de

reactor UA63.03, ya que en esta configuración se llega a alcanzar una distribución más

o menos homogénea del trazador en el interior del reactor, figura 4.3.25f, mientras que

esto mismo no ocurría en el caso del reactor UA63.03.

Una vez obtenidas las simulaciones para distintos tiempos de la evolución del

trazador inyectado se puede proceder a realizar una integración de los valores de las

concentraciones de dicho trazador a cada instante en el contornos de la boquilla de

salida de fluido.

Las curvas obtenidas por este método, una vez normalizadas, pueden ser

comparadas con las RTD experimentales obtenidas a fin de comprobar el la validez de

las simulaciones, al igual que se hizo ya en el reactor UA63.03.

En la figura 4.3.26 se muestran unas comparativas entre las curvas RTD

experimentales obtenidas para el reactor UA63.04 trabajando a diversos valores Re así

como las curvas RTD virtuales obtenidas a través de simulación por CFD a los mismos

valores de Re de trabajo.




318

Unidades Arbitrarias




319

Como se puede apreciar a partir de la figura 4.3.26, el ajuste entre las curvas

obtenidas de manera experimental y las curvas virtuales es muy bueno.

Considerando como medida del error entre ambas curvas el valor,

( )N

∑ −=

2calcexp yy

error (4.3.5)

se obtiene que, para los diversos Re estudiados, el error entre los valores

experimentales y los teóricos no supera nunca 2.8·10-4, siendo yexp e ycalc los valores

experimentales y calculados y N el número total de puntos de las gráficas.

El buen ajuste entre las curvas RTD experimentales y las virtuales constituyen

un factor más a la hora de dar validez a las simulaciones. Por otro lado, las curvas RTD

virtuales pueden proporcionar información acerca de las zonas muertas del reactor. Las

figuras 4.3.27, 4.3.28 y 4.3.29 muestra las variaciones de concentración del trazador con

el tiempo en distintas zonas del compartimiento de reacción.




320




321




322




323

La figura 4.3.27 muestra las RTDs locales para los puntos situados justo en la

desembocadura de los distribuidores de entrada. Dicha figura muestra unas curvas de

RTD locales de forma muy estrecha, indicando claramente que en esos puntos existiría

muy poca retención del trazador.

Por otro lado, en la figura 4.3.28 se muestran las RTDs locales de dos puntos

situados en las esquinas inferiores del compartimiento. Si bien estas RTD locales

muestran un ligero retardo del trazador, es decir, la curva se ensancha, al ser

comparadas con las de la figura 4.3.27 no presentan el gran fenómeno de cola que

aparecía en las mismas posiciones en el reactor UA63.03. Por tanto, se ha conseguido

eliminar los problemas de volúmenes muertos existentes en dichas localizaciones en el

diseño de reactor anterior.

Por ultimo, la figura 4.3.29 muestra las RTDs locales de dos puntos situados en

los remolinos que se forman en el reactor UA63.04. Si bien en este caso también se

aprecia un ligero retardo del trazador, en comparación con las RTD locales de los

puntos situados justo en la desembocadura de distribuidor de entrada, ese retardo es

claramente inferior al que se producía en los puntos muertos del reactor UA63.03. Todo

ello indica a que el reactor UA63.04 tiene un mejor diseño hidrodinámico que el

UA63.03.




324

4.3.6.3.- Cálculo de la constante de transporte de materia

Al igual que se hizo con el reactor UA63.03 se procederá a calcular a

continuación el valor de las constantes de transporte de materia locales a partir de la

información disponible gracias a las simulaciones por CFD (perfiles de velocidad) y los

valores de las constantes de transporte de materia globales obtenidas

experimentalmente, figuras 4.3.30a-d.

Los resultados obtenidos son acordes con los valores que cabría esperar de las

simulaciones por CFD. Es decir, en aquellas zonas en las que la velocidad del fluido es

mayor se obtendrán menores espesores de la capa de difusión de Nernst y, por tanto,

mayores valores de km, m·s-1.

De esta forma se puede obtener un mapa total del área electródica y saber que

zonas se encuentran trabajando a valores inferiores al deseado.




325




326

Las diferencias entre los valores de km globales obtenidos experimentalmente y

los calculados teóricamente difieren en muy poco, Tabla 4.3.6.

Ecuación:

δ = a / Vy

Re

a

y

km Experimental

km Teórico

Error

129 2.46·10-5 2.47·10-5 0.45 % 200 2.87·10-5 2.90·10-5 1.04 % 271 3.26·10-5 3.23·10-5 0.84 % 414

1.04·10-5

0.29

3.71·10-4 3.74·10-4 0.90 %

Tabla 4.3.6: Resultados para las simulaciones de km

La figuras 4.3.31a y 4.3.31b, muestran una comparación del mapa de valores de

los coeficientes de transporte de materia para los reactores UA63.03 y UA63.04 para un

mismo valor de Re de trabajo. Aun a pesar de que en el reactor UA63.03 se obtienen

valores locales de km superiores a los obtenidos en el reactor UA63.04, resulta mucho

más conveniente a la hora de realizar un proceso electródico el poder disponer de una

mayor uniformidad en el transporte de materia en la totalidad del sistema ya que, de esa

manera será mucho más fácil el poder controlar la aparición de reacciones secundarias

no deseadas ya sea porque puedan generar productos de reacción que contaminen

nuestro producto final o bien generen gases (por ejemplo debidos a la a la descarga del

electrolito fondo) que puedan resultar por si mismos nocivos o incluso generar

explosiones por aumento de la presión en el interior del reactor.




327

Figura 4.3.31a: Mapa de color de las km para el reactor UA63.03trabajando a Re = 414

Figura 4.3.31b: Mapa de color de las km para el reactor UA63.04trabajando a Re = 414

Por este motivo se considera que, si bien se alcanzan valores de km globales

menores en el reactor UA63.04 que en el UA63.03 es preferible esa disminución si con

ello se consigue una mayor uniformidad en la distribución interna que conllevará un

mayor control en la posible aparición de reacciones secundarias.

En la figuras 4.3.32a y 4.3.32b, se vuelven a repetir las imágenes de la figura

4.3.31a y 4.3.31b pero esta vez colocando igual escala de colores a ambas imágenes a

fin de poder obtener una comparación más intuitiva. Como ya se ha comentado antes, la

uniformidad conseguida con el nuevo diseño de reactor es notablemente superior al

diseño precedente.

m·s-1 m·s-1




328

Figura 4.3.31a: Mapa de color de las km para el reactor UA63.03trabajando a Re = 414

Figura 4.3.31b: Mapa de color de las km para el reactor UA63.04trabajando a Re = 414

4.3.7. NOMENCLATURA

B Anchura del canal de paso (m)

Cb Concentración en el seno de la disolución (mol·m-3)

Cs Concentración en la superficie (mol·m-3)

D Coeficiente de difusión de la especie electroactiva

de Diámetro hidráulico equivalente (m)

F Constante de Faraday

K Fuerza viscosa por unidad de área

km Constante de transporte de materia

m Viscosidad (Pa·s)

nr Vector normal a la superficie

Q Caudal volumétrico (m3·s-1)

Re Número de Reynolds

S Espesor del canal de paso (m)

V Vector velocidad

ux Componente de la velocidad en el eje x

vy Componente de la velocidad en el eje y

m·s-1 m·s-1




329

wz Componente de la velocidad en el eje z

Letras Griegas

ρ Densidad (kg·m-3)

Φβ Relación (volumen activo / volumen total) del reactor

calculada a través de estudios de RTD

4.3.8.- REFERENCIAS

[1] Prokopius, P.R., NASA TM X-3359, 1976

[2] Kaminski. E.A. and Savinell, R.F., J. Electrochem. Soc., 130 (1983), 1103

[3] Grimes, P.G., Bellows, R.J. and Zahn, M., Electrochemical cell design, R.E. White

(Ed.), p. 259, Plenum Publishing Co., 1984

[4] Grimes, P.G., Bellows, R.J. and Zahn, M., Electrochemical cell design, R.E. White

(Ed.), p. 277, Plenum Publishing Co., 1984

[5] Holmes, J.W., White, R.E., Electrochemical cell design, R.E. White (Ed.), p. 259,

Plenum Publishing Co., 1984

[6] White, R.E., Walton, C.W., Burney, H.S., Beaver, R.W., J. Electrochem. Soc., 133

(1986), 485

[7] Szpak, S., Gabriel, C.J., Driscoll, J.R., J. Electrochem. Soc., 131 (1984), 1996




330

[8] Katz, J. Electrochem. Soc., 125 (1978), 515

[9] Huhn, A.F., Booth, J.S., J. Appl. Electrochem., 10 (1980), 233

[10] Burney, H.S., White, R.E., J. Electrochem. Soc, 135 (1988), 1609

[11] Szpak, S., Gabriel, C.J., Smith, J.J., Driscoll, J.R., J. Electrochem. Soc., 137

(1990), 849

[12] Codina, G. Aldaz, A., Scale-up studies of an Fe/Cr redox flow battery based on

shunt current análisis, J. Appl. Electrochem., 22 (1992), 668-674

[13] Codina, G., Perez, J.R., Lopez-Atalaya, M., Vazquez, J.L., Aldaz, A., Development

of a 0.1 kW power accumulation pilot plant based on a Fe/Cr redox flow battery. Part 1:

Considerations on flow design., Journal Power Sources, 48 (1994), 293-302

[14] Codina, G., Lopez-Atalaya, M., Perez, J.R., Vazquez, J.L., Aldaz, A., Nuevos

avances en el desarrollo de un acumulador redox, Energia, Marzo-Abril 1990

[15] Hoberecht, M.A., DOE/NASA/12726-7, NASA TM-82598, 1981

[16] Kanari, K., Nozaki, K., Ozawa, T., AIChE Symp. Series, Electrochemical

Applications, R.E. White, R.F. Savinell & A. Schneider, Vol. 83, 1987, p. 104

[17] George, P.L., Automatic mesh generation – Application to finite element methods,

Wiley, 1991

[18] Bank, R.E., PLTMG: A software package for solving elliptic partial differential

equations, User’s guide 6.0, Society for Industrial and Applied Mathematics,

Philadelphia, PA, 1990



Capítulo 5: Conclusiones

333

5.- CONCLUSIONES

Como finalización de la presente memoria conviene remarcar las conclusiones

finales obtenidas.

- Con el fin de estudiar uno de los parámetros más importantes a la hora de

plantearse posibles opciones de escalado de reactores electroquímicos filtro prensa, el

efecto entrada/salida, se ha realizado un estudio preliminar de la hidrodinámica de diversos

reactores a escala laboratorio. A raíz de dicho estudio se concluye que no todas las células a

escala laboratorio pueden ser fácilmente escalables, es decir, no se puede pasar de manera

sencilla de una célula de tamaño x a otra de tamaño 2x, tan sólo escalando sus dimensiones

y manteniendo su geometría, ya que existen otros factores implicados en la hidrodinámica

que deben ser tenidos en cuenta. Por tanto, una de las características más atractivas de los

reactores filtro prensa para el mundo industrial, como es su relativamente sencillo escalado,

se pierde para células de pequeño tamaño. Es por ese motivo que muchos proyectos

electroquímicos pueden llegar a fracasar en la etapa de paso de la experimentación desde

escala laboratorio a planta piloto.

- En vista de los problemas de falta de escalabilidad en células pequeñas, se

procedió a realizar un estudio sistemático de diversas células filtro prensa de distintos

tamaños, a fin de poder comprender cual es el comportamiento hidrodinámico

predominante en esta clase de reactores. Para ello se ha estudiado su hidrodinámica por

métodos clásicos, como son el estudio del transporte de materia hacia los electrodos de

trabajo, el estudio de las curvas de Distribución de Tiempos de Residencia (RTD en inglés)

así como estudios de visualización directa de la dispersión de un trazador de color en el

interior de los compartimentos. Dicho trabajo se realizó en las tres etapas fundamentales del

proceso de escalado de reactores, es decir, la escala laboratorio (con un reactor de área




334

electródica de 63 cm2), un reactor de escala planta piloto (área electródica de 200 cm2) y un

reactor de escala industrial (3250 cm2 de área electródica). Para todos ellos los estudios

mostraron un comportamiento hidrodinámico más o menos similar basado siempre en la

existencia de un camino principal para el paso de fluido por su interior con la existencia de

zonas muertas. Estas zonas muertas mantendrían un intercambio de materia con las zonas

dinámicas. Sólo en el caso del reactor industrial se encontró también la existencia de un

canal bypass cambiando ligeramente el modelo hidrodinámico propuesto.

- A la vista de los resultados obtenidos, se planteó la posibilidad de mejorar los

diseños existentes de reactores electroquímicos filtro prensa a través de nuevas técnicas.

Los métodos clásicos implicaban tener que realizar necesariamente la construcción de un

prototipo de reactor para poder realizar la experimentación con él y comprobar si la mejora

del sistema se había alcanzado o no. Esto implicaba un coste y un derroche de materiales

excesivos, ya fuera a nivel laboratorio, planta piloto o industrial. Por tanto se procedió a

realizar la optimización del sistema a través de nuevas técnicas de cálculo englobadas

generalmente bajo el epígrafe de CFD (Computational Fluid Dinamics). A través de dichas

técnicas se estudió nuevamente el reactor que iba a ser objeto de optimización (el reactor a

escala laboratorio UA63.03) y se desarrollaron una serie de métodos de validación de las

simulaciones obtenidas a fin de comprobar su validez.

- Una vez que los métodos de validación fueron puestos a punto, se procedió al

diseño de un reactor mejorado de la misma área activa que el reactor UA63.03. Para ello se

probaron, a través de simulaciones por ordenador, diversas geometrías y diseños. Las

mejoras a conseguir eran:

1.- Minimización de posibles corrientes shunt o de fuga a través de un diseño

mejorado de los distribuidores de líquido.

2.- Mejor distribución hidrodinámica en el interior del compartimento de reacción




335

3.- Mejor distribución de los perfiles de km en el interior del compartimiento, lo que

impediría en gran medida la existencia de reacciones secundarias provocadas por la

existencia en el interior del reactor de zonas muertas en las que se llegue a agotar el

material electroactivo

4.- Posibilidad de trabajar en stack de células (el anterior diseño de célula UA63.03

no permitía esta configuración de trabajo).

Para conseguir la mejora en el primer punto se modificaron los distribuidores de

entrada y salida del nuevo compartimento a fin de aumentar su resistencia eléctrica. Para

ello se hacia necesario un aumento de la longitud de los distribuidores de entrada así como

una disminución de la sección de paso. Dichos cambios implican una mayor caída de

presión en los distribuidores como se puede apreciar de la comparación de las figuras

4.2.11b, 4.2.11d, 4.2.11f, 4.2.11h y las figuras 4.3.14b, 4.3.14d, 4.3.14f, 4.3.14h.

El punto 2 de mejora quedaba íntimamente ligado al punto uno, ya que se debía

realizar una mejora sustancial de la hidrodinámica interna del sistema pero teniendo en

cuenta la modificación del distribuidor de entrada para aumentar su resistencia eléctrica y

disminuir posibles corrientes shunt.

Se consiguió una mejora hidrodinámica, como se puede apreciar de la comparación

de las figuras 4.2.7a, 4.2.8a, 4.2.9a, 4.2.10a y las figuras 4.3.10a, 4.3.11a, 4.3.12a, 4.3.13a.

Por otra parte, también se obtuvieron mejoras en cuanto a las zonas activas en el interior del

reactor, como se puede comprobar de la comparación de las figuras 4.2.14.a-d y las figuras

4.3.15.a-d.

Por otra parte, el punto de mejora referente a una distribución más uniforme del

coeficiente de transporte de materia en el interior del compartimento también se alcanzó




336

con éxito, como se puede apreciar a partir de las figuras 4.3.31a y 4.3.31b así como de

4.3.32a y 4.3.32b. En ellas se muestra de forma clara que se ha conseguido con el nuevo

diseño una distribución mucho más uniforme y, por tanto, mejor que en el caso del reactor

UA63.03.

Por último, y aún siendo una mejora secundaria, el nuevo diseño de reactor permitió

la posibilidad de trabajar en stacks. Ello se consiguió a través del propio diseño del

compartimiento que ahora ya permite esta configuración.

Por tanto, y como conclusión de la presente memoria, se ha conseguido tener un

mayor conocimiento del comportamiento físico de los reactores filtro prensa así como de su

funcionamiento electroquímico. Dichos conocimientos se han combinado con nuevas y

potentes técnicas de computación a fin de poder predecir y optimizar el comportamiento de

una nueva célula a escala laboratorio más eficiente que la existente hasta la fecha .



Apéndice AP-1: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 1 Camino con Volúmenes Muertos

339

AP-1.- PROGRAMA DE AJUSTE DE CURVAS RTD. MODELO DE 1 CAMINO CON VOLÚMENES MUERTOS

AP-1.1. INTRODUCCIÓN

Los siguientes códigos de matlab permiten la simulación y ajuste de las gráficas de

RTD (Residence Time Distribution) obtenidas experimentalmente.

Para ello el programa se basa en el modelo propuesto consistente en un camino

principal dinámico en el que existe una cierta dispersión axial y una serie de volúmenes

muertos o estáticos. Entre la zona dinámica y los volúmenes muertos existiría un

intercambio de materia.

Figura AP-1.1: Esquema del modelo matemático propuesto para explicar las curves RTD teniendo en cuenta

un posible intercambio de material entre las zonas muertas y las dinámica

Vdinámico

Vmuerto




340

Figura AP-1.2: Diagrama de flujo de cálculo del programa

Lectura de los datos experimentales

Valores iniciales de los parámetros

Lectura de los parámetros experimentales de montaje

Cálculo del tiempo de residencia medio con los datos leidos, así como de otros parámetros necesarios para el

modelo

Resolución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales

Cálculo de la curva E

Cálculo de la función objetivo (F.O.)

F.O. < 10-4 Fin

Estimación de nuevos valores para los parámetros a optimizar

NO

SI




341

AP-1.2. CODIGO MATLAB

AP-1.2.1.- Programa principal (TAILB.M) % VALORES DE PRUEBA: TAU1, TETA-BETA, PE1, NALFA, Q global fichero load 'datos.txt'; %******* HAY QUE PONER EL NOMBRE DEL FICHERO % LA PRIMERA COLUMNA ES EL TIEMPO, LA SEGUNDA COLUMNA ES RTD experimental fichero=datos; %******* HAY QUE PONER EL NOMBRE DEL FICHERO global funcionobjetivo global tiempoacomparar global eexp global ecal global contador %un=1; %contador para grabaciones periodicas un=0; %contador para grabaciones periodicas angel=100; Inicial=[2.5e+001 5.0e-001 2.9864964e+001 1e+000 1.7e+001] global fichero contador=0; %Contador de iteraciones while ang>1e-4 | contador<500; %Bucle de calculo ang es el error y contador las iteraciones opciones(1)=1; opciones(2)=1e-6; opciones(3)=1e-6; opciones(14)=75; minimiza=fmins('objetivo',Inicial, opciones) if contador==un; %Grabaciones periodicas joe(:,1)=tiempoacomparar(:,1); joe(:,2)=eexp(:,1); joe(:,3)=ecal(:,1);




342

save general.txt joe -ascii save optimos.txt minimiza -ascii; save error.txt ang -ascii; save itera.txt contador -ascii; un=un+1; end ang = funcionobjetivo; Inicial=minimiza; contador=contador+1 funcionobjetivo end % Final del programa joe(:,1)=tiempoacomparar(:,1); joe(:,2)=eexp(:,1); joe(:,3)=ecal(:,1); save general.txt joe -ascii %Graba tiempo experimental calculado save optimos.txt minimiza -ascii; save error.txt ang -ascii; disp('*******************************************************************') disp('SE ACABO') disp('*******************************************************************') funcionobjetivo contador pause

AP-1.2.2.- Programa de calculo (OBJETIVO.M) function funcionobjetivo=objetivo(X) global fichero global funcionobjetivo global tiempoacomparar global contador global eexp global ecal caudal=(X(5)/1000)*(1/3600); % Dimensiones de la celula ancho=7.11/100; %ancho alto=10.44/100; %largo largo=0.3/100; %espesor




343

volumen=((ancho*alto*largo))*1+61.09e-6; %volumen libre en metros cubicos tresid=volumen/caudal; % Tiempo de residencia experimental (s) final=length(fichero); %numero de intervalos de tiempo % A LOS VALORES LEIDOS LE RESTAMOS EL PRIMERO fichero(:,2)=fichero(:,2)-fichero(1,2); fichero(1,2)=0; % NORMALIZACION DE LOS VALORES LEIDOS integral=trapz(fichero(:,1),fichero(:,2)); %Hace la integral por trapecios fichero(:,2)=fichero(:,2)/integral; % Curva “E” experimental normalizada finalt=fichero(length(fichero),1); % Tiempo final del fichero % CALCULO TIEMPO RESIDENCIA SEGUN LOS VALORES LEIDOS Ct=fichero(:,2).*fichero(:,1); integraCdt=trapz(fichero(:,1),Ct); tresidcurva=integraCdt; % Tener en cuenta que ya están normalizados los datos fichero(:,2) VaLoReS=[X(1) X(2) X(3) X(4)]; % VALORES DE PRUEBA: TAU1, TETA-BETA, PE1, NALFA, TAU2, PE2 Tau1=X(1); TB=X(2); if TB>1; TB=0.99; elseif TB <0; TB=0.01;end Pe1=X(3); Nalfa=X(4); if Nalfa < 0, Nalfa=0.01; end contador Btot=Tau1*caudal/volumen; Bdyn=Btot*TB; Veloc1=caudal/(largo*ancho*Bdyn); Caudal1=caudal; Volumen1=volumen; Alfa=Nalfa*TB*Veloc1/alto; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PROGRAMA DE CALCULO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales % curva F. Pe=Pe1; %Valor del peclet tb=TB; % Na=Nalfa; % tf=finalt/Tau1; %tiempo final adimensional %N=max([round(1.5*Pe),20]); % Número de incrementos de posición para cada tiempo N=max([round(1.8*Pe),20]); % Número de incrementos de posición para cada tiempo incx=1/N; inctiA=tb*incx/(2/(Pe*incx) - 1 + Na*incx); % Incremento de tiempo según un criterio de estabilidad, el de la primera ec. inctiB=(1-tb)/Na;%Incremento de tiempo según el otro criterio de estabilidad incti=min([inctiA, inctiB]); %Elección del mínimo de los dos inct % Valores iniciales




344

Cd(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase dinámica a un tiempo dado Cda(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase dinámica a un tiempo anterior Cs(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase estática a un tiempo dado Csa(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); %Concentración en la fase estática a un tiempo anterior Cdo=1; %Valor inicial de la concentración en fase dinámica Cs(1)=0; %Valor inicial de la concentración en fase estática Cd(1)= (Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); %Aplicación de las condiciones de contorno de Danckwerts % Bucle de calculo fCd=[]; fCs=[]; t=[]; ecal1=[]; ecal2=[]; ecal=[]; tiempo = 0; while tiempo < tf tiempo = tiempo + incti; i=2; while i < N+1 A=incti/(Pe*tb*incx^2) - incti/(tb*incx); B=-2*incti/(Pe*tb*incx^2) + incti/(tb*incx) - Na*incti/tb + 1; C=incti/(Pe*tb*incx^2); Cda(i)= A*Cd(i+1) + B*Cd(i) + C*Cd(i-1) + Na*incti/tb*Cs(i); % Csa(i)= (1-Na*incti/(1-tb))*Cs(i) + Na*incti/(1-tb)*Cd(i); % EULER k1=-Na/(1-tb)*(Cs(i)-Cda(i))*incti; % Constantes del Runge-Kutta k2=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k1/2 -Cda(i))*incti;% Constantes del Runge-Kutta k3=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k2/2 -Cda(i))*incti;% Constantes del Runge-Kutta k4=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k3 -Cda(i))*incti;% Constantes del Runge-Kutta Csa(i)=Cs(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);% Incremento de Runge-Kutta i=i+1; end Cd=Cda; Cs=Csa; fCd=[fCd,Cd(N)]; % En el vector fCd almacena los valores de la concentración en fase dinámica a la salida del reactor fCs=[fCs,Cs(N)];% En el vector fCs almacena los valores de la concentración en fase estática a la salida del reactor t=[t,tiempo]; Cd(1)=(Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); Cs(1)=0; Cd(N+1)=Cd(N); Cs(N+1)=Cs(N);




345

end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIN PROGRAMA CALCULO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ecal1=diff(fCd)./diff(t);% Realmente la RTD es dependiente de Cdinámica, no de Cs ecal1=[ecal1 0]; % Ultimo punto que no calcula % Normalización de las Ecalculadas: integral1=trapz(t,ecal1); ecal1=ecal1/integral1; %Suma de las dos contribuciones ecal=(ecal1'); % Esta ecal está calculada a tiempos que no coinciden con los experimentales, hay que buscar % los valores de ecal a los tiempos experimentales para comparar. tyty=t*Tau1; ecallista=interp1(tyty,ecal,fichero(:,1)'); [fila,columna]=find(isnan(ecallista)==1); if ~isempty(fila) & ~isempty(columna); ecallista(fila,columna)=0; end eexp=fichero(2:final,2); ecal=ecallista(2:final)'; tiempoacomparar=fichero(2:final,1); kk=trapz(tiempoacomparar,ecal); ecal=ecal./kk; %contador=contador+1; %disp('Iteraciones') %contador otrav=abs(eexp-ecal);% variable complementaria %otrav=((eexp-ecal).^2)./((eexp+ecal)+eps);% variable complementaria if Caudal1<0 funcionobjetivo=1000*abs(sum(otrav)); else funcionobjetivo=(sum(otrav)) end % ************************ DIBUJO DE LA FUNCIÓN ***************************** figure(1) plot(tiempoacomparar,eexp,'--',tiempoacomparar,ecal); % *************************************************************************** drawnow




346



Apéndice AP-2: Programa de ajuste de curvas RTD. Modelo de 2 Caminos con Volúmenes Muertos

347

AP-2.- PROGRAMA DE AJUSTE DE CURVAS RTD. MODELO DE 2 CAMINOS CON VOLÚMENES MUERTOS


Los siguientes códigos de matlab permiten la simulación y ajuste de las gráficas de

RTD (Residence Time Distribution o Distribuciones de Tiempos de Residencia) obtenidas

experimentalmente. Para ello los programas se basan en el modelo propuesto consistente la

existencia de dos caminos dinámicos para el paso del fluido. Por otra parte, también postula

la existencia de una serie de zonas muertas o estáticas con las que existe un cierto

intercambio de materia con el camino dinámico.

Figura AP-2.1: Esquema del modelo físico de comportamiento propuesto.

D p

Zona Dinámica Zona Muerta

β din S βestat S

Q

Q1 Q 2

Flujo piston con

dispersión axial

Volumen=V2Volumen=V1

Intercambio de materia entre zonas. Constante de Velocidad αm (1/s)




348

Figura AP-2.2: Diagrama de flujo de cálculo del programa

Lectura de los datos experimentales

Valores iniciales de los parámetros

Lectura de los parámetros experimentales de montaje

Cálculo del tiempo de residencia medio con los datos leidos, así como de otros parámetros necesarios para el modelo

Resolución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales

Cálculo de la curva E

Cálculo de la función objetivo (F.O.)

F.O. < 10-4 Fin

Estimación de nuevos valores para los parámetros a optimizar NO

SI

Cálculo del segundo camino y normalización




349

Para una visión más detallada del modelo referirse al capitulo 2.4 del presente

trabajo.

AP-2.2. CÓDIGO MATLAB

AP-2.2.1.- Programa principal (OPTIMISE.M) %PARAMETROS: TAU1, ThETA-B, PEd, NA, TAU2, PE2 global fichero % Definocion de las variables globales load('c:\datos.txt'); % Lectura de los datos experimentales % datos(:,1) == tiempo % datos(:,2) == RTD experimental fichero=datos; % Cambio de nombre de las variables que contienen los datos global fichero objectivefunction commontime eexp ecal % Definicion de variables globales % variables Contador=0 % Contador del numero de iteraciones Yousave=0 % Indica si el programa tiene que grabar los resultados Initial=[40 8.7756e-001 1.1240e+001 1.0023e+000 15 3.7533e+001] %Valores iniciales de los parametros mostrados en la primera linea while funcionobjetivo>1e-4 | contador<500; %Comienzo del bucle de calculo

opciones(1)=1; % Opciones de la funcion de Matlab FMINS. Option(1)=1 % Muestra los calculos intermedios

opciones(2)=1e-6; % == Tolerancia de terminacion para el vector de entrada opciones(3)=1e-6; % == Tolerancia de terminacion de la funcion opciones(14)=75; % == Maximo numero de iteraciones antes de grabar

minimise=fmins('objetivo',Inicial, opciones) %Minimizacion de la % funcion. El resultado final sera almacenado en una variable llamada % 'minimise'

if contador==Yousave; %Grabacion periodica de resultados

filetosave=[commontime(:,1) eexp(:,1) ecal(:,1)] save general.txt filetosave -ascii save optima.txt minimise -ascii; % El fichero 'general.txt' contendrá el tiempo asi como los datos

%experimentales y calculados de las RTDs %El fichero 'optima.txt' contendra la optimizacion de los parametros

Yousave= Yousave +1; end Inicial=minimise; contador=contador+1; end




350

% Final del programa save general.txt filetosave -ascii save optima.txt minimise -ascii; pause

AP-2.2.2.- Programa de cálculo (OBJETIVE.M)

function objectivefunction=objective(X) %Definicion de la funcion global fichero objectivefunction commontime eexp ecal % Definicion de las % variables globales % EXPERIMENTAL SETUP: flowrate=(583/1000)*(1/3600); % Valor experimental del caudal (m3/s) ancho=18/100; % Dimensines del reactor (m) alto=12/100; % Dimensines del reactor (m) largo=0.8/100; % Dimensines del reactor (m) volume=ancho*alto*largo; % Volumen en m3 tresid=volume/flowrate; % Tiempo de residencia experimental (s) final=length(fichero); % Numero de intervalos % Normalizacion de los datos: integral=trapz(fichero(:,1),fichero(:,2)); % Integracion por metodo trapecios fichero(:,2)=fichero(:,2)/integral; % Curva E experimental normalizada finalt=fichero(length(fichero),1); % Tiempo final en 'fichero' % Calculo del tiempo medio de residencia: Ct=fichero(:,2).*fichero(:,1); integraCdt=trapz(fichero(:,1),Ct); tresidcurva=integraCdt; % Valores de los parámetros: % X = vector de valores de los parametros que son usados en cada iteracion Tau1=X(1), % Resto de variables TB=X(2), if TB>1; TB=0.999; elseif TB <0; TB=0.01;end % No tiene significado % fisico valores de theta-b mayores que 1 Ped=X(3), % Resto de variables. Numero de Peclet de la zona dinamica Nalfa=X(4), if Na < 0, Nalfa=0.01; end % No tiene significado fisico valores % de Na menores que 0 Tau2=X(5), % Resto de variables. Tiempo de residencia medio para el camino 2 Pe2=X(6), % Resto de variables. Numero de Peclet camino 2 % Calculo de varios parametros necesarios para el modelo Btot=Tau1*flowrate/volume; Bdyn=Btot*TB; Velocd=caudal/(largo*ancho*Bdyn); % Velocidad lineal en la fase dinamica Flow1=(volume-Tau2*flowrate)/(Tau1-Tau2); % Caudal a traves del camino 1 Flow2=flowrate-Flow1; % caudal a través del camino 2 Volume1=Tau1*Flow1; % Volumen del camino 1 Volume2=Tau2*Flow2; % Volumen del camino 2




351

Alpha=Na*TB*Velocd/alto; % Resolucion del sistema de ecuaciones diferenciales parciales: % Curva 'F'. Camino 1 tf=finalt/Tau1; % Tiempo final adimensional N=max([round(1.5*Ped),20]); % Numero de incrementos de posicion para cada % calculo de tiempo. Se selecciona el maximo entre 1.5 veces el numero de Peclet % y 20 veces. Este valor se debe parcialmente a la Condicion 1 % (Ver capitulo de la tesis referido al reactor REIM3300) incx=1/N; % Incremento de posicion, valor dado por la Condicion 1 inctiA=tb*incx/(2/(Ped*incx) - 1 + Na*incx); %Incremento de tiempo % calculado siguiendo la Condicion 2 (estabilidad de la primera ecuacion) inctiB=(1-tb)/Na; % Incremento de tiempo calculado segun Condicion 3 incti=min([inctiA, inctiB]); % Seleccion del minimo %Valores iniciales de la concentracion en las zonas dinamicas y estaticas: Cd(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); % Conc. En la zona dinamica en un tiempo t Cda(1:N+1)=zeros(size(1:N+1));% Conc. En la zona dinamica en un tiempo (t-1) Cs(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); % Conc. En la fase estatica en un tiempo t Csa(1:N+1)=zeros(size(1:N+1)); % Conc. En la fase estatica en un tiempo (t-1) Cdo=1; %Valore inicial de la concentracion en la fase dinamica a t=0 % y a la entrada del reactor Cs(1)=0; % Valor inicial de la concentracion en la fase estatica Cd(1)= (Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); % El valor inicial esta afectado por el % flujo. Applicacion de las condiciones de contorno de Danckwerts % CALCULO- Metodo Elementos Finitos fCd=[]; fCs=[]; t=[]; ecal1=[]; ecal2=[]; ecal=[]; time = 0; while time < tf time = time + incti; i=2; while i < N+1 A=incti/(Pe*tb*incx^2) - incti/(tb*incx); B=-2*incti/(Pe*tb*incx^2) + incti/(tb*incx) - Na*incti/tb + 1; D=incti/(Pe*tb*incx^2); Cda(i)= A*Cd(i+1) + B*Cd(i) + D*Cd(i-1) + Na*incti/tb*Cs(i);

k1=-Na/(1-tb)*(Cs(i)-Cda(i))*incti; % Primera constante Runge-Kutta k2=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k1/2 -Cda(i))*incti; % Runge-Kutta

k3=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k2/2 -Cda(i))*incti; % Runge-Kutta k4=-Na/(1-tb)*(Cs(i)+k3 -Cda(i))*incti; % Runge-Kutta

Csa(i)=Cs(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); % Incremento Conc. i=i+1; end Cd=Cda;




352

Cs=Csa; fCd=[fCd,Cd(N)]; % fCd vector = Guarda los valores de la concentracion % en la fase dinamica a la salida del reactor fCs=[fCs,Cs(N)]; % fCs vector = guarda los valores de la concentracion % en la fase estatica a la salida del reactor reactor t=[t,time]; Cd(1)=(Cdo*Pe*incx+Cd(2))/(Pe*incx+1); Cs(1)=0; Cd(N+1)=Cd(N); Cs(N+1)=Cs(N); end % Calculo de la curva 'E' a partir de la curva 'F': ecal1=diff(fCd)./diff(t); % Diferenciacion numerica ecal1=[ecal1 0]; % El ultimo punto no se calcula % Calculo del segundo camino % Curva 'E'. Camino 2 time=0; i=1; while time < tf time = time + incti; time2=time*Tau1/Tau2; % Tiempo adimensional para el camino 2. El numero de intervalos ha de ser el mismo que para el camino 1. ecal2(i)=1/(2*(3.1416*time2/Pe2)^0.5)*exp(-(1-time2)^2/(4*time2/Pe2)); % Ecuacion que define la RTD i=i+1; end % Normalizacion de las curvas calculadas: integral1=trapz(t,ecal1); integral2=trapz(t,ecal2); ecal1=ecal1/integral1; ecal2=ecal2/integral2; % Suma de las contribuciones de cada camino: ecal=(ecal1'.*Flow1+ecal2'.*Flow2)./flowrate; % Esta 'ecal' esta calculada a unos tiempos que no coinciden con los % experimentales, por tanto se recalcula 'ecal' a esos tiempos % a fin de poder comparar. commontime=t*Tau1; ecalready=interp1(commontime,ecal,fichero(:,1)'); % Interpola los % vectores 'ecal' y 'fichero(:,1)' a los tiempos dados por 'commontime' eexp=fichero(2:final,2); ecal=ecalready(2:final)'; otrav=abs(eexp-ecal); % Diferencias entre valores experimentales y calculados objectivefunction=sum(otrav) % Funcion objetivo % Representacion de resultados figure(1) plot(commontime,eexp,'--',commontime,ecal); drawnow



Apéndice AP-3: Programa para el cálculo de áreas activas a través de resultados de CFD

353

AP-3.- PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS ACTIVAS A TRAVÉS DE LOS RESULTADOS DE CFD


Los siguientes códigos de matlab permiten trabajar con los datos obtenidos con el

paquete informático FEMLAB 2.3.

El primer código permite realizar un nuevo mallado del compartimiento en 3D

estudiado con FEMLAB. El nuevo mallado será rectangular uniforme y se usará para

realizar una interpolación de los resultados obtenidos a partir del mallado empleado en el

cálculo por elementos finitos, formado por tetraedros. Una vez realizada la interpolación

suministra los valores interpolados para una lámina a la altura fijada de estudio.

El Segundo código tiene por finalidad la determinación del área activa del

compartimiento basándose en la teoría de que todo aquel punto del compartimiento que se

encuentre operando por debajo de un determinado valor límite de velocidad puede ser

considerado como un volumen muerto o zona estática. Para este código se utiliza el fichero

generado previamente con el programa de interpolación 3D, “vtot.txt” y se usará el mismo

mallado rectangular uniforme que en el programa anterior.




354


AP-3.2.1.- Programa de Interpolación 3D

% Programa para representar las velocidades dentro del compartimento % Primero se ha de exportar al Workspace desde el Femlab la estructura de la % solucion con el nombre fem % Se introducen las coordenadas de un rectangulo "perfecto" en el que quede % enmarcado nuestro compartimento % Las celdas que no sean del compartimento quedaran marcadas como NaN % % ----------------------X % | | % | | % | | % | | Hay que introducir los valores de las X % | | % | | % | | % X---------------------- clc; disp('Introduccion de los limites del compartimento a estudiar'); disp(' '); disp(' '); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); zh=input('Altura a la que se ha de evaluar el rectangulo fijado :'); disp(' '); ntot=input('Introduce el numero de particiones de la matriz nxn que quieres :'); yy=linspace(yinf,ysup,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje y xx=linspace(xizq,xder,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje x % ************************************************************* % ** Generación de las matrices de datos ** % ************************************************************* vtot=ones(ntot);




355

vtotb=ones(ntot); ux=ones(ntot); uxb=ones(ntot); vy=ones(ntot); vyb=ones(ntot); wz=ones(ntot); wzb=ones(ntot); p=ones(ntot); pb=ones(ntot); n=1; nv=ntot+1; % ************************************************************ % ** Comienzo del calculo ** % ************************************************************ while n<=ntot % Interpolación % Para una determinada altura de y interpolaremos todos los valores del vector x % generado % Posteriormente pasaremos a la siguiente altura de y % Todas las x para un mismo valor de y j=yy(1,n).*ones(1,ntot); zh=zh.*ones(1,ntot); vector=[xx;j;zh]; vtot((nv-1),:)=postinterp(fem,'sqrt(u^2+v^2+w^2)',vector); %debido a la numeracion se empieza el calculo por abajo vtotb(n,:)=vtot((nv-1),:); %Sirve para invertir los resultados y que luego tengan sentido al compararlos con los vectores xx e yy ux((nv-1),:)=postinterp(fem,'u',vector); uxb(n,:)=ux((nv-1),:); vy((nv-1),:)=postinterp(fem,'v',vector); vyb(n,:)=vy((nv-1),:); wz((nv-1),:)=postinterp(fem,'w',vector); wzb(n,:)=wz((nv-1),:); p((nv-1),:)=postinterp(fem,'p',vector); pb(n,:)=p((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1 end ycoord=linspace(ysup,yinf,ntot); ycoord=ycoord';




356

% ******************************************************************* % ** Grabación de resultados ** % ******************************************************************* save xcoord.txt xx -ascii save ycoord.txt ycoord -ascii save vtot.txt vtot -ascii save ux.txt ux -ascii save vy.txt vy -ascii save wz.txt wz -ascii save hz.txt zh -ascii save p.txt pb -ascii % ******************************************************************* % ** Representación de resultados ** % ******************************************************************* figure(1); surf(xx,yy,vtotb); view(2); shading interp;

title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(2); subplot(2,2,1) surf(xx,yy,uxb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades ux (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad ux m/s'); subplot(2,2,2) surf(xx,yy,vyb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades vy (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad vy m/s'); subplot(2,2,3) surf(xx,yy,wzb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades wz (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad wz m/s'); subplot(2,2,4) surf(xx,yy,pb);




357

view(2); shading interp; title('Distribucion de Presiones (Pa)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Presion p (Pa)');

AP-3.2.2.- Programa para el cálculo de áreas activas

% Programa para el calculo de las areas que en el compartimento se encuentran % operando a una velocidad superior a la dada. % Previamente se necesita haber ejecutado el programa de interpolacion 3D que % habra generado un fichero vtot.txt. % Se introducen los valores solicitados (los mismos que en el programa de % interpolación 3D) % y este programa devuelve el area "activa" asi como el porcentaje referido al % area total del compartimento estudiado clear clc load ('vtot.txt'); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); disp(' '); ntot=input('Introduce el numero de particiones de la matriz nxn que quieres :'); disp(' '); disp(' '); areaa=input('Introduce la seccion del compartimento :'); vmin=input('Introduce la velocidad minima :'); areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); v=vtot; contador=0; long=length(v); mm=0;




358

% ******************************************************************* % ** Calculo extremo superior ** % ******************************************************************* n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if v(contador,n)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % ******************************************************************* % ** Calculo extremo inferior ** % ******************************************************************* n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if v(contador,n)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % ******************************************************************* % ** Calculo extremo izquierdo ** % ******************************************************************* n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if v(n,contador)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




359

% ******************************************************************* % ** Calculo extremo derecho ** % ******************************************************************* n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if v(n,contador)>=vmin mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % ******************************************************************* % ** Calculo zona central ** % ******************************************************************* n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if v(n,contador)>=vmin mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc disp('Area Activa :'); activa=areab.*mm disp(' '); disp('Porcentaje :'); Porcentaje=activa./areaa.*100




360



Apéndice AP-4: Programa para el cálculo de km a través de resultados de CFD

361

AP-4.- PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE km A TRAVÉS DE LOS RESULTADOS DE CFD


Los siguientes códigos de matlab permiten trabajar con los datos obtenidos con el

paquete informático FEMLAB 2.3.

El primer código permite realizar un nuevo mallado del compartimiento en 3D

estudiado con FEMLAB. El nuevo mallado será rectangular uniforme y se usará para

realizar una interpolación de los resultados obtenidos a partir del mallado empleado en el

calculo por elementos finitos, formado por tetraedros. Una vez realizada la interpolación

suministra los valores interpolados para una lamina a la altura fijada de estudio.

El Segundo código tiene por finalidad la determinación de un mapa de km

(coeficientes de transporte de materia). Para ello se parte de la suposición de que todas

aquellas zonas del reactor que se encuentren trabajando por debajo de una determinada

velocidad media, en concreto, por debajo de un 45% de la velocidad media correspondiente

al Reynolds de trabajo, son zonas estáticas o muertas, mientras que todas aquellas regiones

trabajando a una velocidad media superior a ese 45% son zonas activas o dinámicas. Para

este código se utiliza el fichero generado previamente con el programa de interpolación 3D,

“vtot.txt” para cada Re de trabajo y se usará el mismo mallado rectangular uniforme que en

el programa anterior. Se necesita todos los ficheros vtot.txt generados para todos los

Reynolds estudiados a fin de poder ajustar los parámetros “a” e “y” de la ecuación

yVa

∝δ




362

Una vez obtenido el espesor de la capa de difusión de Nernst el cálculo de km es

inmediato.


AP-4.2.1.- Programa de Interpolación 3D

% Programa para representar las velocidades dentro del compartimento % Primero se ha de exportar al Workspace desde el Femlab la estructura de la % solucion con el nombre fem % Se introducen las coordenadas de un rectangulo "perfecto" en el que quede % enmarcado nuestro compartimento % Las celdas que no sean del compartimento quedaran marcadas como NaN % % ----------------------X % | | % | | % | | % | | Hay que introducir los valores de las X % | | % | | % | | % X---------------------- clc; disp('Introduccion de los limites del compartimento a estudiar'); disp(' '); disp(' '); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); zh=input('Altura a la que se ha de evaluar el rectangulo fijado :'); disp(' ');




363

ntot=input('Introduce el numero de particiones de la matriz nxn que quieres :'); yy=linspace(yinf,ysup,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje y xx=linspace(xizq,xder,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje x % ******************************************************************* % ** Generación de las matrices de datos ** % ******************************************************************* vtot=ones(ntot); vtotb=ones(ntot); ux=ones(ntot); uxb=ones(ntot); vy=ones(ntot); vyb=ones(ntot); wz=ones(ntot); wzb=ones(ntot); p=ones(ntot); pb=ones(ntot); n=1; nv=ntot+1; % ******************************************************************* % ** Comienzo del calculo ** % ******************************************************************* while n<=ntot % Interpolación % Para una determinada altura de y interpolaremos todos los valores del vector x % generado. Posteriormente pasaremos a la siguiente altura de y % Todas las x para un mismo valor de y j=yy(1,n).*ones(1,ntot); zh=zh.*ones(1,ntot); vector=[xx;j;zh]; vtot((nv-1),:)=postinterp(fem,'sqrt(u^2+v^2+w^2)',vector); %debido a la numeracion se empieza el calculo por abajo vtotb(n,:)=vtot((nv-1),:); %Sirve para invertir los resultados y que luego tengan sentido al compararlos con los vectores xx e yy ux((nv-1),:)=postinterp(fem,'u',vector); uxb(n,:)=ux((nv-1),:); vy((nv-1),:)=postinterp(fem,'v',vector); vyb(n,:)=vy((nv-1),:); wz((nv-1),:)=postinterp(fem,'w',vector); wzb(n,:)=wz((nv-1),:);




364

p((nv-1),:)=postinterp(fem,'p',vector); pb(n,:)=p((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1 end ycoord=linspace(ysup,yinf,ntot); ycoord=ycoord'; % ******************************************************************* % ** Grabación de resultados ** % ******************************************************************* save xcoord.txt xx -ascii save ycoord.txt ycoord -ascii save vtot.txt vtot -ascii save ux.txt ux -ascii save vy.txt vy -ascii save wz.txt wz -ascii save hz.txt zh -ascii save p.txt pb -ascii % ******************************************************************* % ** Representación de resultados ** % ******************************************************************* figure(1); surf(xx,yy,vtotb); view(2); shading interp;

title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(2); subplot(2,2,1) surf(xx,yy,uxb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades ux (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad ux m/s'); subplot(2,2,2) surf(xx,yy,vyb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades vy (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m');




365

zlabel('Velocidad vy m/s'); subplot(2,2,3) surf(xx,yy,wzb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades wz (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad wz m/s'); subplot(2,2,4) surf(xx,yy,pb); view(2); shading interp; title('Distribucion de Presiones (Pa)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Presion p (Pa)');

AP-4.2.2.- Programa principal (OPTIM.M)

% Programa para ajuste de una ecuacion que permita el calculo de la km en un % compartimento a traves de sus perfiles de velocidad. % Para ello antes se habra tenido que obtener el perfil de velocidad para los % diferentes Re que se quieren estudiar a una determinada altura % (convenientemente la mitad dekl compartimento) % a traves de alguno de los programas estilo "interpolacion3d.m" por ejemplo. % se ha de procurar que el mallado de todos los perfiles sea el mismo. % La ecuacion que se intentara ajustar sera del tipo "delta=a/(v^b)" donde delta % es el espesor de la capa de difusion y v las velocidades en cada uno de los % puntos. Los parametros a y b seran los parametros de ajuste global funcionobjetivo global vt1 global vt2 global vt3 global vt4 global difusion global kmexperimental1 global kmexperimental2 global kmexperimental3 global kmexperimental4 global xder global xizq global ysup global yinf global ntot global kmteorico1 global kmteorico2 global kmteorico3




366

global kmteorico4 global kmmedio1 global kmmedio2 global kmmedio3 global kmmedio4 global delta1 global delta2 global delta3 global delta4 global error1 global error2 global error3 global error4 clc; format long; disp('Introduccion de los limites del compartimento a estudiar'); disp(' '); disp(' '); xizq=input('Valor de la x para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); yinf=input('Valor de la y para la esquina inferior izquierda a estudiar (Coordenada) :'); xder=input('Valor de la x para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); ysup=input('Valor de la y para la esquina superior derecha a estudiar (Coordenada) :'); % ******************************************************************** % **** LECTURA DE DATOS **** % ******************************************************************** load 're129.txt'; %Nombre los ficheros que contienen el mapa de velocidades load 're200.txt'; load 're271.txt'; load 're414.txt'; vt1=re129; vt2=re200; vt3=re271; vt4=re414; ntot=length(vt1); clc disp(' '); anchura=input('Introduce el valor de la anchura del compartimento (m) :'); espesor=input('Introduce el valor del espesor del compartimento (m) :'); de=(anchura.*espesor)/(2.*(anchura+espesor)); densidad=input('Introduce el valor de la densidad (kg/m3) :'); viscosidad=input('Introduce el valor de la viscosidad (Pa·s) :');




367

difusion=input('Introduce el coeficiente de difusion (m2/s) :'); kmexperimental1=input('Introduce el valor de km experimental 1 (m/s) :'); kmexperimental2=input('Introduce el valor de km experimental 2 (m/s) :'); kmexperimental3=input('Introduce el valor de km experimental 3 (m/s) :'); kmexperimental4=input('Introduce el valor de km experimental 4 (m/s) :'); % ************************************************************************* % ** CALCULO DE LA CAPA DE DIFUSION "DELTA" Y EL VALOR DE KM LOCAL ** % ************************************************************************* % Los valores iniciales asignados a "iniciala" y "inicialb" se basan en la % clasica ecuación Sh=a * Re^b * Sc^c. % En donde los valores de las constantes para el compartimento estudiado son: aa=0.17; bb=0.82; % Cambiar por los adecuados cc=0.33; iniciala=(de.^(1-bb).*difusion.^cc)./(aa.*((viscosidad./densidad).^(cc-bb))); inicialb=bb; iniciala=iniciala/100; inicialb=inicialb/100; inicial=[iniciala inicialb]; opciones(1)=1; opciones(2)=1e-3; opciones(3)=1e-3; opciones(14)=5500; minimiza=fmins('objetivo',inicial,opciones) clc; disp('------------------------------'); disp('FINAL DEL BUCLE DE ITERACION 1'); disp('------------------------------'); disp(' '); disp(' '); disp('Valores aproximados para 1º bucle para la ecuacion delta=a/(V^b) :'); disp(' '); a1=minimiza(1) b1=minimiza(2) disp(' '); disp(' '); disp('Pulsa una tecla para entrar al 2º bucle de calculo '); pause; iniciala=minimiza(1); inicialb=minimiza(2); inicial=[iniciala inicialb];




368

iniciala=iniciala/100; inicialb=inicialb/100; opciones(1)=1; opciones(2)=1e-3; opciones(3)=1e-3; opciones(14)=5500; minimiza2=fmins('objetivo2',inicial,opciones) clc; disp('------------------------------'); disp('FINAL DEL BUCLE DE ITERACION 2'); disp('------------------------------'); disp(' '); disp('Valores aproximados para 1º bucle para la ecuacion delta=a/(V^b) :'); a1 b1 disp('Valores aproximados para 2º bucle para la ecuacion delta=a/(V^b) :'); a2=minimiza2(1) b2=minimiza2(2) % Los errores que se dan a continuacion indican el % de error entre el km +ç % obtenido experimentalmente y el que se obtendria a traves de la ecuacion % ajustada error1=(abs(sqrt(error1)))./kmexperimental1.*100 error2=(abs(sqrt(error2)))./kmexperimental2.*100 error3=(abs(sqrt(error3)))./kmexperimental3.*100 error4=(abs(sqrt(error4)))./kmexperimental4.*100 errores=zeros(4,1); errores(1,1)=error1; errores(2,1)=error2; errores(3,1)=error3; errores(4,1)=error4; % ------------------------------------------------------------------------- % Representaciones % ------------------------------------------------------------------------- yy=linspace(yinf,ysup,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje y xx=linspace(xizq,xder,ntot); %Vector fila con los valores de las divisiones en el eje x % Este bucle sirve solo a efectos de representacion en matlab ya que hay que % invertir los valores % para que la grafica salga bien. En la grabacion de los datos se graba de forma % adecuada




369

% ------------------ Primer Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb1(n,:)=kmteorico1((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt1b(n,:)=vt1((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(1); surf(xx,yy,vt1b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(2); surf(xx,yy,kmb1); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); % ------------------ Segundo Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb2(n,:)=kmteorico2((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end




370

n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt2b(n,:)=vt2((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(3); surf(xx,yy,vt2b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(4); surf(xx,yy,kmb2); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); % ------------------ Tercer Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb3(n,:)=kmteorico3((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt3b(n,:)=vt3((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(5);




371

surf(xx,yy,vt3b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(6); surf(xx,yy,kmb3); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); % ------------------ Cuarto Re ------------------------------- n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot kmb4(n,:)=kmteorico4((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end n=1; nv=ntot+1; while n<=ntot vt4b(n,:)=vt4((nv-1),:); n=n+1; nv=nv-1; end figure(7); surf(xx,yy,vt4b); view(2); shading interp; title('Distribucion de Velocidades Totales (m/s)'); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('Velocidad Total m/s'); figure(8);




372

surf(xx,yy,kmb4); view(2); shading interp; colorbar; title('Valores de km '); xlabel('Coordenada X / m'); ylabel('Coordenada Y / m'); zlabel('km'); save kmcalc1.txt kmteorico1 -ascii save kmcalc2.txt kmteorico2 -ascii save kmcalc3.txt kmteorico3 -ascii save kmcalc4.txt kmteorico4 -ascii save deltacalc1.txt delta1 -ascii save deltacalc2.txt delta2 -ascii save deltacalc3.txt delta3 -ascii save deltacalc4.txt delta4 -ascii save minimiza.txt minimiza2 -ascii %Primer valor "a", segundo valor "b" d la ecuacion delta=a/(v^b) save errores.txt errores -ascii %Errores de los ajustes para los distintos Re (errores relativo)

AP-4.2.3.- Primer bucle de cálculo (OBJETIVO.M)

function funcionobjetivo=objetivo(X) % En este primer bucle de calculo lo que vamos a intentar es un primer ajuste de % los parametros pero poniendo algunas limitaciones a los valores que presenten % singularidades como valores de la velocidad 0. % Vamos a intentar ajustar una ecuacion del estilo delta=a/vtot^b global funcionobjetivo global vt1 global vt2 global vt3 global vt4 global difusion global kmexperimental1 global kmexperimental2 global kmexperimental3 global kmexperimental4 global xder global xizq global ysup global yinf global ntot global kmteorico1 global kmteorico2 global kmteorico3




373

global kmteorico4 global kmmedio1 global kmmedio2 global kmmedio3 global kmmedio4 global delta1 global delta2 global delta3 global delta4 global error1 global error2 global error3 global error4 % ************************************************************************* % *** Primer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta1=zeros(longitud); kmteorico1=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt1(n,nv)==0 %Se intenta que la velocidad no valga 0 para que no haya una singularidad vt1(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta1=a./((abs(vt1)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta1(n,nv)<=1e-9 %Se impone un valor de delta minimo delta1(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end




374

n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta1(n,nv)>=1e-2 %Se impone un valor de delta maximo delta1(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico1=difusion./delta1; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- % Para el calculo de km global lo que se hara sera multiplicar cada km local % por el area a la cual asociamos esa km local, las sumaremos todas y las % dividiremos por el area total areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico1; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




375

% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0




376

kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio1=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Segundo Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta2=zeros(longitud); kmteorico2=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt2(n,nv)==0 vt2(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta2=a./((abs(vt2)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta2(n,nv)<=1e-9 delta2(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1; end




377

nv=1; n=n+1; end n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta2(n,nv)>=1e-2 delta2(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico2=difusion./delta2; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico2; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




378





379

kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio2=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Tercer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta3=zeros(longitud); kmteorico3=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt3(n,nv)==0 vt3(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta3=a./((abs(vt3)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta3(n,nv)<=1e-9 delta3(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1; end




380

nv=1; n=n+1; end n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta3(n,nv)>=1e-2 delta3(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico3=difusion./delta3; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico3; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




381





382

kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio3=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Cuarto Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta4=zeros(longitud); kmteorico4=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt4(n,nv)==0 vt4(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta4=a./((abs(vt4)).^b); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta4(n,nv)<=1e-9 delta4(n,nv)=1e-9; end nv=nv+1;




383

end nv=1; n=n+1; end n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if delta4(n,nv)>=1e-2 delta4(n,nv)=1e-2; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end kmteorico4=difusion./delta4; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico4; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




384

% Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1)




385

if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio4=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** FUNCION OBJETIVO *** % ************************************************************************* %comparar=(kmexperimental-kmmedio).^2; %compararb=sum(sum(comparar)); % La funcion objetivo elegida se basa en el error relativo de la medida de km % calculada y la km experimental error1=((abs(kmmedio1-kmexperimental1))./(kmexperimental1).*100); error2=((abs(kmmedio2-kmexperimental2))./(kmexperimental2).*100); error3=((abs(kmmedio3-kmexperimental3))./(kmexperimental3).*100); error4=((abs(kmmedio4-kmexperimental4))./(kmexperimental4).*100); %compararb=error1+error2+error3+error4 % Ponderamos cada uno de los errores segun veamos una mayor o menor disparidad % en los resultados compararb=(100.*error1)+(10.*error2)+(100.*error3)+(50.*error4) funcionobjetivo=compararb




386

AP-4.2.4.- Segundo bucle de cálculo (OBJETIVO2.M)

function funcionobjetivo=objetivo2(X) % En este segundo bucle de calculo lo que vamos a intentar es un segundo ajuste % de los parametros pero ahora sin poner limitaciones a los valires % Vamos a intentar ajustar una ecuacion del estilo delta=a/vtot^b global funcionobjetivo global vt1 global vt2 global vt3 global vt4 global difusion global kmexperimental1 global kmexperimental2 global kmexperimental3 global kmexperimental4 global xder global xizq global ysup global yinf global ntot global kmteorico1 global kmteorico2 global kmteorico3 global kmteorico4 global kmmedio1 global kmmedio2 global kmmedio3 global kmmedio4 global delta1 global delta2 global delta3 global delta4 global error1 global error2 global error3 global error4 % ************************************************************************* % *** Primer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta1=zeros(longitud); kmteorico1=zeros(longitud);




387

n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt1(n,nv)==0 vt1(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta1=a./((abs(vt1)).^b); kmteorico1=difusion./delta1; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico1; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




388





389

kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio1=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Segundo Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta2=zeros(longitud); kmteorico2=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt2(n,nv)==0 vt2(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta2=a./((abs(vt2)).^b); kmteorico2=difusion./delta2; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot;




390

mm=0; kmbis=0; km=kmteorico2; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end




391

% Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio2=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Tercer Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta3=zeros(longitud); kmteorico3=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot




392

if vt3(n,nv)==0 vt3(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta3=a./((abs(vt3)).^b); kmteorico3=difusion./delta3; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico3; % Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab);




393

mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc




394

activa=areab.*mm; kmmedio3=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** Cuarto Re *** % ************************************************************************* a=X(1); b=X(2); longitud=length(vt1); delta4=zeros(longitud); kmteorico4=zeros(longitud); n=1; nv=1; while n<=ntot while nv<=ntot if vt4(n,nv)==0 vt4(n,nv)=realmin; end nv=nv+1; end nv=1; n=n+1; end delta4=a./((abs(vt4)).^b); kmteorico4=difusion./delta4; % ------------------------------------------------------------------------- % Calculo de km global % ------------------------------------------------------------------------- areab=((xder-xizq).*(ysup-yinf))./(ntot.*ntot); contador=0; long=ntot; mm=0; kmbis=0; km=kmteorico4;




395

% Calculo extremo superior n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo inferior n=1; contador=long; while contador==long while n<=long if km(contador,n)>=0 kmbis=kmbis+(km(contador,n).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo izquierdo n=1; contador=1; while contador==1 while n<=long if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo extremo derecho n=1; contador=long; while contador==long while n<=long




396

if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*0.5.*areab); mm=mm+0.5; end n=n+1; end contador=contador+1; end % Calculo zona central n=2; contador=2; while contador<=(long-1) while n<=(long-1) if km(n,contador)>=0 kmbis=kmbis+(km(n,contador).*areab); mm=mm+1; end n=n+1; end contador=contador+1; n=2; end clc activa=areab.*mm; kmmedio4=kmbis./activa % ************************************************************************* % *** FUNCION OBJETIVO *** % ************************************************************************* %comparar=(kmexperimental-kmmedio).^2; %compararb=sum(sum(comparar)); %error1=((abs(kmmedio1-kmexperimental1))./(kmexperimental1).*100); %error2=((abs(kmmedio2-kmexperimental2))./(kmexperimental2).*100); %error3=((abs(kmmedio3-kmexperimental3))./(kmexperimental3).*100); %error4=((abs(kmmedio4-kmexperimental4))./(kmexperimental4).*100); % La funcion objetivo elegida se basa en el cuadrado de la diferencia existente % entre la km teorica y la km experimental error1=(kmmedio1-kmexperimental1)^2; error2=(kmmedio2-kmexperimental2)^2; error3=(kmmedio3-kmexperimental3)^2; error4=(kmmedio4-kmexperimental4)^2;




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% Ponderamos cada uno de los errores segun veamos una mayor o menor disparidad % en los resultados compararb=(100.*error1)+(10.*error2)+(100.*error3)+(50.*error4) funcionobjetivo=compararb




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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi...

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