Teoria Formal Fuzzy

7/29/2019 Teoria Formal Fuzzy

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U n i v e r s i t y o f O s t r a v a

I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h a n d A p p l i c a t i o n s o f F u z z y M o d e l i n g

F o r m a l T h e o r i e s i n F u z z y L o g i c

V i l m N o v k

R e s e a r c h r e p o r t N o . 1

J u l y 2 2 , 1 9 9 7

S u b m i t t e d / t o a p p e a r :

D . D u b o i s , E . P . K l e m e n t a n d H . P r a d e ( e d s . )

F u z z y S e t s , L o g i c s a n d A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e . K l u w e r 1 9 9 7

S u p p o r t e d b y :

G r a n t A 1 0 8 6 5 0 1 o f t h e G A A V R ; ( p a r t i a l l y ) g r a n t 2 0 1 / 9 6 / 0 9 8 5 o f t h e G A R


I n s t i t u t e f o r R e s e a r c h a n d A p p l i c a t i o n s o f F u z z y M o d e l i n g

B r f o v a 7 , 7 0 1 0 3 O s t r a v a 1 , C z e c h R e p u b l i c

t e l . : + 4 2 0 - 6 9 - 6 2 2 2 8 0 8 f a x : + 4 2 0 - 6 9 - 2 2 2 8 2 8

e - m a i l : n o v a k v @ o s u . c z



F o r m a l T h e o r i e s i n F u z z y L o g i c

y )

V i l m N o v k


I n s t . f o r R e s e a r c h & A p p l i c a t i o n s o f F u z z y M o d e l i n g

B r f o v a 7 , 7 0 1 0 3 O s t r a v a , C z e c h R e p u b l i c

a n d

I n s t i t u t e o f I n f o r m a t i o n a n d A u t o m a t i o n T h e o r y

A c a d e m y o f S c i e n c e s o f t h e C z e c h R e p u b l i c

P o d v o d r e n s k o u v 4 , 1 8 6 0 2 P r a h a 8 , C z e c h R e p u b l i c

1 I n t r o d u c t i o n

I n t h i s p a p e r w e d e a l w i t h s y n t a c t i c a s p e c t s o f t w o k i n d s o f f u z z y l o g i c , n a m e l y f u z z y l o g i c i n n a r r o w

( F L n ) a n d t h a t i n b r o a d e r s e n s e ( F L b ) . F u z z y l o g i c i n n a r r o w s e n s e i s n o w q u i t e w e l l e s t a b l i s h e d t h o u g h

t h e w o r k i s f a r f r o m b e i n g n i s h e d . T h e g o a l o f t h i s l o g i c i s t o d e v e l o p m e a n s f o r m o d e l i n g o f t h e

v a g u e n e s s p h e n o m e n o n . O n e o f t h e p a r t i a l g o a l s i s t o f o r m u l a t e a n a l o g u e s o f m o s t o f t h e c l a s s i c a l l o g i c

t h e o r e m s . T h i s m a k e s u s p o s s i b l e t o c l a r i f y t h e r e l a t i o n o f f u z z y l o g i c t o c l a s s i c a l l o g i c a n d a l s o , t o g a i n

a m o r e p r o f o u n d u n d e r s t a n d i n g t o b o t h l o g i c s . F u r t h e r w o r k s h o u l d c o n c e n t r a t e o n t h e e x t e n s i o n o f t h e

r e s u l t s t o c o m p r e h e n d b e t t e r t h e v a g u e n e s s p h e n o m e n o n . O n e o f t h e i n t e r e s t i n g p r o b l e m s a r e o p e n f u z z y

t h e o r i e s i n F L n . W e c o n s i d e r t h i s t o p i c i m p o r t a n t a s i t h a s d i r e c t i m p a c t t o q u e s t i o n s o f p r o v a b i l i t y

a n d a l g o r i t h m i z a t i o n a n d t h u s , a l s o t o a p p l i c a t i o n s . U n f o r t u n a t e l y , a s s h o w n i n 6 ] , p r o v i n g i n f u z z y

l o g i c i s h i g h l y c o m p u t a t i o n a l l y i n e e c t i v e . H e n c e , w e h a v e t o s e e k s o m e s o p h i s t i c a t e d m e t h o d s w h i c h , o f

c o u r s e , m a y h e l p u s i n s o l u t i o n o f o n l y s p e c i c p r o b l e m s ( w h i c h , h o w e v e r , m a y b e j u s t t h o s e i m p o r t a n t

f o r a p p l i c a t i o n s ) .

F u r t h e r i n t e r e s t i n g c o n s e q u e n c e s m a y b e e x p e c t e d i n F L b , w h i c h i s a n e x t e n s i o n o f F L n . T h e g o a l i s

t o d e v e l o p a l o g i c o f t h e c o m m o n s e n s e h u m a n r e a s o n i n g w h o s e m a i n c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e i s t h e u s e o f

n a t u r a l l a n g u a g e . F L b i n c l u d e s t h e c o n c e p t o f c o m p u t i n g w i t h w o r d s , w h i c h h a s b e e n r e c e n t l y i n t r o d u c e d

b y L . A . Z a d e h .

I n t h i s p a p e r , w e d e n e t h e c o n c e p t o f f o r m a l t h e o r y i n b o t h f u z z y l o g i c s , d e m o n s t r a t e s o m e o f t h e i r

b a s i c p r o p e r t i e s a n d m u t u a l c o n n e c t i o n o f F L b a n d F L n . W e w i l l f o c u s e s p e c i a l l y t o s y n t a c t i c a s p e c t s

a n d s p e c i c q u e s t i o n s o f p r o v a b i l i t y . H o w e v e r , w e a s s u m e t h a t t h e r e a d e r i s , a t l e a s t p a r t l y , a c q u a i n t e d

w i t h s o m e o f t h e c i t e d w o r k s 7 , 1 1 , 1 6 , 1 9 , 2 3 ] w h e r e p r e c i s e d e n i t i o n s o f s o m e c o n c e p t s a n d p r o o f s o f

s o m e t h e o r e m s , w h i c h a r e o n l y r e c a l l e d i n t h i s p a p e r , c a n b e f o u n d .

2 F o r m a l t h e o r i e s i n f u z z y l o g i c i n n a r r o w s e n s e

2 . 1 T r u t h v a l u e s a n d c o n s e q u e n c e o p e r a t i o n

R e c a l l t h a t t h e s e t o f t r u t h v a l u e s i s c o n s i d e r e d t o b e t h e r e s i d u a t e d l a t t i c e

L = h L _ ̂ ! 0 1 i ( 1 )

w h e r e L i s e i t h e r a n i t e c h a i n o r L = 0 1 ] a n d ! i s t h e a d j o i n t c o u p l e o f p r o d u c t a n d r e s i d u a t i o n .

A s a n a l y z e d i n d e t a i l i n 8 ] , w e m a y d i s t i n g u i s h t h r e e m a i n s t r e a m s o f F L n , n a m e l y t h a t o f L u k a s i e w i c z

s t y l e ( F L n ( L ) ) , G d e l s t y l e ( F L n ( G ) ) a n d p r o d u c t s t y l e ( F L n ( P ) ) . A l l t h r e e l o g i c s a s s u m e L = 0 1 ] a n d

d i e r i n t h e d e n i t i o n o f t h e c o u p l e o f o p e r a t i o n s a n d ! . I n t h i s p a p e r , w e w i l l w o r k i n F L n ( L ) ( f u z z y

y

T h i s p a p e r h a s b e e n s u p p o r t e d b y t h e g r a n t A 1 0 8 6 5 0 1 o f t h e G A A V R a n d p a r t i a l l y a l s o b y t h e g r a n t 2 0 1 / 9 6 / 0 9 8 5

o f t h e G A R .

2



l o g i c i n n a r r o w s e n s e o f L u k a s i e w i c z s t y l e ) i n w h i c h i s t h e L u k a s i e w i c z p r o d u c t a n d ! t h e L u k a s i e w i c z

i m p l i c a t i o n . T h e r e a s o n s f o r t h i s a r e w i d e l y d i s c u s s e d i n t h e l i t e r a t u r e a n d w e w i l l m e n t i o n s o m e o f t h e m

a l s o i n t h i s p a p e r .

N o t e t h a t i n ( 1 ) i s a p a r t i c u l a r c a s e o f t h e c o n c e p t o f t - n o r m ( c f . e . g . 5 , 9 , 2 5 ] ) a n d ! i s t h e

c o r r e s p o n d i n g r e s i d u a t i o n . A g e n e r a l f e a t u r e o f F L n c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e p o s s i b i l i t y t o i n t r o d u c e

m o r e k i n d s o f c o n n e c t i v e s t h a n c l a s s i c a l l o g i c . T h e c h o i c e i s p r a c t i c a l l y u n l i m i t e d b u t t - n o r m s ( a n d t -

c o n o r m s ) s e e m t o b e m o s t i m p o r t a n t a n d i n t e r e s t i n g . H o w e v e r , w e h a v e t o c o p e w i t h t h e f a c t t h a t w e

o b t a i n v a r i o u s l o g i c a l s y s t e m s ( d e t e r m i n e d e s p e c i a l l y b y t h e i m p l i c a t i o n o p e r a t i o n ) w h i c h m a y n o t a l w a y s

b e h a v e w e l l w i t h r e s p e c t t o o u r i d e a . W h e n c o n n i n g t o c o n t i n u o u s t - n o r m s , w e c o m e t o t h e t h r e e a b o v e

m e n t i o n e d f u z z y l o g i c s i n n a r r o w s e n s e . H o w e v e r , o n l y L u k a s i e w i c z i m p l i c a t i o n i s c o n t i n u o u s . T h e r e f o r e ,

F L n ( L ) p o s s e s s e s m o s t d i s t i n g u i s h e d p r o p e r t i e s .

T h e g e n e r a l r e q u i r e m e n t i n a n y l o g i c i s t h a t t h e c o n n e c t i v e s s h o u l d p r e s e r v e e q u i v a l e n c e w h i c h i n F L n

i s n a t u r a l l y i n t e r p r e t e d b y

a $ b = ( a ! b ) ̂ ( b ! a ) ( 2 )

a b 2 L . F u r t h e r m o r e , w e p u t a

n

= a a

| { z }

n

. T h e w e s a y t h a t t h e o p e r a t i o n c L

n

? ! L i s l o g i c a l l y

t t i n g o n L i f t h e r e a r e n a t u r a l n u m b e r s k

1

> 0 ; : : : ; k

n

> 0 s u c h t h a t

( a

1

$ b

1

)

k

1

( a

n

$ b

n

)

k

n

c ( a

1

; : : : ; a

n

) $ c ( b

1

; : : : ; b

n

) ( 3 )

h o l d s f o r e v e r y a

1

; : : : ; a

n

b

1

; : : : ; b

n

2 L

U s i n g t h i s c o n c e p t , i t i s p o s s i b l e t o d e v e l o p f u z z y l o g i c a s a n o p e n s y s t e m i n w h i c h f o u r o p e r a t i o n s a r e

b a s i c ( g i v e n b y t h e s t r u c t u r e o f t h e r e s i d u a t e d l a t t i c e ( 1 ) a n d t o e x t e n d i t , i f n e c e s s a r y , b y s o m e a d d i t i o n a l

o p e r a t i o n s . H e n c e , t h e s t r u c t u r e o f t r u t h v a l u e s m a y b e a s s u m e d t o f o r m a n e n r i c h e d r e s i d u a t e d l a t t i c e

L = h L _ ̂ ! f c

j

j 2 J o p g 0 1 i ( 4 )

w h e r e f c

j

j 2 J o p g i s a s e t o f l o g i c a l l y t t i n g o p e r a t i o n s ( J o p i s s o m e i n d e x s e t ) . L e t u s s t r e s s t h a t

i n t r o d u c i n g t h e s e o p e r a t i o n s i n F L n ( L ) d o e s n o t h a r m t h e w h o l e l o g i c a l s y s t e m ( c f . 2 3 ] ) . N o t e a l s o t h a t

i n F L n ( L ) , l o g i c a l l y t t i n g o p e r a t i o n s a r e e x a c t l y t h o s e b e i n g L i p s c h i t z c o n t i n u o u s ( s e e 1 0 ] ) . A d d i t i o n a l

c o n n e c t i v e s a r e e s p e c i a l l y i m p o r t a n t i n F L b w h e r e w e n e e d t h e m t o a c c o m p l i s h i n t e r p r e t a t i o n o f v a r i o u s

n a t u r a l l a n g u a g e c o n n e c t i v e s , m o d i e r s a n d , p o s s i b l y , o t h e r l i n g u i s t i c p h e n o m e n a .

W e w i l l c o n s i d e r f o r m a l l a n g u a g e J c o n s i s t i n g o f v a r i a b l e s , c o n s t a n t s , p r e d i c a t e s , c o n n e c t i v e s a n d

q u a n t i e r s , a s d e n e d , f o r e x a m p l e i n 1 1 , 1 9 ] . A s p e c i c f e a t u r e i s i n t r o d u c i n g s y m b o l s a f o r a l l t r u t h

v a l u e s a 2 L . H o w e v e r , a s d e m o n s t r a t e d i n 6 , 8 , 1 5 ] , t h i s i s o n l y a u s e f u l t e c h n i c a l m e a n s .

B y F

J

w e d e n o t e t h e s e t o f a l l t h e w e l l - f o r m e d f o r m u l a s ( d e n e d i n a c o m m o n w a y ) a n d b y M

J

s e t s

o f a l l t e r m s i n t h e l a n g u a g e J . T h e b a s i c c o n n e c t i v e s a r e ̂ _ & a n d ) i n t e r p r e t e d b y t h e o p e r a t i o n s

̂ _ a n d ! , r e s p e c t i v e l y .

T h e o p e r a t i o n o f s u m i s d e n e d b y a b = : ( : a : b ) a b 2 L . I t c a n b e e x t e n d e d t o m u l t i p l e n a

S y n t a x o f f u z z y l o g i c i s e v a l u a t e d b y s y n t a c t i c t r u t h v a l u e s . T h i s m a k e s u s p o s s i b l e t o d e a l w i t h t r u t h

v a l u e s i n t h e s y n t a x . F u r t h e r m o r e , t h e m a i n t a s k o f f u z z y l o g i c i n n a r r o w s e n s e h a s b e e n d e c l a r e d t o

p r o v i d e t o o l f o r g r a s p i n g t h e v a g u e n e s s p h e n o m e n o n . N e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h a t i s e q u a l i m p o r t a n c e

o f a l l t h e t r u t h v a l u e s . E v a l u a t e d s y n t a x s e e m s t o b e a s u i t a b l e m e a n s f o r t h i s p u r p o s e .

T h e e v a l u a t e d f o r m u l a i s a c o u p l e A a ] w h e r e A 2 F

J

a n d a 2 L . E v a l u a t e d f o r m u l a s a r e m a n i p u l a t e d

u s i n g t h e e v a l u a t e d n - a r y i n f e r e n c e r u l e s r w h i c h a r e c o u p l e s

r = h r

s y n

r

s e m

i ( 5 )

w h e r e r

s y n

i s s y n t a c t i c p a r t o f t h e r u l e r w h i c h i s a p a r t i a l n - a r y o p e r a t i o n o n F

J

a n d r

s e m

i s i t s

s e m a n t i c p a r t w h i c h i s a n n - a r y o p e r a t i o n o n L p r e s e r v i n g a r b i t r a r y n o n - e m p t y j o i n s i n e a c h a r g u m e n t

( s e m i c o n t i n u i t y ) . W e w i l l w o r k w i t h s o u n d i n f e r e n c e r u l e s , i . e . t h o s e p r e s e r v i n g t r u t h e v a l u a t i o n s ( f o r

p r e c i s e d e n i t i o n s e e 1 1 , 2 3 ] ) .

3



L e t u s r e m a r k t h a t e v a l u a t e d f o r m u l a A a ] c a n a l s o b e s e e n a s a f u z z y s i n g l e t o n f

a

A g . H e n c e ,

e v e r y s e t o f e v a l u a t e d f o r m u l a s i s a t t h e s a m e t i m e a f u z z y s e t o f f o r m u l a s . T h i s a m b i g u i t y w i l l o f t e n b e

u s e d i n t h e s e q u e l .

A q u e s t i o n r a i s e s w h e r e t h e s y n t a c t i c t r u t h v a l u e s c o m e f r o m ; h o w t h e y s h o u l d b e i n t e r p r e t e d A s

p o i n t e d o u t b y P . H j e k ( c f . 7 ] ) , i t i s n a t u r a l t o u n d e r s t a n d e v a l u a t e d f o r m u l a s a s t h e f o r m u l a s a ) A

( a i s a s y m b o l f o r t r u t h v a l u e a 2 L ) w h i c h , w h e n b e i n g t r u e i n t h e d e g r e e 1 , m e a n s t h a t t h e t r u t h o f A

i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o a . T h i s u n d e r s t a n d i n g h a s s e v e r a l c o n s e q u e n c e s .

F i r s t , w e m a y i n t e r p r e t t h e e v a l u a t e d f o r m u l a s a s s h o r t s f o r t h e l a t t e r o n e s . S e c o n d , t h e e v a l u a t e d

r u l e s o f m o d u s p o n e n s

r

M P

A a A ) B b

B a b

a n d g e n e r a l i z a t i o n

r

G

A a

( 8 x ) A a

m a y b e e m b e d d e d i n n o n - e v a l u a t e d s y n t a x s i m p l y a s s p e c i a l c a s e s o f c l a s s i c a l o n e s . F o r e x a m p l e , r

M P

c a n b e o b t a i n e d i n F L n ( L ) ( w i t h n o n - e v a l u a t e d s y n t a x a n d t r u t h v a l u e s a a 2 L , i n t h e l a n g u a g e ) u s i n g

t h e p r o o f , i n w h i c h t r a n s i t i v i t y a n d i m p o r t a t i o n t a u t o l o g i e s , a n d r u l e o f m o d u s p o n e n s a r e u s e d :

a ) A b ) ( A ) B )

( b ) ( A ) B ) ) ) ( A ) ( b ) B ) ) A ) ( b ) B )

( a ) A ) ) ( ( A ) ( b ) B ) ) ) ( a ) ( b ) B ) ) ( a ) ( b ) B )

( a ) ( b ) B ) ) ) ( a b ) B ) a b ) B

M o s t i m p o r t a n t i s t h e f a c t t h a t s o m e w h a t t e c h n i c a l a n d n o t q u i t e n a t u r a l b - l i f t i n g r u l e s

r

R b

A a

b ) A b ! a

m a y b e o m i t t e d a s t h e y c a n e a s i l y b e r e p l a c e d b y s i m p l e p r o o f s w h i c h u s e m o d u s p o n e n s a n d t h e t r a n s i -

t i v i t y t a u t o l o g y ( a ) A ) ) ( ( b ) a ) ) ( b ) A ) )

L e t u s s t r e s s , h o w e v e r , t h a t i t i s n o t r e a s o n a b l e t o a v o i d e v a l u a t e d f o r m u l a s c o m p l e t e l y . C o n s i s t e n t

r e p l a c e m e n t o f e v a l u a t e d f o r m u l a s b y a ) A w o u l d l e a d t o a v e r y c u m b e r s o m e n o t a t i o n . F u r t h e r m o r e ,

t h e p r i m a r y g o a l w h i c h i s g r a d e d m o d e l o f v a g u e n e s s ( f u z z y a p p r o a c h ) w o u l d d i s a p p e a r .

O t h e r r e a s o n c o n s i s t s i n t h e e v a l u a t e d i n f e r e n c e r u l e s . T h e s e m a n t i c a l o p e r a t i o n r

s y n

i n ( 5 ) i s r e q u i r e d

t o b e o n l y u p p e r s e m i c o n t i n u o u s a n d i s r e a l i z e d o n t h e s y n t a c t i c t r u t h e v a l u a t i o n s . T h i s o p e n s t h e w a y

f o r e x t e n s i o n o f f u z z y l o g i c b y v a r i o u s n o n - s t a n d a r d i n f e r e n c e r u l e s . H o w e v e r , o m i t t i n g t h e c o n c e p t o f

e v a l u a t e d f o r m u l a s w o u l d r e s u l t i n t h e r e s t r i c t i o n o n l y t o t h e o p e r a t i o n s d e n e d a p r i o r i i n t h e s t r u c t u r e

( 1 ) ( o r ( 4 ) ) . C o n s e q u e n t l y , t h e s e m a n t i c a l o p e r a t i o n r

s y n

w o u l d h a v e t o b e i n h e r e n t l y r e a l i z e d a s t h e

i n t e r p r e t a t i o n o f s o m e l o g i c a l c o n n e c t i v e .

A s a n e x a m p l e , l e t u s c o n s i d e r t h e r u l e i n t r o d u c e d a l r e a d y i n 2 3 ] :

r

A _ b a

A b # a

w h e r e # i s t h e o p e r a t i o n d e n e d b y

b # a =

0 i f b a

a o t h e r w i s e

a b 2 0 1 ] . T h e o p e r a t i o n # i s d i s c o n t i n u o u s a n d t h u s , n o t l o g i c a l l y t t i n g i n t h e s e n s e o f ( 3 ) . H e n c e ,

i t c a n n o t b e u s e d a s a l o g i c a l c o n n e c t i v e i n F L n ( L ) . T o c o n c l u d e , w e m a y i n t r o d u c e v a r i o u s , i n g e n e r a l

n - a r y , i n f e r e n c e r u l e s w i t h d i s c o n t i n u o u s s e m a n t i c a l o p e r a t i o n . W e e x p e c t h e r e t h e p o t e n t i a l , f o r e x a m p l e ,

f o r m o d e l i n g o f t h e a b d u c t i o n i n F L n .

4



A f u z z y t h e o r y T i s d e t e r m i n e d b y a t r i p l e

T = h A

L

A

S

R i ( 6 )

w h e r e A

L

A

S

a r e s e t s o f e v a l u a t e d l o g i c a l a n d s p e c i a l a x i o m s , r e s p e c t i v e l y ( o r , e q u i v a l e n t l y , f u z z y s e t s

A

L

A

S

F

J

) a n d R i s a s e t o f i n f e r e n c e r u l e s c o n t a i n i n g a t l e a s t t h e r u l e s r

M P

a n d r

G

. I n g e n e r a l ,

t h e r e m a y b e f u z z y t h e o r i e s w i t h d i e r e n t s e t s o f i n f e r e n c e r u l e s .

T h e c o n c e p t o f p r o v a b i l i t y i s c r u c i a l i n a n y l o g i c . L e t C F

J

? ! L b e a f u n c t i o n s u c h t h a t

C ( r ( A

1

; : : : ; A

n

) ) 2 G w h e n e v e r C ( A

i

) 2 G i = 1 ; : : : ; n f o r e v e r y i n f e r e n c e r u l e r . L e t u s c a l l s u c h

a f u n c t i o n r u l e s p r e s e r v i n g . T h e f o l l o w i n g d e n i t i o n c a n b e i n t r o d u c e d i n c l a s s i c a l l o g i c .

D e n i t i o n 1 A f o r m u l a A b e l o n g s t o t h e s e t

C

s y n

X o f s y n t a c t i c c o n s e q u e n c e s o f t h e s e t o f f o r m u l a s X

i C ( A ) 2 G h o l d s f o r e v e r y r u l e s p r e s e r v i n g f u n c t i o n s u c h t h a t C ( B ) 2 G h o l d s f o r e v e r y B 2 X

S t r o n g d e n i t i o n o f s y n t a c t i c c o n s e q u e n c e a c c e p t e d i n c l a s s i c a l a s w e l l a s i n m a n y - v a l u e d l o g i c r e q u i r e s

e x i s t e n c e o f a p r o o f w o f A f r o m X

I n c l a s s i c a l l o g i c , D e n i t i o n 1 i s e q u i v a l e n t w i t h t h e s t r o n g d e n i t i o n o f s y n t a c t i c c o n s e q u e n c e . T h e

m a i n o u t c o m e o f D e n i t i o n 1 i s t h e p o s s i b i l i t y t o g e n e r a l i z e s y n t a c t i c c o n s e q u e n c e s t o t h e c a s e o f e v a l u a t e d

s y n t a x .

D e n i t i o n 2 L e t R b e a s e t o f s o u n d e v a l u a t e d i n f e r e n c e r u l e s . T h e n t h e f u z z y s e t o f s y n t a c t i c c o n s e -

q u e n c e s o f t h e f u z z y s e t X

F

J

i s g i v e n b y

( C

s y n

X ) A =

̂

f C ( A ) C

F

J

C p r e s e r v e s r u l e s r 2 R a n d

A

L

X C g

( 7 )

( i s c l a s s i c a l i n c l u s i o n o f f u z z y s e t s ) .

A n e v a l u a t e d p r o o f w i s a s e q u e n c e o f e v a l u a t e d f o r m u l a s A

1

a

1

; : : : ; A

n

a

n

] s u c h t h a t e v e r y

e v a l u a t e d f o r m u l a A

i

a

i

] i s e i t h e r a n d a x i o m o r i t i s d e r i v e d f r o m p r e v i o u s e v a l u a t e d f o r m u l a s u s i n g

s o m e e v a l u a t e d i n f e r e n c e r u l e . T h e e v a l u a t i o n a

n

o f t h e l a s t f o r m u l a i n w i s c a l l e d t h e v a l u e o f t h e p r o o f

w a n d d e n o t e d b y V a l ( w )

I f ( C

s y n

A

S

) A = a t h e n w e w r i t e T ̀

a

A ( a f o r m u l a A i s p r o v a b l e i n t h e d e g r e e a i n t h e f u z z y t h e o r y

T ) . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h o s e p r o o f i s b a s e d o n ( 7 ) ( s e e 2 3 ] ) , h o l d s t r u e .

T h e o r e m 1

( C

s y n

A

S

) A = a =

_

f V a l ( w ) w i s a n e v a l u a t e d p r o o f o f A i n T g ( 8 )

N o t e t h a t ( 8 ) i s e q u i v a l e n t w i t h

a =

_

f b b ) A i s p r o v a b l e i n T g ( 9 )

i n a n o n - e v a l u a t e d s y n t a x ( w i t h t r u t h v a l u e s ) . H e n c e , T h e o r e m 1 g e n e r a l i z e s t h e e x i s t e n c e o f a p r o o f

t o s u p r e m u m o f t h e v a l u e s o f a l l t h e p o s s i b l e e v a l u a t e d p r o o f s . H o w e v e r , t h i s i s n o t e q u i v a l e n t w i t h t h e

s t r o n g d e n i t i o n o f s y n t a c t i c c o n s e q u e n c e i n m a n y - v a l u e d l o g i c .

T o s u m m a r i z e , F L n ( L ) c a n b e i n t e r p r e t e d i n m a n y - v a l u e d l o g i c i f w e i n t r o d u c e n a m e s f o r t h e t r u t h

v a l u e s i n i t s l a n g u a g e a n d t r a n s l a t e t h e e v a l u a t e d f o r m u l a s a s m e n t i o n e d a b o v e

y )

. H o w e v e r , t o o b t a i n a l l

t h e r e s u l t s m e n t i o n e d b e l o w , w e s t i l l n e e d t o g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f p r o v a b i l i t y ( c f . ( 7 ) , ( 8 ) ) .

C l a s s i c a l l o g i c c a n b e o b t a i n e d w i t h i n F L n a s i t s s p e c i a l c a s e b e c a u s e f o r m u l a s a n d i n f e r e n c e r u l e s i n

c l a s s i c a l l o g i c m a y a l w a y s b e e v a l u a t e d b y t h e t r u t h v a l u e 1 . H o w e v e r , i n m a n y - v a l u e d l o g i c , t h e s t r o n g

y

N o t e t h a t t h i s m a y c o n c e r n o n l y t h e r a t i o n a l t r u t h v a l u e s ; w e c a n e v e n d e s i g n a t e s o m e f o r m u l a s t o s e r v e u s a s t h e a b o v e

n a m e s t h o u g h t h e l a n g u a g e n e e d s n o t e x p l i c i t l y c o n t a i n t h e m .

5



d e n i t i o n o f t h e c o n s e q u e n c e o p e r a t i o n i s u s e d . T h e b r i d g e b e t w e e n c l a s s i c a l l o g i c a n d F L n i s a l s o o t h e r

r e a s o n f o r k e e p i n g t h e c o n c e p t o f e v a l u a t e d f o r m u l a s ; i t c a n b e m o r e c l e a r l y s e e n t h a t t h e l a t t e r i s d i r e c t

g e n e r a l i z a t i o n o f t h e f o r m e r .

A t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n , w e w i l l r e p e a t s o m e d e n i t i o n s f r o m F L n ( L ) , k e e p i n g o n m i n d t h e d i s c u s s i o n

a b o v e . T h e f u z z y t h e o r y T i s g i v e n b y t h e t r i p l e ( 6 ) w h e r e A

L

A

R

F

J

a r e f u z z y s e t s o f l o g i c a l a n d

s p e c i a l a x i o m s ( s e t s o f e v a l u a t e d f o r m u l a s ) . A t t h e s a m e t i m e w e m a y s e e f u z z y t h e o r y T a s a f u z z y s e t

o f f o r m u l a s

T = ( C

s y n

( A

S

A

L

) )

F

J

T h e e v a l u a t e d p r o o f w o f a f o r m u l a A i n t h e t h e o r y T i s a s e q u e n c e o f e v a l u a t e d f o r m u l a s , t h e v a l u e

o f t h e l a s t o n e i s t h e v a l u e V a l

T

( w ) o f t h e p r o o f w . T h e p r o v a b i l i t y d e g r e e ( = e v a l u a t i o n ) o f a n e v a l u a t e d

f o r m u l a A i s s u p r e m u m o f t h e v a l u e s o f a l l i t s e v a l u a t e d p r o o f s .

I n t h e s e q u e l , w h e n d e n i n g a f u z z y t h e o r y , w e w i l l u s u a l l y w r i t e o n l y f u z z y s e t o f i t s s p e c i a l a x i o m s ,

i . e .

T = f

a

i

A

i

i 2 I g

w h e r e I i s s o m e i n d e x s e t .

B y T =

a

A w e m e a n t h a t a f o r m u l a A 2 F

J

i s t r u e i n t h e d e g r e e a i n t h e f u z z y t h e o r y T , i . e .

a =

̂

f D ( A ) D = T g

w h e r e D = T m e a n s t h a t D i s a m o d e l o f T ( f o r t h e p r e c i s e d e n i t i o n s e e 1 1 ] ) .

2 . 2 F e w t h e o r e m s o f F L n ( L )

F u n d a m e n t a l t h e o r e m s c h a r a c t e r i z i n g t h e p r o v a b i l i t y a r e t h e v a l i d i t y a n d c l o s u r e o n e s . T h e r s t o n e s a y s

t h a t t h e p r o v a b i l i t y d e g r e e o f a f o r m u l a c a n n o t e x c e e d i t s t r u t h . B y t h e s e c o n d o n e , w e m a y c o n n e

o u r s e l v e s t o c l o s e d f o r m u l a s , a n a l o g o u s l y a s i n t h e c l a s s i c a l l o g i c .

I f T i s a t h e o r y a n d E

F

J

a f u z z y s e t o f f o r m u l a s t h e n T = T E i s a n e x t e n s i o n o f t h e t h e o r y T

i . e . i t s f u z z y s e t A

S

o f s p e c i a l a x i o m s i s A

S

= A

S

E

P r o o f s o f t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s c a n b e f o u n d i n t h e c i t e d l i t e r a t u r e ( 6 , 1 1 , 1 8 , 2 3 ] .

T h e o r e m 2 ( d e d u c t i o n ) L e t A b e a c l o s e d f o r m u l a a n d T = T f

1

A g . T h e n t o e v e r y B t h e r e i s n

s u c h t h a t

T ̀

a

A

n

) B i T ̀

a

B

A f u z z y t h e o r y i s c o n t r a d i c t o r y i f t h e r e i s a f o r m u l a A 2 F

J ( T )

a n d p r o o f s w

A

a n d w

: A

s u c h t h a t

V a l

T

( w

A

) V a l

T

( w

: A

) > 0 ( o t h e r e q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n s o f i n c o n s i s t e n c y c a n a l s o b e i n t r o d u c e d ) .

T h e o r e m 3 A t h e o r y T i s c o n t r a d i c t o r y i T ̀ A h o l d s f o r e v e r y f o r m u l a A 2 F

J ( T )

H e n k i n e x t e n s i o n T

H

o f a t h e o r y T b y a f u z z y s e t o f H e n k i n a x i o m s

T

H

= T f

1

( A

x

r ) ( 8 x ) A ( x ) ) r i s s p e c i a l f o r ( 8 x ) A g

i s p r o v e d t o b e c o n s e r v a t i v e .

T h e o r e m 4 A f u z z y t h e o r y T f

a

A g i s c o n t r a d i c t o r y i t o e v e r y b 2 L a n d e v e r y f o r m u l a B t h e r e i s

m s u c h t h a t T ̀

b

A

m

) B

T h e o r e m 5 ( c o m p l e t e n e s s )

6



( a ) A t h e o r y T i s c o n s i s t e n t i i t h a s a m o d e l .

( b ) T ̀

a

A i T =

a

A

T h e e q u a l i t y p r e d i c a t e f u l l l i n g t h e f o l l o w i n g ( c o m m o n ) a x i o m s c a n b e i n t r o d u c e d : T h e r e a r e n a t u r a l

n u m b e r s m

1

> 0 ; : : : ; m

n

> 0 s u c h t h a t

( E 1 ) x = x

( E 2 ) ( x

1

= y

1

)

m

1

) ) ( x

n

= y

n

)

m

n

) ( f ( x

1

; : : : ; x

n

) = f ( y

1

; : : : ; y

n

)

( E 3 ) ( x

1

= y

1

)

m

1

) ) ( x

n

= y

n

)

m

n

) ( p ( x

1

; : : : ; x

n

) , p ( y

1

; : : : ; y

n

)

f o r e v e r y n - a r y f u n c t i o n a l s y m b o l f a n d p r e d i c a t e s y m b o l p

T h e o r e m 6 ( e q u a l i t y ) L e t T ̀

a

i

t

i

= s

i

i = 1 ; : : : ; n . T h e n t h e r e a r e n a t u r a l n u m b e r s m

1

>

0 ; : : : ; m

n

> 0 s u c h t h a t

T ̀

b

A , A b a

m

1

1

a

m

n

n

w h e r e A i s a f o r m u l a w h i c h i s a r e s u l t o f r e p l a c i n g o f t h e t e r m s t

i

b y t h e t e r m s

i

i n A , r e s p e c t i v e l y .

T h e o r e m 7 ( e q u i v a l e n c e ) L e t A b e a f o r m u l a a n d B

1

; : : : ; B

n

s o m e o f i t s s u b f o r m u l a s . L e t T ̀

a

i

B

i

, B

i

i = 1 ; : : : ; n . T h e n t h e r e a r e n a t u r a l n u m b e r s m

1

> 0 ; : : : ; m

n

> 0 s u c h t h a t

T ̀

b

A , A b a

m

1

1

a

m

n

n

w h e r e A i s a f o r m u l a w h i c h i s a r e s u l t o f r e p l a c i n g o f t h e f o r m u l a s B

1

; : : : ; B

n

i n A b y B

1

; : : : ; B

n

L e t ?

F

J

b e a f u z z y s e t o f f o r m u l a s . B y S u p p ( ? ) w e d e n o t e i t s s u p p o r t , i . e . S u p p ( ? ) = f A ? ( A ) >

0 g . T h e 5 d e n o t e s L u k a s i e w i c z d i s j u n c t i o n g i v e n b y A 5 B = : ( : A & : B )

T h e o r e m 8 ( r e d u c t i o n f o r t h e c o n s i s t e n c y ) A t h e o r y T = T ? i s c o n t r a d i c t o r y i t h e r e a r e n a t -

u r a l n u m b e r s m

1

> 0 ; : : : ; m

n

> 0 a n d A

1

; : : : ; A

n

2 S u p p ( ? ) s u c h t h a t

T ̀

c

: A

m

1

1

5 5 : A

m

n

n

w h e r e a

i

= ? ( A

i

) i = 1 ; : : : ; n a n d c > : ( a

m

1

1

a

m

n

n

) o r c = 1 i f t h e r i g h t - h a n d s i d e i s e q u a l t o 1 .

C o r o l l a r y 1 A t h e o r y T = T f

: a

: A g i s c o n t r a d i c t o r y i T ̀

b

m A f o r s o m e n a t u r a l n u m b e r m > 0

a n d b > m a o r b = 1 i f m a = 1

G i v e n a H e n k i n f u z z y t h e o r y T , t h e f u z z y s e t o f f o r m u l a s ( T ) c o n t a i n s i n s t a n c e s o f s p e c i a l , e q u a l i t y ,

H e n k i n a n d s u b s t i t u t i o n a x i o m s i n t h e m e m b e r s h i p d e g r e e 1 .

A f o r m u l a A i s a f u z z y q u a s i t a u t o l o g y i n t h e d e g r e e a i f =

a

B

1

& & B

k

) A w h e r e B

i

a r e c l o s e d

i n s t a n c e s o f t h e e q u a l i t y a x i o m s .

T h e o r e m 9 ( c o n s i s t e n c y ) O p e n t h e o r y T i s c o n t r a d i c t o r y i t h e r e a r e n a t u r a l n u m b e r s p

1

> 0 ; : : :

p

n

> 0 a n d s p e c i a l a x i o m s A

1

; : : : ; A

n

o f t h e t h e o r y T s u c h t h a t

:

A

p

1

1

5 5 :

A

p

n

n

i s a f u z z y q u a s i t a u t o l o g y i n t h e d e g r e e b w h e r e

A

i

a r e i n s t a n c e s o f t h e s p e c i a l a x i o m s a n d b > : ( a

p

1

1

a

p

n

n

) w h e r e a

i

= A

S

( A

i

) ( o r b = 1 i f t h e r i g h t h a n d s i d e i s e q u a l t o 1 ) .

T h i s t h e o r e m i s a b a s i s f o r a f u z z y a n a l o g y o f t h e H e r b r a n d t h e o r e m p r o v e d i n 2 0 ] .

7



3 F o r m a l t h e o r i e s i n f u z z y l o g i c i n b r o a d e r s e n s e

U n l i k e F L n , w h i c h i s g r a d e d g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l l o g i c , F L b c a n b e m o t i v a t e d b y m o d e l i n g o f

t h e h u m a n d e d u c t i o n i n w h i c h c r u c i a l r o l e i s p l a y e d b y t h e n a t u r a l l a n g u a g e . W e d e v e l o p i t a s a c e r t a i n

e x t e n s i o n o f F L n .

I n o u r c o n s i d e r a t i o n s , w e c o n n e t o a s u i t a b l e p a r t o f n a t u r a l l a n g u a g e , i . e . w e w i l l w o r k w i t h s e l e c t e d

l i n g u i s t i c e x p r e s s i o n s ( s y n t a g m s ) f r o m s o m e s e t S . T h e s e a r e t r a n s l a t e d i n t o f o r m u l a s o f f u z z y l o g i c i n

n a r r o w s e n s e a n d n a l l y l e a d t o c o n s t r u c t i o n o f a s p e c i a l f u z z y t h e o r y T o f F L n ( c f . 1 9 ] ) .

I n f o r m a l p a r t o f F L b , w e d e a l w i t h m a n y - s o r t e d l a n g u a g e J o f F L n ( c f . 3 ] ) . W e c o n s i d e r a n i t e

n u m b e r o f s o r t s = 1 ; : : : ; p o f v a r i a b l e s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c o n s t a n t s a s w e l l a s f u n c t i o n s . W e t h u s

o b t a i n s e t s o f t e r m s M

J

o f t h e s o r t i n t h e l a n g u a g e J . H o w e v e r , i n F L b w e w i l l n e e d o n l y t h a t p a r t

o f M

J

w h i c h d o e s n o t c o n t a i n v a r i a b l e s . T h e r e f o r e , M

w i l l d e n o t e s e t s o f t e r m s o f t h e s o r t w i t h o u t

v a r i a b l e s ( t h e s u b s c r i p t J w i l l o f t e n b e o m i t t e d ) i n t h e s e q u e l . A s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , F

J

i s a s e t o f

w e l l f o r m e d f o r m u l a s i n J

N a t u r a l l a n g u a g e e x p r e s s i o n s a r e , i n g e n e r a l , n a m e s o f s o m e p r o p e r t i e s ' o f o b j e c t s . T h e p r o p e r t y

' ( x ) o f o b j e c t s x i s a s s i g n e d a f o r m u l a A ( x ) 2 F

J

. H e n c e , e a c h s y n t a g m A 2 S i s a s s i g n e d a c o u p l e

h A ( x ) A i ( 1 0 )

w h e r e A = f A

x

t a

t

t 2 M

g i s a s e t o f e v a l u a t e d f o r m u l a s b e i n g c l o s e d i n s t a n c e s o f A ( x ) , i . e . A

x

t

i s o b t a i n e d f r o m A ( x ) w h e n r e p l a c i n g t h e v a r i a b l e x ( o f t h e s o r t ) b y t h e t e r m t 2 M

. W e w i l l c a l l A a

m u l t i f o r m u l a . R e c a l l f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n t h a t a m u l t i f o r m u l a A c a n a t t h e s a m e t i m e b e s e e n a s a

f u z z y s e t o f c l o s e d i n s t a n c e s A

x

t ] o f t h e f o r m u l a A ( x )

T h i s m o d e l i s m o t i v a t e d b y t h e u s e o f n a t u r a l l a n g u a g e , a n d a l s o b y t h e p o t e n t i a l o f f u z z y l o g i c i n

n a r r o w s e n s e , w h i c h e n a b l e s u s t o w o r k w i t h f u z z y s e t s o f f o r m u l a s i n c l u d e d i n t h e s y n t a x . T h i s m a k e s

u s p o s s i b l e t o i n t r o d u c e a n d f o r m a l i z e ( a t l e a s t p a r t l y ) t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e c o n c e p t s o f i n t e n s i o n

a n d e x t e n s i o n w h i c h a r e v e r y i m p o r t a n t i n t h e s t u d y o f n a t u r a l l a n g u a g e s e m a n t i c s . I n t h i s p a p e r , t h e

i n t e n s i o n i s t h e m u l t i f o r m u l a A t o g e t h e r w i t h t h e f o r m u l a A ( x ) ( s e e ( 1 0 ) ) . T o s i m p l i f y t h e f o r m a l i s m ,

w e w i l l o m i t A ( x ) f r o m m o s t o f o u r d e l i b e r a t i o n b e c a u s e i t i s i n h e r e n t l y p r e s e n t i n a l l e l e m e n t s o f A

I n i n t e n s i o n a l l o g i c , i n t e n s i o n s a r e ( l o s e l y s p e a k i n g ) f u n c t i o n s a s s i g n i n g t r u t h v a l u e s t o o b j e c t s i n

e a c h p o s s i b l e w o r l d a n d t i m e m o m e n t . P o s s i b l e w o r l d s a s w e l l a s t i m e a r e n o t e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n o u r

f o r m a l i s m . H o w e v e r , t h e y a r e h i d d e n b e h i n d t h e a s s i g n m e n t o f t r u t h v a l u e s t o t h e i n s t a n c e s A

x

t ] i n t h e

m u l t i f o r m u l a A . H e n c e , t h e t r u t h v a l u e s a r e a s s i g n e d u s i n g c e r t a i n f u n c t i o n

? ! f A A M

? ! L A 2 S A ! A g

w h e r e i s t h e s e t o f p o s s i b l e w o r l d s , t i m e a n d A M

a s e t o f a l l i n s t a n c e s o f t h e f o r m A

x

t t 2 M

I n

t h i s p a p e r , h o w e v e r , t h e m u l t i f o r m u l a s A a r e c o n s i d e r e d t o b e g i v e n a p r i o r i .

I t f o l l o w s f r o m t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n t h a t t h e b a s i c s c h e m e i n t h e f u z z y l o g i c i n b r o a d e r s c h e m e i s

s y n t a g m A ! f o r m u l a A i n t e n s i o n A ! e x t e n s i o n D ( A )

w h e r e D i s a n i n t e r p r e t a t i o n ( m o d e l ) o f t h e f o r m a l l a n g u a g e J i n c o n c e r n . T h e e x t e n s i o n i s t h u s t h e

f u z z y s e t

D ( A ) =

n

D ( A

x

t )

D ( t )

t 2 M

o

I t i s c l e a r t h a t o n e i n t e n s i o n A m a y l e a d t o ( i n n i t e l y ) m a n y e x t e n s i o n s D ( A ) . O b v i o u s l y , D ( t ) i s a

c o n c r e t e o b j e c t a n d D ( A

x

t ] ) i s a t r u t h d e g r e e i n w h i c h t h e o b j e c t D ( t ) h a s t h e p r o p e r t y A ( x ) . I n t h e

c a s e o f A ( x

1

; : : : ; x

n

) w h e r e x

1

; : : : ; x

n

a r e v a r i a b l e s o f v a r i o u s s o r t s , w e o b t a i n a f u z z y r e l a t i o n

n

D ( A

x

1

; : : : ; x

n

t

1

; : : : ; t

n

)

h D ( t

1

) ; : : : ; D ( t

n

) i

t

1

2 M

1

; : : : ; t

n

2 M

n

o

8



E x a m p l e

L e t A = Y o u n g a n d M = f t

0

; : : : ; t

1 0 0

g b e a s e t o f t e r m s r e p r e s e n t i n g y e a r s . W e m a y d e n e a m u l t i f o r m u l a

Y o u n g b y

Y o u n g = f Y o u n g ( t

0

) ; 1 ] ; : : : ; Y o u n g ( t

2 0

) ; 1 ] ; : : : ; Y o u n g ( t

3 0

) 0 6

: : : ; Y o u n g ( t

4 5

) 0 2 ; : : : ; Y o u n g ( t

6 0

) ; 0 ] g

T h i s i s t h e l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i n t e n s i o n o f t h e w o r d \ Y o u n g " . T h e e x t e n s i o n s c a n b e , f o r

e x a m p l e , t h e f o l l o w i n g :

D ( Y o u n g ) =

1

1 ; : : : ;

1

2 0 ; : : : ;

0 6

3 0 ; : : : ;

0 2

4 5 ; : : : ;

0

6 0

( 1 1 )

w h e r e D ( t

0

) = 1 ; : : : D ( t

2 0

) = 2 0 ; : : : D ( t

3 0

) = 3 0 ; : : : D ( t

4 5

) = 4 5 ; : : : D ( t

6 0

) = 6 0 a r e i n t e r p r e t a t i o n s

o f t h e t e r m s f r o m M w h e n r e p r e s e n t i n g a g e o f p e o p l e . W h e n r e p r e s e n t i n g a g e o f d o g s , w e m a y o b t a i n

t h e f o l l o w i n g e x t e n s i o n o f Y o u n g

D ( Y o u n g ) =

1

0 1 ; : : : ;

1

4 ; : : : ;

0 7

6 ; : : : ;

0 3

8 ; : : : ;

0

1 4

( 1 2 )

w h e r e D ( t

0

) = 0 1 ; : : : D ( t

2 0

) = 4 ; : : : D ( t

3 0

) = 6 ; : : : D ( t

4 5

) = 8 ; : : : D ( t

6 0

) = 1 4 . N o t e t h a t t h e t r u t h

d e g r e e s i n ( 1 2 ) a r e g r a t e r t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g o n e s i n ( 1 1 ) t o i l l u s t r a t e t h a t o n l y t h e i n e q u a l i t y D ( A )

a s h o u l d b e f u l l l e d w h e r e a i s t h e t r u t h e v a l u a t i o n o f t h e f o r m u l a A i n t h e e v a l u a t e d f o r m u l a A a

N o t e a l s o t h a t f u z z y s e t s o f t h e f o r m ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) a r e i n t r o d u c e d i n v a r i o u s e x a m p l e s i n t h e l i t e r a t u r e o n

f u z z y s e t t h e o r y

y )

. F r o m o u r p o i n t o f v i e w , s o m e c o n c r e t e , u s u a l l y n o t e x p l i c i t l y c h a r a c t e r i z e d , e x t e n s i o n

i s c o n s i d e r e d t h e r e .

L e t u s r e m a r k t h a t a s l i g h t l y s i m p l i e d i n t e r p r e t a t i o n o f f u z z y l o g i c i n b r o a d e r s e n s e w h i c h c o n c e r n s

o n l y t h e l o g i c a l a s p e c t w i t h o u t l i n g u i s t i c s h a s b e e n p r o p o s e d i n 3 ] . H o w e v e r , w e a r e c o n v i n c e d t h a t

l i n g u i s t i c s s h o u l d n o t b e e x c l u d e d f r o m f u z z y l o g i c a n d f u z z y t e c h n i q u e s i n g e n e r a l ( l e t u s r e m i n d t h e

c o n c e p t o f s o f t c o m p u t i n g w h e r e t h e m a i n s t r e s s i s g i v e n t o \ c o m p u t i n g w i t h w o r d s " ) .

T h e p r o o f i n F L b i s a s e q u e n c e o f l i n g u i s t i c s t a t e m e n t s ( s y n t a g m s f r o m S ) t o g e t h e r w i t h t h e i r i n t e n -

s i o n s

B

1

B

1

; : : : ; B

n

B

n

] ( 1 3 )

e a c h o f w h i c h i s a l i n g u i s t i c a l l y f o r m u l a t e d a x i o m ( l o g i c a l o r s p e c i a l ) , o r i t i s d e r i v e d u s i n g s o m e i n f e r e n c e

r u l e .

A f o r m a l t h e o r y o f F L b i s g i v e n b y t h e s e t o f l i n g u i s t i c a l l y e x p r e s s e d s p e c i a l a x i o m s t o g e t h e r w i t h

t h e i r i n t e n s i o n s

T = f A

0

A

0

; : : : ; A

m

A

m

g ( 1 4 )

w h e r e A

i

2 S i = 1 ; : : : ; m . T h e r e a s o n i n g u s e s p r o o f s o f t h e f o r m ( 1 3 ) . A s t h e s e d e a l w i t h m u l t i f o r m u l a s ,

i . e . s e t s o f e v a l u a t e d f o r m u l a s , w e f a c e a m u l t i p l e i n f e r e n c e i n t h e a d j o i n t f u z z y t h e o r y T d e t e r m i n e d b y

t h e i n t e n s i o n s A

i

i = 1 ; : : : ; m f r o m ( 1 4 ) , i . e .

T = A

0

A

m

( 1 5 )

I n t h e s e q u e l , w e w i l l d e n o t e t h e f u z z y t h e o r y i n F L b b y t h e s c r i p t l e t t e r T a n d t h e a d j o i n t t h e o r y o f

F L n b y t h e i t a l i c l e t t e r T

T o s i m p l i f y t h e f o r m a l i s m , w e m a y o m i t t h e l i n g u i s t i c s t a t e m e n t s f r o m ( 1 3 ) a n d w r i t e p r o o f u s i n g

o n l y t h e i n t e n s i o n s

B

1

; : : : ; B

n

( 1 6 )

T h i s h a s a l s o o t h e r s i d e : T o c o n s i d e r t h e c o r r e s p o n d i n g s y n t a g m s a t e a c h s t e p o f ( 1 3 ) w o u l d m e a n t h a t

t h e r e a s o n i n g p r o c e e d s i n w o r d s a l l t h e t i m e . I n p r a c t i c e , i t w o u l d f o r c e u s t o n d a s u i t a b l e s y n t a g m

B

i

t o e a c h m u l t i f o r m u l a B

i

i = 1 ; : : : ; m , w h i c h i s a t a s k o f l i n g u i s t i c a p p r o x i m a t i o n t o b e s o l v e d a t

e a c h r e a s o n i n g s t e p . B u t t h i s i s u n r e a l i s t i c . H e n c e , r e a l i s t i c v i e w i s t o b e g i n w i t h n a t u r a l l a n g u a g e ,

y

S e e , e . g . 2 6 ] a n d a l o t o f o t h e r p a p e r s a n d b o o k s .

9



t r a n s l a t e i t s s y n t a g m s i n t o m u l t i f o r m u l a s , t h e n m a k e p r o o f s o f t h e f o r m ( 1 6 ) a n d t r a n s l a t e o n l y t h e n a l

m u l t i f o r m u l a B

n

i n t o t h e s y n t a g m B

n

. M o r e p r e c i s e l y , w e f o r m a f u z z y t h e o r y T i n ( 1 4 ) u s i n g n a t u r a l

l a n g u a g e a n d t h e n , w i t h i n t h e a d j o i n t f u z z y t h e o r y T i n ( 1 5 ) , w e r e a l i s e t h e r e a s o n i n g w h o s e r e s u l t b e i n g

a m u l t i f o r m u l a B m a y b e f o r m u l a t e d u s i n g a c o r r e s p o n d i n g s y n t a g m B 2 S

I n t e n s i o n s o f t h e s y n t a g m s s h o u l d b e c o n s t r u c t e d f r o m t h e o t h e r ( s i m p l e r ) o n e s . W e f a c e h e r e t h e

p r o b l e m o f t r u t h f u n c t i o n a l i t y w h i c h i s s u b j e c t t o a l o n g a n d s t i l l u n n i s h e d d i s c u s s i o n b e t w e e n l o g i c i a n s

a n d l i n g u i s t s . T r u t h f u n c t i o n a l i t y c a n n o t , i n g e n e r a l , b e a c c e p t e d i n t h e m o d e l o f s e m a n t i c s o f n a t u r a l

l a n g u a g e . H o w e v e r , f o r s o m e p a r t s o f i t , t h e t r u t h f u n c t i o n a l i t y h o l d s , o r a t l e a s t m a y b e b y p a s s e d b y

a c c e p t i n g v a r i o u s k i n d s o f c o n n e c t i v e s i n t h e l o c a l c a s e s ( r e c a l l o u r d i s c u s s i o n a b o u t a d d i t i o n a l o p e r a t i o n s

i n S e c t i o n 2 ) .

L e t S

A

S

B

b e t w o d i s j o i n t s e t s o f s y n t a g m s i n t h e f o r m

h l i n g u i s t i c m o d i e r i h a d j e c t i v e i h n o u n i ( 1 7 )

w h e r e e a c h A 2 S

A

B 2 S

B

i s a s s i g n e d a f o r m u l a A a n d B , r e s p e c t i v e l y a n d t h e i n t e n s i o n s b e i n g t h e

r e s p e c t i v e m u l t i f o r m u l a s A a n d B ( m o r e e x a c t l y , A B a r e i n t e r p r e t e d b y t h e c o u p l e s ( 1 0 ) ) . T h e f o l l o w i n g

c o n s t r u c t i o n i s i m p o r t a n t .

T h e l i n g u i s t i c d e s c r i p t i o n i n F L b i s a s e t o f l i n g u i s t i c c o n d i t i o n a l s t a t e m e n t s o f t h e f o r m

F A

j

T H E N B

j

A

j

) B

j

j = 1 ; : : : m ( 1 8 )

w h e r e A

j

2 S

A

B

j

2 S

B

j = 1 ; : : : ; m . T h e s e s t a t e m e n t s c a n b e j o i n e d b y t h e c o n n e c t i v e A N D

i n t e r p r e t e d u s i n g c o n j u n c t i o n . T h e i n t e n s i o n o f t h e w h o l e l i n g u i s t i c d e s c r i p t i o n ( 1 8 ) i s t h u s a m u l t i f o r m u l a

8

<

:

2

4

m

̂

j = 1

( A

j x

t ) B

j y

s ) c

t s

=

m

̂

j = 1

( a

j t

! b

j s

)

3

5

t 2 M

1

s 2 M

2

9

=

;

w h e r e x y a r e v a r i a b l e s o f t h e s o r t s 1 a n d 2 , r e s p e c t i v e l y .

R e c a l l t h a t a f o r m u l a A i s a v a r i a n t o f A i f i t i s t h e r e s u l t o f r e p l a c i n g o f a l l s u b f o r m u l a s o f A o f t h e

f o r m ( 8 y ) B b y f o r m u l a s ( 8 x ) B

y

x ] w h e r e x i s s u b s t i t u t i b l e i n t o A

L e m m a 1 L e t T b e a f u z z y t h e o r y a n d A b e a v a r i a n t o f A . T h e n

T ̀

a

A i T ̀

a

A

T h i s l e m m a j u s t i e s t h e f o l l o w i n g c o n c e p t s .

W e s a y t h a t t w o f o r m u l a s A a n d B a r e i n d e p e n d e n t i f n o v a r i a n t o r i n s t a n c e o f o n e i s a s u b f o r m u l a

o f t h e o t h e r o n e .

L e t F

0

b e a s e t o f e v a l u a t e d f o r m u l a s s u c h t h a t , i f A a B b 2 F

0

t h e n A B a r e i n d e p e n d e n t a n d

t o e a c h A t h e r e i s a t m o s t o n e a s u c h t h a t A a 2 F

0

. W e w i l l c a l l F

0

a s e t o f i n d e p e n d e n t e v a l u a t e d

f o r m u l a s .

W e s a y t h a t F

0

i s d i r e c t e d , i f :

( a ) I f ( 8 x ) A a 2 F

0

a n d A

x

t b 2 F

0

, t h e n a b , w h e r e t 2 M

( b ) I f A i s a l o g i c a l a x i o m t h e n A a 2 F

0

i m p l i e s a = A

L

( A )

N o t e t h a t i f A ( x ) B ( y ) a r e i n d e p e n d e n t t h e n a l s o a l l t h e i r r e s p e c t i v e i n s t a n c e s a r e i n d e p e n d e n t .

T h e p r o o f o f t h e f o l l o w i n g l e m m a w a s i n s p i r e d b y t h e p a p e r o f E . T u r u n e n 2 4 ] .

1 0



L e m m a 2 L e t F

0

b e d i r e c t e d s e t o f i n d e p e n d e n t e v a l u a t e d f o r m u l a s L e t T =

a

A

A a 2 F

0

. T h e n

t h e r e i s a m o d e l D = T s u c h t h a t

D ( A ) = a ( 1 9 )

h o l d s f o r a l l A a 2 F

0

P R O O F : W e c o n s t r u c t a H e n k i n e x t e n s i o n T

H

o f t h e t h e o r y T a n d a L i n d e n b a u m a l g e b r a L ( T

H

) u s i n g

t h e e q u i v a l e n c e

A B i T ̀ A , B

B y T h e o r e m 1 3 i n 1 1 ] , L ( T

H

) i s a r e s i d u a t e d l a t t i c e . L e t d e n o t e t h e e l e m e n t s f r o m L ( T

H

)

N o w , w e c o n s t r u c t a n a l g e b r a Q g e n e r a t e d b y t h e s e t

Q

0

= f A ( 9 A ) ( 9 a ) ( A a 2 F

0

) g f j 0 g

T h e Q i s d e t e r m i n e d b y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

( a ) Q

0

Q

( b ) I f A B 2 Q t h e n A ! B = A ) B 2 Q

U s i n g t h e r u l e o f m o d u s p o n e n s , l o g i c a l a x i o m s a n d f o r m u l a s p r o v a b l e i n t h e d e g r e e 1 ( t h e o r e m s ) w e c a n

s h o w t h a t Q i s a r e s i d u a t e d l a t t i c e ( a n a l o g o u s l y a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 3 i n 1 1 ] ) .

L e t u s n o w d e n e t h e f u n c t i o n f Q ? ! L a s f o l l o w s :

( a ) f ( A ) = a i f A a 2 F

0

( b ) f ( 0 ) = 0 .

( c ) f ( A ! B ) = f ( A ) ! f ( B )

S i n c e F

0

i s d i r e c t e d s e t o f i n d e p e n d e n t f o r m u l a s , t h e f u n c t i o n f e x i s t s a n d i t i s a h o m o m o r p h i s m . U s i n g

t h e r e s u l t s o f 2 ] , t h e l a t t i c e o f t r u t h v a l u e s L i n c o n s i d e r a t i o n i s i n j e c t i v e a n d t h u s , f c a n b e e x t e n d e d

t o h o m o m o r p h i s m

g L ( T

H

) ? ! L

F i n a l l y , w e d e n e t h e t r u t h e v a l u a t i o n H F

J

? ! L b y H ( A ) = g ( A ) . O b v i o u s l y , H ( A ) = a f o r e v e r y

A a 2 F

0

. W e w i l l a l s o s h o w t h a t H ( ( 8 x ) B ) =

V

t 2 M

H ( B

x

t )

A s T

H

i s H e n k i n a n d H i s a h o m o m o r p h i s m , i t f o l l o w s f r o m t h e l o g i c a l a n d H e n k i n a x i o m s t h a t

H ( ( 8 x ) B ) = H ( B

x

r )

w h e r e r i s a s p e c i a l c o n s t a n t f o r ( 8 x ) B , b o t h o f t h e s a m e s o r t . A t t h e s a m e t i m e ,

H ( ( 8 x ) B ) H ( B

x

t )

h o l d s f o r e v e r y t e r m t o f t h e s o r t I f H ( C ) H ( B

x

t ] ) h o l d s f o r a l l t e r m s t t h e n ,

H ( C ) H ( B

x

r ) = H ( ( 8 x ) B )

a s a s p e c i a l c a s e , i . e . H ( ( 8 x ) B ) i s i n m u m o f a l l t h e t r u t h e v a l u a t i o n s H ( B

x

t ) t 2 M

J

. A n a l o g o u s l y

w e p r o c e e d f o r s u p r e m a , u s i n g t h e n e g a t i o n .

H e n c e , u s i n g H , w e c a n c o n s t r u c t a c a n o n i c a l s t r u c t u r e D , w h i c h i s a m o d e l o f t h e t h e o r y T

H

a n d h a s

t h e p r o p e r t y ( 1 9 ) . B u t t h e n D = T f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t T

H

i s a c o n s e r v a t i v e e x t e n s i o n o f T 2

T h i s l e m m a p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n p r o v i n g s o m e t h e o r e m s a b o u t a p p r o x i m a t e r e a s o n i n g . U s i n g

i t a n d t h e c o m p l e t e n e s s t h e o r e m w e c a n p r o v e t h e f o l l o w i n g l e m m a .

1 1



L e m m a 3 L e t A

j

( x ) B

j

( y ) j = 1 ; : : : b e f o r m u l a s , x y v a r i a b l e s o f t h e s o r t s 1 a n d 2 s u c h t h a t f o r e v e r y

j 6= k A

j

a n d A

k

, a s w e l l a s B

j

a n d B

k

a r e i n d e p e n d e n t , r e s p e c t i v e l y . L e t k 1 k m b e g i v e n a n d

T =

n

a

k t

A

k x

t

c

t s

V

m

j = 1

( A

j x

t ) B

j y

s )

t 2 M

1

s 2 M

2

o

b e a f u z z y t h e o r y . T h e n

T ̀

b

k s

B

k y

s b

k s

=

_

t 2 M

1

( a

k t

c

t s

) s 2 M

2

P R O O F : P u t

F

0

= f A

j x

t a

j t

"

B

j y

s b

j s

=

_

t 2 M

1

( a

j t

c

t s

)

#

t 2 M

1

s 2 M

2

j = 1 ; : : : m g

I t f o l l o w s f r o m t h e a s s u m p t i o n s t h a t F

0

i s a s e t o f i n d e p e n d e n t e v a l u a t e d f o r m u l a s w h i c h , o b v i o u s l y , i s

a l s o d i r e c t e d . B y L e m m a 2 , t h e r e e x i s t s a s t r u c t u r e D s u c h t h a t

D ( A

j x

t ) = a

j t

D ( B

j y

s ) = b

j s

W e w i l l s h o w t h a t D = T

O b v i o u s l y ,

a

j t

c

t s

_

t 2 M

1

( a

j t

c

t s

)

f o r a l l t 2 M

1

a n d s 2 M

2

a n d j . B y t h e a d j u n c t i o n , w e o b t a i n

c

t s

a

j t

!

_

t 2 M

1

( a

j t

c

t s

) = D ( A

j x

t ) ! D ( B

j y

s ) = D ( A

j x

t ) B

j y

s )

f o r a l l j = 1 ; : : : m , a n d t h u s

c

t s

m

̂

j = 1

D ( A

j x

t ) B

j y

s ) = D (

m

̂

j = 1

( A

j x

t ) B

j y

s ) )

i . e . D = T

C o n s i d e r t h e p r o o f s

w

t s

= A

k x

t a

k t

S A

2

4

m

̂

j = 1

( A

j x

t ) B

j y

s ) c

t s

3

5

S A

B

k y

s a

k t

c

t s

r

M P C

t 2 M

1

s 2 M

2

w h e r e r

M P C

i s a m o d i e d r u l e o f m o d u s p o n e n s f o r t h e c o n j u n c t i o n o f i m p l i c a t i o n s ( c f .

1 9 , 1 6 ] ) . T h e n

b

k s

_

t 2 M

1

V a l

T

( w

t s

) =

_

t 2 M

1

( a

k t

c

t s

)

B u t a t t h e s a m e t i m e , b

k s

D ( B

k y

s ) =

W

t 2 M

1

( a

k t

c

t s

) , a n d w e o b t a i n t h e t h e o r e m u s i n g t h e

c o m p l e t e n e s s p r o p e r t y . 2

T h i s l e m m a s t a t e s t h a t f o r s p e c i a l k i n d s o f f o r m u l a s , w e m a y o b t a i n t h e m a x i m a l p r o v a b i l i t y d e g r e e

o n l y o n t h e b a s i s o f m u l t i f o r m u l a s u s e d i n t h e d e n i t i o n o f t h e f u z z y t h e o r y i n c o n c e r n . I n o t h e r w o r d s ,

t h e f o r m u l a u s e d i n t h e g e n e r a l i z e d m o d u s p o n e n s f o r F L b g i v e s t h e m a x i m a l p o s s i b l e v a l u e i f w e c o n n e

o n l y t o l i n g u i s t i c e x p r e s s i o n s o f t h e s p e c i a l k i n d . T h i s i s e x p l i c i t l y f o r m u l a t e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

L e t S

A

S

B

b e t w o d i s j o i n t s e t s o f s y n t a g m s ( 1 7 ) . U s i n g t h e t r a n s l a t i o n r u l e s f r o m 1 9 ] , t h e i n t e n s i o n

o f e a c h s y n t a g m i s a s e t o f c l o s e d e v a l u a t e d i n s t a n c e s o f a f o r m u l a o f t h e f o r m c ( p ( x ) ) w h e r e c i s a

l o g i c a l l y s o u n d u n a r y c o n n e c t i v e .

1 2



T h e o r e m 1 0 L e t t h e t h e o r y o f F L b

T =

A

k

A

k

m

A N D

j = 1

( F A

j

T H E N B

j

)

h

̂

m

j = 1

( A

j

) B

j

i

b e g i v e n u s i n g t h e a b o v e s y n t a g m s f o r s o m e k 1 k m . L e t

A

k

= f A

k x

t a

k t

t 2 M

1

g

a n d

̂

m

j = 1

( A

j

) B

j

) =

8

<

:

2

4

m

̂

j = 1

( A

j x

t ) B

j y

s ) c

t s

3

5

t 2 M

1

s 2 M

2

9

=

;

T h e n w e m a y d e r i v e t h e c o n c l u s i o n B

k

w i t h t h e i n t e n s i o n

B

k

=

( "

B

k y

s b

s

=

_

t 2 M

1

( a

k t

c

t s

)

#

s 2 M

2

)

( 2 0 )

s u c h t h a t a l l b

s

f o r s 2 M

2

i n t h e m u l t i f o r m u l a B

k

a r e m a x i m a l .

P R O O F : T h e l i n g u i s t i c d e s c r i p t i o n d e t e r m i n e s t h e f u z z y t h e o r y

T =

8

<

:

a

k t

A

k x

t

c

t s

m

̂

j = 1

( A

j x

( t ) B

j y

s )

t 2 M

1

s 2 M

2

9

=

;

T h e t h e o r e m t h e n f o l l o w s f r o m L e m m a 3 . 2

I n t h i s t h e o r e m , w e d o n o t c o n s i d e r m o d i c a t i o n o f t h e p r e m i s e . H o w e v e r , t h i s i s p o s s i b l e w h e n u s i n g

s p e c i a l i n f e r e n c e r u l e i n f u z z y l o g i c i n n a r r o w s e n s e ( c f . 1 9 ] ) .

T h e f o l l o w i n g l e m m a i s p r o v e d u s i n g t h e s a m e m e t h o d s . I t d e m o n s t r a t e s t h a t s t a n d a r d M a m d a n i ' s

M a x - M i n r u l e c a n b e o b t a i n e d a s a c o n s e q u e n c e o f s o m e s p e c i a l a x i o m s ( s e e 1 4 ] ) i n w h i c h w e c o n s i d e r a

n e w p r e d i c a t e R ( x y ) r e p r e s e n t i n g s o m e f u n c t i o n t o b e a p p r o x i m a t e d . F u r t h e r m o r e , f o r t h e f o r m u l a s i n

c o n c e r n ( i . e . t h o s e o c c u r r i n g i n a l l t h e l i n g u i s t i c d e s c r i p t i o n s s o f a r ) t h e r e s u l t i n g c o m p u t a t i o n f o r m u l a

g i v e s t h e b e s t p o s s i b l e r e s u l t i n t h e s a m e s e n s e a s a b o v e .

L e m m a 4 G i v e n a f u z z y t h e o r y

T = f A

j

̂ B

j

j = 1 ; : : : ; m g =

= f f A

j x

t ̂ B

j y

s a

j t

̂ b

j s

t 2 M

1

s 2 M

2

g j = 1 ; : : : ; m g

w h e r e x y a r e v a r i a b l e s o f d i e r e n t s o r t s , M

1

M

2

a r e t h e c o r r e s p o n d i n g s e t s o f t e r m s ( w i t h o u t v a r i a b l e s )

a n d f o r e v e r y j 6= k a r e A

j

̂ B

j

a n d A

k

̂ B

k

i n d e p e n d e n t . F u r t h e r m o r e , p u t

T = T f ( 8 x ) ( 8 y ) ( ( A

j

( x ) ̂ B

j

( y ) ) ) R ( x y ) ) ; 1 ] j = 1 ; : : : ; m g ( 2 1 )

I f

T ̀

a

t

A

x

t t 2 M

1

w h e r e A ( x ) i s e i t h e r A

j

( x ) f o r s o m e j = 1 ; : : : ; m o r i t i s i n d e p e n d e n t o n a l l A

1

( x ) ̂ B

j

( y ) t h e n

T ̀

b

s

B

y

s s 2 M

2

w h e r e

b

s

=

_

t 2 M

1

( a

t

̂

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) )

a n d B ( y ) : = ( 9 x ) ( A ( x ) ̂ R ( x y ) )

1 3



P R O O F : U s i n g t h e i n s t a n c e s o f t h e s u b s t i t u t i o n a x i o m , w e o b t a i n t h e p r o v a b l e e v a l u a t e d f o r m u l a

( A

j x

t ̂ B

j y

s ) ) R

x y

t s ] ; 1 ] , f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t

T ̀

d

t s

R

x y

t s t 2 M

1

s 2 M

2

w h e r e d

t s

W

m

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) . T h e n t h e r e i s a s e t o f p r o o f s i n T

w

j t

= A

x

t a

t

R

x y

t s a

j t

̂ b

j s

; : : : ; A

x

t ̂ R

x y

t s a

t

̂ a

j t

̂ b

j s

; : : :

( 9 x ) ( A ( x ) ̂ R ( x )

y

s ) a

t

̂ ( a

j t

̂ b

j s

)

t 2 M

1

j = 1 ; : : : ; m w h e r e w e h a v e u s e d t h e r u l e r

M P

, s u b s t i t u t i o n a x i o m a n d i t s c o n s e q u e n c e s . F r o m

i t f o l l o w s t h a t

_

t 2 M

1

j = 1 ; : : : ; m

V a l

T

( w

j t

) =

_

t 2 M

1

m

_

j = 1

( a

t

̂ ( a

j t

̂ b

j s

) ) =

_

t 2 M

1

( a

t

̂

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) )

w h i c h g i v e s

T ̀

c

s

B

y

s

w h e r e

c

s

_

t 2 M

1

( a

t

̂

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) ) ( 2 2 )

A s t h e f o r m u l a s A

j

̂ B

j

a n d A j = 1 ; : : : ; m a r e i n d e p e n d e n t , t h e r e e x i s t s a m o d e l D = T s u c h t h a t

D ( A

j x

t ̂ B

j y

s ) = a

j t

̂ b

j s

D ( A

x

t ) = a

t

j = 1 ; : : : m ; t 2 M

1

s 2 M

2

. L e t u s c o n s t r u c t a m o d e l D a s f o l l o w s . W e p u t D = D a n d , f u r t h e r m o r e ,

D ( A

j x

t ̂ B

j y

s ) = D ( A

j x

t ̂ B

j y

s )

D ( R

x y

t s ) =

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

)

t 2 M

1

s 2 M

2

j = 1 ; : : : m a n d D ( C ) = D ( C ) f o r e v e r y f o r m u l a C c o n t a i n i n g n o i n s t a n c e o f R ( x y )

T h e n

D ( 8 x ) ( 8 y ) ( ( A

j

( x ) ̂ B

j

( y ) ) ) R ( x y ) ) ) =

=

̂

t 2 M

1

s 2 M

2

( D ( ( ( A

j x

t ̂ B

j y

s ) ) R

x y

t s ] ) ) =

=

̂

t 2 M

1

s 2 M

2

( ( a

j t

̂ b

j s

) !

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) ) = 1

a n d t h u s , D = T . F i n a l l y ,

D ( B

y

s ) = D ( ( 9 x ) ( A ( x ) ̂ R ( x )

y

s ] ) ) =

=

_

t 2 M

1

D ( A

x

t ̂ R

x y

t s ) =

_

t 2 M

1

( a

t

̂

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) )

i . e .

c

s

_

t 2 M

1

( a

t

̂

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) )

w h i c h w h i c h t o g e t h e r w i t h ( 2 2 ) g i v e s t h e r e q u i r e d e q u a l i t y . 2

O n t h e b a s i s o f L e m m a 4 a n d a n a l o g o u s l y t o T h e o r e m 1 0 w e c a n f o r m u l a t e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

1 4



T h e o r e m 1 1 L e t t h e t h e o r y o f F L b

T = f A A

m

O R

j = 1

( A

j

A N D B

j

)

h

_

m

j = 1

( A

j

̂ B

j

)

i

g

b e g i v e n u s i n g t h e s a m e s y n t a g m s a s i n T h e o r e m 1 0 . F u r t h e r m o r e , l e t t h e a x i o m s f r o m ( 2 1 ) b e a d d e d .

T h e n w e m a y d e r i v e a c o n c l u s i o n B a s s i g n e d a f o r m u l a B ( y ) : = ( 9 x ) ( A ( x ) ̂ R ( x y ) ) a n d h a v i n g t h e

i n t e n s i o n

B =

8

<

:

2

4

B

y

s b

s

=

_

t 2 M

1

( a

t

̂

m

_

j = 1

( a

j t

̂ b

j s

) )

3

5

s 2 M

2

9

=

;

w h e r e a l l b

s

f o r s 2 M

2

i n t h e m u l t i f o r m u l a B a r e m a x i m a l .

T h i s t h e o r e m , a n a l o g o u s l y a s T h e o r e m 1 0 , e x p l i c i t l y s t a t e s t h a t f o r t h e s y n t a g m s w i d e l y u s e d i n f u z z y

c o n t r o l , a n d p r o v i d e d t h a t w e a s s u m e ( 2 1 ) , t h e M a m d a n i ' s M a x - M i n r u l e c a n b e u s e d t o d e r i v e a c o n -

c l u s i o n w h i c h i s t h e b e s t p o s s i b l e o n e ( i n t h e s e n s e o f m a x i m a l i z a t i o n o f t r u t h v a l u e s ) . H e n c e , w e h a v e

b a s i c a l l y t w o ( f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t r u t h v a l u e s ) e e c t i v e i n f e r e n c e p r o c e d u r e s : t h e r s t o n e i s b a s e d

o n s o u n d i n f e r e n c e r u l e s o f f u z z y l o g i c i n n a r r o w s e n s e a n d d e a l s w i t h l o g i c a l i m p l i c a t i o n s , a n d t h e s e c o n d

o n e i s b a s e d o n a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s a n d d e a l s w i t h c o n j u n c t i o n s . N o t e t h a t t h e l a t t e r i s l i n g u i s t i c

r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n c e p t o f f u z z y g r a p h

4 C o n c l u s i o n

I n t h i s p a p e r , w e r e v i e w e d s o m e f o r m a l a s p e c t s o f f u z z y l o g i c s i n n a r r o w a s w e l l a s i n b r o a d e r s e n s e . T h e

f o r m e r c a n b e v i e w e d a s a s p e c i a l m a n y - v a l u e d l o g i c a i m e d a t m o d e l l i n g o f t h e v a g u e n e s s p h e n o m e n o n .

T h e r e f o r e , i t i s s l i g h t l y m o d i e d t o f u l l t h i s g o a l . M o s t i m p o r t a n t i s i t s a b i l i t y t o d e r i v e c o n c l u s i o n s

c o n c e r n i n g a n y t r u t h v a l u e , i . e . a l l t h e t r u t h v a l u e s a r e e q u a l l y i m p o r t a n t . A s a c o n s e q u e n c e , w e o b -

t a i n e v a l u a t e d s y n t a x i n w h i c h e v a l u a t e d f o r m u l a s A a ] a r e c o n s i d e r e d . S u c h f o r m u l a s , h o w e v e r , c a n

b e i n t e r p r e t e d a s n o n - e v a l u a t e d o n e s o f t h e f o r m a ) A . W e h a v e d i s c u s s e d o u t c o m e s o f t h i s a p p r o a c h ,

a n d a l s o s h o w e d t h a t t h i s l o g i c m a y b e c o n s i d e r e d a s a d i r e c t g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l o n e d u e t o

t h e d e n i t i o n o f t h e s y n t a c t i c c o n s e q u e n c e o p e r a t i o n ( D e n i t i o n 1 ) w h i c h i s e q u i v a l e n t w i t h t h e c l a s s i c a l

d e n i t i o n . I n m a n y - v a l u e d l o g i c , h o w e v e r , t h e r e q u i r e m e n t t h a t a p r o v a b l e f o r m u l a m u s t h a v e a p r o o f

w i t h t h e d e s i g n a t e d t r u t h v a l u e i s q u i t e s t r o n g a n d r e s t r i c t i v e f o r f u z z y l o g i c i n n a r r o w s e n s e . S l i g h t

w e a k e n i n g ( c f . D e n i t i o n 2 a n d T h e o r e m 1 ) m a k e s p o s s i b l e t o k e e p t h e s y n t a c t i c o - s e m a n t i c a l c o m p l e t e -

n e s s . U n f o r t u n a t e l y , t h i s h o l d s o n l y i n t h e c a s e t h a t w e u s e L u k a s i e w i c z i m p l i c a t i o n s i n c e i t i s c o n t i n u o u s .

I n t e r e s t i n g p r o b l e m m i g h t b e t o c l a s s i f y f u z z y l o g i c s i n n a r r o w s e n s e w i t h r e s p e c t t o s o m e \ d e g r e e s o f

c o m p l e t e n e s s " w h i c h w o u l d b e b a s e d o n t h e g e n e r a l i m p l i c a t i o n 1 ̂ ( 1 ? a

p

+ b

p

)

1

p

p 6= 0

T h e l a s t s e c t i o n i s d e v o t e d t o f u z z y l o g i c i n b r o a d e r s e n s e w h i c h s h o u l d b e t h e l o g i c o f c o m m o n s e n s e

h u m a n d e d u c t i o n a n d t h u s , i t i s n o n - s e p a r a b l y c o n n e c t e d w i t h l i n g u i s t i c s . A s n a t u r a l l a n g u a g e i n h e r e n t l y

e n c o m p a s s e s v a g u e n e s s , F L n b e c o m e s i t s f r a m e a n d F L b c a n t h u s b e s e e n a s a n e x t e n s i o n o f F L n . N a t u r a l

l a n g u a g e e x p r e s s i o n s a r e t r a n s l a t e d i n t o m u l t i f o r m u l a s ( s e t s o f e v a l u a t e d i n s t a n c e s o f f o r m u l a s o f F L n )

w h i c h a r e i n t e r p r e t e d a s i n t e n s i o n s o f t h e f o r m e r . W e h a v e p r o v e d t w o t h e o r e m s w h i c h d e m o n s t r a t e t h a t

w h e n c o n n i n g o u r s e l v e s t o r e s t r i c t e d k i n d s o f s y n t a g m s , t h e f o r m u l a s w i d e l y u s e d f o r g e n e r a l i z e d m o d u s

p o n e n s b o t h i n i m p l i c a t i o n a l a s w e l l a s M a m d a n i ' s f o r m s g i v e t h e b e s t p o s s i b l e v a l u e s .

G o d o a n d H j e k 3 ] d e r i v e d g e n e r a l i z e d m o d u s p o n e n s o n t h e b a s i s o f p u r e l y l o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s .

T h e y p r e s e n t s e v e r a l f o r m s o f t h i s r u l e . N o t e t h a t i t i s p o s s i b l e t o e x p r e s s t h e i r r u l e s a l s o i n t h e a g g r e g a t e d

f o r m u s i n g t h e c o n c e p t o f m u l t i f o r m u l a . T h e o r e m 1 1 i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n ( 2 1 ) s t a t i n g t h a t , r o u g h l y

s p e a k i n g , t h e l i n g u i s t i c d e s c r i p t i o n c o n c e r n s s o m e r e l a t i o n b e t w e e n i n p u t a n d o u t p u t ( p r e d i c a t e R ( x y ) )

G o d o a n d H j e k u s e w e a k e r a s s u m p t i o n b u t t h e y s t i l l k e e p a c o n d i t i o n w h i c h i n h e r e n t l y a s s u m e s s o m e

r e l a t i o n b e t w e e n t h e p r e m i s e a n d t h e c o n s e q u e n t .

1 5



R e f e r e n c e s

1 ] D u b o i s , D . a n d H . P r a d e : P o s s i b i l i t y T h e o r y . A n A p p r o a c h t o C o m p u t e r i z e d P r o c e s s i n g

o f U n c e r t a i n t y . P l e n u m , N e w Y o r k , 1 9 8 8 .

2 ] G l u s h a n k o f , D . P r i m e d e d u c t i v e s y s t e m s a n d i n j e c t i v e o b j e c t s i n t h e a l g e b r a s o f L u k a s i e w i c z i n n i t e -

v a l u e d c a l c u l i . A l g e b r a U n i v e r s a l i s 2 9 ( 1 9 9 2 ) , 3 5 4 { 3 7 7 .

3 ] L . G o d o a n d P . H j e k : O n D e d u c t i o n i n Z a d e h ' s F u z z y L o g i c . P r o c . C o n f . I P M U ' 9 5 , G r a n a d a 1 9 9 5 .

4 ] G o t t w a l d , S . : M e h r w e r t i g e L o g i k . A k a d e m i e - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 8 9 .

5 ] G o t t w a l d , S . : F u z z y S e t s a n d F u z z y L o g i c . V i e w e g : B r a u n s c h w e i g , a n d T e c n e a : T o u l o u s e , 1 9 9 3 .

6 ] H j e k P . : F u z z y l o g i c a n d a r i t h m e t i c a l h i e r a r c h y . F u z z y S e t s a n d S y s t e m s 7 3 ( 1 9 9 5 ) , 3 5 9 { 3 6 3 .

7 ] H j e k P . : F u z z y l o g i c a s l o g i c , I n : G . C o l e t t i e t a l . , e d . : M a t h e m a t i c a l M o d e l s o f H a n d l i n g

P a r t i a l K n o w l e d g e i n A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e , P r o c . E r i c e ( I t a l y ) , P e r g a m o n P r e s s 1 9 9 6 .

8 ] H j e k , P . : M e t a m a t h e m a t i c s o f f u z z y l o g i c . M a n u s c r i p t . T o b e p u b l i s h e d b y K l u w e r .

9 ] E . P . K l e m e n t , R . M e s i a r , E . P a p : A d d i t i v e g e n e r a t o r s o f t - n o r m s w h i c h a r e n o t n e c e s s a r i l y c o n t i n -

u o u s P r o c . E U F I T ' 9 6 , A a c h e n , 1 9 9 6 , p p . 7 0 { 7 3 .

1 0 ] M e s i a r , R . a n d V . N o v k : O n F i t t i n g O p e r a t i o n s . P r o c . o f V I I

t h

I F S A W o r l d C o n g r e s s , A c a d e m i a ,

P r a g u e 1 9 9 7 .

1 1 ] N o v k , V . : O n t h e S y n t a c t i c o - S e m a n t i c a l C o m p l e t e n e s s o f F i r s t { O r d e r F u z z y L o g i c . P a r t I | S y n -

t a c t i c a l A s p e c t s ; P a r t I I | M a i n R e s u l t s . K y b e r n e t i k a 2 6 ( 1 9 9 0 ) , 4 7 { 6 6 ; 1 3 4 { 1 5 4 .

1 2 ] N o v k , V . : L o g i c a l B a s i s o f A p p r o x i m a t e R e a s o n i n g w i t h Q u a n t i e r s . P r o c . 1 2

t h

S e m i n a r o n F u z z y

S e t T h e o r y , J o h a n e s K e p l e r U n i v e r s i t t , L i n z 1 9 9 0 .

1 3 ] N o v k , V . : O n t h e l o g i c a l b a s i s o f a p p r o x i m a t e r e a s o n i n g , i n V . N o v k , J . R a m k , M . M a r e , M .

e r n a n d J . N e k o l a , E d s . : F u z z y A p p r o a c h t o R e a s o n i n g a n d D e c i s i o n M a k i n g . A c a d e m i a ,

P r a g u e a n d K l u w e r , D o r d r e c h t 1 9 9 2 .

1 4 ] N o v k , V . : F u z z y C o n t r o l f r o m t h e P o i n t o f V i e w o f F u z z y L o g i c . F u z z y S e t s a n d S y s t e m s 6 6 ( 1 9 9 4 ) ,

1 5 9 { 1 7 3 .

1 5 ] N o v k , V . : U l t r a p r o d u c t T h e o r e m a n d R e c u r s i v e p r o p e r t i e s o f F u z z y L o g i c . I n : H h l e , U . a n d E . P .

K l e m e n t ( e d s . ) , N o n - C l a s s i c a l L o g i c s a n d T h e i r A p p l i c a t i o n s t o F u z z y S u b s e t s . A H a n d b o o k

o f t h e M a t h e m a t i c a l F o u n d a t i o n s o f F u z z y S e t T h e o r y , K l u w e r , D o r d r e c h t 1 9 9 5 , 3 4 1 { 3 7 0 .

1 6 ] N o v k , V . : T o w a r d s F o r m a l i z e d I n t e g r a t e d T h e o r y o f F u z z y L o g i c . I n : B i e n , Z , a n d K . M i n ( e d s . ) ,

F u z z y L o g i c a n d I t s A p p l i c a t i o n s t o E n g i n e e r i n g , I n f o r m a t i o n S c i e n c e s , a n d I n t e l l i g e n t

S y s t e m s , K l u w e r , D o r d r e c h t 1 9 9 5 , 3 5 3 { 3 6 3 .

1 7 ] N o v k , V . : L i n g u i s t i c a l l y O r i e n t e d F u z z y L o g i c C o n t r o l l e r a n d I t s D e s i g n . I n t . J . o f A p p r o x i m a t e

R e a s o n i n g 1 9 9 5 , 1 2 ( 1 9 9 5 ) , 2 6 3 { 2 7 7 .

1 8 ] N o v k , V . A N e w P r o o f o f C o m p l e t e n e s s o f F u z z y L o g i c a n d S o m e C o n c l u s i o n s f o r A p p r o x i m a t e

R e a s o n i n g . P r o c . I n t . C o n f e r e n c e F U Z Z - I E E E / I F E S ' 9 5 , Y o k o h a m a 1 9 9 5 , 1 4 6 1 { 1 4 6 8 .

1 9 ] N o v k , V . : P a r a d i g m , F o r m a l P r o p e r t i e s a n d L i m i t s o f F u z z y L o g i c . I n t . J . o f G e n e r a l S y s t e m s

2 4 ( 1 9 9 6 ) , 3 7 7 { 4 0 5 .

2 0 ] N o v k , V : O p e n T h e o r i e s , C o n s i s t e n c y a n d R e l a t e d R e s u l t s i n F u z z y L o g i c . I n t . J . o f A p p r o x i m a t e

R e a s o n i n g 1 9 9 7 ( s u b m i t t e d ) .

2 1 ] N o v k , V . a n d I . P e r l i e v a : O n L o g i c a l a n d A l g e b r a i c F o u n d a t i o n s o f A p p r o x i m a t e R e a s o n i n g . F U Z Z -

I E E E ' 9 7 , B a r c e l o n a ( t o a p p e a r ) .

1 6



2 2 ] N o v k , V . a n d I . P e r l i e v a : O n M o d e l T h e o r y i n F u z z y L o g i c i n B r o a d e r S e n s e . P r o c . I n t . C o n f e r e n c e

E U F I T ' 9 7 , V e r l a g M a i n z , A a c h e n 1 9 9 7 ( t o a p p e a r ) .

2 3 ] P a v e l k a , J . : O n f u z z y l o g i c I , I I , I I I , Z e i t . M a t h . L o g i c . G r u n d l . M a t h . 2 5 ( 1 9 7 9 ) , 4 5 { 5 2 ; 1 1 9 { 1 3 4 ;

4 4 7 { 4 6 4 .

2 4 ] T u r u n e n , E . : W e l l - D e n e d F u z z y S e n t e n t i a l L o g i c . M a t h . L o g i c Q u a t e r l y 4 1 ( 1 9 9 5 ) , 2 3 6 { 2 4 8 .

2 5 ] B . S c h w e i z e r , A . S k l a r : P r o b a b i l i s t i c m e t r i c s p a c e s N o r t h H o l l a n d , N e w Y o r k , 1 9 8 3 .

2 6 ] Z a d e h , L . A . : T h e c o n c e p t o f a l i n g u i s t i c v a r i a b l e a n d i t s a p p l i c a t i o n t o a p p r o x i m a t e r e a s o n i n g I , I I ,

I I I , I n f . S c i . , 8 ( 1 9 7 5 ) , 1 9 9 { 2 5 7 , 3 0 1 { 3 5 7 ; 9 ( 1 9 7 5 ) , 4 3 { 8 0 .

1 7

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